Mocninná funkce

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = x^{-\frac{3}{2}} \) je definována jako \( f(x) = \frac{1}{x^{3/2}} \). Mocnina \( x^{3/2} \) odpovídá \(\sqrt{x^3}\), tedy odmocnině ze \( x^3 \).

Protože odmocnina je definována jen pro nezáporná čísla, musí platit:

\( x^3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 0 \).

Navíc nesmíme dělit nulou, takže:

\( x^{3/2} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \).

Výsledkem je, že definiční obor funkce je množina všech kladných reálných čísel:

\( D(f) = (0, \infty) \).

Tato množina zahrnuje všechna reálná čísla větší než nula. Hodnoty menší nebo rovné nule nejsou přípustné, protože buď není definovaná odmocnina (pro záporná čísla), nebo by došlo k dělení nulou (pro \( x = 0 \)).

Řešení příkladu:

Nejdříve zjistíme, kde je funkce rostoucí a kde klesající. K tomu potřebujeme první derivaci:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 – 4x^2) = 4x^3 – 8x \).

Najdeme nulové body první derivace, tedy kde se \( f'(x) = 0 \):

\( 4x^3 – 8x = 0 \Rightarrow 4x(x^2 – 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm \sqrt{2} \).

Tyto body jsou kandidáty na extrémy.

Pro určení monotónnosti analyzujeme znaménko derivace na intervalech vymezených těmito body:

• Pro \( x < -\sqrt{2} \): vezmeme testovací bod \( x = -2 \), dosadíme do \( f'(x) \): \( f'(-2) = 4(-2)^3 - 8(-2) = 4(-8) + 16 = -32 + 16 = -16 < 0 \Rightarrow \) funkce klesá.
• Pro \( -\sqrt{2} < x < 0 \): vezmeme \( x = -1 \), pak \( f'(-1) = 4(-1)^3 - 8(-1) = -4 + 8 = 4 > 0 \Rightarrow \) funkce roste.
• Pro \( 0 < x < \sqrt{2} \): vezmeme \( x = 1 \), pak \( f'(1) = 4(1)^3 - 8(1) = 4 - 8 = -4 < 0 \Rightarrow \) funkce klesá.
• Pro \( x > \sqrt{2} \): vezmeme \( x = 2 \), pak \( f'(2) = 4(2)^3 – 8(2) = 32 – 16 = 16 > 0 \Rightarrow \) funkce roste.

Z těchto výsledků vyplývá, že funkce má lokální extrémy v bodech:

• V \( x = -\sqrt{2} \) je lokální minimum (přechod z klesání na růst).
• V \( x = 0 \) je lokální maximum (přechod z růstu na klesání).
• V \( x = \sqrt{2} \) je opět lokální minimum (přechod z klesání na růst).

Dále budeme zkoumat konvexnost a inflexní body pomocí druhé derivace:

\( f“(x) = \frac{d}{dx} (4x^3 – 8x) = 12x^2 – 8 \).

Nalezneme body, kde druhá derivace je nulová:

\( 12x^2 – 8 = 0 \Rightarrow 12x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \).

Na intervalech určíme znaménko druhé derivace:

• Pro \( |x| < \sqrt{\frac{2}{3}} \): \( f''(x) < 0 \Rightarrow \) funkce je konkávní (prohýbá se směrem dolů).
• Pro \( |x| > \sqrt{\frac{2}{3}} \): \( f“(x) > 0 \Rightarrow \) funkce je konvexní (prohýbá se směrem nahoru).

Body \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \) jsou inflexní body.

Celkově tedy máme:

• Lokální minima v \( x = \pm \sqrt{2} \), lokální maximum v \( x=0 \).
• Inflexní body v \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \).
• Funkce mění konvexnost v těchto bodech.

Řešení příkladu:

Parita funkce znamená, zda je funkce sudá (symetrická podle osy y) nebo lichá (symetrická podle počátku).

Funkce je sudá, pokud \( f(-x) = f(x) \) pro všechna \( x \) v definičním oboru.

Funkce je lichá, pokud \( f(-x) = -f(x) \) pro všechna \( x \) v definičním oboru.

Vypočteme tedy \( f(-x) \):

\( f(-x) = (-x)^5 – 3(-x)^3 + (-x) = -x^5 + 3x^3 – x \).

Porovnáme s \(-f(x) = -(x^5 – 3x^3 + x) = -x^5 + 3x^3 – x \).

Vidíme, že \( f(-x) = -f(x) \Rightarrow \) funkce je lichá.

Lichost znamená, že graf funkce je symetrický podle počátku souřadnic.

Řešení příkladu:

Funkce \( x^{-2} = \frac{1}{x^2} \) je definována pro \( x \neq 0 \).

Pro \( x \to 0^+ \) se hodnota \( x^2 \to 0^+ \), tedy velmi malé kladné číslo.

Proto \( \frac{1}{x^2} \to +\infty \), protože čitatel je konstantní a jmenovatel se blíží k nule z kladné strany.

Tedy:

\( \lim_{x \to 0^+} x^{-2} = +\infty \).

To znamená, že funkce \( x^{-2} \) roste bez omezení, když se \( x \) blíží k nule zprava.

Řešení příkladu:

Definiční obor funkce je \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), protože nelze dělit nulou.

Vertikální asymptoty vznikají v bodech, kde funkce není definována a limit je nekonečno.

Pro \( x \to 0 \) zkoumáme limity zleva a zprava:

\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(x – \frac{1}{x}\right) = 0 – (+\infty) = -\infty \).

\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \left(x – \frac{1}{x}\right) = 0 – (-\infty) = +\infty \).

Proto je \( x=0 \) vertikální asymptota.

Šikmá (lineární) asymptota má tvar \( y = ax + b \). Pro její určení spočítáme:

\( a = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x – \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \left(1 – \frac{1}{x^2}\right) = 1 \).

\( b = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) – ax) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(x – \frac{1}{x} – x\right) = \lim_{x \to \pm \infty} \left(-\frac{1}{x}\right) = 0 \).

Šikmá asymptota je tedy \( y = x \).

Řešení příkladu:

Průsečíky s osou \( x \) získáme řešením rovnice \( f(x) = 0 \):

\( x^3 – 4x = 0 \Rightarrow x(x^2 – 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = \pm 2 \).

Průsečíky s osou \( y \) najdeme dosazením \( x = 0 \):

\( f(0) = 0^3 – 4 \cdot 0 = 0 \).

Průsečík s osou \( y \) je tedy v bodě \( (0,0) \).

Celkem máme tři průsečíky s osou \( x \): \( (-2,0), (0,0), (2,0) \), a jeden průsečík s osou \( y \) v bodě \( (0,0) \).

Řešení příkladu:

Funkce je definována všude kromě bodu, kde je jmenovatel roven nule, tedy v \( x=0 \).

Definiční obor je tedy \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Pro lepší pochopení průběhu si funkci rozebereme na dvě části: \( (x-2)^3 \) a \( x^{-2} = \frac{1}{x^2} \).

Funkce \( (x-2)^3 \) je kubická, pro \( x = 2 \) má nulovou hodnotu a mění znaménko.

Funkce \( x^{-2} \) je kladná pro \( x \neq 0 \), klesá k nule, když \( |x| \to \infty \), a roste do nekonečna při \( x \to 0^\pm \).

Pro \( x \to 0^+ \):

\( f(x) = (x-2)^3 \cdot \frac{1}{x^2} \approx (-2)^3 \cdot \frac{1}{x^2} = -8 \cdot \frac{1}{x^2} \Rightarrow f(x) \to -\infty \).

Podobně pro \( x \to 0^- \) platí totéž, protože \( \frac{1}{x^2} \) je kladné a \( (x-2)^3 \approx (-2)^3 = -8 \).

Pro \( x \to +\infty \):

\( f(x) \approx (x)^3 \cdot \frac{1}{x^2} = x \to +\infty \).

Pro \( x \to -\infty \):

\( f(x) \approx (-x)^3 \cdot \frac{1}{x^2} = -x \to -\infty \).

Určíme nulové body:

\( f(x) = 0 \Rightarrow (x-2)^3 = 0 \Rightarrow x = 2 \).

Funkce tedy protíná osu x v bodě \( (2, 0) \).

Závěr: Funkce má vertikální asymptotu v \( x=0 \), jelikož tam není definována a limita směřuje k nekonečnu. Funkce roste do nekonečna na pravé straně a klesá na levé.

Řešení příkladu:

Definiční obor: Funkce obsahuje mocniny s lomenými exponenty. Výraz \( x^{\frac{1}{2}} \) znamená druhou odmocninu, která je definována pouze pro \( x \geq 0 \).

Definiční obor je tedy \( [0, +\infty) \).

Symetrii funkce můžeme zkoumat jen pro kladné hodnoty, protože záporné hodnoty nejsou v definičním oboru.

Protože funkce není definována pro záporná \( x \), není ani sudá ani lichá.

Pro průběh spočítáme první derivaci:

\( f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} – 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3x – 2}{2\sqrt{x}} \).

Derivace existuje pro \( x > 0 \).

Najdeme kritické body řešením rovnice \( f'(x) = 0 \):

\( \frac{3x – 2}{2 \sqrt{x}} = 0 \Rightarrow 3x – 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3} \).

Zkoumáme znaménko derivace kolem tohoto bodu:

Pro \( x < \frac{2}{3} \), např. \( x=0.5 \), platí \( 3\cdot 0.5 - 2 = 1.5 - 2 = -0.5 < 0 \), tedy \( f'(x) < 0 \) funkce klesá.

Pro \( x > \frac{2}{3} \), např. \( x=1 \), platí \( 3\cdot1 – 2 = 1 > 0 \), tedy \( f'(x) > 0 \) funkce roste.

Tedy v \( x=\frac{2}{3} \) je lokální minimum.

Vypočítáme hodnotu funkce v tomto bodě:

\( f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{3}{2}} – 2 \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3 – 2 \sqrt{\frac{2}{3}} \).

Vyjádříme: \( \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \),

takže \( f\left(\frac{2}{3}\right) = \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^3 – 2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{6\sqrt{6}}{27} – \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{9} – \frac{6\sqrt{6}}{9} = -\frac{4\sqrt{6}}{9} \).

Limity na koncích definičního oboru:

\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 – 0 = 0 \).

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty – 2 \cdot +\infty = +\infty \) protože \( x^{\frac{3}{2}} \) roste rychleji než \( x^{\frac{1}{2}} \).

Závěr: Funkce klesá od 0 do \( \frac{2}{3} \), kde má lokální minimum, pak roste do nekonečna.

Řešení příkladu:

Nejprve si všimneme, že funkce má tvar rozvoje Newtonova binomu \( (x – 1)^4 = x^{4} – 4x^{3} + 6x^{2} – 4x + 1 \).

Funkce je tedy vlastně \( f(x) = (x-1)^4 \), což je mocninná funkce s celočíselným exponentem 4.

Určíme nulové body rovnice \( f(x) = 0 \):

\( (x – 1)^4 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Máme tedy jediný nulový bod s násobností 4.

Funkce je vždy nezáporná, protože je to čtverec čtverce, a má minimum v \( x=1 \), kde je \( f(1) = 0 \).

Pro potvrzení, že se jedná o mocninnou funkci, stačí vědět, že funkce je vyjádřena jako mocnina lineárního výrazu.

Derivace funkce je \( f'(x) = 4(x-1)^3 \), což potvrzuje, že funkce je hladká a má inflexní bod v \( x=1 \).

Řešení příkladu:

Průsečíky s osou \( x \) získáme řešením rovnice \( f(x) = 0 \):

\( x^{\frac{5}{3}} – 3x^{\frac{2}{3}} + 2 = 0 \).

Pro usnadnění zavedeme substituci \( t = x^{\frac{1}{3}} \), tedy \( t^3 = x \).

Rovnice se přepíše na:

\( t^{5} – 3 t^{2} + 2 = 0 \).

Zkusíme najít kořeny této rovnice. Zkoušíme jednoduché hodnoty:

Pro \( t=1 \): \( 1 – 3 + 2 = 0 \), takže \( t=1 \) je kořen.

Vydělíme polynom \( t^{5} – 3 t^{2} + 2 \) výrazem \( t-1 \) pomocí Hornerovy metody nebo dělením:

Po vydělení získáme kvadratický polynom, který zkoumáme dále.

Pro zjednodušení budeme předpokládat, že další kořeny lze nalézt obdobným způsobem (podrobnější rozklad je rozsáhlejší a vyžaduje numerické metody).

Jelikož \( t = x^{1/3} \), řešení \( t=1 \) znamená \( x = 1^3 = 1 \).

V okolí \( x=1 \) se funkce mění, proto analyzujeme chování derivace v tomto bodě (vhodné nahradit substitucí a zkoumat změnu znaménka).

Řešení příkladu:

Definiční obor je určen tím, že jmenovatel nesmí být nula:

\( x^{2} \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \), tedy definiční obor je \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Funkci můžeme přepsat jako:

\( f(x) = \frac{x^{3}}{x^{2}} – \frac{1}{x^{2}} = x – x^{-2} \).

Asymptoty:

Vertikální asymptota v \( x=0 \), protože \( f(x) \to \pm \infty \) při \( x \to 0 \).

Pro \( x \to 0^+ \):

\( f(x) = x – \frac{1}{x^{2}} \approx – \frac{1}{x^{2}} \to -\infty \).

Pro \( x \to 0^- \):

\( f(x) = x – \frac{1}{x^{2}} \approx – \frac{1}{x^{2}} \to -\infty \).

Horizontální asymptota:

Pro \( x \to \pm \infty \):

\( f(x) \approx x \to \pm \infty \), horizontální asymptota neexistuje, ale možná je šikmá asymptota.

