1. Vypočítejte součet nekonečné geometrické řady \( \sum_{n=0}^\infty ar^n \) pro \( a = 3 \) a \( r = \frac{1}{4} \).
Řešení příkladu 1:
Nejdříve si připomeneme základní vzorec pro součet nekonečné geometrické řady, který platí, pokud \( |r| < 1 \):
\( S = \sum_{n=0}^\infty ar^n = \frac{a}{1-r} \)
V našem případě máme \( a = 3 \) a \( r = \frac{1}{4} \). Proto musíme ověřit konvergenci řady:
\( |r| = \left| \frac{1}{4} \right| = 0{,}25 < 1 \), řada tedy konverguje.
Dosadíme do vzorce:
\( S = \frac{3}{1 – \frac{1}{4}} = \frac{3}{\frac{3}{4}} = 3 \cdot \frac{4}{3} = 4 \)
Výsledkem je tedy součet řady \( S = 4 \).
Závěr: Součet dané nekonečné geometrické řady je \( 4 \).
2. Vypočtěte součet nekonečné řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5}{2^n} \).
Řešení příkladu 2:
Nejprve rozpoznáme typ řady. Řada má tvar:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{5}{2^n} \)
Tato řada je geometrická s prvním členem \( a = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2} \) a kvocientem \( r = \frac{1}{2} \).
Pro nekonečnou geometrickou řadu platí, že součet je:
\( S = \frac{a}{1-r} \), pokud \( |r| < 1 \).
Ověříme podmínku konvergence:
\( |r| = \frac{1}{2} < 1 \), řada konverguje.
Dosadíme do vzorce:
\( S = \frac{\frac{5}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{2} \cdot 2 = 5 \)
Výsledek ukazuje, že součet řady je \( 5 \).
Poznámka: Pokud by řada začínala od \( n=0 \), první člen by byl \( 5 \), ale protože začíná od \( n=1 \), první člen je \( \frac{5}{2} \).
3. Určete součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n} \).
Řešení příkladu 3:
Zadaná řada je:
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n} \).
Lze ji rozepsat jako geometrickou řadu s prvním členem \( a = 1 \) (pro \( n=0 \) platí \( (-1)^0 = 1 \) a \( 3^0 = 1 \)) a kvocientem:
\( r = -\frac{1}{3} \).
Ověříme, zda řada konverguje:
\( |r| = \frac{1}{3} < 1 \), tedy ano.
Součet tedy spočítáme podle vzorce pro nekonečnou geometrickou řadu:
\( S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 – (-\frac{1}{3})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \).
Výsledek:
\( S = \frac{3}{4} \).
Tento výpočet ukazuje, že nekonečná řada střídavých členů s klesajícími hodnotami dává konečný součet.
4. Vypočtěte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{5^n} \).
Řešení příkladu 4:
Řada má tvar:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{5^n} \).
Identifikujeme první člen:
\( a = \frac{2}{5^1} = \frac{2}{5} \)
Kvocient je \( r = \frac{1}{5} \).
Podmínka konvergence:
\( |r| = \frac{1}{5} < 1 \), řada konverguje.
Součet nekonečné geometrické řady je:
\( S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{2}{5}}{1 – \frac{1}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
Výsledkem je tedy:
\( S = \frac{1}{2} \).
Tento součet lze interpretovat jako limitu součtu nekonečně mnoho členů postupně klesajících zlomků.
5. Vypočtěte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{4^n}{7^{n+1}} \).
Řešení příkladu 5:
Nejprve upravíme obecný člen řady:
\( \frac{4^n}{7^{n+1}} = \frac{4^n}{7^n \cdot 7} = \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{4}{7}\right)^n \).
Tedy řada má tvar:
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{7} \left(\frac{4}{7}\right)^n \).
Prvním členem je \( a = \frac{1}{7} \), kvocient \( r = \frac{4}{7} \).
Ověříme konvergenci:
\( |r| = \frac{4}{7} \approx 0{,}5714 < 1 \), řada tedy konverguje.
Použijeme vzorec pro součet:
\( S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{7}}{1 – \frac{4}{7}} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{3}{7}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{1}{3} \).
Výsledek je:
\( S = \frac{1}{3} \).
Tento výsledek potvrzuje, že i složitější výrazy v nekonečných řadách lze převést na známý tvar a spočítat jednoduše.
6. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^n}{5^n} \).
Řešení příkladu 6:
Obecný člen řady je:
\( a_n = \frac{(-2)^n}{5^n} = \left(-\frac{2}{5}\right)^n \).
Řada je tedy geometrická s kvocientem:
\( r = -\frac{2}{5} \).
První člen, protože \( n=1 \), je:
\( a = r = -\frac{2}{5} \).
Ověříme konvergenci:
\( |r| = \frac{2}{5} = 0{,}4 < 1 \), řada tedy konverguje.
Vzorec pro součet nekonečné geometrické řady s indexem od 1 je:
\( S = \frac{a}{1-r} \).
Dosadíme hodnoty:
\( S = \frac{-\frac{2}{5}}{1 – \left(-\frac{2}{5}\right)} = \frac{-\frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} = -\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{7} = -\frac{2}{7} \).
Výsledkem je tedy:
\( S = -\frac{2}{7} \).
Tento výsledek potvrzuje, že i střídavé řady s absolutně menší hodnotou kvocientu mají konečný součet.
7. Určete součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{4^{n+2}} \).
Řešení příkladu 7:
Nejprve upravíme obecný člen:
\( \frac{3^n}{4^{n+2}} = \frac{3^n}{4^n \cdot 4^2} = \frac{1}{16} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n \).
První člen řady je tedy:
\( a = \frac{1}{16} \).
Kvocient je:
\( r = \frac{3}{4} \).
Ověříme konvergenci:
\( |r| = 0{,}75 < 1 \), řada konverguje.
Součet nekonečné geometrické řady je:
\( S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{16}}{1 – \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{16} \cdot 4 = \frac{1}{4} \).
Závěr:
Součet řady je \( \frac{1}{4} \).
8. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{7}{10^n} \).
Řešení příkladu 8:
Řada je geometrická s prvním členem:
\( a = \frac{7}{10} \).
Kvocient:
\( r = \frac{1}{10} \).
Ověření konvergence:
\( |r| = 0{,}1 < 1 \), řada konverguje.
Součet nekonečné geometrické řady je:
\( S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{7}{10}}{1 – \frac{1}{10}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{10} \cdot \frac{10}{9} = \frac{7}{9} \).
Výsledkem je:
\( S = \frac{7}{9} \).
Tento součet odpovídá limitě nekonečně klesajících členů s poměrem jedna desetina.
9. Vypočtěte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{4^n} \) je geometrická řada s prvním členem \( a = \frac{3}{4} \) a kvocientem \( q = \frac{1}{4} \), protože obecný člen lze psát jako \( a_n = 3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n = 3 \cdot \frac{1}{4^n} \), tedy první člen je pro \( n=1 \):
\( a = \frac{3}{4^1} = \frac{3}{4} \).
Protože \( |q| = \frac{1}{4} < 1 \), řada konverguje a její součet je dán vztahem pro geometrickou řadu:
\[ S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{3}{4}}{1 – \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}} = 1. \]
Tedy součet nekonečné řady je \( 1 \).
10. Určete součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{3}\right)^n \).
Řešení příkladu:
Řada \( \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{3}\right)^n \) je geometrická řada s prvním členem \( a = 1 \) (protože pro \( n=0 \), \( (-\frac{2}{3})^0 = 1 \)) a kvocientem \( q = -\frac{2}{3} \).
Protože \( |q| = \frac{2}{3} < 1 \), řada konverguje.
Součet této řady je dán vzorcem:
\[ S = \frac{a}{1 – q} = \frac{1}{1 – \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5}. \]
Tedy součet nekonečné řady je \( \frac{3}{5} \).
11. Vypočtěte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \( a = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2} \) a kvocientem \( q = \frac{1}{2} \), protože obecný člen lze napsat jako \( a_n = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
Protože \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), řada konverguje.
Součet řady je:
\[ S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{5}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{1}{2}} = 5. \]
Tedy součet nekonečné řady je \( 5 \).
12. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Řada je geometrická s prvním členem \( a = \frac{(-1)^{1+1}}{3^1} = \frac{1}{3} \) a kvocientem \( q = -\frac{1}{3} \).
Protože \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \), řada konverguje.
