Prvočísla

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeneme, co je prvočíslo. Prvočíslo je přirozené číslo větší než \(1\), které má právě dva kladné dělitele: \(1\) a samo sebe.

Máme zjistit, zda je číslo \(97\) prvočíslem.

Postup:

1. Určíme druhou odmocninu z \(97\), protože pro ověření dělitelnosti stačí zkoušet dělit čísla až do \(\sqrt{97}\).
2. Vypočítáme \(\sqrt{97} \approx 9,849\).
3. Budeme tedy zkoušet dělit číslo 97 všemi prvočísly menšími nebo rovnými \(9\), tedy \(2, 3, 5, 7\).
4. Testujeme dělení:
• \(97 : 2 = 48,5\) → není dělitelné
• \(97 : 3 ≈ 32,33\) → není dělitelné
• \(97 : 5 = 19,4\) → není dělitelné
• \(97 : 7 ≈ 13,857\) → není dělitelné
5. Žádné z těchto prvočísel nedělí \(97\) beze zbytku, tedy \(97\) nemá žádné další dělitele kromě \(1\) a \(97\).

Z toho vyplývá, že \(97\) je prvočíslo.

Řešení příkladu:

Cílem je rozložit číslo \(210\) na součin prvočísel.

Postup:

1. Začneme dělit \(210\) nejmenším prvočíslem, tedy \(2\):

\(210 : 2 = 105\) (dělitelné beze zbytku)

2. Dále dělíme \(105\) dalším nejmenším prvočíslem, které dělí \(105\):

\(105 : 3 = 35\) (\(3\) je prvočíslo a \(105\) je dělitelné)

3. Dále 35 dělíme dalším prvočíslem:

\(35 : 5 = 7\) (\(5\) je prvočíslo a \(35\) je dělitelné)

4. Zbývá \(7\), které je také prvočíslo.

Prvočíselný rozklad čísla \(210\) je tedy:

\(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)

Řešení příkladu:

Prvočísla menší než \(20\) jsou taková přirozená čísla větší než \(1\), která mají pouze dva dělitele: \(1\) a sebe sama.

Seznam prvočísel menších než 20 je:

\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\)

Součet těchto prvočísel spočítáme:

\(2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 =\)

\(= 2 + 3 = 5\)

\(5 + 5 = 10\)

\(10 + 7 = 17\)

\(17 + 11 = 28\)

\(28 + 13 = 41\)

\(41 + 17 = 58\)

\(58 + 19 = 77\)

Součet všech prvočísel menších než 20 je 77.

Řešení příkladu:

Zkontrolujeme, zda je číslo \(221\) prvočíslem.

Určíme \(\sqrt{221} \approx 14{,}87\), budeme dělit prvočísly menšími nebo rovnými \(14\) (tj. \(2, 3, 5, 7, 11, 13\)).

1. \(221 : 2 = 110{,}5\) → ne
2. \(221 : 3 \approx 73{,}66\) → ne
3. \(221 : 5 = 44{,}2\) → ne
4. \(221 : 7 \approx 31{,}57\) → ne
5. \(221 : 11 = 20{,}09\) → ne
6. \(221 : 13 = 17\) → dělitelné!

Číslo \(221\) je dělitelné \(13\) a \(17\), tedy

\(221 = 13 \times 17\)

Obě čísla \(13\) a \(17\) jsou prvočísla, takže \(221\) není prvočíslo, ale součin dvou prvočísel.

Řešení příkladu:

Seznam čísel mezi \(50\) a \(70\) je: \(51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69\).

Zkontrolujeme, která z nich jsou prvočísla:

1. \(51 = 3 \times 17\) → není prvočíslo
2. \(52 = 2 \times 26\) → není
3. \(53\) → testujeme dělení prvočísly do \(\sqrt{53} \approx 7{,}28\): \(2, 3, 5, 7\)
• \(53 : 2\) ≠ celé
• \(53 : 3\) ≠ celé
• \(53 : 5\) ≠ celé
• \(53 : 7\) ≠ celé
4. \(53\) je prvočíslo
5. \(54 = 2 \times 27\) → není
6. \(55 = 5 \times 11\) → není
7. \(56 = 2 \times 28\) → není
8. \(57 = 3 \times 19\) → není
9. \(58 = 2 \times 29\) → není
10. \(59\) → test do \(\sqrt{59} \approx 7{,}68\), tedy \(2, 3, 5, 7\)
• \(59 : 2\) ≠ celé
• \(59 : 3\) ≠ celé
• \(59 : 5\) ≠ celé
• \(59 : 7\) ≠ celé
11. \(59\) je prvočíslo
12. \(60 = 2 \times 30\) → není
13. \(61\) → test do \(\sqrt{61} \approx 7{,}81\), \(2, 3, 5, 7\)
• \(61 : 2\) ≠ celé
• \(61 : 3\) ≠ celé
• \(61 : 5\) ≠ celé
• \(61 : 7\) ≠ celé
14. \(61\) je prvočíslo
15. \(62 = 2 \times 31\) → není
16. \(63 = 3 \times 21\) → není
17. \(64 = 2^6\) → není
18. \(65 = 5 \times 13\) → není
19. \(66 = 2 \times 33\) → není
20. \(67\) → test do \(\sqrt{67} \approx 8{,}18\), tedy \(2, 3, 5, 7\)
• \(67 : 2\) ≠ celé
• \(67 : 3\) ≠ celé
• \(67 : 5\) ≠ celé
• \(67 : 7\) ≠ celé
21. \(67\) je prvočíslo
22. \(68 = 2 \times 34\) → není
23. \(69 = 3 \times 23\) → není

Prvočísla mezi \(50\) a \(70\) jsou tedy: \(53, 59, 61, 67\).

Počet těchto prvočísel je \(4\).

Řešení příkladu:

Definice prvočísel říká, že prvočíslo má přesně dva kladné dělitele: \(1\) a sebe sama.

Číslo \(1\) má pouze jednoho dělitele: \(1\).

Tedy nemá dva dělitele, a proto nemůže být prvočíslem.

Složené číslo má více než dva kladné dělitele, což také nesplňuje.

Z toho vyplývá, že číslo \(1\) je speciální případ, který je výslovně vyňat z množiny prvočísel i složených čísel.

Toto rozhodnutí usnadňuje matematické definice a věty, například rozklad na prvočísla je jednoznačný právě pro čísla větší než \(1\).

Řešení příkladu:

Nejprve uvedeme prvočísla menší než \(30\):

\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\)

Prvočíselný rozklad čísla \(210\) jsme zjistili v příkladu \(2\):

\(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)

Prvočísla v rozkladu čísla \(210\) jsou tedy: \(2, 3, 5, 7\).

Hledáme prvočísla menší než \(30\), která nejsou v tomto rozkladu:

To jsou: \(11, 13, 17, 19, 23, 29\).

Řešení příkladu:

Číslo \(2\) je prvočíslo, protože má dva kladné dělitele: \(1\) a \(2\).

Je to také nejmenší prvočíslo, protože prvočísla začínají na čísle \(2\) (číslo \(1\) není prvočíslo, jak jsme vysvětlili v příkladu \(6\)).

Dále ukážeme, že \(2\) je jediné sudé prvočíslo:

1. Sudé číslo je číslo dělitelné \(2\).
2. Každé sudé číslo větší než \(2\) je dělitelné alespoň \(1, 2\) a samo sebe, tedy má více než dva dělitele.
3. Tedy není prvočíslem.
4. Číslo \(2\) je samo sudé a má pouze dva dělitele (\(1\) a \(2\)), proto je prvočíslem.

Z toho vyplývá, že \(2\) je jediné sudé prvočíslo.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme \(\sqrt{143} \approx 11{,}95\).

Budeme dělit prvočísly menšími nebo rovnými \(11\): \(2, 3, 5, 7, 11\).

1. \(143 : 2 = 71{,}5\) → ne
2. \(143 : 3 \approx 47{,}66\) → ne
3. \(143 : 5 = 28{,}6\) → ne
4. \(143 : 7 \approx 20{,}43\) → ne
5. \(143 : 11 = 13\) → dělitelné!

Číslo \(143\) lze tedy rozložit jako:

\(143 = 11 \times 13\)

Obě čísla jsou prvočísla, takže \(143\) není prvočíslo.

Řešení příkladu:

Začneme tím, že si vysvětlíme, proč se prvočísla (kromě \(2\) a \(3\)) musí nacházet ve formě \(6k \pm 1\).

Každé celé číslo \(n\) lze zapsat ve tvaru jednoho ze šesti zbytků při dělení \(6\):

\(n = 6k\), \(6k+1\), \(6k+2\), \(6k+3\), \(6k+4\), nebo \(6k+5\), kde \(k \in \mathbb{Z}\).

Nyní ověříme, které z těchto tvarů nemohou být prvočíslem:

• \(6k\): Dělitelné 6, tedy vždy složené, pokud \(k > 0\).
• \(6k+2 = 2(3k+1)\): vždy sudé, tedy dělitelné 2, složené pokud \(k \geq 0\).
• \(6k+3 = 3(2k+1)\): vždy dělitelné 3, složené pokud \(k \geq 0\).
• \(6k+4 = 2(3k+2)\): opět sudé, složené pokud \(k \geq 0\).
• Zůstávají tedy pouze \(6k+1\) a \(6k+5\), což je totéž jako \(6k – 1\) (protože \(6k-1 = 6(k-1)+5\)).

Tedy všechna prvočísla větší než \(3\) musí být ve tvaru \(6k \pm 1\).

Nyní vyjmenujme všechna prvočísla menší než \(100\) a ověřme, která z nich tento tvar splňují:

Prvočísla menší než \(100\) jsou:

\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\).

Pro každé z nich ověříme tvar \(6k \pm 1\):

• \(5 = 6 \times 1 – 1\)
• \(7 = 6 \times 1 + 1\)
• \(11 = 6 \times 2 – 1\)
• \(13 = 6 \times 2 + 1\)
• \(17 = 6 \times 3 – 1\)
• \(19 = 6 \times 3 + 1\)
• \(23 = 6 \times 4 – 1\)
• \(29 = 6 \times 5 – 1\)
• \(31 = 6 \times 5 + 1\)
• \(37 = 6 \times 6 + 1\)
• \(41 = 6 \times 7 – 1\)
• \(43 = 6 \times 7 + 1\)
• \(47 = 6 \times 8 – 1\)
• \(53 = 6 \times 9 – 1\)
• \(59 = 6 \times 10 – 1\)
• \(61 = 6 \times 10 + 1\)
• \(67 = 6 \times 11 + 1\)
• \(71 = 6 \times 12 – 1\)
• \(73 = 6 \times 12 + 1\)
• \(79 = 6 \times 13 + 1\)
• \(83 = 6 \times 14 – 1\)
• \(89 = 6 \times 15 – 1\)
• \(97 = 6 \times 16 + 1\)

Výjimky jsou čísla \(2\) a \(3\), která tvar \(6k \pm 1\) nesplňují, ale jsou prvočísla z definice.

Závěr: Všechna prvočísla větší než \(3\) jsou vyjádřitelná ve tvaru \(6k \pm 1\), a mezi nimi je i většina prvočísel menších než \(100\).

Řešení příkladu:

Prvočíslo je přirozené číslo větší než \(1\), které má právě dva dělitele – \(1\) a samo sebe.

Budeme postupně zkoušet čísla mezi \(50\) a \(100\), zda nejsou dělitelná žádným menším prvočíslem.

Kontrolujeme dělení prvočísly \(\leq \sqrt{n}\), tedy přibližně do \(10\).

• \(51\): \(51 : 3 = 17\) → není prvočíslo
• \(53\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(59\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(61\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(67\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(71\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(73\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(79\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(83\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(89\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo
• \(97\): nedělitelné \(2,3,5,7\) → prvočíslo

Všechna prvočísla mezi \(50\) a \(100\) jsou tedy:

\(53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\)

Řešení příkladu:

Ověříme, zda má číslo \(221\) dělitele jiného než \(1\) a \(221\).

Protože \(\sqrt{221} \approx 14,87\), stačí zkoušet dělit prvočísly do \(13\): \(2,3,5,7,11,13\).

• \(221 : 2 = 110,5\) → ne
• \(221 : 3 = 73,67\) → ne
• \(221 : 5 = 44,2\) → ne
• \(221 : 7 = 31,57\) → ne
• \(221 : 11 = 20,09\) → ne
• \(221 : 13 = 17\) → celé číslo

Platí tedy \(221 = 13 \times 17\), proto není prvočíslo.

