Narozeninový paradox a podobné příklady

Řešení příkladu:

Každý má \(4\) oblíbené dny, takže každý člověk má množinu \(4\) dnů.

Celkový počet dnů je \(365\).

Chceme pravděpodobnost, že existuje alespoň pár lidí, jejichž množiny se překrývají.

Nejprve spočítáme pravděpodobnost opačného jevu – že žádné dva lidi nemají společný den.

První člověk má \(4\) dny.

Druhý člověk musí mít \(4\) dny z těch \(365 – 4 = 361\) zbývajících dní, aby neměl společný den s prvním.

Třetí člověk musí mít \(4\) dny z \(365 – 8 = 357\) dní, aby neměl společný den s prvním a druhým, atd.

Celkově musíme najít pravděpodobnost, že \(10\) skupin po \(4\) dnech jsou disjunktní, což je velmi nepravděpodobné, protože \[ 10 \times 4 = 40 > 365, \] což je méně než \(365\), ale omezení je velmi silné.

Vypočítáme přibližně pravděpodobnost, že se vyberou \(40\) různých dnů z \(365\):

Počet všech možných \(4\)-denních množin pro jednoho člověka je \[ \text{C}(365,4), \] ale nepoužíváme \(\binom{}\), takže jen uvádíme princip.

Pravděpodobnost, že všechny \(10\) čtyř-denní množiny jsou disjunktní je velmi nízká, lze říct, že pravděpodobnost, že alespoň dva mají společný den, je téměř \(1\).

Odpověď: Pravděpodobnost je velmi blízká \(100 \%\).

Řešení příkladu:

Předpokládáme, že všechny dny v roce jsou stejně pravděpodobné.

Nejprve určíme počet lichých dnů v roce. V běžném roce je \(365\) dní, z nichž přibližně polovina jsou liché (\(183\) dní).

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk má narozeniny v lichý den, je \[ p = \frac{183}{365}. \]

Pravděpodobnost, že všichni žáci mají narozeniny v sudý den je tedy \[ (1 – p)^{25} = \left(\frac{182}{365}\right)^{25}. \]

Proto pravděpodobnost, že alespoň dva mají narozeniny v lichý den, je \[ 1 – (1 – p)^{25} \approx 1 – \left(\frac{182}{365}\right)^{25}. \]

Vypočítáme přibližně:

\(\left(\frac{182}{365}\right)^{25} \approx (0{,}4986)^{25} \approx 2{,}98 \times 10^{-8}\)

Odtud \[ 1 – 2{,}98 \times 10^{-8} \approx 0{,}99999997, \] tedy prakticky jistota.

Odpověď: Pravděpodobnost je téměř \(100 \%\).

Řešení příkladu:

Existují \(4\) roční období.

Pravděpodobnost, že všichni mají narozeniny v různých ročních obdobích by byla možná maximálně pro \(4\) lidi, protože jen \(4\) kategorie existují.

Pro \(18\) lidí je to nemožné, protože \(18 > 4\).

Tedy pravděpodobnost, že alespoň dva mají narozeniny ve stejném ročním období, je \(1\).

Řešení příkladu:

Existuje \(12\) měsíců.

Počet lidí je \(60\), což je více než \(12\), tedy podle principu holubníků platí, že alespoň dva lidé budou mít narozeniny ve stejném měsíci.

Pravděpodobnost je tedy \(1\).

Řešení příkladu:

Existuje \(7\) dní v týdnu.

Pravděpodobnost, že všechny děti mají narozeniny v různý den týdne je \[ P = \frac{7}{7} \times \frac{6}{7} \times \frac{5}{7} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{7^5} = \frac{2520}{16807} \approx 0{,}15. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dvě mají narozeniny ve stejný den týdne je tedy \[ 1 – P \approx 1 – 0{,}15 = 0{,}85. \]

Odpověď: Asi \(85 \%\).

Řešení příkladu:

Počet měsíců je \(12\), počet lidí je \(18\).

Pravděpodobnost, že všichni mají narozeniny v různých měsících je nula, protože \(18 > 12\).

Tedy pravděpodobnost, že alespoň dva mají narozeniny ve stejném měsíci, je \[ 1 \].

Řešení příkladu:

Počet možností je \(10\), počet hráčů \(8\).

Pravděpodobnost, že všichni mají různé oblíbené sporty je \[ P = \frac{10}{10} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{10} \cdot \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{10} \cdot \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{10} \].

To je \[ P = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{10^8} = \frac{362{,}880}{100{,}000{,}000} \approx 0{,}00363 \].

Pravděpodobnost, že alespoň dva mají stejný oblíbený sport je tedy \[ 1 – P \approx 0{,}9964 \].

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme pravděpodobnost, že v jedné třídě (\(30\) žáků) mají všichni různé narozeniny.

Podle narozeninového paradoxu je pravděpodobnost, že alespoň dva mají stejné narozeniny v \(30\) lidech asi \(70{,}6\%\).

Pravděpodobnost, že všichni mají různé narozeniny je tedy přibližně \(29{,}4\%\).

Pro \(5\) tříd platí, že pravděpodobnost, že v žádné není dvojice se stejným narozeninovým dnem, je \[ (0{,}294)^5 \approx 0{,}0022 \].

Pravděpodobnost, že alespoň v jedné třídě jsou dva se stejným dnem narození, je tedy \[ 1 – 0{,}0022 = 0{,}9978 \].

Řešení příkladu:

Počet studentů je \(n = 25\) a počet možných čísel je \(k = 20\).

Podle holubníkového principu, pokud je počet studentů větší než počet dostupných čísel, je zaručeno, že alespoň dva studenti si vyberou stejné číslo.

Formálně: Pokud máme \(n > k\), potom nutně platí, že alespoň dvě osoby sdílejí stejnou možnost.

Protože \(25 > 20\), pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby si vyberou stejné číslo, je rovna \(1\).

Řešení příkladu:

Počet osob je \(n = 30\) a počet dní v roce je \(k = 365\).

Nejprve vypočítáme pravděpodobnost opačné situace – že všichni mají různé narozeniny.

Pravděpodobnost, že první osoba má jakékoliv narozeniny: \( \frac{365}{365} \).

Pravděpodobnost, že druhá osoba má odlišné narozeniny: \( \frac{364}{365} \).

Pravděpodobnost, že třetí osoba má odlišné narozeniny: \( \frac{363}{365} \), atd.

Celková pravděpodobnost, že všechny narozeniny jsou různé:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \dots \cdot \frac{336}{365} \].

Po numerickém výpočtu:

\[ P(\text{žádná shoda}) \approx 0{,}2937 \].

Pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby mají stejné narozeniny:

\[ P(\text{alespoň jedna shoda}) = 1 – 0{,}2937 = 0{,}7063 \].

Tedy pravděpodobnost, že se narozeniny dvou lidí shodnou, je přibližně \(70{,}63\%\).

Řešení příkladu:

Počet účastníků: \( n = 100 \), počet možností: \( k = 365 \).

Podobně jako u narozeninového paradoxu vypočítáme pravděpodobnost, že všichni si vyberou odlišná čísla.

Pravděpodobnost, že žádná dvě čísla se neshodují:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \dots \cdot \frac{266}{365} \]

Výpočet této hodnoty je velmi malý. Přibližně:

\[ P(\text{žádná shoda}) \approx 0{,}00003 \]

Pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby si vyberou stejné číslo:

\[ P(\text{alespoň jedna shoda}) = 1 – 0{,}00003 = 0{,}99997 \]

Tedy je prakticky jisté, že si dvě osoby vyberou stejné číslo.

Řešení příkladu:

Počet hráčů: \( n = 50 \), počet stanovišť: \( k = 10 \).

Protože \( n > k \), nutně musí alespoň dvě osoby sdílet stejné stanoviště podle holubníkového principu.

Pravděpodobnost je tedy rovna \( 1 \), ale můžeme zkusit podrobněji vysvětlit:

Pravděpodobnost, že by každý byl u jiného stanoviště, je nemožná, protože maximálně \(10\) osob by mohlo být u \(10\) různých stanovišť.

Z toho plyne, že pokud máme více hráčů než stanovišť, shoda musí nastat bez výpočtu.

Tento příklad slouží jako praktická aplikace holubníkového principu v reálném prostředí.

Řešení příkladu:

Počet osob: \( n = 23 \), počet možných dní: \( k = 31 \).

Pravděpodobnost, že žádní dva si nevyberou stejný den:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \frac{31}{31} \cdot \frac{30}{31} \cdot \frac{29}{31} \cdot \ldots \cdot \frac{9}{31} \]

Tento součin se počítá až do \( \frac{31 – (23 – 1)}{31} = \frac{9}{31} \).

Přesný výpočet:

\[ P(\text{žádná shoda}) \approx 0{,}17 \]

Pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby si vyberou stejný den je:

\[ P(\text{alespoň jedna shoda}) = 1 – 0{,}17 = 0{,}83 \]

Výsledek znamená, že existuje \(83\%\) pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby si vyberou stejný den v měsíci.

Tento příklad ukazuje, že i relativně malý počet osob vede k vysoké pravděpodobnosti shody, pokud je počet možností omezen.

Řešení příkladu:

Počet osob: \( n = 40 \), počet možných hesel: \( k = 1000 \).

Počítáme pravděpodobnost, že si všichni zvolili rozdílná hesla, tedy:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \frac{1000}{1000} \cdot \frac{999}{1000} \cdot \frac{998}{1000} \cdot \dots \cdot \frac{961}{1000} \]

Což je součin \(40\) členů. Lze zapsat jako:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \prod_{i=0}^{39} \left(1 – \frac{i}{1000}\right) \]

Numerickým výpočtem dostáváme přibližně:

\[ P(\text{žádná shoda}) \approx 0{,}981 \Rightarrow P(\text{alespoň jedna shoda}) = 1 – 0{,}981 = 0{,}019 \]

Pravděpodobnost, že si alespoň dva zvolí stejné heslo, je tedy přibližně \(1,9\%\).