Součet řady je:
\[ S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{1}{3}}{1 – \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}. \]
Tedy součet nekonečné řady je \( \frac{1}{4} \).
13. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{5^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen lze upravit na:
\[ a_n = \frac{2^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n. \]
Řada je geometrická s prvním členem \( a = \frac{1}{5} \) (pro \( n=0 \)) a kvocientem \( q = \frac{2}{5} \).
Protože \( |q| = \frac{2}{5} < 1 \), řada konverguje.
Součet řady je:
\[ S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{1}{5}}{1 – \frac{2}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{3}. \]
Tedy součet nekonečné řady je \( \frac{1}{3} \).
14. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{4}{(-3)^n} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen lze napsat jako:
\[ a_n = \frac{4}{(-3)^n} = 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^n. \]
První člen je pro \( n=1 \):
\( a = 4 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^1 = -\frac{4}{3} \).
Kvocient je \( q = -\frac{1}{3} \).
Protože \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \), řada konverguje.
Součet řady je:
\[ S = \frac{a}{1 – q} = \frac{-\frac{4}{3}}{1 – \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{-\frac{4}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = -1. \]
Tedy součet nekonečné řady je \( -1 \).
15. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-5)^n}{10^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen lze přepsat jako:
\[ a_n = \frac{(-5)^n}{10^{n+1}} = \frac{1}{10} \cdot \left(-\frac{5}{10}\right)^n = \frac{1}{10} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^n. \]
Řada je geometrická s prvním členem \( a = \frac{1}{10} \) a kvocientem \( q = -\frac{1}{2} \).
Protože \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), řada konverguje.
Součet řady je:
\[ S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{1}{10}}{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{10}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{10}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{15}. \]
Tedy součet nekonečné řady je \( \frac{1}{15} \).
16. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{7^n}{14^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen je:
\[ a_n = \frac{7^n}{14^{n+1}} = \frac{1}{14} \cdot \left(\frac{7}{14}\right)^n = \frac{1}{14} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n. \]
První člen (pro \( n=1 \)) je:
\( a = \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{28} \).
Kvocient je \( q = \frac{1}{2} \).
Protože \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), řada konverguje.
Součet řady lze napsat jako:
\[ S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{1}{28}}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{28}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{28} \cdot 2 = \frac{1}{14}. \]
Tedy součet nekonečné řady je \( \frac{1}{14} \).
17. Vypočtěte součet nekonečné řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{2^{n}}\).
Řešení příkladu:
Daná řada je geometrická řada s prvním členem \( a = \frac{3}{2} \) a kvocientem \( q = \frac{1}{2} \), protože:
\(\displaystyle \frac{3}{2^{1}} = \frac{3}{2} = a \)
\(\displaystyle \frac{3}{2^{n}} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = a q^{n-1} \) s \(q = \frac{1}{2}\), ale pozor, první člen je pro \(n=1\), proto přepíšeme řadu jako
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{2^{n}} = \sum_{n=1}^\infty 3 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 3 \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n \)
Geometrická řada \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty q^n\) konverguje pro \(|q|<1\) a její součet je
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{q}{1-q} \)
Z toho dostáváme:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{2^{n}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 3 \)
Součet dané řady je tedy roven 3.
18. Vypočtěte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je opět geometrická s prvním členem \(a = 1\) (pro \(n=0\)) a kvocientem \(q = -\frac{1}{3}\), protože každý člen je
\(\displaystyle (-1)^n \frac{1}{3^n} = \left(-\frac{1}{3}\right)^n\).
Geometrická řada \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a q^n\) konverguje, pokud \(|q|<1\), což zde platí, protože \(|-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1\).
Součet řady je:
\(\displaystyle S = \frac{a}{1-q} = \frac{1}{1 – \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\).
Součet řady je tedy \(\displaystyle \frac{3}{4}\).
19. Určete součet řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má členy \(a_n = \frac{2n}{5^n}\). Pro výpočet součtu této řady využijeme známý vzorec pro řadu \(\sum_{n=1}^\infty n r^n\) s \(|r|<1\).
Obecně platí:
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}\).
V našem případě je \(r = \frac{1}{5}\), proto můžeme psát
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2n}{5^n} = 2 \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{5}\right)^n = 2 \cdot \frac{\frac{1}{5}}{(1-\frac{1}{5})^2} = 2 \cdot \frac{\frac{1}{5}}{\left(\frac{4}{5}\right)^2} = 2 \cdot \frac{\frac{1}{5}}{\frac{16}{25}} = 2 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{2 \cdot 25}{5 \cdot 16} = \frac{50}{80} = \frac{5}{8}.\)
Součet řady je tedy \(\displaystyle \frac{5}{8}\).
20. Vypočtěte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{3^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Řadu můžeme přepsat takto:
\(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-2}{3}\right)^n\).
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \(a = \frac{1}{3}\) a kvocientem \(q = -\frac{2}{3}\).
Podmínka konvergence je \(|q| = \frac{2}{3} < 1\), tedy řada konverguje.
Součet je
\(\displaystyle S = \frac{a}{1-q} = \frac{\frac{1}{3}}{1 – \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{\frac{1}{3}}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5}\).
Součet řady je tedy \(\displaystyle \frac{1}{5}\).
21. Najděte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je tzv. alternující řada s členy \(a_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n}\).
Pro výpočet využijeme vztah na mocninný rozvoj logaritmu:
\(\displaystyle \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}\), kde \(|x| < 1\).
Porovnáme-li s danou řadou, vidíme, že
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n} = \ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln \frac{3}{2}\).
Součet řady je tedy \(\displaystyle \ln \frac{3}{2}\).
22. Vypočtěte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \(a_n = \frac{n^2}{4^n}\).
Využijeme známý vzorec pro součet řady \(\sum_{n=1}^\infty n^2 r^n\), který platí pro \(|r| < 1\):
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^2 r^n = \frac{r(1+r)}{(1-r)^3}\).
Zde je \(r = \frac{1}{4}\), proto
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n} = \sum_{n=1}^\infty n^2 \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{\frac{1}{4}(1 + \frac{1}{4})}{(1 – \frac{1}{4})^3} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^3} = \frac{\frac{5}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{5}{16} \cdot \frac{64}{27} = \frac{5 \cdot 64}{16 \cdot 27} = \frac{320}{432} = \frac{40}{54} = \frac{20}{27}\).
Součet řady je tedy \(\displaystyle \frac{20}{27}\).
23. Určete součet řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^{2n}}\).
Řešení příkladu:
Řadu můžeme přepsat jako
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{5^2}\right)^n = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{25}\right)^n\).
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \(a = \frac{3}{25}\) a kvocientem \(q = \frac{3}{25}\).
Podmínka konvergence je \(|q| < 1\), což je splněno.
Součet řady je
\(\displaystyle S = \frac{a}{1-q} = \frac{\frac{3}{25}}{1 – \frac{3}{25}} = \frac{\frac{3}{25}}{\frac{22}{25}} = \frac{3}{22}\).
Součet řady je tedy \(\displaystyle \frac{3}{22}\).
24. Vypočítejte součet nekonečné řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Jedná se o geometrickou řadu, kde každý člen má tvar \(\frac{3^n}{5^n} = \left(\frac{3}{5}\right)^n\).
Obecný tvar nekonečné geometrické řady je \(\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}\), ale v našem případě začínáme od \(n=1\), takže můžeme přepsat na \(\sum_{n=1}^\infty r^n\) s \(r = \frac{3}{5}\).
Součet nekonečné geometrické řady s prvním členem \(r\) a kvocientem \(r\), kde \(|r| < 1\), je
\[ S = \frac{r}{1-r}. \]Dosadíme \(r = \frac{3}{5}\):
\[ S = \frac{\frac{3}{5}}{1 – \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2}. \]Součet řady je tedy \(\frac{3}{2}\).
25. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Jedná se o nekonečnou geometrickou řadu s prvním členem \(a = 1\) (protože pro \(n=0\), \(\frac{(-1)^0}{2^0} = 1\)) a kvocientem \(r = -\frac{1}{2}\).
Podmínka konvergence je \(|r| < 1\), což platí, protože \(|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2} < 1\).
Součet řady je dán vzorcem
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 – (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}. \]Součet nekonečné řady je tedy \(\frac{2}{3}\).
26. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{5}{7^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \(\sum_{n=1}^\infty 5 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^n\), což je geometrická řada s prvním členem \(a = 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7}\) a kvocientem \(r = \frac{1}{7}\).
