Ověřením jsme zjistili, že \( f(-x) = -f(x) \), což odpovídá definici liché funkce.
Závěr: Funkce \( f(x) = x + x^3 + x^5 \) je lichá.
26. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^4 – x^2}{x^2 + 1} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Nejprve se podívejme na strukturu funkce. V čitateli máme výrazy \( x^4 \) a \( -x^2 \), což jsou výrazy s sudými mocninami, a ve jmenovateli je \( x^2 + 1 \), což je opět výraz obsahující pouze sudou mocninu. Na první pohled se tedy zdá, že by funkce mohla být sudá.
Ověřme to výpočtem funkční hodnoty v bodě \( -x \):
Získali jsme rovnost \( f(-x) = -f(x) \), což odpovídá definici liché funkce.
Lichá funkce má graf symetrický podle počátku soustavy souřadnic. To znamená, že když otočíme graf o 180 stupňů kolem počátku, získáme tentýž graf.
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{x}{1 + x^2} \) je lichá.
28. Rozhodněte, zda je funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} – 1}{x} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Tato funkce je složenější, takže nejprve zjistíme definiční obor: ve jmenovateli je \( x \), takže funkce není definována v bodě \( x = 0 \). Ve jmenovateli tedy máme omezení \( x \ne 0 \). Čitatel je vždy definovaný, protože pod odmocninou máme kladný výraz \( x^2 + 1 \).
Nyní zjistíme, co se stane při záměně proměnné za zápornou:
Získali jsme opět vztah \( f(-x) = -f(x) \), což je definice liché funkce.
Přestože funkce není definována v nule, to nebrání tomu, aby byla lichá, pokud vztah platí pro všechna \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} – 1}{x} \) je lichá.
29. Rozhodněte, zda je funkce \( f(x) = \tan(x) \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Funkce tangens je definována na množině \( \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \).
Ověřme chování při změně znaménka vstupu:
\( f(-x) = \tan(-x) = -\tan(x) = -f(x) \)
Opět zde platí vztah \( f(-x) = -f(x) \), takže se jedná o funkci lichou.
To je v souladu s grafem funkce tangens, který je symetrický podle počátku.
Závěr: Funkce \( f(x) = \tan(x) \) je lichá.
30. Rozhodněte, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^5 + x^3 + x}{x^2 + 1} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Podívejme se na strukturu funkce. V čitateli máme výrazy \( x^5 \), \( x^3 \) a \( x \), což jsou liché mocniny. Ve jmenovateli je výraz \( x^2 + 1 \), což je sudý výraz.
Zkusme tedy spočítat funkční hodnotu v bodě \( -x \):
Získali jsme vztah \( f(-x) = -f(x) \), což potvrzuje, že funkce je lichá.
Jelikož jmenovatel obsahuje jen sudý člen, jeho hodnota se nezmění při změně znaménka, zatímco čitatel se změní na záporný. Díky tomu je celý zlomek antisymetrický podle počátku.
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{x^5 + x^3 + x}{x^2 + 1} \) je lichá.
31. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) má definiční obor \( \mathbb{R} \), protože výraz \( x^2 + 1 \) je vždy kladný pro všechna reálná čísla. Nyní zkontrolujeme, zda je funkce sudá nebo lichá.
Protože platí \( f(-x) = f(x) \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \), funkce je sudá.
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) je sudá.
32. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Funkce je definována pro všechna reálná čísla, protože jmenovatel \( x^2 + 1 \) je vždy větší než nula. Zkontrolujeme vlastnosti funkce vůči osové symetrii.
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) je lichá.
33. Určete, zda je funkce \( f(x) = \cos(x) \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Funkce kosinus je definována pro všechna reálná čísla a její hodnota se opakuje s periodou \( 2\pi \).
Pro ověření sudosti nebo lichosti použijeme identitu:
\( \cos(-x) = \cos(x) \)
To znamená, že funkce je sudá, protože se nemění při změně znaménka argumentu.
Závěr: Funkce \( f(x) = \cos(x) \) je sudá.
34. Určete, zda je funkce \( f(x) = \sin(x) \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Funkce sinus je definována na celé množině reálných čísel. Nyní ověříme její symetrii.
