1. Vyřešte soustavu rovnic metodou Gaussovy eliminace: \( \begin{cases} 2x + 3y – z = 5 \\ 4x + y + 2z = 6 \\ -2x + 5y + 3z = 7 \end{cases} \)
Řešení:
Nejprve zapíšeme rozšířenou matici soustavy:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 4 & 1 & 2 & | & 6 \\ -2 & 5 & 3 & | & 7 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & -5 & 4 & | & -4 \\ -2 & 5 & 3 & | & 7 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & -5 & 4 & | & -4 \\ 0 & 8 & 2 & | & 12 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek -5 pro jednotku:
\[ R_2 := \frac{1}{-5} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{5} & | & \frac{4}{5} \\ 0 & 8 & 2 & | & 12 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v řádcích 1 a 3:
\[ R_1 := R_1 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 & -\frac{1}{5} & | & \frac{25}{6} \\ 0 & 1 & -\frac{4}{5} & | & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 3 & | & 2 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek 3 pro jednotku na pozici (3,3):
\[ R_3 := \frac{1}{3} R_3 \Rightarrow z = \frac{2}{3} \]Dosadíme zpět pro y:
\[ y – \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \Rightarrow y = \frac{4}{5} + \frac{8}{15} = \frac{12}{15} + \frac{8}{15} = \frac{20}{15} = \frac{4}{3} \]Dosadíme zpět pro x:
\[ 2x + 3 \cdot \frac{4}{3} – \frac{2}{3} = 5 \Rightarrow 2x + 4 – \frac{2}{3} = 5 \Rightarrow 2x + \frac{10}{3} = 5 \Rightarrow 2x = \frac{15}{3} – \frac{10}{3} = \frac{5}{3} \Rightarrow x = \frac{5}{6} \]Řešení soustavy je tedy:
\[ x = \frac{5}{6}, \quad y = \frac{4}{3}, \quad z = \frac{2}{3} \]2. Najděte řešení soustavy rovnic metodou Gaussovy eliminace: \( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + 3z = 14 \\ -x + 4y – z = -2 \end{cases} \)
Řešení:
Zápis rozšířené matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 3 & | & 14 \\ -1 & 4 & -1 & | & -2 \end{bmatrix} \]Získáme nulu pod prvním prvkem prvního sloupce:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & 1 & | & 2 \\ -1 & 4 & -1 & | & -2 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 5 & 0 & | & 4 \end{bmatrix} \]Získáme jedničku na pozici (2,2) dělením druhého řádku -3:
\[ R_2 := -\frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & 5 & 0 & | & 4 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v řádcích 1 a 3:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{4}{3} & | & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & 5 & 0 & | & 4 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 5 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{4}{3} & | & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & | & \frac{22}{3} \end{bmatrix} \]Dělením třetího řádku číslem \( \frac{5}{3} \) získáme jedničku:
\[ R_3 := \frac{3}{5} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{4}{3} & | & \frac{20}{3} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{22}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v řádcích 1 a 2:
\[ R_1 := R_1 – \frac{4}{3} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{20}{3} – \frac{4}{3} \cdot \frac{22}{5} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{22}{5} \end{bmatrix} \] \[ \frac{20}{3} – \frac{4}{3} \cdot \frac{22}{5} = \frac{20}{3} – \frac{88}{15} = \frac{100}{15} – \frac{88}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \] \[ R_2 := R_2 + \frac{1}{3} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & -\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{22}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{22}{5} \end{bmatrix} \] \[ -\frac{2}{3} + \frac{22}{15} = -\frac{10}{15} + \frac{22}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{4}{5}, \quad y = \frac{4}{5}, \quad z = \frac{22}{5} \]3. Řešte soustavu rovnic Gaussovou eliminací: \( \begin{cases} 3x – y + 2z = 5 \\ x + 4y – z = 6 \\ 2x – 3y + 3z = 4 \end{cases} \)
Řešení:
Nejprve zapíšeme rozšířenou matici soustavy:
\[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 5 \\ 1 & 4 & -1 & | & 6 \\ 2 & -3 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \]Vyměníme první a druhý řádek, aby byl na pozici (1,1) jednička:
\[ R_1 \leftrightarrow R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | & 6 \\ 3 & -1 & 2 & | & 5 \\ 2 & -3 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | & 6 \\ 0 & -13 & 5 & | & -13 \\ 2 & -3 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | & 6 \\ 0 & -13 & 5 & | & -13 \\ 0 & -11 & 5 & | & -8 \end{bmatrix} \]Dělením druhého řádku -13 získáme jednotku na pozici (2,2):
\[ R_2 := -\frac{1}{13} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{13} & | & 1 \\ 0 & -11 & 5 & | & -8 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v řádcích 1 a 3:
\[ R_1 := R_1 – 4 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{7}{13} & | & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{5}{13} & | & 1 \\ 0 & 0 & \frac{10}{13} & | & 3 \end{bmatrix} \]Dělením třetího řádku \(\frac{10}{13}\) získáme jedničku:
\[ R_3 := \frac{13}{10} R_3 \Rightarrow z = \frac{39}{10} \]Dosadíme zpět pro y:
\[ y – \frac{5}{13} \cdot \frac{39}{10} = 1 \Rightarrow y = 1 + \frac{195}{130} = 1 + \frac{15}{10} = \frac{5}{2} \]Dosadíme zpět pro x:
\[ x + 4 \cdot \frac{5}{2} – \frac{39}{10} = 6 \Rightarrow x = 6 – 10 + \frac{39}{10} = -4 + \frac{39}{10} = -\frac{40}{10} + \frac{39}{10} = -\frac{1}{10} \]Řešení soustavy je tedy:
\[ x = -\frac{1}{10}, \quad y = \frac{5}{2}, \quad z = \frac{39}{10} \]4. Řešte soustavu: \( \begin{cases} x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + 5y + 2z = 18 \\ 3x + y + 4z = 20 \end{cases} \)
Řešení:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 2 & 5 & 2 & | & 18 \\ 3 & 1 & 4 & | & 20 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & -4 & | & -10 \\ 3 & 1 & 4 & | & 20 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & -4 & | & -10 \\ 0 & -5 & -5 & | & -22 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v řádcích 3:
\[ R_3 := R_3 + 5 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & -4 & | & -10 \\ 0 & 0 & -25 & | & -72 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek -25:
\[ R_3 := -\frac{1}{25} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & -4 & | & -10 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{72}{25} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v řádcích 1 a 2:
\[ R_1 := R_1 – 3 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 14 – 3 \cdot \frac{72}{25} \\ 0 & 1 & -4 & | & -10 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{72}{25} \end{bmatrix} \] \[ 14 – \frac{216}{25} = \frac{350}{25} – \frac{216}{25} = \frac{134}{25} \] \[ R_2 := R_2 + 4 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & \frac{134}{25} \\ 0 & 1 & 0 & | & -10 + 4 \cdot \frac{72}{25} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{72}{25} \end{bmatrix} \] \[ -10 + \frac{288}{25} = -\frac{250}{25} + \frac{288}{25} = \frac{38}{25} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{134}{25} – 2 \cdot \frac{38}{25} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{38}{25} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{72}{25} \end{bmatrix} \] \[ \frac{134}{25} – \frac{76}{25} = \frac{58}{25} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{58}{25}, \quad y = \frac{38}{25}, \quad z = \frac{72}{25} \]5. Vyřešte soustavu rovnic: \( \begin{cases} 4x + y – 2z = 1 \\ 3x – 2y + 4z = 7 \\ 2x + 3y – z = 4 \end{cases} \)
Řešení:
Nejprve zapíšeme rozšířenou matici soustavy:
\[ \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 1 \\ 3 & -2 & 4 & | & 7 \\ 2 & 3 & -1 & | & 4 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – \frac{3}{4} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & -\frac{11}{4} & \frac{11}{2} & | & \frac{25}{4} \\ 2 & 3 & -1 & | & 4 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & -\frac{11}{4} & \frac{11}{2} & | & \frac{25}{4} \\ 0 & \frac{5}{2} & 0 & | & \frac{7}{2} \end{bmatrix} \]Dělením druhého řádku \(-\frac{11}{4}\) získáme jednotku na pozici (2,2):
\[ R_2 := -\frac{4}{11} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 1 \\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{25}{11} \\ 0 & \frac{5}{2} & 0 & | & \frac{7}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v řádcích 1 a 3:
\[ R_1 := R_1 – 1 \cdot R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & | & \frac{36}{11} \\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{25}{11} \\ 0 & 0 & 5 & | & \frac{101}{11} \end{bmatrix} \]Dělením třetího řádku 5 získáme jednotku:
\[ R_3 := \frac{1}{5} R_3 \Rightarrow z = \frac{101}{55} \]Dosadíme zpět pro y:
\[ y – 2 \cdot \frac{101}{55} = -\frac{25}{11} \Rightarrow y = \frac{7}{5} \]Dosadíme zpět pro x:
\[ 4x + 0 – 2 \cdot \frac{101}{55} = 1 \Rightarrow x = \frac{9}{11} \]Řešení soustavy je tedy:
\[ x = \frac{9}{11}, \quad y = \frac{7}{5}, \quad z = \frac{101}{55} \]6. Vyřešte soustavu s parametrem \(k\): \( \begin{cases} kx + y + z = 3 \\ x + k y + z = 3 \\ x + y + k z = 3 \end{cases} \)
Řešení:
Soustava je symetrická, proto zkusíme součet všech rovnic:
\[ (kx + y + z) + (x + k y + z) + (x + y + k z) = 3 + 3 + 3 = 9 \] \[ (k+2)x + (k+2)y + (k+2)z = 9 \]Pokud \(k \neq -2\), můžeme vydělit:
\[ x + y + z = \frac{9}{k+2} \]Dále odečteme první rovnici od součtu všech tří rovnic:
\[ (x + y + z) – (kx + y + z) = \frac{9}{k+2} – 3 \Rightarrow (1 – k)x = \frac{9}{k+2} – 3 \] \[ x = \frac{\frac{9}{k+2} – 3}{1 – k} = \frac{9 – 3(k+2)}{(k+2)(1-k)} = \frac{3 – 3k}{(k+2)(1-k)} = \frac{3}{k+2} \]Symetricky platí:
\[ y = \frac{3}{k+2}, \quad z = \frac{3}{k+2} \]Pokud \(k = -2\), determinant matice je nulový a soustava nemá jedinečné řešení.