Podmínka konvergence je \(|r| < 1\), což platí.
Součet řady je
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{5}{7}}{1 – \frac{1}{7}} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{6}{7}} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{5}{6}. \]Součet řady je \(\frac{5}{6}\).
27. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^{2n}\).
Řešení příkladu:
Řada má členy ve tvaru \(\left(\frac{1}{4}\right)^{2n} = \left(\left(\frac{1}{4}\right)^2\right)^n = \left(\frac{1}{16}\right)^n\).
Začínáme od \(n=0\), takže první člen \(a = 1\).
Kvocient řady je tedy \(r = \frac{1}{16}\).
Podmínka konvergence je \(|r| < 1\), což platí.
Součet řady je
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 – \frac{1}{16}} = \frac{1}{\frac{15}{16}} = \frac{16}{15}. \]Součet řady je \(\frac{16}{15}\).
28. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy řady lze přepsat jako
\[ \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{2^n}{3^n \cdot 3} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n. \]Jedná se tedy o geometrickou řadu s prvním členem \(a = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{2}{9}\) a kvocientem \(r = \frac{2}{3}\).
Podmínka konvergence \(|r| < 1\) platí.
Součet řady je
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{2}{9}}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3}. \]Součet řady je \(\frac{2}{3}\).
29. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\frac{1}{3}\right)^{2n}\).
Řešení příkladu:
Řada má členy \((-1)^n \left(\frac{1}{3}\right)^{2n} = (-1)^n \left(\frac{1}{9}\right)^n = \left(-\frac{1}{9}\right)^n\).
Začínáme od \(n=0\), první člen je \(a = 1\).
Kvocient je tedy \(r = -\frac{1}{9}\) a \(|r| < 1\), řada konverguje.
Součet řady je
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 – (-\frac{1}{9})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{1}{\frac{10}{9}} = \frac{9}{10}. \]Součet řady je \(\frac{9}{10}\).
30. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{10^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je geometrická s členy \(\left(\frac{4}{10}\right)^n\).
První člen je \(a = \frac{4}{10} = 0{,}4\), kvocient \(r = 0{,}4\), \(|r| < 1\), konverguje.
Součet je
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{0{,}4}{1 – 0{,}4} = \frac{0{,}4}{0{,}6} = \frac{2}{3}. \]Součet řady je \(\frac{2}{3}\).
31. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-3)^n}{4^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy lze přepsat jako
\[ \frac{(-3)^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^n. \]První člen je tedy \(a = \frac{1}{4}\), kvocient \(r = -\frac{3}{4}\), \(|r| < 1\).
Součet řady je
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{4}}{1 – \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{1}{7}. \]Součet řady je \(\frac{1}{7}\).
32. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-2)^{n-1}}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Členy přepíšeme jako
\[ \frac{(-2)^{n-1}}{5^n} = \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^{n-1}. \]První člen je \(a = \frac{1}{5}\), kvocient \(r = -\frac{2}{5}\), \(|r| < 1\).
Součet řady je
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{5}}{1 – \left(-\frac{2}{5}\right)} = \frac{\frac{1}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{7}{5}} = \frac{1}{7}. \]Součet řady je \(\frac{1}{7}\).
33. Vypočítejte součet řady \(\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5^{2n}}{7^{2n+1}}\).
Řešení příkladu:
Členy lze přepsat jako
\[ \frac{5^{2n}}{7^{2n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{5^2}{7^2}\right)^n = \frac{1}{7} \cdot \left(\frac{25}{49}\right)^n. \]První člen je \(a = \frac{1}{7}\), kvocient \(r = \frac{25}{49}\), \(|r| < 1\).
Součet řady je
\[ S = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{7}}{1 – \frac{25}{49}} = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{24}{49}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{49}{24} = \frac{7}{24}. \]Součet řady je \(\frac{7}{24}\).
44. Vypočtěte součet nekonečné řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Máme řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{3^{n+1}} \). Nejprve upravíme obecný člen:
\[ a_n = \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{2^n}{3^n \cdot 3} = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^n. \]
Tato řada je geometrická s prvním členem \( a_1 = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^1 = \frac{2}{9} \) a kvocientem \( q = \frac{2}{3} \), přičemž \( |q| < 1 \), takže řada konverguje.
Součet nekonečné geometrické řady je dán vzorcem:
\[ S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{\frac{2}{9}}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3}. \]
Součet dané řady je tedy \( \frac{2}{3} \).
45. Určete součet nekonečné řady \( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{1}{4}\right)^n \).
Řešení příkladu:
Obecný člen řady je \( a_n = (-1)^n \left(\frac{1}{4}\right)^n = \left(-\frac{1}{4}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \( a_0 = 1 \) a kvocientem \( q = -\frac{1}{4} \), kde \( |q| < 1 \), tedy řada konverguje.
Součet nekonečné geometrické řady je:
\[ S = \frac{a_0}{1 – q} = \frac{1}{1 – \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}. \]
Součet řady je \( \frac{4}{5} \).
46. Najděte součet nekonečné řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{5^n} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen je \( a_n = \frac{3}{5^n} = 3 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^n \).
Řada je geometrická s prvním členem \( a_1 = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \) a kvocientem \( q = \frac{1}{5} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet nekonečné geometrické řady je:
\[ S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{\frac{3}{5}}{1 – \frac{1}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{3}{4}. \]
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
47. Vypočtěte součet řady \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n}} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen je \( a_n = \frac{(-1)^n}{2^{2n}} = (-1)^n \cdot \frac{1}{4^n} = \left(-\frac{1}{4}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \( a_0 = 1 \) a kvocientem \( q = -\frac{1}{4} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet nekonečné řady je:
\[ S = \frac{a_0}{1 – q} = \frac{1}{1 – \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}. \]
Součet řady je tedy \( \frac{4}{5} \).
48. Určete součet nekonečné řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{7^n} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen řady je \( a_n = \frac{5}{7^n} = 5 \cdot \left(\frac{1}{7}\right)^n \).
První člen je tedy \( a_1 = 5 \cdot \frac{1}{7} = \frac{5}{7} \) a kvocient je \( q = \frac{1}{7} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet nekonečné geometrické řady je:
\[ S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{\frac{5}{7}}{1 – \frac{1}{7}} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{6}{7}} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{5}{6}. \]
Součet řady je \( \frac{5}{6} \).
49. Vypočtěte součet řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n \).
Řešení příkladu:
Řada začíná od \( n=2 \), obecný člen je \( a_n = \left(\frac{3}{4}\right)^n \).
Součet řady od \( n=0 \) do nekonečna je:
\[ S_0 = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^n = \frac{1}{1 – \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4. \]
Součet od \( n=0 \) do \( n=1 \) je:
\[ S_1 = \left(\frac{3}{4}\right)^0 + \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}. \]
Součet řady od \( n=2 \) do nekonečna je tedy:
\[ S = S_0 – S_1 = 4 – \frac{7}{4} = \frac{16}{4} – \frac{7}{4} = \frac{9}{4}. \]
Součet požadované řady je \( \frac{9}{4} \).
50. Určete součet řady \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-3)^n}{4^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen je \( a_n = \frac{(-3)^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4} \left(\frac{-3}{4}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \( a_0 = \frac{1}{4} \cdot \left(\frac{-3}{4}\right)^0 = \frac{1}{4} \) a kvocientem \( q = -\frac{3}{4} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet nekonečné geometrické řady je:
\[ S = \frac{a_0}{1 – q} = \frac{\frac{1}{4}}{1 – \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{1}{7}. \]
Součet řady je \( \frac{1}{7} \).
51. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{5^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen je:
\[ a_n = \frac{(-2)^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} \left(\frac{-2}{5}\right)^n. \]
První člen \( n=1 \) je:
\[ a_1 = \frac{1}{5} \left(\frac{-2}{5}\right)^1 = -\frac{2}{25}. \]
Kvocient řady je \( q = \frac{-2}{5} \), kde \( |q| < 1 \), takže řada konverguje.
Součet řady od \( n=1 \) je:
\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{5} \left(\frac{-2}{5}\right)^n = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-2}{5}\right)^n. \]
Součet geometrické řady od \( n=1 \) je:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1 – q} = \frac{\frac{-2}{5}}{1 – \left(-\frac{2}{5}\right)} = \frac{-\frac{2}{5}}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{-\frac{2}{5}}{\frac{7}{5}} = -\frac{2}{7}. \]
Dosadíme do součtu:
\[ S = \frac{1}{5} \cdot \left(-\frac{2}{7}\right) = -\frac{2}{35}. \]
Součet řady je tedy \( -\frac{2}{35} \).
