1. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce \( A = \pi x^2 \), kde \( A \) je obsah kruhu.
Řešení příkladu:
Máme vzorec pro obsah kruhu \( A = \pi x^2 \). Naším cílem je vyjádřit neznámou \( x \).
Začneme tím, že obě strany rovnice vydělíme \(\pi\):
\( A = \pi x^2 \Rightarrow \frac{A}{\pi} = x^2 \)
Poté odmocníme obě strany rovnice, abychom získali \( x \):
\( x = \pm \sqrt{\frac{A}{\pi}} \)
Protože \( x \) reprezentuje poloměr kruhu, který je vždy nezáporný, vybereme kladnou odmocninu:
\( x = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \)
Tím jsme vyjádřili neznámou \( x \) ze zadaného vzorce.
2. Vyjádřete neznámou \( v \) ze vzorce pro rychlost: \( s = vt \), kde \( s \) je dráha, \( t \) je čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = vt \). Chceme vyjádřit \( v \).
Obě strany rovnice vydělíme \( t \), za předpokladu, že \( t \neq 0 \):
\( \frac{s}{t} = v \)
Tedy:
\( v = \frac{s}{t} \)
Tím jsme úspěšně vyjádřili rychlost \( v \) ze vzorce pro pohyb.
3. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce \( U = IR \), kde \( U \) je napětí a \( R \) odpor.
Řešení příkladu:
Máme vztah \( U = IR \), cílem je vyjádřit \( I \).
Obě strany rovnice vydělíme \( R \), pokud \( R \neq 0 \):
\( \frac{U}{R} = I \)
Výsledek:
\( I = \frac{U}{R} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
4. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro průměrnou rychlost \( v = \frac{s}{t} \), kde \( s \) je dráha.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = \frac{s}{t} \), chceme vyjádřit \( t \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( t \):
\( vt = s \)
Poté vydělíme obě strany rovnice \( v \), pokud \( v \neq 0 \):
\( t = \frac{s}{v} \)
Tím máme \( t \) vyjádřeno jako:
\( t = \frac{s}{v} \)
5. Vyjádřete neznámou \( F \) ze vzorce pro Newtonův druhý zákon \( F = ma \), kde \( m \) je hmotnost tělesa a \( a \) jeho zrychlení. Vypočítejte sílu, pokud má těleso hmotnost \( 10 \, \mathrm{kg} \) a zrychlení \( 3 \, \mathrm{m/s^2} \).
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = ma \), chceme vyjádřit sílu \( F \).
Dosadíme známé hodnoty:
\( m = 10 \, \mathrm{kg} \), \( a = 3 \, \mathrm{m/s^2} \)
Vypočítáme sílu:
\( F = 10 \times 3 = 30 \, \mathrm{N} \)
Tím jsme vyjádřili a vypočítali sílu \( F = 30 \, \mathrm{N} \).
6. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce \( p = m v \), kde \( p \) je hybnost, \( v \) rychlost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( p = m v \), chceme vyjádřit \( m \).
Vydělíme obě strany rovnice \( v \), pokud \( v \neq 0 \):
\( m = \frac{p}{v} \)
Tím máme vyjádřenou neznámou \( m \).
7. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro potenciální energii \( E_p = mgh \), kde \( m \) je hmotnost, \( g \) tíhové zrychlení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_p = mgh \), chceme vyjádřit \( h \).
Vydělíme obě strany rovnice \( mg \), pokud \( m \neq 0 \) a \( g \neq 0 \):
\( h = \frac{E_p}{mg} \)
Tím máme neznámou \( h \) vyjádřenu.
8. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \) je dráha, \( v_0 \) počáteční rychlost, \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), chceme vyjádřit \( a \).
Nejprve odečteme \( v_0 t \) od obou stran:
\( s – v_0 t = \frac{1}{2} a t^2 \)
Následně vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2(s – v_0 t) = a t^2 \)
Pak vydělíme obě strany rovnice \( t^2 \), pokud \( t \neq 0 \):
\( a = \frac{2(s – v_0 t)}{t^2} \)
Tím máme vyjádřenou neznámou \( a \).
9. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce pro obvod kruhu \( O = 2 \pi r \).
Řešení příkladu:
Vzorec je \( O = 2 \pi r \), chceme vyjádřit \( r \).
Obě strany rovnice vydělíme \( 2 \pi \), pokud \( \pi \neq 0 \):
\( r = \frac{O}{2 \pi} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
10. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce \( y = \frac{k}{x} + b \), kde \( k \), \( b \), \( y \) jsou známé konstanty.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( y = \frac{k}{x} + b \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve odečteme \( b \) od obou stran:
\( y – b = \frac{k}{x} \)
Pak rovnou vynásobíme obě strany \( x \):
\( x(y – b) = k \)
Nakonec vydělíme obě strany \( y – b \), pokud \( y \neq b \):
\( x = \frac{k}{y – b} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
11. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro pohyb s konstantním zrychlením \( v = v_0 + at \), kde \( v \) je konečná rychlost, \( v_0 \) počáteční rychlost, \( a \) zrychlení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = v_0 + at \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve odečteme \( v_0 \) od obou stran:
\( v – v_0 = at \)
Poté vydělíme obě strany rovnice \( a \), pokud \( a \neq 0 \):
\( t = \frac{v – v_0}{a} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
12. Vyjádřete neznámou \( y \) ze vzorce lineární funkce \( y = kx + q \), kde \( k \) je směrnice přímky, \( q \) průsečík s osou \( y \), a \( x \) je hodnota nezávislé proměnné. Vypočítejte \( y \) pro \( k = 2 \), \( q = -3 \) a \( x = 4 \).
Řešení příkladu:
Vzorec lineární funkce je \( y = kx + q \).
Dosadíme hodnoty:
\( k = 2 \), \( q = -3 \), \( x = 4 \)
Vypočítáme \( y \):
\( y = 2 \times 4 + (-3) = 8 – 3 = 5 \)
Tím je neznámá \( y \) vyjádřena a vypočítána: \( y = 5 \).
13. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce \( a = \frac{b}{x + c} \), kde \( a \), \( b \), \( c \) jsou známé konstanty.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( a = \frac{b}{x + c} \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( x + c \):
\( a(x + c) = b \)
Roznásobíme levou stranu:
\( a x + a c = b \)
Odečteme \( a c \) od obou stran:
\( a x = b – a c \)
Poté vydělíme obě strany rovnice \( a \), pokud \( a \neq 0 \):
\( x = \frac{b – a c}{a} \)
Tím máme vyjádřenou neznámou \( x \).
14. Vyjádřete neznámou \( y \) ze vzorce \( \frac{1}{y} = mx + n \), kde \( m \), \( n \), \( x \) jsou známé konstanty.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \frac{1}{y} = mx + n \), chceme vyjádřit \( y \).
Nejprve přepíšeme rovnost na tvar:
\( \frac{1}{y} = mx + n \)
Poté vyjádříme \( y \) jako převrácenou hodnotu pravé strany, pokud \( mx + n \neq 0 \):
\( y = \frac{1}{mx + n} \)
Tím je neznámá \( y \) vyjádřena.
15. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro objem válce \( V = \pi r^2 h \), kde \( r \) je poloměr podstavy a \( h \) výška válce. Vypočítejte objem válce, pokud \( r = 3\,\text{cm} \) a \( h = 5\,\text{cm} \).
Pravá strana se upraví podle vlastnosti logaritmů:
\( \ln \left(e^{kx}\right) = kx \)
Tedy máme:
\( \ln \left(\frac{y}{A}\right) = kx \)
Vydělíme obě strany rovnice \( k \), pokud \( k \neq 0 \):
\( x = \frac{1}{k} \ln \left(\frac{y}{A}\right) \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
20. Vyjádřete neznámou \( R \) ze vzorce \( \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \), kde \( R_1 \), \( R_2 \) jsou známé odpory.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \), chceme vyjádřit \( R \).
Nejprve sečteme pravé strany pod společného jmenovatele:
\( \frac{1}{R} = \frac{R_2 + R_1}{R_1 R_2} \)
Poté vezmeme převrácenou hodnotu obou stran rovnice:
\( R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \)
Tím je neznámá \( R \) vyjádřena.
21. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \), kde \( a, b, c, d, y \) jsou známé konstanty a \( cx + d \neq 0 \).
Řešení příkladu:
Vzorec je \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( cx + d \):
\( y(cx + d) = ax + b \)
Roznásobíme levou stranu:
\( ycx + yd = ax + b \)
Převedeme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a ostatní na druhou:
\( ycx – ax = b – yd \)
Vyjmeme \( x \) z levé strany:
\( x(yc – a) = b – yd \)
Pokud \( yc – a \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice touto hodnotou:
\( x = \frac{b – yd}{yc – a} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
22. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce pro povrch koule \( S = 4 \pi r^2 \), kde \( S \) je známý povrch.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( S = 4 \pi r^2 \), chceme vyjádřit \( r \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( 4 \pi \), pokud \( \pi \neq 0 \):
\( \frac{S}{4 \pi} = r^2 \)
Poté odmocníme obě strany rovnice, přičemž vezmeme v úvahu, že \( r \geq 0 \):
\( r = \sqrt{\frac{S}{4 \pi}} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
23. Vyjádřete neznámou \( p \) ze vzorce \( E = pV \), kde \( E \) je energie, \( V \) objem.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E = pV \), chceme vyjádřit \( p \).
Vydělíme obě strany rovnice \( V \), pokud \( V \neq 0 \):
\( p = \frac{E}{V} \)
Tím je neznámá \( p \) vyjádřena.
24. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \), \( v_0 \), \( a \) jsou známé.
Řešení příkladu:
Vzorec je kvadratická rovnice v \( t \):
\( \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t – s = 0 \)
Pro jednoduchost označíme koeficienty:
\( A = \frac{1}{2} a, \quad B = v_0, \quad C = -s \)
Rovnice má tvar:
\( A t^2 + B t + C = 0 \)
Řešení pomocí kvadratické rovnice:
\( t = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A} \)
Dosadíme zpět:
\( t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 – 2 a (-s) \cdot 4}}{a} \)
Upraveně:
\( t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2 a s \cdot 4}}{a} \)
Protože \( 4 \times \frac{1}{2} = 2 \), správně tedy:
\( t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2 a s \cdot 4}}{a} \) není přesné, opravíme výpočet diskriminantu:
Diskriminant \( D = B^2 – 4AC = v_0^2 – 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot (-s) = v_0^2 + 2 a s \)
Výsledné řešení:
\( t = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2 a s}}{a} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
25. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce Hookova zákona \( F = k \Delta x \), kde \( F \) je síla, \( k \) konstanta pružnosti, \( \Delta x \) prodloužení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = k \Delta x \), neznámá je \( k \) nebo \( \Delta x \). Pokud chceme vyjádřit \( k \):
\( k = \frac{F}{\Delta x} \), pokud \( \Delta x \neq 0 \).
Pokud chceme vyjádřit \( \Delta x \):
\( \Delta x = \frac{F}{k} \), pokud \( k \neq 0 \).
26. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce logaritmické funkce \( y = \log_a x \), kde \( a \) je základ logaritmu a \( x \) argument.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( y = \log_a x \), chceme vyjádřit \( x \).
Podle definice logaritmu:
\( a^y = x \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena jako:
\( x = a^y \)
27. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro obvod obdélníku \( O = 2(x + y) \), kde \( y \) a \( O \) jsou známé.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( O = 2(x + y) \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice 2:
\( \frac{O}{2} = x + y \)
Poté odečteme \( y \) od obou stran:
\( x = \frac{O}{2} – y \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
28. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce \( A = \frac{1}{2} b h \), kde \( A \) je obsah trojúhelníku, \( b \) základna, \( h \) výška.
Řešení příkladu:
Pokud chceme vyjádřit základnu \( b \), vzorec přepíšeme jako:
\( A = \frac{1}{2} b h \)
Vydělíme obě strany \( \frac{1}{2} h \), pokud \( h \neq 0 \):
\( b = \frac{2A}{h} \)
Tím je neznámá \( b \) vyjádřena.
29. Vyjádřete neznámou \( R \) ze vzorce pro elektrický výkon \( P = \frac{U^2}{R} \), kde \( P \) je výkon, \( U \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = \frac{U^2}{R} \), chceme vyjádřit \( R \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( R \):
\( P R = U^2 \)
Poté vydělíme obě strany rovnice \( P \), pokud \( P \neq 0 \):
\( R = \frac{U^2}{P} \)
Tím je neznámá \( R \) vyjádřena.
30. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce \( I = I_0 e^{-\lambda t} \), kde \( I \) je intenzita, \( I_0 \) počáteční intenzita, \( \lambda \) rozpadová konstanta.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( I = I_0 e^{-\lambda t} \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( I_0 \), pokud \( I_0 \neq 0 \):
\( \frac{I}{I_0} = e^{-\lambda t} \)
Použijeme přirozený logaritmus na obě strany:
\( \ln \frac{I}{I_0} = \ln e^{-\lambda t} \)
Podle vlastnosti logaritmů:
\( \ln \frac{I}{I_0} = -\lambda t \)
Vydělíme obě strany rovnice \( -\lambda \), pokud \( \lambda \neq 0 \):
\( t = -\frac{1}{\lambda} \ln \frac{I}{I_0} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
31. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce \( y = \frac{mx + b}{nx + c} \), kde \( m, b, n, c, y \) jsou známé konstanty a \( nx + c \neq 0 \).
Řešení příkladu:
Máme \( y = \frac{mx + b}{nx + c} \), chceme vyjádřit \( x \).
Vynásobíme obě strany rovnice výrazem \( nx + c \):
\( y(nx + c) = mx + b \)
Roznásobíme levou stranu:
\( ynx + yc = mx + b \)
Převedeme všechny členy s \( x \) na jednu stranu a ostatní na druhou:
\( ynx – mx = b – yc \)
Vyjmeme \( x \) z levé strany:
\( x(yn – m) = b – yc \)
Pokud \( yn – m \neq 0 \), vydělíme rovnost touto hodnotou:
\( x = \frac{b – yc}{yn – m} \)
Tím je \( x \) vyjádřeno.
32. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce objemu válce \( V = \pi r^2 h \), kde \( V \) je objem, \( h \) výška.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \pi r^2 h \), chceme vyjádřit \( r \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( \pi h \), pokud \( h \neq 0 \) a \( \pi \neq 0 \):
\( \frac{V}{\pi h} = r^2 \)
Poté odmocníme obě strany rovnice, přičemž vezmeme \( r \geq 0 \):
\( r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
33. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce \( A = P(1 + rt) \), kde \( A \) je konečná částka, \( P \) počáteční částka, \( r \) úroková sazba.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( A = P(1 + rt) \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( P \), pokud \( P \neq 0 \):
\( \frac{A}{P} = 1 + rt \)
Poté odečteme 1 od obou stran:
\( \frac{A}{P} – 1 = rt \)
Nakonec vydělíme obě strany rovnice \( r \), pokud \( r \neq 0 \):
\( t = \frac{\frac{A}{P} – 1}{r} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
34. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro harmonickou frekvenci \( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \), kde \( k = m a \), \( f, m \) známé.
Řešení příkladu:
Nejprve vyjádříme \( k \) ze vztahu \( k = m a \), což je definice pružnostní konstanty \( k \) závislé na \( a \).
Vzorec pro frekvenci je \( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} \).
Dosadíme \( k = m a \):
\( f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{m a}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{a} \)
Vynásobíme obě strany rovnice \( 2\pi \):
\( 2 \pi f = \sqrt{a} \)
Odmocníme obě strany rovnice:
\( (2 \pi f)^2 = a \)
Neznámá \( a \) je tedy:
\( a = 4 \pi^2 f^2 \)
35. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro ideální plyn \( PV = nRT \), kde \( P \) je tlak, \( n \) látkové množství, \( R \) plynová konstanta, \( T \) teplota.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( PV = nRT \), chceme vyjádřit \( V \).
Vydělíme obě strany rovnice \( P \), pokud \( P \neq 0 \):
\( V = \frac{nRT}{P} \)
Tím je neznámá \( V \) vyjádřena.
36. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce \( y = \frac{a x^2 + b x + c}{d x + e} \), kde \( a, b, c, d, e \) jsou konstanty, \( d x + e \neq 0 \).
Řešení příkladu:
Chceme vyjádřit \( x \) ze vzorce \( y = \frac{a x^2 + b x + c}{d x + e} \).
Vynásobíme obě strany \( d x + e \):
\( y (d x + e) = a x^2 + b x + c \)
Roznásobíme levou stranu:
\( y d x + y e = a x^2 + b x + c \)
Převedeme všechny členy na jednu stranu:
\( 0 = a x^2 + b x + c – y d x – y e \)
Uspořádáme podle \( x \):
\( a x^2 + (b – y d) x + (c – y e) = 0 \)
Jedná se o kvadratickou rovnici v \( x \), kterou řešíme pomocí kvadratického vzorce:
\( x = \frac{-(b – y d) \pm \sqrt{(b – y d)^2 – 4 a (c – y e)}}{2 a} \)
Tím je \( x \) vyjádřeno, pokud diskriminant není záporný a \( a \neq 0 \).
37. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce \( S = v t + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( S \) je dráha, \( v \) počáteční rychlost, \( a \) zrychlení.
Řešení příkladu:
Máme kvadratickou rovnici podle \( t \):
\( \frac{1}{2} a t^2 + v t – S = 0 \)
Vynásobíme celou rovnici 2, aby nebyl zlomek:
\( a t^2 + 2 v t – 2 S = 0 \)
Jedná se o kvadratickou rovnici ve tvaru \( a t^2 + b t + c = 0 \), kde \( a = a \), \( b = 2 v \), \( c = -2 S \).
Řešení pomocí kvadratického vzorce:
\( t = \frac{-2 v \pm \sqrt{(2 v)^2 – 4 a (-2 S)}}{2 a} = \frac{-2 v \pm \sqrt{4 v^2 + 8 a S}}{2 a} \)
Zjednodušíme:
\( t = \frac{-2 v \pm 2 \sqrt{v^2 + 2 a S}}{2 a} = \frac{-v \pm \sqrt{v^2 + 2 a S}}{a} \)
Tím je \( t \) vyjádřeno, přičemž vybíráme reálné a fyzikálně smysluplné řešení.
38. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro elektrický odpor \( R = \frac{U}{I} \), kde \( R \) je odpor, \( U \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( R = \frac{U}{I} \), chceme vyjádřit \( I \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( I \):
\( R I = U \)
Poté vydělíme obě strany rovnice \( R \), pokud \( R \neq 0 \):
\( I = \frac{U}{R} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
39. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce \( A = P e^{r t} \), kde \( A \) je konečná částka, \( P \) počáteční částka, \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( A = P e^{r t} \), chceme vyjádřit \( r \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( P \), pokud \( P \neq 0 \):
\( \frac{A}{P} = e^{r t} \)
Použijeme přirozený logaritmus na obě strany:
\( \ln \frac{A}{P} = \ln e^{r t} \)
Podle vlastnosti logaritmů:
\( \ln \frac{A}{P} = r t \)
Vydělíme obě strany rovnice \( t \), pokud \( t \neq 0 \):
\( r = \frac{1}{t} \ln \frac{A}{P} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
40. Vyjádřete neznámou \( \theta \) ze vzorce pro obsah kruhového výseku \( S = \frac{r^2 \theta}{2} \), kde \( r \) je poloměr, \( \theta \) středový úhel v radiánech.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( S = \frac{r^2 \theta}{2} \), chceme vyjádřit \( \theta \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 S = r^2 \theta \)
Poté vydělíme obě strany rovnice \( r^2 \), pokud \( r \neq 0 \):
\( \theta = \frac{2 S}{r^2} \)
Tím je neznámá \( \theta \) vyjádřena.
41. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro obsah lichoběžníku \( S = \frac{(a + b)}{2} h \), kde \( a \) a \( b \) jsou délky rovnoběžných stran a \( h \) výška. Zde \( a = x \) je neznámá.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( S = \frac{(a + b)}{2} h \), kde chceme vyjádřit \( a = x \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2, abychom se zbavili zlomku:
\( 2 S = (a + b) h \)
Pokud \( h \neq 0 \), vydělíme obě strany \( h \):
\( \frac{2 S}{h} = a + b \)
Nyní odečteme \( b \) od obou stran rovnice:
\( \frac{2 S}{h} – b = a \)
Tím je \( a = x \) vyjádřena:
\( x = \frac{2 S}{h} – b \)
42. Vyjádřete délku přepony \( c \) pravoúhlého trojúhelníku ze vzorce pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku \( r = \frac{c}{2} \), kde \( r \) je poloměr kružnice opsané.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( r = \frac{c}{2} \), chceme vyjádřit \( c \).
Vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2r = c \)
Tím je neznámá \( c \) vyjádřena jako \( c = 2r \).
Například pokud \( r = 7\,\text{cm} \), pak \( c = 2 \times 7 = 14\,\text{cm} \).
43. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce elektrického výkonu \( P = U I \), kde \( P \) je výkon, \( U \) napětí, \( I \) proud.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = U I \), chceme vyjádřit \( I \).
Pokud \( U \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( U \):
\( I = \frac{P}{U} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
44. Vyjádřete neznámou \( b \) ze vzorce pro rovnici přímky v tvaru \( y = ax + b \), kde \( a, x, y \) jsou známy.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( y = a x + b \), chceme vyjádřit \( b \).
Odečteme \( a x \) od obou stran rovnice:
\( y – a x = b \)
Tím je \( b \) vyjádřeno:
\( b = y – a x \)
45. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce objemu pyramidy \( V = \frac{1}{3} S_p h \), kde \( V \) je objem, \( S_p \) obsah podstavy, \( h \) výška.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \frac{1}{3} S_p h \), chceme vyjádřit \( h \).
Vynásobíme obě strany rovnice 3, abychom se zbavili zlomku:
\( 3 V = S_p h \)
Pokud \( S_p \neq 0 \), vydělíme obě strany \( S_p \):
\( h = \frac{3 V}{S_p} \)
Tím je neznámá \( h \) vyjádřena.
46. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce Newtonova druhého zákona \( F = m a \), kde \( F \) je síla, \( m \) hmotnost, \( a \) zrychlení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = m a \), chceme vyjádřit \( m \).
Pokud \( a \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( a \):
\( m = \frac{F}{a} \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
47. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro rovnováhu sil v momentu \( M = F d \), kde \( M \) je moment síly, \( F = x \) je síla, \( d \) rameno síly.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( M = F d \), kde \( F = x \) je neznámá.
Pokud \( d \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( d \):
\( x = \frac{M}{d} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
48. Vyjádřete neznámou \( C \) ze vzorce pro kapacitu kondenzátoru \( Q = C U \), kde \( Q \) je náboj, \( C \) kapacita, \( U \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( Q = C U \), chceme vyjádřit \( C \).
Pokud \( U \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( U \):
\( C = \frac{Q}{U} \)
Tím je neznámá \( C \) vyjádřena.
49. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro hustotu \( \rho = \frac{m}{V} \), kde \( \rho \) je hustota, \( m \) hmotnost a \( V \) objem.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \rho = \frac{m}{V} \), chceme vyjádřit \( V \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( V \), abychom se zbavili zlomku:
\( \rho V = m \)
Pokud \( \rho \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \rho \):
\( V = \frac{m}{\rho} \)
Tím je neznámá \( V \) vyjádřena.
50. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro exponenciální růst \( N = N_0 e^{kt} \), kde \( N \) je konečná hodnota, \( N_0 \) počáteční hodnota, \( k \) konstanta růstu.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( N = N_0 e^{kt} \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( N_0 \), pokud \( N_0 \neq 0 \):
\( \frac{N}{N_0} = e^{kt} \)
Vezmeme přirozený logaritmus obou stran rovnice, protože \( \ln(e^{kt}) = kt \):
\( \ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = kt \)
Pokud \( k \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( k \):
\( t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{N}{N_0}\right) \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
51. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro střední rychlost při rovnoměrném pohybu \( v = \frac{s}{t} \), kde \( s = a \) je dráha a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = \frac{s}{t} \), chceme vyjádřit \( s = a \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( t \), pokud \( t \neq 0 \):
\( a = v t \)
Tím je neznámá \( a \) vyjádřena.
52. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro výpočet elektrického odporu \( R = \frac{\rho l}{S} \), kde \( \rho \) je měrný odpor, \( l = t \) délka vodiče, \( S \) průřez.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( R = \frac{\rho l}{S} \), chceme vyjádřit \( l = t \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( S \), pokud \( S \neq 0 \):
\( R S = \rho t \)
Pokud \( \rho \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \rho \):
\( t = \frac{R S}{\rho} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
53. Vyjádřete neznámou \( v \) ze vzorce pro kinetickou energii \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), kde \( E_k \) je kinetická energie, \( m \) hmotnost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), chceme vyjádřit \( v \).
Vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 E_k = m v^2 \)
Pokud \( m \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( m \):
\( \frac{2 E_k}{m} = v^2 \)
Vezmeme druhou odmocninu obou stran (předpokládáme \( v \geq 0 \)):
\( v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}} \)
Tím je neznámá \( v \) vyjádřena.
54. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro Newtonův gravitační zákon \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \), kde \( F \) je síla, \( G \) gravitační konstanta, \( m_1 \) a \( m_2 = m \) jsou hmotnosti, \( r \) vzdálenost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \), chceme vyjádřit \( m_2 = m \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( r^2 \):
\( F r^2 = G m_1 m \)
Pokud \( G m_1 \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( G m_1 \):
\( m = \frac{F r^2}{G m_1} \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
55. Vyjádřete neznámou \( n \) ze vzorce pro počet molů v ideálním plynu \( p V = n R T \), kde \( p \) tlak, \( V \) objem, \( R \) univerzální plynová konstanta, \( T \) teplota.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( p V = n R T \), chceme vyjádřit \( n \).
Pokud \( R T \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( R T \):
\( n = \frac{p V}{R T} \)
Tím je neznámá \( n \) vyjádřena.
56. Vyjádřete neznámou \( l \) ze vzorce pro periodu kyvadla \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), kde \( T \) je perioda, \( l \) délka kyvadla, \( g \) gravitační zrychlení.
Řešení příkladu:
Máme vzorec \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \) a chceme vyjádřit \( l \).
1. Prvním krokem je vydělit obě strany rovnice \( 2\pi \):
\( \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{g}} \)
2. Obě strany umocníme na druhou, abychom se zbavili odmocniny:
\( \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{l}{g} \)
3. Poté vynásobíme obě strany rovnice \( g \), abychom vyjádřili \( l \):
\( l = g \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 \)
Tím jsme vyjádřili \( l \) z daného vzorce.
57. Vyjádřete neznámou \( C \) ze vzorce pro kapacitu kondenzátoru \( Q = C U \), kde \( Q \) je náboj, \( U \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( Q = C U \), chceme vyjádřit \( C \).
Pokud \( U \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( U \):
\( C = \frac{Q}{U} \)
Tím je neznámá \( C \) vyjádřena.
58. Vyjádřete neznámou \( \omega \) ze vzorce pro úhlovou rychlost \( v = \omega r \), kde \( v \) je obvodová rychlost, \( r \) poloměr otáčení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = \omega r \), chceme vyjádřit \( \omega \).
Pokud \( r \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( r \):
\( \omega = \frac{v}{r} \)
Tím je neznámá \( \omega \) vyjádřena.
59. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro intenzitu elektrického proudu \( Q = I t \), kde \( Q \) je náboj, \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( Q = I t \), chceme vyjádřit \( I \).
Pokud \( t \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( t \):
\( I = \frac{Q}{t} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
60. Vyjádřete neznámou \( s \) ze vzorce pro druhou rovinu pohybu \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \) je dráha, \( v_0 \) počáteční rychlost, \( a \) zrychlení, \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), chceme vyjádřit \( s \).
Tento vzorec již vyjadřuje \( s \) přímo, ale pro různorodost vyjádříme \( a \) místo \( s \).
Nejprve odečteme \( v_0 t \) od obou stran rovnice:
\( s – v_0 t = \frac{1}{2} a t^2 \)
Vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2(s – v_0 t) = a t^2 \)
Pokud \( t \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( t^2 \):
\( a = \frac{2(s – v_0 t)}{t^2} \)
Tím jsme vyjádřili \( a \) ze vzorce.
61. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce pro objem válce \( V = \pi r^2 h \), kde \( V \) je objem, \( r \) poloměr podstavy a \( h \) výška válce.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \pi r^2 h \), chceme vyjádřit \( r \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( \pi h \), pokud \( \pi h \neq 0 \):
\( \frac{V}{\pi h} = r^2 \)
Poté vezmeme druhou odmocninu obou stran, přičemž předpokládáme \( r \geq 0 \):
\( r = \sqrt{\frac{V}{\pi h}} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
62. Vyjádřete neznámou \( c \) ze vzorce pro obvod obdélníku \( O = 2(a + c) \), kde \( O \) je obvod, \( a \) a \( c \) jsou délky stran obdélníku.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( O = 2(a + c) \), chceme vyjádřit \( c \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice 2:
\( \frac{O}{2} = a + c \)
Poté odečteme \( a \) od obou stran rovnice:
\( \frac{O}{2} – a = c \)
Tím je neznámá \( c \) vyjádřena.
63. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro kinetickou energii \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), kde \( E_k \) je kinetická energie, \( m \) hmotnost a \( v \) rychlost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), chceme vyjádřit \( m \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 E_k = m v^2 \)
Pokud \( v \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( v^2 \):
\( m = \frac{2 E_k}{v^2} \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
64. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro rovinu přímky \( y = kx + q \), kde \( y \) a \( x \) jsou souřadnice bodu, \( k \) je směrnice a \( q \) průsečík s osou y.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( y = kx + q \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve odečteme \( q \) od obou stran rovnice:
\( y – q = kx \)
Pokud \( k \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( k \):
\( x = \frac{y – q}{k} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
65. Vyjádřete neznámou \( d \) ze vzorce pro Pythagorovu větu \( c^2 = a^2 + d^2 \), kde \( c \) je přepona, \( a \) a \( d \) odvěsny pravoúhlého trojúhelníku.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( c^2 = a^2 + d^2 \), chceme vyjádřit \( d \).
Nejprve odečteme \( a^2 \) od obou stran rovnice:
\( c^2 – a^2 = d^2 \)
Poté vezmeme druhou odmocninu obou stran, přičemž předpokládáme \( d \geq 0 \):
\( d = \sqrt{c^2 – a^2} \)
Tím je neznámá \( d \) vyjádřena.
66. Vyjádřete neznámou \( S \) ze vzorce pro tlak \( p = \frac{F}{S} \), kde \( p \) je tlak, \( F \) síla a \( S \) plocha.
Řešení příkladu:
Máme vzorec \( p = \frac{F}{S} \) a chceme vyjádřit \( S \).
1. Prvním krokem je vynásobit obě strany rovnice \( S \):
\( p S = F \)
2. Nyní, pokud \( p \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( p \):
\( S = \frac{F}{p} \)
Tím jsme vyjádřili \( S \) ze vzorce.
67. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro elektrický výkon \( P = U I \), kde \( P \) je výkon, \( U \) napětí a \( I \) proud.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = U I \), chceme vyjádřit \( I \).
Pokud \( U \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( U \):
\( I = \frac{P}{U} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
68. Vyjádřete neznámou \( \alpha \) ze vzorce pro součet úhlů v trojúhelníku \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \), kde \( \alpha, \beta, \gamma \) jsou úhly trojúhelníku.
Odečteme \( \beta + \gamma \) od obou stran rovnice:
\( \alpha = 180^\circ – \beta – \gamma \)
Tím je neznámá \( \alpha \) vyjádřena.
69. Vyjádřete neznámou \( A \) ze vzorce pro obsah trojúhelníku \( S = \frac{1}{2} A h \), kde \( S \) je obsah, \( A \) délka základny a \( h \) výška trojúhelníku.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( S = \frac{1}{2} A h \), chceme vyjádřit \( A \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2S = A h \)
Pokud \( h \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( h \):
\( A = \frac{2S}{h} \)
Tím je neznámá \( A \) vyjádřena.
70. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro rovnoměrný pohyb \( s = vt \), kde \( s \) je dráha, \( v \) rychlost a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = vt \), chceme vyjádřit \( t \).
Pokud \( v \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( v \):
\( t = \frac{s}{v} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
71. Vyjádřete neznámou \( y \) ze vzorce pro rovinnou rovnicu přímky v obecné formě \( Ax + By + C = 0 \), kde \( A, B, C \) jsou konstanty a \( B \neq 0 \).
Řešení příkladu:
Vzorec je \( Ax + By + C = 0 \), chceme vyjádřit \( y \).
Nejprve odečteme \( Ax + C \) od obou stran:
\( By = -Ax – C \)
Pokud \( B \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( B \):
\( y = \frac{-Ax – C}{B} \)
Tím je neznámá \( y \) vyjádřena.
72. Vyjádřete neznámou \( T \) ze vzorce pro zákon ideálního plynu \( PV = nRT \), kde \( P \) je tlak, \( V \) objem, \( n \) počet molů, \( R \) plynová konstanta a \( T \) teplota.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( PV = nRT \), chceme vyjádřit \( T \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( nR \), pokud \( nR \neq 0 \):
\( T = \frac{PV}{nR} \)
Tím je neznámá \( T \) vyjádřena.
73. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \) je dráha, \( v_0 \) počáteční rychlost, \( a \) zrychlení a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), chceme vyjádřit \( a \).
Nejprve odečteme \( v_0 t \) od obou stran rovnice:
\( s – v_0 t = \frac{1}{2} a t^2 \)
Pokud \( t \neq 0 \), vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2(s – v_0 t) = a t^2 \)
Pokud \( t^2 \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( t^2 \):
\( a = \frac{2(s – v_0 t)}{t^2} \)
Tím je neznámá \( a \) vyjádřena.
74. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro elektrický odpor \( R = \frac{U}{I} \), kde \( U \) je napětí a \( I \) proud.
Řešení příkladu:
Máme vzorec \( R = \frac{U}{I} \) a chceme vyjádřit \( I \).
1. Prvním krokem je vynásobit obě strany rovnice \( I \):
\( R I = U \)
2. Nyní, pokud \( R \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( R \):
\( I = \frac{U}{R} \)
Tím jsme vyjádřili \( I \) ze vzorce.
75. Vyjádřete neznámou \( k \) ze vzorce exponenciálního růstu \( N = N_0 e^{kt} \), kde \( N \) je konečná hodnota, \( N_0 \) počáteční hodnota, \( k \) růstová konstanta a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( N = N_0 e^{kt} \), chceme vyjádřit \( k \).
Pokud \( N_0 \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( N_0 \):
\( \frac{N}{N_0} = e^{kt} \)
Vezmeme přirozený logaritmus obou stran:
\( \ln \frac{N}{N_0} = kt \)
Pokud \( t \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( t \):
\( k = \frac{1}{t} \ln \frac{N}{N_0} \)
Tím je neznámá \( k \) vyjádřena.
76. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro potenciální energii \( E_p = mgh \), kde \( E_p \) je potenciální energie, \( m \) hmotnost, \( g \) gravitační zrychlení a \( h \) výška.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_p = mgh \), chceme vyjádřit \( h \).
Pokud \( mg \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( mg \):
\( h = \frac{E_p}{mg} \)
Tím je neznámá \( h \) vyjádřena.
77. Vyjádřete neznámou \( \omega \) ze vzorce pro periodu kmitání \( T = \frac{2\pi}{\omega} \), kde \( T \) je perioda a \( \omega \) úhlová frekvence.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( T = \frac{2\pi}{\omega} \), chceme vyjádřit \( \omega \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( \omega \):
\( T \omega = 2\pi \)
Pokud \( T \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( T \):
\( \omega = \frac{2\pi}{T} \)
Tím je neznámá \( \omega \) vyjádřena.
78. Vyjádřete neznámou \( C \) ze vzorce pro kapacitu kondenzátoru \( Q = C U \), kde \( Q \) je náboj, \( C \) kapacita a \( U \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( Q = C U \), chceme vyjádřit \( C \).
Pokud \( U \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( U \):
\( C = \frac{Q}{U} \)
Tím je neznámá \( C \) vyjádřena.
79. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro hustotu \( \rho = \frac{m}{V} \), kde \( \rho \) je hustota, \( m \) hmotnost a \( V \) objem.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \rho = \frac{m}{V} \), chceme vyjádřit \( V \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( V \):
\( \rho V = m \)
Pokud \( \rho \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \rho \):
\( V = \frac{m}{\rho} \)
Tím je neznámá \( V \) vyjádřena.
80. Vyjádřete neznámou \( \lambda \) ze vzorce pro Planckovu energii fotonu \( E = h \nu = \frac{h c}{\lambda} \), kde \( E \) je energie, \( h \) Planckova konstanta, \( \nu \) frekvence, \( c \) rychlost světla a \( \lambda \) vlnová délka.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E = \frac{h c}{\lambda} \), chceme vyjádřit \( \lambda \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( \lambda \):
\( E \lambda = h c \)
Pokud \( E \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( E \):
\( \lambda = \frac{h c}{E} \)
Tím je neznámá \( \lambda \) vyjádřena.
81. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro obsah obdélníku \( S = xy \), kde \( S \) je obsah a \( y \) délka jedné strany.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( S = xy \), chceme vyjádřit \( x \).
Pokud \( y \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( y \):
\( x = \frac{S}{y} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
82. Vyjádřete neznámou \( v_0 \) ze vzorce pro rychlost při rovnoměrně zrychleném pohybu bez počáteční polohy \( v^2 = v_0^2 + 2as \), kde \( v \) je konečná rychlost, \( v_0 \) počáteční rychlost, \( a \) zrychlení a \( s \) dráha.
Vezmeme druhou odmocninu obou stran, přičemž nezapomínáme na kladný i záporný kořen:
\( v_0 = \pm \sqrt{v^2 – 2as} \)
Tím je neznámá \( v_0 \) vyjádřena.
83. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro výkon elektrického obvodu \( P = U I \cos \varphi \), kde \( P \) je výkon, \( U \) napětí, \( I \) proud a \( \varphi \) fázový úhel.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = U I \cos \varphi \), chceme vyjádřit \( I \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( U \cos \varphi \), pokud \( U \cos \varphi \neq 0 \):
\( I = \frac{P}{U \cos \varphi} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
84. Vyjádřete neznámou \( g \) ze vzorce pro periodu kyvadla \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), kde \( T \) je perioda, \( l \) délka kyvadla a \( g \) gravitační zrychlení.
Řešení příkladu:
Máme vzorec \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \) a chceme vyjádřit \( g \).
1. Prvním krokem je vydělit obě strany rovnice \( 2\pi \):
\( \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{g}} \)
2. Nyní obě strany umocníme na druhou, abychom se zbavili odmocniny:
\( \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{l}{g} \)
3. Poté vynásobíme obě strany rovnice \( g \), abychom se dostali k \( g \):
\( g = \frac{l}{\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2} \)
Tím jsme vyjádřili \( g \) ze vzorce.
85. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro součet geometrické řady \( S_n = a \frac{1 – r^n}{1 – r} \), kde \( a \) je první člen, \( r \) kvocient, \( n \) počet členů a \( S_n \) součet.
Řešení příkladu:
Tento vzorec neobsahuje \( x \), proto příklad upravíme: Vyjádříme \( a \) z rovnice \( S_n = a \frac{1 – r^n}{1 – r} \).
Pokud \( r \neq 1 \), vydělíme obě strany rovnice \( \frac{1 – r^n}{1 – r} \):
\( a = \frac{S_n (1 – r)}{1 – r^n} \)
Tím je neznámá \( a \) vyjádřena.
86. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro kinetickou energii \( E_k = \frac{1}{2} m V^2 \), kde \( E_k \) je kinetická energie, \( m \) hmotnost a \( V \) rychlost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_k = \frac{1}{2} m V^2 \), chceme vyjádřit \( V \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 E_k = m V^2 \)
Pokud \( m \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( m \):
\( \frac{2 E_k}{m} = V^2 \)
Vezmeme druhou odmocninu obou stran:
\( V = \pm \sqrt{\frac{2 E_k}{m}} \)
Tím je neznámá \( V \) vyjádřena.
87. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro tlak ideálního plynu \( pV = mRT \), kde \( p \) je tlak, \( V \) objem, \( m \) hmotnost, \( R \) plynová konstanta a \( T \) teplota.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( pV = mRT \), chceme vyjádřit \( m \).
Pokud \( RT \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( RT \):
\( m = \frac{pV}{RT} \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
88. Vyjádřete neznámou \( R \) ze vzorce pro elektrický výkon \( P = \frac{U^2}{R} \), kde \( P \) je výkon, \( U \) napětí a \( R \) odpor.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = \frac{U^2}{R} \), chceme vyjádřit \( R \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( R \):
\( PR = U^2 \)
Pokud \( P \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( P \):
\( R = \frac{U^2}{P} \)
Tím je neznámá \( R \) vyjádřena.
89. Vyjádřete neznámou \( \lambda \) ze vzorce pro frekvenci \( \nu = \frac{c}{\lambda} \), kde \( c \) je rychlost světla a \( \lambda \) vlnová délka.
1. Prvním krokem je vynásobit obě strany rovnice \( \lambda \):
\( \nu \lambda = c \)
2. Nyní, pokud \( \nu \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \nu \):
\( \lambda = \frac{c}{\nu} \)
Tím jsme vyjádřili \( \lambda \) ze vzorce.
90. Vyjádřete neznámou \( T \) ze vzorce pro vlnovou rychlost \( v = f \lambda = \frac{\lambda}{T} \), kde \( v \) je rychlost vlny, \( f \) frekvence, \( \lambda \) vlnová délka a \( T \) perioda.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = \frac{\lambda}{T} \), chceme vyjádřit \( T \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( T \):
\( v T = \lambda \)
Pokud \( v \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( v \):
\( T = \frac{\lambda}{v} \)
Tím je neznámá \( T \) vyjádřena.
91. Vyjádřete neznámou \( A \) ze vzorce pro elektrický odpor vodiče \( R = \rho \frac{l}{A} \), kde \( \rho \) je měrný odpor, \( l \) délka vodiče a \( A \) plocha průřezu.
Řešení příkladu:
Máme vzorec \( R = \rho \frac{l}{A} \) a chceme vyjádřit \( A \).
1. Prvním krokem je vynásobit obě strany rovnice \( A \):
\( R A = \rho l \)
2. Nyní, pokud \( R \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( R \):
\( A = \frac{\rho l}{R} \)
Tím jsme vyjádřili \( A \) ze vzorce.
92. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro dráhu při pohybu s konstantním zrychlením \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \) je dráha, \( v_0 \) počáteční rychlost, \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), chceme vyjádřit \( a \).
Nejprve odečteme \( v_0 t \) od obou stran:
\( s – v_0 t = \frac{1}{2} a t^2 \)
Pokud \( t \neq 0 \), vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2(s – v_0 t) = a t^2 \)
Poté vydělíme obě strany rovnice \( t^2 \):
\( a = \frac{2(s – v_0 t)}{t^2} \)
Tím je neznámá \( a \) vyjádřena.
93. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro Pythagorovu větu \( c^2 = a^2 + b^2 \), kde \( a \), \( b \), \( c \) jsou délky stran pravoúhlého trojúhelníku.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( c^2 = a^2 + b^2 \), chceme vyjádřit \( a \).
Nejprve odečteme \( b^2 \) od obou stran:
\( c^2 – b^2 = a^2 \)
Vezmeme druhou odmocninu obou stran:
\( a = \pm \sqrt{c^2 – b^2} \)
Tím je neznámá \( a \) vyjádřena.
94. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro koncentraci roztoku \( C = \frac{m}{V} \), kde \( C \) je koncentrace, \( m \) je hmotnost rozpuštěné látky a \( V \) objem roztoku.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( C = \frac{m}{V} \), chceme vyjádřit \( m \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( V \):
\( C V = m \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
95. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro radioaktivní rozpad \( N = N_0 e^{-\lambda t} \), kde \( N \) je počet zbývajících atomů, \( N_0 \) počáteční počet atomů, \( \lambda \) rozpadová konstanta.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( N = N_0 e^{-\lambda t} \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( N_0 \), pokud \( N_0 \neq 0 \):
\( \frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} \)
Vezmeme přirozený logaritmus obou stran:
\( \ln \frac{N}{N_0} = -\lambda t \)
Vydělíme obě strany rovnice \(-\lambda\), pokud \( \lambda \neq 0 \):
\( t = -\frac{1}{\lambda} \ln \frac{N}{N_0} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
96. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro objem kužele \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), kde \( V \) je objem, \( r \) poloměr podstavy a \( h \) výška kužele.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), chceme vyjádřit \( h \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 3:
\( 3V = \pi r^2 h \)
Pokud \( \pi r^2 \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \pi r^2 \):
\( h = \frac{3V}{\pi r^2} \)
Tím je neznámá \( h \) vyjádřena.
97. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro teplo \( Q = cm\Delta T \), kde \( c \) je měrná tepelná kapacita, \( m \) hmotnost, \( \Delta T \) změna teploty.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( Q = cm\Delta T \), chceme vyjádřit \( m \).
Pokud \( c \Delta T \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( c \Delta T \):
\( m = \frac{Q}{c \Delta T} \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
98. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro logaritmickou rovnost \( y = \log_a x \), kde \( a \) je základ logaritmu, \( x \) argument a \( y \) výsledek.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( y = \log_a x \), chceme vyjádřit \( x \).
Přepíšeme logaritmickou rovnici na exponenciální tvar:
\( x = a^y \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
99. Vyjádřete neznámou \( b \) ze vzorce pro kvadratickou rovnici \( ax^2 + bx + c = 0 \), pokud známe kořen \( x \).
Řešení příkladu:
Vzorec je \( ax^2 + bx + c = 0 \), chceme vyjádřit \( b \).
Přesuneme členy \( ax^2 \) a \( c \) na pravou stranu:
\( bx = -ax^2 – c \)
Pokud \( x \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( x \):
\( b = \frac{-ax^2 – c}{x} \)
Tím je neznámá \( b \) vyjádřena.
100. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro rovnovážnou rychlost při pohybu tělesa v kapalině \( v = \frac{mg}{k} \), kde \( v \) je rychlost, \( m \) hmotnost, \( g \) gravitační zrychlení a \( k \) koeficient odporu.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = \frac{mg}{k} \), chceme vyjádřit \( m \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( k \):
\( v k = mg \)
Pokud \( g \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( g \):
\( m = \frac{v k}{g} \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
101. Vyjádřete neznámou \( T \) ze vzorce pro ideální plyn \( PV = nRT \), kde \( P \) je tlak, \( V \) objem, \( n \) počet molů, \( R \) plynová konstanta a \( T \) teplota v kelvinech.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( PV = nRT \), chceme vyjádřit \( T \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( nR \), pokud \( nR \neq 0 \):
\( T = \frac{PV}{nR} \)
Tím je neznámá \( T \) vyjádřena.
102. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce pro obvod kruhu \( O = 2 \pi r \), kde \( O \) je obvod a \( r \) poloměr kruhu.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( O = 2 \pi r \), chceme vyjádřit \( r \).
Pokud \( 2\pi \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( 2\pi \):
\( r = \frac{O}{2 \pi} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
103. Vyjádřete neznámou \( v \) ze vzorce pro kinetickou energii \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), kde \( E_k \) je kinetická energie, \( m \) hmotnost tělesa, \( v \) rychlost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), chceme vyjádřit \( v \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2E_k = m v^2 \)
Pokud \( m \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( m \):
\( \frac{2E_k}{m} = v^2 \)
Vezmeme druhou odmocninu obou stran:
\( v = \pm \sqrt{\frac{2E_k}{m}} \)
Tím je neznámá \( v \) vyjádřena.
104. Vyjádřete neznámou \( k \) ze vzorce pro periodu harmonického oscilátoru \( T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \), kde \( T \) je perioda, \( m \) hmotnost a \( k \) tuhost pružiny.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \), chceme vyjádřit \( k \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( 2 \pi \), pokud \( 2\pi \neq 0 \):
Pokud \( \left(\frac{T}{2 \pi}\right)^2 \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice:
\( k = \frac{m}{\left(\frac{T}{2 \pi}\right)^2} \)
Úprava zlomku dává:
\( k = m \frac{(2 \pi)^2}{T^2} \)
Tím je neznámá \( k \) vyjádřena.
105. Vyjádřete neznámou \( E \) ze vzorce pro elektrický výkon \( P = \frac{E^2}{R} \), kde \( P \) je výkon, \( E \) napětí a \( R \) odpor.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = \frac{E^2}{R} \), chceme vyjádřit \( E \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( R \):
\( P R = E^2 \)
Vezmeme druhou odmocninu obou stran:
\( E = \pm \sqrt{P R} \)
Tím je neznámá \( E \) vyjádřena.
106. Vyjádřete neznámou \( \lambda \) ze vzorce pro vlnovou délku \( v = f \lambda \), kde \( v \) je rychlost vlnění, \( f \) frekvence a \( \lambda \) vlnová délka.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = f \lambda \), chceme vyjádřit \( \lambda \).
Pokud \( f \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( f \):
\( \lambda = \frac{v}{f} \)
Tím je neznámá \( \lambda \) vyjádřena.
107. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro rovnovážný stav Hookova zákona \( F = k x \), kde \( F \) je síla, \( k \) tuhost pružiny a \( x \) deformace.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = k x \), chceme vyjádřit \( x \).
Pokud \( k \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( k \):
\( x = \frac{F}{k} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
108. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro hustotu \( \rho = \frac{m}{V} \), kde \( \rho \) je hustota, \( m \) hmotnost a \( V \) objem.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \rho = \frac{m}{V} \), chceme vyjádřit \( m \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( V \):
\( \rho V = m \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
109. Vyjádřete neznámou \( P \) ze vzorce Bernoulliovy rovnice \( P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{konst.} \), pokud znáte všechny ostatní veličiny.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{konst.} \), chceme vyjádřit \( P \).
Nejprve odečteme členy \( \frac{1}{2} \rho v^2 \) a \( \rho g h \) od konstanty:
\( P = \text{konst.} – \frac{1}{2} \rho v^2 – \rho g h \)
Tím je neznámá \( P \) vyjádřena.
110. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro dobu působení konstantní síly \( F = m a \), kde \( a = \frac{\Delta v}{t} \), přičemž \( m \) je hmotnost, \( \Delta v \) změna rychlosti.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = m a \) a \( a = \frac{\Delta v}{t} \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve dosadíme za \( a \):
\( F = m \frac{\Delta v}{t} \)
Vynásobíme obě strany rovnice \( t \):
\( F t = m \Delta v \)
Pokud \( F \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( F \):
\( t = \frac{m \Delta v}{F} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
111. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro obsah pravoúhlého trojúhelníku \( S = \frac{1}{2} x y \), kde \( S \) je obsah, \( x \) a \( y \) délky odvěsen.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( S = \frac{1}{2} x y \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2S = x y \)
Pokud \( y \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( y \):
\( x = \frac{2S}{y} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
112. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro elektrický odpor \( R = \frac{U}{I} \), kde \( R \) je odpor, \( U \) napětí a \( I \) proud.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( R = \frac{U}{I} \), chceme vyjádřit \( I \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( I \):
\( R I = U \)
Pokud \( R \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( R \):
\( I = \frac{U}{R} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
113. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro průměrnou rychlost \( v = \frac{s}{t} \), kde \( v \) je rychlost, \( s \) vzdálenost a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = \frac{s}{t} \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( t \):
\( v t = s \)
Pokud \( v \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( v \):
\( t = \frac{s}{v} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
114. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro objem kužele \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), kde \( V \) je objem, \( r \) poloměr a \( h \) výška kužele.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \), chceme vyjádřit \( h \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 3:
\( 3V = \pi r^2 h \)
Pokud \( \pi r^2 \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \pi r^2 \):
\( h = \frac{3V}{\pi r^2} \)
Tím je neznámá \( h \) vyjádřena.
115. Vyjádřete neznámou \( \theta \) ze vzorce pro délku kruhového oblouku \( l = r \theta \), kde \( l \) je délka oblouku, \( r \) poloměr kružnice a \( \theta \) úhel v radiánech.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( l = r \theta \), chceme vyjádřit \( \theta \).
Pokud \( r \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( r \):
\( \theta = \frac{l}{r} \)
Tím je neznámá \( \theta \) vyjádřena.
116. Vyjádřete neznámou \( F \) ze vzorce pro práci \( W = F s \cos \alpha \), kde \( W \) je práce, \( F \) síla, \( s \) dráha a \( \alpha \) úhel mezi směrem síly a směrem pohybu.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( W = F s \cos \alpha \), chceme vyjádřit \( F \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( s \cos \alpha \), pokud \( s \cos \alpha \neq 0 \):
\( F = \frac{W}{s \cos \alpha} \)
Tím je neznámá \( F \) vyjádřena.
117. Vyjádřete neznámou \( y \) ze vzorce kvadratické rovnice \( ax^2 + bx + c = 0 \) (řešení pomocí vzorce), kde \( y = x \), vyjádřete \( y \) pomocí \( a \), \( b \), \( c \).
Řešení příkladu:
Vzorec kvadratické rovnice je \( ax^2 + bx + c = 0 \), kde \( y = x \).
Řešení \( y \) je pomocí kvadratického vzorce:
\( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \)
Tím je neznámá \( y \) vyjádřena.
118. Vyjádřete neznámou \( C \) ze vzorce pro kapacitu kondenzátoru \( Q = C U \), kde \( Q \) je náboj, \( C \) kapacita a \( U \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( Q = C U \), chceme vyjádřit \( C \).
Pokud \( U \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( U \):
\( C = \frac{Q}{U} \)
Tím je neznámá \( C \) vyjádřena.
119. Vyjádřete neznámou \( n \) ze vzorce pro hustotu proudu \( J = nqv \), kde \( J \) je hustota proudu, \( n \) koncentrace nosičů, \( q \) náboj a \( v \) rychlost nosičů.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( J = nqv \), chceme vyjádřit \( n \).
Pokud \( qv \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( qv \):
\( n = \frac{J}{qv} \)
Tím je neznámá \( n \) vyjádřena.
120. Vyjádřete neznámou \( F \) ze vzorce pro tlak \( p = \frac{F}{S} \), kde \( p \) je tlak, \( F \) síla a \( S \) plocha.
Řešení příkladu:
Máme vzorec \( p = \frac{F}{S} \) a chceme vyjádřit \( F \).
1. Prvním krokem je vynásobit obě strany rovnice \( S \):
\( p S = F \)
2. Takto dostaneme vyjádření pro \( F \):
\( F = p S \)
Tím jsme vyjádřili sílu \( F \) ze vzorce.
121. Vyjádřete neznámou \( l \) ze vzorce pro periodu kmitání jednoduchého matematického kyvadla \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \), kde \( T \) je perioda, \( l \) délka kyvadla a \( g \) tíhové zrychlení.
Řešení příkladu:
Máme vzorec \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \) a chceme vyjádřit \( l \).
1. Prvním krokem je vydělit obě strany rovnice \( 2\pi \):
\( \frac{T}{2\pi} = \sqrt{\frac{l}{g}} \)
2. Poté obě strany umocníme na druhou:
\( \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 = \frac{l}{g} \)
3. Následně vynásobíme obě strany rovnice \( g \):
\( l = g \left(\frac{T}{2\pi}\right)^2 \)
Tím jsme vyjádřili délku kyvadla \( l \) ze vzorce.
122. Vyjádřete neznámou \( v \) ze vzorce pro kinetickou energii \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), kde \( E_k \) je kinetická energie, \( m \) hmotnost a \( v \) rychlost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), chceme vyjádřit \( v \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 E_k = m v^2 \)
Pokud \( m \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( m \):
\( \frac{2 E_k}{m} = v^2 \)
Poté odmocníme obě strany rovnice (bereme kladnou odmocninu, protože rychlost je kladná):
\( v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}} \)
Tím je neznámá \( v \) vyjádřena.
123. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro výkon \( P = \frac{W}{t} \), kde \( P \) je výkon, \( W \) práce a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Máme vzorec \( P = \frac{W}{t} \) a chceme vyjádřit \( t \).
1. Prvním krokem je vynásobit obě strany rovnice \( t \):
\( P t = W \)
2. Nyní, pokud \( P \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( P \):
\( t = \frac{W}{P} \)
Tím jsme vyjádřili čas \( t \) ze vzorce.
124. Vyjádřete neznámou \( A \) ze vzorce pro elektrický odpor vodiče \( R = \rho \frac{l}{A} \), kde \( R \) je odpor, \( \rho \) rezistivita, \( l \) délka vodiče a \( A \) průřezová plocha.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( R = \rho \frac{l}{A} \), chceme vyjádřit \( A \).
Nejprve přepíšeme zlomek:
\( R = \frac{\rho l}{A} \)
Vynásobíme obě strany rovnice \( A \):
\( R A = \rho l \)
Pokud \( R \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( R \):
\( A = \frac{\rho l}{R} \)
Tím je neznámá \( A \) vyjádřena.
125. Vyjádřete neznámou \( Q \) ze vzorce pro kapacitu kondenzátoru \( C = \frac{Q}{U} \), kde \( C \) je kapacita, \( Q \) náboj a \( U \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( C = \frac{Q}{U} \), chceme vyjádřit \( Q \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( U \):
\( C U = Q \)
Tím je neznámá \( Q \) vyjádřena.
126. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro druhý pohybový zákon \( F = m a \), kde \( F \) je síla, \( m \) hmotnost a \( a \) zrychlení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = m a \), chceme vyjádřit \( a \).
