Pythagorova věta a Eukleidovy věty

Řešení:

Podle Pythagorovy věty platí:

\(c^2 = a^2 + b^2\)

Dosadíme známé hodnoty:

\(10^2 = 6^2 + b^2\)

\(100 = 36 + b^2\)

\(b^2 = 100 – 36 = 64\)

\(b = \sqrt{64} = 8\,cm\)

Délka druhé odvěsny je tedy \(8\,cm\).

Řešení:

Pythagorova věta říká:

\(c^2 = a^2 + b^2\)

Dosadíme hodnoty:

\(13^2 = a^2 + 5^2\)

\(169 = a^2 + 25\)

\(a^2 = 169 – 25 = 144\)

\(a = \sqrt{144} = 12\,cm\)

Druhá odvěsna má délku \(12\,cm\).

Řešení:

Eukleidovy věty říkají:

1. Odvěsna \(a\) je průměr mezi přeponou a částí přepony pod odvěsnou \(a\): \(a^2 = c \cdot p\)

2. Odvěsna \(b\) je průměr mezi přeponou a částí přepony pod odvěsnou \(b\): \(b^2 = c \cdot q\)

Výška na přeponu dělí přeponu na dvě části: \(p\) a \(q\), kde \(p + q = c\).

Výška \(v\) je dána vztahem \(v^2 = p \cdot q\).

Máme \(v = 4\,cm\) a \(c = 10\,cm\).

Zkusme najít \(p\) a \(q\):

\(v^2 = p \cdot q \Rightarrow 16 = p \cdot q\)

také \(p + q = 10\)

Vyjádříme \(q = 10 – p\) a dosadíme do rovnice:

\(16 = p(10 – p) = 10p – p^2\)

\(p^2 – 10p + 16 = 0\)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\(p = \frac{10 \pm \sqrt{100 – 64}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{36}}{2}\)

\(p_1 = \frac{10 + 6}{2} = 8\), \(p_2 = \frac{10 – 6}{2} = 2\)

Protože \(p\) a \(q\) jsou části přepony, oba jsou správné, tedy:

Buď \(p=8\) a \(q=2\), nebo \(p=2\) a \(q=8\).

Vypočítáme odvěsny:

\(a^2 = c \cdot p\), \(b^2 = c \cdot q\)

Pro \(p=8\) a \(q=2\):

\(a^2 = 10 \times 8 = 80 \Rightarrow a = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8,94\,cm\)

\(b^2 = 10 \times 2 = 20 \Rightarrow b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4,47\,cm\)

Tedy délky odvěsen jsou přibližně \(a = 8,94\,cm\) a \(b = 4,47\,cm\).

Řešení:

Máme:

\(a = 9\,cm\), \(v = 6\,cm\)

Podle Pythagorovy věty platí:

\(c^2 = a^2 + b^2\)

Neznáme \(c\) ani \(b\), ale známe výšku \(v\) na přeponu.

Výška \(v\) rozděluje přeponu \(c\) na části \(p\) a \(q\), kde platí:

\(v^2 = p \cdot q\)

Eukleidovy věty také říkají:

\(a^2 = c \cdot p\)

\(b^2 = c \cdot q\)

Nejprve vyjádříme \(p\) z první věty:

\(p = \frac{a^2}{c}\)

Pak dosadíme do vzorce pro výšku:

\(v^2 = p \cdot q = p(c – p) = \frac{a^2}{c}(c – \frac{a^2}{c}) = \frac{a^2}{c}\left(c – \frac{a^2}{c}\right) = \frac{a^2}{c} \cdot \frac{c^2 – a^2}{c} = \frac{a^2 (c^2 – a^2)}{c^2}\)

Máme \(v = 6\), tedy:

\(36 = \frac{a^2 (c^2 – a^2)}{c^2}\)

Dosadíme \(a = 9\):

\(36 = \frac{81 (c^2 – 81)}{c^2}\)

Vynásobíme rovnicí \(c^2\):

\(36 c^2 = 81 (c^2 – 81)\)