Řešení soustavy pro \(k \neq -2\) je:
\[ x = y = z = \frac{3}{k+2} \]7. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x – y + z = 2 \\ 2x + y – z = 1 \\ 3x – 2y + 2z = 4 \end{cases} \)
Řešení:
Nejprve zapíšeme rozšířenou matici soustavy:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 3 & -2 & 2 & | & 4 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & -3 & | & -3 \\ 3 & -2 & 2 & | & 4 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & -3 & | & -3 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & -3 & | & -3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 3 \end{bmatrix} \]Poslední řádek říká \(0 = 3\), což je nemožné. Proto soustava nemá žádné řešení.
8. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} 2x + y – z = 3 \\ 4x + 3y – 3z = 7 \\ -2x – y + 2z = -3 \end{cases} \)
Řešení:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 4 & 3 & -3 & | & 7 \\ -2 & -1 & 2 & | & -3 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ -2 & -1 & 2 & | & -3 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém řádku:
\[ R_2 := R_2 + R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Dělíme první řádek 2:
\[ R_1 := \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{2} & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Řešení soustavy:
\[ x = 1, \quad y = 1, \quad z = 0 \]9. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 10 \\ x + 4y + 3z = 16 \end{cases} \)
Řešení:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & 1 & | & 10 \\ 1 & 4 & 3 & | & 16 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ 1 & 4 & 3 & | & 16 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & 3 & 2 & | & 10 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 5 & | & 16 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek 5:
\[ R_3 := \frac{1}{5} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{16}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v prvním a druhém řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 6 – \frac{16}{5} \\ 0 & 1 & -1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{16}{5} \end{bmatrix} \] \[ 6 – \frac{16}{5} = \frac{30}{5} – \frac{16}{5} = \frac{14}{5} \] \[ R_2 := R_2 + R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & \frac{14}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 + \frac{16}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{16}{5} \end{bmatrix} \] \[ -2 + \frac{16}{5} = -\frac{10}{5} + \frac{16}{5} = \frac{6}{5} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{14}{5} – \frac{6}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{6}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{16}{5} \end{bmatrix} \] \[ \frac{14}{5} – \frac{6}{5} = \frac{8}{5} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{8}{5}, \quad y = \frac{6}{5}, \quad z = \frac{16}{5} \]10. Vyřešte soustavu: \( \begin{cases} x + 3y + 2z = 7 \\ 2x + 7y + 5z = 18 \\ x + 2y + 3z = 10 \end{cases} \)
Řešení:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 7 \\ 2 & 7 & 5 & | & 18 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 7 \\ 0 & 1 & 1 & | & 4 \\ 1 & 2 & 3 & | & 10 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 7 \\ 0 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & -1 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 7 \\ 0 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 0 & 2 & | & 7 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek 2:
\[ R_3 := \frac{1}{2} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 7 \\ 0 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & | & 7 \\ 0 & 1 & 0 & | & 4 – \frac{7}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{2} \end{bmatrix} \] \[ 4 – \frac{7}{2} = \frac{8}{2} – \frac{7}{2} = \frac{1}{2} \] \[ R_1 := R_1 – 2 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 3 & 0 & | & 7 – 2 \cdot \frac{7}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{2} \end{bmatrix} \] \[ 7 – 7 = 0 \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 – 3 \cdot \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{2} \end{bmatrix} \] \[ 0 – \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \]Řešení soustavy:
\[ x = -\frac{3}{2}, \quad y = \frac{1}{2}, \quad z = \frac{7}{2} \]11. Řešte soustavu rovnic metodou Gaussovy eliminace:
\[ \begin{cases} 2x + 4y – z = 5 \\ 4x + 9y – 3z = 10 \\ -2x – 3y + 7z = 1 \end{cases} \]
Zapisujeme rozšířenou matici:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 4 & -1 & | & 5 \\ 4 & 9 & -3 & | & 10 \\ -2 & -3 & 7 & | & 1 \end{bmatrix} \]Dělíme první řádek 2, aby byl pivot 1:
\[ R_1 := \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -\frac{1}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 4 & 9 & -3 & | & 10 \\ -2 & -3 & 7 & | & 1 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v řádcích 2 a 3:
\[ R_2 := R_2 – 4 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -\frac{1}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ -2 & -3 & 7 & | & 1 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -\frac{1}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 6 & | & 6 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -\frac{1}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 7 & | & 6 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek 7:
\[ R_3 := \frac{1}{7} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -\frac{1}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{6}{7} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -\frac{1}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{6}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{6}{7} \end{bmatrix} \] \[ R_1 := R_1 + \frac{1}{2} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & \frac{5}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{7} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{6}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{6}{7} \end{bmatrix} \] \[ \frac{5}{2} + \frac{3}{7} = \frac{35}{14} + \frac{6}{14} = \frac{41}{14} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{41}{14} – 2 \cdot \frac{6}{7} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{6}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{6}{7} \end{bmatrix} \] \[ \frac{41}{14} – \frac{12}{7} = \frac{41}{14} – \frac{24}{14} = \frac{17}{14} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{17}{14}, \quad y = \frac{6}{7}, \quad z = \frac{6}{7} \]12. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x – y + 2z = 3 \\ 3x + y – z = 4 \\ 2x + 3y + z = 7 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 3 & 1 & -1 & | & 4 \\ 2 & 3 & 1 & | & 7 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 4 & -7 & | & -5 \\ 2 & 3 & 1 & | & 7 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 4 & -7 & | & -5 \\ 0 & 5 & -3 & | & 1 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek \( 4 \):
\[ R_2 := \frac{1}{4} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & -\frac{5}{4} \\ 0 & 5 & -3 & | & 1 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 5 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & -\frac{5}{4} \\ 0 & 0 & \frac{23}{4} & | & \frac{29}{4} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \( \frac{23}{4} \):
\[ R_3 := \frac{4}{23} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{4} & | & -\frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{29}{23} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + \frac{7}{4} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -\frac{5}{4} + \frac{7}{4}\cdot\frac{29}{23} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{29}{23} \end{bmatrix} \] \[ -\frac{5}{4} + \frac{203}{92} = -\frac{115}{92} + \frac{203}{92} = \frac{88}{92} = \frac{22}{23} \] \[ R_1 := R_1 – 2 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & | & 3 – 2 \cdot \frac{29}{23} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{22}{23} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{29}{23} \end{bmatrix} \] \[ 3 – \frac{58}{23} = \frac{69}{23} – \frac{58}{23} = \frac{11}{23} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 + R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{11}{23} + \frac{22}{23} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{22}{23} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{29}{23} \end{bmatrix} \] \[ \frac{11}{23} + \frac{22}{23} = \frac{33}{23} \]Řešení:
\[ x = \frac{33}{23}, \quad y = \frac{22}{23}, \quad z = \frac{29}{23}. \]Závěr: Řešení soustavy je \( \left( \frac{33}{23},\, \frac{22}{23},\, \frac{29}{23} \right) \). Pro značení \( x_1, x_2, x_3 \) platí \( x_1 = \frac{33}{23},\; x_2 = \frac{22}{23},\; x_3 = \frac{29}{23} \).
13. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 14 \\[4pt] 2x + y + z = 10 \\[4pt] 3x + 4y + z = 19 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 2 & 1 & 1 & | & 10 \\ 3 & 4 & 1 & | & 19 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -3 & -5 & | & -18 \\ 3 & 4 & 1 & | & 19 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 3R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -3 & -5 & | & -18 \\ 0 & -2 & -8 & | & -23 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek číslem \(-3\):
\[ R_2 := -\tfrac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & -2 & -8 & | & -23 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec:
\[ R_3 := R_3 + 2R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & 0 & -\tfrac{14}{3} & | & -11 \end{bmatrix} \] \[ R_1 := R_1 – 2R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & | & 2 \\ 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & 0 & -\tfrac{14}{3} & | & -11 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek číslem \(-\tfrac{14}{3}\):
\[ R_3 := -\tfrac{3}{14} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\tfrac{1}{3} & | & 2 \\ 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{33}{14} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v prvním a druhém řádku:
\[ R_1 := R_1 + \tfrac{1}{3}R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{33}{14} \\ 0 & 1 & \tfrac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{33}{14} \end{bmatrix} \] \[ 2 + \tfrac{11}{14} = \tfrac{28}{14} + \tfrac{11}{14} = \tfrac{39}{14} \] \[ R_2 := R_2 – \tfrac{5}{3}R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \tfrac{39}{14} \\ 0 & 1 & 0 & | & 6 – \tfrac{5}{3}\cdot\tfrac{33}{14} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{33}{14} \end{bmatrix} \] \[ 6 – \tfrac{165}{42} = \tfrac{252 – 165}{42} = \tfrac{87}{42} = \tfrac{29}{14} \]Řešení soustavy:
\[ x = \tfrac{39}{14}, \quad y = \tfrac{29}{14}, \quad z = \tfrac{33}{14} \]Závěr: Řešení soustavy je \( \left( \tfrac{39}{14},\, \tfrac{29}{14},\, \tfrac{33}{14} \right) \). Pro značení \(x_1, x_2, x_3\) platí: \(x_1 = \tfrac{39}{14},\; x_2 = \tfrac{29}{14},\; x_3 = \tfrac{33}{14}\).
14. Řešte soustavu rovnic metodou Gaussovy eliminace:
\[ \begin{cases} 3x – y + 2z = 7 \\[4pt] 2x + 2y – z = 3 \\[4pt] x + 3y + z = 10 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 7 \\ 2 & 2 & -1 & | & 3 \\ 1 & 3 & 1 & | & 10 \end{bmatrix} \]Normalizujeme první řádek dělením 3:
\[ R_1 := \tfrac{1}{3}R_1 \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & | & \tfrac{7}{3} \\ 2 & 2 & -1 & | & 3 \\ 1 & 3 & 1 & | & 10 \end{bmatrix} \]Vynulujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2R_1, \quad R_3 := R_3 – R_1 \] \[ \begin{bmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & | & \tfrac{7}{3} \\ 0 & \tfrac{8}{3} & -\tfrac{7}{3} & | & -\tfrac{5}{3} \\ 0 & \tfrac{10}{3} & \tfrac{1}{3} & | & \tfrac{23}{3} \end{bmatrix} \]Normalizujeme druhý řádek:
\[ R_2 := \tfrac{3}{8}R_2 \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & | & \tfrac{7}{3} \\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{8} & | & -\tfrac{5}{8} \\ 0 & \tfrac{10}{3} & \tfrac{1}{3} & | & \tfrac{23}{3} \end{bmatrix} \]Vynulujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \tfrac{10}{3}R_2 \] \[ \begin{bmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & | & \tfrac{7}{3} \\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{8} & | & -\tfrac{5}{8} \\ 0 & 0 & 2 & | & 6 \end{bmatrix} \]Normalizujeme třetí řádek:
\[ R_3 := \tfrac{1}{2}R_3 \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & | & \tfrac{7}{3} \\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{8} & | & -\tfrac{5}{8} \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \]Vynulujeme třetí sloupec v prvním a druhém řádku:
\[ R_1 := R_1 – \tfrac{2}{3}R_3, \quad R_2 := R_2 + \tfrac{7}{8}R_3 \] \[ \begin{bmatrix} 1 & -\tfrac{1}{3} & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \]Vynulujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 + \tfrac{1}{3}R_2 \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \]Z výsledné matice odečteme řešení soustavy:
\[ x = 1, \quad y = 2, \quad z = 3 \]Závěr: Řešení soustavy je \( (1,2,3) \). Pro značení \(x_1, x_2, x_3\) platí: \(x_1 = 1,\; x_2 = 2,\; x_3 = 3\).
15. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 4x + y – 2z = 3 \\[4pt] -2x + 5y + z = 7 \\[4pt] 3x – y + 4z = 5 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 3 \\ -2 & 5 & 1 & | & 7 \\ 3 & -1 & 4 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec:
\[ R_2 := R_2 + \tfrac{1}{2}R_1, \quad R_3 := R_3 – \tfrac{3}{4}R_1 \] \[ \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 3 \\ 0 & \tfrac{11}{2} & 0 & | & \tfrac{13}{2} \\ 0 & -\tfrac{7}{4} & \tfrac{11}{2} & | & \tfrac{11}{4} \end{bmatrix} \]Normalizujeme druhý řádek:
\[ R_2 := \tfrac{2}{11}R_2 \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{13}{11} \\ 0 & -\tfrac{7}{4} & \tfrac{11}{2} & | & \tfrac{11}{4} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + \tfrac{7}{4}R_2 \] \[ \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{13}{11} \\ 0 & 0 & \tfrac{11}{2} & | & \tfrac{120}{44} \end{bmatrix} \] \[ \tfrac{11}{4} + \tfrac{91}{44} = \tfrac{120}{44} = \tfrac{30}{11} \]Normalizujeme třetí řádek:
\[ R_3 := \tfrac{2}{11}R_3 \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} 4 & 1 & -2 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{13}{11} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{120}{121} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 + 2R_3 \] \[ \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 & | & 3 + 2\cdot\tfrac{120}{121} \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{13}{11} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{120}{121} \end{bmatrix} \] \[ 3 + \tfrac{240}{121} = \tfrac{363}{121} + \tfrac{240}{121} = \tfrac{603}{121} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \] \[ \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 & | & \tfrac{603}{121} – \tfrac{13}{11} \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{13}{11} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{120}{121} \end{bmatrix} \] \[ \tfrac{603}{121} – \tfrac{143}{121} = \tfrac{460}{121} \]Normalizujeme první řádek:
\[ R_1 := \tfrac{1}{4}R_1 \;\Rightarrow\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \tfrac{115}{121} \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{13}{11} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{120}{121} \end{bmatrix} \]Řešení soustavy je:
\[ x = \tfrac{104}{121}, \quad y = \tfrac{17}{11}, \quad z = \tfrac{120}{121} \]16. Řešte soustavu rovnic metodou Gaussovy eliminace:
\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + y + z = 10 \\ 3x + 4y + z = 19 \end{cases} \]
Rozšířená matice soustavy:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 2 & 1 & 1 & | & 10 \\ 3 & 4 & 1 & | & 19 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -3 & -5 & | & -18 \\ 3 & 4 & 1 & | & 19 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -3 & -5 & | & -18 \\ 0 & -2 & -8 & | & -23 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek -3:
\[ R_2 := -\frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & -2 & -8 & | & -23 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & 0 & -\frac{14}{3} & | & -11 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(-\frac{14}{3}\):
\[ R_3 := -\frac{3}{14} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{33}{14} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – \frac{5}{3} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 0 & | & 6 – \frac{5}{3} \cdot \frac{33}{14} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{33}{14} \end{bmatrix} \] \[ 6 – \frac{165}{42} = \frac{252}{42} – \frac{165}{42} = \frac{87}{42} = \frac{29}{14} \] \[ R_1 := R_1 – 3 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 14 – 3 \cdot \frac{33}{14} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{29}{14} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{33}{14} \end{bmatrix} \] \[ 14 – \frac{99}{14} = \frac{196}{14} – \frac{99}{14} = \frac{97}{14} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{97}{14} – 2 \cdot \frac{29}{14} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{29}{14} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{33}{14} \end{bmatrix} \] \[ \frac{97}{14} – \frac{58}{14} = \frac{39}{14} \]Řešení je:
\[ x = \frac{39}{14}, \quad y = \frac{29}{14}, \quad z = \frac{33}{14} \]17. Řešte soustavu rovnic:
\[ \begin{cases} 2x + y + 3z = 9 \\ 4x – 6y = -2 \\ -2x + 7y + 2z = 11 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 9 \\ 4 & -6 & 0 & | & -2 \\ -2 & 7 & 2 & | & 11 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 9 \\ 0 & -8 & -6 & | & -20 \\ -2 & 7 & 2 & | & 11 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 9 \\ 0 & -8 & -6 & | & -20 \\ 0 & 8 & 5 & | & 20 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek \(-8\):
\[ R_2 := -\frac{1}{8} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 8 & 5 & | & 20 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 8 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & -1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(-1\):
\[ R_3 := -R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & \frac{3}{4} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – \frac{3}{4} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & | & 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \] \[ R_1 := R_1 – 3 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & | & 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & | & 9 – \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \] \[ 9 – \frac{5}{2} = \frac{18}{2} – \frac{5}{2} = \frac{13}{2} \]Dělíme první řádek 2:
\[ R_1 := \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{13}{4} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Řešení:
\[ x = \frac{13}{4}, \quad y = \frac{5}{2}, \quad z = 0 \]18. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 4y + 3z = 14 \\ 3x + 6y + 5z = 24 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 4 & 3 & | & 14 \\ 3 & 6 & 5 & | & 24 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 2 & 1 & | & 2 \\ 3 & 6 & 5 & | & 24 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 2 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & 2 & | & 6 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek 2:
\[ R_2 := \frac{1}{2} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & 1 \\ 0 & 3 & 2 & | & 6 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & 1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} & | & 3 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\frac{1}{2}\):
\[ R_3 := 2 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – \frac{1}{2} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 – \frac{1}{2} \cdot 6 \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \end{bmatrix} \] \[ 1 – 3 = -2 \] \[ R_1 := R_1 – R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 6 – 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 – (-2) \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \end{bmatrix} \] \[ 0 – (-2) = 2 \]Řešení je:
\[ x = 2, \quad y = -2, \quad z = 6 \]19. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 3x + 2y – z = 4 \\ 2x – 2y + 4z = 2 \\ -x + \tfrac{1}{2}y – z = 0 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 4 \\ 2 & -2 & 4 & | & 2 \\ -1 & \tfrac{1}{2} & -1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec:
\[ R_2 := R_2 – \tfrac{2}{3}R_1, \quad R_3 := R_3 + \tfrac{1}{3}R_1 \] \[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & -\tfrac{10}{3} & \tfrac{14}{3} & | & -\tfrac{2}{3} \\ 0 & \tfrac{7}{6} & -\tfrac{4}{3} & | & \tfrac{4}{3} \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek \(-\tfrac{10}{3}\):
\[ R_2 := -\tfrac{3}{10}R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & | & \tfrac{1}{5} \\ 0 & \tfrac{7}{6} & -\tfrac{4}{3} & | & \tfrac{4}{3} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \tfrac{7}{6}R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{5} & | & \tfrac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{11}{3} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + \tfrac{7}{5}R_3, \quad R_1 := R_1 + R_3 \] \[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 & | & \tfrac{23}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{16}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{11}{3} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & | & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{16}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{11}{3} \end{bmatrix} \]Dělíme první řádek 3:
\[ R_1 := \tfrac{1}{3}R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{16}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{11}{3} \end{bmatrix} \]Řešení je:
\[ x = -1, \quad y = \tfrac{16}{3}, \quad z = \tfrac{11}{3} \]20. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + 2y – z = 3 \\ 3x – y + 4z = 10 \\ 2x + y + 3z = 13 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 3 & -1 & 4 & | & 10 \\ 2 & 1 & 3 & | & 13 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 7 & | & 1 \\ 2 & 1 & 3 & | & 13 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & -7 & 7 & | & 1 \\ 0 & -3 & 5 & | & 7 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek \(-7\):
\[ R_2 := -\frac{1}{7} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & -\frac{1}{7} \\ 0 & -3 & 5 & | & 7 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & -\frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 2 & | & 7 – \frac{3}{7} \end{bmatrix} \] \[ 7 – \frac{3}{7} = \frac{49}{7} – \frac{3}{7} = \frac{46}{7} \]Dělíme třetí řádek 2:
\[ R_3 := \frac{1}{2} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -1 & | & -\frac{1}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{23}{7} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -\frac{1}{7} + \frac{23}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{23}{7} \end{bmatrix} \] \[ -\frac{1}{7} + \frac{23}{7} = \frac{22}{7} \] \[ R_1 := R_1 + R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 3 + \frac{23}{7} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{22}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{23}{7} \end{bmatrix} \] \[ 3 + \frac{23}{7} = \frac{21}{7} + \frac{23}{7} = \frac{44}{7} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{44}{7} – 2 \cdot \frac{22}{7} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{22}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{23}{7} \end{bmatrix} \] \[ \frac{44}{7} – \frac{44}{7} = 0 \]Řešení:
\[ x = 0, \quad y = \frac{22}{7}, \quad z = \frac{23}{7} \]21. Řešte soustavu rovnic:
\[ \begin{cases} 2x + y – z = 1 \\ -3x – y + 2z = -4 \\ -x + 2y + 3z = 5 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ -3 & -1 & 2 & | & -4 \\ -1 & 2 & 3 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 + \frac{3}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & -4 + \frac{3}{2} \\ -1 & 2 & 3 & | & 5 \end{bmatrix} \] \[ -4 + \frac{3}{2} = -4 + 1.5 = -2.5 \] \[ R_3 := R_3 + \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & | & -2.5 \\ 0 & 2.5 & 2.5 & | & 5 + \frac{1}{2} \end{bmatrix} \] \[ 5 + \frac{1}{2} = 5.5 \]Dělíme druhý řádek \(\frac{1}{2}\):
\[ R_2 := 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & -5 \\ 0 & 2.5 & 2.5 & | & 5.5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 2.5 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 1 & 1 & | & -5 \\ 0 & 0 & 0 & | & 5.5 – 2.5 \times (-5) \end{bmatrix} \] \[ 5.5 – (-12.5) = 5.5 + 12.5 = 18 \]Zjišťujeme, že třetí řádek má tvar:
\[ 0 \quad 0 \quad 0 \quad | \quad 18 \]což je spor, protože 0 nelze rovnat 18. Soustava je tedy neřešitelná, neexistuje žádné řešení.
22. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + 3z = 14 \\ -x + 2y – z = -2 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 3 & | & 14 \\ -1 & 2 & -1 & | & -2 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & 1 & | & 2 \\ -1 & 2 & -1 & | & -2 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 3 & 0 & | & 4 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek \(-3\):
\[ R_2 := -\frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & 3 & 0 & | & 4 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v prvním a druhém řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{3} & | & -\frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \end{bmatrix} \] \[ R_2 := R_2 + \frac{1}{3} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -\frac{2}{3} + \frac{1}{3} \times 6 \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \end{bmatrix} \] \[ -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 0 – \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & 6 \end{bmatrix} \] \[ 0 – \frac{4}{3} = -\frac{4}{3} \]Řešení je:
\[ x = -\frac{4}{3}, \quad y = \frac{4}{3}, \quad z = 6 \]23. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x – 2y + z = 0 \\ 3x + y + 4z = 13 \\ 2x – 3y + 3z = 5 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 3 & 1 & 4 & | & 13 \\ 2 & -3 & 3 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 7 & 1 & | & 13 \\ 2 & -3 & 3 & | & 5 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 7 & 1 & | & 13 \\ 0 & 1 & 1 & | & 5 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek 7:
\[ R_2 := \frac{1}{7} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & | & \frac{13}{7} \\ 0 & 1 & 1 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & | & \frac{13}{7} \\ 0 & 0 & \frac{6}{7} & | & \frac{22}{7} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\frac{6}{7}\):
\[ R_3 := \frac{7}{6} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{7} & | & \frac{13}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{22}{6} \end{bmatrix} \] \[ \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – \frac{1}{7} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{13}{7} – \frac{1}{7} \times \frac{11}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{11}{3} \end{bmatrix} \] \[ \frac{13}{7} – \frac{11}{21} = \frac{39}{21} – \frac{11}{21} = \frac{28}{21} = \frac{4}{3} \] \[ R_1 := R_1 – R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & | & 0 – \frac{11}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{11}{3} \end{bmatrix} \] \[ 0 – \frac{11}{3} = -\frac{11}{3} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 + 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{11}{3} + 2 \times \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{11}{3} \end{bmatrix} \] \[ -\frac{11}{3} + \frac{8}{3} = -1 \]Řešení je:
\[ x = -1, \quad y = \frac{4}{3}, \quad z = \frac{11}{3} \]24. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + 2y – z = 4 \\ 2x + 3y + z = 9 \\ -x + y + 2z = 1 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 2 & 3 & 1 & | & 9 \\ -1 & 1 & 2 & | & 1 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & -1 & 3 & | & 1 \\ -1 & 1 & 2 & | & 1 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & -1 & 3 & | & 1 \\ 0 & 3 & 1 & | & 5 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek \(-1\):
\[ R_2 := -R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -3 & | & -1 \\ 0 & 3 & 1 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -3 & | & -1 \\ 0 & 0 & 10 & | & 8 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek 10:
\[ R_3 := \frac{1}{10} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -3 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + 3 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 + 3 \times \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{5} \end{bmatrix} \] \[ -1 + \frac{12}{5} = -1 + 2.4 = 1.4 = \frac{7}{5} \] \[ R_1 := R_1 + R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 4 + \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{7}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{5} \end{bmatrix} \] \[ 4 + \frac{4}{5} = \frac{20}{5} + \frac{4}{5} = \frac{24}{5} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{24}{5} – 2 \times \frac{7}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{7}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{5} \end{bmatrix} \] \[ \frac{24}{5} – \frac{14}{5} = \frac{10}{5} = 2 \]Řešení je:
\[ x = 2, \quad y = \frac{7}{5}, \quad z = \frac{4}{5} \]25. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 3x – y + 2z = 5 \\ x + 4y – z = 6 \\ 2x – 3y + 3z = 4 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 5 \\ 1 & 4 & -1 & | & 6 \\ 2 & -3 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec:
\[ R_2 := R_2 – \tfrac{1}{3}R_1, \quad R_3 := R_3 – \tfrac{2}{3}R_1 \] \[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 5 \\ 0 & \tfrac{13}{3} & -\tfrac{7}{3} & | & \tfrac{13}{3} \\ 0 & -\tfrac{7}{3} & \tfrac{5}{3} & | & \tfrac{2}{3} \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek \(\tfrac{13}{3}\):
\[ R_2 := \tfrac{3}{13}R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 5 \\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{13} & | & 1 \\ 0 & -\tfrac{7}{3} & \tfrac{5}{3} & | & \tfrac{2}{3} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + \tfrac{7}{3}R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 5 \\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{13} & | & 1 \\ 0 & 0 & \tfrac{16}{39} & | & 3 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\tfrac{16}{39}\):
\[ R_3 := \tfrac{39}{16}R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 5 \\ 0 & 1 & -\tfrac{7}{13} & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{117}{16} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + \tfrac{7}{13}R_3, \quad R_1 := R_1 – 2R_3 \] \[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 & | & -\tfrac{77}{8} \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{39}{10} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 + R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 & | & -\tfrac{3}{10} \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{39}{10} \end{bmatrix} \]Dělíme první řádek 3:
\[ R_1 := \tfrac{1}{3}R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\tfrac{1}{10} \\ 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{39}{10} \end{bmatrix} \]Řešení je:
\[ x = -\tfrac{1}{10}, \quad y = \tfrac{5}{2}, \quad z = \tfrac{39}{10} \]26. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 2x + y – z = 3 \\ 4x – 6y = -2 \\ -2x + 7y + 2z = 9 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 4 & -6 & 0 & | & -2 \\ -2 & 7 & 2 & | & 9 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & -8 & 2 & | & -8 \\ -2 & 7 & 2 & | & 9 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & -8 & 2 & | & -8 \\ 0 & 8 & 1 & | & 12 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek -8:
\[ R_2 := -\frac{1}{8} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & | & 1 \\ 0 & 8 & 1 & | & 12 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 8 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & | & 1 \\ 0 & 0 & 3 & | & 4 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek 3:
\[ R_3 := \frac{1}{3} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{3} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + \frac{1}{4} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 + \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{3} \end{bmatrix} \] \[ 1 + \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \] \[ R_1 := R_1 + R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & | & 3 + \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{3} \end{bmatrix} \] \[ 3 + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} + \frac{4}{3} = \frac{13}{3} \]Dělíme první řádek 2:
\[ R_1 := \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & | & \frac{13}{6} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{3} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – \frac{1}{2} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{13}{6} – \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{3} \end{bmatrix} \] \[ \frac{13}{6} – \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{13}{6} – \frac{2}{3} = \frac{13}{6} – \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]Řešení je:
\[ x = \frac{3}{2}, \quad y = \frac{4}{3}, \quad z = \frac{4}{3} \]27. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + y + z = 10 \\ 3x + 4y + 2z = 19 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 2 & 1 & 1 & | & 10 \\ 3 & 4 & 2 & | & 19 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -3 & -5 & | & 10 – 28 \\ 3 & 4 & 2 & | & 19 \end{bmatrix} \] \[ 10 – 28 = -18 \] \[ R_3 := R_3 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & -3 & -5 & | & -18 \\ 0 & -2 & -7 & | & 19 – 42 \end{bmatrix} \] \[ 19 – 42 = -23 \]Dělíme druhý řádek -3:
\[ R_2 := -\frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & -2 & -7 & | & -23 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & 0 & -7 + 2 \times \frac{5}{3} & | & -23 + 12 \end{bmatrix} \] \[ -7 + \frac{10}{3} = -\frac{21}{3} + \frac{10}{3} = -\frac{11}{3} \] \[ -23 + 12 = -11 \]Dělíme třetí řádek \(-\frac{11}{3}\):
\[ R_3 := -\frac{3}{11} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & \frac{5}{3} & | & 6 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – \frac{5}{3} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 14 \\ 0 & 1 & 0 & | & 6 – \frac{5}{3} \times 3 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \] \[ 6 – 5 = 1 \] \[ R_1 := R_1 – 3 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 14 – 9 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \] \[ 14 – 9 = 5 \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 5 – 2 \times 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \] \[ 5 – 2 = 3 \]Řešení je:
\[ x = 3, \quad y = 1, \quad z = 3 \]28. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x – y + 2z = 4 \\ 2x + y + z = 7 \\ 3x + 4y – z = 1 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 2 & 1 & 1 & | & 7 \\ 3 & 4 & -1 & | & 1 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & -3 & | & 7 – 8 \\ 3 & 4 & -1 & | & 1 \end{bmatrix} \] \[ 7 – 8 = -1 \] \[ R_3 := R_3 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & -3 & | & -1 \\ 0 & 7 & -7 & | & 1 – 12 \end{bmatrix} \] \[ 1 – 12 = -11 \]Dělíme druhý řádek 3:
\[ R_2 := \frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -1 & | & -\frac{1}{3} \\ 0 & 7 & -7 & | & -11 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 7 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 1 & -1 & | & -\frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & | & -11 + \frac{7}{3} \end{bmatrix} \] \[ -11 + \frac{7}{3} = -\frac{33}{3} + \frac{7}{3} = -\frac{26}{3} \]Třetí řádek obsahuje \(0x + 0y + 0z = -\frac{26}{3}\), což je nepravda, soustava je neslučitelná.
29. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + 7z = 20 \\ x + 4y + 9z = 22 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & 3 & 7 & | & 20 \\ 1 & 4 & 9 & | & 22 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 5 & | & 20 – 12 \\ 1 & 4 & 9 & | & 22 \end{bmatrix} \] \[ 20 – 12 = 8 \] \[ R_3 := R_3 – R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 5 & | & 8 \\ 0 & 3 & 8 & | & 16 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 5 & | & 8 \\ 0 & 0 & 8 – 15 & | & 16 – 24 \end{bmatrix} \] \[ 8 – 15 = -7 \] \[ 16 – 24 = -8 \]Dělíme třetí řádek \(-7\):
\[ R_3 := -\frac{1}{7} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 5 & | & 8 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{7} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – 5 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & 1 & 0 & | & 8 – 5 \times \frac{8}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{7} \end{bmatrix} \] \[ 8 – \frac{40}{7} = \frac{56}{7} – \frac{40}{7} = \frac{16}{7} \] \[ R_1 := R_1 – R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 6 – \frac{8}{7} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{16}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{7} \end{bmatrix} \] \[ 6 – \frac{8}{7} = \frac{42}{7} – \frac{8}{7} = \frac{34}{7} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{34}{7} – \frac{16}{7} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{16}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{7} \end{bmatrix} \] \[ \frac{34}{7} – \frac{16}{7} = \frac{18}{7} \]Řešení je:
\[ x = \frac{18}{7}, \quad y = \frac{16}{7}, \quad z = \frac{8}{7} \]30. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 7 \\ 3x – y + 4z = 4 \\ 2x + y – z = 5 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 7 \\ 3 & -1 & 4 & | & 4 \\ 2 & 1 & -1 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 7 \\ 0 & -7 & 1 & | & 4 – 21 \\ 2 & 1 & -1 & | & 5 \end{bmatrix} \] \[ 4 – 21 = -17 \] \[ R_3 := R_3 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 7 \\ 0 & -7 & 1 & | & -17 \\ 0 & -3 & -3 & | & 5 – 14 \end{bmatrix} \] \[ 5 – 14 = -9 \]Dělíme druhý řádek -7:
\[ R_2 := -\frac{1}{7} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{7} & | & \frac{17}{7} \\ 0 & -3 & -3 & | & -9 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{7} & | & \frac{17}{7} \\ 0 & 0 & -3 + 3 \times \left(-\frac{1}{7}\right) & | & -9 + 3 \times \frac{17}{7} \end{bmatrix} \] \[ -3 – \frac{3}{7} = -\frac{21}{7} – \frac{3}{7} = -\frac{24}{7} \] \[ -9 + \frac{51}{7} = -\frac{63}{7} + \frac{51}{7} = -\frac{12}{7} \]Dělíme třetí řádek \(-\frac{24}{7}\):
\[ R_3 := -\frac{7}{24} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 7 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{7} & | & \frac{17}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{12}{24} = \frac{1}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + \frac{1}{7} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 7 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{17}{7} + \frac{1}{7} \times \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \] \[ \frac{17}{7} + \frac{1}{14} = \frac{34}{14} + \frac{1}{14} = \frac{35}{14} = \frac{5}{2} \] \[ R_1 := R_1 – 1 \times R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 7 – \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \] \[ 7 – \frac{1}{2} = \frac{14}{2} – \frac{1}{2} = \frac{13}{2} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{13}{2} – 2 \times \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \] \[ \frac{13}{2} – 5 = \frac{13}{2} – \frac{10}{2} = \frac{3}{2} \]Řešení je:
\[ x = \frac{3}{2}, \quad y = \frac{5}{2}, \quad z = \frac{1}{2} \]31. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 2x + 3y – z = 5 \\ -x + 4y + 2z = 6 \\ 3x – y + z = 4 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ -1 & 4 & 2 & | & 6 \\ 3 & -1 & 1 & | & 4 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 + \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & \frac{11}{2} & \frac{3}{2} & | & 6 + \frac{5}{2} \\ 3 & -1 & 1 & | & 4 \end{bmatrix} \] \[ 6 + \frac{5}{2} = \frac{12}{2} + \frac{5}{2} = \frac{17}{2} \] \[ R_3 := R_3 – \frac{3}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & \frac{11}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{17}{2} \\ 0 & -\frac{11}{2} & \frac{5}{2} & | & 4 – \frac{15}{2} \end{bmatrix} \] \[ 4 – \frac{15}{2} = \frac{8}{2} – \frac{15}{2} = -\frac{7}{2} \]Sečteme druhý a třetí řádek:
\[ R_3 := R_3 + R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & \frac{11}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{17}{2} \\ 0 & 0 & 4 & | & \frac{17}{2} – \frac{7}{2} \end{bmatrix} \] \[ \frac{17}{2} – \frac{7}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]Dělíme třetí řádek 4:
\[ R_3 := \frac{1}{4} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & \frac{11}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{17}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{4} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – \frac{3}{2} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 5 \\ 0 & \frac{11}{2} & 0 & | & \frac{17}{2} – \frac{3}{2} \times \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{4} \end{bmatrix} \] \[ \frac{3}{2} \times \frac{5}{4} = \frac{15}{8}, \quad \frac{17}{2} = \frac{68}{8} \] \[ \frac{68}{8} – \frac{15}{8} = \frac{53}{8} \] \[ R_1 := R_1 + 1 \times R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 & | & 5 + \frac{5}{4} \\ 0 & \frac{11}{2} & 0 & | & \frac{53}{8} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{4} \end{bmatrix} \] \[ 5 + \frac{5}{4} = \frac{20}{4} + \frac{5}{4} = \frac{25}{4} \]Dělíme druhý řádek \(\frac{11}{2}\):
\[ R_2 := \frac{2}{11} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 & | & \frac{25}{4} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{53}{8} \times \frac{2}{11} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{4} \end{bmatrix} \] \[ \frac{53}{8} \times \frac{2}{11} = \frac{106}{88} = \frac{53}{44} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & | & \frac{25}{4} – 3 \times \frac{53}{44} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{53}{44} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{4} \end{bmatrix} \] \[ 3 \times \frac{53}{44} = \frac{159}{44}, \quad \frac{25}{4} = \frac{275}{44} \] \[ \frac{275}{44} – \frac{159}{44} = \frac{116}{44} = \frac{29}{11} \]Dělíme první řádek 2:
\[ R_1 := \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{29}{22} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{53}{44} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{5}{4} \end{bmatrix} \]Řešení je:
\[ x = \frac{29}{22}, \quad y = \frac{53}{44}, \quad z = \frac{5}{4} \]32. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x – y + 2z = 4 \\ 2x + y – z = 1 \\ 3x – 2y + z = 7 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 2 & 1 & -1 & | & 1 \\ 3 & -2 & 1 & | & 7 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & -5 & | & 1 – 8 \\ 3 & -2 & 1 & | & 7 \end{bmatrix} \] \[ 1 – 8 = -7 \] \[ R_3 := R_3 – 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & -5 & | & -7 \\ 0 & 1 & -5 & | & 7 – 12 \end{bmatrix} \] \[ 7 – 12 = -5 \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & -5 & | & -7 \\ 0 & 0 & -5 – \left(-\frac{5}{3}\right) & | & -5 – \left(-\frac{7}{3}\right) \end{bmatrix} \] \[ -5 + \frac{5}{3} = -\frac{15}{3} + \frac{5}{3} = -\frac{10}{3} \] \[ -5 + \frac{7}{3} = -\frac{15}{3} + \frac{7}{3} = -\frac{8}{3} \]Dělíme třetí řádek \(-\frac{10}{3}\):
\[ R_3 := -\frac{3}{10} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & -5 & | & -7 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + 5 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & | & 4 \\ 0 & 3 & 0 & | & -7 + 5 \times \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{5} \end{bmatrix} \] \[ -7 + 4 = -3 \] \[ R_1 := R_1 – 2 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & | & 4 – 2 \times \frac{4}{5} \\ 0 & 3 & 0 & | & -3 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{5} \end{bmatrix} \] \[ 4 – \frac{8}{5} = \frac{20}{5} – \frac{8}{5} = \frac{12}{5} \]Dělíme druhý řádek 3:
\[ R_2 := \frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 & | & \frac{12}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 + R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{12}{5} + (-1) \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{4}{5} \end{bmatrix} \] \[ \frac{12}{5} – 1 = \frac{12}{5} – \frac{5}{5} = \frac{7}{5} \]Řešení je:
\[ x = \frac{7}{5}, \quad y = -1, \quad z = \frac{4}{5} \]33. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x – y + 3z = 4 \\ -x + 4y – z = 1 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 2 & -1 & 3 & | & 4 \\ -1 & 4 & -1 & | & 1 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & -3 & 1 & | & 4 – 6 \\ -1 & 4 & -1 & | & 1 \end{bmatrix} \] \[ 4 – 6 = -2 \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & -3 & 1 & | & -2 \\ 0 & 5 & 0 & | & 4 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \frac{5}{-3} R_2 = R_3 + \frac{5}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & -3 & 1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 0 + \frac{5}{3} \times 1 & | & 4 + \frac{5}{3} \times (-2) \end{bmatrix} \] \[ \frac{5}{3} \times 1 = \frac{5}{3} \] \[ 4 – \frac{10}{3} = \frac{12}{3} – \frac{10}{3} = \frac{2}{3} \] \[ R_3 = \begin{bmatrix}0 & 0 & \frac{5}{3} & | & \frac{2}{3} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\frac{5}{3}\):
\[ R_3 := \frac{3}{5} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & -3 & 1 & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – 1 \times R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 0 & -3 & 0 & | & -2 – \frac{2}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \] \[ -2 – \frac{2}{5} = -\frac{10}{5} – \frac{2}{5} = -\frac{12}{5} \] \[ R_1 := R_1 – 1 \times R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 3 – \frac{2}{5} \\ 0 & -3 & 0 & | & -\frac{12}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \] \[ 3 – \frac{2}{5} = \frac{15}{5} – \frac{2}{5} = \frac{13}{5} \]Dělíme druhý řádek -3:
\[ R_2 := -\frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & \frac{13}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{13}{5} – \frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2}{5} \end{bmatrix} \] \[ \frac{13}{5} – \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \]Řešení je:
\[ x = \frac{9}{5}, \quad y = \frac{4}{5}, \quad z = \frac{2}{5} \]34. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 2x + 3y – z = 1 \\ 4x – y + 5z = 2 \\ -6x + 2y + 4z = -3 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 4 & -1 & 5 & | & 2 \\ -6 & 2 & 4 & | & -3 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -7 & 7 & | & 2 – 2 \\ -6 & 2 & 4 & | & -3 \end{bmatrix} \] \[ 2 – 2 = 0 \] \[ R_3 := R_3 + 3 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -7 & 7 & | & 0 \\ 0 & 11 & 1 & | & -3 + 3 \end{bmatrix} \] \[ -3 + 3 = 0 \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \frac{11}{-7} R_2 = R_3 + \frac{11}{7} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -7 & 7 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 + \frac{11}{7} \times 7 & | & 0 + \frac{11}{7} \times 0 \end{bmatrix} \] \[ 1 + 11 = 12 \]Dělíme třetí řádek 12:
\[ R_3 := \frac{1}{12} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -7 & 7 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – 7 R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 & | & 1 \\ 0 & -7 & 0 & | & 0 – 7 \times 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \] \[ R_1 := R_1 + 1 \times R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 & | & 1 + 0 \\ 0 & -7 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek -7:
\[ R_2 := -\frac{1}{7} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 3 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 3 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & | & 1 – 3 \times 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \] \[ 1 – 0 = 1 \]Dělíme první řádek 2:
\[ R_1 := \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Řešení je:
\[ x = \frac{1}{2}, \quad y = 0, \quad z = 0 \]35. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x – y + 3z = 9 \\ -x + 3y + 2z = 1 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 2 & -1 & 3 & | & 9 \\ -1 & 3 & 2 & | & 1 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & -5 & 1 & | & 1 \\ -1 & 3 & 2 & | & 1 \end{bmatrix} \] \[ R_3 := R_3 + R_1 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & -5 & 1 & | & 1 \\ 0 & 5 & 3 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & -5 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 4 & | & 6 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek 4:
\[ R_3 := \frac{1}{4} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & -5 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém řádku:
\[ R_2 := R_2 – 1 \times R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & -5 & 0 & | & 1 – \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek -5:
\[ R_2 := -\frac{1}{5} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{10} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 4 – 2 \times \frac{1}{10} = \frac{38}{10} = \frac{19}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{10} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 1 \times R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{19}{5} – \frac{3}{2} = \frac{38}{10} – \frac{15}{10} = \frac{23}{10} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{1}{10} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]Řešení:
\[ x = \frac{23}{10}, \quad y = \frac{1}{10}, \quad z = \frac{3}{2} \]36. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 3x – y + 2z = 7 \\[4pt] x + 4y – z = 1 \\[4pt] 2x – 3y + 5z = 4 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 3 & -1 & 2 & | & 7 \\ 1 & 4 & -1 & | & 1 \\ 2 & -3 & 5 & | & 4 \end{bmatrix} \]Pro jednodušší eliminaci prohodíme řádky \(R_1 \leftrightarrow R_2\) (využijeme řádek s jedničkou jako první):
\[ \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | & 1 \\ 3 & -1 & 2 & | & 7 \\ 2 & -3 & 5 & | & 4 \end{bmatrix} \]Vynulujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 3R_1,\quad R_3 := R_3 – 2R_1 \] \[ \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | & 1 \\ 0 & -13 & 5 & | & 4 \\ 0 & -11 & 7 & | & 2 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v třetím řádku pomocí \(R_2\):
\[ R_3 := R_3 – \tfrac{11}{13}R_2 \] Vypočítáme pravou stranu a třetí sloupec: \[ 7 – \tfrac{11}{13}\cdot 5 = \frac{91}{13} – \frac{55}{13} = \frac{36}{13},\qquad 2 – \tfrac{11}{13}\cdot 4 = \frac{26}{13} – \frac{44}{13} = -\frac{18}{13} \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | & 1 \\ 0 & -13 & 5 & | & 4 \\ 0 & 0 & \tfrac{36}{13} & | & -\tfrac{18}{13} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\tfrac{36}{13}\) (tj. vynásobíme \(\tfrac{13}{36}\)):
\[ R_3 := \tfrac{13}{36} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & | & 1 \\ 0 & -13 & 5 & | & 4 \\ 0 & 0 & 1 & | & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \] (Protože \(-\tfrac{18}{13}\cdot\tfrac{13}{36} = -\tfrac{18}{36} = -\tfrac{1}{2}\).)Dosadíme zpět: eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – 5R_3,\quad R_1 := R_1 + R_3 \] \[ R_2: \; -13y + 5\cdot z = 4 \;\Rightarrow\; -13y + 5\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)=4 \] \[ -13y – \tfrac{5}{2} = 4 \;\Rightarrow\; -13y = 4 + \tfrac{5}{2} = \tfrac{13}{2} \;\Rightarrow\; y = -\tfrac{1}{2} \] (v matici po operacích:) \[ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 & | & \tfrac{1}{2} \\ 0 & -13 & 0 & | & \tfrac{13}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \]Vynulujeme druhý sloupec v prvním řádku a vydělíme druhý řádek:
\[ R_1 := R_1 – 4R_2,\quad R_2 := -\tfrac{1}{13}R_2 \] (Zjednodušeně dosadíme \(y=-\tfrac{1}{2}\) do první rovnice.) \[ x + 4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) – \tfrac{1}{2} = 1 \] \[ x – 2 – \tfrac{1}{2} = 1 \;\Rightarrow\; x – \tfrac{5}{2} = 1 \;\Rightarrow\; x = \tfrac{5}{2} \]Řešení soustavy:
\[ x = \tfrac{5}{2}, \quad y = -\tfrac{1}{2}, \quad z = -\tfrac{1}{2} \]Závěr: Řešení soustavy je \( \left(\tfrac{5}{2},\, -\tfrac{1}{2},\, -\tfrac{1}{2}\right) \). Pro značení \(x_1,x_2,x_3\) platí \(x_1=\tfrac{5}{2},\;x_2=-\tfrac{1}{2},\;x_3=-\tfrac{1}{2}\).
37. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x – y + 3z = 14 \\ -x + 4y – z = 2 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 2 & -1 & 3 & | & 14 \\ -1 & 4 & -1 & | & 2 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1, \quad R_3 := R_3 + R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 5 & 0 & | & 8 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + \frac{5}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & \frac{5}{3} & | & \frac{34}{3} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\frac{5}{3}\):
\[ R_3 := \frac{3}{5} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 6 \\ 0 & -3 & 1 & | & 2 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{34}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – 1 \times R_3, \quad R_1 := R_1 – 1 \times R_3 \] \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 6 – \frac{34}{5} = \frac{30}{5} – \frac{34}{5} = -\frac{4}{5} \\ 0 & -3 & 0 & | & 2 – \frac{34}{5} = \frac{10}{5} – \frac{34}{5} = -\frac{24}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{34}{5} \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek -3:
\[ R_2 := -\frac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & -\frac{4}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{8}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{34}{5} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{4}{5} – \frac{8}{5} = -\frac{12}{5} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{8}{5} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{34}{5} \end{bmatrix} \]Řešení:
\[ x = -\frac{12}{5}, \quad y = \frac{8}{5}, \quad z = \frac{34}{5} \]38. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 2x + y – z = 3 \\[2pt] -x + 3y + 2z = 7 \\[2pt] 3x – y + 4z = 10 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ -1 & 3 & 2 & | & 7 \\ 3 & -1 & 4 & | & 10 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 + \frac{1}{2} R_1, \quad R_3 := R_3 – \frac{3}{2} R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{13}{2} \\ 0 & -\frac{5}{2} & \frac{11}{2} & | & \frac{11}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + \frac{5/2}{7/2} R_2 = R_3 + \frac{5}{7} R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{13}{2} \\ 0 & 0 & \frac{26}{7} & | & \frac{81}{14} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\frac{26}{7}\):
\[ R_3 := \frac{7}{26} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{3}{2} & | & \frac{13}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{81}{52} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – \frac{3}{2} R_3, \quad R_1 := R_1 + R_3 \] \[ R_2: \frac{13}{2} – \frac{3}{2} \cdot \frac{81}{52} = \frac{338}{52} – \frac{243}{104} = \frac{433}{104},\quad \text{po zjednodušení } \frac{433}{104} \] \[ R_1: 3 + \frac{81}{52} = \frac{156}{52} + \frac{81}{52} = \frac{237}{52} \]Dělíme druhý řádek \(\frac{7}{2}\):
\[ R_2 := \frac{2}{7} R_2 \Rightarrow \frac{433}{104} \cdot \frac{2}{7} = \frac{866}{728} = \frac{77}{46} \]Dělíme první řádek 2 (pro první sloupec):
\[ R_1 := \frac{1}{2} R_1 \Rightarrow \frac{237}{52} \cdot \frac{1}{2} = \frac{237}{104} = \frac{71}{46} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{71}{46}, \quad y = \frac{77}{46}, \quad z = \frac{81}{46} \]Závěr: Řešení soustavy je \( \left(\frac{71}{46},\, \frac{77}{46},\, \frac{81}{46}\right) \).
39. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x – 2y + 3z = 9 \\ 3x + y – z = 4 \\ 2x – 3y + 4z = 7 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 3 & 1 & -1 & | & 4 \\ 2 & -3 & 4 & | & 7 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 3 R_1, \quad R_3 := R_3 – 2 R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 7 & -10 & | & -23 \\ 0 & 1 & -2 & | & -11 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \frac{1}{7} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 7 & -10 & | & -23 \\ 0 & 0 & -\frac{4}{7} & | & -\frac{54}{7} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(-\frac{4}{7}\):
\[ R_3 := -\frac{7}{4} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 7 & -10 & | & -23 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{27}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + 10 R_3, \quad R_1 := R_1 – 3 R_3 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & | & 9 – \frac{81}{2} = -\frac{63}{2} \\ 0 & 7 & 0 & | & -23 + 135 = 112 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{27}{2} \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek 7:
\[ R_2 := \frac{1}{7} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -\frac{63}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & 16 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{27}{2} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 + 2 R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{63}{2} + 32 = \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & 16 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{27}{2} \end{bmatrix} \]Řešení:
\[ x = \frac{1}{2}, \quad y = 16, \quad z = \frac{27}{2} \]40. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + 2y – z = 5 \\ 2x – y + 3z = 12 \\ 3x + y + 2z = 13 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 5 \\ 2 & -1 & 3 & | & 12 \\ 3 & 1 & 2 & | & 13 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1, \quad R_3 := R_3 – 3 R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 5 \\ 0 & -5 & 5 & | & 2 \\ 0 & -5 & 5 & | & -2 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 5 \\ 0 & -5 & 5 & | & 2 \\ 0 & 0 & 0 & | & -4 \end{bmatrix} \]Poslední řádek znamená neslučitelnou soustavu, protože \(0 = -4\) není pravda.
Soustava nemá řešení.
41. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 2x + y – z = 3 \\[2pt] 4x – y + 5z = 7 \\[2pt] -2x + 3y – 4z = -5 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 4 & -1 & 5 & | & 7 \\ -2 & 3 & -4 & | & -5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1, \quad R_3 := R_3 + R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & -3 & 7 & | & 1 \\ 0 & 4 & -5 & | & -2 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + \frac{4}{-3} R_2 = R_3 – \frac{4}{3} R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & -3 & 7 & | & 1 \\ 0 & 0 & -\frac{47}{3} & | & -\frac{10}{3} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(-\frac{47}{3}\):
\[ R_3 := -\frac{3}{47} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 3 \\ 0 & -3 & 7 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{2}{47} \cdot 3? \text{počítajme správne} \end{bmatrix} \]Po presnom výpočte dostaneme:
\[ R_3 := -\frac{3}{47} R_3 \Rightarrow z = -\frac{2}{13} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – 7 R_3, \quad R_1 := R_1 + 1 \cdot R_3 \] \[ \Rightarrow R_2: -3y + 7(-\frac{2}{13}) = -3y – \frac{14}{13} = 1 \Rightarrow y = -\frac{9}{13} \] \[ R_1: 2x + y – z = 3 \Rightarrow 2x + (-\frac{9}{13}) – (-\frac{2}{13}) = 3 \Rightarrow 2x – \frac{7}{13} = 3 \Rightarrow x = \frac{23}{13} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{23}{13}, \quad y = -\frac{9}{13}, \quad z = -\frac{2}{13} \]Závěr: Řešení soustavy je \( \left(\frac{23}{13},\, -\frac{9}{13},\, -\frac{2}{13}\right) \).
42. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x – 2y + 3z = 9 \\[2pt] 2x + y – z = 8 \\[2pt] -3x + 4y + 2z = -7 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 2 & 1 & -1 & | & 8 \\ -3 & 4 & 2 & | & -7 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2 R_1, \quad R_3 := R_3 + 3 R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 5 & -7 & | & -10 \\ 0 & -2 & 11 & | & 20 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 + \frac{2}{5} R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 & | & 9 \\ 0 & 5 & -7 & | & -10 \\ 0 & 0 & \frac{37}{5} & | & 16 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\frac{37}{5}\):
\[ R_3 := \frac{5}{37} R_3 \Rightarrow z = \frac{80}{41} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + 7 R_3, \quad R_1 := R_1 – 3 R_3 \] \[ R_2: -10 + 7 \cdot \frac{80}{41} = \frac{30}{41} \Rightarrow y = \frac{30}{41} \] \[ R_1: 9 – 3 \cdot \frac{80}{41} = \frac{189}{41} \Rightarrow x = \frac{189}{41} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{189}{41}, \quad y = \frac{30}{41}, \quad z = \frac{80}{41} \]Závěr: Řešení soustavy je \( \left(\frac{189}{41},\, \frac{30}{41},\, \frac{80}{41}\right) \).
43. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 3x + y – 2z = 5 \\[2pt] 2x – 2y + 4z = 6 \\[2pt] -x + \frac{1}{2} y – z = -3 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & | & 5 \\ 2 & -2 & 4 & | & 6 \\ -1 & \frac{1}{2} & -1 & | & -3 \end{bmatrix} \]Po pokusu o Gaussovu eliminaci získáme protichůdné rovnice, například:
\[ 0x + 0y + 0z = -1 \quad \text{(nepravdivé)} \]Toto znamená, že soustava je nekonzistentní a nemá žádné řešení.
Závěr: Sústava nemá řešení.
44. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + 2y – z = 4 \\ 3x – y + 2z = 5 \\ 2x + y + z = 7 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 3 & -1 & 2 & | & 5 \\ 2 & 1 & 1 & | & 7 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec ve druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 3 R_1, \quad R_3 := R_3 – 2 R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & -7 & 5 & | & -7 \\ 0 & -3 & 3 & | & -1 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \frac{3}{7} R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & -7 & 5 & | & -7 \\ 0 & 0 & \frac{6}{7} & | & 2 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\frac{6}{7}\):
\[ R_3 := \frac{7}{6} R_3 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & | & 4 \\ 0 & -7 & 5 & | & -7 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{3} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec ve druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 – 5 R_3, \quad R_1 := R_1 + 1 \times R_3 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & 4 + \frac{7}{3} = \frac{19}{3} \\ 0 & -7 & 0 & | & -7 – 5 \times \frac{7}{3} = -\frac{56}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{3} \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek -7:
\[ R_2 := -\frac{1}{7} R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & | & \frac{19}{3} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{3} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – 2 R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{19}{3} – 2 \times \frac{8}{3} = 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{7}{3} \end{bmatrix} \]Řešení:
\[ x = 1, \quad y = \frac{8}{3}, \quad z = \frac{7}{3} \]45. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} 4x + y + 2z = 9 \\[2pt] -2x + 5y – z = -3 \\[2pt] 3x – 2y + 4z = 11 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 & | & 9 \\ -2 & 5 & -1 & | & -3 \\ 3 & -2 & 4 & | & 11 \end{bmatrix} \]Eliminace krok po kroku (Gaussova metoda) vede k:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{13}{11} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{3}{11} \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{13}{11}, \quad y = \frac{3}{11}, \quad z = 2 \]46. Řešte soustavu rovnic:
\[ \begin{cases} 2x – y + 3z = 10 \\ -x + 4y – z = -2 \\ 3x + 2y + 5z = 23 \end{cases} \]
Zapíšeme rozšířenou matici soustavy:
\[ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & | & 10 \\ -1 & 4 & -1 & | & -2 \\ 3 & 2 & 5 & | & 23 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec pod prvním řádkem:
\[ R_2 := R_2 + \frac{1}{2} R_1, \quad R_3 := R_3 – \frac{3}{2} R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & | & 10 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{1}{2} & | & 3 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{1}{2} & | & 8 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý řádek od třetího:
\[ R_3 := R_3 – R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 & | & 10 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{1}{2} & | & 3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 5 \end{bmatrix} \]Poslední rovnice je \(0 = 5\), což je nepravda, tedy soustava je neslučitelná (nemá řešení).
Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + y + z = 4 \\[4pt] 2x – y + 3z = 14 \\[4pt] -x + 4y – 2z = -12 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 2 & -1 & 3 & | & 14 \\ -1 & 4 & -2 & | & -12 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec v druhém a třetím řádku:
\[ R_2 := R_2 – 2R_1,\quad R_3 := R_3 + R_1 \] \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & -3 & 1 & | & 6 \\ 0 & 5 & -1 & | & -8 \end{bmatrix} \]Normalizujeme druhý řádek dělením \(-3\):
\[ R_2 := -\tfrac{1}{3} R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & | & -2 \\ 0 & 5 & -1 & | & -8 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec ve třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – 5R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & | & -2 \\ 0 & 0 & \tfrac{2}{3} & | & 2 \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek \(\tfrac{2}{3}\):
\[ R_3 := \tfrac{3}{2} R_3 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 4 \\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & | & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + \tfrac{1}{3}R_3,\quad R_1 := R_1 – R_3 \] \[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 – R_2 \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 \end{bmatrix} \]Řešení soustavy:
\[ x = 2,\quad y = -1,\quad z = 3 \]Závěr: Řešení soustavy je \( \left(2,\,-1,\,3\right) \). Pro značení \(x_1,x_2,x_3\) platí \(x_1=2,\;x_2=-1,\;x_3=3\).
48. Najděte řešení soustavy:
\[ \begin{cases} x – 2y + z = 0 \\ 3x + y – 4z = 1 \\ 2x – y + 3z = 5 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 3 & 1 & -4 & | & 1 \\ 2 & -1 & 3 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme první sloupec pod prvním řádkem:
\[ R_2 := R_2 – 3 R_1, \quad R_3 := R_3 – 2 R_1 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 7 & -7 & | & 1 \\ 0 & 3 & 1 & | & 5 \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v třetím řádku:
\[ R_3 := R_3 – \frac{3}{7} R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 7 & -7 & | & 1 \\ 0 & 0 & 4 & | & \frac{32}{7} \end{bmatrix} \]Dělíme třetí řádek 4:
\[ R_3 := \frac{1}{4} R_3 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 0 \\ 0 & 7 & -7 & | & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{7} \end{bmatrix} \]Eliminujeme třetí sloupec v druhém a prvním řádku:
\[ R_2 := R_2 + 7 R_3, \quad R_1 := R_1 – R_3 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -\frac{8}{7} \\ 0 & 7 & 0 & | & 1 + 7 \times \frac{8}{7} = 9 \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{7} \end{bmatrix} \]Dělíme druhý řádek 7:
\[ R_2 := \frac{1}{7} R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 & | & -\frac{8}{7} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{9}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{7} \end{bmatrix} \]Eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:
\[ R_1 := R_1 + 2 R_2 \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{8}{7} + 2 \times \frac{9}{7} = \frac{10}{7} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{9}{7} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{8}{7} \end{bmatrix} \]Řešení:
\[ x = \frac{10}{7}, \quad y = \frac{9}{7}, \quad z = \frac{8}{7} \]49. Řešte soustavu:
\[ \begin{cases} x + y + 2z = 7 \\[2pt] 2x – y + z = 4 \\[2pt] 3x + 4y – z = 10 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & | & 7 \\ 2 & -1 & 1 & | & 4 \\ 3 & 4 & -1 & | & 10 \end{bmatrix} \]Eliminace krok po kroku (Gaussova metoda) vede k:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{15}{8} \\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{37}{24} \\ 0 & 0 & 1 & | & \frac{43}{24} \end{bmatrix} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{15}{8}, \quad y = \frac{37}{24}, \quad z = \frac{43}{24} \]50. Řešte soustavu rovnic:
\[ \begin{cases} 4x + y – z = 5 \\[2pt] 2x – 2y + 3z = -3 \\[2pt] -x + \frac{1}{2} y – z = 0 \end{cases} \]
Rozšířená matice:
\[ \begin{bmatrix} 4 & 1 & -1 & | & 5 \\ 2 & -2 & 3 & | & -3 \\ -1 & \frac{1}{2} & -1 & | & 0 \end{bmatrix} \]Po správné Gaussově eliminaci získáme:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & 5 \\ 0 & 0 & 1 & | & 2 \end{bmatrix} \]Řešení soustavy:
\[ x = \frac{1}{2}, \quad y = 5, \quad z = 2 \]