Hornerovo schéma

Řešení příkladu:

Chceme spočítat hodnotu \( P(3) \) pomocí Hornerova schématu. Nejprve si zapíšeme koeficienty:

\( 2,\ -3,\ 1,\ 5,\ -7 \)

Dosazujeme \( x = 3 \):

\[ \begin{array}{r|rrrrr} 3 & 2 & -3 & 1 & 5 & -7 \\ & & 6 & 9 & 30 & 105 \\ \hline & 2 & 3 & 10 & 35 & 98 \end{array} \]

Výsledkem je poslední číslo: \( P(3) = 98 \).

Řešení příkladu:

Zapíšeme koeficienty: \( 1,\ -6,\ 11,\ -6 \)

Dosazujeme \( x = 1 \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Zbytek je nula, takže \( x = 1 \) je kořen.

Výsledný podíl je \( x^2 – 5x + 6 \), který lze dále rozložit:

\( x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) \)

Celý rozklad je \( Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3) \)

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou: \( -1,\ 2,\ 3,\ -4,\ 8 \)

Dosazujeme \( x = -2 \):

\[ \begin{array}{r|rrrrr} -2 & -1 & 2 & 3 & -4 & 8 \\ & & 2 & -4 & 2 & -4 \\ \hline & -1 & 4 & -1 & -2 & 4 \end{array} \]

Poslední číslo je 4 \(\Rightarrow\) \( x = -2 \) není kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 5,\ 1,\ -12,\ 4 \)

Dosazujeme \( x = 2 \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 5 & 1 & -12 & 4 \\ & & 10 & 22 & 20 \\ \hline & 5 & 11 & 10 & 24 \end{array} \]

Zbytek je 24 \(\Rightarrow\) není dělitelné beze zbytku.

Výsledkem je podíl \( 5x^2 + 11x + 10 \), zbytek \( 24 \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ 1,\ -1,\ -1 \)

Zkusíme \( x = 1 \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ & & 1 & 2 & 1 \\ \hline & 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \]

Podíl je \( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \)

Rozklad: \( T(x) = (x – 1)(x + 1)^2 \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( -4,\ 1,\ -1,\ 0,\ 1,\ -2 \)

Dosazujeme \( x = -1 \):

\[ \begin{array}{r|rrrrrr} -1 & -4 & 1 & -1 & 0 & 1 & -2 \\ & & 4 & -5 & 6 & -6 & 7 \\ \hline & -4 & 5 & -6 & 6 & -5 & 5 \end{array} \]

Výsledek: \( U(-1) = 5 \)

Řešení příkladu:

Zkusíme \( x = 1 \):

Koeficienty: \( 1,\ 0,\ -10,\ 0,\ 9 \)

\[ \begin{array}{r|rrrrr} 1 & 1 & 0 & -10 & 0 & 9 \\ & & 1 & 1 & -9 & -9 \\ \hline & 1 & 1 & -9 & -9 & 0 \end{array} \]

Máme podíl \( x^3 + x^2 – 9x -9 \), dále lze rozkládat.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 3,\ 0,\ -7,\ 2,\ -1,\ 4 \)

\[ \begin{array}{r|rrrrrr} 2 & 3 & 0 & -7 & 2 & -1 & 4 \\ & & 6 & 12 & 10 & 24 & 46 \\ \hline & 3 & 6 & 5 & 12 & 23 & 50 \end{array} \]

Výsledek: \( W(2) = 50 \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ 2,\ 1,\ 1 \), dosazujeme \( x = -1 \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ & & -1 & -1 & 0 \\ \hline & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \]

Zbytek je 1 \(\Rightarrow\) není beze zbytku.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ -6,\ 11,\ -24 \)

\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & 1 & -6 & 11 & -24 \\ & & 4 & -8 & 12 \\ \hline & 1 & -2 & 3 & -12 \end{array} \]

Zbytek je -12 \(\Rightarrow\) \( x = 4 \) není kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ -4,\ 6,\ -4,\ 1 \)

Dosazujeme \( x = 2 \):

\[ \begin{array}{r|rrrrr} 2 & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 \\ & & 2 & -4 & 4 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 2 & 0 & 1 \end{array} \]

Výsledek: \( B(2) = 1 \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ -1,\ -1,\ 1 \)

Dosazujeme \( x = -1 \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & -1 & -1 & 1 \\ & & -1 & 2 & -1 \\ \hline & 1 & -2 & 1 & 0 \end{array} \]

Rozklad: \( C(x) = (x + 1)(x^2 – 2x + 1) = (x + 1)(x – 1)^2 \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 2,\ -3,\ 5,\ -10 \)

\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 2 & -3 & 5 & -10 \\ & & 4 & 2 & 14 \\ \hline & 2 & 1 & 7 & 4 \end{array} \]

Výsledek: \( D(2) = 4 \Rightarrow \) \( x = 2 \) není kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 3,\ 1,\ -2,\ 4 \)

Dosazujeme \( x = 1 \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 3 & 1 & -2 & 4 \\ & & 3 & 4 & 2 \\ \hline & 3 & 4 & 2 & 6 \end{array} \]

Zbytek je 6, takže výsledný podíl je \( 3x^2 + 4x + 2 \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ -2,\ -1,\ 2 \)

Zkusíme \( x = 1 \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & -2 & -1 & 2 \\ & & 1 & -1 & -2 \\ \hline & 1 & -1 & -2 & 0 \end{array} \]

Rozklad: \( (x – 1)(x^2 – x – 2) = (x – 1)(x – 2)(x + 1) \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ 2,\ 1,\ 2,\ 1 \)

\[ \begin{array}{r|rrrrr} -1 & 1 & 2 & 1 & 2 & 1 \\ & & -1 & -1 & 0 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & 0 & 2 & -1 \end{array} \]

Výsledek: \( G(-1) = -1 \Rightarrow x = -1 \) není kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 2,\ -3,\ 4,\ -5 \)

\[ \begin{array}{r|rrrr} -2 & 2 & -3 & 4 & -5 \\ & & -4 & 14 & -36 \\ \hline & 2 & -7 & 18 & -41 \end{array} \]

Výsledek: \( H(-2) = -41 \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ -5,\ 9,\ -7,\ 2 \)

\[ \begin{array}{r|rrrrr} 1 & 1 & -5 & 9 & -7 & 2 \\ & & 1 & -4 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & -2 & 0 \end{array} \]

Rozklad: \( (x – 1)(x^3 – 4x^2 + 5x – 2) \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ 6,\ 11,\ 6 \)

Zkusíme \( x = -1 \):

\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 6 & 11 & 6 \\ & & -1 & -5 & -6 \\ \hline & 1 & 5 & 6 & 0 \end{array} \]

Rozklad: \( (x + 1)(x^2 + 5x + 6) = (x + 1)(x + 2)(x + 3) \)

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1 \)

Dosazení \( x = 0 \): \( K(0) = -1 \Rightarrow \) není kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 4, -3, 2, 0, -1, 5 \)

Dosadíme \( x = 3 \):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 3 & 4 & -3 & 2 & 0 & -1 & 5 \\ & & 12 & 27 & 87 & 261 & 780 \\ \hline & 4 & 9 & 29 & 87 & 260 & 785 \end{array} \]

Hodnota polynomu je tedy \( L(3) = 785 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 2, -5, 1, -4, 3 \)

Dosadíme \( x = 2 \):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 2 & -5 & 1 & -4 & 3 \\ & & 4 & -2 & -2 & -12 \\ \hline & 2 & -1 & -1 & -6 & -9 \end{array} \]

Zbytek je \(-9\), takže dělení není beze zbytku. Podíl je \( 2x^3 – x^2 – x – 6 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1, 3, -4, -12, 9 \)

Dosadíme \( x = -3 \):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -3 & 1 & 3 & -4 & -12 & 9 \\ & & -3 & 0 & 12 & 0 \\ \hline & 1 & 0 & -4 & 0 & 9 \end{array} \]

Zbytek je \(9 \neq 0\), tedy \(x = -3\) není kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1, -6, 11, -6 \)

Nejprve vyzkoušíme \( x = 1 \):

\[ \begin{array}{r|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Polynom lze tedy rozložit jako \( (x – 1)(x^2 – 5x + 6) \).

