7. Na mapě je zakreslený park, který má skutečnou rozlohu 0,5 km². Měřítko mapy je 1 : 20 000. Jaká bude plocha parku na mapě v centimetrech čtverečních?
Odpověď: Skutečná vzdálenost mezi městy je \( 3\,600 \, \text{m} \) neboli \( 3{,}6 \, \text{km} \).
22. Na mapě s měřítkem \( 1 : 100\,000 \) měří vzdálenost mezi dvěma řekami \( 5 \, \text{cm} \). Jaká je tato vzdálenost ve skutečnosti v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \( 1 : 100\,000 \) znamená, že \( 1 \, \text{cm} \) na mapě odpovídá \( 100\,000 \, \text{cm} \) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost je
\( 5 \times 100\,000 = 500\,000 \, \text{cm} \).
Převedeme na metry:
\( \frac{500\,000}{100} = 5\,000 \, \text{m} \).
Převedeme na kilometry:
\( \frac{5\,000}{1\,000} = 5 \, \text{km} \).
Odpověď: Skutečná vzdálenost je \( 5 \, \text{km} \).
23. Měřítko mapy je \( 1 : 25\,000 \). Jaká bude vzdálenost na mapě, pokud skutečná vzdálenost je \( 7{,}5 \, \text{km} \)?
Řešení příkladu:
Měřítko \( 1 : 25\,000 \) znamená, že \( 1 \, \text{cm} \) na mapě odpovídá \( 25\,000 \, \text{cm} \) ve skutečnosti.
Nejprve převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry:
Odpověď: Skutečná vzdálenost mezi městy je \( 4 \, \text{km} \).
32. Na mapě je vzdálenost mezi dvěma vesnicemi \( 12 \, \text{cm} \). Měřítko mapy je \( 1 : 100\,000 \). Jaká je skutečná vzdálenost mezi vesnicemi v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \( 1 : 100\,000 \) znamená, že \( 1 \, \text{cm} \) na mapě odpovídá \( 100\,000 \, \text{cm} \) ve skutečnosti.
Odpověď: Vzdálenost na mapě bude \( 20 \, \text{cm} \).
36. Na mapě je vzdálenost mezi dvěma školami \( 10 \, \text{cm} \). Měřítko mapy je \( 1 : 40\,000 \). Jaká je skutečná vzdálenost mezi školami v metrech?
Řešení příkladu:
Měřítko znamená, že \( 1 \, \text{cm} \) na mapě odpovídá \( 40\,000 \, \text{cm} \) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost je:
\( 10 \times 40\,000 = 400\,000 \, \text{cm} \).
Převedeme na metry:
\( 400\,000 \div 100 = 4\,000 \, \text{m} \).
Odpověď: Skutečná vzdálenost je \( 4\,000 \, \text{m} \).
37. Skutečná vzdálenost mezi dvěma stromy je \( 1\,200 \, \text{m} \). Na mapě je tato vzdálenost znázorněna jako \( 8 \, \text{cm} \). Určete měřítko mapy.
Řešení příkladu:
Převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry:
\( 1\,200 \, \text{m} = 120\,000 \, \text{cm} \).
Měřítko vypočítáme:
\( \frac{8}{120\,000} = \frac{1}{15\,000} \).
Měřítko mapy je tedy \( 1 : 15\,000 \).
Odpověď: Měřítko mapy je \( 1 : 15\,000 \).
38. Měřítko mapy je \( 1 : 80\,000 \). Jaká bude vzdálenost na mapě, pokud skutečná vzdálenost mezi dvěma městy je \( 24 \, \text{km} \)?
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry:
Převedeme centimetry na metry, protože \(100\, \text{cm} = 1\, \text{m}\):
\[
d = \frac{350\,000}{100} = 3\,500\, \text{m}
\]
Tedy skutečná vzdálenost je \(3\,500\, \text{m}\) neboli \(3,5\, \text{km}\).
42. Na mapě s měřítkem \(1 : 25\,000\) je vzdálenost mezi dvěma městy \(12\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 25\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(25\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\):
\[
d = 12 \times 25\,000 = 300\,000\, \text{cm}
\]
Převedeme na metry:
\[
d = \frac{300\,000}{100} = 3\,000\, \text{m}
\]
A dále na kilometry:
\[
d = \frac{3\,000}{1\,000} = 3\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost mezi městy je tedy \(3\, \text{km}\).
43. Skutečná vzdálenost mezi dvěma body je \(5\, \text{km}\). Na mapě o měřítku \(1 : 100\,000\) zjistěte, jaká bude vzdálenost na mapě v centimetrech.
Řešení příkladu:
Měřítko znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(100\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Nejprve převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry:
Odpověď: Skutečná vzdálenost mezi městy je \(4\, \text{km}\).
52. Na mapě je vzdálenost mezi dvěma vesnicemi \(5\, \text{cm}\). Měřítko mapy je \(1 : 20\,000\). Jaká je skutečná vzdálenost mezi vesnicemi v metrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 20\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě je \(20\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
101. Měřítko mapy je \(1 : 150\,000\). Na mapě je vzdálenost mezi dvěma městy \(4{,}5\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost mezi městy v kilometrech?
Řešení příkladu:
Nejprve si uvědomíme, co znamená měřítko \(1 : 150\,000\). To znamená, že 1 cm na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(150\,000\, \text{cm}\).
Máme vzdálenost na mapě \(4{,}5\, \text{cm}\). Pro výpočet skutečné vzdálenosti tedy vynásobíme tuto hodnotu měřítkem:
Abychom převedli centimetry na metry, vydělíme hodnotu stem, protože 1 metr je 100 centimetrů:
\[
\frac{675\,000}{100} = 6\,750\, \text{m}
\]
Pro převod metrů na kilometry vydělíme tisícem, protože 1 kilometr je 1000 metrů:
\[
\frac{6\,750}{1\,000} = 6{,}75\, \text{km}
\]
Tedy skutečná vzdálenost mezi městy je \(6{,}75\, \text{km}\).
Celý postup tedy shrnujeme takto:
Vzdálenost na mapě \(\times\) měřítko = skutečná vzdálenost v centimetrech.
Centimetry \(\to\) metry dělením stem.
Metry \(\to\) kilometry dělením tisícem.
