1. Ve výběrovém souboru \(8\) měření teplot v místnosti byly zaznamenány tyto hodnoty (ve °C): \(21, 22, 21, 23, 20, 22, 21, 24\). Spočítejte výběrovou směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme aritmetický průměr:
\( \bar{x} = \frac{21 + 22 + 21 + 23 + 20 + 22 + 21 + 24}{8} = \frac{174}{8} = 21.75 \)
Nyní spočítáme výběrovou směrodatnou odchylku:
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \)
Jednotlivé odchylky:
\( (21 – 21.75)^2 = 0.5625 \)
\( (22 – 21.75)^2 = 0.0625 \)
\( (21 – 21.75)^2 = 0.5625 \)
\( (23 – 21.75)^2 = 1.5625 \)
\( (20 – 21.75)^2 = 3.0625 \)
\( (22 – 21.75)^2 = 0.0625 \)
\( (21 – 21.75)^2 = 0.5625 \)
\( (24 – 21.75)^2 = 5.0625 \)
Součet čtverců odchylek: \( 0.5625 + 0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625 + 0.0625 + 0.5625 + 5.0625 = 11.5 \)
\( s = \sqrt{\frac{11.5}{7}} = \sqrt{1.642857} \approx 1.281 \)
Výběrová směrodatná odchylka je přibližně \( 1.281 \, \text{°C} \).
2. Měřením hmotnosti chemických vzorků byly získány hodnoty (v gramech): \(5.2, 5.3, 5.1, 5.0, 5.4, 5.2\). Určete směrodatnou odchylku pro tyto údaje jako odhad rozptylu v populaci.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{5.2 + 5.3 + 5.1 + 5.0 + 5.4 + 5.2}{6} = \frac{31.2}{6} = 5.2 \)
Jedná se o odhad směrodatné odchylky v populaci, použijeme tedy výběrový vzorec:
\( s = \sqrt{\frac{1}{n – 1} \sum (x_i – \bar{x})^2} \)
\( (5.2 – 5.2)^2 = 0 \)
\( (5.3 – 5.2)^2 = 0.01 \)
\( (5.1 – 5.2)^2 = 0.01 \)
\( (5.0 – 5.2)^2 = 0.04 \)
\( (5.4 – 5.2)^2 = 0.04 \)
\( (5.2 – 5.2)^2 = 0 \)
Součet: \( 0 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.04 + 0 = 0.10 \)
\( s = \sqrt{\frac{0.10}{5}} = \sqrt{0.02} \approx 0.141 \)
Směrodatná odchylka jako odhad pro populaci je přibližně \( 0.141 \, \text{g} \).
3. V průzkumu bylo zjištěno, že doba reakce na určitou podnětovou stimulaci je následující (v sekundách): \(0.35, 0.33, 0.40, 0.38, 0.39, 0.37, 0.35, 0.34\). Spočítejte výběrovou směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme aritmetický průměr:
\( \bar{x} = \frac{0.35 + 0.33 + 0.40 + 0.38 + 0.39 + 0.37 + 0.35 + 0.34}{8} = \frac{2.81}{8} = 0.35125 \)
Nyní spočítáme výběrovou směrodatnou odchylku:
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \)
Jednotlivé odchylky:
\( (0.35 – 0.35125)^2 = 0.00001225 \)
\( (0.33 – 0.35125)^2 = 0.00046225 \)
\( (0.40 – 0.35125)^2 = 0.00234825 \)
\( (0.38 – 0.35125)^2 = 0.00082625 \)
\( (0.39 – 0.35125)^2 = 0.00148625 \)
\( (0.37 – 0.35125)^2 = 0.00034525 \)
\( (0.35 – 0.35125)^2 = 0.00001225 \)
\( (0.34 – 0.35125)^2 = 0.00012625 \)
Součet čtverců odchylek: \( 0.00001225 + 0.00046225 + 0.00234825 + 0.00082625 + 0.00148625 + 0.00034525 + 0.00001225 + 0.00012625 = 0.005608 \)
\( s = \sqrt{\frac{0.005608}{7}} = \sqrt{0.00080057} \approx 0.0283 \)
Výběrová směrodatná odchylka je přibližně \( 0.0283 \, \text{s} \).
4. V laboratoři byly zaznamenány tyto hodnoty teploty vzorku (v °C): \(15.6, 15.8, 16.0, 15.9, 15.7, 15.5\). Spočítejte směrodatnou odchylku pro tento vzorek.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{15.6 + 15.8 + 16.0 + 15.9 + 15.7 + 15.5}{6} = \frac{94.5}{6} = 15.75 \)
Nyní spočítáme výběrovou směrodatnou odchylku:
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \)
Jednotlivé odchylky:
\( (15.6 – 15.75)^2 = 0.0225 \)
\( (15.8 – 15.75)^2 = 0.0025 \)
\( (16.0 – 15.75)^2 = 0.0625 \)
\( (15.9 – 15.75)^2 = 0.0225 \)
\( (15.7 – 15.75)^2 = 0.0025 \)
\( (15.5 – 15.75)^2 = 0.0625 \)
Součet čtverců odchylek: \( 0.0225 + 0.0025 + 0.0625 + 0.0225 + 0.0025 + 0.0625 = 0.175 \)
\( s = \sqrt{\frac{0.175}{5}} = \sqrt{0.035} \approx 0.187 \)
Výběrová směrodatná odchylka je přibližně \( 0.187 \, \text{°C} \).
5. Z výzkumu je známo, že doba potřebná k dokončení úkolu je následující (v minutách): \(23.4, 23.6, 23.5, 23.8, 23.2, 23.4\). Spočítejte směrodatnou odchylku pro tento vzorek.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{23.4 + 23.6 + 23.5 + 23.8 + 23.2 + 23.4}{6} = \frac{140.9}{6} = 23.48 \)
Nyní spočítáme výběrovou směrodatnou odchylku:
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \)
Jednotlivé odchylky:
\( (23.4 – 23.48)^2 = 0.0064 \)
\( (23.6 – 23.48)^2 = 0.0144 \)
\( (23.5 – 23.48)^2 = 0.0004 \)
\( (23.8 – 23.48)^2 = 0.1024 \)
\( (23.2 – 23.48)^2 = 0.0784 \)
\( (23.4 – 23.48)^2 = 0.0064 \)
Součet čtverců odchylek: \( 0.0064 + 0.0144 + 0.0004 + 0.1024 + 0.0784 + 0.0064 = 0.2084 \)
\( s = \sqrt{\frac{0.2084}{5}} = \sqrt{0.04168} \approx 0.204 \)
Výběrová směrodatná odchylka je přibližně \( 0.204 \, \text{min} \).
6. V testu IQ bylo naměřeno těchto šest výsledků: \(101, 103, 107, 110, 108, 102\). Spočítejte výběrovou směrodatnou odchylku pro tento vzorek.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{101 + 103 + 107 + 110 + 108 + 102}{6} = \frac{631}{6} = 105.17 \)
Nyní spočítáme výběrovou směrodatnou odchylku:
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \)
Jednotlivé odchylky:
\( (101 – 105.17)^2 = 17.3889 \)
\( (103 – 105.17)^2 = 4.6889 \)
\( (107 – 105.17)^2 = 3.3589 \)
\( (110 – 105.17)^2 = 23.7289 \)
\( (108 – 105.17)^2 = 7.9489 \)
\( (102 – 105.17)^2 = 10.0289 \)
Součet čtverců odchylek: \( 17.3889 + 4.6889 + 3.3589 + 23.7289 + 7.9489 + 10.0289 = 66.1434 \)
\( s = \sqrt{\frac{66.1434}{5}} = \sqrt{13.22868} \approx 3.64 \)
Výběrová směrodatná odchylka je přibližně \( 3.64 \, \text{bodů} \).
7. Změřili jsme délky \(6\) různých kovových tyčí (v cm): \(10.12, 10.05, 10.20, 10.15, 10.10, 10.08\). Vypočtěte výběrovou směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr:
\( \bar{x} = \frac{10.12 + 10.05 + 10.20 + 10.15 + 10.10 + 10.08}{6} = \frac{60.70}{6} \approx 10.1167 \)
Čtverce odchylek:
\( (10.12 – 10.1167)^2 \approx 0.000011 \)
\( (10.05 – 10.1167)^2 \approx 0.00445 \)
\( (10.20 – 10.1167)^2 \approx 0.00691 \)
\( (10.15 – 10.1167)^2 \approx 0.00111 \)
\( (10.10 – 10.1167)^2 \approx 0.00028 \)
\( (10.08 – 10.1167)^2 \approx 0.00136 \)
Součet: \( \approx 0.01422 \)
\( s = \sqrt{\frac{0.01422}{5}} = \sqrt{0.002844} \approx 0.0533\ \text{cm} \)
8. Ve statistickém průzkumu bylo zjištěno \(9\) hodnot intenzity světla (v lux): \( 300, 320, 310, 305, 315, 290, 330, 325, 295 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr:
\( \bar{x} = \frac{300+320+310+305+315+290+330+325+295}{9} = \frac{2890}{9} \approx 321.11 \)
Čtverce odchylek – několik příkladů:
\( (300-321.11)^2 \approx 445.7 \)
\( (320-321.11)^2 \approx 1.23 \)
\( (330-321.11)^2 \approx 78.9 \)
Součet všech devíti čtverců odchylek: \( \approx 1733.33 \)
\( s = \sqrt{\frac{1733.33}{8}} = \sqrt{216.67} \approx 14.72\ \text{lux} \)
9. Během měsíce student zaznamenal počet kroků každý den \((7\) dní\()\): \( 8000, 9500, 10000, 8700, 9200, 9800, 10500 \). Spočtěte směrodatnou odchylku počtu kroků.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr:
\( \bar{x} = \frac{8000+9500+10000+8700+9200+9800+10500}{7} = \frac{654 + 10^3}{7} ≈ 9399 \)
Čtverce odchylek – příklady:
\( (8000-9399)^2 = 1\,952\,201 \)
\( (10500-9399)^2 = 122\,521 \)
Součet: \( \approx 4\,132\,900 \)
\( s = \sqrt{\frac{4\,132\,900}{6}} ≈ \sqrt{688\,817} ≈ 830 \)
10. Laboratorní měření koncentrace roztoku (v mol/l) pro \(5\) vzorků: \( 0.102, 0.098, 0.105, 0.100, 0.103 \). Vypočtěte směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr:
\( \bar{x} = \frac{0.102+0.098+0.105+0.100+0.103}{5} = \frac{0.508}{5} = 0.1016 \)
Čtverce odchylek:
\( (0.102-0.1016)^2 = 0.00000016 \)
\( (0.105-0.1016)^2 = 0.00001156 \)
\( (0.098-0.1016)^2 = 0.00001296 \)
Součet: \( \approx 0.00002624 \)
\( s = \sqrt{\frac{0.00002624}{4}} = \sqrt{0.00000656} ≈ 0.00256\ \text{mol/l} \)
11. V testu z matematiky získali studenti tyto body \((\)z \(20)\): \( 18, 16, 17, 19, 15, 14, 20, 13, 17 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr:
\( \bar{x} = \frac{18+16+17+19+15+14+20+13+17}{9} = \frac{149}{9} ≈ 16.56 \)
Výpočet čtverců odchylek a jejich součet – \( \sum ≈ 32.22 \)
\( s = \sqrt{\frac{32.22}{8}} = \sqrt{4.0275} ≈ 2.0069\ \text{bodů} \)
12. V biologickém průzkumu naměřili výšku \(8\) jedinců \((\)v cm\()\): \( 152, 158, 150, 155, 160, 149, 162, 154 \). Vypočtěte směrodatnou odchylku výšky.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr:
\( \bar{x} = \frac{152+158+150+155+160+149+162+154}{8} = \frac{1240}{8} = 155 \)
Čtverce odchylek:
\( (152-155)^2 = 9 \)
\( (162-155)^2 = 49 \)
Součet: \( 9+…+25 = 196 \)
\( s = \sqrt{\frac{196}{7}} = \sqrt{28} ≈ 5.292 \text{cm} \)
13. Ve výzkumu lidského hlasu byla měřena frekvence tónu u \(7\) osob (v Hz): \( 220, 230, 225, 235, 215, 240, 228 \). Spočtěte směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr: \( \bar{x} ≈ 227.57 \)
Výpočet sumy čtverců odchylek ≈ 418.0
\( s = \sqrt{\frac{418.0}{6}} = \sqrt{69.67} ≈ 8.35\ \text{Hz} \)
14. Měření spotřeby elektřiny (v kWh) za týden pro \(6\) domů: \( 320, 295, 310, 300, 285, 330 \). Vypočtěte směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr: \( \bar{x} = 323.33 \)
Sum čtverců odchylek ≈ 1916.67
\( s = \sqrt{\frac{1916.67}{5}} = \sqrt{383.33} ≈ 19.58\ \text{kWh} \)
15. V psychologickém testu byla skóre \(8\) osob: \( 5, 7, 6, 8, 7, 5, 6, 9 \). Spočtěte směrodatnou odchylku výsledků.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr: \( \bar{x} = 6.625 \)
Sum čtverců odchylek ≈ 8.875
\( s = \sqrt{\frac{8.875}{7}} = \sqrt{1.268} ≈ 1.126\ \text{bodů} \)
16. V astronomii byla měřena jasnost hvězdy v magnitudách pro \(5\) nocí: \( 12.1, 12.3, 12.2, 12.25, 12.15 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr: \( \bar{x} = \frac{12.1+12.3+12.2+12.25+12.15}{5} = 12.2 \)
Čtverce odchylek:
\( (12.1-12.2)^2 = 0.01^2 = 0.0001 \)
\( (12.3-12.2)^2 = 0.0001 \)
\( (12.25-12.2)^2 = 0.0025 \)
\( (12.15-12.2)^2 = 0.0025 \)
Součet: \( 0.0001+0.0001+0.0025+0.0025 = 0.0052 \)
\( s = \sqrt{\frac{0.0052}{4}} = \sqrt{0.0013} ≈ 0.0361\ \text{mag} \)
17. Mějme soubor měření délky tyčí ve výrobním závodě: \( 98, 102, 101, 99, 100, 103, 97 \). Určete směrodatnou odchylku tohoto souboru.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Nejprve zjistíme počet prvků v souboru: \( n = 7 \).
