1. Vypočítejte limity funkce \( f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} \) zleva, zprava a v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována jako \( f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} \). V bodě \( x=2 \) je jmenovatel nulový, proto funkce není přímo definovaná.
Nejprve zjednodušíme výraz, pokud je to možné:
\( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \Rightarrow f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \)
Pro \( x \neq 2 \) platí:
\( f(x) = x + 2 \)
Nyní určíme limitu zleva (tj. pro \( x \to 2^- \)):
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x+2) = 2 + 2 = 4 \)
Limita zprava (pro \( x \to 2^+ \)) je shodná:
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4 \)
Funkce není definována v bodě \( x=2 \), tedy \( f(2) \) neexistuje.
Celkově tedy:
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 4 \), ale \( f(2) \) není definováno.
Funkce má tedy limitu v bodě \( x=2 \) rovnu \(4\).
2. Určete limitu zleva, zprava a limitu v bodě pro funkci \( g(x) = \frac{|x|}{x} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( g(x) = \frac{|x|}{x} \) není definována v bodě \( x=0 \), protože jmenovatel by byl nula.
Určíme limitu zleva \( (x \to 0^-) \):
Pro \( x < 0 \) platí \( |x| = -x \), tedy
\( g(x) = \frac{-x}{x} = -1 \)
Limita zleva je tedy:
\( \lim_{x \to 0^-} g(x) = -1 \)
Určíme limitu zprava \( (x \to 0^+) \):
Pro \( x > 0 \) platí \( |x| = x \), tedy
\( g(x) = \frac{x}{x} = 1 \)
Limita zprava je tedy:
\( \lim_{x \to 0^+} g(x) = 1 \)
Protože limita zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě \( x=0 \) neexistuje:
\( \lim_{x \to 0} g(x) \) neexistuje.
3. Zjistěte limity zleva, zprava a v bodě funkce \( h(x) = \frac{1}{x} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( h(x) = \frac{1}{x} \) není definována v bodě \( x=0 \).
Limita zleva \( x \to 0^- \):
Když se \( x \) blíží k nule zleva, \( x \) je záporné a velmi malé, takže \( \frac{1}{x} \) klesá k \(-\infty\).
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \)
Limita zprava \( x \to 0^+ \):
Když se \( x \) blíží k nule zprava, \( x \) je kladné a velmi malé, tedy \( \frac{1}{x} \) roste k \( +\infty \).
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \)
Protože limita zleva a zprava nejsou shodné a jsou nekonečné s opačnými znaménky, limita v bodě \( x=0 \) neexistuje.
4. Určete limitu funkce \( f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) zleva, zprava a v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) není definovaná v bodě \( x=0 \).
Limity zleva i zprava se liší pouze směrem, ale hodnoty \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) oscilují mezi \(-1\) a \(1\) nekonečně často při přiblížení k nule.
To znamená, že neexistuje žádná limita zleva ani zprava, protože funkce nemá ustálenou hodnotu.
Formálně:
\( \lim_{x \to 0^-} \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) neexistuje a \( \lim_{x \to 0^+} \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) neexistuje.
Limita v bodě \( x=0 \) tedy neexistuje.
5. Spočítejte limity funkce \( f(x) = \frac{x^2 – 9}{|x| – 3} \) zleva, zprava a v bodě \( x=3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není přímo definovaná v bodě \( x=3 \), protože jmenovatel \( |3| – 3 = 0 \).
Upravme čitatel:
\( x^2 – 9 = (x-3)(x+3) \)
Pro \( x > 0 \) platí \( |x| = x \), pro \( x < 0 \) platí \( |x| = -x \).
Limita zleva \( x \to 3^- \):
Pro \( x \to 3^- \) je \( x > 0 \), tedy \( |x| = x \).
Funkce pro \( x \neq 3 \) se dá zjednodušit:
\( f(x) = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3 \)
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x+3) = 6 \)
Limita zprava \( x \to 3^+ \):
Stejný postup, \( |x|=x \), tedy také
\( \lim_{x \to 3^+} f(x) = 6 \)
Limita v bodě \( x=3 \) je tedy \(6\).
6. Určete limity funkce \( f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x} – 1} \) zleva, zprava a v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=1 \) máme neurčitý výraz \( \frac{0}{0} \).
Upravíme zlomek využitím násobení sdruženým výrazem:
\( f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x} – 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(x-1)(\sqrt{x} + 1)}{x – 1} \)
Zkrátíme \( x-1 \) (pro \( x \neq 1 \)):
\( f(x) = \sqrt{x} + 1 \)
Limita zleva i zprava je tedy:
\( \lim_{x \to 1} f(x) = \sqrt{1} + 1 = 2 \)
Limita existuje a je rovna \(2\).
7. Najděte limity funkce \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) zleva, zprava a v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná přímo v bodě \( x=0 \).
Známe známý limitní vztah:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)
Protože limita je stejná zleva i zprava, platí:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1 \), \( \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1 \), a tedy \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
8. Vypočítejte limity zleva, zprava a v bodě pro funkci \( f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 2x – 1 & x > 1 \end{cases} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \leq 1 \) je \( f(x) = x^2 \).
Limita zleva \( x \to 1^- \):
\( \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1 \)
Pro \( x > 1 \) je \( f(x) = 2x – 1 \).
Limita zprava \( x \to 1^+ \):
\( \lim_{x \to 1^+} (2x – 1) = 2 \cdot 1 – 1 = 1 \)
Protože limita zleva a zprava je stejná, limita v bodě existuje a je rovna \(1\).
Navíc \( f(1) = 1^2 = 1 \), tedy funkce je spojitá v bodě \( x=1 \).
9. Určete limity zleva, zprava a v bodě pro funkci \( f(x) = \frac{|x-1|}{x-1} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x=1 \), protože jmenovatel je nulový.
Limita zleva \( x \to 1^- \):
Pro \( x < 1 \) platí \( |x-1| = 1 - x \), tedy
\( f(x) = \frac{1 – x}{x – 1} = \frac{-(x-1)}{x-1} = -1 \)
Limita zleva je tedy \( -1 \).
Limita zprava \( x \to 1^+ \):
Pro \( x > 1 \) platí \( |x-1| = x-1 \), tedy
\( f(x) = \frac{x-1}{x-1} = 1 \)
Limita zprava je tedy \( 1 \).
Limita v bodě \( x=1 \) neexistuje, protože limity zleva a zprava se liší.
10. Spočítejte limity zleva, zprava a v bodě pro funkci \( f(x) = \ln(x-1) \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \ln(x-1) \) je definovaná pro \( x > 1 \).
Limita zleva \( x \to 1^- \) není definovaná, protože \( x-1 < 0 \) a logaritmus není definovaný pro záporná čísla.
Limita zprava \( x \to 1^+ \):
Pro \( x \to 1^+ \) platí, že \( x-1 \to 0^+ \), tedy
\( \lim_{x \to 1^+} \ln(x-1) = -\infty \)
Limita zleva neexistuje, limita zprava jde do \(-\infty\), tedy limita v bodě \( x=1 \) neexistuje.