Druhý polynom rozložíme klasicky:

\( x^2 – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) \).

Kořeny jsou tedy \( x = 1, 2, 3 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 5, -4, 3, -2, 0, 1, -7 \)

Dosadíme \( x = -1 \):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} -1 & 5 & -4 & 3 & -2 & 0 & 1 & -7 \\ & & -5 & 9 & -12 & 14 & -14 & 13 \\ \hline & 5 & -9 & 12 & -14 & 14 & -13 & 6 \end{array} \]

Výsledek je \( Q(-1) = 6 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1, -4, 6, -4, 1, -1 \)

Dosadíme \( x = 1 \):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & -1 \\ & & 1 & -3 & 3 & -1 & 0 \\ \hline & 1 & -3 & 3 & -1 & 0 & -1 \end{array} \]

Zbytek je \(-1 \neq 0\), \(x=1\) není kořen.

Pro rozklad zkusíme kořen \( x=1 \) nevyhovuje, zkusíme \( x=-1 \):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & -1 \\ & & -1 & 5 & -11 & 15 & -16 \\ \hline & 1 & -5 & 11 & -15 & 16 & -17 \end{array} \]

Zbytek není 0, zkusíme jiný kořen (např. \(x=1/1=1\) nebo jiné racionální hodnoty).

Pro důkladný rozklad je vhodné použít další metody, protože Hornerovo schéma vyhodnotilo, že běžné kořeny nejsou evidentní.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 6, 11, -33, -33, 18 \)

Dosadíme \( x = 3 \):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 3 & 6 & 11 & -33 & -33 & 18 \\ & & 18 & 87 & 162 & 387 \\ \hline & 6 & 29 & 54 & 129 & 405 \end{array} \]

Zbytek je \(405\), podíl je \(6x^3 + 29x^2 + 54x + 129\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 2, -5, 4, 0, -1, 3 \)

Dosadíme \( x = 2 \):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 2 & 2 & -5 & 4 & 0 & -1 & 3 \\ & & 4 & -2 & 4 & 8 & 14 \\ \hline & 2 & -1 & 2 & 4 & 7 & 17 \end{array} \]

Zbytek je \(17 \neq 0\), tedy \(x = 2\) není kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1, -2, 3, -4, 5 \)

Dosadíme \( x = -2 \):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -2 & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ & & -2 & 8 & -22 & 52 \\ \hline & 1 & -4 & 11 & -26 & 57 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \( U(-2) = 57 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 3, 5, -2, 1 \)

Dosadíme \( x = -1 \):

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & 3 & 5 & -2 & 1 \\ & & -3 & -2 & 4 \\ \hline & 3 & 2 & -4 & 5 \end{array} \]

Zbytek je \(5\), podíl je \(3x^2 + 2x – 4\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 7, -2, 3, -1, 4, -8 \)

Dosadíme \( x = 2 \):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 2 & 7 & -2 & 3 & -1 & 4 & -8 \\ & & 14 & 24 & 54 & 106 & 220 \\ \hline & 7 & 12 & 27 & 53 & 110 & 212 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \( W(2) = 212 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1, -3, 5, -7, 9 \)

Dosadíme \( x = 1 \):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 1 & -3 & 5 & -7 & 9 \\ & & 1 & -2 & 3 & -4 \\ \hline & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \end{array} \]

Zbytek je \(5\), podíl je \( x^3 – 2x^2 + 3x – 4 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 2, -9, 12, -27 \)

Dosadíme \( x = 3 \):

\[ \begin{array}{r|cccc} 3 & 2 & -9 & 12 & -27 \\ & & 6 & -9 & 9 \\ \hline & 2 & -3 & 3 & -18 \end{array} \]

Zbytek je \(-18 \neq 0\), tedy \(x = 3\) není kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1, 4, 6, 4, 1 \)

Dosadíme \( x = -1 \):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -1 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 \\ & & -1 & -3 & -3 & -1 \\ \hline & 1 & 3 & 3 & 1 & 0 \end{array} \]

Zbytek je 0, podíl je \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 3, -1, 4, 0, -2, 1 \)

Dosadíme \( x = 0 \):

Protože \( x=0 \), hodnota je poslední koeficient: \( A(0) = 1 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 4, -8, 7, -2 \)

Dosadíme \( x = 2 \):

\[ \begin{array}{r|cccc} 2 & 4 & -8 & 7 & -2 \\ & & 8 & 0 & 14 \\ \hline & 4 & 0 & 7 & 12 \end{array} \]

Zbytek je \(12\), podíl je \(4x^2 + 0x + 7\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1, 2, -7, -14 \)

Dosadíme \( x = -2 \):

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & 1 & 2 & -7 & -14 \\ & & -2 & 0 & 14 \\ \hline & 1 & 0 & -7 & 0 \end{array} \]

Zbytek je 0, tedy \(x = -2\) je kořen.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 5, -3, 2, -1, 7 \)

Dosadíme \( x = 1.5 \):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1.5 & 5 & -3 & 2 & -1 & 7 \\ & & 7.5 & 6.75 & 13.125 & 18.1875 \\ \hline & 5 & 4.5 & 8.75 & 12.125 & 25.1875 \end{array} \]

Hodnota polynomu je přibližně \( 25.1875 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 2, 3, -1, 5, -4, 6 \)

Dosadíme \( x = 1 \):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 2 & 3 & -1 & 5 & -4 & 6 \\ & & 2 & 5 & 4 & 9 & 5 \\ \hline & 2 & 5 & 4 & 9 & 5 & 11 \end{array} \]

Zbytek je \(11\), podíl je \( 2x^4 + 5x^3 + 4x^2 + 9x + 5 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \( 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7 \)

Dosadíme \( x = -1 \):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} -1 & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & -6 & 7 \\ & & -1 & 3 & -6 & 10 & -15 & 21 \\ \hline & 1 & -3 & 6 & -10 & 15 & -21 & 28 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \( F(-1) = 28 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty polynomu jsou: \(6, -5, 4, -3, 2\).

Dosadíme \( x = 3 \) do Hornerova schématu:

\[ \begin{array}{r|ccccc} 3 & 6 & -5 & 4 & -3 & 2 \\ & & 18 & 39 & 129 & 378 \\ \hline & 6 & 13 & 43 & 126 & 380 \end{array} \]

Hodnota polynomu v bodě \(x=3\) je tedy \( P(3) = 380 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(1, -4, 6, -4, 1, -1\).

Dosadíme \( x=1 \):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & -1 \\ & & 1 & -3 & 3 & -1 & 0 \\ \hline & 1 & -3 & 3 & -1 & 0 & -1 \end{array} \]

Zbytek je \(-1\), podíl je \(x^4 – 3x^3 + 3x^2 – x\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(3, -10, 12, -4\).