2. Spočítáme aritmetický průměr:
\[
\bar{x} = \frac{98 + 102 + 101 + 99 + 100 + 103 + 97}{7} = \frac{700}{7} = 100
\]
3. Vypočteme jednotlivé kvadráty odchylek od průměru:
\[
(98 – 100)^2 = 4,\quad
(102 – 100)^2 = 4,\quad
(101 – 100)^2 = 1,\quad
(99 – 100)^2 = 1,
\]
\[
(100 – 100)^2 = 0,\quad
(103 – 100)^2 = 9,\quad
(97 – 100)^2 = 9
\]
4. Sečteme tyto kvadráty: \( 4 + 4 + 1 + 1 + 0 + 9 + 9 = 28 \)
5. Vypočteme rozptyl jako:
\[
s^2 = \frac{1}{n – 1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2 = \frac{28}{6} \approx 4.6667
\]
6. Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu:
\[
s = \sqrt{4.6667} \approx 2.1602
\]
Výsledná směrodatná odchylka je přibližně \( 2.16 \).
18. Ve firmě byla měřena doba zpracování dokumentu (v minutách) pro \(10\) různých případů: \( 12, 15, 14, 13, 16, 18, 17, 13, 14, 15 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Počet hodnot je \( n = 10 \).
2. Aritmetický průměr je:
\[
\bar{x} = \frac{12 + 15 + 14 + 13 + 16 + 18 + 17 + 13 + 14 + 15}{10} = \frac{147}{10} = 14.7
\]
3. Odchylky od průměru a jejich kvadráty:
\[
(12 – 14.7)^2 = 7.29,\quad
(15 – 14.7)^2 = 0.09,\quad
(14 – 14.7)^2 = 0.49,\quad
(13 – 14.7)^2 = 2.89,
\]
\[
(16 – 14.7)^2 = 1.69,\quad
(18 – 14.7)^2 = 10.89,\quad
(17 – 14.7)^2 = 5.29,\quad
(13 – 14.7)^2 = 2.89,
\]
\[
(14 – 14.7)^2 = 0.49,\quad
(15 – 14.7)^2 = 0.09
\]
4. Součet těchto kvadrátů je \( 32.1 \).
5. Rozptyl je:
\[
s^2 = \frac{32.1}{n – 1} = \frac{32.1}{9} \approx 3.5667
\]
6. Směrodatná odchylka je:
\[
s = \sqrt{3.5667} \approx 1.8886
\]
Výsledná směrodatná odchylka je přibližně \( 1.89 \).
19. V biologickém výzkumu byla zaznamenána hmotnost \(8\) vzorků organismů (v mg): \( 10.2, 10.5, 10.4, 10.8, 11.0, 9.8, 10.3, 10.6 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Počet měření je \( n = 8 \).
2. Průměr je:
\[
\bar{x} = \frac{10.2 + 10.5 + 10.4 + 10.8 + 11.0 + 9.8 + 10.3 + 10.6}{8} = \frac{83.6}{8} = 10.45
\]
3. Odchylky a jejich kvadráty:
\[
(10.2 – 10.45)^2 = 0.0625,\quad
(10.5 – 10.45)^2 = 0.0025,\quad
(10.4 – 10.45)^2 = 0.0025,\quad
(10.8 – 10.45)^2 = 0.1225,
\]
\[
(11.0 – 10.45)^2 = 0.3025,\quad
(9.8 – 10.45)^2 = 0.4225,\quad
(10.3 – 10.45)^2 = 0.0225,\quad
(10.6 – 10.45)^2 = 0.0225
\]
4. Součet kvadrátů: \( 0.96 \)
5. Rozptyl: \( s^2 = \frac{0.96}{7} \approx 0.1371 \)
6. Směrodatná odchylka:
\[
s = \sqrt{0.1371} \approx 0.3703
\]
Výsledná směrodatná odchylka je přibližně \( 0.37 \).
20. Měření tepové frekvence (bpm) u \(9\) osob: \( 72, 75, 78, 70, 74, 77, 73, 76, 71 \). Určete výběrovou směrodatnou odchylku s detailním výpočtem.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: počítáme n = 9.
Krok 2: spočteme průměr:
\(
\bar{x} = \frac{72 + 75 + 78 + 70 + 74 + 77 + 73 + 76 + 71}{9}
= \frac{666}{9} = 74
\)
Průměr je 74 bpm. Krok 3: spočteme odchylky a jejich čtverce:
\( 72 – 74 = -2 \Rightarrow 4 \)
\( 75 – 74 = 1 \Rightarrow 1 \)
\( 78 – 74 = 4 \Rightarrow 16 \)
\( 70 – 74 = -4 \Rightarrow 16 \)
\( 74 – 74 = 0 \Rightarrow 0 \)
\( 77 – 74 = 3 \Rightarrow 9 \)
\( 73 – 74 = -1 \Rightarrow 1 \)
\( 76 – 74 = 2 \Rightarrow 4 \)
\( 71 – 74 = -3 \Rightarrow 9 \)
Součet čtverců: \( 4+1+16+16+0+9+1+4+9 = 60 \).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{60}{9 – 1} = \frac{60}{8} = 7.5 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{7.5} \approx 2.7386 \) bpm.
Směrodatná odchylka tepové frekvence je přibližně \( 2.74 \) bpm.
21. Doba zpracování úkolů (v minutách) pro \(12\) pokusů: \( 15, 18, 20, 17, 16, 22, 19, 14, 21, 18, 17, 16 \). Určete výběrovou směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 12.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{15+18+20+17+16+22+19+14+21+18+17+16}{12}
= \frac{213}{12} = 17.75
\)
Krok 3: odchylky a čtverce:
\( 15 -17.75 = -2.75 \Rightarrow 7.5625 \)
\( 18 -17.75 = 0.25 \Rightarrow 0.0625 \)
\( 20 -17.75 = 2.25 \Rightarrow 5.0625 \)
\( 17 -17.75 = -0.75 \Rightarrow 0.5625 \)
\( 16 -17.75 = -1.75 \Rightarrow 3.0625 \)
\( 22 -17.75 = 4.25 \Rightarrow 18.0625 \)
\( 19 -17.75 = 1.25 \Rightarrow 1.5625 \)
\( 14 -17.75 = -3.75 \Rightarrow 14.0625 \)
\( 21 -17.75 = 3.25 \Rightarrow 10.5625 \)
\( 18 -17.75 = 0.25 \Rightarrow 0.0625 \)
\( 17 -17.75 = -0.75 \Rightarrow 0.5625 \)
\( 16 -17.75 = -1.75 \Rightarrow 3.0625 \)
Součet čtverců: \( 64.625 \).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{64.625}{11} \approx 5.875 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{5.875} \approx 2.424 \).
Směrodatná odchylka doby zpracování je přibližně \( 2.42 \) minuty.
22. Hmotnost \(7\) vzorků (v gramech): \( 0.512, 0.498, 0.505, 0.510, 0.500, 0.495, 0.508 \). Určete výběrovou směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 7.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{0.512+0.498+0.505+0.510+0.500+0.495+0.508}{7}
= \frac{3.528}{7} = 0.504
\)
Krok 3: odchylky a čtverce zaměříme na každou hodnotu:
\( 0.512-0.504 = 0.008 \Rightarrow 0.000064 \)
\( 0.498-0.504 = -0.006 \Rightarrow 0.000036 \)
\( 0.505-0.504 = 0.001 \Rightarrow 0.000001 \)
\( 0.510-0.504 = 0.006 \Rightarrow 0.000036 \)
\( 0.500-0.504 = -0.004 \Rightarrow 0.000016 \)
\( 0.495-0.504 = -0.009 \Rightarrow 0.000081 \)
\( 0.508-0.504 = 0.004 \Rightarrow 0.000016 \)
Součet: \( 0.000250 \).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{0.000250}{6} \approx 0.00004167 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{0.00004167} \approx 0.006455 \) g.
Hmotnostní rozptyl vzorků je přibližně \( 0.00646 \) g.
23. Výška \(8\) osob (cm): \( 172, 168, 175, 170, 174, 169, 173, 171 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 8.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{172+168+175+170+174+169+173+171}{8}
= \frac{1372}{8} = 171.5
\)
Krok 3: odchylky a čtverce pro každou hodnotu vypočteme přesně:
\( 172-171.5 = 0.5 \Rightarrow 0.25 \)
\( 168-171.5 = -3.5 \Rightarrow 12.25 \)
\( 175-171.5 = 3.5 \Rightarrow 12.25 \)
\( 170-171.5 = -1.5 \Rightarrow 2.25 \)
\( 174-171.5 = 2.5 \Rightarrow 6.25 \)
\( 169-171.5 = -2.5 \Rightarrow 6.25 \)
\( 173-171.5 = 1.5 \Rightarrow 2.25 \)
\( 171-171.5 = -0.5 \Rightarrow 0.25 \)
Součet: \( 42.0 \).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{42}{7} = 6 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{6} \approx 2.449 \) cm.
Výsledek je přibližně \( 2.45 \) cm.
24. Měření intenzity osvětlení (lux) v \(7\) bodech: \( 450, 470, 460, 480, 455, 465, 475 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 7.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{450+470+460+480+455+465+475}{7}
= \frac{3255}{7} = 465
\)
Krok 3: odchylky a čtverce:
\( 450-465 = -15 \Rightarrow 225 \)
\( 470-465 = 5 \Rightarrow 25 \)
\( 460-465 = -5 \Rightarrow 25 \)
\( 480-465 = 15 \Rightarrow 225 \)
\( 455-465 = -10 \Rightarrow 100 \)
\( 465-465 = 0 \Rightarrow 0 \)
\( 475-465 = 10 \Rightarrow 100 \)
Součet: \( 700 \).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{700}{6} \approx 116.667 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{116.667} \approx 10.803 \) lux.
25. Počet kroků během dne pro \(10\) měření: \( 8000, 8500, 9000, 7800, 8200, 8700, 8300, 8800, 8100, 8600 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 10.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{8000+8500+9000+7800+8200+8700+8300+8800+8100+8600}{10}
= \frac{83700}{10} = 8370
\)
Krok 3: spočteme odchylky a čtverce pro několik hodnot:
\( 8000-8370 = -370 \Rightarrow 136900 \)
\( 9000-8370 = 630 \Rightarrow 396900 \)
\( 7800-8370 = -570 \Rightarrow 324900 \)
Součet všech čtverců: \( 1\,893\,000 \) (detailně všechny hodnoty lze spočítat obdobně).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{1\,893\,000}{9} \approx 210\,333.33 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{210\,333.33} \approx 458.68 \) kroků.
26. Měření kofeinového obsahu v mg v \(6\) vzorcích: \( 95.2, 98.5, 96.3, 97.0, 95.8, 98.0 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 6.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{95.2+98.5+96.3+97.0+95.8+98.0}{6}
= \frac{580.8}{6} = 96.8
\)
Krok 3: odchylky a čtverce:
\( 95.2-96.8 = -1.6 \Rightarrow 2.56 \)
\( 98.5-96.8 = 1.7 \Rightarrow 2.89 \)
\( 96.3-96.8 = -0.5 \Rightarrow 0.25 \)
\( 97.0-96.8 = 0.2 \Rightarrow 0.04 \)
\( 95.8-96.8 = -1.0 \Rightarrow 1.00 \)
\( 98.0-96.8 = 1.2 \Rightarrow 1.44 \)
Součet: \( 8.18 \).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{8.18}{5} = 1.636 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{1.636} \approx 1.279 \) mg.
27. Měření koncentrace glukózy v krvi (mmol/l) u \(8\) osob: \( 5.1, 5.4, 5.3, 5.2, 5.5, 5.0, 5.6, 5.2 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 8.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{5.1+5.4+5.3+5.2+5.5+5.0+5.6+5.2}{8}
= \frac{42.3}{8} = 5.2875
\)
Krok 3: odchylky a čtverce:
\( 5.1-5.2875 = -0.1875 \Rightarrow 0.03516 \)
\( 5.4-5.2875 = 0.1125 \Rightarrow 0.01266 \)
\( 5.3-5.2875 = 0.0125 \Rightarrow 0.00016 \)
\( 5.2-5.2875 = -0.0875 \Rightarrow 0.00766 \)
\( 5.5-5.2875 = 0.2125 \Rightarrow 0.04516 \)
\( 5.0-5.2875 = -0.2875 \Rightarrow 0.08266 \)
\( 5.6-5.2875 = 0.3125 \Rightarrow 0.09766 \)
\( 5.2-5.2875 = -0.0875 \Rightarrow 0.00766 \)
Součet: \( 0.28866 \).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{0.28866}{7} \approx 0.04124 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{0.04124} \approx 0.203 \) mmol/l.
28. Doba dojezdu tramvaje (v minutách) u \(11\) spojů: \( 5, 7, 6, 8, 6, 7, 5, 9, 6, 7, 8 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 11.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{5+7+6+8+6+7+5+9+6+7+8}{11}
= \frac{74}{11} \approx 6.727
\)
Krok 3: vyčíslíme několik čtverců:
\( 5-6.727 = -1.727 \Rightarrow 2.983 \)
\( 7-6.727 = 0.273 \Rightarrow 0.075 \)
\( 9-6.727 = 2.273 \Rightarrow 5.169 \)
Součet celkem: \( 18.909 \) (detailně spočítány všechny hodnoty).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{18.909}{10} = 1.8909 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{1.8909} \approx 1.375 \) minuty.
29. Měření jasnosti hvězdy v magnitudách přes \(5\) nocí: \( 12.1, 12.3, 12.2, 12.25, 12.15 \). Určete směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Krok 1: n = 5.
Krok 2: průměr:
\(
\bar{x} = \frac{12.1+12.3+12.2+12.25+12.15}{5} = 12.2
\)
Krok 3: čtverce odchylek:
\( 12.1-12.2 = -0.1 \Rightarrow 0.01 \)
\( 12.3-12.2 = 0.1 \Rightarrow 0.01 \)
\( 12.25-12.2 = 0.05 \Rightarrow 0.0025 \)
\( 12.15-12.2 = -0.05 \Rightarrow 0.0025 \)
Součet: \( 0.01+0.01+0.0025+0.0025 = 0.025 \).
Krok 4: rozptyl \( s^2 = \frac{0.025}{4} = 0.00625 \).
Krok 5: směrodatná odchylka \( s = \sqrt{0.00625} = 0.07906 \) mag.
Směrodatná odchylka jasnosti je přibližně \( 0.079 \) mag.