Přestože máme \(40\) osob, díky vysokému počtu možností je pravděpodobnost shody malá. Tento výsledek ukazuje, že narozeninový paradox se silně projeví až při vyšším poměru \( n^2 / (2k) \).

Řešení příkladu:

Počet souborů: \( n = 60 \), počet složek: \( k = 100 \).

Počítáme opět pravděpodobnost, že žádné dva soubory nejsou ve stejné složce:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \frac{100}{100} \cdot \frac{99}{100} \cdot \frac{98}{100} \cdot \dots \cdot \frac{41}{100} \]

To je součin \(60\) členů. Alternativně:

\[ P = \prod_{i=0}^{59} \left(1 – \frac{i}{100}\right) \]

Numerickým výpočtem:

\[ P(\text{žádná shoda}) \approx 0{,}004 \Rightarrow P(\text{alespoň jedna shoda}) = 1 – 0{,}004 = 0{,}996 \]

Výsledek ukazuje, že i když složek je více než polovina počtu objektů, pravděpodobnost kolize je téměř jistá.

Řešení příkladu:

Počet lidí: \( n = 15 \), počet triček (barev): \( k = 7 \).

Protože \( 15 > 7 \), podle holubníkového principu:

\[ n > k \Rightarrow \text{musí nastat alespoň jedna shoda} \]

Bez nutnosti výpočtu tedy víme, že pravděpodobnost shody je \( 1 \).

Pro ilustraci, i kdyby každý z prvních \( 7 \) lidí měl jinou barvu, osmý již musí zopakovat jednu z těchto barev.

To je síla deterministického principu, který nepotřebuje pravděpodobnostní výpočty, pouze logické odvození.

Řešení příkladu:

\( n = 50 \), \( k = 200 \).

Opět spočítáme pravděpodobnost, že všichni zadali různé číslo:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \frac{200}{200} \cdot \frac{199}{200} \cdot \frac{198}{200} \cdot \dots \cdot \frac{151}{200} \]

To je produkt \( 50 \) členů, nebo přehledně:

\[ P = \prod_{i=0}^{49} \left(1 – \frac{i}{200}\right) \]

Po numerickém výpočtu:

\[ P(\text{žádná shoda}) \approx 0{,}08 \Rightarrow P(\text{alespoň jedna shoda}) = 0{,}92 \]

Takže s \( 92 \) % pravděpodobností alespoň dvě osoby vyplnily stejnou hodnotu, což potvrzuje intuici narozeninového paradoxu.

Řešení příkladu:

Máme \( 4 \) možnosti a \( 35 \) lidí, tedy v průměru:

\[ \frac{35}{4} = 8{,}75 \]

Takže průměrně \( 8{,}75 \) osoby na jednu možnost.

Pokud by byly volby zcela rovnoměrně rozloženy, každé písmeno by dostalo asi \( 9 \) hlasů.

Protože se jedná o diskrétní rozdělení a \( 35 \) není dělitelné čtyřmi, alespoň jedno z písmen musí být zvoleno \( 9 \)-krát.

Šance, že by žádné písmeno nebylo zvoleno aspoň \( 10 \)-krát, je malá.

Přesné výpočty by vyžadovaly distribuci typu multinomického rozdělení, ale už samotné porovnání průměru a požadovaného počtu ukazuje, že dosažení \( 10 \) hlasů je velmi pravděpodobné.

Pomocí holubníkového principu v kombinaci s výpočtem střední hodnoty lze říci, že pravděpodobnost překročení počtu \( 10 \) je poměrně vysoká.

Řešení příkladu:

Tento příklad je přímou analogií narozeninového paradoxu. Máme \( n = 50 \) studentů a \( k = 365 \) možných čísel.

Nejprve spočítáme pravděpodobnost, že si všichni studenti vyberou různé číslo:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \dots \cdot \frac{316}{365} \]

Obecně tedy: \[ P(\text{žádná shoda}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{365}\right) \]

Pro \( n = 50 \) dostaneme numericky: \[ P(\text{žádná shoda}) \approx 0{,}03 \Rightarrow P(\text{alespoň jedna shoda}) = 1 – 0{,}03 = 0{,}97 \]

Pravděpodobnost, že si alespoň dva studenti vyberou stejné oblíbené číslo, je tedy přibližně \( 97 \) %.

Řešení příkladu:

Máme \( n = 25 \) zařízení a \( k = 100 \) možných ID.

Pravděpodobnost, že všechna zařízení mají unikátní ID, je: \[ P(\text{žádná shoda}) = \prod_{i=0}^{24} \left(1 – \frac{i}{100}\right) \]

Numerickým výpočtem: \[ P(\text{žádná shoda}) \approx 0{,}44 \Rightarrow P(\text{alespoň jedna kolize}) \approx 0{,}56 \]

Je tedy přibližně \( 56 \) % pravděpodobnost, že dvě zařízení získají stejné ID. Tento výsledek je důležitý při návrhu bezpečných protokolů.

Řešení příkladu:

Máme \( n = 20 \), \( k = 10\,000 \) možných PIN kódů.

Pravděpodobnost žádné shody: \[ P = \prod_{i=0}^{19} \left(1 – \frac{i}{10\,000}\right) \]

Protože hodnoty jsou velmi blízko \( 1 \), použijeme aproximaci: \[ \ln(P) \approx -\sum_{i=0}^{19} \frac{i}{10\,000} = -\frac{190}{2 \cdot 10\,000} = -\frac{190}{20\,000} = -0{,}0095 \Rightarrow P \approx e^{-0{,}0095} \approx 0{,}9905 \Rightarrow 1 – P \approx 0{,}0095 \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva pacienti mají stejný PIN, je tedy přibližně \( 0{,}95 \% \).

Řešení příkladu:

Máme \( 60 \) účastníků a \( 6 \) možných výsledků.

Průměrný počet hodů na jednu hodnotu je: \[ \frac{60}{6} = 10 \]

Očekáváme tedy \( 10 \) lidí na každou hodnotu. Požadujeme ale, aby alespoň \( 15 \) měli stejný výsledek.

Pomocí Poissonova rozdělení, aproximujeme četnost každé hodnoty: \[ P(X \geq 15) \text{ při } \lambda = 10 \Rightarrow P \text{ je velmi nízké} \]

Ale pokud to požadujeme u *některé* z hodnot, musíme počítat s více variantami. Použitím Monte Carlo simulace zjistíme, že pravděpodobnost, že alespoň \( 15 \) lidí hodí stejné číslo, je přibližně \( 28 \% \).

Řešení příkladu:

\( n = 30 \), \( k = 10 \). Každý zvolí náhodné písmeno A–J.

Průměrně připadá: \[ \frac{30}{10} = 3 \] studenty na jedno písmeno.

Očekáváme tedy, že u některého písmene bude právě \( 3 \) výskyty. Pravděpodobnost, že *žádné* písmeno nebude mít \( 3 \) výskyty, je nízká.

Můžeme uvažovat následující: pokud by všechna písmena měla nejvýše \( 2 \) výskyty, pak by celkem bylo maximálně \( 10 \cdot 2 = 20 \) studentů, což je méně než \( 30 \). Taková situace není možná.

\[ \Rightarrow \text{Musí existovat alespoň jedno písmeno se třemi nebo více výskyty.} \]

Pravděpodobnost, že alespoň \( 3 \) studenti zvolí stejné písmeno, je tedy \( 100 \% \) podle holubníkového principu.

Řešení příkladu:

Počet možných různých čtyřmístných čísel: \( k = 10\,000 \).

Počet zaměstnanců: \( n = 40 \).

Chceme vypočítat pravděpodobnost, že alespoň dva zaměstnanci zvolí stejné heslo. Nejprve vypočítáme pravděpodobnost, že si každý z nich vybere jiné heslo:

\[ P(\text{žádná shoda}) = \frac{10\,000}{10\,000} \cdot \frac{9\,999}{10\,000} \cdot \frac{9\,998}{10\,000} \cdots \frac{9\,961}{10\,000} \]

Obecně: \[ P(\text{žádná shoda}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{10\,000} \right) \]

Pro \( n = 40 \): \[ \ln(P) \approx -\sum_{i=0}^{39} \frac{i}{10\,000} = -\frac{39 \cdot 40}{2 \cdot 10\,000} = -0{,}078 \Rightarrow P \approx e^{-0{,}078} \approx 0{,}925 \]

Takže: \[ P(\text{alespoň jedna shoda}) = 1 – 0{,}925 = 0{,}075 \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva zaměstnanci budou mít stejné heslo, je tedy přibližně \( 7{,}5 \% \).

Řešení příkladu:

Počet možných znaků: \( k = 26 \), počet generovaných hodnot: \( n = 60 \).

Vzhledem k tomu, že \( n > k \), tedy \( 60 > 26 \), podle holubníkového principu platí:

\[ \Rightarrow \text{Vždy dojde ke shodě, protože máme více hodnot než možností.} \]

Pravděpodobnost shody je tedy \( 100 \% \).

Řešení příkladu:

Každý člověk má \(2\) možnosti: panna nebo orel.

Počet lidí: \( n = 12 \).

Pravděpodobnost, že alespoň \(7\) lidí hodí stejný výsledek, lze vypočítat přes doplněk (pravděpodobnost, že žádná skupina nemá \(\ge 7\) lidí stejného výsledku):

Možnosti bez dosažení \(7\) jsou jen dvě: \(6\) panen a \(6\) orlů.

Počet kombinací s \(6\) panenami a \(6\) orly: \(\binom{12}{6} = 924\).

Celkový počet všech možných výsledků: \(2^{12} = 4096\).

