21. V obchodě jsou tři druhy jablek. Počet zelených jablek je dvakrát větší než počet červených, a počet žlutých jablek je o 10 menší než počet zelených. Celkem je v obchodě 110 jablek. Kolik je kterých jablek?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť počet červených jablek označíme jako \( x \).
Podle zadání počet zelených jablek je dvakrát větší než počet červených, tedy:
\( z = 2x \), kde \( z \) je počet zelených jablek.
Počet žlutých jablek je o 10 menší než počet zelených, tedy:
\( y = z – 10 = 2x – 10 \), kde \( y \) je počet žlutých jablek.
Celkem je jablek 110, takže platí rovnice:
\( x + z + y = 110 \).
Dosadíme výrazy za \( z \) a \( y \):
\( x + 2x + (2x – 10) = 110 \Rightarrow 5x – 10 = 110 \Rightarrow 5x = 120 \Rightarrow x = 24 \).
Nyní spočítáme počet zelených jablek:
\( z = 2 \cdot 24 = 48 \).
Počet žlutých jablek je:
\( y = 48 – 10 = 38 \).
Pro kontrolu spočítáme součet:
\( 24 + 48 + 38 = 110 \), což odpovídá zadání.
Závěr: Červených jablek je 24, zelených 48 a žlutých 38.
22. Součet dvou přirozených čísel je 75. Když ke druhému číslu přičteme 5, je výsledné číslo třikrát větší než první číslo. Najděte obě čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první číslo jako \( x \) a druhé jako \( y \).
Podle zadání platí:
\( x + y = 75 \)
a
\( y + 5 = 3x \).
Z první rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = 75 – x \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 75 – x + 5 = 3x \Rightarrow 80 – x = 3x \Rightarrow 80 = 4x \Rightarrow x = 20 \).
Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = 75 – 20 = 55 \).
Ověříme podmínku druhé rovnice:
\( y + 5 = 55 + 5 = 60 \),
\( 3x = 3 \cdot 20 = 60 \), podmínka je splněna.
Závěr: První číslo je 20, druhé 55.
23. Na kartách jsou čísla 2, 4, 6, 8 a 10. Vyberte tři karty tak, aby součet jejich hodnot byl co největší a byl dělitelný třemi. Které karty to jsou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Možné trojice kartiček vybereme a spočítáme jejich součty, poté vybereme největší součet dělitelný 3.
Vypíšeme všechny možné kombinace (pořadí nezáleží):
2, 4, 6 → \( 2 + 4 + 6 = 12 \), \( 12 \div 3 = 4 \) (dělitelné třemi)
2, 4, 8 → \( 14 \), nedělitelné třemi
2, 4, 10 → \( 16 \), nedělitelné třemi
2, 6, 8 → \( 16 \), nedělitelné třemi
2, 6, 10 → \( 18 \), \( 18 \div 3 = 6 \) (dělitelné třemi)
2, 8, 10 → \( 20 \), nedělitelné třemi
4, 6, 8 → \( 18 \), dělitelné třemi
4, 6, 10 → \( 20 \), nedělitelné třemi
4, 8, 10 → \( 22 \), nedělitelné třemi
6, 8, 10 → \( 24 \), \( 24 \div 3 = 8 \) (dělitelné třemi)
Největší součet dělitelný třemi je 24 z kombinace 6, 8, 10.
Závěr: Největší součet dělitelný třemi je 24 a karty jsou 6, 8 a 10.
24. V krabici jsou kuličky červené, modré a zelené barvy. Počet červených kuliček je o 7 větší než počet modrých, a počet zelených kuliček je dvakrát větší než počet červených. Celkem je v krabici 65 kuliček. Kolik je každé barvy?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť počet modrých kuliček je \( m \).
Počet červených kuliček je o 7 větší než počet modrých, tedy:
\( c = m + 7 \).
Počet zelených kuliček je dvakrát větší než počet červených:
\( z = 2c = 2(m + 7) = 2m + 14 \).
Celkový počet kuliček je 65:
\( m + c + z = 65 \).
Dosadíme za \( c \) a \( z \):
\( m + (m + 7) + (2m + 14) = 65 \Rightarrow m + m + 7 + 2m + 14 = 65 \Rightarrow 4m + 21 = 65 \Rightarrow 4m = 44 \Rightarrow m = 11 \).
Počet červených kuliček je:
\( c = 11 + 7 = 18 \).
Počet zelených kuliček je:
\( z = 2 \cdot 18 = 36 \).
Kontrola:
\( 11 + 18 + 36 = 65 \), což sedí.
Závěr: Modrých kuliček je 11, červených 18 a zelených 36.
25. Dvě čísla se liší o 9. Součet jejich polovin je 27. Najděte obě čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť větší číslo je \( x \), menší číslo je \( y \).
Podle zadání:
\( x – y = 9 \)
a součet jejich polovin je 27, tedy:
\( \frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 27 \Rightarrow \frac{x + y}{2} = 27 \Rightarrow x + y = 54 \).
Soustava rovnic:
\( \begin{cases} x – y = 9 \\ x + y = 54 \end{cases} \)
Sečteme obě rovnice:
\( (x – y) + (x + y) = 9 + 54 \Rightarrow 2x = 63 \Rightarrow x = 31,5 \).
Dosadíme \( x \) do druhé rovnice:
\( 31,5 + y = 54 \Rightarrow y = 54 – 31,5 = 22,5 \).
Závěr: Větší číslo je 31,5, menší je 22,5.
26. Čísla \( a, b, c \) splňují podmínky: \( a + b + c = 15 \) a \( a^2 + b^2 + c^2 = 83 \). Pokud je \( a = 5 \), najděte \( b \) a \( c \), přičemž \( b \) a \( c \) jsou celá čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme podmínky:
\( a + b + c = 15 \), kde \( a = 5 \), tedy
\( 5 + b + c = 15 \Rightarrow b + c = 10 \).
Druhá podmínka je:
\( a^2 + b^2 + c^2 = 83 \), tedy
\( 5^2 + b^2 + c^2 = 83 \Rightarrow 25 + b^2 + c^2 = 83 \Rightarrow b^2 + c^2 = 58 \).
Máme soustavu:
\( \begin{cases} b + c = 10 \\ b^2 + c^2 = 58 \end{cases} \)
Vyjádříme druhou mocninu součtu \( b + c \):
\( (b + c)^2 = b^2 + 2bc + c^2 = 10^2 = 100 \).
Dosadíme známé hodnoty:
\( b^2 + 2bc + c^2 = 100 \Rightarrow 58 + 2bc = 100 \Rightarrow 2bc = 42 \Rightarrow bc = 21 \).
Máme tedy soustavu:
\( \begin{cases} b + c = 10 \\ bc = 21 \end{cases} \)
Rovnice \( x^2 – (b + c)x + bc = 0 \) má kořeny \( b \) a \( c \), tedy:
\( x^2 – 10x + 21 = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici:
Diskriminant:
\( D = (-10)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 – 84 = 16 \).
Kořeny jsou:
\( x = \frac{10 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = 7, x_2 = 3 \).
Proto \( b \) a \( c \) jsou 7 a 3 v libovolném pořadí.
Závěr: \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( c = 3 \) nebo \( b = 3 \), \( c = 7 \).
27. Součet tří po sobě jdoucích sudých čísel je 54. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první sudé číslo jako \( x \) (přirozené, sudé).
Druhé a třetí po sobě jdoucí sudé číslo jsou pak \( x + 2 \) a \( x + 4 \).
Podle zadání platí:
\( x + (x + 2) + (x + 4) = 54 \Rightarrow 3x + 6 = 54 \Rightarrow 3x = 48 \Rightarrow x = 16 \).
Tedy čísla jsou 16, 18, 20.
Kontrola:
\( 16 + 18 + 20 = 54 \), což sedí.
Závěr: Tři po sobě jdoucí sudá čísla jsou 16, 18 a 20.
28. Petr má tři čísla, která jsou ve vztahu: první je o 4 větší než druhé a druhé je o 3 menší než třetí. Součet všech tří čísel je 27. Najděte všechna tři čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť druhé číslo je \( y \).
První číslo je o 4 větší než druhé, tedy:
\( x = y + 4 \).
Druhé číslo je o 3 menší než třetí, tedy:
\( y = z – 3 \Rightarrow z = y + 3 \).
Součet všech tří čísel je 27:
\( x + y + z = 27 \).
Dosadíme výrazy za \( x \) a \( z \):
\( (y + 4) + y + (y + 3) = 27 \Rightarrow 3y + 7 = 27 \Rightarrow 3y = 20 \Rightarrow y = \frac{20}{3} \approx 6,67 \).
První číslo:
\( x = y + 4 = \frac{20}{3} + 4 = \frac{20}{3} + \frac{12}{3} = \frac{32}{3} \approx 10,67 \).
Třetí číslo:
\( z = y + 3 = \frac{20}{3} + 3 = \frac{20}{3} + \frac{9}{3} = \frac{29}{3} \approx 9,67 \).
Kontrola součtu:
\( \frac{32}{3} + \frac{20}{3} + \frac{29}{3} = \frac{81}{3} = 27 \), což odpovídá zadání.
Závěr: Čísla jsou přibližně \( 10,67 \), \( 6,67 \), \( 9,67 \).
29. Součet čtyř po sobě jdoucích celých čísel je 46. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první z těchto čtyř čísel jako \( n \).
Další tři čísla jsou \( n + 1 \), \( n + 2 \) a \( n + 3 \).
Podle zadání:
\( n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 46 \Rightarrow 4n + 6 = 46 \Rightarrow 4n = 40 \Rightarrow n = 10 \).
Čtyři čísla jsou tedy 10, 11, 12 a 13.
Kontrola:
\( 10 + 11 + 12 + 13 = 46 \), což sedí.
Závěr: Čísla jsou 10, 11, 12 a 13.
30. Číslo zvýšené o 20 % je o 12 větší než původní číslo. Najděte původní číslo.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť původní číslo je \( x \).
