Hypotézy, testování hypotéz

Řešení příkladu:

1. Formulujeme hypotézy: \( H_0: \mu = 3 \), \( H_1: \mu \neq 3 \).

2. Použijeme t-test pro jeden vzorek, protože neznáme popul. směrodatnou odchylku: \( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{2.8-3}{0.5/\sqrt{30}} \approx -2.19 \).

3. Kritická hodnota pro dvoustranný test s \( \alpha = 0.05 \) a \( df = 29 \) je \( t_{0.025,29} \approx 2.045 \).

4. Porovnání: \( |t| = 2.19 > 2.045 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Na hladině významnosti \( 0.05 \) existuje dostatečný důkaz, že průměrná známka se liší od \( 3 \).

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 500 \), \( H_1: \mu \neq 500 \).

2. t-statistika: \( t = \frac{498-500}{5/\sqrt{50}} = \frac{-2}{0.707} \approx -2.83 \).

3. Kritická hodnota pro \( df = 49 \) a \( \alpha/2 = 0.005 \) je \( t_{0.005,49} \approx 2.68 \).

4. Porovnání: \( |t| = 2.83 > 2.68 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Existuje dostatečný důkaz proti tvrzení výrobce.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.6 \), \( H_1: p \neq 0.6 \).

2. Testová statistika pro podíl: \( z = \frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} = \frac{0.55-0.6}{\sqrt{0.6\cdot 0.4/100}} = \frac{-0.05}{0.049} \approx -1.02 \).

3. Kritická hodnota pro \( \alpha/2 = 0.025 \) je \( z_{0.025} \approx 1.96 \).

4. Porovnání: \( |z| = 1.02 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Na hladině významnosti \(0.05\) nemáme dostatek důkazů, že podíl se liší od \(0.6\).

Řešení příkladu:

1. Jednostranný t-test: \( t = \frac{15-16}{2/\sqrt{40}} = \frac{-1}{0.316} \approx -3.16 \).

2. Kritická hodnota pro \( df = 39 \) a \( \alpha = 0.05 \) je \( t_{0.05,39} \approx -1.685 \).

3. Porovnání: \( t = -3.16 < -1.685 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Existuje dostatek důkazů, že průměrná výška stromů je menší než \(16\) m.

Řešení příkladu:

1. Test pro rozdíl dvou středních hodnot s nerovnými odchylkami (Welchův t-test):

t = \(\frac{\bar{x}_1 – \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} = \frac{78-82}{\sqrt{10^2/25 + 12^2/30}} = \frac{-4}{\sqrt{4+4.8}} = \frac{-4}{2.94} \approx -1.36 \)

2. Přibližné df podle Welchova vzorce: \( df \approx 51 \), kritická hodnota \( t_{0.025,51} \approx 2.007 \).

3. Porovnání: \( |t| = 1.36 < 2.007 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Na hladině významnosti \(0.05\) nelze prokázat rozdíl mezi skupinami.

Řešení příkladu:

1. Jednostranný t-test: \( t = \frac{47-50}{6/\sqrt{20}} = \frac{-3}{1.341} \approx -2.24 \).

2. Kritická hodnota pro \( df = 19 \) a \( \alpha = 0.05 \) je \( t_{0.05,19} \approx -1.729 \).

3. Porovnání: \( t = -2.24 < -1.729 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Nová metoda významně snižuje dobu výroby.

Řešení příkladu:

1. Tabulka kontingence:

Muž: kouří \(30\), nekuřák \(20\); Žena: kouří \(20\), nekuřák \(30\).

2. Chí-kvadrát statistika: \( \chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E} \), kde očekávané hodnoty: muži kouří \( 25 \), muži nekuřáci \( 25 \), ženy kouří \( 25 \), ženy nekuřáci \( 25 \).

\( \chi^2 = \frac{(30-25)^2}{25} + \frac{(20-25)^2}{25} + \frac{(20-25)^2}{25} + \frac{(30-25)^2}{25} = \frac{25}{25} + \frac{25}{25} + \frac{25}{25} + \frac{25}{25} = 4 \).

3. Kritická hodnota pro \( df = 1 \) a \( \alpha = 0.05 \) je \( \chi^2_{0.05,1} = 3.841 \).

4. Porovnání: \( 4 > 3.841 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Existuje závislost mezi pohlavím a kouřením.

Řešení příkladu:

1. Jednostranný t-test: \( t = \frac{11-10}{2/\sqrt{16}} = \frac{1}{0.5} = 2 \).

2. Kritická hodnota pro \( df = 15 \) a \( \alpha = 0.01 \) je \( t_{0.01,15} \approx 2.602 \).

3. Porovnání: \( t = 2 < 2.602 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Nemáme dostatek důkazů, že průměrná koncentrace je vyšší než \(10\) mg/L.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p_1 = p_2 \), \( H_1: p_1 \neq p_2 \).

2. Pooled podíl: \( \hat{p} = \frac{48+35}{60+50} = \frac{83}{110} \approx 0.7545 \).

3. Testová statistika: \( z = \frac{0.8-0.7}{\sqrt{0.7545 \cdot (1-0.7545) \cdot (1/60 + 1/50)}} \approx \frac{0.1}{0.0796} \approx 1.26 \).

4. Kritická hodnota pro dvoustranný test: \( z_{0.025} = 1.96 \).

5. Porovnání: \( |z| = 1.26 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Není statisticky významný rozdíl mezi metodami.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \text{medián} = 30 \), \( H_1: \text{medián} \neq 30 \).

2. Pořadí absolutních odchylek od 30: vypočítáme rozdíly a přiřadíme pořadí (bez 0 rozdílů).

3. Spočítáme testovou statistiku \( W \) jako součet pořadí rozdílů se znaménkem podle odchylky.

4. Kritická hodnota pro \( n = 25 \) a \( \alpha = 0.05 \) dvoustranný test je \( W_{crit} = 70 \) (tabulka Wilcoxon).

5. Porovnání: vypočtené \( W = 60 < 70 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Medián doby čekání se statisticky liší od \(30\) minut.

Řešení příkladu:

1. t-statistika: \( t = \frac{98.5-100}{3/\sqrt{35}} = \frac{-1.5}{0.507} \approx -2.96 \).

2. Kritická hodnota pro dvoustranný test, \( df = 34 \), \( \alpha/2 = 0.025 \) je \( t_{0.025,34} \approx 2.032 \).

3. Porovnání: \( |t| = 2.96 > 2.032 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Na hladině významnosti \(0.05\) existuje důkaz, že průměrná délka kabelu se liší od \(100\) cm.

Řešení příkladu:

1. Jednostranný t-test: \( t = \frac{245-240}{15/\sqrt{25}} = \frac{5}{3} \approx 1.667 \).

2. Kritická hodnota \( df = 24 \), \( \alpha = 0.01 \) je \( t_{0.01,24} \approx 2.492 \).

3. Porovnání: \( t = 1.667 < 2.492 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Nemáme dostatek důkazů, že průměrná doba běhu je větší než \(240\) min.

Řešení příkladu:

1. Welchův t-test: \( t = \frac{2.5-2.8}{\sqrt{0.6^2/20 + 0.5^2/22}} = \frac{-0.3}{\sqrt{0.018+0.01136}} = \frac{-0.3}{0.165} \approx -1.82 \).

2. Přibližné df ≈ 38, kritická hodnota \( t_{0.025,38} \approx 2.024 \).

3. Porovnání: \( |t| = 1.82 < 2.024 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Rozdíl mezi průměry není statisticky významný.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.7 \), \( H_1: p \neq 0.7 \).

2. Testová statistika: \( \hat{p} = 90/120 = 0.75 \), \( z = \frac{0.75-0.7}{\sqrt{0.7\cdot0.3/120}} = \frac{0.05}{0.0417} \approx 1.20 \).

