1. Vyřešte rovnici \( (2 + 3i)z + (1 – i) = 4 + 7i \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Rovnici upravíme tak, aby bylo \( z \) izolované:
\[
(2 + 3i)z = (4 + 7i) – (1 – i) = (4 – 1) + (7i + i) = 3 + 8i.
\]
Pro vyjádření \( z \) vydělíme obě strany rovnice komplexním číslem \( 2 + 3i \):
\[
z = \frac{3 + 8i}{2 + 3i}.
\]
Pro dělení komplexních čísel použijeme konjugované číslo:
\[
z = \frac{3 + 8i}{2 + 3i} \cdot \frac{2 – 3i}{2 – 3i} = \frac{(3 + 8i)(2 – 3i)}{(2 + 3i)(2 – 3i)}.
\]
Vyčíslíme čitatele:
\[
(3)(2) + (3)(-3i) + (8i)(2) + (8i)(-3i) = 6 – 9i + 16i – 24i^2.
\]
Využijeme \( i^2 = -1 \):
\[
6 – 9i + 16i + 24 = (6 + 24) + (7i) = 30 + 7i.
\]
Vyčíslíme jmenovatel:
\[
(2)^2 – (3i)^2 = 4 – 9i^2 = 4 + 9 = 13.
\]
Výsledek je:
\[
z = \frac{30 + 7i}{13} = \frac{30}{13} + \frac{7}{13}i.
\]
Odpověď: \( z = \frac{30}{13} + \frac{7}{13}i \).
2. Zadání: Najděte \( z \in \mathbb{C} \) z rovnice \( (1 – i)z – (3 + 4i) = 2i – 5 \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve upravíme rovnici tak, aby bylo \( z \) na jedné straně:
\[
(1 – i)z = 2i – 5 + 3 + 4i = (-5 + 3) + (2i + 4i) = -2 + 6i.
\]
Pro vyjádření \( z \) vydělíme:
\[
z = \frac{-2 + 6i}{1 – i}.
\]
Použijeme konjugované číslo v jmenovateli:
\[
z = \frac{-2 + 6i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(-2 + 6i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}.
\]
Vyčíslíme čitatele:
\[
(-2)(1) + (-2)(i) + (6i)(1) + (6i)(i) = -2 – 2i + 6i + 6i^2.
\]
Využijeme \( i^2 = -1 \):
\[
-2 – 2i + 6i – 6 = (-2 – 6) + (4i) = -8 + 4i.
\]
Jmenovatel:
\[
1^2 – i^2 = 1 – (-1) = 2.
\]
Výsledné řešení:
\[
z = \frac{-8 + 4i}{2} = -4 + 2i.
\]
Odpověď: \( z = -4 + 2i \).
3. Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje rovnici \( (4 – i)z + (2 + 3i) = 7 – i \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Upravíme rovnici:
\[
(4 – i)z = (7 – i) – (2 + 3i) = (7 – 2) + (-i – 3i) = 5 – 4i.
\]
Vydělíme:
\[
z = \frac{5 – 4i}{4 – i}.
\]
Použijeme konjugované číslo:
\[
z = \frac{5 – 4i}{4 – i} \cdot \frac{4 + i}{4 + i} = \frac{(5 – 4i)(4 + i)}{(4 – i)(4 + i)}.
\]
Čitatel:
\[
5 \cdot 4 + 5 \cdot i – 4i \cdot 4 – 4i \cdot i = 20 + 5i – 16i – 4i^2 = 20 – 11i + 4 = 24 – 11i.
\]
Jmenovatel:
\[
4^2 – (i)^2 = 16 – (-1) = 17.
\]
Výsledek:
\[
z = \frac{24}{17} – \frac{11}{17} i.
\]
Odpověď: \( z = \frac{24}{17} – \frac{11}{17} i \).
4. Najděte \( z \in \mathbb{C} \) z rovnice \( (3 + 2i)z – (1 + i) = 6 + 4i \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Úprava rovnice:
\[
(3 + 2i)z = 6 + 4i + 1 + i = 7 + 5i.
\]
Vydělíme:
\[
z = \frac{7 + 5i}{3 + 2i}.
\]
Vynásobíme konjugovaným číslem:
\[
z = \frac{7 + 5i}{3 + 2i} \cdot \frac{3 – 2i}{3 – 2i} = \frac{(7 + 5i)(3 – 2i)}{3^2 – (2i)^2}.
\]
Čitatel:
\[
7 \cdot 3 – 7 \cdot 2i + 5i \cdot 3 – 5i \cdot 2i = 21 – 14i + 15i – 10i^2 = 21 + i + 10 = 31 + i.
\]
Jmenovatel:
\[
9 – (-4) = 13.
\]
Výsledek:
\[
z = \frac{31}{13} + \frac{1}{13}i.
\]
Odpověď: \( z = \frac{31}{13} + \frac{1}{13} i \).
5. Vyřešte \( (5 – 2i)z + (4 + i) = 3 – 7i \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Úprava rovnice:
\[
(5 – 2i)z = (3 – 7i) – (4 + i) = (3 – 4) + (-7i – i) = -1 – 8i.
\]
Vydělíme:
\[
z = \frac{-1 – 8i}{5 – 2i}.
\]
Vynásobíme konjugovaným číslem:
\[
z = \frac{-1 – 8i}{5 – 2i} \cdot \frac{5 + 2i}{5 + 2i} = \frac{(-1 – 8i)(5 + 2i)}{5^2 – (2i)^2}.
