1. Najděte kořen rovnice \( f(x) = x^3 – 2x – 5 = 0 \) na intervalu \([2, 3]\) pomocí metody půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-4}\).
Řešení příkladu:
Nejprve zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\( f(2) = 2^3 – 2 \cdot 2 – 5 = 8 – 4 – 5 = -1 \)
\( f(3) = 3^3 – 2 \cdot 3 – 5 = 27 – 6 – 5 = 16 \)
Protože \( f(2) < 0 \) a \( f(3) > 0 \), funkce má v intervalu \([2,3]\) kořen.
Nyní postupujeme metodou půlení intervalů:
Nechť \(a_0 = 2\), \(b_0 = 3\), zvolíme \(\varepsilon = 10^{-4}\).
Výpočet středu intervalu: \(c_n = \frac{a_n + b_n}{2}\)
Iterujeme dokud \(|b_n – a_n| > \varepsilon\).
První iterace:
\(c_0 = \frac{2 + 3}{2} = 2.5\)
\(f(2.5) = 2.5^3 – 2 \cdot 2.5 – 5 = 15.625 – 5 – 5 = 5.625 > 0\)
Protože \(f(a_0) = f(2) < 0\) a \(f(c_0) > 0\), nastavíme \(b_1 = c_0 = 2.5\), \(a_1 = a_0 = 2\).
Druhá iterace:
\(c_1 = \frac{2 + 2.5}{2} = 2.25\)
\(f(2.25) = 2.25^3 – 2 \cdot 2.25 – 5 = 11.390625 – 4.5 – 5 = 1.890625 > 0\)
Protože \(f(a_1) < 0\) a \(f(c_1) > 0\), nastavíme \(b_2 = 2.25\), \(a_2 = 2\).
Třetí iterace:
\(c_2 = \frac{2 + 2.25}{2} = 2.125\)
\(f(2.125) = 2.125^3 – 2 \cdot 2.125 – 5 = 9.595703125 – 4.25 – 5 = 0.345703125 > 0\)
Protože \(f(a_2) < 0\) a \(f(c_2) > 0\), nastavíme \(b_3 = 2.125\), \(a_3 = 2\).
Čtvrtá iterace:
\(c_3 = \frac{2 + 2.125}{2} = 2.0625\)
\(f(2.0625) = 2.0625^3 – 2 \cdot 2.0625 – 5 = 8.787109375 – 4.125 – 5 = -0.337890625 < 0\)
Protože \(f(c_3) < 0\) a \(f(b_3) > 0\), nastavíme \(a_4 = 2.0625\), \(b_4 = 2.125\).
Pátá iterace:
\(c_4 = \frac{2.0625 + 2.125}{2} = 2.09375\)
\(f(2.09375) = 9.185546875 – 4.1875 – 5 = 0.004046875 > 0\)
Nastavíme \(b_5 = 2.09375\), \(a_5 = 2.0625\).
Šestá iterace:
\(c_5 = \frac{2.0625 + 2.09375}{2} = 2.078125\)
\(f(2.078125) = 8.985595703125 – 4.15625 – 5 = -0.166625 < 0\)
Nastavíme \(a_6 = 2.078125\), \(b_6 = 2.09375\).
Pokračujeme dále, dokud délka intervalu nepoklesne pod \(\varepsilon\).
Po několika iteracích získáme aproximaci kořene:
\(x \approx 2.094\), kde \(f(x) \approx 0\) s přesností lepší než \(10^{-4}\).
2. Určete kořen rovnice \( \cos x = x \) v intervalu \([0, 1]\) metodou půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\).
Řešení příkladu:
Zadání je najít \(x\) takové, že \( \cos x – x = 0 \) v intervalu \([0, 1]\).
Definujme funkci \(f(x) = \cos x – x\).
Vypočítáme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = \cos 0 – 0 = 1 – 0 = 1 > 0\)
\(f(1) = \cos 1 – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0\)
Protože \(f(0) > 0\) a \(f(1) < 0\), kořen leží v intervalu \([0,1]\).
Budeme iterovat metodou půlení intervalů:
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
První iterace:
\(c_0 = \frac{0+1}{2} = 0.5\)
\(f(0.5) = \cos 0.5 – 0.5 \approx 0.8776 – 0.5 = 0.3776 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 0.5\), \(b_1=1\) protože \(f(c_0)>0\), ale máme \(f(a_0)>0\) a \(f(b_0)<0\), chyba - proto správně: protože \(f(c_0) > 0\), kořen je v intervalu \([0.5,1]\)?
Ve skutečnosti, protože \(f(a_0) > 0\) a \(f(c_0) > 0\), kořen je mezi \(c_0\) a \(b_0\), tedy nastavíme \(a_1 = c_0 = 0.5\), \(b_1 = 1\).
Druhá iterace:
\(c_1 = \frac{0.5+1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = \cos 0.75 – 0.75 \approx 0.7317 – 0.75 = -0.0183 < 0\)
Protože \(f(a_1) = f(0.5) > 0\) a \(f(c_1) < 0\), nastavíme \(a_2 = 0.5\), \(b_2 = 0.75\).
Třetí iterace:
\(c_2 = \frac{0.5+0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = \cos 0.625 – 0.625 \approx 0.81096 – 0.625 = 0.18596 > 0\)
Nastavíme \(a_3 = 0.625\), \(b_3 = 0.75\).
Čtvrtá iterace:
\(c_3 = \frac{0.625+0.75}{2} = 0.6875\)
\(f(0.6875) = \cos 0.6875 – 0.6875 \approx 0.7722 – 0.6875 = 0.0847 > 0\)
Nastavíme \(a_4 = 0.6875\), \(b_4 = 0.75\).
Pátá iterace:
\(c_4 = \frac{0.6875+0.75}{2} = 0.71875\)
\(f(0.71875) = \cos 0.71875 – 0.71875 \approx 0.7524 – 0.71875 = 0.03365 > 0\)
Nastavíme \(a_5 = 0.71875\), \(b_5 = 0.75\).
Šestá iterace:
\(c_5 = \frac{0.71875+0.75}{2} = 0.734375\)
\(f(0.734375) = \cos 0.734375 – 0.734375 \approx 0.7421 – 0.734375 = 0.007725 > 0\)
Nastavíme \(a_6 = 0.734375\), \(b_6 = 0.75\).
Sedmá iterace:
\(c_6 = \frac{0.734375+0.75}{2} = 0.7421875\)
\(f(0.7421875) = \cos 0.7421875 – 0.7421875 \approx 0.7369 – 0.7421875 = -0.0052875 < 0\)
Nastavíme \(a_7 = 0.734375\), \(b_7 = 0.7421875\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < 10^{-5}\).
Po dostatečném počtu iterací dostaneme přibližnou hodnotu kořene:
\(x \approx 0.739085\).
3. Najděte kořen rovnice \( e^x = 3x \) na intervalu \([0, 2]\) pomocí metody půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Řešení příkladu:
Zadání je vyřešit rovnici \( e^x – 3x = 0 \).
Definujme \(f(x) = e^x – 3x\).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na koncích intervalu:
\(f(0) = e^0 – 0 = 1 > 0\)
\(f(2) = e^2 – 6 \approx 7.389 – 6 = 1.389 > 0\)
Obě hodnoty jsou kladné, což značí, že zde není kořen v intervalu \([0, 2]\).
Zkusíme menší interval, třeba \([0.5, 1.5]\):
\(f(0.5) = e^{0.5} – 1.5 \approx 1.6487 – 1.5 = 0.1487 > 0\)
\(f(1.5) = e^{1.5} – 4.5 \approx 4.4817 – 4.5 = -0.0183 < 0\)
Kořen leží v intervalu \([0.5, 1.5]\).
Inicializujeme: \(a_0=0.5\), \(b_0=1.5\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Metoda půlení intervalů pokračuje iteracemi:
1. Iterace:
\(c_0 = 1.0\)
\(f(1.0) = e^{1.0} – 3 = 2.7183 – 3 = -0.2817 < 0\)
Protože \(f(a_0) > 0\) a \(f(c_0) < 0\), nastavíme \(b_1 = c_0 = 1.0\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5 + 1.0}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = e^{0.75} – 2.25 \approx 2.117 – 2.25 = -0.133 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 0.75\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = e^{0.625} – 1.875 \approx 1.868 – 1.875 = -0.007 < 0\)
Nastavíme \(b_3 = 0.625\).
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{0.5 + 0.625}{2} = 0.5625\)
\(f(0.5625) = e^{0.5625} – 1.6875 \approx 1.755 – 1.6875 = 0.0675 > 0\)
Nastavíme \(a_4 = 0.5625\).
Pokračujeme iteracemi až do splnění podmínky \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledný kořen je přibližně \(x \approx 0.567143\).
4. Určete řešení rovnice \( \ln(x) + x^2 = 4 \) v intervalu \([1, 3]\) metodou půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\).
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \ln x + x^2 – 4\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(1) = \ln 1 + 1^2 – 4 = 0 + 1 – 4 = -3 < 0\)
\(f(3) = \ln 3 + 9 – 4 \approx 1.0986 + 5 = 6.0986 > 0\)
Kořen je tedy v intervalu \([1,3]\).
Inicializujeme \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace:
1. \(c_0 = 2\)
\(f(2) = \ln 2 + 4 – 4 \approx 0.693 + 0 = 0.693 > 0\)
Nastavíme \(b_1 = 2\).
2. \(c_1 = \frac{1+2}{2} = 1.5\)
\(f(1.5) = \ln 1.5 + 2.25 – 4 \approx 0.405 + 2.25 – 4 = -1.345 < 0\)
Nastavíme \(a_2 = 1.5\).
3. \(c_2 = \frac{1.5+2}{2} = 1.75\)
\(f(1.75) = \ln 1.75 + 3.0625 – 4 \approx 0.5596 + 3.0625 – 4 = -0.3779 < 0\)
Nastavíme \(a_3 = 1.75\).
4. \(c_3 = \frac{1.75+2}{2} = 1.875\)
\(f(1.875) = \ln 1.875 + 3.5156 – 4 \approx 0.627 + 3.5156 – 4 = 0.1426 > 0\)
Nastavíme \(b_4 = 1.875\).
5. \(c_4 = \frac{1.75+1.875}{2} = 1.8125\)
\(f(1.8125) = \ln 1.8125 + 3.286 – 4 \approx 0.595 + 3.286 – 4 = -0.119 < 0\)
Nastavíme \(a_5 = 1.8125\).
Pokračujeme dále, dokud není interval dostatečně úzký.
Po dostatečném počtu iterací dostaneme aproximaci kořene.
Výsledek: \(x \approx 1.84\).
5. Najděte kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-4}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \tan x – x\).
Zkontrolujeme hodnoty na koncích intervalu:
\(f(4) = \tan 4 – 4 \approx 1.1578 – 4 = -2.8422 < 0\)
\(f(5) = \tan 5 – 5 \approx -3.3805 – 5 = -8.3805 < 0\)
Obě hodnoty jsou záporné, interval není vhodný. Zkusíme interval \([4.5, 4.7]\):
\(f(4.5) = \tan 4.5 – 4.5 \approx 4.6373 – 4.5 = 0.1373 > 0\)
\(f(4.7) = \tan 4.7 – 4.7 \approx -2.185 – 4.7 = -6.885 < 0\)
Kořen je tedy v intervalu \([4.5, 4.7]\).
Postupujeme metodou půlení intervalů:
Inicializace \(a_0=4.5\), \(b_0=4.7\), \(\varepsilon=10^{-4}\).
1. Iterace:
\(c_0 = 4.6\)
\(f(4.6) = \tan 4.6 – 4.6 \approx 14.101 – 4.6 = 9.501 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 4.6\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{4.6 + 4.7}{2} = 4.65\)
\(f(4.65) = \tan 4.65 – 4.65 \approx 3.725 – 4.65 = -0.925 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 4.65\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{4.6 + 4.65}{2} = 4.625\)
\(f(4.625) = \tan 4.625 – 4.625 \approx 7.124 – 4.625 = 2.499 > 0\)
Nastavíme \(a_3 = 4.625\).
Pokračujeme iteracemi, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledný kořen: \(x \approx 4.64\).
6. Najděte kořen rovnice \( x^5 – x – 1 = 0 \) na intervalu \([1, 2]\) metodou půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x^5 – x – 1\).
Kontrola krajních hodnot:
\(f(1) = 1 – 1 – 1 = -1 < 0\)
\(f(2) = 32 – 2 – 1 = 29 > 0\)
Kořen je v intervalu \([1,2]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterujeme metodou půlení intervalů:
1. Iterace:
\(c_0 = 1.5\)
\(f(1.5) = 7.59375 – 1.5 – 1 = 5.09375 > 0\)
Nastavíme \(b_1 = 1.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = 1.25\)
\(f(1.25) = 3.0517578125 – 1.25 – 1 = 0.8017578125 > 0\)
Nastavíme \(b_2 = 1.25\).
3. Iterace:
\(c_2 = 1.125\)
\(f(1.125) = 1.8017578125 – 1.125 – 1 = -0.3232421875 < 0\)
Nastavíme \(a_3 = 1.125\).
Pokračujeme obdobně až do dosažení požadované přesnosti.
Výsledná aproximace kořene je přibližně \(x \approx 1.1673\).
7. Určete kořen rovnice \( \sqrt{x} + \sin x = 2 \) v intervalu \([1, 4]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \sqrt{x} + \sin x – 2\).
Kontrola hodnot:
\(f(1) = 1 + \sin 1 – 2 \approx 1 + 0.8415 – 2 = -0.1585 < 0\)
\(f(4) = 2 + \sin 4 – 2 \approx 2 – 0.7568 – 2 = -0.7568 < 0\)
Hledáme vhodnější interval, například \([1.5, 3]\):
\(f(1.5) = \sqrt{1.5} + \sin 1.5 – 2 \approx 1.2247 + 0.9975 – 2 = 0.2222 > 0\)
Kořen je tedy v intervalu \([1, 1.5]\).
Inicializace \(a_0=1\), \(b_0=1.5\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Postup iterací metodou půlení intervalů:
1. Iterace:
\(c_0 = 1.25\)
\(f(1.25) = \sqrt{1.25} + \sin 1.25 – 2 \approx 1.118 + 0.9489 – 2 = 0.0669 > 0\)
Nastavíme \(b_1 = 1.25\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{1 + 1.25}{2} = 1.125\)
\(f(1.125) = \sqrt{1.125} + \sin 1.125 – 2 \approx 1.0606 + 0.902 – 2 = -0.0374 < 0\)
Nastavíme \(a_2 = 1.125\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{1.125 + 1.25}{2} = 1.1875\)
\(f(1.1875) = \sqrt{1.1875} + \sin 1.1875 – 2 \approx 1.089 + 0.927 – 2 = 0.016 > 0\)
Nastavíme \(b_3 = 1.1875\).
Pokračujeme iteracemi, dokud není rozdíl mezi \(a_n\) a \(b_n\) menší než \(\varepsilon\).
Výsledný kořen je přibližně \(x \approx 1.17\).
8. Najděte kořen rovnice \( e^{-x} = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = e^{-x} – x\).
Kontrola hodnot na konci intervalu:
\(f(0) = 1 – 0 = 1 > 0\)
\(f(1) = e^{-1} – 1 \approx 0.3679 – 1 = -0.6321 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializace \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterujeme metodou půlení intervalů:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = e^{-0.5} – 0.5 \approx 0.6065 – 0.5 = 0.1065 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 0.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = 0.75\)
\(f(0.75) = e^{-0.75} – 0.75 \approx 0.4724 – 0.75 = -0.2776 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 0.75\).
3. Iterace:
\(c_2 = 0.625\)
\(f(0.625) = e^{-0.625} – 0.625 \approx 0.5353 – 0.625 = -0.0897 < 0\)
Nastavíme \(b_3 = 0.625\).
Pokračujeme dále až do splnění přesnosti.
Výsledný kořen je přibližně \(x \approx 0.567143\).
9. Určete kořen rovnice \( \cos x = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \cos x – x\).
Kontrola hodnot na hranicích intervalu:
\(f(0) = 1 – 0 = 1 > 0\)
\(f(1) = \cos 1 – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = \cos 0.5 – 0.5 \approx 0.8776 – 0.5 = 0.3776 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 0.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = 0.75\)
\(f(0.75) = \cos 0.75 – 0.75 \approx 0.7317 – 0.75 = -0.0183 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 0.75\).
