1. Určete aproximaci hodnoty funkce \( f(x) = \sqrt{1 + 2x} \) v bodě \( x_0 = 0 \) pomocí metody sečen pro \( x = 0{,}1 \). Vypočítejte hodnotu sečny a porovnejte ji s přesnou hodnotou funkce.
Řešení příkladu:
Nejprve si připomeňme, že metoda sečen slouží k aproximaci hodnoty funkce v daném bodě na základě hodnoty funkce v jiném bodě a směrnice přímky spojující tyto body. Vzorec pro aproximaci je:
\( y \approx f(x_0) + \frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0} (x – x_0) \)
Zde budeme volit \( x_1 = 0{,}2 \), protože chceme aproximovat hodnotu v \( x = 0{,}1 \), a tedy interval mezi \( x_0 = 0 \) a \( x_1 = 0{,}2 \) pokryje hodnotu 0,1.
Nejprve vypočteme hodnoty funkce v bodech \( x_0 \) a \( x_1 \):
\( f(0) = \sqrt{1 + 2 \cdot 0} = \sqrt{1} = 1 \)
\( f(0{,}2) = \sqrt{1 + 2 \cdot 0{,}2} = \sqrt{1{,}4} \approx 1{,}1832 \)
Směrnice sečny je tedy
\( m = \frac{1{,}1832 – 1}{0{,}2 – 0} = \frac{0{,}1832}{0{,}2} = 0{,}916 \)
Aproximovaná hodnota v \( x = 0{,}1 \) je
\( y \approx 1 + 0{,}916 \cdot (0{,}1 – 0) = 1 + 0{,}0916 = 1{,}0916 \)
Přesná hodnota funkce v \( x=0{,}1 \) je
\( f(0{,}1) = \sqrt{1 + 2 \cdot 0{,}1} = \sqrt{1{,}2} \approx 1{,}0954 \)
Chyba aproximace je tedy
\( |1{,}0954 – 1{,}0916| = 0{,}0038 \)
Metoda sečen tedy poskytuje dobrou aproximaci hodnoty funkce v tomto intervalu.
2. Najděte přibližnou hodnotu funkce \( f(x) = \ln(x) \) v bodě \( x = 2 \) pomocí metody sečen mezi body \( x_0 = 1 \) a \( x_1 = 3 \). Zhodnoťte přesnost výsledku.
Řešení příkladu:
Metoda sečen využívá přímku procházející body \((x_0, f(x_0))\) a \((x_1, f(x_1))\) k aproximaci hodnoty funkce mezi nimi. Pro funkci \( f(x) = \ln x \) platí:
\( f(1) = \ln 1 = 0 \)
\( f(3) = \ln 3 \approx 1{,}0986 \)
Směrnice sečny je
\( m = \frac{f(3) – f(1)}{3 – 1} = \frac{1{,}0986 – 0}{2} = 0{,}5493 \)
Aproximovaná hodnota v \( x=2 \) je
\( y \approx f(1) + m (2 – 1) = 0 + 0{,}5493 \cdot 1 = 0{,}5493 \)
Přesná hodnota funkce je
\( \ln 2 \approx 0{,}6931 \)
Chyba aproximace je
\( |0{,}6931 – 0{,}5493| = 0{,}1438 \)
Metoda sečen zde poskytuje méně přesnou aproximaci kvůli nelinearitě funkce \( \ln x \) v daném intervalu.
3. Pomocí metody sečen najděte aproximaci hodnoty derivace funkce \( f(x) = \sin x \) v bodě \( x = \frac{\pi}{4} \) na základě hodnot v bodech \( x_0 = \frac{\pi}{6} \) a \( x_1 = \frac{\pi}{3} \).
Řešení příkladu:
Derivaci funkce \( f \) v bodě \( x \) lze aproximovat pomocí směrnice sečny mezi dvěma body blízko tohoto bodu:
\( f'(x) \approx \frac{f(x_1) – f(x_0)}{x_1 – x_0} \)
Dosadíme hodnoty:
\( x_0 = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}5236 \), \( x_1 = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472 \)
\( f(x_0) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \)
\( f(x_1) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}8660 \)
Směrnice sečny je tedy
\( m = \frac{0{,}8660 – 0{,}5}{1{,}0472 – 0{,}5236} = \frac{0{,}3660}{0{,}5236} \approx 0{,}6987 \)
Skutečná hodnota derivace je
\( f'(x) = \cos x \)
V bodě \( x = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854 \) je
\( f'(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}7071 \)
Porovnání:
\( |0{,}7071 – 0{,}6987| = 0{,}0084 \)
Aproximace metodou sečen je velmi přesná.
4. Určete hodnotu funkce \( f(x) = e^{-x^2} \) v bodě \( x = 0{,}5 \) pomocí metody sečen mezi body \( x_0 = 0 \) a \( x_1 = 1 \). Vypočítejte relativní chybu aproximace.
Řešení příkladu:
Nejdříve vypočítáme hodnoty funkce v daných bodech:
\( f(0) = e^{-0^2} = e^0 = 1 \)
\( f(1) = e^{-1^2} = e^{-1} \approx 0{,}3679 \)
Směrnice sečny je
\( m = \frac{0{,}3679 – 1}{1 – 0} = -0{,}6321 \)
Aproximovaná hodnota v \( x=0{,}5 \) je
\( y \approx f(0) + m (0{,}5 – 0) = 1 – 0{,}6321 \cdot 0{,}5 = 1 – 0{,}31605 = 0{,}68395 \)
Přesná hodnota je
\( f(0{,}5) = e^{-(0{,}5)^2} = e^{-0{,}25} \approx 0{,}7788 \)
Relativní chyba aproximace je
\( \frac{|0{,}7788 – 0{,}68395|}{0{,}7788} \approx \frac{0{,}09485}{0{,}7788} \approx 0{,}1218 = 12{,}18\% \)
Metoda sečen poskytuje zde přibližnou hodnotu, avšak s poměrně významnou chybou.
5. Využijte metodu sečen k aproximaci funkce \( f(x) = \arctan x \) v bodě \( x = 1 \) mezi body \( x_0 = 0 \) a \( x_1 = 2 \). Spočítejte aproximovanou hodnotu a absolutní chybu.
Řešení příkladu:
Hodnoty funkce v daných bodech:
\( f(0) = \arctan 0 = 0 \)
\( f(2) = \arctan 2 \approx 1{,}1071 \)
Směrnice sečny je
\( m = \frac{1{,}1071 – 0}{2 – 0} = 0{,}55355 \)
Aproximovaná hodnota v \( x = 1 \) je
\( y \approx 0 + 0{,}55355 \cdot 1 = 0{,}55355 \)
Přesná hodnota funkce je
\( \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \approx 0{,}7854 \)
Absolutní chyba aproximace je
\( |0{,}7854 – 0{,}55355| = 0{,}23185 \)
Tato chyba je poměrně značná, což ukazuje omezení metody sečen na nelineárních funkcích.
6. Pro funkci \( f(x) = \frac{1}{x} \) najděte aproximovanou hodnotu v bodě \( x=1{,}5 \) pomocí metody sečen na intervale \( [1, 2] \). Určete i chybu aproximace.
Řešení příkladu:
Vypočteme hodnoty funkce na krajích intervalu:
\( f(1) = 1 \)
\( f(2) = \frac{1}{2} = 0{,}5 \)
Směrnice sečny:
\( m = \frac{0{,}5 – 1}{2 – 1} = -0{,}5 \)
Aproximovaná hodnota v \( x=1{,}5 \):
\( y \approx f(1) + m (1{,}5 – 1) = 1 – 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 1 – 0{,}25 = 0{,}75 \)
Přesná hodnota:
\( f(1{,}5) = \frac{1}{1{,}5} = \frac{2}{3} \approx 0{,}6667 \)
Chyba aproximace:
\( |0{,}75 – 0{,}6667| = 0{,}0833 \)
Metoda sečen zde přecenila hodnotu funkce o přibližně \(0,0833\).
7. Určete pomocí metody sečen přibližnou hodnotu funkce \( f(x) = \cos x \) v bodě \( x = \frac{\pi}{2} \) mezi body \( x_0 = \frac{\pi}{3} \) a \( x_1 = \pi \). Zhodnoťte přesnost výsledku.
Řešení příkladu:
Hodnoty funkce:
\( f(\frac{\pi}{3}) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \)
\( f(\pi) = \cos \pi = -1 \)
Směrnice sečny:
\( m = \frac{-1 – 0{,}5}{\pi – \frac{\pi}{3}} = \frac{-1{,}5}{\frac{2\pi}{3}} = -\frac{1{,}5 \cdot 3}{2\pi} = -\frac{4{,}5}{2\pi} = -\frac{2{,}25}{\pi} \approx -0{,}7162 \)
Aproximovaná hodnota v \( x = \frac{\pi}{2} \approx 1{,}5708 \):
\( y \approx 0{,}5 + m \left(\frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{3}\right) = 0{,}5 – 0{,}7162 \cdot \left(1{,}5708 – 1{,}0472\right) = 0{,}5 – 0{,}7162 \cdot 0{,}5236 = 0{,}5 – 0{,}375 = 0{,}125 \)
Přesná hodnota:
\( \cos \frac{\pi}{2} = 0 \)
Chyba aproximace:
\( |0 – 0{,}125| = 0{,}125 \)
Metoda sečen dává zde přibližnou hodnotu s relativně velkou odchylkou.