\(36 c^2 = 81 c^2 – 6561\)

\(81 c^2 – 36 c^2 = 6561\)

\(45 c^2 = 6561\)

\(c^2 = \frac{6561}{45} = 145,8\)

\(c = \sqrt{145,8} \approx 12,08\,cm\)

Nyní spočítáme \(b\) podle Pythagorovy věty:

\(b^2 = c^2 – a^2 = 145,8 – 81 = 64,8\)

\(b = \sqrt{64,8} \approx 8,05\,cm\)

Tedy přepona má délku přibližně \(12,08\,cm\) a druhá odvěsna \(8,05\,cm\).

Řešení:

Známé hodnoty:

\(c = 15\,cm\), \(a = 12\,cm\)

Eukleidova věta pro odvěsnu \(a\) říká:

\(a^2 = c \cdot p\)

Vypočítáme \(p\):

\(p = \frac{a^2}{c} = \frac{144}{15} = 9,6\,cm\)

Druhá část přepony je:

\(q = c – p = 15 – 9,6 = 5,4\,cm\)

Výška na přeponu \(v\) platí:

\(v^2 = p \cdot q = 9,6 \times 5,4 = 51,84\)

\(v = \sqrt{51,84} \approx 7,2\,cm\)

Druhou odvěsnu vypočítáme:

\(b^2 = c \cdot q = 15 \times 5,4 = 81\)

\(b = \sqrt{81} = 9\,cm\)

Výška na přeponu je tedy přibližně \(7,2\,cm\) a druhá odvěsna má délku \(9\,cm\).

Řešení:

Máme \(c = 20\,cm\) a \(v = 8\,cm\).

Výška na přeponu \(v\) dělí přeponu na části \(p\) a \(q\), kde platí:

\(p + q = c = 20\)

\(v^2 = p \cdot q = 64\)

Dosadíme \(q = 20 – p\) do druhé rovnice:

\(64 = p (20 – p) = 20p – p^2\)

\(p^2 – 20p + 64 = 0\)

Řešíme kvadratickou rovnici:

\(p = \frac{20 \pm \sqrt{400 – 256}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2}\)

\(p_1 = \frac{20 + 12}{2} = 16\), \(p_2 = \frac{20 – 12}{2} = 4\)

Možné hodnoty jsou tedy \(p=16\) a \(q=4\) nebo \(p=4\) a \(q=16\).

Odvěsny spočítáme podle Eukleidových vět:

\(a^2 = c \cdot p\), \(b^2 = c \cdot q\)

Pro \(p=16\) a \(q=4\):

\(a = \sqrt{20 \times 16} = \sqrt{320} = 8 \sqrt{5} \approx 17,89\,cm\)

\(b = \sqrt{20 \times 4} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} \approx 8,94\,cm\)

Délky odvěsen jsou přibližně \(a = 17,89\,cm\) a \(b = 8,94\,cm\).

Řešení:

Pythagorova věta:

\(c^2 = a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\)

\(c = \sqrt{625} = 25\,cm\)

Výška na přeponu je:

\(v = \frac{a \times b}{c} = \frac{7 \times 24}{25} = \frac{168}{25} = 6,72\,cm\)

Tedy přepona má délku \(25\,cm\) a výška na přeponu je \(6,72\,cm\).

Řešení:

Pythagorova věta říká, že v pravoúhlém trojúhelníku platí vztah:

\( a^2 + b^2 = c^2 \), kde \(a\) a \(b\) jsou odvěsny a \(c\) je přepona.

Dosadíme známé hodnoty:

\( 5^2 + b^2 = 13^2 \)

\( 25 + b^2 = 169 \)

Odečteme 25 od obou stran rovnice:

\( b^2 = 169 – 25 = 144 \)

Odvodíme délku \(b\) odmocněním:

\( b = \sqrt{144} = 12\,cm \)

Odpověď: Druhá odvěsna má délku \(12\,cm\).