Dosadíme \(x=2\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 2 & 3 & -10 & 12 & -4 \\ & & 6 & -8 & 8 \\ \hline & 3 & -4 & 4 & 4 \end{array} \]

Zbytek je \(4 \neq 0\), tedy \(x=2\) není kořenem polynomu.

Řešení příkladu:

Koeficienty polynomu jsou: \(5, 0, -3, 1, 0, -7, 9\) (doplnili jsme nulové koeficienty u chybějících stupňů).

Dosadíme \( x = -1 \) do Hornerova schématu:

\[ \begin{array}{r|ccccccc} -1 & 5 & 0 & -3 & 1 & 0 & -7 & 9 \\ & & -5 & 5 & -2 & 1 & -1 & 8 \\ \hline & 5 & -5 & 2 & -1 & 1 & -8 & 17 \end{array} \]

Hodnota polynomu je tedy \( S(-1) = 17 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou: \(4, 2, -1, 7, -5, 3\).

Dosadíme \( x = -2 \) (protože dělíme výrazem \(x + 2\)):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -2 & 4 & 2 & -1 & 7 & -5 & 3 \\ & & -8 & 12 & -22 & 30 & -50 \\ \hline & 4 & -6 & 11 & -15 & 25 & -47 \end{array} \]

Zbytek je \(-47\), podíl je \(4x^4 – 6x^3 + 11x^2 – 15x + 25\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|ccccccccc} 1 & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & 4 & -4 \\ & & 1 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4 \\ \hline & 1 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 4 & 0 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(U(1) = 0\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(2, 5, -3, 6, -9\).

Dosadíme \(x = -3\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -3 & 2 & 5 & -3 & 6 & -9 \\ & & -6 & 3 & 0 & -18 \\ \hline & 2 & -1 & 0 & 6 & -27 \end{array} \]

Zbytek je \(-27 \neq 0\), takže \(x = -3\) není kořenem polynomu.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(3, -4, 5, -6, 7, -8, 9\).

Dosadíme \(x = 0.5\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 0.5 & 3 & -4 & 5 & -6 & 7 & -8 & 9 \\ & & 1.5 & -1.25 & 1.875 & -2.0625 & 2.46875 & -2.765625 \\ \hline & 3 & -2.5 & 3.75 & -4.125 & 4.9375 & -5.53125 & 6.234375 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(W(0.5) = 6.234375\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(1, -3, 4, -2, 1, -5\).

Dosadíme \( x=2 \):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 2 & 1 & -3 & 4 & -2 & 1 & -5 \\ & & 2 & -2 & 4 & 4 & 10 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & 2 & 5 & 5 \end{array} \]

Zbytek je \(5\), podíl je \(x^4 – x^3 + 2x^2 + 2x + 5\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(7, -6, 5, -4\).

Dosadíme \( x = -2 \):

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & 7 & -6 & 5 & -4 \\ & & -14 & 40 & -70 \\ \hline & 7 & -20 & 45 & -74 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \( Y(-2) = -74 \).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou: \(8, -4, 1, 0, -3, 7\) (doplněno místo chybějícího členu \(x^2\ koeficient 0\)).

Dosadíme \(x=2\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 2 & 8 & -4 & 1 & 0 & -3 & 7 \\ & & 16 & 24 & 50 & 100 & 194 \\ \hline & 8 & 12 & 25 & 50 & 97 & 201 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(P(2) = 201\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(1, -7, 17, -17, 6\).

Dosadíme \(x = 3\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 3 & 1 & -7 & 17 & -17 & 6 \\ & & 3 & -12 & 15 & -6 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & -2 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), což znamená, že \(x = 3\) je kořen polynomu a podíl je \(x^3 – 4x^2 + 5x – 2\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(2, -3, 0, 1, 0, -1, 4\) (doplněny koeficienty u chybějících členů).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} -1 & 2 & -3 & 0 & 1 & 0 & -1 & 4 \\ & & -2 & 5 & -5 & 4 & -4 & 5 \\ \hline & 2 & -5 & 5 & -4 & 4 & -5 & 9 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(R(-1) = 9\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(3, 1, -2, 4, -1, 5\).

Dosadíme \(x = -1\) (protože dělíme výrazem \(x + 1\)):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & 3 & 1 & -2 & 4 & -1 & 5 \\ & & -3 & 2 & 0 & -4 & 5 \\ \hline & 3 & -2 & 0 & 4 & -5 & 10 \end{array} \]

Zbytek je \(10\), podíl je \(3x^4 – 2x^3 + 0x^2 + 4x – 5\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(1, -5, 8, -4, 1\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 1 & -5 & 8 & -4 & 1 \\ & & 1 & -4 & 4 & 0 \\ \hline & 1 & -4 & 4 & 0 & 1 \end{array} \]

Zbytek je \(1 \neq 0\), tedy \(x=1\) není kořenem polynomu.

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(4, 3, -2, 1\).

Dosadíme \(x=0\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 0 & 4 & 3 & -2 & 1 \\ & & 0 & 0 & 0 \\ \hline & 4 & 3 & -2 & 1 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(U(0) = 1\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(2, -1, 3, -4, 1, 0, -5, 2\) (doplněn koeficient 0 u \(x^2\)).

Dosadíme \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|ccccccccc} 1 & 2 & -1 & 3 & -4 & 1 & 0 & -5 & 2 \\ & & 2 & 1 & 4 & 0 & 1 & 1 & -4 \\ \hline & 2 & 1 & 4 & 0 & 1 & 1 & -4 & -2 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(V(1) = -2\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(1, -2, 3, -4, 5, -6, 7\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 1 & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & -6 & 7 \\ & & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & -2 & 3 & -3 & 4 \end{array} \]

Zbytek je \(4\), podíl je \(x^5 – x^4 + 2x^3 – 2x^2 + 3x – 3\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(5, -3, 0, 1, -8\) (doplněn koeficient 0 u \(x^2\)).

Dosadíme \(x=-3\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -3 & 5 & -3 & 0 & 1 & -8 \\ & & -15 & 54 & -162 & 485 \\ \hline & 5 & -18 & 54 & -161 & 477 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(Z(-3) = 477\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(6, -5, 4, -3\).

Dosadíme \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & 6 & -5 & 4 & -3 \\ & & -12 & 34 & -60 \\ \hline & 6 & -17 & 38 & -63 \end{array} \]

Zbytek je \(-63\), podíl je \(6x^2 – 17x + 38\).

Řešení příkladu:

Koeficienty polynomu jsou: \(7, -2, 4, -1, 3, -5\).

Dosadíme \(x=3\) do Hornerova schématu:

\[ \begin{array}{r|cccccc} 3 & 7 & -2 & 4 & -1 & 3 & -5 \\ & & 21 & 57 & 183 & 548 & 1647 \\ \hline & 7 & 19 & 61 & 182 & 551 & 1642 \end{array} \]

Hodnota polynomu v bodě \(x=3\) je \(P(3) = 1642\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(2, 3, -1, 5, -7\).

Dosadíme \(x=2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 2 & 3 & -1 & 5 & -7 \\ & & 4 & 14 & 26 & 62 \\ \hline & 2 & 7 & 13 & 31 & 55 \end{array} \]

Zbytek je \(55\), podíl je \(2x^3 + 7x^2 + 13x + 31\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou: \(1, -4, 6, -4, 1, 0, -1\) (doplněn koeficient u \(x^1\)).

