Řešení příkladu:

Označme:

• \( A \): člověk má nemoc
• \( B \): test je pozitivní

Dle zadání máme:

• \( P(A) = 0{,}01 \)
• \( P(\neg A) = 0{,}99 \)
• \( P(B \mid A) = 0{,}99 \)
• \( P(B \mid \neg A) = 0{,}05 \)

Hledáme \( P(A \mid B) \), tedy pravděpodobnost, že člověk má nemoc, když byl test pozitivní.

Použijeme Bayesovu větu:

\[ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid \neg A) \cdot P(\neg A)} \]

Dosadíme:

\[ P(A \mid B) = \frac{0{,}99 \cdot 0{,}01}{0{,}99 \cdot 0{,}01 + 0{,}05 \cdot 0{,}99} = \frac{0{,}0099}{0{,}0099 + 0{,}0495} = \frac{0{,}0099}{0{,}0594} \Rightarrow P(A \mid B) \approx 0{,}1667 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že člověk skutečně má nemoc při pozitivním testu, je přibližně \(16{,}67\) %.

Řešení příkladu:

Označme:

• \( A \): pacient je kuřák
• \( B \): pacient má nemoc

Dle zadání:

• \( P(A) = 0{,}4 \), \( P(\neg A) = 0{,}6 \)
• \( P(B \mid A) = 0{,}2 \), \( P(B \mid \neg A) = 0{,}05 \)

Hledáme \( P(A \mid B) \):

\[ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B \mid A) \cdot P(A) + P(B \mid \neg A) \cdot P(\neg A)} \]

\[ = \frac{0{,}2 \cdot 0{,}4}{0{,}2 \cdot 0{,}4 + 0{,}05 \cdot 0{,}6} = \frac{0{,}08}{0{,}08 + 0{,}03} = \frac{0{,}08}{0{,}11} \Rightarrow P(A \mid B) \approx 0{,}7273 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že nemocný pacient je kuřák, je přibližně \(72{,}73\) %.

Řešení příkladu:

Označme:

• \( A \): výrobek pochází ze stroje \( B \)
• \( B \): výrobek je zmetek

Dle zadání:

• \( P(A) = 0{,}3 \), \( P(\neg A) = 0{,}7 \)
• \( P(B \mid A) = 0{,}05 \), \( P(B \mid \neg A) = 0{,}02 \)

Hledáme \( P(A \mid B) \):

\[ P(A \mid B) = \frac{0{,}05 \cdot 0{,}3}{0{,}05 \cdot 0{,}3 + 0{,}02 \cdot 0{,}7} = \frac{0{,}015}{0{,}015 + 0{,}014} = \frac{0{,}015}{0{,}029} \Rightarrow P(A \mid B) \approx 0{,}5172 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že zmetek pochází ze stroje \( B \), je přibližně \(51{,}72\) %.

Řešení příkladu:

Označme:

• \( A \): kniha je z fyziky
• \( B \): kniha je vrácena pozdě

Dle zadání:

• \( P(A) = 0{,}3 \), \( P(\text{mat}) = 0{,}4 \), \( P(\text{inf}) = 0{,}3 \)
• \( P(B \mid A) = 0{,}2 \), \( P(B \mid \text{mat}) = 0{,}1 \), \( P(B \mid \text{inf}) = 0{,}05 \)

Celková pravděpodobnost pozdního vrácení:

\[ P(B) = 0{,}4 \cdot 0{,}1 + 0{,}3 \cdot 0{,}2 + 0{,}3 \cdot 0{,}05 = 0{,}04 + 0{,}06 + 0{,}015 = 0{,}115 \]

\[ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{0{,}2 \cdot 0{,}3}{0{,}115} = \frac{0{,}06}{0{,}115} \approx 0{,}5217 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že pozdě vrácená kniha je z fyziky, je přibližně \(52{,}17\) %.

Řešení příkladu:

Označme si události:

• \( A \): Produkt vyrobil pracovník z Týmu A
• \( B \): Produkt vyrobil pracovník z Týmu B
• \( C \): Produkt vyrobil pracovník z Týmu C
• \( D \): Produkt je chybný

Máme:

• \( P(A) = 0{,}30 \)
• \( P(B) = 0{,}50 \)
• \( P(C) = 1 – P(A) – P(B) = 1 – 0{,}30 – 0{,}50 = 0{,}20 \)
• \( P(D|A) = 0{,}02 \)
• \( P(D|B) = 0{,}01 \)
• \( P(D|C) = 0{,}03 \)

Bayesova věta říká:

\( P(C|D) = \frac{P(D|C) \cdot P(C)}{P(D|A) \cdot P(A) + P(D|B) \cdot P(B) + P(D|C) \cdot P(C)} \)

Spočítejme jmenovatel:

\( P(D) = 0{,}02 \cdot 0{,}30 + 0{,}01 \cdot 0{,}50 + 0{,}03 \cdot 0{,}20 = 0{,}006 + 0{,}005 + 0{,}006 = 0{,}017 \)

Nyní:

\( P(C|D) = \frac{0{,}03 \cdot 0{,}20}{0{,}017} = \frac{0{,}006}{0{,}017} \approx 0{,}3529 \)

Odpověď: Přibližně \(35{,}29\) %

Řešení příkladu:

Označíme:

• \(L_1\): test prováděla Lab1
• \(L_2\): test prováděla Lab2
• \(P\): test byl falešně pozitivní

Dle zadání:

• \(P(L_1) = 0{,}60\)
• \(P(L_2) = 0{,}40\)
• \(P(P \mid L_1) = 0{,}005\)
• \(P(P \mid L_2) = 0{,}02\)

Bayesova věta:

\[ P(L_2 \mid P) = \frac{P(P \mid L_2) \cdot P(L_2)}{P(P \mid L_1) \cdot P(L_1) + P(P \mid L_2) \cdot P(L_2)} \]

Výpočet:

Jmenovatel: \(0{,}005 \cdot 0{,}60 + 0{,}02 \cdot 0{,}40 = 0{,}003 + 0{,}008 = 0{,}011\)

Čitatel: \(0{,}02 \cdot 0{,}40 = 0{,}008\)

\[ P(L_2 \mid P) = \frac{0{,}008}{0{,}011} \approx 0{,}7273 \]

Odpověď: Přibližně \(72{,}73\) %

Řešení příkladu:

• \(P(A) = 0{,}40\), \(P(B) = 0{,}35\), \(P(C) = 0{,}25\)
• \(P(D \mid A) = 0{,}01\), \(P(D \mid B) = 0{,}02\), \(P(D \mid C) = 0{,}04\)

Bayesova věta:

\[ P(B \mid D) = \frac{P(D \mid B) \cdot P(B)}{\sum P(D \mid i) \cdot P(i)} \]

Jmenovatel: \(0{,}01 \cdot 0{,}40 + 0{,}02 \cdot 0{,}35 + 0{,}04 \cdot 0{,}25 = 0{,}004 + 0{,}007 + 0{,}01 = 0{,}021\)

Čitatel: \(0{,}02 \cdot 0{,}35 = 0{,}007\)

\[ P(B \mid D) = \frac{0{,}007}{0{,}021} \approx 0{,}3333 \]

Odpověď: Přibližně \(33{,}33\) %

Řešení příkladu:

Nejprve si označme jednotlivé události:

• \(A\): Auto bylo opraveno v Dílna A
• \(B\): Auto bylo opraveno v Dílna B
• \(C\): Auto bylo opraveno v Dílna C
• \(P\): Auto se po opravě znovu porouchalo

Podle zadání máme:

• \(P(A) = 0{,}40\)
• \(P(B) = 0{,}35\)
• \(P(C) = 1 – P(A) – P(B) = 1 – 0{,}40 – 0{,}35 = 0{,}25\)
• \(P(P \mid A) = 0{,}02\)
• \(P(P \mid B) = 0{,}04\)
• \(P(P \mid C) = 0{,}05\)

Hledáme pravděpodobnost, že auto bylo opraveno v Dílna C, když víme, že se znovu porouchalo, tedy \(P(C \mid P)\).

K tomu použijeme Bayesovu větu, která má tvar:

\[ P(C \mid P) = \frac{P(P \mid C) \cdot P(C)}{P(P \mid A) \cdot P(A) + P(P \mid B) \cdot P(B) + P(P \mid C) \cdot P(C)} \]

Nejprve spočítáme jmenovatel, což je celková pravděpodobnost, že se auto porouchá:

\[ P(P) = 0{,}02 \cdot 0{,}40 + 0{,}04 \cdot 0{,}35 + 0{,}05 \cdot 0{,}25 = 0{,}008 + 0{,}014 + 0{,}0125 = 0{,}0345 \]

Nyní dosadíme do Bayesovy věty:

\[ P(C \mid P) = \frac{0{,}05 \cdot 0{,}25}{0{,}0345} = \frac{0{,}0125}{0{,}0345} \approx 0{,}3623 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že auto bylo opraveno v Dílna C, je přibližně \(36{,}23\) %.

Řešení příkladu:

Označme si:

• \(N\): student měl Nováka
• \(S\): student měl Svobodovou
• \(T\): student měl Trnku
• \(U\): student uspěl u zkoušky

Podle zadání:

• \(P(N) = 0{,}50\)
• \(P(S) = 0{,}30\)
• \(P(T) = 0{,}20\)
• \(P(U|N) = 0{,}90\)
• \(P(U|S) = 0{,}80\)
• \(P(U|T) = 0{,}70\)

Chceme vypočítat \(P(T|U)\), tedy pravděpodobnost, že studenta učil Trnka, když víme, že u zkoušky uspěl.

Použijeme Bayesovu větu:

\[ P(T|U) = \frac{P(U|T) \cdot P(T)}{P(U|N) \cdot P(N) + P(U|S) \cdot P(S) + P(U|T) \cdot P(T)} \]

Dosadíme:

\[ P(U) = 0{,}90 \cdot 0{,}50 + 0{,}80 \cdot 0{,}30 + 0{,}70 \cdot 0{,}20 = 0{,}45 + 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}83 \]

\[ P(T|U) = \frac{0{,}70 \cdot 0{,}20}{0{,}83} = \frac{0{,}14}{0{,}83} \approx 0{,}1687 \]

Odpověď: Přibližně \(16{,}87\,\%\)

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme události:

• \(X\): zaměstnanec patří do Oddělení \(X\)
• \(Y\): zaměstnanec patří do Oddělení \(Y\)
• \(Z\): zaměstnanec patří do Oddělení \(Z\)
• \(D\): zaměstnanec má dovolenou

Zadání přepisujeme jako pravděpodobnosti:

• \(P(X) = 0{,}60\)
• \(P(Y) = 0{,}30\)
• \(P(Z) = 0{,}10\)
• \(P(D|X) = 0{,}20\)
• \(P(D|Y) = 0{,}10\)
• \(P(D|Z) = 0{,}50\)

Cílem je najít pravděpodobnost, že zaměstnanec, který má dovolenou, patří do Oddělení \(Z\), tedy \(P(Z|D)\).

Použijeme Bayesovu větu:

\[ P(Z|D) = \frac{P(D|Z) \cdot P(Z)}{P(D|X) \cdot P(X) + P(D|Y) \cdot P(Y) + P(D|Z) \cdot P(Z)} \]

Nejdříve vypočteme pravděpodobnost, že náhodný zaměstnanec má dovolenou \(P(D)\):

\[ P(D) = 0{,}20 \cdot 0{,}60 + 0{,}10 \cdot 0{,}30 + 0{,}50 \cdot 0{,}10 = 0{,}12 + 0{,}03 + 0{,}05 = 0{,}20 \]

Dosadíme do Bayesovy věty:

\[ P(Z|D) = \frac{0{,}50 \cdot 0{,}10}{0{,}20} = \frac{0{,}05}{0{,}20} = 0{,}25 \]

Tedy pravděpodobnost, že zaměstnanec na dovolené patří do Oddělení \(Z\), je \(25\,\%\).

Vysvětlení krok za krokem:

Bayesova věta nám umožňuje aktualizovat naši pravděpodobnost na základě nové informace, zde na základě informace, že zaměstnanec má dovolenou.

Všimněte si, že i když Oddělení \(Z\) tvoří jen \(10\,\%\) zaměstnanců, díky vysoké pravděpodobnosti dovolené (\(50\,\%\)) je pravděpodobnost, že zaměstnanec s dovolenou pochází z tohoto oddělení, relativně vysoká – \(25\,\%\).

Tento příklad ukazuje, jak nová informace (dovolená) mění naše předchozí odhady.

Řešení příkladu:

Označíme události:

• \( A \): test byl proveden Testem \( A \)
• \( B \): test byl proveden Testem \( B \)
• \( C \): test byl proveden Testem \( C \)
• \( P \): test je pozitivní

Zadání přepisujeme do pravděpodobností:

• \( P(A) = 0{,}50 \)
• \( P(B) = 0{,}30 \)
• \( P(C) = 0{,}20 \)
• \( P(P|A) = 0{,}95 \)
• \( P(P|B) = 0{,}90 \)
• \( P(P|C) = 0{,}85 \)

Chceme najít \( P(B|P) \), pravděpodobnost, že test byl Testem \( B \), když víme, že výsledek byl pozitivní.

Podle Bayesovy věty:

\[ P(B|P) = \frac{P(P|B) \cdot P(B)}{P(P|A) \cdot P(A) + P(P|B) \cdot P(B) + P(P|C) \cdot P(C)} \]

Vypočítáme jmenovatel:

\[ P(P) = 0{,}95 \cdot 0{,}50 + 0{,}90 \cdot 0{,}30 + 0{,}85 \cdot 0{,}20 = 0{,}475 + 0{,}27 + 0{,}17 = 0{,}915 \]

Dosadíme:

\[ P(B|P) = \frac{0{,}90 \cdot 0{,}30}{0{,}915} = \frac{0{,}27}{0{,}915} \approx 0{,}2951 \]

Pravděpodobnost, že test byl proveden Testem \( B \), pokud je výsledek pozitivní, je tedy přibližně \( 29{,}51 \) %.

Podrobné vysvětlení:

Zadání říká, že různé testy se používají s různou pravděpodobností a mají různé spolehlivosti. Výsledek pozitivního testu nám dává informaci, kterou využíváme k přepočtu pravděpodobností původních testů, aby lépe odrážely aktuální situaci.

Řešení příkladu:

Označíme události:

• \( V_1 \): kulička je z výrobny \( 1 \)
• \( V_2 \): kulička je z výrobny \( 2 \)
• \( V_3 \): kulička je z výrobny \( 3 \)
• \( R \): kulička je červená

Zadání:

• \( P(V_1) = 0{,}50 \)
• \( P(V_2) = 0{,}30 \)
• \( P(V_3) = 0{,}20 \)
• \( P(R|V_1) = 0{,}10 \)
• \( P(R|V_2) = 0{,}05 \)
• \( P(R|V_3) = 0{,}25 \)

Hledáme \( P(V_3|R) \), tedy pravděpodobnost, že červená kulička pochází z výrobny \( 3 \).

Podle Bayesovy věty:

\[ P(V_3|R) = \frac{P(R|V_3) \cdot P(V_3)}{P(R|V_1) \cdot P(V_1) + P(R|V_2) \cdot P(V_2) + P(R|V_3) \cdot P(V_3)} \]

Vypočítáme pravděpodobnost, že náhodná kulička je červená:

\[ P(R) = 0{,}10 \cdot 0{,}50 + 0{,}05 \cdot 0{,}30 + 0{,}25 \cdot 0{,}20 = 0{,}05 + 0{,}015 + 0{,}05 = 0{,}115 \]

Dosadíme do Bayesovy věty:

\[ P(V_3|R) = \frac{0{,}25 \cdot 0{,}20}{0{,}115} = \frac{0{,}05}{0{,}115} \approx 0{,}4348 \]

Tedy pravděpodobnost, že vybraná červená kulička pochází z výrobny \( 3 \), je přibližně \( 43{,}48 \) %.

Podrobné vysvětlení:

Bayesova věta nám pomáhá zjistit pravděpodobnost původu kuličky, pokud víme, že je červená. Ačkoliv výrobna \( 3 \) dodává méně kuliček, vysoký podíl červených v této výrobně způsobuje, že pravděpodobnost, že červená kulička pochází právě odsud, je vysoká.

Řešení příkladu:

Označíme události:

• \( N \): osoba je nemocná
• \( \overline{N} \): osoba není nemocná
• \( T \): test je pozitivní

Zadání:

• \( P(N) = 0{,}01 \)
• \( P(\overline{N}) = 0{,}99 \)
• \( P(T|N) = 0{,}98 \) – správný pozitivní
• \( P(T|\overline{N}) = 0{,}03 \) – falešný pozitivní

Chceme najít \( P(N|T) \), tedy pravděpodobnost, že osoba je nemocná, pokud test ukázal pozitivní výsledek.

Podle Bayesovy věty:

\[ P(N|T) = \frac{P(T|N) \cdot P(N)}{P(T|N) \cdot P(N) + P(T|\overline{N}) \cdot P(\overline{N})} \]

Vypočítáme jmenovatel (pravděpodobnost, že test je pozitivní):

\[ P(T) = 0{,}98 \cdot 0{,}01 + 0{,}03 \cdot 0{,}99 = 0{,}0098 + 0{,}0297 = 0{,}0395 \]

Dosadíme:

\[ P(N|T) = \frac{0{,}0098}{0{,}0395} \approx 0{,}2481 \]

Pravděpodobnost, že osoba je skutečně nemocná, pokud test ukázal pozitivní, je tedy přibližně \( 24{,}81 \) %.