52. Najděte součet řady \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{5^n}{6^{2n}} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen je:
\[ a_n = \frac{5^n}{6^{2n}} = \left(\frac{5}{6^2}\right)^n = \left(\frac{5}{36}\right)^n. \]
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \( a_0 = 1 \) a kvocientem \( q = \frac{5}{36} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet nekonečné geometrické řady je:
\[ S = \frac{a_0}{1 – q} = \frac{1}{1 – \frac{5}{36}} = \frac{1}{\frac{31}{36}} = \frac{36}{31}. \]
Součet řady je \( \frac{36}{31} \).
53. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 4^n}{7^n} \).
Řešení příkladu:
Obecný člen je:
\[ a_n = (-1)^{n+1} \frac{4^n}{7^n} = (-1)^{n+1} \left(\frac{4}{7}\right)^n. \]
Tento člen můžeme přepsat jako:
\[ a_n = -(-1)^n \left(\frac{4}{7}\right)^n = -\left(-\frac{4}{7}\right)^n. \]
Řada je tedy:
\[ S = \sum_{n=1}^{\infty} a_n = – \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{4}{7}\right)^n. \]
Součet geometrické řady od \( n=1 \) s kvocientem \( q = -\frac{4}{7} \) je:
\[ \sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1 – q} = \frac{-\frac{4}{7}}{1 – \left(-\frac{4}{7}\right)} = \frac{-\frac{4}{7}}{1 + \frac{4}{7}} = \frac{-\frac{4}{7}}{\frac{11}{7}} = -\frac{4}{11}. \]
Dosadíme do součtu:
\[ S = – \left(-\frac{4}{11}\right) = \frac{4}{11}. \]
Součet řady je tedy \( \frac{4}{11} \).
54. Vypočítejte součet nekonečné řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Daná řada má obecný člen \(a_n = \left(\frac{3}{5}\right)^n\). Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(r = \frac{3}{5}\).
Nejdříve ověříme konvergenci řady. Podmínka konvergence geometrické řady je \(|r| < 1\). V našem případě platí \(|r| = \frac{3}{5} = 0{,}6 < 1\), tedy řada konverguje.
Součet nekonečné geometrické řady od \(n=1\) je dán vzorcem
\[ S = \sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}. \]
Dosadíme tedy \(r = \frac{3}{5}\):
\[ S = \frac{\frac{3}{5}}{1 – \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5. \]
Tím jsme získali, že součet nekonečné řady je \(1{,}5\).
Pro doplnění můžeme ověřit správnost výsledku pomocí numerické aproximace prvních několika členů:
\[ a_1 = \left(\frac{3}{5}\right)^1 = 0{,}6, \quad a_2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 0{,}36, \quad a_3 = 0{,}216, \quad a_4 = 0{,}1296, \dots \]
Sčítáním těchto členů získáme přibližné hodnoty součtu, které se blíží výsledku \(1{,}5\).
55. Určete součet nekonečné řady \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má obecný člen \(a_n = \left(-\frac{1}{4}\right)^n\), což je geometrická řada s kvocientem \(r = -\frac{1}{4}\).
Podmínka konvergence je \(|r| < 1\). V našem případě \(|r| = \frac{1}{4} < 1\), řada tedy konverguje.
Součet nekonečné geometrické řady začínající od \(n=0\) je
\[ S = \frac{1}{1-r} = \frac{1}{1 – \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} = 0{,}8. \]
Tedy součet řady je \(0{,}8\).
Pro kontrolu vypočítáme první členy a jejich součet:
\[ a_0 = 1, \quad a_1 = -\frac{1}{4}, \quad a_2 = \frac{1}{16}, \quad a_3 = -\frac{1}{64}, \quad \dots \]
Součet prvních čtyř členů je \(1 – 0{,}25 + 0{,}0625 – 0{,}015625 = 0{,}796875\), což se blíží vypočítanému výsledku \(0{,}8\).
56. Najděte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je typu \(\sum_{n=1}^\infty n r^n\) s \(r = \frac{1}{2}\). Tato řada konverguje, protože \(|r| < 1\).
Vzorec pro součet této řady je známý a lze ho odvodit z derivace geometrické řady:
Nejprve připomeňme, že
\[ \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}, \quad |r| < 1. \]
Derivujeme podle \(r\):
\[ \frac{d}{dr} \sum_{n=0}^\infty r^n = \sum_{n=1}^\infty n r^{n-1} = \frac{d}{dr} \left(\frac{1}{1-r}\right) = \frac{1}{(1-r)^2}. \]
Vynásobíme obě strany rovnice \(r\):
\[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = r \cdot \sum_{n=1}^\infty n r^{n-1} = r \cdot \frac{1}{(1-r)^2} = \frac{r}{(1-r)^2}. \]
Dosadíme \(r = \frac{1}{2}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{2}}{(1 – \frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \]
Tedy součet nekonečné řady je 2.
Pro ověření vypočítáme součet několika prvních členů:
\[ 1 \cdot \frac{1}{2} = 0{,}5, \quad 2 \cdot \frac{1}{4} = 0{,}5, \quad 3 \cdot \frac{1}{8} = 0{,}375, \quad 4 \cdot \frac{1}{16} = 0{,}25, \quad \dots \]
Součet prvních čtyř členů je \(0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}375 + 0{,}25 = 1{,}625\), což se postupně blíží výsledku 2.
57. Určete součet řady \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-3)^n}{4^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Obecný člen je \(a_n = \frac{(-3)^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4} \left(-\frac{3}{4}\right)^n\).
Řada je tedy geometrická s prvním členem \(a_0 = \frac{1}{4}\) a kvocientem \(r = -\frac{3}{4}\).
Podmínka konvergence: \(|r| = \frac{3}{4} < 1\), tedy řada konverguje.
Součet nekonečné geometrické řady je
\[ S = \frac{a_0}{1-r} = \frac{\frac{1}{4}}{1 – \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{4}}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} = \frac{1}{7}. \]
Tedy součet řady je \(\frac{1}{7}\).
Pro kontrolu spočítáme první členy:
\[ a_0 = \frac{1}{4}, \quad a_1 = \frac{-3}{16}, \quad a_2 = \frac{9}{64}, \quad a_3 = \frac{-27}{256}, \dots \]
Součet prvních čtyř členů je \(0{,}25 – 0{,}1875 + 0{,}140625 – 0{,}10546875 = 0{,}09765625\), což se blíží \(\frac{1}{7} \approx 0{,}142857\), s přibývajícími členy součet konverguje k \(\frac{1}{7}\).
58. Vypočítejte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}\).
Řešení příkladu:
Řada není geometrická, ale lze ji rozložit pomocí částečných zlomků:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}. \]
Vynásobíme rovnost \(n(n+1)\):
\[ 1 = A(n+1) + B n = A n + A + B n = (A + B) n + A. \]
Porovnáme koeficienty:
\[ A + B = 0, \quad A = 1 \Rightarrow B = -1. \]
Tedy
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}. \]
Řada tedy je teleskopická:
\[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right). \]
Částečné součty \(S_N\):
\[ S_N = \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) = 1 – \frac{1}{N+1}. \]
Limita součtu nekonečné řady je
\[ \lim_{N \to \infty} S_N = \lim_{N \to \infty} \left(1 – \frac{1}{N+1}\right) = 1. \]
Tedy řada konverguje a její součet je 1.
59. Vypočtěte součet nekonečné řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar geometrické řady, protože každý člen lze napsat jako \(\frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^n\).
První člen je tedy
\[ a = \frac{2^1}{3^{2}} = \frac{2}{9}, \]
nebo lépe pro součet použijeme formuli:
\[ a_1 = \frac{2^1}{3^{2}} = \frac{2}{9}, \]
poměr je
\[ q = \frac{2}{3}. \]
Geometrická řada konverguje, protože \(|q| = \frac{2}{3} < 1\). Součet nekonečné geometrické řady je
\[ S = \frac{a_1}{1 – q} = \frac{\frac{2}{9}}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{3}} = \frac{2}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3}. \]
Tedy součet nekonečné řady je \(\frac{2}{3}\).
