Čtyřúhelník

Řešení příkladu:

Označíme výšku lichoběžníku jako \( v \). Označíme si také úseky na základně \( AB \) vzniklé kolmým vržením výšky z bodu \( C \) na \( AB \) jako \( x \) a \( AB – x \).

V pravoúhlém trojúhelníku vzniklém z výšky platí podle Pythagorovy věty:

\( v^2 + x^2 = 5^2 = 25 \)

V pravoúhlém trojúhelníku na druhé straně lichoběžníku platí:

\( v^2 + (4 – x)^2 = 5^2 = 25 \)

Protože \( AB – CD = 12 – 8 = 4 \), délka mezi přímkami je rozdělena na \( x \) a \( 4 – x \).

Rovnice pro obě strany:

\( v^2 + x^2 = 25 \)

\( v^2 + (4 – x)^2 = 25 \)

Odečteme druhou rovnici od první:

\( v^2 + x^2 – (v^2 + (4 – x)^2) = 25 – 25 \Rightarrow x^2 – (4 – x)^2 = 0 \)

\( x^2 – (16 – 8x + x^2) = 0 \Rightarrow x^2 – 16 + 8x – x^2 = 0 \Rightarrow 8x – 16 = 0 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2 \)

Dosadíme \( x = 2 \) do první rovnice:

\( v^2 + 2^2 = 25 \Rightarrow v^2 = 25 – 4 = 21 \Rightarrow v = \sqrt{21} \approx 4{,}58 \, \text{cm} \).

Výška lichoběžníku je přibližně \(4,58\) cm.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme délku strany čtverce:

Obvod \( O = 4 \cdot a = 20 \Rightarrow a = \frac{20}{4} = 5 \, \text{cm} \).

Úhlopříčka čtverce je podle Pythagorovy věty:

\( d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} \approx 7{,}07 \, \text{cm} \).

Délka úhlopříčky čtverce je přibližně \(7,07 \) cm.

Řešení příkladu:

Obsah trojúhelníku lze spočítat pomocí vzorce:

\( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma \), kde \( a \) a \( b \) jsou ramena a \( \gamma \) je úhel mezi nimi.

V našem případě \( a = b = 13 \, \text{cm} \), \( \gamma = 60^\circ \).

\( S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 169 \cdot 0{,}8660 = 73{,}177 \, \text{cm}^2 \).

Obsah trojúhelníku je přibližně \(73{,}177 \text{ cm}^2\) .

Řešení příkladu:

Úhlopříčka obdélníku je přeponou pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami délky a a b:

\( d^2 = a^2 + b^2 \).

Dosadíme:

\( 17^2 = 15^2 + b^2 \Rightarrow 289 = 225 + b^2 \Rightarrow b^2 = 64 \Rightarrow b = 8 \, \text{cm} \).

Šířka obdélníku je \(8 \text{ cm} \).

Řešení příkladu:

Označíme délky úhlopříček jako \( d_1 \) a \( d_2 \), přičemž \( d_1 = 16 \, \text{cm} \) a \( d_2 = d_1 – 6 = 10 \, \text{cm} \).

1. Délky úhlopříček jsou tedy:

\( d_1 = 16 \, \text{cm}, \quad d_2 = 10 \, \text{cm} \).

2. Obsah kosočtverce spočítáme podle vzorce:

\( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{16 \cdot 10}{2} = 80 \, \text{cm}^2 \).

3. Délku strany kosočtverce vypočítáme pomocí Pythagorovy věty, protože uhlopříčky se v kosočtverci protínají kolmo a každá strana je polovinou délky přepony v pravoúhlém trojúhelníku:

\( a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{8^2 + 5^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89} \approx 9{,}43 \, \text{cm} \).

Odpověď:

Délky úhlopříček jsou \( 16 \text{ cm} \) a \( 10 \text{ cm} \), obsah kosočtverce je \( 80 \text{ cm}^2 \) a délka jeho strany je přibližně \( 9,43 \text{ cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme šířku obdélníku z obsahu:

\( S = a \cdot b = 60 \Rightarrow b = \frac{60}{10} = 6 \, \text{cm} \).