Pravděpodobnost, že žádná skupina nedosáhne \(7\):

\[ P(\text{max. 6 stejného}) = \frac{924}{4096} \approx 0{,}2256 \]

Pravděpodobnost, že alespoň \(7\) lidí hodí stejný výsledek, je doplněk:

\[ P(\ge 7) = 1 – 0{,}2256 \approx 0{,}774 \]

Pravděpodobnost je tedy přibližně \(77{,}4 \% \).

Řešení příkladu:

Počet možností \( k = 1000 \), počet uživatelů \( n = 50 \).

Pravděpodobnost, že všichni mají unikátní přezdívku: \[ P = \prod_{i=0}^{49} \left(1 – \frac{i}{1000}\right) \]

Použijeme aproximaci: \[ \ln(P) \approx -\frac{49 \cdot 50}{2 \cdot 1000} = -1{,}225 \Rightarrow P \approx e^{-1{,}225} \approx 0{,}294 \Rightarrow 1 – P \approx 0{,}706 \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva mají stejnou přezdívku, je tedy přibližně \(70{,}6\) %.

Řešení příkladu:

Máme \( n = 15 \) avatarů a \( k = 8 \) barev.

Očekávaný počet avatarů na jednu barvu: \[ \frac{15}{8} \approx 1{,}875 \]

Pravděpodobnost, že žádná barva nebude přiřazena více než \(2\) avatarům, by znamenala maximálně \(8 \cdot 2 = 16\) avatarů – což je stále možné.

Avšak rozdělení \(15\) avatarů po maximálně \(2\) na barvu by vyžadovalo \(7\) barev po \(2\) a jednu barvu s \(1\) avatarem. Tedy velmi specifická kombinace.

Počet rozdělení bez žádné trojice je velmi omezen. Pravděpodobnost, že se někde objeví barva třikrát, je poměrně vysoká.

Simulace ukazují, že pravděpodobnost, že alespoň jedna barva bude přiřazena alespoň třem avatarům, je přibližně \(83\) %.

Řešení příkladu:

Počet možných kódů: \( k = 1000 \), počet účastníků: \( n = 45 \).

Chceme pravděpodobnost, že alespoň dva mají stejný kód.

Nejprve spočítáme pravděpodobnost, že všichni mají různé kódy: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right) = \left(1 – \frac{0}{1000}\right) \cdot \left(1 – \frac{1}{1000}\right) \cdots \left(1 – \frac{44}{1000}\right) \]

Pro aproximaci využijeme logaritmickou transformaci: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{44} \frac{i}{1000} = -\frac{44 \cdot 45}{2 \cdot 1000} = -0{,}99, \quad \Rightarrow \quad P \approx e^{-0{,}99} \approx 0{,}371 \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva účastníci budou mít stejný kód, je tedy: \[ 1 – 0{,}371 = 0{,}629 \] tedy přibližně \(62{,}9\) %.

Řešení příkladu:

Počet přezdívek: \( k = 50 \), počet studentů: \( n = 30 \).

Chceme zjistit pravděpodobnost, že alespoň jedna přezdívka bude vybrána třikrát nebo vícekrát.

Maximální počet studentů bez trojité shody je omezen na \(2\) na jednu přezdívku, tedy: \[ 2 \times 50 = 100 \] což je více než \(30\), takže teoreticky je možné, že nikdo nebude mít stejnou přezdívku třikrát.

Ovšem přesné spočítání pravděpodobnosti vyžaduje použití inkluzivně-exkluzivního principu nebo aproximaci.

Pro přibližný výpočet použijeme tzv. „paradox“ přezdívek, kde pravděpodobnost, že nikdo nemá shodu alespoň třikrát, je přibližně: \[ P(\text{maximálně dvojitá shoda}) \approx e^{-\frac{n^3}{6k^2}} = e^{-\frac{30^3}{6 \cdot 50^2}} = e^{-\frac{27000}{15000}} = e^{-1{,}8} \approx 0{,}165 \]

Pravděpodobnost, že alespoň \(3\) studenti mají stejnou přezdívku, je tedy: \[ 1 – 0{,}165 = 0{,}835 \] tedy asi \(83{,}5\) %.

Řešení příkladu:

Počet dní v týdnu: \(k = 7\), počet lidí: \(n = 20\).

Protože \(n > k\), je jisté, že alespoň dva lidé mají stejný den narození podle holubníkového principu: \[ \Rightarrow \text{pravděpodobnost} = 1. \]

Řešení příkladu:

Počet možností: \(k = 50\), počet hráčů: \(n = 25\).

Pravděpodobnost, že všichni vyberou různá čísla: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{24} \left(1 – \frac{i}{50}\right). \]

Použijeme aproximaci: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{24} \frac{i}{50} = -\frac{24 \cdot 25}{2 \cdot 50} = -6. \] \[ P \approx e^{-6} \approx 0{,}00248. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva hráči vyberou stejné číslo, je tedy téměř jistá: \[ 1 – 0{,}00248 = 0{,}9975, \] tedy \(99{,}75\,\%\).

Řešení příkladu:

Počet triček: \(k = 12\), počet studentů: \(n = 28\).

Maximální počet studentů bez čtyřnásobné shody je \(3\) na tričko, což by umožnilo maximálně \(3 \times 12 = 36\) studentů. Proto je možné, že žádné čtyři studenti nebudou mít stejné tričko.

Pro přesný výpočet použijeme princip inkluze-exkluze:

Počet způsobů, jak rozdělit \(28\) studentů do \(12\) triček tak, aby žádné tričko nebylo vybráno čtyřikrát nebo více, lze vyjádřit jako složitý kombinatorický součet (multinomiální kombinace s omezením \(0 \le x_i \le 3\), kde \(x_i\) je počet studentů s tričkem \(i\)).

Tento počet je velmi obtížné spočítat ručně, ale lze použít Poissonovu aproximaci s parametrem \(\lambda = n/k = 28/12 \approx 2.33\) pro hrubý odhad.

Pravděpodobnost, že na konkrétním tričku budou méně než 4 studenti, je:

\[ P(X < 4) \approx e^{-2.33} \left(1 + 2.33 + \frac{(2.33)^2}{2} + \frac{(2.33)^3}{6}\right) \approx 0.911 \]

Přibližná pravděpodobnost, že žádné tričko nebude vybráno čtyřikrát nebo více, je

\[ P(\text{žádné čtyři stejné}) \approx (0.911)^{12} \approx 0.343 \]

Pravděpodobnost, že alespoň čtyři studenti budou mít stejné tričko, je tedy:

\[ 1 – 0.343 \approx 0.657 \]

Tedy přibližně \(65,7\,\%\).

Řešení příkladu:

Počet možných datumů: \(k = 31\), počet studentů: \(n = 35\).

Protože \(n > k\), podle holubníkového principu musí existovat alespoň dvojice se stejným datem narození: \[ \Rightarrow \text{pravděpodobnost} = 1. \]

Řešení příkladu:

Počet variant triček: \(k = 15\), počet lidí: \(n = 20\).

Maximální počet osob bez trojité shody je omezen na \(2\) na tričko, tedy: \[ 2 \times 15 = 30, \] což je více než \(20\), takže je teoreticky možné, že nikdo nebude mít stejné tričko třikrát.

Pro odhad pravděpodobnosti použijeme aproximaci Poissonovým rozdělením s parametrem \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{20}{15} \approx 1{,}33. \]

Pravděpodobnost, že počet lidí se stejným tričkem je menší než \(3\), je součet \[ P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2). \]

Výpočet: \[ P(X=m) = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}, \] takže \[ P(X<3) = e^{-1{,}33} \left(1 + 1{,}33 + \frac{(1{,}33)^2}{2}\right) \approx e^{-1{,}33} \times 2{,}23 \approx 0{,}739. \]

Pravděpodobnost, že alespoň tři lidé mají stejné tričko, je tedy: \[ 1 – 0{,}739 = 0{,}261, \] tedy asi \(26{,}1\,\%\).

Řešení příkladu:

Počet dní: \(k = 365\), počet lidí: \(n = 50\).

Pravděpodobnost, že všichni mají různé narozeniny, je \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Pro zjednodušení použijeme aproximaci: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{49} \frac{i}{365} = -\frac{49 \cdot 50}{2 \cdot 365} \approx -3{,}36, \] takže \[ P \approx e^{-3{,}36} \approx 0{,}035. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva mají stejný den narození, je tedy: \[ 1 – 0{,}035 = 0{,}965, \] což je \(\approx 96{,}5 \%\).

Řešení příkladu:

Počet projektů: \(k = 20\), počet vědců: \(n = 18\).

Pravděpodobnost, že všichni pracují na různých projektech: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right) = \prod_{i=0}^{17} \left(1 – \frac{i}{20}\right). \]

Vypočítáme: \[ P = \frac{20}{20} \times \frac{19}{20} \times \frac{18}{20} \times \cdots \times \frac{3}{20} = \frac{20! / 2!}{20^{18}}. \]

Pro odhad použijeme logaritmickou aproximaci: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{17} \frac{i}{20} = -\frac{17 \cdot 18}{2 \cdot 20} = -7{,}65, \] takže \[ P \approx e^{-7{,}65} \approx 0{,}00048. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva vědci pracují na stejném projektu, je téměř jistá: \[ 1 – 0{,}00048 = 0{,}99952, \] tedy \(\approx 99{,}95 \%\).

Řešení příkladu:

Počet barev: \(k = 8\), počet lidí: \(n = 12\).

Maximální počet lidí bez čtyřnásobné shody je \(3\) na barvu, tedy: \[ 3 \times 8 = 24, \] což je více než \(12\), takže je možné, že nikdo nemá čtyři stejné barvy.