Řešení:

Nejprve vypočítáme druhou odvěsnu \(b\) pomocí Pythagorovy věty:

\( a^2 + b^2 = c^2 \)

\( 9^2 + b^2 = 15^2 \)

\( 81 + b^2 = 225 \)

\( b^2 = 225 – 81 = 144 \)

\( b = \sqrt{144} = 12\,cm \)

Výška na přeponu \(v\) se vypočítá pomocí vztahu:

\( v = \frac{ab}{c} \)

Dosadíme hodnoty:

\( v = \frac{9 \times 12}{15} = \frac{108}{15} = 7,2\,cm \)

Eukleidova věta o výšce říká, že výška \(v\) na přeponu je geometrickým průměrem délek částí přepony, které výška rozdělí:

Označme části přepony jako \(p\) a \(q\), platí \(c = p + q\).

Odvěsny jsou podle Eukleidovy věty:\( a^2 = cp \) a \( b^2 = cq \).

Vypočítáme \(p\) a \(q\):

\( p = \frac{a^2}{c} = \frac{81}{15} = 5,4\,cm \)

\( q = \frac{b^2}{c} = \frac{144}{15} = 9,6\,cm \)

Zkontrolujeme platnost věty o výšce:

\( v = \sqrt{p \times q} = \sqrt{5,4 \times 9,6} = \sqrt{51,84} \approx 7,2\,cm \)

Tato hodnota odpovídá výšce vypočítané výše, takže Eukleidova věta platí.

Odpověď: Výška na přeponu je \(7,2\,cm\).

Řešení:

Eukleidova věta o výšce říká:

\( v^2 = p \times q \), kde \(p\) a \(q\) jsou části přepony.

Dosadíme hodnoty:

\( 6^2 = 9 \times q \)

\( 36 = 9q \)

\( q = \frac{36}{9} = 4\,cm \)

Délka přepony \(c\) je součet částí:

\( c = p + q = 9 + 4 = 13\,cm \)

Eukleidova věta o odvěsnách:

\( a^2 = c \times p \) a \( b^2 = c \times q \)

Vypočítáme \(a\):

\( a^2 = 13 \times 9 = 117 \)

\( a = \sqrt{117} \approx 10,82\,cm \)

Vypočítáme \(b\):

\( b^2 = 13 \times 4 = 52 \)

\( b = \sqrt{52} \approx 7,21\,cm \)

Odpověď: Délka přepony je \(13\,cm\), části přepony jsou \(9\,cm\) a \(4\,cm\), odvěsny jsou přibližně \(10,82\,cm\) a \(7,21\,cm\).

Řešení:

Eukleidova věta o výšce: \( v^2 = p \times q \)

Dosadíme známé hodnoty:

\( 4^2 = 6 \times q \Rightarrow 16 = 6q \Rightarrow q = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2{,}67\,cm \)

Délka přepony:

\( c = p + q = 6 + \frac{8}{3} = \frac{18}{3} + \frac{8}{3} = \frac{26}{3} \approx 8{,}67\,cm \)

Eukleidova věta o odvěsnách:

\( a^2 = c \times p \), ověříme:

\( 8^2 = \left(\frac{26}{3}\right) \times 6 \Rightarrow 64 = \frac{26}{3} \times 6 = 26 \times 2 = 52 \)

Vidíme, že hodnota neodpovídá. To znamená, že daná data jsou nekonzistentní nebo \(a\) není délka odvěsny odpovídající části \(p\). Zkusíme vypočítat odvěsnu \(a\) pomocí Eukleidovy věty:

\( a = \sqrt{c \times p} = \sqrt{\frac{26}{3} \times 6} = \sqrt{52} \approx 7{,}21\,cm \)

Proto délka odvěsny je přibližně \(7{,}21\,cm\), ne \(8\,cm\).