Řešení příkladu:

Rozkládáme číslo \(462\) na součin prvočísel:

• \(462 : 2 = 231\)
• \(231 : 3 = 77\) (součet číslic \(2+3+1=6\), dělitelné \(3\))
• \(77 : 7 = 11\)
• \(11\) je prvočíslo

Výsledek: \(462 = 2 \times 3 \times 7 \times 11\)

Řešení příkladu:

Prvočísla menší než \(30\) jsou:

\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\)

Rozložíme \(210\) na součin prvočísel:

• \(210 : 2 = 105\)
• \(105 : 3 = 35\)
• \(35 : 5 = 7\)
• \(7\) je prvočíslo

Rozklad: \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\)

Prvočísla menší než \(30\), která dělí \(210\), jsou tedy:

\(2, 3, 5, 7\)

Řešení příkladu:

Rozložíme jednotlivá čísla na součin prvočísel:

\(12 = 2^2 \times 3\)

\(18 = 2 \times 3^2\)

\(30 = 2 \times 3 \times 5\)

NSN získáme tak, že vezmeme každé prvočíslo s nejvyšší mocninou, která se vyskytuje v rozkladech:

• \(2^2\) (z \(12\))
• \(3^2\) (z \(18\))
• \(5\) (z \(30\))

NSN tedy je:

\(NSN = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)

Nejmenší společný násobek čísel \(12\), \(18\) a \(30\) je \(180\).

Řešení:

Hledáme taková prvočísla \(p\), aby i \(p + 4\) bylo prvočíslo.

Některé příklady:

• \(p = 3\), \(p + 4 = 7\), obě jsou prvočísla.
• \(p = 7\), \(p + 4 = 11\), obě jsou prvočísla.
• \(p = 13\), \(p + 4 = 17\), obě jsou prvočísla.
• \(p = 19\), \(p + 4 = 23\), obě jsou prvočísla.

Vidíme tedy, že taková prvočísla existují. Příklady dvojic jsou: \((3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23)\).

Těmto dvojicím se někdy říká „prvočíselné dvojice s rozdílem 4“.

Řešení:

Toto tvrzení je známé jako Goldbachova domněnka. Pro všechna sudá čísla nebyla dosud dokázána, ale byla ověřena pro velmi vysoké hodnoty.

Příklady pro malá sudá čísla:

• \(4 = 2 + 2\)
• \(6 = 3 + 3\)
• \(8 = 3 + 5\)
• \(10 = 5 + 5\)
• \(12 = 5 + 7\)
• \(14 = 3 + 11\)
• \(16 = 3 + 13\)
• \(18 = 5 + 13\)
• \(20 = 3 + 17\)

I když zatím nemáme formální důkaz, tato domněnka je důležitá a inspiruje mnoho výzkumů v teorii čísel.

Řešení:

Nejprve vypíšeme všechna prvočísla menší než 50:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

Zjišťujeme, která z nich jsou součtem dvou různých prvočísel:

• \(5 = 2 + 3\)
• \(7 = 2 + 5\)
• \(13 = 2 + 11\)
• \(19 = 2 + 17\)
• \(31 = 2 + 29\)
• \(43 = 2 + 41\)

Závěr: prvočísla menší než 50, která jsou součtem dvou různých prvočísel, jsou: 5, 7, 13, 19, 31 a 43.

Řešení:

Zjistíme, zda 221 je prvočíslo. Je třeba zkontrolovat dělitelnost prvočísly menšími než \(\sqrt{221} \approx 14,9\):

• 2: 221 je liché, nedělitelné.
• 3: součet číslic je 5, nedělitelné.
• 5: nekončí na 0 ani 5, nedělitelné.
• 7: \(221 \div 7 ≈ 31,57\), nedělitelné.
• 11: rozdíl součtů číslic je 3, nedělitelné.
• 13: \(221 \div 13 = 17\), celé číslo.

Proto \(221 = 13 \times 17\).

Obě čísla jsou prvočísla, takže rozklad na prvočinitele je:

\(221 = 13 \cdot 17\)

Řešení příkladu:

1. Prvočísla menší než \(100\) jsou:

\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\)

2. Hledáme taková prvočísla \(p\), že i \(p + 2\) je prvočíslo (tzv. dvojčata).

Pro každé \(p\) ověříme, zda \(p+2\) je také v seznamu prvočísel.

• \(2\) a \(4\) (\(4\) není prvočíslo) – neplatí
• \(3\) a \(5\) (\(5\) je prvočíslo) – platí
• \(5\) a \(7\) (\(7\) je prvočíslo) – platí
• \(7\) a \(9\) (\(9\) není prvočíslo) – neplatí
• \(11\) a \(13\) – platí
• \(13\) a \(15\) (\(15\) není prvočíslo) – neplatí
• \(17\) a \(19\) – platí
• \(19\) a \(21\) (\(21\) není prvočíslo) – neplatí
• \(23\) a \(25\) (\(25\) není prvočíslo) – neplatí
• \(29\) a \(31\) – platí
• \(31\) a \(33\) (\(33\) není prvočíslo) – neplatí
• \(37\) a \(39\) (\(39\) není prvočíslo) – neplatí
• \(41\) a \(43\) – platí
• \(43\) a \(45\) (\(45\) není prvočíslo) – neplatí
• \(47\) a \(49\) (\(49\) není prvočíslo) – neplatí
• \(53\) a \(55\) (\(55\) není prvočíslo) – neplatí
• \(59\) a \(61\) – platí
• \(61\) a \(63\) (\(63\) není prvočíslo) – neplatí
• \(67\) a \(69\) (\(69\) není prvočíslo) – neplatí
• \(71\) a \(73\) – platí
• \(73\) a \(75\) (\(75\) není prvočíslo) – neplatí
• \(79\) a \(81\) (\(81\) není prvočíslo) – neplatí
• \(83\) a \(85\) (\(85\) není prvočíslo) – neplatí
• \(89\) a \(91\) (\(91\) není prvočíslo) – neplatí
• \(97\) a \(99\) (\(99\) není prvočíslo) – neplatí

Závěr: Dvojice prvočísel menších než \(100\), kde \(p\) a \(p+2\) jsou prvočísla, jsou:

\((3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73)\).

Řešení příkladu:

1. Nejprve určíme, že pro ověření prvočíselnosti čísla \(997\) stačí testovat dělení prvočísly menšími než \(\sqrt{997}\).

\(\sqrt{997} \approx 31,56\).

2. Seznam prvočísel menších než \(32\): \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31\).

3. Zkusíme dělit \(997\) postupně těmito prvočísly:

• \(2\): \(997\) je liché, nedělitelné.
• \(3\): Součet číslic \(9+9+7=25\), \(25\) není násobek \(3\), nedělitelné.
• \(5\): číslo nekončí na \(0\) nebo \(5\), nedělitelné.
• \(7\): \(997 \div 7 \approx 142,43\), nedělitelné.
• \(11\): \((9+7) – 9 = 7\), není násobek \(11\), nedělitelné.
• \(13\): \(997 \div 13 \approx 76,69\), nedělitelné.
• \(17\): \(997 \div 17 \approx 58,65\), nedělitelné.
• \(19\): \(997 \div 19 \approx 52,47\), nedělitelné.
• \(23\): \(997 \div 23 \approx 43,35\), nedělitelné.
• \(29\): \(997 \div 29 \approx 34,38\), nedělitelné.
• \(31\): \(997 \div 31 \approx 32,16\), nedělitelné.

4. Žádné z těchto prvočísel nedělí \(997\), proto je \(997\) prvočíslo.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme, že prvočísla menší než \(60\) jsou: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59\).

Úkolem je najít taková prvočísla \( p < 60 \), která lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel \( p = a + b \), kde \( a, b \) jsou také prvočísla a \( a, b < p \).

Postupně pro každé prvočíslo \( p \) ověříme, zda existují prvočísla \( a \) a \( b \), že \( p = a + b \):

• \( p = 4 \) není prvočíslo.
• \( p = 5 \): možné rozklady \( 2 + 3 = 5 \), tedy \(5\) je součtem dvou prvočísel.
• \( p = 7 \): \( 2 + 5 = 7 \), platí.
• \( p = 11 \): \( 5 + 6 \) (\(6\) není prvočíslo), \( 3 + 8 \) (\(8\) není prvočíslo), \( 2 + 9 \) (\(9\) není prvočíslo), tedy neplatí.
• \( p = 13 \): \( 2 + 11 = 13 \), platí.
• \( p = 17 \): \( 2 + 15 \) (\(15\) není prvočíslo), \( 3 + 14 \), \( 5 + 12 \), \( 7 + 10 \), \( 11 + 6 \), \( 13 + 4 \) žádné není součet dvou prvočísel.
• \( p = 19 \): \( 2 + 17 = 19 \), platí.
• \( p = 23 \): \( 2 + 21 \), \( 3 + 20 \), \( 5 + 18 \), \( 7 + 16 \), \( 11 + 12 \), \( 13 + 10 \), žádné není součet dvou prvočísel.
• \( p = 29 \): \( 2 + 27 \), \( 3 + 26 \), \( 5 + 24 \), \( 7 + 22 \), \( 11 + 18 \), \( 13 + 16 \), \( 17 + 12 \), \( 19 + 10 \), žádné platí.
• \( p = 31 \): \( 2 + 29 = 31 \), platí.
• \( p = 37 \): \( 2 + 35 \), \( 3 + 34 \), \( 5 + 32 \), \( 7 + 30 \), \( 11 + 26 \), \( 13 + 24 \), \( 17 + 20 \), \( 19 + 18 \), žádné platí.
• \( p = 41 \): \( 2 + 39 \), \( 3 + 38 \), \( 5 + 36 \), \( 7 + 34 \), \( 11 + 30 \), \( 13 + 28 \), \( 17 + 24 \), \( 19 + 22 \), žádné platí.
• \( p = 43 \): \( 2 + 41 = 43 \), platí.
• \( p = 47 \): \( 2 + 45 \), \( 3 + 44 \), \( 5 + 42 \), \( 7 + 40 \), \( 11 + 36 \), \( 13 + 34 \), \( 17 + 30 \), \( 19 + 28 \), žádné platí.
• \( p = 53 \): \( 2 + 51 \), \( 3 + 50 \), \( 5 + 48 \), \( 7 + 46 \), \( 11 + 42 \), \( 13 + 40 \), \( 17 + 36 \), \( 19 + 34 \), žádné platí.
• \( p = 59 \): \( 2 + 57 \), \( 3 + 56 \), \( 5 + 54 \), \( 7 + 52 \), \( 11 + 48 \), \( 13 + 46 \), \( 17 + 42 \), \( 19 + 40 \), žádné platí.

Závěr: Prvočísla menší než \(60\), která lze vyjádřit jako součet dvou menších prvočísel, jsou \(5, 7, 13, 19, 31, 43\).

Řešení příkladu:

Číslo \(391\) chceme otestovat na prvočíselnost.

Začneme dělit menšími prvočísly:

• Dělitelnost 2: \(391\) je liché číslo, tudíž ne.
• Dělitelnost 3: Součet číslic \(3 + 9 + 1 = 13\), což není násobek 3, ne.
• Dělitelnost 5: Poslední číslice není \(0\) nebo \(5\), ne.
• Dělitelnost 7: Zkusíme dělit 7: \(391 \div 7 \approx 55,857\), není celé.
• Dělitelnost 11: Součet číslic na lichých pozicích \(3 + 1 = 4\), součet číslic na sudých pozicích \(9\), rozdíl \(9 – 4 = 5\), není násobek 11, ne.
• Dělitelnost 13: \(391 \div 13 = 30,07\), ne celé.
• Dělitelnost 17: \(391 \div 17 = 23\), přesně, protože \(17 \times 23 = 391\).

Číslo \(391\) není prvočíslo a rozklad na prvočísla je \(391 = 17 \times 23\).

Řešení příkladu:

Nechť \(n > 1\) a \(n\) není prvočíslo. Pak existují dvě celá čísla \(a, b\), kde \(1 < a \leq b < n\) a \(n = a \times b\).

Předpokládejme, že obě čísla \(a, b\) jsou větší než \(\sqrt{n}\). Potom platí:

\(a > \sqrt{n}\) a \(b > \sqrt{n}\) \Rightarrow \(a \times b > \sqrt{n} \times \sqrt{n} = n\)

To je spor, protože \(a \times b = n\). Tudíž alespoň jedno z čísel \(a\) nebo \(b\) musí být menší nebo rovno \(\sqrt{n}\).