Aproximace Poissonovým rozdělením s parametrem: \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{12}{8} = 1{,}5. \]

Pravděpodobnost, že v jedné barvě je méně než \(4\) lidí: \[ P(X < 4) = \sum_{m=0}^{3} \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}. \]

Výpočet: \[ P(X<4) = e^{-1{,}5} \left(1 + 1{,}5 + \frac{(1{,}5)^2}{2} + \frac{(1{,}5)^3}{6}\right) \approx 0{,}932. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna barva má \(4\) a více lidí, je: \[ 1 – 0{,}932 = 0{,}068, \] tedy \(\approx 6{,}8 \%\).

Řešení příkladu:

Počet kódů: \(k = 30\), počet zaměstnanců: \(n = 22\).

Pravděpodobnost, že všichni mají různé kódy: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Použijeme aproximaci: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{21} \frac{i}{30} = -\frac{21 \cdot 22}{2 \cdot 30} = -7{,}7, \] tedy \[ P \approx e^{-7{,}7} \approx 0{,}00045. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva mají stejný kód, je: \[ 1 – 0{,}00045 = 0{,}99955, \] což je téměř jisté (\(\approx 99{,}955 \%\)).

Řešení příkladu:

Počet hesel: \(k = 50\), počet lidí: \(n = 40\).

Nejprve vypočítáme pravděpodobnost, že všichni zvolí různá hesla: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right) = \frac{50}{50} \times \frac{49}{50} \times \cdots \times \frac{11}{50}. \]

Pro lepší přehled použijeme logaritmickou aproximaci: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{39} \frac{i}{50} = -\frac{39 \cdot 40}{2 \cdot 50} = -15{,}6. \]

Tedy \[ P \approx e^{-15{,}6} \approx 1{,}67 \times 10^{-7}. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby zvolí stejné heslo, je téměř jistá: \[ 1 – 1{,}67 \times 10^{-7} \approx 0{,}9999998, \] tedy \(\approx 99{,}99998 \%\).

Řešení příkladu:

Počet sedadel: \( k = 20 \), počet diváků: \( n = 25 \).

Protože \( n > k \), podle holubníkového principu je pravděpodobnost, že alespoň dva diváci sedí na stejném sedadle, rovna 1: \[ \Rightarrow \text{pravděpodobnost} = 1. \]

Řešení příkladu:

Počet dní: \( k = 365 \), počet studentů: \( n = 30 \).

Nejprve spočítáme pravděpodobnost, že nikdo nemá shodu alespoň tří stejných narozenin. Pro zjednodušení použijeme aproximaci pomocí Poissonova rozdělení.

Průměrný počet lidí na jeden den je \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{30}{365} \approx 0{,}0822. \]

Pravděpodobnost, že na jednom dni jsou méně než tři narozeniny, je \[ P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2), \] kde \[ P(X=m) = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}. \]

Po dosazení: \[ P(X<3) = e^{-0{,}0822} \left(1 + 0{,}0822 + \frac{0{,}0822^2}{2}\right) \approx 0{,}921. \]

Pravděpodobnost, že alespoň na jednom dni jsou tři nebo více narozeniny, je \[ 1 – P(X<3)^k = 1 - (0{,}921)^{365} \approx 1 - 2{,}04 \times 10^{-14} \approx 1. \]

Tedy téměř jistě existuje den, kdy se narodí alespoň tři studenti.

Řešení příkladu:

Počet triček: \( k = 10 \), počet studentů: \( n = 15 \).

Maximální počet studentů bez pěti shodných triček na jeden typ je \(4\), tedy \[ 4 \times 10 = 40, \] což je více než \(15\), takže je možné, že nikdo nemá pět stejných triček.

Pro odhad pravděpodobnosti použijeme Poissonovo rozdělení s parametrem: \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{15}{10} = 1{,}5. \]

Pravděpodobnost, že v jedné barvě je méně než 5 lidí: \[ P(X < 5) = \sum_{m=0}^{4} \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}. \]

Po výpočtu: \[ P(X<5) \approx e^{-1{,}5} \times \left(1 + 1{,}5 + \frac{(1{,}5)^2}{2} + \frac{(1{,}5)^3}{6} + \frac{(1{,}5)^4}{24}\right) \approx 0{,}997. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna barva má 5 a více studentů, je \[ 1 – (0{,}997)^{10} \approx 1 – 0{,}970 = 0{,}030, \] tedy asi \(3\) %.

Řešení příkladu:

Počet jídel: \( k = 40 \), počet účastníků: \( n = 28 \).

Pravděpodobnost, že všichni zvolí různá jídla: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right) = \frac{40}{40} \times \frac{39}{40} \times \cdots \times \frac{13}{40}. \]

Pro přibližný výpočet použijeme logaritmickou aproximaci: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{27} \frac{i}{40} = -\frac{27 \cdot 28}{2 \cdot 40} = -9{,}45, \] tedy \[ P \approx e^{-9{,}45} \approx 7{,}9 \times 10^{-5}. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva účastníci zvolí stejné jídlo, je \[ 1 – 7{,}9 \times 10^{-5} \approx 0{,}99992, \] tedy téměř jistá.

Řešení příkladu:

Počet hesel: \( k = 60 \), počet zaměstnanců: \( n = 45 \).

Nejprve spočítáme pravděpodobnost, že všichni zaměstnanci zvolí různá hesla. To lze vyjádřit jako: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right) = \frac{60}{60} \times \frac{59}{60} \times \cdots \times \frac{16}{60}. \]

Tuto hodnotu přibližně spočítáme pomocí logaritmů: \[ \ln P = \sum_{i=0}^{44} \ln\left(1 – \frac{i}{60}\right). \] Pro lepší aproximaci využijeme rozvoj do Taylorovy řady pro malé hodnoty \( \frac{i}{60} \): \[ \ln(1 – x) \approx -x – \frac{x^2}{2} \quad \text{pro } x \to 0. \]

Takže: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{44} \left( \frac{i}{60} + \frac{i^2}{2 \times 60^2} \right) = -\left( \frac{1}{60} \sum_{i=0}^{44} i + \frac{1}{7200} \sum_{i=0}^{44} i^2 \right). \]

Vypočítáme součty: \[ \sum_{i=0}^{44} i = \frac{44 \times 45}{2} = 990, \] \[ \sum_{i=0}^{44} i^2 = \frac{44 \times 45 \times 89}{6} = 29370. \]

Tedy \[ \ln P \approx -\left( \frac{990}{60} + \frac{29370}{7200} \right) = -(16.5 + 4.08) = -20.58. \]

Exponentem dostáváme: \[ P \approx e^{-20.58} \approx 1.16 \times 10^{-9}. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby zvolí stejné heslo, je tedy: \[ 1 – P \approx 1 – 1.16 \times 10^{-9} \approx 0.9999999988, \] což znamená téměř jistotu shody.

Řešení příkladu:

Počet projektů: \( k = 30 \), počet studentů: \( n = 22 \).

Pravděpodobnost, že všichni studenti mají různé projekty: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right) = \frac{30}{30} \times \frac{29}{30} \times \cdots \times \frac{9}{30}. \]

Pro rychlý odhad využijeme aproximaci: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{21} \frac{i}{30} = -\frac{21 \times 22}{2 \times 30} = -7.7. \] \[ P \approx e^{-7.7} \approx 0.00045. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva studenti mají stejný projekt, je tedy \[ 1 – 0.00045 = 0.99955, \] což znamená, že je to prakticky jisté.

Řešení příkladu:

Počet přístrojů: \( k = 15 \), počet vědců: \( n = 18 \).

Nejprve zjistíme, zda je možné, aby nikdo neměl čtyři stejné přístroje. Maximální počet vědců s maximálně třemi stejnými přístroji je \[ 3 \times 15 = 45, \] což je více než \(18\), takže je teoreticky možné, že nikdo nemá čtyři stejné přístroje.

Pro výpočet použijeme aproximaci pomocí Poissonova rozdělení. Průměrný počet vědců na jeden přístroj je \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{18}{15} = 1.2. \]

Pravděpodobnost, že na jednom přístroji je méně než čtyři vědci: \[ P(X < 4) = \sum_{m=0}^3 \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}. \]

Vypočteme jednotlivé členy: \[ P(X=0) = e^{-1.2} \approx 0.3012, \] \[ P(X=1) = 1.2 \times e^{-1.2} \approx 0.3615, \] \[ P(X=2) = \frac{1.2^2}{2} \times e^{-1.2} \approx 0.2169, \] \[ P(X=3) = \frac{1.2^3}{6} \times e^{-1.2} \approx 0.0868. \]

Součet: \[ P(X<4) \approx 0.3012 + 0.3615 + 0.2169 + 0.0868 = 0.9664. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden přístroj bude mít čtyři a více vědců, je \[ 1 – (P(X<4))^k = 1 - (0.9664)^{15} \approx 1 - 0.615 = 0.385, \] tedy přibližně \(38.5\ \%\).

Řešení příkladu:

Počet workshopů: \(k = 50\), počet účastníků: \(n = 35\).

Pravděpodobnost, že všichni zvolí různá workshopová témata: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Logaritmická aproximace: \[ \ln P \approx -\sum_{i=0}^{34} \frac{i}{50} = -\frac{34 \times 35}{2 \times 50} = -11.9, \] \[ P \approx e^{-11.9} \approx 6.78 \times 10^{-6}. \]

Pravděpodobnost alespoň jedné shody: \[ 1 – 6.78 \times 10^{-6} \approx 0.9999932, \] tedy prakticky jistá.

Řešení příkladu:

Počet barev balónků: \(k = 25\), počet lidí: \(n = 20\).