\]
Čitatel:
\[
-1 \cdot 5 – 1 \cdot 2i – 8i \cdot 5 – 8i \cdot 2i = -5 – 2i – 40i – 16i^2 = -5 – 42i + 16 = 11 – 42i.
\]
Jmenovatel:
\[
25 – (-4) = 29.
\]
Výsledek:
\[
z = \frac{11}{29} – \frac{42}{29}i.
\]
Odpověď: \( z = \frac{11}{29} – \frac{42}{29}i \).
6. Najděte \( z \in \mathbb{C} \) z rovnice \( (6 + i)z – (2 – 3i) = 10 + 5i \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Úprava rovnice:
\[
(6 + i)z = 10 + 5i + 2 – 3i = 12 + 2i.
\]
Vydělíme:
\[
z = \frac{12 + 2i}{6 + i}.
\]
Vynásobíme konjugovaným číslem:
\[
z = \frac{12 + 2i}{6 + i} \cdot \frac{6 – i}{6 – i} = \frac{(12 + 2i)(6 – i)}{6^2 – i^2}.
\]
Čitatel:
\[
12 \cdot 6 – 12 \cdot i + 2i \cdot 6 – 2i \cdot i = 72 – 12i + 12i – 2i^2 = 72 + 2 = 74.
\]
Jmenovatel:
\[
36 – (-1) = 37.
\]
Výsledek:
\[
z = \frac{74}{37} = 2.
\]
Odpověď: \( z = 2 \).
7. Řešte rovnici v komplexních číslech: \( (2 + 3i)z – (1 – i) = 5 + 7i \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme rovnici \( (2 + 3i)z – (1 – i) = 5 + 7i \). Nejprve upravíme rovnici tak, že přeneseme \(-(1 – i)\) na pravou stranu:
\( (2 + 3i)z = 5 + 7i + 1 – i = (5 + 1) + (7i – i) = 6 + 6i \).
Chceme tedy najít \( z \), takže vydělíme obě strany rovnice komplexním číslem \( 2 + 3i \):
\( z = \frac{6 + 6i}{2 + 3i} \).
Pro vydělení komplexních čísel vynásobíme čitatel i jmenovatel komplexně sdruženým číslem jmenovatele \( 2 – 3i \):
\( z = \frac{(6 + 6i)(2 – 3i)}{(2 + 3i)(2 – 3i)} \).
Vypočítáme jmenovatel:
\( (2 + 3i)(2 – 3i) = 2^2 – (3i)^2 = 4 – (-9) = 4 + 9 = 13 \).
Vypočítáme čitatel:
\( (6 + 6i)(2 – 3i) = 6 \cdot 2 + 6 \cdot (-3i) + 6i \cdot 2 + 6i \cdot (-3i) = 12 – 18i + 12i – 18i^2 \).
Protože \( i^2 = -1 \), máme:
\( 12 – 18i + 12i – 18(-1) = 12 – 6i + 18 = (12 + 18) – 6i = 30 – 6i \).
Takže:
\( z = \frac{30 – 6i}{13} = \frac{30}{13} – \frac{6}{13}i \).
Tedy řešení je:
\( z = \frac{30}{13} – \frac{6}{13}i \).
8. Najděte všechna řešení rovnice: \( z^2 + (3 – 4i)z + (5 + 12i) = 0 \), kde \( z \in \mathbb{C} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme kvadratickou rovnici s komplexními koeficienty:
\( z^2 + (3 – 4i)z + (5 + 12i) = 0 \).
Použijeme vzorec pro řešení kvadratické rovnice:
\( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \), kde \( a=1 \), \( b=3 – 4i \), \( c=5 + 12i \).
Nejprve spočítáme diskriminant \( D = b^2 – 4ac \):
\( b^2 = (3 – 4i)^2 = 3^2 – 2 \cdot 3 \cdot 4i + (4i)^2 = 9 – 24i + 16i^2 = 9 – 24i – 16 = -7 – 24i \).
\( 4ac = 4 \cdot 1 \cdot (5 + 12i) = 20 + 48i \).
Takže:
\( D = (-7 – 24i) – (20 + 48i) = -7 – 24i – 20 – 48i = -27 – 72i \).
Nyní musíme najít druhou odmocninu z \( D = -27 – 72i \), tedy najít komplexní číslo \( w = x + yi \), které splňuje \( w^2 = D \).
Píšeme rovnici:
\( (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2 i^2 = (x^2 – y^2) + 2xyi = -27 – 72i \).
Porovnáním reálných a imaginárních částí dostaneme soustavu:
\( x^2 – y^2 = -27 \)
\( 2xy = -72 \) \(\Rightarrow xy = -36 \)
Vyjádříme \( y = -\frac{36}{x} \) (za předpokladu, že \( x \neq 0 \)) a dosadíme do první rovnice:
\( x^2 – \left(-\frac{36}{x}\right)^2 = -27 \Rightarrow x^2 – \frac{1296}{x^2} = -27 \).
Vynásobíme celou rovnici \( x^2 \):
\( x^4 – 1296 = -27 x^2 \Rightarrow x^4 + 27 x^2 – 1296 = 0 \).
Necháme \( t = x^2 \), dostaneme kvadratickou rovnici:
\( t^2 + 27t – 1296 = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pomocí vzorce:
\( t = \frac{-27 \pm \sqrt{27^2 + 4 \cdot 1296}}{2} = \frac{-27 \pm \sqrt{729 + 5184}}{2} = \frac{-27 \pm \sqrt{5913}}{2} \).
