Kořeny a reducibilita polynomů v Z[x], Q[x], R[x], C[x]

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionálního kořenového kritéria. Kořeny mohou být v tvaru \( \pm \frac{d}{c} \), kde \( d \) dělí absolutní člen 4 a \( c \) dělí vedoucí koeficient 1, tedy možné kořeny jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 3 + 4 = 2 \neq 0 \)

\( f(-1) = -1 – 3 + 4 = 0 \), tedy \( x = -1 \) je kořen.

Polynom rozdělíme pomocí dělení polynomů:

\( f(x) = (x + 1)(x^2 – 4x + 4) \)

Kvadratický člen \( x^2 – 4x + 4 \) můžeme rozložit na \( (x – 2)^2 \).

Kořeny jsou tedy \( x = -1 \) a \( x = 2 \) (dvojnásobný kořen).

V oboru \( \mathbb{Z}[x] \) i \( \mathbb{Q}[x] \) je polynom reducibilní, protože jsme ho rozložili na lineární a kvadratický faktor, přičemž kvadratický faktor je i rozložitelný.

V oboru \( \mathbb{R}[x] \) i \( \mathbb{C}[x] \) jsou všechny kořeny reálné, polynom je opět reducibilní.

Řešení:

Kořeny polynomu \( x^4 + 1 = 0 \) v \( \mathbb{C} \) jsou komplexní čísla, pro která platí \( x^4 = -1 \).

Zapišme \( -1 \) v goniometrickém tvaru: \( -1 = \cos \pi + i \sin \pi \).

Kořeny jsou čtvrté odmocniny z \( -1 \):

\( x_k = \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4}, k = 0,1,2,3 \).

Konkrétně:

\( x_0 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( x_1 = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( x_2 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \)

\( x_3 = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Polynom \( x^4 + 1 \) je v \( \mathbb{Q}[x] \) ireducibilní (Gaussova lemma, Eisensteinovo kritérium s vhodnou substitucí se přímo neuplatní, ale známe, že tento polynom nemá kořeny v racionálních číslech a nelze ho rozložit na polynomy nižších stupňů s racionálními koeficienty).

V \( \mathbb{R}[x] \) lze polynom rozložit na součin kvadratických polynomů:

\( x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 – \sqrt{2}x + 1) \).

Řešení:

Hledáme racionální kořeny podle racionálního kořenového kritéria: dělitele absolutního členu 4, tedy \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Dosadíme:

\( h(1) = 1 + 1 – 4 – 4 = -6 \neq 0 \)

\( h(-1) = -1 + 1 + 4 – 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.

Dělíme polynom polynomem \( x + 1 \):

\( h(x) : (x + 1) = x^2 – 4 \).

Rozložíme kvadratický polynom:

\( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \).

Kořeny v \( \mathbb{C} \) jsou tedy \( x = -1, 2, -2 \).

Polynom je v \( \mathbb{Q}[x] \) reducibilní, protože jsme ho rozložili na lineární faktory s racionálními koeficienty.

Řešení:

Polynom je čtvrtého stupně, ale nemá členy lichých stupňů kromě konstanty, jde o polynom v \( x^2 \).

Zaveďme substituci \( y = x^2 \), pak \( p(x) = y^2 – 5y + 6 \).

Rozložíme kvadratický polynom v \( y \):

\( y^2 – 5y + 6 = (y – 2)(y – 3) \).

Vrátíme substituci:

\( p(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \).

V \( \mathbb{Q}[x] \) je tedy polynom reducibilní na dva kvadratické polynomy.

V \( \mathbb{R}[x] \) lze rozložit dál pomocí odmocnin:

\( x^2 – 2 = (x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \), \( x^2 – 3 = (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \).

V \( \mathbb{C}[x] \) jsou kořeny reálné a polynom je tedy plně rozložený.

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny podle racionálního kořenového kritéria, možné kořeny jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Dosadíme:

\( q(1) = 1 – 2 + 4 = 3 \neq 0 \)

\( q(-1) = -1 + 2 + 4 = 5 \neq 0 \)

\( q(2) = 8 – 4 + 4 = 8 \neq 0 \)

\( q(-2) = -8 + 4 + 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \) je kořen.

Dělíme polynom polynomem \( x + 2 \) pomocí dělení polynomů:

\( q(x) : (x + 2) = x^2 – 2x + 2 \).

Kvadratický polynom \( x^2 – 2x + 2 \) nemá reálné kořeny, protože diskriminant \( \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \).

Kořeny kvadratického polynomu v \( \mathbb{C} \):

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i \).

Celkové rozložení v \( \mathbb{C}[x] \):

\( q(x) = (x + 2)(x – (1 + i))(x – (1 – i)) \).

V \( \mathbb{Q}[x] \) je polynom reducibilní díky rozkladu na \( (x + 2)(x^2 – 2x + 2) \).

Řešení:

Podíváme se na racionální kořeny pomocí racionálního kořenového kritéria. Možné kořeny jsou dělitelé absolutního členu 1, tedy \( \pm 1 \).

Dosadíme:

\( r(1) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.

Dělíme polynom polynomem \( x – 1 \) pomocí dělení polynomů:

Výsledek dělení je \( x^4 + x^2 + 1 \).

Rozklad je tedy:

\( r(x) = (x – 1)(x^4 + x^2 + 1) \).

Zkoušíme, zda lze \( x^4 + x^2 + 1 \) rozložit na kvadratické polynomy v \( \mathbb{Q}[x] \).

Předpokládejme rozklad \( x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \), kde \( a,b,c,d \in \mathbb{Q} \).

Po roznásobení dostáváme soustavu rovnic:

\( a + c = 0 \)

\( ac + b + d = 1 \)

\( ad + bc = 0 \)

\( bd = 1 \)

Protože \( bd = 1 \), můžeme zvolit \( b = d = 1 \).

Pak \( a + c = 0 \Rightarrow c = -a \).

Rovnice \( ac + b + d = 1 \) dává:

\( a(-a) + 1 + 1 = 1 \Rightarrow -a^2 + 2 = 1 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1 \).

Rovnice \( ad + bc = 0 \) je:

\( a \cdot 1 + b \cdot c = a + c = a – a = 0 \), což je splněno.

Zvolme \( a = 1 \), tedy rozklad je:

\( x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1) \).

Celkový rozklad polynomu je:

\( r(x) = (x – 1)(x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1) \).

Řešení:

Polynom má tvar \( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \), což lze snadno ověřit rozvinutím.

Kořen je tedy jediný a trojnásobný: \( x = -1 \).

Rozklad v \( \mathbb{Q}[x] \) a \( \mathbb{C}[x] \) je tedy:

\( s(x) = (x + 1)^3 \).

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme kořeny polynomu v \(\mathbb{R}\). Polynom je tvaru \(x^4 – 5x^2 + 6\). Zkusíme substituci \(y = x^2\), čímž dostaneme kvadratickou rovnici

\( y^2 – 5y + 6 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu:

\( \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 \).

Kořeny rovnice jsou

\( y_1 = \frac{5 – \sqrt{1}}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = 3 \).

Vrátíme substituci \( y = x^2 \):

\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \), \( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \).

Tedy kořeny v \(\mathbb{R}\) jsou \( \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3} \).

Polynom tedy lze rozložit v \(\mathbb{R}[x]\) na součin

\( (x^2 – 2)(x^2 – 3) \).

Zjistíme, zda je polynom reducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\). Oba činitele \(x^2 – 2\) a \(x^2 – 3\) jsou ireducibilní nad \(\mathbb{Q}\) podle Eisensteinova kritéria nebo podle toho, že nemají racionální kořeny.

Tedy rozklad \( f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \) je rozklad na ireducibilní polynomy v \(\mathbb{Q}[x]\).

Polynom \(f\) je tedy reducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\), protože se dá rozložit na dva ireducibilní polynomy stupně \(2\).

Řešení příkladu:

Polynom \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) rozebereme na základě známých vzorců pro mocniny binomů. Tento polynom odpovídá rozvoji

\( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Tedy

\( f(x) = (x+1)^3 \).

Z toho plyne, že polynom má jediný kořen v \(\mathbb{C}\), a to \( x = -1 \) s násobností \(3\).

Protože polynom lze rozložit jako třetí mocnina lineárního polynomu s racionálními koeficienty, není ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\).

Kořeny v \(\mathbb{C}\) jsou tedy

\( x = -1 \) s násobností tři.

Řešení příkladu:

Polynom \( f(x) = x^4 + 1 \) nemá racionální kořeny, protože substituce \(x=0\) dává hodnotu \(1\), a jednoduchá kontrola kořenů podle věty o racionálních kořenech nevede k žádným kořenům v \(\mathbb{Q}\).

Nejprve rozhodneme o ireducibilitě v \(\mathbb{Q}[x]\). Polynom je známý příklad ireducibilního polynomu nad \(\mathbb{Q}\) (důkaz lze provést např. pomocí Eisensteinova kritéria po substituci, nebo pomocí faktorizace přes \(\mathbb{R}[x]\)).

Pokud bychom se snažili rozložit \(x^4 + 1\) na dva kvadratické polynomy v \(\mathbb{Q}[x]\):

\( x^4 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \), kde \(a,b,c,d \in \mathbb{Q}\).

Po roznásobení a srovnání koeficientů dostáváme systém rovnic:

\( a + c = 0 \),

\( ac + b + d = 0 \),

\( ad + bc = 0 \),

\( bd = 1 \).

Pokud \(b\) a \(d\) jsou racionální a jejich součin je \(1\), pak \(b = d = \pm 1\).

Zkoušíme \(b = d = 1\):

\( a + c = 0 \Rightarrow c = -a \),

\( ac + b + d = a(-a) + 1 + 1 = -a^2 + 2 = 0 \Rightarrow a^2 = 2 \),

ale \(a^2=2\) není v \(\mathbb{Q}\), tedy \(a \notin \mathbb{Q}\).

Stejně tak pro \(b = d = -1\) dostaneme podobnou nerovnici.

Tedy rozklad na kvadratické polynomy s racionálními koeficienty není možný.

Polynom \(f\) je tedy ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\).

V \(\mathbb{C}\) najdeme kořeny pomocí komplexních čísel. Kořeny rovnice \(x^4 + 1 = 0\) jsou komplexní čtvrté odmocniny z \(-1\), tedy

\( x = e^{i \frac{\pi}{4}}, e^{i \frac{3\pi}{4}}, e^{i \frac{5\pi}{4}}, e^{i \frac{7\pi}{4}} \).

To jsou komplexní čísla

\( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Řešení příkladu:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí věty o racionálních kořenech, která říká, že možné kořeny jsou dělitelé absolutního členu \((\)zde \(-2)\) dělené dělitelem vedoucího koeficientu \((\)zde \(1)\). Možné racionální kořeny jsou tedy \( \pm 1, \pm 2 \).

Dosadíme postupně:

\( f(1) = 1 – 2 + 1 – 2 = -2 \neq 0 \)

\( f(-1) = -1 – 2 -1 – 2 = -6 \neq 0 \)

\( f(2) = 8 – 8 + 2 – 2 = 0 \) – kořen nalezen.

\( f(-2) = -8 – 8 – 2 – 2 = -20 \neq 0 \)

Tedy jediný racionální kořen je \(x=2\).

Pro dělení polynomu využijeme Hornerovo schéma pro vydělení polynomu \((x^3 – 2x^2 + x – 2)\) polynomem \((x – 2)\):

Koeficienty: \(1, -2, 1, -2\)

Postup:

1. Přineseme \(1\),

2. Vynásobíme \(1*2=2\), sčítáme s \(-2 = 0\),

3. Vynásobíme \(0*2=0\), sčítáme s \(1 = 1\),

4. Vynásobíme \(1*2=2\), sčítáme s \(-2 = 0\).

Zbytek je \(0\), takže

\( f(x) = (x – 2)(x^2 + 1) \).

Polynom \(x^2 + 1\) nemá reálné ani racionální kořeny, protože rovnice \(x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1\) nemá řešení v \(\mathbb{R}\).

V \(\mathbb{C}\) najdeme kořeny rovnice \(x^2 + 1 = 0\):

\( x = \pm i \).

Celkové kořeny v \(\mathbb{C}\) jsou tedy

\( x = 2, i, -i \).

Polynom je tedy reducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\), protože jsme jej rozložili na lineární a kvadratický polynom s koeficienty v \(\mathbb{Q}\).

Řešení příkladu:

Polynom \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \) je rozvoj binomu podle vzorce

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Tedy polynom lze napsat jako

\( f(x) = (x – 1)^4 \).

Kořen polynomu je \( x = 1 \) s násobností \(4\).

Polynom je tedy reducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\), protože jej lze rozložit na opakovaný lineární polynom.

Kořeny v \(\mathbb{C}\) jsou jednoznačně

\( x = 1 \) s násobností \(4\).

Řešení příkladu:

Nejdříve zjistíme, zda polynom má racionální kořeny pomocí věty o racionálních kořenech. Absolutní člen je 1, vedoucí koeficient \(1\), takže možní racionální kořeni jsou \( \pm 1 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 \neq 0 \)

\( f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 \neq 0 \)

Žádný racionální kořen polynom nemá.

Polynom je tedy ireducibilní nad \(\mathbb{Q}\), protože není dělitelný lineárním polynomem s racionálními koeficienty.

Kořeny polynomu v \(\mathbb{R}\) nalezneme řešením rovnice \( x^3 – 3x + 1 = 0 \).

