Střední hodnota

Řešení příkladu:

Střední hodnota náhodné veličiny \( X \) se definuje jako \( \mathbb{E}[X] = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \).

Dosadíme hodnoty:
\( \mathbb{E}[X] = 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}2 + 3 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}4 \)
\( = 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}9 + 1{,}6 = 3{,}0 \)

Výsledek: Střední hodnota je \( \mathbb{E}[X] = 3{,}0 \).

Řešení příkladu:

Střední hodnota spojité náhodné veličiny se počítá podle vzorce:
\( \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \).

Zde:
\( \mathbb{E}[X] = \int_0^1 x \cdot 2x \, dx = \int_0^1 2x^2 \, dx \)

Vypočítáme integrál:
\( \int_0^1 2x^2 \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = \frac{2}{3} \).

Řešení příkladu:

Střední hodnota (průměr) se vypočítá jako součet hodnot dělený jejich počtem.

Součet: \( 20 + 22 + 19 + 25 + 24 + 23 + 21 = 154 \)

Počet hodnot: \(7\)

Průměr: \( \frac{154}{7} = 22 \)

Výsledek: Průměrná denní tržba je \(22\) tisíc Kč.

Řešení příkladu:

Protože pravděpodobnosti jsou úměrné hodnotám, označíme je jako:
\( P(X=1) = k \cdot 1 \), \( P(X=2) = k \cdot 2 \), \( P(X=3) = k \cdot 3 \)

Musí platit: \( k(1 + 2 + 3) = 1 \Rightarrow 6k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{6} \)

Pravděpodobnosti: \( P(X=1) = \frac{1}{6} \), \( P(X=2) = \frac{2}{6} \), \( P(X=3) = \frac{3}{6} \)

Střední hodnota:
\( \mathbb{E}[X] = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6} + 3 \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} + \frac{9}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = \frac{7}{3} \).

Řešení příkladu:

Pravděpodobnosti jsou rovnoměrné: \( P(X=k) = \frac{1}{6} \) pro \( k = 1, 2, \dots, 6 \)

Střední hodnota:
\( \mathbb{E}[X] = \sum_{k=1}^{6} k \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 3{,}5 \).

Řešení příkladu:

Pro binomické rozdělení platí: \( \mathbb{E}[X] = n \cdot p \)

Dosadíme: \( \mathbb{E}[X] = 4 \cdot 0{,}3 = 1{,}2 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 1{,}2 \).

Řešení příkladu:

Pro exponenciální rozdělení platí: \( \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda} \)

Dosadíme: \( \mathbb{E}[X] = \frac{1}{2} = 0{,}5 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 0{,}5 \)

Řešení příkladu:

Součet: \( 99 + 100 + 101 + 100 + 102 = 502 \)

Počet měření: \(5\)

Průměr: \( \frac{502}{5} = 100{,}4 \)

Výsledek: Aritmetický průměr je \(100,4\) g.

Řešení příkladu:

Pro Poissonovo rozdělení platí: \( \mathbb{E}[X] = \lambda \)

Dosadíme: \( \mathbb{E}[X] = 4 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 4 \)

Řešení příkladu:

Pro rovnoměrné rozdělení na intervalu \( \langle a, b \rangle \) platí: \( \mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2} \)

Dosadíme: \( \mathbb{E}[X] = \frac{2 + 8}{2} = 5 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 5 \)

Řešení příkladu:

Střední hodnota: \( \mathbb{E}[X] = \sum x_i \cdot P(X = x_i) \)

\( \mathbb{E}[X] = 0 \cdot 0{,}1 + 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}3 + 3 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}15 \)

\( = 0 + 0{,}2 + 0{,}6 + 0{,}75 + 0{,}6 = 2{,}15 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 2{,}15 \)

Řešení příkladu:

Střední hodnota: \( \mathbb{E}[X] = \int_0^1 x \cdot 3x^2 \, dx = \int_0^1 3x^3 \, dx \)

\( \int_0^1 3x^3 \, dx = 3 \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = \frac{3}{4} \)

Řešení příkladu:

Součet: \( 4 + 5 + 8 + 10 + 12 + 13 + 17 + 21 = 90 \)

Počet hodnot: \(8\)

Průměr: \( \frac{90}{8} = 11{,}25 \)

Význam: Průměrná hodnota datového souboru je \(11,25\). To reprezentuje střední hodnotu rozložení údajů kolem této úrovně.

Řešení příkladu:

Střední hodnota: \( \mathbb{E}[X] = \frac{1}{p} \Rightarrow \mathbb{E}[X] = \frac{1}{0{,}4} = 2{,}5 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 2{,}5 \)

Řešení příkladu:

Jde o binomické rozdělení: \( n = 6 \), \( p = 0{,}25 \)

Střední hodnota: \( \mathbb{E}[X] = n \cdot p = 6 \cdot 0{,}25 = 1{,}5 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 1{,}5 \)

Řešení příkladu:

Pro rovnoměrné rozdělení: \( \mathbb{E}[X] = \frac{a + b}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 4 \)

Řešení příkladu:

Součet: \( 10{,}1 + 10{,}4 + 10{,}3 + 10{,}5 + 10{,}2 + 10{,}6 + 10{,}5 = 72{,}6 \)

Počet hodnot: \(7\)

Průměr: \( \frac{72{,}6}{7} = 10{,}371 \) (zaokrouhleno na tři desetinná místa)

Interpretace: Průměrná délka vzorku je přibližně \(10,371\) cm.

Řešení příkladu:

Tato hustota odpovídá exponenciálnímu rozdělení s parametrem \( \lambda = \frac{1}{2} \)

Střední hodnota: \( \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda} = 2 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 2 \)

Řešení příkladu:

Ověříme: \( \sum_{x=1}^5 \frac{6 – x}{15} = \frac{5 + 4 + 3 + 2 + 1}{15} = \frac{15}{15} = 1 \Rightarrow \) funkce je validní.

Střední hodnota: \( \mathbb{E}[X] = \sum_{x=1}^5 x \cdot \frac{6 – x}{15} \)

\( = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1}{15} = \frac{5 + 8 + 9 + 8 + 5}{15} = \frac{35}{15} = \frac{7}{3} \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = \frac{7}{3} \)

Řešení příkladu:

Součet: \( 45 + 50 + 50 + 60 + 65 + 70 + 70 + 75 + 80 + 85 = 650 \)

Počet hodnot: \(10\)

Průměr: \( \frac{650}{10} = 65 \)

Výsledek: Průměrné skóre je \(65\) bodů.

Řešení příkladu:

Střední hodnota Poissonova rozdělení je rovna parametru \( \lambda \).

\( \mathbb{E}[X] = \lambda = 3 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 3 \)

Řešení příkladu:

Součet: \( 120 + 130 + 125 + 118 + 127 = 620 \)

Počet dnů: 5

Průměr: \( \frac{620}{5} = 124 \)

Výsledek: Průměrná denní spotřeba je \(124\) kWh.

Řešení příkladu:

\( \mathbb{E}[X] = \int_0^1 x \cdot 2x \, dx = \int_0^1 2x^2 \, dx \)

\( \int_0^1 2x^2 \, dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = \frac{2}{3} \)

Řešení příkladu:

\( \mathbb{E}[X] = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 4 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}0 + 1{,}2 = 2{,}4 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 2{,}4 \)

Řešení příkladu:

Součet: \( 2 + 3 + 7 + 9 + 12 + 14 + 15 = 62 \)

Počet hodnot: \(7\)

Průměr: \( \frac{62}{7} \approx 8{,}857 \)

Medián = prostřední hodnota = \(9\)

Protože průměr \( < \) medián, rozdělení je lehce zešikmené doleva.

Řešení příkladu:

Střední hodnota exponenciálního rozdělení: \( \mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0{,}25} = 4 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 4 \)

Řešení příkladu:

Součet: \( 58 + 62 + 65 + 70 + 72 + 75 + 78 + 85 + 90 + 95 = 750 \)

Počet hodnot: \(10\)

Průměr: \( \frac{750}{10} = 75 \)

Rozsah: \( 95 – 58 = 37 \)

Výsledek: Průměrné skóre je \(75\), rozsah je \(37\).

Řešení příkladu:

\( \mathbb{E}[X] = (-1) \cdot 0{,}3 + 0 \cdot 0{,}4 + 2 \cdot 0{,}3 = -0{,}3 + 0 + 0{,}6 = 0{,}3 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 0{,}3 \)

Řešení příkladu:

Součet: \( 0{,}2 + 0{,}5 + 0{,}1 + 0{,}6 + 0{,}4 + 0{,}3 = 2{,}1 \)

Počet měření: \( 6 \)

Průměrná odchylka: \( \frac{2{,}1}{6} = 0{,}35 \)

Výsledek: Průměrná odchylka je \( 0{,}35 \) mm.