Úhlopříčka je podle Pythagorovy věty:

\( d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 6^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} \approx 11{,}66 \, \text{cm} \).

Délka úhlopříčky obdélníku je přibližně \( 11{,}66 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah lichoběžníku je dán vzorcem:

\( S = \frac{(a + b)}{2} \cdot v \), kde \( a, b \) jsou délky základen a \( v \) je výška.

\( S = \frac{14 + 6}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50 \, \text{cm}^2 \).

Obsah lichoběžníku je \( 50 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme výšku lichoběžníku \( v \) (postup jako v příkladu 1):

Rozdíl základen je \( 18 – 10 = 8 \, \text{cm} \). Označíme úseky na delší základně jako \( x \) a \( 8 – x \).

Podle Pythagorovy věty platí:

\( v^2 + x^2 = 7^2 = 49 \)

\( v^2 + (8 – x)^2 = 49 \)

Odečteme rovnice:

\( x^2 – (8 – x)^2 = 0 \Rightarrow x^2 – (64 – 16x + x^2) = 0 \Rightarrow 16x = 64 \Rightarrow x = 4 \)

Dosadíme zpět:

\( v^2 + 4^2 = 49 \Rightarrow v^2 = 49 – 16 = 33 \Rightarrow v = \sqrt{33} \approx 5{,}74 \, \text{cm} \).

Obsah je:

\( S = \frac{(18 + 10)}{2} \cdot 5{,}74 = 14 \cdot 5{,}74 = 80{,}36 \, \text{cm}^2 \).

Obsah lichoběžníku je přibližně \( 80{,}36 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Úhlopříčka je přepona pravoúhlého trojúhelníku:

\( 10^2 = 8^2 + b^2 \Rightarrow 100 = 64 + b^2 \Rightarrow b^2 = 36 \Rightarrow b = 6 \, \text{cm} \).

Obsah je:

\( S = a \cdot b = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{cm}^2 \).

Šířka obdélníku je \( 6 \, \text{cm} \) a jeho obsah je \( 48 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah kosočtverce je také dán vzorcem:

\( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} \), kde \( d_1, d_2 \) jsou délky úhlopříček.

Strana kosočtverce je 10 cm, proto podle Pythagorovy věty platí:

\( \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 10^2 = 100 \Rightarrow \frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 100 \Rightarrow d_1^2 + d_2^2 = 400 \).

Máme soustavu dvou rovnic:

\( \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = 80 \Rightarrow d_1 \cdot d_2 = 160 \)

\( d_1^2 + d_2^2 = 400 \)

Vyjádříme \( d_2 = \frac{160}{d_1} \) a dosadíme do druhé rovnice:

\( d_1^2 + \left(\frac{160}{d_1}\right)^2 = 400 \Rightarrow d_1^2 + \frac{25600}{d_1^2} = 400 \)

Vynásobíme celou rovnici \( d_1^2 \):

\( d_1^4 – 400 d_1^2 + 25600 = 0 \).

Označíme \( y = d_1^2 \) a řešíme kvadratickou rovnici:

\( y^2 – 400 y + 25600 = 0 \).

Diskriminant:

\( D = 400^2 – 4 \cdot 25600 = 160000 – 102400 = 57600 \).

\( y = \frac{400 \pm \sqrt{57600}}{2} = \frac{400 \pm 240}{2} \).

Dva kořeny:

\( y_1 = \frac{400 + 240}{2} = 320 \), \( y_2 = \frac{400 – 240}{2} = 80 \).

Tedy \( d_1 = \sqrt{320} \approx 17{,}89 \, \text{cm} \), \( d_2 = \frac{160}{17{,}89} \approx 8{,}94 \, \text{cm} \).

Délky úhlopříček kosočtverce jsou přibližně \( 17{,}89 \, \text{cm} \) a \( 8{,}94 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Rozdíl základen je \( 20 – 12 = 8 \, \text{cm} \).