Protože \( \sqrt{5913} \approx 76.92 \), máme:
\( t_1 = \frac{-27 + 76.92}{2} = \frac{49.92}{2} = 24.96 \)
\( t_2 = \frac{-27 – 76.92}{2} = \frac{-103.92}{2} = -51.96 \) (zamítáme, protože \( t = x^2 \geq 0 \)).
Tedy \( x^2 = 24.96 \Rightarrow x = \pm \sqrt{24.96} \approx \pm 4.996 \).
Dosadíme zpět pro \( y \):
\( y = -\frac{36}{x} \approx -\frac{36}{4.996} = -7.204 \) pro \( x > 0 \), a pro \( x < 0 \) dostaneme \( y = -\frac{36}{-4.996} = 7.204 \).
Takže odmocnina diskriminantu je přibližně:
\( w_1 = 4.996 – 7.204i \), \( w_2 = -4.996 + 7.204i \).
Nyní spočítáme kořeny rovnice:
\( z = \frac{-(3 – 4i) \pm w}{2} = \frac{-3 + 4i \pm w}{2} \).
První kořen:
\( z_1 = \frac{-3 + 4i + 4.996 – 7.204i}{2} = \frac{1.996 – 3.204i}{2} = 0.998 – 1.602i \).
Druhý kořen:
\( z_2 = \frac{-3 + 4i – 4.996 + 7.204i}{2} = \frac{-7.996 + 11.204i}{2} = -3.998 + 5.602i \).
Tedy řešení jsou:
\( z_1 \approx 0.998 – 1.602i \), \( z_2 \approx -3.998 + 5.602i \).
9. Vyřešte rovnici: \( \frac{z + 1}{z – 1} = i \), kde \( z \in \mathbb{C} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme rovnici:
\( \frac{z + 1}{z – 1} = i \).
Vynásobíme obě strany rovnice výrazem \( z – 1 \), přičemž \( z \neq 1 \):
\( z + 1 = i (z – 1) \).
Rozepíšeme pravou stranu:
\( z + 1 = i z – i \).
Převedeme všechny členy s \( z \) na jednu stranu a konstanty na druhou:
\( z – i z = – i – 1 \Rightarrow z (1 – i) = – (i + 1) \).
Vydělíme obě strany výrazem \( 1 – i \) (který není nulový):
\( z = \frac{-(i + 1)}{1 – i} = \frac{-(i + 1)}{1 – i} \).
Vynásobíme čitatel a jmenovatel komplexně sdruženým číslem jmenovatele \( 1 + i \):
\( z = \frac{-(i + 1)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)} \).
Vypočítáme jmenovatel:
\( (1 – i)(1 + i) = 1^2 – i^2 = 1 – (-1) = 2 \).
Vypočítáme čitatel:
\( -(i + 1)(1 + i) = -[i \cdot 1 + i \cdot i + 1 \cdot 1 + 1 \cdot i] = -[i + i^2 + 1 + i] = -[i – 1 + 1 + i] = -[2i] = -2i \).
Takže:
\( z = \frac{-2i}{2} = -i \).
Řešením je tedy:
\( z = -i \).
Kontrola: Dosadíme zpět do rovnice:
\( \frac{-i + 1}{-i – 1} = \frac{1 – i}{-(1 + i)} = \frac{1 – i}{-1 – i} \).
Vynásobíme čitatel a jmenovatel \( -1 + i \):
\( \frac{(1 – i)(-1 + i)}{(-1 – i)(-1 + i)} = \frac{-1 + i + i – i^2}{1 – i^2} = \frac{-1 + 2i + 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i \).
Rovnice platí, řešení je správné.
10. Najděte všechna řešení rovnice: \( |z|^2 + 2i \cdot \text{Im}(z) = 5 \), kde \( z = x + yi \), \( x,y \in \mathbb{R} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Rovnice je:
\( |z|^2 + 2i \cdot \text{Im}(z) = 5 \), kde \( z = x + yi \).
Vypíšeme jednotlivé části:
\( |z|^2 = x^2 + y^2 \).
\( \text{Im}(z) = y \).
Dosadíme do rovnice:
\( x^2 + y^2 + 2i \cdot y = 5 \).
Protože rovnost platí v \(\mathbb{C}\), levá i pravá strana musí mít stejnou reálnou i imaginární část.
Pravá strana \( 5 \) je čistě reálná, tedy imaginární část levé strany musí být nulová:
\( 2i y \) má imaginární část \( 2y \), musí tedy platit:
\( 2y = 0 \Rightarrow y = 0 \).
Pak je rovnice:
\( x^2 + 0^2 = 5 \Rightarrow x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \).
Tedy řešení jsou komplexní čísla na reálné ose:
\( z = \sqrt{5} + 0i \) a \( z = -\sqrt{5} + 0i \).
11. Řešte komplexní rovnici s odmocninou:
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje rovnici
\[
\sqrt{z + 1 + 2i} = 1 + i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Rovnice říká, že druhá odmocnina komplexního čísla \( z + 1 + 2i \) je \( 1 + i \).
Tedy umocníme obě strany na druhou:
\[
z + 1 + 2i = (1 + i)^2.
\]
Vypočteme pravou stranu:
\[
(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i.
\]
Dosadíme zpět:
\[
z + 1 + 2i = 2i.
\]
Izolujeme \( z \):
\[
z = 2i – 1 – 2i = -1 + 0 = -1.
\]
Ověření: Pro \( z = -1 \) platí:
\[
\sqrt{-1 + 1 + 2i} = \sqrt{2i} = 1 + i,
\]
protože \( (1+i)^2 = 2i \), takže řešení je správné.
Odpověď: \( z = -1 \).