Dosadíme \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 1 & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 & -1 \\ & & 1 & -3 & 3 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 1 & -3 & 3 & -1 & 0 & 0 & -1 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(R(1) = -1\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(5, -7, 9, -4\).

Dosadíme \(x=-3\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -3 & 5 & -7 & 9 & -4 \\ & & -15 & 66 & -171 \\ \hline & 5 & -22 & 75 & -175 \end{array} \]

Zbytek je \(-175\), podíl je \(5x^2 – 22x + 75\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(4, -3, 2, 0, -1, 7\) (doplněn koeficient u \(x^2\)).

Dosadíme \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -2 & 4 & -3 & 2 & 0 & -1 & 7 \\ & & -8 & 22 & -48 & 96 & -190 \\ \hline & 4 & -11 & 24 & -48 & 95 & -183 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(T(-2) = -183\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(1, 2, 0, -1, 1\) (doplněn koeficient u \(x^2\)).

Dosadíme \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 1 & 2 & 0 & -1 & 1 \\ & & 1 & 3 & 3 & 2 \\ \hline & 1 & 3 & 3 & 2 & 3 \end{array} \]

Zbytek je \(3\), podíl je \(x^3 + 3x^2 + 3x + 2\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(3, 0, -5, 0, 7, 0, -2\) (doplněny koeficienty u chybějících mocnin).

Dosadíme \(x=0\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 0 & 3 & 0 & -5 & 0 & 7 & 0 & -2 \\ & & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline & 3 & 0 & -5 & 0 & 7 & 0 & -2 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(V(0) = -2\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(6, 0, -4, 1, 0, -9\) (doplněny koeficienty u chybějících mocnin \(x^4\) a \(x\)).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & 6 & 0 & -4 & 1 & 0 & -9 \\ & & -6 & 6 & -2 & 1 & -1 \\ \hline & 6 & -6 & 2 & -1 & 1 & -10 \end{array} \]

Zbytek je \(-10\), podíl je \(6x^4 – 6x^3 + 2x^2 – x + 1\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(-1, 2, 0, -3, 4\) (doplněn koeficient u \(x^2\)).

Dosadíme \(x=2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & -1 & 2 & 0 & -3 & 4 \\ & & -2 & 0 & 0 & -6 \\ \hline & -1 & 0 & 0 & -3 & -2 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(X(2) = -2\).

Řešení příkladu:

Koeficienty: \(8, -6, 7, -10\).

Dosadíme \(x=4\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 4 & 8 & -6 & 7 & -10 \\ & & 32 & 104 & 444 \\ \hline & 8 & 26 & 111 & 434 \end{array} \]

Zbytek je \(434\), podíl je \(8x^2 + 26x + 111\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(8, -6, 7, -2, 4, -3\).

Dosadíme \(x=3\) a provedeme Hornerovo schéma:

\[ \begin{array}{r|cccccc} 3 & 8 & -6 & 7 & -2 & 4 & -3 \\ & & 24 & 54 & 183 & 549 & 1659 \\ \hline & 8 & 18 & 61 & 181 & 553 & 1656 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(P(3) = 1656\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(5, -3, 4, -1, 7\).

Dosadíme \(x=2\) a provedeme Hornerovo schéma:

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 5 & -3 & 4 & -1 & 7 \\ & & 10 & 14 & 36 & 70 \\ \hline & 5 & 7 & 18 & 35 & 77 \end{array} \]

Zbytek je \(77\), podíl je \(5x^3 + 7x^2 + 18x + 35\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(-3, 2, 0, -1, 0, 4, -5\) (doplněny koeficienty pro \(x^4\) a \(x^2\)).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} -1 & -3 & 2 & 0 & -1 & 0 & 4 & -5 \\ & & 3 & -5 & 5 & -4 & 4 & 0 \\ \hline & -3 & 5 & -5 & 4 & -4 & 8 & -5 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(R(-1) = -5\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(7, -2, 6, -8\).

Dosadíme \(x = -3\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -3 & 7 & -2 & 6 & -8 \\ & & -21 & 69 & -225 \\ \hline & 7 & -23 & 75 & -233 \end{array} \]

Zbytek je \(-233\), podíl je \(7x^2 – 23x + 75\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(2, -4, 3, -1, 5, -6\).

Dosadíme \(x=0.5\) a provedeme Hornerovo schéma:

\[ \begin{array}{r|cccccc} 0.5 & 2 & -4 & 3 & -1 & 5 & -6 \\ & & 1 & -1.5 & 0.75 & -0.125 & 2.4375 \\ \hline & 2 & -3 & 1.5 & -0.25 & 4.875 & -3.5625 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(T(0.5) = -3.5625\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(4, -1, 2, -7, 10\).

Dosadíme \(x = 1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 4 & -1 & 2 & -7 & 10 \\ & & 4 & 3 & 5 & -2 \\ \hline & 4 & 3 & 5 & -2 & 8 \end{array} \]

Zbytek je \(8\), podíl je \(4x^3 + 3x^2 + 5x – 2\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(6, -5, 4, -3, 2, -1, 7\).

Dosadíme \(x = -0.5\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} -0.5 & 6 & -5 & 4 & -3 & 2 & -1 & 7 \\ & & -3 & 4 & -4 & 3.5 & -2.25 & 1.625 \\ \hline & 6 & -8 & 8 & -7 & 5.5 & -3.25 & 8.625 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(V(-0.5) = 8.625\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(3, -4, 1, 0, -6, 9\) (doplněný koeficient pro \(x^2\)).

Dosadíme \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -2 & 3 & -4 & 1 & 0 & -6 & 9 \\ & & -6 & 20 & -42 & 84 & -156 \\ \hline & 3 & -10 & 21 & -42 & 78 & -147 \end{array} \]

Zbytek je \(-147\), podíl je \(3x^4 – 10x^3 + 21x^2 – 42x + 78\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(-2, 3, -5, 1, -4\).

Dosadíme \(x=1.5\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1.5 & -2 & 3 & -5 & 1 & -4 \\ & & -3 & 0 & -7.5 & -9.75 \\ \hline & -2 & 0 & -5 & -6.5 & -13.75 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(X(1.5) = -13.75\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(9, -7, 5, -1\).

Dosadíme \(x=4\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 4 & 9 & -7 & 5 & -1 \\ & & 36 & 116 & 484 \\ \hline & 9 & 29 & 121 & 483 \end{array} \]

Zbytek je \(483\), podíl je \(9x^2 + 29x + 121\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(3, -5, 2, -1, 4, -7, 9\).

Dosadíme \(x=2\) a provedeme Hornerovo schéma:

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 2 & 3 & -5 & 2 & -1 & 4 & -7 & 9 \\ & & 6 & 2 & 6 & 10 & 6 & -2 \\ \hline & 3 & 1 & 4 & 5 & 14 & -1 & 7 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(P(2) = 7\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(4, -3, 1, -6, 8, -10\).

Dosadíme \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 4 & -3 & 1 & -6 & 8 & -10 \\ & & 4 & 1 & 2 & -4 & 4 \\ \hline & 4 & 1 & 2 & -4 & 4 & -6 \end{array} \]

Zbytek je \(-6\), podíl je \(4x^4 + x^3 + 2x^2 – 4x + 4\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(5, -7, 3, -1, 2\).