30. V chemickém výzkumu bylo provedeno měření koncentrace určité látky ve vzorcích. Bylo zaznamenáno následujících \(7\) hodnot (v mg/l): \( 4.1, 3.9, 4.3, 4.0, 4.2, 4.0, 3.8 \). Spočítejte směrodatnou odchylku těchto měření.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve zjistíme aritmetický průměr:
\[
\bar{x} = \frac{4.1 + 3.9 + 4.3 + 4.0 + 4.2 + 4.0 + 3.8}{7} = \frac{28.3}{7} = 4.043
\]
Nyní určíme odchylku každé hodnoty od průměru a její druhou mocninu:
\( (4.1 – 4.043)^2 = 0.0032 \)
\( (3.9 – 4.043)^2 = 0.0204 \)
\( (4.3 – 4.043)^2 = 0.0663 \)
\( (4.0 – 4.043)^2 = 0.0018 \)
\( (4.2 – 4.043)^2 = 0.0246 \)
\( (4.0 – 4.043)^2 = 0.0018 \)
\( (3.8 – 4.043)^2 = 0.0590 \)
Součet čtverců odchylek je:
\[
S = 0.0032 + 0.0204 + 0.0663 + 0.0018 + 0.0246 + 0.0018 + 0.0590 = 0.1771
\]
Výběrová směrodatná odchylka se počítá podle vzorce:
\[
s = \sqrt{\frac{S}{n – 1}} = \sqrt{\frac{0.1771}{6}} \approx \sqrt{0.0295} \approx 0.1717
\]
Výsledná směrodatná odchylka je přibližně \( 0.172 \) mg/l.
31. Student provedl deset měření doby trvání fyziologického reflexu: \( 0.72, 0.75, 0.73, 0.74, 0.76, 0.78, 0.72, 0.71, 0.77, 0.74 \) (v sekundách). Určete výběrovou směrodatnou odchylku těchto hodnot.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Sečteme všech deset hodnot:
\[
\sum x_i = 0.72 + 0.75 + 0.73 + 0.74 + 0.76 + 0.78 + 0.72 + 0.71 + 0.77 + 0.74 = 7.42
\Rightarrow \bar{x} = \frac{7.42}{10} = 0.742
\]
Vypočítáme kvadráty odchylek od průměru:
\( (0.72 – 0.742)^2 = 0.000484 \)
\( (0.75 – 0.742)^2 = 0.000064 \)
\( (0.73 – 0.742)^2 = 0.000144 \)
\( (0.74 – 0.742)^2 = 0.000004 \)
\( (0.76 – 0.742)^2 = 0.000324 \)
\( (0.78 – 0.742)^2 = 0.001444 \)
\( (0.72 – 0.742)^2 = 0.000484 \)
\( (0.71 – 0.742)^2 = 0.001024 \)
\( (0.77 – 0.742)^2 = 0.000784 \)
\( (0.74 – 0.742)^2 = 0.000004 \)
Součet:
\[
S = 0.000484 + 0.000064 + 0.000144 + 0.000004 + 0.000324 + 0.001444 + 0.000484 + 0.001024 + 0.000784 + 0.000004 = 0.00476
\]
Směrodatná odchylka (výběrová):
\[
s = \sqrt{\frac{0.00476}{10 – 1}} = \sqrt{0.000529} \approx 0.023
\]
Směrodatná odchylka je tedy přibližně \( 0.023 \) s.
32. Určete směrodatnou odchylku výběru z následujících hodnot: \( 4, 8, 6, 5, 3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme aritmetický průměr (střední hodnotu) dat:
\( \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5{,}2 \)
Dále spočítáme odchylky jednotlivých hodnot od průměru:
\( 4 – 5{,}2 = -1{,}2 \)
\( 8 – 5{,}2 = 2{,}8 \)
\( 6 – 5{,}2 = 0{,}8 \)
\( 5 – 5{,}2 = -0{,}2 \)
\( 3 – 5{,}2 = -2{,}2 \)
Nyní spočítáme druhé mocniny těchto odchylek:
\( (-1{,}2)^2 = 1{,}44 \)
\( (2{,}8)^2 = 7{,}84 \)
\( (0{,}8)^2 = 0{,}64 \)
\( (-0{,}2)^2 = 0{,}04 \)
\( (-2{,}2)^2 = 4{,}84 \)
Součet druhých mocnin je:
\( 1{,}44 + 7{,}84 + 0{,}64 + 0{,}04 + 4{,}84 = 14{,}8 \)
Rozptyl výběru spočítáme jako průměr druhých mocnin odchylek, kde dělíme počtem hodnot minus jedna (korektivní faktor pro výběr):
\( s^2 = \frac{14{,}8}{5 – 1} = \frac{14{,}8}{4} = 3{,}7 \)
Směrodatná odchylka je druhá odmocnina rozptylu:
\( s = \sqrt{3{,}7} \approx 1{,}923 \)
Tedy směrodatná odchylka výběru je přibližně 1,923.
33. V měření délek byla naměřena následující data (v cm): \( 12, 15, 11, 14, 16, 15, 13 \). Spočítejte směrodatnou odchylku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme aritmetický průměr:
\( \bar{x} = \frac{12 + 15 + 11 + 14 + 16 + 15 + 13}{7} = \frac{96}{7} \approx 13{,}714 \)
Vypočítáme odchylky jednotlivých hodnot od průměru:
\( 12 – 13{,}714 = -1{,}714 \)
\( 15 – 13{,}714 = 1{,}286 \)
\( 11 – 13{,}714 = -2{,}714 \)
\( 14 – 13{,}714 = 0{,}286 \)
\( 16 – 13{,}714 = 2{,}286 \)
\( 15 – 13{,}714 = 1{,}286 \)
\( 13 – 13{,}714 = -0{,}714 \)
Vypočítáme druhé mocniny odchylek:
\( (-1{,}714)^2 = 2{,}938 \)
\( (1{,}286)^2 = 1{,}654 \)
\( (-2{,}714)^2 = 7{,}367 \)
\( (0{,}286)^2 = 0{,}082 \)
\( (2{,}286)^2 = 5{,}225 \)
\( (1{,}286)^2 = 1{,}654 \)
\( (-0{,}714)^2 = 0{,}510 \)
Sečteme druhé mocniny:
\( 2{,}938 + 1{,}654 + 7{,}367 + 0{,}082 + 5{,}225 + 1{,}654 + 0{,}510 = 19{,}43 \)
Rozptyl výběru:
\( s^2 = \frac{19{,}43}{7 – 1} = \frac{19{,}43}{6} \approx 3{,}238 \)
Směrodatná odchylka je:
\( s = \sqrt{3{,}238} \approx 1{,}799 \)
Směrodatná odchylka naměřených délek je přibližně 1,799 cm.
34. V tabulce jsou uvedeny příjmy (v tisících Kč) \(8\) zaměstnanců: \( 25, 30, 28, 22, 26, 27, 29, 31 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku příjmů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Spočítejme průměr příjmů:
\( \bar{x} = \frac{25 + 30 + 28 + 22 + 26 + 27 + 29 + 31}{8} = \frac{218}{8} = 27{,}25 \)
Odchylky jednotlivých příjmů od průměru:
\( 25 – 27{,}25 = -2{,}25 \)
\( 30 – 27{,}25 = 2{,}75 \)
\( 28 – 27{,}25 = 0{,}75 \)
\( 22 – 27{,}25 = -5{,}25 \)
\( 26 – 27{,}25 = -1{,}25 \)
\( 27 – 27{,}25 = -0{,}25 \)
\( 29 – 27{,}25 = 1{,}75 \)
\( 31 – 27{,}25 = 3{,}75 \)
Druhé mocniny odchylek:
\( (-2{,}25)^2 = 5{,}0625 \)
\( (2{,}75)^2 = 7{,}5625 \)
\( (0{,}75)^2 = 0{,}5625 \)
\( (-5{,}25)^2 = 27{,}5625 \)
\( (-1{,}25)^2 = 1{,}5625 \)
\( (-0{,}25)^2 = 0{,}0625 \)
\( (1{,}75)^2 = 3{,}0625 \)
\( (3{,}75)^2 = 14{,}0625 \)
Součet druhých mocnin:
\( 5{,}0625 + 7{,}5625 + 0{,}5625 + 27{,}5625 + 1{,}5625 + 0{,}0625 + 3{,}0625 + 14{,}0625 = 59{,}5 \)
Rozptyl výběru:
\( s^2 = \frac{59{,}5}{8 – 1} = \frac{59{,}5}{7} \approx 8{,}5 \)
Směrodatná odchylka je:
\( s = \sqrt{8{,}5} \approx 2{,}915 \)
Směrodatná odchylka příjmů je přibližně 2,915 tisíc Kč.
35. Měření teploty během \(6\) dnů (v °C) jsou: \( 20, 22, 19, 23, 21, 20 \). Určete směrodatnou odchylku těchto měření.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{20 + 22 + 19 + 23 + 21 + 20}{6} = \frac{125}{6} \approx 20{,}833 \)
Odchylky od průměru:
\( 20 – 20{,}833 = -0{,}833 \)
\( 22 – 20{,}833 = 1{,}167 \)
\( 19 – 20{,}833 = -1{,}833 \)
\( 23 – 20{,}833 = 2{,}167 \)
\( 21 – 20{,}833 = 0{,}167 \)
\( 20 – 20{,}833 = -0{,}833 \)
Druhé mocniny:
\( (-0{,}833)^2 = 0{,}694 \)
\( (1{,}167)^2 = 1{,}362 \)
\( (-1{,}833)^2 = 3{,}361 \)
\( (2{,}167)^2 = 4{,}696 \)
\( (0{,}167)^2 = 0{,}028 \)
\( (-0{,}833)^2 = 0{,}694 \)
Součet:
\( 0{,}694 + 1{,}362 + 3{,}361 + 4{,}696 + 0{,}028 + 0{,}694 = 10{,}835 \)
Rozptyl výběru:
\( s^2 = \frac{10{,}835}{6 – 1} = \frac{10{,}835}{5} = 2{,}167 \)
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{2{,}167} \approx 1{,}472 \)
Směrodatná odchylka teplot je přibližně 1,472 °C.
36. Uvažujte následující měření hmotnosti (v gramech): \( 150, 152, 149, 151, 153, 150 \). Spočítejte směrodatnou odchylku výběru.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Spočítáme průměr hmotností:
\( \bar{x} = \frac{150 + 152 + 149 + 151 + 153 + 150}{6} = \frac{905}{6} \approx 150{,}833 \)
Odchylky jednotlivých měření:
\( 150 – 150{,}833 = -0{,}833 \)
\( 152 – 150{,}833 = 1{,}167 \)
\( 149 – 150{,}833 = -1{,}833 \)
\( 151 – 150{,}833 = 0{,}167 \)
\( 153 – 150{,}833 = 2{,}167 \)
\( 150 – 150{,}833 = -0{,}833 \)
Druhé mocniny:
\( (-0{,}833)^2 = 0{,}694 \)
\( (1{,}167)^2 = 1{,}362 \)
\( (-1{,}833)^2 = 3{,}361 \)
\( (0{,}167)^2 = 0{,}028 \)
\( (2{,}167)^2 = 4{,}696 \)
\( (-0{,}833)^2 = 0{,}694 \)
Součet druhých mocnin:
\( 0{,}694 + 1{,}362 + 3{,}361 + 0{,}028 + 4{,}696 + 0{,}694 = 10{,}835 \)
Rozptyl výběru:
\( s^2 = \frac{10{,}835}{6 – 1} = \frac{10{,}835}{5} = 2{,}167 \)
Směrodatná odchylka je:
\( s = \sqrt{2{,}167} \approx 1{,}472 \)
Směrodatná odchylka hmotností je přibližně 1,472 g.
37. Měření doby běhu \(5\) km u \(7\) běžců (v minutách) jsou: \( 22, 25, 20, 24, 23, 26, 21 \). Spočítejte směrodatnou odchylku těchto časů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{22 + 25 + 20 + 24 + 23 + 26 + 21}{7} = \frac{161}{7} \approx 23{,}0 \)
Odchylky jednotlivých hodnot od průměru:
\( 22 – 23 = -1 \)
\( 25 – 23 = 2 \)
\( 20 – 23 = -3 \)
\( 24 – 23 = 1 \)
\( 23 – 23 = 0 \)
\( 26 – 23 = 3 \)
\( 21 – 23 = -2 \)
Druhé mocniny odchylek:
\( (-1)^2 = 1 \)
\( 2^2 = 4 \)
\( (-3)^2 = 9 \)
\( 1^2 = 1 \)
\( 0^2 = 0 \)
\( 3^2 = 9 \)
\( (-2)^2 = 4 \)
Součet druhých mocnin:
\( 1 + 4 + 9 + 1 + 0 + 9 + 4 = 28 \)
Výpočet rozptylu výběru:
\( s^2 = \frac{28}{7 – 1} = \frac{28}{6} \approx 4{,}667 \)
Směrodatná odchylka je:
\( s = \sqrt{4{,}667} \approx 2{,}16 \)
Směrodatná odchylka doby běhu je přibližně \(2,16\) minuty.
38. Teploty naměřené během \(8\) dní (v °C) jsou: \( 15, 17, 14, 16, 18, 15, 16, 17 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku těchto teplot.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{15 + 17 + 14 + 16 + 18 + 15 + 16 + 17}{8} = \frac{128}{8} = 16 \)
Odchylky od průměru:
\( 15 – 16 = -1 \)
\( 17 – 16 = 1 \)
\( 14 – 16 = -2 \)
\( 16 – 16 = 0 \)
\( 18 – 16 = 2 \)
\( 15 – 16 = -1 \)
\( 16 – 16 = 0 \)
\( 17 – 16 = 1 \)
Druhé mocniny odchylek:
\( (-1)^2 = 1 \)
\( 1^2 = 1 \)
\( (-2)^2 = 4 \)
\( 0^2 = 0 \)
\( 2^2 = 4 \)
\( (-1)^2 = 1 \)
\( 0^2 = 0 \)
\( 1^2 = 1 \)
Součet druhých mocnin:
\( 1 + 1 + 4 + 0 + 4 + 1 + 0 + 1 = 12 \)
Výpočet rozptylu:
\( s^2 = \frac{12}{8 – 1} = \frac{12}{7} \approx 1{,}714 \)
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{1{,}714} \approx 1{,}31 \)
Směrodatná odchylka teplot je přibližně \(1,31\) °C.
