1. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \) v bodě \( x_0 = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 1:
Nejprve spočítáme hodnotu funkce v daném bodě:
\( f(1) = 1^3 – 3 \cdot 1 + 1 = 1 – 3 + 1 = -1 \)
Dále určíme derivaci funkce, která udává směrnici tečny:
\( f'(x) = 3x^2 – 3 \)
Dosadíme \( x_0 = 1 \):
\( f'(1) = 3 \cdot 1^2 – 3 = 3 – 3 = 0 \)
Směrnice tečny je tedy \( m = 0 \).
Rovnice tečny v bodě \( (1, -1) \) je:
\( y = f(1) + f'(1)(x – 1) = -1 + 0 \cdot (x – 1) = -1 \)
Rovnice normály má směrnici kolmá k tečně, tedy
\( m_n = -\frac{1}{m} \). Protože \( m = 0 \), normála je svislá přímka:
\( x = 1 \)
2. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{x} \) v bodě \( x_0 = 4 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 2:
Nejprve spočítáme hodnotu funkce:
\( f(4) = \sqrt{4} = 2 \)
Derivace funkce je
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
Dosadíme \( x_0 = 4 \):
\( f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y = f(4) + f'(4)(x – 4) = 2 + \frac{1}{4}(x – 4) \Rightarrow y = \frac{1}{4}x + 1 \)
Směrnice normály je
\( m_n = -\frac{1}{m} = -4 \)
Rovnice normály je tedy
\( y = f(4) + m_n (x – 4) = 2 – 4(x – 4) = -4x + 18 \)
3. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \ln x \) v bodě \( x_0 = e \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 3:
Hodnota funkce v bodě:
\( f(e) = \ln e = 1 \)
Derivace funkce je
\( f'(x) = \frac{1}{x} \)
Dosadíme \( x_0 = e \):
\( f'(e) = \frac{1}{e} \)
Rovnice tečny:
\( y = 1 + \frac{1}{e}(x – e) = \frac{1}{e}x + 1 – 1 = \frac{x}{e} \)
Směrnice normály je
\( m_n = -e \)
Rovnice normály:
\( y = 1 – e(x – e) = -e x + e^2 + 1 \)
4. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \sin x \) v bodě \( x_0 = \frac{\pi}{4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 4:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \cos x \)
Dosadíme:
\( f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Rovnice tečny:
\( y = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\left(x – \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow y = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}\pi}{8} \)
Směrnice normály:
\( m_n = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\sqrt{2} \)
Rovnice normály:
\( y = \frac{\sqrt{2}}{2} – \sqrt{2}\left(x – \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2}x + \frac{\pi \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
5. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = e^{2x} \) v bodě \( x_0 = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 5:
Hodnota funkce v bodě:
\( f(0) = e^{0} = 1 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 2 e^{2x} \)
Dosadíme:
\( f'(0) = 2 e^{0} = 2 \)
Rovnice tečny:
\( y = 1 + 2 (x – 0) = 2x + 1 \)
Směrnice normály:
\( m_n = -\frac{1}{2} \)
Rovnice normály:
\( y = 1 – \frac{1}{2} x \)
6. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \) v bodě \( x_0 = 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 6:
Hodnota funkce:
\( f(2) = \frac{1}{2} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)
Dosadíme:
\( f'(2) = -\frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y = \frac{1}{2} – \frac{1}{4} (x – 2) = -\frac{1}{4} x + 1 \)
Směrnice normály:
\( m_n = 4 \)
Rovnice normály:
\( y = \frac{1}{2} + 4(x – 2) = 4x – \frac{7}{2} \)
7. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^{1/3} \) v bodě \( x_0 = 8 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 7:
Hodnota funkce:
\( f(8) = \sqrt[3]{8} = 2 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}} \)
Dosadíme:
\( f'(8) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12} \)
Rovnice tečny:
\( y = 2 + \frac{1}{12} (x – 8) = \frac{1}{12} x + \frac{16}{3} \)
Směrnice normály:
\( m_n = -12 \)
Rovnice normály:
\( y = 2 – 12(x – 8) = -12x + 98 \)
8. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \arctan x \) v bodě \( x_0 = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 8:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
Dosadíme:
\( f'(1) = \frac{1}{2} \)
Rovnice tečny:
\( y = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} (x – 1) = \frac{1}{2} x + \frac{\pi}{4} – \frac{1}{2} \)
Směrnice normály:
\( m_n = -2 \)
Rovnice normály:
\( y = \frac{\pi}{4} – 2 (x – 1) = -2x + 2 + \frac{\pi}{4} \)
9. Určete rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \cosh x \) v bodě \( x_0 = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 9:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \cosh 0 = 1 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \sinh x \)
Dosadíme:
\( f'(0) = \sinh 0 = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y = 1 + 0 \cdot (x – 0) = 1 \)
Směrnice normály:
Protože \( m = 0 \), normála je svislá přímka:
\( x = 0 \)
10. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \) v bodě \( x_0 = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu 10:
Funkci můžeme zapsat jako \( f(x) = x + \frac{1}{x} \).