11. Určete limita funkce \( f(x) = \frac{x^2 – 9}{x – 3} \) zleva, zprava a obecnou limitu v bodě \( x_0 = 3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována jako \( f(x) = \frac{x^2 – 9}{x – 3} \). Nejprve si všimneme, že v bodě \( x=3 \) má jmenovatel nulovou hodnotu, proto je potřeba limitu zkoumat zvlášť.
Vyjádříme čitatel jako rozdíl čtverců: \( x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3) \), takže pro \( x \neq 3 \) platí
\( f(x) = \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3 \).
Limita tedy odpovídá limitě funkce \( g(x) = x + 3 \) v bodě \( x = 3 \).
Zleva:
\( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \).
Zprava:
\( \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \).
Obecná limita v bodě:
Jelikož limita zleva i zprava je stejná, platí
\( \lim_{x \to 3} f(x) = 6 \).
Funkce má tedy v bodě \( x=3 \) limitu \(6\), i když v tomto bodě není přímo definována.
12. Zjistěte limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{|x|}{x} \) je definována pro všechna \( x \neq 0 \).
Pro \( x > 0 \) platí \( |x| = x \), tedy
\( f(x) = \frac{x}{x} = 1 \).
Pro \( x < 0 \) platí \( |x| = -x \), takže
\( f(x) = \frac{-x}{x} = -1 \).
Zleva tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Zprava
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Limita v bodě \( 0 \) neexistuje, protože limita zleva a zprava nejsou shodné, tzn.
\( \lim_{x \to 0} f(x) \) neexistuje.
13. Pro funkci \( f(x) = \sin \frac{1}{x} \) určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \), pokud existuje.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \sin \frac{1}{x} \) není definována v bodě \( x=0 \), ale je definována v okolí tohoto bodu mimo \( x=0 \).
Zkoumáme limitu \( \lim_{x \to 0} \sin \frac{1}{x} \).
Protože funkce \( \sin \) osciluje mezi \(-1\) a \(1\), hodnota \( \sin \frac{1}{x} \) při \( x \to 0 \) osciluje mezi \(-1\) a \(1\) a nemá žádnou limitu.
Limity zleva a zprava neexistují, protože hodnoty oscilují bez přiblížení se k jednomu číslu.
Formálně:
Existují posloupnosti \( x_n \to 0 \), pro které \( \sin \frac{1}{x_n} \to 1 \) i posloupnosti \( y_n \to 0 \), pro které \( \sin \frac{1}{y_n} \to -1 \), proto
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) \) neexistuje,
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) \) neexistuje,
a tedy
\( \lim_{x \to 0} f(x) \) neexistuje.
14. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x = 1 \) je jmenovatel nulový, proto použijeme algebraickou úpravu.
Rovnici upravíme pomocí násobení konjugátem:
\( f(x) = \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x – 1}{(x – 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \), pro \( x \neq 1 \).
Limita zleva je tedy
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita zprava
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2} \).
Protože limity zleva i zprava jsou stejné, limita v bodě existuje a platí
\( \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{2} \).
15. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{e^x – 1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není v bodě \( x=0 \) přímo definována, protože jmenovatel je nulový. Zkoumáme limita
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} \).
Použijeme Taylorův rozvoj \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots \).
Dosadíme do výrazu:
\( \frac{e^x – 1}{x} = \frac{1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots – 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2} + \dots}{x} = 1 + \frac{x}{2} + \dots \).
Limita zleva i zprava je tedy
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \),
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \),
a tedy
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \).
16. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci
\( f(x) = \begin{cases} x^2 – 4, & x < 2 \\ \frac{1}{x-2}, & x > 2 \end{cases} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována dvěma různými předpisy vlevo a vpravo od bodu \( x=2 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 – 4) = 2^2 – 4 = 4 – 4 = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{1}{x – 2} \).
Jelikož \( x \to 2^+ \Rightarrow x – 2 > 0 \) velmi malé, tedy
\( \frac{1}{x – 2} \to +\infty \).
Limita zprava neexistuje jako konečné číslo.
Limita v bodě \( x=2 \) neexistuje, protože limita zleva je \(0\) a limita zprava diverguje do nekonečna.
17. Zjistěte limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v bodě \( x=0 \), protože jmenovatel je nulový, ale existuje limita
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \).
Známe standardní limitu z matematiky:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
Limita zleva i zprava je tedy rovna \(1\):
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1 \),
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1 \),
a tedy
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
18. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci
\( f(x) = \begin{cases} \ln x, & x > 0, x \neq 1 \\ 0, & x = 1 \end{cases} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována jako logaritmus pro \( x > 0 \), s vyjímkou v bodě \( x=1 \), kde je definována hodnota \(0\).
Limita zleva:
Funkce je definovaná jen pro \( x > 0 \), takže limita zleva v \( x=1 \) neexistuje.
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} \ln x = \ln 1 = 0 \).
Limita obecná:
Jelikož limita zleva neexistuje (funkce není definována pro \( x < 1 \) blízko \( 1 \)), limita v bodě neexistuje.
19. Pro funkci \( f(x) = \frac{1}{x} \) určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \), pokud existují.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \) není definována v bodě \( x=0 \), zkoumáme limity:
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} \).
Protože \( x \to 0^- \) znamená, že \( x \) je záporné a velmi malé, tedy hodnota \( \frac{1}{x} \to -\infty \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} \to +\infty \).
Obecná limita v bodě \( 0 \) neexistuje, protože limita zleva a zprava nejsou stejné a ani konečné.
20. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x}{|x|} \sin \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) = \frac{x}{|x|} \sin \frac{1}{x} \) je definována pro všechna \( x \neq 0 \).
Všimněme si, že \( \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) \sin \frac{1}{x} = – \lim_{x \to 0^-} \sin \frac{1}{x} \).
Protože \( \sin \frac{1}{x} \) osciluje mezi \(-1\) a \(1\) bez limitního přiblížení, neexistuje limita zleva.
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (1) \sin \frac{1}{x} = \lim_{x \to 0^+} \sin \frac{1}{x} \), která neexistuje.
Obecná limita neexistuje.
21. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x^2 – 4}{x-2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce má v bodě \( x=2 \) neurčitý tvar, protože jmenovatel \( x-2 = 0 \).
Vyjádříme čitatel jako součin:
\( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) \).
Pro \( x \neq 2 \) tedy platí:
\( f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x+2) = 4 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 4 \).
Protože limita zleva i zprava jsou stejné, platí:
\( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \).
22. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v \( x=0 \).
Pro \( x>0 \) platí \( f(x) = \frac{x}{x} = 1 \).
Pro \( x<0 \) platí \( f(x) = \frac{-x}{x} = -1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Protože limity zleva a zprava se liší, obecná limita v bodě neexistuje.
23. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \sqrt{x+1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Definiční obor je \( x \geq -1 \), takže je funkce definována v okolí \( x=0 \) zleva i zprava.
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} \sqrt{x+1} = \sqrt{0+1} = 1 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x+1} = 1 \).
Protože limity zleva i zprava jsou shodné, platí:
\( \lim_{x \to 0} \sqrt{x+1} = 1 \).
24. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v \( x=0 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \).
Protože limity zleva a zprava nejsou stejné, obecná limita neexistuje.
25. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x^3 – 8}{x – 2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce má v bodě \( x=2 \) neurčitý tvar, protože jmenovatel je nulový.