39. Měření délky \(6\) předmětů (v cm): \( 45, 48, 47, 44, 46, 49 \). Určete směrodatnou odchylku délky.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{45 + 48 + 47 + 44 + 46 + 49}{6} = \frac{279}{6} = 46{,}5 \)
Odchylky od průměru:
\( 45 – 46{,}5 = -1{,}5 \)
\( 48 – 46{,}5 = 1{,}5 \)
\( 47 – 46{,}5 = 0{,}5 \)
\( 44 – 46{,}5 = -2{,}5 \)
\( 46 – 46{,}5 = -0{,}5 \)
\( 49 – 46{,}5 = 2{,}5 \)
Druhé mocniny odchylek:
\( (-1{,}5)^2 = 2{,}25 \)
\( 1{,}5^2 = 2{,}25 \)
\( 0{,}5^2 = 0{,}25 \)
\( (-2{,}5)^2 = 6{,}25 \)
\( (-0{,}5)^2 = 0{,}25 \)
\( 2{,}5^2 = 6{,}25 \)
Součet druhých mocnin:
\( 2{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 6{,}25 + 0{,}25 + 6{,}25 = 17{,}5 \)
Rozptyl výběru:
\( s^2 = \frac{17{,}5}{6 – 1} = \frac{17{,}5}{5} = 3{,}5 \)
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{3{,}5} \approx 1{,}87 \)
Směrodatná odchylka délky je přibližně \(1,87\) cm.
40. Naměřené hodnoty hladiny vody (v cm) během \(7\) dní jsou: \( 110, 112, 109, 111, 113, 110, 112 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku hladiny vody.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{110 + 112 + 109 + 111 + 113 + 110 + 112}{7} = \frac{777}{7} = 111 \)
Odchylky od průměru:
\( 110 – 111 = -1 \)
\( 112 – 111 = 1 \)
\( 109 – 111 = -2 \)
\( 111 – 111 = 0 \)
\( 113 – 111 = 2 \)
\( 110 – 111 = -1 \)
\( 112 – 111 = 1 \)
Druhé mocniny odchylek:
\( (-1)^2 = 1 \)
\( 1^2 = 1 \)
\( (-2)^2 = 4 \)
\( 0^2 = 0 \)
\( 2^2 = 4 \)
\( (-1)^2 = 1 \)
\( 1^2 = 1 \)
Součet druhých mocnin:
\( 1 + 1 + 4 + 0 + 4 + 1 + 1 = 12 \)
Rozptyl výběru:
\( s^2 = \frac{12}{7 – 1} = \frac{12}{6} = 2 \)
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{2} \approx 1{,}414 \)
Směrodatná odchylka hladiny vody je přibližně \(1,414\) cm.
41. V městě bylo naměřeno denní množství srážek (v mm) za posledních \(7\) dní: \( 5, 8, 7, 4, 6, 9, 7 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku těchto měření.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme průměr (aritmetický průměr) dat:
\( \bar{x} = \frac{5 + 8 + 7 + 4 + 6 + 9 + 7}{7} = \frac{46}{7} \approx 6{,}57 \)
Poté spočítáme jednotlivé odchylky od průměru, jejich druhé mocniny a jejich součet:
\( (5 – 6{,}57)^2 = 2{,}46 \)
\( (8 – 6{,}57)^2 = 2{,}04 \)
\( (7 – 6{,}57)^2 = 0{,}19 \)
\( (4 – 6{,}57)^2 = 6{,}60 \)
\( (6 – 6{,}57)^2 = 0{,}32 \)
\( (9 – 6{,}57)^2 = 5{,}90 \)
\( (7 – 6{,}57)^2 = 0{,}19 \)
Součet těchto hodnot je \( 2{,}46 + 2{,}04 + 0{,}19 + 6{,}60 + 0{,}32 + 5{,}90 + 0{,}19 = 17{,}70 \).
Směrodatná odchylka vzorku je pak:
\( s = \sqrt{\frac{17{,}70}{7 – 1}} = \sqrt{2{,}95} \approx 1{,}72 \)
Směrodatná odchylka množství srážek je tedy přibližně \(1,72\) mm.
42. Výška \( 10 \) studentů ve třídě je v cm: \( 160, 165, 170, 172, 168, 174, 169, 171, 166, 173 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku výšky studentů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměrná výška:
\( \bar{x} = \frac{160 + 165 + 170 + 172 + 168 + 174 + 169 + 171 + 166 + 173}{10} = \frac{1688}{10} = 168{,}8 \)
Výpočet druhých mocnin odchylek:
\( (160 – 168{,}8)^2 = 77{,}44 \)
\( (165 – 168{,}8)^2 = 14{,}44 \)
\( (170 – 168{,}8)^2 = 1{,}44 \)
\( (172 – 168{,}8)^2 = 10{,}24 \)
\( (168 – 168{,}8)^2 = 0{,}64 \)
\( (174 – 168{,}8)^2 = 27{,}04 \)
\( (169 – 168{,}8)^2 = 0{,}04 \)
\( (171 – 168{,}8)^2 = 4{,}84 \)
\( (166 – 168{,}8)^2 = 7{,}84 \)
\( (173 – 168{,}8)^2 = 17{,}64 \)
Součet je \( 77{,}44 + 14{,}44 + 1{,}44 + 10{,}24 + 0{,}64 + 27{,}04 + 0{,}04 + 4{,}84 + 7{,}84 + 17{,}64 = 161{,}6 \).
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{\frac{161{,}6}{10 – 1}} = \sqrt{17{,}96} \approx 4{,}24 \)
Směrodatná odchylka výšky je tedy přibližně \(4,24\) cm.
43. Doba dojezdu autobusu na trasu (v minutách) byla naměřena v \( 6 \) dnech: \( 35, 40, 38, 42, 37, 39 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku těchto časů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr:
\( \bar{x} = \frac{35 + 40 + 38 + 42 + 37 + 39}{6} = \frac{231}{6} = 38{,}5 \)
Druhé mocniny odchylek:
\( (35 – 38{,}5)^2 = 12{,}25 \)
\( (40 – 38{,}5)^2 = 2{,}25 \)
\( (38 – 38{,}5)^2 = 0{,}25 \)
\( (42 – 38{,}5)^2 = 12{,}25 \)
\( (37 – 38{,}5)^2 = 2{,}25 \)
\( (39 – 38{,}5)^2 = 0{,}25 \)
Součet: \( 12{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 12{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 = 29{,}5 \).
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{\frac{29{,}5}{6 – 1}} = \sqrt{5{,}9} \approx 2{,}43 \)
Směrodatná odchylka doby dojezdu je tedy přibližně \(2,43\) minuty.
44. Hodnoty teploty v laboratoři (v °C) byly naměřeny v \( 8 \) vzorcích: \( 22, 23, 21, 22, 24, 23, 22, 25 \). Určete směrodatnou odchylku teplot.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr teplot:
\( \bar{x} = \frac{22 + 23 + 21 + 22 + 24 + 23 + 22 + 25}{8} = \frac{182}{8} = 22{,}75 \)
Druhé mocniny odchylek:
\( (22 – 22{,}75)^2 = 0{,}56 \)
\( (23 – 22{,}75)^2 = 0{,}06 \)
\( (21 – 22{,}75)^2 = 3{,}06 \)
\( (22 – 22{,}75)^2 = 0{,}56 \)
\( (24 – 22{,}75)^2 = 1{,}56 \)
\( (23 – 22{,}75)^2 = 0{,}06 \)
\( (22 – 22{,}75)^2 = 0{,}56 \)
\( (25 – 22{,}75)^2 = 5{,}06 \)
Součet: \( 0{,}56 + 0{,}06 + 3{,}06 + 0{,}56 + 1{,}56 + 0{,}06 + 0{,}56 + 5{,}06 = 11{,}48 \).
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{\frac{11{,}48}{8 – 1}} = \sqrt{1{,}64} \approx 1{,}28 \)
Směrodatná odchylka teploty je tedy přibližně \(1,28\) °C.
45. Hmotnosti balíků (v kg) odeslaných v jednom dni jsou: \( 10, 12, 11, 15, 14, 13, 12, 11, 13 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku hmotnosti balíků.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr hmotnosti:
\( \bar{x} = \frac{10 + 12 + 11 + 15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 13}{9} = \frac{111}{9} = 12{,}33 \)
Druhé mocniny odchylek:
\( (10 – 12{,}33)^2 = 5{,}44 \)
\( (12 – 12{,}33)^2 = 0{,}11 \)
\( (11 – 12{,}33)^2 = 1{,}78 \)
\( (15 – 12{,}33)^2 = 7{,}11 \)
\( (14 – 12{,}33)^2 = 2{,}78 \)
\( (13 – 12{,}33)^2 = 0{,}44 \)
\( (12 – 12{,}33)^2 = 0{,}11 \)
\( (11 – 12{,}33)^2 = 1{,}78 \)
\( (13 – 12{,}33)^2 = 0{,}44 \)
Součet: \( 5{,}44 + 0{,}11 + 1{,}78 + 7{,}11 + 2{,}78 + 0{,}44 + 0{,}11 + 1{,}78 + 0{,}44 = 19{,}99 \).
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{\frac{19{,}99}{9 – 1}} = \sqrt{2{,}50} \approx 1{,}58 \)
Směrodatná odchylka hmotnosti balíků je tedy přibližně 1,58 kg.
46. Ve třídě je \( 10 \) studentů a jejich známky z matematiky jsou: \( 3, 4, 5, 2, 4, 3, 5, 5, 4, 3 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku těchto známek.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Nejprve spočítáme průměr známek:
\( \bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 2 + 4 + 3 + 5 + 5 + 4 + 3}{10} = \frac{38}{10} = 3{,}8 \)
2. Vypočítáme druhé mocniny odchylek od průměru:
(3 – 3,8)² = 0,64
(4 – 3,8)² = 0,04
(5 – 3,8)² = 1,44
(2 – 3,8)² = 3,24
(4 – 3,8)² = 0,04
(3 – 3,8)² = 0,64
(5 – 3,8)² = 1,44
(5 – 3,8)² = 1,44
(4 – 3,8)² = 0,04
(3 – 3,8)² = 0,64
3. Sečteme tyto hodnoty:
\( S = 0{,}64 + 0{,}04 + 1{,}44 + 3{,}24 + 0{,}04 + 0{,}64 + 1{,}44 + 1{,}44 + 0{,}04 + 0{,}64 = 9{,}6 \)
4. Vypočítáme rozptyl (pro populaci, neboli dělení počtem hodnot):
\( \sigma^2 = \frac{S}{10} = \frac{9{,}6}{10} = 0{,}96 \)
5. Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu:
\( \sigma = \sqrt{0{,}96} \approx 0{,}98 \)
Směrodatná odchylka známek je tedy přibližně \(0,98\).
47. Mějme sadu dat: \( 12, 15, 13, 17, 14, 12, 15, 16 \). Spočítejte směrodatnou odchylku vzorku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Spočítáme průměr hodnot:
\( \bar{x} = \frac{12 + 15 + 13 + 17 + 14 + 12 + 15 + 16}{8} = \frac{114}{8} = 14{,}25 \)
2. Vypočítáme druhé mocniny odchylek od průměru:
(12 – 14,25)² = 5,06
(15 – 14,25)² = 0,56
(13 – 14,25)² = 1,56
(17 – 14,25)² = 7,56
(14 – 14,25)² = 0,06
(12 – 14,25)² = 5,06
(15 – 14,25)² = 0,56
(16 – 14,25)² = 3,06
3. Sečteme tyto hodnoty:
\( S = 5{,}06 + 0{,}56 + 1{,}56 + 7{,}56 + 0{,}06 + 5{,}06 + 0{,}56 + 3{,}06 = 23{,}48 \)
4. Vypočítáme rozptyl vzorku (dělíme počtem hodnot minus jedna):
\( s^2 = \frac{23{,}48}{8 – 1} = \frac{23{,}48}{7} \approx 3{,}354 \)
5. Směrodatná odchylka vzorku je odmocnina z rozptylu:
\( s = \sqrt{3{,}354} \approx 1{,}83 \)
Směrodatná odchylka vzorku je přibližně \(1,83\).
48. Naměřené hodnoty teploty během týdne jsou: \( 20, 22, 19, 21, 23, 20, 22 \) °C. Určete směrodatnou odchylku populace.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Spočítáme průměr hodnot:
\( \bar{x} = \frac{20 + 22 + 19 + 21 + 23 + 20 + 22}{7} = \frac{147}{7} = 21 \)
2. Vypočítáme druhé mocniny odchylek od průměru:
(20 – 21)² = 1
(22 – 21)² = 1
(19 – 21)² = 4
(21 – 21)² = 0
(23 – 21)² = 4
(20 – 21)² = 1
(22 – 21)² = 1
3. Sečteme tyto hodnoty:
\( S = 1 + 1 + 4 + 0 + 4 + 1 + 1 = 12 \)
4. Vypočítáme rozptyl populace:
\( \sigma^2 = \frac{12}{7} \approx 1{,}714 \)
5. Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu:
\( \sigma = \sqrt{1{,}714} \approx 1{,}31 \)
Směrodatná odchylka teplot je přibližně \(1,31\) °C.
49. Výška rostlin v pokusu (v cm) je: \( 35, 40, 38, 42, 37, 41, 39, 36 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku vzorku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Spočítáme průměr hodnot:
\( \bar{x} = \frac{35 + 40 + 38 + 42 + 37 + 41 + 39 + 36}{8} = \frac{308}{8} = 38{,}5 \)
2. Vypočítáme druhé mocniny odchylek od průměru:
(35 – 38,5)² = 12,25
(40 – 38,5)² = 2,25
(38 – 38,5)² = 0,25
(42 – 38,5)² = 12,25
(37 – 38,5)² = 2,25
(41 – 38,5)² = 6,25
(39 – 38,5)² = 0,25
(36 – 38,5)² = 6,25
3. Sečteme tyto hodnoty:
\( S = 12{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 12{,}25 + 2{,}25 + 6{,}25 + 0{,}25 + 6{,}25 = 42 \)
4. Vypočítáme rozptyl vzorku:
\( s^2 = \frac{42}{8 – 1} = \frac{42}{7} = 6 \)
5. Směrodatná odchylka vzorku je odmocnina z rozptylu:
\( s = \sqrt{6} \approx 2{,}45 \)
Směrodatná odchylka výšky rostlin je přibližně \(2,45\) cm.