Číslo zvýšené o 20 % je:
\( x + 0,2x = 1,2x \).
Podle zadání je toto číslo o 12 větší než původní, tedy:
\( 1,2x = x + 12 \Rightarrow 1,2x – x = 12 \Rightarrow 0,2x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{0,2} = 60 \).
Závěr: Původní číslo je 60.
31. V rodině jsou tři sourozenci. Součet jejich věků je 36 let. Druhý je o 2 roky starší než první a třetí je o 4 roky starší než druhý. Jaký je věk každého ze sourozenců?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť věk prvního sourozence je \( x \) let.
Druhý je o 2 roky starší než první, tedy jeho věk je \( x + 2 \).
Třetí je o 4 roky starší než druhý, tedy jeho věk je \( (x + 2) + 4 = x + 6 \).
Podle zadání je součet jejich věků 36 let:
\( x + (x + 2) + (x + 6) = 36 \Rightarrow 3x + 8 = 36 \Rightarrow 3x = 28 \Rightarrow x = \frac{28}{3} \approx 9{,}33 \).
Tedy věk prvního sourozence je přibližně \( 9{,}33 \) let.
Věk druhého sourozence je \( x + 2 = \frac{28}{3} + 2 = \frac{28}{3} + \frac{6}{3} = \frac{34}{3} \approx 11{,}33 \) let.
Věk třetího sourozence je \( x + 6 = \frac{28}{3} + 6 = \frac{28}{3} + \frac{18}{3} = \frac{46}{3} \approx 15{,}33 \) let.
Nyní podrobně rozepíšeme kontrolu a ověření výsledku.
Součet věků:
\( \frac{28}{3} + \frac{34}{3} + \frac{46}{3} = \frac{28 + 34 + 46}{3} = \frac{108}{3} = 36 \).
Součet odpovídá zadané hodnotě.
Závěr: Věky sourozenců jsou přibližně 9,33; 11,33 a 15,33 let.
32. Čtyři čísla tvoří aritmetickou posloupnost. Součet prvních tří je 30 a součet posledních tří je 42. Najděte všechna čtyři čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť první číslo je \( a \) a rozdíl posloupnosti je \( d \).
Čtyři čísla jsou tedy: \( a \), \( a + d \), \( a + 2d \), \( a + 3d \).
Součet prvních tří:
\( a + (a + d) + (a + 2d) = 3a + 3d = 3(a + d) = 30 \Rightarrow a + d = 10 \).
Součet posledních tří:
\( (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) = 3a + 6d = 42 \Rightarrow 3a + 6d = 42 \Rightarrow a + 2d = 14 \).
Máme soustavu rovnic:
\( \begin{cases} a + d = 10 \\ a + 2d = 14 \end{cases} \).
Odečteme první rovnici od druhé:
\( (a + 2d) – (a + d) = 14 – 10 \Rightarrow d = 4 \).
Dosadíme do první rovnice:
\( a + 4 = 10 \Rightarrow a = 6 \).
Čtyři čísla jsou tedy:
\( 6, 6 + 4 = 10, 6 + 8 = 14, 6 + 12 = 18 \).
Kontrola:
Součet prvních tří: \( 6 + 10 + 14 = 30 \).
Součet posledních tří: \( 10 + 14 + 18 = 42 \).
Obě podmínky jsou splněny.
Závěr: Čísla jsou 6, 10, 14 a 18.
33. Tři čísla jsou v poměru 2:3:5 a jejich součet je 100. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme tři čísla jako \( 2k \), \( 3k \), \( 5k \), kde \( k \) je kladné reálné číslo.
Součet těchto čísel je \( 2k + 3k + 5k = 10k \).
Podle zadání je tento součet 100, tedy:
\( 10k = 100 \Rightarrow k = 10 \).
Čísla jsou tedy:
\( 2k = 20, \quad 3k = 30, \quad 5k = 50 \).
Detailní kontrola:
Poměr \( 20 : 30 = 2 : 3 \) a \( 30 : 50 = 3 : 5 \), což odpovídá zadání.
Součet je \( 20 + 30 + 50 = 100 \).
Závěr: Hledaná čísla jsou 20, 30 a 50.
34. Součet čtyř po sobě jdoucích lichých čísel je 64. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první liché číslo jako \( x \).
Další tři po sobě jdoucí lichá čísla jsou \( x + 2 \), \( x + 4 \), \( x + 6 \).
Součet všech čtyř je podle zadání:
\( x + (x + 2) + (x + 4) + (x + 6) = 4x + 12 = 64 \Rightarrow 4x = 52 \Rightarrow x = 13 \).
Čtyři čísla jsou tedy 13, 15, 17 a 19.
Podrobné ověření:
Součet: \( 13 + 15 + 17 + 19 = 64 \).
Všechna čísla jsou lichá a po sobě jdoucí.
Závěr: Čísla jsou 13, 15, 17 a 19.
35. Součet dvou čísel je 50 a rozdíl jejich druhých mocnin je 180. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme čísla jako \( x \) a \( y \), přičemž \( x > y \).
Podle zadání platí:
\( x + y = 50 \)
a rozdíl druhých mocnin:
\( x^2 – y^2 = 180 \).
Využijeme vzorec na rozdíl druhých mocnin:
\( x^2 – y^2 = (x – y)(x + y) \Rightarrow (x – y) \cdot 50 = 180 \Rightarrow x – y = \frac{180}{50} = 3{,}6 \).
Máme soustavu:
\( \begin{cases} x + y = 50 \\ x – y = 3{,}6 \end{cases} \).
Sečteme obě rovnice:
\( 2x = 53{,}6 \Rightarrow x = 26{,}8 \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 26{,}8 + y = 50 \Rightarrow y = 23{,}2 \).
Podrobně ověříme zadání:
Součet: \( 26{,}8 + 23{,}2 = 50 \).
Rozdíl druhých mocnin:
\( 26{,}8^2 – 23{,}2^2 = (26{,}8 – 23{,}2)(26{,}8 + 23{,}2) = 3{,}6 \times 50 = 180 \).
Závěr: Čísla jsou 26,8 a 23,2.
36. Součet tří čísel je 27. První je o 1 větší než druhé a druhé je o 2 menší než třetí. Najděte všechna tři čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme druhé číslo jako \( y \).
První je o 1 větší než druhé, tedy \( x = y + 1 \).
Druhé je o 2 menší než třetí, tedy \( y = z – 2 \Rightarrow z = y + 2 \).
Součet všech tří je 27:
\( x + y + z = 27 \Rightarrow (y + 1) + y + (y + 2) = 27 \Rightarrow 3y + 3 = 27 \Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8 \).
První číslo je:
\( x = y + 1 = 8 + 1 = 9 \).
Třetí číslo je:
\( z = y + 2 = 8 + 2 = 10 \).
Podrobné ověření:
Součet: \( 9 + 8 + 10 = 27 \).
Zadání odpovídá, protože první je o 1 větší než druhé a druhé je o 2 menší než třetí.
Závěr: Čísla jsou 9, 8 a 10.
37. Součet dvou čísel je 26 a jejich součin je 143. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme čísla jako \( x \) a \( y \).
Podle zadání platí:
\( x + y = 26 \) a \( xy = 143 \).
Vytvoříme kvadratickou rovnici pro \( x \):
\( x(26 – x) = 143 \Rightarrow 26x – x^2 = 143 \Rightarrow x^2 – 26x + 143 = 0 \).
Diskriminant \( D \):
\( D = (-26)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 143 = 676 – 572 = 104 \).
Kořeny rovnice jsou:
\( x = \frac{26 \pm \sqrt{104}}{2} = \frac{26 \pm 2\sqrt{26}}{2} = 13 \pm \sqrt{26} \).
Tedy:
\( x_1 = 13 + \sqrt{26}, \quad x_2 = 13 – \sqrt{26} \).
Odpovídající hodnoty \( y \):
\( y_1 = 26 – x_1 = 13 – \sqrt{26}, \quad y_2 = 26 – x_2 = 13 + \sqrt{26} \).
Podrobné ověření:
Součet \( x_1 + y_1 = (13 + \sqrt{26}) + (13 – \sqrt{26}) = 26 \).
Součin \( x_1 y_1 = (13 + \sqrt{26})(13 – \sqrt{26}) = 13^2 – (\sqrt{26})^2 = 169 – 26 = 143 \).
Závěr: Čísla jsou \( 13 + \sqrt{26} \) a \( 13 – \sqrt{26} \).
38. Čtyři čísla tvoří geometrickou posloupnost. První číslo je 3 a čtvrté je 81. Najděte všechna čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť první číslo je \( a = 3 \) a kvocient posloupnosti je \( r \).
Čtyři čísla jsou: \( 3, 3r, 3r^2, 3r^3 \).
Čtvrté číslo je 81:
\( 3r^3 = 81 \Rightarrow r^3 = \frac{81}{3} = 27 \Rightarrow r = \sqrt[3]{27} = 3 \).
Čísla jsou tedy:
\( 3, 3 \cdot 3 = 9, 3 \cdot 3^2 = 27, 3 \cdot 3^3 = 81 \).
Podrobná kontrola:
Kvocient \( r = 3 \).
Všechna čísla odpovídají geometrické posloupnosti.
Závěr: Čísla jsou 3, 9, 27 a 81.
39. Součet dvou čísel je 15 a součet jejich inverzí je \(\frac{5}{6}\). Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť čísla jsou \( x \) a \( y \), \( x,y \neq 0 \).
Podmínky:
\( x + y = 15 \),
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \).
Sečteme zlomky na levé straně:
\( \frac{y + x}{xy} = \frac{5}{6} \Rightarrow \frac{15}{xy} = \frac{5}{6} \Rightarrow xy = \frac{15 \cdot 6}{5} = 18 \).
Máme soustavu:
\( \begin{cases} x + y = 15 \\ xy = 18 \end{cases} \).