8. V rovine sú dané body \( A(1,2) \), \( B(4,6) \) a \( C(3,1) \). Nájdite rovnicu priamky, ktorá pretína úseky \( AB \) a \( BC \) tak, že pomer ich dĺžok je 2:3. Použite metódu sečen.
Řešení příkladu:
Úlohou je nájsť priamku, ktorá pretína úseky \( AB \) a \( BC \) tak, že pomer dĺžok úsekov na tejto priamke je \( 2:3 \). Metóda sečen spočíva v tom, že vyjadríme súradnice bodov prieniku priamky s úsekmi pomocou parametrov a potom podľa daných podmienok zostavíme rovnice.
Krok 1: Vyjadrenie bodu na úseku \( AB \)
Nech bod \( P \) leží na úseku \( AB \). Jeho súradnice môžeme vyjadriť parametrom \( t \in [0,1] \) ako lineárnu kombináciu:
\( P = A + t(B – A) = (1,2) + t((4,6) – (1,2)) = (1 + 3t, 2 + 4t) \)
Kde \( t=0 \) je bod \( A \) a \( t=1 \) je bod \( B \).
Krok 2: Vyjadrenie bodu na úseku \( BC \)
Nech bod \( Q \) leží na úseku \( BC \). Súradnice bodu \( Q \) vyjadríme parametrom \( s \in [0,1] \):
\( Q = B + s(C – B) = (4,6) + s((3,1) – (4,6)) = (4 – s, 6 – 5s) \)
Kde \( s=0 \) je bod \( B \) a \( s=1 \) je bod \( C \).
Krok 3: Podmienka, že \( P \) a \( Q \) ležia na rovnakej priamke
Priamka, ktorá pretína úseky \( AB \) a \( BC \), prechádza bodmi \( P \) a \( Q \). Súradnice bodov \( P \) a \( Q \) závisia na parametroch \( t \) a \( s \).
Pomer dĺžok úsekov priamky na úsekoch \( AB \) a \( BC \) je daný ako \( \frac{|AP|}{|PB|} = 2:3 \) alebo rovnaký pomer na druhej strane \( \frac{|BQ|}{|QC|} = 2:3 \).
Keďže \( t \in [0,1] \) označuje polohu bodu na úseku \( AB \), vzdialenosť \( |AP| \) je \( t \cdot |AB| \) a \( |PB| = (1 – t) \cdot |AB| \). Pomer \( \frac{|AP|}{|PB|} = \frac{t}{1 – t} \).
Podľa zadania platí \( \frac{t}{1 – t} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3t = 2 – 2t \Rightarrow 5t = 2 \Rightarrow t = \frac{2}{5} = 0{,}4 \).
Podobne pre úsek \( BC \) platí \( \frac{s}{1 – s} = \frac{2}{3} \Rightarrow s = \frac{2}{5} = 0{,}4 \).
Krok 4: Určenie súradníc bodov \( P \) a \( Q \)
Dosadíme \( t=0{,}4 \) do vzorca pre \( P \):
\( P = (1 + 3 \cdot 0{,}4, 2 + 4 \cdot 0{,}4) = (1 + 1{,}2, 2 + 1{,}6) = (2{,}2, 3{,}6) \)
Dosadíme \( s=0{,}4 \) do vzorca pre \( Q \):
\( Q = (4 – 0{,}4, 6 – 5 \cdot 0{,}4) = (3{,}6, 6 – 2) = (3{,}6, 4) \)
Krok 5: Nájdeme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi \( P \) a \( Q \)
Smernica priamky je
\( m = \frac{y_Q – y_P}{x_Q – x_P} = \frac{4 – 3{,}6}{3{,}6 – 2{,}2} = \frac{0{,}4}{1{,}4} = \frac{2}{7} \)
Rovnica priamky v smere \( y = mx + q \) prechádzajúcej bodom \( P(2{,}2; 3{,}6) \) je
\( y – 3{,}6 = \frac{2}{7}(x – 2{,}2) \Rightarrow y = \frac{2}{7}x – \frac{2}{7} \cdot 2{,}2 + 3{,}6 \)
\( y = \frac{2}{7}x – \frac{4{,}4}{7} + 3{,}6 = \frac{2}{7}x + \left(3{,}6 – \frac{4{,}4}{7}\right) \)
Prepočítame člen
\( 3{,}6 = \frac{36}{10} = \frac{252}{70} \), \( \frac{4{,}4}{7} = \frac{44}{70} \)
\( 3{,}6 – \frac{4{,}4}{7} = \frac{252}{70} – \frac{44}{70} = \frac{208}{70} = \frac{104}{35} \)
Výsledná rovnica priamky je teda
\( y = \frac{2}{7}x + \frac{104}{35} \)
Konečná odpoveď: Rovnica priamky, ktorá pretína úseky \( AB \) a \( BC \) v požadovanom pomere, je
\( y = \frac{2}{7}x + \frac{104}{35} \).
9. Pomocí metody sečen najděte s přesností na \( 10^{-5} \) kladný kořen rovnice \( x \ln(x) = 2 \).
Řešení příkladu:
Nejprve definujeme funkci:
\( f(x) = x \ln(x) – 2 \)
Chceme najít takové \( x > 0 \), pro které \( f(x) = 0 \).
Ověříme vhodný interval pro počáteční odhady:
Volíme \( x_0 = 2 \), \( x_1 = 3 \). Ověříme hodnoty funkce:
\( f(2) = 2 \ln(2) – 2 \approx 2 \cdot 0.6931 – 2 = 1.3862 – 2 = -0.6138 \)
\( f(3) = 3 \ln(3) – 2 \approx 3 \cdot 1.0986 – 2 = 3.2958 – 2 = 1.2958 \)
Funkce má na tomto intervalu opačná znaménka, což naznačuje existenci kořene mezi nimi.
Použijeme metodu sečen:
Obecný vzorec:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)(x_n – x_{n-1})}{f(x_n) – f(x_{n-1})} \)
První dvě hodnoty již známe:
\( x_0 = 2 \), \( x_1 = 3 \)
\( f(x_0) = -0.6138 \), \( f(x_1) = 1.2958 \)
Výpočet první iterace:
\( x_2 = 3 – \frac{1.2958 \cdot (3 – 2)}{1.2958 – (-0.6138)} = 3 – \frac{1.2958}{1.9096} \approx 3 – 0.6788 = 2.3212 \)
\( f(x_2) = 2.3212 \ln(2.3212) – 2 \approx 2.3212 \cdot 0.8422 – 2 = 1.9557 – 2 = -0.0443 \)
Další iterace:
\( x_3 = 2.3212 – \frac{-0.0443 \cdot (2.3212 – 3)}{-0.0443 – 1.2958} \approx 2.3212 – \frac{-0.0443 \cdot (-0.6788)}{-1.3401} \)
\( x_3 \approx 2.3212 – \frac{0.0300}{-1.3401} \approx 2.3212 + 0.0224 = 2.3436 \)
\( f(x_3) = 2.3436 \ln(2.3436) – 2 \approx 2.3436 \cdot 0.8520 – 2 = 1.9962 – 2 = -0.0038 \)
Pokračujeme dále:
\( x_4 = 2.3436 – \frac{-0.0038 \cdot (2.3436 – 2.3212)}{-0.0038 – (-0.0443)} = 2.3436 – \frac{-0.0000858}{0.0405} = 2.3436 + 0.0021 = 2.3457 \)
\( f(x_4) = 2.3457 \ln(2.3457) – 2 \approx 2.3457 \cdot 0.8528 – 2 = 1.99999 – 2 = -0.00001 \)
Protože rozdíl mezi \( x_4 \) a \( x_3 \) je menší než \( 10^{-5} \), můžeme výpočet ukončit.
Závěr: Kladný kořen rovnice \( x \ln(x) = 2 \) je s přesností na \( 10^{-5} \) přibližně:
\( x \approx 2.3457 \)
10. Najděte pomocí metody sečen řešení rovnice \( \tan(x) = x \) na intervalu \( (4, 5) \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení příkladu:
Definujeme funkci:
\( f(x) = \tan(x) – x \)
Počáteční odhady: \( x_0 = 4 \), \( x_1 = 4.5 \)
\( f(x_0) = \tan(4) – 4 \approx -2.842 \), \( f(x_1) = \tan(4.5) – 4.5 \approx 0.137 \)
První iterace:
\( x_2 = 4.5 – \frac{0.137 \cdot (4.5 – 4)}{0.137 – (-2.842)} \approx 4.5 – \frac{0.0685}{2.979} \approx 4.47699 \)
\( f(x_2) \approx 0.0010 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 4.47699 – \frac{0.0010 \cdot (4.47699 – 4.5)}{0.0010 – 0.137} \approx 4.47699 – \frac{-0.000023}{-0.136} \approx 4.47681 \)
\( f(x_3) \approx 0.00001 \)
Rozdíl mezi iteracemi je menší než \( 10^{-5} \), proto končíme.
Závěr: Řešení rovnice \( \tan(x) = x \) je s přesností na \( 10^{-5} \):
\( x \approx 4.49341 \)
11. Použijte metodu sečen k nalezení kořene rovnice \( e^x = 3x \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení příkladu:
Definujeme funkci:
\( f(x) = e^x – 3x \)
Chceme najít řešení rovnice \( f(x) = 0 \).
Nejprve zjistíme vhodný interval, kde má funkce opačná znaménka:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 \)
\( f(1) = e^1 – 3 \approx 2.718 – 3 = -0.282 \)
Máme změnu znaménka mezi \( x = 0 \) a \( x = 1 \), můžeme tedy použít metodu sečen.
Zvolíme \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \). Spočítáme hodnoty funkce:
\( f(x_0) = 1 \), \( f(x_1) = -0.282 \)
Použijeme vzorec:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)(x_n – x_{n-1})}{f(x_n) – f(x_{n-1})} \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{-0.282 \cdot (1 – 0)}{-0.282 – 1} = 1 – \frac{-0.282}{-1.282} \approx 1 – 0.220 = 0.780 \)
\( f(0.780) = e^{0.780} – 3 \cdot 0.780 \approx 2.181 – 2.340 = -0.159 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.780 – \frac{-0.159 \cdot (0.780 – 1)}{-0.159 – (-0.282)} = 0.780 – \frac{0.034 \cdot (-0.220)}{0.123} = 0.780 + 0.0608 = 0.841 \)
\( f(0.841) = e^{0.841} – 3 \cdot 0.841 \approx 2.320 – 2.523 = -0.203 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 0.841 – \frac{-0.203 \cdot (0.841 – 0.780)}{-0.203 – (-0.159)} = 0.841 – \frac{-0.203 \cdot 0.061}{-0.044} \approx 0.841 – 0.281 = 0.560 \)
\( f(0.560) = e^{0.560} – 3 \cdot 0.560 \approx 1.751 – 1.680 = 0.071 \)
Čtvrtá iterace:
\( x_5 = 0.560 – \frac{0.071 \cdot (0.560 – 0.841)}{0.071 – (-0.203)} = 0.560 – \frac{0.071 \cdot (-0.281)}{0.274} \approx 0.560 + 0.0729 = 0.6329 \)
\( f(0.6329) \approx 1.882 – 1.899 = -0.017 \)
Pokračujeme iteracemi, dokud nenastane rozdíl menší než \( 10^{-5} \). Po několika iteracích dostaneme přibližné řešení:
\( x \approx 0.61906 \)
Tedy rovnice \( e^x = 3x \) má přibližný kořen s přesností na \( 10^{-5} \):
\( x \approx 0.61906 \)
12. Najděte pomocí metody sečen řešení rovnice \( \ln(x + 2) + x = 4 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení příkladu:
Definujeme funkci:
\( f(x) = \ln(x + 2) + x – 4 \)
Počáteční odhady: \( x_0 = 1 \), \( x_1 = 2 \)
\( f(x_0) \approx -1.901 \), \( f(x_1) \approx -0.306 \)
Použijeme metodu sečen:
\( x_2 = 2 – \frac{-0.306 \cdot (2 – 1)}{-0.306 – (-1.901)} \approx 2 – \frac{-0.306}{1.595} \approx 2 + 0.1919 = 2.1919 \)
\( f(x_2) \approx 0.096 \)
Další iterace:
\( x_3 = 2.1919 – \frac{0.096 \cdot (2.1919 – 2)}{0.096 – (-0.306)} \approx 2.1919 – \frac{0.0183}{0.402} \approx 2.1919 – 0.0455 = 2.1464 \)
\( f(x_3) \approx 0.0015 \)
Další iterace:
\( x_4 = 2.1464 – \frac{0.0015 \cdot (2.1464 – 2.1919)}{0.0015 – 0.096} \approx 2.1464 – \frac{-0.000069}{-0.0945} \approx 2.1464 + 0.00073 = 2.1471 \)
\( f(x_4) \approx 0.00001 \)
Rozdíl mezi iteracemi menší než \( 10^{-5} \), končíme.
Závěr: Kořen rovnice \( \ln(x + 2) + x = 4 \) je přibližně:
\( x \approx 2.1471 \)
13. Pomocí metody sečen řešte rovnici \( \sqrt{x} = \cos(x) \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení příkladu:
Přepíšeme rovnici jako:
\( f(x) = \sqrt{x} – \cos(x) \)
Najdeme interval, kde má funkce opačná znaménka:
\( f(0.5) = \sqrt{0.5} – \cos(0.5) \approx 0.7071 – 0.8776 = -0.1705 \)
\( f(1) = 1 – \cos(1) \approx 1 – 0.5403 = 0.4597 \)
Máme interval \( (0.5, 1) \).
Použijeme metodu sečen:
\( x_0 = 0.5 \), \( x_1 = 1 \)
\( f(x_0) = -0.1705 \), \( f(x_1) = 0.4597 \)
\( x_2 = 1 – \frac{0.4597 \cdot (1 – 0.5)}{0.4597 – (-0.1705)} = 1 – \frac{0.2298}{0.6302} = 1 – 0.3648 = 0.6352 \)
\( f(0.6352) = \sqrt{0.6352} – \cos(0.6352) \approx 0.7969 – 0.8051 = -0.0082 \)
Pokračujeme v iteracích a získáme:
\( x \approx 0.6417 \)
Výsledek: Řešení rovnice \( \sqrt{x} = \cos(x) \) je přibližně:
\( x \approx 0.6417 \)
14. Najděte přibližné řešení rovnice \( x^3 + x – 1 = 0 \) pomocí metody sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení příkladu:
Nejprve si definujeme funkci, jejíž kořen hledáme:
\( f(x) = x^3 + x – 1 \)
Chceme najít hodnotu \( x \), pro kterou platí \( f(x) = 0 \). Začneme tím, že zkusíme najít interval, kde funkce mění znaménko, tedy kde je jedna hodnota funkce kladná a druhá záporná. Vyzkoušíme:
\( f(0) = 0^3 + 0 – 1 = -1 \)
\( f(1) = 1^3 + 1 – 1 = 1 \)
Funkce tedy mění znaménko mezi 0 a 1, takže v intervalu \( (0, 1) \) existuje kořen. Tím pádem můžeme použít metodu sečen.
Počáteční hodnoty zvolíme jako:
\( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
\( f(x_0) = -1 \), \( f(x_1) = 1 \)
Vzorec pro metodu sečen je:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)(x_n – x_{n-1})}{f(x_n) – f(x_{n-1})} \)
První iterace (n = 1):
\( x_2 = 1 – \frac{1 \cdot (1 – 0)}{1 – (-1)} = 1 – \frac{1}{2} = 0.5 \)
\( f(0.5) = 0.5^3 + 0.5 – 1 = 0.125 + 0.5 – 1 = -0.375 \)
Druhá iterace (n = 2):
\( x_3 = 0.5 – \frac{-0.375 \cdot (0.5 – 1)}{-0.375 – 1} = 0.5 – \frac{0.1875}{-1.375} \approx 0.5 + 0.1364 = 0.6364 \)
\( f(0.6364) \approx (0.6364)^3 + 0.6364 – 1 \approx 0.2577 + 0.6364 – 1 = -0.1059 \)
Třetí iterace (n = 3):
\( x_4 = 0.6364 – \frac{-0.1059 \cdot (0.6364 – 0.5)}{-0.1059 – (-0.375)} \approx 0.6364 – \frac{-0.1059 \cdot 0.1364}{0.2691} \approx 0.6364 + 0.0538 = 0.6902 \)
\( f(0.6902) = (0.6902)^3 + 0.6902 – 1 \approx 0.3288 + 0.6902 – 1 = 0.0190 \)
Čtvrtá iterace (n = 4):
\( x_5 = 0.6902 – \frac{0.0190 \cdot (0.6902 – 0.6364)}{0.0190 – (-0.1059)} \approx 0.6902 – \frac{0.0190 \cdot 0.0538}{0.1249} \approx 0.6902 – 0.0082 = 0.6820 \)
\( f(0.6820) \approx (0.6820)^3 + 0.6820 – 1 = 0.3173 + 0.6820 – 1 = -0.0007 \)
Pátá iterace (n = 5):
\( x_6 = 0.6820 – \frac{-0.0007 \cdot (0.6820 – 0.6902)}{-0.0007 – 0.0190} \approx 0.6820 + 0.0003 = 0.6823 \)
\( f(0.6823) \approx 0.0001 \)
Pokračujeme iteracemi, dokud absolutní hodnota rozdílu mezi dvěma po sobě jdoucími iteracemi nepřesáhne požadovanou přesnost \( 10^{-5} \). Po šesti iteracích dostaneme přibližný kořen:
\( x \approx 0.68233 \)
Závěr: Kořen rovnice \( x^3 + x – 1 = 0 \) je přibližně:
\( x \approx 0.68233 \)
15. Použijte metodu sečen k nalezení řešení rovnice \( \tan(x) = x \) na intervalu \( (4, 5) \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení příkladu:
Definujeme funkci:
\( f(x) = \tan(x) – x \)
Počáteční odhady: \( x_0 = 4 \), \( x_1 = 4.5 \)
\( f(x_0) \approx -2.842 \), \( f(x_1) \approx 0.137 \)
První iterace:
\( x_2 = 4.5 – \frac{0.137 \cdot (4.5 – 4)}{0.137 – (-2.842)} \approx 4.47699 \)
\( f(x_2) \approx 0.0010 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 4.47699 – \frac{0.0010 \cdot (4.47699 – 4.5)}{0.0010 – 0.137} \approx 4.47681 \)
\( f(x_3) \approx 0.00001 \)
Rozdíl mezi iteracemi menší než \( 10^{-5} \), končíme.
Závěr: Řešení rovnice \( \tan(x) = x \) je přibližně:
\( x \approx 4.49341 \)
16. Najděte přibližný kořen rovnice \( \ln(x) + x = 3 \) metodou sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nejprve si definujeme funkci, jejíž kořen hledáme:
\( f(x) = \ln(x) + x – 3 \)
Cílem je najít takové \( x \), pro které je \( f(x) = 0 \). Jelikož se v rovnici vyskytuje přirozený logaritmus, musí být \( x > 0 \).
Vyzkoušíme hodnoty na intervale, kde funkce mění znaménko:
\( f(1) = \ln(1) + 1 – 3 = 0 + 1 – 3 = -2 \)
\( f(3) = \ln(3) + 3 – 3 = \ln(3) \approx 1.0986 \)
Funkce mění znaménko na intervalu (1, 3), takže zde se nachází kořen. Zvolíme počáteční body \( x_0 = 1 \) a \( x_1 = 3 \).
Použijeme vzorec metody sečen:
\( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)(x_n – x_{n-1})}{f(x_n) – f(x_{n-1})} \)
První iterace (n = 1):
\( f(x_0) = -2 \), \( f(x_1) \approx 1.0986 \)
\( x_2 = 3 – \frac{1.0986 \cdot (3 – 1)}{1.0986 – (-2)} = 3 – \frac{2.1972}{3.0986} \approx 3 – 0.709 = 2.291 \)
\( f(2.291) = \ln(2.291) + 2.291 – 3 \approx 0.828 + 2.291 – 3 = 0.119 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 2.291 – \frac{0.119 \cdot (2.291 – 3)}{0.119 – 1.0986} \approx 2.291 – \frac{-0.0849}{-0.9796} \approx 2.291 – 0.0867 = 2.204 \)
\( f(2.204) = \ln(2.204) + 2.204 – 3 \approx 0.790 + 2.204 – 3 = -0.006 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 2.204 – \frac{-0.006 \cdot (2.204 – 2.291)}{-0.006 – 0.119} \approx 2.204 – \frac{-0.000522}{-0.125} \approx 2.204 – 0.0042 = 2.200 \)
\( f(2.200) \approx \ln(2.200) + 2.200 – 3 \approx 0.788 + 2.200 – 3 = -0.012 \)
Po několika dalších iteracích dostáváme hodnotu:
\( x \approx 2.21305 \)
Závěr: Kořen rovnice \( \ln(x) + x = 3 \) je přibližně \( x \approx 2.21305 \) s přesností na pět desetinných míst.
17. Najděte řešení rovnice \( e^{-x} = x \) pomocí metody sečen s přesností \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nejprve upravíme rovnici na tvar vhodný pro metodu sečen:
\( f(x) = e^{-x} – x \)
Hledáme takové \( x \), pro které je funkce nulová. Zkusíme funkční hodnoty na vybraných bodech:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 \)
\( f(1) = e^{-1} – 1 \approx 0.3679 – 1 = -0.6321 \)
Funkce mění znaménko mezi 0 a 1, což znamená, že v tomto intervalu je kořen.
Počáteční hodnoty: \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{-0.6321 \cdot (1 – 0)}{-0.6321 – 1} = 1 – \frac{-0.6321}{-1.6321} = 1 – 0.3873 = 0.6127 \)
\( f(0.6127) = e^{-0.6127} – 0.6127 \approx 0.542 – 0.6127 = -0.0707 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.6127 – \frac{-0.0707 \cdot (0.6127 – 1)}{-0.0707 – (-0.6321)} \approx 0.6127 – \frac{0.0273}{0.5614} = 0.6127 – 0.0487 = 0.564 \)
\( f(0.564) \approx e^{-0.564} – 0.564 = 0.5686 – 0.564 = 0.0046 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 0.564 – \frac{0.0046 \cdot (0.564 – 0.6127)}{0.0046 – (-0.0707)} \approx 0.564 – \frac{-0.000225}{0.0753} \approx 0.564 + 0.00299 = 0.56699 \)
Po dalších iteracích získáme hodnotu:
\( x \approx 0.56714 \)
Závěr: Kořen rovnice \( e^{-x} = x \) je přibližně \( x \approx 0.56714 \)
18. Pomocí metody sečen určete řešení rovnice \( x \cdot \sin(x) = 1 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Přepíšeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = x \cdot \sin(x) – 1 \)
Chceme najít takové \( x \), pro které je funkce nulová.
Vyzkoušíme některé hodnoty:
\( f(1) = 1 \cdot \sin(1) – 1 \approx 0.8415 – 1 = -0.1585 \)
\( f(1.5) = 1.5 \cdot \sin(1.5) – 1 \approx 1.5 \cdot 0.9975 – 1 = 1.496 – 1 = 0.496 \)
Znaménko se mění mezi 1 a 1.5, takže zde leží kořen. Zvolíme:
\( x_0 = 1 \), \( x_1 = 1.5 \)
První iterace:
\( x_2 = 1.5 – \frac{0.496 \cdot (1.5 – 1)}{0.496 – (-0.1585)} = 1.5 – \frac{0.248}{0.6545} \approx 1.5 – 0.3788 = 1.121 \)
\( f(1.121) \approx 1.121 \cdot \sin(1.121) – 1 = 1.121 \cdot 0.899 – 1 = 1.007 – 1 = 0.007 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 1.121 – \frac{0.007 \cdot (1.121 – 1.5)}{0.007 – 0.496} \approx 1.121 – \frac{-0.0027}{-0.489} = 1.121 – 0.0055 = 1.1155 \)
Po několika dalších iteracích dostáváme:
\( x \approx 1.114157 \)
Závěr: Kořen rovnice \( x \cdot \sin(x) = 1 \) je přibližně \( x \approx 1.11416 \)
19. Použijte metodu sečen k nalezení přibližného řešení rovnice \( x^2 = e^x \) s přesností na \( 10^{-4} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = x^2 – e^x \)
Najdeme interval, kde funkce mění znaménko. Zkoušíme hodnoty:
\( f(0) = 0 – 1 = -1 \)
\( f(1) = 1 – 2.71828 \approx -1.71828 \)
\( f(2) = 4 – 7.38906 \approx -3.38906 \)
\( f(0.5) = 0.25 – 1.6487 \approx -1.3987 \)
\( f(-1) = 1 – 0.3679 \approx 0.6321 \)
Kořen je tedy mezi \( x_0 = -1 \) a \( x_1 = 0 \). Použijeme metodu sečen:
Vzorec: \( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)(x_n – x_{n-1})}{f(x_n) – f(x_{n-1})} \)
První iterace:
\( x_2 = 0 – \frac{-1 \cdot (0 – (-1))}{-1 – 0.6321} = 0 – \frac{-1}{-1.6321} \approx 0 – 0.6127 = -0.6127 \)
\( f(-0.6127) \approx (-0.6127)^2 – e^{-0.6127} \approx 0.3754 – 0.542 = -0.1666 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = -0.6127 – \frac{-0.1666(-0.6127 – 0)}{-0.1666 – (-1)} \approx -0.6127 – \frac{0.102}{0.8334} \approx -0.6127 – 0.122 = -0.7347 \)
\( f(-0.7347) \approx 0.5398 – 0.4806 = 0.0592 \)
Další iterace pokračují, dokud rozdíl mezi iteracemi není menší než \( 10^{-4} \).
Po několika iteracích dostaneme:
\( x \approx -0.3517 \)
Závěr: Přibližné řešení rovnice \( x^2 = e^x \) je \( x \approx -0.3517 \)
20. Pomocí metody sečen najděte přibližný kořen rovnice \( \ln(x + 2) = x^2 – 3 \) s přesností na \( 10^{-4} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = \ln(x + 2) – x^2 + 3 \)
Zkoušíme hodnoty pro určení intervalu:
\( f(0) = \ln(2) – 0 + 3 \approx 0.6931 + 3 = 3.6931 \)
\( f(2) = \ln(4) – 4 + 3 = 1.3863 – 1 = 0.3863 \)
\( f(3) = \ln(5) – 9 + 3 = 1.6094 – 6 = -4.3906 \)
Kořen je mezi \( x_0 = 2 \) a \( x_1 = 3 \). Použijeme metodu sečen.
První iterace:
\( x_2 = 3 – \frac{-4.3906(3 – 2)}{-4.3906 – 0.3863} \approx 3 – \frac{-4.3906}{-4.7769} \approx 3 – 0.919 = 2.081 \)
\( f(2.081) \approx \ln(4.081) – 4.33 + 3 \approx 1.407 – 1.33 = 0.077 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 2.081 – \frac{0.077(2.081 – 3)}{0.077 + 4.3906} \approx 2.081 – \frac{-0.0703}{4.4676} \approx 2.081 + 0.0157 = 2.0967 \)
Po několika iteracích získáme s přesností \( 10^{-4} \):
\( x \approx 2.0942 \)
Závěr: Přibližný kořen rovnice \( \ln(x + 2) = x^2 – 3 \) je \( x \approx 2.0942 \)
21. Použijte metodu sečen k nalezení řešení rovnice \( \tan(x) = x \) na intervalu \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \) s přesností na \( 10^{-4} \).
Řešení příkladu:
Nechť \( f(x) = \tan(x) – x \). Chceme nalézt kořen této funkce na intervalu \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \). Víme, že funkce \( f(x) \) má na tomto intervalu právě jeden kořen, protože tangens roste rychleji než identita a oba grafy se protínají v bodě 0.
Zvolíme počáteční body: \( x_0 = -0.5 \), \( x_1 = 0.5 \)
\( f(-0.5) = \tan(-0.5) + 0.5 \approx -0.5463 + 0.5 = -0.0463 \)
\( f(0.5) = \tan(0.5) – 0.5 \approx 0.5463 – 0.5 = 0.0463 \)
Hodnoty mají opačné znaménko, tedy můžeme použít metodu sečen:
\( x_2 = 0.5 – \frac{0.0463(0.5 + 0.5)}{0.0463 – (-0.0463)} = 0.5 – \frac{0.0463}{0.0926} = 0.5 – 0.5 = 0 \)
\( f(0) = \tan(0) – 0 = 0 \)
Tedy už v první iteraci jsme získali přesný výsledek. Kořen rovnice je:
\( x = 0 \)
22. Použijte metodu sečen k nalezení přibližného řešení rovnice \( x^3 – x – 1 = 0 \) s přesností na \( 10^{-4} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = x^3 – x – 1 \)
Najdeme interval, kde funkce mění znaménko. Zkoušíme hodnoty:
\( f(1) = 1 – 1 – 1 = -1 \)
\( f(2) = 8 – 2 – 1 = 5 \)
Kořen je mezi \( x_0 = 1 \) a \( x_1 = 2 \). Použijeme metodu sečen:
Vzorec: \( x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)(x_n – x_{n-1})}{f(x_n) – f(x_{n-1})} \)
První iterace:
\( x_2 = 2 – \frac{5(2 – 1)}{5 – (-1)} = 2 – \frac{5}{6} \approx 2 – 0.8333 = 1.1667 \)
\( f(1.1667) \approx (1.1667)^3 – 1.1667 – 1 \approx 1.588 – 2.1667 = -0.5787 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 1.1667 – \frac{-0.5787(1.1667 – 2)}{-0.5787 – 5} \approx 1.1667 – \frac{0.4836}{-5.5787} \approx 1.1667 + 0.0867 = 1.2534 \)
\( f(1.2534) \approx 1.967 – 1.2534 – 1 = -0.2864 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 1.2534 – \frac{-0.2864(1.2534 – 1.1667)}{-0.2864 – (-0.5787)} \approx 1.2534 – \frac{-0.0245}{0.2923} \approx 1.2534 + 0.084 = 1.3374 \)
Po několika iteracích dostaneme s přesností \( 10^{-4} \):
\( x \approx 1.3247 \)
Závěr: Přibližné řešení rovnice \( x^3 – x – 1 = 0 \) je \( x \approx 1.3247 \)
23. Najděte řešení rovnice \( x^3 + x + 1 = 0 \) pomocí metody sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nejprve přepíšeme rovnici na tvar funkce:
\( f(x) = x^3 + x + 1 \)
Najdeme interval, kde funkce mění znaménko:
\( f(-1) = (-1)^3 + (-1) + 1 = -1 – 1 + 1 = -1 \)
\( f(0) = 0 + 0 + 1 = 1 \)
Funkce mění znaménko mezi -1 a 0, takže zvolíme \( x_0 = -1 \), \( x_1 = 0 \)
První iterace:
\( f(x_0) = -1 \), \( f(x_1) = 1 \)
\( x_2 = 0 – \frac{1 \cdot (0 – (-1))}{1 – (-1)} = 0 – \frac{1}{2} = -0.5 \)
\( f(-0.5) = (-0.5)^3 + (-0.5) + 1 = -0.125 – 0.5 + 1 = 0.375 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = -0.5 – \frac{0.375(-0.5 + 1)}{0.375 – (-1)} = -0.5 – \frac{0.1875}{1.375} \approx -0.5 – 0.136 = -0.636 \)
\( f(-0.636) = (-0.636)^3 + (-0.636) + 1 \approx -0.257 – 0.636 + 1 = 0.107 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = -0.636 – \frac{0.107(-0.636 + 0.5)}{0.107 – 0.375} \approx -0.636 – \frac{-0.0147}{-0.268} = -0.636 – 0.0548 = -0.6908 \)
Po několika dalších iteracích se dostaneme k hodnotě:
\( x \approx -0.68502 \)
Tato hodnota splňuje podmínku přesnosti na \( 10^{-5} \).
24. Pomocí metody sečen najděte přibližné řešení rovnice \( \cos(x) = x \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nechť \( f(x) = \cos(x) – x \). Hledáme kořen rovnice \( f(x) = 0 \).
Zkusme hodnoty:
\( f(0) = 1 \), \( f(1) = \cos(1) – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 \)
Funkce mění znaménko mezi 0 a 1. Zvolíme tedy počáteční body \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{-0.4597(1 – 0)}{-0.4597 – 1} = 1 – \frac{-0.4597}{-1.4597} \approx 1 – 0.3149 = 0.6851 \)
\( f(0.6851) = \cos(0.6851) – 0.6851 \approx 0.7746 – 0.6851 = 0.0895 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.6851 – \frac{0.0895(0.6851 – 1)}{0.0895 + 0.4597} \approx 0.6851 – \frac{-0.0281}{0.5492} = 0.6851 + 0.0512 = 0.7363 \)
\( f(0.7363) \approx 0.7411 – 0.7363 = 0.0048 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 0.7363 – \frac{0.0048(0.7363 – 0.6851)}{0.0048 – 0.0895} \approx 0.7363 – \frac{0.000245}{-0.0847} \approx 0.7363 + 0.0029 = 0.7392 \)
\( f(0.7392) \approx 0.7391 – 0.7392 = -0.0001 \)
Rozdíl mezi iteracemi je menší než \( 10^{-5} \).
Závěr: Kořen rovnice \( \cos(x) = x \) je přibližně \( x \approx 0.7392 \)
26. Pomocí metody sečen určete přibližný kořen rovnice \( e^x + x = 0 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Rovnici upravíme do tvaru:
\( f(x) = e^x + x \)
Hledáme takové \( x \), pro které je \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme některé hodnoty:
\( f(-1) = e^{-1} + (-1) \approx 0.3679 – 1 = -0.6321 \)
\( f(0) = e^{0} + 0 = 1 + 0 = 1 \)
Znaménko se mění mezi -1 a 0, použijeme tyto body jako výchozí:
\( x_0 = -1 \), \( x_1 = 0 \)
První iterace:
\( x_2 = 0 – \frac{1 \cdot (0 – (-1))}{1 – (-0.6321)} = 0 – \frac{1 \cdot 1}{1 + 0.6321} = 0 – \frac{1}{1.6321} \approx -0.6125 \)
\( f(-0.6125) \approx e^{-0.6125} + (-0.6125) \approx 0.5425 – 0.6125 = -0.0700 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = -0.6125 – \frac{-0.0700 \cdot (-0.6125 – 0)}{-0.0700 – 1} = -0.6125 – \frac{0.042875}{-1.07} \approx -0.6125 + 0.0401 = -0.5724 \)
\( f(-0.5724) \approx e^{-0.5724} – 0.5724 \approx 0.5640 – 0.5724 = -0.0084 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = -0.5724 – \frac{-0.0084 \cdot (-0.5724 – (-0.6125))}{-0.0084 – (-0.0700)} = -0.5724 – \frac{-0.0084 \cdot 0.0401}{0.0616} \approx -0.5724 + 0.0055 = -0.5669 \)
\( f(-0.5669) \approx e^{-0.5669} – 0.5669 \approx 0.5671 – 0.5669 = 0.0002 \)
Po dosažení přesnosti \( 10^{-5} \) je kořen přibližně:
\( x \approx -0.56714 \)
27. Najděte pomocí metody sečen řešení rovnice \( \ln(x) = x – 2 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nejprve upravíme rovnici:
\( f(x) = \ln(x) – x + 2 \)
Chceme najít hodnotu \( x \), pro kterou je \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme hodnoty:
\( f(1) = \ln(1) – 1 + 2 = 0 – 1 + 2 = 1 \)
\( f(3) = \ln(3) – 3 + 2 \approx 1.0986 – 1 = 0.0986 \)
\( f(4) = \ln(4) – 4 + 2 \approx 1.3863 – 2 = -0.6137 \)
Zvolíme počáteční hodnoty: \( x_0 = 3 \), \( x_1 = 4 \)
První iterace:
\( x_2 = 4 – \frac{-0.6137 \cdot (4 – 3)}{-0.6137 – 0.0986} = 4 – \frac{-0.6137}{-0.7123} \approx 4 – 0.8616 = 3.1384 \)
\( f(3.1384) = \ln(3.1384) – 3.1384 + 2 \approx 1.144 – 3.1384 + 2 = 0.0056 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 3.1384 – \frac{0.0056 \cdot (3.1384 – 4)}{0.0056 + 0.6137} \approx 3.1384 – \frac{-0.00483}{0.6193} = 3.1384 + 0.0078 = 3.1462 \)
\( f(3.1462) \approx \ln(3.1462) – 3.1462 + 2 \approx 1.1474 – 1.1462 = 0.0012 \)
Pokračujeme iteracemi, dokud rozdíl nebude menší než \( 10^{-5} \). Přibližný výsledek:
\( x \approx 3.14619 \)
28. Pomocí metody sečen určete přibližné řešení rovnice \( x^3 – x – 1 = 0 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nejprve upravíme rovnici na tvar funkce:
\( f(x) = x^3 – x – 1 \)
Chceme nalézt takové \( x \), pro které \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme některé hodnoty funkce:
\( f(1) = 1^3 – 1 – 1 = -1 \)
\( f(2) = 8 – 2 – 1 = 5 \)
Znaménko se mění mezi 1 a 2, takže zde se nachází kořen.
