Rozšiřování zlomků

Nejprve zjistíme, jakým číslem musíme rozšířit jmenovatel z 5 na 20. Vydělíme 20 číslem 5:

\( 20 \div 5 = 4 \)

Tímto číslem musíme vynásobit i čitatel, aby se hodnota zlomku nezměnila. Čitatel tedy vynásobíme 4:

\( 3 \times 4 = 12 \)

Výsledný zlomek je tedy \( \frac{12}{20} \).

Potřebujeme, aby jmenovatel byl 40. Vydělíme 40 číslem 8, abychom našli násobitel:

\( 40 \div 8 = 5 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 5:

\( 7 \times 5 = 35 \)

Takže rozšířený zlomek je \( \frac{35}{40} \).

Zjistíme, jaký násobitel změní 11 na 33:

\( 33 \div 11 = 3 \)

Čitatel a jmenovatel vynásobíme 3:

\( 9 \times 3 = 27 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{27}{33} \).

Zjistíme násobitel z 7 na 56:

\( 56 \div 7 = 8 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 8:

\( 4 \times 8 = 32 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{32}{56} \).

Najdeme násobitel:

\( 45 \div 9 = 5 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 5:

\( 5 \times 5 = 25 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{25}{45} \).

Vydělíme 15 číslem 3:

\( 15 \div 3 = 5 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 5:

\( 2 \times 5 = 10 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{10}{15} \).

Zjistíme násobitel:

\( 36 \div 12 = 3 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 3:

\( 11 \times 3 = 33 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{33}{36} \).

Najdeme násobitel:

\( 39 \div 13 = 3 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 3:

\( 6 \times 3 = 18 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{18}{39} \).

Vydělíme 45 číslem 15:

\( 45 \div 15 = 3 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 3:

\( 8 \times 3 = 24 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{24}{45} \).

Zjistíme násobitel:

\( 16 \div 4 = 4 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 4:

\( 1 \times 4 = 4 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{4}{16} \).

Nejprve zjistíme, jakým číslem musíme rozšířit jmenovatel z 6 na 54. Vydělíme 54 číslem 6:

\( 54 \div 6 = 9 \)

Aby se hodnota zlomku nezměnila, musíme čitatel i jmenovatel vynásobit stejným číslem. Proto vynásobíme čitatel 5 číslem 9:

\( 5 \times 9 = 45 \)

Rozšířený zlomek je tedy \( \frac{45}{54} \).

Zjistíme, jaké číslo násobí jmenovatel 10, aby vzniklo 100:

\( 100 \div 10 = 10 \)

Proto čitatel i jmenovatel vynásobíme číslem 10. Čitatel 7 krát 10 je:

\( 7 \times 10 = 70 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{70}{100} \).

Pro nalezení rozšiřovacího čísla vydělíme nový jmenovatel starým:

\( 81 \div 9 = 9 \)

Čitatel i jmenovatel tedy vynásobíme 9:

\( 8 \times 9 = 72 \)

Výsledkem je zlomek \( \frac{72}{81} \).

Zjistíme, jaký je násobitel mezi jmenovateli:

\( 56 \div 14 = 4 \)

Čitatel a jmenovatel vynásobíme číslem 4:

\( 11 \times 4 = 44 \)

Takže rozšířený zlomek je \( \frac{44}{56} \).

Určíme, jaké číslo násobí 15, aby vzniklo 60:

\( 60 \div 15 = 4 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 4:

\( 13 \times 4 = 52 \)

Rozšířený zlomek je \( \frac{52}{60} \).

Zjistíme násobitel jmenovatelů:

\( 63 \div 7 = 9 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 9:

\( 3 \times 9 = 27 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{27}{63} \).

Určíme násobitel pro jmenovatele:

\( 100 \div 20 = 5 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 5:

\( 9 \times 5 = 45 \)

Rozšířený zlomek je \( \frac{45}{100} \).

Zjistíme násobitel:

\( 54 \div 18 = 3 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 3:

\( 5 \times 3 = 15 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{15}{54} \).

Zjistíme násobitel:

\( 100 \div 25 = 4 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 4:

\( 14 \times 4 = 56 \)

Rozšířený zlomek je \( \frac{56}{100} \).

Zjistíme, jaký je násobitel:

\( 90 \div 30 = 3 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 3:

\( 17 \times 3 = 51 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{51}{90} \).

Zjistíme, kolikrát se číslo 5 vejde do 35:

\( 35 \div 5 = 7 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme číslem 7:

\( \frac{4 \times 7}{5 \times 7} = \frac{28}{35} \)

Zlomek \( \frac{4}{5} \) rozšířený na jmenovatel 35 je \( \frac{28}{35} \).

Vypočítáme rozšiřovací číslo:

\( 121 \div 11 = 11 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme číslem 11:

\( \frac{6 \times 11}{11 \times 11} = \frac{66}{121} \)

Rozšířený zlomek je \( \frac{66}{121} \).

Vydělíme nový jmenovatel starým:

\( 108 \div 9 = 12 \)

Vynásobíme čitatel i jmenovatel číslem 12:

\( \frac{2 \times 12}{9 \times 12} = \frac{24}{108} \)

Zlomek \( \frac{2}{9} \) rozšíříme na \( \frac{24}{108} \).

Vypočítáme, kolikrát se 16 vejde do 64:

\( 64 \div 16 = 4 \)

Rozšíříme zlomek tímto číslem:

\( \frac{3 \times 4}{16 \times 4} = \frac{12}{64} \)

Rozšířený zlomek je \( \frac{12}{64} \).