Sestavíme kvadratickou rovnici:
\( t^2 – 15t + 18 = 0 \), kde \( t \) je \( x \) nebo \( y \).
Diskriminant:
\( D = 15^2 – 4 \cdot 1 \cdot 18 = 225 – 72 = 153 \).
Kořeny:
\( t = \frac{15 \pm \sqrt{153}}{2} \).
Tedy čísla jsou \( \frac{15 + \sqrt{153}}{2} \) a \( \frac{15 – \sqrt{153}}{2} \).
Kontrola:
Součet je 15.
Součet inverzí je:
\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} \).
Závěr: Hledaná čísla jsou \( \frac{15 + \sqrt{153}}{2} \) a \( \frac{15 – \sqrt{153}}{2} \).
40. Součet tří po sobě jdoucích sudých čísel je 54. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první sudé číslo jako \( x \).
Dvě další po sobě jdoucí sudá čísla jsou \( x + 2 \) a \( x + 4 \).
Součet je:
\( x + (x + 2) + (x + 4) = 3x + 6 = 54 \Rightarrow 3x = 48 \Rightarrow x = 16 \).
Čísla jsou tedy 16, 18 a 20.
Podrobná kontrola:
Jsou sudá a po sobě jdoucí.
Součet: \( 16 + 18 + 20 = 54 \).
Závěr: Čísla jsou 16, 18 a 20.
41. Součet tří čísel je 45. Druhé číslo je o 3 větší než první a třetí je dvojnásobkem druhého. Najděte všechna tři čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první číslo jako \( x \).
Druhé číslo je o 3 větší než první, tedy \( y = x + 3 \).
Třetí číslo je dvojnásobkem druhého, tedy \( z = 2y = 2(x + 3) = 2x + 6 \).
Podmínka součtu všech tří čísel je:
\( x + y + z = 45 \Rightarrow x + (x + 3) + (2x + 6) = 45 \).
Sečteme členy:
\( x + x + 3 + 2x + 6 = 45 \Rightarrow 4x + 9 = 45 \).
Odečteme 9 od obou stran rovnice:
\( 4x = 45 – 9 \Rightarrow 4x = 36 \).
Vydělíme rovnicí 4:
\( x = \frac{36}{4} = 9 \).
Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = x + 3 = 9 + 3 = 12 \).
Dosadíme zpět pro \( z \):
\( z = 2y = 2 \times 12 = 24 \).
Ověříme součet:
\( 9 + 12 + 24 = 45 \), což odpovídá zadání.
Závěr: Čísla jsou \( 9 \), \( 12 \) a \( 24 \).
42. Součet dvou čísel je 40 a rozdíl jejich druhých mocnin je 336. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme čísla jako \( x \) a \( y \), přičemž \( x > y \).
Podmínky jsou:
\( x + y = 40 \),
\( x^2 – y^2 = 336 \).
Rozdíl druhých mocnin lze rozložit na součin:
\( (x – y)(x + y) = 336 \).
Dosadíme \( x + y = 40 \):
\( (x – y) \times 40 = 336 \Rightarrow x – y = \frac{336}{40} = 8{,}4 \).
Nyní máme soustavu rovnic:
\( \begin{cases} x + y = 40 \\ x – y = 8{,}4 \end{cases} \).
Sečteme obě rovnice:
\( 2x = 48{,}4 \Rightarrow x = 24{,}2 \).
Dosadíme zpět do první rovnice pro \( y \):
\( 24{,}2 + y = 40 \Rightarrow y = 15{,}8 \).
Ověření:
Součet: \( 24{,}2 + 15{,}8 = 40 \).
Rozdíl druhých mocnin:
\( 24{,}2^2 – 15{,}8^2 = (24{,}2 – 15{,}8)(24{,}2 + 15{,}8) = 8{,}4 \times 40 = 336 \).
Závěr: Čísla jsou \( 24{,}2 \) a \( 15{,}8 \).
43. Součet tří po sobě jdoucích celých čísel je 72. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první z těchto tří po sobě jdoucích čísel jako \( n \), pak další dvě jsou \( n+1 \) a \( n+2 \).
Podmínka je:
\( n + (n+1) + (n+2) = 72 \).
Sečteme levou stranu:
\( 3n + 3 = 72 \Rightarrow 3n = 69 \Rightarrow n = 23 \).
Čísla jsou tedy \( 23, 24, 25 \).
Ověření:
Součet: \( 23 + 24 + 25 = 72 \).
Závěr: Čísla jsou \( 23 \), \( 24 \) a \( 25 \).
44. Součet čtyř čísel je 100. První číslo je polovina druhého, třetí je o 5 větší než první a čtvrté je součet prvního a druhého čísla. Najděte všechna čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme druhé číslo jako \( y \).
První číslo je polovina druhého: \( x = \frac{y}{2} \).
Třetí je o 5 větší než první: \( z = x + 5 = \frac{y}{2} + 5 \).
Čtvrté je součet prvního a druhého: \( w = x + y = \frac{y}{2} + y = \frac{3y}{2} \).
Součet všech čtyř je 100:
\( x + y + z + w = 100 \Rightarrow \frac{y}{2} + y + \left(\frac{y}{2} + 5\right) + \frac{3y}{2} = 100 \).
Sečteme členy:
\( \frac{y}{2} + y + \frac{y}{2} + 5 + \frac{3y}{2} = 100 \Rightarrow \left(\frac{y}{2} + y + \frac{y}{2} + \frac{3y}{2}\right) + 5 = 100 \).
Sečteme členy s \( y \):
\( \frac{y}{2} + y = \frac{y}{2} + \frac{2y}{2} = \frac{3y}{2} \), takže celkem:
\( \frac{3y}{2} + \frac{y}{2} + \frac{3y}{2} = \left(\frac{3y}{2} + \frac{y}{2}\right) + \frac{3y}{2} = 2y + \frac{3y}{2} = \frac{4y}{2} + \frac{3y}{2} = \frac{7y}{2} \).
Dosadíme zpět:
\( \frac{7y}{2} + 5 = 100 \Rightarrow \frac{7y}{2} = 95 \Rightarrow 7y = 190 \Rightarrow y = \frac{190}{7} \approx 27{,}14 \).
První číslo:
\( x = \frac{y}{2} = \frac{190}{14} = \frac{95}{7} \approx 13{,}57 \).
Třetí číslo:
\( z = \frac{y}{2} + 5 = \frac{95}{7} + 5 = \frac{95}{7} + \frac{35}{7} = \frac{130}{7} \approx 18{,}57 \).
Čtvrté číslo:
\( w = \frac{3y}{2} = \frac{3 \times 190}{14} = \frac{570}{14} = \frac{285}{7} \approx 40{,}71 \).
Ověření součtu:
\( 13{,}57 + 27{,}14 + 18{,}57 + 40{,}71 = 100 \) (zaokrouhleno).
Závěr: Čísla jsou přibližně \( 13{,}57 \), \( 27{,}14 \), \( 18{,}57 \) a \( 40{,}71 \).
45. Z čísla 1234 odebereme čísla, která jsou dělitelná 3, a zjistíme, že součet těchto odebraných čísel je 243. Kolik čísel bylo odebráno?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Zadání říká, že odebereme z čísel od 1 do 1234 všechna čísla dělitelná 3 a jejich součet je 243. Tato informace není správná, protože součet všech čísel dělitelných 3 od 1 do 1234 je mnohem větší. Přepokládejme proto, že se jedná o chybu v zadání a opravme na například čísla od 1 do 30.
Označíme množinu čísel dělitelných 3 v intervalu od 1 do \( n \).
Čísla dělitelná 3 jsou: 3, 6, 9, …, \( 3k \), kde \( k = \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor \).
Součet těchto čísel je aritmetická posloupnost:
\( S = 3 + 6 + 9 + \dots + 3k = 3(1 + 2 + 3 + \dots + k) = 3 \cdot \frac{k(k+1)}{2} \).
Máme \( S = 243 \Rightarrow 3 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = 243 \Rightarrow \frac{k(k+1)}{2} = 81 \Rightarrow k(k+1) = 162 \).
Hledáme celočíselné \( k \), které splňuje \( k^2 + k – 162 = 0 \).
Vyřešíme kvadratickou rovnici:
\( k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 162}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{649}}{2} \).
\( \sqrt{649} \approx 25{,}48 \), tedy kladné řešení je:
\( k = \frac{-1 + 25{,}48}{2} = \frac{24{,}48}{2} = 12{,}24 \).
Protože \( k \) musí být celé číslo, vybereme \( k = 12 \), což znamená, že odebraných čísel je 12.
Ověříme součet pro \( k=12 \):
\( S = 3 \cdot \frac{12 \times 13}{2} = 3 \cdot 78 = 234 \), což je blízko 243, ale ne přesně.
Pro \( k=13 \):
\( S = 3 \cdot \frac{13 \times 14}{2} = 3 \cdot 91 = 273 \), což je větší než 243.
Takže přesný součet 243 není součtem všech čísel dělitelných 3 od 1 do nějakého celého čísla. Protože příklad je pravděpodobně zjednodušený, odpověď je přibližně 12 odebraných čísel.
46. V řadě tří čísel je druhé číslo průměrem prvního a třetího. Součet všech tří je 60. První číslo je o 6 větší než třetí. Najděte všechna tři čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první číslo jako \( x \), třetí jako \( z \).
Druhé číslo je průměrem prvního a třetího:
\( y = \frac{x + z}{2} \).
Součet všech tří je 60:
\( x + y + z = 60 \Rightarrow x + \frac{x + z}{2} + z = 60 \).
První je o 6 větší než třetí:
\( x = z + 6 \).
Dosadíme do rovnice součtu:
\( (z + 6) + \frac{(z + 6) + z}{2} + z = 60 \Rightarrow z + 6 + \frac{2z + 6}{2} + z = 60 \).
Zjednodušení zlomku:
\( z + 6 + z + 3 + z = 60 \Rightarrow 3z + 9 = 60 \Rightarrow 3z = 51 \Rightarrow z = 17 \).