Řešení příkladu:

\( \mathbb{E}[X] = \int_0^2 x \cdot \frac{3}{8}(4 – x) \, dx = \frac{3}{8} \int_0^2 (4x – x^2) \, dx \)

\( \int_0^2 (4x – x^2) \, dx = \left[ 2x^2 – \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = (8 – \frac{8}{3}) = \frac{16}{3} \)

\( \mathbb{E}[X] = \frac{3}{8} \cdot \frac{16}{3} = 2 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 2 \)

Řešení příkladu:

Sečteme všechny hodnoty: \( 12 + 15 + 17 + 14 + 16 + 18 + 10 + 12 + 11 + 16 + 17 + 19 = 187 \)

Počet hodnot: 12

Průměr: \( \frac{187}{12} \approx 15{,}583 \)

Výsledek: Průměrná teplota je přibližně \(15,583\) °C.

Řešení příkladu:

Střední hodnota geometrického rozdělení je \( \frac{1}{p} = \frac{1}{0{,}2} = 5 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 5 \)

Řešení příkladu:

Součin hodnot a vah: \( 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 2 + 3 + 6 + 8 + 15 + 1 + 4 + 4 = 43 \)

Součet vah: \( 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1 = 13 \)

Průměr: \( \frac{43}{13} \approx 3{,}308 \)

Výsledek: Vážený průměr je přibližně \(3,308\)

Řešení příkladu:

Střední hodnota rovnoměrného rozdělení: \( \frac{a + b}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 6 \)

Řešení příkladu:

Původní součet: \( 40 + 38 + 42 + 36 + 50 = 206 \)

Správný součet: \( 206 – 50 + 45 = 201 \)

Počet měření: 5

Průměr: \( \frac{201}{5} = 40{,}2 \)

Výsledek: Opravený průměr je \(40,2\) sekund.

Řešení příkladu:

Máme 8 hodnot, ale chybí \(1\) → počet je \(8\)

Součet známých hodnot: \( 3 + 7 + 2 + 9 + 4 + 6 + 8 = 39 \)

Nechť chybějící hodnota je \( x \), pak \( \frac{39 + x}{8} = 6 \Rightarrow 39 + x = 48 \Rightarrow x = 9 \)

Výsledek: Chybějící hodnota je \(9\).

Řešení příkladu:

Původní součet: \( 15 + 16 + 17 + 18 + 19 = 85 \)

Počet měření: 5

Původní průměr: \( \frac{85}{5} = 17 \)

Odečteme chybu: \( 17 – 2 = 15 \)

Výsledek: Skutečný průměr je \(15\) cm.

Řešení příkladu:

Střední hodnota normálního rozdělení je rovna parametru \( \mu \).

\( \mathbb{E}[X] = \mu = 50 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 50 \)

Řešení příkladu:

Nejprve sečteme všechny hodnoty: \( 4 + 4 + 4 + 4 + 20 = 36 \).

Počet hodnot je \( 5 \).

Průměr je tedy: \( \frac{36}{5} = 7{,}2 \).

Pokud bychom odstranili extrémní hodnotu \( 20 \), zůstaly by nám hodnoty \( 4, 4, 4, 4 \). Součet těchto hodnot je \( 4 + 4 + 4 + 4 = 16 \).

Počet hodnot je \( 4 \), takže nový průměr je: \( \frac{16}{4} = 4 \).

Výsledek ukazuje, že průměr je silně ovlivněn extrémní hodnotou \( 20 \). Bez této hodnoty je průměr pouze \( 4 \), což naznačuje, že průměr není robustní vůči odlehlým hodnotám, protože výrazně mění svou hodnotu, pokud se extrémní hodnoty zahrnou nebo vyloučí.

Řešení příkladu:

Sečteme všechny získané body: \( 3 + 0 + 1 + 3 + 1 + 3 = 11 \).

Počet zápasů je \( 6 \).

Průměrný bodový zisk na zápas je tedy: \( \frac{11}{6} \approx 1{,}833 \).

Výsledek ukazuje, že průměrný bodový zisk hráče na zápas je přibližně \( 1{,}833 \), což znamená, že hráč získával v průměru \( 1{,}833 \) bodu za zápas během turnaje.

Řešení příkladu:

Sečteme všechny denní počty kusů: \( 120 + 135 + 110 + 125 + 140 + 130 + 115 + 145 + 150 + 135 = 1305 \).

Počet dní je \( 10 \).

Průměrný počet vyrobených kusů za den je tedy: \( \frac{1305}{10} = 130{,}5 \).

Výsledek ukazuje, že průměrná denní výroba je \( 130{,}5 \) kusů, což znamená, že ve výrobě se za toto období vyrobilo průměrně \( 130{,}5 \) kusu každý den.

Řešení příkladu:

Nejprve sečteme všechny známky: \( 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 1 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 = 26 \).

Počet známek je \( 11 \).

Průměrná známka je tedy: \( \frac{26}{11} \approx 2{,}364 \).

Výsledek ukazuje, že průměrná známka je přibližně \( 2{,}364 \), což znamená, že celkový průměr známek pro tento test je mezi známkami \( 2 \) a \( 3 \). Tento výsledek ukazuje, že většina studentů dosáhla známky mezi \( 1 \) a \( 4 \), přičemž pouze jeden student měl extrémně vyšší známku \( 5 \).

Řešení příkladu:

Sečteme všechny měřené rychlosti: \( 88 + 92 + 95 + 90 + 91 + 94 = 550 \).

Počet měření je \( 6 \).

Průměrná rychlost je tedy: \( \frac{550}{6} \approx 91{,}67 \) km/h.

Konzistenci můžeme posoudit podle toho, zda jsou měření blízko průměru. Hodnoty se pohybují kolem \( 88 \) až \( 95 \), což naznačuje, že rychlosti jsou relativně rovnoměrně rozloženy. Rozptyl mezi hodnotami je relativně malý, konkrétně \( \pm 3{,}3 \) km/h, což naznačuje, že měření jsou konzistentní.

Výsledek: Průměrná rychlost je přibližně \( 91{,}67 \) km/h a měření jsou konzistentní, protože rozptyl mezi jednotlivými měřeními je relativně malý a všechny hodnoty jsou v úzkém rozsahu kolem průměru.

Řešení příkladu:

Sečteme všechny hodnoty počtu hodin studia: \( 10 + 12 + 15 + 9 + 8 + 11 + 14 + 13 = 92 \).

Počet studentů je \( 8 \).

Průměrný počet hodin studia je tedy: \( \frac{92}{8} = 11{,}5 \).

Výsledek ukazuje, že průměrný počet hodin studia na studenta za týden je \( 11{,}5 \) hodin. To naznačuje, že většina studentů studovala přibližně 11 hodin týdně, přičemž hodnoty se pohybovaly od \( 8 \) do \( 15 \) hodin týdně. Tento průměr ukazuje, že studenti v tomto vzorku byli relativně pravidelní ve svém studijním nasazení, přičemž nikdo nezaznamenal výrazně nižší nebo vyšší hodnoty.

Řešení příkladu:

Střední hodnota je definována jako: \( \mathbb{E}[X] = \sum x_i p_i \)

Dosadíme hodnoty: \( 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1 + 0{,}9 = 2{,}1 \)

Výsledek: Střední hodnota \( \mathbb{E}[X] = 2{,}1 \)

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme celkový počet kusů. Počet vyrobených kusů pro jednotlivé druhy produktů je \( 500 \), \( 700 \) a \( 800 \), takže celkový počet kusů je: \( 500 + 700 + 800 = 2000 \).

Dále spočítáme celkový příjem z prodeje. Prodejní cena za každý produkt je \( 20 \) Kč, \( 25 \) Kč a \( 30 \) Kč. Celkový příjem z prodeje je tedy: \[ 500 \cdot 20 + 700 \cdot 25 + 800 \cdot 30 = 10{,}000 + 17{,}500 + 24{,}000 = 51{,}500 \, \text{Kč}. \]

Průměrná cena za kus produkce se vypočítá jako celkový příjem dělený celkovým počtem kusů: \[ \frac{51{,}500}{2000} = 25{,}75 \, \text{Kč}. \]

Výsledek: Průměrná cena za kus produkce je \( 25{,}75 \) Kč. To znamená, že při zohlednění všech tří druhů produktů s různými cenami, průměrná cena za jeden kus produkce činí přibližně \( 25{,}75 \) Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve sečteme všechny hodnoty: \( 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 45 \).

Počet hodnot je \( 5 \), což je lichý počet, takže střední hodnotu vypočítáme jednoduše jako: \[ \frac{45}{5} = 9. \]

Hodnoty jsou již uspořádané: \( 7 \), \( 8 \), \( 9 \), \( 10 \), \( 11 \), a medián je tedy prostřední hodnota, což je \( 9 \).