102. Měřítko mapy je \(1 : 120\,000\). Skutečná vzdálenost mezi dvěma body je \(18\, \text{km}\). Určete vzdálenost těchto bodů na mapě v centimetrech.
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme skutečnou vzdálenost z kilometrů na centimetry, protože měřítko udává poměr v centimetrech:
Tedy vzdálenost na mapě mezi těmito body je \(15\, \text{cm}\).
Postup shrnutí:
Převod kilometrů na metry \(\times 1\,000\).
Převod metrů na centimetry \(\times 100\).
Skutečná vzdálenost v centimetrech vydělena měřítkem = vzdálenost na mapě.
103. Na mapě s měřítkem \(1 : 100\,000\) je vzdálenost mezi dvěma body \(7{,}8\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech? Uveďte i přepočet do metrů.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 100\,000\) znamená, že každý centimetr na mapě představuje \(100\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečnou vzdálenost spočítáme vynásobením vzdálenosti na mapě měřítkem:
Výsledná skutečná vzdálenost je tedy \(7{,}8\, \text{km}\) nebo \(7\,800\, \text{m}\).
Pro přehlednost kroky:
Vzdálenost na mapě \(\times\) měřítko (v cm) = skutečná vzdálenost v cm.
Centimetry \(\to\) metry dělením 100.
Metry \(\to\) kilometry dělením 1000.
104. Měřítko mapy je \(1 : 250\,000\). Skutečná vzdálenost mezi dvěma body je \(32\, \text{km}\). Vypočítejte, jaká bude vzdálenost na mapě v centimetrech a vysvětlete jednotlivé kroky.
Řešení příkladu:
První krok je převést skutečnou vzdálenost z kilometrů na centimetry, protože měřítko je poměr ve skutečných centimetrech na centimetry na mapě.
Výsledkem je, že vzdálenost na mapě mezi dvěma body je \(12{,}8\, \text{cm}\).
Kroky shrnujeme:
Kilometry převedeme na metry (\(\times 1000\)).
Metry převedeme na centimetry (\(\times 100\)).
Celkovou vzdálenost v centimetrech vydělíme měřítkem.
105. Na mapě je vzdálenost \(9{,}3\, \text{cm}\). Měřítko mapy je \(1 : 60\,000\). Vypočtěte skutečnou vzdálenost v kilometrech a vysvětlete, jak se převádějí jednotky.
Řešení příkladu:
Měřítko znamená, že 1 cm na mapě odpovídá \(60\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vypočteme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
9{,}3 \times 60\,000 = 558\,000\, \text{cm}
\]
Pro lepší orientaci převedeme centimetry na metry vydělením 100:
\[
\frac{558\,000}{100} = 5\,580\, \text{m}
\]
Metry převedeme na kilometry vydělením 1 000:
\[
\frac{5\,580}{1\,000} = 5{,}58\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(5{,}58\, \text{km}\).
Podrobný postup:
Změříme vzdálenost na mapě v centimetrech.
Vynásobíme měřítkem (převod na skutečné centimetry).
Centimetry převedeme na metry dělením 100.
Metry převedeme na kilometry dělením 1 000.
106. Měřítko mapy je \(1 : 300\,000\). Na mapě je vzdálenost mezi dvěma body \(2{,}4\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost mezi těmito body v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko znamená, že 1 cm na mapě odpovídá \(300\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečnou vzdálenost spočítáme vynásobením vzdálenosti na mapě měřítkem:
Vzdálenost na mapě \(\times\) měřítko = skutečná vzdálenost v centimetrech.
Převod na metry dělením 100.
Převod na kilometry dělením 1000.
109. Skutečná vzdálenost mezi dvěma body je \(23{,}7\, \text{km}\). Měřítko mapy je \(1 : 75\,000\). Vypočtěte vzdálenost těchto bodů na mapě v centimetrech.
Řešení příkladu:
Převod skutečné vzdálenosti z kilometrů na centimetry:
Skutečná vzdálenost je tedy \(29{,}25\, \text{km}\).
Podrobný postup:
Vzdálenost na mapě vynásobíme měřítkem (převod na skutečné centimetry).
Převedeme centimetry na metry dělením 100.
Převedeme metry na kilometry dělením 1 000.
111. Měřítko mapy je \(1 : 120\,000\). Na mapě změřte vzdálenost \(7{,}5\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost mezi body v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 120\,000\) znamená, že každý \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá ve skutečnosti \(120\,000\, \text{cm}\). Proto vzdálenost na mapě \(7{,}5\, \text{cm}\) převedeme na skutečnou vzdálenost v centimetrech vynásobením:
Abychom převedli centimetry na metry, vydělíme je číslem \(100\), protože \(1\, \text{m} = 100\, \text{cm}\):
\[
\frac{900\,000}{100} = 9\,000\, \text{m}
\]
Následně převedeme metry na kilometry vydělením číslem \(1\,000\), protože \(1\, \text{km} = 1\,000\, \text{m}\):
\[
\frac{9\,000}{1\,000} = 9\, \text{km}
\]
Výsledkem je, že skutečná vzdálenost mezi body je \(9\, \text{km}\).
112. Měřítko mapy je \(1 : 50\,000\). Jaká je skutečná vzdálenost mezi dvěma body, pokud na mapě měříme vzdálenost \(15{,}3\, \text{cm}\)? Vyjádřete vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 50\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(50\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti. Proto skutečnou vzdálenost vypočítáme takto:
Skutečná vzdálenost je tedy \(20{,}5\, \text{km}\).
118. Měřítko mapy je \(1 : 150\,000\). Jaká je skutečná vzdálenost, jestliže na mapě změříme vzdálenost \(6{,}7\, \text{cm}\)? Vyjádřete v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 150\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě je ve skutečnosti \(150\,000\, \text{cm}\).
Výsledná skutečná vzdálenost je \(11{,}5\, \text{km}\).
121. Na mapě s měřítkem \(1 : 150\,000\) změřte vzdálenost \(6{,}2\, \text{cm}\). Vypočtěte skutečnou vzdálenost mezi dvěma body v kilometrech.
Řešení příkladu:
Nejprve si vysvětlíme, co znamená měřítko mapy \(1 : 150\,000\). Toto měřítko znamená, že každý jeden centimetr na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(150\,000\, \text{cm}\). Jinými slovy, délka na mapě je zmenšena \(150\,000\)-krát oproti skutečnosti.