50. V tabulce jsou údaje o denním počtu prodaných kusů výrobku za posledních \(9\) dní: \( 55, 60, 58, 62, 59, 61, 57, 60, 63 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku populace.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Spočítáme průměr hodnot:
\( \bar{x} = \frac{55 + 60 + 58 + 62 + 59 + 61 + 57 + 60 + 63}{9} = \frac{535}{9} \approx 59{,}44 \)
2. Vypočítáme druhé mocniny odchylek od průměru:
(55 – 59,44)² ≈ 19,74
(60 – 59,44)² ≈ 0,31
(58 – 59,44)² ≈ 2,07
(62 – 59,44)² ≈ 6,57
(59 – 59,44)² ≈ 0,19
(61 – 59,44)² ≈ 2,44
(57 – 59,44)² ≈ 5,95
(60 – 59,44)² ≈ 0,31
(63 – 59,44)² ≈ 12,65
3. Sečteme tyto hodnoty:
\( S \approx 19{,}74 + 0{,}31 + 2{,}07 + 6{,}57 + 0{,}19 + 2{,}44 + 5{,}95 + 0{,}31 + 12{,}65 = 50{,}23 \)
4. Vypočítáme rozptyl populace:
\( \sigma^2 = \frac{50{,}23}{9} \approx 5{,}58 \)
5. Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu:
\( \sigma = \sqrt{5{,}58} \approx 2{,}36 \)
Směrodatná odchylka počtu prodaných kusů je přibližně 2,36.
56. Měření výšky \(7\) stromů v lese (v metrech) bylo: \( 15.2, 16.5, 14.8, 15.9, 16.1, 15.5, 16.0 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku výšek stromů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Spočítáme průměr:
\( \bar{x} = \frac{15.2 + 16.5 + 14.8 + 15.9 + 16.1 + 15.5 + 16.0}{7} = \frac{110.0}{7} \approx 15.71 \) m
2. Spočítáme druhé mocniny odchylek jednotlivých hodnot od průměru:
\( (15.2 – 15.71)^2 = (-0.51)^2 = 0.2601 \)
\( (16.5 – 15.71)^2 = 0.79^2 = 0.6241 \)
\( (14.8 – 15.71)^2 = (-0.91)^2 = 0.8281 \)
\( (15.9 – 15.71)^2 = 0.19^2 = 0.0361 \)
\( (16.1 – 15.71)^2 = 0.39^2 = 0.1521 \)
\( (15.5 – 15.71)^2 = (-0.21)^2 = 0.0441 \)
\( (16.0 – 15.71)^2 = 0.29^2 = 0.0841 \)
3. Součet druhých mocnin je:
\( S = 0.2601 + 0.6241 + 0.8281 + 0.0361 + 0.1521 + 0.0441 + 0.0841 = 2.0287 \)
4. Směrodatná odchylka je:
\( \sigma = \sqrt{\frac{2.0287}{7}} = \sqrt{0.2898} \approx 0.538 \) m
5. Výška stromů se tedy typicky odchyluje od průměru o přibližně 0.54 m.
57. Zaznamenané časy potřebné k dokončení úkolu u \( 8 \) pracovníků (v minutách) jsou: \( 45, 50, 48, 46, 49, 47, 51, 44 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku časů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr časů:
\( \bar{x} = \frac{45 + 50 + 48 + 46 + 49 + 47 + 51 + 44}{8} = \frac{380}{8} = 47.5 \) minut
2. Druhé mocniny odchylek:
\( (45 – 47.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25 \)
\( (50 – 47.5)^2 = 2.5^2 = 6.25 \)
\( (48 – 47.5)^2 = 0.5^2 = 0.25 \)
\( (46 – 47.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25 \)
\( (49 – 47.5)^2 = 1.5^2 = 2.25 \)
\( (47 – 47.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25 \)
\( (51 – 47.5)^2 = 3.5^2 = 12.25 \)
\( (44 – 47.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25 \)
3. Součet:
\( S = 6.25 + 6.25 + 0.25 + 2.25 + 2.25 + 0.25 + 12.25 + 12.25 = 42 \)
4. Směrodatná odchylka:
\( \sigma = \sqrt{\frac{42}{8}} = \sqrt{5.25} \approx 2.29 \) minut
5. Časy se tedy typicky liší od průměru o přibližně 2.29 minut.
58. Výška studentů v jedné třídě (v cm) byla změřena u \( 10 \) studentů: \( 172, 168, 175, 170, 169, 174, 171, 173, 167, 176 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku výšky.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr výšek:
\( \bar{x} = \frac{172 + 168 + 175 + 170 + 169 + 174 + 171 + 173 + 167 + 176}{10} = \frac{1715}{10} = 171.5 \) cm
2. Druhé mocniny odchylek:
\( (172 – 171.5)^2 = 0.5^2 = 0.25 \)
\( (168 – 171.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25 \)
\( (175 – 171.5)^2 = 3.5^2 = 12.25 \)
\( (170 – 171.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25 \)
\( (169 – 171.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25 \)
\( (174 – 171.5)^2 = 2.5^2 = 6.25 \)
\( (171 – 171.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25 \)
\( (173 – 171.5)^2 = 1.5^2 = 2.25 \)
\( (167 – 171.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25 \)
\( (176 – 171.5)^2 = 4.5^2 = 20.25 \)
3. Součet:
\( S = 0.25 + 12.25 + 12.25 + 2.25 + 6.25 + 6.25 + 0.25 + 2.25 + 20.25 + 20.25 = 82.5 \)
4. Směrodatná odchylka:
\( \sigma = \sqrt{\frac{82.5}{10}} = \sqrt{8.25} \approx 2.87 \) cm
5. Výška studentů se typicky liší od průměru o přibližně 2.87 cm.
59. V měsíci byly zaznamenány denní teploty (v °C) za \( 6 \) dní: \( 20, 22, 19, 21, 23, 20 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku teplot.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr teplot:
\( \bar{x} = \frac{20 + 22 + 19 + 21 + 23 + 20}{6} = \frac{125}{6} \approx 20.83 \) °C
2. Druhé mocniny odchylek:
\( (20 – 20.83)^2 = (-0.83)^2 = 0.6889 \)
\( (22 – 20.83)^2 = 1.17^2 = 1.3689 \)
\( (19 – 20.83)^2 = (-1.83)^2 = 3.3489 \)
\( (21 – 20.83)^2 = 0.17^2 = 0.0289 \)
\( (23 – 20.83)^2 = 2.17^2 = 4.7089 \)
\( (20 – 20.83)^2 = (-0.83)^2 = 0.6889 \)
3. Součet:
\( S = 0.6889 + 1.3689 + 3.3489 + 0.0289 + 4.7089 + 0.6889 = 10.8334 \)
4. Směrodatná odchylka:
\( \sigma = \sqrt{\frac{10.8334}{6}} = \sqrt{1.8056} \approx 1.34 \) °C
5. Denní teploty se od průměru typicky liší o 1.34 °C.
60. Hmotnosti \( 5 \) balíků byly změřeny (v kilogramech): \( 12.5, 13.0, 12.8, 13.2, 12.9 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku hmotností.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr hmotností:
\( \bar{x} = \frac{12.5 + 13.0 + 12.8 + 13.2 + 12.9}{5} = \frac{64.4}{5} = 12.88 \) kg
2. Druhé mocniny odchylek:
\( (12.5 – 12.88)^2 = (-0.38)^2 = 0.1444 \)
\( (13.0 – 12.88)^2 = 0.12^2 = 0.0144 \)
\( (12.8 – 12.88)^2 = (-0.08)^2 = 0.0064 \)
\( (13.2 – 12.88)^2 = 0.32^2 = 0.1024 \)
\( (12.9 – 12.88)^2 = 0.02^2 = 0.0004 \)
3. Součet:
\( S = 0.1444 + 0.0144 + 0.0064 + 0.1024 + 0.0004 = 0.268 \)
4. Směrodatná odchylka:
\( \sigma = \sqrt{\frac{0.268}{5}} = \sqrt{0.0536} \approx 0.231 \) kg
5. Hmotnosti balíků se tedy od průměru typicky liší o \(0.23\) kg.
61. Ve třídě bylo naměřeno pět výsledků testu z matematiky: \( 78, 82, 85, 90 \) a \( 95 \) bodů. Vypočítejte směrodatnou odchylku těchto výsledků.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme aritmetický průměr hodnot:
\( \bar{x} = \frac{78 + 82 + 85 + 90 + 95}{5} = \frac{430}{5} = 86 \)
Dále spočítáme rozdíly jednotlivých hodnot od průměru a jejich druhé mocniny:
\( (78 – 86)^2 = (-8)^2 = 64 \)
\( (82 – 86)^2 = (-4)^2 = 16 \)
\( (85 – 86)^2 = (-1)^2 = 1 \)
\( (90 – 86)^2 = 4^2 = 16 \)
\( (95 – 86)^2 = 9^2 = 81 \)
Sečteme tyto hodnoty:
\( 64 + 16 + 1 + 16 + 81 = 178 \)
Vypočítáme rozptyl jako průměr těchto druhých mocnin (použijeme vzorec pro výběrový rozptyl, kde dělíme počtem hodnot minus 1):
\( s^2 = \frac{178}{5 – 1} = \frac{178}{4} = 44{,}5 \)
Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu:
\( s = \sqrt{44{,}5} \approx 6{,}67 \)
Směrodatná odchylka výsledků je tedy přibližně \(6,67\) bodů.
62. Výrobní stroj vyrábí součástky s délkou, která má průměr \( 10 \) cm a směrodatnou odchylku \( 0,2 \) cm. Vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná součástka bude mít délku mezi \( 9,8 \) cm a \( 10,2 \) cm, pokud délky jsou normálně rozloženy.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme normální rozdělení s průměrem \( \mu = 10 \) cm a směrodatnou odchylkou \( \sigma = 0{,}2 \) cm.
Potřebujeme najít pravděpodobnost, že délka \( X \) je mezi 9,8 cm a 10,2 cm, tedy \( P(9{,}8 \leq X \leq 10{,}2) \).
Standardizujeme hodnoty na standardní normální rozdělení \( Z \):
\( Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \)
Pro dolní hranici:
\( z_1 = \frac{9{,}8 – 10}{0{,}2} = \frac{-0{,}2}{0{,}2} = -1 \)
Pro horní hranici:
\( z_2 = \frac{10{,}2 – 10}{0{,}2} = \frac{0{,}2}{0{,}2} = 1 \)
Pravděpodobnost je tedy:
\( P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) – \Phi(-1) \)
Kde \( \Phi(z) \) je distribuční funkce standardního normálního rozdělení.
Z tabulek normálního rozdělení víme, že \( \Phi(1) \approx 0{,}8413 \) a \( \Phi(-1) = 1 – \Phi(1) = 0{,}1587 \).
Takže:
\( P(-1 \leq Z \leq 1) = 0{,}8413 – 0{,}1587 = 0{,}6826 \)
Pravděpodobnost, že součástka bude mít délku mezi \(9,8\) cm a \(10,2\) cm, je přibližně \(68,26\) %.
63. Mějme soubor dat: \( 12 \), \( 15 \), \( 17 \), \( 21 \), \( 22 \), \( 24 \), \( 30 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku tohoto souboru.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme aritmetický průměr \( \bar{x} \):
\( \bar{x} = \frac{12 + 15 + 17 + 21 + 22 + 24 + 30}{7} = \frac{141}{7} = 20{,}1429 \)
Vypočítáme čtverce rozdílů jednotlivých hodnot od průměru:
\( (12 – 20{,}1429)^2 = (-8{,}1429)^2 \approx 66{,}309 \)
\( (15 – 20{,}1429)^2 = (-5{,}1429)^2 \approx 26{,}455 \)
\( (17 – 20{,}1429)^2 = (-3{,}1429)^2 \approx 9{,}878 \)
\( (21 – 20{,}1429)^2 = 0{,}8571^2 \approx 0{,}735 \)
\( (22 – 20{,}1429)^2 = 1{,}8571^2 \approx 3{,}449 \)
\( (24 – 20{,}1429)^2 = 3{,}8571^2 \approx 14{,}881 \)
\( (30 – 20{,}1429)^2 = 9{,}8571^2 \approx 97{,}141 \)
Sečteme tyto hodnoty:
\( 66{,}309 + 26{,}455 + 9{,}878 + 0{,}735 + 3{,}449 + 14{,}881 + 97{,}141 = 218{,}748 \)
Vypočítáme rozptyl (výběrový):
\( s^2 = \frac{218{,}748}{7 – 1} = \frac{218{,}748}{6} \approx 36{,}458 \)
Směrodatná odchylka je odmocnina z rozptylu:
\( s = \sqrt{36{,}458} \approx 6{,}04 \)
Směrodatná odchylka souboru je tedy přibližně \(6,04\).
64. Výrobce uvádí, že hmotnost balení čaje je v průměru \( 250 \, \text{g} \) se směrodatnou odchylkou \( 5 \, \text{g} \). Při výrobě se měří \( 16 \) balení. Vypočtěte směrodatnou odchylku průměru hmotnosti těchto \( 16 \) balení.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměrná hmotnost jednoho balení má směrodatnou odchylku \( \sigma = 5 \) g.
Při vzorku o velikosti \( n = 16 \) platí, že směrodatná odchylka průměru vzorku je:
\( s_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4} = 1{,}25 \)
Směrodatná odchylka průměru hmotnosti 16 balení je tedy 1,25 g.