Pokud toto číslo není prvočíslo, můžeme jej rozložit na prvočísla. Proto existuje prvočíslo \(p \leq \sqrt{n}\), které dělí \(n\).

Řešení příkladu:

Posloupnost je dána vzorcem \( a_n = 4n + 1 \) pro \( n \geq 0 \).

Chceme najít prvočísla \( a_n \) menší než \( 100 \).

Procházejme hodnoty \( n \) od 0:

• \( n=0 \Rightarrow a_0=1 \), není prvočíslo.
• \( n=1 \Rightarrow a_1=5 \), prvočíslo.
• \( n=2 \Rightarrow a_2=9 \), není prvočíslo.
• \( n=3 \Rightarrow a_3=13 \), prvočíslo.
• \( n=4 \Rightarrow a_4=17 \), prvočíslo.
• \( n=5 \Rightarrow a_5=21 \), není prvočíslo.
• \( n=6 \Rightarrow a_6=25 \), není prvočíslo.
• \( n=7 \Rightarrow a_7=29 \), prvočíslo.
• \( n=8 \Rightarrow a_8=33 \), není prvočíslo.
• \( n=9 \Rightarrow a_9=37 \), prvočíslo.
• \( n=10 \Rightarrow a_{10}=41 \), prvočíslo.
• \( n=11 \Rightarrow a_{11}=45 \), není prvočíslo.
• \( n=12 \Rightarrow a_{12}=49 \), není prvočíslo.
• \( n=13 \Rightarrow a_{13}=53 \), prvočíslo.
• \( n=14 \Rightarrow a_{14}=57 \), není prvočíslo.
• \( n=15 \Rightarrow a_{15}=61 \), prvočíslo.
• \( n=16 \Rightarrow a_{16}=65 \), není prvočíslo.
• \( n=17 \Rightarrow a_{17}=69 \), není prvočíslo.
• \( n=18 \Rightarrow a_{18}=73 \), prvočíslo.
• \( n=19 \Rightarrow a_{19}=77 \), není prvočíslo.
• \( n=20 \Rightarrow a_{20}=81 \), není prvočíslo.
• \( n=21 \Rightarrow a_{21}=85 \), není prvočíslo.
• \( n=22 \Rightarrow a_{22}=89 \), prvočíslo.
• \( n=23 \Rightarrow a_{23}=93 \), není prvočíslo.
• \( n=24 \Rightarrow a_{24}=97 \), prvočíslo.

Prvočísla v posloupnosti menší než \( 100 \) jsou: \( 5 \), \( 13 \), \( 17 \), \( 29 \), \( 37 \), \( 41 \), \( 53 \), \( 61 \), \( 73 \), \( 89 \), \( 97 \).

Celkem je jich \( 11 \).

Řešení příkladu:

Prohledáme prvočísla menší než \( 50 \) a ověříme, zda \( p+2 \) je také prvočíslo.

Prvočísla menší než \( 50 \): \( 2 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \), \( 11 \), \( 13 \), \( 17 \), \( 19 \), \( 23 \), \( 29 \), \( 31 \), \( 37 \), \( 41 \), \( 43 \), \( 47 \).

• \( p=2 \Rightarrow p+2=4 \) není prvočíslo.
• \( p=3 \Rightarrow p+2=5 \) je prvočíslo, dvojice \( (3,5) \).
• \( p=5 \Rightarrow p+2=7 \) je prvočíslo, dvojice \( (5,7) \).
• \( p=7 \Rightarrow p+2=9 \) není prvočíslo.
• \( p=11 \Rightarrow p+2=13 \) je prvočíslo, dvojice \( (11,13) \).
• \( p=13 \Rightarrow p+2=15 \) není prvočíslo.
• \( p=17 \Rightarrow p+2=19 \) je prvočíslo, dvojice \( (17,19) \).
• \( p=19 \Rightarrow p+2=21 \) není prvočíslo.
• \( p=23 \Rightarrow p+2=25 \) není prvočíslo.
• \( p=29 \Rightarrow p+2=31 \) je prvočíslo, dvojice \( (29,31) \).
• \( p=31 \Rightarrow p+2=33 \) není prvočíslo.
• \( p=37 \Rightarrow p+2=39 \) není prvočíslo.
• \( p=41 \Rightarrow p+2=43 \) je prvočíslo, dvojice \( (41,43) \).
• \( p=43 \Rightarrow p+2=45 \) není prvočíslo.
• \( p=47 \Rightarrow p+2=49 \) není prvočíslo.

Prvočíselné dvojice jsou: \( (3,5) \), \( (5,7) \), \( (11,13) \), \( (17,19) \), \( (29,31) \), \( (41,43) \).

Řešení příkladu:

Úloha se týká tzv. prvočíselných dvojčat – dvojic prvočísel, která se liší právě o \( 2 \). Naším úkolem je najít všechna prvočísla \( p \), pro která platí, že \( p + 2 \) je také prvočíslo a zároveň \( p + 2 < 50 \).

Nejprve si připomeneme, co jsou prvočísla. Prvočíslo je přirozené číslo větší než \( 1 \), které má právě dva kladné dělitele – \( 1 \) a sebe sama.

Nyní postupně zkusíme prvočísla menší než \( 48 \) (protože \( p + 2 < 50 \) znamená \( p < 48 \)) a ověříme, zda \( p + 2 \) je také prvočíslo:

• \( p=3 \Rightarrow 3 + 2 = 5 \), obě jsou prvočísla.
• \( p=5 \Rightarrow 5 + 2 = 7 \), obě jsou prvočísla.
• \( p=11 \Rightarrow 11 + 2 = 13 \), obě jsou prvočísla.
• \( p=17 \Rightarrow 17 + 2 = 19 \), obě jsou prvočísla.
• \( p=29 \Rightarrow 29 + 2 = 31 \), obě jsou prvočísla.
• \( p=41 \Rightarrow 41 + 2 = 43 \), obě jsou prvočísla.

Ostatní prvočísla menší než \( 48 \) nemají následující číslo o dvě větší jako prvočíslo.

Tedy všechna prvočísla \( p \) splňující podmínku jsou \( 3 \), \( 5 \), \( 11 \), \( 17 \), \( 29 \) a \( 41 \).

Řešení příkladu:

Prvočíselné dvojice jsou dvě prvočísla vzdálená o \( 2 \). Například \( (3,5) \), \( (5,7) \), \( (11,13) \) a tak dále. Hledáme prvočísla menší než \( 100 \), která nejsou členy žádné takové dvojice.

Nejprve vypíšeme všechna prvočísla menší než \( 100 \):

\( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 \).

Nyní vyřadíme ta, která jsou součástí dvojice, kde existuje prvočíslo vzdálené o \( 2 \):

• \( (3,5) \) – vyřadíme \( 3 \) a \( 5 \)
• \( (5,7) \) – \( 5 \) a \( 7 \) jsou už vyřazeny
• \( (11,13) \) – vyřadíme \( 11 \) a \( 13 \)
• \( (17,19) \) – vyřadíme \( 17 \) a \( 19 \)
• \( (29,31) \) – vyřadíme \( 29 \) a \( 31 \)
• \( (41,43) \) – vyřadíme \( 41 \) a \( 43 \)

Zbývající prvočísla jsou:

\( 2, 7, 23, 37, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 \).

Musíme ověřit, zda se některé z těchto prvočísel nevyskytují ve dvojicích s jinými čísly vzdálenými o \( 2 \):

• \( 2: 2+2=4 \) není prvočíslo, \( 2-2=0 \) není prvočíslo → \( 2 \) není v dvojici
• \( 7: 7-2=5 \) je prvočíslo → \( 7 \) je v dvojici \( (5,7) \), takže ho vyřadíme
• \( 23: 23+2=25 \) není prvočíslo, \( 23-2=21 \) není prvočíslo → \( 23 \) není v dvojici
• \( 37: 37+2=39 \) není prvočíslo, \( 37-2=35 \) není prvočíslo → \( 37 \) není v dvojici
• \( 47: 47+2=49 \) není prvočíslo, \( 47-2=45 \) není prvočíslo → \( 47 \) není v dvojici
• \( 53: 53+2=55 \) není prvočíslo, \( 53-2=51 \) není prvočíslo → \( 53 \) není v dvojici
• \( 59: 59+2=61 \) je prvočíslo → \( 59 \) je v dvojici \( (59,61) \), vyřadíme
• \( 61 \): už vyřazen z dvojice s \( 59 \)
• \( 67: 67+2=69 \) není prvočíslo, \( 67-2=65 \) není prvočíslo → \( 67 \) není v dvojici
• \( 71: 71+2=73 \) je prvočíslo → \( 71 \) je v dvojici \( (71,73) \), vyřadíme
• \( 73 \): už vyřazeno
• \( 79: 79+2=81 \) není prvočíslo, \( 79-2=77 \) není prvočíslo → \( 79 \) není v dvojici
• \( 83: 83+2=85 \) není prvočíslo, \( 83-2=81 \) není prvočíslo → \( 83 \) není v dvojici
• \( 89: 89+2=91 \) není prvočíslo, \( 89-2=87 \) není prvočíslo → \( 89 \) není v dvojici
• \( 97: 97+2=99 \) není prvočíslo, \( 97-2=95 \) není prvočíslo → \( 97 \) není v dvojici

Konečný seznam prvočísel menších než \( 100 \), která nejsou součástí žádné prvočíselné dvojice, je:

\( 2, 23, 37, 47, 53, 67, 79, 83, 89, 97 \).

Řešení příkladu:

Zadání nás žádá, abychom našli prvočíslo \( p \), pro které je výraz \( p^2 – 1 \) také prvočíslem.

Nejprve si uvědomme, že \( p^2 – 1 = (p – 1)(p + 1) \).

Protože \( p \) je prvočíslo, musí být \( p > 1 \), tedy \( p \geq 2 \).

Výraz \( p^2 – 1 \) je tedy součinem dvou čísel lišících se o \( 2 \).

Aby byl součin dvou čísel prvočíslem, musí jeden z faktorů být \( 1 \) a druhý prvočíslem (protože prvočíslo má právě dva dělitele: \( 1 \) a sebe sama).

Jelikož \( p – 1 \) a \( p + 1 \) jsou obě větší než \( 1 \) (pokud \( p > 2 \)), nemůže být \( p^2 – 1 \) prvočíslem.

Zkusme tedy ověřit případy pro malé hodnoty \( p \):

• \( p = 2 \): \( 2^2 – 1 = 4 – 1 = 3 \), které je prvočíslo.
• \( p = 3 \): \( 3^2 – 1 = 9 – 1 = 8 \), které není prvočíslo.
• \( p = 5 \): \( 5^2 – 1 = 25 – 1 = 24 \), které není prvočíslo.

Z výše uvedeného vyplývá, že jediné prvočíslo \( p \), pro které je \( p^2 – 1 \) také prvočíslem, je \( p = 2 \).

Řešení příkladu:

Prvočíslo \( p \) je Sophie Germain prvočíslo, pokud platí, že \( 2p + 1 \) je také prvočíslo.

Zjistíme taková prvočísla menší než \( 50 \) a ověříme podmínku.

Prvočísla menší než \( 50 \) jsou:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Postupně ověříme podmínku \( 2p + 1 \) je prvočíslo:

• \( p=2 \): \( 2 \cdot 2 + 1 = 5 \) je prvočíslo → vyhovuje
• \( p=3 \): \( 2 \cdot 3 + 1 = 7 \) je prvočíslo → vyhovuje
• \( p=5 \): \( 2 \cdot 5 + 1 = 11 \) je prvočíslo → vyhovuje
• \( p=7 \): \( 2 \cdot 7 + 1 = 15 \) není prvočíslo
• \( p=11 \): \( 2 \cdot 11 + 1 = 23 \) je prvočíslo → vyhovuje
• \( p=13 \): \( 2 \cdot 13 + 1 = 27 \) není prvočíslo
• \( p=17 \): \( 2 \cdot 17 + 1 = 35 \) není prvočíslo
• \( p=19 \): \( 2 \cdot 19 + 1 = 39 \) není prvočíslo
• \( p=23 \): \( 2 \cdot 23 + 1 = 47 \) je prvočíslo → vyhovuje
• \( p=29 \): \( 2 \cdot 29 + 1 = 59 \) je prvočíslo → vyhovuje
• \( p=31 \): \( 2 \cdot 31 + 1 = 63 \) není prvočíslo
• \( p=37 \): \( 2 \cdot 37 + 1 = 75 \) není prvočíslo
• \( p=41 \): \( 2 \cdot 41 + 1 = 83 \) je prvočíslo → vyhovuje
• \( p=43 \): \( 2 \cdot 43 + 1 = 87 \) není prvočíslo
• \( p=47 \): \( 2 \cdot 47 + 1 = 95 \) není prvočíslo

Výsledná Sophie Germain prvočísla menší než \( 50 \) jsou:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41.