Vysvětlení krok za krokem:

Test má velmi dobrou citlivost (\( 98 \) %), ale nemoc je v populaci vzácná (\( 1 \) %). I když test ukáže pozitivní výsledek, je pravděpodobnost, že osoba je nemocná, pouze asi čtvrtina, protože existuje relativně vysoká pravděpodobnost falešného pozitivního výsledku.

Řešení příkladu:

Označíme události:

• \(A\): součástka je typu \(A\)
• \(B\): součástka je typu \(B\)
• \(C\): součástka je typu \(C\)
• \(V\): součástka je vadná

Zadání:

• \(P(A) = 0{,}40\)
• \(P(B) = 0{,}35\)
• \(P(C) = 0{,}25\)
• \(P(V|A) = 0{,}03\)
• \(P(V|B) = 0{,}04\)
• \(P(V|C) = 0{,}02\)

Chceme zjistit \(P(B|V)\), tedy pravděpodobnost, že vybraná vadná součástka je typu \(B\).

Podle Bayesovy věty:

\[ P(B|V) = \frac{P(V|B) \cdot P(B)}{P(V|A) \cdot P(A) + P(V|B) \cdot P(B) + P(V|C) \cdot P(C)} \]

Nejprve spočítáme pravděpodobnost, že součástka je vadná:

\[ P(V) = 0{,}03 \cdot 0{,}40 + 0{,}04 \cdot 0{,}35 + 0{,}02 \cdot 0{,}25 = 0{,}012 + 0{,}014 + 0{,}005 = 0{,}031 \]

Dosadíme do vzorce:

\[ P(B|V) = \frac{0{,}04 \cdot 0{,}35}{0{,}031} = \frac{0{,}014}{0{,}031} \approx 0{,}4516 \]

Pravděpodobnost, že vybraná vadná součástka je typu \(B\), je přibližně \(45{,}16\) %.

Podrobné vysvětlení:

I když součástky typu \(B\) tvoří menší část výroby než typ \(A\), mají vyšší pravděpodobnost vady, což zvyšuje pravděpodobnost, že vadná součástka pochází právě z této skupiny.

Řešení příkladu:

Označíme události:

• \(N\): osoba je nemocná
• \(\overline{N}\): osoba není nemocná
• \(T\): test ukáže pozitivní výsledek

Zadání:

• \(P(N) = 0{,}02\)
• \(P(\overline{N}) = 0{,}98\)
• \(P(T|N) = 0{,}95\) – pravděpodobnost správného pozitivního výsledku
• \(P(\overline{T}|\overline{N}) = 0{,}90\) – pravděpodobnost správného negativního výsledku

Nejdříve spočítáme pravděpodobnost, že test ukáže pozitivní i u zdravého (falešně pozitivní):

\(P(T|\overline{N}) = 1 – P(\overline{T}|\overline{N}) = 1 – 0{,}90 = 0{,}10\)

Podle Bayesovy věty chceme spočítat \(P(N|T)\), tedy pravděpodobnost, že osoba je nemocná, pokud test ukázal pozitivní:

\[ P(N|T) = \frac{P(T|N) \cdot P(N)}{P(T|N) \cdot P(N) + P(T|\overline{N}) \cdot P(\overline{N})} \]

Vypočítáme jmenovatel (celkovou pravděpodobnost, že test ukáže pozitivní výsledek):

\[ P(T) = 0{,}95 \cdot 0{,}02 + 0{,}10 \cdot 0{,}98 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117 \]

Dosadíme do vzorce:

\[ P(N|T) = \frac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}1624 \]

Tedy pravděpodobnost, že osoba je skutečně nemocná, pokud test ukázal pozitivní výsledek, je přibližně \(16{,}24\) %.

Vysvětlení krok za krokem:

Nejdříve jsme si stanovili, co znamenají jednotlivé události a jaké jsou jejich pravděpodobnosti. Důležité je pochopit, že i když test má vysokou přesnost, nemoc je vzácná, a proto i pozitivní test nemusí znamenat, že je člověk nemocný. Proto počítáme pravděpodobnost, že osoba je nemocná právě vzhledem k výsledku testu. Využíváme Bayesovu větu, která nám umožňuje obrátit podmíněné pravděpodobnosti a získat pravděpodobnost skutečné nemoci při daném výsledku testu.

Řešení příkladu:

Označíme události:

• \(A\): výrobek je typu \(A\)
• \(B\): výrobek je typu \(B\)
• \(C\): výrobek je typu \(C\)
• \(V\): výrobek je vadný

Zadání:

• \(P(A) = 0{,}50\)
• \(P(B) = 0{,}30\)
• \(P(C) = 0{,}20\)
• \(P(V|A) = 0{,}02\)
• \(P(V|B) = 0{,}05\)
• \(P(V|C) = 0{,}10\)

Chceme spočítat pravděpodobnost, že vadný výrobek je typu \(C\), tedy \(P(C|V)\).

Podle Bayesovy věty platí:

\[ P(C|V) = \frac{P(V|C) \cdot P(C)}{P(V|A) \cdot P(A) + P(V|B) \cdot P(B) + P(V|C) \cdot P(C)} \]

Nejdříve spočítáme pravděpodobnost, že výrobek je vadný (celková pravděpodobnost vady):

\[ P(V) = 0{,}02 \cdot 0{,}50 + 0{,}05 \cdot 0{,}30 + 0{,}10 \cdot 0{,}20 = 0{,}01 + 0{,}015 + 0{,}02 = 0{,}045 \]

Dosadíme do vzorce pro Bayesovu větu:

\[ P(C|V) = \frac{0{,}10 \cdot 0{,}20}{0{,}045} = \frac{0{,}02}{0{,}045} \approx 0{,}4444 \]

Pravděpodobnost, že vadný výrobek pochází z výrobku \(C\), je přibližně \(44{,}44\) %.

Vysvětlení: Výrobek \(C\) tvoří menší část produkce, ale má vyšší pravděpodobnost vady, proto i mezi vadnými výrobky je poměrně častý.

Řešení příkladu:

Označíme události:

• \(N\): osoba je nemocná
• \(\overline{N}\): osoba není nemocná
• \(T\): test je pozitivní

Zadání:

• \(P(N) = 0{,}005\)
• \(P(\overline{N}) = 0{,}995\)
• \(P(T|N) = 0{,}99\) (citlivost)
• \(P(\overline{T}|\overline{N}) = 0{,}95\) (specificita)

Nejdříve spočítáme pravděpodobnost falešně pozitivního testu:

\(P(T|\overline{N}) = 1 – P(\overline{T}|\overline{N}) = 1 – 0{,}95 = 0{,}05\)

Podle Bayesovy věty chceme spočítat \(P(N|T)\):

\[ P(N|T) = \frac{P(T|N) \cdot P(N)}{P(T|N) \cdot P(N) + P(T|\overline{N}) \cdot P(\overline{N})} \]

Vypočítáme jmenovatel:

\[ P(T) = 0{,}99 \cdot 0{,}005 + 0{,}05 \cdot 0{,}995 = 0{,}00495 + 0{,}04975 = 0{,}0547 \]

Dosadíme do vzorce:

\[ P(N|T) = \frac{0{,}00495}{0{,}0547} \approx 0{,}0905 \]

Výsledek znamená, že i přes vysokou citlivost testu je pravděpodobnost skutečné nemoci u pozitivního testu pouze cca \(9{,}05\,\%\) kvůli nízké prevalenci nemoci v populaci.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \(X, Y, Z\): model telefonu
• \(R\): reklamovaný telefon (vadný)

Zadání:

• \(P(X) = 0{,}40\), \(P(Y) = 0{,}35\), \(P(Z) = 0{,}25\)
• \(P(R|X) = 0{,}01\), \(P(R|Y) = 0{,}03\), \(P(R|Z) = 0{,}05\)

Chceme \(P(Y|R)\).

Celková pravděpodobnost reklamace:

\[ P(R) = P(R|X)P(X) + P(R|Y)P(Y) + P(R|Z)P(Z) = 0{,}01 \cdot 0{,}40 + 0{,}03 \cdot 0{,}35 + 0{,}05 \cdot 0{,}25 = 0{,}004 + 0{,}0105 + 0{,}0125 = 0{,}027 \]

Bayesova věta:

\[ P(Y|R) = \frac{P(R|Y) \cdot P(Y)}{P(R)} = \frac{0{,}03 \cdot 0{,}35}{0{,}027} = \frac{0{,}0105}{0{,}027} \approx 0{,}3889 \]

Pravděpodobnost, že reklamovaný telefon je model \(Y\), je přibližně \(38{,}89\,\%\).

Řešení příkladu:

Označíme:

• \(C, I, P\): oddělení chirurgie, interní, pediatrie
• \(F\): pacient má infekci

Zadání:

• \(P(C) = 0{,}40\), \(P(I) = 0{,}35\), \(P(P) = 0{,}25\)
• \(P(F|C) = 0{,}03\), \(P(F|I) = 0{,}05\), \(P(F|P) = 0{,}02\)

Chceme \(P(I|F)\).

Nejprve spočítáme \(P(F)\):

\[ P(F) = 0{,}03 \cdot 0{,}40 + 0{,}05 \cdot 0{,}35 + 0{,}02 \cdot 0{,}25 = 0{,}012 + 0{,}0175 + 0{,}005 = 0{,}0345 \]

Bayesova věta:

\[ P(I|F) = \frac{P(F|I) \cdot P(I)}{P(F)} = \frac{0{,}05 \cdot 0{,}35}{0{,}0345} = \frac{0{,}0175}{0{,}0345} \approx 0{,}5072 \]

Pravděpodobnost, že pacient s infekcí byl na interním oddělení, je přibližně \(50{,}72\,\%\).

Řešení příkladu:

Označíme:

• \(D\): osoba je pozitivní (užívá drogy)
• \(\overline{D}\): osoba není pozitivní
• \(T\): test je pozitivní

Zadání:

• \(P(D) = 0{,}01\)
• \(P(\overline{D}) = 0{,}99\)
• \(P(T|D) = 0{,}99\)
• \(P(\overline{T}|\overline{D}) = 0{,}98\)

Falešně pozitivní pravděpodobnost:

\(P(T|\overline{D}) = 1 – 0{,}98 = 0{,}02\)

Bayesova věta:

\[ P(D|T) = \frac{P(T|D) \cdot P(D)}{P(T|D) \cdot P(D) + P(T|\overline{D}) \cdot P(\overline{D})} \]

Celková pravděpodobnost pozitivního testu:

\[ P(T) = 0{,}99 \cdot 0{,}01 + 0{,}02 \cdot 0{,}99 = 0{,}0099 + 0{,}0198 = 0{,}0297 \]

Dosadíme:

\[ P(D|T) = \frac{0{,}0099}{0{,}0297} \approx 0{,}3333 \]

Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem je skutečně pozitivní, je cca \(33{,}33\,\%\).

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme události:

• \(A\) = „pacient je testován testem \(A\)“
• \(B\) = „pacient je testován testem \(B\)“
• \(P\) = „výsledek testu je pozitivní“

Zadáno máme:

• \(P(A) = 0{,}70\) \((70\) % pacientů má test \((A)\)
• \(P(B) = 0{,}30\) \((30\) % pacientů má test \((B)\)
• \(P(P|A) = 0{,}95\) (test \(A\) má \(95\) % pravděpodobnost správného pozitivního výsledku)
• \(P(P|B) = 0{,}90\) (test \(B)\) má \(90\) % pravděpodobnost správného pozitivního výsledku)

Neznáme pravděpodobnost falešně pozitivního výsledku přesně v této otázce, ale předpokládejme, že uvedené hodnoty jsou již zohledněny v \(P(P|A)\) a \(P(P|B)\) jako pravděpodobnost, že výsledek je pozitivní u pacientů, kteří nemoc mají.

Cílem je spočítat \(P(A|P)\) — pravděpodobnost, že pacient, který má pozitivní výsledek, byl testován testem \(A\).

Podle Bayesovy věty platí:

\(P(A|P) = \frac{P(P|A) \cdot P(A)}{P(P|A) \cdot P(A) + P(P|B) \cdot P(B)}\)

Vypočítáme tedy pravděpodobnost, že pacient má pozitivní výsledek (celkově):

\(P(P) = P(P|A) \cdot P(A) + P(P|B) \cdot P(B) = 0{,}95 \cdot 0{,}70 + 0{,}90 \cdot 0{,}30 = 0{,}665 + 0{,}27 = 0{,}935\)

Nyní dosadíme do vzorce pro \(P(A|P)\):

\(P(A|P) = \frac{0{,}95 \cdot 0{,}70}{0{,}935} = \frac{0{,}665}{0{,}935} \approx 0{,}711\)

Výsledek tedy říká, že pokud má pacient pozitivní výsledek testu, je přibližně \(71{,}1\,\%\) pravděpodobnost, že byl testován testem \(A\).

Řešení příkladu:

Označme:

• \(X\) = „student je ve skupině \(X\)“
• \(Y\) = „student je ve skupině \(Y\)“
• \(S\) = „student správně vyřešil test“

Zadání:

• \(P(X) = 0{,}80\)
• \(P(Y) = 0{,}20\)
• \(P(S|X) = 0{,}90\)
• \(P(S|Y) = 0{,}60\)

Cílem je spočítat \(P(Y|S)\) — pravděpodobnost, že student, který správně vyřešil test, je ze skupiny \(Y\).

Nejprve spočítáme celkovou pravděpodobnost, že student správně vyřešil test:

\(P(S) = P(S|X) \cdot P(X) + P(S|Y) \cdot P(Y) = 0{,}90 \cdot 0{,}80 + 0{,}60 \cdot 0{,}20 = 0{,}72 + 0{,}12 = 0{,}84\)

Nyní podle Bayesovy věty:

\(P(Y|S) = \frac{P(S|Y) \cdot P(Y)}{P(S)} = \frac{0{,}60 \cdot 0{,}20}{0{,}84} = \frac{0{,}12}{0{,}84} \approx 0{,}1429\)

To znamená, že pokud student správně vyřešil test, je asi \(14{,}29\,\%\) pravděpodobnost, že patří do skupiny \(Y\).

Řešení příkladu:

Označení:

• \(T_1\) = „žárovka je typu \(1\)“
• \(T_2\) = „žárovka je typu \(2\)“
• \(D\) = „žárovka vydržela déle než \(1000\) hodin“

Zadání:

• \(P(T_1) = 0{,}60\)
• \(P(T_2) = 0{,}40\)
• \(P(D|T_1) = 0{,}80\)
• \(P(D|T_2) = 0{,}90\)

Chceme spočítat \(P(T_1|D)\).

Celková pravděpodobnost, že žárovka vydrží déle než \(1000\) hodin:

\(P(D) = P(D|T_1) \cdot P(T_1) + P(D|T_2) \cdot P(T_2) = 0{,}80 \cdot 0{,}60 + 0{,}90 \cdot 0{,}40 = 0{,}48 + 0{,}36 = 0{,}84\)

Podle Bayesovy věty:

\(P(T_1|D) = \frac{P(D|T_1) \cdot P(T_1)}{P(D)} = \frac{0{,}80 \cdot 0{,}60}{0{,}84} = \frac{0{,}48}{0{,}84} \approx 0{,}5714\)

Pravděpodobnost, že žárovka, která vydržela déle než \(1000\) hodin, je typu \(1\), je tedy asi \(57{,}14\,\%\).

Řešení příkladu:

Označení:

• \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) – firmy poskytující internet
• \(V\) – výpadek služby

Zadání:

• \(P(F_1) = 0{,}50\)
• \(P(F_2) = 0{,}30\)
• \(P(F_3) = 0{,}20\)
• \(P(V \mid F_1) = 0{,}02\)
• \(P(V \mid F_2) = 0{,}03\)
• \(P(V \mid F_3) = 0{,}05\)

Chceme spočítat \(P(F_3 \mid V)\).

Celková pravděpodobnost výpadku:

\(P(V) = P(V \mid F_1) \cdot P(F_1) + P(V \mid F_2) \cdot P(F_2) + P(V \mid F_3) \cdot P(F_3) = 0{,}02 \cdot 0{,}50 + 0{,}03 \cdot 0{,}30 + 0{,}05 \cdot 0{,}20 = 0{,}01 + 0{,}009 + 0{,}01 = 0{,}029\)

Podle Bayesovy věty:

\(P(F_3 \mid V) = \frac{P(V \mid F_3) \cdot P(F_3)}{P(V)} = \frac{0{,}05 \cdot 0{,}20}{0{,}029} = \frac{0{,}01}{0{,}029} \approx 0{,}3448\)

Pravděpodobnost, že při výpadku služby jde o firmu \(F_3\), je přibližně \(34{,}48\) %.