12. Řešte rovnici s komplexním číslem v jmenovateli:
Zadání: Najděte \( z \in \mathbb{C} \), které splňuje
\[
\frac{1 + 2i}{z – (3 – i)} = 2 + i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem:
\[
1 + 2i = (2 + i)(z – (3 – i)).
\]
Rozepíšeme závorky:
\[
1 + 2i = (2 + i)z – (2 + i)(3 – i).
\]
Vypočteme součin na pravé straně:
\[
(2 + i)(3 – i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-i) + i \cdot 3 + i \cdot (-i) = 6 – 2i + 3i – i^2 = 6 + i + 1 = 7 + i.
\]
Dosadíme zpět:
\[
1 + 2i = (2 + i)z – (7 + i).
\]
Izolujeme výraz s \( z \):
\[
(2 + i)z = 1 + 2i + 7 + i = 8 + 3i.
\]
Vydělíme obě strany číslem \( 2 + i \):
\[
z = \frac{8 + 3i}{2 + i}.
\]
Vynásobíme konjugovaným číslem:
\[
z = \frac{8 + 3i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i} = \frac{(8 + 3i)(2 – i)}{2^2 – i^2} = \frac{(8 + 3i)(2 – i)}{4 – (-1)} = \frac{(8 + 3i)(2 – i)}{5}.
\]
Vypočteme čitatel:
\[
8 \cdot 2 – 8 \cdot i + 3i \cdot 2 – 3i \cdot i = 16 – 8i + 6i – 3i^2 = 16 – 2i + 3 = 19 – 2i.
\]
Výsledek:
\[
z = \frac{19}{5} – \frac{2}{5}i.
\]
Odpověď: \( z = \frac{19}{5} – \frac{2}{5}i \).
13. Řešte rovnici, kde je \( z \) v komplexní exponentiální formě:
Zadání: Najděte \( z \in \mathbb{C} \), kde
\[
z \cdot \overline{z} = 25,
\]
a zároveň
\[
z + \overline{z} = 8,
\]
kde \( \overline{z} \) je komplexně sdružené číslo k \( z \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \), kde \( x, y \in \mathbb{R} \).
Komplexně sdružené číslo je \( \overline{z} = x – yi \).
Podmínka 1:
\[
z \cdot \overline{z} = (x + yi)(x – yi) = x^2 + y^2 = 25.
\]
Podmínka 2:
\[
z + \overline{z} = (x + yi) + (x – yi) = 2x = 8 \implies x = 4.
\]
Dosadíme do první rovnice:
\[
4^2 + y^2 = 25 \implies 16 + y^2 = 25 \implies y^2 = 9.
\]
Tedy \( y = \pm 3 \).
Možná řešení:
\[
z_1 = 4 + 3i, \quad z_2 = 4 – 3i.
\]
Odpověď: \( z = 4 \pm 3i \).
14. Řešte netradiční rovnici s komplexní proměnnou:
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z \), pro které platí
\[
\frac{z – 1}{z + 1} = i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem:
\[
z – 1 = i(z + 1).
\]
Rozepíšeme pravou stranu:
\[
z – 1 = iz + i.
\]
Přesuneme všechny členy s \( z \) na jednu stranu a ostatní na druhou:
\[
z – iz = i + 1.
\]
Vyjádříme \( z \):
\[
z(1 – i) = 1 + i.
\]
Vydělíme:
\[
z = \frac{1 + i}{1 – i}.
\]
Vynásobíme konjugovaným číslem jmenovatele:
\[
z = \frac{1 + i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{1^2 – (-i)^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 – (-1)} = \frac{1 + 2i – 1}{2} = \frac{2i}{2} = i.
\]
Odpověď: \( z = i \).
15. Řešte rovnici s komplexním číslem v exponentu (Eulerova formule):
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z \) v tvaru \( z = re^{i\theta} \), které splňuje rovnici
\[
z^3 = -8i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve vyjádříme pravou stranu v Eulerově tvaru. Komplexní číslo \( -8i \) má velikost \( r = 8 \) a argument \( \theta \).
Protože \( -8i = 8e^{i \phi} \) kde \( \phi = -\frac{\pi}{2} \) nebo \( \frac{3\pi}{2} \) (souhlasí, protože na imaginární ose dolů).
Tedy
\[
z^3 = 8 e^{i 3\pi/2}.
\]
Nechť
\[
z = r e^{i \theta}.
\]
Pak platí
\[
z^3 = r^3 e^{i 3\theta} = 8 e^{i 3\pi/2}.
\]
Porovnáním modulů:
\[
r^3 = 8 \implies r = 2.
\]
Porovnáním argumentů (s přihlédnutím k periodicite):
\[
3\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]
\[
\theta = \frac{3\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}.
\]
Pro tři různé hodnoty \( k=0,1,2 \) získáme tři různé kořeny:
\( k=0: \quad \theta = \frac{\pi}{2} \implies z_0 = 2 e^{i \pi/2} = 2i. \)
\( k=1: \quad \theta = \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} \implies z_1 = 2 e^{i 7\pi/6} = 2 \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}i \right) = -\sqrt{3} – i. \)
\( k=2: \quad \theta = \frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} \implies z_2 = 2 e^{i 11\pi/6} = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2}i \right) = \sqrt{3} – i. \)
Odpověď:
\[
z_0 = 2i, \quad z_1 = -\sqrt{3} – i, \quad z_2 = \sqrt{3} – i.
\]
16. Řešte komplexní rovnici s odmocninou:
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje rovnici
\[
\sqrt{z + 1 + 2i} = 1 + i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Rovnice říká, že druhá odmocnina komplexního čísla \( z + 1 + 2i \) je \( 1 + i \).