Označíme úseky na delší základně jako \( x \) a \( 8 – x \). Podle Pythagorovy věty:

\( v^2 + x^2 = 9^2 = 81 \)

\( v^2 + (8 – x)^2 = 81 \)

Odečteme rovnice:

\( x^2 – (8 – x)^2 = 0 \Rightarrow x^2 – (64 – 16x + x^2) = 0 \Rightarrow 16x = 64 \Rightarrow x = 4 \)

Dosadíme do první rovnice:

\( v^2 + 4^2 = 81 \Rightarrow v^2 = 81 – 16 = 65 \Rightarrow v = \sqrt{65} \approx 8{,}06 \, \text{cm} \).

Obsah lichoběžníku je:

\( S = \frac{(20 + 12)}{2} \cdot 8{,}06 = 16 \cdot 8{,}06 = 128{,}96 \, \text{cm}^2 \).

Obsah lichoběžníku je tedy \( 128{,}96 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Délka strany čtverce je:

\( a = \frac{36}{4} = 9 \, \text{cm} \).

Úhlopříčka je:

\( d = a \sqrt{2} = 9 \sqrt{2} \approx 12{,}73 \, \text{cm} \).

Délka úhlopříčky je tedy \( 12{,}73 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme délku obdélníku:

\( S = a \cdot b \Rightarrow a = \frac{S}{b} = \frac{84}{7} = 12 \, \text{cm} \).

Úhlopříčka podle Pythagorovy věty:

\( d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 7^2} = \sqrt{144 + 49} = \sqrt{193} \approx 13{,}89 \, \text{cm} \).

Délka je \( 12 \, \text{cm} \) a úhlopříčka je přibližně \( 13{,}89 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Nejprve vypočítáme výšku \( v \) pomocí Pythagorovy věty:

Výška rozdělí základnu na dvě části po 7 cm:

\( v = \sqrt{13^2 – 7^2} = \sqrt{169 – 49} = \sqrt{120} \approx 10{,}95 \, \text{cm} \).

Obsah je:

\( S = \frac{1}{2} \cdot základna \cdot výška = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 10{,}95 = 76{,}65 \, \text{cm}^2 \).

Obsah trojúhelníku je tedy \( 76{,}65 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah lichoběžníku je:

\( S = \frac{(a + b)}{2} \cdot v = \frac{16 + 10}{2} \cdot 6 = 13 \cdot 6 = 78 \, \text{cm}^2 \).

Obsah lichoběžníku je \( 78 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Označíme kratší úhlopříčku jako \( d_2 \), tedy \( d_1 = d_2 + 9 \).

Podle zadání je delší úhlopříčka \( d_1 = 15 \, \text{cm} \), takže:

\( d_2 = 15 – 9 = 6 \, \text{cm} \).

Obsah kosočtverce spočítáme ze vzorce:

\( S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = \frac{15 \cdot 6}{2} = \frac{90}{2} = 45 \, \text{cm}^2 \).

Obsah kosočtverce je \( 45 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Přepona pravoúhlého trojúhelníku je úhlopříčka:

\( 29^2 = 20^2 + b^2 \Rightarrow 841 = 400 + b^2 \Rightarrow b^2 = 441 \Rightarrow b = 21 \, \text{cm} \).

Obsah obdélníku:

\( S = a \cdot b = 20 \cdot 21 = 420 \, \text{cm}^2 \).

Šířka obdélníku je \( 21 \, \text{cm} \) a obsah je \( 420 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah rovnoběžníku je:

\( S = a \cdot b \cdot \sin \alpha = 15 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ = 150 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 150 \cdot 0{,}866 = 129{,}9 \, \text{cm}^2 \).

Obsah rovnoběžníku je přibližně \( 129{,}9 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obvod je:

\( 14 + 10 + 2 \cdot 12 = 48 \) což sedí.

Výšku \( v \) vypočteme pomocí Pythagorovy věty, kde rozdíl základen je:

\( 14 – 10 = 4 \, \text{cm} \).

Označíme části na delší základně \( x \) a \( 4 – x \). Platí:

\( v^2 + x^2 = 12^2 = 144 \)

\( v^2 + (4 – x)^2 = 144 \)

Odečteme:

\( x^2 – (4 – x)^2 = 0 \Rightarrow x^2 – (16 – 8x + x^2) = 0 \Rightarrow 8x = 16 \Rightarrow x = 2 \)

Dosadíme do první rovnice:

\( v^2 + 2^2 = 144 \Rightarrow v^2 = 140 \Rightarrow v = \sqrt{140} \approx 11{,}83 \, \text{cm} \).