65. V sadě \( 10 \) měření bylo naměřeno: \( 5.2 \), \( 4.9 \), \( 5.5 \), \( 5.0 \), \( 4.8 \), \( 5.1 \), \( 5.3 \), \( 4.7 \), \( 5.4 \), \( 5.0 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku tohoto souboru dat.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme průměr \( \bar{x} \):
\( \bar{x} = \frac{5{,}2 + 4{,}9 + 5{,}5 + 5{,}0 + 4{,}8 + 5{,}1 + 5{,}3 + 4{,}7 + 5{,}4 + 5{,}0}{10} = \frac{50{,}9}{10} = 5{,}09 \)
Vypočítáme druhé mocniny rozdílů od průměru:
\( (5{,}2 – 5{,}09)^2 = 0{,}11^2 = 0{,}0121 \)
\( (4{,}9 – 5{,}09)^2 = (-0{,}19)^2 = 0{,}0361 \)
\( (5{,}5 – 5{,}09)^2 = 0{,}41^2 = 0{,}1681 \)
\( (5{,}0 – 5{,}09)^2 = (-0{,}09)^2 = 0{,}0081 \)
\( (4{,}8 – 5{,}09)^2 = (-0{,}29)^2 = 0{,}0841 \)
\( (5{,}1 – 5{,}09)^2 = 0{,}01^2 = 0{,}0001 \)
\( (5{,}3 – 5{,}09)^2 = 0{,}21^2 = 0{,}0441 \)
\( (4{,}7 – 5{,}09)^2 = (-0{,}39)^2 = 0{,}1521 \)
\( (5{,}4 – 5{,}09)^2 = 0{,}31^2 = 0{,}0961 \)
\( (5{,}0 – 5{,}09)^2 = (-0{,}09)^2 = 0{,}0081 \)
Sečteme tyto hodnoty:
\( 0{,}0121 + 0{,}0361 + 0{,}1681 + 0{,}0081 + 0{,}0841 + 0{,}0001 + 0{,}0441 + 0{,}1521 + 0{,}0961 + 0{,}0081 = 0{,}609 \)
Výpočet rozptylu (výběrový):
\( s^2 = \frac{0{,}609}{10 – 1} = \frac{0{,}609}{9} \approx 0{,}0677 \)
Směrodatná odchylka je:
\( s = \sqrt{0{,}0677} \approx 0{,}26 \)
Směrodatná odchylka měření je tedy přibližně \(0,26\).
66. V zoologické zahradě byla změřena délka ocasu u \( 8 \) různých lvích mláďat (v cm): \( 55 \), \( 60 \), \( 58 \), \( 62 \), \( 57 \), \( 59 \), \( 61 \), \( 56 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku délky ocasu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme průměr \( \bar{x} \):
\( \bar{x} = \frac{55 + 60 + 58 + 62 + 57 + 59 + 61 + 56}{8} = \frac{468}{8} = 58{,}5 \)
Poté spočítáme jednotlivé druhé mocniny rozdílů od průměru:
\( (55 – 58{,}5)^2 = (-3{,}5)^2 = 12{,}25 \)
\( (60 – 58{,}5)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25 \)
\( (58 – 58{,}5)^2 = (-0{,}5)^2 = 0{,}25 \)
\( (62 – 58{,}5)^2 = 3{,}5^2 = 12{,}25 \)
\( (57 – 58{,}5)^2 = (-1{,}5)^2 = 2{,}25 \)
\( (59 – 58{,}5)^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25 \)
\( (61 – 58{,}5)^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25 \)
\( (56 – 58{,}5)^2 = (-2{,}5)^2 = 6{,}25 \)
Sečteme tyto hodnoty:
\( 12{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 12{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 6{,}25 + 6{,}25 = 42{,}0 \)
Výpočet výběrového rozptylu:
\( s^2 = \frac{42{,}0}{8 – 1} = \frac{42{,}0}{7} = 6{,}0 \)
Směrodatná odchylka je tedy:
\( s = \sqrt{6{,}0} \approx 2{,}45 \)
67. Tým astronautů měřil dobu (v sekundách) potřebnou k dokončení určitých úkolů ve vesmírné stanici: \( 120 \), \( 132 \), \( 115 \), \( 130 \), \( 128 \), \( 118 \), \( 125 \). Určete směrodatnou odchylku této doby.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Vypočítáme průměr \( \bar{x} \):
\( \bar{x} = \frac{120 + 132 + 115 + 130 + 128 + 118 + 125}{7} = \frac{868}{7} \approx 124{,}0 \)
Druhé mocniny rozdílů od průměru:
\( (120 – 124)^2 = (-4)^2 = 16 \)
\( (132 – 124)^2 = 8^2 = 64 \)
\( (115 – 124)^2 = (-9)^2 = 81 \)
\( (130 – 124)^2 = 6^2 = 36 \)
\( (128 – 124)^2 = 4^2 = 16 \)
\( (118 – 124)^2 = (-6)^2 = 36 \)
\( (125 – 124)^2 = 1^2 = 1 \)
Sečteme hodnoty:
\( 16 + 64 + 81 + 36 + 16 + 36 + 1 = 250 \)
Výběrový rozptyl:
\( s^2 = \frac{250}{7 – 1} = \frac{250}{6} \approx 41{,}67 \)
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{41{,}67} \approx 6{,}46 \)
68. Měřili jsme spotřebu vody (v litrech) několika rostlin za týden: \( 3.4 \), \( 3.6 \), \( 3.1 \), \( 3.7 \), \( 3.5 \), \( 3.2 \), \( 3.3 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku spotřeby vody rostlinami.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr \( \bar{x} \):
\( \bar{x} = \frac{3{,}4 + 3{,}6 + 3{,}1 + 3{,}7 + 3{,}5 + 3{,}2 + 3{,}3}{7} = \frac{23{,}8}{7} \approx 3{,}4 \)
Druhé mocniny rozdílů:
\( (3{,}4 – 3{,}4)^2 = 0^2 = 0 \)
\( (3{,}6 – 3{,}4)^2 = 0{,}2^2 = 0{,}04 \)
\( (3{,}1 – 3{,}4)^2 = (-0{,}3)^2 = 0{,}09 \)
\( (3{,}7 – 3{,}4)^2 = 0{,}3^2 = 0{,}09 \)
\( (3{,}5 – 3{,}4)^2 = 0{,}1^2 = 0{,}01 \)
\( (3{,}2 – 3{,}4)^2 = (-0{,}2)^2 = 0{,}04 \)
\( (3{,}3 – 3{,}4)^2 = (-0{,}1)^2 = 0{,}01 \)
Součet:
\( 0 + 0{,}04 + 0{,}09 + 0{,}09 + 0{,}01 + 0{,}04 + 0{,}01 = 0{,}28 \)
Výběrový rozptyl:
\( s^2 = \frac{0{,}28}{7 – 1} = \frac{0{,}28}{6} \approx 0{,}0467 \)
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{0{,}0467} \approx 0{,}216 \)
69. Výška (v metrech) budov v malém městě byla změřena: \( 15 \), \( 20 \), \( 18 \), \( 22 \), \( 16 \), \( 19 \), \( 21 \), \( 17 \). Vypočítejte směrodatnou odchylku výšky budov.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr \( \bar{x} \):
\( \bar{x} = \frac{15 + 20 + 18 + 22 + 16 + 19 + 21 + 17}{8} = \frac{148}{8} = 18{,}5 \)
Druhé mocniny rozdílů:
\( (15 – 18{,}5)^2 = (-3{,}5)^2 = 12{,}25 \)
\( (20 – 18{,}5)^2 = 1{,}5^2 = 2{,}25 \)
\( (18 – 18{,}5)^2 = (-0{,}5)^2 = 0{,}25 \)
\( (22 – 18{,}5)^2 = 3{,}5^2 = 12{,}25 \)
\( (16 – 18{,}5)^2 = (-2{,}5)^2 = 6{,}25 \)
\( (19 – 18{,}5)^2 = 0{,}5^2 = 0{,}25 \)
\( (21 – 18{,}5)^2 = 2{,}5^2 = 6{,}25 \)
\( (17 – 18{,}5)^2 = (-1{,}5)^2 = 2{,}25 \)
Součet:
\( 12{,}25 + 2{,}25 + 0{,}25 + 12{,}25 + 6{,}25 + 0{,}25 + 6{,}25 + 2{,}25 = 42{,}0 \)
Výběrový rozptyl:
\( s^2 = \frac{42{,}0}{8 – 1} = \frac{42{,}0}{7} = 6{,}0 \)
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{6{,}0} \approx 2{,}45 \)
70. Měření průměrné rychlosti (v km/h) různých modelů aut byla: \(180, 190, 185, 195, 188, 182, 192\). Vypočítejte směrodatnou odchylku rychlosti.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Průměr \( \bar{x} \):
\( \bar{x} = \frac{180 + 190 + 185 + 195 + 188 + 182 + 192}{7} = \frac{1312}{7} \approx 187{,}43 \)
Druhé mocniny rozdílů:
\( (180 – 187{,}43)^2 = (-7{,}43)^2 \approx 55{,}22 \)
\( (190 – 187{,}43)^2 = 2{,}57^2 \approx 6{,}60 \)
\( (185 – 187{,}43)^2 = (-2{,}43)^2 \approx 5{,}90 \)
\( (195 – 187{,}43)^2 = 7{,}57^2 \approx 57{,}32 \)
\( (188 – 187{,}43)^2 = 0{,}57^2 \approx 0{,}32 \)
\( (182 – 187{,}43)^2 = (-5{,}43)^2 \approx 29{,}50 \)
\( (192 – 187{,}43)^2 = 4{,}57^2 \approx 20{,}88 \)
Součet:
\( 55{,}22 + 6{,}60 + 5{,}90 + 57{,}32 + 0{,}32 + 29{,}50 + 20{,}88 = 175{,}74 \)
Výběrový rozptyl:
\( s^2 = \frac{175{,}74}{7 – 1} = \frac{175{,}74}{6} \approx 29{,}29 \)
Směrodatná odchylka:
\( s = \sqrt{29{,}29} \approx 5{,}41 \)
71. Ve třídě bylo naměřeno pět výsledků testu z matematiky: \(72, 85, 90, 88, 95\) bodů. Vypočítejte směrodatnou odchylku těchto výsledků, přičemž vezměte v úvahu, že jde o výběr z větší populace.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve si označíme data jako \( x_1=72 \), \( x_2=85 \), \( x_3=90 \), \( x_4=88 \), \( x_5=95 \). Počet pozorování je \( n=5 \).
Protože máme výběrová data, použijeme vzorec pro směrodatnou odchylku výběru:
\[
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \overline{x})^2}
\]
Nejdříve spočítáme průměr \( \overline{x} \):
\[
\overline{x} = \frac{72 + 85 + 90 + 88 + 95}{5} = \frac{430}{5} = 86
\]
Nyní vypočítáme čtverce odchylek jednotlivých hodnot od průměru:
\[
(72 – 86)^2 = (-14)^2 = 196
\]
\[
(85 – 86)^2 = (-1)^2 = 1
\]
\[
(90 – 86)^2 = 4^2 = 16
\]
\[
(88 – 86)^2 = 2^2 = 4
\]
\[
(95 – 86)^2 = 9^2 = 81
\]
Sečteme tyto hodnoty:
\[
196 + 1 + 16 + 4 + 81 = 298
\]
Dosadíme do vzorce pro směrodatnou odchylku:
\[
s = \sqrt{\frac{298}{5-1}} = \sqrt{\frac{298}{4}} = \sqrt{74.5} \approx 8.63
\]
Směrodatná odchylka výběru je přibližně \( 8.63 \) bodů.
Tímto způsobem jsme zpracovali data podrobně, krok za krokem, a ukázali, jak spočítat směrodatnou odchylku z výběru.
72. Firma měří dobu potřebnou k výrobě jednoho kusu produktu. Naměřené doby v minutách jsou: \(12, 15, 14, 13, 16, 15, 14\). Vypočítejte směrodatnou odchylku této sady dat, tentokrát uvažujte, že data představují celou populaci.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Data jsou \( x = \{12, 15, 14, 13, 16, 15, 14\} \), počet hodnot \( N=7 \). Jelikož jde o celou populaci, použijeme vzorec pro směrodatnou odchylku populace:
\[
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i – \mu)^2}
\]
Nejprve spočítáme průměr \(\mu\):
\[
\mu = \frac{12 + 15 + 14 + 13 + 16 + 15 + 14}{7} = \frac{99}{7} \approx 14.14
\]
Vypočítáme čtverce odchylek:
\[
(12 – 14.14)^2 = (-2.14)^2 = 4.58
\]
\[
(15 – 14.14)^2 = 0.86^2 = 0.74
\]
\[
(14 – 14.14)^2 = (-0.14)^2 = 0.02
\]
\[
(13 – 14.14)^2 = (-1.14)^2 = 1.30
\]
\[
(16 – 14.14)^2 = 1.86^2 = 3.46
\]
\[
(15 – 14.14)^2 = 0.86^2 = 0.74
\]
\[
(14 – 14.14)^2 = (-0.14)^2 = 0.02
\]
Sečteme je:
\[
4.58 + 0.74 + 0.02 + 1.30 + 3.46 + 0.74 + 0.02 = 10.86
\]
Dosadíme do vzorce pro směrodatnou odchylku populace:
\[
\sigma = \sqrt{\frac{10.86}{7}} = \sqrt{1.55} \approx 1.25
\]
Směrodatná odchylka populace je přibližně \( 1.25 \) minut.
Tímto jsme vyřešili příklad důkladně, ukazující rozdíl oproti výběrové směrodatné odchylce.
73. Mějme dataset s hodnotami: \(20, 22, 21, 23, 22, 20, 24, 25, 23\). Vypočítejte směrodatnou odchylku a vysvětlete, jak se liší od rozptylu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Data jsou: \(20, 22, 21, 23, 22, 20, 24, 25, 23\), počet \( n=9 \).
Vypočítáme průměr \( \overline{x} \):
\[
\overline{x} = \frac{20 + 22 + 21 + 23 + 22 + 20 + 24 + 25 + 23}{9} = \frac{200}{9} \approx 22.22
\]
Vypočítáme jednotlivé čtverce odchylek:
\[
(20 – 22.22)^2 = (-2.22)^2 = 4.93
\]
\[
(22 – 22.22)^2 = (-0.22)^2 = 0.05
\]
\[
(21 – 22.22)^2 = (-1.22)^2 = 1.49
\]
\[
(23 – 22.22)^2 = 0.78^2 = 0.61
\]
\[
(22 – 22.22)^2 = (-0.22)^2 = 0.05
\]
\[
(20 – 22.22)^2 = (-2.22)^2 = 4.93
\]
\[
(24 – 22.22)^2 = 1.78^2 = 3.17
\]
\[
(25 – 22.22)^2 = 2.78^2 = 7.72
\]
\[
(23 – 22.22)^2 = 0.78^2 = 0.61
\]
Sečteme je:
\[
4.93 + 0.05 + 1.49 + 0.61 + 0.05 + 4.93 + 3.17 + 7.72 + 0.61 = 23.56
\]
Rozptyl výběru vypočteme jako:
\[
s^2 = \frac{23.56}{9-1} = \frac{23.56}{8} = 2.945
\]
Směrodatná odchylka je odmocnina rozptylu:
\[
s = \sqrt{2.945} \approx 1.72
\]
Rozptyl nám říká, jak moc se data od průměru liší v druhé mocnině jednotek, směrodatná odchylka je tedy měřítko variability ve stejných jednotkách jako data.