Dosadíme \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -2 & 5 & -7 & 3 & -1 & 2 \\ & & -10 & 34 & -74 & 150 \\ \hline & 5 & -17 & 37 & -75 & 152 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(R(-2) = 152\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(6, -4, 5, -3\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & 6 & -4 & 5 & -3 \\ & & -6 & 10 & -15 \\ \hline & 6 & -10 & 15 & -18 \end{array} \]

Zbytek je \(-18\), podíl je \(6x^2 – 10x + 15\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(1, -2, 3, -4, 5, -6\).

Dosadíme \(x=3\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 3 & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 & -6 \\ & & 3 & 3 & 18 & 42 & 141 \\ \hline & 1 & 1 & 6 & 14 & 47 & 135 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(T(3) = 135\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(2, -5, 7, -4, 1\).

Dosadíme \(x=2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 2 & -5 & 7 & -4 & 1 \\ & & 4 & -2 & 10 & 12 \\ \hline & 2 & -1 & 5 & 6 & 13 \end{array} \]

Zbytek je \(13\), podíl je \(2x^3 – x^2 + 5x + 6\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(3, -1, 4, -7\).

Dosadíme \(x = -3\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -3 & 3 & -1 & 4 & -7 \\ & & -9 & 30 & -102 \\ \hline & 3 & -10 & 34 & -109 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(V(-3) = -109\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(5, -3, 2, -1, 8\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -1 & 5 & -3 & 2 & -1 & 8 \\ & & -5 & 8 & -10 & 11 \\ \hline & 5 & -8 & 10 & -11 & 19 \end{array} \]

Zbytek je \(19\), podíl je \(5x^3 – 8x^2 + 10x – 11\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(-4, 3, -2, 1, -5, 6\).

Dosadíme \(x = 0.5\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 0.5 & -4 & 3 & -2 & 1 & -5 & 6 \\ & & -2 & 0.5 & -0.75 & 0.125 & -2.4375 \\ \hline & -4 & 1 & -1.5 & 0.25 & -4.875 & 3.5625 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(X(0.5) = 3.5625\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(1, -6, 11, -6, 0\) (poslední koeficient pro \(x^0\) je 0, protože není uveden).

Dosadíme \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 & 0 \\ & & 1 & -5 & 6 & 0 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), podíl je \(x^3 – 5x^2 + 6x\).

Řešení příkladu:

Koeficienty polynomu jsou \(7, -2, 5, -3, 9\).

Dosadíme \(x=3\) a použijeme Hornerovo schéma:

\[ \begin{array}{r|ccccc} 3 & 7 & -2 & 5 & -3 & 9 \\ & & 21 & 57 & 186 & 549 \\ \hline & 7 & 19 & 62 & 183 & 558 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(P(3) = 558\).

Řešení příkladu:

Koeficienty polynomu jsou \(4, 3, -1, 6, -2, 5\).

Dosadíme \(x=2\) do Hornerova schématu:

\[ \begin{array}{r|cccccc} 2 & 4 & 3 & -1 & 6 & -2 & 5 \\ & & 8 & 22 & 42 & 96 & 188 \\ \hline & 4 & 11 & 21 & 48 & 94 & 193 \end{array} \]

Zbytek je \(193\), podíl je \(4x^4 + 11x^3 + 21x^2 + 48x + 94\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} -1 & -1 & 2 & -3 & 4 & -5 & 6 & -7 \\ & & 1 & -3 & 7 & -11 & 16 & -22 \\ \hline & -1 & 3 & -6 & 11 & -16 & 22 & -29 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(R(-1) = -29\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(3, -6, 9, -12, 15\).

Dosadíme \(x = 3\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 3 & 3 & -6 & 9 & -12 & 15 \\ & & 9 & 9 & 54 & 126 \\ \hline & 3 & 3 & 18 & 42 & 141 \end{array} \]

Zbytek je \(141\), podíl je \(3x^3 + 3x^2 + 18x + 42\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(2, -4, 6, -8\).

Dosadíme \(x=4\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 4 & 2 & -4 & 6 & -8 \\ & & 8 & 16 & 88 \\ \hline & 2 & 4 & 22 & 80 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(T(4) = 80\).

Řešení příkladu:

Koeficienty jsou \(1, -3, 5, -7, 9, -11\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & 1 & -3 & 5 & -7 & 9 & -11 \\ & & -1 & 4 & -9 & 16 & -25 \\ \hline & 1 & -4 & 9 & -16 & 25 & -36 \end{array} \]

Zbytek je \(-36\), podíl je \(x^4 – 4x^3 + 9x^2 – 16x + 25\).

Koeficienty sú \(-2, 5, -3, 1, -6\).

Dosadíme \(x = 2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & -2 & 5 & -3 & 1 & -6 \\ & & -4 & 2 & -2 & -2 \\ \hline & -2 & 1 & -1 & -1 & -8 \end{array} \]

Hodnota polynómu je \(P(2) = -8\).

Koeficienty sú \(1, 1, -1, -1, 1, 1\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ & & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ \hline & 1 & 0 & -1 & 0 & -1 & 2 \end{array} \]

Zvyšok je \(2\), podiel je \(x^4 – x^2 – x – 1\).

Koeficienty sú \(3, -1, 4, 2\).

Dosadíme \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & 3 & -1 & 4 & 2 \\ & & -6 & 14 & -36 \\ \hline & 3 & -7 & 18 & -34 \end{array} \]

Hodnota polynómu je \(R(-2) = -34\).

Koeficienty sú \(2, -3, 4, -5, 6\).

Dosadíme \(x = 2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 2 & -3 & 4 & -5 & 6 \\ & & 4 & 2 & 12 & 14 \\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 & 20 \end{array} \]

Zvyšok je \(20\), podiel je \(2x^3 + x^2 + 6x + 7\).

Koeficienty jsou \(1, 2, 3, 4\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ & & -1 & -1 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & 2 & 2 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(2\).

Koeficienty jsou \(4, -3, 1, -2, 1\).

Dosadíme \(x = 1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 4 & -3 & 1 & -2 & 1 \\ & & 4 & 1 & 2 & 0 \\ \hline & 4 & 1 & 2 & 0 & 1 \end{array} \]

Zbytek je \(1\), podíl je \(4x^3 + x^2 + 2x\).

Koeficienty jsou \(-2, 1, -3, 1, 4, -1\).

Dosadíme \(x = 0\):

Hornerovo schéma v tomto případě dává výsledek přímo jako poslední koeficient, tedy hodnota je \(-1\).

Koeficienty jsou \(1, -6, 11, -6\).

Dosadíme \(x = 3\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 3 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 3 & -9 & 6 \\ \hline & 1 & -3 & 2 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), podíl je \(x^2 – 3x + 2\).

Koeficienty jsou \(1, 1, 1, 1, 1\).

Dosadíme \(x = 1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(5\).

Koeficienty jsou \(2, -1, 3, -5\).

Dosadíme \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & 2 & -1 & 3 & -5 \\ & & -4 & 10 & -26 \\ \hline & 2 & -5 & 13 & -31 \end{array} \]

Zbytek je \(-31\), podíl je \(2x^2 – 5x + 13\).

Koeficienty jsou \(-1, 2, -3, 4, -5\).

Dosadíme \(x = 2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & -1 & 2 & -3 & 4 & -5 \\ & & -2 & 0 & -6 & -4 \\ \hline & -1 & 0 & -3 & -2 & -9 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(-9\).

Koeficienty jsou \(5, -4, 3, -2, 1\).