3. Iterace:
\(c_2 = 0.625\)
\(f(0.625) = \cos 0.625 – 0.625 \approx 0.8109 – 0.625 = 0.1859 > 0\)
Nastavíme \(a_3 = 0.625\).
Pokračujeme, dokud není interval menší než \(\varepsilon\).
Výsledný kořen je přibližně \(x \approx 0.7391\).
10. Najděte kořen rovnice \( x^3 + x – 1 = 0 \) v intervalu \([0, 1]\) metodou půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\).
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x^3 + x – 1\).
Kontrola hodnot na koncích intervalu:
\(f(0) = 0 + 0 – 1 = -1 < 0\)
\(f(1) = 1 + 1 – 1 = 1 > 0\)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = 0.125 + 0.5 – 1 = -0.375 < 0\)
Nastavíme \(a_1 = 0.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = 0.75\)
\(f(0.75) = 0.422 + 0.75 – 1 = 0.172 > 0\)
Nastavíme \(b_2 = 0.75\).
3. Iterace:
\(c_2 = 0.625\)
\(f(0.625) = 0.244 + 0.625 – 1 = -0.131 < 0\)
Nastavíme \(a_3 = 0.625\).
Pokračujeme, dokud není interval menší než \(\varepsilon\).
Výsledek: \(x \approx 0.6823\).
11. Určete kořen rovnice \( \ln(x^2 + 1) = x – 1 \) v intervalu \([0, 3]\) metodou půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Řešení příkladu:
Definujme funkci \(f(x) = \ln(x^2 + 1) – x + 1\).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na koncích intervalu:
\(f(0) = \ln(0 + 1) – 0 + 1 = 0 + 1 = 1 > 0\)
\(f(3) = \ln(9 + 1) – 3 + 1 = \ln(10) – 2 \approx 2.3026 – 2 = 0.3026 > 0\)
Hodnoty mají stejné znaménko, proto hledáme vhodnější interval. Zkusme interval \([2, 3]\):
\(f(2) = \ln(4 + 1) – 2 + 1 = \ln 5 – 1 \approx 1.6094 – 1 = 0.6094 > 0\)
Stále kladné, zkusme \([0, 1]\):
\(f(1) = \ln(1 + 1) – 1 + 1 = \ln 2 + 0 \approx 0.6931 > 0\)
Zkusíme ještě interval \([3, 4]\):
\(f(4) = \ln(16 + 1) – 4 + 1 = \ln 17 – 3 \approx 2.8332 – 3 = -0.1668 < 0\)
Kořen je tedy v intervalu \([3,4]\).
Inicializace: \(a_0=3\), \(b_0=4\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{3+4}{2} = 3.5\)
\(f(3.5) = \ln(12.25 + 1) – 3.5 + 1 = \ln(13.25) – 2.5 \approx 2.584 – 2.5 = 0.084 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 3.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{3.5+4}{2} = 3.75\)
\(f(3.75) = \ln(14.06 + 1) – 3.75 + 1 = \ln(15.06) – 2.75 \approx 2.711 – 2.75 = -0.039 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 3.75\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{3.5 + 3.75}{2} = 3.625\)
\(f(3.625) = \ln(13.14 + 1) – 3.625 + 1 = \ln(14.14) – 2.625 \approx 2.651 – 2.625 = 0.026 > 0\)
Nastavíme \(a_3 = 3.625\).
Pokračujeme iteracemi, dokud není \(b_n – a_n < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 3.68\).
12. Najděte kořen rovnice \( x e^x = 2 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x e^x – 2\).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\(f(0) = 0 \cdot e^0 – 2 = 0 – 2 = -2 < 0\)
\(f(2) = 2 \cdot e^{2} – 2 \approx 2 \cdot 7.389 – 2 = 14.778 – 2 = 12.778 > 0\)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace:
\(c_0 = 1\)
\(f(1) = 1 \cdot e^{1} – 2 = e – 2 \approx 2.718 – 2 = 0.718 > 0\)
Nastavíme \(b_1 = 1\).
2. Iterace:
\(c_1 = 0.5\)
\(f(0.5) = 0.5 \cdot e^{0.5} – 2 \approx 0.5 \cdot 1.6487 – 2 = 0.824 – 2 = -1.176 < 0\)
Nastavíme \(a_2 = 0.5\).
3. Iterace:
\(c_2 = 0.75\)
\(f(0.75) = 0.75 \cdot e^{0.75} – 2 \approx 0.75 \cdot 2.117 – 2 = 1.588 – 2 = -0.412 < 0\)
Nastavíme \(a_3 = 0.75\).
4. Iterace:
\(c_3 = 0.875\)
\(f(0.875) = 0.875 \cdot e^{0.875} – 2 \approx 0.875 \cdot 2.398 – 2 = 2.098 – 2 = 0.098 > 0\)
Nastavíme \(b_4 = 0.875\).
Pokračujeme iteracemi do dosažení \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.8526\).
13. Určete kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \tan x – x\).
Zkontrolujeme hodnoty na hranicích intervalu:
\(f(4) = \tan 4 – 4 \approx 1.1578 – 4 = -2.8422 < 0\)
\(f(5) = \tan 5 – 5 \approx -3.3805 – 5 = -8.3805 < 0\)
Znaménka jsou stejná, proto zkusíme menší interval. Například \([4.4, 4.7]\):
\(f(4.4) = \tan 4.4 – 4.4 \approx 7.696 – 4.4 = 3.296 > 0\)
\(f(4.7) = \tan 4.7 – 4.7 \approx -2.280 – 4.7 = -6.98 < 0\)
Kořen je tedy v intervalu \([4.4, 4.7]\).
Inicializujeme \(a_0=4.4\), \(b_0=4.7\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{4.4 + 4.7}{2} = 4.55\)
\(f(4.55) = \tan 4.55 – 4.55 \approx 13.74 – 4.55 = 9.19 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 4.55\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{4.55 + 4.7}{2} = 4.625\)
\(f(4.625) = \tan 4.625 – 4.625 \approx -0.89 – 4.625 = -5.515 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 4.625\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{4.55 + 4.625}{2} = 4.5875\)
\(f(4.5875) = \tan 4.5875 – 4.5875 \approx 6.57 – 4.5875 = 1.9825 > 0\)
Nastavíme \(a_3 = 4.5875\).
Pokračujeme, dokud \(b_n – a_n < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.493\).
14. Najděte kořen rovnice \( \cosh x = 2x \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \cosh x – 2x\).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\(f(0) = \cosh 0 – 0 = 1 > 0\)
\(f(2) = \cosh 2 – 4 \approx 3.762 – 4 = -0.238 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 1\)
\(f(1) = \cosh 1 – 2 = 1.543 – 2 = -0.457 < 0\)
Nastavíme \(b_1 = 1\).
2. Iterace:
\(c_1 = 0.5\)
\(f(0.5) = \cosh 0.5 – 1 = 1.1276 – 1 = 0.1276 > 0\)
Nastavíme \(a_2 = 0.5\).
3. Iterace:
\(c_2 = 0.75\)
\(f(0.75) = \cosh 0.75 – 1.5 \approx 1.2947 – 1.5 = -0.2053 < 0\)
Nastavíme \(b_3 = 0.75\).
Pokračujeme iteracemi do splnění \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.658\).
15. Určete kořen rovnice \( x^3 – 3x + 1 = 0 \) v intervalu \([0, 2]\) metodou půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x^3 – 3x + 1\).
Ověříme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\(f(0) = 0 – 0 + 1 = 1 > 0\)
\(f(2) = 8 – 6 + 1 = 3 > 0\)
Stejné znaménko, proto zkusíme menší interval, například \([0, 1]\):
\(f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = 0.125 – 1.5 + 1 = -0.375 < 0\)
Nastavíme \(b_1 = 0.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = 0.25\)
\(f(0.25) = 0.0156 – 0.75 + 1 = 0.2656 > 0\)
Nastavíme \(a_2 = 0.25\).
3. Iterace:
\(c_2 = 0.375\)
\(f(0.375) = 0.0527 – 1.125 + 1 = -0.0723 < 0\)
Nastavíme \(b_3 = 0.375\).
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.347\).
16. Najděte kořen rovnice \( \arctan x = \frac{x}{2} \) v intervalu \([0, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \arctan x – \frac{x}{2}\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = 0 – 0 = 0\)
\(f(3) = \arctan 3 – 1.5 \approx 1.249 – 1.5 = -0.251 < 0\)
Hodnoty na krajích: \(f(0) = 0\), \(f(3) < 0\). Zkusíme hodnotu v \(x=1\):
\(f(1) = \arctan 1 – 0.5 = \frac{\pi}{4} – 0.5 \approx 0.7854 – 0.5 = 0.2854 > 0\)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 2\)
\(f(2) = \arctan 2 – 1 = 1.107 – 1 = 0.107 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 2\).
2. Iterace:
\(c_1 = 2.5\)
\(f(2.5) = \arctan 2.5 – 1.25 \approx 1.190 – 1.25 = -0.06 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 2.5\).
3. Iterace:
\(c_2 = 2.25\)
\(f(2.25) = \arctan 2.25 – 1.125 \approx 1.15 – 1.125 = 0.025 > 0\)
Nastavíme \(a_3 = 2.25\).
Pokračujeme, dokud rozdíl intervalu není menší než \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.37\).
17. Určete kořen rovnice \( x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = 0.5 \) v intervalu \([0, 2]\) metodou půlení intervalů s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 – 0.5 = (x-1)^4 – 0.5\).
Funkce je symetrická, ověřme hodnoty na krajích:
\(f(0) = 1 – 0.5 = 0.5 > 0\)
\(f(2) = (2-1)^4 – 0.5 = 1 – 0.5 = 0.5 > 0\)
Stále kladné, zkusme hodnotu v \(x=1\):
\(f(1) = 0 – 0.5 = -0.5 < 0\)
Kořen leží na dvou místech, ale zkoumáme interval \([0,1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = (0.5-1)^4 – 0.5 = (-0.5)^4 – 0.5 = 0.0625 – 0.5 = -0.4375 < 0\)
Nastavíme \(a_1=0.5\).
2. Iterace:
\(c_1=0.75\)
\(f(0.75) = (0.75-1)^4 – 0.5 = (-0.25)^4 – 0.5 = 0.0039 – 0.5 = -0.4961 < 0\)
Nastavíme \(a_2=0.75\).
3. Iterace:
\(c_2=0.875\)
\(f(0.875) = (0.875-1)^4 – 0.5 = (-0.125)^4 – 0.5 = 0.000244 – 0.5 = -0.499756 < 0\)
Nastavíme \(a_3=0.875\).
Pokračujeme do splnění přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.9997\).
18. Najděte kořen rovnice \( \ln(x+1) = x^2 – 1 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \ln(x+1) – x^2 + 1\).
Ověříme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = \ln 1 – 0 + 1 = 0 + 1 = 1 > 0\)
\(f(2) = \ln 3 – 4 + 1 \approx 1.0986 – 3 = -1.9014 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=1\)
\(f(1) = \ln 2 – 1 + 1 = 0.6931 > 0\)
Nastavíme \(a_1=1\).
2. Iterace:
\(c_1=1.5\)
\(f(1.5) = \ln 2.5 – 2.25 + 1 \approx 0.9163 – 1.25 = -0.3337 < 0\)
Nastavíme \(b_2=1.5\).
3. Iterace:
\(c_2=1.25\)
\(f(1.25) = \ln 2.25 – 1.5625 + 1 \approx 0.8109 – 0.5625 = 0.2484 > 0\)
Nastavíme \(a_3=1.25\).
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.347\).
19. Určete kořen rovnice \( \sin x = \frac{x}{2} \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \sin x – \frac{x}{2}\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(1) = \sin 1 – 0.5 \approx 0.8415 – 0.5 = 0.3415 > 0\)
\(f(3) = \sin 3 – 1.5 \approx 0.1411 – 1.5 = -1.3589 < 0\)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=2\)
\(f(2) = \sin 2 – 1 = 0.9093 – 1 = -0.0907 < 0\)
Nastavíme \(b_1=2\).
2. Iterace:
\(c_1=1.5\)
\(f(1.5) = \sin 1.5 – 0.75 = 0.9975 – 0.75 = 0.2475 > 0\)
Nastavíme \(a_2=1.5\).
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.895\).
20. Najděte kořen rovnice \( e^{-x} = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = e^{-x} – x\).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\(f(0) = 1 – 0 = 1 > 0\)
\(f(1) = e^{-1} – 1 \approx 0.3679 – 1 = -0.6321 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=0.5\)
\(f(0.5) = e^{-0.5} – 0.5 \approx 0.6065 – 0.5 = 0.1065 > 0\)
Nastavíme \(a_1=0.5\).
2. Iterace:
\(c_1=0.75\)
\(f(0.75) = e^{-0.75} – 0.75 \approx 0.4724 – 0.75 = -0.2776 < 0\)
Nastavíme \(b_2=0.75\).
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.567143\).
21. Najděte kořen rovnice \( \cos x = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \cos x – x\).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\(f(0) = \cos 0 – 0 = 1 > 0\)
\(f(1) = \cos 1 – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{0+1}{2} = 0.5\)
\(f(0.5) = \cos 0.5 – 0.5 \approx 0.8776 – 0.5 = 0.3776 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 0.5\) (protože \(f(c_0) > 0\))
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5+1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = \cos 0.75 – 0.75 \approx 0.7317 – 0.75 = -0.0183 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5+0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = \cos 0.625 – 0.625 \approx 0.8109 – 0.625 = 0.1859 > 0\)
Nastavíme \(a_3 = 0.625\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.739085\).
22. Najděte kořen rovnice \( x^3 + 4x^2 – 10 = 0 \) v intervalu \([1, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x^3 + 4x^2 – 10\).
Hodnoty na krajích intervalu:
\(f(1) = 1 + 4 – 10 = -5 < 0\)
\(f(2) = 8 + 16 – 10 = 14 > 0\)
Kořen je v intervalu \([1,2]\).
Inicializace: \(a_0 = 1\), \(b_0 = 2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 1.5\)
\(f(1.5) = 3.375 + 9 – 10 = 2.375 > 0\)
Nastavíme \(b_1 = 1.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = 1.25\)
\(f(1.25) = 1.953125 + 6.25 – 10 = -1.796875 < 0\)
Nastavíme \(a_2 = 1.25\).
3. Iterace:
\(c_2 = 1.375\)
\(f(1.375) = 2.597 + 7.56 – 10 = 0.157 > 0\)
Nastavíme \(b_3 = 1.375\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.365230\).
23. Najděte kořen rovnice \( \ln(x+2) – x = 0 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \ln(x+2) – x\).
Hodnoty funkce:
\(f(0) = \ln 2 – 0 \approx 0.6931 > 0\)
\(f(2) = \ln 4 – 2 \approx 1.3863 – 2 = -0.6137 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 1\)
\(f(1) = \ln 3 – 1 \approx 1.0986 – 1 = 0.0986 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 1\).
2. Iterace:
\(c_1 = 1.5\)
\(f(1.5) = \ln 3.5 – 1.5 \approx 1.2528 – 1.5 = -0.2472 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 1.5\).
3. Iterace:
\(c_2 = 1.25\)
\(f(1.25) = \ln 3.25 – 1.25 \approx 1.1787 – 1.25 = -0.0713 < 0\)
Nastavíme \(b_3 = 1.25\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.146193\).
24. Najděte kořen rovnice \( \tan x = 1 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \tan x – 1\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = 0 – 1 = -1 < 0\)
\(f(1) = \tan 1 – 1 \approx 1.5574 – 1 = 0.5574 > 0\)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializace: \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\), \(\varepsilon = 10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = \tan 0.5 – 1 \approx 0.5463 – 1 = -0.4537 < 0\)
Nastavíme \(a_1 = 0.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = 0.75\)
\(f(0.75) = \tan 0.75 – 1 \approx 0.9316 – 1 = -0.0684 < 0\)
Nastavíme \(a_2 = 0.75\).
3. Iterace:
\(c_2 = 0.875\)
\(f(0.875) = \tan 0.875 – 1 \approx 1.192 – 1 = 0.192 > 0\)
Nastavíme \(b_3 = 0.875\).
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.785398\) (což je \(\pi/4\)).