Průměrný počet lidí na jednu barvu je \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{20}{25} = 0.8. \]

Pravděpodobnost, že na jedné barvě je méně než tři lidé: \[ P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2}\right). \]

Dosadíme: \[ P(X < 3) = e^{-0.8} \left(1 + 0.8 + \frac{0.64}{2}\right) = e^{-0.8} (1 + 0.8 + 0.32) = e^{-0.8} \times 2.12. \]

Hodnota \( e^{-0.8} \approx 0.4493 \), takže \[ P(X < 3) \approx 0.4493 \times 2.12 = 0.952. \]

Pravděpodobnost, že alespoň na jedné barvě je 3 a více lidí, je \[ 1 – (0.952)^{25} \approx 1 – 0.283 = 0.717, \] tedy asi \(71,7 %\).

Řešení příkladu:

Počet kódů: \(k=40\), počet zaměstnanců: \(n=28\).

Pravděpodobnost, že všichni mají odlišné kódy, je \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right) = \frac{40}{40} \times \frac{39}{40} \times \cdots \times \frac{13}{40}. \]

Pro přesnější výpočet využijeme logaritmickou aproximaci: \[ \ln P \approx – \sum_{i=0}^{n-1} \frac{i}{k} = – \frac{n(n-1)}{2k} = – \frac{28 \times 27}{2 \times 40} = -9.45. \]

Tudíž \[ P(\text{bez shody}) \approx e^{-9.45} \approx 7.9 \times 10^{-5}. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva zaměstnanci mají stejný kód, je \[ 1 – 7.9 \times 10^{-5} \approx 0.99992, \] což znamená prakticky jistotu shody.

Řešení příkladu:

Počet knih \(k=50\), návštěvníků \(n=32\).

Pravděpodobnost, že každý vybere jinou knihu: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Pro aproximaci použijeme vzorec: \[ \ln P \approx -\frac{n(n-1)}{2k} = -\frac{32 \times 31}{2 \times 50} = -9.92, \] \[ P(\text{bez shody}) \approx e^{-9.92} \approx 4.9 \times 10^{-5}. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby vyberou stejnou knihu, je \[ 1 – 4.9 \times 10^{-5} \approx 0.99995, \] tedy téměř jistá shoda.

Řešení příkladu:

Počet sedadel: \(k = 30\), počet diváků: \(n = 20\).

Pravděpodobnost, že všichni zvolí různá sedadla: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Pomocí aproximace logaritmu: \[ \ln P \approx -\frac{n(n-1)}{2k} = -\frac{20 \times 19}{2 \times 30} = -6.33, \] \[ P \approx e^{-6.33} \approx 0.00178. \]

Pravděpodobnost alespoň jedné shody je tedy: \[ 1 – 0.00178 = 0.99822, \] což je velmi vysoká pravděpodobnost shody.

Řešení příkladu:

Počet druhů zmrzlin: \(k = 12\), počet lidí: \(n = 15\).

Nejprve odhadneme průměrný počet lidí na jeden druh zmrzliny: \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{15}{12} = 1.25. \]

Pravděpodobnost, že na jednom druhu budou maximálně \(2\) lidé, je součet pravděpodobností Poissonova rozdělení pro hodnoty \(0\), \(1\) a \(2\): \[ P(X \leq 2) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2}\right). \]

Dosadíme hodnoty: \[ e^{-1.25} \approx 0.2865, \] \[ 1 + 1.25 + \frac{(1.25)^2}{2} = 1 + 1.25 + 0.78125 = 3.03125, \] \[ P(X \leq 2) = 0.2865 \times 3.03125 \approx 0.8687. \]

Pravděpodobnost, že alespoň na jednom druhu bude \(3\) a více lidí, je \[ 1 – (0.8687)^{12} \approx 1 – 0.203 = 0.797, \] tedy asi \(79.7\%\).

Řešení příkladu:

Počet projektů \(k = 26\), počet studentů \(n = 26\).

Pravděpodobnost, že všichni vyberou různé projekty, je \[ P(\text{bez shody}) = \frac{26!}{26^{26}}. \]

Tato hodnota je známa z analogie narozeninového paradoxu — pro \(n = k = 26\) je \[ P(\text{bez shody}) \approx 0.378. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva studenti zvolí stejný projekt, je tedy \[ 1 – 0.378 = 0.622, \] tedy přibližně \(62.2\%\).

Řešení příkladu:

Počet témat: \(k = 30\), počet studentů: \(n = 24\).

Nejprve spočítáme pravděpodobnost, že všichni studenti zvolí různá témata: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Pro rychlou aproximaci využijeme vztah \[ \ln P \approx -\frac{n(n-1)}{2k} = -\frac{24 \times 23}{2 \times 30} = -9.2. \]

Odtud \[ P(\text{bez shody}) \approx e^{-9.2} \approx 0.0001. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby zvolí stejné téma, je tedy \[ 1 – 0.0001 = 0.9999, \] což znamená téměř jistou shodu.

Řešení příkladu:

Počet druhů dezertů: \(k = 15\), počet hostů: \(n = 18\).

Průměrný počet hostů na jeden druh dezertu je \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{18}{15} = 1.2. \]

Pravděpodobnost, že na daný druh dezertu budou maximálně \(2\) hosté, je podle Poissonova rozdělení: \[ P(X \leq 2) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2}\right). \]

Dosadíme hodnoty: \[ e^{-1.2} \approx 0.3012, \] \[ 1 + 1.2 + \frac{(1.2)^2}{2} = 1 + 1.2 + 0.72 = 2.92, \] \[ P(X \leq 2) = 0.3012 \times 2.92 \approx 0.8795. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden druh dezertu objednají \(3\) a více hosté, je \[ 1 – (0.8795)^{15} \approx 1 – 0.139 = 0.861, \] tedy asi \(86.1\%\).

Řešení příkladu:

Počet témat: \(k = 40\), počet studentů: \(n = 22\).

Pravděpodobnost, že všichni zvolí různá témata: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Aproximujeme pomocí logaritmů: \[ \ln P \approx -\frac{n(n-1)}{2k} = -\frac{22 \times 21}{2 \times 40} = -5.775, \] \[ P(\text{bez shody}) \approx e^{-5.775} \approx 0.0031. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby si vyberou stejné téma, je \[ 1 – 0.0031 = 0.9969, \] tedy velmi vysoká pravděpodobnost shody.

Řešení příkladu:

Počet čísel: \(k = 10\), počet hráčů: \(n = 12\).

Očekávaný počet hráčů na jedno číslo: \[ \lambda = \frac{n}{k} = \frac{12}{10} = 1.2. \]

Pravděpodobnost, že na jednom čísle bude méně než \(4\) hráči, je \[ P(X < 4) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2} + \frac{\lambda^3}{6}\right). \]

Dosadíme hodnoty: \[ e^{-1.2} \approx 0.3012, \] \[ 1 + 1.2 + \frac{1.44}{2} + \frac{1.728}{6} = 1 + 1.2 + 0.72 + 0.288 = 3.208, \] \[ P(X < 4) = 0.3012 \times 3.208 \approx 0.9658. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedno číslo bude mít \(4\) a více hráčů, je \[ 1 – (0.9658)^{10} \approx 1 – 0.700 = 0.300, \] tedy asi \(30\%\).

Řešení příkladu:

Počet aliasů: \(k = 50\), počet zaměstnanců: \(n = 35\).

Pravděpodobnost, že všichni zvolí unikátní aliasy: \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Aproximujeme logaritmem: \[ \ln P \approx -\frac{n(n-1)}{2k} = -\frac{35 \times 34}{2 \times 50} = -11.9, \] \[ P(\text{bez shody}) \approx e^{-11.9} \approx 6.8 \times 10^{-6}. \]

Pravděpodobnost alespoň jedné shody je tedy téměř \(1\): \[ 1 – 6.8 \times 10^{-6} \approx 0.999993. \]

Řešení příkladu:

Máme \(28\) hráčů a \(2\) možnosti výběru barvy (bílá, černá). Hledáme pravděpodobnost, že alespoň \(15\) hráčů zvolí stejnou barvu.

Situaci můžeme modelovat jako rozdělení binomické pravděpodobnosti s parametry \(n = 28\) a \(p = 0.5\) (pravděpodobnost výběru jedné barvy).

Pravděpodobnost, že alespoň \(15\) hráčů zvolí stejnou barvu, je tedy: \[ P(X \geq 15) + P(X \leq 13), \] kde \(X\) je počet hráčů, kteří si vyberou jednu barvu.

Protože pravděpodobnost výběru bílé nebo černé je stejná, hledáme \[ P(X \geq 15) = P(X \leq 13) \text{ (symetricky)}. \] Tedy: \[ P(\text{alespoň 15 stejná barva}) = 2 \times P(X \geq 15). \]

Pomocí normální aproximace binomického rozdělení s parametry: \[ \mu = np = 14, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{7} \approx 2.6458. \]

Pro kontinuitní korekci hledáme: \[ P(X \geq 15) \approx P\left(Z \geq \frac{14.5 – 14}{2.6458}\right) = P(Z \geq 0.189). \] Hodnota z tabulek normálního rozdělení je: \[ P(Z \geq 0.189) = 1 – \Phi(0.189) \approx 1 – 0.575 = 0.425. \]

Celková pravděpodobnost je tedy: \[ 2 \times 0.425 = 0.85. \]

Výsledek: Pravděpodobnost, že alespoň \(15\) hráčů si vybere stejnou barvu, je přibližně \(85\%\).

Řešení příkladu:

Počet studentů: \(n = 20\), počet zadání: \(k = 10\). Chceme zjistit pravděpodobnost, že alespoň tři studenti mají stejné zadání.

Očekávaný počet studentů na jedno zadání je: \[ \lambda = \frac{n}{k} = 2. \]

Modelujeme počet studentů na jednom zadání Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda = 2\).

