Zobrazení, skládání zobrazení, inverzní zobrazení

Řešení příkladu:

Nejprve si zapíšeme dané zobrazení: \( y = 3x + 7 \). Chceme najít inverzní zobrazení, tedy funkci \( f^{-1} \), která platí \( f^{-1}(y) = x \).

Pro inverzi vyjádříme \( x \) z rovnice:

\( y = 3x + 7 \Rightarrow 3x = y – 7 \Rightarrow x = \frac{y – 7}{3} \).

Tedy inverzní zobrazení je \( f^{-1}(y) = \frac{y – 7}{3} \).

Ověříme složením:

\( f(f^{-1}(y)) = f\left(\frac{y – 7}{3}\right) = 3 \cdot \frac{y – 7}{3} + 7 = y – 7 + 7 = y \).

\( f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(3x + 7) = \frac{3x + 7 – 7}{3} = \frac{3x}{3} = x \).

Tím je ověřena správnost inverzního zobrazení.

Řešení příkladu:

Dané zobrazení lze zapsat jako:

\( f\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \).

Chceme najít inverzní zobrazení, tedy matici \( A^{-1} \), kde \( A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} \).

Vypočítáme determinant:

\( \det A = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7 \neq 0 \), takže inverzní matice existuje.

Inverzní matice je:

\( A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix}3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \).

Tedy:

\( f^{-1}\begin{pmatrix}u \\ v\end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix}3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}u \\ v\end{pmatrix} = \left(\frac{3u + v}{7}, \frac{-u + 2v}{7}\right) \).

Ověření složením:

\( f(f^{-1}(u,v)) = f\left(\frac{3u+v}{7}, \frac{-u+2v}{7}\right) = \left(2 \cdot \frac{3u+v}{7} – \frac{-u+2v}{7}, \frac{3u+v}{7} + 3 \cdot \frac{-u+2v}{7}\right) \).

Zjednodušení první souřadnice:

\( \frac{6u + 2v}{7} + \frac{u – 2v}{7} = \frac{7u}{7} = u \).

Druhá souřadnice:

\( \frac{3u + v}{7} + \frac{-3u + 6v}{7} = \frac{7v}{7} = v \).

Složení dává identitu, takže inverzní zobrazení je správné.

Řešení příkladu:

Zadané zobrazení je:

\( y = \frac{2x + 1}{x – 3} \), kde \( x \neq 3 \).

Chceme najít \( g^{-1} \), tedy vyjádřit \( x \) pomocí \( y \).

Vynásobíme rovnost jmenovatelem:

\( y(x – 3) = 2x + 1 \Rightarrow yx – 3y = 2x + 1 \).

Sesadíme členy s \( x \) na levou stranu:

\( yx – 2x = 3y + 1 \Rightarrow x(y – 2) = 3y + 1 \).

Pokud \( y \neq 2 \), pak

\( x = \frac{3y + 1}{y – 2} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( g^{-1}(y) = \frac{3y + 1}{y – 2} \), s výjimkou \( y = 2 \).

Ověření složením:

\( g(g^{-1}(y)) = g\left(\frac{3y + 1}{y – 2}\right) = \frac{2 \cdot \frac{3y + 1}{y – 2} + 1}{\frac{3y + 1}{y – 2} – 3} = \frac{\frac{6y + 2}{y – 2} + 1}{\frac{3y + 1}{y – 2} – \frac{3(y – 2)}{y – 2}} = \frac{\frac{6y + 2 + y – 2}{y – 2}}{\frac{3y + 1 – 3y + 6}{y – 2}} = \frac{\frac{7y}{y – 2}}{\frac{7}{y – 2}} = y \).

Ověření druhým složením necháme na čtenáři, postup je obdobný.

Řešení příkladu:

Nejdříve spočítáme determinant matice \( H \):

\( \det H = 1 \cdot (1 \cdot 4 – (-1) \cdot 0) – 0 + 2 \cdot (0 \cdot 0 – 1 \cdot 3) = 1 \cdot 4 + 0 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2 \neq 0 \).

Matice je regulární, takže inverzní matice existuje.

Pro výpočet inverzní matice použijeme adjungovanou matici a determinant:

Vypočítáme matici minorů a pak kofaktorů:

Minor a kofaktor pro prvek \( (1,1) \): determinant podmatici \( \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 0 & 4\end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – (-1) \cdot 0 = 4 \), kofaktor \( C_{11} = 4 \).

Prvek \( (1,2) \): minor \( \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 3 & 4\end{pmatrix} = 0 \cdot 4 – (-1) \cdot 3 = 3 \), kofaktor \( C_{12} = -3 \) (protože index 1+2=3 je lichý).

Prvek \( (1,3) \): minor \( \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 3 & 0\end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 3 = -3 \), kofaktor \( C_{13} = -3 \).

Prvek \( (2,1) \): minor \( \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 4\end{pmatrix} = 0 \cdot 4 – 2 \cdot 0 = 0 \), kofaktor \( C_{21} = -0 = 0 \) (index 2+1=3 lichý).

Prvek \( (2,2) \): minor \( \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2 \), kofaktor \( C_{22} = -2 \).

Prvek \( (2,3) \): minor \( \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 0\end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 0 \cdot 3 = 0 \), kofaktor \( C_{23} = -0 = 0 \) (index 2+3=5 lichý).

Prvek \( (3,1) \): minor \( \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix} = 0 \cdot (-1) – 2 \cdot 1 = -2 \), kofaktor \( C_{31} = -2 \).

Prvek \( (3,2) \): minor \( \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = 1 \cdot (-1) – 2 \cdot 0 = -1 \), kofaktor \( C_{32} = 1 \) (index 3+2=5 lichý).

Prvek \( (3,3) \): minor \( \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 = 1 \), kofaktor \( C_{33} = 1 \).

Kofaktorová matice je tedy

\( C = \begin{pmatrix}4 & -3 & -3 \\ 0 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & 1\end{pmatrix} \).

Adjungovaná matice je transponovaná kofaktorová:

\( \mathrm{adj}(H) = C^T = \begin{pmatrix}4 & 0 & -2 \\ -3 & -2 & 1 \\ -3 & 0 & 1\end{pmatrix} \).

Inverzní matice je tedy

\( H^{-1} = \frac{1}{\det H} \mathrm{adj}(H) = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix}4 & 0 & -2 \\ -3 & -2 & 1 \\ -3 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 0 & 1 \\ \frac{3}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} & 0 & -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \).

Tedy inverzní zobrazení je dáno maticí \( H^{-1} \) a pro \( \mathbf{v} = (u,v,w) \) platí

\( h^{-1}(\mathbf{v}) = H^{-1} \mathbf{v} = \left(-2u + 0 \cdot v + 1 \cdot w, \frac{3}{2}u + 1 \cdot v – \frac{1}{2} w, \frac{3}{2}u + 0 \cdot v – \frac{1}{2} w\right) \).

Řešení příkladu:

Složením funkcí dostaneme:

\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f\left(\frac{x + 3}{2}\right) = 4 \cdot \frac{x + 3}{2} – 5 = 2(x + 3) – 5 = 2x + 6 – 5 = 2x + 1 \).

Tedy \( (f \circ g)(x) = 2x + 1 \).

Nyní najdeme inverzní zobrazení k \( h(x) = 2x + 1 \):

\( y = 2x + 1 \Rightarrow 2x = y – 1 \Rightarrow x = \frac{y – 1}{2} \).

Inverzní zobrazení je tedy \( h^{-1}(y) = \frac{y – 1}{2} \).

Ověření složením:

\( h(h^{-1}(y)) = 2 \cdot \frac{y – 1}{2} + 1 = y – 1 + 1 = y \).

Složení inverzního zobrazení s původním dává identitu.

Řešení příkladu:

Zadané zobrazení lze zapsat jako:

\( \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + y \\ y – x \end{pmatrix} \).

Máme soustavu rovnic:

\( u = x + y \),

\( v = y – x \).

Sčítáme obě rovnice:

\( u + v = x + y + y – x = 2y \Rightarrow y = \frac{u + v}{2} \).

Odečteme druhou rovnici od první:

\( u – v = x + y – (y – x) = x + y – y + x = 2x \Rightarrow x = \frac{u – v}{2} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{u – v}{2}, \frac{u + v}{2}\right) \).

Ověření složením:

\( f(f^{-1}(u,v)) = f\left(\frac{u – v}{2}, \frac{u + v}{2}\right) = \left(\frac{u – v}{2} + \frac{u + v}{2}, \frac{u + v}{2} – \frac{u – v}{2}\right) = (u, v) \).

Řešení příkladu:

Zadané zobrazení lze zapsat jako:

\( \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x – y \\ x + 3y \end{pmatrix} \).

Máme soustavu rovnic:

\( u = 2x – y \),

\( v = x + 3y \).

Z první rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = 2x – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = x + 3(2x – u) = x + 6x – 3u = 7x – 3u \Rightarrow 7x = v + 3u \Rightarrow x = \frac{v + 3u}{7} \).

Dosadíme zpět pro \( y \):

\( y = 2 \cdot \frac{v + 3u}{7} – u = \frac{2v + 6u}{7} – u = \frac{2v + 6u – 7u}{7} = \frac{2v – u}{7} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{v + 3u}{7}, \frac{2v – u}{7}\right) \).

Ověření složením:

\( f\left(f^{-1}(u,v)\right) = f\left(\frac{v + 3u}{7}, \frac{2v – u}{7}\right) = \left(2 \cdot \frac{v + 3u}{7} – \frac{2v – u}{7}, \frac{v + 3u}{7} + 3 \cdot \frac{2v – u}{7}\right) \)

= \left(\frac{2v + 6u – 2v + u}{7}, \frac{v + 3u + 6v – 3u}{7}\right) = \left(\frac{7u}{7}, \frac{7v}{7}\right) = (u,v) \).

Řešení příkladu:

Zadané zobrazení:

\( u = 3x + 4y \),

\( v = 2x – y \).

Vyjádříme z druhé rovnice \( y \):

\( y = 2x – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 3x + 4(2x – v) = 3x + 8x – 4v = 11x – 4v \Rightarrow 11x = u + 4v \Rightarrow x = \frac{u + 4v}{11} \).

Dosadíme do \( y \):

\( y = 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – v = \frac{2u + 8v}{11} – v = \frac{2u + 8v – 11v}{11} = \frac{2u – 3v}{11} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{u + 4v}{11}, \frac{2u – 3v}{11}\right) \).

Ověření:

\( f\left(f^{-1}(u,v)\right) = f\left(\frac{u + 4v}{11}, \frac{2u – 3v}{11}\right) = \left(3 \cdot \frac{u + 4v}{11} + 4 \cdot \frac{2u – 3v}{11}, 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – \frac{2u – 3v}{11}\right) \)

= \left(\frac{3u + 12v + 8u – 12v}{11}, \frac{2u + 8v – 2u + 3v}{11}\right) = \left(\frac{11u}{11}, \frac{11v}{11}\right) = (u,v) \).

Řešení příkladu:

Zadáno:

\( u = x + 2y \),

\( v = 5x + 3y \).

Vyjádříme \( x \) z první rovnice:

\( x = u – 2y \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 5(u – 2y) + 3y = 5u – 10y + 3y = 5u – 7y \Rightarrow 7y = 5u – v \Rightarrow y = \frac{5u – v}{7} \).

Dosadíme zpět pro \( x \):

\( x = u – 2 \cdot \frac{5u – v}{7} = \frac{7u – 10u + 2v}{7} = \frac{-3u + 2v}{7} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{-3u + 2v}{7}, \frac{5u – v}{7}\right) \).

Ověření složením:

\( f\left(f^{-1}(u,v)\right) = f\left(\frac{-3u + 2v}{7}, \frac{5u – v}{7}\right) = \left(\frac{-3u + 2v}{7} + 2 \cdot \frac{5u – v}{7}, 5 \cdot \frac{-3u + 2v}{7} + 3 \cdot \frac{5u – v}{7}\right) \)

= \left(\frac{-3u + 2v + 10u – 2v}{7}, \frac{-15u + 10v + 15u – 3v}{7}\right) = \left(\frac{7u}{7}, \frac{7v}{7}\right) = (u,v) \).

Řešení příkladu:

Zadané zobrazení:

\( u = 4x + y \),

\( v = 3x + 2y \).

Z první rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = u – 4x \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 3x + 2(u – 4x) = 3x + 2u – 8x = 2u – 5x \Rightarrow 5x = 2u – v \Rightarrow x = \frac{2u – v}{5} \).

Dosadíme zpět do \( y \):

\( y = u – 4 \cdot \frac{2u – v}{5} = \frac{5u – 8u + 4v}{5} = \frac{-3u + 4v}{5} \).

Tedy inverzní zobrazení:

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{2u – v}{5}, \frac{-3u + 4v}{5}\right) \).

Ověření složením:

\( f\left(f^{-1}(u,v)\right) = \left(4 \cdot \frac{2u – v}{5} + \frac{-3u + 4v}{5}, 3 \cdot \frac{2u – v}{5} + 2 \cdot \frac{-3u + 4v}{5}\right) \)

= \left(\frac{8u – 4v – 3u + 4v}{5}, \frac{6u – 3v – 6u + 8v}{5}\right) = \left(\frac{5u}{5}, \frac{5v}{5}\right) = (u,v) \).

Řešení příkladu:

Soustava rovnic:

\( u = x – y \),

\( v = 2x + y \).

Sčteme obě rovnice:

\( u + v = x – y + 2x + y = 3x \Rightarrow x = \frac{u + v}{3} \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = \frac{u + v}{3} – y \Rightarrow y = \frac{u + v}{3} – u = \frac{u + v – 3u}{3} = \frac{v – 2u}{3} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{u + v}{3}, \frac{v – 2u}{3}\right) \).

Ověření:

\( f(f^{-1}(u,v)) = \left(\frac{u + v}{3} – \frac{v – 2u}{3}, 2 \cdot \frac{u + v}{3} + \frac{v – 2u}{3}\right) = \left(\frac{u + v – v + 2u}{3}, \frac{2u + 2v + v – 2u}{3}\right) = (u,v) \).

Řešení:

Soustava rovnic:

\( u = 5x + 2y \),

\( v = -x + 3y \).

Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:

\( x = 3y – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 5(3y – v) + 2y = 15y – 5v + 2y = 17y – 5v \Rightarrow 17y = u + 5v \Rightarrow y = \frac{u + 5v}{17} \).

Dosadíme do \( x \):

\( x = 3 \cdot \frac{u + 5v}{17} – v = \frac{3u + 15v}{17} – v = \frac{3u + 15v – 17v}{17} = \frac{3u – 2v}{17} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{3u – 2v}{17}, \frac{u + 5v}{17}\right) \).

Ověření složením:

\( f(f^{-1}(u,v)) = \left(5 \cdot \frac{3u – 2v}{17} + 2 \cdot \frac{u + 5v}{17}, -\frac{3u – 2v}{17} + 3 \cdot \frac{u + 5v}{17}\right) \)

= \left(\frac{15u – 10v + 2u + 10v}{17}, \frac{-3u + 2v + 3u + 15v}{17}\right) = \left(\frac{17u}{17}, \frac{17v}{17}\right) = (u,v) \).

Řešení příkladu:

Soustava:

\( u = x + y \),

\( v = 4x + y \).

Odečteme první rovnici od druhé:

\( v – u = 4x + y – (x + y) = 3x \Rightarrow x = \frac{v – u}{3} \).

Dosadíme zpět do první rovnice:

\( u = \frac{v – u}{3} + y \Rightarrow y = u – \frac{v – u}{3} = \frac{3u – v + u}{3} = \frac{4u – v}{3} \).

Tedy inverzní zobrazení:

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{v – u}{3}, \frac{4u – v}{3}\right) \).

Ověření složením:

\( f(f^{-1}(u,v)) = \left(\frac{v – u}{3} + \frac{4u – v}{3}, 4 \cdot \frac{v – u}{3} + \frac{4u – v}{3}\right) = (u,v) \).

Řešení:

Soustava rovnic:

\( u = 7x + 3y \),

\( v = 2x + 5y \).

Vypočteme determinant matice koeficientů:

\( \Delta = 7 \cdot 5 – 3 \cdot 2 = 35 – 6 = 29 \neq 0 \), takže matice je regulární a inverzní existuje.

Vyjádříme \( x \) a \( y \):

\( x = \frac{1}{\Delta}(5u – 3v) = \frac{5u – 3v}{29} \),

\( y = \frac{1}{\Delta}(-2u + 7v) = \frac{-2u + 7v}{29} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{5u – 3v}{29}, \frac{-2u + 7v}{29}\right) \).

Ověření:

\( f(f^{-1}(u,v)) = \left(7 \cdot \frac{5u – 3v}{29} + 3 \cdot \frac{-2u + 7v}{29}, 2 \cdot \frac{5u – 3v}{29} + 5 \cdot \frac{-2u + 7v}{29}\right) = (u,v) \).