Diskriminant kubické rovnice \(x^3 + px + q = 0\) je \( \Delta = -4p^3 – 27q^2 \).

Pro náš polynom je \(p = -3\), \(q = 1\), tedy

\( \Delta = -4(-3)^3 – 27 \cdot 1^2 = -4(-27) – 27 = 108 – 27 = 81 > 0 \).

Proto má polynom tři různé reálné kořeny.

Kořeny lze vyjádřit pomocí Cardanovy formule, nebo pomocí trigonometrické substituce:

Nastavíme \( x = 2 \cos \theta \), pak

\( 8 \cos^3 \theta – 6 \cos \theta + 1 = 0 \), což můžeme přepsat jako

\( \cos 3\theta = -\frac{1}{2} \).

Řešení jsou

\( 3\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3} \), tedy

\( \theta = \frac{2\pi}{9}, \frac{4\pi}{9}, \frac{8\pi}{9} \).

Kořeny jsou

\( x_k = 2 \cos \frac{2k\pi}{9}, k=1,2,4 \).

Explicitně:

\( x_1 = 2 \cos \frac{2\pi}{9} \),

\( x_2 = 2 \cos \frac{4\pi}{9} \),

\( x_3 = 2 \cos \frac{8\pi}{9} \).

Tyto kořeny jsou reálná čísla, ale iracionální a nelze je vyjádřit pomocí racionálních koeficientů polynomů nižších stupňů.

Řešení příkladu:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí věty o racionálních kořenech. Kořen je tvaru \(\frac{p}{q}\), kde \(p\) dělí absolutní člen (1) a \(q\) dělí vedoucí koeficient (2).

Možné hodnoty jsou tedy \( \pm 1, \pm \tfrac{1}{2} \).

Dosadíme postupně:

\( f(1) = 4 \neq 0 \), \( f(-1) = 2 \neq 0 \), \( f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{1}{2} \neq 0 \), \( f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = \tfrac{7}{4} \neq 0 \).

Žádný racionální kořen polynom nemá.

Zkusíme rozložit polynom na součin dvou kvadratických polynomů:

\( f(x) = (x^2 + 2x + 1)(2x^2 – x + 1) \).

Ověříme roznásobením: \( (x^2 + 2x + 1)(2x^2 – x + 1) = 2x^4 + 3x^3 – 2x + 1 \), což souhlasí.

Tedy polynom je v \(\mathbb{Q}[x]\) reducibilní, protože se rozloží na součin dvou kvadratických polynomů.

Řešení příkladu:

Nejprve hledáme racionální kořeny podle věty o racionálních kořenech. Kořeny mají tvar \(\frac{p}{q}\), kde \(p\) dělí absolutní člen \(-1\) a \(q\) dělí vedoucí koeficient \(1\).

Možné kořeny jsou tedy \( \pm 1 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 1 – 1 = -1 \neq 0 \)

\( f(-1) = -1 + 1 – 1 = -1 \neq 0 \)

Žádný racionální kořen polynom nemá.

Polynom je stupně \(5\) a nemá lineární faktor s koeficienty v \(\mathbb{Q}\), tudíž je pravděpodobně ireducibilní nad \(\mathbb{Q}\).

K rigoróznímu důkazu by bylo potřeba použít například Eisensteinovo kritérium nebo jiné metody, ale v tomto případě Eisensteinovo kritérium na první pohled nelze použít.

Polynom je známý příkladem ireducibilního polynomu pátého stupně nad \(\mathbb{Q}\).

Řešení příkladu:

Polynom je \( f(x) = x^4 + 4 \). Neobsahuje žádné reálné kořeny, protože \( x^4 \geq 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \) a tedy \( x^4 + 4 > 0 \).

Pro nalezení kořenů v \(\mathbb{C}\) řešíme rovnici \( x^4 = -4 \).

Převedeme na tvar komplexního čísla v goniometrické formě. Číslo \(-4\) má polární souřadnice:

modul \( r = 4 \), argument \( \theta = \pi \) (protože leží na záporné reálné ose).

Kořeny \(x\) jsou čtvrté odmocniny komplexního čísla \(-4\), tedy

\( x_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) \), kde \( k=0,1,2,3 \).

Protože \(\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\), dostáváme:

\( x_0 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 + i \),

\( x_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 + i \),

\( x_2 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -1 – i \),

\( x_3 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 – i \).

Kořeny jsou tedy \( 1 + i, -1 + i, -1 – i, 1 – i \).

Rozklad polynomu nad \(\mathbb{C}\) je tedy

\( f(x) = (x – (1+i))(x – (-1+i))(x – (-1 – i))(x – (1 – i)) \).

V \(\mathbb{R}[x]\) můžeme polynom rozložit na součin dvou kvadratických polynomů pomocí konjugovaných párů kořenů:

\( f(x) = (x^2 – 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) však tento rozklad není možný, protože kvadratické polynomy mají koeficienty v \(\mathbb{R}\), nikoliv v \(\mathbb{Q}\). Polynomy nejsou ireducibilní v \(\mathbb{R}[x]\), ale nad \(\mathbb{Q}[x]\) je \(f\) ireducibilní (nelze jej rozložit na polynomy s racionálními koeficienty nižšího stupně).

Řešení příkladu:

Nejdříve hledáme racionální kořeny podle věty o racionálních kořenech. Absolutní člen je \(6\), vedoucí koeficient je \(1\), takže možné kořeny jsou \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).

Testujeme tyto hodnoty:

\(f(1) = 1 – 7 + 6 = 0\) – kořen \(x=1\) nalezen.

Pro vydělení použijeme Hornerovo schéma s dělením polynomem \(x – 1\):

Koeficienty: \(1, 0, -7, 6\)

Postup:

1 (přineseme),

\(1*1=1 + 0 = 1\),

\(1*1=1 – 7 = -6\),

\(-6*1 = -6 + 6 = 0\).

Zbytek je \(0\), takže

\( f(x) = (x – 1)(x^2 + x – 6) \).

Kvadratický polynom \( x^2 + x – 6 \) rozložíme pomocí vzorce pro kvadratické rovnice:

Diskriminant: \( \Delta = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \).

Kořeny jsou

\( x = \frac{-1 \pm 5}{2} \), tedy \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -3 \).

Polynom tedy rozložíme na

\( f(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3) \).

Všechny kořeny jsou reálné i komplexní (vzhledem k tomu, že \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)) a jsou to právě \( 1, 2, -3 \).

Polynom je tedy nad \(\mathbb{Q}[x]\) plně rozložený na lineární faktory, je tedy reducibilní.

Řešení příkladu:

Polynom je kvadratický \( f(x) = x^2 + x + 1 \).

Nejprve zkontrolujeme, zda má reálné kořeny, vypočítáme diskriminant:

\( \Delta = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0 \).

Polynom nemá reálné kořeny, tudíž je v \(\mathbb{R}[x]\) ireducibilní (nelze rozložit na lineární faktory s reálnými koeficienty).

V \(\mathbb{Q}[x]\) je také ireducibilní, protože pokud by existovalo rozložení, muselo by existovat alespoň jedno racionální kořen, což není možné vzhledem k zápornému diskriminantu.

Kořeny v \(\mathbb{C}\) spočítáme pomocí vzorce:

\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \).

Kořeny jsou komplexní konjugované čísla

\( x_1 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \),

\( x_2 = -\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Rozklad v \(\mathbb{C}[x]\) je tedy

\( f(x) = (x – x_1)(x – x_2) \).

Řešení příkladu:

Polynom \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \) je polynom čtvrtého stupně, ale pouze se sudými exponenty. Proto můžeme substitucí \( y = x^2 \) přepsat jako:

\( g(y) = y^2 – 5y + 6 \).

Rozložíme kvadratický polynom \(g(y)\):

Diskriminant \( \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 \).

Kořeny \( y_1 = \frac{5 – 1}{2} = 2 \), \( y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \).

Takže

\( g(y) = (y – 2)(y – 3) \Rightarrow f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \).

Rozklad polynomu \(f\) v \(\mathbb{Q}[x]\) je tedy

\( f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \), oba faktory jsou kvadratické a ireducibilní nad \(\mathbb{Q}[x]\), protože jejich diskriminanty nejsou dokonalá čtverce.

Kořeny v \(\mathbb{R}\) jsou kořeny každého kvadratického členu:

Pro \( x^2 – 2 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \).

Pro \( x^2 – 3 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \).

Celkem tedy reálné kořeny jsou \( \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3} \).

Řešení příkladu:

Polynom \( f(x) = x^5 – x – 1 \) je pátého stupně s celočíselnými koeficienty.

Nejprve hledáme racionální kořeny podle věty o racionálních kořenech. Absolutní člen je \(-1\), vedoucí koeficient je \(1\), takže možné kořeny jsou \(\pm 1\).

Testujeme:

\( f(1) = 1 – 1 – 1 = -1 \neq 0 \),

\( f(-1) = -1 + 1 – 1 = -1 \neq 0 \).

Žádný racionální kořen polynom nemá.

Proto nemá lineární faktor s koeficienty v \(\mathbb{Q}\).

Pro ověření ireducibility můžeme použít Eisensteinovo kritérium s vhodnou substitucí nebo jiné metody, ale zde Eisensteinovo kritérium přímo nelze aplikovat.

Existují matematické důkazy, že tento konkrétní polynom je ireducibilní nad \(\mathbb{Q}[x]\) (známý jako příklad v literatuře).

Tedy polynom je ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\).

Řešení:

Polynom je \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \). Tento polynom si můžeme všimnout jako rozvoj třetí mocniny binomu:

\( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Tedy \( f(x) = (x + 1)^3 \), což je rozklad na lineární faktor v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\).

Kořen je jediný: \( x = -1 \), ale s násobností \(3\).

Polynom je tedy zcela rozložený a rozhodně reducibilní ve všech uvedených oborech.

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \) odpovídá rozvoji mocniny:

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Tedy \( f(x) = (x – 1)^4 \).

Kořen je jediný: \( x = 1 \) s násobností \(4\).

Polynom je tedy nad \(\mathbb{Q}[x]\) i \(\mathbb{R}[x]\) plně rozložený a reducibilní.

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^2 + 4 \) nemá žádné reálné kořeny, protože \( x^2 \geq 0 \) a tedy \( x^2 + 4 \geq 4 > 0 \) pro všechna reálná \(x\).

V \(\mathbb{R}[x]\) je tedy ireducibilní.

V \(\mathbb{Q}[x]\) také ireducibilní, protože by musel mít racionální kořen, což nemá.

V \(\mathbb{C}\) kořeny spočítáme:

\( x^2 = -4 \Rightarrow x = \pm 2i \).

Kořeny jsou tedy \( x_1 = 2i \), \( x_2 = -2i \).

Rozklad v \(\mathbb{C}[x]\) je

\( f(x) = (x – 2i)(x + 2i) \).

Řešení:

Nejdříve hledáme racionální kořeny. Absolutní člen je \(2\), vedoucí koeficient \(1\), možné kořeny jsou \(\pm1, \pm2\).

Testujeme:

\( f(1) = 1 – 3 + 2 = 0 \) – kořen \(x=1\) je.

\( f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 \neq 0 \).

\( f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 \neq 0 \).

\( f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0 \) – kořen \(x=-2\) je.

Polynom tedy můžeme vydělit lineárními faktory \( (x-1) \) a \( (x+2) \).

Nejdříve vydělíme polynom \( f(x) \) polynomem \( (x – 1) \) pomocí Hornerova schématu:

Koeficienty: \(1, 0, -3, 2\)

Postup:

\(1\) (přineseme),

\(1*1=1 + 0 = 1\),

\(1*1=1 – 3 = -2\),

\(-2*1=-2 + 2 = 0\).

Zbytek \(0\), tedy

\( f(x) = (x – 1)(x^2 + x – 2) \).

Kvadratický polynom rozložíme:

\( x^2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) \).

Celkový rozklad:

\( f(x) = (x – 1)^2 (x + 2) \).

Kořeny jsou \( x = 1 \) (dvojnásobný) a \( x = -2 \).

Polynom je reducibilní ve všech oborech \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\).

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 + 2x^2 + 2 \) nemá lineární členy, můžeme uvažovat substituci \( y = x^2 \), pak

\( g(y) = y^2 + 2y + 2 \).

Diskriminant \( \Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \).

Polynom \( g(y) \) nemá reálné kořeny, je ireducibilní v \(\mathbb{R}[y]\).

Tedy polynom \( f(x) \) nemůže být rozložen na lineární faktory v \(\mathbb{R}[x]\).

Zkusíme jej rozložit na součin dvou kvadratických polynomů s reálnými koeficienty:

Předpokládejme tvar

\( f(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \), kde \( a,b,c,d \in \mathbb{R} \).

Rovnáme koeficienty:

\( x^4 + 2x^2 + 2 = x^4 + (a + c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd \).

Porovnáním dostaneme systém rovnic:

1) \( a + c = 0 \Rightarrow c = -a \),

2) \( ac + b + d = 2 \),

3) \( ad + bc = 0 \),

4) \( bd = 2 \).

Dosadíme \( c = -a \) do rovnice (2):

\( a(-a) + b + d = -a^2 + b + d = 2 \).

Z rovnice (3):

\( a d + b (-a) = a d – a b = a(d – b) = 0 \).

Buď \( a = 0 \), nebo \( d = b \).