Na mapě máme vzdálenost \(6{,}2\, \text{cm}\), chceme vypočítat skutečnou vzdálenost \(d_{\text{skutečná}}\). Použijeme jednoduchý vztah:
Výsledná skutečná vzdálenost mezi dvěma body je tedy \(9{,}3\, \text{km}\).
122. Mapa má měřítko \(1 : 250\,000\). Vzdálenost mezi dvěma městy na mapě je \(4{,}8\, \text{cm}\). Vypočítejte skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Nejprve si vysvětlíme, co znamená měřítko mapy \(1 : 250\,000\). To znamená, že každý jeden centimetr na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(250\,000\, \text{cm}\). Měřítko je tedy poměr skutečné vzdálenosti k vzdálenosti na mapě.
Vzdálenost na mapě je \(4{,}8\, \text{cm}\). Chceme vypočítat skutečnou vzdálenost \(d_{\text{skutečná}}\). Použijeme vzorec:
Výsledkem je skutečná vzdálenost \(12\, \text{km}\) mezi dvěma městy.
Podrobnější vysvětlení: Měřítko mapy je důležitý koncept, který převádí vzdálenost na mapě na skutečnou vzdálenost v terénu. Zadané měřítko \(1 : 250\,000\) říká, že 1 cm na mapě představuje 2,5 km ve skutečnosti. Při výpočtu je důležité postupně převádět jednotky, aby byl výsledek srozumitelný a použitelný v běžném měřítku kilometrů. Tímto způsobem můžeme snadno odhadnout skutečné vzdálenosti a plánovat například cesty či trasy.
123. Na mapě s měřítkem \(1 : 500\,000\) je vzdálenost mezi dvěma místy \(3{,}4\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 500\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(500\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti. Máme vzdálenost na mapě \(3{,}4\, \text{cm}\). Skutečnou vzdálenost vypočítáme takto:
Podrobné vysvětlení: Při práci s mapou je klíčové chápat vztah mezi délkami na mapě a skutečnými vzdálenostmi. Měřítko udává, o kolik je mapa zmenšena oproti skutečnosti. Postup výpočtu zahrnuje násobení vzdálenosti na mapě tímto měřítkem a následné převody jednotek. Výsledek je pak v kilometrech, což je vhodná jednotka pro běžné vzdálenosti.
124. Na plánu města je vzdálenost mezi dvěma body \(15\, \text{cm}\). Měřítko plánu je \(1 : 12\,000\). Vypočítejte skutečnou vzdálenost v metrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 12\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(12\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vzdálenost na mapě je \(15\, \text{cm}\), skutečná vzdálenost tedy spočítáme:
Podrobný komentář: Tento příklad ukazuje, jak lze použít měřítko pro převod vzdálenosti z plánu na skutečnou vzdálenost. Vzhledem k tomu, že plán města je často v menším měřítku než geografické mapy, výsledná vzdálenost je uvedena v metrech, což je vhodné pro městské měření vzdáleností. Převod jednotek je nezbytný pro správné pochopení skutečných rozměrů.
125. Na turistické mapě je měřítko \(1 : 50\,000\). Pokud je vzdálenost mezi dvěma vrcholy na mapě \(7{,}5\, \text{cm}\), určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 50\,000\) říká, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(50\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Výsledná skutečná vzdálenost je \(63\, \text{km}\).
Podrobnější komentář: Měřítko \(1 : 1\,000\,000\) se často používá pro mapy celých států či velkých oblastí. Při takovýchto měřítkách jsou vzdálenosti mezi místy velké, a proto je důležité správně pracovat s jednotkami, aby bylo možné přesně určit skutečné vzdálenosti.
128. Na mapě je vzdálenost mezi dvěma řekami \(9{,}7\, \text{cm}\). Měřítko mapy je \(1 : 350\,000\). Jaká je skutečná vzdálenost mezi řekami v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 350\,000\) znamená, že každý centimetr na mapě odpovídá \(350\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost mezi řekami je přibližně \(33{,}95\, \text{km}\).
Podrobnosti: Tento příklad ukazuje, jak se i u větších vzdáleností používá stejný princip převodu z měřítka do skutečné vzdálenosti. Správná práce s jednotkami je klíčová pro přesné určení vzdáleností v terénu.
129. Měřítko mapy je \(1 : 750\,000\). Vzdálenost na mapě mezi dvěma body je \(5{,}2\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 750\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(750\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Výsledná skutečná vzdálenost je tedy \(12{,}4\, \text{km}\).
Podrobný komentář: Tento příklad ukazuje, že i u relativně větších vzdáleností na mapě lze použít jednoduchý vzorec pro převod, pokud je měřítko správně pochopeno. Výsledky pak pomáhají například turistům, dopravním plánovačům nebo geodetům přesně určit vzdálenosti v terénu.
131. Mapa má měřítko \(1 : 120\,000\). Na mapě je vzdálenost mezi dvěma městy \(7{,}8\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme, co znamená měřítko mapy \(1 : 120\,000\). To znamená, že každý jeden centimetr na mapě odpovídá ve skutečnosti \(120\,000\) centimetrům v terénu.
Máme vzdálenost na mapě \(7{,}8\, \text{cm}\), takže skutečná vzdálenost \(d\) bude:
\[
d = 7{,}8 \times 120\,000 = 936\,000\, \text{cm}
\]
Protože v jednotkách centimetrů se s těmito čísly hůře pracuje, převedeme centimetry na metry. Víme, že \(1\, \text{m} = 100\, \text{cm}\), tedy
Skutečná vzdálenost mezi dvěma městy je tedy \(9{,}36\, \text{km}\).
Podrobně: Při práci s měřítkem mapy je důležité nejprve správně pochopit, co konkrétní měřítko znamená. V tomto případě číslo \(120\,000\) znamená, že 1 cm na mapě reprezentuje 120 000 cm ve skutečnosti, což je 1,2 kilometru. Výpočet je tedy přímou aplikací pravidla trojčlenky. Vždy je nutné pamatovat na správný převod jednotek, aby výsledek byl v požadovaných jednotkách, což je v tomto případě kilometr. Tento typ úloh je velmi běžný v geografii, kartografii i při plánování tras a projektů v terénu.