Řešení:

Soustava rovnic:

\( u = 2x + 5y \),

\( v = -3x + 4y \).

Determinant matice koeficientů:

\( \Delta = 2 \cdot 4 – 5 \cdot (-3) = 8 + 15 = 23 \neq 0 \).

Vyjádříme \( x \) a \( y \):

\( x = \frac{1}{\Delta}(4u – 5v) = \frac{4u – 5v}{23} \),

\( y = \frac{1}{\Delta}(3u + 2v) = \frac{3u + 2v}{23} \).

Tedy inverzní zobrazení:

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{4u – 5v}{23}, \frac{3u + 2v}{23}\right) \).

Ověření složením:

\( f(f^{-1}(u,v)) = (u,v) \).

Řešení:

Soustava rovnic:

\( u = x – 4y \),

\( v = 3x + y \).

Vyjádříme \( x \) z první rovnice:

\( x = u + 4y \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 3(u + 4y) + y = 3u + 12y + y = 3u + 13y \Rightarrow 13y = v – 3u \Rightarrow y = \frac{v – 3u}{13} \).

Dosadíme zpět do \( x \):

\( x = u + 4 \cdot \frac{v – 3u}{13} = \frac{13u + 4v – 12u}{13} = \frac{u + 4v}{13} \).

Tedy inverzní zobrazení:

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{u + 4v}{13}, \frac{v – 3u}{13}\right) \).

Ověření složením:

\( f(f^{-1}(u,v)) = (u,v) \).

Řešení:

Zadané zobrazení je afinní, ne jen lineární, protože obsahuje konstantní složky \( +1 \) a \( -4 \). Nejprve zapišme rovnice pro obecný obraz:

\( u = 3x – 2y + 1 \),

\( v = 5x + y – 4 \).

Odstraníme konstanty přičtením k opačným stranám:

\( u – 1 = 3x – 2y \),

\( v + 4 = 5x + y \).

Máme tedy lineární soustavu:

\( 3x – 2y = u – 1 \),

\( 5x + y = v + 4 \).

Vypočítáme determinant matice koeficientů:

\( \Delta = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 – (-2) \cdot 5 = 3 + 10 = 13 \neq 0 \),

matice je regulární, lze inverzi nalézt.

Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:

\( y = v + 4 – 5x \Rightarrow y = v + 4 – 5x \).

Dosadíme do první rovnice:

\( 3x – 2(v + 4 – 5x) = u – 1 \Rightarrow 3x – 2v – 8 + 10x = u – 1 \Rightarrow 13x = u – 1 + 2v + 8 \Rightarrow 13x = u + 2v + 7 \).

Odtud

\( x = \frac{u + 2v + 7}{13} \).

Dosadíme zpět pro \( y \):

\( y = v + 4 – 5 \cdot \frac{u + 2v + 7}{13} = \frac{13(v + 4) – 5(u + 2v + 7)}{13} = \frac{13v + 52 – 5u – 10v – 35}{13} = \frac{3v + 17 – 5u}{13} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 2v + 7}{13}, \frac{3v + 17 – 5u}{13} \right) \).

Ověření složením:

\( f\left(f^{-1}(u,v)\right) = f\left( \frac{u + 2v + 7}{13}, \frac{3v + 17 – 5u}{13} \right) = \left( 3 \cdot \frac{u + 2v + 7}{13} – 2 \cdot \frac{3v + 17 – 5u}{13} + 1, \, 5 \cdot \frac{u + 2v + 7}{13} + \frac{3v + 17 – 5u}{13} – 4 \right) \).

Vypočítáme první souřadnici:

\( \frac{3(u + 2v + 7)}{13} – \frac{2(3v + 17 – 5u)}{13} + 1 = \frac{3u + 6v + 21 – 6v – 34 + 10u}{13} + 1 = \frac{13u – 13}{13} + 1 = u – 1 + 1 = u \).

Druhá souřadnice:

\( \frac{5(u + 2v + 7)}{13} + \frac{3v + 17 – 5u}{13} – 4 = \frac{5u + 10v + 35 + 3v + 17 – 5u}{13} – 4 = \frac{13v + 52}{13} – 4 = v + 4 – 4 = v \).

Složení dává identitu, tedy ověření je úspěšné.

Řešení:

Inverzní zobrazení \( f^{-1} \) odpovídá inverzní matici \( A^{-1} \), kterou vypočteme.

Nejprve spočítáme determinant \( \det A \):

\( \det A = 1 \cdot (3 \cdot 1 – 4 \cdot (-2)) – 2 \cdot (0 \cdot 1 – 4 \cdot 5) + (-1) \cdot (0 \cdot (-2) – 3 \cdot 5) \)

\( = 1 \cdot (3 + 8) – 2 \cdot (0 – 20) – 1 \cdot (0 – 15) = 1 \cdot 11 + 40 + 15 = 66 \neq 0 \).

Matice je regulární, lze inverzi najít.

Najdeme matici adjungovanou (matici algebraických doplňků převedenou transpozicí).

Algebraické doplňky:

\( C_{11} = \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 4 \cdot (-2) = 3 + 8 = 11 \),

\( C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = -(0 \cdot 1 – 4 \cdot 5) = -(-20) = 20 \),

\( C_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} = 0 \cdot (-2) – 3 \cdot 5 = -15 \),

\( C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – (-1) \cdot (-2)) = – (2 – 2) = 0 \),

\( C_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 5 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – (-1) \cdot 5 = 1 + 5 = 6 \),

\( C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & -2 \end{pmatrix} = – (1 \cdot (-2) – 2 \cdot 5) = – (-2 – 10) = 12 \),

\( C_{31} = \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – (-1) \cdot 3 = 8 + 3 = 11 \),

\( C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – (-1) \cdot 0) = -4 \),

\( C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – 2 \cdot 0 = 3 \).

Matice doplňků:

\( C = \begin{pmatrix} 11 & 20 & -15 \\ 0 & 6 & 12 \\ 11 & -4 & 3 \end{pmatrix} \).

Adjungovaná matice je transponovaná:

\( \mathrm{adj}\,A = C^T = \begin{pmatrix} 11 & 0 & 11 \\ 20 & 6 & -4 \\ -15 & 12 & 3 \end{pmatrix} \).

Inverzní matice je

\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}\,A = \frac{1}{66} \begin{pmatrix} 11 & 0 & 11 \\ 20 & 6 & -4 \\ -15 & 12 & 3 \end{pmatrix} \).

Inverzní zobrazení \( f^{-1} \) tedy platí

\( f^{-1}(u,v,w) = \frac{1}{66} \left(11u + 0v + 11w, 20u + 6v – 4w, -15u + 12v + 3w \right) \).

Ověření složením:

Složme \( f \circ f^{-1} \), tedy \( A \cdot A^{-1} \):

\( A \cdot A^{-1} = \frac{1}{66} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 4 \\ 5 & -2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 & 0 & 11 \\ 20 & 6 & -4 \\ -15 & 12 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{66} \begin{pmatrix} 66 & 0 & 0 \\ 0 & 66 & 0 \\ 0 & 0 & 66 \end{pmatrix} = I_3 \).

Tedy platí identita, což potvrzuje správnost inverze.

Řešení:

Zadané zobrazení \( f \) je složením \( f = g \circ h \), tedy

\( f(x,y) = g(h(x,y)) = g(2x + y, x – y) = \left(3(2x + y) – (x – y), 4(2x + y) + 5(x – y)\right) \).

Rozepíšeme složené funkce:

\( f(x,y) = (6x + 3y – x + y, 8x + 4y + 5x – 5y) = (5x + 4y, 13x – y) \).

Vyjádříme soustavu:

\( u = 5x + 4y \),

\( v = 13x – y \).

Vypočítáme determinant matice koeficientů:

\( \Delta = 5 \cdot (-1) – 4 \cdot 13 = -5 – 52 = -57 \neq 0 \).

Vyjádříme \( x \) a \( y \):

Z druhé rovnice:

\( y = 13x – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 5x + 4(13x – v) = 5x + 52x – 4v = 57x – 4v \Rightarrow 57x = u + 4v \Rightarrow x = \frac{u + 4v}{57} \).

Dosadíme zpět pro \( y \):

\( y = 13 \cdot \frac{u + 4v}{57} – v = \frac{13u + 52v}{57} – \frac{57v}{57} = \frac{13u + 52v – 57v}{57} = \frac{13u – 5v}{57} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 4v}{57}, \frac{13u – 5v}{57} \right) \).

Alternativně lze použít vztah pro inverzi složeného zobrazení:

\( f^{-1} = h^{-1} \circ g^{-1} \), kde \( g^{-1} \) a \( h^{-1} \) vypočteme samostatně.

Matice \( h \):

\( H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \), determinant \( \det H = 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 = -2 – 1 = -3 \neq 0 \).

Inverze matice \( H^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \).

Matice \( g \):

\( G = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \), determinant \( \det G = 3 \cdot 5 – (-1) \cdot 4 = 15 + 4 = 19 \neq 0 \).

Inverze matice \( G^{-1} = \frac{1}{19} \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} \).

Inverzní zobrazení složením:

\( f^{-1}(u,v) = h^{-1}(g^{-1}(u,v)) = h^{-1} \left( \frac{5u + v}{19}, \frac{-4u + 3v}{19} \right) \).

Vypočteme:

\( h^{-1}(a,b) = \left( \frac{1}{3}a + \frac{1}{3}b, \frac{1}{3}a – \frac{2}{3}b \right) \Rightarrow f^{-1}(u,v) = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{5u + v}{19} + \frac{1}{3} \cdot \frac{-4u + 3v}{19}, \frac{1}{3} \cdot \frac{5u + v}{19} – \frac{2}{3} \cdot \frac{-4u + 3v}{19} \right) \).

Úprava:

\( = \left( \frac{5u + v – 4u + 3v}{57}, \frac{5u + v + 8u – 6v}{57} \right) = \left( \frac{u + 4v}{57}, \frac{13u – 5v}{57} \right) \).

Shodné řešení.

Řešení:

Matice \( A \) představuje lineární zobrazení

\( f(x,y) = (0 \cdot x + 1 \cdot y, -1 \cdot x + 0 \cdot y) = (y, -x) \).

Determinant matice \( A \) je

\( \det A = 0 \cdot 0 – 1 \cdot (-1) = 1 \neq 0 \), tedy \( A \) je regulární a inverzní matice existuje.

Najdeme \( A^{-1} \):

Matice je rotační (otočení o 90°), inverzní matice odpovídá otočení opačným směrem (−90°), tj.

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \).

Ověření složením:

\( A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & -1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \).

Složení opačným pořadím:

\( A^{-1} \cdot A = I_2 \).

Tedy inverze je správná.

Řešení:

Determinant matice \( A \):

\( \det A = 3 \cdot 5 – 4 \cdot 2 = 15 – 8 = 7 \neq 0 \Rightarrow f \) je bijektivní.

Inverzní matice \( A^{-1} \) je

\( A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \).

Tedy \( f^{-1}(x,y) = \left( \frac{5}{7} x – \frac{4}{7} y, -\frac{2}{7} x + \frac{3}{7} y \right) \).

Ověření složením:

\( A \cdot A^{-1} = I_2 \), tj. jednotková matice.

Řešení:

Složená matice \( h = B A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} \).

Determinant \( h \):

\( \det h = 2 \cdot 7 – 4 \cdot 3 = 14 – 12 = 2 \neq 0 \Rightarrow h \) je invertibilní.

Inverzní matice \( h^{-1} \):

\( h^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} \).

Inverze složeného zobrazení je složením inverzí v opačném pořadí:

\( h^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1} \).

Řešení:

Matice zobrazení \( f \) je

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Determinant \( A \):

\( \det A = 1 \cdot (1 \cdot 1 – 1 \cdot 0) – 1 \cdot (0 \cdot 1 – 1 \cdot 1) + 0 = 1 – (-1) + 0 = 2 \neq 0 \Rightarrow f \) je bijektivní.

Najdeme inverzní matici \( A^{-1} \) pomocí adjungované matice a determinantu:

Adjungovaná matice \( \mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \).

Tedy

\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v,w) = \left( \frac{1}{2}(u + v – w), \frac{1}{2}(-u + v + w), \frac{1}{2}(u – v + w) \right) \).

Řešení:

Matice zobrazení \( f \):

\( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \), matice \( g \):

\( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \).

Složené zobrazení \( h = g \circ f \) má matici

\( C = B A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & -1 + 3 \\ -2 + 1 & 1 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \).

Determinant \( C \):

\( \det C = 3 \cdot 4 – 2 \cdot (-1) = 12 + 2 = 14 \neq 0 \), tedy \( h \) je invertibilní.

Inverzní matice \( C^{-1} \):

\( C^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( h^{-1}(x,y) = \left( \frac{4}{14} x – \frac{2}{14} y, \frac{1}{14} x + \frac{3}{14} y \right) \).

Řešení:

Máme

\( u = e^x \cos y, \quad v = e^x \sin y \).

Vypočítáme \( r = \sqrt{u^2 + v^2} = e^x \sqrt{\cos^2 y + \sin^2 y} = e^x \).

Tedy

\( x = \ln r = \ln \sqrt{u^2 + v^2} \).

Dále

\( \tan y = \frac{v}{u} \Rightarrow y = \arctan \frac{v}{u} \).

Inverzní zobrazení je tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \ln \sqrt{u^2 + v^2}, \arctan \frac{v}{u} \right) \), definované pro \( u > 0 \).

Ověření složením \( f(f^{-1}(u,v)) = (u,v) \) je přímočaré z definice.

Řešení:

Vypočítáme \( f(g(x)) \):

\( f\left(\frac{x-7}{3}\right) = 3 \cdot \frac{x-7}{3} + 7 = x – 7 + 7 = x \).

Vypočítáme \( g(f(x)) \):

\( g(3x + 7) = \frac{3x + 7 – 7}{3} = \frac{3x}{3} = x \).

Tedy \( g = f^{-1} \) a složení \( f \circ g \) i \( g \circ f \) je identita.

Řešení:

Determinant matice \( A \) je součin diagonálních prvků, protože \( A \) je horní trojúhelníková:

\( \det A = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \neq 0 \Rightarrow f \) je invertibilní.

Inverzní matice má tvar

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Ověření:

\( A \cdot A^{-1} = I_3 \).

Řešení:

Z definice \( f(x,y) = (y,x) \).

Inverzní zobrazení \( f^{-1} \) musí splnit \( f^{-1}(y,x) = (x,y) \).

Tedy \( f^{-1} = f \), tj. \( f \) je inverzní samo sobě.

Řešení:

Složením zobrazení odpovídá násobení matic:

\( f \circ f^{-1} \) odpovídá matici \( A A^{-1} = I_n \).

\( f^{-1} \circ f \) odpovídá matici \( A^{-1} A = I_n \).

Tedy složení je identita.

Řešení:

Determinant matice \( A \):

\( \det A = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1 \neq 0 \), tedy matice je regulární.

Inverzní matice \( A^{-1} \) je

\( A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A \).

Tedy \( f^{-1} = f \).

Ověření:

\( A \cdot A^{-1} = I_2 \).

Řešení:

Nejprve určíme matici lineárního zobrazení \( f \):

\( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \).

Determinant \( A \) je:

\( \det A = 2 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 = -2 – 1 = -3 \neq 0 \), tedy \( f \) je invertibilní.

Inverzní matice je:

\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{-3} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix} \).

Definujeme tedy \( f^{-1}(x,y) = \left(\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y, \frac{1}{3}x – \frac{2}{3}y \right) \).

Ověření složení \( f \circ f^{-1} \):

\( f(f^{-1}(x,y)) = f\left(\frac{x+y}{3}, \frac{x – 2y}{3}\right) = \left(2 \cdot \frac{x+y}{3} + \frac{x – 2y}{3}, \frac{x+y}{3} – \frac{x – 2y}{3}\right) \).

Vypočteme jednotlivé složky:

\( \frac{2(x+y) + (x – 2y)}{3} = \frac{2x + 2y + x – 2y}{3} = \frac{3x}{3} = x \).

\( \frac{x + y – x + 2y}{3} = \frac{3y}{3} = y \).

Tedy \( f \circ f^{-1} = id \).

Analogicky ověříme \( f^{-1} \circ f \):

\( f^{-1}(f(x,y)) = f^{-1}(2x + y, x – y) = \left(\frac{2x + y + x – y}{3}, \frac{2x + y – 2(x – y)}{3}\right) \).

Vypočteme jednotlivé složky:

\( \frac{2x + y + x – y}{3} = \frac{3x}{3} = x \).

\( \frac{2x + y – 2x + 2y}{3} = \frac{3y}{3} = y \).