3. Kritická hodnota \( z_{0.025} = 1.96 \).

4. Porovnání: \( |z| = 1.20 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Podíl odpovídá očekávanému.

Řešení příkladu:

1. t-statistika: \( t = \frac{5.2-5}{0.8/\sqrt{18}} = \frac{0.2}{0.1887} \approx 1.06 \).

2. Kritická hodnota \( t_{0.05,17} \approx 1.740 \).

3. Porovnání: \( t = 1.06 < 1.740 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Nedostatek důkazů, že průměr je vyšší než \(5\).

Řešení příkladu:

1. Očekávané hodnoty: muži pozitivní \(12.5\), muži negativní \(7.5\), ženy pozitivní \(12.5\), ženy negativní \(7.5\).

2. Chí-kvadrát: \( \chi^2 = \frac{(10-12.5)^2}{12.5} + \frac{(10-7.5)^2}{7.5} + \frac{(15-12.5)^2}{12.5} + \frac{(5-7.5)^2}{7.5} = 1.25 + 0.833 + 0.5 + 0.833 = 3.416 \).

3. Kritická hodnota \( \chi^2_{0.05,1} = 3.841 \).

4. Porovnání: \( 3.416 < 3.841 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Nezávislost není zamítnuta.

Řešení příkladu:

1. t-statistika: \( t = \frac{120-130}{\sqrt{10^2/15 + 12^2/15}} = \frac{-10}{\sqrt{6.667 + 9.6}} = \frac{-10}{4.05} \approx -2.47 \).

2. Přibližné df ≈ 26, kritická hodnota \( t_{0.025,26} \approx 2.056 \).

3. Porovnání: \( |t| = 2.47 > 2.056 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Technologie se statisticky liší.

Řešení příkladu:

1. Podíl: \( \hat{p} = 50/80 = 0.625 \).

2. Testová statistika: \( z = \frac{0.625-0.6}{\sqrt{0.6*0.4/80}} = \frac{0.025}{0.05477} \approx 0.456 \).

3. Kritická hodnota \( z_{0.025} = 1.96 \).

4. Porovnání: \( |z| = 0.456 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

Závěr: Podíl odpovídá očekávanému.

Řešení příkladu:

1. t-statistika pro párový test: \( t = \frac{55-50}{4/\sqrt{12}} = \frac{5}{1.155} \approx 4.33 \).

2. Kritická hodnota \( t_{0.01,11} \approx 3.106 \).

3. Porovnání: \( t = 4.33 > 3.106 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Nový trénink statisticky zvyšuje sílu.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \text{medián} = 250 \), \( H_1: \text{medián} \neq 250 \).

2. Pořadí absolutních odchylek od 250, spočítáme součet pořadí rozdílů podle znaménka.

3. Kritická hodnota pro \( n = 20 \), dvoustranný test, \( W_{crit} = 62 \).

4. Porovnání: vypočtené \( W = 50 < 62 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

Závěr: Medián reakční doby se liší od \(250\) ms.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 50 \Rightarrow \) průměrná doba rozkladu je \(50\) min.

\( H_1: \mu \neq 50 \Rightarrow \) průměrná doba se liší od \(50\) min.

2. Výpočet testové statistiky:

t = \(\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{48-50}{5/\sqrt{25}} = \frac{-2}{1} = -2\)

3. Stanovení kritické oblasti: df = 24, dvoustranný test, \( t_{0.025,24} \approx 2.064 \).

4. Porovnání: \( |t| = 2 < 2.064 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \) na hladině významnosti \(0.05\).

5. Interpretace výsledku: Hodnota t-statistiky je téměř na hranici kritické oblasti. To znamená, že sice existuje lehký náznak rozdílu, ale statisticky významný důkaz nemáme. Je vhodné zvážit větší vzorek nebo další měření.

Závěr: Na hladině významnosti \(0.05\) nemáme dostatek důkazů, že průměrná doba rozkladu se liší od \(50\) minut.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu_d = 0 \Rightarrow \) terapie nemá vliv na krevní tlak.

\( H_1: \mu_d < 0 \Rightarrow \) terapie snižuje krevní tlak.

2. Výpočet t-statistiky pro párový test:

t = \(\frac{\bar{d}-0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{-5}{8/\sqrt{30}} = \frac{-5}{1.461} \approx -3.42\)

3. Kritická hodnota: df = 29, jednostranný test, \( t_{0.01,29} \approx -2.462 \).

4. Porovnání: \( t = -3.42 < -2.462 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Test ukazuje, že snížení krevního tlaku po terapii je statisticky významné. Můžeme s vysokou pravděpodobností říci, že terapie skutečně snižuje tlak.

Závěr: Terapie má významný pozitivní efekt na snížení krevního tlaku.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 3 \), \( H_1: \mu > 3 \)

2. Výpočet t-statistiky: \( t = \frac{3.2-3}{0.7/\sqrt{40}} = \frac{0.2}{0.1107} \approx 1.81 \)

3. Kritická hodnota: df = 39, jednostranný test, \( t_{0.05,39} \approx 1.685 \)

4. Porovnání: \( t = 1.81 > 1.685 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

5. Detailní interpretace: Výsledek naznačuje, že průměrná známka je statisticky vyšší než \(3\). Je však vhodné zohlednit, že rozdíl \(0.2\) je relativně malý, a proto je vhodné doplnit interval spolehlivosti pro přesnější odhad.

Závěr: Průměrná známka je statisticky vyšší než \(3\) na hladině významnosti \(0.05\).

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.5 \), \( H_1: p \neq 0.5 \)

2. Výpočet podílu: \( \hat{p} = 60/80 = 0.75 \)

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{p_0(1-p_0)/n} = \sqrt{0.5*0.5/80} = 0.0559 \)

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.75-0.5}{0.0559} \approx 4.47 \)

5. Kritická hodnota: dvoustranný test, \( z_{0.005} \approx 2.576 \)

6. Porovnání: \( |z| = 4.47 > 2.576 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

7. Interpretace: Podíl zaměstnanců používajících nový software je statisticky významně vyšší než \(0.5\). To naznačuje, že software je široce přijímán mezi zaměstnanci.

Závěr: Podíl uživatelů je vyšší než očekávaný \(50\) %.

Řešení příkladu:

1. Použijeme Welchův t-test pro nerovné směrodatné odchylky:

t = \( \frac{70-75}{\sqrt{8^2/25 + 10^2/30}} = \frac{-5}{\sqrt{2.56+3.33}} = \frac{-5}{2.625} \approx -1.91 \)

2. Přibližné df: \( df \approx 50 \), kritická hodnota \( t_{0.025,50} \approx 2.009 \)

3. Porovnání: \( |t| = 1.91 < 2.009 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: I když průměrné váhy vypadají rozdílně, statistický test neprokázal významný rozdíl. Možné vysvětlení zahrnuje variabilitu ve skupinách nebo omezený vzorek.

Závěr: Není statisticky prokázán rozdíl mezi skupinami.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 7 \), \( H_1: \mu \neq 7 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{6.8-7}{1/\sqrt{36}} = \frac{-0.2}{0.1667} \approx -1.2 \)

3. Kritická hodnota: df = 35, dvoustranný test, \( t_{0.025,35} \approx 2.030 \)

4. Porovnání: \( |t| = 1.2 < 2.03 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná doba spánku je blízká očekávané hodnotě. Statisticky není prokázán významný rozdíl.

Závěr: Průměrná doba spánku je statisticky rovna \(7\) hodinám.

Řešení příkladu:

1. t-statistika: \( t = \frac{105-100}{12/\sqrt{50}} = \frac{5}{1.697} \approx 2.946 \)

2. Kritická hodnota df = 49, dvoustranný test, \( t_{0.005,49} \approx 2.68 \)

3. Porovnání: \( |t| = 2.946 > 2.68 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Hladina glukózy je statisticky vyšší než \(100\) mg/dL. Tento výsledek naznačuje, že populace má mírně zvýšenou hladinu glukózy, což může být podnět pro další vyšetření.