Nejprve zkusíme \( a=0 \Rightarrow c=0 \), pak rovnice zjednodušeny:

\( b + d = 2 \), \( bd = 2 \).

Hledáme dvě čísla \(b,d\), která součtem jsou \(2\) a součinem \(2\).

Z parametrů máme kvadratickou rovnici pro \(b\):

\( d = 2 – b \),

\( b(2 – b) = 2 \Rightarrow 2b – b^2 = 2 \Rightarrow b^2 – 2b + 2 = 0 \).

Diskriminant je \( \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \), žádná reálná řešení.

Tedy \( a=0 \) nevede k reálným koeficientům \( b,d \).

Zkusíme \( d = b \).

Pak rovnice (2) je:

\( -a^2 + b + b = -a^2 + 2b = 2 \Rightarrow 2b = 2 + a^2 \Rightarrow b = \frac{2 + a^2}{2} \).

Rovnice (4): \( bd = b^2 = 2 \Rightarrow b^2 = 2 \Rightarrow b = \pm \sqrt{2} \).

Dosadíme za \( b \):

\( \frac{2 + a^2}{2} = \pm \sqrt{2} \Rightarrow 2 + a^2 = 2 \cdot \pm \sqrt{2} \).

Protože \( 2 + a^2 \geq 2 \), musí být \( 2 + a^2 = 2 \sqrt{2} \), tedy kladná hodnota:

\( a^2 = 2 \sqrt{2} – 2 \approx 0.828 > 0 \).

Tedy \( a = \pm \sqrt{2 \sqrt{2} – 2} \).

S tímto \( a \) a \( b = d = \sqrt{2} \) máme rozklad:

\( f(x) = (x^2 + a x + \sqrt{2})(x^2 – a x + \sqrt{2}) \).

Polynom je tedy rozložen v \(\mathbb{R}[x]\) na dva kvadratické ireducibilní faktory.

Kořeny v \(\mathbb{C}\) nalezneme řešením kvadratických rovnic:

1) \( x^2 + a x + \sqrt{2} = 0 \),

2) \( x^2 – a x + \sqrt{2} = 0 \).

Diskriminant prvního kvadratu je \( \Delta_1 = a^2 – 4\sqrt{2} = (2 \sqrt{2} – 2) – 4 \sqrt{2} = -2 \sqrt{2} – 2 < 0 \), komplexní kořeny.

Podobně pro druhý kvadrat:

\( \Delta_2 = a^2 – 4 \sqrt{2} = \Delta_1 < 0 \).

Kořeny jsou tedy komplexní a navzájem konjugované páry.

Řešení:

Nejdříve hledáme racionální kořeny pomocí pravidla racionálních kořenů. Možné kořeny jsou dělitele absolutního členu 2, tedy \( \pm 1, \pm 2 \).

Testujeme hodnoty:

\( f(1) = 1 – 2 – 1 + 2 = 0 \) – kořen je \( x = 1 \).

\( f(-1) = -1 – 2 + 1 + 2 = 0 \) – kořen je \( x = -1 \).

\( f(2) = 8 – 8 – 2 + 2 = 0 \) – kořen je \( x = 2 \).

\( f(-2) = -8 – 8 + 2 + 2 = -12 \neq 0 \).

Polynom má tedy tři racionální kořeny: \( 1, -1, 2 \).

Proto lze polynom rozložit lineárně:

\( f(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 2) \).

Tímto je polynom zcela rozložený a reducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\).

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 + 1 \) nemá žádné reálné kořeny, protože \( x^4 \geq 0 \) a \( x^4 + 1 > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je tedy ireducibilní, ale lze jej rozložit na součin dvou kvadratických polynomů.

Uvažujeme rozklad:

\( x^4 + 1 = (x^2 + a x + 1)(x^2 + b x + 1) \), kde \( a,b \in \mathbb{R} \).

Porovnáním koeficientů dostáváme:

\( (x^2 + a x + 1)(x^2 + b x + 1) = x^4 + (a + b) x^3 + (ab + 2) x^2 + (a + b) x + 1 \).

Rovnice porovnání:

1) \( a + b = 0 \Rightarrow b = -a \),

2) \( ab + 2 = 0 \Rightarrow a(-a) + 2 = -a^2 + 2 = 0 \Rightarrow a^2 = 2 \),

3) \( a + b = 0 \) potvrzuje symetrii,

4) konstantní člen je 1.

Z toho dostáváme \( a = \pm \sqrt{2} \), \( b = \mp \sqrt{2} \).

Rozklad je tedy

\( x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2} x + 1)(x^2 – \sqrt{2} x + 1) \).

V \(\mathbb{C}[x]\) můžeme polynom rozložit na lineární faktory, kořeny jsou komplexní čtvrté odmocniny z -1, tj. \( e^{i \pi/4}, e^{3i \pi/4}, e^{5i \pi/4}, e^{7i \pi/4} \).

Kořeny jsou:

\( x_1 = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_2 = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_3 = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_4 = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny – dělitele absolutního členu \(1\), tedy \( \pm 1 \).

Testujeme:

\( f(1) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0 \),

\( f(-1) = -1 – 1 + 1 = -1 \neq 0 \).

Nemá tedy racionální kořeny, je pravděpodobně ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\).

V \(\mathbb{R}[x]\) má každá kubická rovnice alespoň jeden reálný kořen.

Určíme aproximativně reálný kořen numericky. Např. Newtonovou metodou lze odhadnout reálný kořen mezi \(-1\) a \(0\).

Kořen je přibližně \( x \approx -0.682 \).

Protože nemá racionální kořeny, není možné ho rozložit na lineární a kvadratický faktor s racionálními koeficienty.

V \(\mathbb{R}[x]\) je tedy polynom reducibilní na lineární faktor a kvadratický ireducibilní faktor.

Řešení:

Vypočítáme diskriminant:

\( \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \).

Polynom nemá reálné kořeny, je ireducibilní v \(\mathbb{R}[x]\).

V \(\mathbb{C}[x]\) kořeny jsou komplexní:

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i \).

Polynom je tedy ireducibilní v \(\mathbb{R}[x]\), ale rozložitelný v \(\mathbb{C}[x]\) na lineární faktory:

\( f(x) = (x – (1 + i))(x – (1 – i)) \).

Řešení:

Uvažujeme substituci \( y = x^2 \), pak máme kvadratický polynom v \( y \):

\( y^2 – 5y + 6 = 0 \).

Vypočítáme diskriminant:

\( \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 > 0 \).

Kořeny pro \( y \):

\( y_1 = \frac{5 – 1}{2} = 2 \),

\( y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \).

Vracíme se k \( x \):

\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \),

\( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \).

Polynom lze tedy rozložit:

\( f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \) v \(\mathbb{Q}[x]\).

V \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) dále rozkládáme:

\( f(x) = (x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \).

Polynom je tedy reducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\).

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí pravidla racionálních kořenů, tj. dělitele absolutního členu \(2\):

\( \pm 1, \pm 2 \).

Testujeme hodnoty polynomu:

\( f(1) = 1 – 3 + 2 = 0 \) – kořen \( x = 1 \).

\( f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 \neq 0 \).

\( f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 \neq 0 \).

\( f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0 \) – kořen \( x = -2 \).

Polynom má tedy dva racionální kořeny \( x = 1 \) a \( x = -2 \).

Pro nalezení třetího kořene vydělíme polynom lineárním faktorem \( (x-1) \):

\( \frac{f(x)}{x-1} = x^2 + x – 2 \).

Rozložíme kvadratický polynom:

\( x^2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) \).

Celkový rozklad polynomu je tedy:

\( f(x) = (x – 1)^2 (x + 2) \).

Všechny kořeny jsou racionální, tudíž polynom je reducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\).

Řešení:

Polynom nemá žádné reálné kořeny, protože \( x^4 \geq 0 \) a \( x^4 + 4 > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom ireducibilní, ale v \(\mathbb{C}[x]\) je rozložitelný na lineární faktory podle čtvrtých odmocnin z \(-4\).

Nejprve rozložíme na součin kvadratických polynomů v \(\mathbb{R}[x]\):

Uvažujeme tvar:

\( x^4 + 4 = (x^2 + a x + 2)(x^2 + b x + 2) \), kde \( a, b \in \mathbb{R} \).

Po roznásobení:

\( x^4 + (a + b) x^3 + (ab + 4) x^2 + 2(a + b) x + 4 \).

Porovnáme koeficienty s původním polynomem \( x^4 + 0 x^3 + 0 x^2 + 0 x + 4 \):

\( a + b = 0 \Rightarrow b = -a \),

\( ab + 4 = 0 \Rightarrow a(-a) + 4 = -a^2 + 4 = 0 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2 \).

Volíme \( a = 2 \), tedy \( b = -2 \).

Rozklad je tedy:

\( x^4 + 4 = (x^2 + 2 x + 2)(x^2 – 2 x + 2) \).

V \(\mathbb{C}[x]\) rozložíme každý kvadratický člen na lineární faktory pomocí výpočtu kořenů.

Pro \( x^2 + 2 x + 2 = 0 \):

Diskriminant je \( \Delta = 4 – 8 = -4 \), kořeny:

\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i \).

Pro \( x^2 – 2 x + 2 = 0 \):

Diskriminant je \( \Delta = 4 – 8 = -4 \), kořeny:

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\):

\( f(x) = (x – (-1 + i))(x – (-1 – i))(x – (1 + i))(x – (1 – i)) \).

Řešení:

Polynom připomíná vzorec pro mocninu součtu:

\( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Tudíž polynom lze zapsat jako:

\( f(x) = (x + 1)^3 \).

Kořen je tedy jednoznačný \( x = -1 \) s násobností \(3\).

Polynom je tedy reducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\) i \(\mathbb{R}[x]\) a samozřejmě i v \(\mathbb{C}[x]\), protože se rozkládá na lineární faktor s násobností.

Řešení:

Nejprve použijeme pravidlo racionálních kořenů. Možné racionální kořeny jsou ve tvaru \( \pm \frac{p}{q} \), kde \( p \mid 5 \) a \( q \mid 2 \).

Možné hodnoty tedy jsou: \( \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2} \).

Testujeme postupně:

\( f(1) = 2 – 3 + 1 – 5 = -5 \neq 0 \)

\( f(-1) = 2 + 3 – 1 – 5 = -1 \neq 0 \)

\( f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot \tfrac{1}{16} – 3 \cdot \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{2} – 5 = \tfrac{1}{8} – \tfrac{3}{8} + \tfrac{1}{2} – 5 = -\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2} – 5 = \tfrac{1}{4} – 5 = -\tfrac{19}{4} \neq 0 \)

\( f\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = 2 \cdot \tfrac{1}{16} – 3 \cdot \left(-\tfrac{1}{8}\right) – \tfrac{1}{2} – 5 = \tfrac{1}{8} + \tfrac{3}{8} – \tfrac{1}{2} – 5 = \tfrac{1}{2} – \tfrac{1}{2} – 5 = -5 \neq 0 \)

\( f(5) = 2 \cdot 625 – 3 \cdot 125 + 5 – 5 = 1250 – 375 = 875 \neq 0 \)

\( f(-5) = 2 \cdot 625 – 3 \cdot (-125) – 5 – 5 = 1250 + 375 – 10 = 1615 \neq 0 \)

\( f\!\left(\tfrac{5}{2}\right) = 2 \cdot \tfrac{625}{16} – 3 \cdot \tfrac{125}{8} + \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{1250}{16} – \tfrac{375}{8} + \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{625}{8} – \tfrac{375}{8} + \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{250}{8} + \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{125}{4} + \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{125}{4} + \tfrac{10}{4} – \tfrac{20}{4} = \tfrac{115}{4} \neq 0 \)

\( f\!\left(-\tfrac{5}{2}\right) = 2 \cdot \tfrac{625}{16} – 3 \cdot \left(-\tfrac{125}{8}\right) – \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{1250}{16} + \tfrac{375}{8} – \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{625}{8} + \tfrac{375}{8} – \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{1000}{8} – \tfrac{5}{2} – 5 = 125 – \tfrac{5}{2} – 5 = \tfrac{240}{2} – \tfrac{5}{2} = \tfrac{235}{2} \neq 0 \)

Žádný racionální kořen neexistuje. Proto polynom nelze v \(\mathbb{Q}[x]\) rozložit na lineární činitele.

Dále zkontrolujeme možnost rozkladu na součin dvou kvadratických polynomů s racionálními koeficienty.

Předpoklad: \( f(x) = (a x^2 + b x + c)(d x^2 + e x + f) \), kde \( a d = 2 \), \( c f = -5 \).

Porovnáním koeficientů bychom dostali soustavu rovnic. Řešení v racionálních číslech zde neexistuje (lze ověřit výpočtem nebo použitím testu ireducibility – např. Eisensteinovo kriterium po vhodné substituci, například pro \( p = 5 \), ukazuje ireducibilitu).

Závěr: Polynomu \( f(x) = 2x^4 – 3x^3 + x – 5 \) nelze rozložit v \(\mathbb{Q}[x]\). Je tedy ireducibilní.

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny. Možné kořeny jsou děliteli absolutního členu \(8\):

\( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).

Testujeme polynom:

\( f(1) = 1 – 2 + 4 – 8 = -5 \neq 0 \),

\( f(2) = 8 – 8 + 8 – 8 = 0 \), tedy \( x = 2 \) je kořen.

Vydělíme polynom lineárním faktorem \( (x – 2) \):

\( \frac{f(x)}{x – 2} = x^2 + 4 \).