Použijeme trigonometrickou identitu:
\( \sin(-x) = -\sin(x) \)
Vidíme, že funkce mění znaménko, což znamená, že je lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = \sin(x) \) je lichá.
35. Určete, zda je funkce \( f(x) = \tan(x) \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Funkce tangens je definována pro všechna \( x \in \mathbb{R} \) kromě bodů \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), kde \( k \in \mathbb{Z} \), protože zde má funkce póly.
Použijeme identitu:
\( \tan(-x) = -\tan(x) \)
To znamená, že funkce je lichá, protože mění znaménko při změně znaménka argumentu.
Závěr: Funkce \( f(x) = \tan(x) \) je lichá.
36. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^3 + x \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomme, že funkce \( f(x) = x^3 + x \) je definována pro všechna reálná čísla, tedy \( D(f) = \mathbb{R} \).
Abychom zjistili, zda je funkce sudá, lichá nebo žádná, musíme analyzovat vztah mezi hodnotami \( f(x) \) a \( f(-x) \).
Vidíme, že \( f(-x) = -f(x) \) pro všechna reálná čísla \( x \). To znamená, že funkce je lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) je lichá.
42. Určete, zda je funkce \( f(x) = \cos x + x^2 \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Nejprve vypočítáme \( f(-x) \):
\( f(-x) = \cos(-x) + (-x)^2 = \cos x + x^2 \)
Porovnáme s \( f(x) \):
\( f(x) = \cos x + x^2 \)
Vidíme, že \( f(-x) = f(x) \). Tedy funkce je sudá.
Ověříme i podmínku lichosti:
\( -f(x) = -(\cos x + x^2) = -\cos x – x^2 \), což není rovno \( f(-x) \), takže funkce není lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = \cos x + x^2 \) je sudá.
43. Určete, zda je funkce \( f(x) = \tan x \) sudá, lichá nebo žádná. Předpokládejte, že definičním oborem jsou všechna reálná čísla mimo hodnoty \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), kde \( k \in \mathbb{Z} \).
Tedy \( f(-x) = -f(x) \). To znamená, že funkce je lichá.
Dále ověříme, že definiční obor je symetrický podle nuly – pro každé \( x \), které patří do definičního oboru, i \( -x \) tam patří (protože body, kde tangens není definován, jsou symetrické kolem nuly).
Závěr: Funkce \( f(x) = \tan x \) je lichá.
44. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^3 + x^2 \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme výraz \( f(-x) \):
\( f(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 = -x^3 + x^2 \)
Porovnáme s \( f(x) \):
\( f(x) = x^3 + x^2 \)
\( f(-x) \ne f(x) \) a zároveň \( f(-x) \ne -f(x) \), protože:
\( -f(x) = -x^3 – x^2 \), což není rovno \( f(-x) = -x^3 + x^2 \)
To znamená, že funkce není ani sudá, ani lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = x^3 + x^2 \) není ani sudá, ani lichá.
45. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Nejprve určíme definiční obor: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 + 1} \) je lichá.
50. Určete, zda je funkce \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Nejprve určíme definiční obor. Funkce \( x^2 + 1 \) je větší než nula pro všechna \( x \in \mathbb{R} \), takže i \( \ln(x^2 + 1) \) je definována pro všechna reálná čísla.
51. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^3}{1 + x^2} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme, že funkce je sudá, pokud platí \( f(-x) = f(x) \), a lichá, pokud \( f(-x) = -f(x) \).
Funkce je definována na množině reálných čísel kromě bodu, kde je jmenovatel nulový, což je v tomto případě \( x = 0 \), ale jelikož \( 1 + x^2 \neq 0 \) pro všechna reálná \( x \), funkce je definovaná všude na \(\mathbb{R}\).
Platí \( f(-x) = – f(x) \), čo definuje lichú funkciu.
Záver: funkcia je lichá.
59. Určete, zda je funkce \( f(x) = e^x + x^2 \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Definičný obor je celé reálne čísla. Funkcia má súčet exponenciálnej časti a kvadratickej časti.