Tedy umocníme obě strany na druhou:
\[
z + 1 + 2i = (1 + i)^2.
\]
Vypočteme pravou stranu:
\[
(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i.
\]
Dosadíme zpět:
\[
z + 1 + 2i = 2i.
\]
Izolujeme \( z \):
\[
z = 2i – 1 – 2i = -1 + 0 = -1.
\]
Ověření: Pro \( z = -1 \) platí:
\[
\sqrt{-1 + 1 + 2i} = \sqrt{2i} = 1 + i,
\]
protože \( (1+i)^2 = 2i \), takže řešení je správné.
Odpověď: \( z = -1 \).
17. Řešte rovnici s komplexním číslem v jmenovateli:
Zadání: Najděte \( z \in \mathbb{C} \), které splňuje
\[
\frac{1 + 2i}{z – (3 – i)} = 2 + i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem:
\[
1 + 2i = (2 + i)(z – (3 – i)).
\]
Rozepíšeme závorky:
\[
1 + 2i = (2 + i)z – (2 + i)(3 – i).
\]
Vypočteme součin na pravé straně:
\[
(2 + i)(3 – i) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot (-i) + i \cdot 3 + i \cdot (-i) = 6 – 2i + 3i – i^2 = 6 + i + 1 = 7 + i.
\]
Dosadíme zpět:
\[
1 + 2i = (2 + i)z – (7 + i).
\]
Izolujeme výraz s \( z \):
\[
(2 + i)z = 1 + 2i + 7 + i = 8 + 3i.
\]
Vydělíme obě strany číslem \( 2 + i \):
\[
z = \frac{8 + 3i}{2 + i}.
\]
Vynásobíme konjugovaným číslem:
\[
z = \frac{8 + 3i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i} = \frac{(8 + 3i)(2 – i)}{2^2 – i^2} = \frac{(8 + 3i)(2 – i)}{4 – (-1)} = \frac{(8 + 3i)(2 – i)}{5}.
\]
Vypočteme čitatel:
\[
8 \cdot 2 – 8 \cdot i + 3i \cdot 2 – 3i \cdot i = 16 – 8i + 6i – 3i^2 = 16 – 2i + 3 = 19 – 2i.
\]
Výsledek:
\[
z = \frac{19}{5} – \frac{2}{5}i.
\]
Odpověď: \( z = \frac{19}{5} – \frac{2}{5}i \).
18. Řešte rovnici, kde je \( z \) v komplexní exponentiální formě:
Zadání: Najděte \( z \in \mathbb{C} \), kde
\[
z \cdot \overline{z} = 25,
\]
a zároveň
\[
z + \overline{z} = 8,
\]
kde \( \overline{z} \) je komplexně sdružené číslo k \( z \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \), kde \( x, y \in \mathbb{R} \).
Komplexně sdružené číslo je \( \overline{z} = x – yi \).
Podmínka 1:
\[
z \cdot \overline{z} = (x + yi)(x – yi) = x^2 + y^2 = 25.
\]
Podmínka 2:
\[
z + \overline{z} = (x + yi) + (x – yi) = 2x = 8 \implies x = 4.
\]
Dosadíme do první rovnice:
\[
4^2 + y^2 = 25 \implies 16 + y^2 = 25 \implies y^2 = 9.
\]
Tedy \( y = \pm 3 \).
Možná řešení:
\[
z_1 = 4 + 3i, \quad z_2 = 4 – 3i.
\]
Odpověď: \( z = 4 \pm 3i \).
19. Řešte netradiční rovnici s komplexní proměnnou:
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z \), pro které platí
\[
\frac{z – 1}{z + 1} = i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem:
\[
z – 1 = i(z + 1).
\]
Rozepíšeme pravou stranu:
\[
z – 1 = iz + i.
\]
Přesuneme všechny členy s \( z \) na jednu stranu a ostatní na druhou:
\[
z – iz = i + 1.
\]
Vyjádříme \( z \):
\[
z(1 – i) = 1 + i.
\]
Vydělíme:
\[
z = \frac{1 + i}{1 – i}.
\]
Vynásobíme konjugovaným číslem jmenovatele:
\[
z = \frac{1 + i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(1 + i)^2}{1^2 – (-i)^2} = \frac{1 + 2i + i^2}{1 – (-1)} = \frac{1 + 2i – 1}{2} = \frac{2i}{2} = i.
\]
Odpověď: \( z = i \).
20. Řešte rovnici s komplexním číslem v exponentu (Eulerova formule):
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z \) v tvaru \( z = re^{i\theta} \), které splňuje rovnici
\[
z^3 = -8i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve vyjádříme pravou stranu v Eulerově tvaru. Komplexní číslo \( -8i \) má velikost \( r = 8 \) a argument \( \theta \).
Protože \( -8i = 8e^{i \phi} \) kde \( \phi = -\frac{\pi}{2} \) nebo \( \frac{3\pi}{2} \) (souhlasí, protože na imaginární ose dolů).
Tedy
\[
z^3 = 8 e^{i 3\pi/2}.
\]
Nechť
\[
z = r e^{i \theta}.
\]
Potom
\[
z^3 = r^3 e^{i 3 \theta} = 8 e^{i 3\pi/2}.
\]
Porovnáním modulů a argumentů:
\[
r^3 = 8 \implies r = 2,
\]
\[
3\theta = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]
Řešíme pro \( \theta \):
\[
\theta = \frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}.
\]
Tedy tři řešení:
\[
z_k = 2 e^{i\left(\frac{\pi}{2} + \frac{2k\pi}{3}\right)}, \quad k=0,1,2.