Najdeme vhodný násobek:

\( 60 \div 12 = 5 \)

Rozšíříme zlomek číslem 5:

\( \frac{7 \times 5}{12 \times 5} = \frac{35}{60} \)

Výsledný zlomek je \( \frac{35}{60} \).

Vydělíme nový jmenovatel původním:

\( 100 \div 25 = 4 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 4:

\( \frac{10 \times 4}{25 \times 4} = \frac{40}{100} \)

Rozšířený zlomek je \( \frac{40}{100} \).

Rozšiřovací číslo je:

\( 72 \div 8 = 9 \)

\( \frac{5 \times 9}{8 \times 9} = \frac{45}{72} \)

Rozšířený zlomek je \( \frac{45}{72} \).

\( 90 \div 18 = 5 \Rightarrow \frac{11 \times 5}{18 \times 5} = \frac{55}{90} \)

Rozšířený zlomek je \( \frac{55}{90} \).

Rozšiřovací číslo je:

\( 120 \div 10 = 12 \)

\( \frac{9 \times 12}{10 \times 12} = \frac{108}{120} \)

Zlomek rozšířený na jmenovatel 120 je \( \frac{108}{120} \).

Zjistíme rozšiřovací číslo:

\( 91 \div 13 = 7 \)

\( \frac{6 \times 7}{13 \times 7} = \frac{42}{91} \)

Zlomek \( \frac{6}{13} \) rozšířený na jmenovatel 91 je \( \frac{42}{91} \).

Řešení příkladu:

Máme zlomek \( \frac{5}{14} \) a potřebujeme ho rozšířit tak, aby jeho nový jmenovatel byl 98.

Nejprve zjistíme, kolikrát se původní jmenovatel 14 vejde do požadovaného jmenovatele 98. Vypočítáme podíl:

\( 98 \div 14 = 7 \)

Znamená to, že abychom dosáhli jmenovatele 98, musíme původní zlomek rozšířit číslem 7.

Rozšíříme čitatele i jmenovatele tímto číslem:

\( \frac{5 \times 7}{14 \times 7} = \frac{35}{98} \)

Pro kontrolu si ověříme, že jsme neporušili rovnost: když zlomek rozšiřujeme, jeho hodnota se nemění, protože rozšiřujeme vlastně číslem 1, jelikož \( \frac{7}{7} = 1 \).

Výsledný rozšířený zlomek je \( \frac{35}{98} \).

Řešení příkladu:

Máme zlomek \( \frac{3}{20} \) a potřebujeme ho rozšířit na jmenovatel 100.

Určíme, jakým číslem je potřeba rozšířit zlomek. Vydělíme nový jmenovatel původním:

\( 100 \div 20 = 5 \)

Znamená to, že čitatele i jmenovatele musíme vynásobit číslem 5.

Provedeme rozšíření:

\( \frac{3 \times 5}{20 \times 5} = \frac{15}{100} \)

Kontrola: původní zlomek \( \frac{3}{20} \) je ekvivalentní zlomku \( \frac{15}{100} \), protože:

\( \frac{3}{20} = \frac{3 \times 5}{20 \times 5} = \frac{15}{100} \)

Výsledkem je rozšířený zlomek \( \frac{15}{100} \).

Řešení příkladu:

Chceme rozšířit zlomek \( \frac{8}{15} \) na jmenovatel 45.

Vydělíme nový jmenovatel původním:

\( 45 \div 15 = 3 \)

Rozšiřujeme tedy čitatele i jmenovatele číslem 3:

\( \frac{8 \times 3}{15 \times 3} = \frac{24}{45} \)

Pro kontrolu porovnáme hodnoty zlomků:

\( \frac{8}{15} = 0{,}5333… \) a \( \frac{24}{45} = 0{,}5333… \)

Hodnoty jsou stejné, takže rozšíření je správné.

Řešení příkladu:

Původní zlomek je \( \frac{2}{7} \) a cílový jmenovatel je 56.

Nejdříve zjistíme rozšiřovací číslo:

\( 56 \div 7 = 8 \)

Zlomek rozšíříme číslem 8:

\( \frac{2 \times 8}{7 \times 8} = \frac{16}{56} \)

Pro kontrolu: původní zlomek a rozšířený zlomek mají stejnou desetinnou hodnotu:

\( \frac{2}{7} \approx 0{,}2857 \) a \( \frac{16}{56} \approx 0{,}2857 \)

Závěr: rozšířený zlomek je správně \( \frac{16}{56} \).

Řešení příkladu:

Máme zlomek \( \frac{11}{33} \) a chceme, aby jeho nový jmenovatel byl 198.

Vypočítáme rozšiřovací číslo:

\( 198 \div 33 = 6 \)

Zlomek rozšíříme číslem 6:

\( \frac{11 \times 6}{33 \times 6} = \frac{66}{198} \)

Zkontrolujeme ekvivalenci: původní zlomek a nový zlomek mají stejnou hodnotu.

\( \frac{11}{33} = 0{,}3333… \) a \( \frac{66}{198} = 0{,}3333… \)

Výsledný rozšířený zlomek je \( \frac{66}{198} \).

Řešení příkladu:

Chceme rozšířit zlomek \( \frac{7}{9} \) na jmenovatel 81.

Vypočítáme rozšiřovací číslo:

\( 81 \div 9 = 9 \)

Rozšíříme čitatele i jmenovatele číslem 9:

\( \frac{7 \times 9}{9 \times 9} = \frac{63}{81} \)

Pro kontrolu:

\( \frac{7}{9} \approx 0{,}7777 \) a \( \frac{63}{81} \approx 0{,}7777 \)

Oba zlomky vyjadřují stejnou hodnotu. Výsledek je správně.