Vypočítame pre \(-x\):
\( f(-x) = e^{-x} + (-x)^2 = e^{-x} + x^2 \)
Toto nie je ani rovné \( f(x) = e^x + x^2 \), ani rovné \(- f(x) = – e^x – x^2 \).
Funkcia teda nie je ani sudá, ani lichá.
Záver: funkcia je žiadna.
60. Určete, zda je funkce \( f(x) = x e^{-x^2} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Funkcia je definovaná na všetkých reálnych číslach. V predpise je súčin člena \( x \), ktorý je lichý, a funkcie \( e^{-x^2} \), ktorá závisí od \( x^2 \) a je sudá.
Platí \( f(-x) = – f(x) \), čo identifikuje lichú funkciu.
Záver: funkcia je lichá.
61. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^4 – 2x^2 + 3}{x^2 + 1} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme definice sudé a liché funkce. Funkce \( f \) je sudá, pokud pro každé reálné \( x \) platí \( f(-x) = f(x) \). Funkce je lichá, pokud pro každé \( x \) platí \( f(-x) = -f(x) \).
Nejprve zjistíme definiční obor funkce. Jmenovatel \( x^2 + 1 \) je vždy kladný, protože \( x^2 \geq 0 \) pro všechna reálná \( x \) a navíc přičítáme 1. Tedy funkce je definována na celém \(\mathbb{R}\).
Funkce splňuje podmínku lichosti, protože \( f(-x) = -f(x) \).
Závěr: funkce \( f(x) = \frac{x^5}{x^4 + 1} \) je lichá.
65. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} \) sudá, lichá, nebo žádná.
Řešení:
Nejprve si připomeneme definice sudé a liché funkce. Funkce je sudá, pokud pro všechna \( x \) v definičním oboru platí, že \( f(-x) = f(x) \). Funkce je lichá, pokud pro všechna \( x \) platí, že \( f(-x) = -f(x) \).
Definiční obor funkce je celé reálné číslo, protože jmenovatel \( x^2 + 1 \) je vždy kladný a nikdy není nulový.
Vidíme, že \( f(-x) = \frac{-x^3 – 2x}{x^2 + 1} \) je přesně rovno \(-f(x)\), tedy platí pro všechna \( x \).
To znamená, že funkce je lichá.
Závěrem: Funkce \( f(x) = \frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} \) je lichá funkce.
66. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^3 – 3x}{x^2 + 1} \) sudá, lichá, nebo žádná.
Řešení:
Nejprve si připomeneme definice sudé a liché funkce. Funkce je sudá, pokud platí \( f(-x) = f(x) \) pro všechna \( x \) v definičním oboru. Je lichá, pokud platí \( f(-x) = -f(x) \) pro všechna \( x \).
Funkce je definována na celém \(\mathbb{R}\), protože jmenovatel \( x^2 + 1 \) je vždy kladný a nikdy není nulový.
To znamená, zda platí: \(\frac{-x^3 + 3x}{x^2 + 1} = \frac{x^3 – 3x}{x^2 + 1}\). Tento výraz je ekvivalentní k \(-x^3 + 3x = x^3 – 3x\), což není pravda pro všechna \( x \) kromě \( x=0 \).
71. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^5 – 3x^3 + x}{x^4 + 1} \) sudá, lichá nebo žádná.
Řešení:
Nejprve si připomeneme definice sudé a liché funkce. Funkce je sudá, pokud platí \( f(-x) = f(x) \) pro všechna \( x \) z definičního oboru. Funkce je lichá, pokud platí \( f(-x) = -f(x) \) pro všechna \( x \).
Definiční obor funkce je celé reálné číslo, protože jmenovatel \( x^4 + 1 \) je pro všechna reálná \( x \) kladný a nikdy není nula.
Rovnice je splněna pouze pokud \( x = 0 \) nebo \( x^4 – 3x^2 + 1 = 0 \). Tato rovnice není pravdivá pro všechna \( x \) z definičního oboru. Proto rovnost \( f(-x) = f(x) \) neplatí obecně.
Funkce tedy není sudá.
Nyní ověříme lichost, zda platí \( f(-x) = -f(x) \):
Tedy \( f(-x) = f(x) \), což znamená, že funkce je sudá.