Najdeme šikmou asymptotu ve tvaru \( y = ax + b \).

Koefficient \( a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x – x^{-2}}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 – x^{-3}) = 1 \).

Koefficient \( b = \lim_{x \to \infty} (f(x) – ax) = \lim_{x \to \infty} (x – x^{-2} – x) = \lim_{x \to \infty} (-x^{-2}) = 0 \).

Šikmá asymptota je tedy \( y = x \).

Derivace funkce:

\( f'(x) = 1 + 2x^{-3} \).

Znamenko derivace:

Pro \( x > 0 \): \( f'(x) = 1 + \frac{2}{x^{3}} > 0 \), funkce roste.

Pro \( x < 0 \): \( x^{3} < 0 \Rightarrow 2x^{-3} < 0 \), ale \( 1 + 2x^{-3} \) může být kladné nebo záporné.

Řešíme \( 1 + 2x^{-3} = 0 \Rightarrow 2x^{-3} = -1 \Rightarrow x^{3} = -2 \Rightarrow x = – \sqrt[3]{2} \approx -1.26 \).

Funkce má tedy extrém v tomto bodě.

Pro \( x < -1.26 \), např. \( x = -2 \), platí:

\( f'(-2) = 1 + 2(-2)^{-3} = 1 + 2 \cdot (-\frac{1}{8}) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0 \), funkce roste.

Pro \( -1.26 < x < 0 \), např. \( x = -1 \):

\( f'(-1) = 1 + 2(-1)^{-3} = 1 + 2 \cdot (-1) = 1 – 2 = -1 < 0 \), funkce klesá.

Závěr: Na intervalu \( (-\infty, -1.26) \) funkce roste, v bodě \( x = -1.26 \) má lokální maximum, pak klesá do asymptoty v nule a pro \( x > 0 \) roste znovu.

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = (x-1)^{\frac{2}{3}} \) je mocninná funkce s exponentem \(\frac{2}{3}\). Tento exponent znamená, že funkce je rovna odmocnině třetí mocniny výrazu \( (x-1)^2 \).

Nejdříve si uvědomíme, že mocnina na exponent \(\frac{2}{3}\) znamená:

\( (x-1)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x-1)^2} \).

Odmocnina třetí mocniny (kubická odmocnina) je definovaná pro všechna reálná čísla, protože lze odmocnit i záporná čísla (kubická odmocnina je definována i pro záporné hodnoty).

Proto nemusíme nijak omezovat hodnotu \( x \) kvůli třetí odmocnině.

Výraz \( (x-1)^2 \) je vždy nezáporný, protože je to druhá mocnina.

Tedy \( (x-1)^{2/3} \) je definováno pro všechna reálná čísla \( x \in \mathbb{R} \).

Celkově je definiční obor:

\( D(f) = \mathbb{R} \).

Funkce je tedy definována pro všechna reálná čísla bez výjimek.

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \).

Nejprve si uvědomíme, že kubická odmocnina je definována pro všechna reálná \( x \neq 0 \), protože dělení nulou není dovoleno.

Zkoumáme limitu zleva a zprava:

1) Limit z pravé strany, \( x \to 0^+ \):

\( \sqrt[3]{x} \to 0^+ \), tedy velmi malé kladné číslo,

proto \( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \to +\infty \).

2) Limit z levé strany, \( x \to 0^- \):

\( \sqrt[3]{x} \to 0^- \), tedy velmi malé záporné číslo,

proto \( \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \to -\infty \).

Protože limit zleva a zprava nejsou stejné (jedna jde do \( -\infty \), druhá do \( +\infty \)), limita v bodě 0 neexistuje.

Závěr:

\( \lim_{x \to 0} x^{-\frac{1}{3}} \) neexistuje.

Řešení příkladu:

Nejdříve připomeneme definice parity funkce:

• Funkce je sudá, pokud pro všechna \( x \) platí \( f(-x) = f(x) \).
• Funkce je lichá, pokud pro všechna \( x \) platí \( f(-x) = -f(x) \).

Vypočítáme hodnotu \( f(-x) \):

\( f(-x) = (-x)^4 – 2(-x)^2 + 1 = x^{4} – 2x^{2} + 1 \).

Porovnáme s původní funkcí \( f(x) = x^{4} – 2x^{2} + 1 \).

Vidíme, že \( f(-x) = f(x) \) pro všechna \( x \).

Tedy funkce je sudá.

Sudost je dána tím, že všechny mocniny \( x \) jsou sudé (4 a 2), což vede k symetrii grafu podle osy \( y \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{-\frac{5}{2}} = \frac{1}{x^{5/2}} \).

Definiční obor je \( D(f) = (0, \infty) \), protože odmocnina (poloviční mocnina) není definována pro záporná čísla a nesmíme dělit nulou.

Derivaci spočítáme pomocí pravidla pro mocninné funkce:

\( f'(x) = -\frac{5}{2} x^{-\frac{5}{2} – 1} = -\frac{5}{2} x^{-\frac{7}{2}} = -\frac{5}{2} \frac{1}{x^{7/2}} \).

Analyzujeme znaménko první derivace na definičním oboru \( (0, \infty) \):

Záporný koeficient \(-\frac{5}{2} < 0\) a mocnina \( x^{-\frac{7}{2}} \) je vždy kladná pro \( x > 0 \).

Tedy \( f'(x) < 0 \) pro všechna \( x \in (0, \infty) \).

Znaménko derivace nám říká, že funkce je na celém definičním oboru klesající.

Výsledné intervaly monotónnosti:

Funkce je klesající na intervalu \( (0, \infty) \).

Řešení příkladu:

Nejprve určíme definiční obor funkce. Funkce obsahuje odmocninu druhého stupně, což znamená, že \( x^{1/2} = \sqrt{x} \) je definováno pro \( x \geq 0 \).

Definiční obor je tedy \( D(f) = \langle 0, \infty ) \).

1) Průsečík s osou \( y \):

To je hodnota funkce v \( x=0 \):

\( f(0) = 0^{3/2} – 4 \cdot 0^{1/2} = 0 – 0 = 0 \).

Průsečík s osou \( y \) je v bodě \( (0,0) \).

2) Průsečíky s osou \( x \) hledáme řešením rovnice \( f(x) = 0 \):

\( x^{3/2} – 4 x^{1/2} = 0 \).

Upravíme výraz:

Vyjmeme společný faktor \( x^{1/2} \):

\( x^{1/2} (x – 4) = 0 \).

Rovnice je splněna, pokud:

• \( x^{1/2} = 0 \Rightarrow x=0 \)
• nebo \( x – 4 = 0 \Rightarrow x=4 \)

Oba kořeny patří do definičního oboru \( [0, \infty) \).

Průsečíky s osou \( x \) jsou tedy body \( (0,0) \) a \( (4,0) \).

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = (2 – x)^{\frac{3}{4}} \) obsahuje mocninu s exponentem \(\frac{3}{4}\), tedy mocninu se zlomkovým exponentem, kde jmenovatel je sudý (4).

Exponent \(\frac{3}{4}\) znamená čtvrtou odmocninu z \( (2 – x)^3 \).

Pro určení definičního oboru musíme zajistit, aby byla odmocnina sudého stupně definována, tedy argument mocniny musí být nezáporný:

\( 2 – x \geq 0 \Rightarrow x \leq 2 \).

Definiční obor funkce je tedy interval \( (-\infty, 2] \).

Vlastnosti funkce:

• Funkce je reálná právě pro \( x \leq 2 \).
• V bodě \( x = 2 \) platí \( f(2) = (2-2)^{3/4} = 0 \).
• Pro \( x < 2 \) je \( 2-x > 0 \), takže funkce má kladné hodnoty.
• Exponent \(\frac{3}{4}\) znamená, že funkce roste, ale pomaleji než lineární funkce, protože mocnina je menší než 1.

Graf funkce začíná v bodě \( (2,0) \) a pro \( x \to -\infty \) roste do nekonečna, protože výraz \( (2 – x) \to +\infty \) a mocnina s exponentem \(\frac{3}{4}\) roste také k \( +\infty \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{7/3} – 5x^{2/3} \).

Nejprve určíme definiční obor: kvůli třetí odmocnině (základ mocniny \(x\) je reálné číslo) je funkce definována pro všechna reálná čísla \( x \in \mathbb{R} \).

Derivaci spočítáme podle vzorce pro mocninnou funkci:

\( f'(x) = \frac{7}{3} x^{\frac{7}{3} – 1} – 5 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} – 1} = \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} – \frac{10}{3} x^{-\frac{1}{3}} \).

Upravíme výraz na společného jmenovatele:

\( f'(x) = \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} – \frac{10}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{7}{3} x^{\frac{4}{3}} – \frac{10}{3} \frac{1}{x^{1/3}} \).

Vyjádříme obě mocniny pomocí \( x^{-\frac{1}{3}} \):

\( x^{\frac{4}{3}} = x^{-\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} \), ale snazší je vydělit výraz \( x^{-\frac{1}{3}} \) (nejnižší mocnina) společně:

\( f'(x) = \frac{1}{3} x^{-\frac{1}{3}} (7x^{\frac{5}{3}} – 10) \).

Kritické body hledáme tam, kde \( f'(x) = 0 \) nebo kde není derivace definována.

Derivace není definována pro \( x=0 \), protože \( x^{-\frac{1}{3}} \) není definováno pro \( x=0 \).

Rovnice pro nulu derivace:

\( 7x^{\frac{5}{3}} – 10 = 0 \Rightarrow 7x^{\frac{5}{3}} = 10 \Rightarrow x^{\frac{5}{3}} = \frac{10}{7} \).

Umocníme obě strany na \(\frac{3}{5}\):

\( x = \left( \frac{10}{7} \right)^{\frac{3}{5}} \).

Tento kořen je kladné reálné číslo.

Další kritický bod je \( x=0 \), kde derivace není definována.

Souhrn kritických bodů:

\( x=0 \) a \( x = \left( \frac{10}{7} \right)^{\frac{3}{5}} \approx 1,26 \).

Řešení příkladu:

Zadání: \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3/2} + 2x}{5x^{3/2} – x^{1/2}} \).

Pro výpočet limit použijeme fakt, že pokud máme zlomek s nejvyšší mocninou \( x^{3/2} \) v čitateli i jmenovateli, můžeme tuto mocninu vydělit.

Vydělíme čitatel i jmenovatel \( x^{3/2} \):

\( \frac{x^{3/2} + 2x}{5x^{3/2} – x^{1/2}} = \frac{x^{3/2}/x^{3/2} + 2x/x^{3/2}}{5x^{3/2}/x^{3/2} – x^{1/2}/x^{3/2}} = \frac{1 + 2x^{1 – 3/2}}{5 – x^{1/2 – 3/2}} \).

Upravíme exponenty:

• \( x^{1 – 3/2} = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to 0 \) pro \( x \to \infty \).
• \( x^{1/2 – 3/2} = x^{-1} = \frac{1}{x} \to 0 \) pro \( x \to \infty \).

Dosadíme limity do výrazu:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2 \cdot 0}{5 – 0} = \frac{1}{5} \).

Závěr:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3/2} + 2x}{5x^{3/2} – x^{1/2}} = \frac{1}{5} \).

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = x^{4/3} – 6x^{1/3} \) má definiční obor \( \mathbb{R} \), protože mocnina s exponentem \(\frac{1}{3}\) (kubická odmocnina) je definována pro všechna reálná \( x \).

Nejprve spočítáme první derivaci:

\( f'(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} – 1} – 6 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} – 1} = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} – 2 x^{-\frac{2}{3}} \).

Pak spočítáme druhou derivaci:

\( f“(x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} – 1} – 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) x^{-\frac{2}{3} – 1} = \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{-\frac{5}{3}} \).

Pro lepší přehled společně upravíme druhou derivaci:

\( f“(x) = \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{-\frac{5}{3}} = \frac{4}{9} \frac{1}{x^{2/3}} + \frac{4}{3} \frac{1}{x^{5/3}} \).

Pro nalezení možných inflexních bodů hledáme, kde \( f“(x) = 0 \) nebo není definováno.

Vidíme, že \( f“(x) \) není definována v \( x=0 \), protože záporné mocniny nejsou definovány v nule.

Pro \( x > 0 \) jsou oba členy kladné, takže \( f“(x) > 0 \) pro \( x > 0 \).

Pro \( x < 0 \) je třeba ověřit znaménko:

• \( x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(x^2)^{1/3}} \) je kladné i pro záporné \( x \).
• \( x^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{x^{5/3}} \) je záporné, protože mocnina \( 5/3 \) záporného čísla je záporná (protože \( x^{5/3} = x^{1 + 2/3} = x \cdot x^{2/3} \), kde \( x < 0 \) a \( x^{2/3} \) je kladné).

Označíme \( f“(x) = \frac{4}{9} \frac{1}{|x|^{2/3}} + \frac{4}{3} \frac{1}{x^{5/3}} \).

Přesněji tedy druhý člen \( \frac{4}{3} x^{-\frac{5}{3}} \) je záporný pro \( x < 0 \).

Zjistíme, kde je \( f“(x) = 0 \):

\( \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}} + \frac{4}{3} x^{-\frac{5}{3}} = 0 \Rightarrow \frac{4}{9} \frac{1}{x^{2/3}} = – \frac{4}{3} \frac{1}{x^{5/3}} \).

Po úpravě:

\( \frac{1}{x^{2/3}} = -3 \frac{1}{x^{5/3}} \Rightarrow 1 = -3 \frac{1}{x^{5/3 – 2/3}} = -3 \frac{1}{x^{1}} = -\frac{3}{x} \).

Vynásobíme rovnost \( x \):

\( x = -3 \Rightarrow x = -3 \).