Řešení příkladu:

Úlohou je najít všechna prvočísla \( p \) menší než \( 100 \), pro která platí, že \( p^2 + 2 \) je také prvočíslo.

Nejprve si uvedeme všechna prvočísla menší než \( 100 \):

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Budeme postupně počítat \( p^2 + 2 \) a ověřovat, zda je výsledné číslo prvočíslem.

1. \( p=2 \): \( 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \) není prvočíslo.
2. \( p=3 \): \( 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11 \) je prvočíslo.
3. \( p=5 \): \( 5^2 + 2 = 25 + 2 = 27 \) není prvočíslo.
4. \( p=7 \): \( 7^2 + 2 = 49 + 2 = 51 \) není prvočíslo.
5. \( p=11 \): \( 11^2 + 2 = 121 + 2 = 123 \) není prvočíslo.
6. \( p=13 \): \( 13^2 + 2 = 169 + 2 = 171 \) není prvočíslo.
7. \( p=17 \): \( 17^2 + 2 = 289 + 2 = 291 \) není prvočíslo.
8. \( p=19 \): \( 19^2 + 2 = 361 + 2 = 363 \) není prvočíslo.
9. \( p=23 \): \( 23^2 + 2 = 529 + 2 = 531 \) není prvočíslo.
10. \( p=29 \): \( 29^2 + 2 = 841 + 2 = 843 \) není prvočíslo.
11. \( p=31 \): \( 31^2 + 2 = 961 + 2 = 963 \) není prvočíslo.
12. \( p=37 \): \( 37^2 + 2 = 1369 + 2 = 1371 \) není prvočíslo.
13. \( p=41 \): \( 41^2 + 2 = 1681 + 2 = 1683 \) není prvočíslo.
14. \( p=43 \): \( 43^2 + 2 = 1849 + 2 = 1851 \) není prvočíslo.
15. \( p=47 \): \( 47^2 + 2 = 2209 + 2 = 2211 \) není prvočíslo.
16. \( p=53 \): \( 53^2 + 2 = 2809 + 2 = 2811 \) není prvočíslo.
17. \( p=59 \): \( 59^2 + 2 = 3481 + 2 = 3483 \) není prvočíslo.
18. \( p=61 \): \( 61^2 + 2 = 3721 + 2 = 3723 \) není prvočíslo.
19. \( p=67 \): \( 67^2 + 2 = 4489 + 2 = 4491 \) není prvočíslo.
20. \( p=71 \): \( 71^2 + 2 = 5041 + 2 = 5043 \) není prvočíslo.
21. \( p=73 \): \( 73^2 + 2 = 5329 + 2 = 5331 \) není prvočíslo.
22. \( p=79 \): \( 79^2 + 2 = 6241 + 2 = 6243 \) není prvočíslo.
23. \( p=83 \): \( 83^2 + 2 = 6889 + 2 = 6891 \) není prvočíslo.
24. \( p=89 \): \( 89^2 + 2 = 7921 + 2 = 7923 \) není prvočíslo.
25. \( p=97 \): \( 97^2 + 2 = 9409 + 2 = 9411 \) není prvočíslo.

Jediné prvočíslo \( p \) menší než \( 100 \), pro které \( p^2 + 2 \) je také prvočíslo, je \( p = 3 \).

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme výraz \( p^2 – 2p + 1 \). Ten lze rozložit na \( (p – 1)^2 \).

Úloha tedy zní: najděte všechna prvočísla \( p \), pro která platí, že \( (p-1)^2 \) je také prvočíslo.

Čtverec libovolného čísla většího než 1 není prvočíslem, protože je dělitelný tímto číslem i dalšími.

Jedinou možností, jak může být \( (p-1)^2 \) prvočíslem, je \( (p-1)^2 = 1 \), protože 1 je výjimka, ale není prvočíslem.

Proto není možné, aby \( (p-1)^2 \) bylo prvočíslem pro žádné \( p > 1 \).

Nicméně, pro úplnost zkusíme \( p = 2 \), protože \( p \) musí být prvočíslo:

• Pro \( p=2 \) platí \( (2-1)^2 = 1^2 = 1 \), což není prvočíslo.

Pro \( p=1 \) (což není prvočíslo) by to bylo \(0\), také není prvočíslem.

Z toho vyplývá, že neexistuje žádné prvočíslo \( p \), pro které by \( p^2 – 2p + 1 \) bylo prvočíslem.

Řešení příkladu:

Úloha žádá najít všechna prvočísla \( p \), pro která platí, že \( p^2 + p + 1 \) je také prvočíslo.

Opět začneme výčtem prvních prvočísel a ověřením podmínky.

1. \( p=2 \): \( 2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7 \), které je prvočíslo.
2. \( p=3 \): \( 9 + 3 + 1 = 13 \), prvočíslo.
3. \( p=5 \): \( 25 + 5 + 1 = 31 \), prvočíslo.
4. \( p=7 \): \( 49 + 7 + 1 = 57 \), není prvočíslo (dělitelný 3).
5. \( p=11 \): \( 121 + 11 + 1 = 133 \), není prvočíslo (dělitelný 7).
6. \( p=13 \): \( 169 + 13 + 1 = 183 \), není prvočíslo (dělitelný 3).
7. \( p=17 \): \( 289 + 17 + 1 = 307 \), je prvočíslo.

Pro jistotu ověříme, zda 307 je prvočíslo:

Testujeme dělení prvočísly menšími než \(\sqrt{307} \approx 17.5\):

• \(2\) – ne
• \(3 – 307/3 = 102.33…\) ne
• \(5\) – ne
• \(7\) – ne
• \(11\) – ne
• \(13\) – ne
• \(17\) – ne

307 je prvočíslo.

Zkusíme ještě \( p=19 \): \( 361 + 19 + 1 = 381 \), není prvočíslo (dělitelný 3).

Vzhledem k tomu, že výraz rychle roste, předpokládáme, že další hodnoty nebudou prvočísla.

Výsledkem jsou prvočísla \( p = 2, 3, 5, 17 \), pro která je \( p^2 + p + 1 \) také prvočíslo.

Řešení příkladu:

Úloha je najít prvočísla \( p \), pro která \( 2p + 1 \) je také prvočíslem.

Tyto prvočísla nazýváme Sophie Germainova prvočísla.

Zkusíme několik hodnot \( p \) a ověříme podmínku:

1. \( p=2 \): \( 2 \times 2 + 1 = 5 \) prvočíslo.
2. \( p=3 \): \( 2 \times 3 + 1 = 7 \) prvočíslo.
3. \( p=5 \): \( 2 \times 5 + 1 = 11 \) prvočíslo.
4. \( p=7 \): \( 2 \times 7 + 1 = 15 \) není prvočíslo.
5. \( p=11 \): \( 2 \times 11 + 1 = 23 \) prvočíslo.
6. \( p=13 \): \( 2 \times 13 + 1 = 27 \) není prvočíslo.
7. \( p=17 \): \( 2 \times 17 + 1 = 35 \) není prvočíslo.
8. \( p=23 \): \( 2 \times 23 + 1 = 47 \) prvočíslo.
9. \( p=29 \): \( 2 \times 29 + 1 = 59 \) prvočíslo.
10. \( p=31 \): \( 2 \times 31 + 1 = 63 \) není prvočíslo.

Prvočísla \( p \), která splňují podmínku, jsou tedy alespoň \(2, 3, 5, 11, 23, 29\).

Vyhledávání by mohlo pokračovat, ale tato množina ilustruje princip.

Řešení příkladu:

Úloha se týká Mersennových prvočísel, která mají tvar \( 2^p – 1 \), kde \( p \) je prvočíslo a zároveň musí být \( 2^p – 1 \) prvočíslo.

Nejprve vyzkoušíme první prvočísla \( p \) a ověříme, zda \( 2^p – 1 \) je prvočíslo.

1. \( p=2 \): \( 2^2 – 1 = 4 – 1 = 3 \), prvočíslo.
2. \( p=3 \): \( 2^3 – 1 = 8 – 1 = 7 \), prvočíslo.
3. \( p=5 \): \( 2^5 – 1 = 32 – 1 = 31 \), prvočíslo.
4. \( p=7 \): \( 2^7 – 1 = 128 – 1 = 127 \), prvočíslo.
5. \( p=11 \): \( 2^{11} – 1 = 2048 – 1 = 2047 \), není prvočíslo (2047 = \(23 × 89\)).
6. \( p=13 \): \( 2^{13} – 1 = 8192 – 1 = 8191 \), prvočíslo.

Výsledná prvočísla \( p \), pro která \( 2^p – 1 \) je prvočíslo, jsou tedy \( 2, 3, 5, 7, 13 \).

Jsou známá také větší Mersennova prvočísla, ale pro tuto úlohu postačuje tento výčet.

Řešení příkladu:

Pro prvočíslo \( p \) hledáme, zda \( p^2 – p – 1 \) je také prvočíslo.

Zkusíme několik hodnot \( p \):

1. \( p=2 \): \( 4 – 2 – 1 = 1 \), není prvočíslo.
2. \( p=3 \): \( 9 – 3 – 1 = 5 \), prvočíslo.
3. \( p=5 \): \( 25 – 5 – 1 = 19 \), prvočíslo.
4. \( p=7 \): \( 49 – 7 – 1 = 41 \), prvočíslo.
5. \( p=11 \): \( 121 – 11 – 1 = 109 \), prvočíslo.
6. \( p=13 \): \( 169 – 13 – 1 = 155 \), není prvočíslo (dělitelný 5).

Pro další \( p \) roste číslo rychle a kontrola je složitější, ale lze vidět, že například \( p=3,5,7,11 \) fungují.

Takže prvočísla \( p \) splňující podmínku jsou \(3, 5, 7, 11\).

Řešení příkladu:

Úloha vyžaduje najít všechna prvočísla \( p \) a \( q \), která dohromady dávají 100, tedy \( p + q = 100 \).

Pro první \( p \) zkusíme prvočísla menší než \(100\) a zjistíme, zda \( 100 – p \) je také prvočíslo.

Vyjmenujeme prvočísla menší než 100:

\(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97\).

1. \( p=3 \), \( q=97 \) je prvočíslo.
2. \( p=11 \), \( q=89 \) prvočíslo.
3. \( p=17 \), \( q=83 \) prvočíslo.
4. \( p=29 \), \( q=71 \) prvočíslo.
5. \( p=41 \), \( q=59 \) prvočíslo.
6. \( p=47 \), \( q=53 \) prvočíslo.

Další kombinace s \( p > 50 \) jsou zbytečné, protože už jsme je probrali obráceně.

Tedy dvojice prvočísel \( (p,q) \) s \( p + q = 100 \) jsou:

• \((3, 97), (11, 89), (17, 83), (29, 71), (41, 59), (47, 53)\)

Řešení příkladu:

Úkol je ověřit pro prvočísla \( p \), zda \( p^3 + 2 \) je také prvočíslo.

Zkusíme nejmenší prvočísla:

1. \( p=2 \): \( 8 + 2 = 10 \) není prvočíslo.
2. \( p=3 \): \( 27 + 2 = 29 \), prvočíslo.
3. \( p=5 \): \( 125 + 2 = 127 \), prvočíslo.
4. \( p=7 \): \( 343 + 2 = 345 \), není prvočíslo (dělitelný 3).
5. \( p=11 \): \( 1331 + 2 = 1333 \), není prvočíslo (dělitelný 31).

Pro \( p=3 \) a \( p=5 \) platí, že \( p^3 + 2 \) je prvočíslo.

Další hodnoty rychle rostou, proto je důležité využít primárních testů.

Řešení příkladu:

Úkolem je najít prvočísla \( p < 50 \), kde \( p + 4 \) je rovněž prvočíslo.

Postupujeme systematicky:

1. \( p=2 \), \( 6 \) není prvočíslo.
2. \( p=3 \), \( 7 \) prvočíslo.
3. \( p=5 \), \( 9 \) není prvočíslo.
4. \( p=7 \), \( 11 \) prvočíslo.
5. \( p=11 \), \( 15 \) není prvočíslo.
6. \( p=13 \), \( 17 \) prvočíslo.
7. \( p=17 \), \( 21 \) není prvočíslo.
8. \( p=19 \), \( 23 \) prvočíslo.
9. \( p=23 \), \( 27 \) není prvočíslo.
10. \( p=29 \), \( 33 \) není prvočíslo.
11. \( p=31 \), \( 35 \) není prvočíslo.
12. \( p=37 \), \( 41 \) prvočíslo.
13. \( p=41 \), \( 45 \) není prvočíslo.
14. \( p=43 \), \( 47 \) prvočíslo.
15. \( p=47 \), \( 51 \) není prvočíslo.