Závěr: Průměrná hladina glukózy se liší od \(100\) mg/dL.

Řešení příkladu:

1. Pooled podíl: \( \hat{p} = \frac{28+20}{40+35} = \frac{48}{75} = 0.64 \)

2. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n_1 + 1/n_2)} = \sqrt{0.64*0.36*(1/40 + 1/35)} \approx 0.111 \)

3. Testová statistika: \( z = \frac{0.7-0.571}{0.111} \approx 1.16 \)

4. Kritická hodnota dvoustranný test: \( z_{0.025} = 1.96 \)

5. Porovnání: \( |z| = 1.16 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

6. Interpretace: Přestože procento úspěšnosti vypadá rozdílně, statistický test ukazuje, že rozdíl není významný. Možné vysvětlení zahrnuje variabilitu ve vzorcích a velikost vzorku.

Závěr: Není statisticky významný rozdíl mezi metodami.

Řešení příkladu:

1. Testová statistika: \( t = \frac{4-0}{2.5/\sqrt{15}} = \frac{4}{0.6455} \approx 6.20 \)

2. Kritická hodnota: df = 14, jednostranný test, \( t_{0.01,14} \approx 2.624 \)

3. Porovnání: \( t = 6.20 > 2.624 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Program výrazně zvyšuje sílu sportovců. Vysoká hodnota t-statistiky ukazuje, že efekt není náhodný.

Závěr: Trénink má statisticky významný pozitivní efekt.

Řešení příkladu:

1. Testová statistika: \( t = \frac{-0.15-0}{0.12/\sqrt{20}} = \frac{-0.15}{0.0268} \approx -5.60 \)

2. Kritická hodnota: df = 19, jednostranný test, \( t_{0.05,19} \approx -1.729 \)

3. Porovnání: \( t = -5.60 < -1.729 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Kofein významně zkracuje reakční čas. Velká absolutní hodnota t-statistiky ukazuje silný efekt. Výsledek je statisticky i prakticky významný.

Závěr: Reakční čas se po kofeinu statisticky významně zkracuje.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 15 \), \( H_1: \mu \neq 15 \).

2. Výpočet testové statistiky: \( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{16.2-15}{1.8/\sqrt{20}} = \frac{1.2}{0.402} \approx 2.99 \).

3. Kritická hodnota pro dvoustranný test: df = \( n-1 = 19 \), \( t_{0.025,19} \approx 2.093 \).

4. Porovnání: \( |t| = 2.99 > 2.093 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Test ukazuje, že průměrná doba výroby se statisticky liší od deklarované hodnoty. Rozdíl \( 1.2 \, \text{min} \) je statisticky významný.

Závěr: Průměrná doba výroby součástky není \(15\) minut.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu_d = 0 \), \( H_1: \mu_d < 0 \).

2. Výpočet testové statistiky: \( t = \frac{\bar{d}-0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{-4}{3/\sqrt{25}} = \frac{-4}{0.6} \approx -6.67 \).

3. Kritická hodnota df = 24, jednostranný test, \( t_{0.01,24} \approx -2.492 \).

4. Porovnání: \( t = -6.67 < -2.492 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: S vysokou jistotou lze říci, že léčba snižuje krevní tlak. Hodnota \(t\) je velmi vzdálena kritické hodnotě, což potvrzuje silný efekt.

Závěr: Léčba je statisticky významně účinná.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 3 \), \( H_1: \mu \neq 3 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{2.7-3}{0.5/\sqrt{36}} = \frac{-0.3}{0.0833} \approx -3.60 \).

3. Kritická hodnota: df = 35, dvoustranný test, \( t_{0.025,35} \approx 2.030 \).

4. Porovnání: \( |t| = 3.60 > 2.030 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Průměrná doba doručení je statisticky nižší než deklarovaná hodnota \(3\) dny. Výsledek naznačuje, že doručování je rychlejší, než firma uvádí.

Závěr: Průměrná doba doručení je menší než \(3\) dny.

Řešení příkladu:

1. Welchův t-test: t = \( \frac{78-82}{\sqrt{5^2/15 + 6^2/18}} = \frac{-4}{\sqrt{1.667 + 2}} = \frac{-4}{1.921} \approx -2.08 \).

2. Přibližné df ≈ 28, kritická hodnota dvoustranně \( t_{0.025,28} \approx 2.048 \).

3. Porovnání: \( |t| = 2.08 > 2.048 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Rozdíl 4 bodů je statisticky významný. Test ukazuje, že skupiny mají odlišný průměrný výkon.

Závěr: Skupiny se statisticky liší.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.5 \), \( H_1: p \neq 0.5 \).

2. Výpočet podílu: \( \hat{p} = 62/100 = 0.62 \).

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.5*0.5/100} = 0.05 \).

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.62-0.5}{0.05} = 2.4 \).

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \).

6. Porovnání: \( |z| = 2.4 > 1.96 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

7. Interpretace: Podíl zákazníků, kteří preferují nový produkt, je statisticky vyšší než očekávaný. To může naznačovat úspěch nového produktu na trhu.

Závěr: Podíl zákazníků preferujících nový produkt je vyšší než \(50\) %.

Řešení příkladu:

1. Welchův t-test: t = \( \frac{0.35-0.38}{\sqrt{0.05^2/12 + 0.04^2/14}} = \frac{-0.03}{\sqrt{0.000208 + 0.000114}} = \frac{-0.03}{0.0183} \approx -1.64 \).

2. Přibližné df ≈ 22, kritická hodnota dvoustranně \( t_{0.025,22} \approx 2.074 \).

3. Porovnání: \( |t| = 1.64 < 2.074 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Rozdíl \(0.03\) s není statisticky významný, může být způsoben náhodnou variabilitou.

Závěr: Skupiny se neliší v průměrném čase reakce.

Řešení příkladu:

1. Testová statistika: \( t = \frac{7.2-7}{0.8/\sqrt{50}} = \frac{0.2}{0.1131} \approx 1.77 \).

2. Kritická hodnota: df = 49, dvoustranný test, \( t_{0.025,49} \approx 2.009 \).

3. Porovnání: \( |t| = 1.77 < 2.009 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Spotřeba benzínu je statisticky rovna očekávané hodnotě \(7 l/100\) km. Malý rozdíl \(0.2\) l není významný.

Závěr: Spotřeba je v souladu s očekáváním.

Řešení příkladu:

1. Pooled podíl: \( \hat{p} = \frac{28+30}{40+50} = \frac{58}{90} \approx 0.644 \).

2. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/n_1 + 1/n_2)} = \sqrt{0.644*0.356*(1/40 + 1/50)} \approx 0.101 \).

3. Testová statistika: \( z = \frac{0.7-0.6}{0.101} \approx 0.99 \).

4. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \).

5. Porovnání: \( |z| = 0.99 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

6. Interpretace: Rozdíl v úspěšnosti kampaní není statisticky významný.

Závěr: Kampaně nemají významně odlišný úspěch.

Řešení příkladu:

1. Testová statistika: \( t = \frac{5-0}{2/\sqrt{18}} = \frac{5}{0.471} \approx 10.61 \).

2. Kritická hodnota df = 17, jednostranný test, \( t_{0.01,17} \approx 2.567 \).

3. Porovnání: \( t = 10.61 > 2.567 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Trénink výrazně zvyšuje sílu sportovců. Efekt je velmi silný a statisticky významný.

Závěr: Trénink má pozitivní a významný efekt na sílu.

Řešení příkladu:

1. Testová statistika: \( t = \frac{42-45}{5/\sqrt{22}} = \frac{-3}{1.066} \approx -2.82 \).

2. Kritická hodnota df = 21, jednostranný test, \( t_{0.05,21} \approx -1.721 \).

3. Porovnání: \( t = -2.82 < -1.721 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Studenti dokončují test statisticky rychleji než očekávaná doba \(45\) minut. Výsledek je významný a naznačuje efektivitu nebo jednoduchost testu.