Tedy \( f^{-1} \circ f = id \).

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant matice \( A \):

\( \det A = 1 \cdot (1 \cdot 1 – 1 \cdot 0) – 2 \cdot (0 \cdot 1 – 1 \cdot 3) + 0 \cdot (0 \cdot 0 – 1 \cdot 3) = 1 \cdot 1 – 2 \cdot (-3) + 0 = 1 + 6 = 7 \neq 0 \).

Matice je regulární, tedy \( f \) je invertibilní.

Pro výpočet \( A^{-1} \) použijeme metodu adjungované matice:

Minory a kofaktory:

• \( M_{11} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \), \( C_{11} = (+1) \cdot 1 = 1 \)
• \( M_{12} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = -3 \), \( C_{12} = (-1) \cdot (-3) = 3 \)
• \( M_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = -3 \), \( C_{13} = (+1) \cdot (-3) = -3 \)
• \( M_{21} = \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 2 \), \( C_{21} = (-1) \cdot 2 = -2 \)
• \( M_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 1 \), \( C_{22} = (+1) \cdot 1 = 1 \)
• \( M_{23} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} = -6 \), \( C_{23} = (-1) \cdot (-6) = 6 \)
• \( M_{31} = \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2 \), \( C_{31} = (+1) \cdot 2 = 2 \)
• \( M_{32} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \), \( C_{32} = (-1) \cdot 1 = -1 \)
• \( M_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \), \( C_{33} = (+1) \cdot 1 = 1 \)

Adjungovaná matice (transponovaná matice kofaktorů):

\( \mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \).

Inverzní matice je:

\( A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \).

Tedy \( f^{-1} \) je zobrazení \( \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) dané touto maticí.

Složení \( f \circ f^{-1} \) je identita, což ověříme násobením matic \( A \cdot A^{-1} = I_3 \).

Řešení:

Matice rotace je

\( R = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \).

Determinant \( R \) je

\( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \neq 0 \), matice je regulární.

Inverzní matice rotace je transponovaná matice, protože matice rotace je ortogonální:

\( R^{-1} = R^T = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \).

Tedy inverzní zobrazení je rotace o úhel \(-\theta\):

\( f^{-1}(x,y) = (x \cos \theta + y \sin \theta, -x \sin \theta + y \cos \theta) \).

Ověření složení \( f \circ f^{-1} \):

\( f(f^{-1}(x,y)) = f\bigl(x \cos \theta + y \sin \theta, -x \sin \theta + y \cos \theta\bigr) = \)

\( ((x \cos \theta + y \sin \theta) \cos \theta – (-x \sin \theta + y \cos \theta) \sin \theta, (x \cos \theta + y \sin \theta) \sin \theta + (-x \sin \theta + y \cos \theta) \cos \theta) \).

Po úpravách získáme \( (x,y) \), tedy identitu.

Řešení:

Zobrazení \( f \) je afinní, tj. složeno ze skalárního násobení a posunu.

Lineární část \( L(x,y) = (3x, 3y) \) má matici

\( A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \).

Determinant \( A \) je \( 9 \neq 0 \), tedy lineární část je invertibilní.

Posun je \( t = (2, -1) \).

Inverzní zobrazení \( f^{-1} \) je dáno vztahem

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{u – 2}{3}, \frac{v + 1}{3}\right) \).

Ověření složení:

\( f(f^{-1}(u,v)) = f\left(\frac{u – 2}{3}, \frac{v + 1}{3}\right) = \left(3 \cdot \frac{u – 2}{3} + 2, 3 \cdot \frac{v + 1}{3} – 1\right) = (u – 2 + 2, v + 1 – 1) = (u,v) \).

Tedy \( f \) je invertibilní a \( f^{-1} \) je uvedeno výše.

Řešení:

Matice \( A \) odpovídající \( f \) je

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \).

Determinant \( A \) je \( 1 \cdot (-1) – 1 \cdot 1 = -2 \neq 0 \), tedy invertibilní.

Inverzní matice je

\( A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left(\frac{u+v}{2}, \frac{u – v}{2}\right) \).

Ověření složení:

\( f(f^{-1}(u,v)) = f\left(\frac{u+v}{2}, \frac{u-v}{2}\right) = \left(\frac{u+v}{2} + \frac{u – v}{2}, \frac{u+v}{2} – \frac{u – v}{2}\right) = (u,v) \).

Řešení:

Nejprve si zapíšeme rovnice, které definují \( f \):

\( u = 2x – y \), \( v = x + 3y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \), tedy nalézt \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme tedy soustavu lineárních rovnic:

\( 2x – y = u \)

\( x + 3y = v \).

Vyřešíme ji metodou dosazení nebo sčítání. Nejprve z první rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = 2x – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( x + 3(2x – u) = v \Rightarrow x + 6x – 3u = v \Rightarrow 7x = v + 3u \Rightarrow x = \frac{v + 3u}{7} \).

Nyní zpět k \( y \):

\( y = 2 \cdot \frac{v + 3u}{7} – u = \frac{2v + 6u}{7} – \frac{7u}{7} = \frac{2v – u}{7} \).

Tedy jsme nalezli inverzní zobrazení

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 3u}{7}, \frac{2v – u}{7} \right) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v)) \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{v + 3u}{7} \), \( y = \frac{2v – u}{7} \).

Potom

\( f(x,y) = (2x – y, x + 3y) = \left( 2 \cdot \frac{v + 3u}{7} – \frac{2v – u}{7}, \frac{v + 3u}{7} + 3 \cdot \frac{2v – u}{7} \right) \).

Úpravou získáme

První složka:

\( \frac{2v + 6u – 2v + u}{7} = \frac{7u}{7} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{v + 3u + 6v – 3u}{7} = \frac{7v}{7} = v \).

Tím jsme ukázali, že \( f \circ f^{-1} \) je skutečně identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Podobně lze ověřit, že \( f^{-1} \circ f \) je také identita, což potvrzuje, že \( f^{-1} \) je inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Nejprve si zapišme rovnice:

\( u = x + y \), \( v = y + z \), \( w = z + x \).

Máme tři rovnice o třech neznámých. Cílem je vyjádřit \( x, y, z \) pomocí \( u, v, w \).

Sčítáním všech rovnic dostaneme:

\( u + v + w = (x + y) + (y + z) + (z + x) = 2(x + y + z) \Rightarrow x + y + z = \frac{u + v + w}{2} \).

Dále z první rovnice vyjádříme \( y = u – x \) a ze třetí \( z = w – x \).

Dosadíme tyto hodnoty do výrazu pro součet:

\( x + (u – x) + (w – x) = \frac{u + v + w}{2} \Rightarrow u + w – x = \frac{u + v + w}{2} \Rightarrow -x = \frac{u + v + w}{2} – u – w \Rightarrow x = u + w – \frac{u + v + w}{2} \).

Úpravou dostaneme:

\( x = \frac{2u + 2w – u – v – w}{2} = \frac{u + w – v}{2} \).

Nyní zpět k \( y \):

\( y = u – x = u – \frac{u + w – v}{2} = \frac{2u – u – w + v}{2} = \frac{u + v – w}{2} \).

Stejně tak \( z = w – x = w – \frac{u + w – v}{2} = \frac{2w – u – w + v}{2} = \frac{-u + v + w}{2} \).

Tedy jsme nalezli inverzní zobrazení

\( g^{-1}(u,v,w) = \left( \frac{u + w – v}{2}, \frac{u + v – w}{2}, \frac{-u + v + w}{2} \right) \).

Abychom ověřili invertibilitu, stačí si uvědomit, že složením \( g \circ g^{-1} \) dostaneme identitu na \( \mathbb{R}^3 \), což lze zkontrolovat dosazením a jednoduchými úpravami.

Proto je \( g \) invertibilní a \( g^{-1} \) je jeho inverzní zobrazení.

Řešení:

Zápis zobrazení:

\( u = e^x \cos y \), \( v = e^x \sin y \).

Prvním krokem je zjistit, zda lze jednoznačně vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Sečteme druhé mocniny souřadnic obrazu:

\( u^2 + v^2 = e^{2x} (\cos^2 y + \sin^2 y) = e^{2x} \).

Z toho plyne

\( e^{2x} = u^2 + v^2 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \ln (u^2 + v^2) \).

Dále poměr \( \frac{v}{u} = \frac{e^x \sin y}{e^x \cos y} = \tan y \Rightarrow y = \arctan \left(\frac{v}{u}\right) \), kde \( y \in (0, 2\pi) \) (v případě omezení oblasti).

Na celém \( \mathbb{R}^2 \) však funkce \( h \) není invertibilní, protože funkce \( \arctan \) má omezený obor hodnot, a funkce \( (x,y) \mapsto (e^x \cos y, e^x \sin y) \) je periodická ve směru \( y \) s periodou \( 2\pi \). Tedy na celé rovině různé hodnoty \( y \) lišící se o \( 2\pi k \) (k celé číslo) mají stejný obraz.

Na omezené oblasti \( \{ (x,y) \mid y \in (0, 2\pi) \} \) je však \( h \) invertibilní a inverzní zobrazení je

\( h^{-1}(u,v) = \left( \frac{1}{2} \ln (u^2 + v^2), \arctan \left( \frac{v}{u} \right) \right) \).

Závěr: na omezené oblasti je \( h \) bijektivní, na celém \( \mathbb{R}^2 \) ne.

Řešení:

Nejprve si připomeňme, že lineární zobrazení \( f \) lze reprezentovat jako násobení vektoru \( \mathbf{x} = (x,y)^T \) maticí \( A \), tj.

\( f(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x – y \\ 2x + y \end{pmatrix} \).

Inverzní zobrazení \( f^{-1} \) bude dáno násobením vektoru \( \mathbf{u} = (u,v)^T \) inverzní maticí \( A^{-1} \), tedy

\( f^{-1}(\mathbf{u}) = A^{-1} \mathbf{u} \).

Nejprve tedy musíme najít matici \( A^{-1} \). K tomu použijeme standardní postup výpočtu inverzní matice 2×2:

Inverzní matice k \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) je

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \]

pokud \( \det(A) \neq 0 \).

Vypočítáme determinant \( A \):

\[ \det(A) = ad – bc = (4)(1) – (-1)(2) = 4 + 2 = 6. \]

Determinant je různý od nuly, takže inverzní matice existuje.

Nyní zapíšeme matici adjungovanou (maci minorů s příslušnými znaménky):

\[ \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}. \]

Tedy inverzní matice je

\[ A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}. \]

Máme tedy explicitní tvar inverzního zobrazení \( f^{-1} \):

\[ f^{-1}(u,v) = \left( \frac{1}{6} u + \frac{1}{6} v, -\frac{1}{3} u + \frac{2}{3} v \right). \]

Nyní ověříme, že \( f \circ f^{-1} = \text{id} \). Pro libovolný vektor \( (u,v) \) spočítáme

\[ f(f^{-1}(u,v)) = A \cdot A^{-1} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = (A A^{-1}) \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}. \]

Vypočítáme součin matic \( A A^{-1} \):

\[ A A^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot \frac{1}{6} + (-1) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) & 4 \cdot \frac{1}{6} + (-1) \cdot \frac{2}{3} \\ 2 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) & 2 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{2}{3} \end{pmatrix}. \]

Provedeme výpočty jednotlivých prvků:

\[ \begin{cases} (1,1): \frac{4}{6} + \frac{1}{3} = \frac{4}{6} + \frac{2}{6} = \frac{6}{6} = 1, \\ (1,2): \frac{4}{6} – \frac{2}{3} = \frac{4}{6} – \frac{4}{6} = 0, \\ (2,1): \frac{2}{6} – \frac{1}{3} = \frac{2}{6} – \frac{2}{6} = 0, \\ (2,2): \frac{2}{6} + \frac{4}{6} = \frac{6}{6} = 1. \end{cases} \]

Tedy

\[ A A^{-1} = I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Tím jsme ukázali, že složení \( f \circ f^{-1} \) je skutečně identita na \( \mathbb{R}^2 \), což znamená, že jsme správně našli inverzní zobrazení.

Podobně lze ověřit i druhou složku identity, tedy \( f^{-1} \circ f = \text{id} \), což potvrzuje, že \( f^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení k \( f \).

Takto jsme krok po kroku ukázali nejen výpočet inverzní matice, ale i její použití k vyjádření inverzního zobrazení a následné ověření vlastností inverze pomocí složení zobrazení.

Řešení:

Nejprve zapíšeme matici \( A \) příslušnou lineárnímu zobrazení \( g \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. \]

Abychom zjistili, zda je \( g \) invertibilní, spočítáme determinant matice \( A \). Pokud je determinant různý od nuly, pak \( A \) je regulární a \( g \) je invertibilní.

Výpočet determinantu 3×3 matice pomocí Sarrusova pravidla nebo rozvoje podle řádku:

\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}. \]

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2:

\[ \begin{cases} \begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (-1)(3) – 4(1) = -3 – 4 = -7, \\ \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 3 \cdot 3 – 4 \cdot 2 = 9 – 8 = 1, \\ \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 – (-1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5. \end{cases} \]

Dosadíme zpět:

\[ \det(A) = 1 \cdot (-7) – 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 = -7 – 2 – 5 = -14. \]

Determinant je různý od nuly, takže \( A \) je regulární a \( g \) je invertibilní zobrazení.

Dalším krokem je výpočet inverzní matice \( A^{-1} \). Pro matici 3×3 se nejčastěji používá metoda adjungované matice a determinant, případně Gaussova eliminační metoda. Zde použijeme metodu adjungované matice.

Nejprve spočítáme matici minorů \( M = (M_{ij}) \), kde každý prvek \( M_{ij} \) je determinant matice vzniklé vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce z \( A \).

Vypočítáme jednotlivé minorové determinanty:

\[ \begin{aligned} M_{11} &= \det \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = -7, \\ M_{12} &= \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1, \\ M_{13} &= \det \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 5, \\ M_{21} &= \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7, \\ M_{22} &= \det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – (-1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5, \\ M_{23} &= \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 2 = 1 – 4 = -3, \\ M_{31} &= \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – (-1) \cdot (-1) = 8 – 1 = 7, \\ M_{32} &= \det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – (-1) \cdot 3 = 4 + 3 = 7, \\ M_{33} &= \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-1) – 2 \cdot 3 = -1 – 6 = -7. \end{aligned} \]

Následně vytvoříme matici kofaktorů \( C = (C_{ij}) \), kde \( C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} \). To znamená, že upravujeme znaménka podle polohy prvku:

\[ C = \begin{pmatrix} +M_{11} & -M_{12} & +M_{13} \\ -M_{21} & +M_{22} & -M_{23} \\ +M_{31} & -M_{32} & +M_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -1 & 5 \\ -7 & 5 & 3 \\ 7 & -7 & -7 \end{pmatrix}. \]

Inverzní matice \( A^{-1} \) je dána jako transponovaná matice kofaktorů vydělená determinantem:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} C^T = \frac{1}{-14} \begin{pmatrix} -7 & -7 & 7 \\ -1 & 5 & -7 \\ 5 & 3 & -7 \end{pmatrix}. \]

Po vyjádření:

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{14} & -\frac{5}{14} & \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{14} & -\frac{3}{14} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

Tím jsme získali explicitní tvar inverzní matice a tedy i inverzního zobrazení

\[ g^{-1}(u,v,w) = A^{-1} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \left( \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v – \frac{1}{2} w, \frac{1}{14} u – \frac{5}{14} v + \frac{1}{2} w, -\frac{5}{14} u – \frac{3}{14} v + \frac{1}{2} w \right). \]

Pro úplnou jistotu lze spočítat složení \( g \circ g^{-1} \) a ověřit, že je to identita na \( \mathbb{R}^3 \), což by potvrdilo správnost výpočtu.

Takto jsme krok po kroku prošli ověřování invertibility zobrazení, výpočet determinantů, konstrukci matice minorů, výpočet kofaktorů, transpozici a nakonec získání inverzní matice. Výsledkem je explicitní vzorec pro inverzní zobrazení \( g^{-1} \).

Řešení:

Nejprve zapíšeme rovnice, které definují zobrazení \( g \):

\[ u = 2x – y + z, \quad v = 3x – y + 4z, \quad w = 2x + y + 3z, \] kde \((u,v,w) = g(x,y,z)\).

Naším cílem je najít inverzní zobrazení \( g^{-1} \), tedy vyjádřit proměnné \( x, y, z \) jako funkce \( u, v, w \).

Máme tedy soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých:

\[ \begin{cases} 2x – y + z = u, \\ 3x – y + 4z = v, \\ 2x + y + 3z = w. \end{cases} \]

Nejprve upravíme soustavu tak, aby bylo snazší vyjádřit jednotlivé neznámé.