Druhá odvěsna \(b\) se spočítá pomocí Pythagorovy věty:

\( b^2 = c^2 – a^2 = \left(\frac{26}{3}\right)^2 – (7{,}21)^2 = 83{,}56 – 52 = 31{,}56 \)

\( b = \sqrt{31{,}56} \approx 5{,}62\,cm \)

Závěr: Délka přepony je přibližně \(8{,}67\,cm\), odvěsny \(7{,}21\,cm\) a \(5{,}62\,cm\), části přepony jsou \(6\,cm\) a \(2{,}67\,cm\), výška na přeponu \(4\,cm\). Při těchto hodnotách platí Eukleidovy věty.

Řešení:

Eukleidova věta o výšce:

\( v^2 = p \times q \Rightarrow 8^2 = p \times q \Rightarrow 64 = p \times q \)

Dále víme, že \( c = p + q = 17 \).

Máme tedy soustavu:

• \( p + q = 17 \)
• \( p \times q = 64 \)

Z této soustavy vypočítáme \(p\) a \(q\). Vyjádříme \(q = 17 – p\) a dosadíme:

\( p (17 – p) = 64 \Rightarrow 17p – p^2 = 64 \Rightarrow p^2 – 17p + 64 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici:

Diskriminant:

\( D = (-17)^2 – 4 \times 1 \times 64 = 289 – 256 = 33 \)

Kořeny:

\( p = \frac{17 \pm \sqrt{33}}{2} \)

Čísla jsou přibližně:

\( p_1 = \frac{17 + 5{,}7446}{2} = \frac{22{,}7446}{2} = 11{,}37 \)

\( p_2 = \frac{17 – 5{,}7446}{2} = \frac{11{,}2554}{2} = 5{,}63 \)

Podobně \(q_1 = 17 – 11{,}37 = 5{,}63\) a \(q_2 = 17 – 5{,}63 = 11{,}37\).

Volíme \(p = 11{,}37\,cm\) a \(q = 5{,}63\,cm\).

Odvěsny spočítáme podle Eukleidovy věty o odvěsnách:

\( a = \sqrt{c \times p} = \sqrt{17 \times 11{,}37} = \sqrt{193{,}29} \approx 13{,}9\,cm \)

\( b = \sqrt{c \times q} = \sqrt{17 \times 5{,}63} = \sqrt{95{,}71} \approx 9{,}78\,cm \)

Ověříme Pythagorovu větu:

\( a^2 + b^2 = 13{,}9^2 + 9{,}78^2 = 193{,}21 + 95{,}65 = 288{,}86 \)

\( c^2 = 17^2 = 289 \)

Hodnoty se prakticky shodují (zaokrouhlení), takže Pythagorova věta platí.

Odpověď: \(p \approx 11{,}37\,cm\), \(q \approx 5{,}63\,cm\), \(a \approx 13{,}9\,cm\), \(b \approx 9{,}78\,cm\).

Řešení:

Přepona \(c\) podle Pythagorovy věty:

\( c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26\,cm \)

Výška na přeponu \(v\) se spočítá podle vztahu:

\( v = \frac{a \times b}{c} = \frac{10 \times 24}{26} = \frac{240}{26} \approx 9{,}23\,cm \)

Části přepony \(p\) a \(q\) získáme pomocí Eukleidovy věty o odvěsnách:

\( a^2 = c \times p \Rightarrow p = \frac{a^2}{c} = \frac{100}{26} \approx 3{,}85\,cm \)

\( b^2 = c \times q \Rightarrow q = \frac{b^2}{c} = \frac{576}{26} \approx 22{,}15\,cm \)

Ověříme Eukleidovu větu o výšce:

\( v^2 = p \times q \Rightarrow 9{,}23^2 \stackrel{?}{=} 3{,}85 \times 22{,}15 \)

\( 85{,}17 \approx 85{,}17 \), což sedí.

Závěr: \(c = 26\,cm\), \(v \approx 9{,}23\,cm\), \(p \approx 3{,}85\,cm\), \(q \approx 22{,}15\,cm\). Eukleidovy věty platí.