Hodnota funkce v bodě:
\( f(1) = 1 + 1 = 2 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 1 – \frac{1}{x^2} \)
Dosadíme:
\( f'(1) = 1 – 1 = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y = 2 + 0 \cdot (x – 1) = 2 \)
Směrnice normály:
Protože \( m = 0 \), normála je svislá přímka:
\( x = 1 \)
11. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \) v bodě \( x_0 = 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve určíme hodnotu funkce v daném bodě:
\( f(2) = \frac{1}{2} = 0{,}5 \)
Dále potřebujeme derivaci funkce, abychom zjistili směrnici tečny:
\( f(x) = x^{-1} \Rightarrow f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)
Dosadíme do derivace bod \( x_0 = 2 \):
\( f'(2) = -\frac{1}{4} \)
Rovnice tečny v bodě \( (2, \frac{1}{2}) \) má tvar:
\( y = f'(2)(x – 2) + f(2) = -\frac{1}{4}(x – 2) + \frac{1}{2} \)
Po úpravě:
\( y = -\frac{1}{4}x + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}x + 1 \)
Normála je kolmá k tečně, takže její směrnice je záporný převrácený tvar směrnice tečny:
\( m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = 4 \)
Rovnice normály je:
\( y = 4(x – 2) + \frac{1}{2} = 4x – 8 + \frac{1}{2} = 4x – \frac{15}{2} \)
Tedy:
Tečna: \( y = -\frac{1}{4}x + 1 \)
Normála: \( y = 4x – \frac{15}{2} \)
12. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{x+1} \) v bodě, kde \( x = 3 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Vypočteme hodnotu funkce v bodě \( x=3 \):
\( f(3) = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2 \)
Derivace funkce:
\( f(x) = (x+1)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \)
Směrnice tečny v bodě \( x=3 \):
\( f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y = f'(3)(x-3) + f(3) = \frac{1}{4}(x-3) + 2 \)
Úprava:
\( y = \frac{1}{4}x – \frac{3}{4} + 2 = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \)
Směrnice normály je záporný převrácený tvar směrnice tečny:
\( m_n = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4 \)
Rovnice normály:
\( y = -4(x – 3) + 2 = -4x + 12 + 2 = -4x + 14 \)
Výsledkem jsou:
Tečna: \( y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4} \)
Normála: \( y = -4x + 14 \)
13. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x) \) v bodě \( x = e \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme hodnotu funkce v bodě \( x = e \):
\( f(e) = \ln(e) = 1 \)
Derivace funkce je:
\( f'(x) = \frac{1}{x} \)
Dosadíme do derivace bod \( x = e \):
\( f'(e) = \frac{1}{e} \)
Rovnice tečny v bodě \( (e, 1) \):
\( y = f'(e)(x – e) + f(e) = \frac{1}{e}(x – e) + 1 = \frac{x}{e} – 1 + 1 = \frac{x}{e} \)
Směrnice normály je záporný převrácený tvar směrnice tečny:
\( m_n = -\frac{1}{\frac{1}{e}} = -e \)
Rovnice normály:
\( y = -e(x – e) + 1 = -ex + e^2 + 1 \)
Tečna: \( y = \frac{x}{e} \)
Normála: \( y = -ex + e^2 + 1 \)
14. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^3 – 3x \) v bodě, kde \( x = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Vypočteme hodnotu funkce v bodě \( x = 1 \):
\( f(1) = 1^3 – 3 \cdot 1 = 1 – 3 = -2 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 3x^2 – 3 \)
Dosadíme \( x = 1 \):
\( f'(1) = 3 \cdot 1 – 3 = 3 – 3 = 0 \)
Směrnice tečny je tedy \( 0 \), což znamená, že tečna je horizontální přímka:
\( y = f(1) = -2 \)
Směrnice normály je záporný převrácený tvar směrnice tečny, ale tečna má směrnici 0, tedy normála je kolmá na vodorovnou přímku, což je svislá přímka:
Normála je tedy přímka \( x = 1 \)
Výsledky:
Tečna: \( y = -2 \)
Normála: \( x = 1 \)
15. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = e^{2x} \) v bodě \( x = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě \( x=0 \):
\( f(0) = e^{2 \cdot 0} = e^0 = 1 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 2 e^{2x} \)
Dosadíme \( x=0 \):
\( f'(0) = 2 e^0 = 2 \)
Rovnice tečny:
\( y = f'(0)(x – 0) + f(0) = 2x + 1 \)
Směrnice normály:
\( m_n = -\frac{1}{2} \)
Rovnice normály:
\( y = -\frac{1}{2} (x – 0) + 1 = -\frac{1}{2} x + 1 \)
Výsledkem jsou:
Tečna: \( y = 2x + 1 \)
Normála: \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \)
16. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \sin x \) v bodě \( x = \frac{\pi}{4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \cos x \)
Dosadíme \( x = \frac{\pi}{4} \):
\( f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Rovnice tečny:
\( y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0) = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x – \frac{\pi}{4} \right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Normála má směrnici:
\( m_n = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \)
Rovnice normály:
\( y = -\sqrt{2}\left(x – \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Výsledné rovnice jsou:
Tečna: \( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \left( x – \frac{\pi}{4} \right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Normála: \( y = -\sqrt{2}\left(x – \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \)
17. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \) v bodě \( x = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1^2 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2 \)
Derivace funkce použijeme kvocientový vzorec:
\( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} \Rightarrow f'(x) = \frac{(2x)(x) – (x^2 + 1)(1)}{x^2} = \frac{2x^2 – (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{x^2 – 1}{x^2} \)
Dosadíme \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1 – 1}{1} = 0 \)
Rovnice tečny má směrnici 0, tedy je horizontální přímkou:
\( y = f(1) = 2 \)
Normála je kolmá na tečnu, tedy je svislou přímkou \( x = 1 \).
Výsledkem jsou:
Tečna: \( y = 2 \)
Normála: \( x = 1 \)
18. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \arctan x \) v bodě \( x = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě:
\( f(0) = \arctan 0 = 0 \)
Derivace funkce je:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
Dosadíme \( x=0 \):
\( f'(0) = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y = 1 \cdot (x – 0) + 0 = x \)
Směrnice normály je:
\( m_n = -1 \)
Rovnice normály:
\( y = -1 (x – 0) + 0 = -x \)
Výsledky jsou:
Tečna: \( y = x \)
Normála: \( y = -x \)
19. Určte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 2 \) v bodě \( x = 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě \( x=2 \):
\( f(2) = 2^3 – 6 \cdot 2^2 + 9 \cdot 2 + 2 = 8 – 24 + 18 + 2 = 4 \)
Bod dotyku: \( (2, 4) \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 3x^2 – 12x + 9 \)
Dosazení \( x=2 \):
\( f'(2) = 3 \cdot 4 – 24 + 9 = 12 – 24 + 9 = -3 \)
Směrnice tečny je \( m = -3 \).
Rovnice tečny:
\( y – 4 = -3 (x – 2) \Rightarrow y = -3x + 10 \)
Směrnice normály je \( m_n = -\frac{1}{m} = \frac{1}{3} \).
Rovnice normály:
\( y – 4 = \frac{1}{3} (x – 2) \Rightarrow y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{3} \)
Výsledky:
Tečna: \( y = -3x + 10 \)
Normála: \( y = \frac{1}{3}x + \frac{10}{3} \)
20. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln 2 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{2}{2} = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – \ln 2 = 1 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = x – 1 + \ln 2 \)
21. Najděte rovnici normály ke grafu funkce \( f(x) = e^{2x} \) v bodě, kde \( y = e^2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Najdeme \( x_0 \), kde \( f(x_0) = e^2 \):
\( e^{2x_0} = e^2 \Rightarrow 2x_0 = 2 \Rightarrow x_0 = 1 \)
Hodnota funkce v tomto bodě: \( y_0 = e^2 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 2 e^{2x} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = 2 e^{2} \)
Směrnice tečny je \( m = 2 e^2 \).
Směrnice normály je \( m_n = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2 e^2} \).