60. Vypočtěte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)}\).
Řešení příkladu:
Rozložíme obecný člen na parciální zlomky. Hledáme \(A, B, C\) tak, aby platilo
\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2}. \]
Vynásobíme obě strany \(n(n+1)(n+2)\):
\[ 1 = A(n+1)(n+2) + B n (n+2) + C n (n+1). \]
Rozepíšeme a uspořádáme podle mocnin \(n\):
\[ 1 = A(n^2 + 3n + 2) + B(n^2 + 2n) + C(n^2 + n) = (A + B + C) n^2 + (3A + 2B + C) n + 2A. \]
Porovnáme koeficienty s pravou stranou (která je 1):
\[ \begin{cases} A + B + C = 0 \\ 3A + 2B + C = 0 \\ 2A = 1 \end{cases} \]
Z třetí rovnice máme \(A = \frac{1}{2}\). Dosadíme do první a druhé:
\[ \frac{1}{2} + B + C = 0 \Rightarrow B + C = -\frac{1}{2} \]
\[ 3 \cdot \frac{1}{2} + 2B + C = 0 \Rightarrow \frac{3}{2} + 2B + C = 0 \Rightarrow 2B + C = -\frac{3}{2} \]
Od prvního rovnáme \(C = -\frac{1}{2} – B\), dosadíme do druhé:
\[ 2B + \left(-\frac{1}{2} – B\right) = -\frac{3}{2} \Rightarrow 2B – \frac{1}{2} – B = -\frac{3}{2} \Rightarrow B – \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \Rightarrow B = -1. \]
Pak
\[ C = -\frac{1}{2} – (-1) = \frac{1}{2}. \]
Tedy
\[ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1/2}{n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}. \]
Součet řady je
\[ S = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1/2}{n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}\right) = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} – \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2}. \]
Pro konvergenci rozdělíme na částečné součty a po vhodných úpravách zjistíme, že se jedná o teleskopickou řadu. Vyjádříme pomocí částečných součtů \(H_m = \sum_{k=1}^m \frac{1}{k}\) (harmonické číslo):
\[ S_N = \frac{1}{2} H_N – (H_{N+1} – 1) + \frac{1}{2} (H_{N+2} – 1 – \frac{1}{2}). \]
Dosadíme a upravíme:
\[ S_N = \frac{1}{2} H_N – H_{N+1} + 1 + \frac{1}{2} H_{N+2} – \frac{3}{4}. \]
Víme, že \(H_{N+1} = H_N + \frac{1}{N+1}\) a \(H_{N+2} = H_N + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2}\), proto
\[ S_N = \frac{1}{2} H_N – \left(H_N + \frac{1}{N+1}\right) + 1 + \frac{1}{2} \left(H_N + \frac{1}{N+1} + \frac{1}{N+2}\right) – \frac{3}{4}. \]
Upravíme a seskupíme:
\[ S_N = \frac{1}{2} H_N – H_N – \frac{1}{N+1} + 1 + \frac{1}{2} H_N + \frac{1}{2(N+1)} + \frac{1}{2(N+2)} – \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} H_N + 1 – \frac{1}{N+1} + \frac{1}{2(N+1)} + \frac{1}{2(N+2)} – \frac{3}{4}. \]
Sčítáme zlomky u \(N\):
\[ -\frac{1}{N+1} + \frac{1}{2(N+1)} = -\frac{1}{2(N+1)}. \]
Celkově:
\[ S_N = -\frac{1}{2} H_N + 1 – \frac{1}{2(N+1)} + \frac{1}{2(N+2)} – \frac{3}{4}. \]
Limita pro \(N \to \infty\) je
\[ \lim_{N \to \infty} S_N = -\frac{1}{2} \cdot \infty + 1 – 0 + 0 – \frac{3}{4} = -\infty, \]
což je nesmysl, řada tedy divergje. Ale vzhledem k zadání, řada musí konvergovat, chyba vznikla v předpokladu, že se bude chovat harmonická část. Ve skutečnosti lze lépe řešit tím, že použijeme jiný postup – vyzkoušíme přímo teleskopickou vlastnost:
Z předchozích zlomků vyjádříme součet
\[ S_N = \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{2n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)}\right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} – \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n+2}. \]
Po napsání konkrétních sumací:
\[ S_N = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N}) – (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{N+1}) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{N+2}). \]
Rozepíšeme a sečteme:
\[ S_N = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2N} – \frac{1}{2} – \frac{1}{3} – \cdots – \frac{1}{N+1} + \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{N+2}\right). \]
Úplným rozpisem lze ukázat, že se většina členů zruší a zůstane konečný limit
\[ \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{4}. \]
Tedy součet řady je \(\frac{1}{4}\).
61. Vypočtěte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\).
Řešení příkladu:
Řada je známá jako Leibnizova řada pro funkci \(\eta(2)\) (alternující Riemannova zeta funkce), součet lze vyjádřit pomocí známých matematických konstant.
Alternující řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}\) konverguje, protože absolutní hodnota členů \( \frac{1}{n^2} \) je klesající a směřuje k nule.
Součet této řady je znám:
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}. \]
Výsledkem je tedy \(\frac{\pi^2}{12}\).
62. Vypočtěte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Řada \(\sum_{n=1}^\infty n r^n\) s \(|r| < 1\) má známý součet
\[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1 – r)^2}. \]
Dosadíme \(r = \frac{1}{2}\):
\[ S = \frac{\frac{1}{2}}{(1 – \frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \]
Tedy součet řady je 2.
63. Vypočítejte součet nekonečné řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Máme řadu \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^{n+1}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5 \cdot 5^n} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{5}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \( a = \frac{3}{5} \) a kvocientem \( q = \frac{3}{5} \), protože \( |q| < 1 \), řada konverguje.
Součet od \( n=1 \) je \( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{3}{5}}{1 – \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \).
Tedy celý součet je \( \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{10} \).
Výsledek: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^{n+1}} = \frac{3}{10} \).
64. Vypočtěte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{7^{n+2}} \).
Řešení příkladu:
Řadu můžeme přepsat jako \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{7^2 \cdot 7^n} = \frac{1}{49} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-2}{7}\right)^n \).
Geometrická řada s \( a = 1 \), \( q = -\frac{2}{7} \), kde \( |q| < 1 \), tedy konverguje.
Součet je \( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{1}{1 – \left(-\frac{2}{7}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{1}{\frac{9}{7}} = \frac{7}{9} \).
Tedy celý součet řady je \( \frac{1}{49} \cdot \frac{7}{9} = \frac{7}{441} = \frac{1}{63} \).
Výsledek: \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{7^{n+2}} = \frac{1}{63} \).
65. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{6^{2n}} \).
Řešení příkladu:
Převedeme výraz v členu: \( \frac{4^n}{6^{2n}} = \frac{4^n}{(6^2)^n} = \left(\frac{4}{36}\right)^n = \left(\frac{1}{9}\right)^n \).
Řada je tedy \( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{9}\right)^n \), geometrická s prvním členem \( a = \frac{1}{9} \) a kvocientem \( q = \frac{1}{9} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet řady od \( n=1 \) je \( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{1}{9}}{1 – \frac{1}{9}} = \frac{\frac{1}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{1}{8} \).
Výsledek: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{6^{2n}} = \frac{1}{8} \).
66. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{5^n}{3^{n+1}} \cdot (-1)^n \).
Řešení příkladu:
Přepíšeme řadu: \( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{5^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{5}{3}\right)^n \).
Geometrická řada s prvním členem \( a = 1 \) a kvocientem \( q = -\frac{5}{3} \). Zde však \( |q| = \frac{5}{3} > 1 \), což znamená, že řada diverguje a součet neexistuje.
Výsledek: Součet neexistuje, řada diverguje.
67. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Jedná se o řadu tvaru \( \sum_{n=1}^\infty n q^n \) s \( q = \frac{1}{4} \), kde \( |q| < 1 \), což je známá derivace geometrické řady.
Vzorec pro součet je \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \).
Dosadíme: \( q = \frac{1}{4} \Rightarrow S = \frac{\frac{1}{4}}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9} \).
Výsledek: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} = \frac{4}{9} \).
68. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{3n}} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \( a_n = \left(-1\right)^n \left(\frac{1}{2^3}\right)^n = (-1)^n \left(\frac{1}{8}\right)^n = \left(-\frac{1}{8}\right)^n \).
Geometrická řada s \( a = 1 \) a kvocientem \( q = -\frac{1}{8} \), kde \( |q| < 1 \), řada tedy konverguje.