Rozložíme čitatel pomocí vzorce pro rozdíl třetích mocnin:
\( x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \).
Pro \( x \neq 2 \) platí:
\( f(x) = x^2 + 2x + 4 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = 2^2 + 2 \cdot 2 + 4 = 12 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = 12 \).
Protože limity zleva i zprava jsou stejné, platí:
\( \lim_{x \to 2} f(x) = 12 \).
26. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \sin \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v \( x=0 \).
Funkce osciluje mezi \(-1\) a \(1\), přičemž v okolí nuly není žádná limitní hodnota.
Limita zleva neexistuje, protože \( \sin \frac{1}{x} \) nemá limitu při \( x \to 0^- \).
Limita zprava neexistuje z téhož důvodu.
Obecná limita neexistuje.
27. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{2x^2 – 3x + 1}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=1 \) je jmenovatel nulový.
Rozložíme čitatel:
\( 2x^2 – 3x + 1 = (2x – 1)(x – 1) \).
Pro \( x \neq 1 \) tedy:
\( f(x) = 2x – 1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \cdot 1 – 1 = 1 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 \).
Protože limity zleva i zprava jsou stejné, platí:
\( \lim_{x \to 1} f(x) = 1 \).
28. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v \( x=0 \) přímo, ale limita existuje.
Limita zleva i zprava:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
Protože limita zleva i zprava je stejná, platí:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
29. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x}{|x|} \cos \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována pro \( x \neq 0 \).
Pro \( x > 0 \): \( f(x) = 1 \cdot \cos \frac{1}{x} = \cos \frac{1}{x} \).
Pro \( x < 0 \): \( f(x) = -1 \cdot \cos \frac{1}{x} = -\cos \frac{1}{x} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = – \lim_{x \to 0^-} \cos \frac{1}{x} \), která neexistuje, protože \( \cos \frac{1}{x} \) osciluje.
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \cos \frac{1}{x} \), která také neexistuje.
Obecná limita neexistuje.
30. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x – 1|}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v \( x=1 \).
Pro \( x > 1 \):
\( f(x) = \frac{x – 1}{x – 1} = 1 \).
Pro \( x < 1 \):
\( f(x) = \frac{1 – x}{x – 1} = -1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 \).
Protože limity zleva a zprava jsou různé, obecná limita neexistuje.
31. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=1 \) máme tvar neurčitý \(\frac{0}{0}\).
Upravíme výraz pomocí rozšíření o konjugát:
\( f(x) = \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x – 1}{(x – 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \), pro \( x \neq 1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{2} \).
Protože limity zleva i zprava jsou stejné, platí:
\( \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{2} \).
32. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = x \sin \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v \( x=0 \), ale limitu můžeme určit.
Omezíme hodnotu funkce pomocí nerovnosti:
\( |f(x)| = |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \), protože \( |\sin t| \leq 1 \) pro všechna \( t \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0 \), protože \( |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} |x \sin \frac{1}{x}| = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Protože limity zleva i zprava jsou stejné, platí:
\( \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 \).
33. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|}{x^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v \( x=0 \).
Pro \( x > 0 \) platí \( f(x) = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \).
Pro \( x < 0 \) platí \( f(x) = \frac{-x}{x^2} = -\frac{1}{x} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{x} = -\infty \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty \).
Protože limity zleva a zprava nejsou stejné, obecná limita v bodě \( x=0 \) neexistuje.
34. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{1 – \cos x}{x^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Použijeme známý limitní vztah: \( \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \).
Limita zleva i zprava je stejná, protože funkce je sudá a symetrická v okolí nuly.
Proto:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2} \).
35. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\tan x}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) je tvar neurčitý \(\frac{0}{0}\).
Známý limitní vztah je \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \).
Limity zleva i zprava jsou stejné, protože tangens je lichá funkce a v okolí nuly spojitá.
Proto:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \).
36. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{|x – 1|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v \( x=1 \) kvůli jmenovateli.
Čitatel rozložíme:
\( x^2 – 1 = (x-1)(x+1) \).
Pro \( x \neq 1 \) platí:
\( f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{|x – 1|} = (x+1) \cdot \frac{x-1}{|x-1|} \).
Všimněme si, že
\( \frac{x-1}{|x-1|} = \begin{cases} 1, & x > 1 \\ -1, & x < 1 \end{cases} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x+1) \cdot (-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x+1) \cdot 1 = 2 \).
Protože limity zleva a zprava jsou různé, obecná limita v bodě \( x=1 \) neexistuje.
37. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{e^x – 1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Známý limitní vztah je \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \).
Funkce je spojitá a monotónní v okolí nuly, proto limity zleva i zprava existují a jsou stejné.
Proto:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \).
38. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
1. Nejprve si všimneme, že při dosazení \( x = 0 \) získáme neurčitý tvar:
\[
f(0) = \frac{\ln(1+0)}{0} = \frac{0}{0}
\]
2. Pro vyřešení tohoto limitního výrazu využijeme známý limitní vztah:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
\]
Tento vztah je odvozen například pomocí Taylorova rozvoje funkce \(\ln(1+x) \approx x – \frac{x^2}{2} + \dots\) pro malé \(x\), nebo pomocí L’Hospitalova pravidla.
3. Funkce \( f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \) je definovaná pro \( x > -1 \) a spojitá v okolí nuly (kromě samotného bodu \(x=0\)), proto můžeme určit limity zleva a zprava:
Limita zleva: \(\displaystyle \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1\)
Limita zprava: \(\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\)
4. Protože limity zleva i zprava jsou stejné, platí i limita v bodě \( x_0 = 0 \):
\[
\lim_{x \to 0} f(x) = 1
\]
Závěr: limita zleva, zprava i obecná limita v bodě \(x_0 = 0\) jsou všechny rovny \(1\).
39. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme tvar neurčitý \(\frac{0}{0}\).
Upravíme jmenovatel pomocí konjugátu:
\( f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1} – 1} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 1}{\sqrt{x^2 + 1} + 1} = \frac{x(\sqrt{x^2 + 1} + 1)}{x^2 + 1 – 1} = \frac{x(\sqrt{x^2 + 1} + 1)}{x^2} \), pro \( x \neq 0 \).
Dále
\( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 1}{x} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x^2 + 1} + 1}{x} \).
Čitatel jde k hodnotě \(2\), jmenovatel k \(0\) zleva (tedy záporným hodnotám), takže
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty \).
Protože limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě \( x=0 \) neexistuje.
40. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x – 2|}{x – 2} + \frac{3}{x – 2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v \( x=2 \).
Pro \( x > 2 \):
\( f(x) = \frac{x-2}{x-2} + \frac{3}{x-2} = 1 + \frac{3}{x-2} \).
Pro \( x < 2 \):
\( f(x) = \frac{2 – x}{x – 2} + \frac{3}{x – 2} = -1 + \frac{3}{x-2} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \left(-1 + \frac{3}{x-2}\right) = -\infty \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \left(1 + \frac{3}{x-2}\right) = +\infty \).
Protože limity zleva a zprava nejsou stejné, obecná limita neexistuje.
41. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin(2x)}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Pomocí známého limitního vztahu \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a \) pro konstantu \( a \) určíme limitu.