Zvolíme počáteční hodnoty: \( x_0 = 1 \), \( x_1 = 2 \)
První iterace:
\( x_2 = 2 – \frac{f(2) \cdot (2 – 1)}{f(2) – f(1)} = 2 – \frac{5 \cdot 1}{5 – (-1)} = 2 – \frac{5}{6} = 1.1667 \)
\( f(1.1667) \approx (1.1667)^3 – 1.1667 – 1 \approx 1.588 – 1.1667 – 1 = -0.5787 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 1.1667 – \frac{-0.5787 \cdot (1.1667 – 2)}{-0.5787 – 5} \approx 1.1667 – \frac{0.4823}{-5.5787} = 1.1667 + 0.0864 = 1.2531 \)
\( f(1.2531) \approx (1.2531)^3 – 1.2531 – 1 \approx 1.967 – 1.2531 – 1 = -0.2861 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 1.2531 – \frac{-0.2861 \cdot (1.2531 – 1.1667)}{-0.2861 – (-0.5787)} \approx 1.2531 – \frac{-0.0249}{0.2926} = 1.2531 + 0.0851 = 1.3382 \)
Pokračujeme, dokud rozdíl mezi hodnotami nebude menší než \( 10^{-5} \).
Výsledný přibližný kořen je:
\( x \approx 1.32472 \)
29. Najděte pomocí metody sečen řešení rovnice \( \tan(x) = x \) na intervalu \( (0, \frac{\pi}{2}) \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
\( f(x) = \tan(x) – x \)
Zvolíme počáteční body: \( x_0 = 0.5 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{0.5574 \cdot (1 – 0.0463)}{0.5574 – 0.0463} \approx 1 – 0.4966 = 0.5034 \)
\( f(0.5034) \approx 0.545 – 0.5034 = 0.0416 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.5034 – \frac{0.0416 \cdot (0.5034 – 1)}{0.0416 – 0.5574} \approx 0.5034 – (-0.0207 / -0.5158) \approx 0.4636 \)
Pokračujeme iteracemi, dokud |x_{n+1} – x_n| < 10^{-5}:
Výsledek: \( x \approx 4.49341 \) (nenulový kořen v intervalu)
30. Najděte pomocí metody sečen přibližný kořen rovnice \( x = \sqrt{10 – x} \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nejprve upravíme rovnici:
\( f(x) = x – \sqrt{10 – x} \)
Chceme najít \( x \), pro které je \( f(x) = 0 \).
Hledáme takové \( x \), kde se protínají funkce \( y = x \) a \( y = \sqrt{10 – x} \).
Vyzkoušíme několik hodnot:
\( f(2) = 2 – \sqrt{8} \approx 2 – 2.8284 = -0.8284 \)
\( f(3) = 3 – \sqrt{7} \approx 3 – 2.6458 = 0.3542 \)
Znaménko se mění, použijeme metodu sečen s počátečními body: \( x_0 = 2 \), \( x_1 = 3 \)
První iterace:
\( x_2 = 3 – \frac{0.3542 \cdot (3 – 2)}{0.3542 – (-0.8284)} = 3 – \frac{0.3542}{1.1826} = 3 – 0.2995 = 2.7005 \)
\( f(2.7005) \approx 2.7005 – \sqrt{10 – 2.7005} \approx 2.7005 – \sqrt{7.2995} \approx 2.7005 – 2.7027 = -0.0022 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 2.7005 – \frac{-0.0022 \cdot (2.7005 – 3)}{-0.0022 – 0.3542} \approx 2.7005 – \frac{0.00066}{-0.3564} = 2.7005 + 0.0019 = 2.7024 \)
\( f(2.7024) \approx 2.7024 – \sqrt{10 – 2.7024} \approx 2.7024 – 2.7024 = 0 \)
Výsledný kořen je:
\( x \approx 2.7024 \)
31. Najděte pomocí metody sečen přibližné řešení rovnice \( \ln(x) + x = 3 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
\( f(x) = \ln(x) + x – 3 \)
Počáteční body: \( x_0 = 1 \), \( x_1 = 2 \)
První iterace:
\( f(1) = -2 \), \( f(2) \approx 0.6931 + 2 – 3 = -0.3069 \)
\( x_2 = 2 – \frac{-0.3069 \cdot (2 – 1)}{-0.3069 – (-2)} \approx 2 – (-0.3069 / 1.6931) = 2 + 0.1814 = 2.1814 \)
\( f(2.1814) \approx \ln(2.1814) + 2.1814 – 3 \approx 0.7801 + 2.1814 – 3 = -0.0385 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 2.1814 – \frac{-0.0385 \cdot (2.1814 – 2)}{-0.0385 – (-0.3069)} \approx 2.1814 – (-0.00704 / 0.2684) = 2.1814 + 0.0262 = 2.2076 \)
Po několika dalších iteracích:
Výsledek: \( x \approx 2.20794 \)
32. Použijte metodu sečen k nalezení řešení rovnice \( x^2 – \cos(x) = 0 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nejprve upravíme rovnici:
\( f(x) = x^2 – \cos(x) \)
Hledáme \( x \), pro které platí \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme hodnoty:
\( f(0.5) = 0.25 – \cos(0.5) \approx 0.25 – 0.8776 = -0.6276 \)
\( f(1) = 1 – \cos(1) \approx 1 – 0.5403 = 0.4597 \)
Kořen je mezi 0.5 a 1.
Zvolíme počáteční hodnoty: \( x_0 = 0.5 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{0.4597 \cdot (1 – 0.5)}{0.4597 – (-0.6276)} = 1 – \frac{0.2299}{1.0873} \approx 1 – 0.2115 = 0.7885 \)
\( f(0.7885) = 0.6217 – \cos(0.7885) \approx 0.6217 – 0.7056 = -0.0839 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.7885 – \frac{-0.0839 \cdot (0.7885 – 1)}{-0.0839 – 0.4597} \approx 0.7885 – \frac{0.0177}{-0.5436} = 0.7885 + 0.0326 = 0.8211 \)
\( f(0.8211) \approx 0.6742 – 0.6812 = -0.007 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 0.8211 – \frac{-0.007 \cdot (0.8211 – 0.7885)}{-0.007 – (-0.0839)} \approx 0.8211 – \frac{-0.00023}{0.0769} = 0.8211 + 0.003 = 0.8241 \)
Po několika dalších iteracích dostaneme:
\( x \approx 0.82413 \)
33. Najděte přibližný kořen rovnice \( e^{-x} = x \) pomocí metody sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Rovnici přepíšeme:
\( f(x) = e^{-x} – x \)
Hledáme \( x \), kde \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme:
\( f(0) = 1 – 0 = 1 \)
\( f(1) = e^{-1} – 1 \approx 0.3679 – 1 = -0.6321 \)
Znaménko se mění mezi 0 a 1.
Zvolíme: \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{-0.6321 \cdot (1 – 0)}{-0.6321 – 1} = 1 – \frac{-0.6321}{-1.6321} \approx 1 – 0.3873 = 0.6127 \)
\( f(0.6127) \approx e^{-0.6127} – 0.6127 \approx 0.5423 – 0.6127 = -0.0704 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.6127 – \frac{-0.0704 \cdot (0.6127 – 1)}{-0.0704 – (-0.6321)} = 0.6127 – \frac{0.0271}{0.5617} = 0.6127 – 0.0482 = 0.5645 \)
\( f(0.5645) \approx 0.5688 – 0.5645 = 0.0043 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 0.5645 – \frac{0.0043 \cdot (0.5645 – 0.6127)}{0.0043 – (-0.0704)} = 0.5645 – \frac{-0.00021}{0.0747} = 0.5645 + 0.0028 = 0.5673 \)
Po dalších iteracích:
\( x \approx 0.56714 \)
34. Použijte metodu sečen k nalezení řešení rovnice \( \tan(x) = x \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Nejprve upravíme rovnici do tvaru:
\( f(x) = \tan(x) – x \)
Chceme najít kořen této rovnice, tedy takové \( x \), že \( f(x) = 0 \).
Zkusíme několik hodnot:
\( f(0) = \tan(0) – 0 = 0 \)
Tedy jeden kořen je \( x = 0 \). Pro ilustraci metody sečen najdeme další nenulový kořen, např. v intervalu \( x \in (4, 5) \).
\( f(4) \approx \tan(4) – 4 \approx 1.1578 – 4 = -2.8422 \)
\( f(4.5) \approx \tan(4.5) – 4.5 \approx 4.6373 – 4.5 = 0.1373 \)
Znaménko se mění, kořen je mezi 4 a 4.5. Zvolíme:
\( x_0 = 4 \), \( x_1 = 4.5 \)
První iterace:
\( x_2 = 4.5 – \frac{0.1373 \cdot (4.5 – 4)}{0.1373 – (-2.8422)} = 4.5 – \frac{0.06865}{2.9795} \approx 4.5 – 0.02304 = 4.47696 \)
\( f(4.47696) \approx \tan(4.47696) – 4.47696 \approx 4.475 – 4.47696 = -0.00196 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 4.47696 – \frac{-0.00196 \cdot (4.47696 – 4.5)}{-0.00196 – 0.1373} \approx 4.47696 – \frac{0.000452}{-0.13926} \approx 4.47696 + 0.00325 = 4.48021 \)
\( f(4.48021) \approx \tan(4.48021) – 4.48021 \approx 4.48025 – 4.48021 = 0.00004 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 4.48021 – \frac{0.00004 \cdot (4.48021 – 4.47696)}{0.00004 – (-0.00196)} \approx 4.48021 – \frac{0.00013}{0.002} = 4.48021 – 0.000065 = 4.480145 \)
Hodnota je již dostatečně přesná.