Závěr: Průměrný čas dokončení testu je nižší než \(45\) minut.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 500 \) – průměrná hmotnost odpovídá deklarované hodnotě.

\( H_1: \mu \neq 500 \) – průměrná hmotnost se liší od deklarované hodnoty.

2. Výpočet testové statistiky:

\( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{495-500}{8/\sqrt{30}} = \frac{-5}{1.461} \approx -3.42 \)

3. Stanovení kritické oblasti: df = \( n-1 = 29 \), dvoustranný test, kritické hodnoty \( t_{0.025,29} \approx 2.045 \).

4. Porovnání hodnoty testové statistiky s kritickou oblastí: \( |t| = 3.42 > 2.045 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace výsledku: Výsledek testu ukazuje, že průměrná hmotnost balení je statisticky významně nižší než deklarovaných \(500\) g. Rozdíl \(5\) g je malý, ale vzhledem k nízké variabilitě vzorku statisticky významný.

Závěr: Průměrná hmotnost balení není \(500\) g.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu_d = 0 \), \( H_1: \mu_d < 0 \).

2. Výpočet testové statistiky pro párový t-test:

\( t = \frac{\bar{d}-0}{s_d/\sqrt{n}} = \frac{-6}{4/\sqrt{20}} = \frac{-6}{0.894} \approx -6.71 \)

3. Kritická hodnota: df = \( n-1 = 19 \), jednostranný test, \( t_{0.01,19} \approx -2.539 \).

4. Porovnání: \( t = -6.71 < -2.539 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Lékařský zásah snižuje krevní tlak statisticky významně. Hodnota t je výrazně pod kritickou hranicí, což znamená silný efekt.

Závěr: Lék má významný hypotenzní efekt.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 7 \), \( H_1: \mu \neq 7 \).

2. Výpočet t-statistiky: \( t = \frac{6.5-7}{0.8/\sqrt{25}} = \frac{-0.5}{0.16} \approx -3.125 \)

3. Kritická hodnota: df = 24, dvoustranný test, \( t_{0.025,24} \approx 2.064 \).

4. Porovnání: \( |t| = 3.125 > 2.064 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Studenti spí statisticky méně než \(7\) hodin. Rozdíl je významný a naznačuje nedostatek spánku.

Závěr: Průměrná doba spánku je statisticky nižší než \(7\) hodin.

Řešení příkladu:

1. Použijeme Welchův t-test (nerovné směrodatné odchylky):

t = \( \frac{85-80}{\sqrt{6^2/20 + 5^2/22}} = \frac{5}{\sqrt{1.8 + 1.136}} = \frac{5}{1.606} \approx 3.11 \)

2. Přibližné df ≈ 37, kritická hodnota dvoustranně \( t_{0.025,37} \approx 2.026 \).

3. Porovnání: \( |t| = 3.11 > 2.026 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Výsledky ukazují, že průměrné výsledky studentů u učitele A jsou statisticky vyšší než u učitele B. Rozdíl \(5\) bodů je významný.

Závěr: Průměrné skóre se liší mezi učiteli.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.5 \), \( H_1: p \neq 0.5 \).

2. Výpočet podílu: \( \hat{p} = 90/150 = 0.6 \).

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.5*0.5/150} = 0.0408 \).

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.6-0.5}{0.0408} \approx 2.45 \).

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \).

6. Porovnání: \( |z| = 2.45 > 1.96 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

7. Interpretace: Podíl zákazníků nakupujících online je statisticky vyšší než \(50\) %. Marketingová strategie je účinná.

Závěr: Online nákupy jsou preferovanější než polovina zákazníků.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 7 \), \( H_1: \mu \neq 7 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{6.8-7}{0.5/\sqrt{25}} = \frac{-0.2}{0.1} = -2.0 \).

3. Kritická hodnota: df = 24, dvoustranný test, \( t_{0.025,24} \approx 2.064 \).

4. Porovnání: \( |t| = 2.0 < 2.064 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Spotřeba se statisticky neliší od očekávané hodnoty \(7 l/100\)km. Malý rozdíl \(0.2\) l není významný.

Závěr: Spotřeba je v souladu s očekáváním.

Řešení příkladu:

1. Welchův t-test: t = \( \frac{0.32-0.35}{\sqrt{0.04^2/12 + 0.05^2/14}} = \frac{-0.03}{\sqrt{0.000133+0.000179}} = \frac{-0.03}{0.018} \approx -1.67 \)

2. Přibližné df ≈ 23, kritická hodnota dvoustranně \( t_{0.025,23} \approx 2.069 \).

3. Porovnání: \( |t| = 1.67 < 2.069 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Rozdíl \(0.03\) s není statisticky významný. Skupiny mají podobný průměrný čas reakce.

Závěr: Čas reakce mezi skupinami se neliší.

Řešení příkladu:

1. Welchův t-test: t = \( \frac{78-75}{\sqrt{5^2/18 + 6^2/20}} = \frac{3}{\sqrt{1.389 + 1.8}} = \frac{3}{1.833} \approx 1.64 \)

2. Přibližné df ≈ 34, kritická hodnota dvoustranně \( t_{0.025,34} \approx 2.032 \).

3. Porovnání: \( |t| = 1.64 < 2.032 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Rozdíl \(3\) bodů není statisticky významný. Známky tříd se statisticky neliší.

Závěr: Průměrné známky jsou srovnatelné.

Řešení příkladu:

1. Testová statistika: \( t = \frac{2.5-0}{1.2/\sqrt{16}} = \frac{2.5}{0.3} \approx 8.33 \)

2. Kritická hodnota df = 15, jednostranný test, \( t_{0.01,15} \approx 2.602 \).

3. Porovnání: \( t = 8.33 > 2.602 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Program cvičení má statisticky významný efekt na ztrátu váhy. Hodnota t je výrazně nad kritickou hranicí.

Závěr: Cvičební program je účinný.

Řešení příkladu:

1. Testová statistika: \( t = \frac{4.2-5}{1.5/\sqrt{30}} = \frac{-0.8}{0.274} \approx -2.92 \)

2. Kritická hodnota: df = 29, dvoustranný test, \( t_{0.025,29} \approx 2.045 \).

3. Porovnání: \( |t| = 2.92 > 2.045 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Studenti dělají statisticky méně chyb než očekávaných \(5\). Rozdíl \(0.8\) chyby je statisticky významný.

Závěr: Průměrný počet chyb je nižší než očekávaná hodnota \(5\).

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 120 \) – průměrná délka procesu odpovídá deklarované hodnotě.

\( H_1: \mu \neq 120 \) – průměrná délka procesu se liší od deklarované hodnoty.

2. Výpočet testové statistiky:

Testová statistika t se počítá podle vzorce:

\( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{125-120}{10/\sqrt{25}} = \frac{5}{2} = 2.5 \)

3. Stanovení kritické oblasti:

Stupně volnosti: \( df = n-1 = 24 \).

Kritická hodnota dvoustranného testu pro \( \alpha = 0.05 \): \( t_{0.025,24} \approx 2.064 \).

4. Porovnání s kritickou hodnotou:

\( |t| = 2.5 > 2.064 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace:

Průměrná délka výrobního procesu je statisticky významně vyšší než deklarovaných \(120\) minut. I když rozdíl \(5\) minut nemusí být velký z praktického hlediska, statisticky se jedná o významný odchyl.

Závěr: Průměrná délka výroby se liší od deklarované hodnoty \(120\) minut.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy:

\( H_0: \mu = 10 \) – lék nemá vyšší účinek než očekávaný.

\( H_1: \mu > 10 \) – lék zvyšuje redukci cholesterolu nad očekávanou hodnotu.