Porovnání: Jak střední hodnota, tak medián jsou shodné a obě jsou rovny \( 9 \). To ukazuje, že pro tento soubor hodnot je průměrná hodnota rovna mediánu, což je typické pro symetrické rozdělení dat.

Řešení příkladu:

Střední hodnota je: \( (-1) \cdot 0{,}4 + 1 \cdot 0{,}6 = -0{,}4 + 0{,}6 = 0{,}2 \)

Výsledek: \( \mathbb{E}[X] = 0{,}2 \)

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet dosavadních výsledků. Výsledky testů jsou \( 72 \), \( 85 \), \( 90 \), \( 78 \) a \( 88 \). Součet těchto bodů je: \[ 72 + 85 + 90 + 78 + 88 = 413. \] Počet testů je \( 5 \), takže průměr dosažených bodů je: \[ \frac{413}{5} = 82{,}6. \]

Pokud by student získal \( 95 \) bodů v šestém testu, nový součet by byl: \[ 413 + 95 = 508. \] Počet testů by se zvýšil na \( 6 \), takže nový průměr by byl: \[ \frac{508}{6} \approx 84{,}67. \]

Porovnání: \( 84{,}67 > 82{,}6 \Rightarrow \) průměr by se zvýšil. To znamená, že pokud by student získal \( 95 \) bodů v dalším testu, jeho průměr by vzrostl na přibližně \( 84{,}67 \) bodů.

Výsledek: Současný průměr je \( 82{,}6 \) bodů a jeho průměr by se zvýšil na přibližně \( 84{,}67 \), pokud by v dalším testu získal \( 95 \) bodů.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet původních hodnot. Délky jsou \( 25 \), \( 27 \), \( 23 \), \( 30 \), \( 29 \), \( 26 \), \( 24 \) a \( 28 \). Součet těchto délek je: \[ 25 + 27 + 23 + 30 + 29 + 26 + 24 + 28 = 212. \] Počet hodnot je \( 8 \), takže průměrná délka je: \[ \frac{212}{8} = 26{,}5 \, \text{cm}. \]

Pokud poslední hodnota bude \( 32 \) cm, nový součet bude: \[ 212 – 28 + 32 = 216. \] Nový průměr bude: \[ \frac{216}{8} = 27 \, \text{cm}. \]

Změna průměru je: \[ 27 – 26{,}5 = 0{,}5 \, \text{cm}. \]

Výsledek: Průměrná délka se zvýší o \( 0{,}5 \) cm na hodnotu \( 27 \) cm, pokud se poslední hodnota změní na \( 32 \) cm.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme střední hodnotu čtyř osob. Váhy těchto osob jsou \( 60 \), \( 72 \), \( 68 \), \( 65 \) kg. Součet těchto váh je: \[ 60 + 72 + 68 + 65 = 265. \] Průměrná váha čtyř osob je: \[ \frac{265}{4} = 66{,}25 \, \text{kg}. \] Pátá osoba tedy váží \( 66{,}25 \) kg, což je průměrná váha předchozích \( 4 \) osob.

Nový součet váh bude: \[ 265 + 66{,}25 = 331{,}25. \] Počet osob je nyní \( 5 \), takže nový průměr je: \[ \frac{331{,}25}{5} = 66{,}25 \, \text{kg}. \]

Výsledek: Přidáním osoby s váhou rovnou průměru se průměr nezmění a zůstává \( 66{,}25 \) kg.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet cen výrobků. Ceny jednotlivých výrobků jsou \( 120 \), \( 150 \), \( 130 \), \( 140 \) a \( 160 \) Kč. Součet těchto cen je: \[ 120 + 150 + 130 + 140 + 160 = 700. \] Počet výrobků je \( 5 \), takže průměrná cena výrobku je: \[ \frac{700}{5} = 140 \, \text{Kč}. \]

Pokud se prodá \( 200 \) kusů každého výrobku, celkový počet prodaných kusů bude: \[ 5 \cdot 200 = 1000 \, \text{kusů}. \] Celkový příjem se spočítá jako součet cen všech výrobků, vynásobený počtem prodaných kusů: \[ (120 + 150 + 130 + 140 + 160) \cdot 200 = 700 \cdot 200 = 140{,}000 \, \text{Kč}. \]

Výsledek: Průměrná cena výrobku je \( 140 \) Kč a celkový příjem bude \( 140{,}000 \) Kč, pokud se prodá \( 200 \) kusů každého výrobku.

Řešení příkladu:

Současný součet známek je: \[ 2{,}4 \times 5 = 12. \] Po přidání šesté známky \( x \), bude průměrná známka z \( 6 \) zkoušek: \[ \frac{12 + x}{6} = 2{,}2. \] Abychom se zbavili zlomku, vynásobíme rovnici \( 6 \): \[ 12 + x = 2{,}2 \times 6 = 13{,}2. \] Nyní odečteme \( 12 \) z obou stran: \[ x = 13{,}2 – 12 = 1{,}2. \] Známka \( 1{,}2 \) není možná, protože známky jsou obvykle celé číslo od \( 1 \) do \( 5 \). Nejnižší možná známka je \( 1 \), kterou musí student získat, aby jeho průměr klesl na \( 2{,}2 \).

Výsledek: Aby průměr klesl na \( 2{,}2 \), musel by student získat známku \( 1 \) nebo lepší v šesté zkoušce.

Řešení příkladu:

Označíme počet původních studentů jako \( n \). Součet výšek původních studentů je \( 165n \). Po přidání dvou studentů s výškami \( 170 \) cm a \( 175 \) cm se součet výšek změní na \( 165n + 170 + 175 = 165n + 345 \). Počet studentů ve třídě je nyní \( n + 2 \). Nový průměr výšky je \( 166 \) cm, takže platí rovnice: \[ \frac{165n + 345}{n + 2} = 166. \] Nyní vynásobíme rovnici \( n + 2 \) a dostaneme: \[ 165n + 345 = 166n + 332. \] Upravíme rovnici: \[ 345 – 332 = 166n – 165n \Rightarrow 13 = n. \]

Výsledek: Původně bylo ve třídě \( 13 \) studentů.

Řešení příkladu:

Vzorec pro střední hodnotu souboru dat je následující: \[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, \] kde \( \bar{x} \) je střední hodnota a \( n \) je počet prvků v souboru.

Pokud přidáme novou hodnotu \( x_{n+1} \), nový průměr bude: \[ \bar{x}_{new} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i + x_{n+1}}{n + 1} = \frac{n \bar{x} + x_{n+1}}{n + 1}. \] Tento vzorec ukazuje, že nový průměr je váženým průměrem původního průměru a nové hodnoty.

Pokud je nová hodnota \( x_{n+1} > \bar{x} \), nový průměr se zvýší. Pokud je \( x_{n+1} < \bar{x} \), nový průměr se sníží. Pokud je \( x_{n+1} = \bar{x} \), průměr zůstane stejný.

Výsledek: Průměr se mění v závislosti na hodnotě přidaného členu ve vztahu k původnímu průměru. Pokud je přidaná hodnota větší než původní průměr, průměr vzroste, a naopak.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet hodnot: \[ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30. \] Počet hodnot je \( 5 \), takže průměr se spočítá jako: \[ \frac{30}{5} = 6. \]

Pro výpočet mediánu musíme seřadit hodnoty (v tomto případě jsou již seřazeny) a najít prostřední hodnotu. Pro pět hodnot je prostřední hodnota třetí, což je \( 6 \).

Rozdíl mezi průměrem a mediánem je následující: průměr je aritmetický střed hodnot v souboru, což znamená, že sečteme všechny hodnoty a podělíme je počtem hodnot. Medián je prostřední hodnota souboru dat, která je odolná vůči extrémním hodnotám. Pokud jsou data symetrická, medián a průměr budou stejné.

Výsledek: Průměr a medián v tomto případě jsou stejné a rovny \( 6 \), ale rozdíl mezi těmito dvěma statistikami je v tom, že průměr může být ovlivněn extrémními hodnotami, zatímco medián je na ně odolný.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkový průměrný denní prodej, což je součet prodejů dělený počtem druhů výrobků. Prodejní čísla jsou \( 100 \), \( 150 \) a \( 200 \). Celkový průměr je tedy: \[ \frac{100 + 150 + 200}{3} = \frac{450}{3} = 150 \, \text{kusů}. \]

Pokud prodej druhého druhu výrobku vzroste o \( 20 \% \), nový prodej tohoto výrobku bude: \[ 150 \times 1{,}20 = 180 \, \text{kusů}. \]

Nový součet prodejů všech tří výrobků je: \[ 100 + 180 + 200 = 480 \, \text{kusů}. \]

Nový průměrný denní prodej se spočítá jako: \[ \frac{480}{3} = 160 \, \text{kusů}. \]

Výsledek: Původní průměrný denní prodej byl \( 150 \) kusů, a po zvýšení prodeje druhého výrobku o \( 20 \% \) se nový průměr zvýšil na \( 160 \) kusů.