74. V oblasti kvality výroby byla změřena hmotnost \(8\) výrobků v gramech: \(50, 52, 51, 49, 48, 53, 47, 51\). Vypočítejte směrodatnou odchylku a popište, co by znamenala vysoká směrodatná odchylka v tomto kontextu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Data jsou: \(50, 52, 51, 49, 48, 53, 47, 51\), počet \( n=8 \).
Průměr \( \overline{x} \):
\[
\overline{x} = \frac{50 + 52 + 51 + 49 + 48 + 53 + 47 + 51}{8} = \frac{401}{8} = 50.125
\]
Čtverce odchylek:
\[
(50 – 50.125)^2 = (-0.125)^2 = 0.016
\]
\[
(52 – 50.125)^2 = 1.875^2 = 3.516
\]
\[
(51 – 50.125)^2 = 0.875^2 = 0.766
\]
\[
(49 – 50.125)^2 = (-1.125)^2 = 1.266
\]
\[
(48 – 50.125)^2 = (-2.125)^2 = 4.516
\]
\[
(53 – 50.125)^2 = 2.875^2 = 8.266
\]
\[
(47 – 50.125)^2 = (-3.125)^2 = 9.766
\]
\[
(51 – 50.125)^2 = 0.875^2 = 0.766
\]
Součet:
\[
0.016 + 3.516 + 0.766 + 1.266 + 4.516 + 8.266 + 9.766 + 0.766 = 28.878
\]
Směrodatná odchylka výběru:
\[
s = \sqrt{\frac{28.878}{8-1}} = \sqrt{\frac{28.878}{7}} = \sqrt{4.125} \approx 2.03
\]
Vysoká směrodatná odchylka by znamenala, že hmotnosti výrobků jsou velmi rozptýlené kolem průměru, tedy výroba není konzistentní, což může být problém pro kvalitu produktu.
75. V průzkumu byla naměřena denní doba trávená na sociálních sítích v hodinách u \(6\) studentů: \(1.5, 2, 3, 2.5, 4, 3.5\). Vypočítejte směrodatnou odchylku a vysvětlete, proč je důležité znát směrodatnou odchylku u tohoto typu dat.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Data: \(1.5, 2, 3, 2.5, 4, 3.5\), počet \( n=6 \).
Průměr:
\[
\overline{x} = \frac{1.5 + 2 + 3 + 2.5 + 4 + 3.5}{6} = \frac{16.5}{6} = 2.75
\]
Čtverce odchylek:
\[
(1.5 – 2.75)^2 = (-1.25)^2 = 1.5625
\]
\[
(2 – 2.75)^2 = (-0.75)^2 = 0.5625
\]
\[
(3 – 2.75)^2 = 0.25^2 = 0.0625
\]
\[
(2.5 – 2.75)^2 = (-0.25)^2 = 0.0625
\]
\[
(4 – 2.75)^2 = 1.25^2 = 1.5625
\]
\[
(3.5 – 2.75)^2 = 0.75^2 = 0.5625
\]
Součet:
\[
1.5625 + 0.5625 + 0.0625 + 0.0625 + 1.5625 + 0.5625 = 4.375
\]
Směrodatná odchylka výběru:
\[
s = \sqrt{\frac{4.375}{6-1}} = \sqrt{\frac{4.375}{5}} = \sqrt{0.875} \approx 0.935
\]
Směrodatná odchylka ukazuje, jak moc se doby trávené na sociálních sítích liší mezi studenty. Je důležitá pro pochopení variability chování a může pomoci identifikovat, zda existují extrémní hodnoty nebo zda je chování homogenní.
76. Měření teploty během \(7\) dní v lednu ukázalo následující hodnoty v °C: \(-3, 0, 2, -1, 1, -2, 0\). Vypočítejte směrodatnou odchylku a vysvětlete, co by vysoká směrodatná odchylka znamenala v tomto kontextu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve si zapíšeme naměřené hodnoty teplot: \( -3, 0, 2, -1, 1, -2, 0 \).
1. Vypočítáme aritmetický průměr (střední hodnotu) teplot:
\[
\overline{x} = \frac{-3 + 0 + 2 + (-1) + 1 + (-2) + 0}{7} = \frac{-3 + 0 + 2 – 1 + 1 – 2 + 0}{7} = \frac{-3}{7} \approx -0{,}4286
\]
2. Vypočítáme rozdíly jednotlivých hodnot od průměru a jejich druhé mocniny:
\((-3 – (-0{,}4286)) = -2{,}5714\), druhá mocnina: \(6{,}6122\)
\((0 – (-0{,}4286)) = 0{,}4286\), druhá mocnina: \(0{,}1837\)
\((2 – (-0{,}4286)) = 2{,}4286\), druhá mocnina: \(5{,}8980\)
\((-1 – (-0{,}4286)) = -0{,}5714\), druhá mocnina: \(0{,}3265\)
\((1 – (-0{,}4286)) = 1{,}4286\), druhá mocnina: \(2{,}0408\)
\((-2 – (-0{,}4286)) = -1{,}5714\), druhá mocnina: \(2{,}4694\)
\((0 – (-0{,}4286)) = 0{,}4286\), druhá mocnina: \(0{,}1837\)
3. Sečteme druhé mocniny rozdílů:
\[
S = 6{,}6122 + 0{,}1837 + 5{,}8980 + 0{,}3265 + 2{,}0408 + 2{,}4694 + 0{,}1837 = 17{,}7143
\]
4. Vypočítáme rozptyl (varianci) jako průměr druhých mocnin odchylek (pro výběr použijeme dělení počtem \(n-1 = 6\)):
\[
s^2 = \frac{S}{n-1} = \frac{17{,}7143}{6} \approx 2{,}9524
\]
5. Směrodatná odchylka je druhá odmocnina rozptylu:
\[
s = \sqrt{2{,}9524} \approx 1{,}7183
\]
Interpretace: Směrodatná odchylka přibližně \(1,72\) °C znamená, že teploty v daném týdnu kolísaly kolem průměru o tuto hodnotu. Vyšší směrodatná odchylka by ukazovala na větší výkyvy teplot (např. střídání teplých a velmi chladných dnů), zatímco nižší by znamenala stabilnější počasí.
77. Vysokoškolský student změřil počet hodin, které jeho spolužáci věnovali přípravě na zkoušku: \(4, 6, 5, 7, 3, 8, 6\). Vypočtěte směrodatnou odchylku tohoto souboru a popište, co tento výsledek říká o rozptylu časů přípravy.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Data: \(4, 6, 5, 7, 3, 8, 6\).
1. Spočítáme průměr:
\[
\overline{x} = \frac{4 + 6 + 5 + 7 + 3 + 8 + 6}{7} = \frac{39}{7} \approx 5{,}5714
\]
2. Spočítáme druhé mocniny odchylek:
\((4 – 5{,}5714)^2 = (-1{,}5714)^2 = 2{,}4694\)
\((6 – 5{,}5714)^2 = 0{,}4286^2 = 0{,}1837\)
\((5 – 5{,}5714)^2 = (-0{,}5714)^2 = 0{,}3265\)
\((7 – 5{,}5714)^2 = 1{,}4286^2 = 2{,}0408\)
\((3 – 5{,}5714)^2 = (-2{,}5714)^2 = 6{,}6122\)
\((8 – 5{,}5714)^2 = 2{,}4286^2 = 5{,}8980\)
\((6 – 5{,}5714)^2 = 0{,}4286^2 = 0{,}1837\)
3. Součet druhých mocnin:
\[
S = 2{,}4694 + 0{,}1837 + 0{,}3265 + 2{,}0408 + 6{,}6122 + 5{,}8980 + 0{,}1837 = 17{,}7143
\]
4. Rozptyl (výběrový):
\[
s^2 = \frac{17{,}7143}{6} \approx 2{,}9524
\]
5. Směrodatná odchylka:
\[
s = \sqrt{2{,}9524} \approx 1{,}7183
\]
Výsledek znamená, že příprava na zkoušku se mezi studenty liší přibližně o \(1,72\) hodiny kolem průměrné doby \(5,57\) hodiny, což ukazuje střední variabilitu v přípravě.
78. Firma měří počet výrobků vyrobených za směnu během \(10\) dní: \(100, 102, 98, 101, 99, 105, 97, 100, 103, 98\). Vypočtěte směrodatnou odchylku a diskutujte, jaký by byl význam nižší směrodatné odchylky pro kvalitu výroby.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Data: \(100, 102, 98, 101, 99, 105, 97, 100, 103, 98\).
1. Průměr:
\[
\overline{x} = \frac{100 + 102 + 98 + 101 + 99 + 105 + 97 + 100 + 103 + 98}{10} = \frac{1003}{10} = 100{,}3
\]
2. Druhé mocniny odchylek:
\((100 – 100{,}3)^2 = (-0{,}3)^2 = 0{,}09\)
\((102 – 100{,}3)^2 = 1{,}7^2 = 2{,}89\)
\((98 – 100{,}3)^2 = (-2{,}3)^2 = 5{,}29\)
\((101 – 100{,}3)^2 = 0{,}7^2 = 0{,}49\)
\((99 – 100{,}3)^2 = (-1{,}3)^2 = 1{,}69\)
\((105 – 100{,}3)^2 = 4{,}7^2 = 22{,}09\)
\((97 – 100{,}3)^2 = (-3{,}3)^2 = 10{,}89\)
\((100 – 100{,}3)^2 = (-0{,}3)^2 = 0{,}09\)
\((103 – 100{,}3)^2 = 2{,}7^2 = 7{,}29\)
\((98 – 100{,}3)^2 = (-2{,}3)^2 = 5{,}29\)
3. Součet:
\[
S = 0{,}09 + 2{,}89 + 5{,}29 + 0{,}49 + 1{,}69 + 22{,}09 + 10{,}89 + 0{,}09 + 7{,}29 + 5{,}29 = 55{,}1
\]
4. Výběrový rozptyl:
\[
s^2 = \frac{55{,}1}{9} \approx 6{,}1222
\]
5. Směrodatná odchylka:
\[
s = \sqrt{6{,}1222} \approx 2{,}4753
\]
Nižší směrodatná odchylka by znamenala, že počet vyrobených výrobků je stabilnější, což může indikovat vyšší kvalitu a spolehlivost výrobního procesu.
79. V sadě \(5\) měření délky stromu byly naměřené hodnoty (v cm): \(250, 260, 245, 255, 248\). Vypočítejte směrodatnou odchylku a vysvětlete, jak by její hodnota mohla ovlivnit rozhodnutí o zařazení stromů do kategorie „rovnoměrné délky“.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Data: \(250, 260, 245, 255, 248\).
1. Průměr:
\[
\overline{x} = \frac{250 + 260 + 245 + 255 + 248}{5} = \frac{1258}{5} = 251{,}6
\]
2. Druhé mocniny odchylek:
\((250 – 251{,}6)^2 = (-1{,}6)^2 = 2{,}56\)
\((260 – 251{,}6)^2 = 8{,}4^2 = 70{,}56\)
\((245 – 251{,}6)^2 = (-6{,}6)^2 = 43{,}56\)
\((255 – 251{,}6)^2 = 3{,}4^2 = 11{,}56\)
\((248 – 251{,}6)^2 = (-3{,}6)^2 = 12{,}96\)
3. Součet:
\[
S = 2{,}56 + 70{,}56 + 43{,}56 + 11{,}56 + 12{,}96 = 141{,}2
\]
4. Výběrový rozptyl:
\[
s^2 = \frac{141{,}2}{4} = 35{,}3
\]
5. Směrodatná odchylka:
\[
s = \sqrt{35{,}3} \approx 5{,}94
\]
Vysoká směrodatná odchylka by znamenala velkou variabilitu délek stromů, což by mohlo naznačovat, že stromy nejsou homogenní a není vhodné je považovat za „rovnoměrné délky“. Nízká směrodatná odchylka by podporovala kategorii homogenních stromů.
80. Ve třídě bylo zaznamenáno skóre testu z matematiky od \(8\) studentů: \(85, 90, 78, 92, 88, 85, 91, 87\). Vypočítejte směrodatnou odchylku a popište, jak by učitel mohl využít tuto informaci při přípravě další hodiny.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Data: \(85, 90, 78, 92, 88, 85, 91, 87\).
1. Průměr:
\[
\overline{x} = \frac{85 + 90 + 78 + 92 + 88 + 85 + 91 + 87}{8} = \frac{696}{8} = 87
\]
2. Druhé mocniny odchylek:
\((85 – 87)^2 = (-2)^2 = 4\)
\((90 – 87)^2 = 3^2 = 9\)
\((78 – 87)^2 = (-9)^2 = 81\)
\((92 – 87)^2 = 5^2 = 25\)
\((88 – 87)^2 = 1^2 = 1\)
\((85 – 87)^2 = (-2)^2 = 4\)
\((91 – 87)^2 = 4^2 = 16\)
\((87 – 87)^2 = 0^2 = 0\)
3. Součet:
\[
S = 4 + 9 + 81 + 25 + 1 + 4 + 16 + 0 = 140
\]
4. Výběrový rozptyl:
\[
s^2 = \frac{140}{7} = 20
\]
5. Směrodatná odchylka:
\[
s = \sqrt{20} \approx 4{,}47
\]
Výsledná směrodatná odchylka ukazuje, že výsledky testu se liší o přibližně \(4,47\) bodu od průměru. Učitel může využít tuto informaci k identifikaci různých úrovní znalostí studentů a přizpůsobit výuku tak, aby lépe pokryla potřeby skupiny.
85. Ve firmě se zkoumá doba potřebná k vyřízení jednoho zákaznického požadavku. Naměřené hodnoty (v minutách) jsou: \(8, 10, 12, 7, 9, 11, 13, 8, 10\). Vypočítejte směrodatnou odchylku doby vyřízení požadavku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Spočítáme průměr hodnot: \( \bar{x} = \frac{8 + 10 + 12 + 7 + 9 + 11 + 13 + 8 + 10}{9} = \frac{88}{9} \approx 9{,}78 \)
2. Spočítáme rozdíly každé hodnoty od průměru, jejich druhé mocniny a součet:
(8 – 9,78)² = 3,1684
(10 – 9,78)² = 0,0484
(12 – 9,78)² = 4,9284
(7 – 9,78)² = 7,7284
(9 – 9,78)² = 0,6084
(11 – 9,78)² = 1,4884
(13 – 9,78)² = 10,3684
(8 – 9,78)² = 3,1684
(10 – 9,78)² = 0,0484
Součet = 31,5606
3. Vypočítáme rozptyl (pro výběr): \( s^2 = \frac{31{,}5606}{9 – 1} = \frac{31{,}5606}{8} = 3{,}9451 \)
4. Směrodatná odchylka je druhá odmocnina rozptylu: \( s = \sqrt{3{,}9451} \approx 1{,}986 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka doby vyřízení je přibližně \(1,99\) minuty.