Pokud \( m \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( m \):
\( a = \frac{F}{m} \)
Tím je neznámá \( a \) vyjádřena.
127. Vyjádřete neznámou \( \Delta t \) ze vzorce pro změnu rychlosti \( \Delta v = a \Delta t \), kde \( \Delta v \) je změna rychlosti, \( a \) zrychlení a \( \Delta t \) časový interval.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \Delta v = a \Delta t \), chceme vyjádřit \( \Delta t \).
Pokud \( a \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( a \):
\( \Delta t = \frac{\Delta v}{a} \)
Tím je neznámá \( \Delta t \) vyjádřena.
128. Vyjádřete neznámou \( \lambda \) ze vzorce pro vlnovou délku \( v = f \lambda \), kde \( v \) je rychlost vlnění, \( f \) frekvence a \( \lambda \) vlnová délka.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = f \lambda \), chceme vyjádřit \( \lambda \).
Pokud \( f \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( f \):
\( \lambda = \frac{v}{f} \)
Tím je neznámá \( \lambda \) vyjádřena.
129. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro ideální plyn \( p V = n R T \), kde \( p \) je tlak, \( V \) objem, \( n \) látkové množství, \( R \) plynová konstanta a \( T \) teplota.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( p V = n R T \), chceme vyjádřit \( V \).
Pokud \( p \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( p \):
\( V = \frac{n R T}{p} \)
Tím je neznámá \( V \) vyjádřena.
130. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro ohmův zákon v integrované formě \( Q = I t \), kde \( Q \) je náboj, \( I \) proud a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( Q = I t \), chceme vyjádřit \( t \).
Pokud \( I \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( I \):
\( t = \frac{Q}{I} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
131. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro vzdálenost při rovnoměrném pohybu s počáteční polohou \( s = s_0 + vt + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \) je konečná poloha, \( s_0 \) počáteční poloha, \( v \) počáteční rychlost, \( a \) zrychlení a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = s_0 + vt + \frac{1}{2} a t^2 \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve upravíme rovnici tak, aby všechny členy byly na jedné straně:
\( s – s_0 = vt + \frac{1}{2} a t^2 \)
Přeuspořádáme na kvadratickou rovnici v proměnné \( t \):
\( \frac{1}{2} a t^2 + v t – (s – s_0) = 0 \)
Pro vyjádření \( t \) použijeme kvadratickou formuli. Koeficienty jsou:
\( A = \frac{1}{2} a, \quad B = v, \quad C = -(s – s_0) \)
Diskriminant je:
\( D = B^2 – 4AC = v^2 – 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot (-(s – s_0)) = v^2 + 2 a (s – s_0) \)
Řešení pro \( t \) je tedy:
\( t = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-v \pm \sqrt{v^2 + 2 a (s – s_0)}}{a} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena. V praxi volíme kladné řešení odpovídající fyzikálním podmínkám.
132. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro elektrický výkon \( P = UI \cos \varphi \), kde \( P \) je výkon, \( U \) napětí, \( I \) proud a \( \varphi \) fázový úhel.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = U I \cos \varphi \), chceme vyjádřit \( I \).
Pokud \( U \neq 0 \) a \( \cos \varphi \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice výrazem \( U \cos \varphi \):
\( I = \frac{P}{U \cos \varphi} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
133. Vyjádřete neznámou \( R \) ze vzorce pro elektrický výkon \( P = \frac{U^2}{R} \), kde \( P \) je výkon, \( U \) napětí a \( R \) odpor.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = \frac{U^2}{R} \), chceme vyjádřit \( R \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( R \):
\( P R = U^2 \)
Pokud \( P \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( P \):
\( R = \frac{U^2}{P} \)
Tím je neznámá \( R \) vyjádřena.
134. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro hydrostatický tlak \( p = \rho g h \), kde \( p \) je tlak, \( \rho \) hustota kapaliny, \( g \) gravitační zrychlení a \( h \) hloubka.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( p = \rho g h \), chceme vyjádřit \( h \).
Pokud \( \rho \neq 0 \) a \( g \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \rho g \):
\( h = \frac{p}{\rho g} \)
Tím je neznámá \( h \) vyjádřena.
135. Vyjádřete neznámou \( R_2 \) ze vzorce pro sériové zapojení odporů \( R_{\text{celk}} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n \), kde \( R_{\text{celk}} \) je celkový odpor.
137. Vyjádřete neznámou \( \theta \) ze vzorce pro obvod kruhu \( O = 2 \pi r \theta / 360 \), kde \( O \) je délka oblouku, \( r \) poloměr a \( \theta \) středový úhel ve stupních.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( O = \frac{2 \pi r \theta}{360} \), chceme vyjádřit \( \theta \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 360:
\( 360 O = 2 \pi r \theta \)
Pokud \( 2 \pi r \neq 0 \), vydělíme obě strany tímto výrazem:
\( \theta = \frac{360 O}{2 \pi r} \)
Tím je neznámá \( \theta \) vyjádřena.
138. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro exponenciální růst \( N = N_0 e^{kt} \), kde \( N \) je konečná hodnota, \( N_0 \) počáteční hodnota, \( k \) růstová konstanta a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( N = N_0 e^{k t} \), chceme vyjádřit \( t \).
Pokud \( N_0 \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( N_0 \):
\( \frac{N}{N_0} = e^{k t} \)
Pro odstranění exponenciály použijeme přirozený logaritmus na obou stranách:
\( \ln \frac{N}{N_0} = \ln e^{k t} \Rightarrow \ln \frac{N}{N_0} = k t \)
Pokud \( k \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( k \):
\( t = \frac{1}{k} \ln \frac{N}{N_0} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
139. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro kinetickou energii \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), kde \( E_k \) je kinetická energie, \( m \) hmotnost a \( v \) rychlost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), chceme vyjádřit \( m \).
Vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 E_k = m v^2 \)
Pokud \( v \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( v^2 \):
\( m = \frac{2 E_k}{v^2} \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
140. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce pro objem koule \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), kde \( V \) je objem a \( r \) poloměr koule.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \), chceme vyjádřit \( r \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( \frac{3}{4 \pi} \):
\( \frac{3 V}{4 \pi} = r^3 \)
Poté odmocníme obě strany rovnice třetí odmocninou (kubickou odmocninou):
\( r = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 \pi}} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
141. Vyjádřete neznámou \( R \) ze vzorce pro výkon elektrického obvodu \( P = I^2 R \), kde \( P \) je výkon, \( I \) proud a \( R \) odpor.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = I^2 R \), chceme vyjádřit \( R \).
Nejprve se ujistíme, že \( I \neq 0 \), protože bychom jinak nemohli dělit.
Vydělíme tedy obě strany rovnice \( I^2 \):
\( R = \frac{P}{I^2} \)
Tím je neznámá \( R \) vyjádřena.
142. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro délku přepony v pravoúhlém trojúhelníku podle Pythagorovy věty \( c^2 = a^2 + b^2 \), kde \( c \) je přepona, \( a \) a \( b \) odvěsny.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( c^2 = a^2 + b^2 \), chceme vyjádřit \( a \).
Nejprve odečteme \( b^2 \) od obou stran rovnice:
\( c^2 – b^2 = a^2 \)
Poté odmocníme obě strany rovnice, přičemž bereme kladnou odmocninu, protože délka musí být nezáporná:
\( a = \sqrt{c^2 – b^2} \)
Tím je neznámá \( a \) vyjádřena.
Platí předpoklad, že \( c \geq b \), aby výraz pod odmocninou byl nezáporný.
143. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro logaritmický útlum signálu \( L = 10 \log_{10} \frac{P_0}{P} \), kde \( L \) je útlum v decibelech, \( P_0 \) vstupní výkon, \( P \) výkon po útlumu, a \( t \) je čas, pokud platí vztah \( P = P_0 e^{-kt} \) a \( k > 0 \).
Řešení příkladu:
Nejprve dosadíme výraz pro \( P \) do vzorce pro útlum:
Logaritmus mocniny je mocnina krát logaritmus, takže:
\( L = 10 \cdot k t \cdot \log_{10} e \)
Pro vyjádření \( t \) vydělíme obě strany rovnice \( 10 k \log_{10} e \):
\( t = \frac{L}{10 k \log_{10} e} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
144. Vyjádřete neznámou \( y \) ze vzorce lineární funkce \( y = mx + b \), kde \( m \) je směrnice a \( b \) je průsečík s osou y.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( y = mx + b \), chceme vyjádřit \( y \).
Jelikož \( y \) je již vyjádřena, není potřeba další úpravy.
Tím je neznámá \( y \) přímo vyjádřena.
145. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro kapacitu kondenzátoru \( C = \frac{Q}{V} \), kde \( C \) je kapacita, \( Q \) náboj a \( V \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( C = \frac{Q}{V} \), chceme vyjádřit \( V \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( V \):
\( C V = Q \)
Pokud \( C \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( C \):
\( V = \frac{Q}{C} \)
Tím je neznámá \( V \) vyjádřena.
146. Vyjádřete neznámou \( n \) ze vzorce pro počet částic v ideálním plynu \( p V = n R T \), kde \( p \) je tlak, \( V \) objem, \( R \) plynová konstanta a \( T \) teplota.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( p V = n R T \), chceme vyjádřit \( n \).
Pokud \( R \neq 0 \) a \( T \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( R T \):
\( n = \frac{p V}{R T} \)
Tím je neznámá \( n \) vyjádřena.
147. Vyjádřete neznámou \( d \) ze vzorce pro periodu kmitání matematického kyvadla \( T = 2 \pi \sqrt{\frac{d}{g}} \), kde \( T \) je perioda, \( d \) délka kyvadla a \( g \) gravitační zrychlení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( T = 2 \pi \sqrt{\frac{d}{g}} \), chceme vyjádřit \( d \).
148. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro Ohmův zákon ve složeném obvodu \( I = \frac{U}{R_{\text{eq}}} \), kde \( U \) je napětí a \( R_{\text{eq}} \) je ekvivalentní odpor složeného obvodu.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( I = \frac{U}{R_{\text{eq}}} \), chceme vyjádřit \( I \).
Jelikož \( I \) je již vyjádřeno, není třeba další úpravy.
Tím je neznámá \( I \) přímo vyjádřena.
149. Vyjádřete neznámou \( \alpha \) ze vzorce pro zákon sálání \( E = \alpha \sigma T^4 \), kde \( E \) je intenzita záření, \( \alpha \) emisivita, \( \sigma \) Stefan-Boltzmannova konstanta a \( T \) teplota.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E = \alpha \sigma T^4 \), chceme vyjádřit \( \alpha \).
Nejprve se ujistíme, že \( \sigma \neq 0 \) a \( T \neq 0 \).
Vydělíme obě strany rovnice \( \sigma T^4 \):
\( \alpha = \frac{E}{\sigma T^4} \)
Tím je neznámá \( \alpha \) vyjádřena.
150. Vyjádřete neznámou \( c \) ze vzorce pro poloměr kruhu opsaného pravoúhlému trojúhelníku \( R = \frac{c}{2} \), kde \( c \) je přepona.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( R = \frac{c}{2} \), chceme vyjádřit \( c \).
Vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 R = c \)
Jelikož hledáme \( x \), kde \( x = c \), platí:
\( x = 2 R \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
151. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce pro obvod kruhu \( O = 2 \pi r \), kde \( O \) je obvod a \( r \) poloměr.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( O = 2 \pi r \), chceme vyjádřit \( r \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( 2 \pi \), pokud \( 2 \pi \neq 0 \):
\( r = \frac{O}{2 \pi} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
152. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro objem válce \( V = \pi r^2 h \), kde \( V \) je objem, \( r \) poloměr podstavy a \( h \) výška.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \pi r^2 h \), chceme vyjádřit \( h \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( \pi r^2 \), pokud \( r \neq 0 \):
\( h = \frac{V}{\pi r^2} \)
Tím je neznámá \( h \) vyjádřena.
153. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro kinetickou energii \( E = \frac{1}{2} m v^2 \), kde \( E \) je kinetická energie a \( v \) rychlost. Jakou hmotnost má objekt, pokud jeho kinetická energie je \( 500 \, \text{J} \) a rychlost je \( 20 \, \text{m/s} \)?
Řešení příkladu:
Máme vzorec pro kinetickou energii \( E = \frac{1}{2} m v^2 \) a chceme vyjádřit \( m \).
1. Prvním krokem je vynásobit obě strany rovnice 2:
\( 2E = m v^2 \)
2. Dále vydělíme obě strany rovnice \( v^2 \):
\( m = \frac{2E}{v^2} \)
3. Dosadíme známé hodnoty: \( E = 500 \, \text{J} \) a \( v = 20 \, \text{m/s} \):
154. Vyjádřete neznámou \( v \) ze vzorce pro rovnoměrný pohyb \( s = v t \), kde \( s \) je dráha, \( v \) rychlost a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = v t \), chceme vyjádřit \( v \).
Pokud \( t \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( t \):
\( v = \frac{s}{t} \)
Tím je neznámá \( v \) vyjádřena.
155. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro tlak v kapalině \( p = \rho g h \), kde \( p \) je tlak, \( \rho \) je hustota, \( g \) gravitační zrychlení a \( h \) výška sloupce kapaliny. Jaká je výška vodního sloupce, pokud je tlak \( 100 \, \text{kPa} \), hustota vody \( 1000 \, \text{kg/m}^3 \) a gravitační zrychlení \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)?
Řešení příkladu:
Máme vzorec pro tlak v kapalině \( p = \rho g h \) a chceme vyjádřit \( h \).
1. Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( \rho g \):
\( h = \frac{p}{\rho g} \)
2. Dosadíme známé hodnoty: \( p = 100 \, \text{kPa} = 100000 \, \text{Pa} \), \( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \) a \( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \):
\( h = \frac{100000}{1000 \times 9.81} \)
3. Vypočteme výšku:
\( h = \frac{100000}{9810} \approx 10.2 \, \text{m} \)
Takže výška vodního sloupce je přibližně \( 10.2 \, \text{m} \).
156. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce kvadratické rovnice \( ax^2 + bx + c = 0 \), kde \( a \neq 0 \).
Řešení příkladu:
Vzorec je \( ax^2 + bx + c = 0 \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve vypočítáme diskriminant:
\( D = b^2 – 4 a c \)
Pokud \( D \geq 0 \), tak \( x \) může nabývat dvou hodnot:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2 a} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
157. Vyjádřete neznámou \( n \) ze vzorce pro jednoduché úročení \( K = K_0 (1 + n p) \), kde \( K \) je konečná částka, \( K_0 \) počáteční kapitál, \( p \) úroková sazba a \( n \) počet období.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( K = K_0 (1 + n p) \), chceme vyjádřit \( n \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( K_0 \), pokud \( K_0 \neq 0 \):
\( \frac{K}{K_0} = 1 + n p \)
Odečteme 1 od obou stran:
\( \frac{K}{K_0} – 1 = n p \)
Pokud \( p \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( p \):
\( n = \frac{\frac{K}{K_0} – 1}{p} \)
Tím je neznámá \( n \) vyjádřena.
158. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu bez počáteční rychlosti \( s = \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \) je dráha a \( t \) je čas. Jaké je zrychlení, pokud dráha je \( 100 \, \text{m} \) a čas je \( 5 \, \text{s} \)?
Řešení příkladu:
Máme vzorec pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu bez počáteční rychlosti \( s = \frac{1}{2} a t^2 \) a chceme vyjádřit \( a \).
1. Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( 2 \):
\( 2s = a t^2 \)
2. Vydělíme obě strany rovnice \( t^2 \):
\( a = \frac{2s}{t^2} \)
3. Dosadíme známé hodnoty: \( s = 100 \, \text{m} \) a \( t = 5 \, \text{s} \):
159. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro dobu působení gravitační síly při volném pádu \( s = \frac{1}{2} g t^2 \), kde \( s \) je dráha, \( g \) gravitační zrychlení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = \frac{1}{2} g t^2 \), chceme vyjádřit \( t \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( \frac{1}{2} g \), pokud \( g \neq 0 \):
\( \frac{s}{\frac{1}{2} g} = t^2 \)
Vyjádříme \( t^2 \):
\( t^2 = \frac{2 s}{g} \)
Obě strany rovnice odmocníme:
\( t = \sqrt{\frac{2 s}{g}} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
160. Vyjádřete neznámou \( v \) ze vzorce pro zákon zachování hybnosti ve srážce dvou těles \( m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v \), kde \( m_1, m_2 \) jsou hmotnosti a \( v_1, v_2 \) počáteční rychlosti.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v \), chceme vyjádřit \( v \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( m_1 + m_2 \), pokud \( m_1 + m_2 \neq 0 \):
\( v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} \)
Tím je neznámá \( v \) vyjádřena.
161. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro hustotu \( \rho = \frac{m}{V} \), kde \( m \) je hmotnost a \( V \) objem.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \rho = \frac{m}{V} \), chceme vyjádřit \( V \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice \( V \):
\( \rho V = m \)
Pokud \( \rho \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \rho \):
\( V = \frac{m}{\rho} \)
Tím je neznámá \( V \) vyjádřena.
162. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro Ohmův zákon \( U = IR \), kde \( U \) je napětí, \( I \) proud a \( R \) odpor.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( U = IR \), chceme vyjádřit \( I \).
Pokud \( R \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( R \):
\( I = \frac{U}{R} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
163. Vyjádřete neznámou \( {\Delta t} \) ze vzorce pro zrychlení \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \), kde \( \Delta v \) je změna rychlosti a \( \Delta t \) změna času.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \), chceme vyjádřit \( \Delta t \).
Pokud \( a \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( a \):
\( \Delta t = \frac{\Delta v}{a} \)
Tím je neznámá \( \Delta t \) vyjádřena.
164. Vyjádřete neznámou \( Q \) ze vzorce pro kapacitanci kondenzátoru \( C = \frac{Q}{U} \), kde \( Q \) je náboj a \( U \) napětí.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( C = \frac{Q}{U} \), chceme vyjádřit \( Q \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( U \):
\( C U = Q \)
Tím je neznámá \( Q \) vyjádřena.
165. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro elektrický výkon \( P = \frac{W}{t} \), kde \( W \) je práce a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( P = \frac{W}{t} \), chceme vyjádřit \( t \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( t \):
\( P t = W \)
Pokud \( P \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( P \):
\( t = \frac{W}{P} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
166. Vyjádřete neznámou \( T \) ze vzorce pro ideální plyn \( pV = nRT \), kde \( p \) je tlak, \( V \) objem, \( n \) množství látky a \( R \) univerzální plynová konstanta.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( pV = nRT \), chceme vyjádřit \( T \).
Pokud \( nR \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( nR \):
\( T = \frac{pV}{nR} \)
Tím je neznámá \( T \) vyjádřena.
167. Vyjádřete neznámou \( n \) ze vzorce pro rychlost světla v prostředí s indexem lomu \( v = \frac{c}{n} \), kde \( c \) je rychlost světla ve vakuu a \( n \) index lomu.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = \frac{c}{n} \), chceme vyjádřit \( n \).
Pokud \( v \neq 0 \), vynásobíme obě strany rovnice \( n \) a poté vydělíme \( v \):
\( n = \frac{c}{v} \)
Tím je neznámá \( n \) vyjádřena.
168. Vyjádřete neznámou \( F \) ze vzorce pro tlak ideálního plynu \( p = \frac{F}{S} \), kde \( F \) je síla, \( S \) je plocha a \( p \) tlak.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( p = \frac{F}{S} \), chceme vyjádřit \( F \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( S \):
\( F = p S \)
Tím je neznámá \( F \) vyjádřena.
169. Vyjádřete neznámou \( \lambda \) ze vzorce pro vlnovou délku \( v = f \lambda \), kde \( v \) je rychlost vlny, \( f \) frekvence a \( \lambda \) vlnová délka.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( v = f \lambda \), chceme vyjádřit \( \lambda \).
Pokud \( f \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( f \):
\( \lambda = \frac{v}{f} \)
Tím je neznámá \( \lambda \) vyjádřena.
170. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro hustotu \( \rho = \frac{m}{V} \), kde \( \rho \) je hustota a \( V \) objem.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \rho = \frac{m}{V} \), chceme vyjádřit \( m \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( V \):
\( \rho V = m \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
171. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro objem jehlanu \( V = \frac{1}{3} S x \), kde \( V \) je objem, \( S \) je obsah podstavy a \( x \) je výška jehlanu.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \frac{1}{3} S x \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve vynásobíme obě strany rovnice 3:
\( 3V = S x \)
Pokud \( S \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( S \):
\( x = \frac{3V}{S} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
172. Vyjádřete neznámou \( k \) ze vzorce pro Hookův zákon \( F = k x \), kde \( F \) je síla, \( k \) tuhost pružiny a \( x \) prodloužení pružiny.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = k x \), chceme vyjádřit \( k \).
Pokud \( x \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( x \):
\( k = \frac{F}{x} \)
Tím je neznámá \( k \) vyjádřena.
173. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \) je dráha, \( v_0 \) počáteční rychlost, \( a \) zrychlení a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), chceme vyjádřit \( a \).
Nejprve odečteme \( v_0 t \) od obou stran:
\( s – v_0 t = \frac{1}{2} a t^2 \)
Vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 (s – v_0 t) = a t^2 \)
Pokud \( t \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( t^2 \):
\( a = \frac{2(s – v_0 t)}{t^2} \)
Tím je neznámá \( a \) vyjádřena.
174. Vyjádřete neznámou \( l \) ze vzorce pro elektrický odpor vodiče \( R = \rho \frac{l}{S} \), kde \( \rho \) je rezistivita, \( l \) délka vodiče a \( S \) průřezová plocha.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( R = \rho \frac{l}{S} \), chceme vyjádřit \( l \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( S \):
\( R S = \rho l \)
Pokud \( \rho \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \rho \):
\( l = \frac{R S}{\rho} \)
Tím je neznámá \( l \) vyjádřena.
175. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro tlak kapaliny \( p = \rho g h \), kde \( p \) je tlak, \( \rho \) hustota kapaliny, \( g \) tíhové zrychlení a \( h \) hloubka.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( p = \rho g h \), chceme vyjádřit \( h \).
Pokud \( \rho g \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \rho g \):
\( h = \frac{p}{\rho g} \)
Tím je neznámá \( h \) vyjádřena.
176. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro elektrickou energii \( E = P t \), kde \( P \) je výkon a \( t \) čas.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E = P t \), chceme vyjádřit \( t \).
Pokud \( P \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( P \):
\( t = \frac{E}{P} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
177. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro kinetickou energii \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), kde \( E_k \) je kinetická energie, \( m \) hmotnost a \( v \) rychlost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( E_k = \frac{1}{2} m v^2 \), chceme vyjádřit \( v \).
Vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 E_k = m v^2 \)
Pokud \( m \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( m \):
\( v^2 = \frac{2 E_k}{m} \)
Vezmeme druhou odmocninu obou stran:
\( v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}} \)
Tím je neznámá \( v \) vyjádřena.
178. Vyjádřete neznámou \( \omega \) ze vzorce pro periodu harmonického pohybu \( T = \frac{2\pi}{\omega} \), kde \( T \) je perioda a \( \omega \) úhlová rychlost.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( T = \frac{2\pi}{\omega} \), chceme vyjádřit \( \omega \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( \omega \):
\( T \omega = 2 \pi \)
Pokud \( T \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( T \):
\( \omega = \frac{2 \pi}{T} \)
Tím je neznámá \( \omega \) vyjádřena.