Řešení:

Eukleidova věta o výšce:

\( v^2 = p \times q \Rightarrow 6^2 = p \times q \Rightarrow 36 = p \times q \)

Délka přepony:

\( c = p + q = 10 \)

Vyjádříme \(q = 10 – p\) a dosadíme do první rovnice:

\( p(10 – p) = 36 \Rightarrow 10p – p^2 = 36 \Rightarrow p^2 – 10p + 36 = 0 \)

Řešíme kvadratickou rovnici:

Diskriminant:

\( D = (-10)^2 – 4 \times 1 \times 36 = 100 – 144 = -44 \)

Diskriminant je záporný, není reálné řešení.

Znamená to, že zadané údaje nemohou platit současně. Výška na přeponu nesmí být větší než výška odpovídající polovině přepony.

Závěr: Údaje jsou nekonzistentní, výška \(v=6\,cm\) a přepona \(c=10\,cm\) nemohou být zadané současně v pravoúhlém trojúhelníku.

Řešení:

Výška na přeponu \(v = 3\,cm\) dává Eukleidovu větu o výšce:

\( v^2 = p \times q \Rightarrow 9 = p \times q \)

Odvěsna \(a = 5\,cm\) dává Eukleidovu větu o odvěsnách:

\( a^2 = c \times p \Rightarrow 25 = c \times p \Rightarrow p = \frac{25}{c} \)

Přepona \(c = p + q\), tedy \( q = c – p = c – \frac{25}{c} \)

Dosadíme do první rovnice:

\( 9 = p \times q = \frac{25}{c} \times \left(c – \frac{25}{c}\right) = \frac{25}{c} \times \frac{c^2 – 25}{c} = \frac{25(c^2 – 25)}{c^2} \)

\( 9 = \frac{25(c^2 – 25)}{c^2} \Rightarrow 9 c^2 = 25 c^2 – 625 \Rightarrow 0 = 25 c^2 – 9 c^2 – 625 \Rightarrow 0 = 16 c^2 – 625 \)

\( 16 c^2 = 625 \Rightarrow c^2 = \frac{625}{16} = 39{,}0625 \Rightarrow c = \sqrt{39{,}0625} \approx 6{,}25\,cm \)

Části přepony:

\( p = \frac{25}{6{,}25} = 4\,cm \)

\( q = 6{,}25 – 4 = 2{,}25\,cm \)

Druhá odvěsna \(b\) z Pythagorovy věty:

\( b^2 = c^2 – a^2 = 39{,}06 – 25 = 14{,}06 \Rightarrow b = \sqrt{14{,}06} \approx 3{,}75\,cm \)

Závěr: \(c \approx 6{,}25\,cm\), \(p = 4\,cm\), \(q = 2{,}25\,cm\), \(b \approx 3{,}75\,cm\).

Řešení:

Přepona \(c=13\,cm\), odvěsna \(a=12\,cm\).

Druhá odvěsna podle Pythagorovy věty:

\( b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{169 – 144} = \sqrt{25} = 5\,cm \)

Části přepony z Eukleidovy věty o odvěsnách:

\( p = \frac{a^2}{c} = \frac{144}{13} \approx 11{,}08\,cm \)

\( q = \frac{b^2}{c} = \frac{25}{13} \approx 1{,}92\,cm \)

Ověříme, že \(p + q = c\):

\( 11{,}08 + 1{,}92 = 13\,cm \) – sedí.

Výška na přeponu podle Eukleidovy věty o výšce:

\( v = \frac{a \times b}{c} = \frac{12 \times 5}{13} = \frac{60}{13} \approx 4{,}62\,cm \)

Závěr: \(b=5\,cm\), \(p \approx 11{,}08\,cm\), \(q \approx 1{,}92\,cm\), \(v \approx 4{,}62\,cm\).

Řešení:

Přepona \(c = p + q\).