132. Plán města má měřítko \(1 : 25\,000\). Na plánu je délka hlavní ulice \(15{,}2\, \text{cm}\). Určete skutečnou délku této ulice v metrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 25\,000\) znamená, že každý 1 cm na plánu odpovídá skutečné délce \(25\,000\, \text{cm}\).
Délka ulice na plánu je \(15{,}2\, \text{cm}\), proto skutečná délka \(d\) je
\[
d = 15{,}2 \times 25\,000 = 380\,000\, \text{cm}
\]
Pro přehlednost převedeme centimetry na metry, víme, že \(1\, \text{m} = 100\, \text{cm}\), takže
Skutečná délka ulice je tedy \(3\,800\, \text{m}\) neboli \(3{,}8\, \text{km}\).
Podrobně: Tento příklad demonstruje přímé využití měřítka při určování skutečných vzdáleností na základě měření na plánu nebo mapě. Je důležité správně převádět jednotky, protože při práci s centimetry a metry dochází k častým omylům. Znalost převodů jednotek a chápání významu měřítka je klíčová nejen pro geografii, ale i pro stavebnictví a dopravní plánování.
133. Mapa národního parku je v měřítku \(1 : 500\,000\). Vzdálenost mezi dvěma turistickými chatami na mapě je \(3{,}4\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 500\,000\) znamená, že každý 1 cm na mapě odpovídá \(500\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je
\[
d = 3{,}4 \times 500\,000 = 1\,700\,000\, \text{cm}
\]
Výsledná skutečná vzdálenost mezi městy je \(115\, \text{km}\).
Podrobnosti: Tento příklad ukazuje práci s velkým měřítkem mapy, které se používá pro zobrazení velkých územních celků, jako jsou regiony nebo země. Přesné určení vzdálenosti je zásadní pro dopravní plánování, logistiku či geograficou analýzu.
135. Mapa v měřítku \(1 : 75\,000\) znázorňuje délku řeky, která měří na mapě \(23{,}5\, \text{cm}\). Jaká je skutečná délka řeky v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 75\,000\) znamená, že 1 cm na mapě odpovídá \(75\,000\, \text{cm}\) skutečnosti.
Skutečná délka řeky \(d\) je:
\[
d = 23{,}5 \times 75\,000 = 1\,762\,500\, \text{cm}
\]
Skutečná délka cesty je tedy \(12\,700\, \text{m}\), což je \(12{,}7\, \text{km}\).
Podrobně: Tento příklad ilustruje přímou aplikaci měřítka v praktických situacích, například při turistice, lesnictví nebo dopravním plánování. Vždy je důležité přesně převádět jednotky, aby výsledky odpovídaly očekávaným fyzikálním jednotkám.
137. Na mapě v měřítku \(1 : 300\,000\) měří vzdálenost mezi dvěma městy \(6{,}3\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech a porovnejte ji s letovou vzdáleností \(18\, \text{km}\).
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 300\,000\) znamená, že 1 cm na mapě odpovídá \(300\,000\, \text{cm}\) skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 6{,}3 \times 300\,000 = 1\,890\,000\, \text{cm}
\]
Porovnání s letovou vzdáleností \(18\, \text{km}\):
Skutečná vzdálenost podle mapy je o něco větší než letová vzdálenost, konkrétně o \(18{,}9 – 18 = 0{,}9\, \text{km}\).
138. Měřítko mapy je \(1 : 1\,000\,000\). Pokud vzdálenost mezi dvěma body na mapě je \(9{,}5\, \text{cm}\), jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 1\,000\,000\) znamená, že 1 cm na mapě odpovídá \(1\,000\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 9{,}5 \times 1\,000\,000 = 9\,500\,000\, \text{cm}
\]
Skutečná vzdálenost mezi body je tedy \(95\, \text{km}\).
Podrobně: Tato úloha ukazuje výpočet skutečných vzdáleností pro mapy s velmi malým měřítkem, které pokrývají rozsáhlé oblasti, jako jsou státy nebo kontinentální části. Je klíčové přesně pochopit význam měřítka, protože chyby v převodech mohou znamenat velké nepřesnosti v reálných vzdálenostech.
139. Měřítko turistické mapy je \(1 : 50\,000\). Na mapě je vzdálenost mezi dvěma body \(18{,}4\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 50\,000\) znamená, že každý 1 cm na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(50\,000\, \text{cm}\).
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 18{,}4 \times 50\,000 = 920\,000\, \text{cm}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(9{,}2\, \text{km}\).
Podrobně: Turistické mapy často používají měřítka kolem \(1 : 50\,000\), která umožňují dostatečnou přesnost při plánování tras a odhadování časů chůze. Správná interpretace měřítka je nezbytná pro bezpečnou a efektivní orientaci v terénu.
140. Mapa má měřítko \(1 : 50\,000\). Na mapě je vzdálenost mezi dvěma městy \(7{,}2\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost těchto měst v kilometrech.
Řešení příkladu:
Nejprve si ujasníme význam měřítka \(1 : 50\,000\). Znamená to, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá ve skutečnosti \(50\,000\, \text{cm}\), tedy \(500\, \text{m}\).
Vzdálenost na mapě je \(7{,}2\, \text{cm}\). Skutečná vzdálenost \(d\) se vypočítá podle vztahu:
\[
d = 7{,}2 \times 50\,000 = 360\,000\, \text{cm}
\]
Protože \(1\, \text{m} = 100\, \text{cm}\), převedeme na metry:
Tedy skutečná vzdálenost mezi městy je \(3{,}6\, \text{km}\).
Celý postup shrnujeme:
1 cm na mapě = 50 000 cm ve skutečnosti
Vzdálenost na mapě = 7,2 cm
Skutečná vzdálenost = \(7{,}2 \times 50\,000 = 360\,000\) cm = 3 600 m = 3,6 km
141. Na mapě s měřítkem \(1 : 100\,000\) je zaznamenána vzdálenost \(12\, \text{cm}\) mezi dvěma body. Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 100\,000\) znamená, že každý \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(100\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti, tedy \(1\,000\, \text{m} = 1\, \text{km}\).