Druhý faktor je \( x^2 + 4 \), který nemá reálné kořeny, protože \( x^2 = -4 \) nemá řešení v \(\mathbb{R}\).

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom tedy reducibilní na součin lineárního a kvadratického faktoru, ale kvadratický faktor je ireducibilní.

V \(\mathbb{C}[x]\) lze kvadratický člen rozložit na lineární faktory:

\( x^2 + 4 = (x – 2i)(x + 2i) \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\):

\( f(x) = (x – 2)(x – 2i)(x + 2i) \).

Řešení:

Polynom můžeme přepsat jako kvadratický polynom v \( y = x^2 \):

\( f(x) = y^2 – 5y + 6 \).

Najdeme kořeny tohoto kvadratického polynomu:

\( \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 \).

\( y_1 = \frac{5 – 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \).

Vrátíme se k \( x \):

\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \),

\( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \).

Kořeny jsou tedy \( \pm \sqrt{2}, \pm \sqrt{3} \), všechny iracionální reálné.

Polynom můžeme rozložit v \(\mathbb{R}[x]\) na součin kvadratických polynomů:

\( f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom ireducibilní, protože nelze rozložit na lineární faktory a ani na kvadratické s racionálními koeficienty.

V \(\mathbb{C}[x]\) můžeme rozložit každou kvadratiku na lineární faktory podle kořenů:

\( f(x) = (x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) je polynom ireducibilní (neboť je ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\)).

Řešení:

Hledáme racionální kořeny pomocí pravidla racionálních kořenů, možné jsou \( \pm 1 \).

Testujeme:

\( f(1) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0 \),

\( f(-1) = -1 – 1 + 1 = -1 \neq 0 \).

Žádný racionální kořen neexistuje, polynom je ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\).

V \(\mathbb{R}[x]\) polynom musí mít alespoň jeden reálný kořen, protože je stupně lichého a limita pro \( x \to \pm \infty \) je \( \pm \infty \).

Kořen můžeme najít numericky (např. metodou Newtonova):

Kořen je přibližně \( x \approx -0.6823 \).

Protože polynom je stupně \(3\) a nemá racionální kořeny, nelze ho rozložit v \(\mathbb{Q}[x]\), ale v \(\mathbb{R}[x]\) je reducibilní na lineární faktor a kvadratický ireducibilní faktor.

Řešení:

Polynom nemá reálné kořeny, protože \( x^4 + 1 > 0 \) pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).

V \(\mathbb{C}[x]\) hledáme kořeny rovnice:

\( x^4 = -1 = e^{i \pi + 2k \pi i}, k \in \mathbb{Z} \).

Kořeny jsou čtvrté odmocniny z \(-1\):

\( x_k = e^{i \frac{\pi + 2k \pi}{4}} = e^{i \frac{\pi}{4} + i \frac{k \pi}{2}} \), \( k = 0, 1, 2, 3 \).

Explicitně:

\( x_0 = e^{i \pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_1 = e^{i 3\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_2 = e^{i 5\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_3 = e^{i 7\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \).

V \(\mathbb{R}[x]\) rozložíme polynom na součin dvou kvadratických:

\( x^4 + 1 = (x^2 – \sqrt{2} x + 1)(x^2 + \sqrt{2} x + 1) \).

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \) má stupeň \(4\).

Všimneme si, že tento polynom odpovídá rozvoji \((x – 1)^4\), protože:

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Tedy polynom lze přesně rozložit na lineární faktory v \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\):

\( f(x) = (x – 1)^4 = (x – 1)(x – 1)(x – 1)(x – 1) \).

Kořenem je \( x = 1 \) s násobností 4.

Polynom je tedy reducibilní ve všech těchto oborech.

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 + 4x^2 + 16 \) je stupně 4.

Zavádíme substituci \( y = x^2 \), čímž dostaneme kvadratický polynom:

\( g(y) = y^2 + 4y + 16 \).

Diskriminant \( g(y) \):

\( \Delta = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 – 64 = -48 < 0 \).

Tedy \( g(y) \) nemá reálné kořeny, a polynom \( f(x) \) nemá reálné kořeny.

Pokud by polynom byl rozložitelný v \(\mathbb{Q}[x]\) nebo \(\mathbb{Z}[x]\) na součin dvou kvadratických polynomů, předpokládáme tvar:

\( f(x) = (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) \), kde \( a,b,c,d \in \mathbb{Q} \).

Po rozvinutí:

\( x^4 + (a + c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd = x^4 + 4 x^2 + 16 \).

Porovnáme koeficienty:

\( a + c = 0 \),

\( ac + b + d = 4 \),

\( ad + bc = 0 \),

\( bd = 16 \).

Z první rovnice plyne \( c = -a \).

Z třetí rovnice:

\( a d + b (-a) = a(d – b) = 0 \), tedy buď \( a = 0 \), nebo \( d = b \).

1. Pokud \( a = 0 \), pak \( c = 0 \), a rovnice se zjednoduší na:

\( b + d = 4 \), \( b d = 16 \).

Hledáme dva racionální koeficienty \( b,d \) splňující tyto rovnice.

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( t^2 – 4 t + 16 = 0 \).

Diskriminant této rovnice je \( \Delta = 16 – 64 = -48 < 0 \), tedy žádná racionální řešení neexistují.

2. Pokud \( d = b \), pak z druhé rovnice:

\( a (-a) + b + b = 4 \Rightarrow -a^2 + 2 b = 4 \Rightarrow 2 b = 4 + a^2 \Rightarrow b = \frac{4 + a^2}{2} \).

Čtvrtá rovnice je:

\( b d = b^2 = 16 \Rightarrow b = \pm 4 \).

Porovnáním:

\( \frac{4 + a^2}{2} = \pm 4 \Rightarrow 4 + a^2 = \pm 8 \).

Možnosti:

a) \( 4 + a^2 = 8 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2 \),

b) \( 4 + a^2 = -8 \) není možné.

Zvolíme \( a = 2 \), tedy \( b = 4 \), \( c = -2 \), \( d = 4 \).

Ověříme druhou rovnici:

\( ac + b + d = 2 \cdot (-2) + 4 + 4 = -4 + 8 = 4 \) – OK.

Rozklad je tedy:

\( f(x) = (x^2 + 2 x + 4)(x^2 – 2 x + 4) \).

Diskriminanty těchto kvadratických polynomů jsou:

\( \Delta_1 = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 – 16 = -12 < 0 \),

\( \Delta_2 = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 – 16 = -12 < 0 \),

tudíž oba jsou ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\) i \(\mathbb{Z}[x]\).

V \(\mathbb{R}[x]\) polynom není rozložitelný na lineární faktory, ale v \(\mathbb{C}[x]\) se každý kvadratický faktor rozloží na lineární podle komplexních kořenů.

Řešení:

Polynom je čtvrtého stupně a má tvar \( f(x) = x^4 – 5x^2 + 6 \). Pozorujeme, že jde o polynom ve tvaru kvadratické formy \( x^4 = (x^2)^2 \).

Pro zjednodušení zavádíme substituci \( y = x^2 \), čímž dostáváme kvadratický polynom v proměnné \( y \):

\( g(y) = y^2 – 5y + 6 \).

Najdeme kořeny polynomu \( g(y) \) pomocí kvadratické rovnice:

\( y = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \).

Tedy kořeny jsou:

\( y_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \), \( y_2 = \frac{5 – 1}{2} = 2 \).

Nyní přecházíme zpět k původní proměnné \( x \):

\( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \),

\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \).

Kořeny v \(\mathbb{R}\) jsou tedy čtyři reálná čísla: \( \pm \sqrt{3} \), \( \pm \sqrt{2} \).

Polynom tedy můžeme rozložit v \(\mathbb{R}[x]\) na součin lineárních faktorů:

\( f(x) = (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \).

V \(\mathbb{C}[x]\) je rozklad stejný, protože všechny kořeny jsou reálné.

Jak je to v \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\)? Kořeny nejsou racionální, takže nemůžeme polynom rozložit na lineární faktory s racionálními koeficienty.

Zkusíme tedy rozklad na kvadratické polynomy s koeficienty v \(\mathbb{Q}\):

Hledáme rozklad:

\( f(x) = (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) \), kde \( a,b,c,d \in \mathbb{Q} \).

Roznásobením dostaneme:

\( x^4 + (a + c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd = x^4 – 5x^2 + 6 \).

Porovnáním koeficientů dostáváme soustavu rovnic:

\( a + c = 0 \),

\( ac + b + d = -5 \),

\( ad + bc = 0 \),

\( bd = 6 \).

Z první rovnice \( c = -a \). Dosadíme do dalších:

\( a(-a) + b + d = -5 \Rightarrow -a^2 + b + d = -5 \),

\( a d + b (-a) = 0 \Rightarrow a d = a b \Rightarrow a(d – b) = 0 \).

Máme dvě možnosti:

1. \( a = 0 \), pak \( c = 0 \), soustava se zjednoduší na:

\( b + d = -5 \), \( bd = 6 \).

Najdeme \( b,d \) splňující tyto rovnice.

Hledáme kořeny kvadratické rovnice \( t^2 + 5t + 6 = 0 \), protože:

\( t^2 + 5t + 6 = (t+2)(t+3) \).

Kořeny jsou \( t = -2 \), \( t = -3 \).

Tedy \( b = -2 \), \( d = -3 \) nebo naopak.

Rozklad je tedy:

\( f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \).

Tento rozklad je v \(\mathbb{Q}[x]\) i \(\mathbb{Z}[x]\).

2. Pokud \( a \neq 0 \), pak \( d = b \) z rovnice \( a(d – b) = 0 \). Dosazením do rovnic by však nevyšlo lepší řešení s racionálními koeficienty než výše.

Závěr:

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom rozložitelný jako \( (x^2 – 2)(x^2 – 3) \), oba faktory jsou ireducibilní (nemají racionální kořeny).

V \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{C}[x]\) rozložíme dále na lineární faktory podle kořenů.

Řešení:

Polynom je třetího stupně \( f(x) = x^3 + x + 1 \).

Nejprve hledáme racionální kořeny podle pravidla dělitelů absolutního členu \((±1)\).

Testujeme:

\( f(1) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0 \),

\( f(-1) = -1 -1 + 1 = -1 \neq 0 \).

Polynom nemá racionální kořeny.

Proto nemůže být rozložen na lineární faktory v \(\mathbb{Q}[x]\).

Zkoušíme tedy možný rozklad na součin lineárního a kvadratického faktoru s koeficienty v \(\mathbb{Q}\):

\( f(x) = (x + a)(x^2 + b x + c) \), kde \( a,b,c \in \mathbb{Q} \).

Po rozložení:

\( x^3 + (b + a) x^2 + (c + a b) x + a c = x^3 + x + 1 \).

Porovnáním koeficientů:

\( b + a = 0 \),

\( c + a b = 1 \),

\( a c = 1 \).

Z první rovnice: \( b = -a \).

Z třetí: \( a c = 1 \Rightarrow c = \frac{1}{a} \), \( a \neq 0 \).

Dosadíme do druhé:

\( \frac{1}{a} + a(-a) = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} – a^2 = 1 \Rightarrow \frac{1 – a^3}{a} = 1 \Rightarrow 1 – a^3 = a \Rightarrow a^3 + a – 1 = 0 \).

Řešení této kubické rovnice v racionálních číslech neexistuje (zkoušíme \(±1\), nic nevyhovuje).

Takže rozklad tímto způsobem neexistuje v \(\mathbb{Q}[x]\).

V \(\mathbb{R}[x]\) zkoumáme kořeny polynomu:

Kubická rovnice má přesný kořen přibližně \( x \approx -1.3247 \) (podle numerických metod), což je reálný kořen.

Proto je polynom v \(\mathbb{R}[x]\) rozložitelný na součin lineárního a kvadratického faktoru:

\( f(x) = (x – r)(x^2 + s x + t) \).

V \(\mathbb{C}[x]\) je samozřejmě úplně rozložitelný na tři lineární faktory podle tří kořenů (jeden reálný, dva komplexně sdružené).

Závěr: polynom je ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\), reducibilní v \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{C}[x]\).

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 + 4 \) nemá reálné kořeny, protože \( x^4 \geq 0 \) a tedy \( x^4 + 4 \geq 4 > 0 \) pro všechna reálná \( x \).

Najdeme rozklad: využijeme vzorec pro součet čtverců.

\( x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 – 4x^2 = (x^2 + 2)^2 – (2x)^2 \).

Tedy podle vzorce \( A^2 – B^2 = (A-B)(A+B) \):

\( x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2) \).

Ověření: součin je \( x^4 + 4 \), tedy rozklad je správný.

Diskriminant kvadratických faktorů:

\( \Delta_1 = (2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \),

\( \Delta_2 = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \).

Oba kvadratické faktory jsou ireducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\), protože nemají racionální kořeny.

V \(\mathbb{R}[x]\) polynom není rozložitelný na lineární faktory, ale už jsme jej rozložili na součin kvadratických ireducibilních faktorů.

V \(\mathbb{C}[x]\) se rozloží dále na lineární faktory:

Kořeny \( x^2 + 2x + 2 = 0 \) jsou \( x = -1 \pm i \).

Kořeny \( x^2 – 2x + 2 = 0 \) jsou \( x = 1 \pm i \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\):

\( f(x) = (x + 1 – i)(x + 1 + i)(x – 1 – i)(x – 1 + i) \).

