1. Vypočtěte součet nekonečné geometrické řady \( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n \). Zobrazit řešení Řešení příkladu: Máme geometrickou řadu s prvním členem \( a = 1 \) (protože \( \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \)) a kvocientem \( q…
1. Najděte Taylorův polynom řádu \(3\) funkce \( f(x) = e^{2x} \) v bodě \( x_0 = 0 \). Zobrazit řešení Řešení příkladu: Funkce je \( f(x) = e^{2x} \). Rozvineme ji do Taylorova polynomu…
1. Pokud prší, pak je mokro. Nepřší-li mokro, lze usoudit, že neprší. Ukažte to pomocí modus tollens. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Nechť máme implikaci: \( P \Rightarrow Q \) a také negaci následku: \( \neg…
1. Pokud je dnes pondělí, pak mám přednášku logiky. Dnes je pondělí. Zobrazit řešení Řešení: Máme dvě premisy: 1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Dnes je pondělí“ a \( Q…
1. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^{n/2}} \) konverguje nebo diverguje pomocí odmocninového kritéria. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Odmocninové kritérium zní: Pro řadu \( \sum a_n \) spočteme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty}…
1. Určete, zda řada \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\) konverguje nebo diverguje pomocí srovnávacího kritéria. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Zvažme řadu \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}\). Pro srovnávací kritérium hledáme jednodušší řadu, se kterou můžeme tuto srovnat….
1. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Použijeme Raabeovo kritérium: Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \). Spočítáme: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]…
1. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} \) konverguje. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Použijeme podílové kritérium: \( a_n = \frac{n^2}{3^n},\quad a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \) \( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{3 n^2} \) \(…
1. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \) konverguje. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Máme alternující řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \). Označíme \( a_n = \frac{1}{n} \). Ověříme podmínky Leibnizova kritéria: 1) \( a_n \geq 0…
1. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)} \) konverguje. Zobrazit řešení Řešení příkladu: Použijeme integrální kritérium. Zkoumáme integrál funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x)} \), kde \( x \geq 2 \). Nejprve ověříme podmínky…