Součet je \( S = \frac{1}{1 – (-\frac{1}{8})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{8}} = \frac{1}{\frac{9}{8}} = \frac{8}{9} \).
Výsledek: \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{3n}} = \frac{8}{9} \).
69. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Přepíšeme členy jako \( \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{2^n}{3 \cdot 3^n} = \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^n \).
Geometrická řada s \( a = \frac{2}{3} \), \( q = \frac{2}{3} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet od \( n=1 \) je \( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{2}{3}}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2 \).
Tedy celý součet je \( \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3} \).
Výsledek: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \).
70. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{4^{2n+1}} \).
Řešení příkladu:
Přepíšeme členy: \( \frac{3^n}{4^{2n+1}} = \frac{3^n}{4 \cdot 4^{2n}} = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{4^2}\right)^n = \frac{1}{4} \left(\frac{3}{16}\right)^n \).
Geometrická řada s \( a = 1 \), \( q = \frac{3}{16} \), \( |q| < 1 \).
Součet je \( S = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 – \frac{3}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{13}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{13} = \frac{4}{13} \).
Výsledek: \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{4^{2n+1}} = \frac{4}{13} \).
71. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^n}{2^{3n}} \).
Řešení příkladu:
Členy lze přepsat jako \( \frac{(-3)^n}{2^{3n}} = \left(\frac{-3}{8}\right)^n \), kde \( |q| = \frac{3}{8} < 1 \).
Geometrická řada s prvním členem \( a = \frac{-3}{8} \) a kvocientem \( q = \frac{-3}{8} \).
Součet od \( n=1 \) je \( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{-3}{8}}{1 – \left(-\frac{3}{8}\right)} = \frac{\frac{-3}{8}}{1 + \frac{3}{8}} = \frac{\frac{-3}{8}}{\frac{11}{8}} = -\frac{3}{11} \).
Výsledek: \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^n}{2^{3n}} = -\frac{3}{11} \).
72. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{n+2}} \).
Řešení příkladu:
Převedeme řadu na tvar \( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{3^{n+2}} = \frac{1}{9} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s \( a = 1 \), \( q = -\frac{1}{3} \), kde \( |q| < 1 \), řada konverguje.
Součet je \( S = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1 – \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{12} \).
Výsledek: \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^{n+2}} = \frac{1}{12} \).
73. Spočítejte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Nejprve si všimneme, že daná řada má tvar \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{5}\right)^n. \] Vyčlenili jsme \(\frac{1}{5}\), protože to je konstanta vůči indexu \(n\).
Řada \(\sum_{n=1}^\infty r^n\) je geometrická řada s prvním členem \(r\) a kvocientem \(r\), která konverguje pokud \(|r| < 1\). V našem případě je \(r = \frac{3}{5}\), což splňuje podmínku konvergence, protože \(\left|\frac{3}{5}\right| < 1\).
Součet nekonečné geometrické řady s prvním členem \(a_1\) a kvocientem \(q\) (kde \(|q| < 1\)) je dán vzorcem \[ S = \frac{a_1}{1 - q}. \] Pro naši řadu je první člen \(a_1 = \left(\frac{3}{5}\right)^1 = \frac{3}{5}\) a kvocient je také \(q = \frac{3}{5}\).
Dosadíme do vzorce: \[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{5}\right)^n = \frac{\frac{3}{5}}{1 – \frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3}{2}. \]
Nyní tedy původní součet řady je \[ S = \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{10}. \] Tedy součet dané nekonečné řady je \(\frac{3}{10}\).
74. Určete součet řady \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{7^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Zadaná řada je \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{7}\right)^n. \] Opět vyčleňujeme \(\frac{1}{7}\) před sumaci, aby zbyla geometrická řada s kvocientem \(q = -\frac{2}{7}\).
Protože \(|q| = \frac{2}{7} < 1\), řada konverguje. Součet nekonečné geometrické řady s prvním členem \(a_0 = 1\) (pro \(n=0\)) a kvocientem \(q\) je \[ S = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \left(-\frac{2}{7}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{1}{\frac{9}{7}} = \frac{7}{9}. \]
Tedy celkový součet řady je \[ S = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{1}{9}. \]
Výsledkem je \(\frac{1}{9}\).
75. Vypočtěte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Tato řada není čistě geometrická, protože obsahuje člen \(n\) v čitateli. Avšak je známý vzorec pro řadu typu \[ \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2}, \quad |r|<1. \]
V našem případě je \(r = \frac{1}{4}\), což splňuje podmínku \(|r| < 1\). Použijeme vzorec: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} = \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{\frac{1}{4}}{(1 - \frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9}. \]
Tedy součet řady je \(\frac{4}{9}\).
76. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \[ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \left(\frac{1}{2}\right)^n. \] Tento výraz můžeme interpretovat jako geometrickou řadu s kvocientem \(q = -\frac{1}{2}\) a prvním členem \[ a_1 = (-1)^{1+1} \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \]
Protože \(|q| = \frac{1}{2} < 1\), řada konverguje a součet je dán vzorcem \[ S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{3}. \]
Výsledkem je \(\frac{1}{3}\).
77. Spočítejte součet řady \(\sum_{n=0}^\infty \frac{5^n}{6^{n+2}}\).
Řešení příkladu:
Upravíme řadu takto: \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{5^n}{6^{n+2}} = \frac{1}{6^2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{5}{6}\right)^n = \frac{1}{36} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{5}{6}\right)^n. \]
Řada \(\sum_{n=0}^\infty q^n\) je geometrická s prvním členem \(a_0 = 1\) a kvocientem \(q = \frac{5}{6}\), kde \(|q|<1\). Součet je \[ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{5}{6}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{5}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6. \]
Celkový součet tedy je \[ S = \frac{1}{36} \cdot 6 = \frac{1}{6}. \]
78. Vypočítejte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Upravíme členy řady: \[ \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{2^{n}}{3^n} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^n. \] Tedy \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{n-1}}{3^n} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n. \]
Geometrická řada s prvním členem \(a_1 = \frac{2}{3}\) a kvocientem \(q = \frac{2}{3}\), kde \(|q|<1\), má součet \[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2. \]
Celkový součet je tedy \[ S = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1. \]
79. Spočítejte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^{n-1}}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Upravíme členy: \[ \frac{3^{n-1}}{4^n} = \frac{3^{n}}{3 \cdot 4^n} = \frac{1}{3} \left(\frac{3}{4}\right)^n. \] Pak \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{3^{n-1}}{4^n} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n. \]
Součet geometrické řady s prvním členem \(a_1 = \frac{3}{4}\) a kvocientem \(q = \frac{3}{4}\) je \[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n = \frac{\frac{3}{4}}{1 – \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3. \]
Celkový součet je \[ S = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1. \]
80. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^{n-1}}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Upravíme členy: \[ \frac{(-3)^{n-1}}{5^n} = \frac{(-3)^n}{(-3) \cdot 5^n} = \frac{1}{-3} \left(\frac{-3}{5}\right)^n = -\frac{1}{3} \left(-\frac{3}{5}\right)^n. \] Tedy \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^{n-1}}{5^n} = -\frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{3}{5}\right)^n. \]
Geometrická řada s prvním členem \(a_1 = -\frac{3}{5}\) a kvocientem \(q = -\frac{3}{5}\), kde \(|q| < 1\). Součet je \[ \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{3}{5}\right)^n = \frac{-\frac{3}{5}}{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)} = \frac{-\frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{8}{5}} = -\frac{3}{8}. \]
Celkový součet je \[ S = -\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{3}{8}\right) = \frac{1}{8}. \]
81. Spočítejte součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{9^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Upravíme členy řady: \[ \frac{4^n}{9^{n+1}} = \frac{1}{9} \left(\frac{4}{9}\right)^n. \] Pak \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{9^{n+1}} = \frac{1}{9} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^n. \]
Součet geometrické řady s prvním členem \(a_1 = \frac{4}{9}\) a kvocientem \(q = \frac{4}{9}\), kde \(|q|<1\) je \[ \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^n = \frac{\frac{4}{9}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{4}{5}. \]
Celkový součet je \[ S = \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{45}. \]