Rovnice normály:
\( y – e^{2} = -\frac{1}{2 e^{2}} (x – 1) \)
22. Funkce \( f(x) = \sqrt{x+3} \). Najděte rovnici tečny v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě:
\( f(1) = \sqrt{4} = 2 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+3}} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y – 2 = \frac{1}{4} (x – 1) \Rightarrow y = \frac{1}{4} x + \frac{7}{4} \)
23. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \arctan x \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = 0 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{1+x^2} \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y = 1 \cdot (x – 0) + 0 = x \)
Směrnice normály je \( m_n = -1 \)
Rovnice normály:
\( y = -1 \cdot (x – 0) + 0 = -x \)
24. Funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \). Najděte rovnici normály v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(2) = \frac{1}{2} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)
Dosazení \( x=2 \):
\( f'(2) = -\frac{1}{4} \)
Směrnice normály je \( m_n = -\frac{1}{m} = 4 \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2} = 4 (x – 2) \Rightarrow y = 4x – \frac{15}{2} \)
25. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \sin(3x) \) v bodě \( x=\frac{\pi}{6} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 3 \cos(3x) \)
Dosazení \( x=\frac{\pi}{6} \):
\( f’\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = 0 \cdot \left(x – \frac{\pi}{6}\right) \Rightarrow y = 1 \)
26. Funkce \( f(x) = x e^x \). Najděte rovnice tečny a normály v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \)
Derivace funkce (součinová pravidla):
\( f'(x) = e^x + x e^x = e^x (1 + x) \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = e^0 \cdot 1 = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = x \)
Směrnice normály je \( m_n = -1 \)
Rovnice normály:
\( y – 0 = -1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = -x \)
27. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x + 2} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1 – 1}{1 + 2} = 0 \)
Derivace funkce pomocí podílového pravidla:
Nechť \( u = x^2 -1 \), \( v = x + 2 \), pak \( u‘ = 2x \), \( v‘ = 1 \).
\( f'(x) = \frac{u‘ v – u v‘}{v^2} = \frac{2x (x+2) – (x^2 -1) \cdot 1}{(x+2)^2} = \frac{2x^2 + 4x – x^2 + 1}{(x+2)^2} = \frac{x^2 + 4x +1}{(x+2)^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1 + 4 + 1}{(3)^2} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = \frac{2}{3}(x – 1) \Rightarrow y = \frac{2}{3}x – \frac{2}{3} \)
28. Funkce \( f(x) = \sin x + \cos x \). Najděte rovnice tečny a normály v bodě \( x = \frac{\pi}{4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \cos x – \sin x \)
Dosazení \( x = \frac{\pi}{4} \):
\( f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} – \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y – \sqrt{2} = 0 \cdot \left(x – \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow y = \sqrt{2} \)
Směrnice normály je nevyčíslitelná (kolmá na vodorovnou tečnu) \Rightarrow normála je svislá čára:
\( x = \frac{\pi}{4} \)
29. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě \( x=1 \):
\( f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln(2) \)
Derivace funkce pomocí řetězového pravidla:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = 1 \)
Rovnice tečny v bodě \( (1, \ln(2)) \):
\( y – \ln(2) = 1 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = x – 1 + \ln(2) \)
Směrnice normály je \( m_n = -\frac{1}{1} = -1 \)
Rovnice normály:
\( y – \ln(2) = -1 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = -x + 1 + \ln(2) \)
30. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{4 – x^2} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \sqrt{4 – 1^2} = \sqrt{3} \)
Derivace funkce pomocí řetězového pravidla:
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 – x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4 – x^2}} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{-1}{\sqrt{3}} \)
Rovnice tečny:
\( y – \sqrt{3} = \frac{-1}{\sqrt{3}} (x – 1) \Rightarrow y = \sqrt{3} – \frac{1}{\sqrt{3}} (x – 1) \)
Směrnice normály je \( m_n = -\frac{1}{f'(1)} = -\frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \)
Rovnice normály:
\( y – \sqrt{3} = \sqrt{3} (x – 1) \Rightarrow y = \sqrt{3} (x – 1) + \sqrt{3} \)
31. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = e^{2x} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě \( x=0 \):
\( f(0) = e^0 = 1 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 2 e^{2x} \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 2 e^0 = 2 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = 2 (x – 0) \Rightarrow y = 2x + 1 \)
Směrnice normály je \( m_n = -\frac{1}{2} \)
Rovnice normály:
\( y – 1 = -\frac{1}{2} (x – 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{2} x + 1 \)
32. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \) v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(2) = \frac{1}{2} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)
Dosazení \( x=2 \):
\( f'(2) = -\frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} (x – 2) \Rightarrow y = -\frac{1}{4} x + 1 \)
Směrnice normály je \( m_n = -\frac{1}{f'(2)} = -\frac{1}{-\frac{1}{4}} = 4 \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2} = 4 (x – 2) \Rightarrow y = 4x – 8 + \frac{1}{2} = 4x – \frac{15}{2} \)
33. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^3 – 3x + 2 \) v bodě \( x=-1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 3x^2 – 3 \)
Dosazení \( x=-1 \):
\( f'(-1) = 3 \cdot 1 – 3 = 0 \)
Rovnice tečny (směrnice je 0):
\( y – 4 = 0 (x + 1) \Rightarrow y = 4 \)
Směrnice normály je nedefinovaná (normála je kolmice k tečně, která je vodorovná), tedy normála je kolmice k ose x v bodě \( x=-1 \).
Rovnice normály:
\( x = -1 \)
34. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \arctan(x) \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \arctan(0) = 0 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = x \)
Směrnice normály je \( m_n = -1 \)
Rovnice normály:
\( y – 0 = -1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = -x \)
35. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) v bodě \( x=\frac{\pi}{4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \cos(x) – \sin(x) \)
Dosazení \( x=\frac{\pi}{4} \):
\( f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} – \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)
Rovnice tečny (směrnice 0):
\( y – \sqrt{2} = 0 \cdot \left(x – \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow y = \sqrt{2} \)
Normála je kolmá na tečnu, která je vodorovná, takže normála je svislá:
Rovnice normály:
\( x = \frac{\pi}{4} \)
36. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x \cdot e^x \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \)
Derivace funkce (součinové pravidlo):
\( f'(x) = e^x + x e^x = e^x (1 + x) \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = e^0 (1 + 0) = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = x \)
Směrnice normály je \( m_n = -1 \)
Rovnice normály:
\( y – 0 = -1 (x – 0) \Rightarrow y = -x \)
37. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \)
Derivace pomocí podílového pravidla, kde \( u = x \), \( v = x^2 + 1 \), \( u‘ = 1 \), \( v‘ = 2x \):
\( f'(x) = \frac{u‘ v – u v‘}{v^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) – x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1 – 1}{(1 + 1)^2} = \frac{0}{4} = 0 \)
Rovnice tečny (směrnice 0):
\( y – \frac{1}{2} = 0 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = \frac{1}{2} \)
Normála je svislá kolmice k tečně:
Rovnice normály:
\( x = 1 \)
38. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) pro \( x>0 \) v bodě \( x=4 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(4) = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} \)
Derivace funkce:
\( f(x) = x^{-\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2 x^{3/2}} \)
Dosazení \( x=4 \):
\( f'(4) = -\frac{1}{2 \cdot 4^{3/2}} = -\frac{1}{2 \cdot 8} = -\frac{1}{16} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{16} (x – 4) \Rightarrow y = -\frac{1}{16} x + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = -\frac{1}{16} x + \frac{3}{4} \)
Směrnice normály je \( m_n = -\frac{1}{f'(4)} = -\frac{1}{-\frac{1}{16}} = 16 \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2} = 16 (x – 4) \Rightarrow y = 16x – 64 + \frac{1}{2} = 16x – \frac{127}{2} \)
39. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \cosh(x) \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \cosh(0) = 1 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \sinh(x) \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = \sinh(0) = 0 \)
Rovnice tečny (směrnice 0):
\( y – 1 = 0 (x – 0) \Rightarrow y = 1 \)
Normála je kolmice k tečně, která je vodorovná, takže normála je svislá:
Rovnice normály:
\( x = 0 \)
40. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x) + \frac{1}{x} \) pro \( x>0 \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \ln(1) + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{x} – \frac{1}{x^2} = \frac{x – 1}{x^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1 – 1}{1} = 0 \)
Rovnice tečny (směrnice 0):
\( y – 1 = 0 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = 1 \)
Normála je kolmice k tečně, která je vodorovná, tedy normála je svislá:
Rovnice normály:
\( x = 1 \)
41. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x^3 – 3x}{2x + 1} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme hodnotu funkce v bodě \( x=1 \):
\( f(1) = \frac{1^3 – 3 \cdot 1}{2 \cdot 1 + 1} = \frac{1 – 3}{3} = \frac{-2}{3} \)
Derivujeme funkci pomocí podílového pravidla:
Nechť \( u = x^3 – 3x \), \( v = 2x + 1 \), pak \( u‘ = 3x^2 – 3 \), \( v‘ = 2 \).