Zde \( a = 2 \), proto:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x} = 2 \).
Limita zleva i zprava je stejná, protože sinus je spojitá funkce a násobení konstantou nemění vlastnosti limit.
Proto:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = 2 \).
42. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x^2 – 1|}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 1 \) rozložíme čitatel:
\( |x^2 – 1| = |(x-1)(x+1)| = |x-1| \cdot |x+1| \).
Funkce tedy je
\( f(x) = \frac{|x-1| \cdot |x+1|}{x-1} = |x+1| \cdot \frac{|x-1|}{x-1} \).
Funkce \( \frac{|x-1|}{x-1} \) je rovna 1, pokud \( x > 1 \), a -1, pokud \( x < 1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} |x+1| \cdot (-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} |x+1| \cdot 1 = 2 \).
Limity zleva a zprava se liší, proto limita v bodě \( x=1 \) neexistuje.
43. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sqrt{1+x} – 1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Upravíme výraz rozšířením o konjugát:
\( f(x) = \frac{\sqrt{1+x} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x} + 1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{(1+x) – 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \), pro \( x \neq 0 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{2} \).
Limity zleva i zprava jsou stejné, proto:
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2} \).
44. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin x – x}{x^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Rozvineme \(\sin x\) do Taylorova polynomu v okolí \(0\):
\( \sin x = x – \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} – \dots \)
Dosadíme do výrazu:
\( f(x) = \frac{\sin x – x}{x^3} = \frac{\left(x – \frac{x^3}{6} + \dots\right) – x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + \dots}{x^3} = -\frac{1}{6} + \dots \).
Limita tedy je
\( \lim_{x \to 0} f(x) = -\frac{1}{6} \).
Limity zleva i zprava jsou stejné, protože všechny výrazy jsou spojité v okolí nuly.
45. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{1}{x-1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v \( x=1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty \), protože jmenovatel jde k \(0\) zleva (záporné hodnoty).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x-1} = +\infty \), protože jmenovatel jde k 0 zprava (kladné hodnoty).
Limity zleva a zprava jsou rozdílné, proto limita v bodě neexistuje.
46. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{e^{x} – 1 – x}{x^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Rozvineme \( e^{x} \) do Taylorova polynomu v okolí \(0\):
\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots \)
Dosadíme do výrazu:
\( f(x) = \frac{(1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots) – 1 – x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + \dots}{x^2} = \frac{1}{2} + \dots \).
Limita tedy je
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2} \).
Limity zleva i zprava jsou stejné.
47. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\ln(1+x)}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Použijeme limitní vztah pro logaritmus:
\( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \).
Funkce je definována a spojitá pro \( x > -1 \), takže limity zleva i zprava existují a jsou stejné.
Proto
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \).
48. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{1 – \cos x}{x^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Rozvineme \(\cos x\) do Taylorova polynomu kolem \(0\):
\( \cos x = 1 – \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} – \dots \)
Dosadíme do výrazu:
\( f(x) = \frac{1 – (1 – \frac{x^2}{2} + \dots)}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + \dots}{x^2} = \frac{1}{2} + \dots \).
Limita je tedy
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{2} \).
Limity zleva i zprava jsou stejné.
49. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x – 1}{|x – 1|} \cdot \sqrt{x + 2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( \frac{x-1}{|x-1|} \) je rovna -1 pro \( x < 1 \) a 1 pro \( x > 1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-1) \cdot \sqrt{x+2} = -\sqrt{3} \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} 1 \cdot \sqrt{x+2} = \sqrt{3} \).
Protože limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě \( x=1 \) neexistuje.
50. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\tan x – x}{x^3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Rozvineme \(\tan x\) do Taylorova polynomu kolem \(0\):
\( \tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots \)
Dosadíme do výrazu:
\( f(x) = \frac{(x + \frac{x^3}{3} + \dots) – x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3} + \dots}{x^3} = \frac{1}{3} + \dots \).
Limita tedy je
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{3} \).
Limity zleva i zprava jsou stejné, protože Taylorovy řady mají stejné hodnoty z obou stran.
51. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sqrt{x+2} – 2}{x – 2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x = 2 \) dostaneme tvar \(\frac{0}{0}\), protože \(\sqrt{4} – 2 = 0\) a jmenovatel je také \(0\).
Upravíme výraz pomocí konjugátu:
\( f(x) = \frac{\sqrt{x+2} – 2}{x – 2} \cdot \frac{\sqrt{x+2} + 2}{\sqrt{x+2} + 2} = \frac{x + 2 – 4}{(x – 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{x – 2}{(x – 2)(\sqrt{x+2} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+2} + 2} \), pro \( x \neq 2 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \frac{1}{4} \).
Protože limity zleva i zprava jsou stejné, platí
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \frac{1}{4} \).
52. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|}{x} \cdot e^x \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována mimo \( x=0 \), protože \( \frac{|x|}{x} \) není definováno v \(0\).
Pro \( x > 0 \) je \( \frac{|x|}{x} = 1 \), pro \( x < 0 \) je \( \frac{|x|}{x} = -1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (-1) \cdot e^x = – e^0 = -1 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} 1 \cdot e^x = e^0 = 1 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, proto limita v bodě \( x=0 \) neexistuje.
53. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = \pi \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin x}{x – \pi} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x = \pi \) máme tvar \(\frac{0}{0}\), protože \( \sin \pi = 0 \) a jmenovatel \( \pi – \pi = 0 \).
Limitu vyšetříme zleva a zprava.
Limita zleva (\( x \to \pi^- \)):
Pro \( x \) těsně menší než \(\pi\) je \( \sin x \approx \sin \pi – \cos \pi (x – \pi) = 0 – (-1)(x – \pi) = x – \pi \).
Dosadíme do výrazu:
\( f(x) \approx \frac{x – \pi}{x – \pi} = 1 \).
Limita zprava (\( x \to \pi^+ \)):
Stejným způsobem:
\( \sin x \approx (x – \pi) \), a proto \( f(x) \approx 1 \).
Limity zleva i zprava jsou tedy stejné:
\( \lim_{x \to \pi} f(x) = 1 \).
54. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce lze upravit:
\( f(x) = x \sin \frac{1}{x} \), pro \( x \neq 0 \).
Limita zleva i zprava závisí na chování \( \sin \frac{1}{x} \), která osciluje mezi \(-1\) a \(1\).
Proto platí nerovnost:
\( -|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x| \).
Limity zleva a zprava jsou tedy rovny 0 podle věty o třech polích:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \), \( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \).
55. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{1}{x} \sin \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \to 0 \) výraz \(\frac{1}{x}\) diverguje, a \(\sin \frac{1}{x}\) osciluje mezi \(-1\) a \(1\).
Funkce tedy nemá limitu zleva ani zprava, protože produkt oscilující funkce a divergujícího členu nemá limitu.
Konkrétně, pokud vezmeme posloupnosti \( x_n = \frac{1}{\pi n} \) a \( y_n = \frac{1}{\pi n + \pi/2} \), tak
\( f(x_n) = \pi n \cdot \sin(\pi n) = 0 \),
ale
\( f(y_n) = (\pi n + \pi/2) \cdot \sin(\pi n + \pi/2) = (\pi n + \pi/2) \cdot 1 \to +\infty \).