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme nejkratší a nejdelší díl. Nejkratší díl má délku \( 98 \, \text{mm} \), nejdelší díl má délku \( 103 \, \text{mm} \).

Tyto dva extrémy vypustíme, a tak nám zbývají díly s délkami: \( 100 \, \text{mm} \), \( 102 \, \text{mm} \), \( 101 \, \text{mm} \) a \( 99 \, \text{mm} \).

Součet délek zbývajících dílů je: \[ 100 + 102 + 101 + 99 = 402 \, \text{mm}. \] Počet dílů, které zůstávají, je 4.

Průměrná délka těchto čtyř dílů se vypočítá jako: \[ \frac{402}{4} = 100{,}5 \, \text{mm}. \]

Výsledek: Průměrná délka zbývajících dílů po vyřazení extrémů je \( 100{,}5 \, \text{mm} \).

Řešení příkladu:

Součet původních hodnot teplot je: \[ 15 + 17 + 20 + 16 + 19 + 18 + 22 = 127. \] Počet dní, za které máme teploty, je 7, takže původní průměrná teplota je: \[ \frac{127}{7} \approx 18{,}14 \, \text{°C}. \]

Pokud by se teplota pro poslední den změnila na \( 24 \, \text{°C} \), nový součet teplot by byl: \[ 127 – 22 + 24 = 129. \]

Nový průměr by byl: \[ \frac{129}{7} \approx 18{,}43 \, \text{°C}. \]

Změna průměru by tedy byla: \[ 18{,}43 – 18{,}14 = 0{,}29 \, \text{°C}. \]

Výsledek: Průměrná teplota se zvýší přibližně o \( 0{,}29 \, \text{°C} \), a nový průměr bude \( 18{,}43 \, \text{°C} \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet návštěvníků za prvních 5 dní. Počet návštěvníků v těchto dnech byl: \[ 120 + 130 + 110 + 125 + 115 = 600. \] Počet dní je 5, takže průměrný počet návštěvníků za těchto 5 dní je: \[ \frac{600}{5} = 120. \]

Přidáme počet návštěvníků za šestý den, který byl \( 140 \). Nový součet návštěvníků je tedy: \[ 600 + 140 = 740. \]

Počet dní je nyní 6, takže nový průměrný počet návštěvníků za 6 dní je: \[ \frac{740}{6} \approx 123{,}33. \]

Výsledek: Nový průměrný počet návštěvníků je přibližně \( 123{,}33 \) za den.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet všech vah balíků: \[ 3{,}2 + 3{,}5 + 3{,}3 + 3{,}1 + 3{,}4 + 3{,}6 + 3{,}0 = 23{,}1 \, \text{kg}. \]

Počet balíků je 7, a tedy průměrná váha je: \[ \frac{23{,}1}{7} \approx 3{,}3 \, \text{kg}. \]

Pokud ztracený balík měl průměrnou váhu, jeho hmotnost byla \( 3{,}3 \, \text{kg} \). Odečteme tuto váhu od celkového součtu: \[ 23{,}1 – 3{,}3 = 19{,}8 \, \text{kg}. \]

Počet balíků je nyní 6, a nový průměr tedy bude: \[ \frac{19{,}8}{6} = 3{,}3 \, \text{kg}. \]

Výsledek: Průměrná váha zůstává stejná, tedy \( 3{,}3 \, \text{kg} \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet času pro \( 10 \) úkolů: \[ 45 \times 10 = 450 \, \text{minut}. \]

Součet času pro \( 5 \) nových úkolů, každý s časem \( 40 \) minut, bude: \[ 5 \times 40 = 200 \, \text{minut}. \]

Celkový čas pro všech \( 15 \) úkolů bude: \[ 450 + 200 = 650 \, \text{minut}. \]

Nový průměrný čas je: \[ \frac{650}{15} \approx 43{,}33 \, \text{minut}. \]

Výsledek: Průměrný čas se snížil na přibližně \( 43{,}33 \) minut.

Řešení příkladu:

Označíme počet původních hodnot jako \( n \), a součet těchto hodnot jako \( S \).

Původní průměr je tedy: \[ \frac{S}{n}. \]

Po přidání hodnoty \( 60 \) se počet hodnot zvýšil na \( n + 1 \), a nový průměr je: \[ \frac{S + 60}{n + 1} = 52. \]

Vyjádříme \( S \): \[ S = 52(n + 1) – 60 = 52n + 52 – 60 = 52n – 8. \]

Současně víme, že původní průměr je: \[ \frac{S}{n} = \frac{52n – 8}{n} = 52 – \frac{8}{n}. \]

Podle zadání máme původní hodnoty: \( 50 \), \( 52 \), \( 49 \), \( 51 \), \( 50 \), což jsou 5 hodnot.

Součet těchto hodnot je: \[ 50 + 52 + 49 + 51 + 50 = 252. \]

Průměr těchto hodnot je: \[ \frac{252}{5} = 50{,}4. \]

Ověříme vztah: \[ 52 – \frac{8}{5} = 52 – 1{,}6 = 50{,}4. \]

Počet hodnot je tedy \( n = 5 \).

Výsledek: Původně bylo \( 5 \) hodnot.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet věků původní skupiny. Pokud průměrný věk osmi lidí je \( 25 \) let, součet jejich věků bude: \[ 8 \times 25 = 200 \, \text{let}. \]

Po přidání nového člena se počet lidí zvýší na \( 9 \), a nový průměr bude \( 26 \) let. Součet všech věků tedy bude: \[ 9 \times 26 = 234 \, \text{let}. \]

Věk nového člena zjistíme tak, že od nového součtu věků odečteme součet věků původní skupiny: \[ 234 – 200 = 34 \, \text{let}. \]

Výsledek: Nový člen má \( 34 \) let.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet platů pro \( 50 \) zaměstnanců, kde průměrný plat je \( 30{,}000 \, \text{Kč} \): \[ 50 \times 30{,}000 = 1{,}500{,}000 \, \text{Kč}. \]

Poté spočítáme součet platů pro \( 10 \) nových zaměstnanců, kde průměrný plat je \( 35{,}000 \, \text{Kč} \): \[ 10 \times 35{,}000 = 350{,}000 \, \text{Kč}. \]

Celkový součet platů pro všechny zaměstnance bude: \[ 1{,}500{,}000 + 350{,}000 = 1{,}850{,}000 \, \text{Kč}. \]

Celkový počet zaměstnanců je \( 60 \), a nový průměrný plat bude: \[ \frac{1{,}850{,}000}{60} \approx 30{,}833{,}33 \, \text{Kč}. \]

Výsledek: Nový průměrný plat je přibližně \( 30{,}833{,}33 \, \text{Kč} \).

Řešení příkladu:

Součet známek prvních tří testů je: \[ 78 + 82 + 75 = 235. \]

Průměr všech testů je \( 80 \), což znamená, že součet všech čtyř testů je \( 4 \times 80 = 320 \). Součet prvních tří testů je \( 235 \), takže hodnotu \( x \) zjistíme podle rovnice: \[ 235 + x = 320. \]

Vyjádříme \( x \): \[ x = 320 – 235 = 85. \]

Výsledek: Čtvrtý test měl skóre \( 85 \).

Řešení příkladu:

Nejprve označíme počet původních hodnot jako \( n \) a jejich součet jako \( S \).

Podle zadání máme \( n = 6 \) a \( S = 180 \), což znamená, že součet těchto \( 6 \) hodnot je \( 180 \).

Původní průměr vypočítáme podle vzorce pro průměr: \[ \frac{S}{n} = \frac{180}{6} = 30. \] To znamená, že původní průměr těchto \( 6 \) hodnot byl \( 30 \).

Po přidání hodnoty \( 45 \) se počet hodnot zvýší na \( n + 1 = 7 \), tedy celkový počet hodnot je \( 7 \).

Nový součet hodnot je: \[ S + 45 = 180 + 45 = 225. \]

Nový průměr se vypočítá podle vzorce pro průměr: \[ \frac{225}{7} \approx 32{,}14. \] Tento nový průměr je přibližně \( 32{,}14 \).

Podle zadání by se průměr měl zvýšit o \( 3 \), což znamená, že nový průměr by měl být \( 30 + 3 = 33 \).

Avšak skutečný nový průměr je \( 32{,}14 \), což znamená, že zadání je nesouladné s tímto konkrétním příkladem. Pokud by průměr měl vzrůst přesně o \( 3 \), hodnota přidané hodnoty \( 45 \) by měla být jiná.

Výsledek: Původní průměr byl \( 30 \), ale po přidání \( 45 \) se průměr zvýší pouze na přibližně \( 32{,}14 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme čas potřebný pro první část běhu na \( 5 \) km. Pokud běžec běží tuto vzdálenost průměrnou rychlostí \( 10 \) km/h, čas na tuto část je: \[ t_1 = \frac{5}{10} = 0{,}5 \, \text{hodiny}. \]

Celková vzdálenost, kterou běžec musí uběhnout, je \( 5 + 3 = 8 \) km.