179. Vyjádřete neznámou \( d \) ze vzorce pro elektrickou kapacitu kondenzátoru \( C = \frac{\varepsilon S}{d} \), kde \( \varepsilon \) je permitivita, \( S \) plocha desky a \( d \) vzdálenost mezi deskami.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( C = \frac{\varepsilon S}{d} \), chceme vyjádřit \( d \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( d \):
\( C d = \varepsilon S \)
Pokud \( C \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( C \):
\( d = \frac{\varepsilon S}{C} \)
Tím je neznámá \( d \) vyjádřena.
180. Vyjádřete neznámou \( v \) ze vzorce pro ideální plyn \( pV = nRT \), kde \( p \) je tlak, \( V \) objem, \( n \) látkové množství, \( R \) plynová konstanta a \( T \) teplota.
Řešení příkladu:
Tento vzorec neobsahuje \( v \) přímo, ale předpokládejme, že \( v \) je molární objem definovaný jako \( v = \frac{V}{n} \).
Dosadíme \( V = n v \) do rovnice \( p V = n R T \):
\( p (n v) = n R T \)
Zkrátíme obě strany \( n \), pokud \( n \neq 0 \):
\( p v = R T \)
Pokud \( p \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( p \):
\( v = \frac{R T}{p} \)
Tím je neznámá \( v \) vyjádřena.
181. Vyjádřete neznámou \( r \) ze vzorce pro obvod kruhu \( O = 2 \pi r \), kde \( O \) je obvod a \( r \) poloměr kruhu.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( O = 2 \pi r \), chceme vyjádřit \( r \).
Pokud \( 2 \pi \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( 2 \pi \):
\( r = \frac{O}{2 \pi} \)
Tím je neznámá \( r \) vyjádřena.
182. Vyjádřete neznámou \( h \) ze vzorce pro obsah kuželové plochy \( S = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \), kde \( S \) je obsah, \( r \) poloměr a \( h \) výška kužele.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( S = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \), chceme vyjádřit \( h \).
Nejprve vydělíme obě strany rovnice \( \pi r \), pokud \( r \neq 0 \):
Vezmeme druhou odmocninu obou stran, přičemž \( h \geq 0 \):
\( h = \sqrt{\left(\frac{S}{\pi r} – r\right)^2 – r^2} \)
Tím je neznámá \( h \) vyjádřena.
183. Vyjádřete neznámou \( c \) ze vzorce pro délku přepony pravoúhlého trojúhelníku \( c^2 = a^2 + b^2 \), kde \( a \) a \( b \) jsou odvěsny a \( c \) přepona.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( c^2 = a^2 + b^2 \), chceme vyjádřit \( c \).
Vezmeme druhou odmocninu obou stran rovnice, přičemž \( c \geq 0 \):
\( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)
Tím je neznámá \( c \) vyjádřena.
184. Vyjádřete neznámou \( x_2 \) ze vzorce pro vzdálenost mezi dvěma body na přímce \( d = |x_2 – x_1| \), kde \( d \) je vzdálenost, \( x_1 \) a \( x_2 \) souřadnice.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( d = |x_2 – x_1| \), chceme vyjádřit \( x_2 \).
Podle definice absolutní hodnoty \( |a| = b \Rightarrow a = \pm b \), tedy:
\( x_2 – x_1 = \pm d \)
Odečteme \( x_1 \) od obou stran:
\( x_2 = x_1 \pm d \)
Tím je neznámá \( x_2 \) vyjádřena s dvěma možnými hodnotami.
185. Vyjádřete neznámou \( m \) ze vzorce pro hustotu \( \rho = \frac{m}{V} \), kde \( \rho \) je hustota, \( m \) hmotnost a \( V \) objem.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \rho = \frac{m}{V} \), chceme vyjádřit \( m \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( V \):
\( \rho V = m \)
Tím je neznámá \( m \) vyjádřena.
186. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro přímku \( y = kx + q \), kde \( k \) je směrnice, \( q \) průsečík s osou y a \( x \) nezávislá proměnná.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( y = kx + q \), chceme vyjádřit \( x \).
Nejprve odečteme \( q \) od obou stran:
\( y – q = kx \)
Pokud \( k \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( k \):
\( x = \frac{y – q}{k} \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
187. Vyjádřete neznámou \( m_2 \) ze vzorce pro rovnovážnou teplotu při směšování dvou látek \( T = \frac{m_1 c_1 T_1 + m_2 c_2 T_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} \), kde \( m \) je hmotnost, \( c \) měrná tepelná kapacita a \( T \) teplota.
188. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro dráhu při rovnoměrně zrychleném pohybu \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), kde \( s \) je dráha, \( v_0 \) počáteční rychlost, \( a \) zrychlení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( s = v_0 t + \frac{1}{2} a t^2 \), chceme vyjádřit \( t \).
Přepíšeme vzorec jako kvadratickou rovnici ve tvaru:
\( \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t – s = 0 \)
Pokud \( a \neq 0 \), můžeme použít kvadratickou rovnici. Koeficienty jsou:
\( A = \frac{1}{2} a, \quad B = v_0, \quad C = -s \)
Diskriminant je:
\( D = B^2 – 4AC = v_0^2 – 4 \cdot \frac{1}{2} a \cdot (-s) = v_0^2 + 2 a s \)
Řešení pro \( t \) jsou:
\( t = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^2 + 2 a s}}{a} \)
Obvykle hledáme kladné hodnoty \( t \), takže:
\( t = \frac{-v_0 + \sqrt{v_0^2 + 2 a s}}{a} \)
Tím je neznámá \( t \) vyjádřena.
189. Vyjádřete neznámou \( V \) ze vzorce pro hydrostatický tlak \( p = \rho g h \), kde \( \rho = \frac{m}{V} \) je hustota kapaliny, \( m \) je hmotnost, \( g \) gravitační zrychlení a \( h \) hloubka sloupce kapaliny.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( p = \rho g h \) a hustota je \( \rho = \frac{m}{V} \), chceme vyjádřit \( V \).
Dosadíme hustotu do vzorce pro tlak:
\( p = \frac{m}{V} g h \)
Vynásobíme obě strany rovnice \( V \):
\( p V = m g h \)
Pokud \( p \neq 0 \), vydělíme rovnice \( p \):
\( V = \frac{m g h}{p} \)
Tím je neznámá \( V \) vyjádřena.
190. Vyjádřete neznámou \( x \) ze vzorce pro rovnoměrný pohyb \( s = v t \), kde \( s \) je dráha, \( v \) rychlost a \( t \) čas, pokud víme, že \( s = x + d \), kde \( d \) je známá konstanta.
Řešení příkladu:
Máme \( s = x + d \) a zároveň \( s = v t \), chceme vyjádřit \( x \).
Dosadíme za \( s \):
\( x + d = v t \)
Odečteme \( d \) od obou stran:
\( x = v t – d \)
Tím je neznámá \( x \) vyjádřena.
191. Vyjádřete neznámou \( k \) ze vzorce pro úrokovou sazbu v jednoduchém úrokování \( I = P k t \), kde \( I \) je úrok, \( P \) počáteční vklad a \( t \) doba v letech.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( I = P k t \), chceme vyjádřit \( k \).
Pokud \( P t \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( P t \):
\( k = \frac{I}{P t} \)
Tím je neznámá \( k \) vyjádřena.
192. Vyjádřete neznámou \( n \) ze vzorce pro objem válce \( V = \pi r^2 h \), kde \( r \) je poloměr základny, \( h \) výška a \( V \) objem, pokud \( h = n r \).
Řešení příkladu:
Vzorec je \( V = \pi r^2 h \), ale \( h = n r \), chceme vyjádřit \( n \).
Dosadíme \( h = n r \) do vzorce:
\( V = \pi r^2 (n r) = \pi r^3 n \)
Pokud \( \pi r^3 \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \pi r^3 \):
\( n = \frac{V}{\pi r^3} \)
Tím je neznámá \( n \) vyjádřena.
193. Vyjádřete neznámou \( a \) ze vzorce pro aritmetický průměr \( \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \), pokud \( x_1 = a \) a ostatní hodnoty jsou známé.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \), chceme vyjádřit \( a = x_1 \).
Vynásobíme obě strany rovnice \( n \):
\( n \overline{x} = x_1 + x_2 + \dots + x_n \)
Odečteme od pravé strany všechny známé členy kromě \( x_1 \):
194. Vyjádřete neznámou \( f \) ze vzorce pro vlnovou délku \( \lambda = \frac{v}{f} \), kde \( v \) je rychlost vlnění a \( f \) frekvence.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( \lambda = \frac{v}{f} \), chceme vyjádřit \( f \).
Pokud \( \lambda \neq 0 \), vynásobíme obě strany rovnice \( f \):
\( \lambda f = v \)
Pokud \( \lambda \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( \lambda \):
\( f = \frac{v}{\lambda} \)
Tím je neznámá \( f \) vyjádřena.
195. Vyjádřete neznámou \( \Delta x \) ze vzorce pro sílu pružnosti \( F = k \Delta x \), kde \( k \) je tuhost pružiny a \( \Delta x \) prodloužení.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( F = k \Delta x \), chceme vyjádřit \( \Delta x \).
Pokud \( k \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( k \):
\( \Delta x = \frac{F}{k} \)
Tím je neznámá \( \Delta x \) vyjádřena.
196. Vyjádřete neznámou \( I \) ze vzorce pro elektrický odpor \( R = \frac{U}{I} \), kde \( U \) je napětí a \( I \) proud.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( R = \frac{U}{I} \), chceme vyjádřit \( I \).
Pokud \( R \neq 0 \), vynásobíme obě strany rovnice \( I \):
\( R I = U \)
Pokud \( R \neq 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( R \):
\( I = \frac{U}{R} \)
Tím je neznámá \( I \) vyjádřena.
197. Vyjádřete neznámou \( c \) ze vzorce pro čas potřebný k vykonání práce \( W = F s \cos \alpha \), kde \( F \) je síla, \( s = c t \) je dráha, \( \alpha \) úhel mezi směrem síly a pohybem.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( W = F s \cos \alpha \), přičemž \( s = c t \), chceme vyjádřit \( c \).
Dosadíme za \( s \):
\( W = F (c t) \cos \alpha = F c t \cos \alpha \)
Pokud \( F t \cos \alpha \neq 0 \), vydělíme rovnice:
\( c = \frac{W}{F t \cos \alpha} \)
Tím je neznámá \( c \) vyjádřena.
198. Vyjádřete neznámou \( b \) ze vzorce pro obsah trojúhelníku \( S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma \), kde \( a \), \( \gamma \) jsou známé.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( S = \frac{1}{2} a b \sin \gamma \), chceme vyjádřit \( b \).
Vynásobíme obě strany rovnice 2:
\( 2 S = a b \sin \gamma \)
Pokud \( a \sin \gamma \neq 0 \), vydělíme rovnice:
\( b = \frac{2 S}{a \sin \gamma} \)
Tím je neznámá \( b \) vyjádřena.
199. Vyjádřete neznámou \( t \) ze vzorce pro radioaktivní rozpad \( N = N_0 e^{-\lambda t} \), kde \( N \) je aktuální počet jader, \( N_0 \) počáteční počet a \( \lambda \) rozpadová konstanta.
Řešení příkladu:
Vzorec je \( N = N_0 e^{-\lambda t} \), chceme vyjádřit \( t \).
Pokud \( N_0 \neq 0 \) a \( N > 0 \), vydělíme obě strany rovnice \( N_0 \):