Řešení příkladu:

Označme:

• \(Z_1\) = jogurt značky \(1\)
• \(Z_2\) = jogurt značky \(2\)
• \(P\) = jogurt je prošlý

Zadání:

• \(P(Z_1) = 0{,}60\)
• \(P(Z_2) = 0{,}40\)
• \(P(P \mid Z_1) = 0{,}01\)
• \(P(P \mid Z_2) = 0{,}04\)

Chceme spočítat \(P(Z_2 \mid P)\).

Celková pravděpodobnost, že jogurt je prošlý:

\(P(P) = P(P \mid Z_1) \cdot P(Z_1) + P(P \mid Z_2) \cdot P(Z_2) = 0{,}01 \cdot 0{,}60 + 0{,}04 \cdot 0{,}40 = 0{,}006 + 0{,}016 = 0{,}022\)

Bayesova věta nám říká:

\(P(Z_2 \mid P) = \frac{P(P \mid Z_2) \cdot P(Z_2)}{P(P)} = \frac{0{,}04 \cdot 0{,}40}{0{,}022} = \frac{0{,}016}{0{,}022} \approx 0{,}7273\)

Je tedy přibližně \(72{,}73\) % pravděpodobnost, že prošlý jogurt byl značky \(Z_2\).

Řešení příkladu:

Nejprve si ujasníme všechny známé informace a pojmy.

1. Označíme si události:
   • \(N\): pacient je nemocný
   • \(Z\): pacient je zdravý (doplněk \(N\))
   • \(A^+\): test \(A\) je pozitivní
   • \(B^+\): test \(B\) je pozitivní
2. Známé pravděpodobnosti:
   • \(P(N) = 0{,}01\) (\(1\) % populace je nemocných)
   • \(P(Z) = 1 – P(N) = 0{,}99\)
   • \(P(A^+ \mid N) = 0{,}98\) (pravděpodobnost, že test \(A\) je pozitivní u nemocného)
   • \(P(A^+ \mid Z) = 0{,}05\) (falešně pozitivní test \(A\) u zdravého)
   • \(P(B^+ \mid N) = 0{,}95\)
   • \(P(B^+ \mid Z) = 0{,}02\)

Co chceme spočítat? Pravděpodobnost, že pacient je nemocný za předpokladu, že oba testy jsou pozitivní:

\(P(N \mid A^+ \cap B^+)\)

K výpočtu použijeme Bayesovu větu. Nejprve je třeba zjistit pravděpodobnost, že oba testy jsou pozitivní bez ohledu na to, zda je pacient nemocný nebo zdravý:

\(P(A^+ \cap B^+) = P(A^+ \cap B^+ \mid N) \cdot P(N) + P(A^+ \cap B^+ \mid Z) \cdot P(Z)\)

Předpokládáme, že výsledky testů jsou nezávislé za předpokladu stavu pacienta (nemocný/zdravý). To znamená, že:

\(P(A^+ \cap B^+ \mid N) = P(A^+ \mid N) \cdot P(B^+ \mid N) = 0{,}98 \cdot 0{,}95 = 0{,}931\)

\(P(A^+ \cap B^+ \mid Z) = P(A^+ \mid Z) \cdot P(B^+ \mid Z) = 0{,}05 \cdot 0{,}02 = 0{,}001\)

Dosadíme do vzorce:

\(P(A^+ \cap B^+) = 0{,}931 \cdot 0{,}01 + 0{,}001 \cdot 0{,}99 = 0{,}00931 + 0{,}00099 = 0{,}0103\)

Pomocí Bayesovy věty vypočítáme požadovanou pravděpodobnost:

\(P(N \mid A^+ \cap B^+) = \frac{P(A^+ \cap B^+ \mid N) \cdot P(N)}{P(A^+ \cap B^+)} = \frac{0{,}931 \cdot 0{,}01}{0{,}0103} = \frac{0{,}00931}{0{,}0103} \approx 0{,}903\)

Z toho plyne, že pokud pacient podstoupí oba testy a oba jsou pozitivní, je s přibližně \(90{,}3\) % pravděpodobností skutečně nemocný.

Dopodrobna vysvětlení:

Bayesova věta nám umožňuje zpětně odhadnout pravděpodobnost příčiny (nemoc) podle pozorovaných dat (pozitivní výsledky testů). Známe pravděpodobnosti, jak často testy dávají pozitivní výsledky u nemocných i zdravých, a také obecnou pravděpodobnost onemocnění v populaci. Díky tomu můžeme přesně spočítat, jak velká je šance, že pozitivní testy skutečně znamenají nemoc.

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme události:

• \(S_1\): součástka byla vyrobena strojem \(1\)
• \(S_2\): součástka byla vyrobena strojem \(2\)
• \(V\): součástka je vadná

Máme dáno:

• \(P(S_1) = 0{,}60\)
• \(P(S_2) = 0{,}40\) (protože \(100\) % – \(60\) % = \(40\) %)
• \(P(V \mid S_1) = 0{,}02\)
• \(P(V \mid S_2) = 0{,}05\)

Chceme spočítat pravděpodobnost, že součástka byla vyrobena strojem \(1\) za předpokladu, že je vadná, tedy:

\(P(S_1 \mid V)\)

K tomu použijeme Bayesovu větu, která říká:

\(P(S_1 \mid V) = \frac{P(V \mid S_1) \cdot P(S_1)}{P(V)}\)

Kde \(P(V)\) je celková pravděpodobnost, že součástka je vadná, bez ohledu na to, který stroj ji vyrobil. Tu spočítáme pomocí úplné pravděpodobnosti:

\(P(V) = P(V \mid S_1) \cdot P(S_1) + P(V \mid S_2) \cdot P(S_2) = 0{,}02 \cdot 0{,}60 + 0{,}05 \cdot 0{,}40 = 0{,}012 + 0{,}02 = 0{,}032\)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\(P(S_1 \mid V) = \frac{0{,}02 \cdot 0{,}60}{0{,}032} = \frac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375\)

Výsledkem je, že pokud je součástka vadná, pravděpodobnost, že pochází ze stroje \(1\), je \(37{,}5\) %.

Důkladné vysvětlení:

Celková pravděpodobnost, že součástka je vadná, se skládá z pravděpodobností vadnosti od každého stroje vážených jejich podílem výroby. Poté pomocí Bayesovy věty obracíme podmínku – ze znalosti, že součástka je vadná, odhadujeme, odkud pravděpodobně pochází. Vidíme, že i když stroj \(1\) vyrábí většinu součástek, jeho nižší vadnost znamená, že vadné součástky mají větší pravděpodobnost, že pocházejí od stroje \(2\).

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme události:

• \(A =\) „výrobek pochází od stroje \(A\)“
• \(B =\) „výrobek pochází od stroje \(B\)“
• \(V =\) „výrobek je vadný“

Podle zadání máme tyto pravděpodobnosti:

• \(P(A) = 0{,}70\) (protože stroj \(A\) vyrábí \(70\) % výrobků)
• \(P(B) = 0{,}30\) (protože stroj \(B\) vyrábí \(30\) % výrobků)
• \(P(V \mid A) = 0{,}04\) (pravděpodobnost, že výrobek ze stroje \(A\) je vadný)
• \(P(V \mid B) = 0{,}06\) (pravděpodobnost, že výrobek ze stroje \(B\) je vadný)

Potřebujeme vypočítat \(P(A \mid V)\), tedy pravděpodobnost, že výrobek pochází od stroje \(A\), pokud víme, že je vadný.

Podle Bayesovy věty platí:

\(P(A \mid V) = \frac{P(V \mid A) \times P(A)}{P(V)}\)

Nejprve spočítáme \(P(V)\), tedy celkovou pravděpodobnost, že výrobek je vadný. Tu získáme jako součet pravděpodobností, že výrobek je vadný a pochází od stroje \(A\), a že je vadný a pochází od stroje \(B\):

\(P(V) = P(V \mid A) \times P(A) + P(V \mid B) \times P(B) = 0{,}04 \times 0{,}70 + 0{,}06 \times 0{,}30 = 0{,}028 + 0{,}018 = 0{,}046\)

Nyní dosadíme do Bayesovy věty:

\(P(A \mid V) = \frac{0{,}028}{0{,}046} \approx 0{,}6087\)

To znamená, že pravděpodobnost, že vadný výrobek pochází ze stroje \(A\), je přibližně \(60{,}87\) %.

Podrobný výklad: Nejprve jsme zjistili, kolik výrobků je vadných celkově, přičemž jsme zohlednili, že každý stroj má jinou pravděpodobnost vyrobit vadný kus. Pak jsme pomocí Bayesovy věty zjistili, jaká je pravděpodobnost, že když víme, že výrobek je vadný, tak byl vyroben konkrétním strojem. Tento přístup umožňuje „obrátit“ podmíněné pravděpodobnosti, což je přesně to, co Bayesova věta umožňuje.

Řešení příkladu:

Označíme si události:

• \(A =\) pacient je na oddělení \(A\)
• \(B =\) pacient je na oddělení \(B\)
• \(K =\) pacient má komplikace

Dále máme:

• \(P(A) = 0{,}65\)
• \(P(B) = 0{,}35\)
• \(P(K \mid A) = 0{,}10\)
• \(P(K \mid B) = 0{,}25\)

Potřebujeme najít \(P(A \mid K)\).

Nejdříve spočítáme celkovou pravděpodobnost komplikací \(P(K)\):

\(P(K) = P(K \mid A) \times P(A) + P(K \mid B) \times P(B) = 0{,}10 \times 0{,}65 + 0{,}25 \times 0{,}35 = 0{,}065 + 0{,}0875 = 0{,}1525\)

Pak použijeme Bayesovu větu:

\(P(A \mid K) = \frac{P(K \mid A) \times P(A)}{P(K)} = \frac{0{,}065}{0{,}1525} \approx 0{,}4262\)

Pravděpodobnost, že pacient s komplikacemi je z oddělení \(A\), je tedy přibližně \(42{,}62\) %.

Podrobné vysvětlení: I když je na oddělení \(A\) více pacientů, pravděpodobnost komplikací na oddělení \(B\) je vyšší. Proto celková pravděpodobnost komplikací je kombinací obou těchto vlivů a pravděpodobnost, že komplikovaný pacient patří právě na oddělení \(A\), je nižší, než by odpovídalo jen jejich podílu pacientů.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \(N =\) osoba je nemocná
• \(Z =\) osoba je zdravá
• \(+ =\) test je pozitivní

Máme:

• \(P(N) = 0{,}01\)
• \(P(Z) = 0{,}99\)
• \(P(+ \mid N) = 0{,}95\)
• \(P(+ \mid Z) = 0{,}05\)

Potřebujeme spočítat \(P(N \mid +)\).

Celková pravděpodobnost pozitivního testu je:

\[ P(+) = P(+ \mid N) \times P(N) + P(+ \mid Z) \times P(Z) = 0{,}95 \times 0{,}01 + 0{,}05 \times 0{,}99 = 0{,}0095 + 0{,}0495 = 0{,}059 \]

Bayesova věta:

\[ P(N \mid +) = \frac{P(+ \mid N) \times P(N)}{P(+)} = \frac{0{,}0095}{0{,}059} \approx 0{,}161 \]

Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem je skutečně nemocná, je tedy přibližně \(16{,}1\,\%\).

Podrobný výklad: I když test je velmi spolehlivý (\(95\,\%\) u nemocných), nízký výskyt nemoci v populaci znamená, že většina pozitivních výsledků může být falešná, což výrazně snižuje pravděpodobnost skutečné nemoci při pozitivním výsledku. Tento jev se nazývá efekt nízké prevalence.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \(A =\) zákazník je u pokladny A
• \(B =\) zákazník je u pokladny B
• \(K =\) zákazník zaplatil kartou

Máme:

• \(P(A) = 0{,}70\)
• \(P(B) = 0{,}30\)
• \(P(K \mid A) = 0{,}40\)
• \(P(K \mid B) = 0{,}60\)

Potřebujeme \(P(B \mid K)\).

Celková pravděpodobnost platby kartou:

\[ P(K) = P(K \mid A) \times P(A) + P(K \mid B) \times P(B) = 0{,}40 \times 0{,}70 + 0{,}60 \times 0{,}30 = 0{,}28 + 0{,}18 = 0{,}46 \]

Bayesova věta:

\[ P(B \mid K) = \frac{P(K \mid B) \times P(B)}{P(K)} = \frac{0{,}18}{0{,}46} \approx 0{,}3913 \]

Pravděpodobnost, že zákazník, který zaplatil kartou, byl u pokladny B, je asi \(39{,}13\,\%\).

Podrobné vysvětlení: I když pokladna B odbaví méně zákazníků, vyšší pravděpodobnost platby kartou u této pokladny zvyšuje šanci, že karta byla použita právě tam. Bayesova věta nám umožňuje vyhodnotit tuto situaci přesně.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \(C =\) žák je chlapec
• \(D =\) žák je dívka
• \(S =\) žák složil zkoušku

Máme:

• \(P(C) = 0{,}60\)
• \(P(D) = 0{,}40\)
• \(P(S \mid C) = 0{,}75\)
• \(P(S \mid D) = 0{,}85\)

Potřebujeme \(P(D \mid S)\).

Nejdříve spočítáme \(P(S)\):

\[ P(S) = P(S \mid C) \times P(C) + P(S \mid D) \times P(D) = 0{,}75 \times 0{,}60 + 0{,}85 \times 0{,}40 = 0{,}45 + 0{,}34 = 0{,}79 \]

Bayesova věta:

\[ P(D \mid S) = \frac{P(S \mid D) \times P(D)}{P(S)} = \frac{0{,}34}{0{,}79} \approx 0{,}4304 \]

Pravděpodobnost, že úspěšný žák je dívka, je tedy přibližně \(43{,}04\,\%\).

Podrobný výklad: I když je ve škole více chlapců, vyšší úspěšnost dívek snižuje rozdíl v pravděpodobnosti, že složený žák je právě dívka. Bayesova věta toto elegantně vyjádří.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \(S =\) e-mail je spam
• \(N =\) e-mail není spam
• \(F =\) e-mail je filtrem označen jako spam

Máme:

• \(P(S) = 0{,}05\)
• \(P(N) = 0{,}95\)
• \(P(F \mid S) = 0{,}98\)
• \(P(F \mid N) = 0{,}03\)

Potřebujeme \(P(S \mid F)\).

Celková pravděpodobnost, že filtr označí e-mail jako spam:

\[ P(F) = P(F \mid S) \times P(S) + P(F \mid N) \times P(N) = 0{,}98 \times 0{,}05 + 0{,}03 \times 0{,}95 = 0{,}049 + 0{,}0285 = 0{,}0775 \]

Bayesova věta:

\[ P(S \mid F) = \frac{P(F \mid S) \times P(S)}{P(F)} = \frac{0{,}049}{0{,}0775} \approx 0{,}6323 \]

Pravděpodobnost, že označený spam je skutečně spam, je asi \(63{,}23\,\%\).

Podrobné vysvětlení: Přestože filtr pracuje velmi dobře, nízký podíl spamových e-mailů v celém množství způsobuje, že stále existuje poměrně vysoká šance, že označený spam není skutečný. Bayesova věta ukazuje, jak jsou ovlivněny výsledky takových testů nízkou prevalencí.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \( A = \) pacient z nemocnice \( A \)
• \( B = \) pacient z nemocnice \( B \)
• \( K = \) pacient má komplikace

Máme:

• \( P(A) = 0{,}55 \)
• \( P(B) = 0{,}45 \)
• \( P(K \mid A) = 0{,}08 \)
• \( P(K \mid B) = 0{,}12 \)

Potřebujeme \( P(B \mid K) \).

Celková pravděpodobnost komplikací:

\( P(K) = P(K \mid A) \times P(A) + P(K \mid B) \times P(B) = 0{,}08 \times 0{,}55 + 0{,}12 \times 0{,}45 = 0{,}044 + 0{,}054 = 0{,}098 \)

Bayesova věta:

\( P(B \mid K) = \frac{P(K \mid B) \times P(B)}{P(K)} = \frac{0{,}054}{0{,}098} \approx 0{,}5510 \)

Pravděpodobnost, že pacient s komplikacemi pochází z nemocnice \( B \), je přibližně \( 55{,}10 \,\% \).

Podrobný výklad: Přestože nemocnice \( A \) má více pacientů, vyšší pravděpodobnost komplikací v nemocnici \( B \) způsobí, že pacient s komplikacemi je častěji právě z nemocnice \( B \). Bayesova věta to přesně vyjádří tím, že upraví pravděpodobnosti podle známých podmínek.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \( A = \) materiál od dodavatele \( A \)
• \( B = \) materiál od dodavatele \( B \)
• \( V = \) materiál je vadný

Máme:

• \( P(A) = 0{,}80 \)
• \( P(B) = 0{,}20 \)
• \( P(V \mid A) = 0{,}02 \)
• \( P(V \mid B) = 0{,}05 \)

Potřebujeme \( P(B \mid V) \).

Celková pravděpodobnost vadného materiálu:

\( P(V) = P(V \mid A) \times P(A) + P(V \mid B) \times P(B) = 0{,}02 \times 0{,}80 + 0{,}05 \times 0{,}20 = 0{,}016 + 0{,}01 = 0{,}026 \)

Bayesova věta:

\( P(B \mid V) = \frac{P(V \mid B) \times P(B)}{P(V)} = \frac{0{,}01}{0{,}026} \approx 0{,}3846 \)

Pravděpodobnost, že vadný materiál pochází od dodavatele \( B \), je asi \( 38{,}46 \,\% \).