Tedy limita neexistuje.
56. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\arctan x}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme tvar \(\frac{0}{0}\).
Rozvineme \(\arctan x\) do Taylorova polynomu kolem \(0\):
\( \arctan x = x – \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} – \dots \)
Dosadíme do výrazu:
\( f(x) = \frac{x – \frac{x^3}{3} + \dots}{x} = 1 – \frac{x^2}{3} + \dots \).
Limita je tedy
\( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \).
Limity zleva i zprava jsou stejné.
57. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|}{x^2 + 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována pro všechna reálná \( x \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x^2 + 1} = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x^2 + 1} = 0 \).
Protože limity zleva i zprava jsou stejné, limita v bodě existuje a je rovna \(0\).
58. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{|x – 1|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Upravíme čitatel:
\( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \).
Funkce tedy je:
\( f(x) = \frac{(x – 1)(x + 1)}{|x – 1|} = (x + 1) \cdot \frac{x – 1}{|x – 1|} \).
Funkce \(\frac{x – 1}{|x – 1|}\) je -1 pro \( x < 1 \) a 1 pro \( x > 1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = (1 + 1)(-1) = -2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = (1 + 1)(1) = 2 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, proto limita v bodě \( x=1 \) neexistuje.
59. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin (2x)}{|x|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) můžeme psát:
\( f(x) = \frac{\sin (2x)}{|x|} = \frac{\sin (2x)}{x} \cdot \frac{x}{|x|} \).
Funkce \(\frac{x}{|x|}\) je -1 pro \( x < 0 \) a 1 pro \( x > 0 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin (2x)}{x} \cdot (-1) = – \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin (2x)}{x} \).
Využijeme limitu \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin (2x)}{x} = 2 \).
Proto
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin (2x)}{x} \cdot 1 = 2 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje.
60. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{e^{|x|} – 1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována pro \( x \neq 0 \), v bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\).
Rozdělíme limitu na levou a pravou stranu:
Pro \( x > 0 \): \( f(x) = \frac{e^x – 1}{x} \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x – 1}{x} \).
Rozvineme \( e^x \) do Taylorova polynomu:
\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots \Rightarrow e^x – 1 = x + \frac{x^2}{2} + \dots \).
Dosadíme do výrazu:
\( \frac{e^x – 1}{x} = \frac{x + \frac{x^2}{2} + \dots}{x} = 1 + \frac{x}{2} + \dots \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Pro \( x < 0 \): \( f(x) = \frac{e^{-x} - 1}{x} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-x} – 1}{x} \).
Rozvineme \( e^{-x} \) do Taylorova polynomu:
\( e^{-x} = 1 – x + \frac{x^2}{2} – \dots \Rightarrow e^{-x} – 1 = -x + \frac{x^2}{2} – \dots \).
Dosadíme:
\( f(x) = \frac{-x + \frac{x^2}{2} + \dots}{x} = -1 + \frac{x}{2} + \dots \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje.
61. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + x + 1} – 1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x=0 \) máme neurčitý tvar \(\frac{0}{0}\), protože
\( f(0) = \frac{\sqrt{0 + 0 + 1} – 1}{0} = \frac{1 – 1}{0} = \frac{0}{0} \).
Použijeme úpravu výrazu pomocí konjugovaného výrazu:
\( f(x) = \frac{\sqrt{x^2 + x + 1} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + x + 1} + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + 1} = \frac{x^2 + x + 1 – 1}{x(\sqrt{x^2 + x + 1} + 1)} = \frac{x^2 + x}{x(\sqrt{x^2 + x + 1} + 1)} \).
Po zkrácení \( x \neq 0 \) dostaneme:
\( f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + 1} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \frac{0 + 1}{\sqrt{0 + 0 + 1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{0 + 1}{\sqrt{0 + 0 + 1} + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita v bodě existuje a je rovna \( \frac{1}{2} \).
62. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x^2 – 1|}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 1 \) rozložíme výraz:
\( |x^2 – 1| = |(x – 1)(x + 1)| = |x – 1| \cdot |x + 1| \).
Funkce je tedy:
\( f(x) = \frac{|x – 1| \cdot |x + 1|}{x – 1} = |x + 1| \cdot \frac{|x – 1|}{x – 1} \).
Výraz \( \frac{|x – 1|}{x – 1} \) má hodnotu -1 pro \( x < 1 \) a 1 pro \( x > 1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = |1 + 1| \cdot (-1) = 2 \cdot (-1) = -2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = |1 + 1| \cdot 1 = 2 \cdot 1 = 2 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě \( x=1 \) neexistuje.
63. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\ln(1 + |x|)}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x=0 \) kvůli jmenovateli.
Pro \( x \to 0^- \) platí:
\( f(x) = \frac{\ln(1 + (-x))}{x} = \frac{\ln(1 – x)}{x} \).
Pro malé \( x \) můžeme využít rozvoj \( \ln(1 + t) \approx t – \frac{t^2}{2} + \dots \) pro \( t \to 0 \).
Tedy:
\( \ln(1 – x) \approx -x – \frac{x^2}{2} + \dots \).
Dosadíme do výrazu:
\( f(x) \approx \frac{-x – \frac{x^2}{2}}{x} = -1 – \frac{x}{2} + \dots \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Pro \( x \to 0^+ \):
\( f(x) = \frac{\ln(1 + x)}{x} \).
Podobně rozvíjíme:
\( \ln(1 + x) \approx x – \frac{x^2}{2} + \dots \).
Proto:
\( f(x) \approx \frac{x – \frac{x^2}{2}}{x} = 1 – \frac{x}{2} + \dots \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje.
64. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|^3}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) platí:
\( f(x) = \frac{|x|^3}{x} = |x|^2 \cdot \frac{|x|}{x} = x^2 \cdot \frac{|x|}{x} \).
Funkce \( \frac{|x|}{x} \) je -1 pro \( x < 0 \) a 1 pro \( x > 0 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 \cdot (-1) = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 \cdot 1 = 0 \).
Limita v bodě existuje a je rovna \(0\).
65. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x – 2|}{x – 2} \cdot (x^2 – 4) \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 2 \) platí:
\( \frac{|x – 2|}{x – 2} = \begin{cases} 1, & x > 2 \\ -1, & x < 2 \end{cases} \).
Funkce je tedy:
\( f(x) = \frac{|x – 2|}{x – 2} (x^2 – 4) \).
Upravíme \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \).
Pro \( x > 2 \):
\( f(x) = 1 \cdot (x – 2)(x + 2) \Rightarrow \lim_{x \to 2^+} f(x) = 0 \).
Pro \( x < 2 \):
\( f(x) = -1 \cdot (x – 2)(x + 2) \Rightarrow \lim_{x \to 2^-} f(x) = -0 = 0 \).
Limity zleva i zprava jsou rovny \(0\), limita v bodě existuje a je rovna \(0\).
66. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{e^{|x|} – 1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \to 0 \) máme tvar \( \frac{0}{0} \).
Použijeme limitu definovanou rozvojem exponenciální funkce:
\( e^{|x|} = 1 + |x| + \frac{|x|^2}{2} + \dots \).