Sečteme první a třetí rovnici, abychom eliminovali \( y \):

\[ (2x – y + z) + (2x + y + 3z) = u + w \Rightarrow 4x + 4z = u + w. \]

Tato rovnice zjednoduší naši soustavu na:

\[ 4x + 4z = u + w \quad \Rightarrow \quad x + z = \frac{u + w}{4}. \]

Dále odečteme první rovnici od druhé, abychom eliminovali \( y \):

\[ (3x – y + 4z) – (2x – y + z) = v – u \Rightarrow (3x – 2x) + (-y + y) + (4z – z) = v – u, \] tedy

\[ x + 3z = v – u. \]

Nyní máme dvě rovnice o dvou neznámých \( x \) a \( z \):

\[ \begin{cases} x + z = \frac{u + w}{4}, \\ x + 3z = v – u. \end{cases} \]

Odečteme první rovnici od druhé:

\[ (x + 3z) – (x + z) = (v – u) – \frac{u + w}{4} \Rightarrow 2z = v – u – \frac{u + w}{4}. \]

Převod na společného jmenovatele a úprava:

\[ 2z = \frac{4(v – u) – (u + w)}{4} = \frac{4v – 4u – u – w}{4} = \frac{4v – 5u – w}{4}. \]

Tedy

\[ z = \frac{4v – 5u – w}{8}. \]

Dosadíme zpět do první rovnice pro \( x \):

\[ x = \frac{u + w}{4} – z = \frac{u + w}{4} – \frac{4v – 5u – w}{8} = \frac{2(u + w)}{8} – \frac{4v – 5u – w}{8} = \frac{2u + 2w – 4v + 5u + w}{8}. \]

Po sečtení členů:

\[ x = \frac{7u + 3w – 4v}{8}. \]

Pro vyjádření \( y \) použijeme první rovnici:

\[ 2x – y + z = u \quad \Rightarrow \quad y = 2x + z – u. \]

Dosadíme hodnoty \( x \) a \( z \):

\[ y = 2 \cdot \frac{7u + 3w – 4v}{8} + \frac{4v – 5u – w}{8} – u = \frac{2(7u + 3w – 4v)}{8} + \frac{4v – 5u – w}{8} – \frac{8u}{8}. \]

Úprava čitatelů:

\[ y = \frac{14u + 6w – 8v + 4v – 5u – w – 8u}{8} = \frac{14u – 5u – 8u + 6w – w – 8v + 4v}{8}. \]

Sečteme podobné členy:

\[ y = \frac{(14u – 5u – 8u) + (6w – w) + (-8v + 4v)}{8} = \frac{1u + 5w – 4v}{8}. \]

Tedy máme explicitní vzorec pro inverzní zobrazení:

\[ g^{-1}(u,v,w) = \left( \frac{7u + 3w – 4v}{8}, \quad \frac{u + 5w – 4v}{8}, \quad \frac{4v – 5u – w}{8} \right). \]

Nyní ověříme, že \( g \circ g^{-1} = \mathrm{id} \) na \( \mathbb{R}^3 \). Nechť tedy

\[ (x,y,z) = g^{-1}(u,v,w). \]

Pak spočítáme \( g(x,y,z) \):

\[ g(x,y,z) = (2x – y + z, \quad 3x – y + 4z, \quad 2x + y + 3z). \]

Dosadíme:

\[ 2x – y + z = 2 \cdot \frac{7u + 3w – 4v}{8} – \frac{u + 5w – 4v}{8} + \frac{4v – 5u – w}{8}. \]

Sečteme na společného jmenovatele 8:

\[ \frac{2(7u + 3w – 4v) – (u + 5w – 4v) + (4v – 5u – w)}{8} = \frac{14u + 6w – 8v – u – 5w + 4v + 4v – 5u – w}{8}. \]

Úprava čitatelů:

\[ (14u – u – 5u) + (6w – 5w – w) + (-8v + 4v + 4v) = 8u + 0w + 0v = 8u. \]

Tedy první složka je \( \frac{8u}{8} = u \).

Podobně druhá složka:

\[ 3x – y + 4z = 3 \cdot \frac{7u + 3w – 4v}{8} – \frac{u + 5w – 4v}{8} + 4 \cdot \frac{4v – 5u – w}{8}. \]

Sčítání na společný jmenovatel 8:

\[ \frac{3(7u + 3w – 4v) – (u + 5w – 4v) + 4(4v – 5u – w)}{8} = \frac{21u + 9w – 12v – u – 5w + 4v + 16v – 20u – 4w}{8}. \]

Úprava čitatele:

\[ (21u – u – 20u) + (9w – 5w – 4w) + (-12v + 4v + 16v) = 0u + 0w + 8v = 8v. \]

Tedy druhá složka je \( \frac{8v}{8} = v \).

Poslední složka:

\[ 2x + y + 3z = 2 \cdot \frac{7u + 3w – 4v}{8} + \frac{u + 5w – 4v}{8} + 3 \cdot \frac{4v – 5u – w}{8}. \]

Sčítání na společný jmenovatel 8:

\[ \frac{2(7u + 3w – 4v) + (u + 5w – 4v) + 3(4v – 5u – w)}{8} = \frac{14u + 6w – 8v + u + 5w – 4v + 12v – 15u – 3w}{8}. \]

Úprava čitatele:

\[ (14u + u – 15u) + (6w + 5w – 3w) + (-8v – 4v + 12v) = 0u + 8w + 0v = 8w. \]

Tedy třetí složka je \( \frac{8w}{8} = w \).

Tím jsme ověřili, že \( g \circ g^{-1} = \mathrm{id} \), tedy \( g^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení k \( g \).

Řešení:

Zápis rovnic z definice \( h \):

\[ u = 5x + 2y, \quad v = 3x + y, \] kde \((u,v) = h(x,y)\).

Úkolem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \), tj. nalézt \( h^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Nejprve sestavíme soustavu:

\[ \begin{cases} 5x + 2y = u, \\ 3x + y = v. \end{cases} \]

Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:

\[ y = v – 3x. \]

Dosadíme do první rovnice:

\[ 5x + 2(v – 3x) = u \Rightarrow 5x + 2v – 6x = u \Rightarrow -x + 2v = u \Rightarrow -x = u – 2v \Rightarrow x = 2v – u. \]

Zpět k \( y \):

\[ y = v – 3(2v – u) = v – 6v + 3u = 3u – 5v. \]

Tedy inverzní zobrazení je

\[ h^{-1}(u,v) = (2v – u, \quad 3u – 5v). \]

Nyní ověříme, že složení \( h \circ h^{-1} \) dává identitu:

Nechť \( (x,y) = h^{-1}(u,v) \), tedy \( x = 2v – u \), \( y = 3u – 5v \).

Potom

\[ h(x,y) = (5x + 2y, \quad 3x + y) = (5(2v – u) + 2(3u – 5v), \quad 3(2v – u) + 3u – 5v). \]

Úprava první složky:

\[ 10v – 5u + 6u – 10v = (10v – 10v) + (-5u + 6u) = u. \]

Úprava druhé složky:

\[ 6v – 3u + 3u – 5v = (6v – 5v) + (-3u + 3u) = v. \]

Tedy platí \( h \circ h^{-1} = \mathrm{id} \).

Řešení:

Nechť \( (u,v,w) = f(x,y,z) \), tedy

\[ \begin{cases} u = x + 2y – z, \\ v = 3x + 4y + z, \\ w = 2x + y + 3z. \end{cases} \]

Naším cílem je vyjádřit \( x, y, z \) jako funkce \( u, v, w \).

Soustava lineárních rovnic má tvar

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}. \]

Matice soustavy označíme \( A \), tj.

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}. \]

Nejprve spočítáme determinant \( \det A \):

\[ \det A = 1 \cdot (4 \cdot 3 – 1 \cdot 1) – 2 \cdot (3 \cdot 3 – 1 \cdot 2) + (-1) \cdot (3 \cdot 1 – 4 \cdot 2). \]

Úprava jednotlivých členů:

\[ = 1 \cdot (12 – 1) – 2 \cdot (9 – 2) – 1 \cdot (3 – 8) = 11 – 2 \cdot 7 – (-5) = 11 – 14 + 5 = 2. \]

Determinant je 2, tedy matice je regulární a inverzní existuje.

Inverzní matice \( A^{-1} \) se vypočte pomocí adjungované matice a determinantem:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}(A). \]

Vypočítáme matici kofaktorů:

Kofaktor \( C_{11} = \det \begin{pmatrix}4 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} = 4 \cdot 3 – 1 \cdot 1 = 12 – 1 = 11.\)

Kofaktor \( C_{12} = -\det \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 2 & 3\end{pmatrix} = -(3 \cdot 3 – 1 \cdot 2) = -(9 – 2) = -7.\)

Kofaktor \( C_{13} = \det \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 4 \cdot 2 = 3 – 8 = -5.\)

Kofaktor \( C_{21} = -\det \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix} = -(2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1) = -(6 + 1) = -7.\)

Kofaktor \( C_{22} = \det \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 2 & 3\end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – (-1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5.\)

Kofaktor \( C_{23} = -\det \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 1\end{pmatrix} = -(1 \cdot 1 – 2 \cdot 2) = -(1 – 4) = 3.\)

Kofaktor \( C_{31} = \det \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 4 & 1\end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – (-1) \cdot 4 = 2 + 4 = 6.\)

Kofaktor \( C_{32} = -\det \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 3 & 1\end{pmatrix} = -(1 \cdot 1 – (-1) \cdot 3) = -(1 + 3) = -4.\)

Kofaktor \( C_{33} = \det \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2.\)

Adjungovaná matice je transponovaná matice kofaktorů:

\[ \mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 11 & -7 & -5 \\ -7 & 5 & 3 \\ 6 & -4 & -2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 11 & -7 & 6 \\ -7 & 5 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \end{pmatrix}. \]

Tedy

\[ A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 11 & -7 & 6 \\ -7 & 5 & -4 \\ -5 & 3 & -2 \end{pmatrix}. \]

Inverzní zobrazení \( f^{-1} \) pak je

\[ f^{-1}(u,v,w) = A^{-1} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 11u – 7v + 6w \\ -7u + 5v – 4w \\ -5u + 3v – 2w \end{pmatrix}. \]

Ověření inverznosti spočívá v kontrole, že \( f(f^{-1}(u,v,w)) = (u,v,w) \). To vyplývá z vlastnosti inverzní matice.

Řešení:

Nejprve si zapíšeme rovnice, které definují \( f \):

\( u = 3x + 2y \), \( v = 5x + 4y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \), tedy nalézt \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme tedy soustavu lineárních rovnic:

\( 3x + 2y = u \)

\( 5x + 4y = v \).

Postupujeme řešením této soustavy metodou dosazení nebo sčítání. Nejprve vynásobíme první rovnici 2, abychom mohli odečíst:

\( 2 \cdot (3x + 2y) = 2u \Rightarrow 6x + 4y = 2u \).

Nyní odečteme druhou rovnici od této nové rovnice:

\( (6x + 4y) – (5x + 4y) = 2u – v \Rightarrow (6x – 5x) + (4y – 4y) = 2u – v \Rightarrow x = 2u – v \).

Máme tedy

\( x = 2u – v \).

Dosadíme tento výraz pro \( x \) zpět do první rovnice:

\( 3(2u – v) + 2y = u \Rightarrow 6u – 3v + 2y = u \Rightarrow 2y = u – 6u + 3v = -5u + 3v \Rightarrow y = \frac{-5u + 3v}{2} \).

Tedy jsme nalezli inverzní zobrazení

\( f^{-1}(u,v) = \left( 2u – v, \frac{-5u + 3v}{2} \right) \).

Nyní ověříme, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita, tedy že pro všechna \( (u,v) \) platí \( f(f^{-1}(u,v)) = (u,v) \).

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = 2u – v \), \( y = \frac{-5u + 3v}{2} \).

Potom

\( f(x,y) = (3x + 2y, 5x + 4y) = \left( 3(2u – v) + 2 \cdot \frac{-5u + 3v}{2}, 5(2u – v) + 4 \cdot \frac{-5u + 3v}{2} \right) \).

Úpravou jednotlivých složek získáme:

První složka:

\( 3(2u – v) + 2 \cdot \frac{-5u + 3v}{2} = 6u – 3v – 5u + 3v = (6u – 5u) + (-3v + 3v) = u \).

Druhá složka:

\( 5(2u – v) + 4 \cdot \frac{-5u + 3v}{2} = 10u – 5v – 10u + 6v = (10u – 10u) + (-5v + 6v) = v \).

Tím jsme ukázali, že složení \( f \circ f^{-1} \) je skutečně identita na \( \mathbb{R}^2 \), což potvrzuje, že nalezené \( f^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Nechť \( (u,v,w) = f(x,y,z) \), tedy

\( u = x + y + z \), \( v = 2x – y + 3z \), \( w = -x + 4y + z \).

Úkolem je vyjádřit \( x, y, z \) jako funkce \( u, v, w \), tedy nalézt inverzní zobrazení \( f^{-1}(u,v,w) \).

Zapíšeme soustavu rovnic v maticovém tvaru:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ -1 & 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}. \]

Označíme si matici soustavy jako \( A \).

Nejprve spočítáme determinant \( \det A \):

\[ \det A = 1 \cdot (-1 \cdot 1 – 3 \cdot 4) – 1 \cdot (2 \cdot 1 – 3 \cdot (-1)) + 1 \cdot (2 \cdot 4 – (-1) \cdot (-1)). \]

Úprava jednotlivých členů:

\( 1 \cdot (-1 – 12) – 1 \cdot (2 + 3) + 1 \cdot (8 – 1) = 1 \cdot (-13) – 1 \cdot 5 + 1 \cdot 7 = -13 – 5 + 7 = -11 \).

Determinant není nula, matice je regulární a inverzní zobrazení existuje.

Budeme hledat \( A^{-1} \), protože \( f^{-1}(u,v,w) = A^{-1} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \).

Nejprve spočítáme matici kofaktorů \( C \):

• \( C_{11} = \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = (-1)(1) – 3 \cdot 4 = -1 – 12 = -13 \)
• \( C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 1 – 3 \cdot (-1)) = – (2 + 3) = -5 \)
• \( C_{13} = \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = 2 \cdot 4 – (-1)(-1) = 8 – 1 = 7 \)
• \( C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 1 \cdot 4) = – (1 – 4) = 3 \)
• \( C_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 1 \cdot (-1) = 1 + 1 = 2 \)
• \( C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 1 \cdot (-1)) = – (4 + 1) = -5 \)
• \( C_{31} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – 1 \cdot (-1) = 3 + 1 = 4 \)
• \( C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 3 – 1 \cdot 2) = – (3 – 2) = -1 \)
• \( C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (-1) – 1 \cdot 2 = -1 – 2 = -3 \)

Matice kofaktorů je tedy

\[ C = \begin{pmatrix} -13 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & -5 \\ 4 & -1 & -3 \end{pmatrix}. \]

Adjungovaná matice je transponovaná matice kofaktorů:

\[ \mathrm{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -13 & 3 & 4 \\ -5 & 2 & -1 \\ 7 & -5 & -3 \end{pmatrix}. \]

Inverzní matice je tedy

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}(A) = -\frac{1}{11} \begin{pmatrix} -13 & 3 & 4 \\ -5 & 2 & -1 \\ 7 & -5 & -3 \end{pmatrix} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 13 & -3 & -4 \\ 5 & -2 & 1 \\ -7 & 5 & 3 \end{pmatrix}. \]

Proto inverzní zobrazení je

\[ f^{-1}(u,v,w) = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 13u – 3v – 4w \\ 5u – 2v + w \\ -7u + 5v + 3w \end{pmatrix}. \]

Ověříme složení \( f \circ f^{-1} \):

Nechť \( (x,y,z) = f^{-1}(u,v,w) \), potom

\( f(x,y,z) = A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = A \cdot A^{-1} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = I \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \).

Tedy složení je identita a \( f^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Matice \( A \) je

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}. \]

Determinant \( A \) je

\( \det A = 4 \cdot 6 – 7 \cdot 2 = 24 – 14 = 10 \neq 0 \), matice je regulární.

Inverzní matice je

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}. \]

Inverzní zobrazení tedy přiřazuje

\( f^{-1}(u,v) = \frac{1}{10} \left( 6u – 7v, -2u + 4v \right) \).

Nyní ověříme složení \( f^{-1} \circ f \):

Nechť \( (x,y) \in \mathbb{R}^2 \), pak

\[ f(x,y) = (4x + 7y, 2x + 6y). \]

Potom

\[ f^{-1}(f(x,y)) = \frac{1}{10} \left( 6(4x + 7y) – 7(2x + 6y), -2(4x + 7y) + 4(2x + 6y) \right). \]

Po úpravě dostáváme první složku:

\( \frac{1}{10} (24x + 42y – 14x – 42y) = \frac{1}{10} (10x + 0) = x \).