První číslo:
\( x = z + 6 = 17 + 6 = 23 \).
Druhé číslo:
\( y = \frac{x + z}{2} = \frac{23 + 17}{2} = \frac{40}{2} = 20 \).
Ověření:
\( 23 + 20 + 17 = 60 \).
Závěr: Čísla jsou \( 23 \), \( 20 \), \( 17 \).
47. Součet dvou čísel je 100 a jejich rozdíl je 40. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme čísla jako \( x \) a \( y \), kde \( x > y \).
Máme:
\( x + y = 100 \),
\( x – y = 40 \).
Sečteme rovnice:
\( 2x = 140 \Rightarrow x = 70 \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 70 + y = 100 \Rightarrow y = 30 \).
Ověření:
\( 70 – 30 = 40 \), souhlasí.
Závěr: Čísla jsou \( 70 \) a \( 30 \).
48. V pěti po sobě jdoucích číslech je součet prostředních tří roven součtu prvního a posledního čísla zvýšenému o 10. Součet všech pěti čísel je 65. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první číslo jako \( n \), další jsou \( n+1 \), \( n+2 \), \( n+3 \), \( n+4 \).
Součet prostředních tří:
\( (n+1) + (n+2) + (n+3) = 3n + 6 \).
Součet prvního a posledního zvýšený o 10:
\( n + (n+4) + 10 = 2n + 14 \).
Podmínka:
\( 3n + 6 = 2n + 14 \Rightarrow 3n – 2n = 14 – 6 \Rightarrow n = 8 \).
Součet všech pěti čísel:
\( n + (n+1) + (n+2) + (n+3) + (n+4) = 5n + 10 = 65 \Rightarrow 5n = 55 \Rightarrow n = 11 \).
Vidíme nesoulad, protože \( n \) má být zároveň 8 a 11. Zkontrolujeme podmínky:
Podmínka pro součet prostředních tří dává \( n = 8 \).
Podmínka pro součet všech pěti dává \( n = 11 \).
Proto upravíme interpretaci zadání: Nejprve spočteme \( n \) z první podmínky a zkontrolujeme součet:
Pro \( n=8 \) je součet všech pěti:
\( 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 50 \), což není 65.
Pro \( n=11 \) je součet prostředních tří:
\( 12 + 13 + 14 = 39 \), součet prvního a posledního + 10:
\( 11 + 15 + 10 = 36 \), nesouhlasí.
Proto je třeba upravit interpretaci nebo zadání.
Předpokládáme, že součet prostředních tří je o 10 větší než součet prvního a posledního:
\( (n+1)+(n+2)+(n+3) = n+(n+4) + 10 \Rightarrow 3n+6 = 2n + 14 \Rightarrow n=8 \).
Součet všech pěti je 65:
\( 5n + 10 = 65 \Rightarrow 5n = 55 \Rightarrow n=11 \), což je nesoulad.
Proto musí být chyba v zadání nebo v interpretaci.
Alternativně, součet všech pěti je 65, což odpovídá \( n=11 \), ale pak součet prostředních tří je:
\( 12 + 13 + 14 = 39 \), a součet prvního a posledního + 10 je:
\( 11 + 15 + 10 = 36 \), což neplatí.
Úkol proto nelze vyřešit bez upřesnění zadání.
49. Čtyři čísla tvoří aritmetickou posloupnost. Součet prvních tří čísel je o 6 větší než součet posledních tří čísel. Součet všech čtyř čísel je 34. Určete všechna čísla.
Zobrazit řešení
Řešení:
Označme čtyři čísla aritmetické posloupnosti jako \( a \), \( a + d \), \( a + 2d \) a \( a + 3d \), kde \( a \) je první člen a \( d \) diference.
Podmínky z zadání jsou:
Součet prvních tří čísel je o 6 větší než součet posledních tří čísel:
\( (a) + (a + d) + (a + 2d) = (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + 6 \Rightarrow \)
\( 3a + 3d = 3a + 6d + 6 \).
Upravíme rovnici:
\( 3a + 3d – 3a – 6d = 6 \Rightarrow -3d = 6 \Rightarrow d = -2 \).
Dále součet všech čtyř čísel je 34:
\( a + (a – 2) + (a – 4) + (a – 6) = 34 \Rightarrow 4a – 12 = 34 \Rightarrow 4a = 46 \Rightarrow a = \frac{46}{4} = 11{,}5 \).
Nyní určme jednotlivá čísla:
\( a = 11{,}5 \),
\( a + d = 11{,}5 – 2 = 9{,}5 \),
\( a + 2d = 11{,}5 – 4 = 7{,}5 \),
\( a + 3d = 11{,}5 – 6 = 5{,}5 \).
Ověření součtů:
Součet prvních tří: \( 11{,}5 + 9{,}5 + 7{,}5 = 28{,}5 \),
Součet posledních tří: \( 9{,}5 + 7{,}5 + 5{,}5 = 22{,}5 \),
Rozdíl: \( 28{,}5 – 22{,}5 = 6 \), což odpovídá zadání.
Součet všech čtyř: \( 11{,}5 + 9{,}5 + 7{,}5 + 5{,}5 = 34 \).
Čísla jsou tedy \( 11{,}5 \), \( 9{,}5 \), \( 7{,}5 \), \( 5{,}5 \).
50. Tři různá kladná celá čísla splňují, že součet každých dvou z nich je násobkem třetího. Najděte všechna taková čísla.
Zobrazit řešení
Řešení:
Označme tři různá kladná celá čísla jako \( x \), \( y \), \( z \). Podmínka je, že součet každých dvou je násobkem třetího:
\( x + y = k_1 z \),
\( y + z = k_2 x \),
\( z + x = k_3 y \), kde \( k_1, k_2, k_3 \in \mathbb{N} \).
Cílem je najít čísla \( x,y,z \) a příslušná \( k_1,k_2,k_3 \).
Z první rovnice vyjádříme \( z \):
\( z = \frac{x + y}{k_1} \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( y + \frac{x + y}{k_1} = k_2 x \Rightarrow y + \frac{x}{k_1} + \frac{y}{k_1} = k_2 x \).
Vynásobíme rovnice \( k_1 \):
\( k_1 y + x + y = k_1 k_2 x \Rightarrow (k_1 + 1) y + x = k_1 k_2 x \).
Upravíme pro \( y \):
\( (k_1 + 1) y = k_1 k_2 x – x = x (k_1 k_2 – 1) \Rightarrow y = \frac{x (k_1 k_2 – 1)}{k_1 + 1} \).
Podobně do třetí rovnice dosadíme \( z \) a \( y \):
\( z + x = k_3 y \Rightarrow \frac{x + y}{k_1} + x = k_3 y \).
Vynásobíme \( k_1 \):
\( x + y + k_1 x = k_3 k_1 y \Rightarrow (k_1 + 1) x + y = k_3 k_1 y \).
Upravíme:
\( (k_1 + 1) x = y (k_3 k_1 – 1) \Rightarrow x = \frac{y (k_3 k_1 – 1)}{k_1 + 1} \).
Porovnáme obě vyjádření pro \( y \) a \( x \), dostaneme rovnice s \( k_i \), které musí být přirozená čísla.
Pokračujeme pokusným dosazováním:
Zvolme \( k_1 = 1 \) (nejmenší možnost). Potom:
\( y = \frac{x (1 \cdot k_2 – 1)}{1 + 1} = \frac{x (k_2 – 1)}{2} \),
\( x = \frac{y (k_3 \cdot 1 – 1)}{2} = \frac{y (k_3 – 1)}{2} \).
Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):
\( y = \frac{2 x}{k_3 – 1} \).
Dosadíme do první rovnice:
\( \frac{2 x}{k_3 – 1} = \frac{x (k_2 – 1)}{2} \Rightarrow 4 x = x (k_2 – 1)(k_3 – 1) \Rightarrow 4 = (k_2 – 1)(k_3 – 1) \).
Protože \( k_2, k_3 \geq 1 \), faktory \( (k_2 – 1) \) a \( (k_3 – 1) \) jsou kladná celá čísla s násobkem 4.
Možné dvojice:
\( (k_2 – 1, k_3 – 1) = (1, 4), (2, 2), (4, 1) \).
Zvažme první možnost: \( k_2 = 2, k_3 = 5 \).
Pak:
\( y = \frac{x (2 – 1)}{2} = \frac{x}{2} \),
\( x = \frac{y (5 – 1)}{2} = \frac{y \cdot 4}{2} = 2 y \Rightarrow x = 2 y \).
Dosadíme \( y = \frac{x}{2} \Rightarrow y = \frac{x}{2} \), tedy \( x = 2 y = 2 \cdot \frac{x}{2} = x \), což je v pořádku.
Vyberme \( x = 2 \), pak \( y = 1 \), a z první rovnice:
\( x + y = z \Rightarrow 2 + 1 = z \Rightarrow z = 3 \).
Zkontrolujeme podmínky:
\( x + y = 3 \), je násobkem \( z = 3 \) (ano, \( 3 = 1 \cdot 3 \)),
\( y + z = 1 + 3 = 4 \), je násobkem \( x = 2 \) (ano, \( 4 = 2 \cdot 2 \)),
\( z + x = 3 + 2 = 5 \), je násobkem \( y = 1 \) (ano, \( 5 = 5 \cdot 1 \)).
Čísla jsou tedy \( (2, 1, 3) \).
Podobně lze prohodit pořadí nebo zkoušet další \( k_i \).
Celkem řešení (všechna kladná celá čísla splňující podmínku) jsou permutace \( (1, 2, 3) \).
51. Mysli si číslo, přičti k němu 5, výsledek vynásob 2, od výsledku odečti 8 a nakonec výsledek vyděl 2. Výsledkem je 9. Na jaké číslo myslel?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme si hledané číslo jako \( x \).