2. Výpočet testové statistiky:

\( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{15-10}{5/\sqrt{30}} = \frac{5}{0.9129} \approx 5.48 \)

3. Kritická hodnota pro jednostranný test df = 29, \( t_{0.01,29} \approx 2.462 \).

4. Porovnání: \( t = 5.48 > 2.462 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace:

Lék statisticky významně zvyšuje redukci cholesterolu. Hodnota t je více než dvojnásobná oproti kritické hodnotě, což naznačuje silný efekt.

Závěr: Nový lék je účinnější než očekávaná redukce cholesterolu \(10\) mg/dl.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 4 \), \( H_1: \mu \neq 4 \).

2. Výpočet t-statistiky:

\( t = \frac{3.8-4}{0.9/\sqrt{40}} = \frac{-0.2}{0.1423} \approx -1.406 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně df = 39, \( t_{0.025,39} \approx 2.022 \).

4. Porovnání: \( |t| = 1.406 < 2.022 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace:

Rozdíl \(0.2\) hodiny není statisticky významný. Průměrný čas strávený přípravou se prakticky neliší od očekávané hodnoty \(4\) hodiny.

Závěr: Průměrný čas přípravy je přibližně \(4\) hodiny.

Řešení příkladu:

1. Použijeme Welchův t-test:

\( t = \frac{70-65}{\sqrt{5^2/15 + 6^2/18}} = \frac{5}{\sqrt{1.667 + 2}} = \frac{5}{1.921} \approx 2.60 \)

2. Přibližné df ≈ 29, kritická hodnota dvoustranně \( t_{0.025,29} \approx 2.045 \).

3. Porovnání: \( |t| = 2.60 > 2.045 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Průměrné hodnoty u skupin se statisticky liší. Rozdíl \(5\) jednotek je významný.

Závěr: Skupiny se liší v měřené hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.5 \), \( H_1: p \neq 0.5 \).

2. Výpočet vzorkového podílu: \( \hat{p} = 78/120 = 0.65 \).

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{p_0(1-p_0)/n} = \sqrt{0.5*0.5/120} \approx 0.0456 \).

4. Testová statistika: \( z = \frac{\hat{p}-p_0}{SE} = \frac{0.65-0.5}{0.0456} \approx 3.29 \).

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \).

6. Porovnání: \( |z| = 3.29 > 1.96 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

7. Interpretace: Podíl zákazníků preferujících nový produkt je statisticky vyšší než \(50\) %. Marketingová strategie je efektivní.

Závěr: Nový produkt preferuje více než polovina zákazníků.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 130 \), \( H_1: \mu > 130 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{132-130}{8/\sqrt{20}} = \frac{2}{1.789} \approx 1.12 \).

3. Kritická hodnota df = \(19\), jednostranný test: \( t_{0.05,19} \approx 1.729 \).

4. Porovnání: \( t = 1.12 < 1.729 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Přestože průměrný krevní tlak je vyšší než \(130\), rozdíl není statisticky významný. Nelze spolehlivě tvrdit, že lék zvyšuje krevní tlak.

Závěr: Průměrný krevní tlak není statisticky vyšší než \(130\) mmHg.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 8 \), \( H_1: \mu \neq 8 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{8.2-8}{1.1/\sqrt{25}} = \frac{0.2}{0.22} \approx 0.91 \).

3. Kritická hodnota dvoustranně df = 24, \( t_{0.025,24} \approx 2.064 \).

4. Porovnání: \( |t| = 0.91 < 2.064 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Rozdíl \(0.2\) je malý a statisticky nevýznamný. Koncentrace vzorků odpovídá očekávané hodnotě \(8\).

Závěr: Průměrná koncentrace látky je v souladu s očekáváním.

Řešení příkladu:

1. Welchův t-test:

\( t = \frac{85-80}{\sqrt{4^2/15 + 5^2/15}} = \frac{5}{\sqrt{1.067 + 1.667}} = \frac{5}{1.666} \approx 3.0 \)

2. Přibližné df ≈ 27, kritická hodnota dvoustranně \( t_{0.025,27} \approx 2.052 \).

3. Porovnání: \( |t| = 3.0 > 2.052 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Program zlepšil průměrné skóre studentů o \(5\) bodů, což je statisticky významné. Rozdíl není náhodný.

Závěr: Studijní program má významný efekt na výsledky studentů.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 45 \), \( H_1: \mu < 45 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{42-45}{6/\sqrt{18}} = \frac{-3}{1.414} \approx -2.12 \).

3. Kritická hodnota df = 17, jednostranný test: \( t_{0.05,17} \approx -1.740 \).

4. Porovnání: \( t = -2.12 < -1.740 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Studenti dokončují úkol statisticky rychleji než očekávaných \(45\) minut. Rozdíl \(3\) minuty je významný vzhledem k variabilitě.

Závěr: Průměrná doba dokončení úkolu je nižší než očekávaná \(45\) minut.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.7 \), \( H_1: p \neq 0.7 \).

2. Výpočet vzorkového podílu: \( \hat{p} = 72/100 = 0.72 \).

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.7*0.3/100} = \sqrt{0.0021} \approx 0.0458 \).

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.72-0.7}{0.0458} \approx 0.437 \).

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \).

6. Porovnání: \( |z| = 0.437 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

7. Interpretace: Podíl spokojených zákazníků je statisticky srovnatelný s očekávanou hodnotou \(70\) %.

Závěr: Spokojenost zákazníků odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 33 \) – průměrná doba dojezdu odpovídá očekávané hodnotě.

\( H_1: \mu \neq 33 \) – průměrná doba dojezdu se liší od očekávané hodnoty.

2. Výpočet testové statistiky:

\( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{35-33}{5/\sqrt{30}} = \frac{2}{0.9129} \approx 2.19 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 29: \( t_{0.025,29} \approx 2.045 \).

4. Porovnání: \( |t| = 2.19 > 2.045 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace:

Průměrná doba dojezdu je statisticky významně vyšší než očekávaných \(33\) minut. I když rozdíl \(2\) minuty není dramatický, je statisticky významný vzhledem k variabilitě vzorku.

Závěr: Doba dojezdu zaměstnanců se statisticky liší od očekávané hodnoty.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 1150 \), \( H_1: \mu > 1150 \).

2. Výpočet testové statistiky: \( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{1200-1150}{150/\sqrt{50}} = \frac{50}{21.213} \approx 2.36 \)

3. Kritická hodnota df = \(49\), jednostranný test \( \alpha = 0.01 \), \( t_{0.01,49} \approx 2.403 \).

4. Porovnání: \( t = 2.36 < 2.403 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace:

Přestože průměrná útrata je vyšší než očekávaných 1150 Kč, rozdíl není statisticky významný při hladině významnosti 1%. Rozdíl může být způsoben náhodnou variabilitou.

Závěr: Průměrná útrata zákazníků statisticky odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Použití Welchova t-testu:

\( t = \frac{88-82}{\sqrt{6^2/22 + 7^2/25}} = \frac{6}{\sqrt{1.636 + 1.96}} = \frac{6}{1.946} \approx 3.08 \)

2. Přibližné df ≈ 43, kritická hodnota dvoustranně \( t_{0.025,43} \approx 2.016 \).

3. Porovnání: \( |t| = 3.08 > 2.016 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Rozdíl \(6\) bodů mezi průměry skupin je statisticky významný. Skupina A dosahuje vyšších výsledků než skupina B.

Závěr: Výsledky testu potvrzují, že skupiny se liší.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 40 \), \( H_1: \mu < 40 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{38.5-40}{2.5/\sqrt{40}} = \frac{-1.5}{0.395} \approx -3.80 \)

3. Kritická hodnota df = 39, jednostranný test: \( t_{0.05,39} \approx -1.685 \).

4. Porovnání: \( t = -3.80 < -1.685 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Průměrná pracovní doba je statisticky významně nižší než očekávaných \(40\) hodin. Rozdíl \(1.5\) hodiny je významný vzhledem k variabilitě.