Pro úplnost zkontrolujeme lichost:
\[
-f(x) = -x^3 \sin x \neq f(-x)
\]
protože \( f(-x) = f(x) \neq -f(x) \) (pokud funkce není nulová).
Závěr: Funkce \( f(x) = x^3 \sin(x) \) je sudá.
79. Určete, zda funkce \( f(x) = \ln(|x|) \) je sudá, lichá nebo žádná.
Řešení:
Definiční obor funkce je \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), protože logaritmus je definován pouze pro kladná reálná čísla. Funkce používá absolutní hodnotu \( |x| \), která zajistí, že argument logaritmu bude vždy kladný.
Pro zjištění sudosti nebo lichosti spočítáme \( f(-x) \):
\[
f(-x) = \ln(|-x|) = \ln(|x|) = f(x)
\]
Funkce tedy splňuje podmínku sudé funkce \( f(-x) = f(x) \).
Zkontrolujeme lichost:
\[
-f(x) = -\ln(|x|)
\]
což se nerovná \( f(-x) = \ln(|x|) \), proto funkce není lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = \ln(|x|) \) je sudá.
80. Určete, zda je funkce \( f(x) = x^4 – x^2 + 3 \) sudá, lichá, nebo žádná.
Řešení:
Funkce je polynom, definiční obor je tedy všechna reálná čísla.
Tedy platí \( f(-x) = f(x) \) pro všechna \( x \), což znamená, že funkce je sudá.
Pro kontrolu lichosti spočítáme, zda \( f(-x) = -f(x) \) platí:
\[
-f(x) = -(x^4 – x^2 + 3) = -x^4 + x^2 – 3
\]
což se nerovná \( f(-x) = x^4 – x^2 + 3 \) obecně.
Závěr: Funkce \( f(x) = x^4 – x^2 + 3 \) je sudá.
81. Určete, zda je funkce \( f(x) = \frac{x^5 – x^3}{x^2 + 1} \) sudá, lichá, nebo žádná. Podrobně zdůvodněte.
Řešení:
Nejprve si připomeneme definice:
Funkce je sudá, pokud platí \( f(-x) = f(x) \) pro všechna \( x \) z definičního oboru, a lichá, pokud platí \( f(-x) = -f(x) \).
Definiční obor funkce \( f(x) = \frac{x^5 – x^3}{x^2 + 1} \) je všechna reálná čísla, protože jmenovatel \( x^2 + 1 \) je vždy kladný a nikdy není nulový.
Funkce tedy splňuje podmínku sudé funkce \( f(-x) = f(x) \).
Zkontrolujeme lichost:
\[
-f(x) = – (e^x + e^{-x}) \neq f(-x)
\]
proto funkce není lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = e^x + e^{-x} \) je sudá.
83. Určete, zda je funkce \( f(x) = x \tan x \) sudá, lichá, nebo žádná. Definiční obor uvažujte tam, kde je funkce definována.
Řešení:
Definiční obor funkce \( f(x) = x \tan x \) je množina všech reálných čísel kromě hodnot, kde je \(\tan x\) nedefinována, tj. \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \).
Zkontrolujeme sudost nebo lichost podle definic. Spočítáme \( f(-x) \):
\[
f(-x) = (-x) \tan(-x) = -x (-\tan x) = x \tan x = f(x)
\]
Funkce splňuje podmínku sudosti \( f(-x) = f(x) \).
Zkontrolujeme ještě lichost:
\[
-f(x) = -x \tan x \neq f(-x) = x \tan x
\]
proto funkce není lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = x \tan x \) je sudá na svém definičním oboru.
84. Určete, zda funkce \( f(x) = \arctan x + \arctan(-x) \) je sudá, lichá, nebo žádná.
Řešení:
Definiční obor funkce je \( \mathbb{R} \) (funkce arctan je definovaná pro všechna reálná čísla).
Podíváme se na výraz \( f(x) \):
\[
f(x) = \arctan x + \arctan(-x)
\]
Využijeme vlastnost \( \arctan(-x) = -\arctan x \), protože arctan je lichá funkce.