Podle zadání: \( ((x + 5) \cdot 2 – 8) \div 2 = 9 \)
Postupujme krok za krokem:
\( x + 5 \)
\( (x + 5) \cdot 2 = 2x + 10 \)
\( 2x + 10 – 8 = 2x + 2 \)
\( \frac{2x + 2}{2} = x + 1 \)
\( x + 1 = 9 \Rightarrow x = 8 \)
Hledané číslo je tedy \( 8 \).
52. Najdi dvě po sobě jdoucí lichá čísla, jejichž součet je 56.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme první liché číslo jako \( x \), pak druhé bude \( x + 2 \).
Součet je: \( x + (x + 2) = 2x + 2 \)
\( 2x + 2 = 56 \Rightarrow 2x = 54 \Rightarrow x = 27 \)
Čísla jsou \( 27 \) a \( 29 \).
53. Tři sourozenci mají dohromady 36 kuliček. První jich má dvakrát tolik co druhý a třetí má o 4 méně než druhý. Kolik kuliček má každý?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme počet kuliček druhého sourozence jako \( x \).
První má \( 2x \), třetí má \( x – 4 \).
Celkem: \( x + 2x + (x – 4) = 4x – 4 = 36 \Rightarrow 4x = 40 \Rightarrow x = 10 \)
Druhý má 10, první 20, třetí \( 10 – 4 = 6 \).
54. Najdi číslo, které když vynásobíme 4 a přičteme 6, dostaneme stejné číslo, jako když ho vynásobíme 3 a přičteme 9.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme číslo jako \( x \).
Podmínka: \( 4x + 6 = 3x + 9 \Rightarrow x = 3 \)
Hledané číslo je \( 3 \).
55. Číslo má dvě cifry. Součet číslic je 9. Když prohodíme cifry, číslo se zvětší o 27. Jaké je původní číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme desítky jako \( x \), jednotky jako \( y \), pak číslo je \( 10x + y \)
Součet číslic: \( x + y = 9 \)
Prohozením: \( 10y + x \)
Podmínka: \( 10y + x = 10x + y + 27 \Rightarrow 9y – 9x = 27 \Rightarrow y – x = 3 \)
Soustava: \( x + y = 9 \), \( y – x = 3 \)
Sečteme: \( 2y = 12 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow x = 3 \)
Číslo je \( 10 \cdot 3 + 6 = 36 \)
56. Mysli si číslo, přičti k němu jeho polovinu a jeho třetinu. Výsledek je 33. Jaké je původní číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme číslo jako \( x \).
Podmínka: \( x + \frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 33 \)
Najdeme společného jmenovatele: \( \frac{6x + 3x + 2x}{6} = \frac{11x}{6} = 33 \Rightarrow 11x = 198 \Rightarrow x = 18 \)
Původní číslo je \( 18 \).
57. Najdi číslo, které když se vynásobí 5 a odečte 15, výsledek je 60.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme číslo jako \( x \).
Podmínka: \( 5x – 15 = 60 \Rightarrow 5x = 75 \Rightarrow x = 15 \)
Číslo je \( 15 \).
58. Mysli si číslo, odečti od něj 3, výsledek vynásob 4, výsledek je 60. Jaké číslo si myslel?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme číslo jako \( x \).
Podmínka: \( (x – 3) \cdot 4 = 60 \Rightarrow x – 3 = 15 \Rightarrow x = 18 \)
Číslo je \( 18 \).
59. Součet tří po sobě jdoucích čísel je 81. Jaká to jsou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme prostřední číslo jako \( x \), pak ostatní jsou \( x – 1 \) a \( x + 1 \).
Součet: \( (x – 1) + x + (x + 1) = 3x \Rightarrow 3x = 81 \Rightarrow x = 27 \)
Čísla jsou: \( 26, 27, 28 \)
60. Mysli si číslo, přičti k němu 10, odečti 4, výsledek vynásob 2 a dostaneš 40. Jaké je původní číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme číslo jako \( x \).
Podmínka: \( ((x + 10) – 4) \cdot 2 = 40 \Rightarrow (x + 6) \cdot 2 = 40 \Rightarrow x + 6 = 20 \Rightarrow x = 14 \)
Číslo je \( 14 \).
61. Mysli si číslo. Toto číslo vynásob 3, od výsledku odečti 7. Pak výsledek vyděl 2. Nakonec přičti 5. Výsledkem je 16. Jaké číslo si myslel?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme si neznámé číslo jako \( x \).
Podle zadání provádíme tyto kroky:
1. Vynásobíme číslo 3: \( 3x \)
2. Odečteme 7: \( 3x – 7 \)
3. Výsledek vydělíme 2: \( \frac{3x – 7}{2} \)
4. Přičteme 5: \( \frac{3x – 7}{2} + 5 \)
Tento výraz se rovná 16, tedy:
\( \frac{3x – 7}{2} + 5 = 16 \)
Nejprve odečteme 5 od obou stran rovnice:
\( \frac{3x – 7}{2} = 11 \)
Obě strany rovnice vynásobíme 2, abychom se zbavili zlomku:
\( 3x – 7 = 22 \)
Přičteme 7 k oběma stranám rovnice:
\( 3x = 29 \)
Vydělíme obě strany 3:
\( x = \frac{29}{3} \)
Protože výsledek není celé číslo, ověříme ještě zadání. Vše odpovídá, takže si člověk myslel číslo \( \frac{29}{3} \), což je přibližně \( 9.67 \).
62. Součet tří po sobě jdoucích lichých čísel je 111. Která čísla to jsou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť prostřední liché číslo je \( x \). Protože hledáme tři po sobě jdoucí lichá čísla, pak první je \( x – 2 \), druhé \( x \), a třetí \( x + 2 \).
Součet těchto tří čísel je:
\( (x – 2) + x + (x + 2) = 3x \)
Dle zadání platí:
\( 3x = 111 \Rightarrow x = 37 \)
Čísla jsou tedy:
\( x – 2 = 35, \quad x = 37, \quad x + 2 = 39 \)
Ověření: \( 35 + 37 + 39 = 111 \)
63. Číslo má dvě cifry. Součet číslic je 11. Pokud se prohodí číslice, nové číslo je o 9 menší než dvojnásobek původního. Jaké je to číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme číslo jako \( 10x + y \), kde \( x \) je číslice na místě desítek, \( y \) na místě jednotek.
Součet číslic: \( x + y = 11 \)
Prohozené číslo: \( 10y + x \)
Podmínka: \( 10y + x = 2(10x + y) – 9 \)
Rozepíšeme pravou stranu:
\( 10y + x = 20x + 2y – 9 \)
Převedeme vše na jednu stranu:
\( 10y – 2y + x – 20x = -9 \Rightarrow 8y – 19x = -9 \)
Máme soustavu:
1) \( x + y = 11 \)
2) \( 8y – 19x = -9 \)
Z první rovnice: \( y = 11 – x \)
Dosadíme do druhé:
\( 8(11 – x) – 19x = -9 \Rightarrow 88 – 8x – 19x = -9 \Rightarrow -27x = -97 \Rightarrow x = \frac{97}{27} \)
Výsledek není celé číslo – udělali jsme chybu? Ne, ale zřejmě je v zadání jiná relace. Zkusme místo „o 9 menší než dvojnásobek“ změnit na „rovná se dvojnásobek minus 9“:
\( 10y + x = 2(10x + y) – 9 \Rightarrow 10y + x = 20x + 2y – 9 \)
Upraveno: \( 8y – 19x = -9 \)
Vyzkoušíme ručně malé hodnoty:
Např. \( x = 5 \Rightarrow y = 6 \Rightarrow číslo = 56 \), prohozené = 65
Kontrola: \( 2 \cdot 56 = 112 \Rightarrow 112 – 9 = 103 \neq 65 \)
Vyzkoušíme \( x = 4, y = 7 \Rightarrow číslo = 47 \), prohozené = 74
\( 2 \cdot 47 = 94 \Rightarrow 94 – 9 = 85 \neq 74 \)
Zkusme \( x = 3, y = 8 \Rightarrow číslo = 38 \), prohozené = 83
\( 2 \cdot 38 = 76 \Rightarrow 76 – 9 = 67 \neq 83 \)
Zkusme \( x = 6, y = 5 \Rightarrow číslo = 65 \), prohozené = 56
\( 2 \cdot 65 = 130 \Rightarrow 130 – 9 = 121 \neq 56 \)
Funguje \( x = 4, y = 7 \Rightarrow 10x + y = 47 \), prohozené = 74
\( 2 \cdot 47 = 94 \Rightarrow 94 – 9 = 85 \neq 74 \)
Zkusme jiné. Nakonec zjistíme, že odpovídá \( x = 6, y = 5 \Rightarrow 10x + y = 65 \), prohozené 56
Ověříme: \( 2 \cdot 65 = 130 \Rightarrow 130 – 9 = 121 \neq 56 \). Nesedí.
Přes soustavu: \( x + y = 11 \), \( 8y – 19x = -9 \). Najdeme celé řešení: \( x = 2, y = 9 \Rightarrow číslo = 29 \), prohozené 92
Ověření: \( 2 \cdot 29 = 58 \Rightarrow 58 – 9 = 49 \neq 92 \)
Správné řešení je \( x = 5, y = 6 \Rightarrow číslo = 56 \), prohozené 65
\( 2 \cdot 56 = 112 \Rightarrow 112 – 9 = 103 \)
Neodpovídá. Zadání zřejmě nelze přesně vyřešit bez úpravy. (Zadání je příliš komplikované pro jednoznačné řešení — doporučuji upravit.)
64. Mysli si číslo, odečti od něj 5, výsledek vyděl 3, přičti 8 a dostaneš 15. Jaké bylo původní číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť neznámé číslo je \( x \).
Podle zadání máme:
\( \left( \frac{x – 5}{3} \right) + 8 = 15 \)
Nejprve odečteme 8 od obou stran:
\( \frac{x – 5}{3} = 7 \)
Vynásobíme obě strany 3:
\( x – 5 = 21 \Rightarrow x = 26 \)
Číslo, na které si myslel, bylo \( 26 \).
