1. Řešte soustavu lineárních rovnic pomocí matic: \( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x – y = 1 \end{cases} \) Zobrazit řešení Řešení příkladu: Nejprve zapíšeme soustavu ve tvaru matice koeficientů a vektoru…
1. Dokažte, že součet dvou sudých čísel je sudé číslo. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Nechť \( a \) a \( b \) jsou sudá čísla. Podle definice sudého čísla existují celá čísla \( k \)…
1. Určete pravdivostní hodnotu logické formule \(a \wedge \neg b\) pro všechny kombinace hodnot \(a\) a \(b\). Zobrazit řešení Řešení příkladu č. 1: Máme formuli \(a \wedge \neg b\). Zde \(\wedge\) znamená logickou konjunkci (AND)…
1. Vypočítejte povrch a objem kvádru, jehož rozměry jsou \(a=5\,cm\), \(b=3\,cm\), \(c=4\,cm\). Zobrazit řešení Řešení příkladu: Pro kvádr platí vzorce: Povrch: \(S = 2(ab + bc + ac)\) Objem: \(V = abc\) Dosadíme hodnoty: \(S…
1. Dokažte, že odmocnina ze \(2\) není racionální číslo. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Předpokládejme, že \( \sqrt{2} \) je racionální číslo. To znamená, že existují celá čísla \( a \) a \( b \), kde…
1. Vypočítejte součet nekonečné geometrické řady s prvním členem \( a_1 = 3 \) a kvocientem \( q = \frac{1}{2} \). Zobrazit řešení Řešení příkladu 1: Máme nekonečnou geometrickou řadu, kde první člen je \(…
1. Vypočtěte součin matic \( A \) a \( B \), kde \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0…
1. Vypočítejte hodnotu komplexního čísla \( (1 + i)^8 \) pomocí Moivreovy věty. Zobrazit řešení Řešení příkladu 1: Nejprve převedeme komplexní číslo \( z = 1 + i \) do goniometrického tvaru. Vypočítáme jeho absolutní…
1. Určete \(0,75\)-kvantil \((\)třetí kvartil\()\) náhodné veličiny \(X\), která má exponenciální rozdělení s parametrem \(\lambda = 2\). Vypočítejte kvantil a ukažte celý postup. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Nejprve si připomeňme, že kvantil náhodné veličiny \(X\)…
1. V matematické soutěži je \(8\) chlapců a \(7\) dívek. Kolika způsoby lze vybrat tým \(5\) studentů, který obsahuje právě \(3\) chlapce a \(2\) dívky? Zobrazit řešení Řešení příkladu: Musíme vybrat tým o \(5\) členech,…