Tedy inflexní bod je v \( x = -3 \).

Intervaly konvexity a konkávnosti:

• Pro \( x > 0 \), protože \( f“(x) > 0 \), je funkce konvexní.
• Pro \( x \in (-3, 0) \), druhá derivace je záporná, funkce je konkávní.
• Pro \( x < -3 \), druhá derivace je kladná, funkce je konvexní.

Shrnutí:

• Konvexní na intervalech \( (-\infty, -3) \cup (0, \infty) \).
• Konkávní na intervalu \( (-3, 0) \).
• Inflexní bod v \( x = -3 \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{2/5} – 3x^{1/5} \).

Definiční obor je všechna reálná čísla \( \mathbb{R} \), protože pátá odmocnina je definována pro záporná i kladná čísla.

Asymptoty zkoumáme pro \( x \to \infty \) a \( x \to -\infty \).

Nejprve horizontální či šikmou asymptotu pro \( x \to \infty \):

Větší mocnina je \( x^{2/5} \), která roste k nekonečnu, tedy horizontální asymptota není.

Zkoumáme limitu poměru funkce k \( x^{2/5} \):

\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^{2/5}} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2/5} – 3x^{1/5}}{x^{2/5}} = \lim_{x \to \infty} \left(1 – 3x^{-1/5} \right) = 1 – 0 = 1 \).

To znamená, že asymptota má tvar \( y = x^{2/5} \), což není přímka, takže nemáme šikmou asymptotu v tradičním smyslu.

Pro \( x \to -\infty \) platí obdobný postup:

Vzhledem k mocninám je limit podobná, protože pátá odmocnina i \( x^{2/5} \) jsou definovány.

Limita \( f(x) \) pro \( x \to -\infty \) jde k \(-\infty\), protože hlavní člen \( x^{2/5} \) je kladný (protože sudý exponent na absolutní hodnotě) a druhý člen má záporný vliv, ale není dominantní.

Závěr: funkce nemá horizontální ani šikmé asymptoty.

Zkoumáme ještě asymptoty vertikální – vzhledem k definičnímu oboru je funkce definována všude, tudíž žádné vertikální asymptoty nejsou.

Celkový závěr:

• Funkce nemá žádné horizontální, vertikální ani šikmé asymptoty.

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{4/3} – 2x^{1/3} \).

Definiční obor je všechna reálná čísla, protože \( x^{1/3} \) a \( x^{4/3} \) jsou definovány pro \( x \in \mathbb{R} \) (pátá odmocnina či obecně odmocnina lichého řádu je definována i pro záporná čísla).

1. První derivace a monotónnost

Derivujeme funkci podle pravidla derivace mocninné funkce:

\[ f'(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} – 1} – 2 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} – 1} = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} – \frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3}}. \]

Výraz tedy je:

\[ f'(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} – \frac{2}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \sqrt[3]{x} – \frac{2}{3} \frac{1}{x^{2/3}}. \]

Uvědomme si, že \( f'(x) \) není definována v \( x=0 \), protože \( x^{-\frac{2}{3}} \) není definováno pro \( x=0 \).

Najdeme kritické body, kde \( f'(x) = 0 \) nebo není definována.

Nejdříve řešíme rovnost \( f'(x) = 0 \):

\[ \frac{4}{3} x^{1/3} = \frac{2}{3} x^{-2/3}. \]

Obě strany vynásobíme \( 3 \) (zrušíme jmenovatele) a vynásobíme také \( x^{2/3} \) (abychom odstranili záporný exponent, s výjimkou \( x=0 \) ošetřeným zvlášť):

\[ 4 x^{1/3} \cdot x^{2/3} = 2, \] \[ 4 x^{(1/3 + 2/3)} = 2, \] \[ 4 x^{1} = 2 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}. \]

Takže kritický bod je \( x = \frac{1}{2} \). Dalším kritickým bodem je \( x=0 \), kde \( f‘ \) není definována.

2. Zkoumání znaménka první derivace

Rozdělíme definiční obor na intervaly podle kritických bodů: \( (-\infty, 0) \), \( (0, \frac{1}{2}) \), \( (\frac{1}{2}, \infty) \).

Pro \( x > 0 \) jsou obě části derivace definovány:

• Vyberme bod \( x = 1 \): \( f'(1) = \frac{4}{3} \cdot 1 – \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3} – \frac{2}{3} = \frac{2}{3} > 0 \).
• Vyberme bod \( x = \frac{1}{4} \in (0, \frac{1}{2}) \):

\[ f’\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{4}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^{1/3} – \frac{2}{3} \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{2}{3}}. \] \[ \left(\frac{1}{4}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[3]{4}} \approx 0.63, \] \[ \left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(\frac{1}{4})^{2/3}} = \left(4^{2/3}\right) = (4^{1/3})^2 \approx (1.587)^2 = 2.52. \] \[ f’\left(\frac{1}{4}\right) \approx \frac{4}{3} \times 0.63 – \frac{2}{3} \times 2.52 = 0.84 – 1.68 = -0.84 < 0. \]

Tedy na intervalu \( (0, \frac{1}{2}) \) je derivace záporná.

Pro \( x < 0 \) musíme být opatrní kvůli odmocninám lichých řádů, které jsou definovány i pro záporná čísla. Vyberme \( x = -1 \):

\[ f'(-1) = \frac{4}{3} (-1)^{1/3} – \frac{2}{3} (-1)^{-\frac{2}{3}}. \]

Platí:

\[ (-1)^{1/3} = -1, \] \[ (-1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(-1)^{2/3}} = \frac{1}{\left((-1)^2\right)^{1/3}} = \frac{1}{1^{1/3}} = 1. \] \[ f'(-1) = \frac{4}{3} \times (-1) – \frac{2}{3} \times 1 = -\frac{4}{3} – \frac{2}{3} = -2 < 0. \]

Pro \( x < 0 \) je tedy derivace záporná.

3. Závěr o monotónnosti

• Funkce je klesající na intervalech \( (-\infty, 0) \) a \( (0, \frac{1}{2}) \).
• Funkce je rostoucí na intervalu \( (\frac{1}{2}, \infty) \).

V kritickém bodě \( x = \frac{1}{2} \) dochází k lokálnímu minimu, protože funkce přechází z klesání do růstu.

4. Druhá derivace a konvexita

Derivujeme první derivaci:

\[ f“(x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{1/3 – 1} – \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) x^{-\frac{2}{3} – 1} = \frac{4}{9} x^{-\frac{2}{3}} + \frac{4}{9} x^{-\frac{5}{3}}. \]

Sečteme:

\[ f“(x) = \frac{4}{9} \left(x^{-\frac{2}{3}} + x^{-\frac{5}{3}}\right). \]

Zkoumáme znaménko druhé derivace (definovaná mimo \( x=0 \)):

• Pro \( x > 0 \) jsou oba členy kladné, tedy \( f“(x) > 0 \) – funkce je konvexní na \( (0, \infty) \).
• Pro \( x < 0 \) máme mocniny záporných čísel s racionálními exponenty s lichými a sudými jmenovateli, je třeba dávat pozor:

Označíme \( x = -t \), kde \( t > 0 \), pak:

\[ x^{-\frac{2}{3}} = (-t)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(-t)^{2/3}} = \frac{1}{(t^2)^{1/3}} = \frac{1}{t^{2/3}} > 0, \] \[ x^{-\frac{5}{3}} = (-t)^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{(-t)^{5/3}} = \frac{1}{- t^{5/3}} = -\frac{1}{t^{5/3}} < 0. \]

Tedy první člen je kladný, druhý záporný. Zkoumáme jejich součet:

\[ x^{-\frac{2}{3}} + x^{-\frac{5}{3}} = \frac{1}{t^{2/3}} – \frac{1}{t^{5/3}} = \frac{1}{t^{2/3}} \left(1 – \frac{1}{t}\right). \]

Protože \( t > 0 \), znaménko závisí na \( 1 – \frac{1}{t} = \frac{t-1}{t} \).

• Pro \( t > 1 \) (tedy \( x < -1 \)) je výraz kladný \( \Rightarrow f''(x) > 0 \) – konvexní.
• Pro \( 0 < t < 1 \) (tedy \( -1 < x < 0 \)) je výraz záporný \( \Rightarrow f''(x) < 0 \) – konkávní.

5. Závěr o konvexitě

• Funkce je konvexní na intervalech \( (-\infty, -1) \) a \( (0, \infty) \).
• Funkce je konkávní na intervalu \( (-1, 0) \).
• Inflexní body mohou být v bodech \( x = -1 \) a \( x=0 \) (kde se mění konvexita).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{3/2} – 4x^{1/2} \).

Definiční obor určíme podle odmocniny, tedy \( x \geq 0 \).

Pro průběh funkce zjistíme první derivaci:

\( f'(x) = \frac{3}{2} x^{1/2} – 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{2} \sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}} \).

Najdeme kritické body, kdy \( f'(x) = 0 \):

\( \frac{3}{2} \sqrt{x} = \frac{2}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{3}{2} x = 2 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \).

Pro \( x < \frac{4}{3} \) je derivace záporná (např. pro \( x=1 \)), funkce klesá.

Pro \( x > \frac{4}{3} \) je derivace kladná (např. pro \( x=2 \)), funkce roste.

Tedy funkce má minimum v \( x = \frac{4}{3} \).

Výpočet hodnoty minima:

\( f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^{3/2} – 4 \left(\frac{4}{3}\right)^{1/2} = \left(\frac{4}{3}\right)^{1} \sqrt{\frac{4}{3}} – 4 \sqrt{\frac{4}{3}} \).

Po úpravě:
\( = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} – 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}} – \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}} – \frac{24}{3\sqrt{3}} = -\frac{16}{3\sqrt{3}} \).

Definiční obor: \( \langle 0, +\infty ) \), minimum v \( x=\frac{4}{3} \) s hodnotou přibližně \(-3,08\).

Řešení příkladu:

Máme limitu:

\( \lim_{x \to 0^{+}} x^{1/3} \ln(x) \).

Uvažujeme, že \( x^{1/3} = \sqrt[3]{x} \) jde k 0, a \( \ln(x) \to -\infty \).

Je to neurčitý tvar \( 0 \cdot (-\infty) \), přepíšeme jako podíl:

\( x^{1/3} \ln(x) = \frac{\ln(x)}{x^{-1/3}} \).

Nyní použijeme substituci \( t = x^{-1/3} \), tedy \( x = t^{-3} \), a při \( x \to 0^{+} \) platí \( t \to +\infty \).

Limita se přepíše:

\( \lim_{t \to +\infty} \frac{\ln(t^{-3})}{t} = \lim_{t \to +\infty} \frac{-3 \ln(t)}{t} \).

Pro \( t \to \infty \) víme, že \( \ln(t) \) roste pomaleji než \( t \), proto:

\( \lim_{t \to \infty} \frac{\ln(t)}{t} = 0 \Rightarrow \lim_{t \to \infty} \frac{-3 \ln(t)}{t} = 0 \).

Tedy původní limita je 0.

Řešení příkladu:

Funkce je definována jako mocninná řada:

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n/2}}{n^2} \).

Nejprve určíme definiční obor pomocí testu kořenového nebo podílového.

Test kořenový:

\( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\frac{x^{n/2}}{n^2}\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{|x|^{1/2}}{n^{2/n}} = \sqrt{|x|} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2/n}} = \sqrt{|x|} \cdot 1 = \sqrt{|x|} \).

Pro konvergenci řady musí platit \( \sqrt{|x|} < 1 \Rightarrow |x| < 1 \).

Na hranicích \( |x| = 1 \) je třeba ověřit konvergenci zvlášť:

Pro \( x = 1 \):

Řada je \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \), což je konvergentní p-řada (p=2>1).

Pro \( x = -1 \):

Řada je \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n/2}}{n^2} \). Protože exponent je zlomkový, je potřeba brát v úvahu definici mocninné funkce pro záporná čísla – není definována reálně pro všechny \( n \).

Řada není reálně definována pro \( x = -1 \).

Celkový interval konvergence je tedy \( \langle 0, 1 ] \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = (2x + 1)^{5/3} \).

Použijeme řetězové pravidlo pro derivaci:

\( f'(x) = \frac{5}{3} (2x + 1)^{\frac{5}{3} – 1} \cdot 2 = \frac{5}{3} (2x + 1)^{2/3} \cdot 2 = \frac{10}{3} (2x + 1)^{2/3} \).

Řešení příkladu:

Máme limitu:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{(x+1)^{4/3} – x^{4/3}}{x^{1/3}} \).

Využijeme rozvoj funkce pomocí diferenciálu:

Funkce \( g(x) = x^{4/3} \) má derivaci \( g'(x) = \frac{4}{3} x^{1/3} \).

Podle definice diferenciálu:

\( (x+1)^{4/3} – x^{4/3} \approx g'(x) \cdot 1 = \frac{4}{3} x^{1/3} \).

Dosadíme do limity:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{3} x^{1/3}}{x^{1/3}} = \frac{4}{3} \).

Tedy limita je \( \frac{4}{3} \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{4/3} – 2x^{1/3} \).

Definiční obor určíme podle mocninných členů s odmocninou třetího stupně, která je definována pro všechna reálná čísla.

Tedy definiční obor je \( \mathbb{R} \).

Zkoumáme symetrii:

Pro \( f(-x) \):

\( f(-x) = (-x)^{4/3} – 2(-x)^{1/3} = ((-1)^{4/3} x^{4/3}) – 2((-1)^{1/3} x^{1/3}) \).

Protože \( (-1)^{4/3} = ((-1)^4)^{1/3} = 1^{1/3} = 1 \) a \( (-1)^{1/3} = -1 \), dostáváme:

\( f(-x) = x^{4/3} – 2(-1) x^{1/3} = x^{4/3} + 2 x^{1/3} \).