Řešení příkladu:

Máme zlomek \( \frac{4}{6} \) a požadujeme jmenovatel 60.

Vypočítáme rozšiřovací číslo:

\( 60 \div 6 = 10 \)

Rozšíříme zlomek číslem 10:

\( \frac{4 \times 10}{6 \times 10} = \frac{40}{60} \)

Kontrola:

\( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \) a \( \frac{40}{60} \approx 0{,}6667 \)

Výsledek je správný, rozšířený zlomek je \( \frac{40}{60} \).

Řešení příkladu:

Chceme rozšířit zlomek \( \frac{9}{25} \) na jmenovatel 125.

Vypočítáme rozšiřovací číslo:

\( 125 \div 25 = 5 \)

Zlomek rozšíříme číslem 5:

\( \frac{9 \times 5}{25 \times 5} = \frac{45}{125} \)

Pro kontrolu vypočteme hodnoty obou zlomků:

\( \frac{9}{25} = 0{,}36 \) a \( \frac{45}{125} = 0{,}36 \)

Závěr: rozšířený zlomek je \( \frac{45}{125} \).

Řešení příkladu:

Potřebujeme rozšířit zlomek \( \frac{6}{10} \) na jmenovatel 50.

Rozšiřovací číslo určíme takto:

\( 50 \div 10 = 5 \)

Zlomek rozšíříme číslem 5:

\( \frac{6 \times 5}{10 \times 5} = \frac{30}{50} \)

Kontrola:

\( \frac{6}{10} = 0{,}6 \) a \( \frac{30}{50} = 0{,}6 \)

Výsledný rozšířený zlomek je \( \frac{30}{50} \).

Řešení příkladu:

Chceme rozšířit zlomek \( \frac{13}{26} \) na jmenovatel 208.

Určíme rozšiřovací číslo:

\( 208 \div 26 = 8 \)

Rozšiřujeme čitatele i jmenovatele číslem 8:

\( \frac{13 \times 8}{26 \times 8} = \frac{104}{208} \)

Pro kontrolu porovnáme původní a rozšířený zlomek:

\( \frac{13}{26} = 0{,}5 \) a \( \frac{104}{208} = 0{,}5 \)

Oba zlomky mají stejnou hodnotu, výsledek je správný.

Máme zlomek \( \frac{7}{22} \) a chceme jmenovatel 198.

Vydělíme nový jmenovatel původním:

\( 198 \div 22 = 9 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 9:

\( \frac{7 \times 9}{22 \times 9} = \frac{63}{198} \)

Pro kontrolu převodu na desetinný zápis:

\( \frac{7}{22} \approx 0{,}31818… \) a \( \frac{63}{198} = 0{,}31818…\)

Oba zlomky jsou ekvivalentní, výsledek je \( \frac{63}{198} \).

Máme zlomek \( \frac{4}{25} \). Chceme nový jmenovatel 200.

Vypočítáme násobek:

\( 200 \div 25 = 8 \)

Zlomek rozšíříme násobníkem 8:

\( \frac{4 \times 8}{25 \times 8} = \frac{32}{200} \)

Ověřujeme rovnocennost: desetinná hodnota původního zlomku je \( 0{,}16 \), a rozšířený zlomek také \( 0{,}16 \).

Výsledný zlomek je \( \frac{32}{200} \).

Zlomek je \( \frac{9}{28} \), cíl jmenovatel 84.

Vydělíme:

\( 84 \div 28 = 3 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 3:

\( \frac{9 \times 3}{28 \times 3} = \frac{27}{84} \)

Pro jistotu ověříme procentuálně: původně je \( 9/28 ≈ 0{,}3214\), rozšířený \(27/84 ≈ 0{,}3214.\)

Zlomek je tedy \( \frac{27}{84} \).

Máme zlomek \( \frac{11}{13} \), chceme jmenovatel 39.

Počítáme:

\( 39 \div 13 = 3 \)

Rozšiřujeme číslem 3:

\( \frac{11 \times 3}{13 \times 3} = \frac{33}{39} \)

Desetinné hodnoty ověříme: \(11/13 ≈ 0{,}84615\), \(33/39 ≈ 0{,}84615\).

Výsledek je \( \frac{33}{39} \).

Původní zlomek \( \frac{5}{18} \), cílový jmenovatel 126.

Zjistíme násobitele:

\( 126 \div 18 = 7 \)

Rozšíříme zlomek:

\( \frac{5 \times 7}{18 \times 7} = \frac{35}{126} \)

Přepočteme na hodnotu: \(5/18 ≈ 0{,}2777…\), \(35/126 ≈ 0{,}2777…\)

Správný výsledek je \( \frac{35}{126} \).

Původní zlomek \( \frac{8}{21} \), nový jmenovatel 84.

Vydělíme:

\( 84 \div 21 = 4 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 4:

\( \frac{8 \times 4}{21 \times 4} = \frac{32}{84} \)

Desetinné hodnoty: \(8/21 ≈ 0{,}38095\), \(32/84 ≈ 0{,}38095\)

Výsledkem je \( \frac{32}{84} \).

Zlomek \( \frac{9}{32} \), cílový jmenovatel 96.

Zjistíme:

\( 96 \div 32 = 3 \)

Rozšíříme číslem 3:

\( \frac{9 \times 3}{32 \times 3} = \frac{27}{96} \)

Hodnoty: \(9/32 = 0{,}28125\), \(27/96 = 0{,}28125\)

Správný rozšířený zlomek je \( \frac{27}{96} \).

Původní zlomek \( \frac{11}{27} \), nový jmenovatel 108.