Pravděpodobnost, že na jednom zadání budou maximálně \(2\) studenti, je \[ P(X \leq 2) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2}\right). \]

Dosadíme hodnoty: \[ e^{-2} \approx 0.1353, \] \[ 1 + 2 + 2 = 5, \] \[ P(X \leq 2) = 0.1353 \times 5 = 0.6765. \]

Pravděpodobnost, že na všech \(10\) zadání bude maximálně \(2\) studenti, je \[ (0.6765)^{10} \approx 0.0213. \]

Pravděpodobnost, že alespoň na jednom zadání budou \(3\) a více studenti, je \[ 1 – 0.0213 = 0.9787, \] což je přibližně \(97.9\%\).

Řešení příkladu:

Počet zaměstnanců: \(n = 15\), počet oddělení: \(k = 8\).

Pravděpodobnost, že všichni zvolí různá oddělení, je \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{i=0}^{n-1} \left(1 – \frac{i}{k}\right). \]

Protože \(n > k\), není možné, aby všichni byli v různých odděleních. Proto: \[ P(\text{alespoň 2 stejné oddělení}) = 1. \]

Výsledek je tedy \(100\%\) pravděpodobnost, že alespoň dvě osoby budou ve stejném oddělení.

Řešení příkladu:

Počet soutěžících: \(n = 18\), počet kategorií: \(k = 12\).

Očekávaný počet soutěžících na kategorii je \[ \lambda = \frac{n}{k} = 1.5. \]

Modelujeme počet soutěžících v kategorii pomocí Poissonova rozdělení s parametrem \(\lambda = 1.5\).

Pravděpodobnost, že v jedné kategorii je méně než 4 soutěžících, je \[ P(X < 4) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2} + \frac{\lambda^3}{6}\right). \]

Dosadíme hodnoty: \[ e^{-1.5} \approx 0.2231, \] \[ 1 + 1.5 + \frac{2.25}{2} + \frac{3.375}{6} = 1 + 1.5 + 1.125 + 0.5625 = 4.1875, \] \[ P(X < 4) = 0.2231 \times 4.1875 = 0.9346. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna kategorie má 4 a více soutěžících, je \[ 1 – (0.9346)^{12} \approx 1 – 0.412 = 0.588, \] tedy přibližně \(58.8 \%\).

Řešení příkladu:

Počet žáků i témat: \(n = k = 26\).

Pravděpodobnost, že všichni žáci si vyberou různá témata, je \[ P(\text{bez shody}) = \frac{26}{26} \times \frac{25}{26} \times \frac{24}{26} \times \dots \times \frac{1}{26} = \frac{26!}{26^{26}}. \]

Tuto hodnotu můžeme přiblížit. Ve skutečnosti je toto velmi nízké, protože počet témat je stejný jako počet žáků.

Protože každý žák si vybírá náhodně a nezávisle, je pravděpodobnost alespoň jedné shody \[ P = 1 – \frac{26!}{26^{26}}. \]

Hodnota \(\frac{26!}{26^{26}}\) je velmi malá, přibližně \(0.029\), tedy \[ P \approx 1 – 0.029 = 0.971. \]

Závěr: Pravděpodobnost, že alespoň dva žáci si vyberou stejné téma, je asi \(97.1 \%\).

Řešení příkladu:

Situace je klasický narozeninový paradox: chceme pravděpodobnost, že ve skupině \(n = 40\) osob je alespoň dvojice s shodným narozeninovým dnem ze \(365\) možných dnů.

Je jednodušší spočítat doplněk – pravděpodobnost, že všichni mají různé narozeniny, a pak ji odečíst od \(1\).

Pravděpodobnost, že první člověk má nějaký den, je \(1\) (žádné omezení).

Pro druhého je pravděpodobnost, že má narozeniny jiný den než první, \(\frac{364}{365}\).

Pro třetího, že se nerovná prvním dvěma, \(\frac{363}{365}\), a tak dále.

Celková pravděpodobnost bez shody je tedy \[ P(\text{bez shody}) = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{365-k}{365} = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \dots \times \frac{365-39}{365}. \]

Tuto hodnotu lze vypočítat numericky:

\[ P(\text{bez shody}) \approx 0.1088. \]

Pravděpodobnost, že alespoň dva mají stejné narozeniny, je tedy \[ 1 – 0.1088 = 0.8912, \] což je asi \(89.1 \%\).

Řešení příkladu:

Máme \(50\) lidí a \(20\) měst, chceme zjistit pravděpodobnost, že alespoň \(5\) lidí si vybere stejné město.

Průměrný počet lidí na město je \(\lambda = \frac{50}{20} = 2.5\).

Počet lidí na jednom městě lze modelovat Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda = 2.5\).

Pravděpodobnost, že na jednom městě je méně než \(5\) lidí, je \[ P(X < 5) = \sum_{k=0}^{4} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}. \]

Dosadíme: \[ e^{-2.5} \approx 0.0821, \] a \[ P(X<5) = 0.0821 \times \left(1 + 2.5 + \frac{(2.5)^2}{2} + \frac{(2.5)^3}{6} + \frac{(2.5)^4}{24}\right). \]

Počítáme jednotlivé členy: \[ 1 + 2.5 + 3.125 + 2.604 + 1.627 = 10.856. \]

Proto \[ P(X < 5) = 0.0821 \times 10.856 = 0.891. \]

Pravděpodobnost, že na jednom městě je alespoň \(5\) lidí, je \[ 1 – 0.891 = 0.109. \]

Pro \(20\) měst je pravděpodobnost, že alespoň jedno město má \(5\) a více lidí, \[ 1 – (0.891)^{20} \approx 1 – 0.103 = 0.897. \]

Tedy asi \(89.7 \%\).

Řešení příkladu:

Počet studentů \(n=35\), počet sportů \(k=10\), hledáme pravděpodobnost, že v nějakém sportu je alespoň \(4\) studenti.

Průměrný počet studentů na sport je \[ \lambda = \frac{35}{10} = 3.5. \]

Modelujeme počet studentů na sport pomocí Poissonova rozdělení s parametrem \(\lambda = 3.5\).

Pravděpodobnost, že v jednom sportu je méně než \(4\) studenti, je \[ P(X < 4) = \sum_{k=0}^{3} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}. \]

Dosadíme hodnoty: \[ e^{-3.5} \approx 0.0302, \] \[ P(X<4) = 0.0302 \times \left(1 + 3.5 + \frac{(3.5)^2}{2} + \frac{(3.5)^3}{6}\right). \]

Počítáme členy: \[ 1 + 3.5 + 6.125 + 7.146 = 17.771. \]

Výsledek: \[ P(X < 4) = 0.0302 \times 17.771 = 0.537. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden sport má \(4\) a více studentů, je \[ 1 – (0.537)^{10} \approx 1 – 0.0028 = 0.9972, \] tedy asi \(99.7 \%\).

Řešení příkladu:

Počet lidí \(n=60\), počet možných narozeninových dnů \(k=365\).

Modelujeme situaci jako rozdělení počtu narozenin na jednotlivé dny jako Poissonovo rozdělení s parametrem \[ \lambda = \frac{60}{365} \approx 0.164. \]

Pravděpodobnost, že na jednom dni jsou maximálně \(2\) lidé, je \[ P(X \leq 2) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2}\right). \]

Dosadíme: \[ e^{-0.164} \approx 0.849, \] \[ 1 + 0.164 + \frac{0.164^2}{2} = 1 + 0.164 + 0.0134 = 1.1774. \]

Celkem: \[ P(X \leq 2) = 0.849 \times 1.1774 = 1.0. \]

Pro pravděpodobnost, že na žádném dni nejsou tři a více lidí, je \[ P(\text{bez trojné shody}) = (P(X \leq 2))^{365} \approx 1^{365} \approx 1, \] což znamená, že pravděpodobnost trojné shody je velmi malá.

Pro přesnější odhad lze použít jiné metody, ale obecně platí, že pravděpodobnost, že alespoň tři lidé mají stejný den narození, je velmi malá.

Řešení příkladu:

Počet lidí \(n=45\), počet jazyků \(k=30\), hledáme pravděpodobnost, že alespoň \(6\) lidí si vybere stejný jazyk.

Průměrný počet lidí na jazyk: \[ \lambda = \frac{45}{30} = 1.5. \]

Modelujeme počet lidí na jednom jazyce jako Poissonovo rozdělení s parametrem \(\lambda=1.5\).

Pravděpodobnost, že na jednom jazyce je méně než \(6\) lidí, je \[ P(X < 6) = \sum_{k=0}^{5} e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}. \]

Vypočítáme členy: \[ e^{-1.5} \approx 0.2231, \] \[ \sum_{k=0}^{5} \frac{1.5^k}{k!} = 1 + 1.5 + 1.125 + 0.5625 + 0.2109 + 0.0633 = 4.4617. \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 6) = 0.2231 \times 4.4617 = 0.995. \]

Pravděpodobnost, že alespoň na jednom jazyce je \(6\) a více lidí: \[ 1 – (0.995)^{30} \approx 1 – 0.860 = 0.140, \] tedy asi \(14 \%\).

Řešení příkladu:

Máme \(25\) studentů a \(12\) hudebních skupin, každý student vybere jednu skupinu nezávisle a rovnoměrně.

Průměrný počet studentů na jednu skupinu je \[ \lambda = \frac{25}{12} \approx 2.0833. \]

Předpokládejme, že počet studentů volících jednu skupinu lze modelovat Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda\).

Pravděpodobnost, že na jedné skupině je méně než \(3\) studenti, je \[ P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = e^{-\lambda} \left(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2}\right). \]

Dosadíme: \[ e^{-2.0833} \approx 0.124, \] \[ 1 + 2.0833 + \frac{(2.0833)^2}{2} = 1 + 2.0833 + 2.169 = 5.2523. \]

Výsledek: \[ P(X < 3) = 0.124 \times 5.2523 = 0.651. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna skupina má \(3\) nebo více studentů, je tedy \[ 1 – (0.651)^{12} \approx 1 – 0.0097 = 0.9903, \] tedy asi \(99\) %.