Výška lichoběžníku je přibližně \( 11{,}83 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Délka strany je:

\( a = \sqrt{98} = 7 \sqrt{2} \approx 9{,}9 \, \text{cm} \).

Úhlopříčka je:

\( d = a \sqrt{2} = 7 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 7 \cdot 2 = 14 \, \text{cm} \).

Délka strany je přibližně \( 9{,}9 \, \text{cm} \) a úhlopříčka je \( 14 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Šířka obdélníku je:

\( b = 18 – 6 = 12 \, \text{cm} \).

Obvod je:

\( O = 2 (a + b) = 2 (18 + 12) = 2 \cdot 30 = 60 \, \text{cm} \).

Obsah je:

\( S = a \cdot b = 18 \cdot 12 = 216 \, \text{cm}^2 \).

Obvod obdélníku je \( 60 \, \text{cm} \) a obsah je \( 216 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Označíme delší základnu jako \( b \).

Rameno a výška tvoří pravoúhlý trojúhelník, kde:

\( v = 4 \, \text{cm}, \quad rameno = 5 \, \text{cm} \Rightarrow \)

délka odvesny je:

\( x = \sqrt{5^2 – 4^2} = \sqrt{25 – 16} = \sqrt{9} = 3 \, \text{cm} \).

Celková délka delší základny je:

\( b = 8 + 2 \cdot 3 = 14 \, \text{cm} \).

Obsah lichoběžníku:

\( S = \frac{(8 + 14)}{2} \cdot 4 = 11 \cdot 4 = 44 \, \text{cm}^2 \).

Délka delší základny je \( 14 \, \text{cm} \) a obsah lichoběžníku je \( 44 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Délka strany čtverce je:

\( a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5 \sqrt{2} \, \text{cm} \).

Obsah je:

\( S = a^2 = (5 \sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \, \text{cm}^2 \).

Obsah čtverce je \( 50 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Obsah je:

\( S = a \cdot v = 12 \cdot 7 = 84 \, \text{cm}^2 \).

Obvod je:

\( O = 2 (a + b) = 2 (12 + 9) = 2 \cdot 21 = 42 \, \text{cm} \).

Obsah rovnoběžníku je \( 84 \, \text{cm}^2 \) a obvod je \( 42 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Obsah lichoběžníku:

\( S = \frac{(a + b)}{2} \cdot v = \frac{15 + 9}{2} \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60 \, \text{cm}^2 \).

Obsah lichoběžníku je \( 60 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

Označíme šířku jako \( b \), délku jako \( a = b + 5 \).

Obvod:

\( O = 2(a + b) = 60 \Rightarrow a + b = 30 \Rightarrow (b + 5) + b = 30 \Rightarrow 2b = 25 \Rightarrow b = 12{,}5 \, \text{cm} \).

Délka:

\( a = 12{,}5 + 5 = 17{,}5 \, \text{cm} \).

Obsah:

\( S = a \cdot b = 17{,}5 \cdot 12{,}5 = 218{,}75 \, \text{cm}^2 \).

Výsledkem je tedy, že délka obdélníku je \(17{,}5\, \text{cm}\), šířka je \(12{,}5\, \text{cm}\) a obsah je \(218{,}75\, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

Obsah rovnoběžníku:

\( S = a \cdot b \cdot \sin \alpha = 10 \cdot 14 \cdot \sin 45^\circ = 140 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 140 \cdot 0{,}7071 \approx 98{,}99 \, \text{cm}^2 \).

Výsledkem je, že obsah rovnoběžníku je přibližně \(98{,}99\, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

Obsah kosočtverce je:

\( S = a \cdot v = 13 \cdot 12 = 156 \, \text{cm}^2 \).

Obsah kosočtverce tedy je \(156\, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

Šířka:

\( b = \frac{S}{a} = \frac{300}{25} = 12 \, \text{cm} \).

Úhlopříčka podle Pythagorovy věty:

\( d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25^2 + 12^2} = \sqrt{625 + 144} = \sqrt{769} \approx 27{,}73 \, \text{cm} \).