Zjistíme:

\( 108 \div 27 = 4 \)

Vynásobíme čitatele i jmenovatel 4:

\( \frac{11 \times 4}{27 \times 4} = \frac{44}{108} \)

Desetinná kontrola: \(11/27 ≈ 0{,}40741\), \(44/108 ≈ 0{,}40741\)

Výsledkem je \( \frac{44}{108} \).

Zlomek \( \frac{2}{35} \), chceme jmenovatel 105.

Vypočítáme násobek:

\( 105 \div 35 = 3 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 3:

\( \frac{2 \times 3}{35 \times 3} = \frac{6}{105} \)

Kontrola hodnot: \(2/35 ≈ 0{,}05714\), \(6/105 ≈ 0{,}05714\)

Výsledek je \( \frac{6}{105} \).

Původní zlomek \( \frac{13}{37} \), cílový jmenovatel 111.

Zjistíme násobitel:

\( 111 \div 37 = 3 \)

Čitatel i jmenovatel vynásobíme 3:

\( \frac{13 \times 3}{37 \times 3} = \frac{39}{111} \)

Desetinná verifikace: \(13/37 ≈ 0{,}35135\), \(39/111 ≈ 0{,}35135\)

Výsledný zlomek je \( \fraction{39}{111} \).

Chceme, aby zlomky byly ekvivalentní. Máme jmenovatel 5 a nový jmenovatel 25.

Určíme, čím byl jmenovatel rozšířen:

\( 25 \div 5 = 5 \Rightarrow \) rozšiřovali jsme číslem 5.

Stejným číslem rozšíříme i čitatele:

\( 3 \times 5 = 15 \Rightarrow x = 15 \)

Výsledek: \( x = 15 \)

Převedeme oba zlomky na společného jmenovatele pomocí rozšíření.

Nejmenší společný násobek 6 a 10 je 30.

\( \frac{5}{6} \Rightarrow \frac{5 \times 5}{6 \times 5} = \frac{25}{30} \)

\( \frac{8}{10} \Rightarrow \frac{8 \times 3}{10 \times 3} = \frac{24}{30} \)

Porovnání: \( 25 > 24 \Rightarrow \frac{5}{6} > \frac{8}{10} \)

Výsledek: Větší je \( \frac{5}{6} \).

Zlomek \( \frac{21}{36} \) lze zkrátit:

\( \frac{21}{36} = \frac{7}{12} \)

Protože \( \frac{7}{x} = \frac{7}{12} \Rightarrow x = 12 \)

Výsledek: \( x = 12 \)

Zjednodušíme všechny zlomky a porovnáme:

\( \frac{3}{4} \) zůstává

\( \frac{6}{8} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} \Rightarrow \frac{3}{4} \)

\( \frac{9}{12} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} \Rightarrow \frac{3}{4} \)

Všechny tři zlomky reprezentují tentýž poměr.

Výsledek: Poměry jsou stejné.

Společný jmenovatel 2 a 3 je 6.

\( \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \)

\( \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \)

Přepsaný součet je \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} \)

Chceme: \( \frac{4}{x} = \frac{2}{5} \)

Zlomek \( \frac{2}{5} \) rozšíříme tak, aby čitatel byl 4.

\( 4 \div 2 = 2 \Rightarrow \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} \)

Výsledek: Hledaný zlomek je \( \frac{4}{10} \)

Rozšíříme \( \frac{6}{10} \) a porovnáme:

Najdeme společný jmenovatel 30:

\( \frac{6}{10} \Rightarrow \frac{6 \times 3}{10 \times 3} = \frac{18}{30} \)

\( \frac{12}{30} \neq \frac{18}{30} \)

Závěr: Student se mýlí, zlomky nejsou stejné.

Zjistíme, čím se rozšířil jmenovatel:

\( 56 \div 7 = 8 \Rightarrow \) rozšíření číslem 8

\( \frac{5 \times 8}{7 \times 8} = \frac{40}{56} \Rightarrow x = 40 \)

Výsledek: \( x = 40 \)

Společný jmenovatel 8.

\( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 2}{4 \times 2} = \frac{2}{8} \)

\( \frac{7}{8} – \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \)

Výsledek: \( \frac{5}{8} \)

Zlomek \( \frac{36}{54} \) zkrátíme:

Společný dělitel 18: \( \frac{36 \div 18}{54 \div 18} = \frac{2}{3} \)

Chceme: \( \frac{12}{x} = \frac{2}{3} \)

Rozšíříme \( \frac{2}{3} \) tak, aby čitatel byl 12:

\( 12 \div 2 = 6 \Rightarrow x = 3 \times 6 = 18 \)

Výsledek: \( x = 18 \)

Musíme zjistit, jakým číslem byl jmenovatel rozšířen:

\( 45 \div 9 = 5 \Rightarrow \) rozšiřujeme číslem 5.

Rozšíříme čitatele: \( 4 \times 5 = 20 \)

Výsledný zlomek je \( \frac{20}{45} \)

Zjistíme, čím byl jmenovatel rozšířen:

\( 48 \div 6 = 8 \Rightarrow \) rozšiřujeme číslem 8.

\( \frac{5 \times 8}{6 \times 8} = \frac{40}{48} \)

Výsledek: \( \frac{40}{48} \)

Rozšíříme \( \frac{7}{6} \), aby měl jmenovatel 18.

\( 18 \div 6 = 3 \Rightarrow \) rozšíření číslem 3.

\( \frac{7 \times 3}{6 \times 3} = \frac{21}{18} \Rightarrow x = 21 \)

Výsledek: \( x = 21 \)

Najdeme společný jmenovatel 12 a 18 → nejmenší společný násobek je 36.