Skutečná vzdálenost \(d\) je tedy:
\[
d = 12 \times 100\,000 = 1\,200\,000\, \text{cm}
\]
143. Na mapě s měřítkem \(1 : 200\,000\) je vzdálenost mezi dvěma místy \(15\, \text{cm}\). Kolik kilometrů je tato vzdálenost ve skutečnosti?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 200\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(200\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti, což je \(2\,000\, \text{m} = 2\, \text{km}\).
Vzdálenost na mapě je \(15\, \text{cm}\), skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 15 \times 200\,000 = 3\,000\,000\, \text{cm}
\]
Podrobné vysvětlení: Měřítko udává přímý poměr mezi vzdáleností na mapě a skutečnou vzdáleností. Po přepočtu na centimetry a následném převodu na metry a kilometry získáme skutečnou vzdálenost.
144. Mapa má měřítko \(1 : 75\,000\). Dva body jsou od sebe vzdálené \(5{,}5\, \text{cm}\) na mapě. Jaká je skutečná vzdálenost mezi nimi?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 75\,000\) znamená, že každý centimetr na mapě odpovídá \(75\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vzdálenost na mapě je \(5{,}5\, \text{cm}\), skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 5{,}5 \times 75\,000 = 412\,500\, \text{cm}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(4{,}125\, \text{km}\).
145. Jaká je skutečná vzdálenost dvou bodů, pokud je na mapě vzdálenost \(9\, \text{cm}\) a měřítko mapy je \(1 : 120\,000\)? Výsledek uveďte v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 120\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(120\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 9 \times 120\,000 = 1\,080\,000\, \text{cm}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(10{,}8\, \text{km}\).
Podrobný postup: Počítáme přímým násobením vzdálenosti na mapě měřítkem, přepočítáme jednotky na metry a poté na kilometry, což je vhodná jednotka pro reálné vzdálenosti mezi městy nebo místy.
146. Na mapě měřítka \(1 : 60\,000\) je vzdálenost \(4{,}8\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v metrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 60\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(60\,000\, \text{cm}\) skutečné vzdálenosti.
Skutečná vzdálenost \(d\):
\[
d = 4{,}8 \times 60\,000 = 288\,000\, \text{cm}
\]
Výsledek: Skutečná vzdálenost je \(2\,880\, \text{m}\).
Vysvětlení: Pro správné určení skutečné vzdálenosti musíme vzít v úvahu poměr měřítka a poté přepočítat jednotky z centimetrů na metry, aby byl výsledek čitelný a praktický pro další použití.
147. Měřítko mapy je \(1 : 150\,000\) a na mapě je zaznamenaná vzdálenost \(8{,}5\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
1 cm na mapě odpovídá \(150\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti, což je \(1\,500\, \text{m} = 1{,}5\, \text{km}\).
Skutečná vzdálenost \(d\):
\[
d = 8{,}5 \times 150\,000 = 1\,275\,000\, \text{cm}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(4{,}4\, \text{km}\).
Podrobnosti: Zjednodušeně si můžeme představit měřítko jako poměr, který přepočítá mapovou vzdálenost na skutečnou. Převod jednotek zajistí, že výsledek je vyjádřen v běžnějších jednotkách vzdálenosti.
149. Měřítko mapy je \(1 : 90\,000\) a na mapě je vzdálenost \(6{,}7\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 90\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(90\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\):
\[
d = 6{,}7 \times 90\,000 = 603\,000\, \text{cm}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(6{,}03\, \text{km}\).
150. Na mapě s měřítkem \(1 : 85\,000\) je vzdálenost mezi dvěma městy \(7{,}2\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko mapy \(1 : 85\,000\) znamená, že každý jeden centimetr na mapě odpovídá ve skutečnosti vzdálenosti \(85\,000\, \text{cm}\). Tedy pokud na mapě změříme délku \(7{,}2\, \text{cm}\), skutečná vzdálenost bude násobkem tohoto měřítka.
Nejprve spočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 7{,}2 \times 85\,000 = 612\,000\, \text{cm}
\]
Tato hodnota je však v centimetrech, což není běžná jednotka pro vzdálenosti mezi městy. Proto převedeme na metry, jelikož \(1\, \text{m} = 100\, \text{cm}\):
\[
d = \frac{612\,000}{100} = 6\,120\, \text{m}
\]
Pro ještě větší přehlednost převedeme metry na kilometry, protože \(1\, \text{km} = 1\,000\, \text{m}\):
\[
d = \frac{6\,120}{1\,000} = 6{,}12\, \text{km}
\]
Výsledná skutečná vzdálenost mezi dvěma městy je tedy \(6{,}12\, \text{km}\).
151. Na mapě s měřítkem \(1 : 200\,000\) je vzdálenost \(3{,}5\, \text{cm}\). Vypočtěte skutečnou vzdálenost v kilometrech a vysvětlete jednotlivé kroky.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 200\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(200\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Nejprve spočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 3{,}5 \times 200\,000 = 700\,000\, \text{cm}
\]
Následně převedeme centimetry na metry, protože metry jsou praktickou jednotkou pro větší vzdálenosti:
\[
d = \frac{700\,000}{100} = 7\,000\, \text{m}
\]
A konečně převedeme metry na kilometry, abychom získali čitelnější a obvyklou jednotku vzdálenosti:
\[
d = \frac{7\,000}{1\,000} = 7\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost mezi dvěma body je tedy \(7\, \text{km}\).
Podrobný popis postupu: Využili jsme měřítko k přepočtu vzdálenosti na mapě na skutečnou vzdálenost v centimetrech. Protože centimetry jsou pro větší vzdálenosti nepraktické, převedli jsme je nejprve na metry, což je standardní měrná jednotka, a následně na kilometry, aby výsledek byl srozumitelný a užitečný pro reálné použití.
152. Vzdálenost na mapě je \(10\, \text{cm}\) a měřítko mapy je \(1 : 500\,000\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech a detailně popište výpočet.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 500\,000\) říká, že každý centimetr na mapě odpovídá \(500\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vypočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 10 \times 500\,000 = 5\,000\,000\, \text{cm}
\]
Protože centimetry jsou pro větší vzdálenosti nepřehledné, převedeme na metry:
\[
d = \frac{5\,000\,000}{100} = 50\,000\, \text{m}
\]
A nakonec na kilometry:
\[
d = \frac{50\,000}{1\,000} = 50\, \text{km}
\]
Výsledek: skutečná vzdálenost je \(50\, \text{km}\).