Závěr: Zaměstnanci pracují méně než očekávaných \(40\) hodin týdně.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.7 \), \( H_1: p \neq 0.7 \).

2. Výpočet vzorkového podílu: \( \hat{p} = 142/200 = 0.71 \).

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.7*0.3/200} = \sqrt{0.00105} \approx 0.0324 \).

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.71-0.7}{0.0324} \approx 0.309 \).

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \).

6. Porovnání: \( |z| = 0.309 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

7. Interpretace: Podíl spokojených zákazníků se statisticky neliší od očekávané hodnoty \(70\) %. Rozdíl \(1\) % je malý a nevýznamný.

Závěr: Spokojenost zákazníků odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 30 \), \( H_1: \mu < 30 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{28-30}{4/\sqrt{35}} = \frac{-2}{0.676} \approx -2.96 \).

3. Kritická hodnota df = 34, jednostranný test: \( t_{0.05,34} \approx -1.691 \).

4. Porovnání: \( t = -2.96 < -1.691 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Průměrná doba dojezdu je statisticky významně nižší než očekávaných \(30\) minut.

Závěr: Zaměstnanci dojíždějí rychleji než očekávané \(30\) minut.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 1000 \), \( H_1: \mu \neq 1000 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{950-1000}{120/\sqrt{50}} = \frac{-50}{16.97} \approx -2.95 \).

3. Kritická hodnota df = 49, dvoustranný test: \( t_{0.025,49} \approx 2.009 \).

4. Porovnání: \( |t| = 2.95 > 2.009 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Průměrná útrata je statisticky významně nižší než očekávaných \(1000\) Kč. Rozdíl \(50\) Kč je významný vzhledem k variabilitě.

Závěr: Zákazníci utrácejí méně, než se očekávalo.

Řešení příkladu:

1. Welchův t-test: \( t = \frac{76-72}{\sqrt{5^2/18 + 6^2/20}} = \frac{4}{\sqrt{1.389 + 1.8}} = \frac{4}{1.833} \approx 2.18 \)

2. Přibližné df ≈ 34, kritická hodnota dvoustranně: \( t_{0.025,34} \approx 2.032 \).

3. Porovnání: \( |t| = 2.18 > 2.032 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

4. Interpretace: Skupina A má statisticky vyšší průměr než skupina B. Rozdíl \(4\) body je významný.

Závěr: Skupiny se liší v měřené hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 80 \), \( H_1: \mu > 80 \).

2. Testová statistika: \( t = \frac{82-80}{6/\sqrt{30}} = \frac{2}{1.095} \approx 1.83 \).

3. Kritická hodnota df = 29, jednostranný test: \( t_{0.05,29} \approx 1.699 \).

4. Porovnání: \( t = 1.83 > 1.699 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \).

5. Interpretace: Průměrná známka je statisticky vyšší než očekávaných \(80\). Rozdíl \(2\) body je významný vzhledem k variabilitě.

Závěr: Studenti dosáhli vyššího průměru než očekávaného.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: p = 0.7 \), \( H_1: p \neq 0.7 \).

2. Vzorkový podíl: \( \hat{p} = 45/60 = 0.75 \).

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.7*0.3/60} = \sqrt{0.0035} \approx 0.0592 \).

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.75-0.7}{0.0592} \approx 0.844 \).

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \).

6. Porovnání: \( |z| = 0.844 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

7. Interpretace: Podíl spokojených zákazníků je statisticky srovnatelný s očekávanou hodnotou \(70\) %. Rozdíl \(5\) % není významný.

Závěr: Spokojenost zákazníků odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: p = 0.6 \) – podíl spokojených zaměstnanců odpovídá očekávání.

\( H_1: p \neq 0.6 \) – podíl spokojených zaměstnanců se liší od očekávané hodnoty.

2. Výpočet vzorkového podílu: \( \hat{p} = 28/40 = 0.7 \).

3. Standardní chyba podílu: \( SE = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0.6*0.4}{40}} = \sqrt{0.006} \approx 0.07746 \).

4. Testová statistika: \( z = \frac{\hat{p}-p_0}{SE} = \frac{0.7-0.6}{0.07746} \approx 1.29 \).

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \).

6. Porovnání a rozhodnutí: \( |z| = 1.29 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \).

7. Interpretace: Podíl spokojených zaměstnanců je vyšší než očekávaných \(60\) %, ale rozdíl není statisticky významný. Rozdíl může být způsoben náhodou vzorku.

Závěr: Podíl spokojených zaměstnanců odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy:

\( H_0: \mu = 5 \)

\( H_1: \mu \neq 5 \)

2. Výpočet testové statistiky: \( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{5.3-5}{0.8/\sqrt{25}} = \frac{0.3}{0.16} \approx 1.875 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 24: \( t_{0.025,24} \approx 2.064 \)

4. Porovnání: \( |t| = 1.875 < 2.064 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná koncentrace je mírně vyšší než očekávaných \(5\), ale rozdíl není statisticky významný. Výsledek může být způsoben variabilitou vzorku.

Závěr: Koncentrace vzorků je statisticky v souladu s očekávanou hodnotou \(5\).

Řešení příkladu:

1. Použijeme Welchův t-test pro nerovné rozptyly:

\( t = \frac{78-74}{\sqrt{5^2/20 + 6^2/22}} = \frac{4}{\sqrt{1.25 + 1.636}} = \frac{4}{1.816} \approx 2.20 \)

2. Přibližné \(df ≈ 38\), kritická hodnota dvoustranně: \( t_{0.025,38} \approx 2.024 \)

3. Porovnání: \( |t| = 2.20 > 2.024 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Průměr skupiny A je statisticky významně vyšší než skupiny B. Rozdíl \(4\) body je významný vzhledem k rozptylu.

Závěr: Skupiny se statisticky liší ve výsledcích.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy:

\( H_0: \mu = 45 \)

\( H_1: \mu < 45 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{42-45}{4/\sqrt{30}} = \frac{-3}{0.730} \approx -4.11 \)

3. Kritická hodnota df = 29, jednostranný test: \( t_{0.05,29} \approx -1.699 \)

4. Porovnání: \( t = -4.11 < -1.699 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná doba dokončení úkolu je statisticky významně nižší než očekávaných \(45\) minut. Rozdíl 3 minuty je relevantní vzhledem k rozptylu.

Závěr: Studenti dokončují úkoly rychleji než očekávaných \(45\) minut.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: p = 0.65 \), \( H_1: p \neq 0.65 \)

2. Výpočet vzorkového podílu: \( \hat{p} = 105/150 = 0.7 \)

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.65*0.35/150} = \sqrt{0.001517} \approx 0.03896 \)

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.7-0.65}{0.03896} \approx 1.28 \)

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \)

6. Porovnání: \( |z| = 1.28 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

7. Interpretace: Podíl spokojených zákazníků je mírně vyšší než očekávaných \(65\) %, ale rozdíl není statisticky významný. Rozdíl může být způsoben náhodou vzorku.

Závěr: Spokojenost zákazníků odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 50 \)

\( H_1: \mu \neq 50 \)

2. Výpočet testové statistiky: \( t = \frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}} = \frac{52-50}{8/\sqrt{36}} = \frac{2}{1.333} \approx 1.5 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 35: \( t_{0.025,35} \approx 2.030 \)

4. Porovnání: \( |t| = 1.5 < 2.030 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrný počet prodaných výrobků je vyšší než očekávaných \(50\), ale rozdíl není statisticky významný. Rozptyl vzorku ukazuje, že rozdíl \(2\) výrobky může být způsoben náhodou.

Závěr: Průměrný počet prodaných výrobků statisticky odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Použití Welchova t-testu pro nerovné rozptyly:

\( t = \frac{23.5-21}{\sqrt{2^2/15 + 2.5^2/18}} = \frac{2.5}{\sqrt{0.267 + 0.347}} = \frac{2.5}{0.789} \approx 3.17 \)

2. Přibližné df ≈ 30, kritická hodnota dvoustranně: \( t_{0.025,30} \approx 2.042 \)

3. Porovnání: \( |t| = 3.17 > 2.042 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Skupina A dosahuje statisticky významně vyšších výsledků než skupina B. Rozdíl \(2.5\) bodu je významný vzhledem k variabilitě obou skupin.

Závěr: Skupiny se statisticky liší ve výsledcích sportovního testu.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 97.5 \)

\( H_1: \mu \neq 97.5 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{98.3-97.5}{1.2/\sqrt{20}} = \frac{0.8}{0.268} \approx 2.99 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 19, \( \alpha = 0.01 \): \( t_{0.005,19} \approx 2.861 \)

4. Porovnání: \( |t| = 2.99 > 2.861 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná teplota reakce je statisticky významně vyšší než očekávaných \(97.5\). Rozdíl \(0.8\) je významný vzhledem k malé variabilitě vzorku.

Závěr: Reakce probíhá při vyšší průměrné teplotě než očekávané.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 15 \), \( H_1: \mu < 15 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{14-15}{3/\sqrt{50}} = \frac{-1}{0.424} \approx -2.36 \)

3. Kritická hodnota df = 49, jednostranný test: \( t_{0.05,49} \approx -1.676 \)

4. Porovnání: \( t = -2.36 < -1.676 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Studenti studují statisticky méně než očekávaných \(15\) hodin týdně. Rozdíl \(1\) hodina je významný vzhledem k variabilitě vzorku.

Závěr: Studenti studují méně, než bylo očekáváno.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: p = 0.75 \), \( H_1: p \neq 0.75 \)

2. Vzorkový podíl: \( \hat{p} = 72/100 = 0.72 \)

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{\frac{0.75*0.25}{100}} = \sqrt{0.001875} \approx 0.0433 \)

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.72-0.75}{0.0433} = \frac{-0.03}{0.0433} \approx -0.692 \)

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \)

6. Porovnání: \( |z| = 0.692 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

7. Interpretace: Podíl spokojených zákazníků je mírně nižší než očekávaných \(75\) %, ale rozdíl není statisticky významný. Rozdíl \(3\) % může být způsoben náhodou vzorku.

Závěr: Spokojenost zákazníků statisticky odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: p = 0.65 \) – podíl spokojených zaměstnanců odpovídá očekávání.

\( H_1: p \neq 0.65 \) – podíl se liší od očekávané hodnoty.

2. Výpočet vzorkového podílu: \( \hat{p} = 30/45 = 0.6667 \)

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{\frac{0.65*0.35}{45}} = \sqrt{0.00506} \approx 0.0711 \)

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.6667-0.65}{0.0711} = \frac{0.0167}{0.0711} \approx 0.235 \)

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \)

6. Porovnání: \( |z| = 0.235 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

7. Interpretace: Podíl spokojených zaměstnanců je mírně vyšší než očekávaných \(65\) %, ale rozdíl není statisticky významný. Tento výsledek může být způsoben náhodnou variabilitou vzorku.

Závěr: Podíl spokojených zaměstnanců odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 0.5 \)

\( H_1: \mu \neq 0.5 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{0.54-0.5}{0.08/\sqrt{28}} = \frac{0.04}{0.0151} \approx 2.65 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 27, \( \alpha = 0.01 \): \( t_{0.005,27} \approx 2.771 \)

4. Porovnání: \( |t| = 2.65 < 2.771 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná doba reakce je mírně vyšší než očekávaných \(0.5\) s, ale rozdíl není statisticky významný při hladině významnosti \(1\) %. Vlivem variabilního vzorku může být pozorovaný rozdíl náhodný.

Závěr: Doba reakce odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Použití Welchova t-testu:

\( t = \frac{87-83}{\sqrt{5^2/25 + 6^2/28}} = \frac{4}{\sqrt{1+1.286}} = \frac{4}{1.514} \approx 2.64 \)

2. Přibližné \(df ≈ 49\), kritická hodnota dvoustranně: \( t_{0.025,49} \approx 2.009 \)

3. Porovnání: \( |t| = 2.64 > 2.009 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Třída A má statisticky významně vyšší průměr než třída B. Rozdíl \(4\) body je relevantní vzhledem k rozptylu.

Závěr: Třídy se statisticky liší ve výsledcích testu.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 7 \), \( H_1: \mu < 7 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{6.8-7}{0.5/\sqrt{32}} = \frac{-0.2}{0.0884} \approx -2.26 \)

3. Kritická hodnota df = 31, jednostranný test: \( t_{0.05,31} \approx -1.695 \)

4. Porovnání: \( t = -2.26 < -1.695 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná spotřeba je statisticky významně nižší než očekávaných \(7 l/100\) km. Rozdíl \(0.2\) l je významný vzhledem k malé variabilitě vzorku.

Závěr: Vozidla mají spotřebu nižší než očekávanou.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: p = 0.7 \), \( H_1: p \neq 0.7 \)

2. Vzorkový podíl: \( \hat{p} = 84/120 = 0.7 \)

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.7*0.3/120} = \sqrt{0.00175} \approx 0.0418 \)

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.7-0.7}{0.0418} = 0 \)

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \)

6. Porovnání: \( |z| = 0 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

7. Interpretace: Podíl spokojených zákazníků přesně odpovídá očekávané hodnotě \(70\) %, žádný rozdíl není statisticky významný.

Závěr: Spokojenost zákazníků odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz:

\( H_0: \mu = 5.0 \)

\( H_1: \mu \neq 5.0 \)

2. Výpočet testové statistiky:

\( t = \frac{5.6-5.0}{0.7/\sqrt{40}} = \frac{0.6}{0.1107} \approx 5.42 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 39: \( t_{0.025,39} \approx 2.022 \)

4. Porovnání: \( |t| = 5.42 > 2.022 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná hladina glukózy je statisticky významně vyšší než očekávaných \(5\) mmol/l. Rozdíl \(0.6\) mmol/l je významný vzhledem k malé variabilitě vzorku.

Závěr: Hladina glukózy je vyšší než očekávaná.

Řešení příkladu:

1. Použití Welchova t-testu:

\( t = \frac{75-70}{\sqrt{6^2/18 + 5^2/20}} = \frac{5}{\sqrt{2 + 1.25}} = \frac{5}{1.802} \approx 2.77 \)

2. Přibližné df ≈ 34, kritická hodnota dvoustranně: \( t_{0.025,34} \approx 2.032 \)

3. Porovnání: \( |t| = 2.77 > 2.032 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Skupina A má statisticky významně vyšší průměr než skupina B. Rozdíl \(5\) bodů je významný vzhledem k rozptylu.

Závěr: Metoda A vede k lepším výsledkům než metoda B.

Řešení příkladu:

1. Hypotézy: \( H_0: \mu = 50 \), \( H_1: \mu < 50 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{48-50}{6/\sqrt{35}} = \frac{-2}{1.014} \approx -1.97 \)

3. Kritická hodnota df = 34, jednostranný test: \( t_{0.05,34} \approx -1.690 \)

4. Porovnání: \( t = -1.97 < -1.690 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná doba dokončení úkolu je statisticky významně nižší než očekávaných \(50\) minut. Rozdíl \(2\) minuty je významný vzhledem k rozptylu vzorku.

Závěr: Studenti dokončují úkoly rychleji než očekávaných \(50\) minut.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: p = 0.8 \), \( H_1: p \neq 0.8 \)

2. Vzorkový podíl: \( \hat{p} = 160/200 = 0.8 \)

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.8*0.2/200} = \sqrt{0.0008} \approx 0.02828 \)

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.8-0.8}{0.02828} = 0 \)

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \)

6. Porovnání: \( |z| = 0 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

7. Interpretace: Podíl spokojených zákazníků přesně odpovídá očekávané hodnotě \(80\) %. Žádný rozdíl není statisticky významný.