\( f'(x) = \frac{u’v – uv‘}{v^2} = \frac{(3x^2 – 3)(2x + 1) – (x^3 – 3x) \cdot 2}{(2x + 1)^2} \)
Rozepíšeme čitatele:
\( (3x^2 – 3)(2x + 1) = 6x^3 + 3x^2 – 6x – 3 \)
\( (x^3 – 3x) \cdot 2 = 2x^3 – 6x \)
Dosadíme zpět:
\( f'(x) = \frac{6x^3 + 3x^2 – 6x – 3 – (2x^3 – 6x)}{(2x + 1)^2} = \frac{6x^3 + 3x^2 – 6x – 3 – 2x^3 + 6x}{(2x + 1)^2} = \frac{4x^3 + 3x^2 – 3}{(2x + 1)^2} \)
Dosadíme \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{4 \cdot 1 + 3 \cdot 1 – 3}{(2 \cdot 1 + 1)^2} = \frac{4 + 3 – 3}{3^2} = \frac{4}{9} \)
Rovnice tečny v bodě \( x=1 \):
\( y – f(1) = f'(1)(x – 1) \Rightarrow y + \frac{2}{3} = \frac{4}{9}(x – 1) \Rightarrow y = \frac{4}{9}x – \frac{4}{9} – \frac{2}{3} = \frac{4}{9}x – \frac{10}{9} \)
Rovnice normály je kolmá na tečnu, tedy její směrnice je záporný převrácený směrnici tečny:
\( m_{\text{normála}} = -\frac{1}{f'(1)} = -\frac{9}{4} \)
Rovnice normály v bodě \( x=1 \):
\( y – f(1) = m_{\text{normála}} (x – 1) \Rightarrow y + \frac{2}{3} = -\frac{9}{4} (x – 1) \Rightarrow y = -\frac{9}{4} x + \frac{9}{4} – \frac{2}{3} \)
Najdeme společný jmenovatel:
\( \frac{9}{4} – \frac{2}{3} = \frac{27}{12} – \frac{8}{12} = \frac{19}{12} \)
Takže:
\( y = -\frac{9}{4} x + \frac{19}{12} \)
42. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4} \) v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme hodnotu funkce v bodě \( x=2 \):
\( f(2) = \sqrt{2^2 + 4} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \)
Derivujeme funkci:
\( f(x) = (x^2 + 4)^{\frac{1}{2}} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2} (x^2 + 4)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}} \)
Dosadíme \( x=2 \):
\( f'(2) = \frac{2}{\sqrt{4 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{8}} = \frac{2}{2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Rovnice tečny v bodě \( x=2 \):
\( y – f(2) = f'(2)(x – 2) \Rightarrow y – 2 \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (x – 2) \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{2}} x – \frac{2}{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} \)
Zjednodušíme:
\( -\frac{2}{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} = -\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \)
Takže rovnice tečny:
\( y = \frac{1}{\sqrt{2}} x + \sqrt{2} \)
43. Určete rovnici normály ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve spočítáme hodnotu funkce v bodě \( x=1 \):
\( f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln(2) \)
Derivujeme funkci:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Dosadíme \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \)
Směrnice normály je kolmá ke směrnici tečny, tedy:
\( m_{\text{normála}} = -\frac{1}{f'(1)} = -1 \)
Rovnice normály v bodě \( x=1 \):
\( y – \ln(2) = -1 (x – 1) \Rightarrow y = -x + 1 + \ln(2) \)
44. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \arctan(x) \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě \( x=0 \):
\( f(0) = \arctan(0) = 0 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
Dosadíme \( x=0 \):
\( f'(0) = \frac{1}{1 + 0} = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 1 (x – 0) \Rightarrow y = x \)
Směrnice normály je:
\( m_{\text{normála}} = -\frac{1}{1} = -1 \)
Rovnice normály:
\( y – 0 = -1 (x – 0) \Rightarrow y = -x \)
45. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = e^{2x} \) v bodě \( x = \ln(2)/2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\ln(2)}{2}\right) = e^{2 \cdot \frac{\ln(2)}{2}} = e^{\ln(2)} = 2 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 2 e^{2x} \)
Dosadíme \( x = \frac{\ln(2)}{2} \):
\( f’\left(\frac{\ln(2)}{2}\right) = 2 e^{2 \cdot \frac{\ln(2)}{2}} = 2 \cdot 2 = 4 \)
Rovnice tečny:
\( y – 2 = 4 \left( x – \frac{\ln(2)}{2} \right) \Rightarrow y = 4x – 2 \ln(2) + 2 \)
46. Určete rovnici normály ke grafu funkce \( f(x) = \sin(x) + \cos(x) \) v bodě \( x = \frac{\pi}{4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě \( x = \frac{\pi}{4} \):
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \cos(x) – \sin(x) \)
Dosadíme \( x = \frac{\pi}{4} \):
\( f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} – \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} = 0 \)
Směrnice tečny je 0, tedy tečna je vodorovná s rovnicí:
\( y = \sqrt{2} \)
Směrnice normály je neomezená (kolmá k vodorovné přímce), tedy je svislá přímka:
\( x = \frac{\pi}{4} \)
47. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě \( x=2 \):
\( f(2) = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \)
Derivace funkce:
\( f(x) = x^{-2} \Rightarrow f'(x) = -2 x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)
Dosadíme \( x=2 \):
\( f'(2) = -\frac{2}{8} = -\frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} (x – 2) \Rightarrow y = -\frac{1}{4} x + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4} x + \frac{3}{4} \)
48. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x \sqrt{4 – x^2} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = 1 \cdot \sqrt{4 – 1} = \sqrt{3} \)
Derivujeme funkci pomocí součinu:
\( f(x) = x \cdot (4 – x^2)^{\frac{1}{2}} \)
Nechť \( u = x \), \( v = (4 – x^2)^{\frac{1}{2}} \), pak \( u‘ = 1 \), \( v‘ = \frac{1}{2}(4 – x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{4 – x^2}} \)
Derivace:
\( f'(x) = u‘ v + u v‘ = (1) \cdot \sqrt{4 – x^2} + x \cdot \left(-\frac{x}{\sqrt{4 – x^2}}\right) = \sqrt{4 – x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{4 – x^2}} \)
Společný jmenovatel:
\( f'(x) = \frac{(4 – x^2) – x^2}{\sqrt{4 – x^2}} = \frac{4 – 2x^2}{\sqrt{4 – x^2}} \)
Dosadíme \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{4 – 2 \cdot 1}{\sqrt{4 – 1}} = \frac{4 – 2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