Šířka obdélníku je tedy \(12\, \text{cm}\) a délka úhlopříčky je přibližně \(27{,}73\, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

Obvod lichoběžníku je:

\( O = a + b + c + d = 64 \Rightarrow 18 + 14 + 2x = 64 \Rightarrow 32 + 2x = 64 \Rightarrow 2x = 32 \Rightarrow x = 16 \, \text{cm} \).

Délka ramen je tedy 16 cm.

Řešení příkladu:

Obsah kosočtverce vypočítáme podle vzorce:

\( S = a^2 \cdot \sin(\alpha) = 10^2 \cdot \sin(60^\circ) = 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 100 \cdot 0{,}866 = 86{,}6 \, \text{cm}^2 \).

Obsah kosočtverce je tedy přibližně \(86{,}6\, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

Strana čtverce je:

\( a = \sqrt{121} = 11 \, \text{cm} \).

Úhlopříčka:

\( d = a \cdot \sqrt{2} = 11 \cdot \sqrt{2} \approx 11 \cdot 1{,}414 = 15{,}556 \, \text{cm} \).

Délka úhlopříčky čtverce je tedy přibližně \(15{,}56\, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

\( S = a \cdot v \Rightarrow v = \frac{S}{a} = \frac{72}{9} = 8 \, \text{cm} \).

Výška k základně je tedy \( 8 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( O = 10 + 6 + 5 + 7 = 28 \, \text{cm} \).

Obvod lichoběžníku je tedy \( 28 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( a = 2b \Rightarrow O = 2(a + b) = 2(2b + b) = 6b = 80 \Rightarrow b = \frac{80}{6} \approx 13{,}33 \, \text{cm} \Rightarrow a = 26{,}67 \, \text{cm} \).

\( S = a \cdot b = 26{,}67 \cdot 13{,}33 \approx 355{,}5 \, \text{cm}^2 \).

Délka obdélníku je tedy \( 26{,}67 \, \text{cm} \), šířka je \( 13{,}33 \, \text{cm} \) a obsah je přibližně \( 355{,}5 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96 \, \text{cm}^2 \).

Obsah kosočtverce je tedy \( 96 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{(a + b)}{2} \cdot v \Rightarrow \frac{(10 + b)}{2} \cdot 5 = 90 \Rightarrow \frac{(10 + b)}{2} = 18 \Rightarrow 10 + b = 36 \Rightarrow b = 26 \, \text{cm} \).

Druhá základna má délku \( 26 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Kratší strana je 10 cm.

\( S = a \cdot v \Rightarrow v = \frac{150}{10} = 15 \, \text{cm} \).

Výška ke kratší straně je tedy \( 15 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( a = \frac{O}{4} = \frac{36}{4} = 9 \, \text{cm} \Rightarrow S = a^2 = 81 \, \text{cm}^2 \).

Délka strany čtverce je \( 9 \, \text{cm} \) a jeho obsah je \( 81 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( b = \frac{144}{12} = 12 \, \text{cm} \Rightarrow O = 2(a + b) = 2(12 + 12) = 48 \, \text{cm} \).

Šířka obdélníku je \( 12 \, \text{cm} \) a obvod je \( 48 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( S = a \cdot v = 8 \cdot 6 = 48 \, \text{cm}^2 \).

Obsah kosočtverce je tedy \( 48 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{(a + c)}{2} \cdot v = \frac{(14 + 6)}{2} \cdot 5 = \frac{20}{2} \cdot 5 = 10 \cdot 5 = 50 \, \text{cm}^2 \).

Obsah lichoběžníku je tedy \( 50 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( b = \frac{S}{a} = \frac{60}{10} = 6 \, \text{cm} \Rightarrow O = 2(10 + 6) = 32 \, \text{cm} \).

Druhá strana obdélníku je \( 6 \, \text{cm} \) a jeho obvod je \( 32 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( d = a \cdot \sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \).

\( S = a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72 \, \text{cm}^2 \).

Obsah čtverce je tedy \( 72 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( O = 2(a + b) = 50 \Rightarrow a + b = 25 \Rightarrow b = 25 – 14 = 11 \, \text{cm} \).