\]
Odpověď:
\[
z_0 = 2 e^{i \frac{\pi}{2}} = 2i,
\]
\[
z_1 = 2 e^{i \frac{7\pi}{6}} = 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2} i\right) = -\sqrt{3} – i,
\]
\[
z_2 = 2 e^{i \frac{11\pi}{6}} = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{1}{2} i\right) = \sqrt{3} – i.
\]
16. Řešte rovnici s komplexními čísly a mocninami:
Zadání: Najděte všechny komplexní kořeny rovnice
\[
z^4 = 16.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Rovnice říká, že \( z^4 = 16 \). Číslo 16 můžeme zapsat v komplexním tvaru jako
\[
16 = 16 e^{i 0}.
\]
Nechť \( z = r e^{i \theta} \). Pak
\[
z^4 = r^4 e^{i 4 \theta} = 16 e^{i 0}.
\]
Porovnáme moduly:
\[
r^4 = 16 \implies r = \sqrt[4]{16} = 2.
\]
Porovnáme argumenty (s ohledem na periodu):
\[
4 \theta = 0 + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]
\[
\theta = \frac{2k\pi}{4} = \frac{k\pi}{2}.
\]
Pro čtyři různé hodnoty \( k = 0,1,2,3 \) dostaneme čtyři kořeny:
\( z_0 = 2 e^{i 0} = 2 \)
\( z_1 = 2 e^{i \pi/2} = 2i \)
\( z_2 = 2 e^{i \pi} = -2 \)
\( z_3 = 2 e^{i 3\pi/2} = -2i \)
Odpověď:
\[
z = 2, \quad 2i, \quad -2, \quad -2i.
\]
17. Řešte rovnici s komplexní proměnnou ve tvaru reálné a imaginární části:
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z = x + yi \), které splňuje:
\[
(3 + 4i)z = 7 – i,
\]
kde \( x,y \in \mathbb{R} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \). Dosadíme:
\[
(3 + 4i)(x + yi) = 7 – i.
\]
Rozepíšeme levou stranu:
\[
3x + 3yi + 4ix + 4i(yi) = 3x + 3yi + 4ix + 4y i^2.
\]
Protože \( i^2 = -1 \), tak
\[
3x + 3yi + 4ix – 4y.
\]
Seskládáme reálné a imaginární části:
\[
(3x – 4y) + i(3y + 4x) = 7 – i.
\]
Porovnáním reálných a imaginárních částí:
\[
3x – 4y = 7,
\]
\[
3y + 4x = -1.
\]
Máme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
\[
\begin{cases}
3x – 4y = 7 \\
4x + 3y = -1
\end{cases}
\]
Vynásobíme první rovnici 3, druhou 4:
\[
\begin{cases}
9x – 12y = 21 \\
16x + 12y = -4
\end{cases}
\]
Sečteme rovnice:
\[
25x = 17 \implies x = \frac{17}{25} = 0,68.
\]
Dosadíme do první rovnice:
\[
3 \cdot \frac{17}{25} – 4y = 7,
\]
\[
\frac{51}{25} – 4y = 7,
\]
\[
-4y = 7 – \frac{51}{25} = \frac{175}{25} – \frac{51}{25} = \frac{124}{25},
\]
\[
y = -\frac{124}{25 \cdot 4} = -\frac{124}{100} = -1,24.
\]
Odpověď: \( z = \frac{17}{25} – \frac{124}{100} i \approx 0{,}68 – 1{,}24 i. \)
18. Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje rovnici s absolutní hodnotou:
Zadání:
\[
|z – (2 + 3i)| = 5,
\]
kde \( z \in \mathbb{C} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \), kde \( x,y \in \mathbb{R} \). Výraz uvnitř absolutní hodnoty je:
\[
z – (2 + 3i) = (x – 2) + (y – 3)i.
\]
Absolutní hodnota komplexního čísla je vzdálenost v rovině:
\[
|z – (2 + 3i)| = \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = 5.
\]
Toto je rovnice kružnice se středem v bodě \( (2,3) \) a poloměrem 5.
Odpovědí je tedy všechna komplexní čísla \( z = x + yi \), kde
\[
(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 25.
\]
Odpověď: Množina všech komplexních čísel ležících na kružnici se středem v \( 2 + 3i \) a poloměrem 5.
19. Řešte rovnici s komplexní proměnnou, kde je použit komplexně sdružený člen:
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje:
\[
z + \overline{z} = 6i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \), pak \( \overline{z} = x – yi \).
Dosadíme do rovnice:
\[
z + \overline{z} = (x + yi) + (x – yi) = 2x = 6i.
\]
Levý člen je čistě reálný (2x), pravý je čistě imaginární (6i).
Tedy rovnici lze splnit pouze pokud
\[
2x = 0 \quad \text{a zároveň} \quad 6i = 0,
\]
což není možné.
Závěr: Rovina není řešení.
Alternativně: Pokud bychom chtěli řešit rovnici, je nutné, aby pravá strana byla reálná, nebo rovnice nemá řešení.
Odpověď: Rovina nemá žádné komplexní číslo \( z \), které by splnilo tuto rovnici.
20. Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje nerovnici:
Zadání: Najděte všechna komplexní čísla \( z \), pro která platí
\[
|z – 1| \leq 2 \quad \text{a} \quad |z + 3i| \geq 4.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \). První podmínka:
\[
|z – 1| = |(x + yi) – 1| = |(x – 1) + yi| = \sqrt{(x – 1)^2 + y^2} \leq 2.