Celkový čas pro průměrnou rychlost \( 11 \) km/h na vzdálenost \( 8 \) km je: \[ t = \frac{8}{11} \approx 0{,}727 \, \text{hodiny}. \]

Čas potřebný pro druhou část běhu, tedy pro \( 3 \) km, zjistíme odečtením času na první část od celkového času: \[ t_2 = t – t_1 = 0{,}727 – 0{,}5 = 0{,}227 \, \text{hodiny}. \]

Rychlost na druhou část běhu pak bude: \[ v_2 = \frac{3}{t_2} = \frac{3}{0{,}227} \approx 13{,}22 \, \text{km/h}. \]

Výsledek: Běžec musí běžet druhou část rychlostí přibližně \( 13{,}22 \) km/h, aby měla jeho celková průměrná rychlost \( 11 \) km/h.

Řešení příkladu:

Počet hodnot je \( 8 \) a původní průměr je \( 12 \). To znamená, že součet všech hodnot, včetně té chybné, je: \[ 8 \times 12 = 96. \]

Jeden z těchto prvků byl zapsán jako \( 20 \), ale správná hodnota je \( x \). Opravený součet bude: \[ 96 – 20 + x = 76 + x. \]

Po opravě se průměr změní na \( 11 \), což znamená, že součet opravovaných hodnot dělený počtem hodnot (tedy \( 8 \)) musí být roven \( 11 \): \[ \frac{76 + x}{8} = 11. \]

Vynásobíme rovnost \( 8 \), abychom se zbavili zlomku: \[ 76 + x = 88. \]

Vyjádříme \( x \) a zjistíme jeho hodnotu: \[ x = 88 – 76 = 12. \]

Výsledek: Správná hodnota, která měla být místo \( 20 \), je \( 12 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet původních hmotností balíků. Pokud průměrná hmotnost \( 10 \) balíků je \( 5 \) kg, celkový součet hmotností původních balíků je: \[ 10 \times 5 = 50 \, \text{kg}. \] Tento součet nám říká, že celková hmotnost \( 10 \) balíků před přidáním nového balíku byla \( 50 \) kg.

Po přidání balíku o hmotnosti \( 7 \) kg se součet hmotností změní. Nový součet hmotností je: \[ 50 + 7 = 57 \, \text{kg}. \] Po přidání balíku tedy máme celkovou hmotnost \( 57 \) kg.

Počet balíků se zvýší na \( 11 \), takže nový průměr hmotnosti se spočítá podle vzorce pro průměr: \[ \frac{57}{11} \approx 5{,}18 \, \text{kg}. \] Nový průměr hmotnosti balíků je tedy přibližně \( 5{,}18 \) kg.

Procentní změnu průměru vypočítáme jako rozdíl mezi novým a původním průměrem dělený původním průměrem a vynásobený \( 100 \): \[ \frac{5{,}18 – 5}{5} \times 100\% = 3{,}6\%. \] To znamená, že průměr hmotnosti balíků vzrostl o \( 3{,}6 \) %.

Výsledek: Nový průměr hmotnosti je přibližně \( 5{,}18 \) kg a průměr se zvýšil o \( 3{,}6 \) %.

Řešení příkladu:

Původně bylo \( 6 \) otázek a průměrné skóre bylo \( 15 \). To znamená, že celkový součet skóre pro těchto \( 6 \) otázek je: \[ 6 \times 15 = 90 \, \text{bodů}. \] Tento součet \( 90 \) bodů představuje celkové skóre za \( 6 \) otázek před přidáním dalších otázek.

Po přidání \( 3 \) nových otázek se počet otázek zvýší na \( 9 \), a nový průměr skóre je \( 14 \) bodů. Celkový součet skóre pro všechny \( 9 \) otázek se tedy vypočítá jako: \[ 9 \times 14 = 126 \, \text{bodů}. \] Tento součet \( 126 \) bodů zahrnuje skóre za všechny \( 9 \) otázek.

Skóre pro nově přidané otázky je rozdíl mezi celkovým součtem a součtem původních skóre: \[ 126 – 90 = 36 \, \text{bodů}. \] Celkové skóre pro nové otázky tedy činí \( 36 \) bodů.

Výsledek: Celkové skóre pro nové otázky je \( 36 \) bodů.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme čas potřebný pro první část cesty, kdy cyklista urazil vzdálenost \( 30 \) km rychlostí \( 20 \) km/h. Tento čas je dán vzorcem: \[ t_1 = \frac{30}{20} = 1{,}5 \, \text{hodiny}. \] Cykloturista tedy na první část cesty potřeboval \( 1{,}5 \) hodiny.

Pro druhou část cesty, kdy cyklista urazil vzdálenost \( 40 \) km rychlostí \( 25 \) km/h, spočítáme čas obdobně: \[ t_2 = \frac{40}{25} = 1{,}6 \, \text{hodiny}. \] Tento čas je \( 1{,}6 \) hodiny pro druhou část cesty.

Celková vzdálenost, kterou cyklista ujel, je součtem obou vzdáleností: \[ 30 + 40 = 70 \, \text{km}. \] Celkový čas potřebný k ujetí této vzdálenosti je součtem časů na obě části: \[ 1{,}5 + 1{,}6 = 3{,}1 \, \text{hodiny}. \]

Celkový průměrný čas rychlosti cyklisty je tedy: \[ \frac{70}{3{,}1} \approx 22{,}58 \, \text{km/h}. \] To je celkový průměrný rychlostní výkon cyklisty během celé cesty.

Výsledek: Celková průměrná rychlost cyklisty je přibližně \( 22{,}58 \) km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve použijeme informaci, že průměr \( 8 \) hodnot je \( 16 \). To znamená, že celkový součet těchto \( 8 \) hodnot je: \[ 8 \times 16 = 128. \] Celkový součet pro \( 8 \) hodnot tedy činí \( 128 \) a to je součet všech hodnot, které máme k dispozici.

Další informací je, že součet prvních \( 5 \) hodnot je \( 75 \). Tyto hodnoty tedy tvoří část celkového součtu. Abychom našli součet zbývajících \( 3 \) hodnot, odečteme součet prvních \( 5 \) hodnot od celkového součtu \( 128 \): \[ 128 – 75 = 53. \] Součet zbývajících \( 3 \) hodnot je tedy \( 53 \).

Výsledek: Součet zbývajících \( 3 \) hodnot je \( 53 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkový součet cen všech \( 15 \) výrobků. Pokud průměrná cena je \( 240 \) Kč, celkový součet cen výrobků je: \[ 15 \times 240 = 3600 \, \text{Kč}. \] Tento součet \( 3600 \) Kč představuje cenu všech \( 15 \) výrobků před vyřazením.

Po vyřazení \( 5 \) nejdražších výrobků zůstane \( 10 \) výrobků a jejich průměrná cena je \( 210 \) Kč. Celkový součet cen těchto \( 10 \) výrobků tedy činí: \[ 10 \times 210 = 2100 \, \text{Kč}. \] Součet cen těchto \( 10 \) výrobků je \( 2100 \) Kč.

Pro určení součtu cen vyřazených \( 5 \) výrobků odečteme součet cen zbývajících výrobků od celkového součtu: \[ 3600 – 2100 = 1500 \, \text{Kč}. \] Součet cen vyřazených výrobků je tedy \( 1500 \) Kč.

Výsledek: Součet cen vyřazených výrobků je \( 1500 \) Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkový součet známek všech \( 20 \) studentů. Pokud průměrná známka je \( 75 \), celkový součet známek je: \[ 20 \times 75 = 1500. \] Tento součet \( 1500 \) představuje součet všech známek studentů.

Pak spočítáme součet známek pro \( 5 \) studentů, kteří dostali známku \( 90 \). Tento součet je: \[ 5 \times 90 = 450. \] Součet známek těchto \( 5 \) studentů je \( 450 \).

Pro určení součtu známek zbylých \( 15 \) studentů odečteme součet známek \( 5 \) studentů od celkového součtu: \[ 1500 – 450 = 1050. \] Součet známek zbylých \( 15 \) studentů je \( 1050 \).

Průměrnou známku zbylých \( 15 \) studentů spočítáme jako podíl součtu jejich známek a počtu těchto studentů: \[ \frac{1050}{15} = 70. \] Průměrná známka zbylých \( 15 \) studentů je tedy \( 70 \).

Výsledek: Průměrná známka zbylých \( 15 \) studentů je \( 70 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkový součet známek původních \( 25 \) studentů. Pokud průměrná známka byla \( 72 \), celkový součet známek pro těchto \( 25 \) studentů je: \[ 25 \times 72 = 1800. \] Tento součet \( 1800 \) představuje součet všech známek před doplněním nových studentů.

Po doplnění \( 5 \) nových studentů je celkový počet studentů \( 25 + 5 = 30 \). Nový průměr je \( 75 \), což znamená, že celkový součet známek pro všech \( 30 \) studentů je: \[ 30 \times 75 = 2250. \] Tento součet \( 2250 \) je součet všech známek po přidání nových studentů.

Pro určení součtu známek těchto \( 5 \) nových studentů odečteme původní součet známek (\( 1800 \)) od celkového součtu pro \( 30 \) studentů (\( 2250 \)): \[ 2250 – 1800 = 450. \] Součet známek těchto \( 5 \) nových studentů je tedy \( 450 \).

Výsledek: Součet známek \( 5 \) nových studentů je \( 450 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet délek pěti původních filmů. Pokud průměrná délka jednoho filmu je \( 110 \) minut, součet délek těchto pěti filmů bude: \[ 5 \times 110 = 550 \, \text{minut}. \] Tento součet \( 550 \) minut představuje celkovou délku všech pěti filmů.

Šestý film je o \( 20 \) minut delší než původní průměr, což znamená, že jeho délka je: \[ 110 + 20 = 130 \, \text{minut}. \] Délka šestého filmu je tedy \( 130 \) minut.

Celkový součet délek všech šesti filmů je součet původních \( 550 \) minut a délky šestého filmu \( 130 \) minut: \[ 550 + 130 = 680 \, \text{minut}. \] Celková délka všech šesti filmů je tedy \( 680 \) minut.

Nová průměrná délka všech šesti filmů je pak: \[ \frac{680}{6} \approx 113{,}33 \, \text{minut}. \] Nová průměrná délka filmů je přibližně \( 113{,}33 \) minut.

Výsledek: Nová průměrná délka filmů je přibližně \( 113{,}33 \) minut.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet známek prvních \( 4 \) žáků. Pokud jejich průměrná známka je \( 78 \), celkový součet jejich známek je: \[ 4 \times 78 = 312. \] Tento součet \( 312 \) představuje součet známek těchto \( 4 \) žáků.

Celkový součet známek pro \( 7 \) žáků, pokud jejich průměrná známka má být \( 82 \), je: \[ 7 \times 82 = 574. \] Tento součet \( 574 \) představuje součet známek všech \( 7 \) žáků.

Pro určení součtu známek dalších \( 3 \) žáků odečteme součet známek \( 4 \) žáků (\( 312 \)) od celkového součtu pro \( 7 \) žáků (\( 574 \)): \[ 574 – 312 = 262. \] Součet známek dalších \( 3 \) žáků je tedy \( 262 \).

Průměr známek těchto \( 3 \) žáků spočítáme jako podíl součtu jejich známek a počtu těchto žáků: \[ \frac{262}{3} \approx 87{,}33. \] Průměrná známka těchto \( 3 \) žáků musí být přibližně \( 87{,}33 \).

Výsledek: Průměr dalších \( 3 \) žáků musí být přibližně \( 87{,}33 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet pěti původních hodnot. Pokud průměr těchto hodnot je \( 18 \), celkový součet pěti hodnot je: \[ 5 \times 18 = 90. \] Tento součet \( 90 \) představuje součet původních pěti hodnot.

Pokud přidáme šestou hodnotu \( 24 \), celkový součet všech šesti hodnot bude: \[ 90 + 24 = 114. \] Tento součet \( 114 \) představuje součet všech šesti hodnot.

Nový průměr všech šesti hodnot spočítáme jako podíl celkového součtu a počtu hodnot, což je: \[ \frac{114}{6} = 19. \] Nový průměr je tedy \( 19 \).

Výsledek: Nový průměr je \( 19 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet teplot za první tři dny. Pokud průměrná teplota za první tři dny byla \( 20 \) °C, celkový součet teplot za tyto tři dny je: \[ 3 \times 20 = 60 \, \text{°C}. \] Tento součet \( 60 \, \text{°C} \) představuje celkovou teplotu za první tři dny.

Teď spočítáme součet teplot za další čtyři dny, kde průměrná teplota byla \( 25 \) °C: \[ 4 \times 25 = 100 \, \text{°C}. \] Tento součet \( 100 \, \text{°C} \) představuje teplotu za čtyři dny.

Celkový součet teplot za celé období bude součet teplot za první tři dny a za další čtyři dny: \[ 60 + 100 = 160 \, \text{°C}. \] Celkový součet teplot za všechny dny je tedy \( 160 \, \text{°C} \).

Celkový počet dní je \( 3 + 4 = 7 \), takže průměrná teplota za celé období je: \[ \frac{160}{7} \approx 22{,}86 \, \text{°C}. \] Průměrná teplota za celé období je přibližně \( 22,86 \) °C.

Výsledek: Průměrná teplota za celé období je přibližně \( 22,86 \) °C.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet rychlostí všech \( 5 \) vozidel. Pokud průměrná rychlost těchto vozidel byla \( 60 \) km/h, celkový součet rychlostí pro všech \( 5 \) vozidel je: \[ 5 \times 60 = 300 \, \text{km/h}. \] Tento součet \( 300 \, \text{km/h} \) představuje součet rychlostí všech pěti vozidel.

Jedno vozidlo mělo rychlost \( 90 \) km/h, takže součet rychlostí zbývajících \( 4 \) vozidel je: \[ 300 – 90 = 210 \, \text{km/h}. \] Tento součet \( 210 \, \text{km/h} \) představuje součet rychlostí těchto čtyř vozidel.

Průměrnou rychlost ostatních \( 4 \) vozidel spočítáme jako podíl součtu jejich rychlostí a počtu vozidel, což je: \[ \frac{210}{4} = 52{,}5 \, \text{km/h}. \] Průměrná rychlost ostatních \( 4 \) vozidel je tedy \( 52{,}5 \) km/h.

Výsledek: Průměrná rychlost ostatních \( 4 \) vozidel byla \( 52{,}5 \) km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkovou hmotnost \( 10 \) balíků, když průměrná hmotnost je \( 5 \) kg. Celkový součet hmotností všech balíků je tedy: \[ 10 \times 5 = 50 \, \text{kg}. \] Tento součet \( 50 \, \text{kg} \) je celková hmotnost všech původních \( 10 \) balíků.

Po vyřazení jednoho balíku zůstává \( 9 \) balíků a jejich nový průměr je \( 5{,}2 \) kg. Celkový součet hmotností těchto \( 9 \) balíků je: \[ 9 \times 5{,}2 = 46{,}8 \, \text{kg}. \] Tento součet \( 46{,}8 \, \text{kg} \) představuje hmotnost všech zbývajících balíků.

Hmotnost vyřazeného balíku zjistíme odečtením součtu hmotnosti zbylých balíků od celkového součtu hmotnosti původních balíků: \[ 50 – 46{,}8 = 3{,}2 \, \text{kg}. \] Hmotnost vyřazeného balíku je tedy \( 3{,}2 \, \text{kg} \).

Výsledek: Vyřazený balík vážil \( 3{,}2 \) kg.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet známek původních \( 30 \) studentů. Pokud průměrná známka byla \( 68 \), celkový součet známek těchto studentů je: \[ 30 \times 68 = 2040. \] Tento součet \( 2040 \) představuje celkový součet známek původních \( 30 \) studentů.

Po přidání \( 10 \) nových studentů se celkový počet studentů zvyšuje na \( 30 + 10 = 40 \). Aby byl průměr celé skupiny \( 70 \), celkový součet známek všech \( 40 \) studentů musí být: \[ 40 \times 70 = 2800. \] Tento součet \( 2800 \) je požadovaný celkový součet známek pro skupinu \( 40 \) studentů.

Součet známek nových \( 10 \) studentů spočítáme odečtením součtu známek původní skupiny od celkového požadovaného součtu: \[ 2800 – 2040 = 760. \] Součet známek nových studentů je \( 760 \).

Průměrné známky těchto \( 10 \) nových studentů spočítáme dělením součtu jejich známek počtem studentů: \[ \frac{760}{10} = 76. \] Průměr známek nových studentů musí být tedy \( 76 \).

Výsledek: Průměr známek nových \( 10 \) studentů musí být \( 76 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkový počet výrobků, které je potřeba prodat za celý týden při průměru \( 150 \). Celkový požadovaný počet výrobků je: \[ 7 \times 150 = 1050. \] Tento součet \( 1050 \) představuje celkový počet výrobků, které je nutné prodat za celý týden.

V pondělí bylo prodáno \( 180 \) výrobků, takže počet výrobků, které musí být prodány za zbývajících \( 6 \) dní, zjistíme odečtením počtu výrobků prodaných v pondělí od celkového požadovaného počtu: \[ 1050 – 180 = 870. \] Za zbývajících \( 6 \) dní tedy musí být prodáno \( 870 \) výrobků.