Druhá složka:

\( \frac{1}{10} (-8x – 14y + 8x + 24y) = \frac{1}{10} (0 + 10y) = y \).

Tedy \( f^{-1} \circ f = \mathrm{id} \) a nalezená matice \( A^{-1} \) je skutečně inverzní.

Řešení:

Nejprve spočítáme determinant \( A \):

\[ \det A = 1 \cdot (3 \cdot 2 – 1 \cdot 0) – 2 \cdot (0 \cdot 2 – 1 \cdot 4) + 0 \cdot (0 \cdot 0 – 3 \cdot 4). \]

Úprava:

\( 1 \cdot (6 – 0) – 2 \cdot (0 – 4) + 0 = 6 – 2 \cdot (-4) + 0 = 6 + 8 = 14 \neq 0 \).

Matice je regulární.

Budeme počítat inverzní matici metodou adjungované matice.

Kofaktory:

• \( C_{11} = \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot 2 – 1 \cdot 0 = 6 \)
• \( C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 2 – 1 \cdot 4) = – (0 – 4) = 4 \)
• \( C_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 3 \cdot 4 = -12 \)
• \( C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 2 – 0 \cdot 0) = -4 \)
• \( C_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 – 0 \cdot 4 = 2 \)
• \( C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 0 – 2 \cdot 4) = – (0 – 8) = 8 \)
• \( C_{31} = \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 \cdot 3 = 2 \)
• \( C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 0 \cdot 0) = -1 \)
• \( C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – 2 \cdot 0 = 3 \)

Matice kofaktorů:

\[ C = \begin{pmatrix} 6 & 4 & -12 \\ -4 & 2 & 8 \\ 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}. \]

Adjungovaná matice je transpozice kofaktorů:

\[ \mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix} 6 & -4 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \\ -12 & 8 & 3 \end{pmatrix}. \]

Inverzní matice:

\[ A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 6 & -4 & 2 \\ 4 & 2 & -1 \\ -12 & 8 & 3 \end{pmatrix}. \]

Tedy

\( f^{-1}(u,v,w) = \frac{1}{14} \left( 6u – 4v + 2w, 4u + 2v – w, -12u + 8v + 3w \right) \).

Řešení:

Matice \( A \) reprezentuje rotaci o \(90°\) proti směru hodinových ručiček.

Determinant je

\( \det A = 0 \cdot 0 – 1 \cdot (-1) = 1 \neq 0 \).

Inverzní matice je tedy

\[ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = (-v, u) \).

Ověříme složení \( f \circ f^{-1} \):

Pro \( (u,v) \) platí

\[ f(f^{-1}(u,v)) = f(-v, u) = (0 \cdot (-v) + 1 \cdot u, -1 \cdot (-v) + 0 \cdot u) = (u, v). \]

Tedy \( f \circ f^{-1} = \mathrm{id} \).

Řešení:

Spočítáme determinant matice \( A \):

\[ \det A = 2 \cdot (3 \cdot 1 – 1 \cdot 0) – 0 \cdot (1 \cdot 1 – 1 \cdot 0) + 1 \cdot (1 \cdot 0 – 3 \cdot 0) = 2 \cdot 3 – 0 + 1 \cdot 0 = 6 \neq 0. \]

Matice je regulární.

Protože \( A \) je horní trojúhelníková matice, její inverzní lze spočítat snadno.

Nejprve najdeme \( A^{-1} \) krok po kroku.

Matice \( A \):

\[ \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Označíme \( A^{-1} = (b_{ij}) \).

Protože poslední řádek a sloupec je jednoduchý, \( b_{33} = \frac{1}{1} = 1 \).

Dále z horní trojúhelníkovosti a inverzní matice \( A^{-1} \) lze spočítat:

První sloupec: řešíme \( A \begin{pmatrix} b_{11} \\ b_{21} \\ b_{31} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Z třetí rovnice \( 0 \cdot b_{11} + 0 \cdot b_{21} + 1 \cdot b_{31} = 0 \Rightarrow b_{31} = 0 \).

Druhá rovnice: \( 1 \cdot b_{11} + 3 \cdot b_{21} + 1 \cdot b_{31} = 0 \Rightarrow b_{11} + 3 b_{21} = 0 \).

První rovnice: \( 2 b_{11} + 0 \cdot b_{21} + 1 \cdot b_{31} = 1 \Rightarrow 2 b_{11} + 0 = 1 \Rightarrow b_{11} = \frac{1}{2} \).

Z druhé rovnice tedy \( \frac{1}{2} + 3 b_{21} = 0 \Rightarrow b_{21} = -\frac{1}{6} \).

Podobně pro druhý sloupec řešíme \( A \begin{pmatrix} b_{12} \\ b_{22} \\ b_{32} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Třetí rovnice: \( b_{32} = 0 \).

Druhá rovnice: \( b_{12} + 3 b_{22} + b_{32} = 1 \Rightarrow b_{12} + 3 b_{22} = 1 \).

První rovnice: \( 2 b_{12} + 0 + b_{32} = 0 \Rightarrow 2 b_{12} = 0 \Rightarrow b_{12} = 0 \).

Druhá rovnice: \( 0 + 3 b_{22} = 1 \Rightarrow b_{22} = \frac{1}{3} \).

Pro třetí sloupec řešíme \( A \begin{pmatrix} b_{13} \\ b_{23} \\ b_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Třetí rovnice: \( b_{33} = 1 \).

Druhá rovnice: \( b_{13} + 3 b_{23} + b_{33} = 0 \Rightarrow b_{13} + 3 b_{23} + 1 = 0 \Rightarrow b_{13} + 3 b_{23} = -1 \).

První rovnice: \( 2 b_{13} + 0 + b_{33} = 0 \Rightarrow 2 b_{13} + 1 = 0 \Rightarrow b_{13} = -\frac{1}{2} \).

Z toho \( -\frac{1}{2} + 3 b_{23} = -1 \Rightarrow 3 b_{23} = -\frac{1}{2} \Rightarrow b_{23} = -\frac{1}{6} \).

Tedy inverzní matice je

\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

Inverzní zobrazení tedy přiřazuje

\( f^{-1}(u,v,w) = \left( \frac{1}{2} u – \frac{1}{2} w, -\frac{1}{6} u + \frac{1}{3} v – \frac{1}{6} w, w \right) \).

Řešení:

Nejprve si označíme výsledky zobrazení jako \( u, v, w \), tedy

\( u = 2x + z \),

\( v = x + 3y + z \),

\( w = z \).

Cílem je vyjádřit původní souřadnice \( x, y, z \) jako funkce proměnných \( u, v, w \), tedy najít

\( f^{-1}(u,v,w) = (x,y,z) \).

Nejprve si všimneme, že z třetí rovnice máme přímo

\( z = w \).

Dosadíme toto do prvních dvou rovnic:

\( u = 2x + w \),

\( v = x + 3y + w \).

Ze vztahu pro \( u \) vyjádříme \( x \):

\( 2x = u – w \Rightarrow x = \frac{u – w}{2} \).

Dosadíme do rovnice pro \( v \):

\( v = \frac{u – w}{2} + 3y + w \).

Upravíme:

\( 3y = v – w – \frac{u – w}{2} = v – w – \frac{u}{2} + \frac{w}{2} = v – \frac{u}{2} – \frac{w}{2} \).

Odtud

\( y = \frac{1}{3} \left( v – \frac{u}{2} – \frac{w}{2} \right) = \frac{v}{3} – \frac{u}{6} – \frac{w}{6} \).

Celkově tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v,w) = \left( \frac{u – w}{2}, \frac{v}{3} – \frac{u}{6} – \frac{w}{6}, w \right) \).

Pro ověření složíme \( f \circ f^{-1} \) a zkontrolujeme, že vyjde identita:

Nechť \( (x,y,z) = f^{-1}(u,v,w) \) podle nalezeného vzorce.

Potom

\( f(x,y,z) = \left( 2x + z, x + 3y + z, z \right) \).

Dosadíme za \( x, y, z \):

\( 2 \cdot \frac{u – w}{2} + w = (u – w) + w = u \).

\( \frac{u – w}{2} + 3 \left( \frac{v}{3} – \frac{u}{6} – \frac{w}{6} \right) + w = \frac{u – w}{2} + v – \frac{u}{2} – \frac{w}{2} + w = v \).

\( z = w \).

Tím je ověřeno, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita na \(\mathbb{R}^3\), což potvrzuje správnost inverzního zobrazení.

Řešení:

Nejprve zapíšeme rovnice z definice \( f \):

\( u = 3x + 4y \),

\( v = 2x + 3y \).

Máme najít \( x, y \) jako funkce \( u, v \).

Zapišme soustavu rovnic:

\( 3x + 4y = u \),

\( 2x + 3y = v \).

Pro vyjádření \( x \) a \( y \) použijeme metodu eliminace. Nejprve vynásobíme druhou rovnici \(3\):

\( 6x + 9y = 3v \).

První rovnici vynásobíme \(2\):

\( 6x + 8y = 2u \).

Odečteme první od druhé:

\( (6x + 9y) – (6x + 8y) = 3v – 2u \Rightarrow y = 3v – 2u \).

Toto je chyba, proto opravíme výpočet:

Správně je

\( 6x + 9y = 3v \)

\( 6x + 8y = 2u \)

Odečteme druhou rovnici od první:

\( (6x + 9y) – (6x + 8y) = 3v – 2u \Rightarrow y = 3v – 2u \)

Opět vidíme, že výsledkem není přímo \( y \). Proto upravíme:

\( y = 3v – 2u \) je nesprávné. Správně:

\( 6x + 9y – 6x – 8y = 3v – 2u \Rightarrow y = 3v – 2u \).

Toto stále nedává smysl, protože rozměry neodpovídají. Musíme správně odečíst rovnice:

\( (6x + 9y) – (6x + 8y) = 3v – 2u \Rightarrow (6x – 6x) + (9y – 8y) = 3v – 2u \Rightarrow y = 3v – 2u \).

To znamená, že \( y = 3v – 2u \), ale ne, protože \( y \) je neznámá a pravá strana jsou výrazy \( u,v \).

Abychom dostali \( y \) správně, potřebujeme zjistit hodnoty \( u,v \) v závislosti na \( x,y \) – což už víme.

Jiným způsobem je řešení soustavy pomocí matice:

Matice soustavy je

\[ \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \] a pravá strana je \(\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix}\).

Determinant matice je

\( \det = 3 \cdot 3 – 4 \cdot 2 = 9 – 8 = 1 \neq 0 \), takže matice je invertibilní.

Inverzní matice je

\[ \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}. \]

Tedy

\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \left(3u – 4v, -2u + 3v\right) \).

To znamená

\( x = 3u – 4v \),

\( y = -2u + 3v \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = (3u – 4v, -2u + 3v) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f^{-1}(f(x,y)) \):

Nechť \( (u,v) = f(x,y) = (3x + 4y, 2x + 3y) \).

Dosadíme do \( f^{-1} \):

\( f^{-1}(u,v) = (3(3x + 4y) – 4(2x + 3y), -2(3x + 4y) + 3(2x + 3y)) \).

Upravíme první složku:

\( 9x + 12y – 8x – 12y = (9x – 8x) + (12y – 12y) = x \).

Druhá složka:

\( -6x – 8y + 6x + 9y = (-6x + 6x) + (-8y + 9y) = y \).

Tím jsme ověřili, že složení \( f^{-1} \circ f \) je skutečně identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Zapsání rovnic:

\( u = x + y \),

\( v = x – y \).

Chceme vyjádřit \( x, y \) jako funkce \( u, v \).

Sčítáme obě rovnice:

\( u + v = (x + y) + (x – y) = 2x \Rightarrow x = \frac{u + v}{2} \).

Odečteme druhou od první:

\( u – v = (x + y) – (x – y) = 2y \Rightarrow y = \frac{u – v}{2} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + v}{2}, \frac{u – v}{2} \right) \).

Pro ověření spočítáme složení \( f \circ f^{-1} \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{u + v}{2} \), \( y = \frac{u – v}{2} \).

Potom

\( f(x,y) = \left( x + y, x – y \right) = \left( \frac{u + v}{2} + \frac{u – v}{2}, \frac{u + v}{2} – \frac{u – v}{2} \right) \).

První složka:

\( \frac{u + v + u – v}{2} = \frac{2u}{2} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{u + v – u + v}{2} = \frac{2v}{2} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Nejprve zapíšeme rovnice:

\( u = x + y \),

\( v = y + z \),

\( w = x + z \).

Cílem je vyjádřit \( x,y,z \) jako funkce \( u,v,w \).

Sečteme první a druhou rovnici:

\( u + v = x + y + y + z = x + 2y + z \).

Odečteme třetí rovnici:

\( (u + v) – w = (x + 2y + z) – (x + z) = 2y \Rightarrow y = \frac{u + v – w}{2} \).

Dosadíme \( y \) do první rovnice:

\( u = x + \frac{u + v – w}{2} \Rightarrow x = u – \frac{u + v – w}{2} = \frac{2u – u – v + w}{2} = \frac{u – v + w}{2} \).

Dosadíme \( y \) do druhé rovnice:

\( v = \frac{u + v – w}{2} + z \Rightarrow z = v – \frac{u + v – w}{2} = \frac{2v – u – v + w}{2} = \frac{-u + v + w}{2} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v,w) = \left( \frac{u – v + w}{2}, \frac{u + v – w}{2}, \frac{-u + v + w}{2} \right) \).

Pro ověření spočítáme \( f^{-1}(f(x,y,z)) \) a zkontrolujeme, že dostaneme původní \( (x,y,z) \).

Nechť \( (u,v,w) = f(x,y,z) \), pak podle definice \( f \) platí výše uvedené vztahy.

Dosadíme do \( f^{-1} \):

\( x‘ = \frac{(x + y) – (y + z) + (x + z)}{2} = \frac{x + y – y – z + x + z}{2} = \frac{2x}{2} = x \).

\( y‘ = \frac{(x + y) + (y + z) – (x + z)}{2} = \frac{x + y + y + z – x – z}{2} = \frac{2y}{2} = y \).

\( z‘ = \frac{-(x + y) + (y + z) + (x + z)}{2} = \frac{-x – y + y + z + x + z}{2} = \frac{2z}{2} = z \).

Tím je ověřeno, že složení \( f^{-1} \circ f \) je identita na \(\mathbb{R}^3\).

Řešení:

Zapisujeme rovnice podle zadání:

\( u = 5x – 2y \),

\( v = 3x + y \).

Chceme najít \( x,y \) jako funkce \( u,v \).

Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:

\( y = v – 3x \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 5x – 2(v – 3x) = 5x – 2v + 6x = 11x – 2v \).

Vyjádříme \( x \):

\( 11x = u + 2v \Rightarrow x = \frac{u + 2v}{11} \).

Zpět k \( y \):

\( y = v – 3 \cdot \frac{u + 2v}{11} = \frac{11v – 3u – 6v}{11} = \frac{5v – 3u}{11} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 2v}{11}, \frac{5v – 3u}{11} \right) \).

Ověření složení \( f \circ f^{-1} \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), potom

\( f(x,y) = (5x – 2y, 3x + y) \).

Dosadíme za \( x,y \):

\( \left(5 \cdot \frac{u + 2v}{11} – 2 \cdot \frac{5v – 3u}{11}, 3 \cdot \frac{u + 2v}{11} + \frac{5v – 3u}{11}\right) = \left(\frac{5u + 10v – 10v + 6u}{11}, \frac{3u + 6v + 5v – 3u}{11}\right) \).

Úprava prvního výrazu:

\( \frac{5u + 6u}{11} = \frac{11u}{11} = u \).

Druhý výraz:

\( \frac{6v + 5v}{11} = \frac{11v}{11} = v \).

Tím je ověřeno, že složení je identita.

Řešení:

Zapisujeme rovnice podle definice:

\( u = 2x + y \),

\( v = x – z \),

\( w = y + 3z \).

Chceme vyjádřit \( x,y,z \) jako funkce \( u,v,w \).

Nejprve vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:

\( x = v + z \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 2(v + z) + y = 2v + 2z + y \Rightarrow y = u – 2v – 2z \).

Dosadíme do třetí rovnice:

\( w = y + 3z = (u – 2v – 2z) + 3z = u – 2v + z \Rightarrow z = w – u + 2v \).

Dosadíme zpět do \( y \):

\( y = u – 2v – 2(w – u + 2v) = u – 2v – 2w + 2u – 4v = 3u – 6v – 2w \).

Dosadíme \( z \) do \( x \):

\( x = v + (w – u + 2v) = -u + 3v + w \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v,w) = (-u + 3v + w, 3u – 6v – 2w, w – u + 2v) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v,w)) \) a ověříme, že dostaneme \( (u,v,w) \).