Dosadíme:
\( f(x) = \frac{1 + |x| + \frac{|x|^2}{2} + \dots – 1}{x} = \frac{|x| + \frac{|x|^2}{2} + \dots}{x} \).
Pro \( x \to 0^+ \):
\( f(x) = \frac{x + \frac{x^2}{2} + \dots}{x} = 1 + \frac{x}{2} + \dots \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Pro \( x \to 0^- \):
\( f(x) = \frac{-x + \frac{x^2}{2} + \dots}{x} = -1 + \frac{x}{2} + \dots \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje.
67. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|}{x^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována pro \( x \neq 0 \).
Pro \( x > 0 \): \( f(x) = \frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} \), což jde k \( +\infty \) při \( x \to 0^+ \).
Pro \( x < 0 \): \( f(x) = \frac{-x}{x^2} = -\frac{1}{x} \), což jde k \( +\infty \) při \( x \to 0^- \) (protože \(-\frac{1}{x} \to +\infty\)).
Obě jednostranné limity jsou nekonečné a rovné \( +\infty \), tedy limita v bodě diverguje k \( +\infty \).
68. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x-1|}{\sqrt{x} – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
V bodě \( x = 1 \) máme tvar \( \frac{0}{0} \).
Použijeme úpravu jmenovatele:
\( \sqrt{x} – 1 = \frac{x – 1}{\sqrt{x} + 1} \).
Funkce tedy je:
\( f(x) = \frac{|x-1|}{\frac{x – 1}{\sqrt{x} + 1}} = |x-1| \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x – 1} = \frac{|x-1|}{x-1} \cdot (\sqrt{x} + 1) \).
Výraz \( \frac{|x-1|}{x-1} = \begin{cases} 1, & x > 1 \\ -1, & x < 1 \end{cases} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = -1 \cdot (1 + 1) = -2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 \cdot (1 + 1) = 2 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje.
69. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin(|x|)}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) platí:
\( f(x) = \frac{\sin(|x|)}{x} \).
Pro \( x \to 0^+ \):
\( f(x) = \frac{\sin x}{x} \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Pro \( x \to 0^- \):
\( f(x) = \frac{\sin(-x)}{x} = \frac{-\sin x}{x} = -\frac{\sin x}{x} \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje.
70. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x^2 \sin \frac{1}{|x|}}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) upravíme funkci:
\( f(x) = \frac{x^2 \sin \frac{1}{|x|}}{x} = x \sin \frac{1}{|x|} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} x \sin \frac{1}{|x|} \).
Funkce \( \sin \frac{1}{|x|} \) osciluje mezi -1 a 1, ale \( x \to 0 \) vede k nulovému násobku.
Díky omezení \(|\sin \frac{1}{|x|}| \leq 1\) platí:
\( -|x| \leq x \sin \frac{1}{|x|} \leq |x| \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \).
Limita zprava:
Stejný argument platí i pro \( x \to 0^+ \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \).
Limita v bodě je tedy \(0\).
71. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je nedefinovaná v bodě \( x = 1 \), protože jmenovatel je nulový.
Upravíme výraz pomocí racionálního zlomku:
\( \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} = \frac{\sqrt{x} – 1}{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \), pro \( x \neq 1 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita v bodě existuje a je rovna \( \frac{1}{2} \).
72. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|}{x} \sin \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce \( f(x) \) je definována pro \( x \neq 0 \).
Pro \( x > 0 \):
\( f(x) = \frac{x}{x} \sin \frac{1}{x} = \sin \frac{1}{x} \), která osciluje mezi \(-1\) a \(1\) bez limitního přiblížení.
Pro \( x < 0 \):
\( f(x) = \frac{-x}{x} \sin \frac{1}{x} = – \sin \frac{1}{x} \), která také osciluje mezi \(-1\) a \(1\) bez limitního přiblížení.
Limita zleva ani zprava neexistuje.
Obecná limita v bodě \( 0 \) neexistuje.
73. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x^2}{|x|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) platí:
\( f(x) = \frac{x^2}{|x|} = |x| \cdot \frac{x}{|x|} = |x| \cdot \mathrm{sgn}(x) \).
Jelikož \( \mathrm{sgn}(x) = 1 \) pro \( x > 0 \) a \( -1 \) pro \( x < 0 \), dostáváme:
Pro \( x > 0 \): \( f(x) = |x| \cdot 1 = x \).
Pro \( x < 0 \): \( f(x) = |x| \cdot (-1) = -|x| = x \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0 \).
Limita v bodě \( 0 \) existuje a je rovna \( 0 \).
74. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x}{|x|} e^{-\frac{1}{|x|}} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována pro \( x \neq 0 \).
Funkce \( e^{-\frac{1}{|x|}} \) jde k nule, když \( x \to 0 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{x}{|x|} e^{-\frac{1}{|x|}} = (-1) \cdot 0 = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{|x|} e^{-\frac{1}{|x|}} = 1 \cdot 0 = 0 \).
Limita v bodě je tedy rovna \( 0 \).
75. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin x}{|x|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x} \).
Víme, že \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), takže:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{-x} = -1 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1 \).
Limita v bodě neexistuje, protože limita zleva a zprava nejsou shodné.
76. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x-2|}{x-2} \cdot \ln|x-2| \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definována v \( x = 2 \), protože \(\ln 0\) není definováno.
Limita zleva:
Pro \( x \to 2^- \) platí \( x-2 < 0 \), takže \( \frac{|x-2|}{x-2} = -1 \).
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-1) \cdot \ln |x-2| = +\infty \), protože \( \ln |x-2| \to -\infty \) a násobením -1 se změní znaménko.
Limita zprava:
Pro \( x \to 2^+ \) platí \( x-2 > 0 \), takže \( \frac{|x-2|}{x-2} = 1 \).
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 1 \cdot \ln |x-2| = -\infty \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě \( x=2 \) neexistuje.
77. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = x \cdot \sin \frac{1}{x} \cdot \frac{|x|}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) platí:
\( f(x) = x \sin \frac{1}{x} \cdot \frac{|x|}{x} = x \sin \frac{1}{x} \cdot \mathrm{sgn}(x) \).
Protože \( \mathrm{sgn}(x) = -1 \) pro \( x < 0 \), \( 1 \) pro \( x > 0 \), dostáváme:
Pro \( x > 0 \): \( f(x) = x \sin \frac{1}{x} \cdot 1 = x \sin \frac{1}{x} \).
Pro \( x < 0 \): \( f(x) = x \sin \frac{1}{x} \cdot (-1) = - x \sin \frac{1}{x} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} – x \sin \frac{1}{x} \).
Funkce \( \sin \frac{1}{x} \) je omezená mezi -1 a 1, tedy:
\( -|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x| \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} x \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Z toho plyne, že limita zleva je \( \lim_{x \to 0^-} f(x) = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \sin \frac{1}{x} = 0 \).
Limita v bodě existuje a je rovna \( 0 \).
78. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin |x|}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Limita zleva:
Pro \( x \to 0^- \) platí:
\( f(x) = \frac{\sin |x|}{x} = \frac{\sin(-x)}{x} = \frac{-\sin x}{x} \).
Protože \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), dostáváme:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1 \).