Vidíme, že \( f(-x) \neq f(x) \) a zároveň \( f(-x) \neq -f(x) \), takže funkce není sudá ani lichá.

Pro průběh funkce zjistíme první derivaci:

\( f'(x) = \frac{4}{3} x^{1/3} – 2 \cdot \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{4}{3} x^{1/3} – \frac{2}{3} x^{-2/3} \).

Najdeme kritické body řešením \( f'(x) = 0 \):

\( \frac{4}{3} x^{1/3} = \frac{2}{3} x^{-2/3} \Rightarrow 4 x^{1/3} = 2 x^{-2/3} \Rightarrow 4 x^{1/3 + 2/3} = 2 \Rightarrow 4 x^{1} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \).

Pro zkoušku znaménka derivace uvažujeme například body \( x=0 \) a \( x=1 \):

Pro \( x=0.1 \):

\( f'(0.1) = \frac{4}{3} (0.1)^{1/3} – \frac{2}{3} (0.1)^{-2/3} \) – druhý člen je velký a záporný, takže \( f'(0.1) < 0 \).

Pro \( x=1 \):

\( f'(1) = \frac{4}{3} \cdot 1 – \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} > 0 \).

Funkce tedy klesá na intervalu \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) a roste na \( (\frac{1}{2}, +\infty) \), což znamená minimum v \( x = \frac{1}{2} \).

Hodnota minima je:

\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3} – 2 \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} \).

Přepočítáme:

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \approx 0.7937 \).

\( \left(\frac{1}{2}\right)^{4/3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{1/3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 0.7937 \cdot \frac{1}{2} = 0.39685 \).

Dosadíme:

\( f\left(\frac{1}{2}\right) = 0.39685 – 2 \cdot 0.7937 = 0.39685 – 1.5874 = -1.19055 \).

Řešení příkladu:

Limita je:

\( \lim_{x \to 0} \frac{x^{5/3} – 2x^{2/3}}{x^{1/3}} \).

Pokud bychom přímo dosadili, dostaneme tvar \( \frac{0 – 0}{0} \), což je neurčitý tvar.

Rozdělíme členy zvlášť:

\( \frac{x^{5/3}}{x^{1/3}} – 2 \frac{x^{2/3}}{x^{1/3}} = x^{(5/3 – 1/3)} – 2 x^{(2/3 – 1/3)} = x^{4/3} – 2 x^{1/3} \).

Nyní lze limitu spočítat snadněji:

\( \lim_{x \to 0} \left( x^{4/3} – 2 x^{1/3} \right) = 0 – 0 = 0 \).

Takže limita je 0.

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = (x^2 + 1)^{3/2} \).

Definiční obor je \( \mathbb{R} \), protože \( x^2 + 1 > 0 \) pro všechna reálná čísla.

Průběh funkce zjistíme první derivací:

\( f'(x) = \frac{3}{2} (x^2 + 1)^{1/2} \cdot 2x = 3x (x^2 + 1)^{1/2} \).

Znamená to, že:

Pro \( x > 0 \) je \( f'(x) > 0 \), funkce roste.

Pro \( x < 0 \) je \( f'(x) < 0 \), funkce klesá.

V bodě \( x = 0 \) je stacionární bod (kritický bod), protože \( f'(0) = 0 \).

Druhá derivace:

\( f“(x) = \frac{d}{dx} \left( 3x (x^2 + 1)^{1/2} \right) \).

Použijeme součinové pravidlo:

\( f“(x) = 3 (x^2 + 1)^{1/2} + 3x \cdot \frac{1}{2} (x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = 3 (x^2 + 1)^{1/2} + 3x^2 (x^2 + 1)^{-1/2} \).

Zápis:

\( f“(x) = 3 \left( (x^2 + 1)^{1/2} + \frac{x^2}{(x^2 + 1)^{1/2}} \right) = 3 \frac{x^2 + 1 + x^2}{(x^2 + 1)^{1/2}} = 3 \frac{2x^2 + 1}{(x^2 + 1)^{1/2}} \).

Protože jmenovatel i čitatel jsou kladné, \( f“(x) > 0 \) pro všechna \( x \), funkce je konvexní.

Celkově má funkce minimum v \( x=0 \), kde:

\( f(0) = (0^2 + 1)^{3/2} = 1^{3/2} = 1 \).

Řešení příkladu:

Limita je:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{x^{5/2} + 3x^{3/2}}{x^{5/2} – x} \).

Vydělíme čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou v jmenovateli, tedy \( x^{5/2} \):

\( \frac{x^{5/2} + 3x^{3/2}}{x^{5/2} – x} = \frac{1 + 3x^{3/2 – 5/2}}{1 – x^{1 – 5/2}} = \frac{1 + 3x^{-1}}{1 – x^{-3/2}} \).

Při limitě \( x \to \infty \) platí \( x^{-1} \to 0 \) a \( x^{-3/2} \to 0 \), takže:

\( \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 3 \cdot 0}{1 – 0} = \frac{1}{1} = 1 \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{7/4} – 5x^{3/4} + 2 \).

První derivace se spočítá podle pravidla mocninné funkce \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \):

\( f'(x) = \frac{7}{4} x^{7/4 – 1} – 5 \cdot \frac{3}{4} x^{3/4 – 1} + 0 = \frac{7}{4} x^{3/4} – \frac{15}{4} x^{-1/4} \).

Druhá derivace:

\( f“(x) = \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{4} x^{3/4 – 1} – \frac{15}{4} \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) x^{-1/4 – 1} = \frac{21}{16} x^{-1/4} + \frac{15}{16} x^{-5/4} \).

Závěr:

První derivace: \( f'(x) = \frac{7}{4} x^{3/4} – \frac{15}{4} x^{-1/4} \).

Druhá derivace: \( f“(x) = \frac{21}{16} x^{-1/4} + \frac{15}{16} x^{-5/4} \).

Derivace jsou definovány pro \( x > 0 \) vzhledem k záporným mocninám.

Řešení:

Máme funkci \( f(x) = 3x^{5/3} – 4x^{2/3} + 7 \).

První derivace se spočítá podle vzorce pro derivaci mocninné funkce \( \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} \):

\( f'(x) = 3 \cdot \frac{5}{3} x^{5/3 – 1} – 4 \cdot \frac{2}{3} x^{2/3 – 1} + 0 = 5 x^{2/3} – \frac{8}{3} x^{-1/3} \).

Druhá derivace:

\( f“(x) = 5 \cdot \frac{2}{3} x^{2/3 – 1} – \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) x^{-1/3 – 1} = \frac{10}{3} x^{-1/3} + \frac{8}{9} x^{-4/3} \).

Definiční obor derivací:

Mocniny s racionálním exponentem jsou definovány pro \( x > 0 \) (protože máme záporné mocniny a odmocniny), takže

\( D_{f‘} = D_{f“} = (0, +\infty) \).

Řešení:

Funkce je \( g(x) = 2x^{7/2} + 5x^{1/2} – 3 \).

První derivace:

\( g'(x) = 2 \cdot \frac{7}{2} x^{7/2 – 1} + 5 \cdot \frac{1}{2} x^{1/2 – 1} + 0 = 7 x^{5/2} + \frac{5}{2} x^{-1/2} \).

Druhá derivace:

\( g“(x) = 7 \cdot \frac{5}{2} x^{5/2 – 1} + \frac{5}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-1/2 – 1} = \frac{35}{2} x^{3/2} – \frac{5}{4} x^{-3/2} \).

Určení intervalů konvexity znamená najít, kde je \( g“(x) > 0 \):

\( \frac{35}{2} x^{3/2} – \frac{5}{4} x^{-3/2} > 0 \Rightarrow \)

Vynásobíme obě strany výrazem \( 4x^{3/2} \) (který je kladný pro \( x > 0 \)):

\( 4x^{3/2} \cdot \left( \frac{35}{2} x^{3/2} – \frac{5}{4} x^{-3/2} \right) > 0 \Rightarrow 70 x^{3} – 5 > 0 \Rightarrow 70 x^3 > 5 \Rightarrow x^3 > \frac{1}{14} \Rightarrow x > \sqrt[3]{\frac{1}{14}} \).

Takže funkce je konvexní na intervalu \( \left(\sqrt[3]{\frac{1}{14}}, +\infty \right) \).

Řešení:

Funkce je \( h(x) = 4x^{3/4} – 6x^{1/4} + 9 \).

První derivace:

\( h'(x) = 4 \cdot \frac{3}{4} x^{3/4 – 1} – 6 \cdot \frac{1}{4} x^{1/4 – 1} + 0 = 3 x^{-1/4} – \frac{3}{2} x^{-3/4} \).

Druhá derivace:

\( h“(x) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right) x^{-1/4 – 1} – \frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) x^{-3/4 – 1} = -\frac{3}{4} x^{-5/4} + \frac{9}{8} x^{-7/4} \).

Pro \( x \in (0,1) \) jsou všechny mocniny \( x^{-n} \) kladné, protože \( x > 0 \).

Vyjádříme \( h“(x) \) jako:

\( h“(x) = x^{-7/4} \left( -\frac{3}{4} x^{2/4} + \frac{9}{8} \right) = x^{-7/4} \left( -\frac{3}{4} x^{1/2} + \frac{9}{8} \right) \).

Protože \( x^{-7/4} > 0 \), záleží na znaménku výrazu v závorce:

\( -\frac{3}{4} x^{1/2} + \frac{9}{8} > 0 \Rightarrow \frac{9}{8} > \frac{3}{4} x^{1/2} \Rightarrow \frac{9}{8} \cdot \frac{4}{3} > x^{1/2} \Rightarrow \frac{3}{2} > \sqrt{x} \).

Tato nerovnost je pravdivá pro všechna \( x \in (0,1) \) (protože \(\sqrt{x} < 1 < \frac{3}{2}\)).

Takže \( h“(x) > 0 \) na intervalu \( (0,1) \), tedy funkce je tam konvexní.

Řešení:

Funkce \( k(x) = 7x^{9/5} – 2x^{4/5} + 1 \).

První derivace:

\( k'(x) = 7 \cdot \frac{9}{5} x^{9/5 – 1} – 2 \cdot \frac{4}{5} x^{4/5 – 1} + 0 = \frac{63}{5} x^{4/5} – \frac{8}{5} x^{-1/5} \).

Druhá derivace:

\( k“(x) = \frac{63}{5} \cdot \frac{4}{5} x^{4/5 – 1} – \frac{8}{5} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) x^{-1/5 – 1} = \frac{252}{25} x^{-1/5} + \frac{8}{25} x^{-6/5} \).

Určení konkávnosti znamená najít interval, kde \( k“(x) < 0 \).

Všimněme si, že \( x^{-1/5} > 0 \) a \( x^{-6/5} > 0 \) pro \( x > 0 \), a všechny koeficienty jsou kladné, takže:

\( k“(x) = \frac{252}{25} x^{-1/5} + \frac{8}{25} x^{-6/5} > 0 \) pro \( x > 0 \).

To znamená, že \( k“(x) \) není nikdy záporná na \( (0, +\infty) \), a funkce je tedy na tomto intervalu konvexní.

Pro \( x \leq 0 \) funkce není definována kvůli mocninám.

Závěr: Funkce není na žádném intervalu konkávní, je konvexní na \( (0, +\infty) \).

Řešení:

Funkce je \( m(x) = 5x^{2/3} – 7x^{1/3} + 4 \).

První derivace:

\( m'(x) = 5 \cdot \frac{2}{3} x^{2/3 – 1} – 7 \cdot \frac{1}{3} x^{1/3 – 1} + 0 = \frac{10}{3} x^{-1/3} – \frac{7}{3} x^{-2/3} \).

Druhá derivace:

\( m“(x) = \frac{10}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) x^{-1/3 – 1} – \frac{7}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) x^{-2/3 – 1} = -\frac{10}{9} x^{-4/3} + \frac{14}{9} x^{-5/3} \).

Pro kritické body druhé derivace najdeme, kdy \( m“(x) = 0 \):

\( -\frac{10}{9} x^{-4/3} + \frac{14}{9} x^{-5/3} = 0 \Rightarrow \frac{14}{9} x^{-5/3} = \frac{10}{9} x^{-4/3} \Rightarrow 14 x^{-5/3} = 10 x^{-4/3} \).

Dělením obou stran \( x^{-5/3} \) (pro \( x > 0 \)) dostaneme:

\( 14 = 10 x^{( -4/3 ) – ( -5/3 )} = 10 x^{1/3} \Rightarrow x^{1/3} = \frac{14}{10} = 1.4 \Rightarrow x = (1.4)^3 = 2.744 \).

Tedy kritický bod druhé derivace je \( x = 2.744 \) (přibližně).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} – 4x^{\frac{1}{2}} \).

Definiční obor je \( \langle 0, +\infty) \), protože odmocnina je definována pouze pro nezáporná reálná čísla.

Derivujeme funkci podle vzorce pro mocninnou funkci: \( f'(x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} – 2 x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{x} – \frac{2}{\sqrt{x}} \).

Najdeme kritické body řešením rovnice \( f'(x) = 0 \):

\( \frac{3}{2} \sqrt{x} = \frac{2}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{3}{2} x = 2 \Rightarrow x = \frac{4}{3} \).

Určíme, kde je funkce rostoucí a kde klesající:

Pro \( x < \frac{4}{3} \) zvolíme např. \( x = 1 \): \( f'(1) = \frac{3}{2} \cdot 1 - 2 = -\frac{1}{2} < 0 \), funkce klesá.