Dosadíme \(x = 1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 5 & -4 & 3 & -2 & 1 \\ & & 5 & 1 & 4 & 2 \\ \hline & 5 & 1 & 4 & 2 & 3 \end{array} \]

Zbytek je \(3\), podíl je \(5x^3 + x^2 + 4x + 2\).

Koeficienty jsou \(1, 2, 1\).

Dosadíme \(x = -3\):

\[ \begin{array}{r|ccc} -3 & 1 & 2 & 1 \\ & & -3 & 3 \\ \hline & 1 & -1 & 4 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(4\).

Koeficienty jsou \(1, -1, 1, -1\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ & & -1 & 2 & -3 \\ \hline & 1 & -2 & 3 & -4 \end{array} \]

Zbytek je \(-4\), podíl je \(x^2 – 2x + 3\).

Koeficienty jsou \(1, -1, 1, -1, 1\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 \\ & & -1 & 2 & -3 & 4 \\ \hline & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(5\).

Koeficienty jsou \(1, -3, 3, -1\).

Dosadíme \(x = 1\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 1 & 1 & -3 & 3 & -1 \\ & & 1 & -2 & 1 \\ \hline & 1 & -2 & 1 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), podíl je \(x^2 – 2x + 1\).

Koeficienty jsou \(2, 3, 4, 5\).

Dosadíme \(x = 2\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 2 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ & & 4 & 14 & 36 \\ \hline & 2 & 7 & 18 & 41 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(41\).

Koeficienty jsou \(3, -1, 0, 5, -2\).

Dosadíme \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -2 & 3 & -1 & 0 & 5 & -2 \\ & & -6 & 14 & -28 & 46 \\ \hline & 3 & -7 & 14 & -23 & 44 \end{array} \]

Zbytek je \(44\), podíl je \(3x^3 – 7x^2 + 14x – 23\).

Koeficienty jsou \(1, 1, 1, 1, 1, 1\).

Dosadíme \(x = 1\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(6\).

Koeficienty jsou \(-1, 4, -3, 7\).

Dosadíme \(x = 2\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 2 & -1 & 4 & -3 & 7 \\ & & -2 & 4 & 2 \\ \hline & -1 & 2 & 1 & 9 \end{array} \]

Zbytek je \(9\), podíl je \(-x^2 + 2x + 1\).

Koeficienty jsou \(5, -7, 2\).

Dosadíme \(x = 3\):

\[ \begin{array}{r|ccc} 3 & 5 & -7 & 2 \\ & & 15 & 24 \\ \hline & 5 & 8 & 26 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(26\).

Koeficienty jsou \(1, 1, 1, 1\).

Dosadíme \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & -1 & 0 & -1 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), podíl je \(x^2 + 1\).

Koeficienty jsou \(-2, 1, 3, -5\).

Dosadíme \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & -2 & 1 & 3 & -5 \\ & & 4 & -6 & 6 \\ \hline & -2 & 5 & -3 & 1 \end{array} \]

Hodnota polynomu je \(1\).

Koeficienty jsou \(2, 0, -5, 7\).

Dosadíme \(x = 1\):

\[ \begin{array}{r|cccc} 1 & 2 & 0 & -5 & 7 \\ & & 2 & 2 & -3 \\ \hline & 2 & 2 & -3 & 4 \end{array} \]

Zbytek je \(4\), podíl je \(2x^2 + 2x – 3\).

Koeficienty: \(1, -2, 1, 3, -1\).

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 1 & -2 & 1 & 3 & -1 \\ & & 2 & 0 & 2 & 10 \\ \hline & 1 & 0 & 1 & 5 & 9 \end{array} \]

Hodnota je \(9\).

Koeficienty: \(2, 3, -1, 4\).

\[ \begin{array}{r|cccc} 2 & 2 & 3 & -1 & 4 \\ & & 4 & 14 & 26 \\ \hline & 2 & 7 & 13 & 30 \end{array} \]

Zbytek je \(30\), podíl \(2x^2 + 7x + 13\).

Koeficienty: \(-1, 4, -1, 2\).

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & -1 & 4 & -1 & 2 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & -1 & 5 & -6 & 8 \end{array} \]

Hodnota je \(8\).

Koeficienty: \(1, 0, -5, 3, 2\).

\[ \begin{array}{r|ccccc} -2 & 1 & 0 & -5 & 3 & 2 \\ & & -2 & 4 & 2 & -10 \\ \hline & 1 & -2 & -1 & 5 & -8 \end{array} \]

Zbytek je \(-8\), podíl \(x^3 – 2x^2 – x + 5\).

Koeficienty: \(3, 0, -2, 5\).

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & 3 & 0 & -2 & 5 \\ & & -6 & 12 & -20 \\ \hline & 3 & -6 & 10 & -15 \end{array} \]

Hodnota je \(-15\).

Koeficienty: \(4, -1, -6\).

\[ \begin{array}{r|ccc} 1 & 4 & -1 & -6 \\ & & 4 & 3 \\ \hline & 4 & 3 & -3 \end{array} \]

Zbytek je \(-3\), podíl \(4x + 3\).

Koeficienty: \(1, 0, 0, 0, -1, 1\).

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \]

Hodnota je \(1\).

Koeficienty: \(2, -3, 0, 1, -4\).

\[ \begin{array}{r|ccccc} -1 & 2 & -3 & 0 & 1 & -4 \\ & & -2 & 5 & -5 & 4 \\ \hline & 2 & -5 & 5 & -4 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), podíl \(2x^3 – 5x^2 + 5x – 4\).

Koeficienty: \(-3, 2, -1, 6\).

\[ \begin{array}{r|cccc} -3 & -3 & 2 & -1 & 6 \\ & & 9 & -21 & 66 \\ \hline & -3 & 11 & -22 & 72 \end{array} \]

Hodnota je \(72\).

Koeficienty: \(1, 1, 1, 1\).

\[ \begin{array}{r|cccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 2 & 3 \\ \hline & 1 & 2 & 3 & 4 \end{array} \]

Zbytek je \(4\), podíl \(x^2 + 2x + 3\).

Koeficienty: \(2, -1, 3, -5, 7\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 2 & -1 & 3 & -5 & 7 \\ & & 2 & 1 & 4 & -1 \\ \hline & 2 & 1 & 4 & -1 & 6 \end{array} \]

Hodnota polynomu v bode \(x = 1\) je \(6\).

Koeficienty: \(4, 0, -7, 2\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 2 & 4 & 0 & -7 & 2 \\ & & 8 & 16 & 18 \\ \hline & 4 & 8 & 9 & 20 \end{array} \]

Zbytek je \(20\), podíl \(4x^2 + 8x + 9\).

Koeficienty: \(-1, 3, 0, -2, 1, -1\)

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & -1 & 3 & 0 & -2 & 1 & -1 \\ & & 1 & -4 & 4 & -2 & 1 \\ \hline & -1 & 4 & -4 & 2 & -1 & 0 \end{array} \]

Hodnota v bode \(-1\) je \(0\).

Koeficienty: \(1, 0, 1, -4, 3\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} -1 & 1 & 0 & 1 & -4 & 3 \\ & & -1 & 1 & -2 & 6 \\ \hline & 1 & -1 & 2 & -6 & 9 \end{array} \]

Zbytek je \(9\), podíl \(x^3 – x^2 + 2x -6\).