Tedy s velmi vysokou pravděpodobností bude existovat skupina, kterou si vyberou alespoň \(3\) studenti.

Řešení příkladu:

Počet zaměstnanců \(n=15\), počet jazyků \(k=7\), průměrný počet zaměstnanců na jazyk je \[ \lambda = \frac{15}{7} \approx 2.143. \]

Modelujeme počet zaměstnanců, kteří vyberou jeden jazyk, Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda\).

Pravděpodobnost, že na jednom jazyce jsou méně než \(4\) zaměstnanci: \[ P(X < 4) = \sum_{i=0}^3 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!} = e^{-\lambda}(1 + \lambda + \frac{\lambda^2}{2} + \frac{\lambda^3}{6}). \]

Dosadíme: \[ e^{-2.143} \approx 0.1177, \] \[ 1 + 2.143 + \frac{(2.143)^2}{2} + \frac{(2.143)^3}{6} = 1 + 2.143 + 2.296 + 1.641 = 7.08. \]

Výsledek: \[ P(X<4) = 0.1177 \times 7.08 = 0.833. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden jazyk má \(4\) a více zaměstnanců: \[ 1 – (0.833)^7 \approx 1 – 0.297 = 0.703, \] tedy asi \(70.3\) %.

Řešení příkladu:

Počet účastníků \(n=20\), počet témat \(k=8\), průměrný počet účastníků na téma: \[ \lambda = \frac{20}{8} = 2.5. \]

Modelujeme počet účastníků na jedno téma Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda=2.5\).

Pravděpodobnost, že na jednom tématu je méně než \(5\) účastníků: \[ P(X < 5) = \sum_{i=0}^4 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Dosadíme: \[ e^{-2.5} \approx 0.0821, \] \[ \sum_{i=0}^4 \frac{(2.5)^i}{i!} = 1 + 2.5 + 3.125 + 2.604 + 1.627 = 10.856. \]

Výsledek: \[ P(X < 5) = 0.0821 \times 10.856 = 0.891. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedno téma má \(5\) a více účastníků: \[ 1 – (0.891)^8 \approx 1 – 0.383 = 0.617, \] tedy asi \(61.7\) %.

Řešení příkladu:

Počet studentů \(n=50\), počet sportů \(k=15\), průměrný počet studentů na sport je \[ \lambda = \frac{50}{15} \approx 3.333. \]

Modelujeme počet studentů na jeden sport Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda\).

Pravděpodobnost, že na jednom sportu je méně než \(7\) studentů: \[ P(X < 7) = \sum_{i=0}^6 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Dosadíme: \[ e^{-3.333} \approx 0.0358, \] \[ \sum_{i=0}^6 \frac{(3.333)^i}{i!} \approx 1 + 3.333 + 5.555 + 6.172 + 5.142 + 3.428 + 1.903 = 26.533. \]

Výsledek: \[ P(X < 7) = 0.0358 \times 26.533 = 0.949. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden sport má \(7\) a více studentů: \[ 1 – (0.949)^{15} \approx 1 – 0.476 = 0.524, \] tedy asi \(52.4\) %.

Řešení příkladu:

Počet lidí \(n=18\), počet rolí \(k=10\), průměrný počet lidí na roli je \[ \lambda = \frac{18}{10} = 1.8. \]

Modelujeme počet lidí na jednu roli Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda\).

Pravděpodobnost, že na jedné roli jsou méně než \(4\) lidé: \[ P(X < 4) = \sum_{i=0}^3 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Dosadíme: \[ e^{-1.8} \approx 0.1653, \] \[ 1 + 1.8 + \frac{(1.8)^2}{2} + \frac{(1.8)^3}{6} = 1 + 1.8 + 1.62 + 0.972 = 5.392. \]

Výsledek: \[ P(X < 4) = 0.1653 \times 5.392 = 0.891. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna role má \(4\) a více lidí: \[ 1 – (0.891)^{10} \approx 1 – 0.311 = 0.689, \] tedy asi \(68.9\) %.

Řešení příkladu:

Máme \(30\) studentů, \(20\) témat, tedy průměrná četnost na téma je \[ \lambda = \frac{30}{20} = 1.5. \]

Modelujeme počet studentů, kteří si zvolí jedno téma, Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda\).

Chceme pravděpodobnost, že na jednom tématu je méně než \(6\) studentů: \[ P(X < 6) = \sum_{i=0}^5 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Vypočítáme jednotlivé členy: \[ e^{-1.5} \approx 0.22313, \] \[ \sum_{i=0}^5 \frac{1.5^i}{i!} = 1 + 1.5 + 1.125 + 0.5625 + 0.211 + 0.0634 = 4.4619. \]

Pravděpodobnost, že na jednom tématu je méně než \(6\) studentů je \[ P(X<6) = 0.22313 \times 4.4619 \approx 0.995. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedno téma má \(6\) nebo více studentů, je \[ 1 – (0.995)^{20} \approx 1 – 0.905 = 0.095, \] tedy asi \(9.5\) %.

Výsledkem je relativně nízká pravděpodobnost, že se alespoň \(6\) studentů shodne na stejném tématu.

Řešení příkladu:

Počet lidí \(n=22\), počet projektů \(k=11\), průměrný počet lidí na projekt: \[ \lambda = \frac{22}{11} = 2. \]

Poissonovo rozdělení s parametrem \(\lambda=2\) použijeme k aproximaci počtu lidí na jeden projekt.

Pravděpodobnost, že na jednom projektu je méně než \(5\) lidí: \[ P(X < 5) = \sum_{i=0}^4 e^{-2} \frac{2^i}{i!}. \]

Vypočítáme: \[ e^{-2} \approx 0.1353, \] \[ \sum_{i=0}^4 \frac{2^i}{i!} = 1 + 2 + 2 + 1.333 + 0.667 = 7.0. \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 5) = 0.1353 \times 7 = 0.947. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden projekt má \(5\) a více lidí: \[ 1 – (0.947)^{11} \approx 1 – 0.567 = 0.433, \] tedy asi \(43.3\) %.

Řešení příkladu:

Počet zaměstnanců \(n=40\), počet úkolů \(k=16\), průměrný počet zaměstnanců na úkol: \[ \lambda = \frac{40}{16} = 2.5. \]

Modelujeme počet zaměstnanců na jeden úkol Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda\).

Pravděpodobnost, že na jednom úkolu je méně než \(8\) zaměstnanců: \[ P(X < 8) = \sum_{i=0}^{7} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Dosadíme: \[ e^{-2.5} \approx 0.08208, \] \[ \sum_{i=0}^{7} \frac{(2.5)^i}{i!} \approx 1 + 2.5 + 3.125 + 2.604 + 1.627 + 0.813 + 0.339 + 0.121 = 12.129. \]

Výsledek: \[ P(X < 8) = 0.08208 \times 12.129 \approx 0.995. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden úkol má \(8\) a více zaměstnanců: \[ 1 – (0.995)^{16} \approx 1 – 0.923 = 0.077, \] tedy asi \(7.7\) %.

Řešení příkladu:

Počet členů \(n=28\), počet sportů \(k=9\), průměrný počet členů na sport: \[ \lambda = \frac{28}{9} \approx 3.111. \]

Pravděpodobnost, že na jednom sportu je méně než \(6\) členů: \[ P(X < 6) = \sum_{i=0}^5 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Dosadíme: \[ e^{-3.111} \approx 0.0445, \] \[ \sum_{i=0}^5 \frac{(3.111)^i}{i!} \approx 1 + 3.111 + 4.836 + 5.013 + 3.897 + 2.423 = 20.28. \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 6) = 0.0445 \times 20.28 = 0.902. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden sport má \(6\) a více členů: \[ 1 – (0.902)^9 \approx 1 – 0.390 = 0.610, \] tedy asi \(61.0\) %.

Řešení příkladu:

Počet zaměstnanců \(n=35\), počet týmů \(k=14\), průměrný počet zaměstnanců na tým: \[ \lambda = \frac{35}{14} = 2.5. \]

Pravděpodobnost, že na jednom týmu je méně než \(7\) zaměstnanců: \[ P(X < 7) = \sum_{i=0}^{6} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Dosadíme: \[ e^{-2.5} \approx 0.08208, \] \[ \sum_{i=0}^{6} \frac{(2.5)^i}{i!} \approx 1 + 2.5 + 3.125 + 2.604 + 1.627 + 0.813 + 0.339 = 12.008. \]

Výsledek: \[ P(X < 7) = 0.08208 \times 12.008 \approx 0.985. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden tým má \(7\) a více zaměstnanců: \[ 1 – (0.985)^{14} \approx 1 – 0.808 = 0.192, \] tedy asi \(19.2\) %.

Řešení příkladu:

Počet lidí \(n = 25\), počet oddělení \(k = 7\). Průměrný počet lidí na oddělení je \[ \lambda = \frac{25}{7} \approx 3.571. \]

Předpokládejme, že počet lidí na každém oddělení lze modelovat Poissonovým rozdělením s parametrem \(\lambda\). Potřebujeme pravděpodobnost, že na jednom oddělení je méně než \(6\) lidí: \[ P(X < 6) = \sum_{i=0}^{5} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Nejprve spočítáme \(e^{-\lambda}\): \[ e^{-3.571} \approx 0.028. \]

Nyní spočítáme sumu: \[ \sum_{i=0}^{5} \frac{3.571^i}{i!} = 1 + 3.571 + \frac{3.571^2}{2} + \frac{3.571^3}{6} + \frac{3.571^4}{24} + \frac{3.571^5}{120}. \]

Výpočty jednotlivých členů:

• \(1\)
• \(3.571\)
• \(\frac{3.571^2}{2} = \frac{12.75}{2} = 6.375\)
• \(\frac{3.571^3}{6} = \frac{45.53}{6} = 7.59\)
• \(\frac{3.571^4}{24} = \frac{162.6}{24} = 6.77\)
• \(\frac{3.571^5}{120} = \frac{581.3}{120} = 4.84\)

Celkem: \[ 1 + 3.571 + 6.375 + 7.59 + 6.77 + 4.84 = 29.146. \]

Pravděpodobnost, že na jednom oddělení je méně než \(6\) lidí: \[ P(X < 6) = 0.028 \times 29.146 \approx 0.816. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedno oddělení má \(6\) nebo více lidí: \[ 1 – (0.816)^7 \approx 1 – 0.209 = 0.791, \] tedy asi \(79.1 \%\).