Délka druhé strany rovnoběžníku je tedy \( 11 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

Označíme šířku jako \( x \), délku jako \( x + 6 \).

Obvod obdélníku je dán vzorcem:

\( 2(x + (x + 6)) = 48 \Rightarrow 2(2x + 6) = 48 \Rightarrow 4x + 12 = 48 \Rightarrow 4x = 36 \Rightarrow x = 9 \, \text{cm} \).

Délka je tedy:

\( 9 + 6 = 15 \, \text{cm} \).

Obsah obdélníku je:

\( S = 9 \cdot 15 = 135 \, \text{cm}^2 \).

Šířka obdélníku je \( 9 \, \text{cm} \), délka je \( 15 \, \text{cm} \) a jeho obsah je \( 135 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( O = a + c + b_1 + b_2 = 12 + 8 + 7 + x = 40 \Rightarrow x = 40 – 27 = 13 \, \text{cm} \).

Délka druhého ramene lichoběžníku je tedy \( 13 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( d^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow 15^2 = 9^2 + b^2 \Rightarrow 225 = 81 + b^2 \Rightarrow b^2 = 144 \Rightarrow b = 12 \, \text{cm} \).

Šířka obdélníku je tedy \( 12 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{20 \cdot 24}{2} = \frac{480}{2} = 240 \, \text{cm}^2 \).

Obsah kosočtverce je tedy \( 240 \, \text{cm}^2 \).

Řešení příkladu:

\( O = 18 + 12 + 5 + 5 = 40 \, \text{cm} \).

Obvod lichoběžníku je tedy \( 40 \, \text{cm} \).

Řešení příkladu:

\( O = 4a \Rightarrow a = \frac{36}{4} = 9 \, \text{cm} \Rightarrow S = a^2 = 9^2 = 81 \, \text{cm}^2 \).

Délka strany čtverce je \(9 \, \text{cm}\) a jeho obsah je \(81 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

\( S = a \cdot b = 15 \cdot 10 = 150 \, \text{cm}^2 \).

\( d = \sqrt{15^2 + 10^2} = \sqrt{225 + 100} = \sqrt{325} \approx 18{,}03 \, \text{cm} \).

Obsah obdélníku je \(150 \, \text{cm}^2\) a délka jeho úhlopříčky je přibližně \(18{,}03 \, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

\( S = a \cdot v = 12 \cdot 8 = 96 \, \text{cm}^2 \).

Obsah rovnoběžníku je \(96 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{(a + c)}{2} \cdot v \Rightarrow 120 = \frac{(8 + c)}{2} \cdot 10 \Rightarrow 120 = 5(8 + c) \Rightarrow 24 = 8 + c \Rightarrow c = 16 \, \text{cm} \).

Délka druhé základny lichoběžníku je \(16 \, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

\( S = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{16 \cdot 30}{2} = \frac{480}{2} = 240 \, \text{cm}^2 \).

Obsah kosočtverce je \(240 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

\( O = 2(a + b) \Rightarrow 25 = 18 + b \Rightarrow b = 7 \, \text{cm} \Rightarrow S = 18 \cdot 7 = 126 \, \text{cm}^2 \).

Šířka obdélníku je \(7 \, \text{cm}\) a jeho obsah je \(126 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

\( a = \sqrt{225} = 15 \Rightarrow d = a \cdot \sqrt{2} = 15 \cdot \sqrt{2} \approx 15 \cdot 1{,}414 = 21{,}21 \, \text{cm} \).

Délka úhlopříčky čtverce je přibližně \(21{,}21 \, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

\( S = a \cdot v = 13 \cdot 7 = 91 \, \text{cm}^2 \).

Obsah rovnoběžníku je \(91 \, \text{cm}^2\).

Řešení příkladu:

\( O = 10 + 10 + 6 + 14 = 40 \, \text{cm} \).

Obvod lichoběžníku je \(40 \, \text{cm}\).

Řešení příkladu:

\( d = a\sqrt{2} \Rightarrow a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07 \, \text{cm} \).

Délka strany čtverce je přibližně \(7{,}07 \, \text{cm}\).