Prvočísla \( p \) splňující podmínku jsou: \(3, 7, 13, 19, 37, 43\).

Řešení příkladu:

Nejprve vybereme prvočíselné dvojice \( (p, p+2) \), kde obě čísla jsou prvočísla. Zároveň musí platit, že \( p + (p+2) + 1 = 2p + 3 \) je také prvočíslo.

Vyzkoušíme prvočíselné dvojice menší než 50:

1. \( (3,5) \): \( 2 \times 3 + 3 = 9 \) není prvočíslo.
2. \( (5,7) \): \( 2 \times 5 + 3 = 13 \), prvočíslo.
3. \( (11,13) \): \( 2 \times 11 + 3 = 25 \), není prvočíslo.
4. \( (17,19) \): \( 2 \times 17 + 3 = 37 \), prvočíslo.
5. \( (29,31) \): \( 2 \times 29 + 3 = 61 \), prvočíslo.
6. \( (41,43) \): \( 2 \times 41 + 3 = 85 \), není prvočíslo.

Prvočísla \( p \) splňující podmínku jsou tedy \(5, 17, 29\).

Řešení:

Budeme testovat prvočísla \( p \) postupně a zkontrolujeme, zda je \( p^2 + 2 \) také prvočíslo.

1. \( p = 2 \): \( p^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \), není prvočíslo.
2. \( p = 3 \): \( 9 + 2 = 11 \), je prvočíslo.
3. \( p = 5 \): \( 25 + 2 = 27 \), není prvočíslo (dělitelné 3).
4. \( p = 7 \): \( 49 + 2 = 51 \), není prvočíslo (dělitelné 3).
5. \( p = 11 \): \( 121 + 2 = 123 \), není prvočíslo (dělitelné 3).
6. \( p = 13 \): \( 169 + 2 = 171 \), není prvočíslo (dělitelné 3).
7. \( p = 17 \): \( 289 + 2 = 291 \), není prvočíslo (dělitelné 3).
8. \( p = 19 \): \( 361 + 2 = 363 \), není prvočíslo (dělitelné 3).
9. \( p = 23 \): \( 529 + 2 = 531 \), není prvočíslo (dělitelné 3).
10. \( p = 29 \): \( 841 + 2 = 843 \), není prvočíslo (dělitelné 3).

Vidíme, že pouze \( p = 3 \) splňuje podmínku, protože \( 3^2 + 2 = 11 \) je prvočíslo.

Řešení:

Nejprve si vypíšeme prvočísla a postupně sčítáme:

1. \( p = 2 \): součet = 2, je prvočíslo.
2. \( p = 3 \): součet = \( 2 + 3 = 5 \), je prvočíslo.
3. \( p = 5 \): součet = \( 2 + 3 + 5 = 10 \), není prvočíslo.
4. \( p = 7 \): součet = \( 2 + 3 + 5 + 7 = 17 \), je prvočíslo.
5. \( p = 11 \): součet = \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 = 28 \), není prvočíslo.
6. \( p = 13 \): součet = \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 = 41 \), je prvočíslo.
7. \( p = 17 \): součet = \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 = 58 \), není prvočíslo.
8. \( p = 19 \): součet = \( 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 = 77 \), není prvočíslo.

Prvočísla \( p \), pro která platí, že součet všech prvočísel menších nebo rovných \( p \) je prvočíslem, jsou: \( 2 \), \( 3 \), \( 7 \), \( 13 \).

Řešení:

Hledáme quadruple prvočísel ve tvaru \( (p, p+2, p+6, p+8) \), kde všechna jsou prvočísla.

Testujeme \( p \) postupně:

1. \( p = 3 \): \( (3, 5, 9, 11) \) → 9 není prvočíslo.
2. \( p = 5 \): \( (5, 7, 11, 13) \) → všechna jsou prvočísla.
3. \( p = 7 \): \( (7, 9, 13, 15) \) → 9 a 15 nejsou prvočísla.
4. \( p = 11 \): \( (11, 13, 17, 19) \) → všechna jsou prvočísla.
5. \( p = 13 \): \( (13, 15, 19, 21) \) → 15 a 21 nejsou prvočísla.

Prvočíselné čtveřice jsou tedy \( (5, 7, 11, 13) \) a \( (11, 13, 17, 19) \).

Řešení:

Testujeme hodnoty \( p \) a kontrolujeme, zda \( p^2 – 2 \) je prvočíslo.

1. \( p = 2 \): \( 4 – 2 = 2 \) (prvočíslo)
2. \( p = 3 \): \( 9 – 2 = 7 \) (prvočíslo)
3. \( p = 5 \): \( 25 – 2 = 23 \) (prvočíslo)
4. \( p = 7 \): \( 49 – 2 = 47 \) (prvočíslo)
5. \( p = 11 \): \( 121 – 2 = 119 \) (neprvočíslo, dělitelné 7)
6. \( p = 13 \): \( 169 – 2 = 167 \) (prvočíslo)
7. \( p = 17 \): \( 289 – 2 = 287 \) (neprvočíslo, dělitelné 7)

Prvočísla \( p \), která splňují podmínku, jsou \( 2 \), \( 3 \), \( 5 \), \( 7 \), \( 13 \).

Řešení:

Faktoriál \( p! \) je součin všech celých kladných čísel menších nebo rovných \( p \). Testujeme:

1. \( p = 2 \): \( 2! + 1 = 2 + 1 = 3 \) (prvočíslo)
2. \( p = 3 \): \( 6 + 1 = 7 \) (prvočíslo)
3. \( p = 5 \): \( 120 + 1 = 121 \) (\( 11^2 \), není prvočíslo)
4. \( p = 7 \): \( 5040 + 1 = 5041 \) (neprvočíslo, protože \( 5041 = 71 \times 71 \))
5. \( p = 11 \): \( 39916800 + 1 \) (velmi velké číslo, není prvočíslo, lze ověřit dělitelnost)

Takže pro \( p = 2 \) a \( p = 3 \) je \( p! + 1 \) prvočíslem, u dalších testovaných to neplatí.

Řešení:

Testujeme prvočísla \( p \):

1. \( p = 2 \): \( 3 \cdot 2 + 2 = 8 \) (neprvočíslo)
2. \( p = 3 \): \( 3 \cdot 3 + 2 = 11 \) (prvočíslo)
3. \( p = 5 \): \( 3 \cdot 5 + 2 = 17 \) (prvočíslo)
4. \( p = 7 \): \( 3 \cdot 7 + 2 = 23 \) (prvočíslo)
5. \( p = 11 \): \( 3 \cdot 11 + 2 = 35 \) (neprvočíslo)
6. \( p = 13 \): \( 3 \cdot 13 + 2 = 41 \) (prvočíslo)
7. \( p = 17 \): \( 3 \cdot 17 + 2 = 53 \) (prvočíslo)

Prvočísla \( p \) splňující podmínku jsou \( 3, 5, 7, 13, 17 \).

Řešení:

Polynom \( n^2 + n + 41 \) je známý tím, že generuje prvočísla pro mnoho hodnot \( n \), zejména od 0 do 39.

Zde \( n = p \), kde \( p \) je prvočíslo. Zkusíme hodnoty \( p \):

1. \( p = 2 \): \( 4 + 2 + 41 = 47 \) (prvočíslo)
2. \( p = 3 \): \( 9 + 3 + 41 = 53 \) (prvočíslo)
3. \( p = 5 \): \( 25 + 5 + 41 = 71 \) (prvočíslo)
4. \( p = 7 \): \( 49 + 7 + 41 = 97 \) (prvočíslo)
5. \( p = 11 \): \( 121 + 11 + 41 = 173 \) (prvočíslo)
6. \( p = 13 \): \( 169 + 13 + 41 = 223 \) (prvočíslo)
7. \( p = 17 \): \( 289 + 17 + 41 = 347 \) (prvočíslo)
8. \( p = 19 \): \( 361 + 19 + 41 = 421 \) (prvočíslo)
9. \( p = 23 \): \( 529 + 23 + 41 = 593 \) (prvočíslo)
10. \( p = 29 \): \( 841 + 29 + 41 = 911 \) (neprvočíslo, dělitelné 29)

Pro všechna prvočísla \( p \) menší než 29 je \( p^2 + p + 41 \) prvočíslo, pro \( p = 29 \) již ne.

Řešení:

Testujeme \( p \):

1. \( p = 2 \): \( 2 \) (prvočíslo), \( 5 \) (prvočíslo), \( 9 \) (neprvočíslo)
2. \( p = 3 \): \( 3 \) (prvočíslo), \( 7 \) (prvočíslo), \( 13 \) (prvočíslo)
3. \( p = 5 \): \( 5 \) (prvočíslo), \( 11 \) (prvočíslo), \( 21 \) (neprvočíslo)
4. \( p = 7 \): \( 7 \) (prvočíslo), \( 15 \) (neprvočíslo)
5. \( p = 11 \): \( 11 \) (prvočíslo), \( 23 \) (prvočíslo), \( 45 \) (neprvočíslo)
6. \( p = 13 \): \( 13 \) (prvočíslo), \( 27 \) (neprvočíslo)
7. \( p = 17 \): \( 17 \) (prvočíslo), \( 35 \) (neprvočíslo)
8. \( p = 19 \): \( 19 \) (prvočíslo), \( 39 \) (neprvočíslo)
9. \( p = 23 \): \( 23 \) (prvočíslo), \( 47 \) (prvočíslo), \( 93 \) (neprvočíslo)
10. \( p = 29 \): \( 29 \) (prvočíslo), \( 59 \) (prvočíslo), \( 117 \) (neprvočíslo)

Splňuje pouze \( p = 3 \).

Řešení:

Testujeme \( p \):

1. \( p = 2 \): \( 4 – 2 + 41 = 43 \) (prvočíslo)
2. \( p = 3 \): \( 9 – 3 + 41 = 47 \) (prvočíslo)
3. \( p = 5 \): \( 25 – 5 + 41 = 61 \) (prvočíslo)
4. \( p = 7 \): \( 49 – 7 + 41 = 83 \) (prvočíslo)
5. \( p = 11 \): \( 121 – 11 + 41 = 151 \) (prvočíslo)
6. \( p = 13 \): \( 169 – 13 + 41 = 197 \) (prvočíslo)
7. \( p = 17 \): \( 289 – 17 + 41 = 313 \) (prvočíslo)
8. \( p = 19 \): \( 361 – 19 + 41 = 383 \) (prvočíslo)
9. \( p = 23 \): \( 529 – 23 + 41 = 547 \) (prvočíslo)
10. \( p = 29 \): \( 841 – 29 + 41 = 853 \) (prvočíslo)
11. \( p = 31 \): \( 961 – 31 + 41 = 971 \) (prvočíslo)
12. \( p = 37 \): \( 1369 – 37 + 41 = 1373 \) (prvočíslo)

Většina z těchto hodnot je prvočíslo, což je zajímavá vlastnost.

Řešení příkladu:

Úloha: Najít všechna prvočísla \(p\), pro která je \(2p + 1\) rovněž prvočíslem.

Krok 1: Vyzkoušíme několik prvních prvočísel a zjistíme, zda \(2p + 1\) je prvočíslo.

\(p=2 \Rightarrow 2 \cdot 2 + 1 = 5\), což je prvočíslo.

\(p=3 \Rightarrow 2 \cdot 3 + 1 = 7\), prvočíslo.

\(p=5 \Rightarrow 2 \cdot 5 + 1 = 11\), prvočíslo.

\(p=7 \Rightarrow 2 \cdot 7 + 1 = 15\), není prvočíslo.

\(p=11 \Rightarrow 2 \cdot 11 + 1 = 23\), prvočíslo.

\(p=13 \Rightarrow 2 \cdot 13 + 1 = 27\), není prvočíslo.

Krok 2: Pozorujeme, že některá prvočísla splňují podmínku, například \(2, 3, 5, 11\), ale ne všechna.

Krok 3: Tato prvočísla, pro která je \(2p + 1\) prvočíslo, se nazývají Sophie Germainova prvočísla.

Závěr: Prvočísla \(p\), která splňují podmínku, jsou například 2, 3, 5, 11, a dalších lze nalézt, ale úplný seznam není znám.

