1. Určete hodnotu neznámé \( x \) v rovnici \( 2^x = 32 \).
Řešení příkladu:
Víceprvková rovnice: \( 2^x = 32 \).
Přepíšeme číslo 32 jako mocninu dvojky: \( 32 = 2^5 \).
Rovnice tedy: \( 2^x = 2^5 \Rightarrow x = 5 \).
2. Vyřešte rovnici \( 3^{2x-1} = 27 \).
Řešení příkladu:
\( 27 = 3^3 \), tedy rovnici přepíšeme: \( 3^{2x – 1} = 3^3 \).
Rovnice: \( 2x – 1 = 3 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \).
3. Najděte řešení rovnice \( 5^x = \frac{1}{125} \).
Řešení příkladu:
\( \frac{1}{125} = 5^{-3} \), takže \( 5^x = 5^{-3} \Rightarrow x = -3 \).
4. Vyřešte rovnici \( 10^{x+2} = 1000 \).
Řešení příkladu:
\( 1000 = 10^3 \), takže \( 10^{x+2} = 10^3 \Rightarrow x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 \).
5. Vyřešte rovnici \( 4^x = 8 \).
Řešení příkladu:
Převedeme obě čísla na stejný základ.
\( 4 = 2^2 \), \( 8 = 2^3 \), takže rovnici přepíšeme:
\( (2^2)^x = 2^3 \Rightarrow 2^{2x} = 2^3 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \).
6. Určete \( x \) v rovnici \( 9^{x+1} = 3^{2x+2} \).
Řešení příkladu:
\( 9 = 3^2 \), tedy \( (3^2)^{x+1} = 3^{2x+2} \Rightarrow 3^{2x+2} = 3^{2x+2} \).
Obě strany jsou stejné, rovnice platí pro všechna reálná čísla \( x \), která splní vztah.
Rovnice je identita ⇒ nekonečně mnoho řešení.
7. Řešte rovnici \( 7^{2x} = 49^x \).
Řešení příkladu:
\( 49 = 7^2 \), takže \( 49^x = (7^2)^x = 7^{2x} \).
\( 7^{2x} = 7^{2x} \Rightarrow \) rovnice platí pro všechna reálná čísla \( x \).
8. Vyřešte rovnici \( 3^x + 3^{x+1} = 36 \).
Řešení příkladu:
Nejprve vyjádříme \( 3^{x+1} = 3^x \cdot 3 \).
Rovnice: \( 3^x + 3 \cdot 3^x = 36 \Rightarrow 4 \cdot 3^x = 36 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow x = 2 \).
9. Vyřešte rovnici \( 2^{x+2} – 2^x = 28 \).
Řešení příkladu:
\( 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x \), takže rovnice:
\( 4 \cdot 2^x – 2^x = 28 \Rightarrow 3 \cdot 2^x = 28 \Rightarrow 2^x = \frac{28}{3} \).
Vyjádříme pomocí logaritmu: \( x = \log_2\left(\frac{28}{3}\right) \).
10. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( 10^{2x} = 100 \cdot 10^x \).
Řešení příkladu:
Přepišme rovnici: \( 10^{2x} = 100 \cdot 10^x \).
\( 100 = 10^2 \), takže: \( 10^{2x} = 10^2 \cdot 10^x = 10^{x+2} \).
Rovnice: \( 10^{2x} = 10^{x+2} \Rightarrow 2x = x + 2 \Rightarrow x = 2 \).
11. Určete hodnotu \( x \), pokud platí \( 2^{x+1} + 2^{x} = 48 \).
Řešení příkladu:
\( 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x \), takže: \( 2 \cdot 2^x + 2^x = 3 \cdot 2^x = 48 \Rightarrow 2^x = 16 \Rightarrow x = 4 \).
12. Řešte rovnici \( 9^{x-1} = 3^{2x+2} \).
Řešení příkladu:
\( 9 = 3^2 \), tedy \( (3^2)^{x-1} = 3^{2x+2} \Rightarrow 3^{2x – 2} = 3^{2x + 2} \).
Porovnáme exponenty: \( 2x – 2 = 2x + 2 \Rightarrow -2 = 2 \) – nepravda.
Rovnice nemá řešení.
13. Vyřešte rovnici \( 5^{2x} – 6 \cdot 5^x + 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Substituce: \( y = 5^x \), dostáváme kvadratickou rovnici:
\( y^2 – 6y + 5 = 0 \Rightarrow (y – 1)(y – 5) = 0 \Rightarrow y = 1 \) nebo \( y = 5 \).
\( 5^x = 1 \Rightarrow x = 0 \), \( 5^x = 5 \Rightarrow x = 1 \).
Výsledek: \( x = 0 \) nebo \( x = 1 \).
14. Najděte řešení rovnice \( 2^{3x} = 16^x \).
Řešení příkladu:
\( 16 = 2^4 \Rightarrow 16^x = (2^4)^x = 2^{4x} \).
Rovnice: \( 2^{3x} = 2^{4x} \Rightarrow 3x = 4x \Rightarrow x = 0 \).
15. Řešte rovnici \( 3^{x+1} + 3^{x} = 36 \).
Řešení příkladu:
\( 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x \Rightarrow 3 \cdot 3^x + 3^x = 4 \cdot 3^x = 36 \Rightarrow 3^x = 9 \Rightarrow x = 2 \).
16. Určete řešení rovnice \( 4^x + 2^x = 20 \).
Řešení příkladu:
\( 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 \), substituce: \( y = 2^x \).
Dostáváme: \( y^2 + y = 20 \Rightarrow y^2 + y – 20 = 0 \Rightarrow y = 4 \) nebo \( y = -5 \) (zamítáme záporné).
\( 2^x = 4 \Rightarrow x = 2 \).
17. Vyřešte rovnici \( 7^{x+1} – 7^x = 864 \).
Řešení příkladu:
\( 7^{x+1} = 7 \cdot 7^x \Rightarrow 7 \cdot 7^x – 7^x = 6 \cdot 7^x = 864 \).
\( 7^x = 144 \Rightarrow x = \log_7(144) \).
18. Najděte \( x \), pokud platí \( 10^x + 10^{-x} = 2.1 \).
Řešení příkladu:
Substituce: \( y = 10^x \Rightarrow y + \frac{1}{y} = 2.1 \).
Vynásobíme rovnost výrazem \( y \): \( y^2 + 1 = 2.1y \Rightarrow y^2 – 2.1y + 1 = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici, diskriminant: \( D = 4.41 – 4 = 0.41 \), takže
\( y = \frac{2.1 \pm \sqrt{0.41}}{2} \), pak \( x = \log_{10}(y) \).
19. Vyřešte rovnici \( 3^{2x} + 3^x = 12 \).
Řešení příkladu:
Substituce: \( y = 3^x \Rightarrow y^2 + y = 12 \Rightarrow y^2 + y – 12 = 0 \Rightarrow y = 3 \), \( y = -4 \) (zamítáme záporné).
\( 3^x = 3 \Rightarrow x = 1 \).
20. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( 2^x = x^2 \).
Řešení příkladu:
Grafické nebo numerické řešení: průsečíky funkcí \( y = 2^x \) a \( y = x^2 \).
Vyzkoušením zjistíme: \( x = 4 \) je řešením, také \( x = 2 \).
Ověření: \( 2^2 = 4 \), \( 2^4 = 16 = 4^2 \).
Výsledky: \( x = 2 \), \( x = 4 \).