\( \frac{9}{12} = \frac{9 \times 3}{12 \times 3} = \frac{27}{36} \)

\( \frac{14}{18} = \frac{14 \times 2}{18 \times 2} = \frac{28}{36} \)

Porovnání: \( 27 < 28 \Rightarrow \frac{9}{12} < \frac{14}{18} \)

Výsledek: Menší je \( \frac{9}{12} \)

Hledáme číslo, kterým rozšíříme čitatele 1 na 8:

\( 8 \div 1 = 8 \Rightarrow \) rozšiřujeme číslem 8.

Jmenovatel: \( 9 \times 8 = 72 \)

Výsledný zlomek: \( \frac{8}{72} \)

Rozšíříme zlomek různými čísly:

\( \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6} \)

\( \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9} \)

\( \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15} \)

Tři ekvivalentní zlomky: \( \frac{4}{6}, \frac{6}{9}, \frac{10}{15} \)

Bylo provedeno rozšíření číslem 4, tedy:

\( a \times 4 = 20 \Rightarrow a = 5 \)

\( b \times 4 = 28 \Rightarrow b = 7 \)

Původní zlomek je \( \frac{5}{7} \)

Společný jmenovatel 5 a 10 je 10.

\( \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} \)

Zlomek \( \frac{3}{10} \) ponecháme.

Oba zlomky: \( \frac{4}{10}, \frac{3}{10} \)

Najdeme společný jmenovatel 6 a 4 → 12.

\( \frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12} \)

\( \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12} \)

Rozdíl: \( \frac{10}{12} – \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \)

Zjistíme, čím byl jmenovatel rozšířen:

\( 35 \div 7 = 5 \Rightarrow \) rozšíření číslem 5.

Čitatel: \( 2 \times 5 = 10 \Rightarrow x = 10 \)

Výsledek: \( x = 10 \)

Nejprve si připomeňme, co znamená rozšiřování zlomku. Rozšíření zlomku spočívá v násobení čitatele i jmenovatele stejným nenulovým číslem. Pokud tedy máme zlomek \( \frac{3}{4} \) a chceme ho rozšířit, musíme najít takové číslo \( k \), že:

\( \frac{3}{4} = \frac{3 \times k}{4 \times k} \).

V uvedeném příkladu Petr napsal, že \( \frac{3}{4} = \frac{9}{16} \). Podívejme se, zda existuje číslo \( k \), pro které platí:

\( 3 \times k = 9 \) a zároveň \( 4 \times k = 16 \).

Z první rovnice vyplývá \( k = \frac{9}{3} = 3 \), z druhé rovnice pak \( k = \frac{16}{4} = 4 \).

Čísla se neshodují, což znamená, že Petr neprovedl správné rozšíření, protože \( k \) musí být stejné v obou případech. Aby byl zlomek rozšířen správně, musí být násobek stejný.

Správné rozšíření například při \( k = 4 \) by bylo:

\( \frac{3}{4} = \frac{3 \times 4}{4 \times 4} = \frac{12}{16} \).

Závěr: Petrova rovnost je nesprávná, protože zlomek \( \frac{3}{4} \) není ekvivalentní se zlomkem \( \frac{9}{16} \). Zlomek nebyl správně rozšířen.

Úkolem je určit, který ze zlomků a), b), c) je roven zlomku \( \frac{5}{8} \). Dva zlomky jsou ekvivalentní, pokud lze jeden získat rozšířením nebo zkrácením druhého.

Pro každý zlomek vypočítáme poměr čitatele a jmenovatele a porovnáme s poměrem \( \frac{5}{8} \).

a) \( \frac{10}{18} \): zkrátíme o 2, získáme \( \frac{5}{9} \). To není stejné jako \( \frac{5}{8} \).

b) \( \frac{15}{24} \): zkrátíme o 3, získáme \( \frac{5}{8} \). Tento zlomek je tedy ekvivalentní.

c) \( \frac{25}{40} \): zkrátíme o 5, získáme \( \frac{5}{8} \), tento zlomek je také ekvivalentní.

Oba zlomky b) a c) jsou ekvivalentní se zlomkem \( \frac{5}{8} \), ale pokud máme vybrat pouze jeden, můžeme uvést například zlomek c), protože je jasně rozšířením \( \frac{5}{8} \) číslem 5:

\( \frac{5}{8} = \frac{5 \times 5}{8 \times 5} = \frac{25}{40} \).

Máme cenu za \( \frac{3}{4} \) litru šťávy: 45 Kč. Potřebujeme zjistit cenu za celý litr, tedy za \( \frac{4}{4} \).

Nejprve zjistíme cenu za jednu čtvrtinu litru, tedy cenu za \( \frac{1}{4} \) litru. To spočítáme vydělením ceny za \( \frac{3}{4} \) litru číslem 3:

\( \text{Cena za } \frac{1}{4} \text{ litru} = \frac{45}{3} = 15 \) Kč.

Potom cenu za celý litr spočítáme jako čtyřnásobek ceny za jednu čtvrtinu:

\( \text{Cena za 1 litr} = 15 \times 4 = 60 \) Kč.

Závěr: Cena za 1 litr šťávy je 60 Kč.

Máme rovnost zlomků:

\( \frac{18}{x} = \frac{3}{5} \).

Aby zlomky byly rovné, musí platit, že čitatel a jmenovatel jsou ve stejném poměru, tedy:

\( \frac{18}{3} = \frac{x}{5} \).

Nejprve spočítáme \( \frac{18}{3} = 6 \).

Dále použijeme křížové násobení:

\( 18 \times 5 = 3 \times x \Rightarrow 90 = 3x \Rightarrow x = \frac{90}{3} = 30 \).