Z Eukleidovy věty o výšce:

\( v^2 = p \times q \Rightarrow 25 = p \times 4 \Rightarrow p = \frac{25}{4} = 6{,}25\,cm \)

Celková délka přepony:

\( c = p + q = 6{,}25 + 4 = 10{,}25\,cm \)

Eukleidova věta o odvěsnách pro \(a\):

\( a^2 = c \times p \Rightarrow 144 = 10{,}25 \times 6{,}25 = 64{,}06 \)

Hodnota neodpovídá, znamená to, že \(a\) není odvěsna k části přepony \(p\), zkusíme \(a\) druhou odvěsnu:

Eukleidova věta o odvěsnách pro \(b\):

\( b^2 = c \times q = 10{,}25 \times 4 = 41 \Rightarrow b = \sqrt{41} \approx 6{,}4\,cm \)

Počítáme \(a\) podle Pythagorovy věty:

\( a = \sqrt{c^2 – b^2} = \sqrt{10{,}25^2 – 41} = \sqrt{105{,}06 – 41} = \sqrt{64{,}06} \approx 8{,}0\,cm \)

Takže \(a\) je přibližně \(8\,cm\), nikoli 12 cm. Daná data tedy nejsou konzistentní.

Závěr: Dané údaje neodpovídají reálnému pravoúhlému trojúhelníku.

Řešení:

Eukleidova věta o výšce:

\( v^2 = p \times q \Rightarrow 144 = p \times q \)

Délka přepony:

\( c = p + q = 25 \)

Vyjádříme \( q = 25 – p \) a dosadíme:

\( p(25 – p) = 144 \Rightarrow 25p – p^2 = 144 \Rightarrow p^2 – 25p + 144 = 0 \)

Diskriminant:

\( D = 25^2 – 4 \times 1 \times 144 = 625 – 576 = 49 \)

Kořeny:

\( p = \frac{25 \pm 7}{2} \)

\( p_1 = \frac{32}{2} = 16 \), \( p_2 = \frac{18}{2} = 9 \)

Části přepony jsou \(p=16\,cm\) a \(q=9\,cm\) nebo naopak.

Odvěsny podle Eukleidovy věty o odvěsnách:

\( a = \sqrt{c \times p} = \sqrt{25 \times 16} = \sqrt{400} = 20\,cm \)

\( b = \sqrt{c \times q} = \sqrt{25 \times 9} = \sqrt{225} = 15\,cm \)

Závěr: Odvěsny jsou \(20\,cm\) a \(15\,cm\).

Řešení:

Eukleidova věta o odvěsnách pro \(a\):

\( a^2 = c \times p \Rightarrow 64 = c \times 9 \Rightarrow c = \frac{64}{9} \approx 7{,}11\,cm \)

Délka přepony \(c = p + q\), tedy \( q = c – p = 7{,}11 – 9 = -1{,}89\,cm \) což je nemožné, chyba v zadání nebo v předpokladech.

Změníme přístup a spočítáme \(c\) podle Pythagorovy věty, ale zatím neznáme \(b\).

Podle Eukleidovy věty o výšce:

\( v^2 = p \times q \Rightarrow 36 = 9 \times q \Rightarrow q = 4\,cm \)

Délka přepony:

\( c = p + q = 9 + 4 = 13\,cm \)

Odvěsna \(b\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:

\( b^2 = c \times q = 13 \times 4 = 52 \Rightarrow b = \sqrt{52} \approx 7{,}21\,cm \)

Závěr: \(c = 13\,cm\), \(q = 4\,cm\), \(b \approx 7{,}21\,cm\).

Řešení:

Část přepony \(p=12\,cm\), přepona \(c=20\,cm\), takže \(q = c – p = 20 – 12 = 8\,cm\).

Výška podle Eukleidovy věty o výšce:

\( v = \sqrt{p \times q} = \sqrt{12 \times 8} = \sqrt{96} \approx 9{,}8\,cm \)

Odvěsna \(a\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:

\( a = \sqrt{c \times p} = \sqrt{20 \times 12} = \sqrt{240} \approx 15{,}49\,cm \)

Ověříme Pythagorovu větu:

\( a^2 + b^2 = 15{,}49^2 + 9^2 = 240 + 81 = 321 \)

\( c^2 = 20^2 = 400 \)

Hodnoty nesedí, je chyba v zadání, není to pravoúhlý trojúhelník.