65. Mysli si číslo. Přičti k němu 12. Výsledek vynásob 2. Od tohoto výsledku odečti 8. Nakonec výsledek vyděl 4. Výsledkem je 10. Jaké číslo si myslel?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť neznámé číslo, které si člověk myslel, označíme jako \( x \).
Podle zadání krok za krokem provádíme následující operace:
Přičteme 12: \( x + 12 \)
Vynásobíme 2: \( 2(x + 12) \)
Odečteme 8: \( 2(x + 12) – 8 \)
Výsledek vydělíme 4: \( \frac{2(x + 12) – 8}{4} \)
Výsledkem má být číslo 10, tedy rovnici sestavíme takto:
\( \frac{2(x + 12) – 8}{4} = 10 \)
Nejprve odstraníme zlomek – obě strany rovnice vynásobíme 4:
\( 2(x + 12) – 8 = 40 \)
Roznásobíme závorku:
\( 2x + 24 – 8 = 40 \)
Sečteme konstanty vlevo:
\( 2x + 16 = 40 \)
Odečteme 16 od obou stran rovnice:
\( 2x = 24 \)
Vydělíme obě strany rovnice 2:
\( x = 12 \)
Ověření: 12 + 12 = 24; 24 × 2 = 48; 48 − 8 = 40; 40 ÷ 4 = 10. Výsledek odpovídá.
Číslo, které si člověk myslel, bylo tedy \( x = 12 \).
66. Tři sourozenci mají dohromady 36 let. Nejmladší je o 4 roky mladší než prostřední. Nejstarší je dvakrát tak starý jako nejmladší. Kolik let má každý z nich?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme věk nejmladšího sourozence jako \( x \).
Podle zadání je prostřední o 4 roky starší, tedy má \( x + 4 \) let.
Nejstarší sourozenec je dvakrát tak starý jako nejmladší, tedy má \( 2x \) let.
Celkový věk všech tří je 36 let:
\( x + (x + 4) + 2x = 36 \)
Sečteme jednotlivé členy:
\( x + x + 4 + 2x = 36 \Rightarrow 4x + 4 = 36 \)
Odečteme 4 od obou stran:
\( 4x = 32 \Rightarrow x = 8 \)
Věk jednotlivých sourozenců je:
Nejmladší: \( x = 8 \)
Prostřední: \( x + 4 = 12 \)
Nejstarší: \( 2x = 16 \)
Ověření: \( 8 + 12 + 16 = 36 \). Výpočet souhlasí.
67. Mysli si číslo. Přičti k němu 3, výsledek vynásob 5. Pak odečti 10 a nakonec vyděl 5. Výsledkem je číslo 11. Jaké číslo to bylo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme hledané číslo jako \( x \).
Postup dle zadání:
Přičteme 3: \( x + 3 \)
Vynásobíme 5: \( 5(x + 3) \)
Odečteme 10: \( 5(x + 3) – 10 \)
Výsledek vydělíme 5: \( \frac{5(x + 3) – 10}{5} \)
Tento výraz se má rovnat 11:
\( \frac{5(x + 3) – 10}{5} = 11 \)
Vynásobíme obě strany 5, abychom se zbavili zlomku:
\( 5(x + 3) – 10 = 55 \)
Roznásobíme závorku:
\( 5x + 15 – 10 = 55 \Rightarrow 5x + 5 = 55 \)
Odečteme 5 od obou stran:
\( 5x = 50 \Rightarrow x = 10 \)
Ověření: 10 + 3 = 13; 13 × 5 = 65; 65 − 10 = 55; 55 ÷ 5 = 11. Odpovídá.
68. Petr je 3krát starší než jeho bratr. Za 4 roky bude součet jejich věků 40 let. Kolik let je Petrovi a kolik jeho bratrovi?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme věk Petrova bratra jako \( x \). Pak věk Petra je \( 3x \).
Za 4 roky bude Petrovi \( 3x + 4 \) let a jeho bratrovi \( x + 4 \) let.
Součet těchto věků za 4 roky bude 40:
\( (3x + 4) + (x + 4) = 40 \)
Sečteme členy:
\( 3x + 4 + x + 4 = 40 \Rightarrow 4x + 8 = 40 \)
Odečteme 8:
\( 4x = 32 \Rightarrow x = 8 \)
Bratrovi je \( 8 \) let, Petrovi \( 3 \cdot 8 = 24 \) let.
Ověření: Za 4 roky: 12 a 28. \( 12 + 28 = 40 \). Souhlasí.
69. Součet dvou čísel je 48. Rozdíl mezi nimi je 12. Jaká jsou to čísla?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme první číslo jako \( x \), druhé jako \( y \).
Dle zadání:
\( x + y = 48 \)
\( x – y = 12 \)
Sečteme obě rovnice:
\( (x + y) + (x – y) = 48 + 12 \Rightarrow 2x = 60 \Rightarrow x = 30 \)
Dosadíme do první rovnice: \( 30 + y = 48 \Rightarrow y = 18 \)
Čísla jsou \( 30 \) a \( 18 \). Ověření: součet 48, rozdíl 12.
70. Mysli si číslo. Vynásob ho 4, od výsledku odečti 6, pak přičti 10 a vyděl 2. Výsledkem je 20. Jaké bylo původní číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť neznámé číslo je \( x \).
Vynásobíme 4: \( 4x \)
Odečteme 6: \( 4x – 6 \)
Přičteme 10: \( 4x – 6 + 10 = 4x + 4 \)
Vydělíme 2: \( \frac{4x + 4}{2} \)
Výsledkem má být 20:
\( \frac{4x + 4}{2} = 20 \)
Vynásobíme obě strany 2:
\( 4x + 4 = 40 \Rightarrow 4x = 36 \Rightarrow x = 9 \)
Ověření: 9 × 4 = 36, 36 − 6 = 30, 30 + 10 = 40, 40 ÷ 2 = 20. Odpovídá.
71. Mysli si číslo. Přičti k němu 8, násob toto číslo 3, pak odečti 11 a vyděl 7. Výsledek je 5. Jaké číslo to bylo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme neznámé číslo jako \( x \).
Postupujeme dle zadání:
Přičteme 8: \( x + 8 \)
Vynásobíme 3: \( 3(x + 8) \)
Odečteme 11: \( 3(x + 8) – 11 \)
Vydělíme 7: \( \frac{3(x + 8) – 11}{7} \)
Rovnice má tvar:
\( \frac{3(x + 8) – 11}{7} = 5 \)
Vynásobíme obě strany 7:
\( 3(x + 8) – 11 = 35 \)
Roznásobíme a sečteme konstanty vlevo:
\( 3x + 24 – 11 = 35 \Rightarrow 3x + 13 = 35 \)
Odečteme 13:
\( 3x = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{3} \)
Číslo je tedy racionální \( \frac{22}{3} \approx 7{,}333\).
Ověření: \( x + 8 = \frac{22}{3} + 8 = \frac{22 + 24}{3} = \frac{46}{3} \);
\( 3 \cdot \frac{46}{3} = 46; \quad 46 – 11 = 35; \quad 35 \div 7 = 5. \)
Rovnice je tedy splněna.
72. Čtyři po sobě jdoucí sudá čísla mají součet 200. Jaká to jsou čísla?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť první ze sudých čísel je \( x \). Pak další budou \( x + 2 \), \( x + 4 \) a \( x + 6 \).
Jejich součet:
\( x + (x+2) + (x+4) + (x+6) = 4x + 12 \)
Má se rovnat 200:
\( 4x + 12 = 200 \Rightarrow 4x = 188 \Rightarrow x = 47 \)
To není sudé číslo – vznikla nesrovnalost.
Je potřeba uvážit, že sudá čísla se zapisují jako \( x = 2k \). Nechť tedy:
\( x = 2k, x+2 = 2k+2, x+4 = 2k+4, x+6 = 2k+6 \)
Součet je \( 8k + 12 = 200 \Rightarrow 8k = 188 \Rightarrow k = 23{,}5 \). Opět není celé, opět nesprávně formulované zadání nebo nemá celočíselné řešení.
Závěr: Nelze nalézt čtyři po sobě jdoucí sudá čísla s celočíselným řešením.
73. Najdi dvě po sobě jdoucí celá čísla, jejichž součet je 101 a součin je maximální. Jaká jsou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť čísla jsou \( x \) a \( x+1 \). Pak součet:
\( x + (x+1) = 101 \Rightarrow 2x + 1 = 101 \Rightarrow x = 50 \)
Čísla jsou tedy 50 a 51.
Pro dvojici po sobě jdoucích celočísel je jediné možné řešení bez variant – součin je tedy \( 50 \cdot 51 = 2550 \). Při jiném součtu by excistovala symetrická alternativa, ale zde jediná kombinace.
74. Mysli si číslo. Vynásob ho 6, přičti k výsledku 4 a odečti polovinu původního čísla. Výsledek je 25. Urči číslo.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme \( x \). Poté:
Vyjádříme posloupnost: \( 6x + 4 – \frac{x}{2} = 25 \)
Převedeme na společný jmenovatel 2:
\( \frac{12x + 8 – x}{2} = 25 \Rightarrow \frac{11x + 8}{2} = 25 \)
Vynásobíme 2:
\( 11x + 8 = 50 \Rightarrow 11x = 42 \Rightarrow x = \frac{42}{11} \)
Ověření: \( 6 \cdot \frac{42}{11} = \frac{252}{11}; \frac{252}{11} + 4 = \frac{252 + 44}{11} = \frac{296}{11};\)
\( \frac{x}{2} = \frac{21}{11}; \frac{296}{11} – \frac{21}{11} = \frac{275}{11} = 25. \)
Rovnice je splněna.
75. Součet tří čísel je 100. První je o 5 menší než druhé, druhé je o 5 menší než třetí. Najdi čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť prostřední číslo je \( x \). Pak první je \( x – 5 \) a třetí je \( x + 5 \).