Podrobný výklad: I když dodavatel \( B \) dodává méně materiálu, vyšší pravděpodobnost vadnosti materiálu u něj způsobuje, že téměř \( 40 \,\% \) vadného materiálu pochází právě od něj. Bayesova věta nám umožní tuto situaci přesně vyhodnotit.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \( A = \) student se učí anglicky
• \( N = \) student se učí německy
• \( S = \) student složil test

Máme:

• \( P(A) = 0{,}55 \)
• \( P(N) = 0{,}45 \)
• \( P(S \mid A) = 0{,}80 \)
• \( P(S \mid N) = 0{,}70 \)

Potřebujeme \( P(A \mid S) \).

Nejdříve spočítáme \( P(S) \):

\( P(S) = P(S \mid A) \times P(A) + P(S \mid N) \times P(N) = 0{,}80 \times 0{,}55 + 0{,}70 \times 0{,}45 = 0{,}44 + 0{,}315 = 0{,}755 \)

Bayesova věta:

\( P(A \mid S) = \frac{P(S \mid A) \times P(A)}{P(S)} = \frac{0{,}44}{0{,}755} \approx 0{,}5828 \)

Pravděpodobnost, že student, který složil test, se učí anglicky, je asi \( 58{,}28 \,\% \).

Podrobné vysvětlení: I když se německy učí méně studentů, vyšší úspěšnost u angličtiny zvyšuje pravděpodobnost, že úspěšný student se učí anglicky. Bayesova věta nám dává přesný nástroj pro určení této pravděpodobnosti.

Řešení příkladu:

Označíme:

• \( A = \) divák ze skupiny \( A \)
• \( B = \) divák ze skupiny \( B \)
• \( O = \) divák si koupil občerstvení

Máme:

• \( P(A) = 0{,}40 \)
• \( P(B) = 0{,}60 \)
• \( P(O \mid A) = 0{,}30 \)
• \( P(O \mid B) = 0{,}50 \)

Potřebujeme \( P(B \mid O) \).

Celková pravděpodobnost, že divák si koupil občerstvení:

\( P(O) = P(O \mid A) \times P(A) + P(O \mid B) \times P(B) = 0{,}30 \times 0{,}40 + 0{,}50 \times 0{,}60 = 0{,}12 + 0{,}30 = 0{,}42 \)

Bayesova věta:

\( P(B \mid O) = \frac{P(O \mid B) \times P(B)}{P(O)} = \frac{0{,}30}{0{,}42} \approx 0{,}7143 \)

Pravděpodobnost, že divák, který si koupil občerstvení, patří ke skupině \( B \), je přibližně \( 71{,}43 \,\% \).

Podrobné vysvětlení: I když je skupina \( B \ větší, vyšší pravděpodobnost koupě občerstvení tuto skutečnost ještě umocňuje. Bayesova věta vypočítá, že většina kupujících občerstvení je ze skupiny \( B \).

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme události:

\(A =\) zaměstnanec je z oddělení A

\(B =\) zaměstnanec je z oddělení B

\(V =\) zaměstnanec přišel včas

Víme, že \( P(A) = 0{,}6 \), \( P(B) = 0{,}4 \), \( P(V|A) = 0{,}85 \), \( P(V|B) = 0{,}7 \).

Podle úplné pravděpodobnosti spočítáme pravděpodobnost, že zaměstnanec přišel včas:

\( P(V) = P(V|A) \cdot P(A) + P(V|B) \cdot P(B) = 0{,}85 \times 0{,}6 + 0{,}7 \times 0{,}4 = 0{,}51 + 0{,}28 = 0{,}79 \)

Nyní použijeme Bayesovu větu pro výpočet pravděpodobnosti, že zaměstnanec je z oddělení A za předpokladu, že přišel včas:

\( P(A|V) = \frac{P(V|A) \cdot P(A)}{P(V)} = \frac{0{,}85 \times 0{,}6}{0{,}79} = \frac{0{,}51}{0{,}79} \approx 0{,}6456 \)

Tedy pravděpodobnost, že zaměstnanec, který přišel včas, je z oddělení A, je přibližně \(64{,}56\,\%\).

Podrobný výklad:

Máme dvě skupiny zaměstnanců a jejich šanci přijít včas. Celková pravděpodobnost, že někdo přijde včas, je vážený průměr těchto pravděpodobností podle zastoupení obou skupin. Bayesova věta nám umožňuje obrátit podmínku – zjistit, odkud je zaměstnanec, pokud víme, že přišel včas. Spočítali jsme tedy, kolik zaměstnanců z obou oddělení v průměru přichází včas a z toho pak určili, jaká je pravděpodobnost, že ten konkrétní včasný zaměstnanec patří do oddělení A.

Řešení příkladu:

Označíme:

\(N1\), \(N2\), \(N3\) = dítě se narodilo v nemocnici 1, 2 nebo 3

\(V =\) dítě má vrozenou vadu

Data: \( P(N1) = 0{,}3 \), \( P(N2) = 0{,}5 \), \( P(N3) = 0{,}2 \)

\( P(V|N1) = 0{,}01 \), \( P(V|N2) = 0{,}005 \), \( P(V|N3) = 0{,}02 \)

Nejdříve spočítáme celkovou pravděpodobnost vrozené vady:

\( P(V) = P(V|N1) \cdot P(N1) + P(V|N2) \cdot P(N2) + P(V|N3) \cdot P(N3) \)

\( = 0{,}01 \times 0{,}3 + 0{,}005 \times 0{,}5 + 0{,}02 \times 0{,}2 = 0{,}003 + 0{,}0025 + 0{,}004 = 0{,}0095 \)

Nyní podle Bayesovy věty vypočteme pravděpodobnost, že dítě s vadou je z nemocnice \(N3\):

\( P(N3|V) = \frac{P(V|N3) \cdot P(N3)}{P(V)} = \frac{0{,}02 \times 0{,}2}{0{,}0095} = \frac{0{,}004}{0{,}0095} \approx 0{,}4211 \)

Tedy je asi \(42{,}11\,\%\) pravděpodobnost, že dítě s vrozenou vadou pochází z nemocnice \(N3\).

Podrobný výklad:

Tento příklad ukazuje, jak Bayesova věta pomáhá určit původ na základě pozorovaného výsledku (vrozené vady). Vzhledem k tomu, že nemocnice \(N3\) má nejvyšší míru vad ačkoliv je podíl narození v ní malý, pravděpodobnost, že dítě s vadou je z ní, je výrazně vyšší než samotný podíl narození v této nemocnici.

Řešení příkladu:

Označíme:

\(FHV =\) student je z fakulty humanitních věd

\(FPV =\) student je z fakulty přírodních věd

\(U =\) student úspěšně složil zkoušku z matematiky

Podle zadání \( P(FHV) = 0{,}4 \), \( P(FPV) = 0{,}6 \), \( P(U|FHV) = 0{,}3 \), \( P(U|FPV) = 0{,}8 \).

Celková pravděpodobnost úspěchu u zkoušky je:

\( P(U) = P(U|FHV) \cdot P(FHV) + P(U|FPV) \cdot P(FPV) = 0{,}3 \times 0{,}4 + 0{,}8 \times 0{,}6 = 0{,}12 + 0{,}48 = 0{,}6 \)

Podle Bayesovy věty vypočítáme pravděpodobnost, že student je z \(FHV\) za předpokladu úspěchu u zkoušky:

\( P(FHV|U) = \frac{P(U|FHV) \cdot P(FHV)}{P(U)} = \frac{0{,}3 \times 0{,}4}{0{,}6} = \frac{0{,}12}{0{,}6} = 0{,}2 \)

Tedy je \(20\,\%\) pravděpodobnost, že úspěšný student je z \(FHV\).

Podrobný výklad:

Tento příklad ukazuje, že i když \(FHV\) má menší podíl studentů a nižší úspěšnost, Bayesova věta nám umožňuje určit pravděpodobnost původu úspěšného studenta. Výsledek odráží jak relativní zastoupení fakult, tak rozdílné úspěšnosti.

Řešení příkladu:

Označíme:

\( A \), \( B \), \( C \) = pacient byl testován Testem \( A \), \( B \) nebo \( C \)

\( Po \) = pozitivní výsledek testu

Podle zadání:

\( P(A) = 0{,}5 \), \( P(B) = 0{,}3 \), \( P(C) = 0{,}2 \)

\( P(Po|A) = 0{,}9 \), \( P(Po|B) = 0{,}8 \), \( P(Po|C) = 0{,}7 \)

Celková pravděpodobnost pozitivního výsledku je:

\( P(Po) = P(Po|A) \cdot P(A) + P(Po|B) \cdot P(B) + P(Po|C) \cdot P(C) \)

\( = 0{,}9 \times 0{,}5 + 0{,}8 \times 0{,}3 + 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}45 + 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}83 \)

Pravděpodobnost, že pacient byl testován Testem \( B \), pokud měl pozitivní výsledek, je podle Bayesovy věty:

\( P(B|Po) = \frac{P(Po|B) \cdot P(B)}{P(Po)} = \frac{0{,}8 \times 0{,}3}{0{,}83} = \frac{0{,}24}{0{,}83} \approx 0{,}2892 \)

Tedy asi \( 28{,}92 \% \) pravděpodobnost.

Podrobný výklad:

Bayesova věta umožňuje určit pravděpodobnost původu pacientova testu na základě výsledku. I když Test \( B \) není nejčastější a má nižší pravděpodobnost pozitivního výsledku než Test \( A \), přesto lze určit, jaká je pravděpodobnost, že pozitivní výsledek pochází právě od něj.

Řešení příkladu:

Označíme:

\( D \) = žák je dívka

\( Ch \) = žák je chlapec

\( J \) = žák dostal jedničku

Podle zadání:

Počet žáků je \( 10 \), \( P(D) = \frac{3}{10} = 0{,}3 \), \( P(Ch) = \frac{7}{10} = 0{,}7 \)

\( P(J|D) = 0{,}6 \), \( P(J|Ch) = 0{,}4 \)

Celková pravděpodobnost, že žák dostane jedničku, je:

\( P(J) = P(J|D) \cdot P(D) + P(J|Ch) \cdot P(Ch) = 0{,}6 \times 0{,}3 + 0{,}4 \times 0{,}7 = 0{,}18 + 0{,}28 = 0{,}46 \)

Podle Bayesovy věty:

\( P(D|J) = \frac{P(J|D) \cdot P(D)}{P(J)} = \frac{0{,}6 \times 0{,}3}{0{,}46} = \frac{0{,}18}{0{,}46} \approx 0{,}3913 \)

Pravděpodobnost, že žák, který dostal jedničku, je dívka, je tedy asi \( 39{,}13 \% \).

Podrobný výklad:

Bayesova věta pomáhá zjistit, jaký podíl jedničkářů tvoří dívky, když víme, kolik dívek a chlapců je ve třídě a jaké jsou jejich šance na jedničku. Výsledek ukazuje, že i když dívky mají vyšší pravděpodobnost jedničky, protože jich je méně, není jejich podíl mezi jedničkáři dominantní.

Řešení příkladu:

Označíme:

\( L1 \), \( L2 \), \( L3 \) = výrobek pochází z linky 1, 2 nebo 3

\( V \) = výrobek je vadný

Podle zadání:

\( P(L1) = 0{,}4 \), \( P(L2) = 0{,}35 \), \( P(L3) = 0{,}25 \)

\( P(V|L1) = 0{,}02 \), \( P(V|L2) = 0{,}015 \), \( P(V|L3) = 0{,}03 \)

Celková pravděpodobnost, že výrobek je vadný, je:

\( P(V) = P(V|L1) \cdot P(L1) + P(V|L2) \cdot P(L2) + P(V|L3) \cdot P(L3) \)

\( = 0{,}02 \times 0{,}4 + 0{,}015 \times 0{,}35 + 0{,}03 \times 0{,}25 = 0{,}008 + 0{,}00525 + 0{,}0075 = 0{,}02075 \)

Podle Bayesovy věty vypočteme:

\( P(L3|V) = \frac{P(V|L3) \cdot P(L3)}{P(V)} = \frac{0{,}03 \times 0{,}25}{0{,}02075} = \frac{0{,}0075}{0{,}02075} \approx 0{,}3614 \)

Tedy pravděpodobnost, že vadný výrobek pochází z linky \( L3 \), je asi \( 36{,}14 \% \).

Podrobný výklad:

Linka \( L3 \) má nejvyšší pravděpodobnost vady, i když vyrábí méně výrobků než linky \( L1 \) a \( L2 \). Bayesova věta zde pomáhá určit, odkud vadný výrobek pravděpodobně pochází na základě kombinace míry vadnosti a produkčního podílu jednotlivých linek.

Řešení příkladu:

Označíme:

\(N =\) pacient je nemocný

\(Z =\) pacient je zdravý

\(P+ =\) test byl pozitivní

Podle zadání:

\( P(N) = 0{,}01 \), \( P(Z) = 0{,}99 \)

\( P(P+|N) = 0{,}95 \), \( P(P+|Z) = 0{,}05 \)

Celková pravděpodobnost pozitivního testu je:

\( P(P+) = P(P+|N) \cdot P(N) + P(P+|Z) \cdot P(Z) = 0{,}95 \times 0{,}01 + 0{,}05 \times 0{,}99 = 0{,}0095 + 0{,}0495 = 0{,}059 \)

Podle Bayesovy věty:

\( P(N|P+) = \frac{P(P+|N) \cdot P(N)}{P(P+)} = \frac{0{,}95 \times 0{,}01}{0{,}059} = \frac{0{,}0095}{0{,}059} \approx 0{,}1610 \)

Tedy pravděpodobnost, že pacient je skutečně nemocný, když měl pozitivní test, je asi \(16{,}10\,\%\).

Podrobný výklad:

I přes vysokou citlivost testu je šance, že pozitivní výsledek skutečně znamená nemoc, relativně nízká, protože nemocných je v populaci velmi málo a falešně pozitivní výsledky u zdravých se objevují poměrně často. Bayesova věta ukazuje, jak kombinace těchto faktorů ovlivňuje konečný závěr.

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme události:

\(N =\) pacient je nemocný

\(Z =\) pacient je zdravý (negace \(N\))

\(P+ =\) test vyšel pozitivně

Podle zadání máme:

\(P(N) = 0{,}02\) (\(2\,\%\) jsou nemocní)

\(P(Z) = 1 – P(N) = 0{,}98\)

\(P(P+|N) = 0{,}98\) (citlivost testu)

\(P(P+|Z) = 0{,}05\) (falešně pozitivní výsledek)

Potřebujeme zjistit pravděpodobnost, že pacient je skutečně nemocný za předpokladu, že test vyšel pozitivně, tedy \( P(N|P+) \).

Pro výpočet použijeme Bayesovu větu, která říká:

\( P(N|P+) = \frac{P(P+|N) \cdot P(N)}{P(P+)} \)

Kde \( P(P+) \) je celková pravděpodobnost pozitivního výsledku testu. Tu vypočítáme pomocí zákona úplné pravděpodobnosti:

\( P(P+) = P(P+|N) \cdot P(N) + P(P+|Z) \cdot P(Z) \)

Dosadíme čísla:

\( P(P+) = 0{,}98 \times 0{,}02 + 0{,}05 \times 0{,}98 = 0{,}0196 + 0{,}049 = 0{,}0686 \)

Nyní dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(N|P+) = \frac{0{,}98 \times 0{,}02}{0{,}0686} = \frac{0{,}0196}{0{,}0686} \approx 0{,}2858 \)

Tedy pravděpodobnost, že pacient je skutečně nemocný, když měl pozitivní test, je asi \(28{,}58\,\%\).

Podrobný výklad:

I když test má vysokou citlivost a pacient měl pozitivní výsledek, šance, že je opravdu nemocný, není tak vysoká. To je způsobeno tím, že nemocných je v populaci velmi málo (\(2\,\%\)) a falešně pozitivní výsledky u zdravých se objevují poměrně často (\(5\,\%\)). Bayesova věta nám umožňuje kombinovat tyto informace a vyvodit správný závěr.

Řešení příkladu:

Nejprve označíme události:

\(A, B, C =\) výrobek pochází z oddělení \(A\), \(B\) nebo \(C\)

\(V =\) výrobek je vadný

Dle zadání platí:

\(P(A) = 0{,}40\), \(P(B) = 0{,}35\), \(P(C) = 0{,}25\)

\(P(V|A) = 0{,}01\), \(P(V|B) = 0{,}02\), \(P(V|C) = 0{,}03\)

Nejprve vypočítáme celkovou pravděpodobnost, že výrobek je vadný:

\( P(V) = P(V|A) \cdot P(A) + P(V|B) \cdot P(B) + P(V|C) \cdot P(C) \)

\( P(V) = 0{,}01 \times 0{,}40 + 0{,}02 \times 0{,}35 + 0{,}03 \times 0{,}25 = 0{,}004 + 0{,}007 + 0{,}0075 = 0{,}0185 \)

Podle Bayesovy věty chceme vypočítat pravděpodobnost, že výrobek pochází z oddělení \(B\), pokud je vadný:

\( P(B|V) = \frac{P(V|B) \cdot P(B)}{P(V)} = \frac{0{,}02 \times 0{,}35}{0{,}0185} = \frac{0{,}007}{0{,}0185} \approx 0{,}3784 \)

Výsledek tedy znamená, že pravděpodobnost, že vadný výrobek pochází z oddělení \(B\), je asi \(37{,}84\,\%\).

Řešení příkladu:

Označíme události:

\(A =\) člověk je alergický

\(\neg A =\) člověk není alergický

\(P+ =\) test je pozitivní

Zadané hodnoty:

\(P(A) = 0{,}01\)

\(P(\neg A) = 0{,}99\)

\(P(P+|A) = 0{,}99\) (správná pozitivita)

\(P(P+|\neg A) = 0{,}04\) (falešná pozitivita)

Nejdříve spočítáme celkovou pravděpodobnost pozitivního výsledku:

\( P(P+) = P(P+|A) \cdot P(A) + P(P+|\neg A) \cdot P(\neg A) = 0{,}99 \times 0{,}01 + 0{,}04 \times 0{,}99 = 0{,}0099 + 0{,}0396 = 0{,}0495 \)

Pomocí Bayesovy věty určíme pravděpodobnost alergie při pozitivním testu:

\( P(A|P+) = \frac{P(P+|A) \cdot P(A)}{P(P+)} = \frac{0{,}99 \times 0{,}01}{0{,}0495} = \frac{0{,}0099}{0{,}0495} \approx 0{,}2 \)

Tedy pravděpodobnost, že člověk je skutečně alergický, když má pozitivní test, je asi \(20\,\%\).

Podrobný výklad:

I přes vysokou spolehlivost testu je zde nízká prevalence alergie (\(1\,\%\)), což významně snižuje pravděpodobnost skutečné alergie při pozitivním výsledku. To demonstruje, jak důležitá je prevalence onemocnění v populaci při interpretaci testů.

Řešení příkladu:

Označíme události:

O = člověk je očkován

¬O = člověk není očkován

C = člověk onemocněl chřipkou

Podle zadání platí:

P(O) = \(0{,}30\)

P(¬O) = \(0{,}70\)

P(C|O) = \(0{,}10\)

P(C|¬O) = \(0{,}25\)

Vypočítáme celkovou pravděpodobnost onemocnění:

\( P(C) = P(C|O) \cdot P(O) + P(C|¬O) \cdot P(¬O) = 0{,}10 \times 0{,}30 + 0{,}25 \times 0{,}70 = 0{,}03 + 0{,}175 = 0{,}205 \)

Pomocí Bayesovy věty spočítáme pravděpodobnost, že onemocnělý byl očkován:

\( P(O|C) = \frac{P(C|O) \cdot P(O)}{P(C)} = \frac{0{,}10 \times 0{,}30}{0{,}205} = \frac{0{,}03}{0{,}205} \approx 0{,}1463 \)

Tedy pravděpodobnost, že člověk, který onemocněl chřipkou, byl očkován, je přibližně \(14{,}63\) %.

Podrobný výklad:

I když očkování snižuje riziko onemocnění, není \(100\) % ochrana. Proto je možné, že mezi nemocnými najdeme i očkované. Bayesova věta nám umožňuje odhadnout, jak velká část nemocných byla očkována, na základě známých pravděpodobností onemocnění u očkovaných a neočkovaných a jejich zastoupení v populaci.

Řešení příkladu:

Označíme události:

N = pacient je nemocný

Z = pacient není nemocný

P+1 = první test je pozitivní

P+2 = druhý test je pozitivní

Zadání:

P(N) = \(0{,}05\), P(Z) = \(0{,}95\)

P(P+1|N) = \(0{,}95\), P(P+1|Z) = \(0{,}03\)

P(P+2|N) = \(0{,}90\), P(P+2|Z) = \(0{,}01\)

Předpokládáme nezávislost testů, takže pravděpodobnost, že oba testy jsou pozitivní, když je pacient nemocný, je:

\( P(P+1 \cap P+2 | N) = P(P+1|N) \times P(P+2|N) = 0{,}95 \times 0{,}90 = 0{,}855 \)

Stejně tak u zdravého pacienta:

\( P(P+1 \cap P+2 | Z) = P(P+1|Z) \times P(P+2|Z) = 0{,}03 \times 0{,}01 = 0{,}0003 \)

Celková pravděpodobnost obou pozitivních testů je:

\( P(P+1 \cap P+2) = P(P+1 \cap P+2 | N) \cdot P(N) + P(P+1 \cap P+2 | Z) \cdot P(Z) = 0{,}855 \times 0{,}05 + 0{,}0003 \times 0{,}95 = 0{,}04275 + 0{,}000285 = 0{,}043035 \)

Bayesova věta dává pravděpodobnost, že pacient je nemocný za předpokladu obou pozitivních testů:

\( P(N | P+1 \cap P+2) = \frac{P(P+1 \cap P+2 | N) \cdot P(N)}{P(P+1 \cap P+2)} = \frac{0{,}855 \times 0{,}05}{0{,}043035} = \frac{0{,}04275}{0{,}043035} \approx 0{,}9934 \)

Tedy pravděpodobnost, že pacient je nemocný, pokud má oba testy pozitivní, je cca \(99{,}34\) %.

Podrobný výklad:

Kombinace dvou testů významně zvyšuje jistotu diagnózy, pokud jsou testy nezávislé. I když jednotlivé testy nejsou dokonalé, společně dávají velmi spolehlivý výsledek, což vidíme na velmi vysoké pravděpodobnosti skutečné nemoci.

Řešení příkladu:

Označíme události:

K = člověk kouří

¬K = člověk nekouří

R = člověk onemocní rakovinou

Podle zadání platí:

P(K) = \(0{,}03\)

P(¬K) = \(0{,}97\)

P(R|K) = \(0{,}20\)

P(R|¬K) = \(0{,}01\)

Vypočítáme celkovou pravděpodobnost onemocnění:

\( P(R) = P(R|K) \cdot P(K) + P(R|¬K) \cdot P(¬K) = 0{,}20 \times 0{,}03 + 0{,}01 \times 0{,}97 = 0{,}006 + 0{,}0097 = 0{,}0157 \)

Pomocí Bayesovy věty spočítáme pravděpodobnost, že onemocnělý byl kuřák:

\( P(K|R) = \frac{P(R|K) \cdot P(K)}{P(R)} = \frac{0{,}20 \times 0{,}03}{0{,}0157} = \frac{0{,}006}{0{,}0157} \approx 0{,}382 \)

Tedy pravděpodobnost, že onemocnělý člověk byl kuřák, je asi \(38{,}2\) %.

Podrobný výklad:

I když kuřáků je v populaci málo (\(3\) %), jejich pravděpodobnost onemocnění je výrazně vyšší. Bayesova věta nám umožňuje spočítat, jaká část nemocných byli právě kuřáci, což je důležitá informace například pro epidemiologické studie.

Řešení příkladu:

Označíme události:

\( Z_1 = \) vzorek pochází ze zdroje \( 1 \)

\( Z_2 = \) vzorek pochází ze zdroje \( 2 \)

\( P = \) vzorek je pozitivní

Zadání:

\( P(Z_1) = 0{,}60 \), \( P(Z_2) = 0{,}40 \)

\( P(P|Z_1) = 0{,}04 \), \( P(P|Z_2) = 0{,}10 \)

Nejprve spočítáme celkovou pravděpodobnost pozitivního vzorku:

\( P(P) = P(P|Z_1) \cdot P(Z_1) + P(P|Z_2) \cdot P(Z_2) = 0{,}04 \times 0{,}60 + 0{,}10 \times 0{,}40 = 0{,}024 + 0{,}04 = 0{,}064 \)

Bayesova věta dává pravděpodobnost, že pozitivní vzorek pochází ze zdroje \( Z_2 \):

\( P(Z_2|P) = \frac{P(P|Z_2) \cdot P(Z_2)}{P(P)} = \frac{0{,}10 \times 0{,}40}{0{,}064} = \frac{0{,}04}{0{,}064} \approx 0{,}625 \)

Tedy pravděpodobnost, že pozitivní vzorek pochází ze zdroje \( Z_2 \), je \( 62{,}5 \) %.

Podrobný výklad:

Bayesova věta umožňuje upravit naše přesvědčení o původu vzorku na základě pozorovaných výsledků testu. I když \( Z_2 \) představuje menší část vzorků, vyšší pravděpodobnost pozitivního testu u \( Z_2 \) způsobuje, že je větší pravděpodobnost, že pozitivní vzorek pochází právě odtud.

Řešení příkladu:

Označíme události:

\( N = \) člověk má nemoc

\( Z = \) člověk nemá nemoc

\( P_+ = \) test je pozitivní

Podle zadání:

\( P(N) = 0{,}02 \), \( P(Z) = 0{,}98 \)

\( P(P_+|N) = 0{,}98 \), \( P(P_+|Z) = 0{,}04 \)

Celková pravděpodobnost pozitivního testu:

\( P(P_+) = P(P_+|N) \cdot P(N) + P(P_+|Z) \cdot P(Z) = 0{,}98 \times 0{,}02 + 0{,}04 \times 0{,}98 = 0{,}0196 + 0{,}0392 = 0{,}0588 \)

Bayesova věta:

\( P(N|P_+) = \frac{P(P_+|N) \cdot P(N)}{P(P_+)} = \frac{0{,}98 \times 0{,}02}{0{,}0588} = \frac{0{,}0196}{0{,}0588} \approx 0{,}3333 \)

Tedy pravděpodobnost, že člověk s pozitivním testem má skutečně nemoc, je asi \( 33{,}33 \) %.

Podrobný výklad:

I když test má vysokou citlivost, nízká prevalence nemoci v populaci způsobuje, že většina pozitivních výsledků jsou falešně pozitivní. Bayesova věta pomáhá lépe pochopit, jak prevalence ovlivňuje interpretaci výsledků testu.

Řešení příkladu:

Označíme události:

\( A = \) výherce je z města \( A \)

\( B = \) výherce je z města \( B \)

\( M = \) výherce je muž

Zadání:

\( P(A) = 0{,}70 \), \( P(B) = 0{,}30 \)

\( P(M|A) = 0{,}20 \), \( P(M|B) = 0{,}50 \)

Vypočítáme pravděpodobnost, že výherce je muž:

\( P(M) = P(M|A) \cdot P(A) + P(M|B) \cdot P(B) = 0{,}20 \times 0{,}70 + 0{,}50 \times 0{,}30 = 0{,}14 + 0{,}15 = 0{,}29 \)

Pomocí Bayesovy věty spočítáme pravděpodobnost, že výherce je z města \( A \), pokud je muž:

\( P(A|M) = \frac{P(M|A) \cdot P(A)}{P(M)} = \frac{0{,}20 \times 0{,}70}{0{,}29} = \frac{0{,}14}{0{,}29} \approx 0{,}4828 \)

Tedy pravděpodobnost, že výherce je z města \( A \), pokud je muž, je asi \( 48{,}28 \) %.

Podrobný výklad:

Bayesova věta nám umožňuje aktualizovat naše znalosti o původu výherce na základě informace, že je muž. Přestože většina výherců je z města \( A \), větší podíl mužů je z města \( B \), což ovlivňuje výslednou pravděpodobnost.

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme události:

\(N\) = pacient je nemocný

\(Z\) = pacient není nemocný

\(+\)

\(T+\) = test je pozitivní

Na základě zadání víme:

\(P(N) = 0.01\) (\(1\) % pacientů je nemocných)

\(P(Z) = 0.99\) (ostatní nejsou nemocní)

\(P(T+|N) = 0.95\) (test je pozitivní, když je pacient nemocný)

\(P(T+|Z) = 0.03\) (falešně pozitivní test)

Máme zjistit pravděpodobnost, že pacient je nemocný, když test je pozitivní, tedy \(P(N|T+)\).

Použijeme Bayesovu větu:

\( P(N|T+) = \frac{P(T+|N) \cdot P(N)}{P(T+)} \)

Neznáme \(P(T+)\), pravděpodobnost, že test bude pozitivní. Tu vypočteme podle pravidla úplné pravděpodobnosti:

\( P(T+) = P(T+|N) \cdot P(N) + P(T+|Z) \cdot P(Z) \)

Dosadíme hodnoty:

\( P(T+) = 0.95 \cdot 0.01 + 0.03 \cdot 0.99 = 0.0095 + 0.0297 = 0.0392 \)

Nyní dosadíme zpět do Bayesovy věty:

\( P(N|T+) = \frac{0.95 \cdot 0.01}{0.0392} = \frac{0.0095}{0.0392} \approx 0.242 \)

Interpretace výsledku: I když test vyšel pozitivní, pravděpodobnost, že pacient skutečně nemoc má, je přibližně \(24{,}2\) %. To je způsobeno relativně nízkým výskytem nemoci a poměrně vysokým počtem falešně pozitivních výsledků.

Detailní vysvětlení:

Když se testujeme, chceme vědět, jak moc můžeme věřit výsledku. Tento výpočet ukazuje, že i když test ukáže pozitivní výsledek, není to záruka onemocnění. Právě proto je důležité brát v úvahu nejen spolehlivost testu, ale i to, jak často nemoc ve sledované populaci skutečně je.

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme události:

\(A\) = člověk je alergický

¬\(A\) = člověk není alergický

\(T+\) = test je pozitivní

Podle zadání máme:

\(P(A) = 0.02\) (\(2\) % alergiků)

\(P(¬A) = 0.98\) (\(98\) % lidí není alergických)

\(P(T+|A) = 0.90\) (test je pozitivní, pokud je člověk alergický)

\(P(T+|¬A) = 0.05\) (test je falešně pozitivní)

Cílem je spočítat \(P(A|T+)\), tedy pravděpodobnost, že člověk má alergii, pokud test je pozitivní.

Použijeme Bayesovu větu:

\( P(A|T+) = \frac{P(T+|A) \cdot P(A)}{P(T+)} \)

Nejprve vypočítáme \(P(T+)\) podle pravidla úplné pravděpodobnosti:

\( P(T+) = P(T+|A) \cdot P(A) + P(T+|¬A) \cdot P(¬A) \)

Dosadíme hodnoty:

\( P(T+) = 0.90 \cdot 0.02 + 0.05 \cdot 0.98 = 0.018 + 0.049 = 0.067 \)

Nyní dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(A|T+) = \frac{0.90 \cdot 0.02}{0.067} = \frac{0.018}{0.067} \approx 0.269 \)

Interpretace: I když test ukázal pozitivní výsledek, pravděpodobnost, že daná osoba má skutečně alergii, je přibližně \(26{,}9\) %. To znamená, že pozitivní výsledek testu není stoprocentní jistota alergie, a je potřeba další vyšetření.

Podrobné vysvětlení:

Bayesova věta pomáhá pochopit, jak ovlivňuje výsledek testu skutečný výskyt alergie v populaci a spolehlivost testu. Základním principem je, že když je alergie velmi vzácná (pouze \(2\) %), i poměrně spolehlivý test může dát poměrně vysoký podíl falešně pozitivních výsledků.

Řešení příkladu:

Definice událostí:

\(T\) = student je talentovaný

¬\(T\) = student není talentovaný

\(+\) = test označí studenta jako talentovaného

Zadání:

\(P(T) = 0.10\)

\(P(¬T) = 0.90\)

\(P(+|T) = 0.85\)

\(P(+|¬T) = 0.15\)

Hledáme \(P(T|+)\).

Podle Bayesovy věty:

\( P(T|+) = \frac{P(+|T) \cdot P(T)}{P(+)} \)

Kde

\( P(+) = P(+|T) \cdot P(T) + P(+|¬T) \cdot P(¬T) \)

Dosadíme:

\( P(+) = 0.85 \cdot 0.10 + 0.15 \cdot 0.90 = 0.085 + 0.135 = 0.22 \)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(T|+) = \frac{0.85 \cdot 0.10}{0.22} = \frac{0.085}{0.22} \approx 0.386 \)

Výsledek znamená, že student označený jako talentovaný má přibližně \(38{,}6\) % pravděpodobnost, že skutečně talentovaný je. To zdůrazňuje důležitost zvažování četnosti talentovaných a spolehlivosti testu.

Řešení příkladu:

Definice událostí:

N = osoba je nakažená

¬N = osoba není nakažená

T+ = test je pozitivní

Zadání:

P(N) = \(0.05\)

P(¬N) = \(0.95\)

P(T+|N) = \(0.98\)

P(T+|¬N) = \(0.04\)

Hledáme P(N|T+).

Bayesova věta:

\( P(N|T+) = \frac{P(T+|N) \cdot P(N)}{P(T+)} \)

Kde

\( P(T+) = P(T+|N) \cdot P(N) + P(T+|¬N) \cdot P(¬N) \)

Dosadíme:

\( P(T+) = 0.98 \cdot 0.05 + 0.04 \cdot 0.95 = 0.049 + 0.038 = 0.087 \)

Dosadíme zpět:

\( P(N|T+) = \frac{0.98 \cdot 0.05}{0.087} = \frac{0.049}{0.087} \approx 0.563 \)

Interpretace: Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem je skutečně nakažená, je asi \(56,3\) %. I přes vysokou spolehlivost testu je tato hodnota ne úplně jistá kvůli relativně nízkému výskytu nemoci.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

V = výrobek je vadný

¬V = výrobek není vadný

T+ = test označí výrobek jako vadný

Zadání:

P(V) = \(0.01\)

P(¬V) = \(0.99\)

P(T+|V) = \(0.99\)

P(T+|¬V) = \(0.02\)

Chceme P(V|T+).

Podle Bayesovy věty:

\( P(V|T+) = \frac{P(T+|V) \cdot P(V)}{P(T+)} \)

Kde

\( P(T+) = P(T+|V) \cdot P(V) + P(T+|¬V) \cdot P(¬V) \)

Dosadíme:

\( P(T+) = 0.99 \cdot 0.01 + 0.02 \cdot 0.99 = 0.0099 + 0.0198 = 0.0297 \)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(V|T+) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0297} = \frac{0.0099}{0.0297} \approx 0.333 \)

Výsledek ukazuje, že i když test označil výrobek jako vadný, pravděpodobnost skutečné vady je přibližně \(33,3\) %. Nízký výskyt vadných výrobků ve spojení s falešně pozitivními výsledky ovlivňuje tento výsledek.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

B = osoba je nositelem bakterie

¬B = osoba není nositelem

T+ = test je pozitivní

Zadání:

P(B) = \(0.03\)

P(¬B) = \(0.97\)

P(T+|B) = \(0.92\)

P(T+|¬B) = \(0.06\)

Chceme P(B|T+).

Bayesova věta:

\( P(B|T+) = \frac{P(T+|B) \cdot P(B)}{P(T+)} \)

Kde

\( P(T+) = P(T+|B) \cdot P(B) + P(T+|¬B) \cdot P(¬B) \)

Dosadíme:

\( P(T+) = 0.92 \cdot 0.03 + 0.06 \cdot 0.97 = 0.0276 + 0.0582 = 0.0858 \)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(B|T+) = \frac{0.92 \cdot 0.03}{0.0858} = \frac{0.0276}{0.0858} \approx 0.322 \)

Interpretace: Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem je skutečně nositelem, je asi \(32,2\) %. Přestože test je relativně spolehlivý, nízký výskyt bakterie snižuje jistotu výsledku.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

P = zaměstnanec přichází pozdě

¬P = zaměstnanec přichází včas

Z+ = systém zaznamená pozdní příchod

Zadání:

P(P) = \(0.04\)

P(¬P) = \(0.96\)

P(Z+|P) = \(0.80\)

P(Z+|¬P) = \(0.10\)

Hledáme P(P|Z+).

Bayesova věta:

\( P(P|Z+) = \frac{P(Z+|P) \cdot P(P)}{P(Z+)} \)

Kde

\( P(Z+) = P(Z+|P) \cdot P(P) + P(Z+|¬P) \cdot P(¬P) \)

Dosadíme:

\( P(Z+) = 0.80 \cdot 0.04 + 0.10 \cdot 0.96 = 0.032 + 0.096 = 0.128 \)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(P|Z+) = \frac{0.80 \cdot 0.04}{0.128} = \frac{0.032}{0.128} = 0.25 \)

Interpretace: Pravděpodobnost, že zaměstnanec označený jako pozdní je skutečně pozdní, je \(25\) %. Systém má tedy vysoký počet falešně pozitivních záznamů.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

A = člověk má krevní skupinu A

¬A = člověk má jinou krevní skupinu

T+ = test je pozitivní

Zadání:

P(A) = \(0.07\)

P(¬A) = \(0.93\)

P(T+|A) = \(0.95\)

P(T+|¬A) = \(0.10\)

Hledáme P(A|T+).

Bayesova věta:

\( P(A|T+) = \frac{P(T+|A) \cdot P(A)}{P(T+)} \)

Kde

\( P(T+) = P(T+|A) \cdot P(A) + P(T+|¬A) \cdot P(¬A) \)

Dosadíme:

\( P(T+) = 0.95 \cdot 0.07 + 0.10 \cdot 0.93 = 0.0665 + 0.093 = 0.1595 \)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(A|T+) = \frac{0.95 \cdot 0.07}{0.1595} = \frac{0.0665}{0.1595} \approx 0.417 \)

Výsledek ukazuje, že pravděpodobnost, že člověk s pozitivním výsledkem testu opravdu má krevní skupinu A, je přibližně \(41{,}7\) %.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

A = osoba má alergii

¬A = osoba nemá alergii

T+ = test je pozitivní

Zadání:

P(A) = \(0.05\)

P(¬A) = \(0.95\)

P(T+|A) = \(0.90\)

P(T+|¬A) = \(0.05\)

Hledáme P(A|T+).

Bayesova věta:

\( P(A|T+) = \frac{P(T+|A) \cdot P(A)}{P(T+)} \)

Kde

\( P(T+) = P(T+|A) \cdot P(A) + P(T+|¬A) \cdot P(¬A) \)

Dosadíme:

\( P(T+) = 0.90 \cdot 0.05 + 0.05 \cdot 0.95 = 0.045 + 0.0475 = 0.0925 \)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(A|T+) = \frac{0.90 \cdot 0.05}{0.0925} = \frac{0.045}{0.0925} \approx 0.486 \)

Interpretace: Přestože test má vysokou citlivost, pravděpodobnost, že osoba s pozitivním výsledkem testu skutečně má alergii, je asi \(48{,}6\) %.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

N = osoba má nemoc

¬N = osoba nemá nemoc

T+ = test je pozitivní

Zadání:

P(N) = \(0.10\)

P(¬N) = \(0.90\)

P(T+|N) = \(0.85\)

P(T+|¬N) = \(0.15\)

Hledáme P(N|T+).

Bayesova věta:

\( P(N|T+) = \frac{P(T+|N) \cdot P(N)}{P(T+)} \)

Kde

\( P(T+) = P(T+|N) \cdot P(N) + P(T+|¬N) \cdot P(¬N) \)

Dosadíme:

\( P(T+) = 0.85 \cdot 0.10 + 0.15 \cdot 0.90 = 0.085 + 0.135 = 0.22 \)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(N|T+) = \frac{0.85 \cdot 0.10}{0.22} = \frac{0.085}{0.22} \approx 0.386 \)

Interpretace: I když test má poměrně dobrou citlivost, pravděpodobnost skutečné nemoci u osoby s pozitivním testem je asi \(38{,}6\) %.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

\(M = \text{osoba má vzácnou nemoc}\)

\(\neg M = \text{osoba nemoc nemá}\)

\(T^+ = \text{test je pozitivní}\)

Zadání:

\(P(M) = 0.02\)

\(P(\neg M) = 0.98\)

\(P(T^+|M) = 0.95\)

\(P(T^+|\neg M) = 0.04\)

Hledáme \(P(M|T^+)\).

Bayesova věta:

\( P(M|T^+) = \frac{P(T^+|M) \cdot P(M)}{P(T^+)} \)

Kde

\( P(T^+) = P(T^+|M) \cdot P(M) + P(T^+|\neg M) \cdot P(\neg M) \)

Dosadíme:

\( P(T^+) = 0.95 \cdot 0.02 + 0.04 \cdot 0.98 = 0.019 + 0.0392 = 0.0582 \)

Dosadíme do Bayesovy věty:

\( P(M|T^+) = \frac{0.95 \cdot 0.02}{0.0582} = \frac{0.019}{0.0582} \approx 0.326 \)

Závěr: Přes relativně vysokou citlivost testu, pravděpodobnost, že osoba s pozitivním výsledkem má skutečně vzácnou nemoc, je přibližně \(32{,}6\) %.

Řešení příkladu:

Nejprve si stanovíme události:

\(M = \text{osoba má genetickou mutaci}\)

\(\neg M = \text{osoba nemá genetickou mutaci}\)

\(T^+ = \text{test je pozitivní}\)

Údaje z příkladu:

• \(P(M) = 0.08\) (\(8\) % populace má mutaci)
• \(P(\neg M) = 1 – 0.08 = 0.92\)
• \(P(T^+ | M) = 0.92\) (citlivost testu – pravděpodobnost pozitivního testu, pokud má osoba mutaci)
• \(P(T^+ | \neg M) = 0.06\) (falešně pozitivní – pravděpodobnost pozitivního testu, pokud osoba mutaci nemá)

Chceme spočítat: \(P(M | T^+)\) – pravděpodobnost, že osoba má mutaci, pokud test vyšel pozitivní.

Podle Bayesovy věty platí:

\(P(M | T^+) = \frac{P(T^+ | M) \cdot P(M)}{P(T^+)}\)

Nejprve spočítáme \(P(T^+)\), což je celková pravděpodobnost, že test vyjde pozitivní:

\(P(T^+) = P(T^+ | M) \cdot P(M) + P(T^+ | \neg M) \cdot P(\neg M)\)

\(P(T^+) = 0.92 \cdot 0.08 + 0.06 \cdot 0.92\)

\(P(T^+) = 0.0736 + 0.0552 = 0.1288\)

Nyní dosadíme do vzorce pro \(P(M | T^+)\):

\(P(M | T^+) = \frac{0.92 \cdot 0.08}{0.1288} = \frac{0.0736}{0.1288} \approx 0.5717\)

Výsledek znamená, že pravděpodobnost, že osoba opravdu má genetickou mutaci, pokud test vyšel pozitivní, je přibližně \(57{,}17\) %.

Podrobný závěr:

I přes vysokou citlivost testu a relativně nízký počet falešně pozitivních výsledků není jistota, že osoba s pozitivním testem mutaci skutečně má – pravděpodobnost je zhruba \(57\) %. To ukazuje, jak důležitá je znalost prevalence mutace v populaci a správné použití Bayesovy věty při interpretaci výsledků testů.

Řešení příkladu:

Stanovíme si události:

\(N = \text{pacient je nemocný}\)

\(\neg N = \text{pacient není nemocný}\)

\(T^+ = \text{test je pozitivní}\)

Údaje:

• \(P(N) = 0.01\) (\(1\) % pacientů je nemocných)
• \(P(\neg N) = 0.99\)
• \(P(T^+ | N) = 0.99\) (test správně identifikuje nemocné)
• \(P(T^+ | \neg N) = 0.05\) (falešně pozitivní, protože test je správný u zdravých v \(95\) % případů)

Chceme najít \(P(N | T^+)\).

Podle Bayesovy věty:

\(P(N | T^+) = \frac{P(T^+ | N) \cdot P(N)}{P(T^+)}\)

Kde:

\(P(T^+) = P(T^+ | N) \cdot P(N) + P(T^+ | \neg N) \cdot P(\neg N)\)

\(P(T^+) = 0.99 \cdot 0.01 + 0.05 \cdot 0.99 = 0.0099 + 0.0495 = 0.0594\)

Dosadíme:

\(P(N | T^+) = \frac{0.99 \cdot 0.01}{0.0594} = \frac{0.0099}{0.0594} \approx 0.1667\)

Závěr:

Pravděpodobnost, že pacient s pozitivním testem je skutečně nemocný, je pouze asi \(16{,}67\) %. I přes vysokou přesnost testu je pravděpodobnost nízká kvůli velmi malé prevalenci nemoci v populaci.

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme události:

O = osoba má onemocnění

¬O = osoba nemá onemocnění

T+ = test je pozitivní

Údaje z příkladu:

• P(O) = \(0{,}05\) (\(5\) % populace má onemocnění)
• P(¬O) = \(1 – 0{,}05 = 0{,}95\)
• P(T+ | O) = \(0{,}90\) (citlivost testu – pravděpodobnost pozitivního testu, pokud má osoba onemocnění)
• P(T+ | ¬O) = \(0{,}07\) (falešně pozitivní – pravděpodobnost pozitivního testu, pokud osoba onemocnění nemá)

Chceme spočítat pravděpodobnost, že osoba má onemocnění, pokud test vyšel pozitivní, tj. \(P(O | T+)\).

Podle Bayesovy věty platí:

\(P(O | T+) = \frac{P(T+ | O) \times P(O)}{P(T+)}\)

Nejprve spočítáme \(P(T+)\), celkovou pravděpodobnost pozitivního testu:

\(P(T+) = P(T+ | O) \times P(O) + P(T+ | ¬O) \times P(¬O)\)

\(P(T+) = 0{,}90 \times 0{,}05 + 0{,}07 \times 0{,}95\)

\(P(T+) = 0{,}045 + 0{,}0665 = 0{,}1115\)

Nyní dosadíme do vzorce pro \(P(O | T+)\):

\(P(O | T+) = \frac{0{,}90 \times 0{,}05}{0{,}1115} = \frac{0{,}045}{0{,}1115} \approx 0{,}4036\)

Interpretace výsledku:

Pravděpodobnost, že osoba opravdu má onemocnění, pokud test vyšel pozitivní, je přibližně \(40{,}36\) %. I přes relativně vysokou citlivost testu a nízkou míru falešně pozitivních výsledků není jistota, že osoba je nemocná. Tento výsledek zdůrazňuje, jak důležitá je prevalence nemoci v populaci a správné pochopení Bayesovy věty při interpretaci výsledků testů.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

I = osoba je infikována

¬I = osoba není infikována

T+ = test je pozitivní

Údaje:

• P(I) = \(0{,}02\)
• P(¬I) = \(0{,}98\)
• P(T+ | I) = \(0{,}95\)
• P(T+ | ¬I) = \(0{,}04\)

Bayesova věta:

\(P(I | T+) = \frac{P(T+ | I) \times P(I)}{P(T+)}\)

Kde:

\(P(T+) = P(T+ | I) \times P(I) + P(T+ | ¬I) \times P(¬I) = 0{,}95 \times 0{,}02 + 0{,}04 \times 0{,}98 = 0{,}019 + 0{,}0392 = 0{,}0582\)

Dosazení:

\(P(I | T+) = \frac{0{,}019}{0{,}0582} \approx 0{,}3265\)

Závěr:

Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem je skutečně infikována, je přibližně \(32{,}65\) %. I přes vysokou citlivost testu je šance, že pozitivní test znamená skutečnou infekci, relativně nízká kvůli nízké prevalenci infekce v populaci.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

V = výrobek je vadný

¬V = výrobek není vadný

T+ = test ukáže chybu (pozitivní výsledek)

Údaje:

• P(V) = \(0{,}005\)
• P(¬V) = \(0{,}995\)
• P(T+ | V) = \(0{,}99\)
• P(T+ | ¬V) = \(0{,}03\)

Bayesova věta:

\(P(V | T+) = \frac{P(T+ | V) \times P(V)}{P(T+)}\)

Kde:

\(P(T+) = P(T+ | V) \times P(V) + P(T+ | ¬V) \times P(¬V) = 0{,}99 \times 0{,}005 + 0{,}03 \times 0{,}995 = 0{,}00495 + 0{,}02985 = 0{,}0348\)

Dosazení:

\(P(V | T+) = \frac{0{,}00495}{0{,}0348} \approx 0{,}1422\)

Závěr:

Pravděpodobnost, že výrobek je skutečně vadný, pokud test ukáže chybu, je asi \(14{,}22\) %. To znamená, že i když test je velmi citlivý, nízká prevalence vadných výrobků a relativně vysoký podíl falešně pozitivních testů znamenají, že pozitivní výsledek testu není stoprocentním důkazem vady výrobku.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

K = osoba je kuřák

¬K = osoba není kuřák

O = osoba onemocněla

Údaje:

• P(K) = \(0{,}10\)
• P(¬K) = \(0{,}90\)
• P(O | K) = \(0{,}30\)
• P(O | ¬K) = \(0{,}05\)

Chceme spočítat \(P(K | O)\).