Rovnice tečny:
\( y – \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} (x – 1) \Rightarrow y = \frac{2}{\sqrt{3}} x – \frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} \)
Zjednodušíme:
\( -\frac{2}{\sqrt{3}} + \sqrt{3} = -\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Takže:
\( y = \frac{2}{\sqrt{3}} x + \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Směrnice normály je:
\( m_{\text{normála}} = -\frac{1}{f'(1)} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Rovnice normály:
\( y – \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} (x – 1) \Rightarrow y = -\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
49. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \frac{1}{1 + e^{0}} = \frac{1}{2} \)
Derivace funkce (logistická funkce):
\( f'(x) = \frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2} \)
Dosadíme \( x=0 \):
\( f'(0) = \frac{e^{0}}{(1 + e^{0})^2} = \frac{1}{(1 + 1)^2} = \frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2} = \frac{1}{4} (x – 0) \Rightarrow y = \frac{1}{4} x + \frac{1}{2} \)
50. Určete rovnici normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x}{1+x^2} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \)
Derivace funkce pomocí podílového pravidla:
Nechť \( u = x \), \( v = 1 + x^2 \), pak \( u‘ = 1 \), \( v‘ = 2x \).
\( f'(x) = \frac{u‘ v – u v‘}{v^2} = \frac{1 \cdot (1 + x^2) – x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 + x^2 – 2x^2}{(1 + x^2)^2} = \frac{1 – x^2}{(1 + x^2)^2} \)
Dosadíme \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1 – 1}{(1 + 1)^2} = \frac{0}{4} = 0 \)
Směrnice tečny je 0, tedy tečna je vodorovná přímka:
\( y = \frac{1}{2} \)
Normála je svislá přímka, tedy:
\( x = 1 \)
51. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě \( x=1 \):
\( f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln(2) \)
Derivace funkce pomocí řetězového pravidla:
\( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1 \)
Rovnice tečny v bodě \( (1, \ln(2)) \) je:
\( y – \ln(2) = 1 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = x – 1 + \ln(2) \)
Rovnice normály je kolmá na tečnu, takže její směrnice je záporný převrácený tvar směrnice tečny:
\( m_{normála} = -\frac{1}{1} = -1 \)
Rovnice normály:
\( y – \ln(2) = -1 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = -x + 1 + \ln(2) \)
52. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = e^{2x} \sin x \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = e^0 \cdot \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0 \)
Derivace funkce pomocí pravidla pro součin:
\( f'(x) = (e^{2x})‘ \sin x + e^{2x} (\sin x)‘ = 2 e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 2 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 \)
Rovnice tečny v bodě \( (0,0) \):
\( y – 0 = 1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = x \)
Směrnice normály je záporný převrácený tvar směrnice tečny:
\( m_{normála} = -\frac{1}{1} = -1 \)
Rovnice normály:
\( y – 0 = -1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = -x \)
53. Určete rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{x+4} \) v bodě, kde je tečna rovnoběžná s přímkou \( y = 3x + 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Směrnice tečny je rovna směrnici přímky, tj. \( m = 3 \).
Funkce je \( f(x) = \sqrt{x+4} = (x+4)^{\frac{1}{2}} \).
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{2} (x+4)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} \)
Hledáme \( x \), kde \( f'(x) = 3 \):
\( \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = 3 \Rightarrow 2\sqrt{x+4} = \frac{1}{3} \Rightarrow \sqrt{x+4} = \frac{1}{6} \)
\( x+4 = \frac{1}{36} \Rightarrow x = \frac{1}{36} – 4 = \frac{1 – 144}{36} = -\frac{143}{36} \)
Hodnota funkce v tomto bodě:
\( f\left(-\frac{143}{36}\right) = \sqrt{-\frac{143}{36} + 4} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{6} = 3 \left( x + \frac{143}{36} \right) \Rightarrow y = 3x + \frac{143}{12} + \frac{1}{6} = 3x + \frac{145}{12} \)
54. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \)
Derivace funkce pomocí pravidla pro složenou funkci:
\( f(x) = (x^2 + 1)^{-1} \Rightarrow f'(x) = -1 \cdot (x^2 + 1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = -\frac{2 \cdot 1}{(1 + 1)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} (x – 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2} x + 1 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{-\frac{1}{2}} = 2 \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2} = 2(x – 1) \Rightarrow y = 2x – \frac{3}{2} \)
55. Určete rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \) v bodě, kde je normála vodorovná.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Normála je kolmá na tečnu, takže směrnice normály je \( m_{normála} = -\frac{1}{f'(x)} \).
Normála je vodorovná \( \Rightarrow m_{normála} = 0 \Rightarrow -\frac{1}{f'(x)} = 0 \Rightarrow f'(x) \to \infty \) – nemožné.
Jiný přístup: normála vodorovná znamená, že její směrnice je 0, tedy tečna je kolmá (vertikální) – tj. derivace není definována, nebo nekonečná.
Derivace funkce:
\( f'(x) = 3x^2 – 3 \)
Rovnice tečny bude vertikální, tj. \( x = a \) takové, že derivace není definovaná nebo jde do nekonečna. Proto hledáme místa, kde derivace neexistuje – derivace je všude definovaná.
To znamená, že normála nemůže být vodorovná podle směrnice. Takže přehodnotíme zadání – normála má směrnici 0 \Rightarrow tečna má směrnici \( m = \infty \) (vertikální).
Vertikální tečna nastává, kde derivace je nedefinovaná nebo nekonečná – zde nikde, protože \( f'(x) \) je polynom.