Součet:
\( (x-5) + x + (x+5) = 3x = 100 \Rightarrow x = \frac{100}{3} ≈ 33{,}33 \)
⇒ řešení je reálné, ale necelé; nelze při celočíselném zadání. Zadání nevede na celá čísla.
76. Najdi číslo, které je o 10 větší než jeho čtvrtina. Jaké je toto číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označení \( x = \frac{x}{4} + 10 \).
Odečteme čtvrtinu z obou stran:
\( x – \frac{x}{4} = 10 \Rightarrow \frac{4x – x}{4} = 10 \Rightarrow \frac{3x}{4} = 10 \Rightarrow x = \frac{40}{3} ≈ 13{,}33 \).
Číslo je tedy reálné, necelé.
77. Součet dvou po sobě jdoucích lichých čísel a jejich součet množiny je 100. Najdi je.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť čísla jsou \( x \) a \( x+2 \), kde \( x \) je liché. Součet:\p>
\( x + (x+2) = 100 \Rightarrow 2x+2=100 \Rightarrow x=49 \)
Čísla tedy 49 a 51.
Kontrola: 49+51=100.
78. Mysli si číslo. Vynásob ho 7, přičti jeho třetinu, odečti 5 a dostaneš 30. Jaké bylo číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet operací:
\( 7x + \frac{x}{3} – 5 = 30 \)
Vyjádříme společný jmenovatel 3:
\( \frac{21x + x}{3} -5 = 30 \Rightarrow \frac{22x}{3} -5=30 \)
Přičteme 5:
\( \frac{22x}{3}=35 \Rightarrow 22x=105 \Rightarrow x=\frac{105}{22}≈4{,}773 \)
79. Najdi číslo, které je o 15 menší než jeho polovina. Jaké je toto číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rovnice: \( x = \frac{x}{2} – 15 \)
Odečteme půlku:
\( x – \frac{x}{2} = -15 \Rightarrow \frac{x}{2}=-15 \Rightarrow x=-30 \)
Číslo je tedy \( -30 \).
80. Součet dvou po sobě jdoucích prvočísel je 100. Urči je.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jednoznačný pár po sobě jdoucích prvočísel: (47, 53), protože součet je 100. Jiná nepřichází v úvahu – jediné možné.
81. Mysli si číslo. Přičti k němu jeho polovinu, pak přičti 10 a výsledek vyděl 3. Výsledkem je 20. Jaké bylo původní číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme neznámé číslo jako \( x \).
Podle zadání přičteme k \( x \) jeho polovinu, tedy \( \frac{x}{2} \), a potom přičteme 10:
\( x + \frac{x}{2} + 10 \)
Dále tento součet vydělíme 3, přičemž výsledkem je 20:
\[
\frac{x + \frac{x}{2} + 10}{3} = 20
\]
Nyní upravíme výraz v čitateli. Sčítání \( x + \frac{x}{2} \) provádíme s využitím společného jmenovatele:
\[
x + \frac{x}{2} = \frac{2x}{2} + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}
\]
Rovnice tedy vypadá takto:
\[
\frac{\frac{3x}{2} + 10}{3} = 20
\]
Pro snadnější řešení vynásobíme obě strany rovnice 3, abychom se zbavili jmenovatele ve jmenovateli:
\[
\frac{3x}{2} + 10 = 60
\]
Odečteme 10 od obou stran:
\[
\frac{3x}{2} = 50
\]
Nyní vynásobíme rovnicí 2, abychom se zbavili zlomku:
\[
3x = 100
\]
Podělíme obě strany rovnice 3:
\[
x = \frac{100}{3} \approx 33{,}3333
\]
Číslo není celé, ale je to správný matematický výsledek.
Pro ověření dosadíme zpět do původního výrazu:
\[
x + \frac{x}{2} + 10 = \frac{100}{3} + \frac{50}{3} + 10 = \frac{150}{3} + 10 = 50 + 10 = 60
\]
Pak vydělíme 3:
\[
\frac{60}{3} = 20
\]
Výsledek souhlasí s podmínkou zadání, takže řešení je správné.
82. Součet tří po sobě jdoucích celých čísel je 75. Najdi tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť první číslo označíme \( x \). Pak další dvě po sobě jdoucí čísla jsou \( x+1 \) a \( x+2 \).
Jejich součet podle zadání je 75:
\[
x + (x + 1) + (x + 2) = 75
\]
Sečteme členy se \( x \):
\[
3x + 3 = 75
\]
Odečteme 3 od obou stran:
\[
3x = 72
\]
Vydělíme rovnice 3:
\[
x = 24
\]
Tedy první číslo je 24, druhé 25 a třetí 26.
Ověříme součet:
\[
24 + 25 + 26 = 75
\]
Součet odpovídá zadání.
83. Mysli si číslo. Vynásob ho 4, přičti k výsledku 3, odečti 7 a výsledek je 25. Najdi číslo.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme číslo \( x \).
Podle zadání provedeme postup:
Vynásobíme číslo 4: \( 4x \)
Přičteme 3: \( 4x + 3 \)
Odečteme 7: \( 4x + 3 – 7 = 4x – 4 \)
Výsledek je 25, tedy rovnice:
\[
4x – 4 = 25
\]
Přičteme 4 k oběma stranám:
\[
4x = 29
\]
Podělíme 4:
\[
x = \frac{29}{4} = 7{,}25
\]
Pro ověření dosadíme zpět:
\[
4 \times 7{,}25 + 3 – 7 = 29 + 3 – 7 = 25
\]
Rovnice je splněna.
84. Najdi dvě čísla, jejichž součet je 45 a jejich rozdíl je 9.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme čísla \( x \) a \( y \), přičemž \( x > y \).
Zadané podmínky:
\[
x + y = 45
\]
\[
x – y = 9
\]
Sečteme obě rovnice:
\[
(x + y) + (x – y) = 45 + 9 \Rightarrow 2x = 54 \Rightarrow x = 27
\]
Dosadíme hodnotu \( x = 27 \) do první rovnice:
\[
27 + y = 45 \Rightarrow y = 45 – 27 = 18
\]
Čísla jsou tedy 27 a 18.
Ověříme rozdíl:
\[
27 – 18 = 9
\]
Podmínky jsou splněny.
85. Mysli si číslo. Přičti k němu 12, vynásob 5, odečti 20 a výsledek je 60. Urči číslo.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť číslo je \( x \).
Postupujeme podle zadání:
Přičteme 12: \( x + 12 \)
Vynásobíme 5: \( 5(x + 12) \)
Odečteme 20: \( 5(x + 12) – 20 \)
Rovnice podle zadání:
\[
5(x + 12) – 20 = 60
\]
Roznásobíme:
\[
5x + 60 – 20 = 60
\]
Zjednodušíme:
\[
5x + 40 = 60
\]
Odečteme 40:
\[
5x = 20
\]
Podělíme 5:
\[
x = 4
\]
Ověření:
\[
5(4 + 12) – 20 = 5 \times 16 – 20 = 80 – 20 = 60
\]
Podmínka je splněna.
86. Součet čtyř po sobě jdoucích čísel je 50. Najdi tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť první číslo označíme \( x \). Čtyři po sobě jdoucí čísla jsou tedy:
\[
x, \quad x+1, \quad x+2, \quad x+3
\]
Podle zadání je jejich součet 50:
\[
x + (x+1) + (x+2) + (x+3) = 50
\]
Sčítáme členy:
\[
4x + 6 = 50
\]
Odečteme 6:
\[
4x = 44
\]
Podělíme 4:
\[
x = 11
\]
Čísla jsou tedy 11, 12, 13 a 14.
Ověříme součet:
\[
11 + 12 + 13 + 14 = 50
\]
87. Mysli si číslo. Přičti k němu jeho třetinu, odečti 5 a výsledek je 25. Najdi číslo.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme číslo \( x \).
Podle zadání:
\[
x + \frac{x}{3} – 5 = 25
\]
Sčítáme členy s \( x \), nejprve uvedeme na společného jmenovatele:
\[
x + \frac{x}{3} = \frac{3x}{3} + \frac{x}{3} = \frac{4x}{3}
\]
Rovnice tedy vypadá:
\[
\frac{4x}{3} – 5 = 25
\]
Přičteme 5:
\[
\frac{4x}{3} = 30
\]
Vynásobíme 3:
\[
4x = 90
\]
Podělíme 4:
\[
x = \frac{90}{4} = 22{,}5
\]
Ověření:
\[
22{,}5 + \frac{22{,}5}{3} – 5 = 22{,}5 + 7{,}5 – 5 = 25
\]
88. Součet dvou čísel je 100. První číslo je o 40 větší než druhé. Najdi obě čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť druhé číslo označíme \( y \). Pak první číslo je \( y + 40 \).
Podle zadání:
\[
(y + 40) + y = 100
\]
Sčítáme členy:
\[
2y + 40 = 100
\]
Odečteme 40:
\[
2y = 60
\]
Podělíme 2:
\[
y = 30
\]
První číslo:
\[
y + 40 = 30 + 40 = 70
\]
Ověření součtu:
\[
70 + 30 = 100
\]
89. Mysli si číslo, vynásob ho 3, přičti 6, výsledek vyděl 3 a odečti 4. Výsledek je 10. Jaké bylo číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme číslo jako \( x \).
Podle zadání:
\[
\frac{3x + 6}{3} – 4 = 10
\]
Nejprve přičteme 4 k oběma stranám:
\[
\frac{3x + 6}{3} = 14
\]
Vynásobíme 3:
\[
3x + 6 = 42
\]
Odečteme 6:
\[
3x = 36
\]
Podělíme 3:
\[
x = 12
\]
Ověření:
\[
\frac{3 \times 12 + 6}{3} – 4 = \frac{36 + 6}{3} – 4 = \frac{42}{3} – 4 = 14 – 4 = 10
\]
90. Součet pěti po sobě jdoucích čísel je 95. Najdi tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označíme první číslo \( x \). Pak po sobě jdoucí čísla jsou:
\[
x, \quad x+1, \quad x+2, \quad x+3, \quad x+4
\]
Součet je 95:
\[
x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) = 95
\]
Sčítáme:
\[
5x + 10 = 95
\]
Odečteme 10:
\[
5x = 85
\]
Podělíme 5:
\[
x = 17
\]
Čísla jsou tedy 17, 18, 19, 20, 21.
