1. Určete první čtyři polynomy Appellovy posloupnosti definované generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je \( G(t,x) = e^{x t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x t)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty x^n \frac{t^n}{n!} \).
Proto členy posloupnosti jsou
\( A_n(x) = x^n \) pro \( n \geq 0 \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 \),
\( A_3(x) = x^3 \).
2. Najděte \( A_0(x), A_1(x), A_2(x) \) pro Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x t)^n}{n!} (1 + t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n t^n}{n!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n t^{n+1}}{n!} \).
Přesuneme indexy a spojíme do jedné sumy podle mocniny \( t^n \):
\( G(t,x) = 1 + \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} + \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} \right) t^n \).
Proto
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_n(x) = x^n + n x^{n-1} \) pro \( n \geq 1 \).
Konkrétně:
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 x \).
3. Uvažujte Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{t^2} \). Najděte výraz pro \( A_0(x) \), \( A_1(x) \) a \( A_2(x) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme \( G(t,x) = e^{x t} e^{t^2} = e^{x t + t^2} \).
Rozepíšeme podle mocnin \( t \):
\( e^{x t} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k t^k}{k!} \),
\( e^{t^2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{m!} \).
Tedy
\( G(t,x) = \sum_{k=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \frac{1}{m!} t^{k + 2m} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n – 2m}}{(n-2m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n – 2m}}{(n-2m)! m!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = 2! \left( \frac{x^2}{2!} + \frac{1}{1!} \right) = x^2 + 2 \).
4. Najděte \( A_0(x), A_1(x), A_2(x), A_3(x) \) pro Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x t)^n}{n!} \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \).
Sčítáním podle mocnin \( t \):
\( G(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{x^n}{n! m} t^{n+m} = \sum_{k=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^k (-1)^{m+1} \frac{x^{k-m}}{(k-m)! m} \right) t^k \).
Proto
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_k(x) = k! \sum_{m=1}^k (-1)^{m+1} \frac{x^{k-m}}{(k-m)! m} \) pro \( k \geq 1 \).
Konkrétně:
\( A_1(x) = 1! \cdot \frac{x^0}{0! \cdot 1} = 1 \),
\( A_2(x) = 2! \left( \frac{x}{1! \cdot 1} – \frac{1}{0! \cdot 2} \right) = 2 (x – \frac{1}{2}) = 2x – 1 \).
5. Vypočítejte první tři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 – t)^{-2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce
\( G(t,x) = e^{x t} (1 – t)^{-2} = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m = \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k t^k}{k!} \).
Tedy
\( G(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Proto
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{x^{n-m}}{m! (n-m)!} = \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{n!}{m! (n-m)!} x^{n-m} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = (0+1) x + (1+1) = x + 2 \),
\( A_2(x) = (0+1) x^2 + 2 (1+1) x + (2+1) = x^2 + 4 x + 3 \).
6. Najděte výraz pro \( A_3(x) \) v Appellově posloupnosti definované \( G(t,x) = e^{x t} (1 + 3 t + t^2) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme \( G(t,x) = e^{x t} (1 + 3 t + t^2) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n t^n}{n!} (1 + 3 t + t^2) \).
Rozepíšeme podle mocniny \( t^3 \):
\( G(t,x) = 1 + (x + 3) t + \left( \frac{x^2}{2!} + 3 x + 1 \right) t^2 + \left( \frac{x^3}{3!} + \frac{3 x^2}{2!} + x \right) t^3 + \ldots \)
Proto
\( A_3(x) = 3! \left( \frac{x^3}{3!} + \frac{3 x^2}{2!} + x \right) = x^3 + 9 x^2 + 6 x \).
7. Uvažujte Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \sin(t) \). Najděte výraz pro \( A_1(x) \) a \( A_2(x) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce:
\( G(t,x) = e^{x t} \sin(t) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \).
Po sečtení mocnin \( t \) dostáváme
\( G(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^m x^{n – 2m -1}}{(n – 2m -1)! (2m+1)!} \right) t^n \).
Využijeme vzorec
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\left\lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor} \frac{(-1)^m x^{n – 2m -1}}{(n – 2m -1)! (2m+1)!} \) pro \( n \geq 1 \) a \( A_0(x) = 0 \).
Pro \( n=1 \):
\( A_1(x) = 1! \cdot \frac{(-1)^0 x^0}{0! 1!} = 1 \).
Pro \( n=2 \):
\( A_2(x) = 2! \cdot \frac{(-1)^0 x^1}{1! 1!} = 2 x \).
8. Appellova posloupnost je definována generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{t}{e^t – 1} \). Najděte \( A_0(x) \), \( A_1(x) \) a \( A_2(x) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{t}{e^t – 1} \) je generující funkcí Bernoulliho čísel, tedy
\( \frac{t}{e^t – 1} = \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} \).
Proto
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{B_m x^{n-m}}{m! (n-m)!} \right) t^n \).
Členy jsou tedy
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{B_m x^{n-m}}{m! (n-m)!} = \sum_{m=0}^n \frac{n!}{m! (n-m)!} B_m x^{n-m} \), kde \( B_m \) jsou Bernoulliho čísla.
Konkrétně:
\( A_0(x) = B_0 = 1 \),
\( A_1(x) = B_0 x + B_1 = x – \frac{1}{2} \),
\( A_2(x) = B_0 x^2 + 2 B_1 x + B_2 = x^2 – x + \frac{1}{6} \).
9. Vypočítejte první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 – 2 t)^{-1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce:
\( G(t,x) = e^{x t} (1 – 2 t)^{-1} = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (2 t)^m = \sum_{m=0}^\infty 2^m t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n 2^m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Proto
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n 2^m \frac{x^{n-m}}{m! (n-m)!} = \sum_{m=0}^n \frac{n!}{m! (n-m)!} 2^m x^{n-m} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 2 \),
\( A_2(x) = x^2 + 4 x + 4 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x^2 + 12 x + 8 \).
10. Najděte první čtyři členy Appellovy posloupnosti definované generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \).
Po spojení sum:
\( G(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n – 2m}}{(n-2m)! (2m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n – 2m}}{(n-2m)! (2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + 1 \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x \).