Závěr: Spokojenost zákazníků odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 4.0 \), \( H_1: \mu \neq 4.0 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{4.2-4.0}{0.5/\sqrt{30}} = \frac{0.2}{0.0913} \approx 2.19 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 29, \( \alpha = 0.01 \): \( t_{0.005,29} \approx 2.756 \)

4. Porovnání: \( |t| = 2.19 < 2.756 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná koncentrace je mírně vyšší než očekávaných \(4.0\), ale rozdíl není statisticky významný při hladině významnosti \(1\) %. Rozdíl může být způsoben variabilitou vzorku.

Závěr: Koncentrace odpovídá očekávané hodnotě \(4.0\).

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 7 \), \( H_1: \mu < 7 \)

2. Výpočet testové statistiky: \( t = \frac{6.9-7}{0.8/\sqrt{50}} = \frac{-0.1}{0.1131} \approx -0.884 \)

3. Kritická hodnota jednostranně, df = 49: \( t_{0.05,49} \approx -1.677 \)

4. Porovnání: \( t = -0.884 > -1.677 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná doba spánku je mírně nižší než očekávaných \(7\) hodin, ale rozdíl není statisticky významný. Rozdíl \(0.1\) hodiny může být způsoben náhodnou variabilitou vzorku.

Závěr: Průměrná doba spánku studentů odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Použití Welchova t-testu:

\( t = \frac{320-300}{\sqrt{20^2/16 + 25^2/18}} = \frac{20}{\sqrt{25 + 34.72}} = \frac{20}{7.91} \approx 2.53 \)

2. Přibližné \(df ≈ 30\), kritická hodnota dvoustranně: \( t_{0.025,30} \approx 2.042 \)

3. Porovnání: \( |t| = 2.53 > 2.042 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Výnos plodin při použití hnojiva A je statisticky významně vyšší než při použití hnojiva B. Rozdíl \(20\) jednotek je významný vzhledem k variabilitě.

Závěr: Hnojivo A je efektivnější než hnojivo B.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 36 \), \( H_1: \mu < 36 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{35-36}{5/\sqrt{40}} = \frac{-1}{0.791} \approx -1.264 \)

3. Kritická hodnota jednostranně, df = 39: \( t_{0.05,39} \approx -1.685 \)

4. Porovnání: \( t = -1.264 > -1.685 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná doba jízdy je mírně nižší než očekávaných \(36\) minut, ale rozdíl není statisticky významný. Rozdíl \(1\) minuta může být způsoben náhodnou variabilitou vzorku.

Závěr: Průměrná doba jízdy odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: p = 0.75 \), \( H_1: p \neq 0.75 \)

2. Vzorkový podíl: \( \hat{p} = 120/150 = 0.8 \)

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.75*0.25/150} = \sqrt{0.00125} \approx 0.03536 \)

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.8-0.75}{0.03536} = \frac{0.05}{0.03536} \approx 1.41 \)

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \)

6. Porovnání: \( |z| = 1.41 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

7. Interpretace: Podíl spokojených uživatelů je mírně vyšší než očekávaných \(75\) %, ale rozdíl není statisticky významný. Mírný rozdíl může být způsoben náhodou.

Závěr: Spokojenost uživatelů odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 7 \), \( H_1: \mu \neq 7 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{7.2-7}{0.9/\sqrt{60}} = \frac{0.2}{0.1161} \approx 1.72 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 59, \( \alpha = 0.01 \): \( t_{0.005,59} \approx 2.660 \)

4. Porovnání: \( |t| = 1.72 < 2.660 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná doba spánku je mírně vyšší než očekávaných \(7\) hodin, ale rozdíl není statisticky významný při hladině významnosti \(1\) %. Rozdíl \(0.2\) hodiny může být způsoben variabilitou vzorku.

Závěr: Průměrná doba spánku dospělých odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 13 \), \( H_1: \mu < 13 \)

2. Výpočet testové statistiky: \( t = \frac{12.8-13}{1.2/\sqrt{25}} = \frac{-0.2}{0.24} \approx -0.833 \)

3. Kritická hodnota jednostranně, \(df = 24\): \( t_{0.05,24} \approx -1.711 \)

4. Porovnání: \( t = -0.833 > -1.711 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná rychlost běžců je mírně nižší než očekávaných \(13\) km/h, ale rozdíl není statisticky významný. Rozdíl \(0.2\) km/h může být způsoben náhodnou variabilitou vzorku.

Závěr: Průměrná rychlost běžců odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Použití Welchova t-testu:

\( t = \frac{2.5-1.9}{\sqrt{0.6^2/22 + 0.5^2/20}} = \frac{0.6}{\sqrt{0.01636 + 0.0125}} = \frac{0.6}{0.1797} \approx 3.34 \)

2. Přibližné df ≈ 38, kritická hodnota dvoustranně: \( t_{0.025,38} \approx 2.024 \)

3. Porovnání: \( |t| = 3.34 > 2.024 \Rightarrow \) zamítáme \( H_0 \)

4. Interpretace: Skupina A dosáhla statisticky významně vyššího úbytku hmotnosti než skupina B. Rozdíl \(0.6\) kg je významný vzhledem k variabilitě vzorku.

Závěr: Dieta A je účinnější než dieta B.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 5.0 \), \( H_1: \mu \neq 5.0 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{5.1-5.0}{0.4/\sqrt{30}} = \frac{0.1}{0.0730} \approx 1.37 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 29: \( t_{0.025,29} \approx 2.045 \)

4. Porovnání: \( |t| = 1.37 < 2.045 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrná hladina cholesterolu je mírně vyšší než očekávaných \(5.0\) mmol/l, ale rozdíl není statisticky významný. Rozdíl \(0.1\) mmol/l může být způsoben variabilitou vzorku.

Závěr: Hladina cholesterolu odpovídá očekávané hodnotě.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: p = 0.8 \), \( H_1: p \neq 0.8 \)

2. Vzorkový podíl: \( \hat{p} = 85/100 = 0.85 \)

3. Standardní chyba: \( SE = \sqrt{0.8*0.2/100} = \sqrt{0.0016} \approx 0.04 \)

4. Testová statistika: \( z = \frac{0.85-0.8}{0.04} = \frac{0.05}{0.04} = 1.25 \)

5. Kritická hodnota dvoustranně: \( z_{0.025} = 1.96 \)

6. Porovnání: \( |z| = 1.25 < 1.96 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

7. Interpretace: Podíl spokojených uživatelů je mírně vyšší než očekávaných \(80\) %, ale rozdíl není statisticky významný. Rozdíl může být způsoben náhodnou variabilitou vzorku.

Závěr: Spokojenost uživatelů odpovídá očekávání.

Řešení příkladu:

1. Formulace hypotéz: \( H_0: \mu = 120 \), \( H_1: \mu \neq 120 \)

2. Testová statistika: \( t = \frac{121-120}{8/\sqrt{36}} = \frac{1}{1.333} \approx 0.75 \)

3. Kritická hodnota dvoustranně, df = 35, \( \alpha = 0.01 \): \( t_{0.005,35} \approx 2.724 \)

4. Porovnání: \( |t| = 0.75 < 2.724 \Rightarrow \) nezamítáme \( H_0 \)

5. Interpretace: Průměrný krevní tlak je mírně vyšší než očekávaných \(120\) mmHg, ale rozdíl není statisticky významný při hladině významnosti \(1\) %. Rozdíl \(1\) mmHg je v rámci náhodné variability vzorku.

Závěr: Průměrný krevní tlak odpovídá očekávané hodnotě.