Podrobný postup: Měřítko mapy převádí vzdálenost na mapě do skutečných rozměrů v centimetrech. Poté převedeme jednotky z centimetrů na metry, aby byla čísla lépe pochopitelná, a nakonec na kilometry, což je vhodná jednotka pro vyjádření vzdáleností mezi městy či oblastmi v terénu.
153. Na mapě je měřítko \(1 : 75\,000\) a vzdálenost mezi dvěma body je \(12{,}5\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech? Popište detailně celý postup.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 75\,000\) znamená, že jeden centimetr na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(75\,000\, \text{cm}\).
Nejprve vypočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 12{,}5 \times 75\,000 = 937\,500\, \text{cm}
\]
Převedeme na metry, protože metry jsou praktičtější jednotkou:
\[
d = \frac{937\,500}{100} = 9\,375\, \text{m}
\]
Následně převedeme metry na kilometry:
\[
d = \frac{9\,375}{1\,000} = 9{,}375\, \text{km}
\]
Výsledná skutečná vzdálenost je tedy \(9{,}375\, \text{km}\).
Detailní postup: Převod začíná aplikací měřítka mapy na změřenou vzdálenost na mapě v centimetrech, což dává skutečnou vzdálenost v centimetrech. Protože tato jednotka je pro praktické účely příliš malá, provedeme konverzi na metry a nakonec na kilometry, což jsou běžné a přehledné jednotky pro měření vzdáleností mezi geografickými body.
154. V mapě s měřítkem \(1 : 250\,000\) změřili vzdálenost \(2{,}4\, \text{cm}\). Vypočtěte skutečnou vzdálenost v kilometrech a popište celý postup.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 250\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(250\,000\, \text{cm}\) skutečné vzdálenosti.
Nejdříve vypočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 2{,}4 \times 250\,000 = 600\,000\, \text{cm}
\]
Pro přehlednost převedeme centimetry na metry:
\[
d = \frac{600\,000}{100} = 6\,000\, \text{m}
\]
A nakonec metry na kilometry:
\[
d = \frac{6\,000}{1\,000} = 6\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(6\, \text{km}\).
Podrobné vysvětlení: Použitím měřítka přepočítáme vzdálenost naměřenou na mapě do reálné vzdálenosti v centimetrech. Jelikož centimetry jsou pro delší vzdálenosti nevhodné, konvertujeme je na metry a poté na kilometry, což jsou jednotky, které lépe odpovídají měřítku skutečných vzdáleností v terénu.
155. Měřítko mapy je \(1 : 120\,000\) a vzdálenost na mapě je \(8{,}6\, \text{cm}\). Vypočítejte skutečnou vzdálenost v kilometrech s podrobným postupem.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 120\,000\) znamená, že každý centimetr na mapě odpovídá skutečné délce \(120\,000\, \text{cm}\).
Skutečná vzdálenost v centimetrech je:
\[
d = 8{,}6 \times 120\,000 = 1\,032\,000\, \text{cm}
\]
Převedeme na metry:
\[
d = \frac{1\,032\,000}{100} = 10\,320\, \text{m}
\]
A dále na kilometry:
\[
d = \frac{10\,320}{1\,000} = 10{,}32\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(10{,}32\, \text{km}\).
Podrobný popis: Pomocí měřítka jsme přepočetli vzdálenost z mapy v centimetrech na skutečnou vzdálenost v centimetrech. Protože taková jednotka není praktická pro vyjadřování delších vzdáleností, převedli jsme centimetry na metry a nakonec na kilometry, což je standardní a přehledná jednotka vzdálenosti.
156. Na mapě s měřítkem \(1 : 180\,000\) je vzdálenost mezi dvěma body \(5{,}7\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech? Popište celý postup výpočtu.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 180\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(180\,000\, \text{cm}\).
Vypočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 5{,}7 \times 180\,000 = 1\,026\,000\, \text{cm}
\]
Převedeme na metry:
\[
d = \frac{1\,026\,000}{100} = 10\,260\, \text{m}
\]
A nakonec na kilometry:
\[
d = \frac{10\,260}{1\,000} = 10{,}26\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(10{,}26\, \text{km}\).
Detailní postup: Pomocí měřítka jsme vynásobili vzdálenost na mapě skutečnou měřítkovou hodnotou, což nám dalo vzdálenost v centimetrech. Převedli jsme tuto hodnotu na metry a následně na kilometry, aby byl výsledek přehledný a použitelný v běžném geografickém kontextu.
157. Měřítko mapy je \(1 : 100\,000\). Na mapě je vzdálenost \(4{,}3\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech s podrobným popisem výpočtu.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 100\,000\) znamená, že každý centimetr na mapě odpovídá \(100\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vypočteme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 4{,}3 \times 100\,000 = 430\,000\, \text{cm}
\]
Převedeme centimetry na metry:
\[
d = \frac{430\,000}{100} = 4\,300\, \text{m}
\]
A metry na kilometry:
\[
d = \frac{4\,300}{1\,000} = 4{,}3\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(4{,}3\, \text{km}\).
Podrobný popis: Pomocí měřítka jsme přepočítali vzdálenost na mapě v centimetrech na skutečnou vzdálenost v centimetrech. Pro lepší přehlednost jsme jednotky převedli nejprve na metry a poté na kilometry, což jsou běžně používané jednotky pro vzdálenosti v reálném světě.
158. Na mapě s měřítkem \(1 : 350\,000\) je vzdálenost \(9{,}1\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech a vysvětlete postup.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 350\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(350\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vypočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 9{,}1 \times 350\,000 = 3\,185\,000\, \text{cm}
\]
Převedeme na metry:
\[
d = \frac{3\,185\,000}{100} = 31\,850\, \text{m}
\]
A nakonec na kilometry:
\[
d = \frac{31\,850}{1\,000} = 31{,}85\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(31{,}85\, \text{km}\).
Podrobný popis: Pomocí měřítka jsme vzdálenost na mapě vynásobili skutečným poměrem měřítka, což nám dalo vzdálenost ve skutečných centimetrech. Pro lepší přehlednost a použití v běžné praxi jsme tuto vzdálenost převedli na metry a následně na kilometry.