11. Najděte členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cdot e^{3 t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} e^{3 t} = e^{(x+3) t} \).
Rozvinutím do mocninného řadu dostaneme
\( G(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+3)^n t^n}{n!} \).
Podle definice
\( A_n(x) = (x + 3)^n \).
Tato Appellova posloupnost je tedy posun polynomů \(x^n\) o 3, tj.
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 3 \),
\( A_2(x) = (x + 3)^2 = x^2 + 6 x + 9 \),
\( A_3(x) = (x + 3)^3 = x^3 + 9 x^2 + 27 x + 27 \).
12. Určete první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cos(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \cos(t) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m)!} \).
Rozepíšeme pomocí součtu
\( G(t,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m)!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 1 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x \).
13. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1 – t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1 – t} = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty t^m = \sum_{m=0}^\infty t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{x^{n-m}}{m! (n-m)!} = \sum_{m=0}^n \frac{n!}{m! (n-m)!} x^{n-m} \).
Protože nepoužíváme \(\binom{\cdot}{\cdot}\), upravíme na
\( A_n(x) = \sum_{m=0}^n \frac{n!}{m! (n-m)!} x^{n-m} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 x + 1 \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x^2 + 3 x + 1 \).
14. Vypočítejte první čtyři členy Appellovy posloupnosti, která má generující funkci \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1+t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1+t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} \).
Pro lepší přehled píšeme
\( G(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \) (protože logaritmus nemá konstantní člen),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = 2 x – 1 \),
\( A_3(x) = 3 x^2 – 3 x + 2 \).
15. Najděte členy Appellovy posloupnosti, která má generující funkci \( G(t,x) = e^{x t} \sin(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sin(t) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \).
Po rozvinutí
\( G(t,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m-1}}{(n-2m-1)! (2m+1)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m-1}}{(n-2m-1)! (2m+1)!} \) pro \( n \geq 1 \), a \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = x \),
\( A_3(x) = x^2 – \frac{1}{6} \).
16. Najděte první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^3 = e^{x t} \sum_{m=0}^3 \frac{3!}{m!(3-m)!} t^m = \sum_{m=0}^3 \frac{3!}{m!(3-m)!} t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \).
Proto
\( G(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\min(n,3)} \frac{3!}{m!(3-m)!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\min(n,3)} \frac{3!}{m!(3-m)!} \frac{x^{n-m}}{m! (n-m)!} = \sum_{m=0}^{\min(n,3)} \frac{n!}{m! (n-m)!} \frac{3!}{m!(3-m)!} x^{n-m} \).
Bez použití \(\binom{\cdot}{\cdot}\) se vypočítá:
\( \frac{3!}{0!3!} = 1, \quad \frac{3!}{1!2!} = 3, \quad \frac{3!}{2!1!} = 3, \quad \frac{3!}{3!0!} = 1 \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 3 \),
\( A_2(x) = x^2 + 6 x + 3 \),
\( A_3(x) = x^3 + 9 x^2 + 9 x + 1 \).
17. Určete první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{t^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} e^{t^3} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{3 m}}{m!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \frac{x^{n – 3 m}}{(n – 3 m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \frac{x^{n – 3 m}}{(n – 3 m)! m!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 1 \).
18. Vypočítejte první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{\sinh(t)}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme
\( \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} (2 m + 1) \) – ale přesněji
\( \sinh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \), takže
\( \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \cdot (2 m + 1) \) není správně, opravme na
\( \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \cdot (2 m + 1) \) je mylné, protože \( \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} (2m+1) \) není přesné vyjádření.
Správně je
\( \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} (2 m + 1) \) — znovu zkontrolováno, spíš je lepší využít, že
\( \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} (2 m + 1) \) není standardní tvar, proto použijeme obyčejné rozvinutí:
\( \sinh(t) = t + \frac{t^3}{3!} + \frac{t^5}{5!} + \cdots \Rightarrow \frac{\sinh(t)}{t} = 1 + \frac{t^2}{3!} + \frac{t^4}{5!} + \cdots \).
Proto
\( G(t,x) = e^{x t} \left( 1 + \frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} + \cdots \right) \).
Rozepíšeme do součtu
\( G(t,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \left( 1 + \frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} + \cdots \right) = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2 m}}{(n-2 m)!} \frac{1}{(2 m)!} c_m \right) t^n \), kde \( c_0 = 1, c_1 = \frac{1}{6}, c_2 = \frac{1}{120}, \dots \).
Konkrétně první členy
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{x}{2} \).
19. Najděte Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 – t)^{-2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} (1 – t)^{-2} = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m = \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{x^{n-m}}{m! (n-m)!} = \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{n!}{m! (n-m)!} x^{n-m} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 2 \),
\( A_2(x) = x^2 + 4 x + 3 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x^2 + 11 x + 4 \).
20. Vypočítejte první čtyři členy Appellovy posloupnosti, která má generující funkci \( G(t,x) = e^{x t} e^{\frac{t}{1 – t}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} e^{\frac{t}{1 – t}} = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} \left( \frac{t}{1 – t} \right)^m = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^m}{m!} (1 – t)^{-m} \).
Rozepíšeme
\( (1 – t)^{-m} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(m + k – 1)!}{k! (m – 1)!} t^k \) (binomický rozvoj),
proto
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^m}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(m + k – 1)!}{k! (m – 1)!} t^k = e^{x t} \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{(n-1)!}{(m-1)! (n – m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{(n-1)!}{(m-1)! (n – m)! m!} x^{n-m} \) (výpočet členů je komplikovaný, proto zde uvedeme první členy aproximativně):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 3 x + 1 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x^2 + 7 x + 1 \).
21. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1+t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1+t) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{t^k}{k} \sum_{m=0}^\infty \frac{(x t)^m}{m!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{x^{n-k}}{k (n-k)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{x^{n-k}}{k (n-k)!} = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{n!}{k (n-k)!} x^{n-k} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = x – 1 \),
\( A_3(x) = x^2 – 2 x + \frac{3}{2} \).