Dosadíme:
\[
f(x) = \arctan x – \arctan x = 0
\]
Tedy funkce je konstantní nulová funkce.
Konstantní funkce je jak sudá, tak lichá, protože pro všechna \( x \) platí
\[
f(-x) = 0 = f(x) = -f(x)
\]
Závěr: Funkce \( f(x) = \arctan x + \arctan(-x) \) je současně sudá i lichá, jde o nulovou funkci.
85. Určete, zda funkce \( f(x) = \sqrt{|x|} \) je sudá, lichá, nebo žádná.
Řešení:
Definiční obor je \( \mathbb{R} \), protože absolutní hodnota zajistí, že pod odmocninou je vždy nezáporné číslo.
Spočítáme \( f(-x) \):
\[
f(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = f(x)
\]
Funkce splňuje podmínku sudosti \( f(-x) = f(x) \).
Zkontrolujeme lichost:
\[
-f(x) = -\sqrt{|x|} \neq f(-x) = \sqrt{|x|}
\]
proto funkce není lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = \sqrt{|x|} \) je sudá.
86. Určete, zda funkce \( f(x) = \frac{x^3 – x}{x^2 + 1} \) je sudá, lichá nebo žádná.
Řešení:
Nejprve si všimneme definičního oboru funkce \( f \). Jmenovatel \( x^2 + 1 \) je vždy kladný pro všechna reálná čísla, tudíž definiční obor je celá množina reálných čísel \( \mathbb{R} \).
Závěr: Funkce \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \) je sudá.
90. Určete, zda funkce \( f(x) = \sin x + \cos x \) je sudá, lichá nebo žádná.
Řešení:
Definiční obor funkce je \( \mathbb{R} \).
Spočítáme \( f(-x) \):
\[
f(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x
\]
Porovnáme s \( f(x) = \sin x + \cos x \).
Ověříme sudost:
\[
f(-x) = -\sin x + \cos x \neq \sin x + \cos x = f(x)
\]
Ověříme lichost:
\[
f(-x) = -\sin x + \cos x \neq -(\sin x + \cos x) = -\sin x – \cos x
\]
Funkce není ani sudá, ani lichá.
Závěr: Funkce \( f(x) = \sin x + \cos x \) není sudá ani lichá.
91. Určete, zda funkce \( f(x) = \frac{x^3}{1+x^2} \) je sudá, lichá nebo žádná.
Řešení:
Nejprve si ověříme definiční obor funkce. Jmenovatel \(1 + x^2\) je pro všechna reálná čísla kladný, protože \(x^2 \geq 0\). Tedy definiční obor je celé \(\mathbb{R}\).
Dále zjistíme, zda funkce je sudá nebo lichá. Pro to spočítáme výraz \(f(-x)\):
Funkce splňuje podmínku sudosti \( f(-x) = f(x) \).
Zkontrolujeme, zda není lichá:
\[
f(-x) = f(x) \neq -f(x)
\]
Závěr: Funkce \( \cosh x \) je sudá.
96. Určete, zda funkce \( f(x) = \frac{x^5 – x^3}{x^2 + 1} \) je sudá, lichá nebo žádná.
Řešení:
Nejprve si ověříme definiční obor funkce. Jmenovatel \(x^2 + 1\) je pro všechna reálná čísla kladný, protože \(x^2 \geq 0\), tedy nikdy není nula. Definiční obor je tedy celé \(\mathbb{R}\).
Pro zjištění sudosti či lichosti funkce spočítáme výraz \(f(-x)\):
Z rovnosti \(f(-x) = -f(x)\) vyplývá, že funkce splňuje podmínku liché funkce.
Pro jistotu ověříme, že není sudá:
\[
f(-x) = -f(x) \neq f(x)
\]
Závěr: Funkce \( f(x) = \frac{x^5 – x^3}{x^2 + 1} \) je lichá.
97. Určete, zda funkce \( f(x) = \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \), kde \(x \in (-1,1)\), je sudá, lichá nebo žádná.
Řešení:
Definiční obor funkce je otevřený interval \((-1, 1)\), protože logaritmus je definován pro kladná čísla a výraz \(\frac{1+x}{1-x}\) je kladný právě v tomto intervalu.