Závěr: Číslo \( x \) musí být 30, aby platila rovnost zlomků.

Máme zlomek \( \frac{2}{9} \) a chceme ho rozšířit tak, aby jmenovatel byl 63.

Nejprve zjistíme, čím musíme vynásobit jmenovatel 9, aby vzniklo 63:

\( 9 \times k = 63 \Rightarrow k = \frac{63}{9} = 7 \).

Proto musíme čitatele i jmenovatele vynásobit číslem 7:

\( \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63} \).

Tímto rozšířením jsme získali ekvivalentní zlomek se jmenovatelem 63.

Potřebujeme najít zlomek s jmenovatelem 8, který je ekvivalentní zlomku \( \frac{3}{5} \).

Proto hledáme číslo \( k \), takové, aby platilo:

\( \frac{3}{5} = \frac{m}{8} \), kde \( m \) je neznámé číslo.

Pro výpočet použijeme křížové násobení:

\( 3 \times 8 = 5 \times m \Rightarrow 24 = 5m \Rightarrow m = \frac{24}{5} = 4,8 \).

Výsledek není celé číslo, což znamená, že zlomek \( \frac{3}{5} \) nelze přesně vyjádřit jako zlomek s jmenovatelem 8.

Pokud by však bylo potřeba získat přibližný zlomek, můžeme zaokrouhlit \( m \) na 5:

\( \frac{5}{8} = 0,625 \) a \( \frac{3}{5} = 0,6 \), což je blízko, ale ne ekvivalentní zlomek.

Závěr: Přesné rozšíření na jmenovatel 8 není možné, protože jmenovatel a čitatel nejsou ve správném poměru.

Rozšíření zlomku \( \frac{7}{11} \) číslem 6 znamená vynásobit čitatele i jmenovatele číslem 6:

\( \frac{7 \times 6}{11 \times 6} = \frac{42}{66} \).

Tímto jsme získali nový zlomek ekvivalentní původnímu.

Zlomek vyjádříme se jmenovatelem 18, protože kruh byl rozdělen na 18 stejných částí.

Najdeme číslo \( k \), pro které platí:

\( 3 \times k = 18 \Rightarrow k = \frac{18}{3} = 6 \).

Rozšíříme zlomek \( \frac{2}{3} \) číslem 6:

\( \frac{2 \times 6}{3 \times 6} = \frac{12}{18} \).

Celkový počet částí je 18, takže vybarvených částí je 12.

Ověříme, zda je možné získat jednotlivé zlomky rozšířením zlomku \( \frac{4}{7} \).

a) \( \frac{16}{35} \): poměr jmenovatelů je \( \frac{35}{7} = 5 \), ale čitatel by pak měl být \( 4 \times 5 = 20 \), ne 16. Neodpovídá.

b) \( \frac{20}{35} \): poměr jmenovatelů \( \frac{35}{7} = 5 \), čitatel \( 4 \times 5 = 20 \), toto odpovídá.

c) \( \frac{28}{56} \): poměr jmenovatelů \( \frac{56}{7} = 8 \), čitatel by měl být \( 4 \times 8 = 32 \), ne 28. Neodpovídá.

Správná odpověď je b) \( \frac{20}{35} \).

Zadaný zlomek je \( \frac{9}{12} \). Chceme zjistit, zda lze jmenovatel rozšířit na 36.

Zjistíme, čím je potřeba vynásobit 12, aby vzniklo 36:

\( 12 \times k = 36 \Rightarrow k = \frac{36}{12} = 3 \).

Pokud \( k = 3 \), rozšíříme i čitatele o stejné číslo:

\( 9 \times 3 = 27 \).

Nový zlomek bude tedy:

\( \frac{27}{36} \).

Závěr: Ano, zlomek \( \frac{9}{12} \) lze rozšířit na zlomek \( \frac{27}{36} \).

Máme zlomek \( \frac{5}{12} \) a chceme zjistit číslo \( k \), takové, že po rozšíření bude jmenovatel roven 84. To znamená, že hledáme \( k \), pro které platí rovnice:

\( 12 \times k = 84 \)

Abychom našli hodnotu \( k \), vydělíme obě strany rovnice číslem 12:

\( k = \frac{84}{12} \)

Po provedení dělení získáme:

\( k = 7 \)

Toto číslo \( k \) použijeme k rozšíření jak čitatele, tak jmenovatele zlomku. Z původního zlomku \( \frac{5}{12} \) tedy dostaneme nový zlomek:

\( \frac{5 \times 7}{12 \times 7} = \frac{35}{84} \)

Tento nový zlomek je rozšířením původního zlomku tak, že jmenovatel je 84.

Výsledkem je tedy zlomek \( \frac{35}{84} \).

Zadaný zlomek je \( \frac{11}{15} \). Hledáme číslo \( k \), kterým bychom rozšířili čitatele i jmenovatele tak, aby nový čitatel byl 44.

Nejprve sestavíme rovnici pro čitatel:

\( 11 \times k = 44 \)

Vyřešíme ji dělením obou stran rovnice 11:

\( k = \frac{44}{11} = 4 \)

Takže rozšiřujeme zlomek číslem 4. Spočítáme nový jmenovatel:

\( 15 \times 4 = 60 \)

Nový zlomek je tedy:

\( \frac{44}{60} \)

Ověřme, že tento nový zlomek je skutečně rozšířením původního zlomku:

\( \frac{44}{60} = \frac{11 \times 4}{15 \times 4} \)

Tedy ano, zlomek lze takto rozšířit.