Řešení příkladu:

Krok 1: Každé celé číslo lze vyjádřit jako \(6k + r\), kde \(r = 0, 1, 2, 3, 4, 5\) a \(k\) je celé číslo.

Krok 2: Prozkoumáme možné zbytky \(r\) po dělení 6.

Krok 3: Pokud \(r=0\), číslo je dělitelné 6, tedy není prvočíslo (kromě 2 a 3, které jsou menší).

Krok 4: Pokud \(r=2\) nebo \(r=4\), číslo je sudé, tedy není prvočíslo (kromě 2).

Krok 5: Pokud \(r=3\), číslo je dělitelné 3, tedy není prvočíslo (kromě 3 samotného).

Krok 6: Zůstávají pouze \(r=1\) a \(r=5\), což znamená, že prvočíslo větší než 3 musí mít tvar \(6k + 1\) nebo \(6k + 5\).

Krok 7: Proto lze napsat \(6k – 1\) místo \(6k + 5\), protože rozdíl je 6.

Závěr: Každé prvočíslo větší než 3 je ve tvaru \(6k \pm 1\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Všimněte si, že \(p^2 – 1 = (p – 1)(p + 1)\).

Krok 2: Pro \(p > 2\) jsou \(p-1\) a \(p+1\) větší než 1, tudíž součin nemůže být prvočíslo.

Krok 3: Vyzkoušíme \(p=2\): \(2^2 – 1 = 4 – 1 = 3\), což je prvočíslo.

Závěr: Jediným prvočíslem \(p\), pro které je \(p^2 – 1\) také prvočíslo, je \(p=2\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Hledáme trojici prvočísel ve tvaru \(p, p+2, p+4\).

Krok 2: Vyzkoušíme malá prvočísla:

\(p=3\): \(3, 5, 7\) jsou všechna prvočísla.

\(p=5\): \(5, 7, 9\), 9 není prvočíslo.

Krok 3: Pozorujeme, že další trojice neexistují, protože jedno ze tří po sobě jdoucích lichých čísel musí být dělitelné 3.

Závěr: Jediná trojice takových prvočísel je \(3, 5, 7\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Výraz \(p^2 + p + 41\) je známý jako Eulerův polynom.

Krok 2: Pro malá \(p\) zjistíme hodnoty a ověříme prvočíselnost:

\(p=0 \Rightarrow 41\) prvočíslo.

\(p=1 \Rightarrow 43\) prvočíslo.

\(p=39 \Rightarrow 39^2 + 39 + 41 = 1521 + 39 + 41 = 1601\), což je prvočíslo.

\(p=40 \Rightarrow 40^2 + 40 + 41 = 1681 = 41^2\), není prvočíslo.

Závěr: Polynom generuje prvočísla pro \(p=0\) až \(p=39\), ale ne pro všechna \(p\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme několik prvočísel:

\(p=2 \Rightarrow 4 + 2 = 6\), není prvočíslo.

\(p=3 \Rightarrow 9 + 2 = 11\), prvočíslo.

\(p=5 \Rightarrow 25 + 2 = 27\), není prvočíslo.

\(p=7 \Rightarrow 49 + 2 = 51\), není prvočíslo.

Krok 2: Pouze \(p=3\) splňuje podmínku.

Závěr: Jediným prvočíslem \(p\), pro které je \(p^2 + 2\) prvočíslo, je \(p=3\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Hledáme prvočísla \(p, q\) taková, že \(p + q = 100\).

Krok 2: Vyzkoušíme prvočísla menší než 100 a ověříme, zda \(100 – p\) je také prvočíslo.

Krok 3: Vyhledávání:

\(p=3\), \(q=97\) (prvočíslo).

\(p=11\), \(q=89\) (prvočíslo).

\(p=17\), \(q=83\) (prvočíslo).

\(p=29\), \(q=71\) (prvočíslo).

\(p=41\), \(q=59\) (prvočíslo).

\(p=47\), \(q=53\) (prvočíslo).

Krok 4: Při dalším zvyšování \(p\) se páry opakují s rolemi \(p, q\) prohozenými.

Závěr: Případy jsou \((3,97), (11,89), (17,83), (29,71), (41,59), (47,53)\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Čísla tvaru \(2^p – 1\), kde \(p\) je prvočíslo, se nazývají Mersennova prvočísla.

Krok 2: Některé známé příklady:

\(p=2 \Rightarrow 2^2 – 1 = 3\), prvočíslo.

\(p=3 \Rightarrow 7\), prvočíslo.

\(p=5 \Rightarrow 31\), prvočíslo.

\(p=7 \Rightarrow 127\), prvočíslo.

\(p=11 \Rightarrow 2047 = 23 \times 89\), není prvočíslo.

Závěr: Ne všechna \(2^p – 1\) jsou prvočísla, i když \(p\) je prvočíslo.

Řešení příkladu:

Krok 1: Hledáme prvočísla \(p\), taková že \(p+4\) je také prvočíslo.

Krok 2: Vyzkoušíme několik příkladů:

\(p=3 \Rightarrow 7\) je prvočíslo.

\(p=7 \Rightarrow 11\) prvočíslo.

\(p=13 \Rightarrow 17\) prvočíslo.

\(p=19 \Rightarrow 23\) prvočíslo.

\(p=23 \Rightarrow 27\) není prvočíslo.

Krok 3: Párů je tedy mnoho, ale není zaručeno, že \(p+4\) je prvočíslo vždy.

Závěr: Například \(3, 7, 13, 19\) splňují podmínku.

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme několik prvočísel:

\(p=2 \Rightarrow 4 + 1 = 5\), prvočíslo.

\(p=3 \Rightarrow 9 + 1 = 10\), není prvočíslo.

\(p=5 \Rightarrow 25 + 1 = 26\), není prvočíslo.

\(p=7 \Rightarrow 49 + 1 = 50\), není prvočíslo.

\(p=11 \Rightarrow 121 + 1 = 122\), není prvočíslo.

Krok 2: Pouze \(p=2\) splňuje podmínku.

Závěr: Jediným prvočíslem \(p\), pro které je \(p^2 + 1\) také prvočíslo, je \(p=2\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Hledáme prvočísla \(p\), pro která je \(\frac{p-1}{2}\) prvočíslo.

Krok 2: Zkoušíme několik případů:

\(p=3 \Rightarrow \frac{3-1}{2} = 1\), není prvočíslo.

\(p=5 \Rightarrow \frac{5-1}{2} = 2\), prvočíslo.

\(p=7 \Rightarrow 3\), prvočíslo.

\(p=11 \Rightarrow 5\), prvočíslo.

\(p=13 \Rightarrow 6\), není prvočíslo.

Krok 3: Pro \(p=5,7,11\) podmínka platí.

Závěr: Prvočísla \(p\), pro která \(\frac{p-1}{2}\) je prvočíslo, jsou například \(5, 7\) a \(11\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Zadání říká, že hledáme prvočísla \(p\), pro která číslo \(p^2 – 2\) je také prvočíslo.

Krok 2: Vyzkoušíme nejmenší prvočísla:

• Pro \(p=2\): \(p^2 – 2 = 4 – 2 = 2\), což je prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(p^2 – 2 = 9 – 2 = 7\), což je prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(p^2 – 2 = 25 – 2 = 23\), což je prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(p^2 – 2 = 49 – 2 = 47\), což je prvočíslo.
• Pro \(p=11\): \(p^2 – 2 = 121 – 2 = 119\), což není prvočíslo \((119 = 7 × 17)\).

Krok 3: Zkontrolujeme několik dalších prvočísel, např. 13, 17, 19, 23, a zjistíme, že \(p^2 – 2\) není prvočíslo.

Závěr: Jediná prvočísla \(p\), pro která je \(p^2 – 2\) také prvočíslo, jsou \(p = 2, 3, 5, 7\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Musíme najít prvočíslo \(p\), kde \(2p + 1\) je prvočíslo a zároveň \(4p + 1\) není prvočíslo.

Krok 2: Vyzkoušíme několik prvočísel:

• \(p=2\): \(2p+1=5\) (prvočíslo), \(4p+1=9\) (není prvočíslo).
• \(p=3\): \(2p+1=7\) (prvočíslo), \(4p+1=13\) (prvočíslo) – nevyhovuje.
• \(p=5\): \(2p+1=11\) (prvočíslo), \(4p+1=21\) (není prvočíslo).

Krok 3: Podmínky splňují \(p=2\) a \(p=5\).

Závěr: Existují prvočísla \(p\), která splňují dané podmínky, například \(p=2\) a \(p=5\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Zkoušíme několik hodnot \(p\):

• \(p=2\): \(4 + 2 + 1 = 7\) (prvočíslo)
• \(p=3\): \(9 + 3 + 1 = 13\) (prvočíslo)
• \(p=5\): \(25 + 5 + 1 = 31\) (prvočíslo)
• \(p=7\): \(49 + 7 + 1 = 57\) (není prvočíslo, protože \(3 × 19 = 57)\)

Krok 2: Zkoušíme další prvočísla \(p=11, 13, 17\) a zjistíme, že většinou výsledné číslo není prvočíslo.

Závěr: Prvočísla \(p\), pro která \(p^2 + p + 1\) je prvočíslo, jsou \(2, 3, 5\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Pro \(p=2\): \(3 \times 2 + 2 = 8\), což není prvočíslo.

Krok 2: Pro \(p=3\): \(3 \times 3 + 2 = 11\), což je prvočíslo.

Krok 3: Pro \(p=5\): \(3 \times 5 + 2 = 17\), což je prvočíslo.

Krok 4: Pro \(p=7\): \(3 \times 7 + 2 = 23\), což je prvočíslo.

Krok 5: Pro \(p=11\): \(3 \times 11 + 2 = 35\), což není prvočíslo.

Závěr: Prvočísla \(p\) splňující podmínku jsou \(3, 5, 7\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme některá prvočísla:

• \(p=3\): \(p+4=7\) (prvočíslo), \(p+6=9\) (není prvočíslo)
• \(p=5\): \(p+4=9\) (není prvočíslo), podmínka nesplněna
• \(p=7\): \(p+4=11\) (prvočíslo), \(p+6=13\) (prvočíslo), podmínka nesplněna
• \(p=11\): \(p+4=15\) (není prvočíslo), podmínka nesplněna

Závěr: Jediné prvočíslo \(p\), které splňuje podmínku, je \(3\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme několik hodnot:

• \(p=2\): \(4 + 1 = 5\) (prvočíslo)
• \(p=3\): \(9 + 1 = 10\) (není prvočíslo)
• \(p=5\): \(25 + 1 = 26\) (není prvočíslo)
• \(p=7\): \(49 + 1 = 50\) (není prvočíslo)

Závěr: Jediným prvočíslem \(p\), pro které je \(p^2 + 1\) prvočíslo, je \(p=2\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Věta Fermatova říká, že pro prvočíslo \(p\) platí \(a^{p} \equiv a \mod p\) pro každé celé číslo \(a\).

Krok 2: Pro \(a=2\) tedy platí \(2^{p} \equiv 2 \mod p \Rightarrow p \mid (2^{p} – 2)\).

Závěr: Podmínku splňují všechna prvočísla \(p\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Zkontrolujeme menší prvočísla:

• \(p=2\): \(2^{2} + 1 = 5\), 5 dělit 2 nejde.
• \(p=3\): \(2^{3} + 1 = 9\), 9 dělit 3 jde.
• \(p=5\): \(2^{5} + 1 = 33\), 33 dělit 5 nejde.

Krok 2: Pro obecné prvočíslo \(p\) platí, že \(2^{p} \equiv 2 \mod p\) z Fermatovy věty, takže \(2^{p} + 1 \equiv 2 + 1 = 3 \mod p\).

Krok 3: Aby \(p \mid 2^{p} + 1\), musí platit \(p \mid 3\), takže \(p=3\).

Závěr: Jediné prvočíslo splňující podmínku je \(p=3\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Hledáme prvočísla \(p\), kde \(p, p+2, p+4\) jsou prvočísla současně.

Krok 2: Zkusíme \(p=3\): \(3, 5, 7\) jsou všechna prvočísla.

Krok 3: Zkusíme další \(p=5\): \(5, 7, 9\) (\(9\) není prvočíslo), nevyhovuje.

Závěr: Jediný trojčet tří prvočísel v tomto tvaru je \(3, 5, 7\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Pro prvočíslo \(p > 3\) platí, že \(p\) je liché a není dělitelné \(3\).

Krok 2: Číslo \(p^2 – 1 = (p-1)(p+1)\).