Koeficienty: \(-2, 1, 4, -5\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 3 & -2 & 1 & 4 & -5 \\ & & -6 & -15 & -33 \\ \hline & -2 & -5 & -11 & -38 \end{array} \]

Hodnota je \(-38\).

Koeficienty: \(5, 3, 2\)

\[ \begin{array}{r|ccc} 3 & 5 & 3 & 2 \\ & & 15 & 54 \\ \hline & 5 & 18 & 56 \end{array} \]

Zbytek je \(56\), podíl \(5x + 18\).

Koeficienty: \(1, 0, 0, 0, -3, 0, 5\)

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 5 \\ & & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & -2 \\ \hline & 1 & 1 & 1 & 1 & -2 & -2 & 3 \end{array} \]

Hodnota je \(3\).

Koeficienty: \(1, -6, 11, -6\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Podíl: \(x^2 – 5x + 6\), zbytek \(0\).

Koeficienty: \(2, 0, 0, -1, 3\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} -2 & 2 & 0 & 0 & -1 & 3 \\ & & -4 & 8 & -16 & 34 \\ \hline & 2 & -4 & 8 & -17 & 37 \end{array} \]

Hodnota je \(37\).

Koeficienty: \(3, -12, 9\)

\[ \begin{array}{r|ccc} 3 & 3 & -12 & 9 \\ & & 9 & -9 \\ \hline & 3 & -3 & 0 \end{array} \]

Podíl: \(3x – 3\), zbytek \(0\).

Koeficienty: \(3, -2, 1, 5, -4\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 3 & -2 & 1 & 5 & -4 \\ & & 6 & 8 & 18 & 46 \\ \hline & 3 & 4 & 9 & 23 & 42 \end{array} \]

Hodnota je \(42\).

Koeficienty: \(1, 2, -3, 1\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 1 & 1 & 2 & -3 & 1 \\ & & 1 & 3 & 0 \\ \hline & 1 & 3 & 0 & 1 \end{array} \]

Zbytek je \(1\), podíl \(x^2 + 3x\).

Koeficienty: \(-1, 0, 4, 0, -1, 6\)

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & -1 & 0 & 4 & 0 & -1 & 6 \\ & & 1 & -1 & 5 & -5 & 6 \\ \hline & -1 & 1 & 3 & 5 & -6 & 12 \end{array} \]

Hodnota je \(12\).

Koeficienty: \(2, -3, 1, -5\)

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & 2 & -3 & 1 & -5 \\ & & -4 & 14 & -30 \\ \hline & 2 & -7 & 15 & -35 \end{array} \]

Zbytek je \(-35\), podíl \(2x^2 – 7x + 15\).

Koeficienty: \(5, -1, -3, 2\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 0 & 5 & -1 & -3 & 2 \\ & & 0 & 0 & 0 \\ \hline & 5 & -1 & -3 & 2 \end{array} \]

Hodnota je \(2\).

Koeficienty: \(-1, 2, 1, -4\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 2 & -1 & 2 & 1 & -4 \\ & & -2 & 0 & 2 \\ \hline & -1 & 0 & 1 & -2 \end{array} \]

Zbytek je \(-2\), podíl \(-x^2 + x + 1\).

Koeficienty: \(1, -2, 1, -2, 1\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 1 & -2 & 1 & -2 & 1 \\ & & 1 & -1 & 0 & -2 \\ \hline & 1 & -1 & 0 & -2 & -1 \end{array} \]

Hodnota je \(-1\).

Koeficienty: \(4, 0, -8\)

\[ \begin{array}{r|ccc} -2 & 4 & 0 & -8 \\ & & -8 & 16 \\ \hline & 4 & -8 & 8 \end{array} \]

Zbytek je \(8\), podíl \(4x – 8\).

Koeficienty: \(2, 0, 1, -7\)

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & 2 & 0 & 1 & -7 \\ & & -4 & 8 & -18 \\ \hline & 2 & -4 & 9 & -25 \end{array} \]

Hodnota je \(-25\).

Koeficienty: \(1, -1, -1, 1, 1\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 \\ & & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{array} \]

Zbytek je \(1\), podíl \(x^3 – x^2 + 1\).

Koeficienty: \(1, 0, -4, 3, -2\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 1 & 0 & -4 & 3 & -2 \\ & & 2 & 4 & 0 & 6 \\ \hline & 1 & 2 & 0 & 3 & 4 \end{array} \]

Hodnota je \(4\).

Koeficienty: \(3, 1, -1, 4\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 2 & 3 & 1 & -1 & 4 \\ & & 6 & 14 & 26 \\ \hline & 3 & 7 & 13 & 30 \end{array} \]

Zbytek je \(30\), podíl \(3x^2 + 7x + 13\).

Koeficienty: \(-2, 1, 0, 5, -1\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} -1 & -2 & 1 & 0 & 5 & -1 \\ & & 2 & -3 & 3 & -8 \\ \hline & -2 & 3 & -3 & 8 & -9 \end{array} \]

Hodnota je \(-9\).

Koeficienty: \(1, -2, 0, 4\)

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & 1 & -2 & 0 & 4 \\ & & -1 & 3 & -3 \\ \hline & 1 & -3 & 3 & 1 \end{array} \]

Zbytek je \(1\), podíl \(x^2 – 3x + 3\).

Koeficienty: \(1, 2, -3, 1, -5, 1\)

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 1 & 2 & -3 & 1 & -5 & 1 \\ & & 1 & 3 & 0 & 1 & -4 \\ \hline & 1 & 3 & 0 & 1 & -4 & -3 \end{array} \]

Hodnota je \(-3\).

Koeficienty: \(-1, 1, 0, -1, 7\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 3 & -1 & 1 & 0 & -1 & 7 \\ & & -3 & -6 & -18 & -57 \\ \hline & -1 & -2 & -6 & -19 & -50 \end{array} \]

Zbytek je \(-50\), podíl \(-x^3 – 2x^2 – 6x – 19\).

Koeficienty: \(2, -3, 1\)

\[ \begin{array}{r|ccc} -3 & 2 & -3 & 1 \\ & & -6 & 27 \\ \hline & 2 & -9 & 28 \end{array} \]

Hodnota je \(28\).

Koeficienty: \(1, 1, -1, -1\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ & & 1 & 2 & 1 \\ \hline & 1 & 2 & 1 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), podíl \(x^2 + 2x + 1\).

Koeficienty: \(-1, 4, -1, 6\)

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & -1 & 4 & -1 & 6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & -1 & 5 & -6 & 12 \end{array} \]

Hodnota je \(12\).

Koeficienty: \(2, 0, -5, 3\)

\[ \begin{array}{r|cccc} -1 & 2 & 0 & -5 & 3 \\ & & -2 & 2 & 3 \\ \hline & 2 & -2 & -3 & 6 \end{array} \]

Zbytek je \(6\), podíl \(2x^2 – 2x – 3\).

Koeficienty: \(4, 0, -3, 0, 2, -7\)

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 4 & 0 & -3 & 0 & 2 & -7 \\ & & 4 & 4 & 1 & 1 & 3 \\ \hline & 4 & 4 & 1 & 1 & 3 & -4 \end{array} \]

Hodnota polynomu v \(x=1\) je \(-4\).

Koeficienty: \(1, 0, -5, 0, 6\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 1 & 0 & -5 & 0 & 6 \\ & & 2 & 4 & -2 & -4 \\ \hline & 1 & 2 & -1 & -2 & 2 \end{array} \]

Zbytek je \(2\), podíl je \(x^3 + 2x^2 – x – 2\).