Závěr: na normálu s nulovou směrnicí odpovídá vertikální tečna, která v tomto případě neexistuje.
Pokud bychom chtěli tečnu s vodorovnou normálou, musíme hledat místa, kde je \( f'(x) = 0 \) (tečna je vodorovná) a normála má směrnici nekonečnou.
Proto najdeme místa \( f'(x) = 0 \):
\( 3x^2 – 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
Hodnoty funkce v těchto bodech:
\( f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 \)
\( f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 \)
Rovnice tečen s derivací 0 (vodorovných):
Pro \( x=1 \):
\( y = -1 \)
Pro \( x=-1 \):
\( y = 3 \)
56. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \arctan x \) v bodě \( x = \sqrt{3} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce v bodě:
\( f(\sqrt{3}) = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \)
Derivace funkce je:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
Dosazení \( x = \sqrt{3} \):
\( f'(\sqrt{3}) = \frac{1}{1 + 3} = \frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{\pi}{3} = \frac{1}{4}(x – \sqrt{3}) \Rightarrow y = \frac{1}{4}x – \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{3} \)
57. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x e^{-x} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \)
Derivace pomocí pravidla pro součin:
\( f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x} – x e^{-x} = e^{-x} (1 – x) \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = e^0 (1 – 0) = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = x \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{1} = -1 \)
Rovnice normály:
\( y – 0 = -1 (x – 0) \Rightarrow y = -x \)
58. Určete rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x+1}{x-1} \) v bodě, kde je směrnice tečny rovna 2.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Derivace funkce pomocí podílového pravidla:
Nechť \( u = x+1 \), \( v = x-1 \), pak \( u‘ = 1 \), \( v‘ = 1 \).
\( f'(x) = \frac{u‘ v – u v‘}{v^2} = \frac{1 \cdot (x-1) – (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x – 1 – x – 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2} \)
Hledáme \( x \), kde \( f'(x) = 2 \):
\( \frac{-2}{(x-1)^2} = 2 \Rightarrow -2 = 2 (x-1)^2 \Rightarrow (x-1)^2 = -1 \) – není řešení v reálných číslech.
Hledáme \( f'(x) = -2 \):
\( \frac{-2}{(x-1)^2} = -2 \Rightarrow (x-1)^2 = 1 \Rightarrow x-1 = \pm 1 \Rightarrow x = 2 \text{ nebo } 0 \)
Pro \( x=2 \):
\( f(2) = \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3 \)
Rovnice tečny s směrnicí -2:
\( y – 3 = -2 (x – 2) \Rightarrow y = -2x + 7 \)
Pro \( x=0 \):
\( f(0) = \frac{0+1}{0-1} = -1 \)
Rovnice tečny:
\( y + 1 = -2 (x – 0) \Rightarrow y = -2x – 1 \)
59. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \sin(x^2) \) v bodě \( x= \pi \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(\pi) = \sin(\pi^2) \)
Derivace funkce pomocí řetězového pravidla:
\( f'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x \)
Dosazení \( x=\pi \):
\( f'(\pi) = \cos(\pi^2) \cdot 2\pi \)
Rovnice tečny:
\( y – \sin(\pi^2) = 2\pi \cos(\pi^2) (x – \pi) \Rightarrow y = 2\pi \cos(\pi^2) (x – \pi) + \sin(\pi^2) \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{2\pi \cos(\pi^2)} \)
Rovnice normály:
\( y – \sin(\pi^2) = -\frac{1}{2\pi \cos(\pi^2)} (x – \pi) \)
60. Určete rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x^3 – 1}{x} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkci lze upravit:
\( f(x) = \frac{x^3 – 1}{x} = x^2 – \frac{1}{x} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = 2x – (-1) \cdot x^{-2} = 2x + \frac{1}{x^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f(1) = 1^2 – 1 = 0 \)
\( f'(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 3 (x – 1) \Rightarrow y = 3x – 3 \)
61. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) v bodě \( x = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln 2 \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – \ln 2 = 1 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = x – 1 + \ln 2 \)
62. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \) v bodě, kde tečna je vodorovná.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Derivace:
\( f'(x) = 3x^2 – 3 \)
Hledáme \( x \), kde \( f'(x) = 0 \):
\( 3x^2 – 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
Pro \( x=1 \):
\( f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 \)
Rovnice tečny (vodorovná):
\( y = -1 \)
Směrnice normály je nedefinovaná (svislá přímka):
Rovnice normály: \( x = 1 \)
Pro \( x=-1 \):
\( f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 \)
Rovnice tečny:
\( y = 3 \)
Rovnice normály:
\( x = -1 \)
63. Určete rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 5} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Nejprve upravme pod odmocninou:
\( x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1 \)
Hodnota funkce:
\( f(1) = \sqrt{1^2 + 4 \cdot 1 + 5} = \sqrt{10} \)
Derivace pomocí řetězového pravidla:
\( f'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + 4x + 5}} \cdot (2x + 4) = \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1 + 2}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)
Rovnice tečny:
\( y – \sqrt{10} = \frac{3}{\sqrt{10}} (x – 1) \Rightarrow y = \frac{3}{\sqrt{10}} (x – 1) + \sqrt{10} \)
64. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) v bodě \( x = -1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(-1) = \frac{1}{(-1)^2} = 1 \)
Derivace:
\( f'(x) = -2 x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)
Dosazení \( x = -1 \):
\( f'(-1) = -\frac{2}{(-1)^3} = 2 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = 2 (x + 1) \Rightarrow y = 2x + 3 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{2} \)
Rovnice normály:
\( y – 1 = -\frac{1}{2} (x + 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} x + \frac{3}{2} \)
65. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = e^{2x} \cos x \) v bodě \( x = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = e^{0} \cdot \cos 0 = 1 \cdot 1 = 1 \)
Derivace pomocí pravidla pro součin:
\( f'(x) = \frac{d}{dx} (e^{2x}) \cdot \cos x + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(\cos x) = 2 e^{2x} \cos x – e^{2x} \sin x \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 2 \cdot 1 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 2 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = 2 (x – 0) \Rightarrow y = 2x + 1 \)
66. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \arcsin \frac{x}{2} \) v bodě \( x = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 – \left(\frac{x}{2}\right)^2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sqrt{1 – \frac{x^2}{4}}} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{4 – x^2}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{4 – x^2}} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1}{\sqrt{4 – 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} (x – 1) \Rightarrow y = \frac{1}{\sqrt{3}} (x – 1) + \frac{\pi}{6} \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\sqrt{3} \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{\pi}{6} = -\sqrt{3} (x – 1) \)
67. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \tan^{-1}(x^2 – 1) \) v bodě \( x = 2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(2) = \arctan(2^2 – 1) = \arctan(3) \)
Derivace pomocí řetězového pravidla:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + (x^2 – 1)^2} \cdot 2x \)
Dosazení \( x=2 \):
\( f'(2) = \frac{1}{1 + 3^2} \cdot 4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
Rovnice tečny:
\( y – \arctan(3) = \frac{2}{5} (x – 2) \)
68. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x \sqrt{4 – x^2} \) v bodě \( x = 1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = 1 \cdot \sqrt{4 – 1} = \sqrt{3} \)
Derivace pomocí pravidla pro součin a řetězového pravidla:
\( f'(x) = \sqrt{4 – x^2} + x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{4 – x^2}} \cdot (-2x) = \sqrt{4 – x^2} – \frac{x^2}{\sqrt{4 – x^2}} \)
Sjednocení:
\( f'(x) = \frac{(4 – x^2) – x^2}{\sqrt{4 – x^2}} = \frac{4 – 2x^2}{\sqrt{4 – x^2}} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{4 – 2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \)
Rovnice tečny:
\( y – \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} (x – 1) \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)
Rovnice normály:
\( y – \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} (x – 1) \)
69. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \ln(\sin x) \) v bodě \( x = \frac{\pi}{4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \ln\left(\sin \frac{\pi}{4}\right) = \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
Derivace funkce:
\( f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \)
Dosazení \( x = \frac{\pi}{4} \):
\( f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 \cdot \left(x – \frac{\pi}{4}\right) \Rightarrow y = x – \frac{\pi}{4} + \ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)
70. Určete rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \)
Derivace funkce pomocí podílového pravidla:
Nechť \( u = x \), \( v = x^2 + 1 \), \( u‘ = 1 \), \( v‘ = 2x \).
\( f'(x) = \frac{u‘ v – u v‘}{v^2} = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) – x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 – 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 – x^2}{(x^2 + 1)^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1 – 1}{(1 + 1)^2} = 0 \)
Rovnice tečny (vodorovná):
\( y = \frac{1}{2} \)
Směrnice normály je nedefinovaná (svislá):
Rovnice normály:
\( x = 1 \)
71. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \ln(1^2 + 1) = \ln 2 \)
Derivace funkce (řetězové pravidlo):
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – \ln 2 = 1 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = x – 1 + \ln 2 \)
72. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^3 \sqrt{x} \) v bodě \( x=4 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Funkce lze přepsat jako:
\( f(x) = x^3 \cdot x^{1/2} = x^{3 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{2}} \)
Derivace:
\( f'(x) = \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} \)
Hodnota funkce v \( x=4 \):
\( f(4) = 4^{\frac{7}{2}} = (4^{\frac{1}{2}})^7 = 2^7 = 128 \)
Derivace v \( x=4 \):
\( f'(4) = \frac{7}{2} \cdot 4^{\frac{5}{2}} = \frac{7}{2} \cdot (4^{\frac{1}{2}})^5 = \frac{7}{2} \cdot 2^5 = \frac{7}{2} \cdot 32 = 112 \)
Rovnice tečny:
\( y – 128 = 112 (x – 4) \Rightarrow y = 112x – 320 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{112} \)
Rovnice normály:
\( y – 128 = -\frac{1}{112} (x – 4) \)
73. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \) v bodě \( x = \pi \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(\pi) = \frac{\sin \pi}{\pi} = 0 \)
Derivace pomocí podílového pravidla:
\( f'(x) = \frac{x \cos x – \sin x}{x^2} \)
Dosazení \( x = \pi \):
\( f'(\pi) = \frac{\pi \cos \pi – \sin \pi}{\pi^2} = \frac{\pi (-1) – 0}{\pi^2} = -\frac{1}{\pi} \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = -\frac{1}{\pi}(x – \pi) \Rightarrow y = -\frac{1}{\pi}x + 1 \)
74. Určete rovnici normály ke grafu funkce \( f(x) = e^{x^2} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = e^{0} = 1 \)
Derivace pomocí řetězového pravidla:
\( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = e^{0} \cdot 0 = 0 \)
Směrnice normály:
Tečna má směrnici 0, takže normála je kolmice k ose x, tedy vertikální přímka
Rovnice normály:
\( x = 0 \)
75. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{1 – x^2} \) v bodě \( x = \frac{1}{2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 – \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Derivace (řetězové pravidlo):
\( f'(x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1 – x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 – x^2}} \)
Dosazení \( x = \frac{1}{2} \):
\( f’\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \left(x – \frac{1}{2}\right) \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{m_{tečna}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left(x – \frac{1}{2}\right) \)
76. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \arcsin\left(\frac{x}{2}\right) \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \)
Derivace funkce (řetězové pravidlo):
\( f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 – \left(\frac{x}{2}\right)^2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \sqrt{1 – \frac{x^2}{4}}} = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{4 – x^2}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{4 – x^2}} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1}{\sqrt{4 – 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}(x – 1) \)
77. Najděte rovnici normály ke grafu funkce \( f(x) = x \ln x \) v bodě \( x = e \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(e) = e \ln e = e \cdot 1 = e \)
Derivace (součinové pravidlo):
\( f'(x) = \ln x + 1 \)
Dosazení \( x = e \):
\( f'(e) = \ln e + 1 = 1 + 1 = 2 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{2} \)
Rovnice normály:
\( y – e = -\frac{1}{2}(x – e) \)
78. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \)
Derivace (řetězové pravidlo):
\( f'(x) = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = -\frac{2 \cdot 1}{(1 + 1)^2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}(x – 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 1 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = 2 \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2} = 2(x – 1) \Rightarrow y = 2x – \frac{3}{2} \)
79. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \ln \left( \sqrt{x^2 + 4} \right) \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \ln \sqrt{0 + 4} = \ln 2 \)
Derivace:
\( f(x) = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 4) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2 + 4} = \frac{x}{x^2 + 4} \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y – \ln 2 = 0 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = \ln 2 \)
80. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x^2}{\sqrt{1 – x^2}} \) v bodě \( x = \frac{1}{2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2}{\sqrt{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^2}} = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{1 – \frac{1}{4}}} = \frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{3}{4}}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} \)
Derivace pomocí podílového pravidla (nebo součinu s exponentem -1/2):
Nechť \( u = x^2 \), \( v = (1 – x^2)^{-\frac{1}{2}} \), pak
\( u‘ = 2x \),
\( v‘ = -\frac{1}{2} (1 – x^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot (-2x) = \frac{x}{(1 – x^2)^{\frac{3}{2}}} \)
Derivace:
\( f'(x) = u‘ v + u v‘ = 2x (1 – x^2)^{-\frac{1}{2}} + x^2 \cdot \frac{x}{(1 – x^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{2x}{\sqrt{1 – x^2}} + \frac{x^3}{(1 – x^2)^{\frac{3}{2}}} \)
Dosazení \( x = \frac{1}{2} \):
\( f’\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{1 – \frac{1}{4}}} + \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^3}{(1 – \frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{\frac{1}{8}}{\left(\frac{3}{4}\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3\sqrt{3}}{8}} = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{6}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{7}{3\sqrt{3}} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{7}{3\sqrt{3}} \left(x – \frac{1}{2}\right) \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{f'(\frac{1}{2})} = -\frac{3\sqrt{3}}{7} \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{7} \left(x – \frac{1}{2}\right) \)
81. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{x+3} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \sqrt{1 + 3} = 2 \)
Derivace:
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+3}} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y – 2 = \frac{1}{4} (x – 1) \Rightarrow y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4} \)
82. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x} \) v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(2) = \frac{1}{2} \)
Derivace:
\( f'(x) = -\frac{1}{x^2} \)
Dosazení \( x=2 \):
\( f'(2) = -\frac{1}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} (x – 2) \Rightarrow y = -\frac{1}{4}x + 1 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = 4 \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2} = 4 (x – 2) \Rightarrow y = 4x – \frac{15}{2} \)
83. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \tan x \) v bodě \( x = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \tan 0 = 0 \)
Derivace:
\( f'(x) = \sec^2 x \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = x \)
84. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \ln (2x + 1) \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \ln(3) \)
Derivace:
\( f'(x) = \frac{2}{2x + 1} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{2}{3} \)
Rovnice tečny:
\( y – \ln 3 = \frac{2}{3} (x – 1) \Rightarrow y = \frac{2}{3} x + \ln 3 – \frac{2}{3} \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{3}{2} \)
Rovnice normály:
\( y – \ln 3 = -\frac{3}{2} (x – 1) \)
85. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = x e^x \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = 0 \cdot e^0 = 0 \)
Derivace (součinové pravidlo):
\( f'(x) = e^x + x e^x = e^x (1 + x) \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = e^0 (1 + 0) = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 1 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = x \)
86. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
Derivace (podílové pravidlo nebo součin s mocninou):
\( f'(x) = \frac{\sqrt{1+x^2} – x \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2} = \frac{(1+x^2) – x^2}{(1+x^2)^{3/2}} = \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1}{(1+1)^{3/2}} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (x – 1) \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -2 \sqrt{2} \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 \sqrt{2} (x – 1) \)
87. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \arctan x \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \)
Derivace:
\( f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1}{2} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2} (x – 1) \)
88. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \cosh x \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \cosh 0 = 1 \)
Derivace:
\( f'(x) = \sinh x \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = 0 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = 1 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = \text{nedefinováno (tečna je vodorovná)} \)
89. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \ln(\sin x) \) v bodě \( x = \frac{\pi}{4} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \ln \left(\sin \frac{\pi}{4}\right) = \ln \frac{\sqrt{2}}{2} \)
Derivace:
\( f'(x) = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \)
Dosazení \( x = \frac{\pi}{4} \):
\( f’\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cot \frac{\pi}{4} = 1 \)
Rovnice tečny:
\( y – \ln \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot \left(x – \frac{\pi}{4}\right) \)
90. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^3 – 3x \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = 1 – 3 = -2 \)
Derivace:
\( f'(x) = 3x^2 – 3 \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = 3 – 3 = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y + 2 = 0 \cdot (x – 1) \Rightarrow y = -2 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = \text{nedefinováno (tečna je vodorovná)} \)
91. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \sqrt{2x – 1} \) v bodě \( x=2 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(2) = \sqrt{3} \)
Derivace:
\( f'(x) = \frac{2}{2 \sqrt{2x – 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x – 1}} \)
Dosazení \( x=2 \):
\( f'(2) = \frac{1}{\sqrt{3}} \)
Rovnice tečny:
\( y – \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} (x – 2) \)
92. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{x^2} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = 1 \)
Derivace:
\( f'(x) = -\frac{2}{x^3} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = -2 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = -2 (x – 1) \Rightarrow y = -2x + 3 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = \frac{1}{2} \)
Rovnice normály:
\( y – 1 = \frac{1}{2} (x – 1) \Rightarrow y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \)
93. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \sin x \) v bodě \( x = \frac{\pi}{2} \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \)
Derivace:
\( f'(x) = \cos x \)
Dosazení \( x = \frac{\pi}{2} \):
\( f’\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = 0 \cdot \left(x – \frac{\pi}{2}\right) \Rightarrow y = 1 \)
94. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = e^{-x} \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = 1 \)
Derivace:
\( f'(x) = -e^{-x} \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = -1 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = -1 (x – 0) \Rightarrow y = -x + 1 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = 1 \)
Rovnice normály:
\( y – 1 = 1 (x – 0) \Rightarrow y = x + 1 \)
95. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \) v bodě \( x=0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \ln 1 = 0 \)
Derivace:
\( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 0 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = 0 \)
96. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = x^4 \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = 1 \)
Derivace:
\( f'(x) = 4x^3 \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = 4 \)
Rovnice tečny:
\( y – 1 = 4 (x – 1) \Rightarrow y = 4x – 3 \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{1}{4} \)
Rovnice normály:
\( y – 1 = -\frac{1}{4} (x – 1) \)
97. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \sin^2 x \) v bodě \( x = 0 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(0) = \sin^2 0 = 0 \)
Derivace (řetězové pravidlo):
\( f'(x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x \)
Dosazení \( x=0 \):
\( f'(0) = \sin 0 = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y – 0 = 0 \cdot (x – 0) \Rightarrow y = 0 \)
98. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) v bodě \( x=4 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(4) = \frac{1}{2} \)
Derivace:
\( f'(x) = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} \)
Dosazení \( x=4 \):
\( f'(4) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{1}{16} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2} = -\frac{1}{16} (x – 4) \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = 16 \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2} = 16 (x – 4) \)
99. Najděte rovnici tečny ke grafu funkce \( f(x) = \cos x \) v bodě \( x = \pi \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(\pi) = -1 \)
Derivace:
\( f'(x) = -\sin x \)
Dosazení \( x = \pi \):
\( f'(\pi) = -\sin \pi = 0 \)
Rovnice tečny:
\( y + 1 = 0 \cdot (x – \pi) \Rightarrow y = -1 \)
100. Najděte rovnice tečny a normály ke grafu funkce \( f(x) = \frac{x^2}{x+1} \) v bodě \( x=1 \).
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Hodnota funkce:
\( f(1) = \frac{1}{2} \)
Derivace (podílové pravidlo):
\( f'(x) = \frac{(2x)(x+1) – x^2 \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x – x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} \)
Dosazení \( x=1 \):
\( f'(1) = \frac{1 + 2}{4} = \frac{3}{4} \)
Rovnice tečny:
\( y – \frac{1}{2} = \frac{3}{4} (x – 1) \Rightarrow y = \frac{3}{4} x – \frac{1}{4} \)
Směrnice normály:
\( m_{normála} = -\frac{4}{3} \)
Rovnice normály:
\( y – \frac{1}{2} = -\frac{4}{3} (x – 1) \)