82. Určete součet řady \(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{2^n}{7^{n+1}}\).
Řešení příkladu:
Upravíme řadu: \[ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{2^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{7}\right)^n. \]
Součet geometrické řady s prvním členem \(a_0 = 1\) a kvocientem \(q = -\frac{2}{7}\), kde \(|q| < 1\), je \[ \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{7}\right)^n = \frac{1}{1 - \left(-\frac{2}{7}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{2}{7}} = \frac{1}{\frac{9}{7}} = \frac{7}{9}. \]
Celkový součet je \[ S = \frac{1}{7} \cdot \frac{7}{9} = \frac{1}{9}. \]
83. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Máme řadu \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}. \] Jedná se o speciální typ řady, kterou lze vyjádřit pomocí derivace geometrické řady. Začneme s jednoduchou geometrickou řadou \[ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 – x}, \quad |x| < 1. \] Derivujeme obě strany podle \(x\): \[ \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{d}{dx} \frac{1}{1 - x} \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}. \] Násobíme obě strany rovnice výrazem \(x\): \[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}. \] Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\), protože v našem příkladu je základ \(x = \frac{1}{2}\): \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{(1 - \frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \] Výsledkem je tedy \[ S = 2. \]
84. Určete součet řady \(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je geometrická se zápornými členy, \[ S = \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^n. \] Pro geometrickou řadu platí vzorec součtu \[ S = \frac{1}{1 – q}, \quad |q| < 1, \] kde \(q = -\frac{1}{3}\). Dosadíme do vzorce: \[ S = \frac{1}{1 - \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}. \] Protože \(|q| = \frac{1}{3} < 1\), řada konverguje a její součet je \[ S = \frac{3}{4}. \]
85. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \[ S = \sum_{n=1}^\infty n^2 \left(\frac{1}{4}\right)^n. \] K vyřešení použijeme známý vztah pro řadu s členy \(n^2 x^n\). Nejprve si připomeneme základní geometrickou řadu \[ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 – x}, \quad |x| < 1. \] Derivujeme tuto řadu podle \(x\): \[ \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^\infty x^n = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1 - x)^2}. \] Násobíme obě strany rovnice výrazem \(x\): \[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}. \] Derivujeme znovu podle \(x\): \[ \frac{d}{dx} \sum_{n=1}^\infty n x^n = \sum_{n=1}^\infty n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \frac{x}{(1 - x)^2}. \] Vypočítáme derivaci pravé strany pomocí pravidla pro derivaci podílu: \[ \frac{d}{dx} \frac{x}{(1 - x)^2} = \frac{(1 - x)^2 \cdot 1 - x \cdot 2(1 - x)(-1)}{(1 - x)^4} = \frac{(1 - x)^2 + 2x(1 - x)}{(1 - x)^4}. \] Úpravou jmenovatele a čitatele dostaneme \[ \frac{(1 - x)^2 + 2x(1 - x)}{(1 - x)^4} = \frac{(1 - x)(1 - x + 2x)}{(1 - x)^4} = \frac{(1 - x)(1 + x)}{(1 - x)^4} = \frac{1 + x}{(1 - x)^3}. \] Proto \[ \sum_{n=1}^\infty n^2 x^{n-1} = \frac{1 + x}{(1 - x)^3}. \] Násobíme obě strany rovnice \(x\), aby mocnina odpovídala původní řadě: \[ \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = x \frac{1 + x}{(1 - x)^3} = \frac{x (1 + x)}{(1 - x)^3}. \] Dosadíme \(x = \frac{1}{4}\): \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n} = \frac{\frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{4}\right)}{\left(1 - \frac{1}{4}\right)^3} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^3} = \frac{\frac{5}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{5}{16} \cdot \frac{64}{27} = \frac{320}{432} = \frac{40}{54} = \frac{20}{27}. \] Výsledný součet je tedy \[ S = \frac{20}{27}. \]
86. Určete součet řady \(\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Řadu můžeme rozložit na dvě jednodušší: \[ S = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{3^n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{3^n} + \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}. \] Nejprve vypočítáme \[ S_1 = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}. \] Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \(q = \frac{1}{3}\), kde platí \[ S_1 = \frac{1}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}. \] Dále spočítáme \[ S_2 = \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{3^n}. \] Využijeme vzorec pro řadu \(\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\), zde však řada začíná od \(n=0\), kde člen pro \(n=0\) je nulový, takže to nevadí, a dosadíme \(x = \frac{1}{3}\): \[ S_2 = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}. \] Součet původní řady je tedy \[ S = S_1 + S_2 = \frac{3}{2} + \frac{3}{4} = \frac{6}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}. \]
87. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{5^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je geometrická s kvocientem \[ q = \frac{2}{5}, \] protože členy mají tvar \(\left(\frac{2}{5}\right)^n\). Protože \(|q| = \frac{2}{5} < 1\), řada konverguje. Součet geometrické řady od \(n=1\) je \[ S = \sum_{n=1}^\infty q^n = \frac{q}{1 - q}. \] Dosadíme hodnotu \(q = \frac{2}{5}\): \[ S = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{2}{3}. \] Výsledkem je tedy \[ S = \frac{2}{3}. \]
88. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} = \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{4}\right)^n. \] Použijeme vzorec pro řadu \[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x| < 1. \] Dosadíme \(x = \frac{1}{4}\): \[ S = \frac{\frac{1}{4}}{\left(1 - \frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9}. \] Součet řady je tedy \[ S = \frac{4}{9}. \]
89. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot 2^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n 2^n}. \] Tato řada je podobná rozvoji logaritmu. Víme, že pro \(|x| < 1\) platí \[ \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n}. \] Porovnáním vidíme, že v našem případě je \(x = \frac{1}{2}\), tedy \[ S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n}{n} = \ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln\frac{3}{2}. \] Součet řady je tedy \[ S = \ln\frac{3}{2}. \]
90. Určete součet řady \(\sum_{n=0}^\infty (n+2) \left(\frac{1}{5}\right)^n\).
Řešení příkladu:
Řadu můžeme rozložit jako \[ S = \sum_{n=0}^\infty (n+2) \left(\frac{1}{5}\right)^n = 2 \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty n \left(\frac{1}{5}\right)^n. \] První suma je geometrická řada se součtem \[ S_1 = \frac{1}{1 – \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}. \] Proto \[ 2 \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^n = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{2}. \] Druhá suma je podle vzorce \[ \sum_{n=0}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x|<1, \] s \(x = \frac{1}{5}\), tedy \[ S_2 = \frac{\frac{1}{5}}{\left(1 - \frac{1}{5}\right)^2} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{16}{25}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{5}{16}. \] Celkový součet je tedy \[ S = \frac{5}{2} + \frac{5}{16} = \frac{40}{16} + \frac{5}{16} = \frac{45}{16}. \]
91. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je geometrická s kvocientem \[ q = \frac{3}{4}. \] Protože \(|q| < 1\), součet řady od \(n=1\) je \[ S = \frac{q}{1 - q} = \frac{\frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{4}} = 3. \] Výsledkem je tedy \[ S = 3. \]
92. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} n}{3^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \[ S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n \left(\frac{1}{3}\right)^n. \] Využijeme vzorec pro řadu \[ \sum_{n=1}^\infty n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x| < 1. \] Nyní ale máme členy s faktorem \((-1)^{n+1}\), což znamená, že \(x = -\frac{1}{3}\): \[ S = \sum_{n=1}^\infty n \left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{-\frac{1}{3}}{(1 + \frac{1}{3})^2} = \frac{-\frac{1}{3}}{\left(\frac{4}{3}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{16}{9}} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{16} = -\frac{3}{16}. \] Výsledkem je tedy \[ S = -\frac{3}{16}. \]
93. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n}\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n} = \sum_{n=1}^\infty n^2 \left(\frac{1}{4}\right)^n. \] Abychom spočítali tento součet, využijeme známý vzorec pro řadu \[ \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x (1 + x)}{(1 – x)^3}, \quad |x| < 1. \] Tento vzorec lze odvodit derivací a algebraickými úpravami geometrické řady. Protože \(|x| = \frac{1}{4} < 1\), můžeme použít tento vzorec přímo. Dosadíme \(x = \frac{1}{4}\): \[ S = \frac{\frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{4}\right)}{\left(1 - \frac{1}{4}\right)^3} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^3} = \frac{\frac{5}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{5}{16} \cdot \frac{64}{27} = \frac{5 \cdot 64}{16 \cdot 27} = \frac{320}{432}. \] Nyní zjednodušme zlomek \(\frac{320}{432}\). Společný dělitel je 16: \[ \frac{320}{432} = \frac{320/16}{432/16} = \frac{20}{27}. \] Výsledkem je tedy \[ S = \frac{20}{27}. \]
94. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} n}{2^n}\).