Ověření součtu:
\[
17 + 18 + 19 + 20 + 21 = 95
\]
91. Mysli si číslo. Když ho vynásobíš 4 a k výsledku přičteš 10, dostaneš 50. Jaké je to číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme neznámé číslo jako \( x \). Zadání říká, že když toto číslo vynásobíme 4 a přičteme 10, dostaneme 50. Zapíšeme rovnici:
\[
4x + 10 = 50
\]
Nejprve izolujeme člen s \( x \) tak, že od obou stran rovnice odečteme 10:
\[
4x + 10 – 10 = 50 – 10 \Rightarrow 4x = 40
\]
Nyní vydělíme obě strany rovnice 4, abychom dostali \( x \):
\[
\frac{4x}{4} = \frac{40}{4} \Rightarrow x = 10
\]
Pro ověření dosadíme hodnotu \( x = 10 \) zpět do původní rovnice:
\[
4 \cdot 10 + 10 = 40 + 10 = 50
\]
Výsledek odpovídá zadání, takže řešením je číslo 10.
92. Součet tří po sobě jdoucích celých čísel je 51. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť první z těchto tří po sobě jdoucích celých čísel je \( x \). Pak další dvě jsou \( x+1 \) a \( x+2 \).
Podle zadání platí:
\[
x + (x+1) + (x+2) = 51
\]
Sčítáme levou stranu:
\[
3x + 3 = 51
\]
Odečteme 3 od obou stran:
\[
3x = 48
\]
Vydělíme obě strany rovnice 3:
\[
x = 16
\]
Tedy čísla jsou:
\[
16, \quad 17, \quad 18
\]
Kontrola součtu:
\[
16 + 17 + 18 = 51
\]
93. Mysli si číslo, přidej k němu jeho polovinu a odečti 5. Výsledek je 20. Jaké je to číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme neznámé číslo jako \( x \).
Zadání říká, že když k \( x \) přičteme polovinu \( x \) (tedy \( \frac{x}{2} \)) a odečteme 5, dostaneme 20. Formálně:
\[
x + \frac{x}{2} – 5 = 20
\]
Nejprve sjednotíme členy s \( x \). Spočítáme \( x + \frac{x}{2} \):
\[
x + \frac{x}{2} = \frac{2x}{2} + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}
\]
Rovnice tedy vypadá:
\[
\frac{3x}{2} – 5 = 20
\]
Přidáme 5 na obě strany, abychom izolovali zlomek s \( x \):
\[
\frac{3x}{2} = 25
\]
Nyní vynásobíme obě strany rovnice 2, abychom se zbavili jmenovatele:
\[
3x = 50
\]
Vydělíme obě strany 3, abychom vyjádřili \( x \):
\[
x = \frac{50}{3} \approx 16{,}6667
\]
Ověření: dosadíme \( x = \frac{50}{3} \) zpět:
\[
\frac{50}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{50}{3} – 5 = \frac{50}{3} + \frac{25}{3} – 5 = \frac{75}{3} – 5 = 25 – 5 = 20
\]
Výsledek odpovídá zadání, řešením je tedy \( x = \frac{50}{3} \).
94. V obchodě prodávají balíček s 3 bonbóny za cenu 15 Kč a balíček se 4 bonbóny za cenu 18 Kč. Kolik by mělo stát balení s 7 bonbóny, pokud cena bude přímo úměrná počtu bonbónů?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve určíme cenu za jeden bonbón. Cena by měla být přímo úměrná počtu bonbónů, tedy cena za balení se vypočítá jako počet bonbónů krát jednotková cena.
Máme dvě ceny:
– 3 bonbóny za 15 Kč
– 4 bonbóny za 18 Kč
Nejprve spočítáme cenu za jeden bonbón v obou baleních:
\[
\text{Cena za 1 bonbón z 3-balení} = \frac{15}{3} = 5 \text{ Kč}
\]
\[
\text{Cena za 1 bonbón ze 4-balení} = \frac{18}{4} = 4{,}5 \text{ Kč}
\]
Protože cena by měla být přímo úměrná a konzistentní, musíme předpokládat, že cena za jeden bonbón je stejná, tedy hledáme cenu \( c \), která by vyhovovala oběma případům:
Nastavme jednotkovou cenu jako \( c \), tedy:
\[
3c = 15 \quad \Rightarrow \quad c = 5
\]
\[
4c = 18 \quad \Rightarrow \quad c = \frac{18}{4} = 4{,}5
\]
Získali jsme dva různé výsledky, což znamená, že ceny nejsou přesně přímo úměrné. Pro určení jednotkové ceny použijeme průměr těchto dvou hodnot:
\[
c = \frac{5 + 4{,}5}{2} = 4{,}75 \text{ Kč}
\]
Nyní vypočítáme cenu balení se 7 bonbóny jako:
\[
7 \cdot 4{,}75 = 33{,}25 \text{ Kč}
\]
Tedy cena balení se 7 bonbóny by měla být přibližně 33,25 Kč, pokud by cena byla přímo úměrná počtu bonbónů podle průměrné jednotkové ceny.
95. Na parkovišti jsou auta označená čísly 1 až 10. Auto s číslem 7 zaparkovalo za autem s číslem 3. Kolik aut je mezi autem s číslem 3 a autem s číslem 7?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Aut je celkem 10 s čísly od 1 do 10 uspořádaných v pořadí.
Auto s číslem 7 stojí za autem s číslem 3, tedy v pořadí je 3 před 7.
Potřebujeme zjistit, kolik aut stojí mezi nimi, tedy kolik čísel je mezi 3 a 7.
Čísla mezi 3 a 7 jsou 4, 5, 6.
Celkem tedy 3 auta mezi nimi stojí.
Formálně to můžeme vyjádřit jako:
\[
\text{počet aut mezi } 3 \text{ a } 7 = 7 – 3 – 1 = 3
\]
(odečteme 1, protože nezapočítáváme ani auto číslo 3 ani 7)
96. Součet dvou čísel je 100. Jedno číslo je o 20 větší než druhé. Určete obě čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť menší číslo označíme jako \( x \). Podle zadání je druhé číslo o 20 větší, tedy \( x + 20 \).
Součet těchto čísel je 100, takže:
\[
x + (x + 20) = 100
\]
Sčítáme členy s \( x \):
\[
2x + 20 = 100
\]
Odečteme 20 z obou stran:
\[
2x = 80
\]
Vydělíme 2:
\[
x = 40
\]
Druhé číslo je tedy:
\[
40 + 20 = 60
\]
Ověření součtu:
\[
40 + 60 = 100
\]
97. Číslo je o 15 menší než dvojnásobek jiného čísla. Jejich součet je 45. Najděte obě čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme první číslo jako \( x \) a druhé jako \( y \). Podle zadání platí:
\[
x = 2y – 15
\]
Součet obou čísel je 45:
\[
x + y = 45
\]
Dosadíme první rovnici do druhé:
\[
(2y – 15) + y = 45
\]
Sčítáme \( y \):
\[
3y – 15 = 45
\]
Přičteme 15 k oběma stranám:
\[
3y = 60
\]
Vydělíme 3:
\[
y = 20
\]
Dosadíme zpět do rovnice pro \( x \):
\[
x = 2 \cdot 20 – 15 = 40 – 15 = 25
\]
Ověříme součet:
\[
25 + 20 = 45
\]
98. Z čísla odečtěte 7, výsledek vynásobte 3 a přičtěte 12. Výsledkem je 75. Jaké bylo původní číslo?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Označme původní číslo jako \( x \).
Podle zadání postupujeme následovně:
1) Odečteme 7 od \( x \): \( x – 7 \)
2) Výsledek vynásobíme 3: \( 3(x – 7) \)
3) Přičteme 12: \( 3(x – 7) + 12 \)
Celkový výraz podle zadání je roven 75, tedy:
\[
3(x – 7) + 12 = 75
\]
Nejprve roznásobíme členy v závorce:
\[
3x – 21 + 12 = 75
\]
Sjednotíme konstanty:
\[
3x – 9 = 75
\]
Přičteme 9 k oběma stranám:
\[
3x = 84
\]
Vydělíme 3:
\[
x = 28
\]
Ověření:
\[
3(28 – 7) + 12 = 3 \cdot 21 + 12 = 63 + 12 = 75
\]
99. V obchodě mají dvě krabice s tužkami. V jedné je 12 tužek, v druhé 18. Kolik tužek bude dohromady, když přidáme ještě 7 tužek do první krabice a 3 do druhé?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
První krabice má 12 tužek, přidáme do ní 7, takže nově má:
\[
12 + 7 = 19
\]
Druhá krabice má 18 tužek, přidáme do ní 3, tedy:
\[
18 + 3 = 21
\]
Celkem je tedy tužek:
\[
19 + 21 = 40
\]
100. Součet tří po sobě jdoucích sudých čísel je 78. Najděte tato čísla.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nechť první sudé číslo označíme jako \( x \). Pak další dvě sudá čísla jsou o 2 a 4 větší:
\[
x, \quad x + 2, \quad x + 4
\]
Součet těchto tří čísel je 78, tedy:
\[
x + (x + 2) + (x + 4) = 78
\]
Sčítáme:
\[
3x + 6 = 78
\]
Odečteme 6 z obou stran:
\[
3x = 72
\]
Vydělíme 3:
\[
x = 24
\]
Čísla jsou tedy:
\[
24, \quad 26, \quad 28
\]
Ověření součtu:
\[
24 + 26 + 28 = 78
\]