Dosadíme do definice \( f \):

\( f(x,y,z) = (2x + y, x – z, y + 3z) \), kde \( (x,y,z) = f^{-1}(u,v,w) \).

Po dosazení dostaneme:

\( \bigl( 2(-u + 3v + w) + (3u – 6v – 2w), (-u + 3v + w) – (w – u + 2v), (3u – 6v – 2w) + 3(w – u + 2v) \bigr) \).

Úpravy prvního výrazu:

\( -2u + 6v + 2w + 3u – 6v – 2w = (-2u + 3u) + (6v – 6v) + (2w – 2w) = u \).

Druhý výraz:

\( -u + 3v + w – w + u – 2v = (-u + u) + (3v – 2v) + (w – w) = v \).

Třetí výraz:

\( 3u – 6v – 2w + 3w – 3u + 6v = (3u – 3u) + (-6v + 6v) + (-2w + 3w) = w \).

Tím je ověřeno, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Začneme zápisem rovnic, které definují \( f \):

\( u = 3x + 4y \),

\( v = 2x – y \),

kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Naším cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \), tedy nalézt předpis inverzního zobrazení \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme soustavu dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými:

\( 3x + 4y = u \),

\( 2x – y = v \).

Nejprve z druhé rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = 2x – v \).

Nyní tuto hodnotu dosadíme do první rovnice:

\( 3x + 4(2x – v) = u \Rightarrow 3x + 8x – 4v = u \Rightarrow 11x = u + 4v \Rightarrow x = \frac{u + 4v}{11} \).

Poté dosadíme zpět do výrazu pro \( y \):

\( y = 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – v = \frac{2u + 8v}{11} – \frac{11v}{11} = \frac{2u + 8v – 11v}{11} = \frac{2u – 3v}{11} \).

Tedy jsme nalezli předpis inverzního zobrazení:

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 4v}{11}, \frac{2u – 3v}{11} \right) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v)) \). Označíme si:

\( x = \frac{u + 4v}{11} \), \( y = \frac{2u – 3v}{11} \).

Podle definice \( f \) platí:

\( f(x,y) = (3x + 4y, 2x – y) \).

Dosadíme hodnoty \( x \) a \( y \):

\( \left( 3 \cdot \frac{u + 4v}{11} + 4 \cdot \frac{2u – 3v}{11}, 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – \frac{2u – 3v}{11} \right) = \left( \frac{3u + 12v + 8u – 12v}{11}, \frac{2u + 8v – 2u + 3v}{11} \right) \).

Úprava první složky:

\( \frac{3u + 8u + 12v – 12v}{11} = \frac{11u}{11} = u \).

Úprava druhé složky:

\( \frac{2u – 2u + 8v + 3v}{11} = \frac{11v}{11} = v \).

Tím jsme ukázali, že složení \( f \circ f^{-1} \) je skutečně identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Nejprve zapíšeme soustavu rovnic pro \( f \):

\( u = x + 2y – z \),

\( v = 3x – y + 4z \),

\( w = 2x + y + z \),

kde \( (u,v,w) = f(x,y,z) \).

Naším cílem je vyjádřit \( x, y, z \) jako funkce \( u,v,w \).

Máme tedy soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých:

\( x + 2y – z = u \),

\( 3x – y + 4z = v \),

\( 2x + y + z = w \).

Začneme tím, že se pokusíme postupně vyjádřit jednu neznámou a pak ji dosadit do ostatních rovnic.

Z první rovnice vyjádříme \( z \):

\( z = x + 2y – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 3x – y + 4(x + 2y – u) = v \Rightarrow 3x – y + 4x + 8y – 4u = v \Rightarrow 7x + 7y = v + 4u \).

Z této rovnice dostaneme:

\( 7x + 7y = v + 4u \Rightarrow x + y = \frac{v + 4u}{7} \).

Dosadíme také \( z = x + 2y – u \) do třetí rovnice:

\( 2x + y + (x + 2y – u) = w \Rightarrow 3x + 3y = w + u \Rightarrow x + y = \frac{w + u}{3} \).

Máme dvě rovnice pro \( x + y \):

\( \frac{v + 4u}{7} = \frac{w + u}{3} \).

Vyřešíme tuto rovnost pro \( w \):

\( 3(v + 4u) = 7(w + u) \Rightarrow 3v + 12u = 7w + 7u \Rightarrow 3v + 5u = 7w \Rightarrow w = \frac{3v + 5u}{7} \).

Tato rovnost nám ale slouží k ověření, zda je zobrazení invertibilní pro dané \( u,v,w \), pro nalezení \( x,y,z \) je třeba jiný postup.

Nyní odečteme první rovnice pro \( x + y \) pro získání vztahu:

\( \frac{v + 4u}{7} – \frac{w + u}{3} = 0 \Rightarrow \) již vyřešeno výše.

Pokračujeme jinak: z první rovnice \( z = x + 2y – u \), dosadíme do třetí:

\( 2x + y + (x + 2y – u) = w \Rightarrow 3x + 3y = w + u \Rightarrow x + y = \frac{w + u}{3} \).

Z druhé rovnice jsme získali \( x + y = \frac{v + 4u}{7} \).

Tyto dvě hodnoty se musí rovnat, takže pro \( u,v,w \) platí podmínka:

\( \frac{w + u}{3} = \frac{v + 4u}{7} \Rightarrow 7(w + u) = 3(v + 4u) \Rightarrow 7w + 7u = 3v + 12u \Rightarrow 7w = 3v + 5u \).

Předpokládáme, že tato podmínka je splněna, což znamená, že inverzní zobrazení existuje právě pro tyto hodnoty.

Nyní dosadíme za \( y = t \) (parametr) a vyjádříme \( x \) z \( x + y = \frac{w + u}{3} \):

\( x = \frac{w + u}{3} – t \).

Dosadíme zpět do výrazu pro \( z \):

\( z = \left( \frac{w + u}{3} – t \right) + 2t – u = \frac{w + u}{3} + t – u = \frac{w + u – 3u}{3} + t = \frac{w – 2u}{3} + t \).

Dosadíme do druhé rovnice pro ověření:

\( 3x – y + 4z = 3\left( \frac{w + u}{3} – t \right) – t + 4 \left( \frac{w – 2u}{3} + t \right) = (w + u) – 3t – t + \frac{4w – 8u}{3} + 4t \).

Úprava:

\( (w + u) + \frac{4w – 8u}{3} + ( -3t – t + 4t ) = (w + u) + \frac{4w – 8u}{3} + 0 = \).

Sečteme zlomky:

\( \frac{3(w + u)}{3} + \frac{4w – 8u}{3} = \frac{3w + 3u + 4w – 8u}{3} = \frac{7w – 5u}{3} \).

Pro splnění rovnice platí:

\( \frac{7w – 5u}{3} = v \Rightarrow 7w – 5u = 3v \Rightarrow 7w = 3v + 5u \), což odpovídá již nalezené podmínce.

Vzhledem k tomu, že parametr \( t \) zůstává volný, zobrazení není jednoznačně invertibilní na celé \( \mathbb{R}^3 \), ale pouze na podprostoru splňujícím podmínku výše. Tento příklad tedy ilustruje nutnost ověřit podmínky invertibility.

Závěr: Tento lineární systém není invertibilní na celé \( \mathbb{R}^3 \), neboť determinant matice zobrazení je nulový (ověřeno mimo rozsah), a proto není možné nalézt jednoznačné inverzní zobrazení bez omezení.

Řešení:

Zapíšeme rovnice pro \( f \):

\( u = 4x + y \),

\( v = 3x + 2y \),

kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Naším cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \).

Máme soustavu dvou rovnic:

\( 4x + y = u \),

\( 3x + 2y = v \).

Nejprve vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( y = u – 4x \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 3x + 2(u – 4x) = v \Rightarrow 3x + 2u – 8x = v \Rightarrow -5x = v – 2u \Rightarrow x = \frac{2u – v}{5} \).

Dosadíme zpět do výrazu pro \( y \):

\( y = u – 4 \cdot \frac{2u – v}{5} = \frac{5u – 8u + 4v}{5} = \frac{-3u + 4v}{5} \).

Tedy inverzní zobrazení je:

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{2u – v}{5}, \frac{-3u + 4v}{5} \right) \).

Pro ověření spočítáme \( f(f^{-1}(u,v)) \).

Dosadíme \( x = \frac{2u – v}{5} \), \( y = \frac{-3u + 4v}{5} \) do \( f \):

\( f(x,y) = \left( 4 \cdot \frac{2u – v}{5} + \frac{-3u + 4v}{5}, 3 \cdot \frac{2u – v}{5} + 2 \cdot \frac{-3u + 4v}{5} \right) \).

Úprava první složky:

\( \frac{8u – 4v – 3u + 4v}{5} = \frac{5u}{5} = u \).

Úprava druhé složky:

\( \frac{6u – 3v – 6u + 8v}{5} = \frac{5v}{5} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} = id \).

Řešení:

Máme matici

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \).

Determinant matice je:

\( \det A = 1 \cdot 5 – 2 \cdot 3 = 5 – 6 = -1 \neq 0 \), takže matice je regulární a zobrazení je invertibilní.

Inverzní matice je dána vztahem:

\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \).

Tedy matice inverzního zobrazení je

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \).

Řešení:

Matice \( A \) je

\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} \).

Nejprve spočítáme determinant matice \( A \).

Pro výpočet použijeme rozvoj podle prvního řádku:

\( \det A = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} – 0 + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \).

Determinanty menších matic jsou:

\( \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 – 1 \cdot 4 = 3 – 4 = -1 \),

\( \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = -1 \cdot 4 – 3 \cdot 0 = -4 – 0 = -4 \).

Dosadíme:

\( \det A = 1 \cdot (-1) + 0 + 2 \cdot (-4) = -1 + 0 – 8 = -9 \neq 0 \).

Matice je regulární, proto existuje inverzní matice.

Pro výpočet inverzní matice použijeme metodu adjungované matice (matice doplňků a transpozice).

Nejprve spočítáme matici doplňků \( C \), kde \( C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij} \), a \( M_{ij} \) je matice vzniklá vynecháním \( i \)-tého řádku a \( j \)-tého sloupce.

Výpočty jednotlivých doplňků:

• \( C_{11} = \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -1 \),
• \( C_{12} = – \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -(-1 \cdot 1 – 1 \cdot 0) = -(-1) = 1 \),
• \( C_{13} = \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = -4 \),
• \( C_{21} = – \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = – (0 \cdot 1 – 2 \cdot 4) = – (0 – 8) = 8 \),
• \( C_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1 \),
• \( C_{23} = – \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 4 – 0 \cdot 0) = -4 \),
• \( C_{31} = \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – 2 \cdot 3 = -6 \),
• \( C_{32} = – \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 1 – 2 \cdot (-1)) = – (1 + 2) = -3 \),
• \( C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – 0 \cdot (-1) = 3 \).

Matice doplňků je tedy

\( C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -4 \\ 8 & 1 & -4 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} \).

Transponujeme matici doplňků (adjungovaná matice \( \text{adj}(A) \)):

\( \text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -1 & 8 & -6 \\ 1 & 1 & -3 \\ -4 & -4 & 3 \end{pmatrix} \).

Inverzní matice je

\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \text{adj}(A) = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} -1 & 8 & -6 \\ 1 & 1 & -3 \\ -4 & -4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & -\frac{8}{9} & \frac{6}{9} \\ -\frac{1}{9} & -\frac{1}{9} & \frac{3}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{3}{9} \end{pmatrix} \).

Zjednodušíme zlomky:

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & -\frac{8}{9} & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{9} & -\frac{1}{9} & \frac{1}{3} \\ \frac{4}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \).

Řešení:

Nejprve si zapíšeme rovnice, které definují zobrazení \( f \):

\( u = 3x + 2y \), \( v = 5x + 4y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Cílem je nalézt inverzní zobrazení \( f^{-1} \), tedy vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Máme soustavu lineárních rovnic

\( 3x + 2y = u \),

\( 5x + 4y = v \).

Nejprve vyřešíme tuto soustavu metodou dosazení nebo sčítání.

Pro jednodušší vyjádření eliminujeme jednu proměnnou. Vynásobíme první rovnici 2, dostaneme

\( 6x + 4y = 2u \).

Druhá rovnice je

\( 5x + 4y = v \).

Odečteme druhou rovnici od první:

\( (6x + 4y) – (5x + 4y) = 2u – v \Rightarrow x = 2u – v \).

Tedy jsme získali první nevyjádřenou proměnnou \( x \).

Nyní dosadíme \( x = 2u – v \) zpět do první rovnice:

\( 3(2u – v) + 2y = u \Rightarrow 6u – 3v + 2y = u \Rightarrow 2y = u + 3v – 6u = -5u + 3v \Rightarrow y = \frac{-5u + 3v}{2} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( 2u – v, \frac{-5u + 3v}{2} \right) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v)) \).

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = 2u – v \), \( y = \frac{-5u + 3v}{2} \).

Dosadíme do původního zobrazení \( f(x,y) \):

\( f(x,y) = (3x + 2y, 5x + 4y) = \left( 3(2u – v) + 2 \cdot \frac{-5u + 3v}{2}, 5(2u – v) + 4 \cdot \frac{-5u + 3v}{2} \right) \).

Počítejme první složku:

\( 3(2u – v) + 2 \cdot \frac{-5u + 3v}{2} = 6u – 3v + (-5u + 3v) = (6u – 5u) + (-3v + 3v) = u + 0 = u \).

Počítejme druhou složku:

\( 5(2u – v) + 4 \cdot \frac{-5u + 3v}{2} = 10u – 5v + 2(-5u + 3v) = 10u – 5v – 10u + 6v = 0 + v = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} = id \) na \( \mathbb{R}^2 \).

Podobně by šlo ověřit i \( f^{-1} \circ f = id \), čímž je potvrzeno, že \( f^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Máme danou matici \( A \):

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 4 \end{pmatrix} \).

Nejprve ověříme, zda je matice regulární, tj. zda existuje inverzní matice. K tomu spočítáme determinant \( \det A \).

Pro třířádkovou matici spočítáme determinant rozvojem podle prvního řádku:

\( \det A = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} – 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \).

Spočítáme jednotlivé determinanty:

\( \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 3 \cdot 0 = 4 \),

\( \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 0 \cdot 4 – 3 \cdot 2 = -6 \),

\( \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 2 = -2 \).

Dosadíme do výpočtu determinantu:

\( \det A = 1 \cdot 4 – 2 \cdot (-6) + 1 \cdot (-2) = 4 + 12 – 2 = 14 \neq 0 \).

Proto matice je regulární a inverzní matice existuje.

Pro výpočet inverzní matice použijeme metodu adjungované matice:

Nejprve spočítáme matici doplňků \( C = (C_{ij}) \), kde \( C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij} \), přičemž \( M_{ij} \) je matice vzniklá vynecháním \( i \)-tého řádku a \( j \)-tého sloupce z \( A \).

Vypočítáme jednotlivé doplňky:

• \( C_{11} = \det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4 \),
• \( C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = -(-6) = 6 \),
• \( C_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -2 \),
• \( C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = – (2 \cdot 4 – 1 \cdot 0) = -8 \),
• \( C_{22} = \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot 4 – 1 \cdot 2 = 2 \),
• \( C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 0 – 2 \cdot 2) = -(-4) = 4 \),
• \( C_{31} = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot 3 – 1 \cdot 1 = 6 – 1 = 5 \),
• \( C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = – (1 \cdot 3 – 1 \cdot 0) = -3 \),
• \( C_{33} = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 2 \cdot 0 = 1 \).

Matici doplňků zapíšeme:

\( C = \begin{pmatrix} 4 & 6 & -2 \\ -8 & 2 & 4 \\ 5 & -3 & 1 \end{pmatrix} \).

Inverzní matice je pak transponovaná matice doplňků dělená determinantem:

\( A^{-1} = \frac{1}{14} C^T = \frac{1}{14} \begin{pmatrix} 4 & -8 & 5 \\ 6 & 2 & -3 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} \).

Tedy

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{4}{14} & \frac{-8}{14} & \frac{5}{14} \\[6pt] \frac{6}{14} & \frac{2}{14} & \frac{-3}{14} \\[6pt] \frac{-2}{14} & \frac{4}{14} & \frac{1}{14} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7} & -\frac{4}{7} & \frac{5}{14} \\[6pt] \frac{3}{7} & \frac{1}{7} & -\frac{3}{14} \\[6pt] -\frac{1}{7} & \frac{2}{7} & \frac{1}{14} \end{pmatrix} \).

Tím je nalezena matice inverzního zobrazení \( f^{-1} \).

Řešení:

Lineární zobrazení \( f \) můžeme reprezentovat maticí, která působí na vektor \( (x,y)^T \) tak, že

\( f(x,y) = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \).

Tedy matice zobrazení je

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \).

Nejprve zjistíme, zda matice \( A \) je regulární, tedy zda má inverzní matici, spočítáme determinant:

\( \det A = 1 \cdot 3 – 4 \cdot 2 = 3 – 8 = -5 \neq 0 \).

Tedy matice je regulární a inverzní matice existuje.

Inverzní matice \( A^{-1} \) pro matici \( 2 \times 2 \) je

\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \), kde \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).

Dosadíme:

\( A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\[6pt] \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \).

Ověříme, že součin \( A A^{-1} \) je jednotková matice:

\( A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \\[6pt] \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \end{pmatrix} \).

Počítejme první řádek:

\( 1 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + 2 \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3}{5} + \frac{8}{5} = \frac{5}{5} = 1 \),

\( 1 \cdot \frac{2}{5} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5} – \frac{2}{5} = 0 \).

Druhý řádek:

\( 4 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) + 3 \cdot \frac{4}{5} = -\frac{12}{5} + \frac{12}{5} = 0 \),

\( 4 \cdot \frac{2}{5} + 3 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{8}{5} – \frac{3}{5} = \frac{5}{5} = 1 \).

Tedy

\( A A^{-1} = I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), což potvrzuje správnost inverzní matice.

Řešení:

Zapíšeme rovnice z definice zobrazení \( f \):

\( u = 4x – y \), \( v = 2x + 3y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \).

Soustava je tedy

\( 4x – y = u \),

\( 2x + 3y = v \).

Nejprve z první rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = 4x – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 2x + 3(4x – u) = v \Rightarrow 2x + 12x – 3u = v \Rightarrow 14x = v + 3u \Rightarrow x = \frac{v + 3u}{14} \).

Dosadíme zpět do výrazu pro \( y \):

\( y = 4 \cdot \frac{v + 3u}{14} – u = \frac{4v + 12u}{14} – \frac{14u}{14} = \frac{4v – 2u}{14} = \frac{2v – u}{7} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 3u}{14}, \frac{2v – u}{7} \right) \).

Pro ověření spočítáme \( f^{-1}(f(x,y)) \).

Nechť \( (x,y) \) je libovolný vektor v \( \mathbb{R}^2 \).

Nejprve spočítáme \( (u,v) = f(x,y) = (4x – y, 2x + 3y) \).

Dosadíme do \( f^{-1} \):

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 3u}{14}, \frac{2v – u}{7} \right) = \left( \frac{2x + 3y + 3(4x – y)}{14}, \frac{2(2x + 3y) – (4x – y)}{7} \right) \).

Úpravou první složky:

\( \frac{2x + 3y + 12x – 3y}{14} = \frac{14x}{14} = x \).

Úpravou druhé složky:

\( \frac{4x + 6y – 4x + y}{7} = \frac{7y}{7} = y \).

Tím jsme ověřili, že pro každý vektor platí

\( f^{-1}(f(x,y)) = (x,y) \), což znamená, že \( f^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Nejprve si uvědomíme, že nalezení inverzní matice k \( A \) znamená najít takovou matici \( A^{-1} \), která splňuje rovnost

\( A A^{-1} = I_3 \), kde \( I_3 \) je jednotková matice \( 3 \times 3 \).

Proto začneme výpočtem determinantu matice \( A \), abychom ověřili, že matice je regulární (má inverzní matici).

Determinant matice \( A \) spočítáme rozvojem podle prvního řádku:

\( \det A = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} – 0 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \).

Vypočítáme jednotlivé determinanty \( 2 \times 2 \):

\( \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = 3 \cdot 0 – (-1) \cdot 1 = 1 \).

\( \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = (-1) \cdot (-1) – 3 \cdot 2 = 1 – 6 = -5 \).

Dosadíme zpět:

\( \det A = 1 \cdot 1 + 0 + 2 \cdot (-5) = 1 – 10 = -9 \).

Determinant je různý od nuly, tedy matice \( A \) je regulární a inverzní matice existuje.

Dále budeme počítat matici doplňků (adjungovanou matici), což je matice, kde každý prvek je doplněk daného prvku matice \( A \).

Pro každý prvek \( a_{ij} \) matice \( A \) spočítáme jeho algebraický doplněk \( C_{ij} \) jako

\( C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij} \), kde \( M_{ij} \) je matice vzniklá vynecháním \( i \)-tého řádku a \( j \)-tého sloupce z \( A \).

Postupně spočítáme jednotlivé doplňky:

• \( C_{11} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = 1 \).
• \( C_{12} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -(-2) = 2 \).
• \( C_{13} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = -5 \).
• \( C_{21} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = -(0 – (-2)) = -2 \).
• \( C_{22} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 0 – 2 \cdot 2 = -4 \).
• \( C_{23} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = -( -1 – 0) = 1 \).
• \( C_{31} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 0 \cdot 1 – 2 \cdot 3 = -6 \).
• \( C_{32} = (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = -(1 – (-2)) = -3 \).
• \( C_{33} = (+1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 – 0 \cdot (-1) = 3 \).

Matice doplňků je tedy

\( C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 \\ -2 & -4 & 1 \\ -6 & -3 & 3 \end{pmatrix} \).

Nyní transponujeme matici doplňků, abychom dostali adjungovanou matici \( \mathrm{adj}(A) \):

\( \mathrm{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -6 \\ 2 & -4 & -3 \\ -5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \).

Inverzní matice je dána vztahem

\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}(A) = -\frac{1}{9} \begin{pmatrix} 1 & -2 & -6 \\ 2 & -4 & -3 \\ -5 & 1 & 3 \end{pmatrix} \).

Tedy

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{9} & \frac{4}{9} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{9} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \).

Nyní ověříme, že \( A A^{-1} = I_3 \).

Vynásobíme \( A \) a \( A^{-1} \):

\( A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -\frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{9} & \frac{4}{9} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{9} & -\frac{1}{9} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \).

Počítáme jednotlivé prvky výsledné matice:

První řádek, první sloupec:

\( 1 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) + 0 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) + 2 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{1}{9} + 0 + \frac{10}{9} = \frac{9}{9} = 1 \).

První řádek, druhý sloupec:

\( 1 \cdot \frac{2}{9} + 0 \cdot \frac{4}{9} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = \frac{2}{9} + 0 – \frac{2}{9} = 0 \).

První řádek, třetí sloupec:

\( 1 \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + 0 – \frac{2}{3} = 0 \).

Druhý řádek, první sloupec:

\( -1 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) + 3 \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) + 1 \cdot \frac{5}{9} = \frac{1}{9} – \frac{6}{9} + \frac{5}{9} = 0 \).

Druhý řádek, druhý sloupec:

\( -1 \cdot \frac{2}{9} + 3 \cdot \frac{4}{9} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = -\frac{2}{9} + \frac{12}{9} – \frac{1}{9} = \frac{9}{9} = 1 \).

Druhý řádek, třetí sloupec:

\( -1 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{3} + 1 – \frac{1}{3} = 0 \).

Třetí řádek, první sloupec:

\( 2 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) + (-1) \cdot \left(-\frac{2}{9}\right) + 0 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{2}{9} + \frac{2}{9} + 0 = 0 \).

Třetí řádek, druhý sloupec:

\( 2 \cdot \frac{2}{9} + (-1) \cdot \frac{4}{9} + 0 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) = \frac{4}{9} – \frac{4}{9} + 0 = 0 \).

Třetí řádek, třetí sloupec:

\( 2 \cdot \frac{2}{3} + (-1) \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{4}{3} – \frac{1}{3} + 0 = 1 \).

Výsledná matice je tedy

\( A A^{-1} = I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \), což potvrzuje správnost výpočtu.

Řešení:

Nejprve zapíšeme rovnice, které definují \( f \):

\( u = 3x + 2y \), \( v = 5x – y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce proměnných \( u \) a \( v \), tedy nalézt \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme soustavu dvou lineárních rovnic:

\( 3x + 2y = u \)

\( 5x – y = v \).

Nejprve vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:

\( y = 5x – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( 3x + 2(5x – v) = u \Rightarrow 3x + 10x – 2v = u \Rightarrow 13x = u + 2v \Rightarrow x = \frac{u + 2v}{13} \).

Nyní dosadíme zpět k \( y \):

\( y = 5 \cdot \frac{u + 2v}{13} – v = \frac{5u + 10v}{13} – \frac{13v}{13} = \frac{5u – 3v}{13} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 2v}{13}, \frac{5u – 3v}{13} \right) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v)) \). Označíme \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{u + 2v}{13} \), \( y = \frac{5u – 3v}{13} \).

Pak

\( f(x,y) = (3x + 2y, 5x – y) = \left( 3 \cdot \frac{u + 2v}{13} + 2 \cdot \frac{5u – 3v}{13}, 5 \cdot \frac{u + 2v}{13} – \frac{5u – 3v}{13} \right) \).

Úpravou získáme:

První složka:

\( \frac{3u + 6v + 10u – 6v}{13} = \frac{13u}{13} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{5u + 10v – 5u + 3v}{13} = \frac{13v}{13} = v \).

Tím jsme ukázali, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \), což potvrzuje, že jsme správně našli inverzní zobrazení.

Řešení:

Pro nalezení matice inverzní k \( A \) využijeme metodu rozšířené matice a elementárních řádkových úprav.

Nejprve zapíšeme rozšířenou matici \( (A | I_3) \):

\( \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \).

Prvním krokem eliminujeme prvek pod jedničkou v první pozici prvního sloupce. Provedeme

\( R_3 \to R_3 – 4R_1 \):

\( \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -8 & 1 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right) \).

Dále pracujeme na druhém sloupci. Přičteme k třetímu řádku \( 8 \) násobek druhého řádku, aby se zrušil prvek -8:

\( R_3 \to R_3 + 8 R_2 \):

\( \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 25 & -4 & 8 & 1 \end{array}\right) \).

Nyní dělíme třetí řádek číslem 25, abychom získali jednotkový prvek na diagonále:

\( R_3 \to \frac{1}{25} R_3 \):

\( \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25} \end{array}\right) \).

Vrátíme se k druhému řádku a eliminujeme třetí sloupec pomocí

\( R_2 \to R_2 – 3 R_3 \):

\( \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25} \end{array}\right) \).

Nakonec eliminujeme druhý sloupec v prvním řádku:

\( R_1 \to R_1 – 2 R_2 \):

\( \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{25} & -\frac{2}{25} & \frac{6}{25} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{12}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25} \end{array}\right) \).

Výsledná matice napravo od svislé čáry je matice inverzní k \( A \):

\( A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{25} & -\frac{2}{25} & \frac{6}{25} \\ \frac{12}{25} & \frac{1}{25} & -\frac{3}{25} \\ -\frac{4}{25} & \frac{8}{25} & \frac{1}{25} \end{pmatrix} \).

Pro ověření spočítáme součin \( A A^{-1} \), který by měl být jednotkovou maticí \( I_3 \).

Po pečlivém vynásobení obou matic dostaneme

\( I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \), což potvrzuje správnost výpočtu.

Řešení:

Zapíšeme rovnice podle definice \( f \):

\( u = x – y \), \( v = 4x + 3y \).

Chceme vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \), tedy nalézt \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Soustava rovnic je

\( x – y = u \)

\( 4x + 3y = v \).

Z první rovnice vyjádříme \( x = u + y \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 4(u + y) + 3y = v \Rightarrow 4u + 4y + 3y = v \Rightarrow 4u + 7y = v \Rightarrow y = \frac{v – 4u}{7} \).

Nyní zpět k \( x \):

\( x = u + \frac{v – 4u}{7} = \frac{7u + v – 4u}{7} = \frac{3u + v}{7} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{3u + v}{7}, \frac{v – 4u}{7} \right) \).

Ověříme, že složení \( f^{-1} \circ f \) je identita.

Nechť \( (x,y) \in \mathbb{R}^2 \) a \( (u,v) = f(x,y) \). Potom

\( u = x – y \), \( v = 4x + 3y \).

Dosadíme do \( f^{-1} \):

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{3(x – y) + (4x + 3y)}{7}, \frac{(4x + 3y) – 4(x – y)}{7} \right) \).

Úpravy:

První složka:

\( \frac{3x – 3y + 4x + 3y}{7} = \frac{7x}{7} = x \).

Druhá složka:

\( \frac{4x + 3y – 4x + 4y}{7} = \frac{7y}{7} = y \).

Tím jsme ověřili, že \( f^{-1} \circ f \) je skutečně identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Matice \( A \) je čtvercová matice 2×2. Pro nalezení její inverzní matice použijeme vzorec pro inverzi 2×2 matice:

\( A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \), kde \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \).

V našem případě je

\( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = 3 \), \( d = 4 \).

Nejdříve spočítáme determinant:

\( \det A = ad – bc = 2 \cdot 4 – (-1) \cdot 3 = 8 + 3 = 11 \).

Proto

\( A^{-1} = \frac{1}{11} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{11} & \frac{1}{11} \\ -\frac{3}{11} & \frac{2}{11} \end{pmatrix} \).

Pro ověření vynásobíme \( A \) a \( A^{-1} \):

\( A A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{4}{11} & \frac{1}{11} \\ -\frac{3}{11} & \frac{2}{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot \frac{4}{11} + (-1) \cdot \left(-\frac{3}{11}\right) & 2 \cdot \frac{1}{11} + (-1) \cdot \frac{2}{11} \\ 3 \cdot \frac{4}{11} + 4 \cdot \left(-\frac{3}{11}\right) & 3 \cdot \frac{1}{11} + 4 \cdot \frac{2}{11} \end{pmatrix} \).

Úpravy jednotlivých prvků:

První řádek, první sloupec:

\( \frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{11}{11} = 1 \).

První řádek, druhý sloupec:

\( \frac{2}{11} – \frac{2}{11} = 0 \).

Druhý řádek, první sloupec:

\( \frac{12}{11} – \frac{12}{11} = 0 \).

Druhý řádek, druhý sloupec:

\( \frac{3}{11} + \frac{8}{11} = \frac{11}{11} = 1 \).

Tedy

\( A A^{-1} = I_2 \), což je matice jednotková 2×2.

Řešení:

Nejprve zapíšeme rovnice:

\( u = x + 2y – z \)

\( v = 3x – y + 4z \)

\( w = -x + y + z \).

Naším cílem je vyjádřit \( x, y, z \) pomocí \( u, v, w \).

Soustava je

\( \begin{cases} x + 2y – z = u \\ 3x – y + 4z = v \\ -x + y + z = w \end{cases} \).

Sčítáním druhé a třetí rovnice dostaneme:

\( (3x – y + 4z) + (-x + y + z) = v + w \Rightarrow 2x + 5z = v + w \Rightarrow 2x = v + w – 5z \Rightarrow x = \frac{v + w – 5z}{2} \).

Dosadíme \( x \) do první rovnice:

\( \frac{v + w – 5z}{2} + 2y – z = u \Rightarrow 2y = u – \frac{v + w – 5z}{2} + z = u – \frac{v + w}{2} + \frac{5z}{2} + z = u – \frac{v + w}{2} + \frac{7z}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2}\left(u – \frac{v + w}{2} + \frac{7z}{2}\right) \).

Nyní použijeme třetí rovnici k vyjádření \( y \) podle \( x, z, w \):

\( -x + y + z = w \Rightarrow y = w + x – z \).

Dosadíme za \( y \) z předchozího výrazu:

\( \frac{1}{2}\left(u – \frac{v + w}{2} + \frac{7z}{2}\right) = w + x – z \).

Dosadíme \( x \):

\( \frac{1}{2}\left(u – \frac{v + w}{2} + \frac{7z}{2}\right) = w + \frac{v + w – 5z}{2} – z \).

Nyní upravíme obě strany:

Levá strana:

\( \frac{u}{2} – \frac{v + w}{4} + \frac{7z}{4} \).

Pravá strana:

\( w + \frac{v}{2} + \frac{w}{2} – \frac{5z}{2} – z = w + \frac{v}{2} + \frac{w}{2} – \frac{7z}{2} = \frac{3w}{2} + \frac{v}{2} – \frac{7z}{2} \).

Rovnice tedy je:

\( \frac{u}{2} – \frac{v + w}{4} + \frac{7z}{4} = \frac{3w}{2} + \frac{v}{2} – \frac{7z}{2} \).

Převedeme vše na jednu stranu a upravíme:

\( \frac{u}{2} – \frac{v}{4} – \frac{w}{4} + \frac{7z}{4} – \frac{3w}{2} – \frac{v}{2} + \frac{7z}{2} = 0 \Rightarrow \)

\( \frac{u}{2} – \frac{3v}{4} – \frac{7w}{4} + \frac{21z}{4} = 0 \).

Vynásobíme celou rovnici 4 pro lepší čitelnost:

\( 2u – 3v – 7w + 21z = 0 \Rightarrow 21z = 3v + 7w – 2u \Rightarrow z = \frac{3v + 7w – 2u}{21} \).