Zadaný původní zlomek je \( \frac{7}{10} \). Víme, že po rozšíření bude jmenovatel 50. Hledáme tedy číslo \( k \), kterým jsme rozšířili původní zlomek.

Nejprve určíme \( k \) z rovnice:

\( 10 \times k = 50 \)

Po vydělení obou stran rovnice 10 získáme:

\( k = \frac{50}{10} = 5 \)

Nyní vypočítáme nový čitatel:

\( 7 \times 5 = 35 \)

Nový zlomek po rozšíření je tedy:

\( \frac{35}{50} \)

Pro kontrolu ověříme, že zlomek odpovídá původnímu rozšířením:

\( \frac{35}{50} = \frac{7 \times 5}{10 \times 5} \)

Což potvrzuje správnost výpočtu.

Zadaný zlomek je \( \frac{9}{14} \). Chceme ho rozšířit tak, aby nový jmenovatel byl 98.

Nejprve zjistíme, jaké číslo \( k \) použijeme k rozšíření:

\( 14 \times k = 98 \Rightarrow k = \frac{98}{14} = 7 \)

Toto číslo použijeme k rozšíření i čitatele, aby zlomek zůstal stejný:

\( 9 \times 7 = 63 \)

Výsledný zlomek je:

\( \frac{63}{98} \)

Tímto postupem jsme zlomek rozšířili a zároveň zachovali jeho hodnotu.

Máme zlomek \( \frac{4}{15} \) a chceme ho rozšířit tak, aby čitatel byl 28.

Nejprve vypočítáme, jaké číslo \( k \) použijeme k rozšíření čitatele:

\( 4 \times k = 28 \Rightarrow k = \frac{28}{4} = 7 \)

Nyní spočítáme nový jmenovatel:

\( 15 \times 7 = 105 \)

Nový zlomek je tedy:

\( \frac{28}{105} \)

Kontrola: Rozšířením zlomku \( \frac{4}{15} \) číslem 7 dostaneme \( \frac{28}{105} \), což odpovídá původní hodnotě zlomku.

Máme zlomek \( \frac{3}{8} \) a chceme jej rozšířit tak, aby jmenovatel byl 40.

Nejprve zjistíme faktor \( k \), kterým rozšíříme zlomek:

\( 8 \times k = 40 \Rightarrow k = \frac{40}{8} = 5 \)

Poté vynásobíme čitatele stejným číslem, abychom zachovali hodnotu zlomku:

\( 3 \times 5 = 15 \)

Výsledný zlomek je tedy \( \frac{15}{40} \).

Tento postup zaručuje, že hodnota zlomku zůstane nezměněna, jen je jeho zápis rozšířen.

Zadaný zlomek je \( \frac{11}{18} \). Chceme ho rozšířit tak, aby nový čitatel byl 33.

Najdeme číslo \( k \), kterým rozšíříme čitatele:

\( 11 \times k = 33 \Rightarrow k = \frac{33}{11} = 3 \)

Tímto číslem rozšíříme i jmenovatel:

\( 18 \times 3 = 54 \)

Nový zlomek je \( \frac{33}{54} \).

Tento postup zachovává hodnotu zlomku, jen ji zapisujeme s většími čísly v čitateli i jmenovateli.

Máme zlomek \( \frac{7}{20} \) a chceme zjistit, zda ho lze rozšířit tak, aby jmenovatel byl 60.

Určíme číslo \( k \), takové, že \( 20 \times k = 60 \).

Po vydělení dostaneme:

\( k = \frac{60}{20} = 3 \)

Proto zlomek můžeme rozšířit číslem 3.

Nový čitatel je:

\( 7 \times 3 = 21 \)

Výsledný zlomek je tedy:

\( \frac{21}{60} \)

Tento zlomek je rozšířením původního a má požadovaný jmenovatel.

Máme zlomek \( \frac{13}{25} \) a rozšiřujeme ho číslem 4.

Rozšíření znamená, že vynásobíme čitatele i jmenovatele číslem 4:

\( \frac{13 \times 4}{25 \times 4} = \frac{52}{100} \)

Tímto postupem je nový zlomek \( \frac{52}{100} \) rozšířením původního zlomku.

Máme zlomek \( \frac{8}{21} \) a chceme ho rozšířit tak, aby jmenovatel byl 63.

Nejprve najdeme číslo \( k \), kterým zlomek rozšíříme:

\( 21 \times k = 63 \Rightarrow k = \frac{63}{21} = 3 \)

Čitatel rozšíříme stejným číslem:

\( 8 \times 3 = 24 \)

Nový zlomek je tedy \( \frac{24}{63} \).

Tento postup zachovává hodnotu zlomku a mění pouze jeho zápis.

Máme zlomek \( \frac{5}{9} \) a chceme zjistit, zda ho lze rozšířit tak, aby jmenovatel byl 81.

Nejprve zjistíme číslo \( k \), kterým bychom rozšířili zlomek, pokud existuje:

\( 9 \times k = 81 \Rightarrow k = \frac{81}{9} = 9 \)

Číslo \( k = 9 \) je celé číslo, tedy rozšíření je možné.

Nový čitatel bude:

\( 5 \times 9 = 45 \)

Nový zlomek po rozšíření je:

\( \frac{45}{81} \)

Pro kontrolu lze zlomek krátit například 9, dostaneme zpět původní zlomek:

\( \frac{45}{81} = \frac{5}{9} \)

Tímto jsme potvrdili, že zlomek \( \frac{5}{9} \) lze rozšířit na \( \frac{45}{81} \).

Zadaný zlomek je \( \frac{14}{25} \). Chceme ho rozšířit tak, aby nový čitatel byl 56.