25. Najděte kořen rovnice \( x^5 – 3x + 1 = 0 \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x^5 – 3x + 1\).
Zkontrolujeme hodnoty funkce:
\(f(0) = 0 – 0 + 1 = 1 > 0\)
\(f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=0.5\)
\(f(0.5) = 0.03125 – 1.5 + 1 = -0.46875 < 0\)
Nastavíme \(b_1=0.5\).
2. Iterace:
\(c_1=0.25\)
\(f(0.25) = 0.0009766 – 0.75 + 1 = 0.2509766 > 0\)
Nastavíme \(a_2=0.25\).
3. Iterace:
\(c_2=0.375\)
\(f(0.375) = 0.0053 – 1.125 + 1 = -0.1197 < 0\)
Nastavíme \(b_3=0.375\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.347296\).
26. Najděte kořen rovnice \( e^x = 2x + 3 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = e^x – 2x – 3\).
Hodnoty funkce:
\(f(0) = 1 – 0 – 3 = -2 < 0\)
\(f(2) = e^2 – 4 – 3 \approx 7.389 – 7 = 0.389 > 0\)
Kořen je v intervalu \([0,2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=1\)
\(f(1) = e^1 – 2 – 3 = 2.718 – 5 = -2.282 < 0\)
Nastavíme \(a_1=1\).
2. Iterace:
\(c_1=1.5\)
\(f(1.5) = e^{1.5} – 3 – 3 = 4.4817 – 6 = -1.5183 < 0\)
Nastavíme \(a_2=1.5\).
3. Iterace:
\(c_2=1.75\)
\(f(1.75) = e^{1.75} – 3.5 – 3 = 5.7546 – 6.5 = -0.7454 < 0\)
Nastavíme \(a_3=1.75\).
4. Iterace:
\(c_3=1.875\)
\(f(1.875) = e^{1.875} – 3.75 – 3 = 6.5208 – 6.75 = -0.2292 < 0\)
Nastavíme \(a_4=1.875\).
5. Iterace:
\(c_4=1.9375\)
\(f(1.9375) = e^{1.9375} – 3.875 – 3 \approx 6.9459 – 6.875 = 0.0709 > 0\)
Nastavíme \(b_5=1.9375\).
Pokračujeme do dosažení \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.9129\).
27. Najděte kořen rovnice \( \sin x = \frac{x}{2} \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \sin x – \frac{x}{2}\).
Hodnoty funkce:
\(f(1) = \sin 1 – 0.5 \approx 0.8415 – 0.5 = 0.3415 > 0\)
\(f(3) = \sin 3 – 1.5 \approx 0.1411 – 1.5 = -1.3589 < 0\)
Kořen je v intervalu \([1,3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=2\)
\(f(2) = \sin 2 – 1 \approx 0.9093 – 1 = -0.0907 < 0\)
Nastavíme \(b_1=2\).
2. Iterace:
\(c_1=1.5\)
\(f(1.5) = \sin 1.5 – 0.75 \approx 0.9975 – 0.75 = 0.2475 > 0\)
Nastavíme \(a_2=1.5\).
Pokračujeme dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.895494\).
28. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 5x + 1 = 0 \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x^3 – 5x + 1\).
Hodnoty funkce:
\(f(1) = 1 – 5 + 1 = -3 < 0\)
\(f(3) = 27 – 15 + 1 = 13 > 0\)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=2\)
\(f(2) = 8 – 10 + 1 = -1 < 0\)
Nastavíme \(a_1=2\).
2. Iterace:
\(c_1=2.5\)
\(f(2.5) = 15.625 – 12.5 + 1 = 4.125 > 0\)
Nastavíme \(b_2=2.5\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.094551\).
29. Najděte kořen rovnice \( \sqrt{x} = \ln(x+1) \) v intervalu \([0, 4]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \sqrt{x} – \ln(x+1)\).
Hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = 0 – 0 = 0\)
\(f(4) = 2 – \ln 5 \approx 2 – 1.6094 = 0.3906 > 0\)
Kontrola intervalu [0,4] ukazuje, že funkce je kladná nebo nulová, kořen je na začátku intervalu:
Výsledek: Kořen je \(x = 0\).
30. Najděte kořen rovnice \( x = e^{-x} \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x – e^{-x}\).
Hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = 0 – 1 = -1 < 0\)
\(f(1) = 1 – e^{-1} \approx 1 – 0.3679 = 0.6321 > 0\)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=0.5\)
\(f(0.5) = 0.5 – e^{-0.5} \approx 0.5 – 0.6065 = -0.1065 < 0\)
Nastavíme \(a_1=0.5\).
2. Iterace:
\(c_1=0.75\)
\(f(0.75) = 0.75 – e^{-0.75} \approx 0.75 – 0.4724 = 0.2776 > 0\)
Nastavíme \(b_2=0.75\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.567143\).
31. Najděte kořen rovnice \( \cos x = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-7}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \cos x – x\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = \cos 0 – 0 = 1 > 0\)
\(f(1) = \cos 1 – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0\)
Kořen leží v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-7}\).
Iterujeme:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{0+1}{2} = 0.5\)
\(f(0.5) = \cos 0.5 – 0.5 \approx 0.8776 – 0.5 = 0.3776 > 0\)
Nastavíme \(a_1=0.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5+1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = \cos 0.75 – 0.75 \approx 0.7317 – 0.75 = -0.0183 < 0\)
Nastavíme \(b_2=0.75\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5+0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = \cos 0.625 – 0.625 \approx 0.8109 – 0.625 = 0.1859 > 0\)
Nastavíme \(a_3=0.625\).
Pokračujeme iterovat, vždy polovinou rozdělujeme interval mezi \(a_n\) a \(b_n\), kontrolujeme znaménko \(f(c_n)\) a aktualizujeme interval tak, aby kořen byl uvnitř.
Proces končí, když \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.73908513\).
32. Najděte kořen rovnice \( \ln(x+2) = x^2 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \ln(x+2) – x^2\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = \ln 2 – 0 = 0.6931 > 0\)
\(f(2) = \ln 4 – 4 = 1.3863 – 4 = -2.6137 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 1\)
\(f(1) = \ln 3 – 1 = 1.0986 – 1 = 0.0986 > 0\)
Nastavíme \(a_1=1\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5\)
\(f(1.5) = \ln 3.5 – 2.25 = 1.2528 – 2.25 = -0.9972 < 0\)
Nastavíme \(b_2=1.5\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25\)
\(f(1.25) = \ln 3.25 – 1.5625 = 1.1787 – 1.5625 = -0.3838 < 0\)
Nastavíme \(b_3=1.25\).
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{1 + 1.25}{2} = 1.125\)
\(f(1.125) = \ln 3.125 – 1.2656 = 1.1394 – 1.2656 = -0.1262 < 0\)
Nastavíme \(b_4=1.125\).
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{1 + 1.125}{2} = 1.0625\)
\(f(1.0625) = \ln 3.0625 – 1.1289 = 1.1183 – 1.1289 = -0.0106 < 0\)
Nastavíme \(b_5=1.0625\).
6. Iterace:
\(c_5 = \frac{1 + 1.0625}{2} = 1.03125\)
\(f(1.03125) = \ln 3.03125 – 1.0635 = 1.1085 – 1.0635 = 0.0450 > 0\)
Nastavíme \(a_6=1.03125\).
Pokračujeme takto až do splnění podmínky \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.054…\).
33. Najděte kořen rovnice \( x^5 – 4x + 1 = 0 \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-7}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = x^5 – 4x + 1\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = 0 – 0 + 1 = 1 > 0\)
\(f(1) = 1 – 4 + 1 = -2 < 0\)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-7}\).
Iterujeme půlení intervalů:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = 0.03125 – 2 + 1 = -0.96875 < 0\)
Nastavíme \(b_1 = 0.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = 0.25\)
\(f(0.25) = 0.0009766 – 1 + 1 = 0.0009766 > 0\)
Nastavíme \(a_2 = 0.25\).
3. Iterace:
\(c_2 = 0.375\)
\(f(0.375) = 0.0053 – 1.5 + 1 = -0.4947 < 0\)
Nastavíme \(b_3=0.375\).
Pokračujeme, až \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.274…\).
34. Najděte kořen rovnice \( e^x = 3x \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = e^x – 3x\).
Hodnoty na krajích intervalu:
\(f(0) = 1 – 0 = 1 > 0\)
\(f(2) = 7.389 – 6 = 1.389 > 0\)
Funkce je kladná na obou krajích, zkontrolujeme interval [0,2].
\(f(1) = 2.718 – 3 = -0.282 < 0\)
Kořen je v intervalu [1,2].
Po iteracích metodou půlení intervalů dostaneme:
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.512134\).
35. Najděte kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-7}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \tan x – x\).
Hodnoty na krajích intervalu:
\(f(4) = \tan 4 – 4 \approx 1.1578 – 4 = -2.8422 < 0\)
\(f(5) = \tan 5 – 5 \approx -3.3805 – 5 = -8.3805 < 0\)
Na tomto intervalu funkce nemění znaménko, proto hledáme jinde.
Zkusme \(x=4.5\):
\(f(4.5) = \tan 4.5 – 4.5 \approx 4.6373 – 4.5 = 0.1373 > 0\)
Kořen je v intervalu \([4, 4.5]\).
Inicializace: \(a_0=4\), \(b_0=4.5\), \(\varepsilon=10^{-7}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 4.25\)
\(f(4.25) = \tan 4.25 – 4.25 \approx 0.219 – 4.25 = -4.031 < 0\)
Nastavíme \(a_1=4.25\).
2. Iterace:
\(c_1 = 4.375\)
\(f(4.375) = \tan 4.375 – 4.375 \approx 1.436 – 4.375 = -2.939 < 0\)
Nastavíme \(a_2=4.375\).
3. Iterace:
\(c_2 = 4.4375\)
\(f(4.4375) = \tan 4.4375 – 4.4375 \approx 3.9 – 4.4375 = -0.5375 < 0\)
Nastavíme \(a_3=4.4375\).
4. Iterace:
\(c_3 = 4.46875\)
\(f(4.46875) = \tan 4.46875 – 4.46875 \approx 8.1 – 4.46875 = 3.631 > 0\)
Nastavíme \(b_4=4.46875\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.4934\).
36. Najděte kořen rovnice \( \frac{1}{x} = \ln x \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \(f(x) = \frac{1}{x} – \ln x\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(1) = 1 – 0 = 1 > 0\)
\(f(3) = \frac{1}{3} – \ln 3 \approx 0.3333 – 1.0986 = -0.7653 < 0\)
Kořen je v intervalu \([1,3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=2\)
\(f(2) = 0.5 – 0.6931 = -0.1931 < 0\)
Nastavíme \(b_1=2\).
2. Iterace:
\(c_1=1.5\)
\(f(1.5) = \frac{2}{3} – 0.4055 = 0.6667 – 0.4055 = 0.2612 > 0\)
Nastavíme \(a_2=1.5\).
3. Iterace:
\(c_2=1.75\)
\(f(1.75) = 0.5714 – 0.5596 = 0.0118 > 0\)
Nastavíme \(a_3=1.75\).
4. Iterace:
\(c_3=1.875\)
\(f(1.875) = 0.5333 – 0.6292 = -0.0959 < 0\)
Nastavíme \(b_4=1.875\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.7632\).
37. Najděte kořen rovnice \( \sin x = \frac{x}{2} \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Definujme \(f(x) = \sin x – \frac{x}{2}\).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\(f(1) = \sin 1 – 0.5 \approx 0.8415 – 0.5 = 0.3415 > 0\)
\(f(3) = \sin 3 – 1.5 \approx 0.1411 – 1.5 = -1.3589 < 0\)
Kořen je tedy v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{1+3}{2} = 2\)
\(f(2) = \sin 2 – 1 = 0.9093 – 1 = -0.0907 < 0\)
Nastavíme \(b_1 = 2\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5\)
\(f(1.5) = \sin 1.5 – 0.75 \approx 0.9975 – 0.75 = 0.2475 > 0\)
Nastavíme \(a_2 = 1.5\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{1.5 + 2}{2} = 1.75\)
\(f(1.75) = \sin 1.75 – 0.875 \approx 0.9839 – 0.875 = 0.1089 > 0\)
Nastavíme \(a_3 = 1.75\).
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{1.75 + 2}{2} = 1.875\)
\(f(1.875) = \sin 1.875 – 0.9375 \approx 0.9540 – 0.9375 = 0.0165 > 0\)
Nastavíme \(a_4 = 1.875\).
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{1.875 + 2}{2} = 1.9375\)
\(f(1.9375) = \sin 1.9375 – 0.96875 \approx 0.9332 – 0.96875 = -0.03555 < 0\)
Nastavíme \(b_5 = 1.9375\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.8955\).
38. Najděte kořen rovnice \( \ln(x) = 1 – x \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Definujme \(f(x) = \ln x – (1 – x) = \ln x + x – 1\).
Hodnoty na krajích:
\(f(1) = \ln 1 + 1 – 1 = 0 + 0 = 0\)
\(f(3) = \ln 3 + 3 – 1 \approx 1.0986 + 2 = 3.0986 > 0\)
Pro kořen musíme zkontrolovat, zda se v intervalu nachází záporná hodnota.
Zkusíme hodnotu v bodě \(x=0.5\) mimo interval (pro potvrzení směrů):
\(f(0.5) = \ln 0.5 + 0.5 – 1 \approx -0.6931 + 0.5 – 1 = -1.1931 < 0\)
Protože \(f(1)=0\) a \(f(3)>0\), kořen je v intervalu \([1,3]\), konkrétně v bodě 1 (ale zkoušíme přesnost). Jelikož \(f(1)=0\), kořen je přesně v 1.
Nicméně zadáme interval \([1, 3]\) a použijeme metodu půlení intervalů pro demonstraci.
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=2\)
\(f(2) = \ln 2 + 2 – 1 \approx 0.6931 + 1 = 1.6931 > 0\)
Nastavíme \(b_1 = 2\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{1+2}{2} = 1.5\)
\(f(1.5) = \ln 1.5 + 1.5 – 1 \approx 0.4055 + 0.5 = 0.9055 > 0\)
Nastavíme \(b_2 = 1.5\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{1+1.5}{2} = 1.25\)
\(f(1.25) = \ln 1.25 + 1.25 – 1 \approx 0.2231 + 0.25 = 0.4731 > 0\)
Nastavíme \(b_3 = 1.25\).
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{1 + 1.25}{2} = 1.125\)
\(f(1.125) = \ln 1.125 + 1.125 – 1 \approx 0.1178 + 0.125 = 0.2428 > 0\)
Nastavíme \(b_4 = 1.125\).
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{1 + 1.125}{2} = 1.0625\)
\(f(1.0625) = \ln 1.0625 + 1.0625 – 1 \approx 0.0606 + 0.0625 = 0.1231 > 0\)
Nastavíme \(b_5 = 1.0625\).
6. Iterace:
\(c_5 = \frac{1 + 1.0625}{2} = 1.03125\)
\(f(1.03125) = \ln 1.03125 + 1.03125 – 1 \approx 0.0307 + 0.03125 = 0.06195 > 0\)
Nastavíme \(b_6 = 1.03125\).
7. Iterace:
\(c_6 = \frac{1 + 1.03125}{2} = 1.015625\)
\(f(1.015625) = \ln 1.015625 + 1.015625 – 1 \approx 0.0155 + 0.015625 = 0.031125 > 0\)
Nastavíme \(b_7 = 1.015625\).
8. Iterace:
\(c_7 = \frac{1 + 1.015625}{2} = 1.0078125\)
\(f(1.0078125) = \ln 1.0078125 + 1.0078125 – 1 \approx 0.00778 + 0.0078125 = 0.01559 > 0\)
Nastavíme \(b_8 = 1.0078125\).
9. Iterace:
\(c_8 = \frac{1 + 1.0078125}{2} = 1.00390625\)
\(f(1.00390625) = \ln 1.00390625 + 1.00390625 – 1 \approx 0.0039 + 0.0039 = 0.0078 > 0\)
Nastavíme \(b_9 = 1.00390625\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je \(x = 1\).
39. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 3x + 1 = 0 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Definujme \(f(x) = x^3 – 3x + 1\).
Hodnoty funkce na krajích:
\(f(0) = 0 – 0 + 1 = 1 > 0\)
\(f(2) = 8 – 6 + 1 = 3 > 0\)
Zkusme \(x=1\):
\(f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 < 0\)
Proto kořen je v intervalu \([0,1]\), protože tam je změna znaménka.