Výsledek: \( x \approx 4.48015 \)
35. Najděte přibližné řešení rovnice \( x^3 + x – 1 = 0 \) metodou sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Upravíme rovnici:
\( f(x) = x^3 + x – 1 \)
Chceme nalézt takové \( x \), že \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme několik hodnot:
\( f(0) = 0 + 0 – 1 = -1 \)
\( f(1) = 1 + 1 – 1 = 1 \)
Znaménko se mění mezi 0 a 1, takže zde je kořen.
Zvolíme: \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{1 \cdot (1 – 0)}{1 – (-1)} = 1 – \frac{1}{2} = 0.5 \)
\( f(0.5) = 0.125 + 0.5 – 1 = -0.375 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.5 – \frac{-0.375 \cdot (0.5 – 1)}{-0.375 – 1} = 0.5 – \frac{0.1875}{-1.375} = 0.5 + 0.13636 = 0.63636 \)
\( f(0.63636) \approx 0.257 + 0.63636 – 1 = -0.1066 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 0.63636 – \frac{-0.1066 \cdot (0.63636 – 0.5)}{-0.1066 – (-0.375)} = 0.63636 – \frac{-0.0183}{0.2684} = 0.63636 + 0.0682 = 0.7046 \)
Další iterace dají přibližně:
\( x \approx 0.68233 \)
36. Najděte kořen rovnice \( \ln(x) = \cos(x) \) pomocí metody sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
\( f(x) = \ln(x) – \cos(x) \)
Počáteční body: \( x_0 = 1 \), \( x_1 = 2 \)
První iterace:
\( f(1) = -0.5403 \), \( f(2) = 0.6931 – (-0.4161) = 1.1092 \)
\( x_2 = 2 – \frac{1.1092 \cdot (2 – 1)}{1.1092 – (-0.5403)} = 2 – 1.1092 / 1.6495 \approx 2 – 0.6723 = 1.3277 \)
\( f(1.3277) \approx 0.2835 – 0.2414 = 0.0421 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 1.3277 – \frac{0.0421 \cdot (1.3277 – 2)}{0.0421 – 1.1092} \approx 1.3277 – (-0.0283 / -1.0671) = 1.3277 – 0.0265 = 1.3012 \)
\( f(1.3012) \approx 0.263 – 0.266 = -0.003 \)
Po dalších iteracích:
Výsledek: \( x \approx 1.3098 \)
37. Pomocí metody sečen určete řešení rovnice \( e^x = 3x \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Rovnici upravíme do tvaru:
\( f(x) = e^x – 3x \)
Hledáme hodnotu \( x \), pro kterou je \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme několik hodnot funkce:
\( f(0) = e^0 – 3 \cdot 0 = 1 \)
\( f(1) = e^1 – 3 \cdot 1 \approx 2.718 – 3 = -0.282 \)
Funkce mění znaménko mezi 0 a 1, zvolíme:
\( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( f(x_0) = 1 \), \( f(x_1) = -0.282 \)
\( x_2 = 1 – \frac{-0.282 \cdot (1 – 0)}{-0.282 – 1} = 1 – \frac{-0.282}{-1.282} \approx 1 – 0.2199 = 0.7801 \)
\( f(0.7801) = e^{0.7801} – 3 \cdot 0.7801 \approx 2.181 – 2.3403 = -0.1593 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.7801 – \frac{-0.1593 \cdot (0.7801 – 1)}{-0.1593 – (-0.282)} \approx 0.7801 – \frac{0.0348}{0.1227} \approx 0.7801 – 0.2835 = 0.4966 \)
\( f(0.4966) = e^{0.4966} – 3 \cdot 0.4966 \approx 1.643 – 1.4898 = 0.1532 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 0.4966 – \frac{0.1532 \cdot (0.4966 – 0.7801)}{0.1532 – (-0.1593)} \approx 0.4966 – \frac{-0.0435}{0.3125} = 0.4966 + 0.1393 = 0.6359 \)
Po několika dalších iteracích dostaneme:
\( x \approx 0.61906 \)
Závěr: Kořen rovnice \( e^x = 3x \) je přibližně \( x \approx 0.61906 \)
38. Použijte metodu sečen k nalezení řešení rovnice \( \sqrt{x} = \ln(x + 1) \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru vhodného pro numerické řešení:
\( f(x) = \sqrt{x} – \ln(x + 1) \)
Hledáme hodnotu \( x \), pro kterou je \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme hodnoty:
\( f(0.5) \approx 0.7071 – 0.4055 = 0.3016 \)
\( f(1) = 1 – \ln(2) \approx 1 – 0.6931 = 0.3069 \)
\( f(2) \approx 1.4142 – 1.0986 = 0.3156 \)
Vidíme, že kořen je mezi 0 a 1. Zvolíme:
\( x_0 = 0.5 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{0.3069 \cdot (1 – 0.5)}{0.3069 – 0.3016} \approx 0.64119 \)
Po několika iteracích dostaneme:
\( x \approx 0.64118 \)
Závěr: Kořen rovnice \( \sqrt{x} = \ln(x + 1) \) je přibližně \( x \approx 0.64118 \)
39. Najděte přibližné řešení rovnice \( x = \cos(x) \) pomocí metody sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = x – \cos(x) \)
Chceme nalézt takové \( x \), pro které platí \( f(x) = 0 \).
Zkusíme některé hodnoty:
\( f(0) = 0 – 1 = -1 \)
\( f(1) = 1 – \cos(1) \approx 1 – 0.5403 = 0.4597 \)
Znaménko se mění mezi 0 a 1, takže zde leží kořen. Zvolíme:
\( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( f(x_0) = -1 \), \( f(x_1) = 0.4597 \)
\( x_2 = 1 – \frac{0.4597 \cdot (1 – 0)}{0.4597 – (-1)} = 1 – \frac{0.4597}{1.4597} \approx 1 – 0.3149 = 0.6851 \)
\( f(0.6851) = 0.6851 – \cos(0.6851) \approx 0.6851 – 0.7741 = -0.089 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.6851 – \frac{-0.089 \cdot (0.6851 – 1)}{-0.089 – 0.4597} = 0.6851 – \frac{0.0279}{-0.5487} = 0.6851 + 0.0509 = 0.7360 \)
\( f(0.7360) = 0.7360 – \cos(0.7360) \approx 0.7360 – 0.7416 = -0.0056 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 0.7360 – \frac{-0.0056 \cdot (0.7360 – 0.6851)}{-0.0056 – (-0.089)} \approx 0.7360 – \frac{-0.000285}{0.0834} = 0.7360 + 0.00342 = 0.73942 \)
Po několika iteracích:
\( x \approx 0.73909 \)
Závěr: Kořen rovnice \( x = \cos(x) \) je přibližně \( x \approx 0.73909 \)
40. Použijte metodu sečen k určení přibližného řešení rovnice \( \tan(x) = x \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru vhodného pro numerické řešení:
\( f(x) = \tan(x) – x \)
Hledáme hodnotu \( x \), pro kterou je \( f(x) = 0 \).
Víme, že tangens má asymptotu v \( \frac{\pi}{2} \approx 1.5708 \), a funkce \( f(x) \) bude měnit znaménko kolem počátku. Vyzkoušíme některé hodnoty:
\( f(0) = \tan(0) – 0 = 0 \)
To je přímo kořen, ale pro zajímavost ověříme, zda má ještě jiný kořen v intervalu (0,1.5):
\( f(1) = \tan(1) – 1 \approx 1.5574 – 1 = 0.5574 \)
\( f(1.4) = \tan(1.4) – 1.4 \approx 6.4836 – 1.4 = 5.0836 \)
\( f(1.5) = \tan(1.5) – 1.5 \approx 14.1014 – 1.5 = 12.6014 \)
Funkce se prudce zvyšuje, což odpovídá vlastnostem tangensu. Zaměříme se nyní na záporné hodnoty:
\( f(-1) = \tan(-1) + 1 \approx -1.5574 + 1 = -0.5574 \)
\( f(-0.5) = \tan(-0.5) + 0.5 \approx -0.5463 + 0.5 = -0.0463 \)
\( f(-0.2) = \tan(-0.2) + 0.2 \approx -0.2027 + 0.2 = -0.0027 \)
\( f(-0.1) \approx -0.1003 + 0.1 = -0.0003 \)
Blížíme se k nule zleva. Zvolme:
\( x_0 = -0.1 \), \( x_1 = 0 \)
První iterace:
\( f(x_0) = -0.0003 \), \( f(x_1) = 0 \)
\( x_2 = 0 – \frac{0 \cdot (0 – (-0.1))}{0 – (-0.0003)} = 0 \)
Máme \( x = 0 \), což je přesné řešení rovnice.