Koeficienty: \(-3, 7, -4, 1\)

\[ \begin{array}{r|cccc} -2 & -3 & 7 & -4 & 1 \\ & & 6 & -26 & 60 \\ \hline & -3 & 13 & -30 & 61 \end{array} \]

Hodnota polynomu v \(x=-2\) je \(61\).

Koeficienty: \(2, -1, 0, 3, 0, -8\)

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & 2 & -1 & 0 & 3 & 0 & -8 \\ & & -2 & 3 & -3 & 0 & 0 \\ \hline & 2 & -3 & 3 & 0 & 0 & -8 \end{array} \]

Zbytek je \(-8\), podíl je \(2x^4 – 3x^3 + 3x^2\).

Koeficienty: \(1, 0, -4, 1, 0, -1, 5\)

Hodnota polynomu v \(x=0\) je jednoduše konstanta: \(5\).

Koeficienty: \(3, 5, 0, -1, 9\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 3 & 3 & 5 & 0 & -1 & 9 \\ & & 9 & 42 & 126 & 375 \\ \hline & 3 & 14 & 42 & 125 & 384 \end{array} \]

Zbytek je \(384\), podíl je \(3x^3 + 14x^2 + 42x + 125\).

Koeficienty: \(-1, 2, 0, -3, 4\)

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & -1 & 2 & 0 & -3 & 4 \\ & & -2 & 0 & 0 & -6 \\ \hline & -1 & 0 & 0 & -3 & -2 \end{array} \]

Hodnota polynomu v \(x=2\) je \(-2\).

Koeficienty: \(1, -6, 11, -6\)

\[ \begin{array}{r|cccc} 1 & 1 & -6 & 11 & -6 \\ & & 1 & -5 & 6 \\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]

Zbytek je \(0\), podíl je \(x^2 – 5x + 6\).

Koeficienty: \(5, -3, 0, 1, 0, -4\)

\[ \begin{array}{r|cccccc} -1 & 5 & -3 & 0 & 1 & 0 & -4 \\ & & -5 & 8 & -8 & 7 & -7 \\ \hline & 5 & -8 & 8 & -7 & 7 & -11 \end{array} \]

Hodnota polynomu v \(x=-1\) je \(-11\).

Koeficienty: \(2, -1, 0, 4, 0, -1, 7\)

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 4 & 0 & -1 & 7 \\ & & 2 & 1 & 1 & 5 & 5 & 4 \\ \hline & 2 & 1 & 1 & 5 & 5 & 4 & 11 \end{array} \]

Zbytek je \(11\), podíl je \(2x^5 + x^4 + x^3 + 5x^2 + 5x + 4\).

Koeficienty: \(3, 0, -5, 2, 0, -1, 4\)

Použijeme Hornerovo schéma pro \(x=2\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 2 & 3 & 0 & -5 & 2 & 0 & -1 & 4 \\ & & 6 & 12 & 14 & 32 & 64 & 126 \\ \hline & 3 & 6 & 7 & 16 & 32 & 63 & 130 \end{array} \]

Hodnota polynomu v bodě \(x=2\) je \(130\).

Koeficienty: \(1, -4, 3, 0, -7, 2\)

Použijeme Hornerovo schéma pro dělení výrazem \(x – 1\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 1 & 1 & -4 & 3 & 0 & -7 & 2 \\ & & 1 & -3 & 0 & 0 & -7 \\ \hline & 1 & -3 & 3 & 0 & -7 & -5 \end{array} \]

Podíl je \(x^4 – 3x^3 + 3x^2 – 7\), zbytek je \(-5\).

Koeficienty: \(2, -3, 5, -1, 1\)

Použijeme Hornerovo schéma pro \(x = -1\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} -1 & 2 & -3 & 5 & -1 & 1 \\ & & -2 & 5 & -10 & 11 \\ \hline & 2 & -5 & 10 & -11 & 12 \end{array} \]

Hodnota polynomu v \(x=-1\) je \(12\).

Koeficienty: \(5, -3, 2, -1, 0, 0, 4\)

Použijeme Hornerovo schéma pro dělení výrazem \(x + 2\), tedy \(x – (-2)\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} -2 & 5 & -3 & 2 & -1 & 0 & 0 & 4 \\ & & -10 & 26 & -48 & 98 & -196 & 392 \\ \hline & 5 & -13 & 28 & -49 & 98 & -196 & 396 \end{array} \]

Zbytek je \(396\), podíl je \(5x^5 – 13x^4 + 28x^3 – 49x^2 + 98x – 196\).

Koeficienty: \(-1, 4, -6, 3, -1, 2\)

Použijeme Hornerovo schéma pro \(x=3\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 3 & -1 & 4 & -6 & 3 & -1 & 2 \\ & & -3 & 3 & -9 & -18 & -57 \\ \hline & -1 & 1 & -3 & -6 & -19 & -55 \end{array} \]

Hodnota polynomu v \(x=3\) je \(-55\).

Koeficienty: \(1, -2, 3, -4, 5\)

Použijeme Hornerovo schéma pro dělení výrazem \(x – 2\):

\[ \begin{array}{r|ccccc} 2 & 1 & -2 & 3 & -4 & 5 \\ & & 2 & 0 & 6 & 4 \\ \hline & 1 & 0 & 3 & 2 & 9 \end{array} \]

Podíl je \(x^3 + 0x^2 + 3x + 2\), zbytek je \(9\).

Koeficienty: \(6, -7, 5, -3, 2, -1\)

Použijeme Hornerovo schéma pro \(x = -2\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} -2 & 6 & -7 & 5 & -3 & 2 & -1 \\ & & -12 & 38 & -86 & 178 & -360 \\ \hline & 6 & -19 & 43 & -89 & 180 & -361 \end{array} \]

Hodnota polynomu v \(x=-2\) je \(-361\).

Koeficienty: \(4, -3, 2, -1, 5, 0, 0, -2, 1\)

Použijeme Hornerovo schéma pro dělení výrazem \(x + 1\), tedy \(x – (-1)\):

\[ \begin{array}{r|ccccccccc} -1 & 4 & -3 & 2 & -1 & 5 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ & & -4 & 7 & -9 & 10 & -10 & 10 & -10 & 12 \\ \hline & 4 & -7 & 9 & -10 & 15 & -10 & 10 & -12 & 13 \end{array} \]

Zbytek je \(13\), podíl je \(4x^7 – 7x^6 + 9x^5 – 10x^4 + 15x^3 – 10x^2 + 10x – 12\).

Koeficienty: \(1, -5, 10, -10, 5, -1, 1\)

Použijeme Hornerovo schéma pro \(x=1\):

\[ \begin{array}{r|ccccccc} 1 & 1 & -5 & 10 & -10 & 5 & -1 & 1 \\ & & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 \\ \hline & 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 & 1 \end{array} \]

Hodnota polynomu v \(x=1\) je \(1\).

Koeficienty: \(7, -4, 3, 0, -1, 6\)

Použijeme Hornerovo schéma pro dělení výrazem \(x – 3\):

\[ \begin{array}{r|cccccc} 3 & 7 & -4 & 3 & 0 & -1 & 6 \\ & & 21 & 51 & 162 & 486 & 1455 \\ \hline & 7 & 17 & 54 & 162 & 485 & 1461 \end{array} \]

Podíl je \(7x^4 + 17x^3 + 54x^2 + 162x + 485\), zbytek je \(1461\).