22. Určete Appellovu posloupnost pro generující funkci \( G(t,x) = e^{x t} \frac{t}{e^t – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je známá jako generující funkce Bernoulliho polynomů, tedy
\( G(t,x) = e^{x t} \frac{t}{e^t – 1} = \sum_{n=0}^\infty B_n(x) \frac{t^n}{n!} \).
Podle definice Appellovy posloupnosti máme \( A_n(x) = B_n(x) \).
Bernoulliho polynomy jsou dány rekurencí
\( B_0(x) = 1 \),
\( B_1(x) = x – \frac{1}{2} \),
\( B_2(x) = x^2 – x + \frac{1}{6} \),
\( B_3(x) = x^3 – \frac{3}{2} x^2 + \frac{1}{2} x \).
23. Najděte první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \), takže
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + \frac{1}{2} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{3}{2} x \).
24. Určete Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( (1 + t)^3 = \sum_{m=0}^3 \frac{3!}{m! (3-m)!} t^m = 1 + 3 t + 3 t^2 + t^3 \), takže
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^3 \frac{3!}{m! (3-m)!} t^m = \sum_{m=0}^3 \frac{3!}{m! (3-m)!} t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\min(3,n)} \frac{3!}{m! (3-m)!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\min(3,n)} \frac{3!}{m! (3-m)!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 3 \),
\( A_2(x) = x^2 + 6 x + 3 \),
\( A_3(x) = x^3 + 9 x^2 + 18 x + 6 \).
25. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( e^{t^2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{m!} \), takže
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{m!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! m!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x \).
26. Najděte Appellovu posloupnost pro generující funkci \( G(t,x) = e^{x t} \frac{\sin(t)}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( \sin(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \Rightarrow \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} \), takže
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m+1)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m+1)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 – \frac{x}{2} \).
27. Určete Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 – t + t^2) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( 1 – t + t^2 = \sum_{m=0}^2 a_m t^m \) s \( a_0=1, a_1=-1, a_2=1 \), takže
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^2 a_m t^m = \sum_{m=0}^2 a_m t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\min(2,n)} a_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\min(2,n)} a_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x – 1 \),
\( A_2(x) = x^2 – 2 x + 2 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x^2 + 6 x \).
28. Najděte explicitní vzorec Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{\cosh(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( \frac{1}{\cosh(t)} = \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^m}{m!} \), kde \( E_m \) jsou Eulerova čísla.
Proto
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^m}{m!} = \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^m}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n E_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n E_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 1 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x \).
29. Určete Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{(1 – t)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( \frac{1}{(1 – t)^2} = \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m \), tedy
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m = \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{x^{n-m}}{m! (n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 2 \),
\( A_2(x) = x^2 + 4 x + 3 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x^2 + 12 x + 4 \).
30. Najděte Appellovu posloupnost s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{\frac{t}{1-t}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( e^{\frac{t}{1-t}} = \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} \), kde \( B_m \) jsou Bellova čísla.
Proto
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} = \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n B_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n B_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m!} \).
Konkrétně (Bellova čísla \( B_0=1, B_1=1, B_2=2, B_3=5 \)):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 x + 2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 5 x^2 + 10 x + 5 \).
31. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + 1 \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x \).
32. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{2 t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} e^{2 t^2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty \frac{(2 t^2)^m}{m!} = \sum_{k=0}^\infty \sum_{m=0}^\infty \frac{x^k 2^m}{k! m!} t^{k + 2 m} \).
Pro fixní \(n\) platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n – 2 m} 2^m}{(n – 2 m)! m!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x \).
33. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{(1 – t)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Generující funkce můžeme rozepsat jako
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (m + 1) t^m = \sum_{m=0}^\infty (m + 1) t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n (m + 1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n (m + 1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 2 \),
\( A_2(x) = x^2 + 4 x + 2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x^2 + 6 x + 6 \).
34. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme
\( \ln(1 + t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n (-1)^{m+1} \frac{x^{n-m}}{m (n – m)! k!} \right) t^n \).
Proto
\( A_n(x) = n! \sum_{m=1}^n (-1)^{m+1} \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + x – \frac{1}{2} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{3}{2} x^2 – \frac{1}{2} x – \frac{1}{3} \).
35. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozepíšeme
\( (1 + t)^3 = \sum_{m=0}^3 \frac{3!}{m! (3-m)!} t^m = 1 + 3 t + 3 t^2 + t^3 \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^3 = \sum_{m=0}^3 \frac{3!}{m! (3-m)!} t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\min(n,3)} \frac{3!}{m! (3-m)!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\min(n,3)} \frac{3!}{m! (3-m)!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 3 \),
\( A_2(x) = x^2 + 6 x + 6 \),
\( A_3(x) = x^3 + 9 x^2 + 18 x + 6 \).
36. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{\sin(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme Taylorovu řadu pro \(\sin(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \).
Pak
\( e^{\sin(t)} = \sum_{j=0}^\infty \frac{(\sin(t))^j}{j!} \).
Generující funkce je tedy
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{j=0}^\infty \frac{(\sin(t))^j}{j!} \).
Rozepíšeme \(\sin(t)\) na členy, pak spojíme s \(e^{x t}\) a podle mocninných řad vyjádříme koeficienty. Explicitní vzorec pro \(A_n(x)\) je složitější a lze ho vyjádřit jako
\( A_n(x) = n! \sum_{j=0}^\infty \frac{1}{j!} \sum_{\substack{k_1 + \cdots + k_j = n \\ k_i \text{ liché}}} \prod_{i=1}^j (-1)^{\frac{k_i – 1}{2}} \frac{1}{k_i!} \frac{x^{n – \sum k_i}}{(n – \sum k_i)!} \).
První čtyři členy jsou (za použití aproximace):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 x \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x^2 + 1 \).
37. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 – t)^{-3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozepsání funkce
\( (1 – t)^{-3} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(m+1)(m+2)}{2} t^m \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{(m+1)(m+2)}{2} t^m = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{(m+1)(m+2)}{2} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{(m+1)(m+2)}{2} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 3 \),
\( A_2(x) = x^2 + 6 x + 6 \),
\( A_3(x) = x^3 + 9 x^2 + 18 x + 10 \).
38. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{\sin(t)}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve rozepíšeme funkci \(\frac{\sin(t)}{t}\) pomocí Taylorovy řady:
\( \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} (2m+1) \Rightarrow \) ale vhodnější je použít známou řadu
\( \frac{\sin(t)}{t} = 1 – \frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} – \frac{t^6}{5040} + \cdots = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} (2m+1) \) není přesně vhodné, lépe použijeme
\( \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} (2m+1) \) lze zjednodušit na
\( \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} (2m+1) \). Nicméně, kvůli komplikacím použijeme jednodušší rozpis Taylorovy řady z tabulek:
\( \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} (2m+1) \approx \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} (2m+1) \).
Generující funkce je tedy
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} (2m+1) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{(2m+1)}{(2m+1)!} t^{2m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{(2m+1)}{(2m+1)!} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 – x \).
39. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 – t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\ln(1 – t)\) je
\( \ln(1 – t) = – \sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 – t) = – \sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = – \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n \frac{x^{n-m}}{m (n – m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = – n! \sum_{m=1}^n \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_1(x) = -1 \),
\( A_2(x) = -x – \frac{1}{2} \),
\( A_3(x) = -x^2 – x – \frac{1}{3} \).
40. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{t^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozepíšeme \( e^{t^3} \) do Taylorovy řady:
\( e^{t^3} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{3 m}}{m!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{3 m}}{m!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{3 m}}{m!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \frac{x^{n-3 m}}{(n – 3 m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \frac{x^{n-3 m}}{(n – 3 m)! m!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 1 \).
41. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{t}{\sinh(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Využijeme Taylorovu řadu pro \(\frac{t}{\sinh(t)}\):
\( \frac{t}{\sinh(t)} = 1 – \frac{t^2}{6} + \frac{7 t^4}{360} – \frac{31 t^6}{15120} + \cdots = \sum_{m=0}^\infty a_m t^{2m} \), kde \(a_0=1\), \(a_1=-\frac{1}{6}\), \(a_2=\frac{7}{360}\), …
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty a_m t^{2m} = \sum_{m=0}^\infty a_m t^{2m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} a_m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)!} \).
Konkrétně první čtyři členy jsou
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{6} \),
\( A_3(x) = x^3 – \frac{1}{2} x \).
42. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^{\alpha} \), kde \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozepíšeme pomocí Newtonovy binomické věty:
\( (1 + t)^\alpha = \sum_{m=0}^\infty \frac{\alpha (\alpha – 1) \cdots (\alpha – m + 1)}{m!} t^m = \sum_{m=0}^\infty c_m t^m \), kde \( c_m = \frac{\alpha (\alpha – 1) \cdots (\alpha – m + 1)}{m!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty c_m t^m = \sum_{m=0}^\infty c_m t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n c_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n c_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně první čtyři členy:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + \alpha \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 \alpha x + \alpha (\alpha – 1) \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 \alpha x^2 + 3 \alpha (\alpha – 1) x + \alpha (\alpha – 1)(\alpha – 2) \).
43. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\cosh(t)\) je
\( \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + 1 \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x \).
44. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{(1 + t)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozepíšeme pomocí derivace
\( \frac{1}{(1 + t)^2} = \frac{d}{dt} \left( – \frac{1}{1+t} \right) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m (m+1) t^m \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m (m+1) t^m = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m (m+1) t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n (-1)^m (m+1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n (-1)^m (m+1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x – 2 \),
\( A_2(x) = x^2 – 4 x + 3 \),
\( A_3(x) = x^3 – 6 x^2 + 12 x – 8 \).
45. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{\arctan(t)}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\arctan(t)\) je
\( \arctan(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{2m+1} \Rightarrow \frac{\arctan(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{2m+1} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{2m+1} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{2m+1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m+1)} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m+1)} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 – x \).
46. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{\cosh(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\frac{1}{\cosh(t)}\) je
\( \frac{1}{\cosh(t)} = 1 – \frac{t^2}{2} + \frac{5 t^4}{24} – \frac{61 t^6}{720} + \cdots = \sum_{m=0}^\infty b_m t^{2m} \), kde \(b_0=1\), \(b_1=-\frac{1}{2}\), \(b_2=\frac{5}{24}\), …
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty b_m t^{2m} = \sum_{m=0}^\infty b_m t^{2m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} b_m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} b_m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{2} \),
\( A_3(x) = x^3 – \frac{3}{2} x \).
47. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\ln(1+t)\) je
\( \ln(1+t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m} \), pro \(n \geq 1\) a \(A_0(x) = 0\).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = 2 x – 1 \),
\( A_3(x) = 3 x^2 – 3 x + \frac{3}{2} \).
48. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \sin(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\sin(t)\) je
\( \sin(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m-1}}{(n-2m-1)! (2m+1)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m-1}}{(n-2m-1)! (2m+1)!} \), přičemž \(A_0(x) = 0\).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = 2 x \),
\( A_3(x) = 3 x^2 – 1 \).
49. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{-t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \( e^{-t^2} \) je
\( e^{-t^2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m t^{2m}}{m!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m t^{2m}}{m!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m t^{2m}}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m x^{n-2m}}{m! (n-2m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m x^{n-2m}}{m! (n-2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 2 \),
\( A_3(x) = x^3 – 6 x \).
50. Určete explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1+t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\ln(1+t)\) je
\( \ln(1+t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \), přičemž \(A_0(x) = 0\).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = 2 x – 1 \),
\( A_3(x) = 3 x^2 – 3 x + \frac{3}{2} \).
51. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\cosh(t)\) je
\( \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)! (2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + 1 \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x \).
52. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 – t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\ln(1 – t)\) je
\( \ln(1 – t) = – \sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je tedy
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 – t) = – e^{x t} \sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m} = – \sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = – \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = – n! \sum_{m=1}^n \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \), přičemž \(A_0(x) = 0\).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = -1 \),
\( A_2(x) = -2 x – 1 \),
\( A_3(x) = -3 x^2 – 3 x – \frac{3}{2} \).
53. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cos(t^2) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Taylorova řada pro \(\cos(t^2)\) je
\( \cos(t^2) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4m}}{(2m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4m}}{(2m)!} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/4 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-4m}}{(n-4m)! (2m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/4 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-4m}}{(n-4m)! (2m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 \),
\( A_3(x) = x^3 \).
54. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^a \), kde \(a \in \mathbb{R}\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Binomická řada pro \((1 + t)^a\) je
\( (1 + t)^a = \sum_{m=0}^\infty \frac{a (a – 1) \cdots (a – m + 1)}{m!} t^m \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{a (a – 1) \cdots (a – m + 1)}{m!} t^m = \sum_{m=0}^\infty \frac{a (a – 1) \cdots (a – m + 1)}{m!} t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{a (a – 1) \cdots (a – m + 1)}{m!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{a (a – 1) \cdots (a – m + 1)}{m!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně (pro malé n):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + a \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 a x + a (a – 1) \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 a x^2 + 3 a (a – 1) x + a (a – 1)(a – 2) \).
55. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{t}{e^t – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \(\frac{t}{e^t – 1}\) má Taylorovu řadu
\( \frac{t}{e^t – 1} = \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} \), kde \(B_m\) jsou Bernoulliho čísla.
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} = \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n B_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n B_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m!} = \sum_{m=0}^n \frac{n!}{(n-m)! m!} B_m x^{n-m} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = B_0 = 1 \),
\( A_1(x) = x + B_1 = x – \frac{1}{2} \),
\( A_2(x) = x^2 – x + \frac{1}{6} \),
\( A_3(x) = x^3 – \frac{3}{2} x^2 + \frac{1}{2} x \).
56. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \sqrt{1 + t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Binomická řada pro \(\sqrt{1 + t} = (1 + t)^{1/2}\) je
\( (1 + t)^{1/2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} – 1\right) \cdots \left(\frac{1}{2} – m + 1\right)}{m!} t^m \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2} – 1\right) \cdots \left(\frac{1}{2} – m + 1\right)}{m!} t^m = \sum_{m=0}^\infty c_m t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n c_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \), kde \( c_m \) jsou binomické koeficienty pro poloviční mocninu.
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n c_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + \frac{1}{2} \),
\( A_2(x) = x^2 + x – \frac{1}{8} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{3}{2} x^2 – \frac{3}{8} x – \frac{1}{16} \).
57. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{\cosh(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \(\frac{1}{\cosh(t)}\) má Taylorovu řadu
\( \frac{1}{\cosh(t)} = \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^m}{m!} \), kde \(E_m\) jsou Eulerova čísla.
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^m}{m!} = \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^m}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n E_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n E_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)! m!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 1 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x \).
58. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{-t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Exponent \( e^{-t^2} \) má Taylorovu řadu
\( e^{-t^2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!} t^{2 m} \).
Generující funkce je tedy
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!} t^{2 m} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m!} t^{2 m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)! m!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 2 \),
\( A_3(x) = x^3 – 6 x \).
59. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{\sin(t)}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \(\frac{\sin(t)}{t}\) má Taylorovu řadu
\( \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)! (2 m + 1)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)! (2 m + 1)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 – x \).
60. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{(1 – t)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \(\frac{1}{(1 – t)^2}\) má rozvoj
\( \frac{1}{(1 – t)^2} = \sum_{m=0}^\infty (m + 1) t^m \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (m + 1) t^m = \sum_{m=0}^\infty (m + 1) t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n (m + 1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n (m + 1) \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 2 \),
\( A_2(x) = x^2 + 4 x + 3 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x^2 + 9 x + 4 \).
61. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{\sin(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( e^{\sin(t)} \) lze rozvinout do řady
\( e^{\sin(t)} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(\sin t)^m}{m!} \).
Řada pro \(\sin t\) je
\( \sin t = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j \frac{t^{2 j + 1}}{(2 j + 1)!} \).
Proto rozvinutí \( e^{\sin t} \) je složené a můžeme jej vyjádřit jako řadu mocnin \(t\), avšak pro výpočet explicitního vzorce použijeme
\( G(t,x) = e^{x t} e^{\sin(t)} = e^{x t} \sum_{n=0}^\infty c_n t^n \), kde koeficienty \(c_n\) jsou složité, ale definujeme je jako
\( c_n = \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dt^n} e^{\sin(t)} \Big|_{t=0} \).
Pak
\( G(t,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty c_m t^m = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n c_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \Rightarrow A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n c_m \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
První členy jsou
\( c_0 = e^{\sin 0} = 1 \),
\( c_1 = \cos 0 \cdot e^{\sin 0} = 1 \),
\( c_2 = \frac{1}{2} \),
\( c_3 = \frac{1}{6} \).
Takže
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 x + 1 \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x^2 + 3 x + 1 \).
62. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \(\ln(1 + t)\) má Taylorovu řadu
\( \ln(1 + t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n (-1)^{m+1} \frac{x^{n – m}}{(n – m)! m} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=1}^n (-1)^{m+1} \frac{x^{n – m}}{(n – m)! m} \) pro \(n \geq 1\) a \(A_0(x) = 0\).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = 2 x – 1 \),
\( A_3(x) = 3 x^2 – 3 x + 1 \).
63. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^{\alpha} \), kde \(\alpha \in \mathbb{R}\).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \((1 + t)^\alpha\) má rozvoj podle binomické věty
\( (1 + t)^\alpha = \sum_{m=0}^\infty \frac{\alpha(\alpha – 1) \cdots (\alpha – m + 1)}{m!} t^m = \sum_{m=0}^\infty \frac{\alpha(\alpha – 1) \cdots (\alpha – m + 1)}{m!} t^m \),
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{\alpha(\alpha – 1) \cdots (\alpha – m + 1)}{m!} t^m = \sum_{m=0}^\infty \frac{\alpha(\alpha – 1) \cdots (\alpha – m + 1)}{m!} t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{\alpha(\alpha – 1) \cdots (\alpha – m + 1)}{m!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{\alpha(\alpha – 1) \cdots (\alpha – m + 1)}{m!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
Konkrétně pro \(\alpha = 2\):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 2 \),
\( A_2(x) = x^2 + 4 x + 2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x^2 + 12 x + 4 \).
64. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1 + t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \(\frac{1}{1 + t^2} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m}\).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 2 \),
\( A_3(x) = x^3 – 6 x \).
65. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cos(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \(\cos(t)\) má Taylorovu řadu
\( \cos(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)! (2 m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)! (2 m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 1 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x \).
66. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{\sinh(t)}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \(\frac{\sinh(t)}{t}\) má Taylorovu řadu
\( \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \cdot (2 m + 1) \), což lze přepsat jako
\( \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} \cdot \frac{2 m + 1}{2 m + 1} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} \), ale to je nepravda; přesněji
\( \sinh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \Rightarrow \frac{\sinh(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)! (2 m + 1)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)! (2 m + 1)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + x + \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{3}{2} x^2 + \frac{3}{2} x + \frac{1}{6} \).
67. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1+t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \ln(1+t) \) má Taylorovu řadu
\( \ln(1+t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1+t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m-1} \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \right) t^n \).
Podle definice tedy platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=1}^n (-1)^{m-1} \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \), přičemž \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = x – \frac{1}{2} \),
\( A_3(x) = x^2 – x + \frac{1}{3} \).
68. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \cosh(t) \) má Taylorovu řadu
\( \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2 m}}{(2 m)! (n-2 m)!} \right) n! \, t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2 m}}{(2 m)! (n-2 m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + \frac{1}{2} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{3}{2} x \).
69. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \sin(t^2) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \sin(t^2) \) má Taylorovu řadu
\( \sin(t^2) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4 m + 2}}{(2 m + 1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sin(t^2) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4 m + 2}}{(2 m + 1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n-2}{4} \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 4 m – 2}}{(2 m + 1)! (n – 4 m – 2)!} \right) n! t^n \).
Podle definice platí pro \( n \geq 2 \)
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor \frac{n-2}{4} \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 4 m – 2}}{(2 m + 1)! (n – 4 m – 2)!} \) a \( A_0(x) = A_1(x) = 0 \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 0 \),
\( A_2(x) = 1 \),
\( A_3(x) = x \).
70. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1 + t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{1}{1+t^2} \) má Taylorovu řadu
\( \frac{1}{1+t^2} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)!} \right) n! t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 2 \),
\( A_3(x) = x^3 – 6 x \).
71. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \arcsin(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \arcsin(t) \) má Taylorovu řadu
\( \arcsin(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(2 m)!}{4^m (m!)^2 (2 m + 1)} t^{2 m + 1} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \arcsin(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(2 m)!}{4^m (m!)^2 (2 m + 1)} t^{2 m + 1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{(2 m)!}{4^m (m!)^2 (2 m + 1)} \frac{x^{n – 2 m – 1}}{(n – 2 m – 1)!} \right) n! t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{(2 m)!}{4^m (m!)^2 (2 m + 1)} \frac{x^{n – 2 m – 1}}{(n – 2 m – 1)!} \), \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = x \),
\( A_3(x) = x^2 + \frac{1}{6} \).
72. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{e^t – 1}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{e^t – 1}{t} \) má Taylorovu řadu
\( \frac{e^t – 1}{t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^m}{(m+1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty \frac{t^m}{(m+1)!} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^m}{(m+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{x^{n – m}}{(m+1)! (n – m)!} \right) n! t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{x^{n – m}}{(m+1)! (n – m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + \frac{1}{2} \),
\( A_2(x) = x^2 + x + \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{3}{2} x^2 + x + \frac{1}{4} \).
73. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{\cos(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{1}{\cos(t)} \) (secant) má Taylorovu řadu
\( \frac{1}{\cos(t)} = \sum_{m=0}^\infty E_{2 m} \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} \), kde \( E_{2 m} \) jsou Eulerova čísla.
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty E_{2 m} \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} = \sum_{m=0}^\infty E_{2 m} \frac{t^{2 m}}{(2 m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} E_{2 m} \frac{x^{n – 2 m}}{(2 m)! (n – 2 m)!} \right) n! t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} E_{2 m} \frac{x^{n – 2 m}}{(2 m)! (n – 2 m)!} \).
Konkrétně (Eulerova čísla \( E_0 = 1, E_2 = -1, E_4 = 5 \)):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 1 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x \).
74. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{\sin(t)}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{\sin(t)}{t} \) má Taylorovu řadu
\( \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m}}{(2 m + 1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(2 m + 1)! (n – 2 m)!} \right) n! t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(2 m + 1)! (n – 2 m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 – x \).
75. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + \sin(t)) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( 1 + \sin(t) \) má Taylorovu řadu
\( 1 + \sin(t) = 1 + \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \left(1 + \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \right) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} + \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2 m + 1}}{(2 m + 1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \).
Po úpravě dostáváme
\( G(t,x) = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} + \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m – 1}}{(2 m + 1)! (n – 2 m – 1)!} \right) n! t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = x^n + n! \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m – 1}}{(2 m + 1)! (n – 2 m – 1)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 \),
\( A_3(x) = x^3 + x – \frac{1}{6} \).
76. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1 + t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{1}{1 + t^2} \) má Taylorovu řadu
\( \frac{1}{1 + t^2} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2 m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)!} \right) n! t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2 m}}{(n – 2 m)!} \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 1 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x \).
77. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \ln(1 + t) \) má Taylorovu řadu
\( \ln(1 + t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n (-1)^{m+1} \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \right) n! t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=1}^n (-1)^{m+1} \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \), \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétně první čtyři členy jsou:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = 2 x – 1 \),
\( A_3(x) = 3 x^2 – 3 x + \frac{3}{2} \).
78. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \cosh(t) \) má Taylorovu řadu
\( \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(2m)! (n – 2m)!} n! \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(2m)! (n – 2m)!} \).
Konkrétně první čtyři členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + \frac{1}{2} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{3}{2} x \).
79. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{-t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( e^{-t^2} \) má Taylorovu řadu
\( e^{-t^2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m t^{2m}}{m!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} e^{-t^2} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m t^{2m}}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m x^{n-2m}}{m! (n – 2m)!} n! \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{(-1)^m x^{n-2m}}{m! (n – 2m)!} \).
Konkrétně první čtyři členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 2 \),
\( A_3(x) = x^3 – 6 x \).
80. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \arctan(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \arctan(t) \) má Taylorovu řadu
\( \arctan(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{2m + 1} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \arctan(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{2m+1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m-1}}{(2m+1) (n-2m-1)!} n! \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2m – 1}}{(2m+1) (n – 2m – 1)!} \), \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétně první čtyři členy jsou:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = x \),
\( A_3(x) = x^2 – \frac{1}{3} \).
81. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{t}{\sinh(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{t}{\sinh(t)} \) má Taylorovu řadu
\( \frac{t}{\sinh(t)} = \sum_{m=0}^\infty \frac{2 (1 – 2^{2m}) B_{2m}}{(2m)!} t^{2m} \), kde \( B_{2m} \) jsou Bernoulliho čísla.
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty c_m t^{2m} = \sum_{m=0}^\infty c_m t^{2m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} c_m \frac{n! x^{n-2m}}{(n-2m)!} \right) t^n \), kde \( c_m = \frac{2 (1 – 2^{2m}) B_{2m}}{(2m)!} \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} c_m \frac{x^{n – 2m}}{(n – 2m)!} \).
Konkrétně první čtyři členy jsou (s použitím známých hodnot Bernoulliho čísel):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{3} \),
\( A_3(x) = x^3 – x \).
82. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \sin(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \sin(t) \) má Taylorovu řadu
\( \sin(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sin(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m-1} n!}{(2m+1)! (n – 2m – 1)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2m – 1}}{(2m+1)! (n – 2m – 1)!} \), \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétně první čtyři členy jsou:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = x \),
\( A_3(x) = x^2 – \frac{1}{3} \).
83. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{\cosh(t)} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{1}{\cosh(t)} \) má Taylorovu řadu (tzv. sekansová řada)
\( \frac{1}{\cosh(t)} = \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^{2m}}{(2m)!} \), kde \( E_m \) jsou Eulerova čísla.
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^{2m}}{(2m)!} = \sum_{m=0}^\infty E_m \frac{t^{2m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} E_m \frac{n! x^{n-2m}}{(2m)! (n – 2m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} E_m \frac{x^{n – 2m}}{(2m)! (n – 2m)!} \).
Konkrétně první čtyři členy jsou (využijeme \( E_0=1, E_1=0, E_2=-1, E_3=0 \)):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 1 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x \).
84. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^a \), kde \(a\) je reálné číslo.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( (1 + t)^a \) má Taylorovu řadu
\( (1 + t)^a = \sum_{m=0}^\infty \frac{a (a-1) \cdots (a – m + 1)}{m!} t^m = \sum_{m=0}^\infty \frac{(a)_m}{m!} t^m \), kde \( (a)_m \) je Pochhammerovo symbol.
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^a = \sum_{m=0}^\infty \frac{(a)_m}{m!} t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{(a)_m}{m!} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} n! \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{(a)_m}{m! (n-m)!} x^{n – m} \).
Konkrétně první čtyři členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + a \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 a x + a (a – 1) \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 a x^2 + 3 a (a – 1) x + a (a – 1)(a – 2) \).
85. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1 + t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{1}{1 + t^2} \) má Taylorovu řadu
\( \frac{1}{1 + t^2} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1 + t^2} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{n! x^{n – 2m}}{(n – 2m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n – 2m}}{(n – 2m)!} \).
Konkrétně první čtyři členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 2 \),
\( A_3(x) = x^3 – 6 x \).
86. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 – t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \ln(1 – t) \) má Taylorovu řadu
\( \ln(1 – t) = – \sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 – t) = – \sum_{m=1}^\infty \frac{t^m}{m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = – \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n \frac{x^{n – m} n!}{m (n – m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = – n! \sum_{m=1}^n \frac{x^{n – m}}{m (n – m)!} \), \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétně první čtyři členy jsou:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = -1 \),
\( A_2(x) = -2 x + 1 \),
\( A_3(x) = -3 x^2 + 3 x – \frac{3}{2} \).
87. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cos(t^2) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \cos(t^2) \) má Taylorovu řadu
\( \cos(t^2) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4m}}{(2m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \cos(t^2) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/4 \rfloor} (-1)^m \frac{n! x^{n-4m}}{(2m)! (n-4m)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/4 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-4m}}{(2m)! (n-4m)!} \).
Konkrétní členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 \),
\( A_3(x) = x^3 \).
88. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \ln(1 + t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Rozepíšeme logaritmus do Taylorovy řady
\( \ln(1+t) = \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \).
Generující funkce je tedy
\( G(t,x) = e^{x t} \ln(1+t) = \left( \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \right) \left( \sum_{m=1}^\infty (-1)^{m+1} \frac{t^m}{m} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \sum_{m=1}^n (-1)^{m+1} \frac{x^{n-m} n!}{m (n-m)! k!} \right) t^n \).
Podle definice Appellovy posloupnosti platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=1}^n (-1)^{m+1} \frac{x^{n-m}}{m (n-m)!} \).
Prvních několik členů je:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = 2x – 1 \),
\( A_3(x) = 3x^2 – 3x + \frac{3}{2} \).
89. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{\sqrt{1 – 2 t}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( (1 – 2 t)^{-\frac{1}{2}} \) má Taylorovu řadu
\( (1 – 2 t)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(2m)!}{4^m (m!)^2} t^m \).
Generující funkce je tedy
\( G(t,x) = e^{x t} (1 – 2 t)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{m=0}^\infty \frac{(2m)!}{4^m (m!)^2} t^m \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{(2m)!}{4^m (m!)^2} \frac{n! x^{n-m}}{(n-m)! k!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{(2m)!}{4^m (m!)^2} \frac{x^{n-m}}{(n-m)!} \).
První členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 x + \frac{3}{2} \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x^2 + \frac{9}{2} x + \frac{5}{2} \).
90. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \sinh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \sinh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sinh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m+1}}{(2m+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{n! x^{n-2m-1}}{(2m+1)! (n-2m-1)!} \right) t^n \).
Podle definice platí
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m-1}}{(2m+1)! (n-2m-1)!} \) pro \( n \geq 1 \), a \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétně:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = x \),
\( A_3(x) = x^2 + \frac{1}{3} \).
91. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \arctan(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Řada pro \( \arctan(t) \) je
\( \arctan(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{2m+1} \).
Generující funkce je tedy
\( G(t,x) = e^{x t} \arctan(t) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m+1}}{2m+1} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{n! x^{n-2m-1}}{(2m+1) (n-2m-1)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor (n-1)/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m-1}}{(2m+1) (n-2m-1)!} \) pro \( n \geq 1 \), a \( A_0(x) = 0 \).
Konkrétní členy jsou:
\( A_0(x) = 0 \),
\( A_1(x) = 1 \),
\( A_2(x) = x \),
\( A_3(x) = x^2 – \frac{1}{3} \).
92. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{\sin(t)}{t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{\sin(t)}{t} \) má Taylorovu řadu
\( \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \frac{\sin(t)}{t} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{2m}}{(2m+1)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{n! x^{n-2m}}{(2m+1)! (n-2m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m}}{(2m+1)! (n-2m)!} \).
První členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – \frac{1}{6} \),
\( A_3(x) = x^3 – \frac{x}{2} \).
93. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{\sin t} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( e^{\sin t} = \sum_{m=0}^\infty \frac{\sin^m t}{m!} \), ale explicitní Taylorova řada je komplikovanější.
Rozepíšeme \( \sin t = \sum_{j=0}^\infty (-1)^j \frac{t^{2j+1}}{(2j+1)!} \) a použijeme rozvoj exponenciály.
Výsledná generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} e^{\sin t} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n \frac{n! x^{n-k}}{(n-k)! k!} B_k \right) t^n \), kde \( B_k \) jsou koeficienty v rozvoji \( e^{\sin t} \).
Koeficienty \( B_k \) lze vypočítat z Taylorovy řady \( e^{\sin t} \).
První členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 x \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x^2 + 1 \).
94. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} (1 + t)^m \), kde \( m \in \mathbb{R} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( (1+t)^m = \sum_{k=0}^\infty \frac{m (m-1) \cdots (m-k+1)}{k!} t^k \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} (1+t)^m = \sum_{j=0}^\infty \frac{(x t)^j}{j!} \sum_{k=0}^\infty \frac{m (m-1) \cdots (m-k+1)}{k!} t^k = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{k=0}^n \frac{m (m-1) \cdots (m-k+1)}{k!} \frac{x^{n-k} n!}{(n-k)! j!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{k=0}^n \frac{m (m-1) \cdots (m-k+1)}{k!} \frac{x^{n-k}}{(n-k)!} \).
První členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + m \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 m x + m (m-1) \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 m x^2 + 3 m (m-1) x + m (m-1) (m-2) \).
95. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1 + t^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{1}{1+t^2} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2m} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{1+t^2} = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m t^{2m} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{n! x^{n-2m}}{(n-2m)! k!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-2m}}{(n-2m)!} \).
První členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 – 1 \),
\( A_3(x) = x^3 – 3 x \).
96. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{t^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Exponenciální funkce \( e^{t^3} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{3m}}{m!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} e^{t^3} = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{3m}}{m!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \frac{n! x^{n-3m}}{m! (n-3m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \frac{x^{n-3m}}{m! (n-3m)!} \).
Konkrétní členy:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 1 \).
97. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \cosh(t) = \sum_{m=0}^\infty \frac{t^{2m}}{(2m)!} \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n! x^{n-2m}}{(2m)! (n-2m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{x^{n-2m}}{(2m)! (n-2m)!} \).
První členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 + \frac{1}{2} \),
\( A_3(x) = x^3 + \frac{3}{2} x \).
98. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \cos(t^2) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \cos(t^2) = \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4m}}{(2m)!} \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \cos(t^2) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty (-1)^m \frac{t^{4m}}{(2m)!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^{\lfloor n/4 \rfloor} (-1)^m \frac{n! x^{n-4m}}{(2m)! (n-4m)!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^{\lfloor n/4 \rfloor} (-1)^m \frac{x^{n-4m}}{(2m)! (n-4m)!} \).
První členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x \),
\( A_2(x) = x^2 \),
\( A_3(x) = x^3 \).
99. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{(1 – t)^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{1}{(1 – t)^2} = \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m \).
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \frac{1}{(1 – t)^2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty (m+1) t^m = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{n! x^{n-m}}{(n-m)! k!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n (m+1) \frac{x^{n-m}}{m! (n-m)!} \).
První členy jsou:
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 2 \),
\( A_2(x) = x^2 + 4 x + 3 \),
\( A_3(x) = x^3 + 6 x^2 + 9 x + 4 \).
100. Najděte explicitní vzorec a první čtyři členy Appellovy posloupnosti s generující funkcí \( G(t,x) = e^{x t} e^{\frac{t}{1-t}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( e^{\frac{t}{1-t}} = \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} \), kde \( B_m \) jsou Bellova čísla.
Generující funkce je
\( G(t,x) = e^{x t} \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(x t)^k}{k!} \sum_{m=0}^\infty B_m \frac{t^m}{m!} = \sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{m=0}^n \frac{n! x^{n-m} B_m}{(n-m)! m!} \right) t^n \).
Podle definice
\( A_n(x) = n! \sum_{m=0}^n \frac{B_m x^{n-m}}{m! (n-m)!} \).
První členy jsou (Bellova čísla: \( B_0=1, B_1=1, B_2=2, B_3=5 \)):
\( A_0(x) = 1 \),
\( A_1(x) = x + 1 \),
\( A_2(x) = x^2 + 2 x + 2 \),
\( A_3(x) = x^3 + 3 x^2 + 5 x + 5 \).