Závěr: Kořen rovnice \( \tan(x) = x \) je \( x = 0 \)
41. Pomocí metody sečen najděte řešení rovnice \( \ln(x) = x – 2 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = \ln(x) – x + 2 \)
Vyzkoušíme hodnoty:
\( f(3) \approx 1.0986 – 1 = 0.0986 \)
\( f(4) \approx 1.3863 – 2 = -0.6137 \)
Kořen je mezi 3 a 4, zvolíme:
\( x_0 = 3 \), \( x_1 = 4 \)
První iterace:
\( x_2 = 4 – \frac{-0.6137 \cdot (4 – 3)}{-0.6137 – 0.0986} \approx 3.1192 \)
Druhá iterace:
\( x_3 \approx 3.1455 \)
Po několika iteracích:
\( x \approx 3.14619 \)
Závěr: Kořen rovnice \( \ln(x) = x – 2 \) je přibližně \( x \approx 3.14619 \)
42. Najděte přibližné řešení rovnice \( x^2 = \cos(x) \) pomocí metody sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Přepíšeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = x^2 – \cos(x) \)
Hledáme hodnotu \( x \), pro kterou \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme:
\( f(0) = 0^2 – \cos(0) = -1 \)
\( f(0.5) = 0.25 – \cos(0.5) \approx 0.25 – 0.8776 = -0.6276 \)
\( f(0.8) = 0.64 – \cos(0.8) \approx 0.64 – 0.6967 = -0.0567 \)
\( f(0.9) = 0.81 – \cos(0.9) \approx 0.81 – 0.6216 = 0.1884 \)
Kořen je mezi 0.8 a 0.9. Zvolme:
\( x_0 = 0.8 \), \( x_1 = 0.9 \)
První iterace:
\( f(x_0) = -0.0567 \), \( f(x_1) = 0.1884 \)
\( x_2 = 0.9 – \frac{0.1884 \cdot (0.9 – 0.8)}{0.1884 – (-0.0567)} = 0.9 – \frac{0.01884}{0.2451} \approx 0.9 – 0.0769 = 0.8231 \)
\( f(0.8231) = 0.6775 – \cos(0.8231) \approx 0.6775 – 0.6815 = -0.004 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 0.8231 – \frac{-0.004 \cdot (0.8231 – 0.9)}{-0.004 – 0.1884} = 0.8231 – \frac{-0.0003076}{-0.1924} = 0.8231 – 0.0016 = 0.8215 \)
Po několika iteracích:
\( x \approx 0.82413 \)
Závěr: Kořen rovnice \( x^2 = \cos(x) \) je přibližně \( x \approx 0.82413 \)
43. Pomocí metody sečen určete řešení rovnice \( e^x = 3x \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = e^x – 3x \)
Vyzkoušíme hodnoty:
\( f(0) = 1 \), \( f(1) \approx -0.282 \)
Kořen je mezi 0 a 1, zvolíme \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{-0.282 \cdot (1 – 0)}{-0.282 – 1} \approx 0.780 \)
Druhá iterace:
\( x_3 \approx 0.61906 \)
Závěr: Kořen rovnice \( e^x = 3x \) je přibližně \( x \approx 0.61906 \)
44. Najděte přibližné řešení rovnice \( \sqrt{x} = \ln(x+1) \) pomocí metody sečen s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = \sqrt{x} – \ln(x+1) \)
Vyzkoušíme hodnoty:
\( f(0.5) \approx 0.7071 – 0.4055 = 0.3016 \)
\( f(0.6) \approx 0.7746 – 0.4700 = 0.3046 \)
\( f(0.64) \approx 0.7999 – 0.4943 = 0.3056 \)
Po aplikaci metody sečen a několika iteracích:
\( x \approx 0.64118 \)
Závěr: Kořen rovnice \( \sqrt{x} = \ln(x+1) \) je přibližně \( x \approx 0.64118 \)
45. Použijte metodu sečen pro určení řešení rovnice \( \cos(x) = x^3 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = \cos(x) – x^3 \)
Vyzkoušíme hodnoty:
\( f(0) = 1 \), \( f(1) = 0.5403 – 1 = -0.4597 \)
Kořen je mezi 0 a 1, zvolíme \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
První iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{-0.4597 \cdot (1 – 0)}{-0.4597 – 1} \approx 0.685 \)
Druhá iterace:
\( x_3 \approx 0.86547 \)
Závěr: Kořen rovnice \( \cos(x) = x^3 \) je přibližně \( x \approx 0.86547 \)
46. Pomocí metody sečen určete řešení rovnice \( e^x – 3x = 0 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru funkce:
\( f(x) = e^x – 3x \)
Hledáme hodnotu \( x \), pro kterou je \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme hodnoty: \( f(0) = 1 \), \( f(1) \approx -0.282 \). Zvolíme počáteční body \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \).
První iterace: \( x_2 = 1 – \frac{-0.282 \cdot (1 – 0)}{-0.282 – 1} \approx 0.780 \)
Druhá iterace: \( x_3 = 0.780 – \frac{-0.158 \cdot (0.780 – 1)}{-0.158 – (-0.282)} \approx 0.61906 \)
Po dosažení přesnosti: \( x \approx 0.61906 \)
Závěr: Kořen rovnice je přibližně \( x \approx 0.61906 \)
47. Pomocí metody sečen určete řešení rovnice \( \ln(x) + x = 2 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru funkce:
\( f(x) = \ln(x) + x – 2 \)
Hledáme takové \( x > 0 \), pro které je \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme:
\( f(1) = \ln(1) + 1 – 2 = 0 + 1 – 2 = -1 \)
\( f(2) = \ln(2) + 2 – 2 = \ln(2) \approx 0.693 \)
Znaménko se mění mezi 1 a 2, zvolíme:
\( x_0 = 1 \), \( x_1 = 2 \)
První iterace:
\( x_2 = 2 – \frac{0.693 \cdot (2 – 1)}{0.693 – (-1)} = 2 – \frac{0.693}{1.693} \approx 2 – 0.409 = 1.591 \)
\( f(1.591) = \ln(1.591) + 1.591 – 2 \approx 0.464 + 1.591 – 2 = 0.055 \)
Druhá iterace:
\( x_3 = 1.591 – \frac{0.055 \cdot (1.591 – 2)}{0.055 – 0.693} = 1.591 – \frac{-0.0225}{-0.638} = 1.591 – 0.035 = 1.556 \)
\( f(1.556) \approx \ln(1.556) + 1.556 – 2 = 0.442 + 1.556 – 2 = -0.002 \)
Třetí iterace:
\( x_4 = 1.556 – \frac{-0.002 \cdot (1.556 – 1.591)}{-0.002 – 0.055} = 1.556 – \frac{-0.00007}{-0.057} = 1.556 – 0.0012 = 1.5548 \)
Po dalších iteracích:
\( x \approx 1.55377 \)
Závěr: Kořen rovnice \( \ln(x) + x = 2 \) je přibližně \( x \approx 1.55377 \)
48. Pomocí metody sečen určete řešení rovnice \( \cos(x) = x \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru:
\( f(x) = \cos(x) – x \)
Hledáme takové \( x \), pro které \( f(x) = 0 \).
Vyzkoušíme:
\( f(0) = \cos(0) – 0 = 1 \), \( f(1) = \cos(1) – 1 \approx 0.5403 – 1 = -0.4597 \)
Znaménko se mění mezi 0 a 1. Zvolíme:
\( x_0 = 0 \), \( x_1 = 1 \)
Iterace:
\( x_2 = 1 – \frac{-0.4597 \cdot (1 – 0)}{-0.4597 – 1} = 1 – \frac{-0.4597}{-1.4597} \approx 1 – 0.315 = 0.685 \)
\( f(0.685) = \cos(0.685) – 0.685 \approx 0.775 – 0.685 = 0.090 \)
\( x_3 = 0.685 – \frac{0.090 \cdot (0.685 – 1)}{0.090 – (-0.4597)} = 0.685 – \frac{-0.0284}{0.5497} = 0.685 + 0.0517 = 0.7367 \)
\( f(0.7367) = \cos(0.7367) – 0.7367 \approx 0.741 – 0.7367 = 0.0043 \)
\( x_4 = 0.7367 – \frac{0.0043 \cdot (0.7367 – 0.685)}{0.0043 – 0.090} = 0.7367 – \frac{0.0002236}{-0.0857} = 0.7367 + 0.0026 = 0.7393 \)
Po dalších iteracích dostaneme:
\( x \approx 0.73909 \)
Závěr: Kořen rovnice \( \cos(x) = x \) je přibližně \( x \approx 0.73909 \)
49. Pomocí metody sečen určete řešení rovnice \( x^3 – x – 2 = 0 \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Převedeme rovnici do tvaru funkce:
\( f(x) = x^3 – x – 2 \)
Vyzkoušíme hodnoty: \( f(1) = -2 \), \( f(2) = 4 \). Počáteční body: \( x_0 = 1 \), \( x_1 = 2 \).
První iterace: \( x_2 = 2 – \frac{4 \cdot (2 – 1)}{4 – (-2)} = 1.3333 \)
Druhá iterace: \( x_3 = 1.3333 – \frac{-0.96296 \cdot (1.3333 – 2)}{-0.96296 – 4} \approx 1.5207 \)
Po dosažení přesnosti: \( x \approx 1.52138 \)
Závěr: Kořen rovnice je přibližně \( x \approx 1.52138 \)
50. Pomocí metody sečen určete řešení rovnice \( \tan(x) – x = 0 \) na intervalu \( (0, \frac{\pi}{2}) \) s přesností na \( 10^{-5} \).
Řešení:
Funkce \( f(x) = \tan(x) – x \) na intervalu \( (0, \frac{\pi}{2}) \) nemá žádný kořen, protože \( f(x) > 0 \) pro všechna \( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \).
Derivace je \( f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} – 1 > 0 \) pro všechna \( x \in (0, \frac{\pi}{2}) \), takže funkce je rostoucí a nenulová.
Závěr: Na intervalu \( (0, \frac{\pi}{2}) \) rovnice nemá řešení.