Limita zprava:
Pro \( x \to 0^+ \):
\( f(x) = \frac{\sin |x|}{x} = \frac{\sin x}{x} \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Limita v bodě neexistuje, protože jednostranné limity jsou různé.
79. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x^3}{|x|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \):
\( f(x) = \frac{x^3}{|x|} = x^2 \cdot \frac{x}{|x|} = x^2 \cdot \mathrm{sgn}(x) \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} x^2 \cdot (-1) = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 \cdot 1 = 0 \).
Limita v bodě existuje a je rovna \( 0 \).
80. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sin(2x)}{x} \cdot \frac{|x|}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \):
\( f(x) = \frac{\sin(2x)}{x} \cdot \frac{|x|}{x} = \frac{\sin(2x)}{x} \cdot \mathrm{sgn}(x) \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(2x)}{x} \cdot (-1) = – \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(2x)}{x} \).
Vyjádříme:
\( \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} 2 \cdot \frac{\sin(2x)}{2x} = 2 \cdot 1 = 2 \).
Proto:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(2x)}{x} \cdot 1 = 2 \).
Limita v bodě neexistuje, protože limita zleva a zprava nejsou shodné.
81. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definována pro \( x > 0 \), kromě možného problému v bodě \( x = 1 \), protože jmenovatel je nulový.
Pro výpočet limit použijeme algebraickou úpravu.
Vyjádříme čitatel pomocí rozdílu druhých mocnin:
\( \sqrt{x} – 1 = \frac{(\sqrt{x} – 1)(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} = \frac{x – 1}{\sqrt{x} + 1} \).
Dosadíme do funkce:
\( f(x) = \frac{\sqrt{x} – 1}{x – 1} = \frac{\frac{x – 1}{\sqrt{x} + 1}}{x – 1} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \), pro \( x \neq 1 \).
Limita zleva:
Pro \( x \to 1^- \) platí \( x < 1 \) a zároveň \( x > 0 \), tedy funkce je definovaná.
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita zprava:
Pro \( x \to 1^+ \) platí stejná podmínka:
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1} + 1} = \frac{1}{2} \).
Limita v bodě:
Protože obě jednostranné limity jsou stejné,
\( \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{2} \).
82. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|}{x} \cdot \sin \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x = 0 \), protože výraz \( \frac{|x|}{x} \) není definován pro \( x = 0 \).
Pro \( x \neq 0 \) platí \( \frac{|x|}{x} = \mathrm{sgn}(x) \), tedy
\( f(x) = \mathrm{sgn}(x) \cdot \sin \frac{1}{x} \).
Limita zleva:
Pro \( x \to 0^- \), \( \mathrm{sgn}(x) = -1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} – \sin \frac{1}{x} \).
Funkce \( \sin \frac{1}{x} \) osciluje mezi \(-1\) a \(1\), proto limita neexistuje, protože neexistuje jediná hodnota, ke které by se limitní hodnota blížila.
Limita zprava:
Pro \( x \to 0^+ \), \( \mathrm{sgn}(x) = 1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin \frac{1}{x} \), která také neexistuje z důvodu oscilací.
Limita v bodě \( x = 0 \) tedy neexistuje.
83. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{e^x – 1}{x} \cdot \frac{|x|}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je definovaná pro \( x \neq 0 \).
Pro \( x \neq 0 \) můžeme psát
\( f(x) = \frac{e^x – 1}{x} \cdot \mathrm{sgn}(x) \).
Limita zleva:
Pro \( x \to 0^- \) platí \( \mathrm{sgn}(x) = -1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x – 1}{x} \cdot (-1) = – \lim_{x \to 0^-} \frac{e^x – 1}{x} \).
Víme, že
\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \).
Tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Limita zprava:
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( \mathrm{sgn}(x) = 1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x – 1}{x} = 1 \).
Limita v bodě neexistuje, protože jednostranné limity nejsou stejné.
84. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\tan x}{x} \cdot \frac{|x|}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) platí
\( f(x) = \frac{\tan x}{x} \cdot \mathrm{sgn}(x) \).
Limita zleva:
Pro \( x \to 0^- \) platí \( \mathrm{sgn}(x) = -1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = – \lim_{x \to 0^-} \frac{\tan x}{x} \).
Protože \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \), platí
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Limita zprava:
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( \mathrm{sgn}(x) = 1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Limita v bodě neexistuje, protože jednostranné limity nejsou stejné.
85. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{\ln(1 + |x|)}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x = 0 \), protože jmenovatel je nulový.
Limita zleva:
Pro \( x \to 0^- \) platí \( |x| = -x \), tedy
\( f(x) = \frac{\ln(1 – x)}{x} \).
Využijeme substituci \( t = -x \), tedy \( t \to 0^+ \), a dostaneme
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1 + t)}{-t} = – \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1 + t)}{t} \).
Víme, že \( \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + t)}{t} = 1 \), proto
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Limita zprava:
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( |x| = x \), tedy
\( f(x) = \frac{\ln(1 + x)}{x} \), a
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Limita v bodě neexistuje, protože jednostranné limity nejsou stejné.
86. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x-2|}{x-2} \cdot \sqrt{|x-2|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 2 \) platí
\( f(x) = \mathrm{sgn}(x-2) \cdot \sqrt{|x-2|} \).
Limita zleva:
Pro \( x \to 2^- \) platí \( x – 2 < 0 \), tedy \( \mathrm{sgn}(x-2) = -1 \) a \( |x-2| = 2 - x \).
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} – \sqrt{2 – x} = 0 \).
Limita zprava:
Pro \( x \to 2^+ \) platí \( x – 2 > 0 \), tedy \( \mathrm{sgn}(x-2) = 1 \) a \( |x-2| = x – 2 \).
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \sqrt{x – 2} = 0 \).
Limita v bodě:
Protože jednostranné limity jsou stejné,
\( \lim_{x \to 2} f(x) = 0 \).
87. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x}{|x|} + \frac{|x|}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x = 0 \) kvůli členům \( \frac{x}{|x|} \) a \( \frac{|x|}{x} \).
Pro \( x > 0 \):
\( \frac{x}{|x|} = 1 \), \( \frac{|x|}{x} = 1 \), tedy
\( f(x) = 1 + 1 = 2 \).
Pro \( x < 0 \):
\( \frac{x}{|x|} = -1 \), \( \frac{|x|}{x} = -1 \), tedy
\( f(x) = -1 + (-1) = -2 \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -2 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 \).
Limita v bodě neexistuje.
88. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x| – x}{x^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x = 0 \).
Pro \( x > 0 \) platí \( |x| = x \), tedy
\( f(x) = \frac{x – x}{x^2} = 0 \).
Limita zprava:
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 \).
Pro \( x < 0 \) platí \( |x| = -x \), tedy
\( f(x) = \frac{-x – x}{x^2} = \frac{-2x}{x^2} = -\frac{2}{x} \).
Limita zleva:
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} -\frac{2}{x} = +\infty \), protože \( x \to 0^- \Rightarrow \frac{1}{x} \to -\infty \), tedy s mínus před znakem to je \( +\infty \).
Limita v bodě neexistuje.
89. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{|x|^{3/2}}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) platí
\( f(x) = \frac{|x|^{3/2}}{x} = |x|^{1/2} \cdot \frac{|x|}{x} = |x|^{1/2} \cdot \mathrm{sgn}(x) \).