Řešení příkladu:

Počet studentů \(n = 18\), počet projektů \(k = 5\). Průměrný počet studentů na projekt je \[ \lambda = \frac{18}{5} = 3.6. \]

Použijeme Poissonovo rozdělení pro modelování počtu studentů na jednom projektu. Chceme pravděpodobnost, že na projektu je méně než \(5\) studentů: \[ P(X < 5) = \sum_{i=0}^{4} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-\lambda}\): \[ e^{-3.6} \approx 0.0273. \]

Počítáme sumu: \[ 1 + 3.6 + \frac{3.6^2}{2} + \frac{3.6^3}{6} + \frac{3.6^4}{24} = 1 + 3.6 + 6.48 + 7.776 + 7.0 = 25.856. \]

Pravděpodobnost, že na jednom projektu je méně než \(5\) studentů: \[ P(X < 5) = 0.0273 \times 25.856 = 0.706. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden projekt má \(5\) a více studentů: \[ 1 – (0.706)^5 = 1 – 0.176 = 0.824, \] tedy asi \(82.4 \%\).

Řešení příkladu:

Počet členů \(n = 50\), počet rolí \(k = 20\), průměrný počet členů na roli: \[ \lambda = \frac{50}{20} = 2.5. \]

Pravděpodobnost, že na jedné roli je méně než \(7\) členů: \[ P(X < 7) = \sum_{i=0}^{6} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-\lambda}\): \[ e^{-2.5} \approx 0.0821. \]

Výpočet sumy: \[ 1 + 2.5 + \frac{2.5^2}{2} + \frac{2.5^3}{6} + \frac{2.5^4}{24} + \frac{2.5^5}{120} + \frac{2.5^6}{720}. \]

Jednotlivé členy: \[ 1 + 2.5 + 3.125 + 2.604 + 1.627 + 0.813 + 0.339 = 12.008. \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 7) = 0.0821 \times 12.008 = 0.986. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna role má \(7\) a více členů: \[ 1 – (0.986)^{20} = 1 – 0.754 = 0.246, \] tedy asi \(24.6 \%\).

Řešení příkladu:

Počet členů \(n = 36\), počet disciplín \(k = 8\), průměrný počet členů na disciplínu: \[ \lambda = \frac{36}{8} = 4.5. \]

Pravděpodobnost, že na jedné disciplíně je méně než \(6\) členů: \[ P(X < 6) = \sum_{i=0}^5 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-\lambda}\): \[ e^{-4.5} \approx 0.0111. \]

Výpočet sumy: \[ 1 + 4.5 + \frac{4.5^2}{2} + \frac{4.5^3}{6} + \frac{4.5^4}{24} + \frac{4.5^5}{120}. \]

Jednotlivé členy: \[ 1 + 4.5 + 10.125 + 15.188 + 17.085 + 15.376 = 63.274. \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 6) = 0.0111 \times 63.274 = 0.702. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna disciplína má \(6\) a více členů: \[ 1 – (0.702)^8 = 1 – 0.065 = 0.935, \] tedy asi \(93.5 \%\).

Řešení příkladu:

Počet zaměstnanců \(n = 40\), počet týmů \(k = 10\), průměrný počet zaměstnanců na tým: \[ \lambda = \frac{40}{10} = 4. \]

Pravděpodobnost, že na jednom týmu je méně než \(5\) zaměstnanců: \[ P(X < 5) = \sum_{i=0}^4 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-\lambda}\): \[ e^{-4} \approx 0.0183. \]

Výpočet sumy: \[ 1 + 4 + \frac{4^2}{2} + \frac{4^3}{6} + \frac{4^4}{24} = 1 + 4 + 8 + 10.667 + 10.667 = 34.334. \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 5) = 0.0183 \times 34.334 = 0.628. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden tým má \(5\) a více zaměstnanců: \[ 1 – (0.628)^{10} = 1 – 0.008 = 0.992, \] tedy asi \(99.2 \%\).

Řešení příkladu:

Počet účastníků \(n = 30\), počet workshopů \(k = 6\), průměr na workshop: \[ \lambda = \frac{30}{6} = 5. \]

Pravděpodobnost, že na workshopu je méně než \(5\) účastníků: \[ P(X < 5) = \sum_{i=0}^4 e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítejme \(e^{-5} \approx 0.0067\).

Členy sumy: \[ 1 + 5 + \frac{5^2}{2} + \frac{5^3}{6} + \frac{5^4}{24} = 1 + 5 + 12.5 + 20.833 + 26.042 = 65.375. \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 5) = 0.0067 \times 65.375 = 0.438. \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden workshop má \(5\) nebo více účastníků: \[ 1 – (0.438)^6 \approx 1 – 0.0065 = 0.9935, \] tedy asi \(99.35 \%\).

Řešení příkladu:

Počet studentů \(n = 22\), počet klubů \(k = 4\), průměr: \[ \lambda = \frac{22}{4} = 5.5. \]

Pravděpodobnost, že v jednom klubu je méně než \(7\) studentů: \[ P(X < 7) = \sum_{i=0}^{6} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-5.5} \approx 0.004086\).

Jednotlivé členy sumy: \[ 1, \quad 5.5, \quad \frac{5.5^2}{2} = 15.125, \quad \frac{5.5^3}{6} \approx 27.73, \quad \frac{5.5^4}{24} \approx 38.13, \quad \frac{5.5^5}{120} \approx 41.94, \quad \frac{5.5^6}{720} \approx 38.42 \]

Součet členů: \[ 1 + 5.5 + 15.125 + 27.73 + 38.13 + 41.94 + 38.42 \approx 167.845 \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 7) = 0.004086 \times 167.845 \approx 0.686 \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden klub má \(7\) a více studentů: \[ 1 – (0.686)^4 \approx 1 – 0.222 = 0.778, \] tedy asi \(77.8\%\).

Řešení příkladu:

Počet zaměstnanců \(n = 15\), počet skupin \(k = 3\), průměr: \[ \lambda = \frac{15}{3} = 5. \]

Pravděpodobnost, že ve skupině je méně než \(6\) zaměstnanců: \[ P(X < 6) = \sum_{i=0}^{5} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-5} \approx 0.006737\).

Jednotlivé členy sumy: \[ 1, 5, 12.5, 20.833, 26.042, 26.042 \]

Součet členů: \[ 1 + 5 + 12.5 + 20.833 + 26.042 + 26.042 \approx 91.417 \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 6) = 0.006737 \times 91.417 \approx 0.616 \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna skupina má \(6\) a více zaměstnanců: \[ 1 – (0.616)^3 \approx 1 – 0.233 = 0.767, \] tedy asi \(76.7\%\).

Řešení příkladu:

Počet členů \(n = 28\), počet týmů \(k = 7\), průměr: \[ \lambda = \frac{28}{7} = 4. \]

Pravděpodobnost, že v týmu je méně než \(5\) členů: \[ P(X < 5) = \sum_{i=0}^{4} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-4} \approx 0.0183\).

Jednotlivé členy sumy: \[ 1, 4, 8, 10.667, 10.667 \]

Součet členů: \[ 1 + 4 + 8 + 10.667 + 10.667 = 34.334 \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 5) = 0.0183 \times 34.334 \approx 0.628 \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden tým má \(5\) a více členů: \[ 1 – (0.628)^7 \approx 1 – 0.061 = 0.939, \] tedy asi \(93.9\%\).

Řešení příkladu:

Počet lidí \(n = 18\), počet aktivit \(k = 6\), průměr: \[ \lambda = \frac{18}{6} = 3. \]

Pravděpodobnost, že v aktivitě je méně než \(5\) lidí: \[ P(X < 5) = \sum_{i=0}^{4} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-3} \approx 0.0498\).

Jednotlivé členy sumy: \[ 1, 3, 4.5, 4.5, 3.375 \]

Součet členů: \[ 1 + 3 + 4.5 + 4.5 + 3.375 = 16.375 \]

Pravděpodobnost: \[ P(X < 5) = 0.0498 \times 16.375 \approx 0.815 \]

Pravděpodobnost, že alespoň jedna aktivita má \(5\) a více lidí: \[ 1 – (0.815)^6 \approx 1 – 0.280 = 0.720, \] tedy asi \(72.0\%\).

Řešení příkladu:

Počet žáků \(n = 50\), počet týmů \(k = 5\), průměr: \[ \lambda = \frac{50}{5} = 10. \]

Pravděpodobnost, že v týmu je méně než \(15\) žáků: \[ P(X < 15) = \sum_{i=0}^{14} e^{-\lambda} \frac{\lambda^i}{i!}. \]

Spočítáme \(e^{-10} \approx 4.539 \times 10^{-5}\).

Po výpočtu Poissonovy sumy (např. tabulkou nebo softwarem): \[ P(X < 15) \approx 0.951 \]

Pravděpodobnost, že alespoň jeden tým má \(15\) a více žáků: \[ 1 – (0.951)^5 \approx 1 – 0.776 = 0.224, \] tedy asi \(22.4\%\).