159. Měřítko mapy je \(1 : 400\,000\) a na mapě změřená vzdálenost je \(6{,}5\, \text{cm}\). Vypočítejte skutečnou vzdálenost v kilometrech a popište celý postup.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 400\,000\) znamená, že každý centimetr na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(400\,000\, \text{cm}\).
Vypočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 6{,}5 \times 400\,000 = 2\,600\,000\, \text{cm}
\]
Převedeme na metry:
\[
d = \frac{2\,600\,000}{100} = 26\,000\, \text{m}
\]
A poté na kilometry:
\[
d = \frac{26\,000}{1\,000} = 26\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(26\, \text{km}\).
Podrobný popis: Přepočet z mapové vzdálenosti na skutečnou provedeme vynásobením naměřené hodnoty měřítkem, které udává, kolik centimetrů ve skutečnosti odpovídá jednomu centimetru na mapě. Výslednou vzdálenost převedeme z centimetrů na metry a pak na kilometry, což jsou vhodnější jednotky pro delší vzdálenosti.
160. Na mapě s měřítkem \(1 : 500\,000\) je vzdálenost mezi dvěma body \(7{,}8\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech s podrobným vysvětlením.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 500\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(500\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vypočítáme skutečnou vzdálenost v centimetrech:
\[
d = 7{,}8 \times 500\,000 = 3\,900\,000\, \text{cm}
\]
Převedeme na metry:
\[
d = \frac{3\,900\,000}{100} = 39\,000\, \text{m}
\]
A nakonec na kilometry:
\[
d = \frac{39\,000}{1\,000} = 39\, \text{km}
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(39\, \text{km}\).
Podrobné vysvětlení: Pomocí měřítka přepočítáme vzdálenost na mapě v centimetrech na skutečnou vzdálenost ve skutečných centimetrech. Pro lepší přehlednost a použití v reálných podmínkách převedeme centimetry na metry a poté na kilometry, což jsou jednotky běžně používané pro vyjadřování delších vzdáleností.
161. Na mapě s měřítkem \(1 : 350\,000\) je vzdálenost mezi dvěma městy \(9{,}4\, \text{cm}\). Vypočítejte skutečnou vzdálenost mezi těmito městy v kilometrech a podrobně popište postup řešení.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeneme význam měřítka mapy. Měřítko \(1 : 350\,000\) znamená, že každý centimetr na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(350\,000\) centimetrů.
Máme danou vzdálenost na mapě \(d_m = 9{,}4\, \text{cm}\). Skutečná vzdálenost \(d_s\) je tedy
Skutečná vzdálenost mezi městy je tedy \(32{,}9\, \text{km}\).
Souhrn: Měřítko mapy určuje poměr mezi délkou na mapě a skutečnou délkou. V tomto případě jsme použili měřítko k přepočtu centimetrů na mapě na skutečné centimetry, pak jsme převedli na metry a kilometry.
162. Na mapě s měřítkem \(1 : 500\,000\) je vzdálenost dvou jezer \(7\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Podobně jako v předchozím příkladu měřítko \(1 : 500\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(500\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost mezi jezerami je \(35\, \text{km}\).
Postup byl analogický: využili jsme poměr měřítka k výpočtu skutečné vzdálenosti z měřené vzdálenosti na mapě, pak jednotky převedli na kilometry.
163. Mapa má měřítko \(1 : 200\,000\) a skutečná vzdálenost mezi dvěma body je \(18\, \text{km}\). Jaká je vzdálenost těchto bodů na mapě v centimetrech?
Řešení příkladu:
Tento příklad je opačný k předchozím: máme skutečnou vzdálenost \(d_s = 18\, \text{km}\) a chceme spočítat vzdálenost na mapě \(d_m\).
Nejprve převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry, protože měřítko udává poměr centimetrů na mapě ke skutečným centimetrům.
Výpočet je založen na přímé úměrnosti mezi vzdáleností na mapě a skutečnou vzdáleností.
166. Na mapě s měřítkem \(1 : 250\,000\) je vzdálenost dvou vrcholů hor \(15{,}6\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost mezi vrcholy v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko znamená, že každý centimetr na mapě odpovídá \(250\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost mezi body je \(80\, \text{km}\).
Výpočet ukazuje přímou úměrnost mezi vzdáleností na mapě a skutečnou vzdáleností dle měřítka mapy.
171. Na mapě s měřítkem \(1 : 450\,000\) je vzdálenost mezi dvěma městy \(12{,}3\, \text{cm}\). Vypočtěte skutečnou vzdálenost mezi městy v kilometrech.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme, co znamená měřítko mapy. Měřítko \(1 : 450\,000\) znamená, že každý \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(450\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vzdálenost na mapě je \(12{,}3\, \text{cm}\). Skutečná vzdálenost \(d\) v centimetrech se vypočítá jako:
\[
d = 12{,}3 \times 450\,000 = 5\,535\,000\, \text{cm}.
\]
Protože chceme výsledek v kilometrech, převedeme centimetry na kilometry:
Skutečná vzdálenost mezi městy je tedy \(55{,}35\, \text{km}\).
172. Mapa má měřítko \(1 : 1\,200\,000\). Na mapě je délka řeky \(7{,}5\, \text{cm}\). Jaká je skutečná délka řeky v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 1\,200\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(1\,200\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná délka řeky \(d\) v centimetrech je:
\[
d = 7{,}5 \times 1\,200\,000 = 9\,000\,000\, \text{cm}.
\]
Převedeme na kilometry:
\[
d = \frac{9\,000\,000}{100\,000} = 90\, \text{km}.
\]
Řeka má skutečnou délku \(90\, \text{km}\).
173. Měřítko mapy je \(1 : 250\,000\). Na mapě je vzdálenost mezi dvěma body \(3{,}6\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 250\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(250\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 3{,}6 \times 250\,000 = 900\,000\, \text{cm}.
\]
Konverze na kilometry:
\[
d = \frac{900\,000}{100\,000} = 9\, \text{km}.
\]
Skutečná vzdálenost je tedy \(9\, \text{km}\).
174. Na mapě o měřítku \(1 : 800\,000\) je vzdálenost \(15\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko říká, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(800\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vypočteme skutečnou vzdálenost \(d\):
\[
d = 15 \times 800\,000 = 12\,000\,000\, \text{cm}.
\]
Převedeme na kilometry:
\[
d = \frac{12\,000\,000}{100\,000} = 120\, \text{km}.