Bayesova věta:

\(P(K | O) = \frac{P(O | K) \times P(K)}{P(O)}\)

Nejprve spočítáme \(P(O)\), pravděpodobnost onemocnění u náhodně vybrané osoby:

\(P(O) = P(O | K) \times P(K) + P(O | ¬K) \times P(¬K) = 0{,}30 \times 0{,}10 + 0{,}05 \times 0{,}90 = 0{,}03 + 0{,}045 = 0{,}075\)

Dosadíme do vzorce:

\(P(K | O) = \frac{0{,}30 \times 0{,}10}{0{,}075} = \frac{0{,}03}{0{,}075} = 0{,}4\)

Závěr:

Pravděpodobnost, že osoba, která onemocněla, je kuřák, je \(40\) %. To znamená, že i když je podíl kuřáků v populaci malý, významně ovlivňují výskyt onemocnění.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

\(N\) = pacient je nakažen

¬\(N\) = pacient není nakažen

\(T+\) = test je pozitivní

Údaje:

• \(P(N) = 0{,}01\)
• \(P(¬N) = 0{,}99\)
• \(P(T+ \mid N) = 0{,}99\)
• \(P(T+ \mid ¬N) = 0{,}02\)

Bayesova věta:

\(P(N \mid T+) = \frac{P(T+ \mid N) \times P(N)}{P(T+)}\)

Kde:

\(P(T+) = P(T+ \mid N) \times P(N) + P(T+ \mid ¬N) \times P(¬N) = 0{,}99 \times 0{,}01 + 0{,}02 \times 0{,}99 = 0{,}0099 + 0{,}0198 = 0{,}0297\)

Dosazení:

\(P(N \mid T+) = \frac{0{,}0099}{0{,}0297} \approx 0{,}3333\)

Závěr:

Pravděpodobnost, že pacient s pozitivním testem je skutečně nakažen, je přibližně \(33{,}33 \%\). I přes vysokou citlivost testu a nízkou míru falešně pozitivních výsledků je kvůli nízké prevalenci nemoci tato pravděpodobnost relativně nízká.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

\(A\) = osoba má alergii

¬\(A\) = osoba nemá alergii

\(T+\) = test je pozitivní

Údaje:

• \(P(A) = 0{,}15\)
• \(P(¬A) = 0{,}85\)
• \(P(T+ \mid A) = 0{,}85\)
• \(P(T+ \mid ¬A) = 0{,}10\)

Bayesova věta:

\(P(A \mid T+) = \frac{P(T+ \mid A) \times P(A)}{P(T+)}\)

Kde:

\(P(T+) = 0{,}85 \times 0{,}15 + 0{,}10 \times 0{,}85 = 0{,}1275 + 0{,}085 = 0{,}2125\)

Dosazení:

\(P(A \mid T+) = \frac{0{,}1275}{0{,}2125} \approx 0{,}6\)

Závěr:

Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem má alergii, je \(60 \%\). To znamená, že test je užitečný, ale není stoprocentně přesný, což musí lékař vzít v úvahu.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

\(D\) = řidič je pod vlivem alkoholu

¬\(D\) = řidič není pod vlivem alkoholu

\(T+\) = test je pozitivní

Údaje:

• \(P(D) = 0{,}03\)
• \(P(¬D) = 0{,}97\)
• \(P(T+ \mid D) = 0{,}98\)
• \(P(T+ \mid ¬D) = 0{,}05\)

Bayesova věta:

\(P(D \mid T+) = \frac{P(T+ \mid D) \times P(D)}{P(T+)}\)

Kde:

\(P(T+) = 0{,}98 \times 0{,}03 + 0{,}05 \times 0{,}97 = 0{,}0294 + 0{,}0485 = 0{,}0779\)

Dosazení:

\(P(D \mid T+) = \frac{0{,}0294}{0{,}0779} \approx 0{,}3774\)

Závěr:

Pravděpodobnost, že řidič s pozitivním testem je skutečně pod vlivem alkoholu, je asi \(37{,}74 \%\). I když je test citlivý, nízká prevalence stavu v populaci a falešně pozitivní výsledky ovlivňují interpretaci testu.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

\(M\) = osoba má mutaci

¬\(M\) = osoba mutaci nemá

\(T+\) = test je pozitivní

Údaje:

• \(P(M) = 0{,}002\)
• \(P(¬M) = 0{,}998\)
• \(P(T+ \mid M) = 0{,}96\)
• \(P(T+ \mid ¬M) = 0{,}015\)

Bayesova věta:

\(P(M \mid T+) = \frac{P(T+ \mid M) \times P(M)}{P(T+)}\)

Kde:

\(P(T+) = 0{,}96 \times 0{,}002 + 0{,}015 \times 0{,}998 = 0{,}00192 + 0{,}01497 = 0{,}01689\)

Dosazení:

\(P(M \mid T+) = \frac{0{,}00192}{0{,}01689} \approx 0{,}1137\)

Závěr:

Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem mutaci skutečně má, je přibližně \(11{,}37 \%\). Navzdory vysoké citlivosti testu a nízké míře falešně pozitivních výsledků nízká prevalence mutace v populaci snižuje pravděpodobnost skutečného nálezu.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

\(N =\) osoba má nádor

\(\neg N =\) osoba nádor nemá

\(T^+ =\) test je pozitivní

Údaje:

• \(P(N) = 0{,}03\)
• \(P(\neg N) = 0{,}97\)
• \(P(T^+ \mid N) = 0{,}92\)
• \(P(T^+ \mid \neg N) = 0{,}08\)

Bayesova věta:

\[ P(N \mid T^+) = \frac{P(T^+ \mid N) \cdot P(N)}{P(T^+)} \]

Kde:

\[ P(T^+) = 0{,}92 \cdot 0{,}03 + 0{,}08 \cdot 0{,}97 = 0{,}0276 + 0{,}0776 = 0{,}1052 \]

Dosazení:

\[ P(N \mid T^+) = \frac{0{,}0276}{0{,}1052} \approx 0{,}2624 \]

Závěr:

Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem má skutečně nádor, je asi \(26{,}24\) %. Přestože test je poměrně citlivý, relativně vysoká míra falešně pozitivních výsledků a nízká prevalence nádoru vedou k této relativně nízké pravděpodobnosti.

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme události:

A = osoba je alergická na pyl

¬A = osoba není alergická

T+ = test vyšel pozitivní

Data máme:

• P(A) = \(0{,}02\)
• P(¬A) = \(0{,}98\)
• P(T+ | A) = \(0{,}95\)
• P(T+ | ¬A) = \(0{,}10\)

Bayesova věta říká, že pravděpodobnost, že osoba je alergická, když test je pozitivní, je

\(P(A | T+) = \frac{P(T+ | A) \cdot P(A)}{P(T+)}\)

Kde \(P(T+)\) je celková pravděpodobnost, že test vyjde pozitivní, tedy

\(P(T+) = P(T+ | A) \cdot P(A) + P(T+ | ¬A) \cdot P(¬A)\)

Dosadíme hodnoty:

\(P(T+) = 0{,}95 \cdot 0{,}02 + 0{,}10 \cdot 0{,}98 = 0{,}019 + 0{,}098 = 0{,}117\)

Nyní spočítáme pravděpodobnost, že osoba opravdu alergická je, pokud má pozitivní test:

\(P(A | T+) = \frac{0{,}95 \cdot 0{,}02}{0{,}117} = \frac{0{,}019}{0{,}117} \approx 0{,}1624\)

Závěr: I přes pozitivní test je pravděpodobnost, že je osoba opravdu alergická, jen asi \(16{,}24\,\%\). Je to proto, že alergických je velmi málo, a falešné pozitiva mají významný vliv.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

V = součástka je vadná

¬V = součástka není vadná

T+ = kontrola ukáže vadnou

Údaje:

• P(V) = \(0{,}03\)
• P(¬V) = \(0{,}97\)
• P(T+ | V) = \(0{,}90\)
• P(T+ | ¬V) = \(0{,}05\)

Bayesova věta:

\(P(V | T+) = \frac{P(T+ | V) \cdot P(V)}{P(T+)}\)

Kde

\(P(T+) = P(T+ | V) \cdot P(V) + P(T+ | ¬V) \cdot P(¬V) = 0{,}90 \cdot 0{,}03 + 0{,}05 \cdot 0{,}97 = 0{,}027 + 0{,}0485 = 0{,}0755\)

Dosadíme:

\(P(V | T+) = \frac{0{,}027}{0{,}0755} \approx 0{,}3576\)

Závěr: I když kontrola ukáže, že je součástka vadná, pravděpodobnost, že opravdu vadná je asi \(35{,}76\,\%\). To ukazuje, že i dobrý test může mít omezení, zvláště když je vadných součástek málo.

Řešení příkladu:

Definice událostí:

N = má nemoc X

¬N = nemá nemoc X

T+ = test pozitivní

Data:

• P(N) = \(0{,}05\)
• P(¬N) = \(0{,}95\)
• P(T+ | N) = \(0{,}99\)
• P(T+ | ¬N) = \(0{,}02\)

Bayesova věta říká:

\(P(N | T+) = \frac{P(T+ | N) \cdot P(N)}{P(T+)}\)

Kde \(P(T+) = P(T+ | N) \cdot P(N) + P(T+ | ¬N) \cdot P(¬N)\)

Dosazení:

\(P(T+) = 0{,}99 \cdot 0{,}05 + 0{,}02 \cdot 0{,}95 = 0{,}0495 + 0{,}019 = 0{,}0685\)

Výpočet:

\(P(N | T+) = \frac{0{,}0495}{0{,}0685} \approx 0{,}7226\)

Závěr: Pravděpodobnost, že člověk s pozitivním testem nemoc opravdu má, je asi \(72{,}26\,\%\), což ukazuje, že test je relativně spolehlivý.

Řešení příkladu:

Definice událostí:

D = osoba užívá drogy

¬D = osoba neužívá drogy

T+ = test pozitivní

Data:

• P(D) = 0,04
• P(¬D) = 0,96
• P(T+ | D) = 0,98
• P(T+ | ¬D) = 0,05

Bayesova věta:

P(D | T+) = (P(T+ | D) * P(D)) / P(T+)

Kde P(T+) = P(T+ | D)*P(D) + P(T+ | ¬D)*P(¬D)

Dosadíme:

P(T+) = 0,98 * 0,04 + 0,05 * 0,96 = 0,0392 + 0,048 = 0,0872

Výpočet:

P(D | T+) = 0,0392 / 0,0872 ≈ 0,4495

Závěr: Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem skutečně drogy užívá, je asi 44,95 %, tedy méně než polovina. Test tedy není sám o sobě úplně spolehlivý, zvlášť při nízké prevalenci užívání.

Řešení příkladu:

Události:

T = student má talent

¬T = student nemá talent

Test pozitivní = T+

Údaje:

• P(T) = 0,15
• P(¬T) = 0,85
• P(T+ | T) = 0,85
• P(T+ | ¬T) = 0,20

Bayesova věta:

P(T | T+) = (P(T+ | T) * P(T)) / P(T+)

Kde P(T+) = P(T+ | T)*P(T) + P(T+ | ¬T)*P(¬T)

Dosadíme:

P(T+) = 0,85 * 0,15 + 0,20 * 0,85 = 0,1275 + 0,17 = 0,2975

Výpočet:

P(T | T+) = 0,1275 / 0,2975 ≈ 0,4286

Závěr: Pravděpodobnost, že student s pozitivním testem má talent, je asi 42,86 %. I když test dokáže dobře odhalit talent, falešná pozitiva snižují jistotu výsledku.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

N = pacient nakažený

¬N = pacient nenakažený

T+ = test pozitivní

Údaje:

• P(N) = 0,01
• P(¬N) = 0,99
• P(T+ | N) = 0,99
• P(T+ | ¬N) = 0,03

Bayesova věta:

P(N | T+) = (P(T+ | N) * P(N)) / P(T+)

Kde P(T+) = P(T+ | N)*P(N) + P(T+ | ¬N)*P(¬N)

Dosazení:

P(T+) = 0,99 * 0,01 + 0,03 * 0,99 = 0,0099 + 0,0297 = 0,0396

Výpočet:

P(N | T+) = 0,0099 / 0,0396 ≈ 0,25

Závěr: I přes vysokou přesnost testu je pravděpodobnost skutečné nákazy po pozitivním testu jen asi 25 %, kvůli nízké prevalenci nákazy a relativně vysoké falešné pozitivitě.

Řešení příkladu:

Události:

K = kuřák

¬K = nekuřák

T+ = test pozitivní

Data:

• P(K) = 0,10
• P(¬K) = 0,90
• P(T+ | K) = 0,92
• P(T+ | ¬K) = 0,08

Bayesova věta:

P(K | T+) = (P(T+ | K) * P(K)) / P(T+)

Kde P(T+) = P(T+ | K)*P(K) + P(T+ | ¬K)*P(¬K)

Dosadíme:

P(T+) = 0,92 * 0,10 + 0,08 * 0,90 = 0,092 + 0,072 = 0,164

Výpočet:

P(K | T+) = 0,092 / 0,164 ≈ 0,56098

Závěr: Pravděpodobnost, že osoba s pozitivním testem je kuřák, je asi 56,10 %. I když test je poměrně přesný, falešná pozitiva ovlivňují výsledek.

Řešení příkladu:

Definujeme:

\(K\) = vzorek kontaminovaný

\(\neg K\) = vzorek není kontaminovaný

\(T+\) = test pozitivní

Údaje:

• \(P(K) = 0,005\)
• \(P(\neg K) = 0,995\)
• \(P(T+ \mid K) = 0,98\)
• \(P(T+ \mid \neg K) = 0,04\)

Bayesova věta:

\(P(K \mid T+) = \frac{P(T+ \mid K) \cdot P(K)}{P(T+)}\)

Kde

\(P(T+) = P(T+ \mid K) \cdot P(K) + P(T+ \mid \neg K) \cdot P(\neg K) = 0,98 \cdot 0,005 + 0,04 \cdot 0,995 = 0,0049 + 0,0398 = 0,0447\)

Výpočet:

\(P(K \mid T+) = \frac{0,0049}{0,0447} \approx 0,1096\)

Závěr: Pravděpodobnost, že vzorek s pozitivním testem je opravdu kontaminovaný, je asi \(10,96\) %. I přes vysokou citlivost testu prevalenci nízká prevalenci ovlivňuje výsledek.

Řešení příkladu:

Definice událostí:

\(V\) = má vysoký krevní tlak

\(\neg V\) = nemá vysoký krevní tlak

\(T+\) = test pozitivní

Data:

• \(P(V) = 0,07\)
• \(P(\neg V) = 0,93\)
• \(P(T+ \mid V) = 0,90\)
• \(P(T+ \mid \neg V) = 0,12\)

Bayesova věta:

\(P(V \mid T+) = \frac{P(T+ \mid V) \cdot P(V)}{P(T+)}\)

Kde

\(P(T+) = P(T+ \mid V) \cdot P(V) + P(T+ \mid \neg V) \cdot P(\neg V) = 0,90 \cdot 0,07 + 0,12 \cdot 0,93 = 0,063 + 0,1116 = 0,1746\)

Výpočet:

\(P(V \mid T+) = \frac{0,063}{0,1746} \approx 0,3608\)

Závěr: Pravděpodobnost, že člověk s pozitivním testem má opravdu vysoký krevní tlak, je asi \(36,08\) %. I přes poměrně dobrou detekci test není zcela spolehlivý kvůli falešným pozitivům a nízké prevalenci.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

\(I\) = osoba infikovaná virem Z

\(\neg I\) = osoba není infikovaná

\(T+\) = test pozitivní

Údaje:

• \(P(I) = 0,03\)
• \(P(\neg I) = 0,97\)
• \(P(T+ \mid I) = 0,95\)
• \(P(T+ \mid \neg I) = 0,07\)

Bayesova věta:

\(P(I \mid T+) = \frac{P(T+ \mid I) \cdot P(I)}{P(T+)}\)

Kde

\(P(T+) = P(T+ \mid I) \cdot P(I) + P(T+ \mid \neg I) \cdot P(\neg I) = 0,95 \cdot 0,03 + 0,07 \cdot 0,97 = 0,0285 + 0,0679 = 0,0964\)

Výpočet:

\(P(I \mid T+) = \frac{0,0285}{0,0964} \approx 0,2957\)

Závěr: I přes vysokou citlivost testu je pravděpodobnost skutečné infekce po pozitivním testu pouze asi \(29,57\) %, což ukazuje, jak důležitá je prevalenční informace pro správnou interpretaci výsledků testu.

Řešení příkladu:

Nejprve si ujasníme, co jednotlivá čísla znamenají a co chceme spočítat.

Máme události:

• \(A =\) pacient má bakterii \(X\)
• \(B =\) test je pozitivní

Víme, že:

• \(P(A) = 0{,}04\) (\(4\) % pacientů má bakterii)
• \(P(\bar{A}) = 1 – P(A) = 0{,}96\) (\(96\) % pacientů bakterii nemá)
• \(P(B|A) = 0{,}92\) (test je pozitivní, pokud pacient má bakterii – citlivost)
• \(P(B|\bar{A}) = 0{,}08\) (test je falešně pozitivní u zdravého pacienta)

Chceme spočítat pravděpodobnost, že pacient skutečně má bakterii, pokud je test pozitivní, tedy \(P(A|B)\).

Podle Bayesovy věty platí:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar{A}) \cdot P(\bar{A})} \]

Nyní dosadíme známé hodnoty:

\[ P(A|B) = \frac{0{,}92 \times 0{,}04}{0{,}92 \times 0{,}04 + 0{,}08 \times 0{,}96} = \frac{0{,}0368}{0{,}0368 + 0{,}0768} = \frac{0{,}0368}{0{,}1136} \]

Vypočítáme zlomek:

\[ P(A|B) \approx 0{,}324 \]

Tedy pravděpodobnost, že pacient s pozitivním testem opravdu bakterii má, je přibližně \(32{,}4\) %. To znamená, že i přes pozitivní výsledek testu je více než polovina pacientů pravděpodobně zdravých.

Tento výsledek ukazuje důležitost porozumění pravděpodobnostem a testům – i test s vysokou citlivostí může vést k falešně pozitivním výsledkům, zvlášť pokud je nemoc vzácná.