Určíme číslo \( k \), kterým rozšíříme zlomek:

\( 14 \times k = 56 \Rightarrow k = \frac{56}{14} = 4 \)

Podle pravidla rozšiřování musíme stejným číslem vynásobit i jmenovatele:

\( 25 \times 4 = 100 \)

Nový zlomek je tedy:

\( \frac{56}{100} \)

Tento zlomek je rozšířením původního zlomku, protože poměr čitatele a jmenovatele zůstal zachován.

Zadaný zlomek je \( \frac{3}{7} \). Chceme jej rozšířit tak, aby jmenovatel byl o 14 větší než původní, tedy nový jmenovatel bude:

\( 7 + 14 = 21 \)

Hledáme číslo \( k \), kterým musíme rozšířit zlomek, aby jmenovatel po rozšíření byl 21:

\( 7 \times k = 21 \Rightarrow k = \frac{21}{7} = 3 \)

Podle pravidla rozšiřování musíme vynásobit čitatel stejným číslem \( k \):

\( 3 \times 3 = 9 \)

Nový zlomek je tedy:

\( \frac{9}{21} \)

Tento zlomek je rozšířením původního, protože zachovává poměr čitatele k jmenovateli.

Zadaný zlomek je \( \frac{5}{11} \). Chceme ho rozšířit číslem \( k \), tedy výsledný zlomek bude:

\( \frac{5k}{11k} \)

Součet čitatele a jmenovatele je:

\( 5k + 11k = 16k \)

Máme zadáno, že tento součet je 132, tedy:

\( 16k = 132 \Rightarrow k = \frac{132}{16} = 8.25 \)

Protože \( k \) není celé číslo, zlomek nelze rozšířit tak, aby součet čitatele a jmenovatele byl přesně 132 pomocí rozšiřování.

Pokud však rozšíření nemusí být celé číslo, pak nový zlomek je:

\( \frac{5 \times 8.25}{11 \times 8.25} = \frac{41.25}{90.75} \)

Čitatel a jmenovatel jsou tedy 41.25 a 90.75, jejich součet je 132, ale zlomek není rozšířením v pravém smyslu, protože \( k \) není celé číslo.

Zadaný zlomek je \( \frac{12}{35} \). Hledáme číslo \( k \), pro které platí:

\( 12k = 12 + 24 = 36 \)

Vyřešíme rovnici:

\( 12k = 36 \Rightarrow k = \frac{36}{12} = 3 \)

Číslo \( k = 3 \) je tedy číslo, kterým musíme zlomek rozšířit, aby byl nový čitatel o 24 větší než původní.

Nový jmenovatel je:

\( 35 \times 3 = 105 \)

Nový zlomek po rozšíření je:

\( \frac{36}{105} \)

Zadání říká, že nový jmenovatel je dvojnásobkem nového čitatele. Označme číslo rozšíření jako \( k \). Po rozšíření je zlomek:

\( \frac{9k}{22k} \)

Podle zadání platí:

\( 22k = 2 \times 9k \Rightarrow 22k = 18k \)

Po odečtení \( 18k \) od obou stran dostaneme:

\( 22k – 18k = 0 \Rightarrow 4k = 0 \Rightarrow k = 0 \)

Číslo \( k = 0 \) není platné pro rozšíření zlomku (musí být kladné).

To znamená, že zlomek nelze rozšířit tak, aby nový jmenovatel byl přesně dvojnásobkem nového čitatele.

Máme zlomek \( \frac{15}{28} \) a číslo \( k \), kterým ho rozšíříme:

Nový zlomek bude \( \frac{15k}{28k} \).

Součet nového čitatele a jmenovatele je:

\( 15k + 28k = 43k \)

Podle zadání má být tento součet 91:

\( 43k = 91 \Rightarrow k = \frac{91}{43} \approx 2.116 \)

Protože \( k \) není celé číslo, zlomek nelze rozšířit přirozeným číslem tak, aby součet čitatele a jmenovatele byl 91.

Zadaný zlomek je \( \frac{4}{13} \). Rozšíříme ho číslem 7.

Vynásobíme čitatele i jmenovatele číslem 7:

\( \frac{4 \times 7}{13 \times 7} = \frac{28}{91} \)

Výsledný zlomek je tedy \( \frac{28}{91} \).

Tento zlomek má stejnou hodnotu jako původní a je jeho rozšířením.

Máme zlomek \( \frac{11}{16} \) a chceme ho rozšířit tak, aby nový jmenovatel byl o 32 větší než původní jmenovatel.

Nový jmenovatel je tedy:

\( 16 + 32 = 48 \)

Najdeme číslo \( k \), kterým rozšíříme zlomek:

\( 16 \times k = 48 \Rightarrow k = \frac{48}{16} = 3 \)

Podle pravidla rozšiřování vynásobíme i čitatel číslem \( k \):

\( 11 \times 3 = 33 \)

Nový zlomek je tedy:

\( \frac{33}{48} \)

Tento zlomek je rozšířením původního a jeho hodnota je stejná.

Zadaný zlomek je \( \frac{7}{18} \).

Součin čitatele a jmenovatele původního zlomku je:

\( 7 \times 18 = 126 \)

Chceme rozšířit zlomek číslem \( k \), aby nový jmenovatel byl 126:

\( 18 \times k = 126 \Rightarrow k = \frac{126}{18} = 7 \)

Nový čitatel bude:

\( 7 \times 7 = 49 \)

Nový zlomek je tedy:

\( \frac{49}{126} \)

Tímto postupem jsme zlomek rozšířili tak, že nový jmenovatel je právě součin původního čitatele a jmenovatele.