Krok 3: \(p-1, p, p+1\) jsou tři po sobě jdoucí čísla, takže mezi nimi je právě jedno dělitelné \(3\) a jedno sudé číslo.

Krok 4: Oba \(p-1\) a \(p+1\) jsou sudá čísla, takže jejich součin je dělitelný \(4\).

Krok 5: Mezi \(p-1\) a \(p+1\) je jedno číslo dělitelné \(2\), a protože jsou oba sudé, je jejich součin dělitelný \(8\).

Krok 6: Protože jedno z těchto čísel je dělitelné \(3\), součin je dělitelný \(3\).

Krok 7: Celkově je \(p^2 – 1\) dělitelný \(8 × 3 = 24\).

Závěr: Pro každé prvočíslo \(p > 3\) platí, že \(p^2 – 1\) je dělitelné \(24\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyjádříme si dané číslo jako \(p^3 – p = p(p^2 – 1) = p(p-1)(p+1)\).

Krok 2: Číslo \(p(p-1)(p+1)\) je součin tří po sobě jdoucích čísel: \(p-1\), \(p\), \(p+1\).

Krok 3: Produkt tří po sobě jdoucích čísel je vždy dělitelný 3! = 6, protože mezi nimi je jedno číslo dělitelné 3 a alespoň jedno číslo je sudé, takže je dělitelný 2.

Krok 4: Pro dělení 30 tedy potřebujeme, aby tento součin byl dělitelný \(2, 3\) a \(5\).

Krok 5: Dělení 2 a 3 je zajištěno automaticky, protože jsou tři po sobě jdoucí čísla, ale dělení \(5\) nemusí platit vždy.

Krok 6: Pro dělení 5 musí být alespoň jedno z čísel \(p-1\), \(p\), \(p+1\) dělitelné \(5\).

Krok 7: Protože \(p\) je prvočíslo, může být 5 pouze pokud \(p=5\).

Krok 8: Zkontrolujeme hodnotu pro \(p=5\): \(5 \times 4 \times 6 = 120\), které je dělitelné \(30\).

Krok 9: Pokud \(p \neq 5\), aby byl součin dělitelný \(5\), musí být \(5\) v \(p-1\) nebo \(p+1\), tedy \(p = 6\) nebo \(p=4\), což nejsou prvočísla.

Závěr: Jediné prvočíslo \(p\), pro které je \(p^3 – p\) dělitelné \(30\), je \(p=5\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Čísla tvaru \(2^{p} – 1\), kde \(p\) je prvočíslo, se nazývají Mersennova čísla.

Krok 2: Ne všechna Mersennova čísla jsou prvočísla, ale pokud \(2^{p} – 1\) je prvočíslo, pak \(p\) musí být prvočíslo.

Krok 3: Vyzkoušíme několik hodnot \(p\):

• \(p=2\): \(2^{2} – 1 = 3\) je prvočíslo.
• \(p=3\): \(2^{3} – 1 = 7\) je prvočíslo.
• \(p=5\): \(2^{5} – 1 = 31\) je prvočíslo.
• \(p=7\): \(2^{7} – 1 = 127\) je prvočíslo.
• \(p=11\): \(2^{11} – 1 = 2047\), není prvočíslo (dělitelné \(23\) a \(89\) ).

Krok 4: Vyšší hodnoty vyžadují složitější testy prvočíselnosti, ale nelze obecně říci, že \(2^{p} – 1\) je prvočíslo pro všechna prvočísla \(p\).

Závěr: Čísla \(2^{p} – 1\) jsou prvočísla pouze pro některá prvočísla \(p\), například \(2, 3, 5, 7\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme několik hodnot \(p\):

• \(p=2\): \(4 + 2 = 6\), není prvočíslo.
• \(p=3\): \(9 + 2 = 11\), je prvočíslo.
• \(p=5\): \(25 + 2 = 27\), není prvočíslo (dělitelné 3).
• \(p=7\): \(49 + 2 = 51\), není prvočíslo (dělitelné 3).
• \(p=11\): \(121 + 2 = 123\), není prvočíslo (dělitelné 3).

Krok 2: Zdá se, že pouze \(p=3\) vyhovuje.

Závěr: Jediné prvočíslo \(p\), pro které je \(p^2 + 2\) prvočíslo, je \(p=3\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyjádříme čitatele jako součin: \(p^2 – 1 = (p-1)(p+1)\).

Krok 2: Protože \(p\) je prvočíslo větší než \(3\), je liché a není dělitelné \(3\).

Krok 3: Tři po sobě jdoucí čísla \(p-1\), \(p\), \(p+1\) obsahují jedno číslo dělitelné \(3\) a dvě sudá čísla (protože \(p\) je liché, \(p-1\) a \(p+1\) jsou sudá).

Krok 4: Součin \( (p-1)(p+1) \) tedy obsahuje alespoň \(2 \times 2 = 4\) a jedno číslo dělitelné \(3\).

Krok 5: Navíc mezi \(p-1\) a \(p+1\) jsou dvě sudá čísla, takže součin je dělitelný \(8\).

Krok 6: Celkem je tedy \( (p-1)(p+1) \) dělitelný \(8 × 3 = 24\).

Krok 7: Proto je zlomek \(\frac{p^2 – 1}{24}\) celé číslo.

Závěr: Pro každé prvočíslo \(p > 3\) je \(\frac{p^2 – 1}{24}\) celé číslo.

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme hodnoty \(p\):

• \(p=2\): \(4 – 2 + 1 = 3\), prvočíslo.
• \(p=3\): \(9 – 3 + 1 = 7\), prvočíslo.
• \(p=5\): \(25 – 5 + 1 = 21\), není prvočíslo.
• \(p=7\): \(49 – 7 + 1 = 43\), prvočíslo.
• \(p=11\): \(121 – 11 + 1 = 111\), není prvočíslo.

Krok 2: Testování vyšších hodnot je složitější, ale podle výše uvedených testů platí pro \(p=2, 3, 7\).

Závěr: Prvočísla \(p\), pro která je \(p^2 – p + 1\) také prvočíslo, jsou minimálně \(2, 3, 7\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Uvažujeme prvočíslo \(p\) a číslo \(p^4 + 4\).

Krok 2: Nejprve vyzkoušíme menší prvočísla:

• \(p=2\): \(2^4 + 4 = 16 + 4 = 20\), dělitelné prvočísly menšími než \(2\) nejsou, protože žádná taková neexistují.
• \(p=3\): \(81 + 4 = 85\), dělitelné 5, které je menší než \(3\) ne, takže platí.
• \(p=5\): \(625 + 4 = 629\), je třeba zjistit dělitelnost prvočísly menšími než \(5 (2, 3)\):
• 629 není sudé, ne dělitelné \(2\).
• Součet číslic je \(17\), ne dělitelný \(3\), takže ne dělitelné \(3\).

Krok 3: Pro \(p=7\), \(7^4 + 4 = 2401 + 4 = 2405\), kontrola dělení prvočísly menšími než \(7 (2,3,5)\):

• \(2405\) není sudé, takže ne dělitelné \(2\).
• Součet číslic \(2+4+0+5 = 11\), není dělitelné \(3\).
• Poslední číslice není \(0\) nebo \(5\), ale \(2405\) končí na \(5\), takže je dělitelné \(5\).

Krok 4: Číslo \(2405\) je dělitelné \(5\), což je prvočíslo menší než \(7\), nevyhovuje.

Závěr: Pro \(p=2, 3, 5\) platí, že \(p^4 + 4\) není dělitelné žádným prvočíslem menším než \(p\), pro \(p=7\) už tato podmínka neplatí.

Řešení příkladu:

Krok 1: Číslo \(p^2 + p + 41\) je známé jako Eulerův polynom, který generuje prvočísla pro \(p = 0, 1, 2, …, 39\).

Krok 2: Vyzkoušíme pro několik hodnot \(p\):

• \(p=0\): \(0 + 0 + 41 = 41\), prvočíslo.
• \(p=1\): \(1 + 1 + 41 = 43\), prvočíslo.
• \(p=39\): \(1521 + 39 + 41 = 1601\), prvočíslo.
• \(p=40\): \(1600 + 40 + 41 = 1681 = 41^2\), není prvočíslo.

Krok 3: Pokud chceme \(p\) prvočíslo a zároveň \(p^2 + p + 41\) prvočíslo, musíme \(p < 40\).

Závěr: Pro prvočísla \(p < 40\) je \(p^2 + p + 41\) často prvočíslo, ale ne pro všechna. Například \(p=2\) dává \(4 + 2 + 41 = 47\) (prvočíslo), \(p=41\) už ne.

Řešení příkladu:

Krok 1: Podle Fermatovy věty platí, že pokud je \(p\) prvočíslo a \(a\) celé číslo, pak \(a^p \equiv a \mod p\).

Krok 2: Pro \(a=3\) platí \(3^{p} \equiv 3 \mod p\), tedy \(p \mid (3^{p} – 3)\).

Závěr: Všechna prvočísla \(p\) dělí číslo \(3^{p} – 3\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme několik hodnot \(p\):

• \(p=2\): \(4 + 2 + 17 = 23\), prvočíslo.
• \(p=3\): \(9 + 3 + 17 = 29\), prvočíslo.
• \(p=5\): \(25 + 5 + 17 = 47\), prvočíslo.
• \(p=7\): \(49 + 7 + 17 = 73\), prvočíslo.
• \(p=11\): \(121 + 11 + 17 = 149\), prvočíslo.
• \(p=13\): \(169 + 13 + 17 = 199\), prvočíslo.
• \(p=17\): \(289 + 17 + 17 = 323\), není prvočíslo (dělitelné 17).

Závěr: Pro prvočísla \(p < 17\) je \(p^2 + p + 17\) často prvočíslo, ale ne vždy.

Řešení příkladu:

Krok 1: Hledáme prvočísla \(p\), pro která je \(2p + 1\) také prvočíslo.

Krok 2: Vyzkoušíme několik hodnot:

• \(p=2\): \(2 \times 2 + 1 = 5\), prvočíslo.
• \(p=3\): \(2 \times 3 + 1 = 7\), prvočíslo.
• \(p=5\): \(2 \times 5 + 1 = 11\), prvočíslo.
• \(p=7\): \(2 \times 7 + 1 = 15\), není prvočíslo.
• \(p=11\): \(2 \times 11 + 1 = 23\), prvočíslo.

Závěr: Prvočísla \(p\) pro která je \(2p + 1\) také prvočíslo se nazývají Sophie Germainova prvočísla.

Řešení příkladu:

Krok 1: Čísla tvaru \(2^p – 1\), kde \(p\) je prvočíslo, se nazývají Mersennova čísla.

Krok 2: Mersennova čísla jsou prvočíslem pouze pro některá prvočísla \(p\). Například:

• Pro \(p=2\): \(2^2 – 1 = 3\), což je prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(2^3 – 1 = 7\), což je prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(2^5 – 1 = 31\), což je prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(2^7 – 1 = 127\), což je prvočíslo.

Krok 3: Pro \(p=11\) je \(2^{11} – 1 = 2047 = 23 \cdot 89\), což není prvočíslo.

Závěr: Mersennova prvočísla jsou známá pouze pro některá prvočísla \(p\). Tedy prvočísla \(p\), pro která je \(2^p – 1\) také prvočíslo, jsou například \(2, 3, 5, 7\) a další, která odpovídají známým Mersennovým prvočíslům.

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme malá prvočísla \(p\):

• Pro \(p=2\): \(2^2 + 2 = 4 + 2 = 6\), není prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(3^2 + 2 = 9 + 2 = 11\), je prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(5^2 + 2 = 25 + 2 = 27\), není prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(7^2 + 2 = 49 + 2 = 51\), není prvočíslo.

Krok 2: Pro \(p > 3\), pokud \(p\) není 3, většinou \(p^2 + 2\) není prvočíslo. Zkusíme analyzovat dědivost:

Číslo \(p^2 + 2\) pro \(p > 3\) prvočíslo může být buď prvočíslo nebo složené číslo. Vyzkoušení několika hodnot ukazuje, že výjimka je pouze \(p=3\).

Závěr: Jediným prvočíslem \(p\), pro které \(p^2 + 2\) je také prvočíslo, je \(p = 3\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme malá prvočísla \(p\):

• Pro \(p=2\): \(2 + 4 = 6\), není prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(3 + 4 = 7\), je prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(5 + 4 = 9\), není prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(7 + 4 = 11\), je prvočíslo.
• Pro \(p=11\): \(11 + 4 = 15\), není prvočíslo.