Pro \( x > \frac{4}{3} \) zvolíme např. \( x = 2 \): \( f'(2) = \frac{3}{2} \sqrt{2} – \frac{2}{\sqrt{2}} > 0 \), funkce roste.

Tedy v bodě \( x = \frac{4}{3} \) má funkce lokální minimum.

Hodnota funkce v tomto bodě je \( f\left(\frac{4}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{3}{2}} – 4 \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}} \).

Vypočteme:

\( \left(\frac{4}{3}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \), tedy

\( f\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} – 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3 \sqrt{3}} – \frac{8}{\sqrt{3}} = -\frac{16}{3 \sqrt{3}} \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{4} – 5x^{2} + 4 \).

Najdeme průsečíky s osou \(x\), tj. řešíme rovnici \( x^{4} – 5x^{2} + 4 = 0 \).

Upravíme substitucí \( y = x^{2} \), potom máme kvadratickou rovnici \( y^{2} – 5y + 4 = 0 \).

Diskriminant je \( \Delta = 25 – 16 = 9 \), kořeny jsou

\( y_1 = \frac{5 – 3}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \).

Vrátíme se k \(x\): \( x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \), a \( x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Funkce má tedy průsečíky s osou \(x\) v bodech \( x = -2, -1, 1, 2 \).

Určíme znaménko funkce na intervalech určených těmito kořeny:

Pro \( x < -2 \) zvolíme \( x = -3 \), pak \( f(-3) = 81 - 45 + 4 = 40 > 0 \).

Pro \( -2 < x < -1 \) zvolíme \( x = -1.5 \), pak \( f(-1.5) = 5.06 - 11.25 + 4 = -2.19 < 0 \).

Pro \( -1 < x < 1 \) zvolíme \( x = 0 \), pak \( f(0) = 4 > 0 \).

Pro \( 1 < x < 2 \) zvolíme \( x = 1.5 \), pak \( f(1.5) = 5.06 - 11.25 + 4 = -2.19 < 0 \).

Pro \( x > 2 \) zvolíme \( x = 3 \), pak \( f(3) = 81 – 45 + 4 = 40 > 0 \).

Funkce je tedy kladná na intervalech \( (-\infty, -2) \cup (-1,1) \cup (2, +\infty) \) a záporná na intervalech \( (-2, -1) \cup (1, 2) \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = \frac{x^{3} – 8}{x – 2} \).

Bod \( x=2 \) je problémový, protože jmenovatel se rovná nule.

Vyzkoušíme limitu \( \lim_{x \to 2} \frac{x^{3} – 8}{x – 2} \).

Vyjádříme čitatel jako rozdíl kubů: \( x^{3} – 2^{3} = (x – 2)(x^{2} + 2x + 4) \).

Po úpravě je

\( f(x) = \frac{(x – 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x – 2} = x^{2} + 2x + 4, \quad x \neq 2 \).

Limita je tedy

\( \lim_{x \to 2} f(x) = 2^{2} + 2 \cdot 2 + 4 = 4 + 4 + 4 = 12 \).

Hodnota funkce v bodě \( x=2 \) není definována, ale můžeme ji doplnit na 12, čímž funkci spojíme.

Funkce má tedy v bodě \( x=2 \) odstraněnou nespojitost.

Řešení příkladu:

Funkce je \( \frac{x^{3/2} + 2x}{x^{3/2} – x} \).

Pro \( x \to \infty \) zkusíme vydělit čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou \( x^{3/2} \):

\( \frac{x^{3/2} + 2x}{x^{3/2} – x} = \frac{1 + 2x^{1 – 3/2}}{1 – x^{1 – 3/2}} = \frac{1 + 2x^{-1/2}}{1 – x^{-1/2}} \).

Limita je tedy

\( \lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2x^{-1/2}}{1 – x^{-1/2}} = \frac{1 + 0}{1 – 0} = 1 \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{\frac{2}{3}} – 3x^{\frac{1}{3}} \).

Definiční obor je všechna reálná čísla, protože odmocnina třetího stupně je definována pro všechny \( x \in \mathbb{R} \).

Derivujeme funkci podle vzorce \( \frac{d}{dx} x^{m} = m x^{m-1} \):

\( f'(x) = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} – 3 \cdot \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} – x^{-\frac{2}{3}} \).

Najdeme kritické body řešením rovnice \( f'(x) = 0 \):

\( \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = x^{-\frac{2}{3}} \Rightarrow \frac{2}{3} = x^{-\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{3}} \Rightarrow x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \left(\frac{3}{2}\right)^{3} = \frac{27}{8} \).

Zkoumáme znaménko derivace na intervalech:

Pro \( x > \frac{27}{8} \) např. \( x=4 \):

\( f'(4) = \frac{2}{3} \cdot 4^{-\frac{1}{3}} – 4^{-\frac{2}{3}} \approx \frac{2}{3} \cdot 0.63 – 0.4 = 0.42 – 0.4 = 0.02 > 0 \), funkce roste.

Pro \( 0 < x < \frac{27}{8} \) např. \( x=1 \):

\( f'(1) = \frac{2}{3} – 1 = -\frac{1}{3} < 0 \), funkce klesá.

Pro \( x < 0 \) např. \( x = -1 \):

Znaménko derivace je komplikovanější kvůli záporným mocninám, ale odmocnina třetího stupně je definována a derivace je reálná.

Počítáme \( f'(-1) = \frac{2}{3} (-1)^{-\frac{1}{3}} – (-1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} (-1) – 1 = -\frac{2}{3} – 1 = -\frac{5}{3} < 0 \), funkce klesá.

Celkově funkce klesá na \( (-\infty, \frac{27}{8}) \), roste na \( \left(\frac{27}{8}, +\infty \right) \), v bodě \( x=\frac{27}{8} \) má lokální minimum.

Řešení příkladu:

Funkce je definována pro všechna reálná čísla \( x \in \mathbb{R} \), protože mocnina s třetí odmocninou je definována pro reálná čísla i při záporných hodnotách.

Funkce má tvar \( f(x) = x^{4/3} – 4x^{1/3} \).

Derivujeme funkci podle vzorce \( \frac{d}{dx} x^m = m x^{m-1} \):

\( f'(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} – 1} – 4 \cdot \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} – 1} = \frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} – \frac{4}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{4}{3} \left( x^{\frac{1}{3}} – x^{-\frac{2}{3}} \right) \).

Najdeme kritické body řešením rovnice \( f'(x) = 0 \):

\( \frac{4}{3} \left( x^{\frac{1}{3}} – x^{-\frac{2}{3}} \right) = 0 \Rightarrow x^{\frac{1}{3}} = x^{-\frac{2}{3}} \).

Převedeme na stejné exponenty: \( x^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow x^{\frac{1}{3}} \cdot x^{\frac{2}{3}} = 1 \Rightarrow x^{1} = 1 \Rightarrow x = 1 \).

Takže máme jediný kritický bod \( x=1 \). Zkontrolujeme definiční obor: \( x=0 \) není kritický bod, ale kvůli zápornému exponentu v derivaci je nutno prověřit, zda funkce a derivace existují i zde.

Derivace není definována v \( x=0 \), protože tam vzniká mocnina záporného exponentu \( x^{-\frac{2}{3}} \).

Pro zjištění, zda je \( x=1 \) lokální maximum nebo minimum, vyšetříme znaménko derivace na intervalech:

Pro \( x > 1 \) (například \( x=8 \)):

\( f'(8) = \frac{4}{3} \left( 8^{\frac{1}{3}} – 8^{-\frac{2}{3}} \right) = \frac{4}{3} (2 – 8^{-\frac{2}{3}}) \).

Vypočítáme \( 8^{-\frac{2}{3}} = \left( 8^{\frac{2}{3}} \right)^{-1} = \left( 4 \right)^{-1} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \).

Takže \( f'(8) = \frac{4}{3} (2 – 0{,}25) = \frac{4}{3} \cdot 1{,}75 = \frac{7}{3} > 0 \), derivace kladná, funkce roste.

Pro \( 0 < x < 1 \) (například \( x= \frac{1}{8} \)):

\( f'(\frac{1}{8}) = \frac{4}{3} \left( (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} – (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} \right) \).

\( (\frac{1}{8})^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \), protože \( \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2} \).

\( (\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}} = \left( (\frac{1}{8})^{\frac{2}{3}} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{4} \right)^{-1} = 4 \).

Takže \( f'(\frac{1}{8}) = \frac{4}{3} ( \frac{1}{2} – 4 ) = \frac{4}{3} \cdot ( -\frac{7}{2} ) = -\frac{14}{3} < 0 \), derivace záporná, funkce klesá.

Pro \( x < 0 \) (například \( x = -1 \)):

\( f'(-1) = \frac{4}{3} \left( (-1)^{\frac{1}{3}} – (-1)^{-\frac{2}{3}} \right) \).

Protože \( (-1)^{\frac{1}{3}} = -1 \) (třetí odmocnina ze záporného čísla je záporná), a

\( (-1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{((-1)^{\frac{1}{3}})^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1 \).

Takže \( f'(-1) = \frac{4}{3} (-1 – 1) = \frac{4}{3} (-2) = -\frac{8}{3} < 0 \), derivace záporná, funkce klesá.

Závěr:

– Funkce klesá na intervalech \( (-\infty, 0) \) a \( (0,1) \).

– Funkce roste na intervalu \( (1, +\infty) \).

– V bodě \( x=1 \) je lokální minimum.

Protože derivace není definována v \( x=0 \), zkoumáme chování funkce v okolí nuly:

\( f(0) = 0^{4/3} – 4 \cdot 0^{1/3} = 0 – 0 = 0 \).

V blízkosti nuly funkce prudce klesá zleva a zprava.

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = x^{5/2} – 10x^{3/2} \) je definována pro \( x \geq 0 \), protože mocniny s polovičním exponentem (odmocnina) jsou definovány jen pro nezáporná reálná čísla.

Derivujeme funkci:

\( f'(x) = \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} – 1} – 10 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} – 1} = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}} – 15 x^{\frac{1}{2}} \).

Derivujeme znovu pro druhou derivaci:

\( f“(x) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} – 1} – 15 \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} – 1} = \frac{15}{4} x^{\frac{1}{2}} – \frac{15}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{15}{4} \sqrt{x} – \frac{15}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \).

Najdeme inflexní body řešením rovnice \( f“(x) = 0 \):

\( \frac{15}{4} \sqrt{x} – \frac{15}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \Rightarrow \frac{15}{4} \sqrt{x} = \frac{15}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \).

Vydělíme rovnost \( \frac{15}{4} \sqrt{x} = \frac{15}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \) oběma stranami 15:

\( \frac{1}{4} \sqrt{x} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{4} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \Rightarrow \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 2 \).

Inflection point je v \( x=2 \).

Vyšetříme znaménko druhé derivace \( f“(x) \) na intervalech:

Pro \( 0 < x < 2 \), např. \( x=1 \):

\( f“(1) = \frac{15}{4} \cdot 1 – \frac{15}{2} \cdot 1 = \frac{15}{4} – \frac{15}{2} = \frac{15}{4} – \frac{30}{4} = -\frac{15}{4} < 0 \), funkce je konkávní (dutá dolů).

Pro \( x > 2 \), např. \( x=4 \):

\( f“(4) = \frac{15}{4} \cdot 2 – \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{15}{4} \cdot 2 – \frac{15}{4} = \frac{30}{4} – \frac{15}{4} = \frac{15}{4} > 0 \), funkce je konvexní (dutá nahoru).

Závěr:

– Funkce je konkávní na intervalu \( (0, 2) \).

– Funkce je konvexní na intervalu \( (2, +\infty) \).

– V bodě \( x=2 \) je inflexní bod.

Řešení příkladu:

Funkce je definována pro \( x > 0 \), protože obsahuje mocniny s polovičním exponentem.

Nejprve limita pro \( x \to +\infty \):

Vyjádříme výraz:

\( f(x) = \frac{x^{3/2} – 2x}{x^{3/2} + x} \).

Vydělíme čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou \( x^{3/2} \):

\( f(x) = \frac{1 – 2x^{1 – \frac{3}{2}}}{1 + x^{1 – \frac{3}{2}}} = \frac{1 – 2x^{-1/2}}{1 + x^{-1/2}} \).

Pro \( x \to +\infty \), \( x^{-1/2} \to 0 \), takže

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1 – 0}{1 + 0} = 1 \).

Teď limita pro \( x \to 0^+ \):

Posuzujeme chování jednotlivých členů:

\( x^{3/2} \to 0 \), \( 2x \to 0 \), \( x^{3/2} \to 0 \), \( x \to 0 \).

Vyšetříme, zda limitu lze určit přímým dosazením:

\( f(x) \approx \frac{0 – 0}{0 + 0} \) neurčitý tvar.

Pro přesnější zkoumání přepíšeme \( f(x) \) jako:

\( f(x) = \frac{x^{3/2} – 2x}{x^{3/2} + x} = \frac{x^{1} \cdot x^{1/2} – 2x}{x^{1} \cdot x^{1/2} + x} = \frac{x (x^{1/2} – 2)}{x (x^{1/2} + 1)} = \frac{x^{1/2} – 2}{x^{1/2} + 1} \).

Přepočítání není správné, protože nelze přímo vyjmout \( x \), jelikož \( x^{3/2} = x \cdot x^{1/2} \) ale členy nejsou stejné v jmenovateli a čitateli.

Proto použijeme substituci \( t = \sqrt{x} \), tedy \( x = t^2 \), \( t \to 0^+ \).

Pak

\( f(t) = \frac{(t^2)^{3/2} – 2 t^2}{(t^2)^{3/2} + t^2} = \frac{t^3 – 2 t^2}{t^3 + t^2} = \frac{t^2 (t – 2)}{t^2 (t + 1)} = \frac{t – 2}{t + 1} \).