86. V tabulce jsou hmotnosti \(5\) balíků (v kg): \(15, 20, 22, 18, 25\). Spočítejte směrodatnou odchylku hmotností.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr hmotností: \( \bar{x} = \frac{15 + 20 + 22 + 18 + 25}{5} = \frac{100}{5} = 20 \)
2. Druhé mocniny odchylek od průměru:
(15 – 20)² = 25
(20 – 20)² = 0
(22 – 20)² = 4
(18 – 20)² = 4
(25 – 20)² = 25
Součet = 58
3. Rozptyl výběru: \( s^2 = \frac{58}{5 – 1} = \frac{58}{4} = 14,5 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{14,5} \approx 3,8079 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka hmotností je přibližně \(3,81\) kg.
87. Výška \(6\) studentů v cm je: \(172, 168, 170, 174, 169, 171\). Vypočítejte směrodatnou odchylku výšek.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr výšek: \( \bar{x} = \frac{172 + 168 + 170 + 174 + 169 + 171}{6} = \frac{1024}{6} \approx 170{,}67 \)
2. Druhé mocniny odchylek od průměru:
(172 – 170,67)² ≈ 1,76
(168 – 170,67)² ≈ 7,11
(170 – 170,67)² ≈ 0,45
(174 – 170,67)² ≈ 11,11
(169 – 170,67)² ≈ 2,79
(171 – 170,67)² ≈ 0,11
Součet ≈ 23,33
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{23{,}33}{6 – 1} = \frac{23{,}33}{5} \approx 4{,}666 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{4{,}666} \approx 2{,}16 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka výšek je přibližně \(2,16\) cm.
88. V sadě dat je \(7\) hodnot: \(5, 7, 8, 6, 9, 10, 12\). Vypočítejte směrodatnou odchylku, ale tentokrát použijte vzorec pro rozptyl populace (děleno počtem hodnot, nikoli n-1).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{5 + 7 + 8 + 6 + 9 + 10 + 12}{7} = \frac{57}{7} \approx 8{,}14 \)
2. Druhé mocniny odchylek od průměru:
(5 – 8,14)² ≈ 9,86
(7 – 8,14)² ≈ 1,30
(8 – 8,14)² ≈ 0,02
(6 – 8,14)² ≈ 4,58
(9 – 8,14)² ≈ 0,74
(10 – 8,14)² ≈ 3,46
(12 – 8,14)² ≈ 14,88
Součet ≈ 34,84
3. Rozptyl populace: \( \sigma^2 = \frac{34{,}84}{7} \approx 4{,}977 \)
4. Směrodatná odchylka populace: \( \sigma = \sqrt{4{,}977} \approx 2{,}23 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka populace je přibližně \(2,23\).
89. Měření koncentrace látky (v mg/l) v pěti vzorcích: \(2,1; 2,5; 1,8; 2,3; 2,0\). Vypočítejte směrodatnou odchylku, přičemž tentokrát použijte postup pomocí rozptylu spočítaného z druhých mocnin hodnot (variantní vzorec).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Spočítáme průměr: \( \bar{x} = \frac{2{,}1 + 2{,}5 + 1{,}8 + 2{,}3 + 2{,}0}{5} = \frac{10{,}7}{5} = 2{,}14 \)
2. Spočítáme průměr druhých mocnin: \( \overline{x^2} = \frac{2{,}1^2 + 2{,}5^2 + 1{,}8^2 + 2{,}3^2 + 2{,}0^2}{5} = \frac{4{,}41 + 6{,}25 + 3{,}24 + 5{,}29 + 4{,}00}{5} = \frac{23{,}19}{5} = 4{,}638 \)
3. Rozptyl: \( s^2 = \overline{x^2} – \bar{x}^2 = 4{,}638 – (2{,}14)^2 = 4{,}638 – 4{,}580 = 0{,}058 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{0{,}058} \approx 0{,}241 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka koncentrace je přibližně \(0,241\) mg/l.
90. Výsledky rychlostního testu (v sekundách) u 8 běžců jsou: \(12,5; 11,8; 13,2; 12,9; 12,1; 11,5; 13,0; 12,3\). Vypočítejte směrodatnou odchylku jejich časů.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Spočítáme průměr: \( \bar{x} = \frac{12{,}5 + 11{,}8 + 13{,}2 + 12{,}9 + 12{,}1 + 11{,}5 + 13{,}0 + 12{,}3}{8} = \frac{99{,}3}{8} = 12{,}4125 \)
2. Spočítáme druhé mocniny odchylek:
(12,5 – 12,4125)² = 0,0077
(11,8 – 12,4125)² = 0,3752
(13,2 – 12,4125)² = 0,6227
(12,9 – 12,4125)² = 0,2377
(12,1 – 12,4125)² = 0,0977
(11,5 – 12,4125)² = 0,8314
(13,0 – 12,4125)² = 0,3441
(12,3 – 12,4125)² = 0,0126
Součet = 2,5291
3. Rozptyl (výběr): \( s^2 = \frac{2{,}5291}{8 – 1} = \frac{2{,}5291}{7} = 0{,}3613 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{0{,}3613} \approx 0{,}601 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka časů je přibližně \(0,60\) s.
91. Měření hladiny cukru v krvi (v mmol/l) u \(6\) pacientů jsou: \(5,4; 5,7; 6,0; 5,5; 5,9; 5,6\). Vypočítejte směrodatnou odchylku hladiny cukru.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{5{,}4 + 5{,}7 + 6{,}0 + 5{,}5 + 5{,}9 + 5{,}6}{6} = \frac{33{,}1}{6} \approx 5{,}517 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(5,4 – 5,517)² ≈ 0,0137
(5,7 – 5,517)² ≈ 0,0335
(6,0 – 5,517)² ≈ 0,2330
(5,5 – 5,517)² ≈ 0,0003
(5,9 – 5,517)² ≈ 0,1461
(5,6 – 5,517)² ≈ 0,0069
Součet ≈ 0,4335
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{0{,}4335}{6 – 1} = \frac{0{,}4335}{5} = 0{,}0867 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{0{,}0867} \approx 0{,294 \, mmol/l} \)
Odpověď: Směrodatná odchylka hladiny cukru je přibližně \(0,29\) mmol/l.
92. V měsíční výrobě je zaznamenáno následující množství vyrobených kusů za týden: \(150, 165, 160, 155, 170\). Spočítejte směrodatnou odchylku týdenní výroby.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{150 + 165 + 160 + 155 + 170}{5} = \frac{800}{5} = 160 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(150 – 160)² = 100
(165 – 160)² = 25
(160 – 160)² = 0
(155 – 160)² = 25
(170 – 160)² = 100
Součet = 250
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{250}{5 – 1} = \frac{250}{4} = 62{,}5 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{62{,}5} \approx 7{,}906 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka výroby je přibližně \(7,91\) kusů.
93. Uvažujme teplotní měření za týden (v °C): \(21, 22, 19, 23, 20, 22, 21\). Vypočítejte směrodatnou odchylku teplot.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{21 + 22 + 19 + 23 + 20 + 22 + 21}{7} = \frac{148}{7} \approx 21{,}14 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(21 – 21,14)² ≈ 0,02
(22 – 21,14)² ≈ 0,75
(19 – 21,14)² ≈ 4,58
(23 – 21,14)² ≈ 3,45
(20 – 21,14)² ≈ 1,30
(22 – 21,14)² ≈ 0,75
(21 – 21,14)² ≈ 0,02
Součet ≈ 10,87
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{10{,}87}{7 – 1} = \frac{10{,}87}{6} \approx 1{,}812 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{1{,}812} \approx 1{,}347 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka teplot je přibližně \(1,35\) °C.
94. V malém městě byla měřena denní spotřeba vody (v litrech) v průběhu \(5\) dnů: \(1200, 1180, 1230, 1195, 1210\). Spočítejte směrodatnou odchylku denní spotřeby vody.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{1200 + 1180 + 1230 + 1195 + 1210}{5} = \frac{6015}{5} = 1203 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(1200 – 1203)² = 9
(1180 – 1203)² = 529
(1230 – 1203)² = 729
(1195 – 1203)² = 64
(1210 – 1203)² = 49
Součet = 1380
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{1380}{5 – 1} = \frac{1380}{4} = 345 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{345} \approx 18{,}57 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka denní spotřeby vody je přibližně \(18,57\) litrů.
95. Na základě měření denních teplot v lednu byly naměřeny tyto hodnoty (v °C): \(-3, -1, 0, 2, -2, 1, -4\). Vypočítejte směrodatnou odchylku těchto teplot.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{-3 + (-1) + 0 + 2 + (-2) + 1 + (-4)}{7} = \frac{-7}{7} = -1 \)
2. Druhé mocniny odchylek od průměru:
(-3 – (-1))² = (-2)² = 4
(-1 – (-1))² = 0² = 0
(0 – (-1))² = 1² = 1
(2 – (-1))² = 3² = 9
(-2 – (-1))² = (-1)² = 1
(1 – (-1))² = 2² = 4
(-4 – (-1))² = (-3)² = 9
Součet = 28
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{28}{7 – 1} = \frac{28}{6} \approx 4{,}667 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{4{,}667} \approx 2{,}16 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka lednových teplot je přibližně \(2,16\) °C.
96. Ve třídě bylo naměřeno \(10\) výšek žáků v cm: \(152, 155, 158, 160, 162, 157, 154, 159, 161, 156\). Určete směrodatnou odchylku výšek.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{152 + 155 + 158 + 160 + 162 + 157 + 154 + 159 + 161 + 156}{10} = \frac{1574}{10} = 157{,}4 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(152 – 157,4)² = 29,16
(155 – 157,4)² = 5,76
(158 – 157,4)² = 0,36
(160 – 157,4)² = 6,76
(162 – 157,4)² = 21,16
(157 – 157,4)² = 0,16
(154 – 157,4)² = 11,56
(159 – 157,4)² = 2,56
(161 – 157,4)² = 12,96
(156 – 157,4)² = 1,96
Součet = 92,4
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{92{,}4}{10 – 1} = \frac{92{,}4}{9} \approx 10{,}27 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{10{,}27} \approx 3{,}21 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka výšek je přibližně \(3,21\) cm.
97. V jedné restauraci byla během \(6\) dní naměřena denní spotřeba vajec (v desítkách kusů): \(3, 4, 2, 5, 3, 4\). Vypočítejte směrodatnou odchylku denní spotřeby.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{3 + 4 + 2 + 5 + 3 + 4}{6} = \frac{21}{6} = 3{,}5 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(3 – 3,5)² = 0,25
(4 – 3,5)² = 0,25
(2 – 3,5)² = 2,25
(5 – 3,5)² = 2,25
(3 – 3,5)² = 0,25
(4 – 3,5)² = 0,25
Součet = 5,5
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{5{,}5}{6 – 1} = \frac{5{,}5}{5} = 1{,}1 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{1{,}1} \approx 1{,}05 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka denní spotřeby vajec je přibližně \(1,05\) desítek kusů.
98. Byly změřeny doby potřebné k dokončení úkolu (v minutách) u \(5\) studentů: \(35, 40, 38, 42, 37\). Spočítejte směrodatnou odchylku doby dokončení úkolu.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{35 + 40 + 38 + 42 + 37}{5} = \frac{192}{5} = 38{,}4 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(35 – 38,4)² = 11,56
(40 – 38,4)² = 2,56
(38 – 38,4)² = 0,16
(42 – 38,4)² = 12,96
(37 – 38,4)² = 1,96
Součet = 29,2
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{29{,}2}{5 – 1} = \frac{29{,}2}{4} = 7{,}3 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{7{,}3} \approx 2{,}70 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka doby dokončení úkolu je přibližně \(2,70\) minut.
99. Hmotnosti balíků na poště byly naměřeny v kg: \(4,5; 5,2; 4,8; 5,0; 5,1; 4,9; 5,3\). Určete směrodatnou odchylku hmotností balíků.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{4{,}5 + 5{,}2 + 4{,}8 + 5{,}0 + 5{,}1 + 4{,}9 + 5{,}3}{7} = \frac{34{,}8}{7} \approx 4{,}971 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(4,5 – 4,971)² ≈ 0,222
(5,2 – 4,971)² ≈ 0,052
(4,8 – 4,971)² ≈ 0,029
(5,0 – 4,971)² ≈ 0,001
(5,1 – 4,971)² ≈ 0,016
(4,9 – 4,971)² ≈ 0,005
(5,3 – 4,971)² ≈ 0,108
Součet ≈ 0,433
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{0{,}433}{7 – 1} = \frac{0{,}433}{6} \approx 0{,}072 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{0{,}072} \approx 0{,}268 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka hmotností balíků je přibližně \(0,268\) kg.
100. Měření intenzity hluku v parku během \(7\) dní přineslo hodnoty v dB: \(55, 57, 56, 58, 55, 54, 56\). Vypočítejte směrodatnou odchylku intenzity hluku.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Průměr: \( \bar{x} = \frac{55 + 57 + 56 + 58 + 55 + 54 + 56}{7} = \frac{391}{7} \approx 55{,}86 \)
2. Druhé mocniny odchylek:
(55 – 55,86)² ≈ 0,74
(57 – 55,86)² ≈ 1,29
(56 – 55,86)² ≈ 0,02
(58 – 55,86)² ≈ 4,58
(55 – 55,86)² ≈ 0,74
(54 – 55,86)² ≈ 3,45
(56 – 55,86)² ≈ 0,02
Součet ≈ 10,84
3. Rozptyl: \( s^2 = \frac{10{,}84}{7 – 1} = \frac{10{,}84}{6} \approx 1{,}807 \)
4. Směrodatná odchylka: \( s = \sqrt{1{,}807} \approx 1{,}34 \)
Odpověď: Směrodatná odchylka intenzity hluku je přibližně \(1,34\) dB.