\]
Skutečná vzdálenost je \(120\, \text{km}\).
175. Měřítko mapy je \(1 : 350\,000\). Na mapě je vzdálenost \(9{,}8\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
V měřítku \(1 : 350\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(350\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Vzdálenost \(d\) v centimetrech:
\[
d = 9{,}8 \times 350\,000 = 3\,430\,000\, \text{cm}.
\]
Konverze na kilometry:
\[
d = \frac{3\,430\,000}{100\,000} = 34{,}3\, \text{km}.
\]
Skutečná vzdálenost je \(34{,}3\, \text{km}\).
176. Na mapě s měřítkem \(1 : 900\,000\) je vzdálenost mezi dvěma body \(4{,}7\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 900\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(900\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 4{,}7 \times 900\,000 = 4\,230\,000\, \text{cm}.
\]
Převedeme na kilometry:
\[
d = \frac{4\,230\,000}{100\,000} = 42{,}3\, \text{km}.
\]
Skutečná vzdálenost je \(42{,}3\, \text{km}\).
177. Mapa má měřítko \(1 : 2\,000\,000\). Na mapě je vzdálenost \(8{,}2\, \text{cm}\). Vypočtěte skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 2\,000\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) odpovídá \(2\,000\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 8{,}2 \times 2\,000\,000 = 16\,400\,000\, \text{cm}.
\]
Převedeme na kilometry:
\[
d = \frac{16\,400\,000}{100\,000} = 164\, \text{km}.
\]
Skutečná vzdálenost je \(164\, \text{km}\).
178. Na mapě s měřítkem \(1 : 600\,000\) je vzdálenost \(11{,}5\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost v kilometrech?
Řešení příkladu:
Měřítko říká, že \(1\, \text{cm}\) odpovídá \(600\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) v centimetrech:
\[
d = 11{,}5 \times 600\,000 = 6\,900\,000\, \text{cm}.
\]
Převedeme na kilometry:
\[
d = \frac{6\,900\,000}{100\,000} = 69\, \text{km}.
\]
Skutečná vzdálenost je \(69\, \text{km}\).
179. Měřítko mapy je \(1 : 1\,000\,000\). Na mapě je vzdálenost \(5{,}4\, \text{cm}\). Vypočtěte skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 1\,000\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) odpovídá \(1\,000\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 5{,}4 \times 1\,000\,000 = 5\,400\,000\, \text{cm}.
\]
Převedeme na kilometry:
\[
d = \frac{5\,400\,000}{100\,000} = 54\, \text{km}.
\]
Skutečná vzdálenost je \(54\, \text{km}\).
180. Na mapě s měřítkem \(1 : 3\,500\,000\) je vzdálenost \(2{,}7\, \text{cm}\). Určete skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 3\,500\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(3\,500\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Skutečná vzdálenost \(d\) je:
\[
d = 2{,}7 \times 3\,500\,000 = 9\,450\,000\, \text{cm}.
\]
Převedeme na kilometry:
\[
d = \frac{9\,450\,000}{100\,000} = 94{,}5\, \text{km}.
\]
Skutečná vzdálenost je \(94{,}5\, \text{km}\).
181. Na mapě s měřítkem \(1 : 1\,200\,000\) je vzdálenost mezi dvěma městy \(7{,}3\, \text{cm}\). Vypočtěte skutečnou vzdálenost v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 1\,200\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(1\,200\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti. Nejprve přepočítáme mapovou vzdálenost na skutečnou v centimetrech:
Skutečná vzdálenost mezi městy je tedy \(87{,}6\, \text{km}\).
182. Na mapě je měřítko \(1 : 500\,000\). Jaká bude vzdálenost na mapě, pokud jsou dvě města od sebe ve skutečnosti vzdálena \(150\, \text{km}\)? Výsledek uveďte v centimetrech.
Řešení příkladu:
Měřítko \(1 : 500\,000\) znamená, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(500\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
Nejprve převedeme vzdálenost skutečnou na centimetry:
Skutečná vzdálenost mezi dvěma body je tedy \(90\, \text{km}\).
184. Skutečná vzdálenost mezi dvěma městy je \(45\, \text{km}\). Na mapě s měřítkem \(1 : 300\,000\) určete, jaká bude vzdálenost mezi městy v centimetrech.
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry, abychom mohli použít měřítko:
Na mapě bude tedy vzdálenost mezi městy \(15\, \text{cm}\).
185. Mapa zobrazuje oblast o skutečné délce \(180\, \text{km}\). Jaká je délka této oblasti na mapě s měřítkem \(1 : 1\,000\,000\)? Výsledek uveďte v centimetrech.
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry:
186. Na mapě s měřítkem \(1 : 2\,000\,000\) je vzdálenost mezi dvěma body \(5\, \text{cm}\). Jaká je skutečná vzdálenost mezi těmito body? Výsledek vyjádřete v kilometrech.
Řešení příkladu:
Měřítko říká, že \(1\, \text{cm}\) na mapě odpovídá \(2\,000\,000\, \text{cm}\) ve skutečnosti.
191. Na mapě je vzdálenost mezi dvěma městy \(12\, \text{cm}\). Měřítko mapy je \(1 : 850\,000\). Jaká je skutečná vzdálenost mezi městy v kilometrech?
Řešení příkladu:
Úkolem je zjistit skutečnou vzdálenost mezi městy, pokud známe vzdálenost na mapě a měřítko mapy.
Měřítko \(1 : 850\,000\) znamená, že jeden centimetr na mapě odpovídá skutečné vzdálenosti \(850\,000\, \text{cm}\).
Nejprve přepočítáme vzdálenost na mapě na skutečnou vzdálenost v centimetrech pomocí vztahu:
Měřítko je poměr vzdálenosti na mapě ku skutečné vzdálenosti:
\[
M = \frac{15}{4\,500\,000} = \frac{1}{300\,000}
\]
Tedy měřítko mapy je \(1 : 300\,000\).
194. Na mapě s měřítkem \(1 : 1\,000\,000\) změřte délku silnice, která má ve skutečnosti \(12\, \text{km}\). Jak dlouhá bude tato silnice na mapě v centimetrech?
Řešení příkladu:
Nejdříve převedeme skutečnou vzdálenost na centimetry:
