Normálne (Gaussovo) rozdelenie

Řešení příkladu:

Máme normální rozdělení \( X \sim N(\mu=50, \sigma=5) \). Chceme spočítat pravděpodobnost \( P(X < 45) \).

Nejdříve standardizujeme náhodnou veličinu \( X \) na standardní normální veličinu \( Z \) pomocí vzorce:

\( Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \)

Dosadíme hodnoty:

\( Z = \frac{45 – 50}{5} = \frac{-5}{5} = -1 \)

Pravděpodobnost \( P(X < 45) \) je tedy stejná jako \( P(Z < -1) \).

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení nebo kalkulačky zjistíme:

\( P(Z < -1) = 0{,}1587 \)

Tedy pravděpodobnost, že \( X \) nabude hodnoty menší než \(45\), je přibližně \(15,87 %\).

Řešení příkladu:

Máme \( Y \sim N(\mu=100, \sigma=16) \). Chceme spočítat \( P(90 < Y < 110) \).

Nejprve standardizujeme hranice intervalu:

\( Z_1 = \frac{90 – 100}{16} = \frac{-10}{16} = -0{,}625 \)

\( Z_2 = \frac{110 – 100}{16} = \frac{10}{16} = 0{,}625 \)

Pravděpodobnost je tedy

\( P(90 < Y < 110) = P(-0{,}625 < Z < 0{,}625) = P(Z < 0{,}625) - P(Z < -0{,}625) \)

Z tabulek nebo kalkulačky získáme:

\( P(Z < 0{,}625) \approx 0{,}7340 \)

\( P(Z < -0{,}625) = 1 - P(Z < 0{,}625) = 1 - 0{,}7340 = 0{,}2660 \)

Tedy

\( P(90 < Y < 110) = 0{,}7340 - 0{,}2660 = 0{,}4680 \)

Pravděpodobnost, že \( Y \) leží v intervalu \( (90, 110) \), je tedy přibližně \(46,8 %\).

Řešení příkladu:

Hledáme hodnotu \( z_{\alpha} \), pro kterou platí

\( P(Z > z_{\alpha}) = 0{,}05 \Rightarrow P(Z \leq z_{\alpha}) = 1 – 0{,}05 = 0{,}95 \).

Z tabulek standardního normálního rozdělení nebo kalkulačky vyčteme kvantil 0,95:

\( z_{0{,}05} \approx 1{,}645 \)

Tedy hodnota, pro kterou pravděpodobnost, že \( Z \) bude větší než tato hodnota, je \(5 %\), je přibližně \(1,645\).

Řešení příkladu:

Podmínka říká, že chceme najít \( a \), kde

\( P(W > a) = 0{,}1 \Rightarrow P(W \leq a) = 0{,}9 \).

Standardizujeme proměnnou \( W \):

\( Z = \frac{a – \mu}{\sigma} = \frac{a – 200}{25} \)

Chceme tedy najít \( z \), pro který \( P(Z \leq z) = 0{,}9 \). Z tabulek je

\( z_{0{,}9} \approx 1{,}2816 \)

Dosadíme zpět:

\( \frac{a – 200}{25} = 1{,}2816 \Rightarrow a – 200 = 25 \cdot 1{,}2816 = 32{,}04 \Rightarrow a = 232{,}04 \)

Hodnota \( a \) je tedy přibližně \(232,04\).

Řešení příkladu:

Chceme najít interval kolem střední hodnoty \( \mu = 10 \), tedy \( (\mu – d, \mu + d) \), kde \( d \) je maximální chyba měření s pravděpodobností \(0,95\).

Formálně hledáme \( d \), aby platilo:

\( P(\mu – d < X < \mu + d) = 0{,}95 \)

Převedeme na standardní normální rozdělení:

\( P\left( \frac{\mu – d – \mu}{\sigma} < Z < \frac{\mu + d - \mu}{\sigma} \right) = P\left( -\frac{d}{\sigma} < Z < \frac{d}{\sigma} \right) = 0{,}95 \)

To znamená, že pravděpodobnost, že \( Z \) bude ležet mezi \(-z_{\alpha/2}\) a \( z_{\alpha/2} \), je 0,95. Z tabulek víme, že

\( z_{0{,}025} \approx 1{,}96 \)

Tedy

\( \frac{d}{\sigma} = 1{,}96 \Rightarrow d = 1{,}96 \cdot \sigma = 1{,}96 \cdot 0{,}5 = 0{,}98 \)

Protože požadujeme chybu \( d = 0{,}2 \) s pravděpodobností \(0,95\), toto nelze splnit s danou směrodatnou odchylkou \(0,5\) (výpočet ukazuje větší chybu). Aby byla chyba menší než \(0,2\), musela by být směrodatná odchylka menší.

Alternativně pokud chceme interval chyby \(0,2\), zjistíme pravděpodobnost:

\( z = \frac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4 \)

\( P(-0{,}4 < Z < 0{,}4) = \Phi(0{,}4) - \Phi(-0{,}4) = 2\Phi(0{,}4) - 1 \)

Z tabulek

\( \Phi(0{,}4) \approx 0{,}6554 \)

Tedy pravděpodobnost je \( 2 \times 0{,}6554 – 1 = 0{,}3108 \), což je pouze \(31,08 %\).

Závěr: interval spolehlivosti pro chybu \(0,2\) při \(95 %\) pravděpodobnosti není s danou směrodatnou odchylkou možný.

Řešení příkladu:

Pravděpodobnost \( P(X > 24 \text{ nebo } X < 16) = P(X > 24) + P(X < 16) \), protože tyto události jsou disjunktní.

Standardizujeme hranice:

\( Z_1 = \frac{24 – 20}{4} = 1 \)

\( Z_2 = \frac{16 – 20}{4} = -1 \)

Podle tabulek:

\( P(Z > 1) = 1 – \Phi(1) = 1 – 0{,}8413 = 0{,}1587 \)

\( P(Z < -1) = \Phi(-1) = 0{,}1587 \)

Celková pravděpodobnost:

\( 0{,}1587 + 0{,}1587 = 0{,}3174 \)

Tedy pravděpodobnost, že \( X \) bude mimo interval \( (16, 24) \), je \(31,74 %\).

Řešení příkladu:

Hledáme \( a \), kde \( P(X < a) = 0{,}99 \).

Pro standardní normální rozdělení je kvantil pro \(0,99\) přibližně

\( a = z_{0{,}01} = 2{,}326 \)

Tedy \(99 %\) měření bude menší než přibližně \(2,326\).

Řešení příkladu:

Standardizujeme:

\( Z_1 = \frac{470 – 500}{30} = -1 \)

\( Z_2 = \frac{530 – 500}{30} = 1 \)

Pravděpodobnost, že \( Z \) bude mezi \(-1\) a \(1\), je podle tabulek

\( P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = 0{,}8413 - 0{,}1587 = 0{,}6826 \)

Tedy pravděpodobnost, že \( X \) bude v intervalu \((470, 530)\), je \(68,26 %\).

Řešení příkladu:

Podmínka říká, že chceme najít symetrický interval kolem nuly obsahující \(80 %\) pravděpodobnosti.

Tedy

\( P(-a < X < a) = 0{,}8 \Rightarrow P(X < a) - P(X < -a) = 0{,}8 \)

Protože rozdělení je symetrické, platí

\( P(X < -a) = 1 - P(X < a) \)

Z toho vyplývá

\( P(X < a) - (1 - P(X < a)) = 0{,}8 \Rightarrow 2 P(X < a) - 1 = 0{,}8 \Rightarrow P(X < a) = 0{,}9 \)

Hodnota \( a \) je tedy kvantil \(0,9\) standardního normálního rozdělení, což je přibližně

\( a = 1{,}2816 \)

Řešení příkladu:

Nejprve si stanovíme parametry normálního rozdělení: průměr \( \mu = 180 \) cm a rozptyl \( \sigma^2 = 25 \) cm². Směrodatná odchylka je tedy \( \sigma = \sqrt{25} = 5 \) cm.

Potřebujeme spočítat pravděpodobnost, že náhodná výška \( X \) spadá do intervalu \( 175 \leq X \leq 185 \). To zapíšeme jako:

\( P(175 \leq X \leq 185) = P\left(\frac{175 – \mu}{\sigma} \leq Z \leq \frac{185 – \mu}{\sigma}\right) \), kde \( Z \) je standardizovaná náhodná veličina s normálním rozdělením \( N(0,1) \).

Vypočítáme standardizované hodnoty:

\( z_1 = \frac{175 – 180}{5} = \frac{-5}{5} = -1 \)

\( z_2 = \frac{185 – 180}{5} = \frac{5}{5} = 1 \)

Pravděpodobnost tedy je:

\( P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) – \Phi(-1) \), kde \( \Phi \) je distribuční funkce standardního normálního rozdělení.

Využijeme symetrii standardního normálního rozdělení: \( \Phi(-1) = 1 – \Phi(1) \), takže

\( P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) – (1 – \Phi(1)) = 2\Phi(1) – 1 \).

Hodnota \( \Phi(1) \approx 0{,}8413 \), tedy

\( P = 2 \times 0{,}8413 – 1 = 0{,}6826 \).

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný muž bude mít výšku mezi \(175\) cm a \(185\) cm, je přibližně \(68,26 %\).

Řešení příkladu:

Parametry rozdělení jsou \( \mu = 110 \), \( \sigma = 15 \).

Chceme spočítat \( P(X > 140) \).

Standardizujeme hodnotu \( 140 \):

\( z = \frac{140 – 110}{15} = \frac{30}{15} = 2 \).

Pravděpodobnost \( P(X > 140) = P(Z > 2) = 1 – \Phi(2) \).

Hodnota \( \Phi(2) \approx 0{,}9772 \), takže

\( P = 1 – 0{,}9772 = 0{,}0228 \).

Pravděpodobnost, že pacient má hladinu cukru nad \( 140 \) mg/dl, je tedy přibližně \( 2{,}28 \% \).

Řešení příkladu:

Parametry: \( \mu = 1000 \), \( \sigma = 80 \).

Požadujeme \( P(920 \leq X \leq 1100) \).

Standardizujeme hranice:

\( z_1 = \frac{920 – 1000}{80} = -1 \), \( z_2 = \frac{1100 – 1000}{80} = 1{,}25 \).

Pravděpodobnost:

\( P = \Phi(1{,}25) – \Phi(-1) = \Phi(1{,}25) – (1 – \Phi(1)) = \Phi(1{,}25) + \Phi(1) – 1 \).

Tabulkové hodnoty: \( \Phi(1) \approx 0{,}8413 \), \( \Phi(1{,}25) \approx 0{,}8944 \).

Dosadíme:

\( P = 0{,}8944 + 0{,}8413 – 1 = 0{,}7357 \).

Pravděpodobnost, že žárovka vydrží mezi \( 920 \) a \( 1100 \) hodinami, je přibližně \( 73{,}57 \% \).

Řešení příkladu:

Chceme najít hodnotu \( x \), pro kterou platí \( P(X > x) = 0{,}05 \), kde \( X \sim N(100, 15^2) \).

Standardizujeme: \( P(Z > z) = 0{,}05 \Rightarrow z = z_{0{,}95} \), kde \( z_{0{,}95} \) je \( 95 \)-tý percentil standardního normálního rozdělení.

Z tabulek víme, že \( z_{0{,}95} \approx 1{,}645 \).

Proto

\( z = \frac{x – 100}{15} = 1{,}645 \Rightarrow x = 100 + 1{,}645 \times 15 = 124{,}675 \).

IQ, které odděluje nejvyšších \( 5 \% \) populace, je přibližně \( 124{,}68 \).

Řešení příkladu:

Parametry: \( \mu = 50 \), \( \sigma = 5 \).

Chceme spočítat \( P(X > 60 \text{ nebo } X < 45) = P(X > 60) + P(X < 45) \), protože tyto události jsou disjunktní.

Standardizujeme hodnoty:

\( z_1 = \frac{60 – 50}{5} = 2 \), \( z_2 = \frac{45 – 50}{5} = -1 \).

Pravděpodobnosti:

\( P(X > 60) = P(Z > 2) = 1 – \Phi(2) \approx 1 – 0{,}9772 = 0{,}0228 \).

\( P(X < 45) = P(Z < -1) = \Phi(-1) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587 \).

Celková pravděpodobnost:

\( P = 0{,}0228 + 0{,}1587 = 0{,}1815 \).

Pravděpodobnost, že rostlina bude vyšší než \( 60 \) cm nebo nižší než \( 45 \) cm, je přibližně \( 18{,}15 \% \).

Řešení příkladu:

Pro normální rozdělení je medián roven průměru, protože je symetrické.

Tedy medián \( M = \mu = 20 \).

Pravděpodobnost \( P(X < M) \) je přesně \( 0{,}5 \), protože medián dělí rozdělení na dvě stejně pravděpodobné části.

Tedy \( P(X < 20) = 0{,}5 \).

Řešení příkladu:

Parametry: \( \mu = 37 \), \( \sigma = 2 \).

Chceme spočítat \( P(36{,}5 \leq X \leq 37{,}5) \).

Standardizujeme hodnoty:

\( z_1 = \frac{36{,}5 – 37}{2} = -0{,}25 \), \( z_2 = \frac{37{,}5 – 37}{2} = 0{,}25 \).

Pravděpodobnost je:

\( P = \Phi(0{,}25) – \Phi(-0{,}25) = \Phi(0{,}25) – (1 – \Phi(0{,}25)) = 2 \Phi(0{,}25) – 1 \).

Z tabulek \( \Phi(0{,}25) \approx 0{,}5987 \), tedy

\( P = 2 \times 0{,}5987 – 1 = 0{,}1974 \).

Pravděpodobnost, že měření bude v požadovaném intervalu, je přibližně \(19{,}74 \%\).

Řešení příkladu:

Hledáme hodnotu \( x \), pro kterou platí \( P(X \leq x) = 0{,}10 \).

Standardizujeme: \( P(Z \leq z) = 0{,}10 \Rightarrow z = z_{0{,}10} \).

Z tabulek je \( z_{0{,}10} \approx -1{,}2816 \).

Dosadíme do vztahu:

\( z = \frac{x – 170}{10} = -1{,}2816 \Rightarrow x = 170 + (-1{,}2816) \times 10 = 170 – 12{,}816 = 157{,}184 \) cm.

Výška odpovídající \(10.\) percentilu je přibližně \(157{,}18\) cm.

Řešení příkladu:

Průměr vzorku \( \overline{X} \) má rozdělení \( N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \), kde \( n = 30 \), \( \sigma = 20 \).

Směrodatná odchylka průměru je tedy \( \sigma_{\overline{X}} = \frac{20}{\sqrt{30}} \approx 3{,}651 \) g.

Požadujeme \( P(495 \leq \overline{X} \leq 505) \).

Standardizujeme hranice:

\( z_1 = \frac{495 – 500}{3{,}651} \approx -1{,}369 \), \( z_2 = \frac{505 – 500}{3{,}651} \approx 1{,}369 \).

Pravděpodobnost je:

\( P = \Phi(1{,}369) – \Phi(-1{,}369) = \Phi(1{,}369) – (1 – \Phi(1{,}369)) = 2 \Phi(1{,}369) – 1 \).

Z tabulek \( \Phi(1{,}37) \approx 0{,}9147 \), tedy

\( P = 2 \times 0{,}9147 – 1 = 0{,}8294 \).

Pravděpodobnost, že průměrná hmotnost vzorku bude mezi \(495\) g a \(505\) g, je přibližně \(82{,}94 %\).

Máme náhodnú veličinu \( X \sim N(\mu = 50, \sigma = 5) \). Potrebujeme nájsť \( P(45 \leq X \leq 55) \).

Normalizujeme na štandardnú normálnu veličinu \( Z \):

\( Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \)

Pre dolnú hranicu: \( z_1 = \frac{45 – 50}{5} = -1 \)

Pre hornú hranicu: \( z_2 = \frac{55 – 50}{5} = 1 \)

Potom platí:

\( P(45 \leq X \leq 55) = P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) – \Phi(-1) \)

Kde \( \Phi(z) \) je distribuční funkce štandardného normálneho rozdelenia.

Využijeme symetriu: \( \Phi(-1) = 1 – \Phi(1) \)

Hodnota \( \Phi(1) \approx 0{,}8413 \)

Teda:

\( P(45 \leq X \leq 55) = 0{,}8413 – (1 – 0{,}8413) = 0{,}8413 – 0{,}1587 = 0{,}6826 \)

Výsledná pravdepodobnosť je približne \(0{,}6826\), teda asi \(68{,}26 %\).

Máme \( X \sim N(100, 20^2) \). Hľadáme \( P(X > 130) \).

Normalizujeme:

\( z = \frac{130 – 100}{20} = \frac{30}{20} = 1{,}5 \)

Potom:

\( P(X > 130) = P(Z > 1{,}5) = 1 – \Phi(1{,}5) \)

Hodnota \( \Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332 \)

Teda:

\( P(X > 130) = 1 – 0{,}9332 = 0{,}0668 \)

Pravdepodobnosť, že \( X > 130 \), je približne \(6{,}68 %\).

Máme \(X \sim N(0, 1)\), štandardné normálne rozdelenie. Potrebujeme \(P(-2 \leq X \leq 2)\).

Pre \(z_1 = -2\) a \(z_2 = 2\) platí:

\(P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) – \Phi(-2)\)

Symetria rozdelenia znamená \(\Phi(-2) = 1 – \Phi(2)\).

Hodnota \(\Phi(2) \approx 0.9772\).

Teda:

\(P(-2 \leq X \leq 2) = 0.9772 – (1 – 0.9772) = 0.9772 – 0.0228 = 0.9544\)

Výsledná pravdepodobnosť je približne \(95,44 %\).

Chceme nájsť kvantil \(x_0\), teda takú hodnotu, pre ktorú platí:

\(P(X \leq x_0) = 0.975\).

Normalizujeme na štandardné normálne rozdelenie \(Z\):

\(\Phi(z_0) = 0.975\), kde \(z_0 = \frac{x_0 – \mu}{\sigma}\).

Z tabuliek normálneho rozdelenia vieme, že \(\Phi(1.96) \approx 0.975\), teda \(z_0 = 1.96\).

Preto:

\(x_0 = \mu + z_0 \sigma = 200 + 1.96 \times 15 = 200 + 29.4 = 229.4\).

Hodnota \(x_0\) je približne \(229.4\).

Máme \(X \sim N(10, 2^2)\). Hľadáme \(P(X < 7)\).

Normalizujeme:

\(z = \frac{7 – 10}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5\).

Potom platí:

\(P(X < 7) = P(Z < -1.5) = \Phi(-1.5)\).

Využijeme symetriu: \(\Phi(-1.5) = 1 – \Phi(1.5)\).

Hodnota \(\Phi(1.5) \approx 0.9332\).

Teda:

\(P(X < 7) = 1 - 0.9332 = 0.0668\).

Pravdepodobnosť, že \(X < 7\), je približne \(6,68 %\).

Pre normálne rozdelenie platí, že približne 99 % hodnôt leží v intervale \(\mu \pm z \sigma\), kde \(z\) je kvantil normálneho rozdelenia.

Pre \(P = 0.99\) je \(z \approx 2.576\), pretože \(\Phi(2.576) \approx 0.995\), čo znamená, že interval pokrýva 99 % pravdepodobnosti.

Interval je:

\(\mu – 2.576 \sigma \leq X \leq \mu + 2.576 \sigma\)

\(120 – 2.576 \times 10 \leq X \leq 120 + 2.576 \times 10\)

\(120 – 25.76 \leq X \leq 120 + 25.76\)

\(94.24 \leq X \leq 145.76\)

Takže interval je približne od \(94.24\) do \(145.76\).

Potrebujeme vypočítať \(P(|X| > 2) = P(X < -2) + P(X > 2)\).

Pre \(X \sim N(0,1)\) platí symetria, takže:

\(P(|X| > 2) = 2 \times P(X > 2) = 2 \times (1 – \Phi(2))\).

Hodnota \(\Phi(2) \approx 0.9772\).

Teda:

\(P(|X| > 2) = 2 \times (1 – 0.9772) = 2 \times 0.0228 = 0.0456\).

Pravdepodobnosť je približne \(4,56 %\).

Pre normálne rozdelenie platí, že medián je rovný strednej hodnote \(\mu\), pretože rozdelenie je symetrické.

Teda medián je:

\(x_{0.5} = \mu = 75\).

Pravdepodobnosť, že \(X \leq 75\), je teda \(0.5\).

Hľadáme \(P(X > \mu + \sigma) = P(X > 30 + 4) = P(X > 34)\).

Normalizujeme:

\(z = \frac{34 – 30}{4} = 1\).

Potom:

\(P(X > 34) = P(Z > 1) = 1 – \Phi(1)\).

Hodnota \(\Phi(1) \approx 0.8413\).

Teda:

\(P(X > 34) = 1 – 0.8413 = 0.1587\).

Pravdepodobnosť je približne \(15,87 %\).

Potrebujeme \(P(2 \leq X \leq 8)\).

Normalizujeme:

\(z_1 = \frac{2 – 5}{3} = -1\)

\(z_2 = \frac{8 – 5}{3} = 1\)

Potom:

\(P(2 \leq X \leq 8) = \Phi(1) – \Phi(-1)\)

Symetria: \(\Phi(-1) = 1 – \Phi(1)\)

Hodnota \(\Phi(1) \approx 0.8413\)

Teda:

\(P(2 \leq X \leq 8) = 0.8413 – (1 – 0.8413) = 0.6826\)

Pravdepodobnosť je približne \(68,26 %\).

Hledáme pravděpodobnost \(P(X < 12)\).

Nejprve převedeme hodnotu \(12\) na standardní normální proměnnou \(Z\), která má střední hodnotu \(0\) a směrodatnou odchylku \(1\). Normalizujeme:

\(z = \frac{12 – \mu}{\sigma} = \frac{12 – 10}{2} = 1\)

Pravděpodobnost, že náhodná veličina \(X\) je menší než \(12\), je tedy rovna pravděpodobnosti, že \(Z < 1\), tj. \(P(X < 12) = P(Z < 1) = \Phi(1)\).

Podle tabulek standardního normálního rozdělení nebo pomocí kalkulačky najdeme hodnotu \(\Phi(1) \approx 0.8413\).

Tedy pravděpodobnost, že \(X < 12\), je přibližně \(84.13\%\).

Hledáme pravděpodobnost \(P(10 \leq X \leq 20)\).

Normalizujeme dolní hranici:

\(z_1 = \frac{10 – 15}{4} = \frac{-5}{4} = -1.25\)

Normalizujeme horní hranici:

\(z_2 = \frac{20 – 15}{4} = \frac{5}{4} = 1.25\)

Pravděpodobnost, že \(X\) leží v intervalu, je rozdíl hodnot distribuční funkce standardního normálního rozdělení:

\(P(10 \leq X \leq 20) = \Phi(1.25) – \Phi(-1.25)\)

Protože \(\Phi(-z) = 1 – \Phi(z)\), platí:

\(\Phi(-1.25) = 1 – \Phi(1.25)\)

Z tabulek najdeme \(\Phi(1.25) \approx 0.8944\).

Tedy:

\(P(10 \leq X \leq 20) = 0.8944 – (1 – 0.8944) = 0.8944 – 0.1056 = 0.7888\)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude mezi \(10\) a \(20\), je přibližně \(78.88\%\).

Hledáme pravděpodobnost \(P(X > 120)\).

Normalizujeme hodnotu \(120\):

\(z = \frac{120 – 100}{15} = \frac{20}{15} = 1.3333\)

Pravděpodobnost \(P(X > 120) = P(Z > 1.3333) = 1 – \Phi(1.3333)\).

Z tabulek nebo kalkulačky zjistíme \(\Phi(1.3333) \approx 0.9082\).

Tedy:

\(P(X > 120) = 1 – 0.9082 = 0.0918\)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude větší než \(120\), je přibližně \(9.18\%\).

Hledáme pravděpodobnost \(P(45 \leq X \leq 55)\).

Normalizujeme dolní hranici:

\(z_1 = \frac{45 – 50}{5} = -1\)

Normalizujeme horní hranici:

\(z_2 = \frac{55 – 50}{5} = 1\)

Pravděpodobnost je rozdíl hodnot distribuční funkce standardního normálního rozdělení:

\(P(45 \leq X \leq 55) = \Phi(1) – \Phi(-1)\)

Využijeme symetrii: \(\Phi(-1) = 1 – \Phi(1)\)

Z tabulek je \(\Phi(1) \approx 0.8413\)

Tedy:

\(P(45 \leq X \leq 55) = 0.8413 – (1 – 0.8413) = 0.6826\)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude v tomto intervalu, je přibližně \(68.26\%\).

Hledáme \(P(-2 \leq X \leq 2)\).

Protože \(X\) je standardně normální veličina, použijeme přímo tabulky.

Pravděpodobnost je \( \Phi(2) – \Phi(-2)\).

Symetrie dává \(\Phi(-2) = 1 – \Phi(2)\).

Z tabulek je \(\Phi(2) \approx 0.9772\).

Tedy:

\(P(-2 \leq X \leq 2) = 0.9772 – (1 – 0.9772) = 0.9544\)

Pravděpodobnost je přibližně \(95.44\%\).

Hledáme \(P(X > 25)\).

Normalizujeme:

\(z = \frac{25 – 20}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.6667\)

Pravděpodobnost je \(P(Z > 1.6667) = 1 – \Phi(1.6667)\).

Z tabulek je \(\Phi(1.6667) \approx 0.9525\).

Tedy:

\(P(X > 25) = 1 – 0.9525 = 0.0475\)

Pravděpodobnost, že \(X\) překročí \(25\), je přibližně \(4.75\%\).

Hledáme \(P(X < 24)\).

Normalizujeme:

\(z = \frac{24 – 30}{6} = \frac{-6}{6} = -1\)

Pravděpodobnost je \(P(Z < -1) = \Phi(-1)\).

Symetrie dává \(\Phi(-1) = 1 – \Phi(1)\), kde \(\Phi(1) \approx 0.8413\).

Tedy:

\(P(X < 24) = 1 - 0.8413 = 0.1587\)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude menší než \(24\), je přibližně \(15.87\%\).

Hledáme \(P(70 \leq X \leq 85)\).

Normalizujeme hranice:

\(z_1 = \frac{70 – 75}{8} = -0.625\)

\(z_2 = \frac{85 – 75}{8} = 1.25\)

Pravděpodobnost je \(P = \Phi(1.25) – \Phi(-0.625)\).

Symetrie dává \(\Phi(-0.625) = 1 – \Phi(0.625)\).

Z tabulek: \(\Phi(1.25) \approx 0.8944\), \(\Phi(0.625) \approx 0.7340\).

Tedy:

\(P = 0.8944 – (1 – 0.7340) = 0.8944 – 0.2660 = 0.6284\)

Pravděpodobnost, že \(X\) je mezi \(70\) a \(85\), je přibližně \(62.84\%\).

Hledáme \(P(X > 7)\).

Normalizujeme:

\(z = \frac{7 – 5}{1.5} = \frac{2}{1.5} = 1.3333\)

Pravděpodobnost je \(P(Z > 1.3333) = 1 – \Phi(1.3333)\).

Z tabulek nebo kalkulačky: \(\Phi(1.3333) \approx 0.9082\).

Tedy:

\(P(X > 7) = 1 – 0.9082 = 0.0918\)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude větší než \(7\), je přibližně \(9.18\) %.

Hledáme \(P(35 \leq X \leq 50)\).

Normalizujeme dolní hranici:

\(z_1 = \frac{35 – 40}{7} = -\frac{5}{7} \approx -0.7143\)

Normalizujeme horní hranici:

\(z_2 = \frac{50 – 40}{7} = \frac{10}{7} \approx 1.4286\)

Pravděpodobnost je:

\(P = \Phi(1.4286) – \Phi(-0.7143)\)

Symetrie: \(\Phi(-0.7143) = 1 – \Phi(0.7143)\).

Z tabulek: \(\Phi(1.4286) \approx 0.9232\), \(\Phi(0.7143) \approx 0.7629\).

Tedy:

\(P = 0.9232 – (1 – 0.7629) = 0.9232 – 0.2371 = 0.6861\)

Pravděpodobnost, že \(X\) je mezi \(35\) a \(50\), je přibližně \(68.61\) %.

Řešení příkladu:

Náhodná veličina \( X \sim N(178, 7^2) \).

Chceme spočítat pravděpodobnost \( P(X > 190) \).

Standardizujeme pomocí transformace na normální normované rozdělení:

\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{190 – 178}{7} = \frac{12}{7} \approx 1.714 \]

\[ P(X > 190) = P(Z > 1.714) \]

Z tabulek standardního normálního rozdělení:

\[ P(Z > 1.714) \approx 1 – P(Z < 1.714) = 1 - 0.9568 = 0.0432 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že muž bude vyšší než \(190\) cm, je přibližně \(4.32\) %.

Řešení příkladu:

Protože směrodatná odchylka je odhadována ze vzorku, použijeme Studentovo t-rozdělení.

Střední hodnota: \( \bar{x} = 36.7 \), směrodatná odchylka \( s = 0.5 \), velikost vzorku \( n = 25 \).

Kvantil pro t-rozdělení se stupni volnosti \( n-1 = 24 \) a hladinou \( 0.025 \) je přibližně \( t_{0.025; 24} = 2.064 \).

Interval: \[ \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 36.7 \pm 2.064 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{25}} = 36.7 \pm 2.064 \cdot 0.1 = 36.7 \pm 0.2064 \]

\[ \Rightarrow \langle 36.4936;\ 36.9064 \rangle \]

Odpověď: \(95\%\) interval spolehlivosti pro průměrnou teplotu je přibližně \( \langle 36.49;\ 36.91 \rangle \).

Řešení příkladu:

Lineární kombinace normálně rozdělených veličin je opět normálně rozdělená.

Spočítáme střední hodnotu:

\[ E(Z) = E(X + 2Y) = E(X) + 2E(Y) = 2 + 2 \cdot 3 = 8 \]

Rozptyl:

\[ \text{Var}(Z) = \text{Var}(X + 2Y) = \text{Var}(X) + 4 \cdot \text{Var}(Y) + 2 \cdot 2 \cdot \text{Cov}(X,Y) \]

\[ = 1 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 1 + 16 + 4 = 21 \]

\[ \Rightarrow Z \sim N(8,\ 21) \]

Odpověď: \( Z \) má normální rozdělení s parametry \( \mu = 8 \), \( \sigma^2 = 21 \).

Řešení příkladu:

Standardizujeme obě hranice:

\[ Z_1 = \frac{85 – 100}{15} = -1,\quad Z_2 = \frac{130 – 100}{15} = 2 \]

\[ P(85 < X < 130) = P(-1 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -1) \]

Z tabulek:

\[ P(Z < 2) \approx 0{,}9772,\quad P(Z < -1) \approx 0{,}1587 \]

\[ \Rightarrow 0{,}9772 – 0{,}1587 = 0{,}8185 \]

Odpověď: Přibližně \(81,85 %\) lidí má IQ mezi \(85\) a \(130\).

Řešení příkladu:

Chyba \( X \sim N(0,\ 0{,}02^2) \). Hledáme \( P(X < 0{,}03) \).

\[ Z = \frac{0{,}03 – 0}{0{,}02} = 1{,}5 \Rightarrow P(X < 0{,}03) = P(Z < 1{,}5) \approx 0{,}9332 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že chyba bude menší než \(0,03\) mm, je přibližně \(93,32 %\).

Řešení příkladu:

Spočítáme střední hodnotu:

\[ E(U) = E(3X – 2Y) = 3E(X) – 2E(Y) = 3 \cdot 5 – 2 \cdot 3 = 15 – 6 = 9 \]

Rozptyl:

\[ \text{Var}(U) = \text{Var}(3X – 2Y) = 3^2 \cdot \text{Var}(X) + 2^2 \cdot \text{Var}(Y) = 9 \cdot 4 + 4 \cdot 1 = 36 + 4 = 40 \]

\[ \Rightarrow U \sim N(9, 40) \]

Odpověď: \( U \sim N(9, 40) \)

Řešení příkladu:

Transformací exponenciální funkcí získáme lognormální rozdělení.

Jestliže \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), pak \( Y = e^X \sim \text{LogN}(\mu, \sigma^2) \).

\[ \Rightarrow Y \sim \text{LogN}(0,1) \]

Odpověď: Veličina \( Y \) má lognormální rozdělení s parametry \( \mu = 0 \), \( \sigma^2 = 1 \).

Řešení příkladu:

\[ Z = \frac{108 – 100}{5} = 1{,}6 \Rightarrow P(X > 108) = P(Z > 1{,}6) = 1 – P(Z < 1{,}6) \approx 1 - 0{,}9452 = 0{,}0548 \]

\[ 1000 \cdot 0{,}0548 = 54{,}8 \]

Odpověď: Přibližně \(55\) výrobků bude mít hmotnost větší než \(108\) g.

Řešení příkladu:

Rozdělení průměru: \[ \bar{X} \sim N\left(2{,}5,\ \frac{0{,}6^2}{100}\right) = N(2{,}5,\ 0{,}0036) \]

Standardizujeme:

\[ Z = \frac{2{,}4 – 2{,}5}{\sqrt{0{,}0036}} = \frac{-0{,}1}{0{,}06} = -1{,}666\ldots \Rightarrow P(Z < -1{,}666) \approx 0{,}0478 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že průměrná známka bude menší než \(2{,}4\), je přibližně \(4{,}78\)%.

Řešení příkladu:

Standardizujeme hodnotu:

\[ Z = \frac{61 – 52}{3} = 3 \]

Při běžné praxi je hodnota považována za odlehlou, pokud je \( |Z| > 3 \).

Protože \( Z = 3 \), leží přesně na hranici.

Odpověď: Hodnota \(61\) je na hranici odlehlosti, je to potenciálně odlehlá hodnota.

Úloha nás žádá o výpočet pravděpodobnosti, že náhodně vybraný šroub bude mít délku mezi \(49{,}2\) mm a \(50{,}6\) mm. Jelikož víme, že délka šroubů je normálně rozložena se střední hodnotou (průměrem) \(\mu = 50\) mm a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 0{,}5\) mm, využijeme vlastnosti normálního rozdělení.

Normální rozdělení je spojité rozdělení pravděpodobnosti tvaru zvonu. Pro výpočet pravděpodobnosti určitého intervalu musíme provést tzv. standardizaci – to znamená, že původní náhodnou veličinu \(X\) převedeme na standardní normální náhodnou veličinu \(Z\), která má střední hodnotu \(0\) a směrodatnou odchylku \(1\). Používáme k tomu následující vzorec:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro dolní mez intervalu (\(49{,}2\) mm):

\[ z_1 = \frac{49{,}2 – 50}{0{,}5} = \frac{-0{,}8}{0{,}5} = -1{,}6 \]

Pro horní mez intervalu (\(50{,}6\) mm):

\[ z_2 = \frac{50{,}6 – 50}{0{,}5} = \frac{0{,}6}{0{,}5} = 1{,}2 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná náhodná veličina \(Z\) bude ležet mezi \(-1{,}6\) a \(1{,}2\):

\[ P(49{,}2 \leq X \leq 50{,}6) = P(-1{,}6 \leq Z \leq 1{,}2) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení (nebo kalkulačky) zjistíme:

\[ \Phi(1{,}2) \approx 0{,}8849,\quad \Phi(-1{,}6) = 1 – \Phi(1{,}6) \approx 1 – 0{,}9452 = 0{,}0548 \]

Odečteme tyto hodnoty:

\[ P(-1{,}6 \leq Z \leq 1{,}2) = \Phi(1{,}2) – \Phi(-1{,}6) = 0{,}8849 – 0{,}0548 = 0{,}8301 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že šroub má délku mezi \(49{,}2\) mm a \(50{,}6\) mm, je přibližně \(83{,}01\) %.

Dodatek pro studenty: Všimněte si, že používáme vlastnosti symetrie normálního rozdělení – nemusíme hledat přímo hodnotu \(\Phi(-1{,}6)\), protože víme, že \(\Phi(-z) = 1 – \Phi(z)\). To výrazně zjednodušuje výpočty. Vždy, když řešíme úlohy s normálním rozdělením, standardizace je klíčový krok: převedeme libovolné hodnoty na tzv. z-skóre, které lze dohledat v tabulkách. Toto je jeden z hlavních důvodů, proč se standardní normální rozdělení tolik používá v aplikacích.

Úloha nás žádá o výpočet pravděpodobnosti, že náhodná veličina \(X\) bude menší než 10. Jelikož \(X\) má normální rozdělení se střední hodnotou \(\mu = 15\) a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 4\), použijeme standardizaci.

Pro výpočet standardizované hodnoty použijeme vzorec pro \(z\)-skóre:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro dolní mez intervalu (\(x = 10\)):

\[ z = \frac{10 – 15}{4} = \frac{-5}{4} = -1{,}25 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná veličina \(Z\) bude menší než \(-1{,}25\):

\[ P(X \leq 10) = P(Z \leq -1{,}25) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení zjistíme:

\[ \Phi(-1{,}25) \approx 0{,}1056 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že \(X\) bude menší než \(10\), je přibližně \(10{,}56 %\).

Úloha nás žádá o výpočet pravděpodobnosti, že délka života baterie bude delší než \(550\) hodin. Délka života baterií je normálně rozložena se střední hodnotou \(\mu = 500\) hodin a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 40\) hodin. Opět použijeme standardizaci.

Pro výpočet standardizované hodnoty použijeme vzorec pro \(z\)-skóre:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro horní mez intervalu (\(x = 550\)):

\[ z = \frac{550 – 500}{40} = \frac{50}{40} = 1{,}25 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná veličina \(Z\) bude větší než \(1{,}25\):

\[ P(X > 550) = P(Z > 1{,}25) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení zjistíme:

\[ \Phi(1{,}25) \approx 0{,}8944 \]

Pravděpodobnost, že \(Z\) bude větší než \(1{,}25\), je:

\[ P(Z > 1{,}25) = 1 – \Phi(1{,}25) = 1 – 0{,}8944 = 0{,}1056 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že baterie vydrží více než \(550\) hodin, je přibližně \(10{,}56 %\).

Úloha nás žádá o výpočet pravděpodobnosti, že náhodně vybraný člověk bude starší než \(45\) let. Věk v populaci má normální rozdělení se střední hodnotou \(\mu = 35\) let a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 8\) let. Použijeme opět standardizaci pro výpočet \(z\)-skóre.

Pro výpočet standardizované hodnoty použijeme vzorec pro \(z\)-skóre:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro horní mez intervalu (\(x = 45\)):

\[ z = \frac{45 – 35}{8} = \frac{10}{8} = 1{,}25 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná veličina \(Z\) bude větší než \(1{,}25\):

\[ P(X > 45) = P(Z > 1{,}25) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení zjistíme:

\[ \Phi(1{,}25) \approx 0{,}8944 \]

Pravděpodobnost, že \(Z\) bude větší než \(1{,}25\), je:

\[ P(Z > 1{,}25) = 1 – \Phi(1{,}25) = 1 – 0{,}8944 = 0{,}1056 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že náhodně vybraný člověk bude starší než \(45\) let, je přibližně \(10{,}56 %\).

Úloha nás žádá o výpočet pravděpodobnosti, že náhodně vybrané zboží bude mít výšku mezi \(175\) cm a \(185\) cm. Výška zboží má normální rozdělení s průměrem \(\mu = 180\) cm a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 5\) cm. Opět použijeme standardizaci pro výpočet \(z\)-skóre.

Pro výpočet standardizované hodnoty použijeme vzorec pro \(z\)-skóre:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro dolní mez intervalu (\(x = 175\)):

\[ z_1 = \frac{175 – 180}{5} = \frac{-5}{5} = -1 \]

Pro horní mez intervalu (\(x = 185\)):

\[ z_2 = \frac{185 – 180}{5} = \frac{5}{5} = 1 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná veličina \(Z\) bude ležet mezi \(-1\) a \(1\):

\[ P(175 \leq X \leq 185) = P(-1 \leq Z \leq 1) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení zjistíme:

\[ \Phi(1) \approx 0{,}8413,\quad \Phi(-1) = 1 – \Phi(1) \approx 1 – 0{,}8413 = 0{,}1587 \]

Odečteme tyto hodnoty:

\[ P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) – \Phi(-1) = 0{,}8413 – 0{,}1587 = 0{,}6826 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že výška zboží bude mezi \(175\) cm a \(185\) cm, je přibližně \(68{,}26 %\).

Úloha nás žádá o výpočet pravděpodobnosti, že auto ujede více než 450 km. Vzdálenost, kterou auto ujede, má normální rozdělení s průměrem \(\mu = 400\) km a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 50\) km. Opět použijeme standardizaci pro výpočet \(z\)-skóre.

Pro výpočet standardizované hodnoty použijeme vzorec pro \(z\)-skóre:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro horní mez intervalu (\(x = 450\)):

\[ z = \frac{450 – 400}{50} = \frac{50}{50} = 1 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná veličina \(Z\) bude větší než \(1\):

\[ P(X > 450) = P(Z > 1) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení zjistíme:

\[ \Phi(1) \approx 0{,}8413 \]

Pravděpodobnost, že \(Z\) bude větší než \(1\), je:

\[ P(Z > 1) = 1 – \Phi(1) = 1 – 0{,}8413 = 0{,}1587 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že auto ujede více než \(450\) km, je přibližně \(15{,}87 %\).

Úloha nás žádá o výpočet procenta studentů, kteří získali mezi \(50\) a \(70\) body. Výsledky zkoušek mají normální rozdělení s průměrem \(\mu = 60\) bodů a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 10\) bodů. Opět použijeme standardizaci pro výpočet \(z\)-skóre.

Pro výpočet standardizované hodnoty použijeme vzorec pro \(z\)-skóre:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro dolní mez intervalu (\(x = 50\)):

\[ z_1 = \frac{50 – 60}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]

Pro horní mez intervalu (\(x = 70\)):

\[ z_2 = \frac{70 – 60}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná veličina \(Z\) bude ležet mezi \(-1\) a \(1\):

\[ P(50 \leq X \leq 70) = P(-1 \leq Z \leq 1) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení zjistíme:

\[ \Phi(1) \approx 0{,}8413,\quad \Phi(-1) = 1 – \Phi(1) \approx 1 – 0{,}8413 = 0{,}1587 \]

Odečteme tyto hodnoty:

\[ P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) – \Phi(-1) = 0{,}8413 – 0{,}1587 = 0{,}6826 \]

Odpověď: Procento studentů, kteří získali mezi \(50\) a \(70\) body, je přibližně \(68{,}26 %\).

Úloha nás žádá o výpočet pravděpodobnosti, že doba dojezdu bude mezi \(25\) a \(35\) minutami. Doba dojezdu má normální rozdělení s průměrem \(\mu = 30\) minut a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 6\) minut. Pro výpočet použijeme standardizaci a zjistíme \(z\)-skóre pro dolní a horní mez intervalu.

Pro výpočet standardizované hodnoty použijeme vzorec pro \(z\)-skóre:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro dolní mez intervalu (\(x = 25\)):

\[ z_1 = \frac{25 – 30}{6} = \frac{-5}{6} \approx -0{,}8333 \]

Pro horní mez intervalu (\(x = 35\)):

\[ z_2 = \frac{35 – 30}{6} = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná veličina \(Z\) bude ležet mezi \(-0{,}8333\) a \(0{,}8333\):

\[ P(25 \leq X \leq 35) = P(-0{,}8333 \leq Z \leq 0{,}8333) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení zjistíme:

\[ \Phi(0{,}8333) \approx 0{,}7977,\quad \Phi(-0{,}8333) = 1 – \Phi(0{,}8333) \approx 1 – 0{,}7977 = 0{,}2023 \]

Odečteme tyto hodnoty:

\[ P(-0{,}8333 \leq Z \leq 0{,}8333) = \Phi(0{,}8333) – \Phi(-0{,}8333) = 0{,}7977 – 0{,}2023 = 0{,}5954 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že doba dojezdu bude mezi \(25\) a \(35\) minutami, je přibližně \(59{,}54 %\).

Úloha nás žádá o výpočet pravděpodobnosti, že teplota v místnosti bude mezi \(21 °C\) a \(23 °C\). Teplota má normální rozdělení s průměrem \(\mu = 22^\circ C\) a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 1{,}5^\circ C\). Opět použijeme standardizaci pro výpočet \(z\)-skóre.

Pro výpočet standardizované hodnoty použijeme vzorec pro \(z\)-skóre:

\[ z = \frac{x – \mu}{\sigma} \]

Pro dolní mez intervalu (\(x = 21\)):

\[ z_1 = \frac{21 – 22}{1{,}5} = \frac{-1}{1{,}5} \approx -0{,}6667 \]

Pro horní mez intervalu (\(x = 23\)):

\[ z_2 = \frac{23 – 22}{1{,}5} = \frac{1}{1{,}5} \approx 0{,}6667 \]

Teď chceme spočítat pravděpodobnost, že standardizovaná veličina \(Z\) bude ležet mezi \(-0{,}6667\) a \(0{,}6667\):

\[ P(21 \leq X \leq 23) = P(-0{,}6667 \leq Z \leq 0{,}6667) \]

Pomocí tabulek standardního normálního rozdělení zjistíme:

\[ \Phi(0{,}6667) \approx 0{,}7454,\quad \Phi(-0{,}6667) = 1 – \Phi(0{,}6667) \approx 1 – 0{,}7454 = 0{,}2546 \]

Odečteme tyto hodnoty:

\[ P(-0{,}6667 \leq Z \leq 0{,}6667) = \Phi(0{,}6667) – \Phi(-0{,}6667) = 0{,}7454 – 0{,}2546 = 0{,}4908 \]

Odpověď: Pravděpodobnost, že teplota v místnosti bude mezi \(21 °C\) a \(23 °C\), je přibližně \(49{,}08 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť, že \( X < 7 \), kde \( X \) je náhodná veličina so strednou hodnotou \( \mu = 10 \) a smerodajnou odchýlkou \( \sigma = 2 \).

Najprv normalizujeme túto hodnotu pomocou štandardizácie:

\( z = \frac{7 – 10}{2} = \frac{-3}{2} = -1.5 \)

Hľadáme teda pravdepodobnosť, že štandardne normovaná náhodná veličina \( Z \) bude menšia ako \(-1.5\):

\( P(X < 7) = P(Z < -1.5) \)

Vzhľadom na symetriu normálneho rozdelenia môžeme použiť: \( P(Z < -1.5) = 1 - P(Z < 1.5) \)

Z tabuľky štandardného normálneho rozdelenia: \( \Phi(1.5) \approx 0.9332 \)

Teda:

\( P(X < 7) = 1 - 0.9332 = 0.0668 \)

Pravdepodobnosť, že náhodná teplota bude nižšia ako \( 7^\circ C \), je približne \(6.68 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť \( P(10 \leq X \leq 15) \), kde \( X \) je náhodná veličina s normálnym rozdelením: \( \mu = 12 \), \( \sigma = 2.5 \).

Najprv vypočítame normalizované hodnoty \( z \) pre \(10\) a \(15\):

\( z_1 = \frac{10 – 12}{2.5} = -0.8 \)

\( z_2 = \frac{15 – 12}{2.5} = 1.2 \)

Pravdepodobnosť medzi týmito hodnotami je:

\( P(-0.8 \leq Z \leq 1.2) = \Phi(1.2) – \Phi(-0.8) \)

Vzhľadom na symetriu: \( \Phi(-0.8) = 1 – \Phi(0.8) \)

Z tabuľky: \( \Phi(1.2) \approx 0.8849 \), \( \Phi(0.8) \approx 0.7881 \Rightarrow \Phi(-0.8) = 1 – 0.7881 = 0.2119 \)

Potom:

\( P(10 \leq X \leq 15) = 0.8849 – 0.2119 = 0.6730 \)

Pravdepodobnosť, že náhodne vybraný balík bude mať hmotnosť medzi \(10\) kg a \(15\) kg, je približne \(67.3 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť \( P(X \geq 85) \), kde \( X \sim N(70, 10) \).

Najprv štandardizujeme:

\( z = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \)

Hľadáme teda \( P(Z \geq 1.5) = 1 – \Phi(1.5) \)

Z tabuľky: \( \Phi(1.5) \approx 0.9332 \Rightarrow 1 – 0.9332 = 0.0668 \)

Teda pravdepodobnosť, že študent náhodne dosiahne aspoň 85 bodov, je približne \(6.68 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť \( P(98.5 \leq X \leq 101) \), kde \( X \sim N(100, 1.5) \).

Najprv vypočítame z-hodnoty:

\( z_1 = \frac{98.5 – 100}{1.5} = -1 \)

\( z_2 = \frac{101 – 100}{1.5} = \frac{1}{1.5} \approx 0.6667 \)

Potom:

\( P(98.5 \leq X \leq 101) = \Phi(0.6667) – \Phi(-1) \)

Tabuľkovo: \( \Phi(0.6667) \approx 0.7475 \), \( \Phi(-1) = 1 – \Phi(1) = 1 – 0.8413 = 0.1587 \)

Výsledok:

\( P(98.5 \leq X \leq 101) = 0.7475 – 0.1587 = 0.5888 \)

Pravdepodobnosť je teda približne \(58.88 %\).

Chceme vypočítať pravdepodobnosť, že náhodná veličina \( X \), ktorá má normálne rozdelenie s parametrami \( \mu = 18 \) a \( \sigma = 4 \), nadobudne hodnotu menšiu ako \(10.\) Matematicky to zapisujeme ako:

\( P(X < 10) \)

Aby sme túto pravdepodobnosť vedeli nájsť pomocou tabuľky štandardného normálneho rozdelenia, musíme najprv štandardizovať túto hodnotu. Štandardizácia znamená, že danú hodnotu prevedieme na tzv. z-skóre, ktoré vyjadruje, koľko smerodajných odchýlok sa daná hodnota nachádza od priemeru. Vzorec pre z-skóre je:

\( z = \frac{x – \mu}{\sigma} \)

Dosadíme do vzorca:

\( z = \frac{10 – 18}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \)

Teraz hľadáme hodnotu \( P(Z < -2) \), kde \( Z \) je štandardne normálne rozdelená veličina so strednou hodnotou 0 a smerodajnou odchýlkou 1.

Z tabuľky štandardného normálneho rozdelenia poznáme hodnotu \( \Phi(2) = 0.9772 \). Vzhľadom na symetriu normálneho rozdelenia platí:

\( P(Z < -2) = 1 - \Phi(2) = 1 - 0.9772 = 0.0228 \)

Takže pravdepodobnosť, že zákazník strávi v predajni menej ako \(10\) minút, je \(0.0228\), čo znamená \(2.28 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť, že tlak \( X \) bude v intervale od \(2.0\) a \(2.4\) bar, teda:

\( P(2.0 \leq X \leq 2.4) \)

Normálne rozdelenie má parametre \( \mu = 2.2 \), \( \sigma = 0.1 \).

Najprv štandardizujeme obe hranice pomocou vzorca:

\( z = \frac{x – \mu}{\sigma} \)

Pre dolnú hranicu (2.0):

\( z_1 = \frac{2.0 – 2.2}{0.1} = \frac{-0.2}{0.1} = -2 \)

Pre hornú hranicu (2.4):

\( z_2 = \frac{2.4 – 2.2}{0.1} = \frac{0.2}{0.1} = 2 \)

Hľadáme teda pravdepodobnosť:

\( P(-2 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) – \Phi(-2) \)

Z tabuľky: \( \Phi(2) = 0.9772 \), a keďže \( \Phi(-2) = 1 – \Phi(2) = 0.0228 \)

Výpočet:

\( 0.9772 – 0.0228 = 0.9544 \)

Výsledná pravdepodobnosť, že tlak bude medzi \(2.0\) a \(2.4\) bar, je \(0.9544\), čo znamená \(95.44 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť:

\( P(X < 0.5) \), kde \( X \sim N(0.75, 0.2) \)

Normalizujeme hodnotu 0.5:

\( z = \frac{0.5 – 0.75}{0.2} = \frac{-0.25}{0.2} = -1.25 \)

Teraz hľadáme \( P(Z < -1.25) \). Pomocou symetrie normálneho rozdelenia vieme, že:

\( P(Z < -1.25) = 1 - \Phi(1.25) \)

Z tabuľky: \( \Phi(1.25) \approx 0.8944 \), takže:

\( P(Z < -1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056 \)

Pravdepodobnosť, že vodič zareaguje rýchlejšie ako za \(0.5\) sekundy, je približne \(10.56 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť:

\( P(X > 150) \), kde \( X \sim N(120, 15) \)

Najprv štandardizujeme:

\( z = \frac{150 – 120}{15} = \frac{30}{15} = 2 \)

Teraz hľadáme:

\( P(Z > 2) = 1 – \Phi(2) \)

Z tabuľky: \( \Phi(2) = 0.9772 \), takže:

\( 1 – 0.9772 = 0.0228 \)

Pravdepodobnosť, že domácnosť spotrebuje viac ako \(150\) litrov za deň, je \(2.28 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť:

\( P(12 \leq X \leq 18) \), kde \( X \sim N(15, 3) \)

Normalizujeme hranice:

\( z_1 = \frac{12 – 15}{3} = -1 \), \( z_2 = \frac{18 – 15}{3} = 1 \)

\( P(-1 \leq Z \leq 1) = \Phi(1) – \Phi(-1) \)

\( \Phi(1) = 0.8413 \), \( \Phi(-1) = 1 – 0.8413 = 0.1587 \)

Rozdiel: \( 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 \)

Pravdepodobnosť, že výška bude medzi \(12\) m a \(18\) m, je \(68.26 %\).

Hľadáme pravdepodobnosť:

\( P(X < 3.5) \), kde \( X \sim N(5, 0.8) \)

Normalizujeme:

\( z = \frac{3.5 – 5}{0.8} = \frac{-1.5}{0.8} = -1.875 \)

Hľadáme \( P(Z < -1.875) \). Z tabuľky: \( \Phi(1.875) \approx 0.9699 \), takže:

\( P(Z < -1.875) = 1 - 0.9699 = 0.0301 \)

Pravdepodobnosť, že oprava bude trvať menej ako \(3.5\) hodiny, je približne \(3.01 %\).

Úlohou je nájsť pravdepodobnosť, že náhodná veličina \( X \), ktorá má normálne rozdelenie so strednou hodnotou \( \mu = 50 \) cm a smerodajnou odchýlkou \( \sigma = 5 \) cm, nadobudne hodnotu v intervale od \(45\) cm a \(60\) cm. To zapíšeme ako:

\( P(45 \leq X \leq 60) \)

Normálne rozdelenie je rozdelenie pravdepodobnosti, ktoré má tvar zvonovej krivky, symetrickej okolo strednej hodnoty. Hodnoty bližšie k priemeru sú pravdepodobnejšie, odchýlky od priemeru sú menej pravdepodobné, a smerodajná odchýlka určuje, ako „rozptýlené“ sú hodnoty okolo priemeru.

Aby sme mohli použiť tabuľky štandardného normálneho rozdelenia, musíme najprv štandardizovať hodnoty \(45\) a \(60\) na tzv. z-skóre. Štandardné normálne rozdelenie má priemer \(0\) a smerodajku \(1\), čo umožňuje používať všeobecné tabuľky bez ohľadu na pôvodné parametre rozdelenia.

Vzorec pre výpočet z-skóre je:

\( z = \frac{x – \mu}{\sigma} \)

Pre dolnú hranicu \( x = 45 \):

\( z_1 = \frac{45 – 50}{5} = \frac{-5}{5} = -1 \)

Pre hornú hranicu \( x = 60 \):

\( z_2 = \frac{60 – 50}{5} = \frac{10}{5} = 2 \)

Teraz chceme nájsť pravdepodobnosť, že štandardná normálna veličina \( Z \) leží medzi hodnotami \( z_1 = -1 \) a \( z_2 = 2 \), teda

\( P(-1 \leq Z \leq 2) \)

Táto pravdepodobnosť sa rovná rozdielu kumulatívnych pravdepodobností (funkcie distribučnej funkcie, označovanej ako \( \Phi \)) v bodoch 2 a -1:

\( P(-1 \leq Z \leq 2) = \Phi(2) – \Phi(-1) \)

Z tabuľky štandardného normálneho rozdelenia nájdeme hodnoty:

• \( \Phi(2) \approx 0.9772 \) – pravdepodobnosť, že \( Z \leq 2 \)
• \( \Phi(-1) \approx 0.1587 \) – pravdepodobnosť, že \( Z \leq -1 \)

Všimnite si, že \( \Phi(-1) \) je pravdepodobnosť, že \( Z \) je menšie ako -1, teda naľavo od -1 na zvonovej krivke.

Teraz vypočítame výslednú pravdepodobnosť:

\( P(-1 \leq Z \leq 2) = 0.9772 – 0.1587 = 0.8185 \)

Teda pravdepodobnosť, že diel bude mať dĺžku medzi \(45\) cm a \(60\) cm, je približne \(81.85 %\).

Interpretácia: Vzhľadom na dané rozdelenie je veľmi pravdepodobné, že náhodne vybraný diel bude mať dĺžku v uvedenom intervale, pretože \(81.85 %\) hodnôt padá do tohto rozsahu.

Chceme zistiť pravdepodobnosť, že teplota varu \( X \) je väčšia ako \(103 °C\), kde \( X \sim N(100, 2) \). To znamená, že hľadáme:

\( P(X > 103) \)

Normálne rozdelenie je symetrické, s hodnotami rozloženými okolo strednej hodnoty 100. Smerodajná odchýlka 2 udáva, ako široko sú hodnoty rozptýlené.

Najskôr prevedieme 103 na štandardizované z-skóre:

\( z = \frac{103 – 100}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \)

Teraz chceme nájsť pravdepodobnosť, že štandardná normálna veličina \( Z \) je väčšia ako \(1.5\), teda \( P(Z > 1.5) \).

Z tabuľky štandardného normálneho rozdelenia nájdeme \( \Phi(1.5) \), čo je pravdepodobnosť, že \( Z \leq 1.5 \). Hodnota je:

\( \Phi(1.5) \approx 0.9332 \)

Pravdepodobnosť, že \( Z > 1.5 \), je komplementárna pravdepodobnosť:

\( P(Z > 1.5) = 1 – \Phi(1.5) = 1 – 0.9332 = 0.0668 \)

Teda pravdepodobnosť, že teplota varu bude vyššia ako \(103 °C\), je \(6.68 %\).

Interpretácia: Vzhľadom na dané rozdelenie je táto udalosť pomerne nepravdepodobná, pretože teploty varu nad \(103 °C\) sa vyskytujú len asi v \(6.68 %\) prípadov.

Hľadáme pravdepodobnosť, že náhodná veličina \( X \) je menšia ako 230, kde \( X \sim N(250, 20) \). To znamená, že chceme vypočítať:

\( P(X < 230) \)

Normálne rozdelenie je charakterizované priemerom \( \mu = 250 \) a smerodajnou odchýlkou \( \sigma = 20 \).

Najskôr štandardizujeme hodnotu 230:

\( z = \frac{230 – 250}{20} = \frac{-20}{20} = -1 \)

Hľadáme teda pravdepodobnosť, že štandardná normálna veličina \( Z \) bude menšia ako -1:

\( P(Z < -1) = \Phi(-1) \)

Z tabuľky štandardného normálneho rozdelenia vieme, že:

\( \Phi(-1) = 0.1587 \)

Teda pravdepodobnosť, že bežec prebehne menej ako \(230\) metrov, je približne \(15.87 %\).

Interpretácia: Tento výsledok naznačuje, že je pomerne málo pravdepodobné, že bežec prebehne menej ako 230 metrov za minútu, keďže k tomu dôjde približne v \(15.87 %\) prípadov.

Hľadáme pravdepodobnosť, že \( X > 190 \), kde \( X \sim N(180, 7) \).

Prevedieme hodnotu \(190\) na z-skóre:

\( z = \frac{190 – 180}{7} = \frac{10}{7} \approx 1.43 \)

Potom hľadáme pravdepodobnosť:

\( P(Z > 1.43) = 1 – \Phi(1.43) \)

Z tabuľky štandardného normálneho rozdelenia je:

\( \Phi(1.43) \approx 0.9236 \)

Výsledok:

\( P(Z > 1.43) = 1 – 0.9236 = 0.0764 \)

Teda pravdepodobnosť, že náhodne vybraný muž bude vyšší než \(190\) cm, je približne \(7.64\%\).

Interpretácia: Je pomerne zriedkavé, že náhodný muž z tejto populácie bude vyšší než \(190\) cm, pretože sa to stane asi v \(7.64\%\) prípadov.

Chceme vypočítať \( P(X < 25) \), kde \( X \sim N(30, 4) \).

Prevedieme \(25\) na z-skóre:

\( z = \frac{25 – 30}{4} = \frac{-5}{4} = -1.25 \)

Teraz hľadáme \( P(Z < -1.25) = \Phi(-1.25) \).

Z tabuľky:

\( \Phi(-1.25) \approx 0.1056 \)

Teda pravdepodobnosť, že objednávka bude spracovaná za menej ako \(25\) minút, je približne \(10.56\%\).

Interpretácia: Je pomerne málo pravdepodobné, že spracovanie objednávky bude tak rýchle, vyskytuje sa to približne v \(10.56\%\) prípadov.

Hľadáme \( P(130 \leq X \leq 180) \), kde \( X \sim N(150, 20) \).

Prevedieme hranice na z-skóre:

\( z_1 = \frac{130 – 150}{20} = \frac{-20}{20} = -1 \)

\( z_2 = \frac{180 – 150}{20} = \frac{30}{20} = 1.5 \)

Pravdepodobnosť je \( \Phi(1.5) – \Phi(-1) \).

Z tabuľky:

\( \Phi(1.5) \approx 0.9332 \)

\( \Phi(-1) \approx 0.1587 \)

Výsledok:

\( 0.9332 – 0.1587 = 0.7745 \)

Teda pravdepodobnosť, že jablko bude mať hmotnosť medzi \(130\) a \(180\) gramami, je približne \(77.45\%\).

Chceme \( P(12 \leq X \leq 18) \), kde \( X \sim N(15, 3) \).

Štandardizujeme hranice:

\( z_1 = \frac{12 – 15}{3} = -1 \)

\( z_2 = \frac{18 – 15}{3} = 1 \)

Pravdepodobnosť je \( \Phi(1) – \Phi(-1) \).

Z tabuľky:

\( \Phi(1) \approx 0.8413 \)

\( \Phi(-1) \approx 0.1587 \)

Výsledok:

\( 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 \)

Teda pravdepodobnosť, že autobus príde medzi \(12\) a \(18\) minútami, je približne \(68.26\%\).

Chceme \( P(X < 60) \), kde \( X \sim N(75, 10) \).

Štandardizujeme \(60\):

\( z = \frac{60 – 75}{10} = -1.5 \)

Pravdepodobnosť je \( \Phi(-1.5) \).

Z tabuľky:

\( \Phi(-1.5) \approx 0.0668 \)

Teda pravdepodobnosť, že študent získa menej ako \(60\) bodov, je približne \(6.68\) %.

Hľadáme \( P(450 \leq X \leq 550) \), kde \( X \sim N(500, 50) \).

Štandardizujeme hranice:

\( z_1 = \frac{450 – 500}{50} = -1 \)

\( z_2 = \frac{550 – 500}{50} = 1 \)

Pravdepodobnosť je \( \Phi(1) – \Phi(-1) \).

Z tabuľky:

\( \Phi(1) \approx 0.8413 \)

\( \Phi(-1) \approx 0.1587 \)

Výsledok:

\( 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 \)

Teda pravdepodobnosť, že batéria vydrží medzi \(450\) a \(550\) hodinami, je približne \(68.26\) %.

Hľadáme pravdepodobnosť:

\( P(X < 110 \text{ alebo } X > 130) = P(X < 110) + P(X > 130) \)

Pretože tieto dve udalosti sú disjunktné (nemôžu nastať zároveň), môžeme pravdepodobnosti sčítať.

Štandardizujeme hodnoty:

\( z_1 = \frac{110 – 120}{8} = \frac{-10}{8} = -1.25 \)

\( z_2 = \frac{130 – 120}{8} = \frac{10}{8} = 1.25 \)

Potom:

\( P(X < 110) = P(Z < -1.25) = \Phi(-1.25) \approx 0.1056 \)

\( P(X > 130) = P(Z > 1.25) = 1 – \Phi(1.25) \)

Z tabuľky:

\( \Phi(1.25) \approx 0.8944 \)

Výsledok pre druhú pravdepodobnosť:

\( 1 – 0.8944 = 0.1056 \)

Celková pravdepodobnosť:

\( 0.1056 + 0.1056 = 0.2112 \)

Teda pravdepodobnosť, že výrobok bude mať dĺžku kratšiu než \(110\) mm alebo dlhšiu než \(130\) mm, je približne \(21.12\) %.

Interpretácia: Tento výsledok ukazuje, že približne v jednej piatej prípadov bude dĺžka výrobku mimo rozsahu \(110\) až \(130\) mm, čo môže byť kritické pri kontrole kvality výroby.

Řešení příkladu:

Nejprve si definujeme náhodnou veličinu \(X\), která reprezentuje hmotnost balíku. Víme, že \(X\) má normální rozdělení se střední hodnotou \(\mu = 20\) kg a směrodatnou odchylkou \(\sigma = 1.5\) kg.

Požadujeme pravděpodobnost, že balík bude mít hmotnost mezi \(18\) kg a \(23\) kg, tedy

\( P(18 < X < 23) \).

Protože pracujeme s normálním rozdělením, využijeme standardizaci, tj. převedeme hodnoty na standardní normální rozdělení \(Z \sim N(0,1)\).

Standardizujeme dolní hranici:

\( Z_1 = \frac{18 – 20}{1.5} = \frac{-2}{1.5} = -1.33 \)

Standardizujeme horní hranici:

\( Z_2 = \frac{23 – 20}{1.5} = \frac{3}{1.5} = 2 \)

Pravděpodobnost tedy odpovídá oblasti pod křivkou normálního rozdělení mezi hodnotami \(-1.33\) a \(2\):

\( P(18 < X < 23) = P(-1.33 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1.33) \), kde \(\Phi\) je distribuční funkce standardního normálního rozdělení.

Z tabulek nebo pomocí kalkulačky zjistíme:

\( \Phi(2) \approx 0.9772 \)

Pro \(\Phi(-1.33)\) využijeme symetrii normálního rozdělení:

\( \Phi(-1.33) = 1 – \Phi(1.33) \)

Tabulková hodnota: \( \Phi(1.33) \approx 0.9082 \)

Odtud:

\( \Phi(-1.33) = 1 – 0.9082 = 0.0918 \)

Výpočet pravděpodobnosti:

\( P(18 < X < 23) = 0.9772 - 0.0918 = 0.8854 \)

Tedy pravděpodobnost, že balík váží mezi \(18\) a \(23\) kg, je přibližně \(88.54 \%\).

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je doba čekání na autobus, kde \(X \sim N(10, 3^2)\).

Hledáme pravděpodobnost:

\( P(X > 15) \).

Standardizujeme hodnotu \(15\):

\( Z = \frac{15 – 10}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67 \).

Pravděpodobnost, že \(X > 15\), odpovídá pravděpodobnosti, že \(Z > 1.67\):

\( P(Z > 1.67) = 1 – \Phi(1.67) \).

Z tabulek známe hodnotu \(\Phi(1.67) \approx 0.9525\).

Tedy:

\( P(X > 15) = 1 – 0.9525 = 0.0475 \).

Pravděpodobnost, že doba čekání přesáhne \(15\) minut, je přibližně \(4.75 \%\).

Řešení příkladu:

Definujeme náhodnou veličinu \(X\) jako výšku ženy, kde \(X \sim N(165, 6^2)\).

Požadujeme:

\( P(160 < X < 170) \).

Standardizujeme meze:

\( Z_1 = \frac{160 – 165}{6} = -\frac{5}{6} \approx -0.83 \)

\( Z_2 = \frac{170 – 165}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.83 \)

Pravděpodobnost je:

\( P(-0.83 < Z < 0.83) = \Phi(0.83) - \Phi(-0.83) \).

Z tabulek:

\( \Phi(0.83) \approx 0.7967 \)

Využijeme symetrii: \(\Phi(-0.83) = 1 – \Phi(0.83) = 0.2033\).

Výpočet:

\( 0.7967 – 0.2033 = 0.5934 \).

Pravděpodobnost, že žena má výšku mezi \(160\) a \(170\) cm, je přibližně \(59.34 \%\).

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je doba vyřízení objednávky, kde \(X \sim N(30, 4^2)\).

Hledáme:

\( P(X < 25) \).

Standardizujeme hodnotu \(25\):

\( Z = \frac{25 – 30}{4} = -\frac{5}{4} = -1.25 \).

Pravděpodobnost:

\( P(Z < -1.25) = \Phi(-1.25) \).

Protože \(\Phi(-z) = 1 – \Phi(z)\), platí:

\( \Phi(-1.25) = 1 – \Phi(1.25) \).

Z tabulek najdeme:

\( \Phi(1.25) \approx 0.8944 \).

Odtud:

\( \Phi(-1.25) = 1 – 0.8944 = 0.1056 \).

Pravděpodobnost, že objednávka bude vyřízena za méně než \(25\) minut, je přibližně \(10.56\) %.

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je hmotnost jablka, kde \(X \sim N(150, 20^2)\).

Požadujeme pravděpodobnost:

\( P(X > 180) \).

Standardizujeme hodnotu \(180\):

\( Z = \frac{180 – 150}{20} = \frac{30}{20} = 1.5 \).

Pravděpodobnost:

\( P(Z > 1.5) = 1 – \Phi(1.5) \).

Z tabulek zjistíme:

\( \Phi(1.5) \approx 0.9332 \).

Tedy:

\( P(X > 180) = 1 – 0.9332 = 0.0668 \).

Pravděpodobnost, že jablko bude těžší než \(180\) g, je přibližně \(6.68\) %.

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je doba oběda s rozdělením \(N(30, 5^2)\).

Hledáme pravděpodobnost:

\( P(25 < X < 35) \).

Standardizujeme hranice:

\( Z_1 = \frac{25 – 30}{5} = -1 \)

\( Z_2 = \frac{35 – 30}{5} = 1 \)

Pravděpodobnost mezi těmito hodnotami je:

\( P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) \).

Z tabulek víme, že \(\Phi(1) \approx 0.8413\).

Symetrií platí \(\Phi(-1) = 1 – \Phi(1) = 0.1587\).

Výpočet:

\( 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 \).

Pravděpodobnost, že oběd trvá mezi \(25\) a \(35\) minutami, je tedy přibližně \(68.26\) %.

Řešení příkladu:

Nechť \( X \sim N(15, 3^2) \) reprezentuje výšku stromu.

Požadujeme:

\( P(X > 18) \).

Standardizujeme:

\( Z = \frac{18 – 15}{3} = 1 \).

Pravděpodobnost je:

\( P(Z > 1) = 1 – \Phi(1) \).

Z tabulek víme, že \( \Phi(1) \approx 0.8413 \).

Tedy:

\( P(X > 18) = 1 – 0.8413 = 0.1587 \).

Pravděpodobnost, že strom bude vyšší než \( 18 \) metrů, je přibližně \( 15.87 \) %.

Řešení příkladu:

Definujeme \( X \sim N(22, 2^2) \) jako teplotu vody.

Požadujeme:

\( P(X < 19) \).

Standardizujeme:

\( Z = \frac{19 – 22}{2} = -1.5 \).

Pravděpodobnost:

\( P(Z < -1.5) = \Phi(-1.5) \).

Pomocí symetrie:

\( \Phi(-1.5) = 1 – \Phi(1.5) \).

Z tabulek \( \Phi(1.5) \approx 0.9332 \).

Tedy:

\( P(X < 19) = 1 - 0.9332 = 0.0668 \).

Pravděpodobnost, že teplota bude nižší než \( 19 \) °C, je přibližně \( 6.68 \) %.

Řešení příkladu:

Nechť \( X \sim N(50, 8^2) \) je hmotnost balíku.

Hledáme:

\( P(42 < X < 58) \).

Standardizujeme hranice:

\( Z_1 = \frac{42 – 50}{8} = -1 \)

\( Z_2 = \frac{58 – 50}{8} = 1 \)

Pravděpodobnost je:

\( P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) \).

Z tabulek \( \Phi(1) \approx 0.8413 \), symetrií \( \Phi(-1) = 0.1587 \).

Výsledek:

\( 0.8413 – 0.1587 = 0.6826 \).

Pravděpodobnost, že balík bude vážit mezi \( 42 \) a \( 58 \) kg, je přibližně \( 68.26 \) %.

Řešení příkladu:

Nechť \( X \sim N(100, 2^2) \) je délka výrobku.

Hledáme:

\( P(X < 96) \).

Standardizujeme hodnotu \( 96 \):

\( Z = \frac{96 – 100}{2} = -2 \).

Pravděpodobnost:

\( P(Z < -2) = \Phi(-2) \).

Pomocí symetrie:

\( \Phi(-2) = 1 – \Phi(2) \).

Z tabulek \( \Phi(2) \approx 0.9772 \).

Tedy:

\( P(X < 96) = 1 - 0.9772 = 0.0228 \).

Pravděpodobnost, že výrobek bude kratší než \( 96 \) cm, je přibližně \( 2.28 \) %.

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je doba hovoru s rozdělením \(N(8, 2^2)\).

Hledáme pravděpodobnost:

\(P(X < 5)\).

Standardizujeme proměnnou \(X\):

\(Z = \frac{5 – 8}{2} = -1.5\).

Podle standardního normálního rozdělení platí:

\(P(X < 5) = P(Z < -1.5) = \Phi(-1.5)\).

Protože \(\Phi(-z) = 1 – \Phi(z)\), máme:

\(\Phi(-1.5) = 1 – \Phi(1.5)\).

Z tabulek získáme hodnotu \(\Phi(1.5) \approx 0.9332\).

Tedy:

\(P(X < 5) = 1 - 0.9332 = 0.0668\).

Pravděpodobnost, že hovor bude trvat méně než \(5\) minut, je přibližně \(6.68 \%\).

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je výška muže s rozdělením \(N(175, 7^2)\).

Hledáme:

\(P(X > 180)\).

Standardizujeme proměnnou:

\(Z = \frac{180 – 175}{7} = \frac{5}{7} \approx 0.7143\).

Pravděpodobnost, že \(X\) překročí \(180\) cm, je:

\(P(Z > 0.7143) = 1 – \Phi(0.7143)\).

Z tabulek zjistíme, že \(\Phi(0.71) \approx 0.7611\) a \(\Phi(0.72) \approx 0.7642\).

Interpolací pro \(0.7143\) dostaneme přibližně \(\Phi(0.7143) \approx 0.762\).

Tedy:

\(P(X > 180) = 1 – 0.762 = 0.238\).

Pravděpodobnost, že muž bude vyšší než \(180\) cm, je přibližně \(23.8 \%\).

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je teplota s rozdělením \(N(150, 10^2)\).

Požadujeme pravděpodobnost:

\(P(140 < X < 160)\).

Standardizujeme obě hranice:

\(Z_1 = \frac{140 – 150}{10} = -1\), \(Z_2 = \frac{160 – 150}{10} = 1\).

Hledaná pravděpodobnost je:

\(P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)\).

Z tabulek víme, že \(\Phi(1) \approx 0.8413\), a díky symetrii \(\Phi(-1) = 1 – 0.8413 = 0.1587\).

Výpočet:

\(0.8413 – 0.1587 = 0.6826\).

Pravděpodobnost, že teplota bude mezi \(140\) °C a \(160\) °C, je přibližně \(68.26 \%\).

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je hmotnost jablka s rozdělením \(N(150, 20^2)\).

Požadujeme pravděpodobnost:

\(P(X > 180)\).

Standardizujeme:

\(Z = \frac{180 – 150}{20} = 1.5\).

Pravděpodobnost je:

\(P(Z > 1.5) = 1 – \Phi(1.5)\).

Z tabulek máme \(\Phi(1.5) \approx 0.9332\).

Tedy:

\(P(X > 180) = 1 – 0.9332 = 0.0668\).

Pravděpodobnost, že jablko bude vážit více než \(180\) g, je přibližně \(6.68 \%\).

Řešení příkladu:

Nechť \(X\) je čas dokončení testu s rozdělením \(N(50, 5^2)\).

Hledáme pravděpodobnost:

\(P(45 < X < 55)\).

Standardizujeme hranice:

\(Z_1 = \frac{45 – 50}{5} = -1\), \(Z_2 = \frac{55 – 50}{5} = 1\).

Pravděpodobnost je:

\(P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1)\).

Z tabulek je \(\Phi(1) \approx 0.8413\), a \(\Phi(-1) = 0.1587\).

Výpočet:

\(0.8413 – 0.1587 = 0.6826\).

Pravděpodobnost, že student dokončí test mezi \(45\) a \(55\) minutami, je přibližně \(68.26 \%\).