Závěr: polynom je reducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\) i \(\mathbb{Q}[x]\) (rozklad na dva kvadratické ireducibilní faktory), v \(\mathbb{R}[x]\) zůstává rozklad na kvadratické faktory a v \(\mathbb{C}[x]\) se rozloží na lineární faktory.

Řešení:

Polynom je třetího stupně \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 4 \).

Hledáme racionální kořeny podle dělitelů absolutního členu \(4\):

\( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Testujeme:

\( f(1) = 1 – 3 + 4 = 2 \neq 0 \),

\( f(-1) = -1 – 3 + 4 = 0 \), takže \( x = -1 \) je kořen.

Vydělíme polynom lineárním faktorem \( (x + 1) \):

Pomocí Hornerovy schémy nebo dělení polynomů dostaneme:

\( \frac{f(x)}{x + 1} = x^2 – 4x + 4 \).

Druhý faktor \( x^2 – 4x + 4 \) má diskriminant:

\( \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 – 16 = 0 \).

Kořen kvadratického polynomu je tedy dvojnásobný:

\( x = \frac{4}{2} = 2 \).

Celkový rozklad polynomu v \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je tedy:

\( f(x) = (x + 1)(x – 2)^2 \).

V \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{C}[x]\) je rozklad stejný.

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 + 2x^2 + 9 \) je polynom stupně \(4\).

Zavádíme substituci \( y = x^2 \), abychom dostali kvadratický polynom:

\( g(y) = y^2 + 2 y + 9 \).

Diskriminant \( g(y) \):

\( \Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4 – 36 = -32 < 0 \).

Proto polynom \( g(y) \) nemá reálné kořeny, tedy polynom \( f(x) \) nemá reálné kořeny.

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom tedy ireducibilní.

Hledáme rozklad na kvadratické polynomy s koeficienty v \(\mathbb{Q}\) nebo \(\mathbb{Z}\):

\( f(x) = (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) \), \( a,b,c,d \in \mathbb{Q} \).

Po rozkladu:

\( x^4 + (a + c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd = x^4 + 2 x^2 + 9 \).

Porovnáním koeficientů:

\( a + c = 0 \),

\( ac + b + d = 2 \),

\( ad + bc = 0 \),

\( bd = 9 \).

Z první rovnice \( c = -a \).

Z třetí \( a d + b (-a) = a(d – b) = 0 \).

Buď \( a = 0 \), nebo \( d = b \).

1. Pokud \( a = 0 \), pak \( c = 0 \),

rovnice se zjednoduší na:

\( b + d = 2 \), \( b d = 9 \).

Hledáme dva koeficienty \( b,d \) splňující tyto rovnice.

Kvadratická rovnice pro \( t \) je:

\( t^2 – 2 t + 9 = 0 \) s diskriminantem \( \Delta = 4 – 36 = -32 < 0 \).

Nejsou reálná řešení, tedy neexistují racionální \( b,d \).

2. Pokud \( d = b \), dosadíme do druhé rovnice:

\( a(-a) + b + b = 2 \Rightarrow -a^2 + 2 b = 2 \Rightarrow 2 b = 2 + a^2 \Rightarrow b = \frac{2 + a^2}{2} \).

Čtvrtá rovnice je:

\( b d = b^2 = 9 \Rightarrow b = \pm 3 \).

Porovnáním s předchozí hodnotou \( b = \frac{2 + a^2}{2} \), máme:

\( \frac{2 + a^2}{2} = \pm 3 \Rightarrow 2 + a^2 = \pm 6 \).

Možnosti:

a) \( 2 + a^2 = 6 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2 \),

b) \( 2 + a^2 = -6 \Rightarrow a^2 = -8 \) nemožné.

Zvolíme \( a = 2 \), pak \( b = 3 \), \( c = -2 \), \( d = 3 \).

Ověříme druhou rovnici:

\( ac + b + d = 2 \cdot (-2) + 3 + 3 = -4 + 6 = 2 \) OK.

Rozklad je tedy:

\( f(x) = (x^2 + 2 x + 3)(x^2 – 2 x + 3) \).

Oba kvadratické polynomy jsou ireducibilní v \(\mathbb{Q}[x]\) i \(\mathbb{Z}[x]\), protože jejich diskriminanty jsou záporné.

V \(\mathbb{C}[x]\) rozložíme každý kvadratický faktor na lineární podle komplexních kořenů.

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^5 – x^4 + x^3 – x^2 + x – 1 \) je stupně \(5\).

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí Lemmatu o racionálním kořeni.

Možné racionální kořeny jsou dělitelé absolutního členu \(-1\), tedy \( \pm 1 \).

Pro \( x = 1 \):

\( f(1) = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 = 0 \). Tedy \( x = 1 \) je kořen.

Proto můžeme vydělit polynom \( (x – 1) \).

Hornerovo schéma (pro dělitele \(x-1\)):

\[ \begin{array}{r|rrrrrr} 1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ & & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), kvocient je \( x^4 + x^2 + 1 \).

Polynom se tedy rozloží jako:

\( f(x) = (x – 1)(x^4 + x^2 + 1) \).

Nyní zkoumáme \( g(x) = x^4 + x^2 + 1 \).

Položíme \( y = x^2 \), dostáváme kvadratický polynom:

\( y^2 + y + 1 \).

Jeho diskriminant je \(\Delta = 1 – 4 = -3 < 0\), tedy nemá reálné kořeny.

Zkusíme rozložit \( g(x) \) v \(\mathbb{Q}[x]\):

Rozklad typu \( g(x) = (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) \) dává řešení:

\( g(x) = (x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1) \).

Ověření: součin je \( x^4 + x^2 + 1 \), tedy rozklad je správný.

Oba kvadratické polynomy mají diskriminant \(\Delta = (-1)^2 – 4\cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0\), takže nemají reálné kořeny.

Celkový rozklad je tedy:

\( f(x) = (x – 1)(x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1) \).

V \(\mathbb{C}[x]\) se každý kvadratický faktor dále rozloží na lineární faktory. Konkrétní kořeny jsou:

• \( x = 1 \),
• \( x = \tfrac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) z polynomu \(x^2+x+1\),
• \( x = \tfrac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} \) z polynomu \(x^2-x+1\).

Závěr:

• V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom reducibilní, protože \( f(x) = (x – 1)(x^2 + x + 1)(x^2 – x + 1) \).
• V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom také reducibilní, ale kvadratické faktory jsou ireducibilní (nemají reálné kořeny).
• V \(\mathbb{C}[x]\) je polynom zcela rozložen na lineární faktory \( (x – 1)\bigl(x – \tfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\bigr)\bigl(x – \tfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\bigr)\bigl(x – \tfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\bigr)\bigl(x – \tfrac{1-i\sqrt{3}}{2}\bigr) \).

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \) rozpoznáme jako rozvoj binomu:

\( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Tedy polynom má kořen \( x = -1 \) s násobností \(3\).

Rozklad je tedy v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\):

\( f(x) = (x + 1)^3 \).

Polynom je tedy reducibilní a rozložitelný na lineární faktory.

Řešení:

Polynom \( x^4 + 1 \) nemá žádný racionální kořen, takže jej nelze rozložit na lineární činitele v \(\mathbb{Z}[x]\) ani \(\mathbb{Q}[x]\). Proto je ireducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\).

V oboru reálných čísel můžeme provést rozklad:

\( x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 – \sqrt{2}x + 1) \),

takže v \(\mathbb{R}[x]\) je reducibilní.

V oboru komplexních čísel lze dále rozložit na lineární faktory:

\( x^4 + 1 = (x – e^{i\pi/4})(x – e^{3i\pi/4})(x – e^{5i\pi/4})(x – e^{7i\pi/4}) \).

Odpověď: V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je ireducibilní, v \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{C}[x]\) je reducibilní.

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí Lemmatu o racionálním kořeni. Kořeny musí být dělitelé absolutního členu \(-2\), tedy \( \pm 1, \pm 2 \).

Vyzkoušíme hodnoty:

\( f(1) = 1 – 2 + 1 – 2 = -2 \neq 0 \)

\( f(-1) = -1 – 2 -1 – 2 = -6 \neq 0 \)

\( f(2) = 8 – 8 + 2 – 2 = 0 \), tedy \( x=2 \) je kořen.

Vydělíme \( f(x) \) polynomem \( (x-2) \) pomocí Hornerova schématu:

Koeficienty: 1, -2, 1, -2

Postup:

2 | 1 -2 1 -2

| 2 0 2

——————-

1 0 1 0

Kvociënt je \( x^2 + 1 \).

Polynom tedy rozložíme na:

\( f(x) = (x – 2)(x^2 + 1) \).

Polynom \( x^2 + 1 \) nemá reálné kořeny, má komplexní kořeny \( i, -i \).

Celkový rozklad v jednotlivých oborech:

– V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je rozklad \( (x – 2)(x^2 + 1) \), což je ireducibilní kvadratický faktor.

– V \(\mathbb{R}[x]\) stejný rozklad (kvadratický faktor je ireducibilní).

– V \(\mathbb{C}[x]\) polynom rozložíme na lineární faktory:

\( f(x) = (x – 2)(x – i)(x + i) \).

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^2 – 2 \) má kořeny v \(\mathbb{R}\) jako \( x = \pm \sqrt{2} \), které nejsou racionální ani celé.

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je tedy ireducibilní, protože kořeny nejsou v těchto oborech.

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom rozložitelný na lineární faktory:

\( f(x) = (x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \).

V \(\mathbb{C}[x]\) stejný rozklad jako v \(\mathbb{R}[x]\).

Souhrn:

– V \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\) ireducibilní,

– v \(\mathbb{R}[x]\), \(\mathbb{C}[x]\) rozložitelný na lineární faktory.

Řešení:

Polynom lze přepsat jako kvadratický v \( x^2 \):

\( x^4 – 5x^2 + 6 = (x^2 – 3)(x^2 – 2) \).

Tento rozklad má celočíselné koeficienty, proto je polynom reducibilní už v \(\mathbb{Z}[x]\) a tedy i v \(\mathbb{Q}[x]\).

V \(\mathbb{R}[x]\) jej můžeme dále rozložit na lineární činitele:

\( (x^2 – 3)(x^2 – 2) = (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \).

V \(\mathbb{C}[x]\) platí totéž, protože reálné rozklady jsou zároveň komplexní.

Odpověď: Ve všech oborech \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\), \(\mathbb{C}[x]\) je reducibilní.

Řešení:

Polynom je typu \( x^3 + a^3 \), což je součet kubů. Využijeme vzorec pro rozklad součtu kubů:

\( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) \).

Kořen \( x = -1 \) je zřejmý.

Další kořeny hledáme z kvadratického polynomu \( x^2 – x + 1 = 0 \):

Diskriminant \( D = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0 \).

Tedy polynom nemá reálné kořeny kromě \( x = -1 \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je tedy rozklad \( (x+1)(x^2 – x + 1) \) ireducibilní kvadratický člen.

V \(\mathbb{C}[x]\) nalezneme kořeny kvadratického členu pomocí vzorce:

\( x = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\) je tedy:

\( f(x) = (x + 1)(x – \frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2})(x – \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je polynom rozložen na součin lineárního a ireducibilního kvadratického polynomu.

Řešení:

Polynom lze rozložit pomocí vzorce pro součet čtverců:

\( x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2) \).

Tento rozklad má celočíselné koeficienty, proto je polynom reducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\) a tedy i v \(\mathbb{Q}[x]\).

Každý kvadratický člen lze dále v \(\mathbb{R}[x]\) rozložit na lineární činitele:

\( x^2 + 2x + 2 = (x+1 – i)(x+1 + i) \),

\( x^2 – 2x + 2 = (x-1 – i)(x-1 + i) \).

Proto v \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) je rovněž reducibilní.

Odpověď: Ve všech oborech \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\), \(\mathbb{C}[x]\) je reducibilní.

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí Lemmatu o racionálním kořeni: možné kořeny jsou dělitele absolutního členu 2, tedy \( \pm 1, \pm 2 \).

Vyzkoušíme hodnoty:

\( f(1) = 1 – 3 + 2 = 0 \), takže \( x=1 \) je kořen.

Polynom vydělíme \( (x-1) \) pomocí Hornerova schématu:

Koeficienty: 1, 0, -3, 2

Postup:

1 | 1 0 -3 2

| 1 1 -2

——————-

1 1 -2 0

Kvociënt je \( x^2 + x – 2 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( x^2 + x – 2 = 0 \)

Diskriminant \( D = 1 + 8 = 9 \).

Kořeny jsou:

\( x = \frac{-1 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = -2 \).

Celkový rozklad:

\( f(x) = (x – 1)(x – 1)(x + 2) = (x – 1)^2 (x + 2) \).

V \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) je tedy polynom plně rozložený na lineární faktory s reálnými kořeny.

Řešení:

Polynom je kvadratický a kořeny najdeme pomocí diskriminantu:

\( D = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0 \).

Kořeny nejsou reálné ani racionální, jsou komplexní:

\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom ireducibilní, protože nemá kořeny v těchto oborech.

V \(\mathbb{R}[x]\) je ireducibilní kvadratický polynom.

V \(\mathbb{C}[x]\) lze rozložit na lineární faktory podle kořenů:

\( f(x) = (x – (\frac{-1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))(x – (\frac{-1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2})) \).

Řešení:

Polynom \( f(x) \) připomíná rozvoj Newtonovy binomické věty pro výraz \( (x – 1)^4 \), protože:

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Tedy polynom lze přesně rozepsat jako:

\( f(x) = (x – 1)^4 \).

Kořen je jediný reálný a je jím \( x = 1 \) s násobností 4.

Proto je polynom v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) plně rozložitelný na lineární faktory.

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí lemmatu o racionálním kořeni. Kořeny mohou být dělitelé absolutního členu \(-8\), tedy \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).

Dosadíme za \( x \):

\( f(1) = 1 – 2 + 4 – 8 = -5 \neq 0 \)

\( f(2) = 8 – 8 + 8 – 8 = 0 \) — kořen nalezen.

Polynom vydělíme \((x – 2)\) pomocí Hornerova schématu:

Koeficienty: 1, -2, 4, -8

Postup:

2 | 1 -2 4 -8

| 2 0 8

——————-

1 0 4 0

Kvociënt je \( x^2 + 0x + 4 = x^2 + 4 \).

Kvadratický člen nemá reálné kořeny, protože:

\( x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4 \), což je nemožné v \(\mathbb{R}\).

V \(\mathbb{C}\) jsou kořeny:

\( x = \pm 2i \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\):

\( f(x) = (x – 2)(x – 2i)(x + 2i) \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je rozklad na lineární a ireducibilní kvadratický polynom \( (x – 2)(x^2 + 4) \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je stejný rozklad.

Řešení:

Polynom \( x^4 + 1 \) nemá reálné kořeny, protože \( x^4 \geq 0 \) a tedy \( x^4 + 1 > 0 \) pro všechna reálná \( x \).

Rozložíme jej v \(\mathbb{R}[x]\) na součin dvou kvadratických polynomů:

Hledáme rozklad:

\( x^4 + 1 = (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) \), kde \( a, b \in \mathbb{R} \).

Po rozvinutí dostaneme:

\( x^4 + (a + b) x^3 + (ab + 2) x^2 + (a + b) x + 1 \).

Porovnáním s původním polynomem:

Koeficienty u \( x^3 \) a \( x \) musí být 0, takže

\( a + b = 0 \Rightarrow b = -a \).

Koeficient u \( x^2 \) je \( ab + 2 = -a^2 + 2 \), musí být 0:

\( -a^2 + 2 = 0 \Rightarrow a^2 = 2 \Rightarrow a = \pm \sqrt{2} \).

Rozklad je tedy:

\( x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2}x + 1)(x^2 – \sqrt{2}x + 1) \).

Každý z těchto kvadratických polynomů má komplexní kořeny:

Například u \( x^2 + \sqrt{2}x + 1 = 0 \) diskriminant \( D = 2 – 4 = -2 < 0 \), kořeny:

\( x = \frac{-\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \pm i \frac{\sqrt{2}}{2} \).

V \(\mathbb{C}[x]\) lze dále rozložit na lineární faktory podle těchto kořenů.

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom ireducibilní.

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny – dělitele konstantního členu 6, tedy \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \).

Vyzkoušíme dosazení:

\( f(1) = 1 – 7 + 6 = 0 \), kořen \( x = 1 \).

\( f(2) = 8 – 14 + 6 = 0 \), kořen \( x = 2 \) – ale po kontrole se ukazuje, že správný kořen je \( x = 3 \), protože \( f(3) = 27 – 21 + 6 = 12 \neq 0 \), takže pokračujeme dosazováním.

\( f(3) = 27 – 21 + 6 = 12 \neq 0 \)

\( f(-1) = -1 + 7 + 6 = 12 \neq 0 \)

\( f(-2) = -8 + 14 + 6 = 12 \neq 0 \)

\( f(-3) = -27 + 21 + 6 = 0 \), kořen \( x = -3 \).

Polynom vydělíme \((x – 1)\) Hornerovým schématem:

Koeficienty: 1, 0, -7, 6

1 | 1 0 -7 6

| 1 1 -6

—————-

1 1 -6 0

Kvociënt je \( x^2 + x – 6 \).

Rozložíme kvadratický polynom \( x^2 + x – 6 = (x + 3)(x – 2) \).

Celkový rozklad polynomu:

\( f(x) = (x – 1)(x – 2)(x + 3) \).

Kořeny jsou \( x = 1, 2, -3 \), všechny racionální a reálné.

Všechny množiny \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{C}[x]\) umožňují úplný rozklad na lineární faktory.

Řešení:

Polynom je kvadratický, kořeny hledáme pomocí diskriminantu:

\( D = b^2 – 4ac = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 – 20 = -16 < 0 \).

Proto nemá reálné ani racionální kořeny.

V \(\mathbb{C}[x]\) nalezneme kořeny:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i \).

Polynom je tedy v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{R}[x]\) ireducibilní, ale v \(\mathbb{C}[x]\) lze rozepsat na lineární faktory:

\( f(x) = (x – (-1 + 2i))(x – (-1 – 2i)) = (x + 1 – 2i)(x + 1 + 2i) \).

Řešení:

Polynom připomíná vzorec pro třetí mocninu součtu:

\( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Tedy polynom lze zapsat jako:

\( f(x) = (x + 1)^3 \).

Kořen je \( x = -1 \) s násobností 3.

Všechny množiny \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) umožňují úplný rozklad na lineární faktory:

\( f(x) = (x + 1)^3 \).

Řešení:

Uvažujeme substituci \( y = x^2 \). Polynom pak můžeme přepsat jako:

\( y^2 – 5y + 6 \).

Najdeme kořeny kvadratického polynomu v \(y\):

\( y^2 – 5y + 6 = 0 \Rightarrow (y – 2)(y – 3) = 0 \Rightarrow y = 2, 3 \).

Vrátíme se k proměnné \( x \):

\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \),

\( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \).

Polynom tedy v \(\mathbb{R}[x]\) rozložíme na lineární faktory:

\( f(x) = (x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je polynom ireducibilní, protože kořeny nejsou racionální čísla.

V \(\mathbb{C}[x]\) je totéž jako v \(\mathbb{R}[x]\), protože všechny kořeny jsou reálné.

Řešení:

Polynom nemá reálné kořeny, protože \( x^4 \geq 0 \) a \( x^4 + 4 > 0 \) pro všechna reálná \( x \).

V \(\mathbb{C}[x]\) kořeny najdeme z rovnice:

\( x^4 = -4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi) \).

Použijeme De Moivreovu větu, kořeny jsou čtvrté odmocniny z komplexního čísla:

\( x_k = 4^{1/4} \left( \cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin\frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) \), kde \( k=0,1,2,3 \).

Protože \( 4^{1/4} = \sqrt{2} \), dostáváme kořeny:

• \( x_0 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 + i \).
• \( x_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = -1 + i \).
• \( x_2 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = -1 – i \).
• \( x_3 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) = 1 – i \).

Polynom lze v \(\mathbb{C}[x]\) rozložit na lineární faktory:

\( f(x) = (x – (1+i))(x – (-1+i))(x – (-1 – i))(x – (1 – i)) \).

V \(\mathbb{R}[x]\) rozložíme na součin dvou kvadratických ireducibilních polynomů:

\( f(x) = (x^2 – 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je polynom ireducibilní.

Řešení:

Hledáme racionální kořeny – dělitele konstantního členu \(-1\), tedy \( \pm 1 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0 \), kořen \( x=1 \).

Polynom vydělíme \((x – 1)\) Hornerovým schématem:

Koeficienty: 1, -1, 1, -1

1 | 1 -1 1 -1

| 1 0 1

—————-

1 0 1 0

Kvociënt je \( x^2 + 1 \).

Polynom \( x^2 + 1 \) nemá reálné kořeny, ale v \(\mathbb{C}[x]\) má kořeny:

\( x = \pm i \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\) je:

\( f(x) = (x – 1)(x – i)(x + i) \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom rozložen na lineární a kvadratický ireducibilní faktor:

\( f(x) = (x – 1)(x^2 + 1) \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je polynom redukovatelný, protože má racionální kořen.

Řešení:

Polynom je binomický vzorec pro čtvrtou mocninu součtu:

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Tedy celý polynom lze rozepsat jako:

\( f(x) = (x – 1)^4 \).

Kořen je \( x = 1 \) s násobností 4.

Ve všech zkoumaných množinách \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\), \(\mathbb{C}[x]\) je polynom tedy plně rozložen na lineární faktory.

Řešení:

Hledáme racionální kořeny pomocí dělitelů absolutního členu \(-2\), tedy \( \pm 1, \pm 2 \).

Dosadíme postupně:

\( f(1) = 1 – 2 + 1 – 2 = -2 \neq 0 \),

\( f(-1) = -1 – 2 – 1 – 2 = -6 \neq 0 \),

\( f(2) = 8 – 8 + 2 – 2 = 0 \), kořen je \( x=2 \).

Polynom vydělíme \((x-2)\) Hornerovým schématem:

Koeficienty: 1, -2, 1, -2

2 | 1 -2 1 -2

| 2 0 2

—————-

1 0 1 0

Kvociënt je \( x^2 + 1 \).

Polynom \( x^2 + 1 \) nemá reálné kořeny, ale v \(\mathbb{C}[x]\) má kořeny \( x = \pm i \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\) je:

\( f(x) = (x – 2)(x – i)(x + i) \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je rozklad na lineární a kvadratický ireducibilní polynom:

\( f(x) = (x – 2)(x^2 + 1) \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je polynom redukovatelný díky racionálnímu kořeni.

Řešení:

Nejprve zkusíme najít racionální kořeny, tj. dělitele absolutního členu \(1\), tedy \( \pm 1 \).

\( f(1) = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 \neq 0 \),

\( f(-1) = 1 – 2 + 3 – 2 + 1 = 1 \neq 0 \).

Nemáme racionální kořeny, proto zkusíme polynom rozložit na součin dvou kvadratických polynomů:

Předpokládáme tvar:

\( f(x) = (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) \).

Roznásobíme:

\( (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) = x^4 + (a + b) x^3 + (ab + 2) x^2 + (a + b) x + 1 \).

Porovnáme koeficienty s původním polynomem:

• \( a + b = 2 \)
• \( ab + 2 = 3 \Rightarrow ab = 1 \)
• Koeficienty u \(x\) a u \(x^3\) jsou stejné, tedy \( a + b = 2 \).

Máme soustavu:

\( a + b = 2 \),

\( ab = 1 \).

Řešíme kvadratickou rovnici pro \(a\):

\( a(2 – a) = 1 \Rightarrow 2a – a^2 = 1 \Rightarrow a^2 – 2a + 1 = 0 \Rightarrow (a – 1)^2 = 0 \Rightarrow a = 1 \).

Pak \( b = 1 \).

Polynom lze rozložit jako:

\( f(x) = (x^2 + x + 1)^2 \).

Kořeny polynomu jsou kořeny polynomu \( x^2 + x + 1 \).

Diskriminant je \( \Delta = 1 – 4 = -3 < 0 \), polynom nemá reálné kořeny, ale v \(\mathbb{C}[x]\) jsou kořeny:

\( x = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je tedy ireducibilní kvadratický polynom, v \(\mathbb{C}[x]\) se rozloží na lineární faktory.

Řešení:

Polynom je tvaru \( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) \) podle vzorce pro součet třetích mocnin.

Racionální kořen je \( x = -1 \).

Polynom vydělíme \((x + 1)\):

\( f(x) = (x + 1)(x^2 – x + 1) \).

Diskriminant kvadratického členu je:

\( \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0 \),

kvadratický člen je ireducibilní nad \(\mathbb{R}[x]\).

Kořeny v \(\mathbb{C}[x]\) jsou:

• \( x = -1 \),
• \( x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2} \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je polynom redukovatelný díky racionálnímu kořeni.

Řešení:

Polynom je tvaru rozdíl čtvrtých mocnin:

\( x^4 – 1 = (x^2 – 1)(x^2 + 1) \).

Dále rozložíme \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \).

Celkový rozklad je:

\( f(x) = (x – 1)(x + 1)(x^2 + 1) \).

Kořeny v \(\mathbb{C}[x]\) jsou \( x = \pm 1 \) a \( x = \pm i \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je rozklad na lineární faktory a jeden ireducibilní kvadratický polynom \( x^2 + 1 \).

V \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{Z}[x]\) je polynom redukovatelný díky racionálním kořenům \( \pm 1 \).

Řešení:

Polynom nemá racionální kořeny, protože absolutní člen je 4 a testujeme dělitele ±1, ±2, ±4:

\( f(1) = 1 + 4 = 5 \neq 0 \),

\( f(-1) = 1 + 4 = 5 \neq 0 \),

\( f(2) = 16 + 4 = 20 \neq 0 \),

\( f(-2) = 16 + 4 = 20 \neq 0 \),

\( f(4) = 256 + 4 = 260 \neq 0 \),

\( f(-4) = 256 + 4 = 260 \neq 0 \).

Zkusíme rozklad na součin dvou kvadratických polynomů:

Předpokládejme:

\( f(x) = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \).

Po rozšíření máme:

\( x^4 + (a + c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd = x^4 + 0 x^3 + 0 x^2 + 0 x + 4 \).

Porovnáním koeficientů dostaneme soustavu:

• \( a + c = 0 \Rightarrow c = -a \),
• \( ac + b + d = 0 \Rightarrow -a^2 + b + d = 0 \),
• \( ad + bc = 0 \Rightarrow a d + b(-a) = a d – a b = a(d – b) = 0 \),
• \( b d = 4 \).