Řešení příkladu:

Nejprve definujeme události:

• \(A =\) student má alergii
• \(B =\) test je pozitivní

Víme:

• \(P(A) = 0{,}10\)
• \(P(\bar{A}) = 0{,}90\)
• \(P(B|A) = 0{,}85\)
• \(P(B|\bar{A}) = 0{,}15\)

Chceme spočítat \(P(A|B)\) pomocí Bayesovy věty:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\bar{A}) \cdot P(\bar{A})} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ P(A|B) = \frac{0{,}85 \times 0{,}10}{0{,}85 \times 0{,}10 + 0{,}15 \times 0{,}90} = \frac{0{,}085}{0{,}085 + 0{,}135} = \frac{0{,}085}{0{,}22} \]

Vypočítáme:

\[ P(A|B) \approx 0{,}386 \]

Tedy pravděpodobnost, že student s pozitivním testem má alergii, je asi \(38{,}6\) %. I když test není špatný, falešně pozitivní výsledky jsou poměrně časté, proto pozitivní test neznamená jistotu alergie.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

• \(V =\) výrobek je vadný
• \(T =\) test je pozitivní

Známé pravděpodobnosti:

• \(P(V) = 0{,}05\)
• \(P(\bar{V}) = 0{,}95\)
• \(P(T|V) = 0{,}90\)
• \(P(T|\bar{V}) = 0{,}05\)

Bayesova věta:

\[ P(V|T) = \frac{P(T|V) \cdot P(V)}{P(T|V) \cdot P(V) + P(T|\bar{V}) \cdot P(\bar{V})} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ P(V|T) = \frac{0{,}90 \times 0{,}05}{0{,}90 \times 0{,}05 + 0{,}05 \times 0{,}95} = \frac{0{,}045}{0{,}045 + 0{,}0475} = \frac{0{,}045}{0{,}0925} \]

Výpočet:

\[ P(V|T) \approx 0{,}486 \]

Tedy pravděpodobnost, že výrobek je skutečně vadný, pokud test vyšel pozitivně, je přibližně \(48{,}6\) %. Test je užitečný, ale výsledky je potřeba interpretovat s ohledem na pravděpodobnost vady v populaci výrobků.

Řešení příkladu:

Definice událostí:

• \(N =\) vozidlo má nefunkční brzdy
• \(P =\) test je pozitivní

Známé hodnoty:

• \(P(N) = 0{,}03\)
• \(P(\bar{N}) = 0{,}97\)
• \(P(P|N) = 0{,}95\)
• \(P(P|\bar{N}) = 0{,}07\)

Bayesova věta:

\[ P(N|P) = \frac{P(P|N) \cdot P(N)}{P(P|N) \cdot P(N) + P(P|\bar{N}) \cdot P(\bar{N})} \]

Dosazení:

\[ P(N|P) = \frac{0{,}95 \times 0{,}03}{0{,}95 \times 0{,}03 + 0{,}07 \times 0{,}97} = \frac{0{,}0285}{0{,}0285 + 0{,}0679} = \frac{0{,}0285}{0{,}0964} \]

Výsledek:

\[ P(N|P) \approx 0{,}295 \]

Protože je vzácné, že brzdy selžou, pravděpodobnost, že vozidlo s pozitivním testem má skutečně nefunkční brzdy, je asi \(29{,}5\) \%. Test tedy není stoprocentní zárukou diagnózy.

Řešení příkladu:

Definujeme:

• \(M =\) pacient má nemoc
• \(T =\) test je pozitivní

Známé hodnoty:

• \(P(M) = 0{,}02\)
• \(P(\bar{M}) = 0{,}98\)
• \(P(T|M) = 0{,}99\)
• \(P(T|\bar{M}) = 0{,}04\)

Bayesova věta:

\[ P(M|T) = \frac{P(T|M) \cdot P(M)}{P(T|M) \cdot P(M) + P(T|\bar{M}) \cdot P(\bar{M})} \]

Dosazení:

\[ P(M|T) = \frac{0{,}99 \times 0{,}02}{0{,}99 \times 0{,}02 + 0{,}04 \times 0{,}98} = \frac{0{,}0198}{0{,}0198 + 0{,}0392} = \frac{0{,}0198}{0{,}059} \]

Výpočet:

\[ P(M|T) \approx 0{,}336 \]

I přes vysokou citlivost testu je pravděpodobnost skutečné nemoci u pozitivního výsledku asi \(33{,}6\) \%, což ukazuje, že i malé procento falešně pozitivních testů může výrazně ovlivnit interpretaci výsledku při nízké prevalenci nemoci.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

• \(K =\) osoba je kuřák
• \(N =\) osoba má plicní nemoc

Známé pravděpodobnosti:

• \(P(K) = 0{,}20\)
• \(P(\bar{K}) = 0{,}80\)
• \(P(N|K) = 0{,}15\)
• \(P(N|\bar{K}) = 0{,}05\)

Nejprve spočítáme celkovou pravděpodobnost onemocnění:

\[ P(N) = P(N|K) \cdot P(K) + P(N|\bar{K}) \cdot P(\bar{K}) = 0{,}15 \times 0{,}20 + 0{,}05 \times 0{,}80 = 0{,}03 + 0{,}04 = 0{,}07 \]

Pomocí Bayesovy věty vypočítáme pravděpodobnost, že osoba s nemocí je kuřák:

\[ P(K|N) = \frac{P(N|K) \cdot P(K)}{P(N)} = \frac{0{,}15 \times 0{,}20}{0{,}07} = \frac{0{,}03}{0{,}07} \]

Výsledek:

\[ P(K|N) \approx 0{,}429 \]

Tedy, osoba s plicní nemocí je s pravděpodobností asi \(42{,}9\) \% kuřákem. Přestože kuřáci tvoří jen \(20\) \% populace, jejich vyšší riziko nemoci způsobuje, že jsou mezi nemocnými častější.

Řešení příkladu:

Definujeme:

• \(H =\) člověk má HIV
• \(T =\) test je pozitivní

Známé hodnoty:

• \(P(H) = 0{,}003\)
• \(P(\bar{H}) = 0{,}997\)
• \(P(T|H) = 0{,}997\)
• \(P(T|\bar{H}) = 0{,}005\)

Bayesova věta:

\[ P(H|T) = \frac{P(T|H) \cdot P(H)}{P(T|H) \cdot P(H) + P(T|\bar{H}) \cdot P(\bar{H})} \]

Dosadíme:

\[ P(H|T) = \frac{0{,}997 \times 0{,}003}{0{,}997 \times 0{,}003 + 0{,}005 \times 0{,}997} = \frac{0{,}002991}{0{,}002991 + 0{,}004985} = \frac{0{,}002991}{0{,}007976} \]

Výpočet:

\[ P(H|T) \approx 0{,}375 \]

I přes velmi přesný test je kvůli nízké prevalenci HIV pravděpodobnost skutečné infekce po pozitivním testu pouze asi \(37{,}5\) \%.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

• \(I = \text{člověk je infikován}\)
• \(T = \text{test je pozitivní}\)

Známé hodnoty:

• \(P(I) = 0{,}04\)
• \(P(\bar{I}) = 0{,}96\)
• \(P(T|I) = 0{,}98\)
• \(P(T|\bar{I}) = 0{,}03\)

Bayesova věta:

\[ P(I|T) = \frac{P(T|I) \cdot P(I)}{P(T|I) \cdot P(I) + P(T|\bar{I}) \cdot P(\bar{I})} \]

Dosadíme:

\[ P(I|T) = \frac{0{,}98 \times 0{,}04}{0{,}98 \times 0{,}04 + 0{,}03 \times 0{,}96} = \frac{0{,}0392}{0{,}0392 + 0{,}0288} = \frac{0{,}0392}{0{,}068} \]

Výsledek:

\[ P(I|T) \approx 0{,}576 \]

Protože je prevalence poměrně nízká, pozitivní test znamená asi \(57{,}6\,\%\) pravděpodobnost skutečné infekce.

Řešení příkladu:

Definice událostí:

• \(K = \text{vzorek je kontaminovaný}\)
• \(T = \text{test je pozitivní}\)

Známé hodnoty:

• \(P(K) = 0{,}01\)
• \(P(\bar{K}) = 0{,}99\)
• \(P(T|K) = 0{,}92\)
• \(P(T|\bar{K}) = 0{,}08\)

Bayesova věta:

\[ P(K|T) = \frac{P(T|K) \cdot P(K)}{P(T|K) \cdot P(K) + P(T|\bar{K}) \cdot P(\bar{K})} \]

Dosadíme hodnoty:

\[ P(K|T) = \frac{0{,}92 \times 0{,}01}{0{,}92 \times 0{,}01 + 0{,}08 \times 0{,}99} = \frac{0{,}0092}{0{,}0092 + 0{,}0792} = \frac{0{,}0092}{0{,}0884} \]

Výsledek:

\[ P(K|T) \approx 0{,}104 \]

Protože je kontaminace vzácná, i přes relativně přesný test je pravděpodobnost skutečné kontaminace po pozitivním testu pouze asi \(10{,}4\,\%\).

Řešení příkladu:

Definujeme:

• \(P = \text{osoba má pojištění}\)
• \(N = \text{osoba měla nehodu}\)

Známé hodnoty:

• \(P(P) = 0{,}12\)
• \(P(\bar{P}) = 0{,}88\)
• \(P(N|P) = 0{,}08\)
• \(P(N|\bar{P}) = 0{,}15\)

Nejprve spočítáme pravděpodobnost nehody v populaci:

\[ P(N) = P(N|P) \cdot P(P) + P(N|\bar{P}) \cdot P(\bar{P}) = 0{,}08 \times 0{,}12 + 0{,}15 \times 0{,}88 = 0{,}0096 + 0{,}132 = 0{,}1416 \]

Bayesovou větou spočítáme pravděpodobnost, že osoba, která měla nehodu, měla pojištění:

\[ P(P|N) = \frac{P(N|P) \cdot P(P)}{P(N)} = \frac{0{,}08 \times 0{,}12}{0{,}1416} = \frac{0{,}0096}{0{,}1416} \]

Výpočet:

\[ P(P|N) \approx 0{,}068 \]

Tedy pravděpodobnost, že osoba s nehodou byla pojištěná, je asi \(6{,}8\,\%\). Toto číslo je nízké hlavně proto, že většina lidí není pojištěná a mají vyšší pravděpodobnost nehody.

Řešení příkladu:

Nejdříve si nadefinujeme události:

• \(A\): řidič je začátečník
• \(B\): řidič je zkušený
• \(N\): došlo k nehodě

Podle zadání platí:

• \(P(A) = 0,3\)
• \(P(B) = 0,7\)
• \(P(N|A) = 0,2\)
• \(P(N|B) = 0,05\)

Naším cílem je spočítat pravděpodobnost \(P(A|N)\), tedy pravděpodobnost, že řidič je začátečník za předpokladu, že došlo k nehodě.

Podle Bayesovy věty platí:

\(P(A|N) = \frac{P(N|A) \cdot P(A)}{P(N)}\)

Kde \(P(N)\) je celková pravděpodobnost nehody, kterou spočítáme jako:

\(P(N) = P(N|A) \cdot P(A) + P(N|B) \cdot P(B)\)

Dosadíme hodnoty:

\(P(N) = 0,2 \cdot 0,3 + 0,05 \cdot 0,7 = 0,06 + 0,035 = 0,095\)

Nyní spočítáme \(P(A|N)\):

\(P(A|N) = \frac{0,2 \cdot 0,3}{0,095} = \frac{0,06}{0,095} \approx 0,6316\)

Tedy pravděpodobnost, že řidič, který způsobil nehodu, je začátečník, je přibližně \(63,16 \%\).

Tento výsledek dává smysl, protože začátečníci mají vyšší pravděpodobnost nehody, a proto je pravděpodobné, že nehody jsou častěji způsobeny začátečníky, i když jich je ve městě méně než zkušených řidičů.

Řešení příkladu:

Nejdříve si definujeme události:

• \(A\): pacient je z oddělení \(A\)
• \(B\): pacient je z oddělení \(B\)
• \(N\): pacient má nemoc

Zadání nám dává tyto pravděpodobnosti:

• \(P(A) = 0,4\)
• \(P(B) = 0,6\)
• \(P(N|A) = 0,1\)
• \(P(N|B) = 0,05\)

Naším cílem je zjistit pravděpodobnost \(P(A|N)\), tedy pravděpodobnost, že pacient pochází z oddělení \(A\), pokud má nemoc.

Podle Bayesovy věty platí:

\(P(A|N) = \frac{P(N|A) \cdot P(A)}{P(N)}\)

Kde \(P(N)\) je celková pravděpodobnost, že pacient má nemoc:

\(P(N) = P(N|A) \cdot P(A) + P(N|B) \cdot P(B) = 0,1 \cdot 0,4 + 0,05 \cdot 0,6 = 0,04 + 0,03 = 0,07\)

Nyní spočítáme \(P(A|N)\):

\(P(A|N) = \frac{0,1 \cdot 0,4}{0,07} = \frac{0,04}{0,07} \approx 0,5714\)

Tedy pravděpodobnost, že pacient s nemocí pochází z oddělení \(A\), je přibližně \(57,14 \%\).

To znamená, že i když je více pacientů z oddělení \(B\), nemoc je častější na oddělení \(A\), takže je větší šance, že nemocný pacient je z oddělení \(A\).

Řešení příkladu:

Definujeme události:

• \(N\): člověk je nemocný
• \(Z\): člověk je zdravý (negace události \(N\))
• \(T\): test je pozitivní

Podle zadání máme:

• \(P(N) = 0,01\)
• \(P(Z) = 0,99\)
• \(P(T|N) = 0,98\) (pravděpodobnost správného pozitivního výsledku)
• \(P(T|Z) = 0,02\) (pravděpodobnost falešného pozitivního výsledku)

Chceme zjistit pravděpodobnost, že člověk s pozitivním testem je skutečně nemocný, tedy \(P(N|T)\).

Podle Bayesovy věty:

\(P(N|T) = \frac{P(T|N) \cdot P(N)}{P(T)}\)

Kde \(P(T)\) je celková pravděpodobnost pozitivního výsledku testu:

\(P(T) = P(T|N) \cdot P(N) + P(T|Z) \cdot P(Z) = 0,98 \cdot 0,01 + 0,02 \cdot 0,99 = 0,0098 + 0,0198 = 0,0296\)

Nyní spočítáme \(P(N|T)\):

\(P(N|T) = \frac{0,98 \cdot 0,01}{0,0296} = \frac{0,0098}{0,0296} \approx 0,3311\)

To znamená, že i když má člověk pozitivní test, pravděpodobnost, že je skutečně nemocný, je přibližně \(33,11 \%\). Tento výsledek ukazuje, jak důležité je zohlednit četnost výskytu nemoci v populaci a pravděpodobnost falešných pozitivních výsledků při interpretaci testů.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

• \( L_1 \): výrobek je z linky \( L_1 \)
• \( L_2 \): výrobek je z linky \( L_2 \)
• \( V \): výrobek je vadný

Zadání nám říká:

• \( P(L_1) = 0{,}6 \)
• \( P(L_2) = 0{,}4 \)
• \( P(V \mid L_1) = 0{,}01 \)
• \( P(V \mid L_2) = 0{,}02 \)

Chceme zjistit \( P(L_2 \mid V) \) – pravděpodobnost, že vadný výrobek pochází z linky \( L_2 \).

Nejdříve spočítáme pravděpodobnost, že výrobek je vadný (\( P(V) \)):

\( P(V) = P(V \mid L_1) \cdot P(L_1) + P(V \mid L_2) \cdot P(L_2) = 0{,}01 \cdot 0{,}6 + 0{,}02 \cdot 0{,}4 = 0{,}006 + 0{,}008 = 0{,}014 \)

Podle Bayesovy věty platí:

\( P(L_2 \mid V) = \frac{P(V \mid L_2) \cdot P(L_2)}{P(V)} = \frac{0{,}02 \cdot 0{,}4}{0{,}014} = \frac{0{,}008}{0{,}014} \approx 0{,}5714 \)

Tedy pravděpodobnost, že vadný výrobek pochází z linky \( L_2 \), je přibližně \( 57{,}14 \% \).

I když linka \( L_2 \) vyrábí méně výrobků, vyšší pravděpodobnost vady znamená, že více vadných výrobků pochází z této linky.

Řešení příkladu:

Definujeme události:

• \( X \): žák je ze třídy \( X \)
• \( Y \): žák je ze třídy \( Y \)
• \( B \): žák má brýle

Nejdříve spočítáme pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák je ze třídy \( X \) nebo \( Y \):

• \( P(X) = \frac{25}{25 + 35} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167 \)
• \( P(Y) = \frac{35}{60} = \frac{7}{12} \approx 0{,}5833 \)

Dále spočítáme pravděpodobnost, že žák ze třídy má brýle:

• \( P(B \mid X) = \frac{5}{25} = 0{,}2 \)
• \( P(B \mid Y) = \frac{7}{35} = 0{,}2 \)

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný žák má brýle, je:

\( P(B) = P(B \mid X) \cdot P(X) + P(B \mid Y) \cdot P(Y) = 0{,}2 \cdot 0{,}4167 + 0{,}2 \cdot 0{,}5833 = 0{,}08334 + 0{,}11666 = 0{,}2 \)

Podle Bayesovy věty spočítáme pravděpodobnost, že žák s brýlemi pochází z třídy \( X \):

\( P(X \mid B) = \frac{P(B \mid X) \cdot P(X)}{P(B)} = \frac{0{,}2 \cdot 0{,}4167}{0{,}2} = 0{,}4167 \)

Tedy pravděpodobnost, že žák s brýlemi je ze třídy \( X \), je přibližně \( 41{,}67 \% \).

Závěr je, že vzhledem k rovnoměrnému podílu brýlatých žáků v obou třídách, se pravděpodobnost shoduje s podílem žáků z třídy \( X \) v celé škole.