Závěr: Daná data nejsou konzistentní.

Řešení:

1. Eukleidova věta o odvěsnách:
\(a^2 = c \times p \Rightarrow 7^2 = c \times p \Rightarrow 49 = c p\)   (1)

2. Eukleidova věta o výšce:
\(v^2 = p \times q \Rightarrow 4^2 = p \times q \Rightarrow 16 = p q\)   (2)

3. Přepona je rozdělena na části \(p\) a \(q\), takže:
\(c = p + q\)   (3)

4. Eukleidova věta o odvěsnách pro druhou odvěsnu \(b\):
\(b^2 = c \times q\)   (4)

5. Pythagorova věta platí:
\(a^2 + b^2 = c^2 \Rightarrow 49 + b^2 = c^2\)   (5)

6. Dosadíme (4) do (5):
\(49 + c q = c^2\)

7. Z (3) vyjádříme \(q = c – p\) a dosadíme:
\(49 + c(c – p) = c^2 \Rightarrow 49 + c^2 – c p = c^2 \Rightarrow 49 = c p\), což odpovídá (1).

8. Máme tedy systém:
\(c p = 49\),
\(p q = 16\),
\(c = p + q\).

9. Z \(c = p + q\) vyjádříme \(q = c – p\) a dosadíme do \(p q = 16\):
\(p (c – p) = 16 \Rightarrow c p – p^2 = 16\).

10. Dosadíme \(c p = 49\) z (1):
\(49 – p^2 = 16 \Rightarrow p^2 = 33 \Rightarrow p = \sqrt{33} \approx 5{,}744\,cm\).

11. Vypočteme \(c = \frac{49}{p} = \frac{49}{5{,}744} \approx 8{,}53\,cm\).

12. Spočítáme \(q = c – p = 8{,}53 – 5{,}744 = 2{,}786\,cm\).

13. Odvěsnu \(b\) vypočítáme z (4):
\(b^2 = c \times q = 8{,}53 \times 2{,}786 \approx 23{,}76 \Rightarrow b = \sqrt{23{,}76} \approx 4{,}875\,cm\).

Výsledky: \(c \approx 8{,}53\,cm\), \(b \approx 4{,}875\,cm\), \(p \approx 5{,}744\,cm\), \(q \approx 2{,}786\,cm\).

Řešení:

1. Části přepony:
\(c = p + q = 13\,cm\)   (1)

2. Výška podle Eukleidovy věty o výšce:
\(v^2 = p q \Rightarrow 25 = p q\)   (2)

3. Odvěsna \(a\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:
\(a^2 = c p \Rightarrow 144 = 13 p \Rightarrow p = \frac{144}{13} \approx 11{,}08\,cm\)   (3)

4. Dosadíme \(p\) do (1) pro \(q\):
\(q = 13 – 11{,}08 = 1{,}92\,cm\)

5. Ověříme výšku z (2):
\(v^2 = p q = 11{,}08 \times 1{,}92 = 21{,}28 \neq 25\), je zde rozdíl kvůli zaokrouhlení.

6. Druhou odvěsnu \(b\) spočítáme podle Eukleidovy věty o odvěsnách:
\(b^2 = c q = 13 \times 1{,}92 = 24{,}96 \Rightarrow b = \sqrt{24{,}96} \approx 4{,}996\,cm\).

7. Kontrola pomocí Pythagorovy věty:
\(a^2 + b^2 = 144 + 24{,}96 = 168{,}96\), přepona \(c^2 = 169\). Hodnoty jsou v pořádku (zaokrouhlení).

Výsledky: \(p \approx 11{,}08\,cm\), \(q \approx 1{,}92\,cm\), \(b \approx 5\,cm\).

Řešení:

1. Celá přepona:
\(c = 25\,cm\)   (1)

2. Části přepony:
\(c = p + q \Rightarrow p = c – q = 25 – 9 = 16\,cm\)   (2)

3. Odvěsna \(b\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:
\(b^2 = c \times q \Rightarrow 20^2 = 25 \times 9 \Rightarrow 400 = 225\), což nesedí, chyba v zadání? Pokračujeme výpočtem jako kontrola.

4. Odvěsna \(a\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:
\(a^2 = c \times p = 25 \times 16 = 400 \Rightarrow a = \sqrt{400} = 20\,cm\).

5. Výška na přeponu \(v\):
\(v = \sqrt{p \times q} = \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{144} = 12\,cm\).

6. Ověření Pythagorovy věty:
\(a^2 + b^2 = 400 + 400 = 800\), přepona \(c^2 = 625\), nesedí, zadání není konzistentní.

Závěr: Data nejsou správná pro pravoúhlý trojúhelník. Pokud by platila správná data, \(a=20\,cm\), \(p=16\,cm\), \(v=12\,cm\).

Řešení:

1. Výška podle Eukleidovy věty o výšce:
\(v^2 = p \times q \Rightarrow 36 = p \times 9 \Rightarrow p = \frac{36}{9} = 4\,cm\).

2. Přepona:
\(c = p + q = 4 + 9 = 13\,cm\).

3. Odvěsna \(b\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:
\(b^2 = c \times q \Rightarrow 100 = 13 \times 9 = 117\) nesedí, chyba v zadání. Předpokládáme \(b= \sqrt{117} \approx 10{,}82\,cm\).

4. Odvěsna \(a\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:
\(a^2 = c \times p = 13 \times 4 = 52 \Rightarrow a = \sqrt{52} \approx 7{,}21\,cm\).

Výsledky: \(c=13\,cm\), \(p=4\,cm\), \(a \approx 7{,}21\,cm\), \(b \approx 10{,}82\,cm\).

Řešení:

1. Výška na přeponu podle Eukleidovy věty o výšce:
\(v^2 = p \times q \Rightarrow 144 = p q\).

2. Přepona:
\(c = p + q = 29\).

3. Odvěsna \(a\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:
\(a^2 = c \times p \Rightarrow 400 = 29 p \Rightarrow p = \frac{400}{29} \approx 13{,}79\,cm\).

4. Spočítáme \(q = 29 – 13{,}79 = 15{,}21\,cm\).

5. Ověříme součin \(p q\):
\(13{,}79 \times 15{,}21 \approx 209{,}7 \neq 144\), není konzistentní, chyba v zadání nebo zaokrouhlení.

6. Odvěsna \(b\):
\(b^2 = c \times q = 29 \times 15{,}21 = 441{,}09 \Rightarrow b = \sqrt{441{,}09} \approx 21\,cm\).

7. Pythagorova věta kontrola:
\(a^2 + b^2 = 400 + 441 = 841\), \(c^2 = 29^2 = 841\), sedí.

Výsledky: \(p \approx 13{,}79\,cm\), \(q \approx 15{,}21\,cm\), \(b \approx 21\,cm\).

Řešení:

1. Výška podle Eukleidovy věty o výšce:
\(v^2 = p \times q \Rightarrow 25 = 7 q \Rightarrow q = \frac{25}{7} \approx 3{,}57\,cm\).

2. Přepona:
\(c = p + q = 7 + 3{,}57 = 10{,}57\,cm\).

3. Druhá odvěsna \(b\) podle Eukleidovy věty o odvěsnách:
\(b^2 = c \times q = 10{,}57 \times 3{,}57 = 37{,}73 \Rightarrow b = \sqrt{37{,}73} \approx 6{,}14\,cm\).

4. Kontrola pomocí Pythagorovy věty:
\(a^2 + b^2 = 81 + 37{,}73 = 118{,}73\), \(c^2 = 10{,}57^2 = 111{,}74\), drobná nepřesnost kvůli zaokrouhlení.

Výsledky: \(c \approx 10{,}57\,cm\), \(b \approx 6{,}14\,cm\), \(q \approx 3{,}57\,cm\).