Výsledek: Za zbývajících \( 6 \) dní musí být prodáno celkem \( 870 \) výrobků.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkový součet doby dojezdu za \( 10 \) dní při průměru \( 40 \) minut. Celkový součet doby dojezdu pro \( 10 \) dní je: \[ 10 \times 40 = 400 \, \text{minut}. \] Tento součet \( 400 \, \text{minut} \) je požadovaná celková doba dojezdu pro všech \( 10 \) dní.

Po prvních \( 5 \) dnech se doba dojezdu změnila na \( 38 \) minut. Celkový součet doby dojezdu za těchto \( 5 \) dní je tedy: \[ 5 \times 38 = 190 \, \text{minut}. \] Tento součet \( 190 \, \text{minut} \) je součet doby dojezdu za prvních \( 5 \) dní.

Součet doby dojezdu za dalších \( 5 \) dní musí být takový, aby celkový součet za všech \( 10 \) dní byl \( 400 \) minut. Proto spočítáme: \[ 400 – 190 = 210 \, \text{minut}. \] Součet doby dojezdu za dalších \( 5 \) dní musí být \( 210 \, \text{minut} \).

Průměrná doba dojezdu za těchto \( 5 \) dní je tedy: \[ \frac{210}{5} = 42 \, \text{minut}. \] Průměrná doba dojezdu za dalších \( 5 \) dní musí být tedy \( 42 \) minut.

Výsledek: Průměrná doba dojezdu za dalších \( 5 \) dní musí být \( 42 \) minut.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet výšek původních \( 12 \) lidí. Pokud průměrná výška byla \( 175 \) cm, celkový součet výšek těchto \( 12 \) lidí je: \[ 12 \times 175 = 2100 \, \text{cm}. \] Tento součet \( 2100 \, \text{cm} \) je celkový součet výšek původních \( 12 \) lidí.

Po přidání \( 1 \) nového člověka se celkový počet lidí zvýší na \( 12 + 1 = 13 \). Nový průměr je \( 177 \) cm, což znamená, že celkový součet výšek všech \( 13 \) lidí musí být: \[ 13 \times 177 = 2301 \, \text{cm}. \] Tento součet \( 2301 \, \text{cm} \) je požadovaný součet výšek pro všech \( 13 \) lidí.

Výšku nového člověka zjistíme odečtením součtu výšek původních \( 12 \) lidí od celkového součtu výšek všech \( 13 \) lidí: \[ 2301 – 2100 = 201 \, \text{cm}. \] Výška nového člověka je tedy \( 201 \) cm.

Výsledek: Výška nového člověka je \( 201 \) cm.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet známek původní třídy. Pokud průměrná známka byla \( 78 \), celkový součet známek těchto \( 20 \) žáků je: \[ 20 \times 78 = 1560. \] Tento součet \( 1560 \) představuje celkový součet známek původní třídy.

Pokud vyměníme známku \( 54 \) za \( 96 \), součet známek se zvýší o rozdíl mezi těmito známkami: \[ 96 – 54 = 42. \] Tento rozdíl \( 42 \) je zvýšení součtu známek po výměně známky.

Nový součet známek třídy je: \[ 1560 + 42 = 1602. \] Tento součet \( 1602 \) představuje nový celkový součet známek pro celou třídu.

Nový průměr spočítáme dělením nového součtu známek počtem žáků: \[ \frac{1602}{20} = 80{,}1. \] Nový průměr je tedy \( 80{,}1 \).

Výsledek: Nový průměr je \( 80{,}1 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkovou cenu všech \( 6 \) výrobků, když je průměrná cena \( 250 \) Kč. Celková cena všech výrobků je tedy: \[ 6 \times 250 = 1500 \, \text{Kč}. \] Tento součet \( 1500 \, \text{Kč} \) je celková cena všech \( 6 \) výrobků.

Cena pátého výrobku je \( 300 \) Kč. Tento výrobek tedy stojí \( 300 \) Kč, což znamená, že musíme tuto cenu odečíst od celkové ceny výrobků, abychom zjistili součet cen ostatních výrobků: \[ 1500 – 300 = 1200 \, \text{Kč}. \] Součet cen ostatních \( 5 \) výrobků je tedy \( 1200 \, \text{Kč} \).

Průměrná cena těchto \( 5 \) výrobků je: \[ \frac{1200}{5} = 240 \, \text{Kč}. \] Průměrná cena ostatních pěti výrobků je tedy \( 240 \) Kč.

Výsledek: Průměrná cena ostatních \( 5 \) výrobků je \( 240 \) Kč.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet stran všech \( 8 \) knih. Pokud je průměrný počet stran \( 320 \), celkový součet stran pro těchto \( 8 \) knih je: \[ 8 \times 320 = 2560 \, \text{stran}. \] Tento součet \( 2560 \, \text{stran} \) je celkový součet stran všech \( 8 \) knih.

Přidáním knihy s \( 480 \) stranami se celkový součet stran knih zvýší o počet stran nové knihy: \[ 2560 + 480 = 3040 \, \text{stran}. \] Celkový součet stran všech \( 9 \) knih je tedy \( 3040 \, \text{stran} \).

Celkový počet knih je nyní \( 8 + 1 = 9 \). Nyní spočítáme nový průměr stran na knihu. Tento průměr získáme dělením celkového počtu stran počtem knih: \[ \frac{3040}{9} \approx 337{,}78 \, \text{stran}. \] Nový průměr je tedy přibližně \( 337{,}78 \) stran na knihu.

Výsledek: Nový průměr je přibližně \( 337{,}78 \) stran na knihu.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet dob strávených na webu prvními \( 15 \) uživateli. Pokud průměrná doba byla \( 12 \) minut, celkový součet doby pro těchto \( 15 \) uživatelů je: \[ 15 \times 12 = 180 \, \text{minut}. \] Tento součet \( 180 \, \text{minut} \) je celková doba strávená na webu prvními \( 15 \) uživateli.

Součet dob strávených na webu dalšími \( 5 \) uživateli, kteří strávili \( 20 \) minut každý, je: \[ 5 \times 20 = 100 \, \text{minut}. \] Tento součet \( 100 \, \text{minut} \) je celková doba strávená na webu těmito \( 5 \) uživateli.

Celkový součet dob všech \( 20 \) uživatelů je tedy: \[ 180 + 100 = 280 \, \text{minut}. \] Celkový součet doby strávené na webu všemi \( 20 \) uživateli je \( 280 \, \text{minut} \).

Průměrná doba strávená na webu všemi \( 20 \) uživateli je: \[ \frac{280}{20} = 14 \, \text{minut}. \] Nový průměr je \( 14 \) minut.

Zvýšení průměru je tedy: \[ 14 – 12 = 2 \, \text{minuty}. \] Průměr se zvýšil o \( 2 \) minuty.

Výsledek: Průměr se zvýšil o \( 2 \) minuty.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme celkový součet známek původních \( 18 \) studentů. Pokud je průměrná známka \( 75 \), celkový součet známek pro těchto \( 18 \) studentů je: \[ 18 \times 75 = 1350. \] Tento součet \( 1350 \) je celkový součet známek všech \( 18 \) studentů.

Po odejití jednoho studenta zůstalo \( 17 \) studentů a průměrná známka zůstala \( 77 \). Celkový součet známek těchto \( 17 \) studentů je: \[ 17 \times 77 = 1309. \] Tento součet \( 1309 \) je celkový součet známek zbylých \( 17 \) studentů.

Známka odešlého studenta je tedy rozdíl mezi původním součtem a součtem známek zbylých studentů: \[ 1350 – 1309 = 41. \] Známka odešlého studenta byla \( 41 \).

Výsledek: Známka odešlého studenta byla \( 41 \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet rychlostí pro prvních \( 4 \) cesty. Pokud byla průměrná rychlost \( 60 \) km/h, celkový součet rychlostí pro těchto \( 4 \) cesty je: \[ 4 \times 60 = 240 \, \text{km/h}. \] Tento součet \( 240 \, \text{km/h} \) je celkový součet rychlostí pro prvních \( 4 \) cesty.

Rychlost páté cesty byla \( 80 \) km/h, což znamená, že celkový součet rychlostí všech \( 5 \) cest bude: \[ 240 + 80 = 320 \, \text{km/h}. \] Tento součet \( 320 \, \text{km/h} \) je celkový součet rychlostí všech \( 5 \) cest.

Průměrná rychlost za všechny \( 5 \) cesty je tedy: \[ \frac{320}{5} = 64 \, \text{km/h}. \] Průměrná rychlost za všechny \( 5 \) cesty je \( 64 \) km/h.

Výsledek: Průměrná rychlost za všechny cesty je \( 64 \) km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet hmotností původních \( 7 \) balíků. Pokud byla průměrná hmotnost \( 15 \) kg, celkový součet hmotností pro těchto \( 7 \) balíků je: \[ 7 \times 15 = 105 \, \text{kg}. \] Tento součet \( 105 \, \text{kg} \) je celkový součet hmotností původních \( 7 \) balíků.