Pokud \( a \neq 0 \), pak \( d = b \).

Soustava se tedy upraví na:

• \( c = -a \),
• \( -a^2 + b + d = 0 \Rightarrow -a^2 + 2b = 0 \Rightarrow 2b = a^2 \Rightarrow b = \frac{a^2}{2} \),
• \( b d = b^2 = 4 \Rightarrow b = \pm 2 \).

Protože \( b = \frac{a^2}{2} \), musí platit \( \frac{a^2}{2} = \pm 2 \).

Zvolme \( b = 2 \), pak \( a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2 \).

Vyberme \( a = 2 \), potom \( c = -2 \), \( b = d = 2 \).

Polynom lze tedy rozložit jako:

\( f(x) = (x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2) \).

Diskriminant prvního kvadratického členu:

\( \Delta_1 = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \).

Diskriminant druhého kvadratického členu:

\( \Delta_2 = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \).

Žádný z těchto polynomů nemá reálné kořeny, ale v \(\mathbb{C}[x]\) mají kořeny:

• \( x = \frac{-2 \pm i \sqrt{4}}{2} = -1 \pm i \),
• \( x = \frac{2 \pm i \sqrt{4}}{2} = 1 \pm i \).

Polynom je ireducibilní nad \(\mathbb{Q}[x]\) i \(\mathbb{Z}[x]\), protože nelze rozložit na lineární faktory s racionálními kořeny.

V \(\mathbb{R}[x]\) je rozložen na součin dvou ireducibilních kvadratických polynomů.

V \(\mathbb{C}[x]\) je rozložen na čtyři lineární faktory podle uvedených kořenů.

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí dělitelů absolutního členu \(2\), tedy \( \pm 1, \pm 2 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 3 + 2 = 0 \), tedy \(x=1\) je kořen.

\( f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 \neq 0 \),

\( f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 \neq 0 \),

\( f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0 \), tedy \(x = -2\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x-1)\) Hornerovým schématem:

Koeficienty: 1, 0, -3, 2

1 | 1 0 -3 2

| 1 1 -2

—————-

1 1 -2 0

Kvociënt je \( x^2 + x – 2 \).

Tento kvadratický polynom rozložíme:

\( x^2 + x – 2 = (x + 2)(x – 1) \).

Celkový rozklad polynomu je tedy:

\( f(x) = (x – 1)^2 (x + 2) \).

Kořeny jsou \(x=1\) s násobností 2 a \(x=-2\) s násobností 1.

Polynom je redukovatelný ve všech uvedených oborech \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{C}[x]\).

Řešení:

Nejdříve hledáme racionální kořeny, tedy dělitele absolutního členu \(1\), tj. \( \pm 1 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 \neq 0 \),

\( f(-1) = -1 + 1 – 1 + 1 = 0 \), tedy \(x = -1\) je kořen.

Polynom vydělíme \((x + 1)\) Hornerovým schématem:

Koeficienty: 1, 1, 1, 1

-1 | 1 1 1 1

| -1 0 -1

—————-

1 0 1 0

Kvocient je \( x^2 + 1 \).

Kvadratický polynom \( x^2 + 1 \) nemá reálné kořeny, ale v \(\mathbb{C}[x]\) má kořeny \( x = \pm i \).

Celkový rozklad je tedy:

\( f(x) = (x + 1)(x^2 + 1) \).

Polynom je redukovatelný ve všech uvedených oborech díky lineárnímu faktoru \((x + 1)\).

Řešení:

Tento polynom je charakteristický vzorec Newtonovy binomické věty, konkrétně rozvoj \((x-1)^4\):

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Tedy polynom lze napsat jako:

\( f(x) = (x – 1)^4 \).

Má jediný kořen \( x=1 \) s násobností 4.

Polynom je redukovatelný ve všech uvedených oborech.

Řešení:

Polynom připomíná druhou mocninu kvadratického výrazu. Zkusme ho rozložit jako:

\( (x^2 + a)^2 = x^4 + 2a x^2 + a^2 \).

Porovnáme koeficienty:

\( 2a = 6 \Rightarrow a = 3 \),

\( a^2 = 9 \), což odpovídá.

Tedy

\( f(x) = (x^2 + 3)^2 \).

Kořeny polynomu jsou kořeny \( x^2 + 3 = 0 \), tj.

\( x = \pm i \sqrt{3} \).

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom ireducibilní kvadratický polynom umocněný na druhou.

V \(\mathbb{C}[x]\) se rozloží na čtyři lineární faktory:

\( (x – i\sqrt{3})^2 (x + i \sqrt{3})^2 \).

Polynom je redukovatelný ve všech uvedených oborech.

Řešení:

Polynom \( x^4 + 1 \) nemá žádné reálné kořeny, protože \( x^4 \geq 0 \) pro všechna \(x \in \mathbb{R}\) a nikdy nedosáhne \(-1\).

Nejprve zkusíme rozklad na součin dvou kvadratických polynomů s koeficienty v \(\mathbb{Q}[x]\):

Předpokládáme:

\( x^4 + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \), kde \( a,b,c,d \in \mathbb{Q} \).

Po rozkladu dostáváme:

\( x^4 + (a+c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd = x^4 + 0 x^3 + 0 x^2 + 0 x + 1 \).

Srovnáme koeficienty:

• \( a + c = 0 \Rightarrow c = -a \),
• \( ac + b + d = 0 \Rightarrow -a^2 + b + d = 0 \),
• \( ad + bc = 0 \Rightarrow a d + b (-a) = a(d – b) = 0 \),
• \( b d = 1 \).

Pokud \( a \neq 0 \), pak \( d = b \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( -a^2 + b + b = 0 \Rightarrow -a^2 + 2b = 0 \Rightarrow 2b = a^2 \Rightarrow b = \frac{a^2}{2} \).

Dosadíme do poslední rovnice \( b d = b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1 \).

Máme tedy \( \frac{a^2}{2} = \pm 1 \), což znamená \( a^2 = \pm 2 \), což není možné v \(\mathbb{Q}\) (protože \(\pm 2\) nejsou druhé mocniny racionálních čísel).

Jinými slovy, polynom není rozložitelný v \(\mathbb{Q}[x]\).

V \(\mathbb{R}[x]\) použijeme faktorizaci:

\( x^4 + 1 = (x^2 + \sqrt{2} x + 1)(x^2 – \sqrt{2} x + 1) \).

Oba kvadratické polynomy jsou ireducibilní nad \(\mathbb{R}[x]\), protože jejich diskriminanty jsou záporné:

\( \Delta = (\pm \sqrt{2})^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 2 – 4 = -2 < 0 \).

V \(\mathbb{C}[x]\) polynom rozložíme na lineární faktory podle kořenů čtvrtých jednotkových čísel:

Kořeny jsou:

• \( x = e^{i \pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),
• \( x = e^{i 3\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),
• \( x = e^{i 5\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \),
• \( x = e^{i 7\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\) je:

\( f(x) = (x – e^{i \pi/4})(x – e^{i 3\pi/4})(x – e^{i 5\pi/4})(x – e^{i 7\pi/4}) \).

Shrnutí:

• V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom ireducibilní.
• V \(\mathbb{R}[x]\) se rozloží na součin dvou ireducibilních kvadratických polynomů.
• V \(\mathbb{C}[x]\) se rozloží na součin čtyř lineárních polynomů.

Řešení:

Polynom je čtvrtého stupně a je kvadratický ve výrazu \(x^2\). Zkusíme substituci \( y = x^2 \), čímž dostaneme kvadratickou rovnici:

\( y^2 – 5y + 6 = 0 \).

Vyřešíme kvadratickou rovnici pomocí vzorce:

\( y = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \).

Máme tedy dvě hodnoty pro \(y\):

\( y_1 = \frac{5+1}{2} = 3 \),

\( y_2 = \frac{5-1}{2} = 2 \).

Nyní zpět k proměnné \(x\):

\( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \),

\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \).

Kořeny v \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{C}\) jsou tedy \( \pm \sqrt{3} \) a \( \pm \sqrt{2} \).

Polynom tedy můžeme rozložit jako součin kvadratických polynomů s racionálními koeficienty:

\( f(x) = (x^2 – 3)(x^2 – 2) \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je tedy polynom reducibilní, jelikož je rozložitelný na součin dvou kvadratik.

V \(\mathbb{R}[x]\) je toto rozklad samozřejmě také platný.

V \(\mathbb{C}[x]\) lze navíc rozložit každý kvadratický člen na lineární faktory:

\( (x^2 – 3) = (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \),

\( (x^2 – 2) = (x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \).

Řešení:

Polynom lze zapsat jako sumu dvou krychlí:

\( f(x) = x^3 + 2^3 \).

Existuje známý vzorec pro rozklad sumy dvou krychlí:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) \).

Dosadíme \(a = x\) a \(b = 2\):

\( f(x) = (x + 2)(x^2 – 2x + 4) \).

Kořen lineárního faktoru je \( x = -2 \).

Kvadratický polynom \(x^2 – 2x + 4\) má diskriminant:

\( \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 – 16 = -12 < 0 \), takže nemá reálné kořeny.

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom reducibilní na \((x + 2)\) a iracionální kvadratický polynom.

V \(\mathbb{C}[x]\) lze kvadratický polynom rozložit na lineární faktory pomocí vzorce:

\( x = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = 1 \pm i \sqrt{3} \).

Celkový rozklad v \(\mathbb{C}[x]\) je tedy:

\( f(x) = (x + 2)(x – (1 + i\sqrt{3}))(x – (1 – i\sqrt{3})) \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom reducibilní díky lineárnímu faktoru \((x + 2)\).

Řešení:

Polynom \(x^4 + 4\) nelze jednoduše rozložit jako součet čtvrtých mocnin, ale lze využít vzorec pro rozklad součtu čtvrtých mocnin na součin kvadratických polynomů:

\( x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 – 2x + 2) \).

Zkontrolujeme kořeny jednotlivých kvadratických polynomů:

Pro \( x^2 + 2x + 2 \) je diskriminant \( \Delta = 4 – 8 = -4 < 0 \), tedy žádné reálné kořeny.

Pro \( x^2 – 2x + 2 \) je diskriminant \( \Delta = 4 – 8 = -4 < 0 \), tedy také žádné reálné kořeny.

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom reducibilní na dva kvadratické polynomy bez reálných kořenů.

V \(\mathbb{C}[x]\) lze každý kvadratický polynom rozložit na lineární faktory s komplexními kořeny:

\( x^2 + 2x + 2 = (x + 1 + i)(x + 1 – i) \),

\( x^2 – 2x + 2 = (x – 1 + i)(x – 1 – i) \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom reducibilní díky rozkladu na kvadratické polynomy.

Řešení:

Nejprve zkusíme najít racionální kořeny podle dělitelů absolutního členu \(-2\): \( \pm 1, \pm 2 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 2 + 1 – 2 = -2 \neq 0 \).

\( f(-1) = -1 – 2 – 1 – 2 = -6 \neq 0 \).

\( f(2) = 8 – 8 + 2 – 2 = 0 \), takže \(x=2\) je kořen.

Vydělíme polynom \((x – 2)\):

Dělení: \(x^3 – 2x^2 + x – 2 : (x – 2)\)

– první člen: \(x^2\), vynásobíme \(x^2(x-2) = x^3 – 2x^2\), odečteme, zbytek je \(x – 2\)

– druhý člen: \(+1\), vynásobíme \(1(x-2) = x – 2\), odečteme, zbytek je 0.

Rozklad je:

\( f(x) = (x – 2)(x^2 + 1) \).

Kvadratický polynom \(x^2 + 1\) nemá reálné kořeny, ale v \(\mathbb{C}\) má kořeny \(x = \pm i\).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom reducibilní díky faktoru \((x-2)\) a kvadratickému polynomu.

V \(\mathbb{R}[x]\) má pouze jeden reálný kořen \(x=2\), kvadratický polynom zůstává nerozlomený.

V \(\mathbb{C}[x]\) lze polynom rozložit na lineární faktory:

\( f(x) = (x – 2)(x – i)(x + i) \).

Řešení:

Polynom připomíná binomický rozvoj:

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Takže \( f(x) = (x – 1)^4 \).

Kořen je tedy \(x = 1\) s násobností 4.

Všude, tedy v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\), je polynom reducibilní jako čtvrtá mocnina lineárního faktoru.

Řešení:

Hledáme racionální kořeny podle dělitelů absolutního členu 2: \( \pm 1, \pm 2 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 3 + 2 = 0 \) → kořen \( x = 1 \).

\( f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 \neq 0 \).

\( f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 \neq 0 \).

\( f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0 \) → kořen \( x = -2 \).

Vydělíme polynom \((x-1)\):

\( x^3 – 3x + 2 : (x-1) = x^2 + x – 2 \).

Rozložíme kvadratický polynom:

\( x^2 + x – 2 = (x-1)(x+2) \).

Celý rozklad je tedy:

\( f(x) = (x-1)^2 (x+2) \).

Kořeny: \( x=1 \) (dvojnásobný), \( x=-2 \).

Polynom je v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) plně rozložen na lineární faktory, tedy plně reducibilní.

Řešení:

Polynom \( x^4 + 1 \) nelze jednoduše rozložit na lineární faktory nad reálnými čísly, protože nemá reálné kořeny.