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=0.5\)
\(f(0.5) = 0.125 – 1.5 + 1 = -0.375 < 0\)
Nastavíme \(b_1=0.5\).
2. Iterace:
\(c_1=0.25\)
\(f(0.25) = 0.015625 – 0.75 + 1 = 0.265625 > 0\)
Nastavíme \(a_2=0.25\).
3. Iterace:
\(c_2=0.375\)
\(f(0.375) = 0.0527 – 1.125 + 1 = -0.0723 < 0\)
Nastavíme \(b_3=0.375\).
4. Iterace:
\(c_3=0.3125\)
\(f(0.3125) = 0.0305 – 0.9375 + 1 = 0.093 < 0\)
Nastavíme \(a_4=0.3125\).
5. Iterace:
\(c_4=0.34375\)
\(f(0.34375) = 0.0407 – 1.03125 + 1 = 0.0094 > 0\)
Nastavíme \(b_5=0.34375\).
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.3473\).
40. Najděte kořen rovnice \( e^x = 3x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Definujme \(f(x) = e^x – 3x\).
Hodnoty funkce na krajích:
\(f(0) = 1 – 0 = 1 > 0\)
\(f(1) = e^1 – 3 = 2.7183 – 3 = -0.2817 < 0\)
Kořen je tedy v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = e^{0.5} – 1.5 \approx 1.6487 – 1.5 = 0.1487 > 0\)
Nastavíme \(a_1 = 0.5\).
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = e^{0.75} – 2.25 \approx 2.1170 – 2.25 = -0.1330 < 0\)
Nastavíme \(b_2 = 0.75\).
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = e^{0.625} – 1.875 \approx 1.8682 – 1.875 = -0.0068 < 0\)
Nastavíme \(b_3 = 0.625\).
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{0.5 + 0.625}{2} = 0.5625\)
\(f(0.5625) = e^{0.5625} – 1.6875 \approx 1.7545 – 1.6875 = 0.0670 > 0\)
Nastavíme \(a_4 = 0.5625\).
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{0.5625 + 0.625}{2} = 0.59375\)
\(f(0.59375) = e^{0.59375} – 1.78125 \approx 1.8095 – 1.78125 = 0.02825 > 0\)
Nastavíme \(a_5 = 0.59375\).
6. Iterace:
\(c_5 = \frac{0.59375 + 0.625}{2} = 0.609375\)
\(f(0.609375) = e^{0.609375} – 1.828125 \approx 1.8386 – 1.828125 = 0.010475 > 0\)
Nastavíme \(a_6 = 0.609375\).
Pokračujeme obdobně, až je délka intervalu menší než \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.619061\).
41. Najděte kořen rovnice \( \ln(x+2) = x^2 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \ln(x+2) – x^2 \).
Vyhodnotíme funkci na krajích intervalu:
\( f(0) = \ln(2) – 0 = 0.693147 > 0 \)
\( f(2) = \ln(4) – 4 = 1.386294 – 4 = -2.613706 < 0 \)
Kořen je tedy v intervalu \([0,2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0 = \frac{0 + 2}{2} = 1 \)
\( f(1) = \ln(3) – 1 = 1.098612 – 1 = 0.098612 > 0 \Rightarrow a_1 = 1, b_1=2 \)
2. Iterace:
\( c_1 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5 \)
\( f(1.5) = \ln(3.5) – 2.25 = 1.252763 – 2.25 = -0.997237 < 0 \Rightarrow a_2 = 1, b_2 = 1.5 \)
3. Iterace:
\( c_2 = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25 \)
\( f(1.25) = \ln(3.25) – 1.5625 = 1.178655 – 1.5625 = -0.383845 < 0 \Rightarrow a_3 = 1, b_3 = 1.25 \)
4. Iterace:
\( c_3 = \frac{1 + 1.25}{2} = 1.125 \)
\( f(1.125) = \ln(3.125) – 1.265625 = 1.139434 – 1.265625 = -0.126191 < 0 \Rightarrow a_4=1, b_4=1.125 \)
5. Iterace:
\( c_4 = \frac{1 + 1.125}{2} = 1.0625 \)
\( f(1.0625) = \ln(3.0625) – 1.128906 = 1.118605 – 1.128906 = -0.010301 < 0 \Rightarrow a_5=1, b_5=1.0625 \)
6. Iterace:
\( c_5 = \frac{1 + 1.0625}{2} = 1.03125 \)
\( f(1.03125) = \ln(3.03125) – 1.063477 = 1.108576 – 1.063477 = 0.045099 > 0 \Rightarrow a_6=1.03125, b_6=1.0625 \)
7. Iterace:
\( c_6 = \frac{1.03125 + 1.0625}{2} = 1.046875 \)
\( f(1.046875) = \ln(3.046875) – 1.095001 = 1.113579 – 1.095001 = 0.018578 > 0 \Rightarrow a_7=1.046875, b_7=1.0625 \)
8. Iterace:
\( c_7 = \frac{1.046875 + 1.0625}{2} = 1.0546875 \)
\( f(1.0546875) = \ln(3.0546875) – 1.111172 = 1.116094 – 1.111172 = 0.004922 > 0 \Rightarrow a_8=1.0546875, b_8=1.0625 \)
9. Iterace:
\( c_8 = \frac{1.0546875 + 1.0625}{2} = 1.05859375 \)
\( f(1.05859375) = \ln(3.05859375) – 1.119039 = 1.117350 – 1.119039 = -0.001689 < 0 \Rightarrow a_9=1.0546875, b_9=1.05859375 \)
10. Iterace:
\( c_9 = \frac{1.0546875 + 1.05859375}{2} = 1.056640625 \)
\( f(1.056640625) = \ln(3.056640625) – 1.115105 = 1.116722 – 1.115105 = 0.001617 > 0 \Rightarrow a_{10}=1.056640625, b_{10}=1.05859375 \)
Pokračujeme až do dosažení \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.0577\).
42. Najděte kořen rovnice \( \cos(x) = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-7}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \cos(x) – x \).
Vyhodnotíme funkci na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = \cos(1) – 1 \approx 0.540302 – 1 = -0.459698 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-7}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0 = 0.5 \)
\( f(0.5) = \cos(0.5) – 0.5 = 0.877583 – 0.5 = 0.377583 > 0 \Rightarrow a_1=0.5, b_1=1 \)
2. Iterace:
\( c_1 = 0.75 \)
\( f(0.75) = \cos(0.75) – 0.75 = 0.731688 – 0.75 = -0.018312 < 0 \Rightarrow a_2=0.5, b_2=0.75 \)
3. Iterace:
\( c_2 = 0.625 \)
\( f(0.625) = \cos(0.625) – 0.625 = 0.810963 – 0.625 = 0.185963 > 0 \Rightarrow a_3=0.625, b_3=0.75 \)
4. Iterace:
\( c_3 = 0.6875 \)
\( f(0.6875) = \cos(0.6875) – 0.6875 = 0.772317 – 0.6875 = 0.084817 > 0 \Rightarrow a_4=0.6875, b_4=0.75 \)
5. Iterace:
\( c_4 = 0.71875 \)
\( f(0.71875) = \cos(0.71875) – 0.71875 = 0.752297 – 0.71875 = 0.033547 > 0 \Rightarrow a_5=0.71875, b_5=0.75 \)
6. Iterace:
\( c_5 = 0.734375 \)
\( f(0.734375) = \cos(0.734375) – 0.734375 = 0.742272 – 0.734375 = 0.007897 > 0 \Rightarrow a_6=0.734375, b_6=0.75 \)
7. Iterace:
\( c_6 = 0.7421875 \)
\( f(0.7421875) = \cos(0.7421875) – 0.7421875 = 0.737014 – 0.7421875 = -0.005174 < 0 \Rightarrow a_7=0.734375, b_7=0.7421875 \)
8. Iterace:
\( c_7 = 0.73828125 \)
\( f(0.73828125) = \cos(0.73828125) – 0.73828125 = 0.739642 – 0.73828125 = 0.001361 > 0 \Rightarrow a_8=0.73828125, b_8=0.7421875 \)
9. Iterace:
\( c_8 = 0.740234375 \)
\( f(0.740234375) = \cos(0.740234375) – 0.740234375 = 0.738334 – 0.740234375 = -0.001900 < 0 \Rightarrow a_9=0.73828125, b_9=0.740234375 \)
Pokračujeme do dosažení \(\varepsilon=10^{-7}\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.7390851\).
43. Najděte kořen rovnice \( x^3 + 4x^2 – 10 = 0 \) v intervalu \([1, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = x^3 + 4x^2 – 10 \).
Vyhodnotíme funkci na krajích intervalu:
\( f(1) = 1 + 4 – 10 = -5 < 0 \)
\( f(2) = 8 + 16 – 10 = 14 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([1,2]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0 = 1.5 \)
\( f(1.5) = 3.375 + 9 – 10 = 2.375 > 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=1.5 \)
2. Iterace:
\( c_1 = 1.25 \)
\( f(1.25) = 1.953125 + 6.25 – 10 = -1.796875 < 0 \Rightarrow a_2=1.25, b_2=1.5 \)
3. Iterace:
\( c_2 = 1.375 \)
\( f(1.375) = 2.5957 + 7.5625 – 10 = 0.1582 > 0 \Rightarrow a_3=1.25, b_3=1.375 \)
4. Iterace:
\( c_3 = 1.3125 \)
\( f(1.3125) = 2.261 + 6.889 – 10 = -0.636 < 0 \Rightarrow a_4=1.3125, b_4=1.375 \)
5. Iterace:
\( c_4 = 1.34375 \)
\( f(1.34375) = 2.422 + 7.217 – 10 = -0.236 < 0 \Rightarrow a_5=1.34375, b_5=1.375 \)
6. Iterace:
\( c_5 = 1.359375 \)
\( f(1.359375) = 2.507 + 7.387 – 10 = -0.04 < 0 \Rightarrow a_6=1.359375, b_6=1.375 \)
7. Iterace:
\( c_6 = 1.3671875 \)
\( f(1.3671875) = 2.551 + 7.475 – 10 = 0.06 > 0 \Rightarrow a_7=1.359375, b_7=1.3671875 \)
8. Iterace:
\( c_7 = 1.36328125 \)
\( f(1.36328125) = 2.529 + 7.431 – 10 = 0.01 > 0 \Rightarrow a_8=1.359375, b_8=1.36328125 \)
9. Iterace:
\( c_8 = 1.361328125 \)
\( f(1.361328125) = 2.518 + 7.409 – 10 = -0.015 < 0 \Rightarrow a_9=1.361328125, b_9=1.36328125 \)
10. Iterace:
\( c_9 = 1.3623046875 \)
\( f(1.3623046875) = 2.524 + 7.420 – 10 = -0.002 < 0 \Rightarrow a_{10}=1.3623046875, b_{10}=1.36328125 \)
Pokračujeme do dosažení \(\varepsilon = 10^{-5}\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.3623\).
44. Najděte kořen rovnice \( e^{x} = 3x \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = e^{x} – 3x \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 > 0 \)
\( f(2) = 7.389 – 6 = 1.389 > 0 \)
Funkce nemění znaménko, zkusíme interval \([0.5, 1.5]\):
\( f(0.5) = 1.649 – 1.5 = 0.149 > 0 \)
\( f(1.5) = 4.481 – 4.5 = -0.019 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0.5,1.5]\).
Inicializace: \(a_0=0.5\), \(b_0=1.5\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace (příklad pro postup):
\( c_0 = 1.0, f(c_0) = -0.282 < 0 \Rightarrow a_1=0.5, b_1=1.0 \)
\( c_1 = 0.75, f(c_1) = -0.132 < 0 \Rightarrow a_2=0.5, b_2=0.75 \)
\( c_2 = 0.625, f(c_2) = -0.007 < 0 \Rightarrow a_3=0.5, b_3=0.625 \)
\( c_3 = 0.5625, f(c_3) = 0.068 > 0 \Rightarrow a_4=0.5625, b_4=0.625 \)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.619061\).
45. Najděte kořen rovnice \( \sin x = \frac{x}{2} \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \sin x – \frac{x}{2} \).
Vyhodnotíme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\( f(1) = \sin 1 – \frac{1}{2} \approx 0.84147 – 0.5 = 0.34147 > 0 \)
\( f(3) = \sin 3 – \frac{3}{2} \approx 0.14112 – 1.5 = -1.35888 < 0 \)
Kořen leží v intervalu \([1, 3]\), protože funkce mění znaménko.
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0 = \frac{1+3}{2} = 2 \)
\( f(2) = \sin 2 – 1 = 0.90930 – 1 = -0.09070 < 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=2 \)
2. Iterace:
\( c_1 = \frac{1+2}{2} = 1.5 \)
\( f(1.5) = \sin 1.5 – 0.75 = 0.99749 – 0.75 = 0.24749 > 0 \Rightarrow a_2=1.5, b_2=2 \)
3. Iterace:
\( c_2 = \frac{1.5+2}{2} = 1.75 \)
\( f(1.75) = \sin 1.75 – 0.875 \approx 0.98398 – 0.875 = 0.10898 > 0 \Rightarrow a_3=1.75, b_3=2 \)
4. Iterace:
\( c_3 = \frac{1.75+2}{2} = 1.875 \)
\( f(1.875) = \sin 1.875 – 0.9375 \approx 0.95424 – 0.9375 = 0.01674 > 0 \Rightarrow a_4=1.875, b_4=2 \)
5. Iterace:
\( c_4 = \frac{1.875+2}{2} = 1.9375 \)
\( f(1.9375) = \sin 1.9375 – 0.96875 \approx 0.93358 – 0.96875 = -0.03517 < 0 \Rightarrow a_5=1.875, b_5=1.9375 \)
6. Iterace:
\( c_5 = \frac{1.875+1.9375}{2} = 1.90625 \)
\( f(1.90625) = \sin 1.90625 – 0.953125 \approx 0.94489 – 0.953125 = -0.008235 < 0 \Rightarrow a_6=1.875, b_6=1.90625 \)
7. Iterace:
\( c_6 = \frac{1.875+1.90625}{2} = 1.890625 \)
\( f(1.890625) = \sin 1.890625 – 0.9453125 \approx 0.94962 – 0.9453125 = 0.00431 > 0 \Rightarrow a_7=1.890625, b_7=1.90625 \)
8. Iterace:
\( c_7 = \frac{1.890625+1.90625}{2} = 1.8984375 \)
\( f(1.8984375) = \sin 1.8984375 – 0.94921875 \approx 0.94728 – 0.94921875 = -0.00194 < 0 \Rightarrow a_8=1.890625, b_8=1.8984375 \)
Pokračujeme podobně, dokud nepřekročíme přesnost \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.8955\).
46. Najděte kořen rovnice \( \ln(x+2) = x^2 – 2 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \ln(x+2) – (x^2 – 2) \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = \ln(2) – (0 – 2) = 0.6931 + 2 = 2.6931 > 0 \)
\( f(2) = \ln(4) – (4 – 2) = 1.3863 – 2 = -0.6137 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=1 \)
\( f(1) = \ln(3) – (1 – 2) = 1.0986 + 1 = 2.0986 > 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=2 \)
2. Iterace:
\( c_1=1.5 \)
\( f(1.5) = \ln(3.5) – (2.25 – 2) = 1.2528 – 0.25 = 1.0028 > 0 \Rightarrow a_2=1.5, b_2=2 \)
3. Iterace:
\( c_2=1.75 \)
\( f(1.75) = \ln(3.75) – (3.0625 – 2) = 1.3218 – 1.0625 = 0.2593 > 0 \Rightarrow a_3=1.75, b_3=2 \)
4. Iterace:
\( c_3=1.875 \)
\( f(1.875) = \ln(3.875) – (3.5156 – 2) = 1.3549 – 1.5156 = -0.1607 < 0 \Rightarrow a_4=1.75, b_4=1.875 \)
5. Iterace:
\( c_4=1.8125 \)
\( f(1.8125) = \ln(3.8125) – (3.286 – 2) = 1.3384 – 1.286 = 0.0524 > 0 \Rightarrow a_5=1.8125, b_5=1.875 \)
6. Iterace:
\( c_5=1.84375 \)
\( f(1.84375) = \ln(3.84375) – (3.400 – 2) = 1.3466 – 1.400 = -0.0534 < 0 \Rightarrow a_6=1.8125, b_6=1.84375 \)
7. Iterace:
\( c_6=1.828125 \)
\( f(1.828125) = \ln(3.828125) – (3.342 – 2) = 1.3425 – 1.342 = 0.0005 > 0 \Rightarrow a_7=1.828125, b_7=1.84375 \)
8. Iterace:
\( c_7=1.8359375 \)
\( f(1.8359375) = \ln(3.8359375) – (3.371 – 2) = 1.3446 – 1.371 = -0.0264 < 0 \Rightarrow a_8=1.828125, b_8=1.8359375 \)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.83\).
47. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 3x + 1 = 0 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0)=1 >0, f(1)=-1 <0 \)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Iterace (příklad):
\( c_0=0.5, f(c_0)=0.125 >0 \Rightarrow a_1=0.5, b_1=1 \)
\( c_1=0.75, f(c_1)=-0.672 <0 \Rightarrow a_2=0.5, b_2=0.75 \)
\( c_2=0.625, f(c_2)=-0.404 <0 \Rightarrow a_3=0.5, b_3=0.625 \)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.347296\).
48. Najděte kořen rovnice \( \cos x = x^3 \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = \cos x – x^3 \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = \cos 1 – 1 = 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=0.5 \)
\( f(0.5) = \cos 0.5 – 0.125 = 0.8776 – 0.125 = 0.7526 > 0 \Rightarrow a_1=0.5, b_1=1 \)
2. Iterace:
\( c_1=0.75 \)
\( f(0.75) = \cos 0.75 – 0.422 = 0.7317 – 0.422 = 0.3097 > 0 \Rightarrow a_2=0.75, b_2=1 \)
3. Iterace:
\( c_2=0.875 \)
\( f(0.875) = \cos 0.875 – 0.669 = 0.639 – 0.669 = -0.03 < 0 \Rightarrow a_3=0.75, b_3=0.875 \)
4. Iterace:
\( c_3=0.8125 \)
\( f(0.8125) = \cos 0.8125 – 0.537 = 0.686 – 0.537 = 0.149 > 0 \Rightarrow a_4=0.8125, b_4=0.875 \)
5. Iterace:
\( c_4=0.84375 \)
\( f(0.84375) = \cos 0.84375 – 0.601 = 0.663 – 0.601 = 0.062 > 0 \Rightarrow a_5=0.84375, b_5=0.875 \)
6. Iterace:
\( c_5=0.859375 \)
\( f(0.859375) = \cos 0.859375 – 0.634 = 0.651 – 0.634 = 0.017 > 0 \Rightarrow a_6=0.859375, b_6=0.875 \)
7. Iterace:
\( c_6=0.8671875 \)
\( f(0.8671875) = \cos 0.8671875 – 0.651 = 0.645 – 0.651 = -0.006 < 0 \Rightarrow a_7=0.859375, b_7=0.8671875 \)
Pokračujeme do dosažení \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.863\).
49. Najděte kořen rovnice \( e^{-x} = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = e^{-x} – x \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = e^{-1} – 1 = 0.3679 – 1 = -0.6321 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=0.5 \)
\( f(0.5) = e^{-0.5} – 0.5 = 0.6065 – 0.5 = 0.1065 > 0 \Rightarrow a_1=0.5, b_1=1 \)
2. Iterace:
\( c_1=0.75 \)
\( f(0.75) = e^{-0.75} – 0.75 = 0.4724 – 0.75 = -0.2776 < 0 \Rightarrow a_2=0.5, b_2=0.75 \)
3. Iterace:
\( c_2=0.625 \)
\( f(0.625) = e^{-0.625} – 0.625 = 0.5353 – 0.625 = -0.0897 < 0 \Rightarrow a_3=0.5, b_3=0.625 \)
4. Iterace:
\( c_3=0.5625 \)
\( f(0.5625) = e^{-0.5625} – 0.5625 = 0.5697 – 0.5625 = 0.0072 > 0 \Rightarrow a_4=0.5625, b_4=0.625 \)
5. Iterace:
\( c_4=0.59375 \)
\( f(0.59375) = e^{-0.59375} – 0.59375 = 0.5520 – 0.59375 = -0.0417 < 0 \Rightarrow a_5=0.5625, b_5=0.59375 \)
Pokračujeme, dokud \(b_n – a_n < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.5671\).
50. Najděte kořen rovnice \( x = \tan x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = x – \tan x \).
Vyhodnotíme funkci:
\( f(4) = 4 – \tan 4 \approx 4 – 1.1578 = 2.8422 > 0 \)
\( f(5) = 5 – \tan 5 \approx 5 + 3.3805 = 8.3805 > 0 \)
Nemění znaménko, ale víme, že \(\tan x\) má nespojitost v \(\frac{3\pi}{2} \approx 4.712\), takže kořen může být v intervalu \([4, 4.712]\) nebo \([4.712, 5]\).
Zkusíme \([4, 4.7]\):
\( f(4.7) = 4.7 – \tan 4.7 \approx 4.7 – 13.81 = -9.11 < 0 \)
Kořen je v \([4, 4.7]\).
Inicializace: \(a_0=4\), \(b_0=4.7\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=4.35 \)
\( f(4.35) = 4.35 – \tan 4.35 \approx 4.35 – 4.77 = -0.42 < 0 \Rightarrow a_1=4, b_1=4.35 \)
2. Iterace:
\( c_1=4.175 \)
\( f(4.175) = 4.175 – \tan 4.175 \approx 4.175 – 2.08 = 2.095 > 0 \Rightarrow a_2=4.175, b_2=4.35 \)
3. Iterace:
\( c_2=4.2625 \)
\( f(4.2625) \approx 4.2625 – 3.2 = 1.06 > 0 \Rightarrow a_3=4.2625, b_3=4.35 \)
4. Iterace:
\( c_3=4.30625 \)
\( f(4.30625) \approx 4.30625 – 3.85 = 0.46 > 0 \Rightarrow a_4=4.30625, b_4=4.35 \)
5. Iterace:
\( c_4=4.328125 \)
\( f(4.328125) \approx 4.328 – 4.3 = 0.028 > 0 \Rightarrow a_5=4.328125, b_5=4.35 \)
6. Iterace:
\( c_5=4.339 \)
\( f(4.339) \approx 4.339 – 4.6 = -0.26 < 0 \Rightarrow a_6=4.328125, b_6=4.339 \)
Pokračujeme, dokud nepřekročíme \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.33\).
51. Najděte kořen rovnice \( x^4 – 10x^2 + 9 = 0 \) v intervalu \([2, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = x^4 – 10x^2 + 9 \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(2) = 16 – 40 + 9 = -15 < 0 \)
\( f(3) = 81 – 90 + 9 = 0 \)
Jelikož \(f(3)=0\), kořen je \(x=3\), ale ověříme interval \([2, 3]\).
Pokud chceme kořen v intervalu, použijeme půlení:
1. Iterace:
\( c_0=2.5 \)
\( f(2.5) = 39.06 – 62.5 + 9 = -14.44 < 0 \Rightarrow a_1=2.5, b_1=3 \)
2. Iterace:
\( c_1=2.75 \)
\( f(2.75) = 57.12 – 75.62 + 9 = -9.5 < 0 \Rightarrow a_2=2.75, b_2=3 \)
Pokračujeme, až dojdeme k přesnosti.
Výsledek: Kořen je \(x=3\).
52. Najděte kořen rovnice \( \sqrt{x} = \cos x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = \sqrt{x} – \cos x \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – 1 = -1 < 0 \)
\( f(1) = 1 – \cos 1 \approx 1 – 0.5403 = 0.4597 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=0.5 \)
\( f(0.5) = \sqrt{0.5} – \cos 0.5 \approx 0.7071 – 0.8776 = -0.1705 < 0 \Rightarrow a_1=0.5, b_1=1 \)
2. Iterace:
\( c_1=0.75 \)
\( f(0.75) = \sqrt{0.75} – \cos 0.75 \approx 0.866 – 0.7317 = 0.1343 > 0 \Rightarrow a_2=0.5, b_2=0.75 \)
Pokračujeme do dosažení \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.67\).
53. Najděte kořen rovnice \( \ln(x) + x = 2 \) v intervalu \([1, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = \ln x + x – 2 \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(1) = 0 + 1 – 2 = -1 < 0 \)
\( f(2) = \ln 2 + 2 – 2 = 0.6931 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 2]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=1.5 \)
\( f(1.5) = \ln 1.5 + 1.5 – 2 = 0.4055 + 1.5 – 2 = -0.0945 < 0 \Rightarrow a_1=1.5, b_1=2 \)
2. Iterace:
\( c_1=1.75 \)
\( f(1.75) = \ln 1.75 + 1.75 – 2 = 0.5606 + 1.75 – 2 = 0.3106 > 0 \Rightarrow a_2=1.5, b_2=1.75 \)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.59\).
54. Najděte kořen rovnice \( \sin x = \frac{x}{2} \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = \sin x – \frac{x}{2} \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(1) = \sin 1 – 0.5 = 0.8415 – 0.5 = 0.3415 > 0 \)
\( f(3) = \sin 3 – 1.5 = 0.1411 – 1.5 = -1.3589 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=2 \)
\( f(2) = \sin 2 – 1 = 0.9093 – 1 = -0.0907 < 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=2 \)
2. Iterace:
\( c_1=1.5 \)
\( f(1.5) = \sin 1.5 – 0.75 = 0.9975 – 0.75 = 0.2475 > 0 \Rightarrow a_2=1.5, b_2=2 \)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.895\).
55. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 2x – 5 = 0 \) v intervalu \([2, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = x^3 – 2x – 5 \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(2) = 8 – 4 – 5 = -1 < 0 \)
\( f(3) = 27 – 6 – 5 = 16 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([2, 3]\).
Inicializace: \(a_0=2\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=2.5 \)
\( f(2.5) = 15.625 – 5 – 5 = 5.625 > 0 \Rightarrow a_1=2, b_1=2.5 \)
2. Iterace:
\( c_1=2.25 \)
\( f(2.25) = 11.39 – 4.5 – 5 = 1.89 > 0 \Rightarrow a_2=2, b_2=2.25 \)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.0945\).
56. Najděte kořen rovnice \( \ln(x+1) + x^2 = 2 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = \ln(x+1) + x^2 – 2 \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = \ln 1 + 0 – 2 = -2 < 0 \)
\( f(2) = \ln 3 + 4 – 2 \approx 1.0986 + 4 – 2 = 3.0986 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=1 \)
\( f(1) = \ln 2 + 1 – 2 = 0.6931 + 1 – 2 = -0.3069 < 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=2 \)
2. Iterace:
\( c_1=1.5 \)
\( f(1.5) = \ln 2.5 + 2.25 – 2 = 0.9163 + 2.25 – 2 = 1.1663 > 0 \Rightarrow a_2=1, b_2=1.5 \)
Pokračujeme do dosažení \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.15\).
57. Najděte kořen rovnice \( x = \cos x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = x – \cos x \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – 1 = -1 < 0 \)
\( f(1) = 1 – 0.5403 = 0.4597 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=0.5 \)
\( f(0.5) = 0.5 – 0.8776 = -0.3776 < 0 \Rightarrow a_1=0.5, b_1=1 \)
2. Iterace:
\( c_1=0.75 \)
\( f(0.75) = 0.75 – 0.7317 = 0.0183 > 0 \Rightarrow a_2=0.5, b_2=0.75 \)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.7391\).
58. Najděte kořen rovnice \( \sin x = \frac{1}{x} \) v intervalu \([1, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = \sin x – \frac{1}{x} \).
Hodnoty na krajích intervalu:
\( f(1) = \sin 1 – 1 = 0.8415 – 1 = -0.1585 < 0 \)
\( f(2) = \sin 2 – 0.5 = 0.9093 – 0.5 = 0.4093 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 2]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\( c_0=1.5 \)
\( f(1.5) = \sin 1.5 – \frac{1}{1.5} = 0.9975 – 0.6667 = 0.3308 > 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=1.5 \)
2. Iterace:
\( c_1=1.25 \)
\( f(1.25) = \sin 1.25 – 0.8 = 0.9489 – 0.8 = 0.1489 > 0 \Rightarrow a_2=1, b_2=1.25 \)
3. Iterace:
\( c_2=1.125 \)
\( f(1.125) = \sin 1.125 – 0.8889 = 0.9027 – 0.8889 = 0.0138 > 0 \Rightarrow a_3=1, b_3=1.125 \)
4. Iterace:
\( c_3=1.0625 \)
\( f(1.0625) = \sin 1.0625 – 0.9412 = 0.8740 – 0.9412 = -0.0672 < 0 \Rightarrow a_4=1.0625, b_4=1.125 \)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.09\).
59. Najděte kořen rovnice \( x e^{-x} = 0.1 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = x e^{-x} – 0.1 \).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 \cdot e^{0} – 0.1 = -0.1 < 0 \)
\( f(2) = 2 e^{-2} – 0.1 \approx 0.2706 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace: \(c_0=1\), \(f(1) \approx 0.2679 > 0 \Rightarrow a_1=0, b_1=1\)
2. Iterace: \(c_1=0.5\), \(f(0.5) \approx 0.2033 > 0 \Rightarrow a_2=0, b_2=0.5\)
3. Iterace: \(c_2=0.25\), \(f(0.25) \approx 0.0947 < 0 \Rightarrow a_3=0.25, b_3=0.5\)
4. Iterace: \(c_3=0.375\), \(f(0.375) \approx 0.1577 > 0 \Rightarrow a_4=0.25, b_4=0.375\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.27846\).
60. Najděte kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4.4, 4.7]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \tan x – x \).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\( f(4.4) \approx 0.2373 > 0 \)
\( f(4.7) \approx -12.396 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([4.4, 4.7]\).
Inicializace: \(a_0=4.4\), \(b_0=4.7\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace: \(c_0=4.55\), \(f(4.55) \approx -3.527 < 0 \Rightarrow a_1=4.4, b_1=4.55\)
2. Iterace: \(c_1=4.475\), \(f(4.475) \approx 0.751 > 0 \Rightarrow a_2=4.475, b_2=4.55\)
3. Iterace: \(c_2=4.5125\), \(f(4.5125) \approx -1.68 < 0 \Rightarrow a_3=4.475, b_3=4.5125\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.49341\).
61. Najděte kořen rovnice \( \ln(x+2) = 1 \) v intervalu \([0, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \ln(x+2) – 1 \).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\( f(0) = \ln 2 – 1 \approx 0.6931 – 1 = -0.3069 < 0 \)
\( f(5) = \ln 7 – 1 \approx 1.9459 – 1 = 0.9459 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 5]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=5\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace: \(c_0=2.5\), \(f(2.5) = \ln 4.5 -1 \approx 1.5041 -1 = 0.5041 > 0 \Rightarrow a_1=0, b_1=2.5\)
2. Iterace: \(c_1=1.25\), \(f(1.25) = \ln 3.25 -1 \approx 1.1787 -1 = 0.1787 > 0 \Rightarrow a_2=0, b_2=1.25\)
3. Iterace: \(c_2=0.625\), \(f(0.625) = \ln 2.625 -1 \approx 0.9648 -1 = -0.0352 < 0 \Rightarrow a_3=0.625, b_3=1.25\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.71828\).
62. Najděte kořen rovnice \( \sin x = \frac{x}{2} \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \sin x – \frac{x}{2} \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(1) = \sin 1 – \frac{1}{2} \approx 0.8415 – 0.5 = 0.3415 > 0 \)
\( f(3) = \sin 3 – \frac{3}{2} \approx 0.1411 – 1.5 = -1.3589 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace: \(c_0=2\), \(f(2) = \sin 2 – 1 = 0.9093 – 1 = -0.0907 < 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=2\)
2. Iterace: \(c_1=1.5\), \(f(1.5) = \sin 1.5 – 0.75 = 0.9975 – 0.75 = 0.2475 > 0 \Rightarrow a_2=1.5, b_2=2\)
3. Iterace: \(c_2=1.75\), \(f(1.75) = \sin 1.75 – 0.875 = 0.983 – 0.875 = 0.108 > 0 \Rightarrow a_3=1.75, b_3=2\)
4. Iterace: \(c_3=1.875\), \(f(1.875) = \sin 1.875 – 0.9375 = 0.954 – 0.9375 = 0.0165 > 0 \Rightarrow a_4=1.875, b_4=2\)
5. Iterace: \(c_4=1.9375\), \(f(1.9375) = \sin 1.9375 – 0.96875 = 0.933 – 0.96875 = -0.03575 < 0 \Rightarrow a_5=1.875, b_5=1.9375\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.89549\).
63. Najděte kořen rovnice \( \ln(x^2 + 1) = 1 \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \ln(x^2 + 1) – 1 \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(1) = \ln 2 – 1 \approx 0.6931 – 1 = -0.3069 < 0 \)
\( f(3) = \ln 10 – 1 \approx 2.3026 – 1 = 1.3026 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace: \(c_0=2\), \(f(2) = \ln 5 – 1 \approx 1.6094 – 1 = 0.6094 > 0 \Rightarrow a_1=1, b_1=2\)
2. Iterace: \(c_1=1.5\), \(f(1.5) = \ln 3.25 – 1 \approx 1.1787 – 1 = 0.1787 > 0 \Rightarrow a_2=1, b_2=1.5\)
3. Iterace: \(c_2=1.25\), \(f(1.25) = \ln 2.5625 – 1 \approx 0.9400 – 1 = -0.0600 < 0 \Rightarrow a_3=1.25, b_3=1.5\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.31696\).
64. Najděte kořen rovnice \( x = \cos x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = x – \cos x \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – 1 = -1 < 0 \)
\( f(1) = 1 – \cos 1 \approx 1 – 0.5403 = 0.4597 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace: \(c_0=0.5\), \(f(0.5) = 0.5 – \cos 0.5 \approx 0.5 – 0.8776 = -0.3776 < 0 \Rightarrow a_1=0.5, b_1=1\)
2. Iterace: \(c_1=0.75\), \(f(0.75) = 0.75 – \cos 0.75 \approx 0.75 – 0.7317 = 0.0183 > 0 \Rightarrow a_2=0.5, b_2=0.75\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.739085\).
65. Najděte kořen rovnice \( x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = 0 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 > 0 \)
\( f(2) = 16 – 32 + 24 – 8 + 1 = 1 > 0 \)
Pro ověření najdeme hodnotu uprostřed:
\( f(1) = 1 – 4 + 6 – 4 + 1 = 0 \)
Protože \(f(1)=0\), kořen je přesně \(x=1\).
Výsledek: Kořen je \(x = 1\).
66. Najděte kořen rovnice \( e^x = 3x \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = e^x – 3x \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(2) = e^2 – 6 \approx 7.3891 – 6 = 1.3891 > 0 \)
Zkontrolujeme hodnotu v intervalu, abychom našli změnu znaménka:
\( f(1) = e – 3 \approx 2.7183 – 3 = -0.2817 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 2]\).
Inicializace: \(a_0=1\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace: \(c_0=1.5\), \(f(1.5) = e^{1.5} – 4.5 \approx 4.4817 – 4.5 = -0.0183 < 0 \Rightarrow a_1=1.5, b_1=2\)
2. Iterace: \(c_1=1.75\), \(f(1.75) = e^{1.75} – 5.25 \approx 5.7546 – 5.25 = 0.5046 > 0 \Rightarrow a_2=1.5, b_2=1.75\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.59773\).
67. Najděte kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \tan x – x \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(4) = \tan 4 – 4 \approx 1.1578 – 4 = -2.8422 < 0 \)
\( f(5) = \tan 5 – 5 \approx -3.3805 – 5 = -8.3805 < 0 \)
Funkce nemění znaménko, proto zúžíme interval podle asymptot:
Interval \([4.5, 4.7]\) pro zkoušku:
\( f(4.5) = \tan 4.5 – 4.5 \approx 4.6373 – 4.5 = 0.1373 > 0 \)
\( f(4.7) = \tan 4.7 – 4.7 \approx -7.5777 – 4.7 = -12.2777 < 0 \)
Kořen je tedy v intervalu \([4.5, 4.7]\).
Inicializace: \(a_0=4.5\), \(b_0=4.7\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace pokračují obdobně.
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.49341\).
68. Najděte kořen rovnice \( \sqrt{x} = \ln x \) v intervalu \([2, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \sqrt{x} – \ln x \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(2) = \sqrt{2} – \ln 2 \approx 1.4142 – 0.6931 = 0.7211 > 0 \)
\( f(5) = \sqrt{5} – \ln 5 \approx 2.2361 – 1.6094 = 0.6267 > 0 \)
Zkusíme jiný interval, např. \([0.5, 2]\):
\( f(0.5) = 0.7071 – (-0.6931) = 1.4002 > 0 \)
Zkusíme \([0.1, 0.5]\):
\( f(0.1) = 0.3162 – (-2.3026) = 2.6188 > 0 \)
Pro menší hodnoty funkce je vždy kladná, takže kořen je větší než 5?
Vyzkoušíme \([5, 10]\):
\( f(10) = \sqrt{10} – \ln 10 \approx 3.1623 – 2.3026 = 0.8597 > 0 \)
Funkce je kladná na zkoumaných intervalech, zkusíme \(f(1) = 1 – 0 = 1 > 0\).
Funkce nemění znaménko, zkontrolujeme derivaci a funkci detailněji:
Vypočteme, že funkce nemá kořen v zadaném intervalu.
Změníme příklad na \( \sqrt{x} = \ln(x+1) \) v intervalu \([0, 4]\).
69. Najděte kořen rovnice \( \sqrt{x} = \ln(x+1) \) v intervalu \([0, 4]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \sqrt{x} – \ln(x+1) \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – \ln 1 = 0 \)
\( f(4) = 2 – \ln 5 \approx 2 – 1.6094 = 0.3906 > 0 \)
Zkusíme menší hodnoty:
\( f(0.1) = 0.3162 – \ln 1.1 \approx 0.3162 – 0.0953 = 0.2209 > 0 \)
Protože \(f(0)=0\), kořen je \(x=0\).
Ověření, že jedná se o kořen.
70. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 2x – 5 = 0 \) v intervalu \([2, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = x^3 – 2x – 5 \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(2) = 8 – 4 – 5 = -1 < 0 \)
\( f(3) = 27 – 6 – 5 = 16 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([2, 3]\).
Inicializace: \(a_0=2\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace: \(c_0=2.5\), \(f(2.5) = 15.625 – 5 – 5 = 5.625 > 0 \Rightarrow a_1=2, b_1=2.5\)
2. Iterace: \(c_1=2.25\), \(f(2.25) = 11.39 – 4.5 – 5 = 1.89 > 0 \Rightarrow a_2=2, b_2=2.25\)
3. Iterace: \(c_2=2.125\), \(f(2.125) = 9.59 – 4.25 – 5 = 0.34 > 0 \Rightarrow a_3=2, b_3=2.125\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.09455\).
71. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 2x – 5 = 0 \) v intervalu \([2, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme funkci \( f(x) = x^3 – 2x – 5 \).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\( f(2) = 8 – 4 – 5 = -1 < 0 \)
\( f(3) = 27 – 6 – 5 = 16 > 0 \)
Kořen je tedy v intervalu \([2, 3]\).
Inicializace: \(a_0=2\), \(b_0=3\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{2+3}{2} = 2.5\)
\(f(2.5) = 15.625 – 5 – 5 = 5.625 > 0 \Rightarrow b_1 = 2.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{2 + 2.5}{2} = 2.25\)
\(f(2.25) = 11.39 – 4.5 – 5 = 1.89 > 0 \Rightarrow b_2 = 2.25\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{2 + 2.25}{2} = 2.125\)
\(f(2.125) = 9.6 – 4.25 – 5 = 0.35 > 0 \Rightarrow b_3 = 2.125\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{2 + 2.125}{2} = 2.0625\)
\(f(2.0625) = 8.77 – 4.125 – 5 = -0.355 < 0 \Rightarrow a_4 = 2.0625\)
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{2.0625 + 2.125}{2} = 2.09375\)
\(f(2.09375) = 9.18 – 4.18 – 5 = -0.007 < 0 \Rightarrow a_5 = 2.09375\)
6. Iterace:
\(c_5 = \frac{2.09375 + 2.125}{2} = 2.109375\)
\(f(2.109375) = 9.38 – 4.22 – 5 = 0.17 > 0 \Rightarrow b_6 = 2.109375\)
Pokračujeme takto, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.094551\).
72. Najděte kořen rovnice \( \cos x = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \cos x – x \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = \cos 1 – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = \cos 0.5 – 0.5 \approx 0.8776 – 0.5 = 0.3776 > 0 \Rightarrow a_1 = 0.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = 0.75\)
\(f(0.75) = \cos 0.75 – 0.75 \approx 0.7317 – 0.75 = -0.0183 < 0 \Rightarrow b_2 = 0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = 0.625\)
\(f(0.625) = \cos 0.625 – 0.625 \approx 0.8109 – 0.625 = 0.1859 > 0 \Rightarrow a_3 = 0.625\)
4. Iterace:
\(c_3 = 0.6875\)
\(f(0.6875) = \cos 0.6875 – 0.6875 \approx 0.7725 – 0.6875 = 0.0850 > 0 \Rightarrow a_4 = 0.6875\)
5. Iterace:
\(c_4 = 0.71875\)
\(f(0.71875) = \cos 0.71875 – 0.71875 \approx 0.7511 – 0.71875 = 0.03235 > 0 \Rightarrow a_5 = 0.71875\)
6. Iterace:
\(c_5 = 0.734375\)
\(f(0.734375) = \cos 0.734375 – 0.734375 \approx 0.7410 – 0.734375 = 0.00662 > 0 \Rightarrow a_6 = 0.734375\)
7. Iterace:
\(c_6 = 0.7421875\)
\(f(0.7421875) = \cos 0.7421875 – 0.7421875 \approx 0.7363 – 0.7421875 = -0.0059 < 0 \Rightarrow b_7 = 0.7421875\)
Pokračujeme do \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.739085\).
73. Najděte kořen rovnice \( \ln(x+2) + x^2 = 2 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \ln(x+2) + x^2 – 2 \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = \ln 2 + 0 – 2 \approx 0.6931 – 2 = -1.3069 < 0 \)
\( f(2) = \ln 4 + 4 – 2 \approx 1.3863 + 2 = 3.3863 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 2]\).
Inicializace: \(a_0=0\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 1\)
\(f(1) = \ln 3 + 1 – 2 \approx 1.0986 – 1 = 0.0986 > 0 \Rightarrow b_1=1\)
2. Iterace:
\(c_1 = 0.5\)
\(f(0.5) = \ln 2.5 + 0.25 – 2 \approx 0.9163 + 0.25 – 2 = -0.8337 < 0 \Rightarrow a_2=0.5\)
3. Iterace:
\(c_2 = 0.75\)
\(f(0.75) = \ln 2.75 + 0.5625 – 2 \approx 1.0116 + 0.5625 – 2 = -0.4259 < 0 \Rightarrow a_3=0.75\)
4. Iterace:
\(c_3 = 0.875\)
\(f(0.875) = \ln 2.875 + 0.7656 – 2 \approx 1.0555 + 0.7656 – 2 = -0.1789 < 0 \Rightarrow a_4=0.875\)
5. Iterace:
\(c_4 = 0.9375\)
\(f(0.9375) = \ln 2.9375 + 0.8789 – 2 \approx 1.0768 + 0.8789 – 2 = -0.0443 < 0 \Rightarrow a_5=0.9375\)
6. Iterace:
\(c_5 = 0.96875\)
\(f(0.96875) = \ln 2.96875 + 0.9385 – 2 \approx 1.0873 + 0.9385 – 2 = 0.0276 > 0 \Rightarrow b_6=0.96875\)
7. Iterace:
\(c_6 = 0.953125\)
\(f(0.953125) = \ln 2.953125 + 0.9093 – 2 \approx 1.0821 + 0.9093 – 2 = -0.0083 < 0 \Rightarrow a_7=0.953125\)
Pokračujeme do \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.9601\).
74. Najděte kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \tan x – x \).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\( f(4) = \tan 4 – 4 \approx 1.1578 – 4 = -2.8422 < 0 \)
\( f(5) = \tan 5 – 5 \approx -3.3805 – 5 = -8.3805 < 0 \)
Obě hodnoty jsou záporné, takže je nutné zvolit interval bez asymptoty, např. \([4.4, 4.6]\).
\( f(4.4) = \tan 4.4 – 4.4 \approx -0.5145 < 0 \)
\( f(4.6) = \tan 4.6 – 4.6 \approx 5.7835 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([4.4, 4.6]\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace: \(c_0 = \frac{4.4+4.6}{2} = 4.5\)
\(f(4.5) \approx 1.9836 > 0 \Rightarrow b_1 = 4.5\)
2. Iterace: \(c_1 = \frac{4.4+4.5}{2} = 4.45\)
\(f(4.45) \approx 0.4767 > 0 \Rightarrow b_2 = 4.45\)
3. Iterace: \(c_2 = \frac{4.4+4.45}{2} = 4.425\)
\(f(4.425) \approx -0.1095 < 0 \Rightarrow a_3 = 4.425\)
4. Iterace: \(c_3 = \frac{4.425+4.45}{2} = 4.4375\)
\(f(4.4375) \approx 0.1775 > 0 \Rightarrow b_4 = 4.4375\)
5. Iterace: \(c_4 = \frac{4.425+4.4375}{2} = 4.43125\)
\(f(4.43125) \approx 0.0335 > 0 \Rightarrow b_5 = 4.43125\)
6. Iterace: \(c_5 = \frac{4.425+4.43125}{2} = 4.428125\)
\(f(4.428125) \approx -0.0384 < 0 \Rightarrow a_6 = 4.428125
7. Iterace: \(c_6 = \frac{4.428125+4.43125}{2} = 4.4296875\)
\(f(4.4296875) \approx -0.00245 < 0 \Rightarrow a_7 = 4.4296875\)
Rozdíl \(|b_7 – a_7| \approx 0.0015625 < \varepsilon = 10^{-6}\) pokračujeme až do požadované přesnosti.
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.4935\) (po dosažení přesnosti \(\varepsilon = 10^{-6}\))
75. Najděte kořen rovnice \( e^x = 3x \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = e^x – 3x \).
Zkontrolujeme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(2) = e^2 – 6 \approx 7.389 – 6 = 1.389 > 0 \)
Funkce je kladná na celém intervalu, hledáme v jiném intervalu.
Zkusíme \([0.5, 1.5]\):
\( f(0.5) = e^{0.5} – 1.5 \approx 1.6487 – 1.5 = 0.1487 > 0 \)
\( f(1.5) = e^{1.5} – 4.5 \approx 4.4817 – 4.5 = -0.0183 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([1.5, 0.5]\), tj. v \([0.5, 1.5]\).
Inicializace: \(a_0=0.5\), \(b_0=1.5\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0=1.0\)
\(f(1.0) = e^{1} – 3 = 2.7183 – 3 = -0.2817 < 0 \Rightarrow b_1=1.0\)
2. Iterace:
\(c_1=0.75\)
\(f(0.75) = e^{0.75} – 2.25 \approx 2.117 – 2.25 = -0.133 < 0 \Rightarrow b_2=0.75\)
3. Iterace:
\(c_2=0.625\)
\(f(0.625) = e^{0.625} – 1.875 \approx 1.868 – 1.875 = -0.007 < 0 \Rightarrow b_3=0.625\)
4. Iterace:
\(c_3=0.5625\)
\(f(0.5625) = e^{0.5625} – 1.6875 \approx 1.755 – 1.6875 = 0.0675 > 0 \Rightarrow a_4=0.5625\)
Pokračujeme dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.567143\).
76. Najděte kořen rovnice \( \sin x = \frac{x}{2} \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme funkci \( f(x) = \sin x – \frac{x}{2} \).
Zkontrolujeme hodnoty funkce na koncích intervalu:
\( f(1) = \sin 1 – 0.5 = 0.8415 – 0.5 = 0.3415 > 0 \)
\( f(3) = \sin 3 – 1.5 = 0.1411 – 1.5 = -1.3589 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 1\), \(b_0 = 3\), \(\varepsilon = 10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{1 + 3}{2} = 2\)
\(f(2) = \sin 2 – 1 = 0.9093 – 1 = -0.0907 < 0 \Rightarrow b_1 = 2\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5\)
\(f(1.5) = \sin 1.5 – 0.75 = 0.9975 – 0.75 = 0.2475 > 0 \Rightarrow a_2 = 1.5\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{1.5 + 2}{2} = 1.75\)
\(f(1.75) = \sin 1.75 – 0.875 = 0.9839 – 0.875 = 0.1089 > 0 \Rightarrow a_3 = 1.75\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{1.75 + 2}{2} = 1.875\)
\(f(1.875) = \sin 1.875 – 0.9375 = 0.9540 – 0.9375 = 0.0165 > 0 \Rightarrow a_4 = 1.875\)
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{1.875 + 2}{2} = 1.9375\)
\(f(1.9375) = \sin 1.9375 – 0.96875 = 0.9336 – 0.96875 = -0.03515 < 0 \Rightarrow b_5 = 1.9375\)
6. Iterace:
\(c_5 = \frac{1.875 + 1.9375}{2} = 1.90625\)
\(f(1.90625) = \sin 1.90625 – 0.953125 = 0.9446 – 0.953125 = -0.008525 < 0 \Rightarrow b_6 = 1.90625\)
7. Iterace:
\(c_6 = \frac{1.875 + 1.90625}{2} = 1.890625\)
\(f(1.890625) = \sin 1.890625 – 0.9453125 = 0.9493 – 0.9453125 = 0.0039875 > 0 \Rightarrow a_7 = 1.890625\)
Pokračujeme podobně, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.8955\).
77. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 5x + 1 = 0 \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = x^3 – 5x + 1 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(1) = 1 – 5 + 1 = -3 < 0 \)
\( f(3) = 27 – 15 + 1 = 13 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0 = 1\), \(b_0 = 3\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace: \(c_0 = \frac{1+3}{2} = 2\), \(f(2) = 8 – 10 + 1 = -1 < 0 \Rightarrow a_1 = 2\)
2. Iterace: \(c_1 = \frac{2+3}{2} = 2.5\), \(f(2.5) = 15.625 – 12.5 + 1 = 4.125 > 0 \Rightarrow b_1 = 2.5\)
3. Iterace: \(c_2 = \frac{2+2.5}{2} = 2.25\), \(f(2.25) = 11.390625 – 11.25 + 1 = 1.140625 > 0 \Rightarrow b_2 = 2.25\)
4. Iterace: \(c_3 = \frac{2+2.25}{2} = 2.125\), \(f(2.125) = 9.580078125 – 10.625 + 1 = -0.044921875 < 0 \Rightarrow a_3 = 2.125
5. Iterace: \(c_4 = \frac{2.125+2.25}{2} = 2.1875\), \(f(2.1875) = 10.457763672 – 10.9375 + 1 = 0.520263672 > 0 \Rightarrow b_4 = 2.1875\)
6. Iterace: \(c_5 = \frac{2.125+2.1875}{2} = 2.15625\), \(f(2.15625) = 10.011230469 – 10.78125 + 1 = 0.229980469 > 0 \Rightarrow b_5 = 2.15625\)
7. Iterace: \(c_6 = \frac{2.125+2.15625}{2} = 2.140625\), \(f(2.140625) = 9.795898438 – 10.703125 + 1 = 0.092773438 > 0 \Rightarrow b_6 = 2.140625
Pokračujeme iteracemi, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.094551\) (po dosažení přesnosti \(\varepsilon = 10^{-6}\))
78. Najděte kořen rovnice \( \sqrt{x + 5} = x – 1 \) v intervalu \([2, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \sqrt{x + 5} – (x – 1) \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(2) = \sqrt{7} – 1 = 2.6458 – 1 = 1.6458 > 0 \)
\( f(5) = \sqrt{10} – 4 = 3.1623 – 4 = -0.8377 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([2, 5]\).
Inicializace: \(a_0 = 2\), \(b_0 = 5\), \(\varepsilon = 10^{-5}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{2 + 5}{2} = 3.5\)
\(f(3.5) = \sqrt{8.5} – 2.5 \approx 2.9155 – 2.5 = 0.4155 > 0 \Rightarrow a_1 = 3.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{3.5 + 5}{2} = 4.25\)
\(f(4.25) = \sqrt{9.25} – 3.25 \approx 3.0414 – 3.25 = -0.2086 < 0 \Rightarrow b_2 = 4.25\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{3.5 + 4.25}{2} = 3.875\)
\(f(3.875) = \sqrt{8.875} – 2.875 \approx 2.9791 – 2.875 = 0.1041 > 0 \Rightarrow a_3 = 3.875\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{3.875 + 4.25}{2} = 4.0625\)
\(f(4.0625) = \sqrt{9.0625} – 3.0625 \approx 3.011 – 3.0625 = -0.0515 < 0 \Rightarrow b_4 = 4.0625\)
Pokračujeme dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 3.94\).
79. Najděte kořen rovnice \( e^{-x} = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = e^{-x} – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = e^{-1} – 1 \approx 0.3679 – 1 = -0.6321 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializace: \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = e^{-0.5} – 0.5 \approx 0.6065 – 0.5 = 0.1065 > 0 \Rightarrow a_1 = 0.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = e^{-0.75} – 0.75 \approx 0.4724 – 0.75 = -0.2776 < 0 \Rightarrow b_2 = 0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = e^{-0.625} – 0.625 \approx 0.5353 – 0.625 = -0.0897 < 0 \Rightarrow b_3 = 0.625\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{0.5 + 0.625}{2} = 0.5625\)
\(f(0.5625) = e^{-0.5625} – 0.5625 \approx 0.5698 – 0.5625 = 0.0073 > 0 \Rightarrow a_4 = 0.5625\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.567143\).
80. Najděte kořen rovnice \( \ln x = 3 – x \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-5}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujme \( f(x) = \ln x – 3 + x = \ln x + x – 3 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(1) = \ln 1 + 1 – 3 = 0 + 1 – 3 = -2 < 0 \)
\( f(3) = \ln 3 + 3 – 3 = 1.0986 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializace: \(a_0 = 1\), \(b_0 = 3\), \(\varepsilon = 10^{-5}\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace: \(c_0 = \frac{1+3}{2} = 2\), \(f(2) = 0.6931 + 2 – 3 = -0.3069 < 0 \Rightarrow a_1 = 2\)
2. Iterace: \(c_1 = \frac{2+3}{2} = 2.5\), \(f(2.5) = 0.9163 + 2.5 – 3 = 0.4163 > 0 \Rightarrow b_1 = 2.5\)
3. Iterace: \(c_2 = \frac{2+2.5}{2} = 2.25\), \(f(2.25) = 0.8109 + 2.25 – 3 = 0.0609 > 0 \Rightarrow b_2 = 2.25
4. Iterace: \(c_3 = \frac{2+2.25}{2} = 2.125\), \(f(2.125) = 0.7538 + 2.125 – 3 = -0.1212 < 0 \Rightarrow a_3 = 2.125
5. Iterace: \(c_4 = \frac{2.125+2.25}{2} = 2.1875\), \(f(2.1875) = 0.7820 + 2.1875 – 3 = -0.0305 < 0 \Rightarrow a_4 = 2.1875
6. Iterace: \(c_5 = \frac{2.1875+2.25}{2} = 2.21875\), \(f(2.21875) = 0.7972 + 2.21875 – 3 = 0.01595 > 0 \Rightarrow b_5 = 2.21875
Pokračujeme iteracemi, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.2063\) (po dosažení přesnosti \(\varepsilon = 10^{-5}\))
81. Najděte kořen rovnice \( \cos x = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \cos x – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = \cos 0 – 0 = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = \cos 1 – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Iterace:
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{0 + 1}{2} = 0.5\)
\(f(0.5) = \cos 0.5 – 0.5 \approx 0.8776 – 0.5 = 0.3776 > 0 \Rightarrow a_1 = 0.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = \cos 0.75 – 0.75 \approx 0.7317 – 0.75 = -0.0183 < 0 \Rightarrow b_2 = 0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = \cos 0.625 – 0.625 \approx 0.81096 – 0.625 = 0.18596 > 0 \Rightarrow a_3 = 0.625\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{0.625 + 0.75}{2} = 0.6875\)
\(f(0.6875) = \cos 0.6875 – 0.6875 \approx 0.7745 – 0.6875 = 0.0870 > 0 \Rightarrow a_4 = 0.6875\)
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{0.6875 + 0.75}{2} = 0.71875\)
\(f(0.71875) = \cos 0.71875 – 0.71875 \approx 0.7522 – 0.71875 = 0.03345 > 0 \Rightarrow a_5 = 0.71875\)
6. Iterace:
\(c_5 = \frac{0.71875 + 0.75}{2} = 0.734375\)
\(f(0.734375) = \cos 0.734375 – 0.734375 \approx 0.7416 – 0.734375 = 0.007225 > 0 \Rightarrow a_6 = 0.734375\)
7. Iterace:
\(c_6 = \frac{0.734375 + 0.75}{2} = 0.7421875\)
\(f(0.7421875) = \cos 0.7421875 – 0.7421875 \approx 0.7362 – 0.7421875 = -0.0059875 < 0 \Rightarrow b_7 = 0.7421875\)
Pokračujeme tímto způsobem, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledný kořen je přibližně \(x \approx 0.739085\).
82. Najděte kořen rovnice \( x^5 – 3x + 1 = 0 \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = x^5 – 3x + 1 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – 0 + 1 = 1 > 0 \)
\( f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace: \(c_0 = 0.5\), \(f(0.5) = 0.03125 – 1.5 + 1 = -0.46875 < 0 \Rightarrow b_1 = 0.5
2. Iterace: \(c_1 = 0.25\), \(f(0.25) = 0.0009765625 – 0.75 + 1 = 0.2509765625 > 0 \Rightarrow a_2 = 0.25
3. Iterace: \(c_2 = 0.375\), \(f(0.375) = 0.0075683594 – 1.125 + 1 = -0.1174316406 < 0 \Rightarrow b_3 = 0.375
4. Iterace: \(c_3 = 0.3125\), \(f(0.3125) = 0.0030517578 – 0.9375 + 1 = 0.0655517578 > 0 \Rightarrow a_4 = 0.3125
5. Iterace: \(c_4 = 0.34375\), \(f(0.34375) = 0.0050468445 – 1.03125 + 1 = -0.0262031555 < 0 \Rightarrow b_5 = 0.34375
6. Iterace: \(c_5 = 0.328125\), \(f(0.328125) = 0.0036554337 – 0.984375 + 1 = 0.0192804337 > 0 \Rightarrow a_6 = 0.328125
7. Iterace: \(c_6 = 0.3359375\), \(f(0.3359375) = 0.0040441151 – 1.0078125 + 1 = -0.0037683849 < 0 \Rightarrow b_7 = 0.3359375
Pokračujeme iteracemi, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.333333\) (po dosažení přesnosti \(\varepsilon = 10^{-6}\))
83. Najděte kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = \tan x – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na vhodném intervalu:
\( f(4.4) \approx -0.5145 < 0 \)
\( f(4.6) \approx 5.7835 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([4.4, 4.6]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 4.4\), \(b_0 = 4.6\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace: \(c_0 = 4.5\), \(f(4.5) \approx 1.9836 > 0 \Rightarrow b_1 = 4.5\)
2. Iterace: \(c_1 = 4.45\), \(f(4.45) \approx 0.4767 > 0 \Rightarrow b_2 = 4.45
3. Iterace: \(c_2 = 4.425\), \(f(4.425) \approx -0.1095 < 0 \Rightarrow a_3 = 4.425
4. Iterace: \(c_3 = 4.4375\), \(f(4.4375) \approx 0.1775 > 0 \Rightarrow b_4 = 4.4375
Pokračujeme iteracemi, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.49341\)
84. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 2x – 5 = 0 \) v intervalu \([2, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = x^3 – 2x – 5 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(2) = 8 – 4 – 5 = -1 < 0 \)
\( f(3) = 27 – 6 – 5 = 16 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([2, 3]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 2\), \(b_0 = 3\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
Iterace metodou půlení intervalů:
1. Iterace: \(c_0 = 2.5\), \(f(2.5) = 15.625 – 5 – 5 = 5.625 > 0 \Rightarrow b_1 = 2.5
2. Iterace: \(c_1 = 2.25\), \(f(2.25) = 11.390625 – 4.5 – 5 = 1.890625 > 0 \Rightarrow b_2 = 2.25
3. Iterace: \(c_2 = 2.125\), \(f(2.125) = 9.595703125 – 4.25 – 5 = 0.345703125 > 0 \Rightarrow b_3 = 2.125
4. Iterace: \(c_3 = 2.0625\), \(f(2.0625) = 8.772460938 – 4.125 – 5 = -0.352539062 < 0 \Rightarrow a_4 = 2.0625
Pokračujeme iteracemi, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.094551\)
85. Najděte kořen rovnice \( \sqrt{x} = \ln(x+2) \) v intervalu \([0, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = \sqrt{x} – \ln(x+2) \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – \ln 2 \approx -0.6931 < 0 \)
\( f(3) = \sqrt{3} – \ln 5 \approx 1.73205 – 1.60944 = 0.12261 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 3]\).
Inicializujeme \(a_0 = 0\), \(b_0 = 3\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = 1.5\)
\(f(1.5) = 1.2247 – 1.2528 = -0.0281 < 0 \Rightarrow a_1 = 1.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{1.5+3}{2} = 2.25\)
\(f(2.25) = 1.5 – 1.4469 = 0.0531 > 0 \Rightarrow b_2 = 2.25\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{1.5+2.25}{2} = 1.875\)
\(f(1.875) = 1.3693 – 1.3549 = 0.0144 > 0 \Rightarrow b_3 = 1.875\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{1.5+1.875}{2} = 1.6875\)
\(f(1.6875) = 1.299 – 1.306 = -0.007 < 0 \Rightarrow a_4 = 1.6875\)
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{1.6875+1.875}{2} = 1.78125\)
\(f(1.78125) = 1.3347 – 1.3261 = 0.0086 > 0 \Rightarrow b_5 = 1.78125\)
6. Iterace:
\(c_5 = \frac{1.6875+1.78125}{2} = 1.734375\)
\(f(1.734375) = 1.3166 – 1.3163 = 0.0003 > 0 \Rightarrow b_6 = 1.734375\)
Pokračujeme dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.7339\).
86. Najděte kořen rovnice \( e^{-x} = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = e^{-x} – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = e^0 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = e^{-1} – 1 \approx 0.3679 – 1 = -0.6321 < 0 \)
Kořen je tedy v intervalu \([0, 1]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{0 + 1}{2} = 0.5\)
\(f(0.5) = e^{-0.5} – 0.5 \approx 0.6065 – 0.5 = 0.1065 > 0 \Rightarrow a_1 = 0.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = e^{-0.75} – 0.75 \approx 0.4724 – 0.75 = -0.2776 < 0 \Rightarrow b_2 = 0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = e^{-0.625} – 0.625 \approx 0.5353 – 0.625 = -0.0897 < 0 \Rightarrow b_3 = 0.625\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{0.5 + 0.625}{2} = 0.5625\)
\(f(0.5625) = e^{-0.5625} – 0.5625 \approx 0.5698 – 0.5625 = 0.0073 > 0 \Rightarrow a_4 = 0.5625\)
5. Iterace:
\(c_4 = \frac{0.5625 + 0.625}{2} = 0.59375\)
\(f(0.59375) = e^{-0.59375} – 0.59375 \approx 0.5523 – 0.59375 = -0.04145 < 0 \Rightarrow b_5 = 0.59375\)
Pokračujeme v půlení intervalu a vyhodnocování, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledný kořen je přibližně \(x \approx 0.567143\).
87. Najděte kořen rovnice \( x^3 + x – 1 = 0 \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = x^3 + x – 1 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 + 0 – 1 = -1 < 0 \)
\( f(1) = 1 + 1 – 1 = 1 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = 0.125 + 0.5 – 1 = -0.375 < 0 \Rightarrow a_1 = 0.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = 0.75\)
\(f(0.75) = 0.422 + 0.75 – 1 = 0.172 > 0 \Rightarrow b_2 = 0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = 0.625\)
\(f(0.625) = 0.244 + 0.625 – 1 = -0.131 < 0 \Rightarrow a_3 = 0.625\)
4. Iterace:
\(c_3 = 0.6875\)
\(f(0.6875) = 0.325 + 0.6875 – 1 = 0.0125 > 0 \Rightarrow b_4 = 0.6875\)
5. Iterace:
\(c_4 = 0.65625\)
\(f(0.65625) = 0.282 + 0.65625 – 1 = -0.05975 < 0 \Rightarrow a_5 = 0.65625\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledný kořen je přibližně \(x \approx 0.68233\).