\]
Tato podmínka vymezuje kružnici (včetně jejího vnitřku) se středem v bodě \( (1,0) \) a poloměrem 2.
Druhá podmínka:
\[
|z + 3i| = |x + y i + 0 – 3i| = |x + (y – 3)i| = \sqrt{x^2 + (y – 3)^2} \geq 4.
\]
Tato podmínka říká, že \( z \) musí být vzdálen alespoň 4 od bodu \( (0,3) \).
Výsledná množina: Všechna komplexní čísla uvnitř (a na hranici) kružnice se středem \( (1,0) \) a poloměrem 2, která zároveň leží vně (nebo na hranici) kružnice se středem \( (0,3) \) a poloměrem 4.
Odpověď: Množina komplexních čísel:
\[
\{ z = x + yi : (x-1)^2 + y^2 \leq 4 \text{ a } x^2 + (y-3)^2 \geq 16 \}.
\]
21. Řešte rovnici s komplexními čísly a mocninami:
Zadání: Najděte všechny komplexní kořeny rovnice
\[
z^4 = 16.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Rovnice říká, že \( z^4 = 16 \). Číslo 16 můžeme zapsat v komplexním tvaru jako
\[
16 = 16 e^{i 0}.
\]
Nechť \( z = r e^{i \theta} \). Pak
\[
z^4 = r^4 e^{i 4 \theta} = 16 e^{i 0}.
\]
Porovnáme moduly:
\[
r^4 = 16 \implies r = \sqrt[4]{16} = 2.
\]
Porovnáme argumenty (s ohledem na periodu):
\[
4 \theta = 0 + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
\]
\[
\theta = \frac{2k\pi}{4} = \frac{k\pi}{2}.
\]
Pro čtyři různé hodnoty \( k = 0,1,2,3 \) dostaneme čtyři kořeny:
\( z_0 = 2 e^{i 0} = 2 \)
\( z_1 = 2 e^{i \pi/2} = 2i \)
\( z_2 = 2 e^{i \pi} = -2 \)
\( z_3 = 2 e^{i 3\pi/2} = -2i \)
Odpověď:
\[
z = 2, \quad 2i, \quad -2, \quad -2i.
\]
22. Řešte rovnici s komplexní proměnnou ve tvaru reálné a imaginární části:
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z = x + yi \), které splňuje:
\[
(3 + 4i)z = 7 – i,
\]
kde \( x,y \in \mathbb{R} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \). Dosadíme:
\[
(3 + 4i)(x + yi) = 7 – i.
\]
Rozepíšeme levou stranu:
\[
3x + 3yi + 4ix + 4i(yi) = 3x + 3yi + 4ix + 4y i^2.
\]
Protože \( i^2 = -1 \), tak
\[
3x + 3yi + 4ix – 4y.
\]
Seskládáme reálné a imaginární části:
\[
(3x – 4y) + i(3y + 4x) = 7 – i.
\]
Porovnáním reálných a imaginárních částí:
\[
3x – 4y = 7,
\]
\[
3y + 4x = -1.
\]
Máme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
\[
\begin{cases}
3x – 4y = 7 \\
4x + 3y = -1
\end{cases}
\]
Vynásobíme první rovnici 3, druhou 4:
\[
\begin{cases}
9x – 12y = 21 \\
16x + 12y = -4
\end{cases}
\]
Sečteme rovnice:
\[
25x = 17 \implies x = \frac{17}{25} = 0,68.
\]
Dosadíme do první rovnice:
\[
3 \cdot \frac{17}{25} – 4y = 7,
\]
\[
\frac{51}{25} – 4y = 7,
\]
\[
-4y = 7 – \frac{51}{25} = \frac{175}{25} – \frac{51}{25} = \frac{124}{25},
\]
\[
y = -\frac{124}{25 \cdot 4} = -\frac{124}{100} = -1,24.
\]
Odpověď: \( z = \frac{17}{25} – \frac{124}{100} i \approx 0{,}68 – 1{,}24 i. \)
23. Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje rovnici s absolutní hodnotou:
Zadání:
\[
|z – (2 + 3i)| = 5,
\]
kde \( z \in \mathbb{C} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \), kde \( x,y \in \mathbb{R} \). Výraz uvnitř absolutní hodnoty je:
\[
z – (2 + 3i) = (x – 2) + (y – 3)i.
\]
Absolutní hodnota komplexního čísla je vzdálenost v rovině:
\[
|z – (2 + 3i)| = \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} = 5.
\]
Toto je rovnice kružnice se středem v bodě \( (2,3) \) a poloměrem 5.
Odpovědí je tedy všechna komplexní čísla \( z = x + yi \), kde
\[
(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 25.
\]
Odpověď: Množina všech komplexních čísel ležících na kružnici se středem v \( 2 + 3i \) a poloměrem 5.
24. Řešte rovnici s komplexní proměnnou, kde je použit komplexně sdružený člen:
Zadání: Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje:
\[
z + \overline{z} = 6i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \), pak \( \overline{z} = x – yi \).
Dosadíme do rovnice:
\[
z + \overline{z} = (x + yi) + (x – yi) = 2x = 6i.
\]
Levý člen je čistě reálný (2x), pravý je čistě imaginární (6i).
Tedy rovnici lze splnit pouze pokud
\[
2x = 0 \quad \text{a zároveň} \quad 6i = 0,
\]
což není možné.
Závěr: Rovina není řešení.
Alternativně: Pokud bychom chtěli řešit rovnici, je nutné, aby pravá strana byla reálná, nebo rovnice nemá řešení.
Odpověď: Rovina nemá žádné komplexní číslo \( z \), které by splnilo tuto rovnici.