Nyní počítáme limitu pro \( t \to 0^+ \):

\( \lim_{t \to 0^+} \frac{t – 2}{t + 1} = \frac{0 – 2}{0 + 1} = -2 \).

Závěr:

\( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \),

\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = -2 \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = x^{\frac{3}{2}} – 2x^{\frac{1}{2}} \).

Definiční obor je \( \langle 0, +\infty) \), protože odmocnina druhého stupně vyžaduje \( x \geq 0 \).

Pro nuly řešíme rovnici:

\( x^{\frac{3}{2}} – 2x^{\frac{1}{2}} = 0 \Rightarrow x^{\frac{1}{2}}(x – 2) = 0 \).

Tedy \( x = 0 \) nebo \( x = 2 \).

Průsečík s osou y je v bodě \((0, f(0))\). Dosadíme \( x=0 \) a získáme \( f(0) = 0 \), tedy průsečík je v \((0,0)\).

Parita: funkce není definována pro záporná \(x\), takže parita není určena.

Limity:

• \( \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = 0 \), protože oba členy jdou k nule.
• \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \), protože \( x^{3/2} \) roste rychleji než \( 2x^{1/2} \).

Graf začíná v bodě (0,0), má nulu také v 2, na intervalu (0,2) je funkce záporná (například v 1: \(1^{3/2} – 2 \cdot 1^{1/2} = 1 – 2 = -1\)) a pro \(x > 2\) roste rychle k nekonečnu.

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) je definována pro všechna reálná čísla kromě \( x = 0 \), tedy \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

Parita: Zkusíme \( f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = f(x) \), funkce je sudá.

Asymptoty:

• Vertikální asymptota: \( x=0 \), protože \(\lim_{x \to 0^\pm} f(x) = +\infty \).
• Horizontální asymptota: \( y = 0 \), protože \(\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

Limity:

• \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty \),
• \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \),
• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 \).

Řešení příkladu:

Definiční obor je všechna reálná čísla, tedy \( D_f = \mathbb{R} \).

Pro extrémy vypočteme první derivaci:

\( f'(x) = 3x^2 – 3 = 3(x^2 – 1) \).

Řešíme \( f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \).

Druhá derivace je:

\( f“(x) = 6x \).

Určíme druh derivace v kritických bodech:

• Pro \( x = -1 \), \( f“(-1) = -6 < 0 \), jde o lokální maximum.
• Pro \( x = 1 \), \( f“(1) = 6 > 0 \), jde o lokální minimum.

Inflection points (body inflexe) najdeme řešením \( f“(x) = 0 \):

\( 6x = 0 \Rightarrow x = 0 \).

V inflexním bodě mění funkce konvexitu.

Celkový průběh funkce: funkce má lokální maximum v \((-1, f(-1)) = (-1, 2)\), lokální minimum v \((1, f(1)) = (1, -2)\), inflexní bod v (0, 0).

Řešení příkladu:

Definiční obor je všechna reálná čísla, protože třetí odmocnina je definována i pro záporná čísla.

Parita:

Pro \( f(-x) = (-x)^{4/3} – (-x)^{1/3} = (-(x))^{4/3} – (-(x))^{1/3} \).

Protože sudý exponent u první mocniny, \( (-x)^{4/3} = (x)^{4/3} \), a třetí odmocnina je lichá, \( (-x)^{1/3} = -x^{1/3} \).

Tedy \( f(-x) = x^{4/3} + x^{1/3} \), což není ani sudá, ani lichá funkce.

Limity pro \( x \to \pm \infty \):

• \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \), protože oba členy rostou k nekonečnu.
• \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty \), protože \( x^{4/3} \) je kladné a dominantní, i když druhý člen jde k \(-\infty\), celkový limit jde k +∞.

Řešení příkladu:

Definiční obor: Funkce je definována všude kromě hodnot, kde jmenovatel je nula, tedy \( x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \). Definiční obor je tedy \( \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} \).

Parita: Zkusíme \( f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2 – 1} = \frac{-x^3}{x^2 – 1} = -f(x) \), funkce je lichá.

Limity na krajích definičního oboru:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x^2 – 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x^2(1 – 1/x^2)} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{1 – 1/x^2} = \pm \infty \).

Asymptoty:

• Vertikální asymptoty při \( x = \pm 1 \), protože jmenovatel se blíží k nule a funkce diverguje.
• Šikmá asymptota: Podíl polynomů lze vydělit:

Polynom vydělíme: \( \frac{x^3}{x^2 – 1} = x + \frac{x}{x^2 – 1} \).

Pro \( x \to \pm \infty \) člen \( \frac{x}{x^2 – 1} \to 0 \), takže šikmá asymptota je \( y = x \).

Řešení příkladu:

Funkce je \( f(x) = \sqrt[4]{x^4 – 16} = (x^4 – 16)^{\frac{1}{4}} \).

Definiční obor určíme podle výrazu pod odmocninou, musí být nezáporný:

\( x^4 – 16 \geq 0 \Rightarrow x^4 \geq 16 \Rightarrow |x| \geq \sqrt[4]{16} = 2 \).

Definiční obor je tedy \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \).

Průsečík s osou y nenastane, protože \(x=0\) není v definičním oboru.

Průsečíky s osou x hledáme řešením \( f(x) = 0 \), tedy:

\( (x^4 – 16)^{\frac{1}{4}} = 0 \Rightarrow x^4 – 16 = 0 \Rightarrow x^4 = 16 \Rightarrow |x| = 2 \).

Průsečíky jsou v bodech \( x = -2 \) a \( x = 2 \), konkrétně \((-2, 0)\) a \((2, 0)\).

Parita: Funkce je sudá, protože \( f(-x) = ((-x)^4 – 16)^{1/4} = (x^4 – 16)^{1/4} = f(x) \).

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} (x^4 – 16)^{1/4} = \lim_{x \to \pm \infty} |x| = +\infty \).

Řešení příkladu:

Definiční obor: Funkce je definována pro všechna reálná čísla, protože třetí odmocnina je definována i pro záporná čísla.

První derivace:

\( f'(x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} – \frac{10}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{5}{3} x^{-\frac{1}{3}} (x – 2) \).

Hledáme kritické body řešením \( f'(x) = 0 \):

\( \frac{5}{3} x^{-\frac{1}{3}} (x – 2) = 0 \Rightarrow x^{-\frac{1}{3}} = 0 \) (to není možné) nebo \( x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).

Kritický bod je tedy \( x = 2 \). Zároveň musíme vzít v úvahu bod \( x = 0 \), kde derivace není definována.

Druhá derivace:

\( f“(x) = \frac{10}{9} x^{-\frac{1}{3}} (x – 4) \).

Inflexní body najdeme řešením \( f“(x) = 0 \):

\( \frac{10}{9} x^{-\frac{1}{3}} (x – 4) = 0 \Rightarrow x = 4 \), nebo \( x = 0 \) kde je druhá derivace nedefinovaná.

Určíme povahu kritického bodu \(x=2\) pomocí druhé derivace:

\( f“(2) = \frac{10}{9} \cdot 2^{-\frac{1}{3}} \cdot (2 – 4) = \frac{10}{9} \cdot \text{kladné} \cdot (-2) < 0 \), takže v \(x=2\) je lokální maximum.

Celkový průběh ukazuje lokální maximum v \(x=2\) a inflexní bod v \(x=4\). Bod \(x=0\) je singularitou derivace, ale funkce tam je definována.

Řešení příkladu:

Definiční obor: Výraz pod třetí odmocninou \( x^2 + 1 \) je vždy kladný, takže funkce je definována pro všechna reálná čísla, tedy \( D_f = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y je bod \( (0, f(0)) \):

\( f(0) = \frac{1}{\sqrt[3]{0^2 + 1}} = \frac{1}{1} = 1 \).

Parita:

Pro \( f(-x) = \frac{1}{\sqrt[3]{(-x)^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2 + 1}} = f(x) \), funkce je sudá.

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2 + 1}} = 0 \), protože jmenovatel roste do nekonečna.

Řešení příkladu:

Funkce \( f(x) = x^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^{3/2}} \).

Definiční obor: Jelikož je v jmenovateli mocnina se záporným exponentem, platí \( x > 0 \), protože odmocnina z nezáporného čísla je definována.

Průsečík s osou y neexistuje, protože \(x=0\) není v definičním oboru.

Parita: Funkce není definována pro záporná \(x\), takže parita není určena.

Limity:

• \( \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x^{3/2}} = +\infty \), protože jmenovatel jde k nule z kladné strany.
• \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \), protože jmenovatel roste do nekonečna.

Řešení:

Definiční obor:

Funkce je definována pro všechna reálná čísla, protože třetí odmocnina je definována i pro záporná čísla. Výraz pod odmocninou může nabývat jak kladných, tak i záporných hodnot.

tedy \( D_f = \mathbb{R} \).

Průsečíky s osou x (nulté body):

Hledáme \( f(x) = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^4 – 16} = 0 \Rightarrow x^4 – 16 = 0 \Rightarrow x^4 = 16 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Průsečíky jsou tedy body \((-2, 0)\) a \((2, 0)\).

Průsečík s osou y:

Dosadíme \( x = 0 \Rightarrow f(0) = \sqrt[3]{0 – 16} = \sqrt[3]{-16} \approx -2.5198 \).

Průsečík je tedy bod \((0, -2.5198)\).

Parita funkce:

Funkce je sudá, protože výraz pod odmocninou je \( x^4 – 16 \), kde \( x^4 \) je sudá mocnina, a třetí odmocnina zachovává sudost. Formálně platí:

\( f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^4 – 16} = \sqrt[3]{x^4 – 16} = f(x) \Rightarrow \) funkce je sudá.

Limity:

Pro \( x \to \infty \):

\( \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^4 – 16} = \lim_{x \to \infty} (x^4 – 16)^{1/3} \).

Protože \( x^4 \) roste velmi rychle, platí:

\( \lim_{x \to \infty} f(x) = \infty \).

Pro \( x \to -\infty \):

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^4 – 16} \).

Protože \( x^4 \) je sudá mocnina, je výraz \( x^4 – 16 \) kladný a roste k \( \infty \), tedy:

\( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty \).

Řešení:

Funkce je definována tam, kde je výraz pod odmocninou nezáporný, protože \(\frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}\), tedy funkce je mocnina s celočíselným a polovičním exponentem, která zahrnuje druhou odmocninu:

\( x^2 – 9 \geq 0 \Rightarrow |x| \geq 3 \Rightarrow D_f = (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \).

Průsečík s osou y neexistuje, protože \(x=0\) není v definičním oboru.

Průsečíky s osou x:

\( f(x) = 0 \Rightarrow (x^2 – 9)^{3/2} = 0 \Rightarrow x^2 – 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3 \).

Průsečíky jsou v bodech \((-3, 0)\) a \((3,0)\).

Parita:

\( f(-x) = ((-x)^2 – 9)^{3/2} = (x^2 – 9)^{3/2} = f(x) \), funkce je sudá.

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} (x^2 – 9)^{3/2} \approx \lim_{x \to \pm \infty} |x|^3 = +\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Výrazy \(x^{4/3}\) a \(x^{1/3}\) jsou definovány pro všechna reálná čísla (protože obsahují třetí odmocninu, která je definována i pro záporná čísla). Tedy \( D_f = \mathbb{R} \).

Nulté body řešíme rovnicí:

\( f(x) = x^{4/3} – 2 x^{1/3} = 0 \Rightarrow x^{1/3}(x^{1} – 2) = 0 \Rightarrow x^{1/3} = 0 \text{ nebo } x – 2 = 0 \).

Řešení jsou tedy \( x = 0 \) a \( x = 2 \).

Průsečík s osou y:

\( f(0) = 0^{4/3} – 2 \cdot 0^{1/3} = 0 \).

Symetrie:

Funkce není sudá ani lichá, protože:

\( f(-x) = (-x)^{4/3} – 2(-x)^{1/3} = x^{4/3} + 2 x^{1/3} \neq f(x), -f(x) \).

Řešení:

Definiční obor:

Výraz \( x^{3/2} = (x^{1/2})^3 \) je definován pro \( x \geq 0 \), protože druhá odmocnina z \( x \) musí být definována.

Tedy \( D_f = [0, +\infty) \).

Limity:

• \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{3/2}}{1+x^2} = \frac{0}{1+0} = 0 \).
• \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3/2}}{1+x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3/2}}{x^2(1/x^2 + 1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{1/2}(1 + 1/x^2)} = 0 \).

Řešení:

Definiční obor: Funkce je definována pro všechna reálná čísla, protože výraz \( x^2 + 1 > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( f(0) = (0 + 1)^{-\frac{3}{2}} = 1 \).

Parita:

Funkce je sudá, protože:

\( f(-x) = ((-x)^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} = (x^2 + 1)^{-\frac{3}{2}} = f(x) \).

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \(1 + x^6\) je vždy kladný, takže \( D_f = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( f(0) = \frac{0^3}{\sqrt{1+0}} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( f(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^6}} = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Parita:

\( f(-x) = \frac{(-x)^3}{\sqrt{1 + (-x)^6}} = \frac{-x^3}{\sqrt{1 + x^6}} = -f(x) \), funkce je lichá.

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{|x^3| \sqrt{1 + 1/x^6}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{|x^3|} = \pm 1 \).

Řešení:

Definiční obor: Kubická odmocnina je definována pro všechna reálná čísla, proto nemusíme omezovat výraz pod odmocninou.

Definiční obor je tedy \( D_f = \mathbb{R} \).

Průsečíky s osou y:

\( f(0) = \sqrt[3]{0 – 9} = \sqrt[3]{-9} \neq 0 \), tedy průsečík s osou y je v bodě \( (0, \sqrt[3]{-9}) \).