Krok 2: Zkoušíme pokračovat dále a zjistíme, že tato vlastnost není obecná. Vyskytují se náhodné případy.

Závěr: Prvočísla \(p\), pro která \(p + 4\) je také prvočíslo, jsou například \(3\) a \(7\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Pro \(p\) prvočíslo zkontrolujeme \(2p + 1\):

• Pro \(p=2\): \(2 \cdot 2 + 1 = 5\), je prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(2 \cdot 3 + 1 = 7\), je prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(2 \cdot 5 + 1 = 11\), je prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(2 \cdot 7 + 1 = 15\), není prvočíslo.
• Pro \(p=11\): \(2 \cdot 11 + 1 = 23\), je prvočíslo.

Krok 2: Tato čísla se nazývají Sophie Germain prvočísla. Existuje jich mnoho, ale není známo, zda jich je nekonečně mnoho.

Závěr: Prvočísla \(p\), pro která \(2p + 1\) je také prvočíslo, jsou Sophie Germain prvočísla, například \(2, 3, 5, 11\), atd.

Řešení příkladu:

Krok 1: Výraz \(p^2 – 1 = (p-1)(p+1)\) je součin dvou po sobě jdoucích čísel okolo \(p\).

Krok 2: Protože \(p\) je prvočíslo, větší než 3, musí být liché. Pak \(p-1\) a \(p+1\) jsou sudá čísla.

Krok 3: Protože máme dvě sudá čísla po sobě, jeden z těchto dvou členů je dělitelný 4, druhý alespoň 2. Tedy součin obsahuje \(2 \cdot 4 = 8\) jako faktor.

Krok 4: Dále mezi třemi po sobě jdoucími čísly \(p-1, p, p+1\) je jedno dělitelné 3. Proto \(p^2 – 1\) je dělitelné 3.

Krok 5: Součin je tedy dělitelný \(8 \cdot 3 = 24\).

Závěr: Pro všechna prvočísla \(p > 3\) platí, že \(p^2 – 1\) je dělitelné \(24\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyjádříme \(p^3 – p = p(p^2 – 1) = p(p-1)(p+1)\).

Krok 2: Čísla \(p-1\), \(p\), \(p+1\) jsou tři po sobě jdoucí čísla.

Krok 3: Součin tří po sobě jdoucích čísel je vždy dělitelný \(3! = 6\).

Krok 4: Aby byl součin dělitelný \(30\), musí být dělitelný \(2 \cdot 3 \cdot 5\).

Krok 5: Protože \(p\) je prvočíslo, musí být buď \(2\) nebo \(5\), nebo být takové, že součin obsahuje faktor \(2\) a \(5\).

Krok 6: Vyzkoušíme malá prvočísla:

• Pro \(p=2\): \(2^3 – 2 = 8 – 2 = 6\), není dělitelné \(30\).
• Pro \(p=3\): \(27 – 3 = 24\), není dělitelné \(30\).
• Pro \(p=5\): \(125 – 5 = 120\), ano, dělitelné \(30\).
• Pro \(p=7\): \(343 – 7 = 336\), není dělitelné \(30\).

Závěr: Jediným prvočíslem \(p\), pro které je \(p^3 – p\) dělitelné \(30\), je \(p=5\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme malá prvočísla:

• Pro \(p=2\): \(4 + 2 + 1 = 7\), je prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(9 + 3 + 1 = 13\), je prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(25 + 5 + 1 = 31\), je prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(49 + 7 + 1 = 57\), není prvočíslo.

Krok 2: Pro \(p=7\) už to neplatí, zkoušíme dále:

• Pro \(p=11\): \(121 + 11 + 1 = 133\), není prvočíslo.

Závěr: Prvočísla \(p\), pro která je \(p^2 + p + 1\) prvočíslo, jsou \(2, 3\) a \(5\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme malá prvočísla:

• Pro \(p=2\): \(4 – 2 = 2\), je prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(9 – 2 = 7\), je prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(25 – 2 = 23\), je prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(49 – 2 = 47\), je prvočíslo.
• Pro \(p=11\): \(121 – 2 = 119\), není prvočíslo.

Závěr: Prvočísla \(p\) pro která \(p^2 – 2\) je prvočíslo jsou \(2, 3, 5\) a \(7\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Hledáme prvočísla \(p\), pro která \(p\), \(p+2\) a \(p+4\) jsou prvočísla. To znamená trojice prvočísel v aritmetickém sledu s diferencí \(2\).

Krok 2: Vyzkoušíme malá prvočísla:

• Pro \(p=3\): \(3\), \(5\), \(7\) jsou prvočísla.
• Pro \(p=5\): \(5\), \(7\), \(9\) – 9 není prvočíslo.

Krok 3: Pro \(p > 3\) neexistují další takové trojice, protože jedno z čísel v sadě bude dělitelné \(3\).

Závěr: Jediná trojice takových prvočísel je \(3, 5, 7\), takže \(p = 3\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme několik hodnot:

• Pro \(p=2\): \(4 + 1 = 5\), je prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(9 + 1 = 10\), není prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(25 + 1 = 26\), není prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(49 + 1 = 50\), není prvočíslo.

Krok 2: Pro \(p=2\) je výsledek prvočíslo, ale u dalších malých prvočísel ne.

Závěr: Jediným prvočíslem \(p\), pro které \(p^2 + 1\) je prvočíslo, je \(p=2\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Pozorujeme, že \(p^2 + 2p + 1 = (p+1)^2\).

Krok 2: Pokud \(p\) je prvočíslo, pak výraz je druhá mocnina čísla \(p+1\).

Krok 3: Druhá mocnina čísla většího než 1 nemůže být prvočíslo, protože je to vždy složené číslo.

Krok 4: Výjimkou je \( (p+1)^2 = 1 \), což není možné, protože \(p \geq 2\).

Závěr: Neexistuje prvočíslo \(p\), pro které by \(p^2 + 2p + 1\) bylo také prvočíslo.

Řešení příkladu:

Krok 1: Zkoušíme malá prvočísla \(p\) a ověřujeme, zda \(2p + 1\) je prvočíslo.

• Pro \(p = 2\): \(2 \cdot 2 + 1 = 5\), což je prvočíslo.
• Pro \(p = 3\): \(2 \cdot 3 + 1 = 7\), což je prvočíslo.
• Pro \(p = 5\): \(2 \cdot 5 + 1 = 11\), což je prvočíslo.
• Pro \(p = 7\): \(2 \cdot 7 + 1 = 15\), což není prvočíslo.
• Pro \(p = 11\): \(2 \cdot 11 + 1 = 23\), což je prvočíslo.
• Pro \(p = 13\): \(2 \cdot 13 + 1 = 27\), což není prvočíslo.

Krok 2: Tato vlastnost platí pro některá prvočísla, ale ne pro všechna. Čísla \(p\) s tímto vlastností se nazývají Sophie Germainova prvočísla.

Závěr: Prvočísla \(p\), pro která je \(2p + 1\) také prvočíslo, jsou například \(2, 3, 5, 11\), ale neexistuje známý jednoduchý vzorec pro všechna taková prvočísla.

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme malá prvočísla \(p\).

• Pro \(p=2\): \(2^2 – 2 + 1 = 4 – 2 + 1 = 3\), což je prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(9 – 3 + 1 = 7\), prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(25 – 5 + 1 = 21\), není prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(49 – 7 + 1 = 43\), prvočíslo.
• Pro \(p=11\): \(121 – 11 + 1 = 111\), není prvočíslo.

Krok 2: Zkoumáme výraz obecně, ale bez speciálních metod je těžké určit všechna taková \(p\).

Závěr: Některá prvočísla \(p\) (např. \(2, 3, 7\)) dávají prvočíslo \(p^2 – p + 1\), ale ne všechna.

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme několik malých prvočísel \(p\).

• Pro \(p=2\): \(8 + 2 = 10\), není prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(27 + 2 = 29\), prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(125 + 2 = 127\), prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(343 + 2 = 345\), není prvočíslo.

Krok 2: Čísla \(p=3\) a \(p=5\) splňují podmínku.

Závěr: Existují prvočísla \(p\), pro která \(p^3 + 2\) je prvočíslem, například \(3\) a \(5\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Vyzkoušíme malá prvočísla a ověříme, zda \(p + 4\) je prvočíslo.

• Pro \(p=2\): \(6\) není prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(7\) je prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(9\) není prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(11\) je prvočíslo.
• Pro \(p=11\): \(15\) není prvočíslo.
• Pro \(p=13\): \(17\) je prvočíslo.

Krok 2: Čísla \(p=3, 7, 13\) splňují podmínku.

Závěr: Existuje nekonečně mnoho prvočísel \(p\), pro která \(p+4\) může být také prvočíslem, ale není to pravidlem.

Řešení příkladu:

Krok 1: Číslo \(p^2 + p + 41\) je známý polynom, který dává mnoho prvočísel pro malá \(p\).

Krok 2: Vyzkoušíme několik hodnot:

• Pro \(p=0\): \(41\), prvočíslo.
• Pro \(p=1\): \(43\), prvočíslo.
• Pro \(p=39\): \(39^2 + 39 + 41 = 1521 + 39 + 41 = 1601\), prvočíslo.
• Pro \(p=40\): \(40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681\), což je \(41^2\), tedy složené číslo.

Krok 3: Závěr je, že existují hodnoty \(p\), pro které je výraz složený, například \(p=40\).

Řešení příkladu:

Krok 1: Testujeme několik hodnot \(p\):

• Pro \(p=2\): \(3 \cdot 2 + 2 = 8\), není prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(3 \cdot 3 + 2 = 11\), prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(17\), prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(23\), prvočíslo.
• Pro \(p=11\): \(35\), není prvočíslo.

Krok 2: Hodnoty \(p=3, 5, 7\) splňují podmínku.

Závěr: Některá prvočísla \(p\) dávají prvočíslo \(3p + 2\), ale ne všechna.

Řešení příkladu:

Krok 1: Testujeme malá prvočísla:

• Pro \(p=2\): \(4 – 2 = 2\), prvočíslo.
• Pro \(p=3\): \(9 – 2 = 7\), prvočíslo.
• Pro \(p=5\): \(25 – 2 = 23\), prvočíslo.
• Pro \(p=7\): \(49 – 2 = 47\), prvočíslo.
• Pro \(p=11\): \(121 – 2 = 119\), není prvočíslo.

Závěr: Pro \(p=2,3,5,7\) je číslo \(p^2 – 2\) prvočíslem, ale obecně neplatí pro všechna prvočísla.

Řešení příkladu:

Krok 1: Čísla tvaru \(2^p + 1\) jsou známá jako Fermatova čísla, pokud \(p\) je mocnina dvojky.

Krok 2: Pro \(p=1\): \(2^1 + 1 = 3\), prvočíslo.

Krok 3: Pro \(p=2\): \(2^2 + 1 = 5\), prvočíslo.

Krok 4: Pro \(p=3\): \(2^3 + 1 = 9\), není prvočíslo.

Krok 5: Pro \(p=4\): \(2^4 + 1 = 17\), prvočíslo.

Krok 6: Závěr je, že pokud \(p\) není mocnina dvojky, pak \(2^p + 1\) obvykle není prvočíslo.

Řešení příkladu:

Krok 1: Určíme prvočísla menší než \(10: 2, 3, 5, 7\).

Krok 2: Pro prvočíslo \(p\) spočítáme \(p^2 + 1\) a ověříme dělitelnost těmito prvočísly.

Krok 3: Testujeme příklady:

• Pro \(p=2\): \(4 + 1 = 5\), dělitelné \(5\).
• Pro \(p=3\): \(9 + 1 = 10\), dělitelné \(2\) a \(5\).
• Pro \(p=5\): \(25 + 1 = 26\), dělitelné \(2\).
• Pro \(p=7\): \(49 + 1 = 50\), dělitelné \(2\) a \(5\).
• Pro \(p=11\): \(121 + 1 = 122\), dělitelné \(2\).
• Pro \(p=13\): \(169 + 1 = 170\), dělitelné \(2\) a \(5\).
• Pro \(p=17\): \(289 + 1 = 290\), dělitelné \(2\) a \(5\).
• Pro \(p=19\): \(361 + 1 = 362\), dělitelné \(2\).

Krok 4: Zdá se, že \(p^2 + 1\) je téměř vždy dělitelné \(2\) nebo \(5\).

Závěr: Žádné prvočíslo \(p\) větší než \(2\) nemá \(p^2 + 1\) nedělitelné žádným prvočíslem menším než \(10\).