Po přidání dvou těžších balíků se celkový počet balíků zvýšil na \( 9 \), a průměrná hmotnost všech \( 9 \) balíků se zvýšila na \( 17 \) kg. Celkový součet hmotností všech \( 9 \) balíků je: \[ 9 \times 17 = 153 \, \text{kg}. \] Tento součet \( 153 \, \text{kg} \) je celkový součet hmotností všech \( 9 \) balíků.

Součet hmotností dvou nových balíků je tedy rozdíl mezi celkovým součtem hmotností a součtem hmotností původních balíků: \[ 153 – 105 = 48 \, \text{kg}. \] Součet hmotností těchto dvou balíků je \( 48 \, \text{kg} \).

Výsledek: Součet hmotností těchto dvou balíků je \( 48 \, \text{kg} \).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet teplot za první \( 4 \) dny. Pokud byla průměrná teplota \( 18 \) °C, celkový součet teplot za těchto \( 4 \) dny je: \[ 4 \times 18 = 72 \, \text{°C}. \] Tento součet \( 72 \, \text{°C} \) je celkový součet teplot za první \( 4 \) dny.

Pátý den byla teplota o \( 5 \) °C vyšší než průměr za předchozí čtyři dny. To znamená, že teplota pátého dne byla: \[ 18 + 5 = 23 \, \text{°C}. \] Teplota pátého dne byla \( 23 \) °C.

Celkový součet teplot za všech \( 5 \) dní bude součet teplot za \( 4 \) dny a teplota pátého dne: \[ 72 + 23 = 95 \, \text{°C}. \] Tento součet \( 95 \, \text{°C} \) je celkový součet teplot za všech \( 5 \) dní.

Nový průměr teplot za všech \( 5 \) dní je: \[ \frac{95}{5} = 19 \, \text{°C}. \] Nový průměr teplot za všech \( 5 \) dní je \( 19 \) °C.

Výsledek: Teplota pátého dne byla \( 23 \) °C a nový průměr teplot za všech \( 5 \) dní je \( 19 \) °C.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet prodaných lístků za první \( 3 \) večery. Pokud byl průměrný počet prodaných lístků \( 450 \), celkový součet prodaných lístků za těchto \( 3 \) večery je: \[ 3 \times 450 = 1350. \] Tento součet \( 1350 \) je celkový součet prodaných lístků za první \( 3 \) večery.

Na čtvrtý večer bylo prodáno o \( 50 \) lístků více než průměr z prvních tří večerů, tedy počet lístků prodaných čtvrtý večer byl: \[ 450 + 50 = 500. \] Na čtvrtý večer bylo prodáno \( 500 \) lístků.

Celkový součet prodaných lístků za všech \( 4 \) večerů je tedy: \[ 1350 + 500 = 1850. \] Tento součet \( 1850 \) je celkový součet prodaných lístků za všechny \( 4 \) večery.

Nový průměr prodaných lístků za všechny \( 4 \) večery je: \[ \frac{1850}{4} = 462{,}5. \] Nový průměr prodaných lístků za všech \( 4 \) večerů je \( 462{,}5 \).

Výsledek: Nový průměr prodaných lístků za všechny \( 4 \) večery je \( 462{,}5 \).

Řešení příkladu:

Nechť původní počet sportovců je \( n \), pak součet jejich vah je \( 72n \).

Po přidání \( 3 \) nových členů se počet sportovců zvýšil na \( n + 3 \), a nový průměr je \( 75 \) kg. Celkový součet vah všech sportovců je tedy: \[ 75(n + 3). \] Tento součet \( 75(n + 3) \) je celkový součet vah všech sportovců po přidání nových členů.

Celkový součet vah nových členů je rozdíl mezi novým a původním součtem vah: \[ 75(n + 3) – 72n = 75n + 225 – 72n = 3n + 225. \] Tento výraz \( 3n + 225 \) vyjadřuje součet vah nových členů.

Pokud například původních sportovců bylo \( 10 \), pak součet vah nových členů bude: \[ 3 \times 10 + 225 = 30 + 225 = 255 \, \text{kg}. \] V tomto případě je celkový součet vah nových členů \( 255 \) kg.

Výsledek: Celkový součet vah tří nových členů je \( 255 \) kg (pro \( n = 10 \)).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet rychlostí prvních \( 5 \) aut. Pokud byla průměrná rychlost \( 120 \) km/h, celkový součet rychlostí za těchto \( 5 \) aut je: \[ 5 \times 120 = 600 \, \text{km/h}. \] Tento součet \( 600 \) km/h je součtem rychlostí prvních \( 5 \) aut.

Rychlost dvou dalších aut byla \( 135 \) km/h a \( 150 \) km/h. Celkový součet rychlostí těchto dvou aut je: \[ 135 + 150 = 285 \, \text{km/h}. \] Tento součet \( 285 \) km/h je součet rychlostí dvou dalších aut.

Celkový součet rychlostí všech \( 7 \) aut je tedy: \[ 600 + 285 = 885 \, \text{km/h}. \] Tento součet \( 885 \) km/h je celkový součet rychlostí všech \( 7 \) aut.

Nový průměr rychlosti všech \( 7 \) aut je: \[ \frac{885}{7} \approx 126{,}43 \, \text{km/h}. \] Nový průměr rychlosti všech \( 7 \) aut je přibližně \( 126{,}43 \) km/h.

Výsledek: Nová průměrná rychlost všech aut je přibližně \( 126{,}43 \) km/h.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme součet stran \( 10 \) knih. Pokud byl průměrný počet stran \( 240 \), celkový součet stran za těchto \( 10 \) knih je: \[ 10 \times 240 = 2400 \, \text{stran}. \] Tento součet \( 2400 \) stran je celkový součet stran prvních \( 10 \) knih.

Součet stran \( 4 \) nových knih, jejichž průměrný počet stran je \( 300 \), je: \[ 4 \times 300 = 1200 \, \text{stran}. \] Tento součet \( 1200 \) stran je celkový součet stran těchto \( 4 \) knih.

Celkový součet stran všech \( 14 \) knih je tedy: \[ 2400 + 1200 = 3600 \, \text{stran}. \] Tento součet \( 3600 \) stran je celkový součet stran všech \( 14 \) knih.

Průměrný počet stran všech \( 14 \) knih je: \[ \frac{3600}{14} \approx 257{,}14 \, \text{stran}. \] Průměrný počet stran všech \( 14 \) knih je přibližně \( 257{,}14 \) stran.

Výsledek: Průměrný počet stran všech \( 14 \) knih je přibližně \( 257{,}14 \) stran.

Řešení příkladu:

Součet známek původních \( 25 \) studentů je: \[ 25 \times 68 = 1700. \] Tento součet \( 1700 \) je celkový součet známek původních \( 25 \) studentů.

Průměrné zvýšení známky u \( 5 \) studentů je \( 10 \) bodů, což znamená, že celkové zvýšení všech známek u těchto \( 5 \) studentů je: \[ 5 \times 10 = 50. \] Celkové zvýšení známek je \( 50 \) bodů.

Nový součet známek celé skupiny je tedy: \[ 1700 + 50 = 1750. \] Tento součet \( 1750 \) je součet všech známek po opravení testů u \( 5 \) studentů.

Nový průměr známek celé skupiny je: \[ \frac{1750}{25} = 70. \] Nový průměr známek celé skupiny je \( 70 \).

Výsledek: Nový průměr známek celé skupiny je \( 70 \).

Řešení příkladu:

Celkový příjem původních \( 12 \) zaměstnanců je: \[ 12 \times 32{,}000 = 384{,}000 \, \text{Kč}. \] Tento součet \( 384{,}000 \) Kč je celkový příjem původních \( 12 \) zaměstnanců.

Zvýšení platů u \( 3 \) zaměstnanců, kdy každý dostal zvýšení o \( 4{,}000 \) Kč, je: \[ 3 \times 4{,}000 = 12{,}000 \, \text{Kč}. \] Tento součet \( 12{,}000 \) Kč je celkový nárůst příjmů u \( 3 \) zaměstnanců.

Celkový příjem po zvýšení je tedy: \[ 384{,}000 + 12{,}000 = 396{,}000 \, \text{Kč}. \] Tento součet \( 396{,}000 \) Kč je celkový příjem všech zaměstnanců po zvýšení platů.

Nový průměrný příjem po zvýšení je: \[ \frac{396{,}000}{12} = 33{,}000 \, \text{Kč}. \] Nový průměrný příjem po zvýšení je \( 33{,}000 \) Kč.

Výsledek: Celkový příjem všech zaměstnanců se zvýšil o \( 12{,}000 \) Kč a nový průměrný příjem je \( 33{,}000 \) Kč.