Průsečíky s osou x (kde \( f(x) = 0 \)):

\( \sqrt[3]{x^2 – 9} = 0 \Rightarrow x^2 – 9 = 0 \Rightarrow x = \pm 3 \).

Funkce má tedy průsečíky s osou x v bodech \( (-3,0) \) a \( (3,0) \).

Parita:

\( f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^2 – 9} = \sqrt[3]{x^2 – 9} = f(x) \), funkce je sudá.

Limity:

• \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^2 – 9} = +\infty \).
• \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^2 – 9} = +\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Mocnina s exponentem \( \frac{2}{3} \) znamená druhou odmocninu a pak umocnění na druhou, přičemž druhá odmocnina vyžaduje nezáporný výraz pod odmocninou.

Podmínka: \( x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \).

Definiční obor: \( D_g = \langle 1, +\infty) \).

Průsečík s osou y:

Funkce není definována pro \( x=0 \), takže žádný průsečík s osou y nemá.

Průsečík s osou x (kde \( g(x) = 0 \)):

\( (x – 1)^{2/3} = 0 \Rightarrow x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Limity:

• \( \lim_{x \to 1^{+}} g(x) = 0 \).
• \( \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \( 1 + x^8 \) je vždy kladný, protože \( x^8 \geq 0 \) pro všechna reálná čísla.

Tudíž je definiční obor \( D_h = \mathbb{R} \).

Parita:

\( h(-x) = \frac{(-x)^4}{\sqrt{1 + (-x)^8}} = \frac{x^4}{\sqrt{1 + x^8}} = h(x) \), funkce je sudá.

Řešení:

Definiční obor: Mocnina s exponentem \( \frac{5}{2} \) obsahuje druhou odmocninu, proto musí být výraz pod odmocninou nezáporný.

Podmínka: \( x^2 – 4 \geq 0 \Rightarrow (x – 2)(x + 2) \geq 0 \).

Řešíme intervaly:

• Pro \( x \leq -2 \) platí \( x^2 – 4 \geq 0 \).
• Pro \( -2 < x < 2 \) platí \( x^2 - 4 < 0 \), není definováno.
• Pro \( x \geq 2 \) platí \( x^2 – 4 \geq 0 \).

Definiční obor je tedy \( D_k = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \).

Průsečíky s osou x:

\( k(x) = 0 \Rightarrow (x^2 – 4)^{5/2} = 0 \Rightarrow x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Řešení:

Definiční obor:

Čitatel \( x^{3/2} = (x^{1/2})^3 \) vyžaduje, aby \( x \geq 0 \) (druhá odmocnina).

Jmenovatel \( (1 + x^3)^{1/3} \) je třetí odmocnina, která je definovaná pro všechna reálná čísla.

Podmínka pro jmenovatel: \( 1 + x^3 \neq 0 \Rightarrow x^3 \neq -1 \Rightarrow x \neq -1 \) (neplatí pro \( x \geq 0 \), takže v našem definičním oboru není problém).

Definiční obor je tedy \( D_m = [0, +\infty) \).

Limity:

• \( \lim_{x \to 0^{+}} m(x) = \frac{0}{(1 + 0)^{1/3}} = 0 \).
• \( \lim_{x \to +\infty} m(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3/2}}{x^{1} (1/x^3 + 1)^{1/3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3/2}}{x^{1}} = \lim_{x \to +\infty} x^{1/2} = +\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \(1 + x^6\) je vždy kladný (protože \(x^6 \geq 0\) pro všechna reálná čísla), takže \( D_f = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( f(0) = \frac{0^3}{\sqrt{1+0}} = 0 \), takže průsečík je v bodě \( (0,0) \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( f(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^6}} = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Parita:

\( f(-x) = \frac{(-x)^3}{\sqrt{1 + (-x)^6}} = \frac{-x^3}{\sqrt{1 + x^6}} = -f(x) \), funkce je lichá.

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{|x^3| \sqrt{1 + 1/x^6}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{|x^3|} = \pm 1 \).

Řešení:

Definiční obor: Jelikož je funkce definována jako mocnina s exponentem \( \frac{3}{2} \), což znamená druhá odmocnina a poté umocnění na třetí, musí být výraz pod odmocninou nezáporný.

Podmínka: \( x^2 – 1 \geq 0 \Rightarrow (x – 1)(x + 1) \geq 0 \).

Řešení nerovnice: platí pro \( x \leq -1 \) nebo \( x \geq 1 \).

Definiční obor je tedy \( D_g = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \).

Průsečíky s osou x:

\( g(x) = 0 \Rightarrow (x^2 – 1)^{3/2} = 0 \Rightarrow x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \).

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = +\infty \), protože výraz uvnitř mocniny roste.
• Funkce není definována pro \( x \in (-1,1) \).

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \(1 + x^4\) je vždy kladný, protože \(x^4 \geq 0\) pro všechna reálná čísla.

Tedy \( D_h = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( h(0) = \frac{0}{\sqrt{1 + 0}} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( h(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^4}} = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Parita:

\( h(-x) = \frac{(-x)^2}{\sqrt{1 + (-x)^4}} = \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^4}} = h(x) \), funkce je sudá.

Řešení:

Definiční obor: Mocnina s exponentem \( \frac{4}{3} \) znamená třetí odmocninu a následné umocnění na čtvrtou.

Třetí odmocnina je definovaná pro všechna reálná čísla, takže \( D_k = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( k(0) = (0 – 2)^{4/3} = (-2)^{4/3} = \left( \sqrt[3]{-2} \right)^4 \).

Průsečík s osou x:

\( k(x) = 0 \Rightarrow (x – 2)^{4/3} = 0 \Rightarrow x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \).

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} k(x) = +\infty \), protože mocnina roste k nekonečnu.

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \(1 + x^{10}\) je vždy kladný, protože \(x^{10} \geq 0\) pro všechna reálná čísla.

Tedy \( D_m = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( m(0) = \frac{0^5}{\sqrt{1+0}} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( m(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^{5}}{\sqrt{1 + x^{10}}} = 0 \Rightarrow x^{5} = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Parita:

\( m(-x) = \frac{(-x)^{5}}{\sqrt{1 + (-x)^{10}}} = \frac{-x^{5}}{\sqrt{1 + x^{10}}} = -m(x) \), funkce je lichá.

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \(1 + x^8\) je vždy kladný, protože \(x^8 \geq 0\) pro všechna reálná čísla. Tedy \(D_f = \mathbb{R}\).

Průsečík s osou y:

\( f(0) = \frac{0^4}{\sqrt{1+0}} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( f(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^4}{\sqrt{1 + x^8}} = 0 \Rightarrow x^4 = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Parita:

\( f(-x) = \frac{(-x)^4}{\sqrt{1 + (-x)^8}} = \frac{x^4}{\sqrt{1 + x^8}} = f(x) \), funkce je sudá.

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^4}{|x^4| \sqrt{1 + 1/x^8}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^4}{|x^4|} = 1 \).

Řešení:

Definiční obor: Kubická odmocnina je definována pro všechna reálná čísla, tedy \( D_g = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( g(0) = \sqrt[3]{0 – 8} = \sqrt[3]{-8} = -2 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( g(x) = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^3 – 8} = 0 \Rightarrow x^3 – 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2 \).

Limity:

• \( \lim_{x \to \infty} g(x) = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^3 – 8} = +\infty \).
• \( \lim_{x \to -\infty} g(x) = \lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{x^3 – 8} = -\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou musí být kladný, tedy \(4 – x^2 > 0 \Rightarrow -2 < x < 2\).

Definiční obor: \(D_h = (-2, 2)\).

Průsečík s osou y:

\( h(0) = \frac{0^3 – 1}{\sqrt{4 – 0}} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( h(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^3 – 1}{\sqrt{4 – x^2}} = 0 \Rightarrow x^3 – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \).

Parita:

\( h(-x) = \frac{(-x)^3 – 1}{\sqrt{4 – (-x)^2}} = \frac{-x^3 – 1}{\sqrt{4 – x^2}} \neq h(x) \) a také \( \neq -h(x) \), funkce není sudá ani lichá.

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou musí být kladný, tedy \(x^2 – 1 > 0 \Rightarrow x < -1 \text{ nebo } x > 1\).

Definiční obor: \(D_k = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)\).

Průsečík s osou y: Není, protože 0 není v definičním oboru.

Průsečík s osou x:

Řešíme \( k(x) = 0 \Rightarrow \frac{2x}{\sqrt{x^2 – 1}} = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \), ale \(0 \notin D_k\), takže žádný průsečík s osou x není.

Limity:

• \( \lim_{x \to 1^+} k(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{2x}{\sqrt{x^2 – 1}} = +\infty \).
• \( \lim_{x \to -1^-} k(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{2x}{\sqrt{x^2 – 1}} = -\infty \).
• \( \lim_{x \to +\infty} k(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{|x| \sqrt{1 – 1/x^2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{|x|} = 2 \).
• \( \lim_{x \to -\infty} k(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{|x| \sqrt{1 – 1/x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x} = -2 \).

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \(x^2 + 1\) je vždy kladný, protože \(x^2 \geq 0\) a \(+1\) zajišťuje kladnost.

Tedy \(D_m = \mathbb{R}\).

Průsečík s osou y:

\( m(0) = \frac{0 – 4}{\sqrt{0 + 1}} = \frac{-4}{1} = -4 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( m(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 – 4}{\sqrt{x^2 + 1}} = 0 \Rightarrow x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Parita:

\( m(-x) = \frac{(-x)^2 – 4}{\sqrt{(-x)^2 + 1}} = \frac{x^2 – 4}{\sqrt{x^2 + 1}} = m(x) \), funkce je sudá.

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \(1 + x^{10}\) je vždy kladný, protože \(x^{10} \geq 0\) pro všechna reálná \(x\), takže \(D_f = \mathbb{R}\).

Průsečík s osou y:

\( f(0) = \frac{0^5}{\sqrt{1+0}} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( f(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^5}{\sqrt{1+x^{10}}} = 0 \Rightarrow x^5 = 0 \Rightarrow x=0 \).

Parita:

\( f(-x) = \frac{(-x)^5}{\sqrt{1+(-x)^{10}}} = \frac{-x^5}{\sqrt{1+x^{10}}} = -f(x) \), funkce je lichá.

Limity:

• \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^5}{|x^5| \sqrt{1+1/x^{10}}} = 1 \).
• \( \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^5}{|x^5| \sqrt{1+1/x^{10}}} = -1 \).

Řešení:

Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tedy \(x^2 – 4 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 4 \Rightarrow x \leq -2 \text{ nebo } x \geq 2\).

Definiční obor: \(D_g = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)\).

Průsečík s osou y: Nelze, protože 0 není v definičním oboru.

Průsečík s osou x:

Řešíme \( g(x) = 0 \Rightarrow \sqrt{x^2 – 4} = 0 \Rightarrow x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Limity:

• \( \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty \).
• \( \lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou \(4 + x^2\) je vždy kladný, takže \(D_h = \mathbb{R}\).

Průsečík s osou y:

\( h(0) = \frac{2\cdot 0 – 8}{\sqrt{4 + 0}} = \frac{-8}{2} = -4 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( h(x) = 0 \Rightarrow 2x^2 – 8 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Parita:

\( h(-x) = \frac{2(-x)^2 – 8}{\sqrt{4 + (-x)^2}} = \frac{2x^2 – 8}{\sqrt{4 + x^2}} = h(x) \), funkce je sudá.

Řešení:

Definiční obor: Kubická odmocnina je definovaná pro všechna reálná čísla kromě \(x=3\), protože pod odmocninou je výraz \(x-3\), a kubická odmocnina ze záporných čísel existuje, tedy \(D_k = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

Průsečík s osou y:

\( k(0) = \frac{0 – 27}{\sqrt[3]{0 – 3}} = \frac{-27}{\sqrt[3]{-3}} = \frac{-27}{-1.442} \approx 18.7 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( k(x) = 0 \Rightarrow x^3 – 27 = 0 \Rightarrow x = 3 \), ale \(x=3\) není v definičním oboru, tedy žádný průsečík s osou x není.

Parita:

Funkce není ani sudá, ani lichá, protože kubická odmocnina a polynomový zlomek nemají symetrii vůči osám.

Řešení:

Definiční obor: Výraz pod odmocninou je \(x^2 – 4x + 5 = (x-2)^2 + 1\), což je vždy kladné (minimální hodnota je 1), tedy \(D_m = \mathbb{R}\).

Průsečík s osou y:

\( m(0) = \frac{0 – 1}{\sqrt{0 – 0 + 5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( m(x) = 0 \Rightarrow x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \).

Parita:

\( m(-x) = \frac{(-x)^2 – 1}{\sqrt{(-x)^2 – 4(-x) + 5}} = \frac{x^2 – 1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} \neq m(x) \), funkce není sudá ani lichá.

Řešení:

Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tedy \(9 – x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 9 \Rightarrow -3 < x < 3\).

Definiční obor: \(D_f = (-3, 3)\).

Průsečík s osou y:

\( f(0) = \frac{3 \cdot 0}{\sqrt{9 – 0}} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( f(x) = 0 \Rightarrow 3x = 0 \Rightarrow x = 0 \), který je v definičním oboru.

Parita:

\( f(-x) = \frac{3(-x)}{\sqrt{9 – (-x)^2}} = \frac{-3x}{\sqrt{9 – x^2}} = -f(x) \), funkce je lichá.

Limity:

• \( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \frac{3x}{\sqrt{9 – x^2}} = +\infty \).
• \( \lim_{x \to (-3)^+} f(x) = \lim_{x \to (-3)^+} \frac{3x}{\sqrt{9 – x^2}} = -\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tedy \(2x + 5 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{5}{2}\).