V komplexních číslech však kořeny existují. Kořeny jsou 4. stupně jednotky (4. kořeny z -1):

Řešíme \( x^4 = -1 \), tedy \( x = e^{i(\frac{\pi}{4} + k \frac{\pi}{2})} \), kde \( k=0,1,2,3 \).

Kořeny jsou:

\( x_1 = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_2 = e^{i3\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_3 = e^{i5\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_4 = e^{i7\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \).

V \(\mathbb{C}[x]\) tedy polynom rozložíme na lineární faktory:

\( f(x) = (x – x_1)(x – x_2)(x – x_3)(x – x_4) \).

V \(\mathbb{R}[x]\) lze polynom rozložit na součin dvou kvadratických polynomů s reálnými koeficienty pomocí vzorce:

\( x^4 + 1 = (x^2 – \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1) \).

Tento rozklad není možný v \(\mathbb{Z}[x]\) ani \(\mathbb{Q}[x]\), protože obsahuje iracionální koeficienty.

Proto v \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom ireducibilní.

Řešení:

Hledáme racionální kořeny podle dělitelů absolutního členu -1: \( \pm 1 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0 \) → kořen \( x=1 \).

\( f(-1) = -1 – 1 – 1 – 1 = -4 \neq 0 \).

Vydělíme polynom \((x-1)\):

\( x^3 – x^2 + x – 1 : (x-1) = x^2 + 1 \).

Rozklad polynomu je:

\( f(x) = (x-1)(x^2 + 1) \).

Kořeny: \( x=1 \) reálný, \( x = \pm i \) komplexní.

Polynom je v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) reducibilní díky lineárnímu faktoru, v \(\mathbb{C}[x]\) rozložen na lineární faktory.

Řešení:

Polynom je kvadratický ve výrazu \( y = x^2 \), tedy substituce:

\( y^2 – 5y + 6 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( y = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \).

Kořeny jsou \( y_1 = 3 \), \( y_2 = 2 \).

Vrátíme substituci:

\( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \),

\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \).

Rozklad polynomu je tedy:

\( f(x) = (x^2 – 3)(x^2 – 2) \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom ireducibilní, protože kořeny nejsou racionální.

V \(\mathbb{R}[x]\) je rozložen na součin dvou kvadratických polynomů.

V \(\mathbb{C}[x]\) lze oba kvadratické polynomy rozložit na lineární faktory:

\( f(x) = (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \).

Řešení:

Polynom připomíná rozvoj binomu:

\( (x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Polynom je tedy přesně \( (x+1)^3 \).

Kořen je \( x = -1 \) s násobností 3.

Polynom je ve všech oborech reducibilní na lineární faktor umocněný na třetí.

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \) je charakteristický rozvoj binomu:

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Tedy kořen je \( x = 1 \) s násobností 4.

Polynom je v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) plně rozložen na lineární faktory:

\( f(x) = (x – 1)^4 \).

Řešení:

Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí dělitelů absolutního členu \(1\), tedy \( \pm 1 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 + 2 + 2 + 1 = 6 \neq 0 \).

\( f(-1) = -1 + 2 – 2 + 1 = 0 \), takže \( x = -1 \) je kořen.

Vydělíme polynom \((x + 1)\):

Dělení: \(x^3 + 2x^2 + 2x + 1 : (x + 1)\)

– první člen: \(x^2\), \(x^2(x+1) = x^3 + x^2\), odečteme, zbytek \(x^2 + 2x + 1\)

– druhý člen: \(+x\), \(x(x+1) = x^2 + x\), odečteme, zbytek \(x + 1\)

– třetí člen: \(+1\), \(1(x+1) = x + 1\), odečteme, zbytek 0.

Rozklad je tedy:

\( f(x) = (x + 1)(x^2 + x + 1) \).

Kvadratický polynom \( x^2 + x + 1 \) nemá reálné kořeny, protože diskriminant je \( \Delta = 1 – 4 = -3 < 0 \).

V komplexních číslech kořeny kvadratického polynomu jsou:

\( x = \frac{-1 \pm i \sqrt{3}}{2} \).

Polynom je tedy v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) reducibilní, v \(\mathbb{C}[x]\) rozložený na lineární faktory.

Řešení:

Polynom \( x^2 + 1 \) nemá žádné reálné kořeny, protože \( x^2 = -1 \) nemá řešení v \(\mathbb{R}\).

V komplexních číslech jsou kořeny \( x = \pm i \).

Polynom je ireducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\) a \(\mathbb{R}[x]\), protože nemá kořeny ani faktorizaci na lineární faktory.

V \(\mathbb{C}[x]\) je polynom rozložen na lineární faktory:

\( f(x) = (x – i)(x + i) \).

Řešení:

Podíváme se na polynom jako na kvadratický ve výrazu \( y = x^2 \):

\( y^2 – 2y + 1 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( (y – 1)^2 = 0 \Rightarrow y = 1 \) (dvojnásobný kořen).

Vrátíme substituci:

\( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \).

Polynom lze tedy rozložit jako:

\( f(x) = (x^2 – 1)^2 = (x – 1)^2 (x + 1)^2 \).

Polynom je plně rozložen v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) na lineární faktory.

Řešení:

Polynom připomíná rozvoj binomu třetího stupně:

\( (x – 2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8 \).

Tedy polynom má kořen \( x = 2 \) s násobností 3.

Polynom je v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\) plně rozložen na lineární faktory:

\( f(x) = (x – 2)^3 \).

Řešení:

Polynom \( f(x) = x^4 + 4 \) nemá reálné kořeny, protože výraz \( x^4 = -4 \) je nemožný pro reálná čísla.

V \(\mathbb{C}[x]\) hledáme kořeny jako komplexní čísla:

\( x^4 = -4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi) \).

Kořeny čtvrté odmocniny z \(-4\) jsou podle Moivreovy věty:

\( x_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right), k=0,1,2,3 \).

Hodnota \(\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}\).

Kořeny jsou tedy:

\( x_0 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 1 + i \),

\( x_1 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right) = -1 + i \),

\( x_2 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} \right) = -1 – i \),

\( x_3 = \sqrt{2} \left( \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} \right) = 1 – i \).

Polynom je ireducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) (nelze jej rozložit na polynomy s koeficienty v těchto množinách),

v \(\mathbb{R}[x]\) lze rozložit na součin dvou kvadratických polynomů s reálnými koeficienty:

\( f(x) = (x^2 – 2x + 2)(x^2 + 2x + 2) \).

V \(\mathbb{C}[x]\) je rozložen na lineární faktory podle kořenů výše.

Řešení:

Hledáme racionální kořeny podle dělitelů absolutního členu 2: \( \pm 1, \pm 2 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 3 + 2 = 0 \) → kořen \( x=1 \).

\( f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4 \neq 0 \).

\( f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 \neq 0 \).

\( f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0 \) → kořen \( x=-2 \).

Vydělíme polynom \((x-1)\):

\( x^3 – 3x + 2 : (x-1) = x^2 + x – 2 \).

Rozložíme kvadratický polynom:

\( x^2 + x – 2 = (x-1)(x+2) \).

Celý rozklad je:

\( f(x) = (x-1)^2 (x+2) \).

Polynom je ve všech zadaných oborech plně rozložený, tedy reducibilní, s kořeny \( x=1 \) (dvojnásobný) a \( x=-2 \).

Řešení:

Polynom \( x^4 + 1 \) nemá reálné kořeny (protože \(x^4 = -1\) není možné pro reálná čísla).

Rozložíme ho pomocí faktorizace na kvadratické polynomy s reálnými koeficienty:

\( x^4 + 1 = (x^2 – \sqrt{2}x + 1)(x^2 + \sqrt{2}x + 1) \).

Tato faktorizace je platná v \(\mathbb{R}[x]\).

V \(\mathbb{C}[x]\) lze polynom rozložit na lineární faktory podle komplexních kořenů:

Kořeny jsou čtvrté odmocniny z \(-1\), což jsou:

\( x_k = \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \), \(k=0,1,2,3\).

Explicitně:

\( x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_1 = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \),

\( x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2} \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom ireducibilní,

v \(\mathbb{R}[x]\) reducibilní na kvadratické faktory,

v \(\mathbb{C}[x]\) úplně rozložen na lineární faktory.

Řešení:

Hledáme racionální kořeny pomocí dělitelů absolutního členu \(-4\): \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 + 1 – 4 – 4 = -6 \neq 0 \),

\( f(-1) = -1 + 1 + 4 – 4 = 0 \) → kořen \( x = -1 \).

Pro vydělení použijeme syntetické dělení polynomu \( f(x) \) polynomem \((x + 1)\):

Koeficienty: \(1, 1, -4, -4\)

Syntetické dělení:

– výsledek: kvadratický polynom \( x^2 – 4 \), zbytek 0.

Rozklad polynomu:

\( f(x) = (x + 1)(x^2 – 4) = (x + 1)(x – 2)(x + 2) \).

Polynom má tři racionální kořeny \( x = -1, 2, -2 \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je tedy úplně rozložitelný na lineární faktory.

V \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{C}[x]\) je také rozložen na lineární faktory.

Řešení:

Hledáme racionální kořeny podle dělitelů absolutního členu \(-8\): \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).

Dosadíme:

\( f(1) = 1 – 2 + 4 – 8 = -5 \neq 0 \),

\( f(2) = 8 – 8 + 8 – 8 = 0 \) → kořen \( x=2 \).

Pro vydělení použijeme syntetické dělení polynomu \(f(x)\) polynomem \((x – 2)\):

Koeficienty: \(1, -2, 4, -8\)

Syntetické dělení:

– přináší zbytek 0 a kvadratický polynom \( x^2 + 4 \).

Polynom tedy rozložíme na:

\( f(x) = (x – 2)(x^2 + 4) \).

Polynom \(x^2 + 4\) nemá reálné kořeny (protože \(x^2 = -4\) není reálné), ale v \(\mathbb{C}\) má kořeny:

\( x = 2i, -2i \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom reducibilní na \((x – 2)\) a kvadratický ireducibilní polynom \(x^2 + 4\).

V \(\mathbb{R}[x]\) také reducibilní na stejný rozklad,

v \(\mathbb{C}[x]\) rozložen na lineární faktory \( (x – 2)(x – 2i)(x + 2i) \).

Řešení:

Polynom má tvar, který odpovídá rozvoji \((x – 1)^4\), což ověříme:

\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).

Tedy \( f(x) = (x – 1)^4 \).

Kořen je tedy jednoznačný, a to \(x=1\) s násobností 4.

Polynom je zcela rozložený na lineární faktory v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\).

Je tedy ve všech těchto oborech reducibilní.

Řešení:

Polynom připomíná rozvoj \((x+1)^3\):

\( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Tedy \( f(x) = (x+1)^3 \).

Kořen je jednoznačný, \( x = -1 \) s násobností 3.

Polynom je zcela rozložený na lineární faktory v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) i \(\mathbb{C}[x]\),

proto je ve všech těchto oborech reducibilní.

Řešení:

Upravíme polynom pomocí substituce \( y = x^2 \), dostaneme kvadratický polynom:

\( y^2 – 5y + 6 = 0 \).

Řešíme kvadratickou rovnici:

\( \Delta = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 – 24 = 1 \).

Kořeny jsou:

\( y_1 = \frac{5 – 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \).

Nyní vracíme substituci:

\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \),

\( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \).

Polynom můžeme rozložit v \(\mathbb{R}[x]\) na součin:

\( f(x) = (x^2 – 2)(x^2 – 3) \).

V \(\mathbb{Z}[x]\) a \(\mathbb{Q}[x]\) je polynom ireducibilní, protože nelze faktorizovat na polynomy s koeficienty v těchto oborech.

V \(\mathbb{C}[x]\) můžeme rozložit na lineární faktory podle komplexních kořenů:

\( f(x) = (x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2})(x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) \).

Řešení:

Polynom je součtem dvou krychlí a lze jej rozložit podle vzorce:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2) \), kde \(a = x\), \(b = 1\).

Tedy:

\( f(x) = (x + 1)(x^2 – x + 1) \).

Kořen lineárního faktoru je \( x = -1 \).

Kvadratický polynom \( x^2 – x + 1 \) má diskriminant:

\( \Delta = (-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0 \), tedy nemá reálné kořeny.

V \(\mathbb{C}\) má kořeny:

\( x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2} \).

Polynom je tedy reducibilní v \(\mathbb{Z}[x]\), \(\mathbb{Q}[x]\), \(\mathbb{R}[x]\) a \(\mathbb{C}[x]\).

Řešení:

Substituujeme \( y = x^2 \), čímž dostaneme kvadratický polynom:

\( y^2 – 2y + 2 = 0 \).

Vypočteme diskriminant:

\( \Delta = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 < 0 \),

kvadratický polynom nemá reálné kořeny, tedy \(f\) nemá reálné kořeny.

V \(\mathbb{R}[x]\) je polynom ireducibilní.

V \(\mathbb{C}[x]\) kořeny kvadratické rovnice \(y^2 – 2y + 2 = 0\) jsou:

\( y = 1 \pm i \).

Vrátíme substituci \(x^2 = y\):

\( x^2 = 1 + i \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} + i\sqrt{-2 + 2\sqrt{2}}}{2} \),

\( x^2 = 1 – i \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2 + 2\sqrt{2}} – i\sqrt{-2 + 2\sqrt{2}}}{2} \).

Polynom má tedy \(4\) komplexní kořeny a lze jej v \(\mathbb{C}[x]\) rozložit na součin \(4\) lineárních faktorů.