88. Najděte kořen rovnice \( \ln(x) + x^2 = 4 \) v intervalu \([1, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \ln(x) + x^2 – 4 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(1) = \ln(1) + 1 – 4 = 0 + 1 – 4 = -3 < 0 \)
\( f(3) = \ln(3) + 9 – 4 \approx 1.0986 + 9 – 4 = 6.0986 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([1, 3]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 1\), \(b_0 = 3\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = 2\)
\(f(2) = \ln(2) + 4 – 4 = 0.6931 + 4 – 4 = 0.6931 > 0 \Rightarrow b_1 = 2\)
2. Iterace:
\(c_1 = 1.5\)
\(f(1.5) = \ln(1.5) + 2.25 – 4 = 0.4055 + 2.25 – 4 = -1.3445 < 0 \Rightarrow a_2 = 1.5\)
3. Iterace:
\(c_2 = 1.75\)
\(f(1.75) = \ln(1.75) + 3.0625 – 4 = 0.5596 + 3.0625 – 4 = -0.3779 < 0 \Rightarrow a_3 = 1.75\)
4. Iterace:
\(c_3 = 1.875\)
\(f(1.875) = \ln(1.875) + 3.5156 – 4 = 0.629 + 3.5156 – 4 = 0.1446 > 0 \Rightarrow b_4 = 1.875\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledný kořen je přibližně \(x \approx 1.8414\).
89. Najděte kořen rovnice \( \cos x = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \cos x – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = \cos 0 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = \cos 1 – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 0\), \(b_0 = 1\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = 0.5\)
\(f(0.5) = \cos 0.5 – 0.5 \approx 0.8776 – 0.5 = 0.3776 > 0 \Rightarrow a_1 = 0.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = 0.75\)
\(f(0.75) = \cos 0.75 – 0.75 \approx 0.7317 – 0.75 = -0.0183 < 0 \Rightarrow b_2 = 0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = 0.625\)
\(f(0.625) = \cos 0.625 – 0.625 \approx 0.8109 – 0.625 = 0.1859 > 0 \Rightarrow a_3 = 0.625\)
4. Iterace:
\(c_3 = 0.6875\)
\(f(0.6875) = \cos 0.6875 – 0.6875 \approx 0.7724 – 0.6875 = 0.0849 > 0 \Rightarrow a_4 = 0.6875\)
Pokračujeme dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.739085\).
90. Najděte kořen rovnice \( x = \ln(x + 1) \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = x – \ln(x + 1) \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – \ln 1 = 0 \)
\( f(1) = 1 – \ln 2 \approx 1 – 0.6931 = 0.3069 > 0 \)
Pro nalezení kořene musíme zkontrolovat jiný interval, protože \(f(0) = 0\).
Ve skutečnosti \(x=0\) je řešení rovnice.
Pokud hledáme jiný kořen v intervalu \([0,1]\), tak není, protože funkce \(f(x)\) je zde nenulová jinde.
Pokud však chceme hledat kořen v intervalu \([-0.5, 1]\), pak:
Vyhodnotíme:
\(f(-0.5) = -0.5 – \ln(0.5) \approx -0.5 – (-0.6931) = 0.1931 > 0\)
\(f(0) = 0\)
Jelikož \(f(0) = 0\), kořen je \(x=0\).
Výsledkem je tedy \(x = 0\).
91. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 2x – 5 = 0 \) v intervalu \([2, 3]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme \( f(x) = x^3 – 2x – 5 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(2) = 8 – 4 – 5 = -1 < 0 \)
\( f(3) = 27 – 6 – 5 = 16 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([2, 3]\).
Inicializujeme: \(a_0 = 2\), \(b_0 = 3\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = 2.5\)
\(f(2.5) = 15.625 – 5 – 5 = 5.625 > 0 \Rightarrow b_1 = 2.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = 2.25\)
\(f(2.25) = 11.390625 – 4.5 – 5 = 1.890625 > 0 \Rightarrow b_2 = 2.25\)
3. Iterace:
\(c_2 = 2.125\)
\(f(2.125) = 9.595703 – 4.25 – 5 = 0.345703 > 0 \Rightarrow b_3 = 2.125
4. Iterace:
\(c_3 = 2.0625\)
\(f(2.0625) = 8.775879 – 4.125 – 5 = -0.349121 < 0 \Rightarrow a_4 = 2.0625\)
5. Iterace:
\(c_4 = 2.09375\)
\(f(2.09375) = 9.173095 – 4.1875 – 5 = -0.014405 < 0 \Rightarrow a_5 = 2.09375\)
Pokračujeme dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 2.094551\).
92. Najděte kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \tan x – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(4) = \tan 4 – 4 \approx 1.1578 – 4 = -2.8422 < 0 \)
\( f(5) = \tan 5 – 5 \approx -3.3805 – 5 = -8.3805 < 0 \)
Obě hodnoty jsou záporné, je třeba zkontrolovat interval blíže uprostřed.
Zkusíme \(x=4.5\):
\( f(4.5) = \tan 4.5 – 4.5 \approx 4.6373 – 4.5 = 0.1373 > 0 \)
Kořen je tedy v intervalu \([4, 4.5]\).
Inicializujeme: \(a_0=4\), \(b_0=4.5\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = 4.25\)
\(f(4.25) = \tan 4.25 – 4.25 \approx 2.78 – 4.25 = -1.47 < 0 \Rightarrow a_1=4.25\)
2. Iterace:
\(c_1 = 4.375\)
\(f(4.375) = \tan 4.375 – 4.375 \approx 3.6 – 4.375 = -0.775 < 0 \Rightarrow a_2=4.375\)
3. Iterace:
\(c_2 = 4.4375\)
\(f(4.4375) = \tan 4.4375 – 4.4375 \approx 4.06 – 4.4375 = -0.3775 < 0 \Rightarrow a_3=4.4375\)
4. Iterace:
\(c_3 = 4.46875\)
\(f(4.46875) = \tan 4.46875 – 4.46875 \approx 4.35 – 4.46875 = -0.1187 < 0 \Rightarrow a_4=4.46875\)
5. Iterace:
\(c_4 = 4.484375\)
\(f(4.484375) = \tan 4.484375 – 4.484375 \approx 4.49 – 4.484375 = 0.0056 > 0 \Rightarrow b_5=4.484375\)
Pokračujeme v půlení, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.49341\).
93. Najděte kořen rovnice \( x e^x = 2 \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = x e^x – 2 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – 2 = -2 < 0 \)
\( f(1) = 1 \cdot e^1 – 2 \approx 2.7183 – 2 = 0.7183 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0,1]\).
Inicializujeme: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0=0.5\)
\(f(0.5) = 0.5 \cdot e^{0.5} – 2 \approx 0.5 \cdot 1.6487 – 2 = 0.8243 – 2 = -1.1757 < 0 \Rightarrow a_1=0.5\)
2. Iterace:
\(c_1=0.75\)
\(f(0.75) = 0.75 \cdot e^{0.75} – 2 \approx 0.75 \cdot 2.117 – 2 = 1.5877 – 2 = -0.4123 < 0 \Rightarrow a_2=0.75\)
3. Iterace:
\(c_2=0.875\)
\(f(0.875) = 0.875 \cdot e^{0.875} – 2 \approx 0.875 \cdot 2.3989 – 2 = 2.099 – 2 = 0.099 > 0 \Rightarrow b_3=0.875\)
4. Iterace:
\(c_3=0.8125\)
\(f(0.8125) = 0.8125 \cdot e^{0.8125} – 2 \approx 0.8125 \cdot 2.253 – 2 = 1.830 – 2 = -0.17 < 0 \Rightarrow a_4=0.8125\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.852605\).
94. Najděte kořen rovnice \( \ln(x + 2) + x = 0 \) v intervalu \([-1.5, 0]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \ln(x + 2) + x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(-1.5) = \ln(0.5) – 1.5 \approx -0.6931 – 1.5 = -2.1931 < 0 \)
\( f(0) = \ln 2 + 0 \approx 0.6931 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([-1.5, 0]\).
Inicializujeme: \(a_0 = -1.5\), \(b_0=0\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{-1.5 + 0}{2} = -0.75\)
\(f(-0.75) = \ln(1.25) – 0.75 \approx 0.2231 – 0.75 = -0.5269 < 0 \Rightarrow a_1 = -0.75\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{-0.75 + 0}{2} = -0.375\)
\(f(-0.375) = \ln(1.625) – 0.375 \approx 0.4855 – 0.375 = 0.1105 > 0 \Rightarrow b_2 = -0.375\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{-0.75 – 0.375}{2} = -0.5625\)
\(f(-0.5625) = \ln(1.4375) – 0.5625 \approx 0.3622 – 0.5625 = -0.2003 < 0 \Rightarrow a_3 = -0.5625\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx -0.367879\).
95. Najděte kořen rovnice \( x^5 – x + 1 = 0 \) v intervalu \([-2, -1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = x^5 – x + 1 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(-2) = (-2)^5 – (-2) + 1 = -32 + 2 + 1 = -29 < 0 \)
\( f(-1) = (-1)^5 – (-1) + 1 = -1 + 1 + 1 = 1 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([-2, -1]\).
Inicializujeme: \(a_0 = -2\), \(b_0 = -1\), \(\varepsilon = 10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{-2 + (-1)}{2} = -1.5\)
\(f(-1.5) = (-1.5)^5 – (-1.5) + 1 = -7.59375 + 1.5 + 1 = -5.09375 < 0 \Rightarrow a_1 = -1.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{-1.5 + (-1)}{2} = -1.25\)
\(f(-1.25) = (-1.25)^5 – (-1.25) + 1 = -3.05176 + 1.25 + 1 = -0.80176 < 0 \Rightarrow a_2 = -1.25\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{-1.25 + (-1)}{2} = -1.125\)
\(f(-1.125) = (-1.125)^5 – (-1.125) + 1 = -1.802 – (-1.125) + 1 = 0.323 > 0 \Rightarrow b_3 = -1.125\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{-1.25 + (-1.125)}{2} = -1.1875\)
\(f(-1.1875) = (-1.1875)^5 – (-1.1875) + 1 \approx -2.322 + 1.1875 + 1 = -0.1345 < 0 \Rightarrow a_4 = -1.1875\)
Pokračujeme iteracemi do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx -1.1673\).
96. Najděte kořen rovnice \( x^3 + x – 1 = 0 \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = x^3 + x – 1 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 + 0 – 1 = -1 < 0 \)
\( f(1) = 1 + 1 – 1 = 1 > 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializujeme: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0 = \frac{0+1}{2} = 0.5\)
\(f(0.5) = 0.125 + 0.5 – 1 = -0.375 < 0 \Rightarrow a_1 = 0.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = 0.422 + 0.75 – 1 = 0.172 > 0 \Rightarrow b_2 = 0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = 0.244 + 0.625 – 1 = -0.131 < 0 \Rightarrow a_3 = 0.625\)
4. Iterace:
\(c_3 = \frac{0.625 + 0.75}{2} = 0.6875\)
\(f(0.6875) = 0.325 + 0.6875 – 1 = 0.0125 > 0 \Rightarrow b_4 = 0.6875\)
Pokračujeme, dokud \(|b_n – a_n| < \varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.682327\).
97. Najděte kořen rovnice \( \cos x = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \cos x – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = \cos 1 – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializujeme: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0=0.5\)
\(f(0.5) = \cos 0.5 – 0.5 \approx 0.8776 – 0.5 = 0.3776 > 0 \Rightarrow a_1=0.5\)
2. Iterace:
\(c_1 = \frac{0.5 + 1}{2} = 0.75\)
\(f(0.75) = \cos 0.75 – 0.75 \approx 0.7317 – 0.75 = -0.0183 < 0 \Rightarrow b_2=0.75\)
3. Iterace:
\(c_2 = \frac{0.5 + 0.75}{2} = 0.625\)
\(f(0.625) = \cos 0.625 – 0.625 \approx 0.81096 – 0.625 = 0.18596 > 0 \Rightarrow a_3=0.625\)
Pokračujeme iteracemi do splnění \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.739085\).
98. Najděte kořen rovnice \( e^{-x} = x \) v intervalu \([0, 1]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = e^{-x} – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 > 0 \)
\( f(1) = e^{-1} – 1 \approx 0.3679 – 1 = -0.6321 < 0 \)
Kořen je v intervalu \([0, 1]\).
Inicializujeme: \(a_0=0\), \(b_0=1\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0=0.5\)
\(f(0.5) = e^{-0.5} – 0.5 \approx 0.6065 – 0.5 = 0.1065 > 0 \Rightarrow a_1=0.5\)
2. Iterace:
\(c_1=0.75\)
\(f(0.75) = e^{-0.75} – 0.75 \approx 0.4724 – 0.75 = -0.2776 < 0 \Rightarrow b_2=0.75\)
3. Iterace:
\(c_2=0.625\)
\(f(0.625) = e^{-0.625} – 0.625 \approx 0.5353 – 0.625 = -0.0897 < 0 \Rightarrow b_3=0.625\)
4. Iterace:
\(c_3=0.5625\)
\(f(0.5625) = e^{-0.5625} – 0.5625 \approx 0.5697 – 0.5625 = 0.0072 > 0 \Rightarrow a_4=0.5625\)
Pokračujeme do dosažení \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 0.567143\).
99. Najděte kořen rovnice \( x^3 – 3x + 1 = 0 \) v intervalu \([0, 2]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(0) = 0 – 0 + 1 = 1 > 0 \)
\( f(2) = 8 – 6 + 1 = 3 > 0 \)
Funkce má stejné znaménko na koncích intervalu, hledáme podinterval s odlišným znaménkem.
Vyzkoušíme \(x=1\):
\(f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 < 0\)
Kořen je tedy v intervalu \([1, 2]\).
Inicializujeme: \(a_0=1\), \(b_0=2\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0=1.5\)
\(f(1.5) = 3.375 – 4.5 + 1 = -0.125 < 0 \Rightarrow a_1=1.5\)
2. Iterace:
\(c_1=1.75\)
\(f(1.75) = 5.359 – 5.25 + 1 = 1.109 > 0 \Rightarrow b_2=1.75\)
3. Iterace:
\(c_2=1.625\)
\(f(1.625) = 4.29 – 4.875 + 1 = 0.415 > 0 \Rightarrow b_3=1.625\)
Pokračujeme do dosažení přesnosti \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 1.879385\).
100. Najděte kořen rovnice \( \tan x = x \) v intervalu \([4, 5]\) s přesností \(\varepsilon = 10^{-6}\) metodou půlení intervalů.
Řešení příkladu:
Definujeme funkci \( f(x) = \tan x – x \).
Vyhodnotíme hodnoty na krajích intervalu:
\( f(4) = \tan 4 – 4 \approx 1.1578 – 4 = -2.8422 < 0 \)
\( f(5) = \tan 5 – 5 \approx -3.3805 – 5 = -8.3805 < 0 \)
Funkce má stejné znaménko na krajích, zkontrolujeme bod uvnitř intervalu:
\( f(4.5) = \tan 4.5 – 4.5 \approx 4.6373 – 4.5 = 0.1373 > 0 \)
Kořen je tedy v intervalu \([4, 4.5]\).
Inicializujeme: \(a_0=4\), \(b_0=4.5\), \(\varepsilon=10^{-6}\).
1. Iterace:
\(c_0=4.25\)
\(f(4.25) = \tan 4.25 – 4.25 \approx -1.7408 – 4.25 = -5.9908 < 0 \Rightarrow a_1=4.25\)
2. Iterace:
\(c_1=4.375\)
\(f(4.375) = \tan 4.375 – 4.375 \approx 0.6149 – 4.375 = -3.7601 < 0 \Rightarrow a_2=4.375\)
3. Iterace:
\(c_2=4.4375\)
\(f(4.4375) = \tan 4.4375 – 4.4375 \approx 2.54 – 4.4375 = -1.8975 < 0 \Rightarrow a_3=4.4375\)
Pokračujeme iteracemi až do \(\varepsilon\).
Výsledek: Kořen je přibližně \(x \approx 4.493409\).