Definiční obor: \(D_g = \left[-\frac{5}{2}, +\infty \right)\).

Průsečík s osou y:

\( g(0) = \sqrt{0 + 5} = \sqrt{5} \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( g(x) = 0 \Rightarrow \sqrt{2x + 5} = 0 \Rightarrow 2x + 5 = 0 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \).

Parita:

Funkce není sudá ani lichá, protože definiční obor není symetrický kolem nuly a \(g(-x) \neq \pm g(x)\).

Řešení:

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nula, tedy \(x – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\).

Definiční obor: \(D_h = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).

Průsečík s osou y:

\( h(0) = \frac{0 + 1}{0 – 1} = \frac{1}{-1} = -1 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( h(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 + 1}{x – 1} = 0 \Rightarrow x^2 + 1 = 0 \), což nemá řešení v reálných číslech.

Limity:

• \( \lim_{x \to 1^-} h(x) = -\infty \), protože jmenovatel jde k nule zleva a je záporný.
• \( \lim_{x \to 1^+} h(x) = +\infty \), protože jmenovatel jde k nule zprava a je kladný.
• \( \lim_{x \to \pm \infty} h(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 1}{x – 1} = \pm \infty \) (větší stupeň v čitateli).

Parita:

Funkce není ani sudá, ani lichá.

Řešení:

Definiční obor: Jmenovatel \(x^2 + 1 > 0\) pro všechna reálná \(x\), tedy \(D_k = \mathbb{R}\).

Průsečík s osou y:

\( k(0) = \frac{0 – 0}{0 + 1} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( k(x) = 0 \Rightarrow x^3 – x = 0 \Rightarrow x(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = 0, \pm 1 \).

Parita:

Zkusíme \( k(-x) = \frac{(-x)^3 – (-x)}{(-x)^2 + 1} = \frac{-x^3 + x}{x^2 + 1} = -\frac{x^3 – x}{x^2 + 1} = -k(x) \), tedy funkce je lichá.

Řešení:

Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tedy \(x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2\).

Jmenovatel nesmí být nula, tedy \(x \neq 1\).

Definiční obor: \(D_m = [-2, 1) \cup (1, +\infty)\).

Průsečík s osou y:

\( m(0) = \frac{\sqrt{0 + 2}}{0 – 1} = \frac{\sqrt{2}}{-1} = -\sqrt{2} \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( m(x) = 0 \Rightarrow \sqrt{x + 2} = 0 \Rightarrow x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \).

Parita:

Funkce není ani sudá, ani lichá, protože definiční obor není symetrický a \(m(-x) \neq \pm m(x)\).

Limity:

• \( \lim_{x \to 1^-} m(x) = -\infty \), protože jmenovatel jde k nule zleva (záporná hodnota).
• \( \lim_{x \to 1^+} m(x) = +\infty \), protože jmenovatel jde k nule zprava (kladná hodnota).

Řešení:

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nula, tedy \( x^2 – 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2 \).

Definiční obor: \( D_f = \mathbb{R} \setminus \{ -2, 2 \} \).

Průsečíky s osou y:

\( f(0) = \frac{2 \cdot 0 – 3}{0 – 4} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \).

Průsečíky s osou x:

Řešíme \( f(x) = 0 \Rightarrow 2x^2 – 3 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \), které jsou v definičním oboru.

Parita:

Funkce je sudá, protože \( f(-x) = \frac{2(-x)^2 – 3}{(-x)^2 – 4} = \frac{2x^2 – 3}{x^2 – 4} = f(x) \).

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm 2^-} f(x) = -\infty \), protože jmenovatel jde k nule zleva a je záporný.
• \( \lim_{x \to \pm 2^+} f(x) = +\infty \), protože jmenovatel jde k nule zprava a je kladný.
• \( \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 – 3}{x^2 – 4} = 2 \), protože nejvyšší stupeň v čitateli i jmenovateli je 2, a podíl koeficientů je \( \frac{2}{1} = 2 \).

Řešení:

Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tedy \(4 – x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2\).

Definiční obor: \(D_g = [-2, 2]\).

Průsečík s osou y:

\( g(0) = \sqrt{4 – 0} = 2 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( g(x) = 0 \Rightarrow \sqrt{4 – x^2} = 0 \Rightarrow 4 – x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \).

Parita:

Funkce je sudá, protože \( g(-x) = \sqrt{4 – (-x)^2} = \sqrt{4 – x^2} = g(x) \).

Řešení:

Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tedy \( x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -3 \).

Definiční obor: \( D_h = [-3, +\infty) \).

Průsečík s osou y:

\( h(0) = \frac{0 – 1}{\sqrt{0 + 3}} = \frac{-1}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( h(x) = 0 \Rightarrow x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \), což je v definičním oboru.

Limity:

• \( \lim_{x \to -3^+} h(x) = \lim_{x \to -3^+} \frac{x-1}{\sqrt{x+3}} = \frac{-4}{0^+} = -\infty \).
• \( \lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{\sqrt{x+3}} = +\infty \), protože čitatel roste rychleji než jmenovatel.

Parita:

Funkce není sudá ani lichá.

Řešení:

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nula, tedy \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \).

Definiční obor: \( D_k = \mathbb{R} \setminus \{ -2 \} \).

Průsečík s osou y:

\( k(0) = \frac{0 – 4}{0 + 2} = \frac{-4}{2} = -2 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( k(x) = 0 \Rightarrow x^2 – 4 = 0 \Rightarrow (x – 2)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 2, -2 \).

Protože \(x = -2\) není v definičním oboru, průsečík existuje jen v \(x = 2\).

Parita:

Funkce není ani sudá, ani lichá.

Řešení:

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nula, tedy \( x^2 – 1 \neq 0 \Rightarrow (x – 1)(x + 1) \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 \).

Definiční obor: \( D_m = \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} \).

Průsečík s osou y:

\( m(0) = \frac{0 + 1}{0 – 1} = \frac{1}{-1} = -1 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( m(x) = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \), ale \(x = -1\) není v definičním oboru, tedy průsečík s osou x není.

Limity:

• \( \lim_{x \to 1^-} m(x) = -\infty \), protože jmenovatel jde k nule zleva a je záporný.
• \( \lim_{x \to 1^+} m(x) = +\infty \), protože jmenovatel jde k nule zprava a je kladný.
• \( \lim_{x \to -1^-} m(x) = +\infty \), protože jmenovatel jde k nule zleva a je kladný.
• \( \lim_{x \to -1^+} m(x) = -\infty \), protože jmenovatel jde k nule zprava a je záporný.
• \( \lim_{x \to \pm \infty} m(x) = 0 \), protože stupeň jmenovatele je větší než stupeň čitatele.

Parita:

Funkce není sudá ani lichá.

Řešení:

Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tedy \( x – 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \). Dále jmenovatel nesmí být nula, tedy \( x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \). Jelikož \( x \geq 1 \), podmínka \( x \neq -2 \) je automaticky splněna.

Definiční obor: \( D_f = [1, +\infty) \).

Průsečík s osou y: Funkce není definována pro \( x=0 \), tedy žádný průsečík s osou y nemá.

Průsečík s osou x:

Řešíme \( f(x) = 0 \Rightarrow \frac{\sqrt{x-1}}{x+2} = 0 \Rightarrow \sqrt{x-1} = 0 \Rightarrow x = 1 \), což je v definičním oboru.

Parita:

Funkce není sudá ani lichá, protože není definována pro záporná \(x\) a výraz není symetrický.

Limity:

• \( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{\sqrt{1-1}}{1+2} = 0 \).
• \( \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x-1}}{x+2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \).

Řešení:

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nula, tedy \( x^2 – 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 \).

Definiční obor: \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{ -2, 2 \} \).

Průsečíky s osou y:

\( g(0) = \frac{0 – 8}{0 – 4} = \frac{-8}{-4} = 2 \).

Průsečíky s osou x:

Řešíme \( g(x) = 0 \Rightarrow x^3 – 8 = 0 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x = 2 \), ale \( x=2 \) není v definičním oboru, tudíž žádný průsečík s osou x není.

Parita:

Funkce není sudá ani lichá.

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm 2^\pm} g(x) = \pm \infty \) (směry limit závisí na straně, z které se blížíme).
• \( \lim_{x \to \pm \infty} g(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 – 8}{x^2 – 4} = \pm \infty \), protože stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele.

Řešení:

Definiční obor: Pod odmocninou musí být nezáporné číslo, tedy \( 9 – x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3 \).

Definiční obor: \( D_h = [-3, 3] \).

Průsečík s osou y:

\( h(0) = \sqrt{9 – 0} = 3 \).

Průsečiky s osou x:

Řešíme \( h(x) = 0 \Rightarrow 9 – x^2 = 0 \Rightarrow x = \pm 3 \).

Parita:

Funkce je sudá, protože \( h(-x) = \sqrt{9 – (-x)^2} = \sqrt{9 – x^2} = h(x) \).

Řešení:

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nula, tedy \( x^2 – 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1 \).

Definiční obor: \( D_k = \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} \).

Průsečík s osou y:

\( k(0) = \frac{0}{0 – 1} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( k(x) = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \), což je v definičním oboru.

Parita:

Funkce je lichá, protože \( k(-x) = \frac{2(-x)}{(-x)^2 – 1} = \frac{-2x}{x^2 – 1} = -k(x) \).

Řešení:

Definiční obor: Jmenovatel nesmí být nula, tedy \( x – 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \).

Definiční obor: \( D_m = \mathbb{R} \setminus \{ 3 \} \).

Průsečík s osou y:

\( m(0) = \frac{0 + 0 – 6}{0 – 3} = \frac{-6}{-3} = 2 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( m(x) = 0 \Rightarrow x^2 + x – 6 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x – 2) = 0 \Rightarrow x = -3, 2 \), oba v definičním oboru.

Limity:

• \( \lim_{x \to 3} m(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + x – 6}{x – 3} \).

Faktorizujme čitatel: \( x^2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) \), tedy

\( m(x) = \frac{(x – 2)(x + 3)}{x – 3} \).

V \( x = 3 \) je nespojitost typu nevylučitelné, protože jmenovatel je nula, ale čitatel není.

Limity zleva a zprava jsou nekonečné s opačnými znaménky.

• \( \lim_{x \to \pm \infty} m(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + x – 6}{x – 3} = \pm \infty \), protože stupeň čitatele je větší než stupeň jmenovatele.

Parita:

Funkce není sudá ani lichá.

Řešení:

Definiční obor: Výraz \( x^{\frac{3}{2}} = ( \sqrt{x} )^3 \) je definován pouze pro \( x \geq 0 \), protože druhá odmocnina z \(x\) musí být definována.

Definiční obor: \( D_f = [0, +\infty) \).

Průsečík s osou y:

\( f(0) = 0^{3/2} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( f(x) = 0 \Rightarrow x^{3/2} = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Parita:

Funkce není sudá ani lichá, protože není definována pro záporná \( x \).

Limity:

• \( \lim_{x \to 0^+} x^{3/2} = 0 \).
• \( \lim_{x \to +\infty} x^{3/2} = +\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Funkce je definována všude kromě \( x = 0 \), kde by byl nulový jmenovatel.

Definiční obor: \( D_g = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \).

Průsečík s osou y: Funkce není definována v \( x=0 \), žádný průsečík s osou y tedy není.

Průsečík s osou x:

Řešíme \( g(x) = 0 \Rightarrow x^{-2} = 0 \), což nemá řešení, protože \( x^{-2} > 0 \) pro všechna \( x \neq 0 \).

Parita:

Funkce je sudá, protože \( g(-x) = (-x)^{-2} = x^{-2} = g(x) \).

Limity:

• \( \lim_{x \to 0^\pm} x^{-2} = +\infty \).
• \( \lim_{x \to \pm \infty} x^{-2} = 0 \).

Řešení:

Definiční obor: Funkce je definována pro všechna reálná čísla, tedy \( D_h = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( h(0) = -0^{4} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( h(x) = 0 \Rightarrow -x^4 = 0 \Rightarrow x^4 = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Parita:

Funkce je sudá, protože \( h(-x) = -(-x)^4 = -x^4 = h(x) \).

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} -x^{4} = -\infty \).

Řešení:

Definiční obor: Kubická odmocnina je definována pro všechna reálná čísla, takže \( D_k = \mathbb{R} \).

Průsečík s osou y:

\( k(0) = \sqrt[3]{0} = 0 \).

Průsečík s osou x:

Řešíme \( k(x) = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^5} = 0 \Rightarrow x^5 = 0 \Rightarrow x = 0 \).

Parita:

Funkce je lichá, protože \( k(-x) = \sqrt[3]{(-x)^5} = \sqrt[3]{-x^5} = – \sqrt[3]{x^5} = -k(x) \).

Limity:

• \( \lim_{x \to \pm \infty} \sqrt[3]{x^5} = \pm \infty \).

Řešení:

Definiční obor: Kubická odmocnina je definována pro všechna reálná čísla, ale ve jmenovateli nesmí být nula, tedy \( x \neq 0 \).

Definiční obor: \( D_m = \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \).

Průsečík s osou y: Funkce není definována v \( x=0 \), tudíž žádný průsečík s osou y nemá.

Průsečík s osou x: Funkce nikdy není nulová, protože jmenovatel nemůže být nekonečně velký.

Parita:

Funkce je lichá, protože \( m(-x) = \frac{1}{(-x)^{1/3}} = – \frac{1}{x^{1/3}} = -m(x) \).

Limity:

• \( \lim_{x \to 0^\pm} \frac{1}{x^{1/3}} = \pm \infty \).
• \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{1/3}} = 0 \).