Limita zleva:
Pro \( x \to 0^- \), \( \mathrm{sgn}(x) = -1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} – |x|^{1/2} = 0 \).
Limita zprava:
Pro \( x \to 0^+ \), \( \mathrm{sgn}(x) = 1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} |x|^{1/2} = 0 \).
Limita v bodě je \( 0 \).
90. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci \( f(x) = \frac{x}{|x|} \cdot \sqrt{|x|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 0 \) platí
\( f(x) = \mathrm{sgn}(x) \cdot \sqrt{|x|} \).
Limita zleva:
Pro \( x \to 0^- \), \( \mathrm{sgn}(x) = -1 \),
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} – \sqrt{|x|} = 0 \).
Limita zprava:
Pro \( x \to 0^+ \), \( \mathrm{sgn}(x) = 1 \),
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 \).
Limita v bodě je \( 0 \).
91. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 1 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{\sqrt{x+3} – 2}{x – 1} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \to 1 \) dosadíme přímo:
\( f(1) = \frac{\sqrt{1+3} – 2}{1-1} = \frac{2 – 2}{0} = \frac{0}{0} \) neurčitý výraz, musíme použít algebraickou úpravu.
Upravíme čitatel vynásobením sdruženým výrazem:
\( f(x) = \frac{\sqrt{x+3} – 2}{x – 1} \cdot \frac{\sqrt{x+3} + 2}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{(x+3) – 4}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{x – 1}{(x – 1)(\sqrt{x+3} + 2)} \).
Zkrátíme \( x – 1 \) (pro \( x \neq 1 \)):
\( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2} \).
Limita zleva a zprava je tedy
\( \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+3} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4} \).
Protože limita zleva i zprava je stejná, limita v bodě je
\( \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{4} \).
92. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{\sin(2x)}{|x|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x=0 \) (jmenovatel je nulový), zkoumáme limity z obou stran.
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( |x| = x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(2x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2x – \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots}{x} = \lim_{x \to 0^+} \left( 2 – \frac{8x^2}{6} + \cdots \right) = 2 \).
Pro \( x \to 0^- \) platí \( |x| = -x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(2x)}{-x} = – \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(2x)}{x} = -2 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, proto limita v bodě \( x=0 \) neexistuje.
93. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{1 – \cos(3x)}{x^2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Limitu určíme pomocí známého vzorce pro limitu výrazu s kosinem:
Víme, že \( \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos(kx)}{x^2} = \frac{k^2}{2} \), protože Taylorův rozvoj kosinu v bodě \(0\) je
\( \cos(kx) = 1 – \frac{(kx)^2}{2} + \frac{(kx)^4}{24} – \cdots \)
tedy
\( 1 – \cos(kx) = \frac{k^2 x^2}{2} – \frac{k^4 x^4}{24} + \cdots \)
po vydělení \( x^2 \) dostáváme
\( \frac{1 – \cos(kx)}{x^2} = \frac{k^2}{2} – \frac{k^4 x^2}{24} + \cdots \Rightarrow \lim_{x \to 0} = \frac{k^2}{2} \).
Pro \( k=3 \) tedy
\( \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{3^2}{2} = \frac{9}{2} = 4.5 \).
Limity zleva a zprava jsou stejné, tedy limita v bodě \( x=0 \) je \( 4.5 \).
94. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{|x|}{x} \cdot \sin \frac{1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x=0 \), zkoumáme limity z obou stran.
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( \frac{|x|}{x} = 1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \sin \frac{1}{x} \).
Tato limita neexistuje, protože \( \sin \frac{1}{x} \) osciluje mezi \(-1\) a \(1\) stále rychleji, takže limita zleva neexistuje.
Pro \( x \to 0^- \) platí \( \frac{|x|}{x} = -1 \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} -\sin \frac{1}{x} \), která také neexistuje z důvodu oscilace.
Limita v bodě \( x=0 \) tedy neexistuje.
95. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 2 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{|x-2|}{x-2} \cdot (x-2)^2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \neq 2 \) platí
\( f(x) = \mathrm{sgn}(x-2) \cdot (x-2)^2 \).
Limita zleva (pro \( x \to 2^- \)):
Protože \( x-2 < 0 \), máme
\( \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (-1) \cdot (x-2)^2 = 0 \).
Limita zprava (pro \( x \to 2^+ \)):
Protože \( x-2 > 0 \), máme
\( \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 1 \cdot (x-2)^2 = 0 \).
Limita v bodě je tedy \(0\).
96. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{e^{|x|} – 1}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce není definovaná v bodě \( x=0 \), zkoumáme limity zleva a zprava.
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( |x| = x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{e^x – 1}{x} \).
Derivace funkce \( e^x \) v bodě \(0\) je \(1\), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Pro \( x \to 0^- \) platí \( |x| = -x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-x} – 1}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{-x} – 1}{-(-x)} = -\lim_{t \to 0^+} \frac{e^{t} – 1}{t} = -1 \).
Limity zleva a zprava se liší, limita v bodě neexistuje.
97. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{\ln(1 + |x|)}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( |x| = x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(1+x)}{x} \).
Pomocí derivace \( \frac{d}{dx} \ln(1+x) = \frac{1}{1+x} \), takže
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{1+0} = 1 \).
Pro \( x \to 0^- \) platí \( |x| = -x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1 – x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\ln(1 – x)}{-(-x)} = -\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1 – t)}{t} \).
Pro \( t \to 0^+ \) platí \( \ln(1 – t) \sim -t \), tedy
\( -\lim_{t \to 0^+} \frac{-t}{t} = -(-1) = 1 \).
Limity zleva a zprava jsou stejné, limita v bodě je \( 1 \).
98. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{\arctan(x)}{|x|} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( |x| = x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\arctan(x)}{x} \).
Derivace arctangensu v nule je 1, tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1 \).
Pro \( x \to 0^- \) platí \( |x| = -x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\arctan(x)}{-x} = -\lim_{x \to 0^-} \frac{\arctan(x)}{x} \).
Protože \(\lim_{x \to 0^-} \frac{\arctan(x)}{x} = 1\),
tak
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = -1 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje.
99. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{|x|^3}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce je pro \( x \neq 0 \) dána jako
\( f(x) = \frac{|x|^3}{x} = \frac{(|x|)^3}{x} = \frac{|x|^3}{x} \).
Pro \( x > 0 \), \( |x| = x \), tedy
\( f(x) = \frac{x^3}{x} = x^2 \), a
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x^2 = 0 \).
Pro \( x < 0 \), \( |x| = -x \), tedy
\( f(x) = \frac{(-x)^3}{x} = \frac{-x^3}{x} = -x^2 \), a
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} -x^2 = 0 \).
Limita v bodě je tedy \( 0 \).
100. Určete limita zleva, zprava a limita v bodě \( x_0 = 0 \) pro funkci
\( f(x) = \frac{\sin(|x|)}{x} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pro \( x \to 0^+ \) platí \( |x| = x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \).
Pro \( x \to 0^- \) platí \( |x| = -x \), tedy
\( \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(-x)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin(x)}{x} = – \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin(x)}{x} = -1 \).
Limity zleva a zprava nejsou stejné, limita v bodě neexistuje.