25. Najděte komplexní číslo \( z \), které splňuje nerovnici:
Zadání: Najděte všechna komplexní čísla \( z \), pro která platí
\[
|z – 1| \leq 2 \quad \text{a} \quad |z + 3i| \geq 4.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \).
První nerovnice:
\[
|z – 1| = \sqrt{(x – 1)^2 + y^2} \leq 2,
\]
což znamená, že \( z \) leží v kružnici se středem \( (1,0) \) a poloměrem 2.
Druhá nerovnice:
\[
|z + 3i| = \sqrt{x^2 + (y + 3)^2} \geq 4,
\]
což znamená, že \( z \) leží mimo (nebo na) kružnici se středem \( (0,-3) \) a poloměrem 4.
Řešením jsou všechna čísla ležící uvnitř první kružnice a zároveň mimo (nebo na) druhou kružnici.
26. Najděte všechny komplexní kořeny rovnice:
\[
z^3 = -8.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Napíšeme pravou stranu v goniometrickém tvaru:
\[
-8 = 8 e^{i \pi}.
\]
Hledáme kořeny:
\[
z = r e^{i \theta}, \quad z^3 = r^3 e^{i 3\theta} = 8 e^{i \pi}.
\]
Porovnáme modul a argument:
\[
r^3 = 8 \implies r = 2,
\]
\[
3 \theta = \pi + 2k\pi, \quad k=0,1,2.
\]
\[
\theta = \frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}.
\]
Kořeny jsou:
\[
z_k = 2 e^{i \left(\frac{\pi}{3} + \frac{2k\pi}{3}\right)}, \quad k=0,1,2.
\]
Explicitně:
\( z_0 = 2 e^{i \pi/3} = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right) = 1 + i \sqrt{3} \)
\( z_1 = 2 e^{i \pi} = -2 \)
\( z_2 = 2 e^{i 5\pi/3} = 2\left(\cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3}\right) = 1 – i \sqrt{3} \)
27. Vyřešte rovnici:
\[
|z| = 3,
\]
kde \( z \in \mathbb{C} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \). Potom
\[
|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 3.
\]
Rovnice popisuje kružnici se středem v počátku a poloměrem 3.
Odpověď: Množina všech komplexních čísel ležících na kružnici \( x^2 + y^2 = 9 \).
28. Najděte reálnou a imaginární část komplexního čísla \( z \), pokud platí:
\[
\frac{z – 1}{z + 1} = i.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \), pak:
\[
\frac{(x + yi) – 1}{(x + yi) + 1} = i.
\]
Upravíme:
\[
\frac{(x – 1) + yi}{(x + 1) + yi} = i.
\]
Vynásobíme rovnost jmenovatelem:
\[
(x – 1) + yi = i \left[(x + 1) + yi\right] = i(x + 1) + i^2 y = i(x + 1) – y.
\]
Porovnáme reálné a imaginární části:
\[
\text{Re: } x – 1 = – y,
\]
\[
\text{Im: } y = (x + 1).
\]
Z první rovnice:
\[
y = 1 – x.
\]
Z druhé rovnice:
\[
y = x + 1.
\]
Srovnáme:
\[
1 – x = x + 1 \implies 1 – x = x + 1 \implies -x = x \implies 0 = 2x \implies x = 0.
\]
Dosadíme zpět pro \( y \):
\[
y = 1 – 0 = 1.
\]
Odpověď: \( z = 0 + 1i = i \).
29. Najděte všechny komplexní čísla \( z \), která splňují:
\[
z^2 + \overline{z} = 0.
\]
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \), pak \( \overline{z} = x – yi \).
Dosadíme do rovnice:
\[
(x + yi)^2 + (x – yi) = 0.
\]
Rozepíšeme první člen:
\[
(x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2 i^2 = x^2 – y^2 + 2xyi.
\]
Rovnice je:
\[
(x^2 – y^2 + 2xyi) + (x – yi) = 0.
\]
Seskupíme reálné a imaginární části:
\[
(x^2 – y^2 + x) + i(2xy – y) = 0.
\]
Rovnice platí, když reálná i imaginární část jsou nulové:
\[
x^2 – y^2 + x = 0,
\]
\[
2xy – y = y(2x – 1) = 0.
\]
Máme dvě možnosti z druhé rovnice:
\( y = 0 \)
\( 2x – 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \)
Pro \( y=0 \) první rovnice:
\[
x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0 \implies x = 0 \text{ nebo } x = -1.
\]
Pro \( x = \frac{1}{2} \) druhá možnost:
\[
x^2 – y^2 + x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 – y^2 + \frac{1}{2} = 0,
\]
\[
\frac{1}{4} – y^2 + \frac{1}{2} = 0,
\]
\[
– y^2 + \frac{3}{4} = 0,
\]
\[
y^2 = \frac{3}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Řešení jsou:
\[
z = 0, \quad z = -1, \quad z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad z = \frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
30. Určete množinu komplexních čísel \( z \), pro která platí:
\[
\text{Im}(z^2) = 4,
\]
kde \( \text{Im}(z^2) \) je imaginární část \( z^2 \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Nechť \( z = x + yi \). Pak
\[
z^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + y^2 i^2 = x^2 – y^2 + 2xy i.
\]
Imaginární část je tedy:
\[
\text{Im}(z^2) = 2xy = 4.
\]
Rovnice je:
\[
2xy = 4 \implies xy = 2.
\]
Množina řešení je všechny body \( (x,y) \) v rovině, kde součin \( x \cdot y = 2 \).
Tedy hyperbola definovaná rovnicí \( xy = 2 \).