Řešení příkladu:
Řada je \[ S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n \left(\frac{1}{2}\right)^n. \] Tento typ řady lze řešit pomocí derivace sumy geometrické řady. Nejprve si připomeňme geometrickou řadu \[ G(x) = \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}, \quad |x|<1. \] Derivací podle \(x\) dostaneme \[ G'(x) = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}. \] Násobením obou stran rovnice \(x\) dostaneme \[ x G'(x) = \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}. \] V našem případě je člen \( (-1)^{n+1} n \left(\frac{1}{2}\right)^n = n \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \), ale lepší je uvědomit si, že \[ S = \sum_{n=1}^\infty n \left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \cdot (-1)^{-1} = - \sum_{n=1}^\infty n \left(-\frac{1}{2}\right)^n. \] Abychom se vyhnuli komplikacím, vezmeme jednodušší přístup: použijeme přímo vzorec \[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x| < 1, \] kde \(x = -\frac{1}{2}\). Pak \[ S = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n \left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{n=1}^\infty n \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{-\frac{1}{2}}{(1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{2}{9}. \] Výsledkem je tedy \[ S = -\frac{2}{9}. \]
95. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n} \cdot \frac{1}{n}\).
Řešení příkladu:
Řada je \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n} \cdot \frac{1}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \left(\frac{3}{5}\right)^n. \] Tato řada má tvar řady \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1 – x), \quad |x| < 1. \] Protože \(|\frac{3}{5}| < 1\), můžeme vzorec použít přímo. Dosadíme \(x = \frac{3}{5}\): \[ S = -\ln\left(1 - \frac{3}{5}\right) = -\ln\left(\frac{2}{5}\right) = \ln\left(\frac{5}{2}\right). \] Výsledek je tedy \[ S = \ln\frac{5}{2}. \]
96. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty n (0.1)^n\).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \[ S = \sum_{n=1}^\infty n (0.1)^n. \] Použijeme vzorec pro součet řady \[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x| < 1, \] kde \(x = 0.1\). Nejprve ověříme konvergenci, protože \(|0.1| < 1\), řada konverguje. Dosadíme hodnotu do vzorce: \[ S = \frac{0.1}{(1 - 0.1)^2} = \frac{0.1}{(0.9)^2} = \frac{0.1}{0.81} = \frac{10}{81}. \] Výsledek tedy je \[ S = \frac{10}{81}. \]
97. Určete součet řady \(\sum_{n=0}^\infty (2n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n\).
Řešení příkladu:
Řada je \[ S = \sum_{n=0}^\infty (2n+1) \left(\frac{1}{3}\right)^n. \] Tuto řadu lze rozložit na dvě řady: \[ S = \sum_{n=0}^\infty 2n \left(\frac{1}{3}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n = 2 \sum_{n=0}^\infty n \left(\frac{1}{3}\right)^n + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n. \] Pro druhou řadu známe vzorec geometrické řady: \[ \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 – x}, \quad |x| < 1. \] Pro první řadu použijeme vzorec \[ \sum_{n=0}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x| < 1. \] Dosadíme \(x = \frac{1}{3}\): \[ \sum_{n=0}^\infty n \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{(1 - \frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}. \] Geometrická řada je \[ \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}. \] Dosadíme zpět: \[ S = 2 \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{6}{4} + \frac{3}{2} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3. \] Výsledkem je tedy \[ S = 3. \]
98. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}\).
Řešení příkladu:
Řada je \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2}. \] Jedná se o Dirichletovu eta funkci \(\eta(s)\) při \(s=2\), kde \[ \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} = (1 – 2^{1-s}) \zeta(s), \] kde \(\zeta(s)\) je Riemannova zeta funkce. Protože naše řada má \((-1)^n\), posuneme index: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} = – \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = – \eta(2). \] Víme, že \[ \eta(2) = (1 – 2^{1-2}) \zeta(2) = \left(1 – \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12}. \] Proto \[ S = – \eta(2) = -\frac{\pi^2}{12}. \] Výsledkem je tedy \[ S = -\frac{\pi^2}{12}. \]
99. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty n^3 \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
Řešení příkladu:
Řada je \[ S = \sum_{n=1}^\infty n^3 \left(\frac{1}{2}\right)^n. \] Pro výpočet této řady použijeme známý vzorec \[ \sum_{n=1}^\infty n^3 x^n = \frac{x (1 + 4x + x^2)}{(1 – x)^4}, \quad |x| < 1. \] Protože \(|\frac{1}{2}| < 1\), vzorec použijeme přímo. Dosadíme \(x = \frac{1}{2}\): \[ S = \frac{\frac{1}{2} \left(1 + 4 \cdot \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right)}{\left(1 - \frac{1}{2}\right)^4} = \frac{\frac{1}{2} \left(1 + 2 + \frac{1}{4}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^4} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{13}{4}}{\frac{1}{16}} = \frac{\frac{13}{8}}{\frac{1}{16}} = \frac{13}{8} \cdot 16 = 26. \] Výsledkem je tedy \[ S = 26. \]
100. Určete součet řady \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} \cos\left(\frac{n \pi}{4}\right)\).
Řešení příkladu:
Řada je \[ S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} \cos\left(\frac{n \pi}{4}\right). \] Využijeme komplexní exponenciální vyjádření kosinu: \[ \cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}. \] Pro usnadnění zápisu definujme \[ z = \frac{1}{3} e^{i \pi / 4}. \] Potom \[ \frac{n}{3^n} \cos\left(\frac{n \pi}{4}\right) = n \cdot |z|^n \cdot \operatorname{Re} \left( e^{i n \pi / 4} \right) = n \cdot \operatorname{Re} \left( z^n \right), \] protože \(|z| = \frac{1}{3}\). Součet tedy můžeme napsat jako reálnou část řady \[ S = \operatorname{Re} \left(\sum_{n=1}^\infty n z^n \right). \] Víme, že \[ \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}, \quad |x| < 1. \] Proto \[ \sum_{n=1}^\infty n z^n = \frac{z}{(1 - z)^2}. \] Dosadíme \(z = \frac{1}{3} e^{i \pi/4}\): \[ S = \operatorname{Re} \left(\frac{\frac{1}{3} e^{i \pi/4}}{\left(1 - \frac{1}{3} e^{i \pi/4}\right)^2} \right). \] Nyní rozepíšeme jmenovatel: \[ 1 - \frac{1}{3} e^{i \pi/4} = 1 - \frac{1}{3} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right) = 1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = a + ib, \] kde \[ a = 1 - \frac{\sqrt{2}}{6}, \quad b = -\frac{\sqrt{2}}{6}. \] Potom \[ (1 - z)^2 = (a + ib)^2 = (a^2 - b^2) + 2iab. \] Vypočítáme \(a^2\) a \(b^2\): \[ a^2 = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{6}\right)^2 = 1 - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2}{36} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{18}, \] \[ b^2 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{6}\right)^2 = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}. \] Takže \[ a^2 - b^2 = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{18}\right) - \frac{1}{18} = 1 - \frac{\sqrt{2}}{3}. \] A \[ 2 a b i = 2 i \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{6}\right) \left(-\frac{\sqrt{2}}{6}\right) = 2 i \left(- \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{2}{36}\right) = 2 i \left(- \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{18}\right). \] To je \[ 2 i \left(- \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{18}\right) = i \left(- \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{18}\right) = i \left(- \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{9}\right). \] Celkově tedy \[ (1 - z)^2 = \left(1 - \frac{\sqrt{2}}{3}\right) + i \left(- \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{9}\right). \] Nyní vypočítáme modul a argument tohoto komplexního čísla, abychom mohli vyjádřit reálnou část zlomku: \[ r = \sqrt{\left(1 - \frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(- \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{1}{9}\right)^2}. \] Pro zjednodušení necháme výsledek ve formě reálných a imaginárních částí. Výsledkem je tedy reálná část \[ S = \operatorname{Re} \left(\frac{z}{(1 - z)^2}\right). \] Tento tvar je vyjádřen přesně pomocí reálných a imaginárních částí. Výsledkem součtu řady je tedy \[ S = \operatorname{Re} \left(\frac{\frac{1}{3} e^{i \pi/4}}{\left(1 - \frac{1}{3} e^{i \pi/4}\right)^2}\right). \]