Dosadíme \( z \) zpět do výrazů pro \( x \) a \( y \):

\( x = \frac{v + w – 5z}{2} = \frac{v + w – 5 \cdot \frac{3v + 7w – 2u}{21}}{2} = \frac{v + w – \frac{15v + 35w – 10u}{21}}{2} \).

Úpravou získáme:

\( x = \frac{\frac{21(v + w) – (15v + 35w – 10u)}{21}}{2} = \frac{21v + 21w – 15v – 35w + 10u}{42} = \frac{6v – 14w + 10u}{42} = \frac{5u + 3v – 7w}{21} \).

Pro \( y \):

\( y = w + x – z = w + \frac{5u + 3v – 7w}{21} – \frac{3v + 7w – 2u}{21} = w + \frac{5u + 3v – 7w – 3v – 7w + 2u}{21} = w + \frac{7u – 14w}{21} = w + \frac{1}{3}u – \frac{2}{3}w = \frac{1}{3}u + \frac{1}{3}w \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v,w) = \left( \frac{5u + 3v – 7w}{21}, \frac{u + w}{3}, \frac{3v + 7w – 2u}{21} \right) \).

Řešení:

Nejprve si zapíšeme rovnice, které definují funkci \( f \):

\( u = 3x + 4y \), \( v = 2x – y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Naším cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \), tedy najít \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme tedy soustavu lineárních rovnic:

\( 3x + 4y = u \)

\( 2x – y = v \).

Nejprve vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:

\( -y = v – 2x \Rightarrow y = 2x – v \).

Dosadíme tento výraz za \( y \) do první rovnice:

\( 3x + 4(2x – v) = u \Rightarrow 3x + 8x – 4v = u \Rightarrow 11x = u + 4v \Rightarrow x = \frac{u + 4v}{11} \).

Nyní dosadíme \( x \) zpět do výrazu pro \( y \):

\( y = 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – v = \frac{2u + 8v}{11} – \frac{11v}{11} = \frac{2u + 8v – 11v}{11} = \frac{2u – 3v}{11} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 4v}{11}, \frac{2u – 3v}{11} \right) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v)) \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{u + 4v}{11} \), \( y = \frac{2u – 3v}{11} \).

Potom

\( f(x,y) = \left( 3x + 4y, 2x – y \right) = \left( 3 \cdot \frac{u + 4v}{11} + 4 \cdot \frac{2u – 3v}{11}, 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – \frac{2u – 3v}{11} \right) \).

Upravíme první složku:

\( \frac{3(u + 4v) + 4(2u – 3v)}{11} = \frac{3u + 12v + 8u – 12v}{11} = \frac{11u}{11} = u \).

Upravíme druhou složku:

\( \frac{2(u + 4v) – (2u – 3v)}{11} = \frac{2u + 8v – 2u + 3v}{11} = \frac{11v}{11} = v \).

Tím jsme ukázali, že \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \), což potvrzuje, že nalezené inverzní zobrazení je správné.

Řešení:

Nejprve si zapíšeme rovnice pro \( f \):

\( u = x + y + z \)

\( v = 2x – y + 3z \)

\( w = -x + 4y + 5z \).

Naším cílem je vyjádřit \( x, y, z \) jako funkce \( u, v, w \), tedy nalézt \( f^{-1}(u,v,w) = (x,y,z) \).

Máme soustavu tří rovnic s třemi neznámými:

\( \begin{cases} x + y + z = u \\ 2x – y + 3z = v \\ -x + 4y + 5z = w \end{cases} \).

Nejprve sčítáme první a druhou rovnici:

\( (x + y + z) + (2x – y + 3z) = u + v \Rightarrow 3x + 4z = u + v \).

Tato rovnice je:

\( 3x + 4z = u + v \).

Dále přičteme první a třetí rovnici:

\( (x + y + z) + (-x + 4y + 5z) = u + w \Rightarrow 5y + 6z = u + w \).

Řešíme soustavu dvou rovnic s neznámými \( x \) a \( z \) a zároveň máme vyjádření pro \( y \) z druhé rovnice.

Vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( y = u – x – z \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 2x – (u – x – z) + 3z = v \Rightarrow 2x – u + x + z + 3z = v \Rightarrow 3x + 4z – u = v \Rightarrow 3x + 4z = u + v \).

Tato rovnice se shoduje s rovnicí získanou sčítáním první a druhé rovnice, což potvrzuje správnost.

Vyjádříme nyní \( y \) z třetí rovnice:

\( -x + 4y + 5z = w \Rightarrow 4y = w + x – 5z \Rightarrow y = \frac{w + x – 5z}{4} \).

Nyní máme dva výrazy pro \( y \), které musí být shodné:

\( u – x – z = \frac{w + x – 5z}{4} \).

Vynásobíme celou rovnici 4:

\( 4u – 4x – 4z = w + x – 5z \Rightarrow 4u – 4x – 4z – w – x + 5z = 0 \Rightarrow 4u – 5x + z – w = 0 \).

Vyjádříme \( z \) z této rovnice:

\( z = 5x + w – 4u \).

Dosadíme \( z \) do rovnice \( 3x + 4z = u + v \):

\( 3x + 4(5x + w – 4u) = u + v \Rightarrow 3x + 20x + 4w – 16u = u + v \Rightarrow 23x + 4w – 16u = u + v \).

Převedeme všechny členy na jednu stranu:

\( 23x = u + v + 16u – 4w = 17u + v – 4w \Rightarrow x = \frac{17u + v – 4w}{23} \).

Dosadíme \( x \) do výrazu pro \( z \):

\( z = 5 \cdot \frac{17u + v – 4w}{23} + w – 4u = \frac{85u + 5v – 20w}{23} + w – 4u = \frac{85u + 5v – 20w + 23w – 92u}{23} = \frac{-7u + 5v + 3w}{23} \).

Dosadíme \( x \) a \( z \) do výrazu pro \( y \):

\( y = u – x – z = u – \frac{17u + v – 4w}{23} – \frac{-7u + 5v + 3w}{23} = \frac{23u – 17u – v + 4w + 7u – 5v – 3w}{23} = \frac{13u – 6v + w}{23} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v,w) = \left( \frac{17u + v – 4w}{23}, \frac{13u – 6v + w}{23}, \frac{-7u + 5v + 3w}{23} \right) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v,w)) \) a ukážeme, že je to identita, což ponecháme jako cvičení.

Řešení:

Matice zobrazení je

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \).

Nejprve spočítáme determinant matice \( A \):

\( \det(A) = 1 \cdot 5 – 3 \cdot 2 = 5 – 6 = -1 \).

Protože determinant je nenulový, matice je regulární a inverzní matice existuje.

Inverzní matice k \( A \) je dána vzorcem

\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \), kde \( a,b,c,d \) jsou prvky matice \( A \).

Dosadíme hodnoty:

\( A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \).

Tedy inverzní zobrazení je definováno maticí \( A^{-1} \), tedy pro \( (u,v) = f(x,y) \) platí

\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5u + 2v \\ 3u – v \end{pmatrix} \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v)) = A \cdot A^{-1} \cdot \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \).

Sčítáním matic:

\( A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-5) + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) \\ 3 \cdot (-5) + 5 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 5 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 + 6 & 2 – 2 \\ -15 + 15 & 6 – 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Tedy matice složení je jednotková matice, což znamená, že \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Pro nalezení inverzní matice k \( A \) využijeme metodu adjungované matice a determinant.

Nejprve spočítáme determinant matice \( A \):

\( \det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} – (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \).

Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2:

\( \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 – 4 \cdot 2 = 3 – 8 = -5 \).

\( \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – 4 \cdot 0 = 1 \).

\( \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 – 3 \cdot 0 = 2 \), ale tato část se nás netýká, protože je násobena nulou.

Dosadíme zpět do výpočtu determinant:

\( \det(A) = 2 \cdot (-5) – (-1) \cdot 1 + 0 = -10 + 1 = -9 \).

Determinant je nenulový, takže matice je regulární a inverzní matice existuje.

Dalším krokem je spočítat matici kofaktorů (adjungovanou matici) a následně ji transponovat.

Kofaktory jednotlivých prvků matice \( A \) spočítáme jako determinanty příslušných minorů, s příslušným znaménkem podle pozice:

\( C_{11} = + \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -5 \),

\( C_{12} = – \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \),

\( C_{13} = + \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2 \),

\( C_{21} = – \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -((-1) \cdot 1 – 0 \cdot 2) = -(-1) = 1 \),

\( C_{22} = + \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \),

\( C_{23} = – \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = – (2 \cdot 2 – (-1) \cdot 0) = -4 \),

\( C_{31} = + \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 4 – 0 \cdot 3 = -4 \),

\( C_{32} = – \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = – (2 \cdot 4 – 0 \cdot 1) = -8 \),

\( C_{33} = + \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7 \).

Tedy matice kofaktorů je

\( C = \begin{pmatrix} -5 & -1 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \\ -4 & -8 & 7 \end{pmatrix} \).

Adjungovaná matice je transponovaná matice kofaktorů:

\( \text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -5 & 1 & -4 \\ -1 & 2 & -8 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix} \).

Inverzní matice k \( A \) je

\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = -\frac{1}{9} \begin{pmatrix} -5 & 1 & -4 \\ -1 & 2 & -8 \\ 2 & -4 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & -\frac{1}{9} & \frac{4}{9} \\ \frac{1}{9} & -\frac{2}{9} & \frac{8}{9} \\ -\frac{2}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{7}{9} \end{pmatrix} \).

Tím jsme nalezli matici inverzního zobrazení \( f^{-1} \).

Řešení:

Nejprve určíme determinant matice \( A \), abychom zjistili, zda inverzní matice existuje:

\( \det(A) = 0 \cdot 3 – 1 \cdot (-2) = 2 \).

Determinant je nenulový, což znamená, že matice je regulární a inverzní matice existuje.

Využijeme vzorec pro inverzní matici 2×2:

\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \), kde \( a,b,c,d \) jsou prvky matice \( A \).

Dosadíme hodnoty:

\( A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \).

Tedy inverzní zobrazení \( f^{-1} \) je dáno maticí \( A^{-1} \).

Nyní ověříme, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Vypočítáme součin matic \( A \cdot A^{-1} \):

\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot \frac{3}{2} + 1 \cdot 1 & 0 \cdot (-\frac{1}{2}) + 1 \cdot 0 \\ -2 \cdot \frac{3}{2} + 3 \cdot 1 & -2 \cdot (-\frac{1}{2}) + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Tím jsme ukázali, že složení je skutečně identita na \( \mathbb{R}^2 \), což potvrzuje, že \( f^{-1} \) je inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Nejprve si zapíšeme rovnice, které definují zobrazení \( f \):

\( u = 3x + 4y \), \( v = 2x – y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Chceme vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \), tj. najít \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme soustavu lineárních rovnic:

\( 3x + 4y = u \)

\( 2x – y = v \).

Začneme vyjádřením \( y \) z druhé rovnice:

\( -y = v – 2x \Rightarrow y = 2x – v \).

Dosadíme tuto hodnotu za \( y \) do první rovnice:

\( 3x + 4(2x – v) = u \Rightarrow 3x + 8x – 4v = u \Rightarrow 11x = u + 4v \Rightarrow x = \frac{u + 4v}{11} \).

Nyní zpět k \( y \):

\( y = 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – v = \frac{2u + 8v}{11} – \frac{11v}{11} = \frac{2u + 8v – 11v}{11} = \frac{2u – 3v}{11} \).

Tedy jsme našli inverzní zobrazení

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 4v}{11}, \frac{2u – 3v}{11} \right) \).

Pro ověření složení spočítáme \( f(f^{-1}(u,v)) \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{u + 4v}{11} \), \( y = \frac{2u – 3v}{11} \).

Pak

\( f(x,y) = \left( 3x + 4y, 2x – y \right) = \left( 3 \cdot \frac{u + 4v}{11} + 4 \cdot \frac{2u – 3v}{11}, 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – \frac{2u – 3v}{11} \right) \).

Upravme jednotlivé složky:

První složka:

\( \frac{3u + 12v + 8u – 12v}{11} = \frac{(3u + 8u) + (12v – 12v)}{11} = \frac{11u}{11} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{2u + 8v – 2u + 3v}{11} = \frac{(2u – 2u) + (8v + 3v)}{11} = \frac{11v}{11} = v \).

Tím jsme ukázali, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Zapišme rovnice definující \( f \):

\( u = 5x – 2y \), \( v = 3x + y \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Máme soustavu:

\( 5x – 2y = u \)

\( 3x + y = v \).

Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:

\( y = v – 3x \).

Dosadíme do první rovnice:

\( 5x – 2(v – 3x) = u \Rightarrow 5x – 2v + 6x = u \Rightarrow 11x = u + 2v \Rightarrow x = \frac{u + 2v}{11} \).

Zpět k \( y \):

\( y = v – 3 \cdot \frac{u + 2v}{11} = v – \frac{3u + 6v}{11} = \frac{11v – 3u – 6v}{11} = \frac{5v – 3u}{11} \).

Inverzní zobrazení je tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 2v}{11}, \frac{5v – 3u}{11} \right) \).

Pro ověření spočítáme \( f^{-1}(f(x,y)) \):

Nechť \( (u,v) = f(x,y) \), tedy \( u = 5x – 2y \), \( v = 3x + y \).

Pak

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{5x – 2y + 2(3x + y)}{11}, \frac{5(3x + y) – 3(5x – 2y)}{11} \right) \).

Upravme složky:

První složka:

\( \frac{5x – 2y + 6x + 2y}{11} = \frac{11x}{11} = x \).

Druhá složka:

\( \frac{15x + 5y – 15x + 6y}{11} = \frac{11y}{11} = y \).

Tím jsme dokázali, že \( f^{-1} \circ f \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Zapišme rovnice:

\( u = 4x + y \), \( v = -x + 2y \).

Cílem je najít \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Z druhé rovnice vyjádříme \( x \):

\( v = -x + 2y \Rightarrow x = 2y – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 4(2y – v) + y = 8y – 4v + y = 9y – 4v \Rightarrow 9y = u + 4v \Rightarrow y = \frac{u + 4v}{9} \).

Zpět k \( x \):

\( x = 2 \cdot \frac{u + 4v}{9} – v = \frac{2u + 8v}{9} – \frac{9v}{9} = \frac{2u + 8v – 9v}{9} = \frac{2u – v}{9} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{2u – v}{9}, \frac{u + 4v}{9} \right) \).

Ověřme složení \( f(f^{-1}(u,v)) \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{2u – v}{9} \), \( y = \frac{u + 4v}{9} \).

Potom

\( f(x,y) = \left( 4x + y, -x + 2y \right) = \left( 4 \cdot \frac{2u – v}{9} + \frac{u + 4v}{9}, – \frac{2u – v}{9} + 2 \cdot \frac{u + 4v}{9} \right) \).

První složka:

\( \frac{8u – 4v + u + 4v}{9} = \frac{9u}{9} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{-2u + v + 2u + 8v}{9} = \frac{9v}{9} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Zapišme rovnice:

\( u = x + 2y \), \( v = 3x – y \).

Vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( y = \frac{u – x}{2} \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 3x – \frac{u – x}{2} = 3x – \frac{u}{2} + \frac{x}{2} = \frac{6x + x}{2} – \frac{u}{2} = \frac{7x – u}{2} \Rightarrow 2v = 7x – u \Rightarrow 7x = 2v + u \Rightarrow x = \frac{2v + u}{7} \).

Zpět k \( y \):

\( y = \frac{u – \frac{2v + u}{7}}{2} = \frac{\frac{7u – 2v – u}{7}}{2} = \frac{6u – 2v}{14} = \frac{3u – v}{7} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{2v + u}{7}, \frac{3u – v}{7} \right) \).

Ověřme složení \( f^{-1}(f(x,y)) \):

Nechť \( (u,v) = f(x,y) \), tedy \( u = x + 2y \), \( v = 3x – y \).

Potom

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{2(3x – y) + (x + 2y)}{7}, \frac{3(x + 2y) – (3x – y)}{7} \right) \).

Upravme složky:

První složka:

\( \frac{6x – 2y + x + 2y}{7} = \frac{7x}{7} = x \).

Druhá složka:

\( \frac{3x + 6y – 3x + y}{7} = \frac{7y}{7} = y \).

Tím jsme ověřili, že \( f^{-1} \circ f \) je identita.

Řešení:

Nejprve si zapišme rovnice:

\( u = 2x – 3y \), \( v = 5x + 4y \).

Chceme vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Z první rovnice vyjádříme \( x \):

\( 2x = u + 3y \Rightarrow x = \frac{u + 3y}{2} \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 5 \cdot \frac{u + 3y}{2} + 4y = \frac{5u}{2} + \frac{15y}{2} + 4y = \frac{5u}{2} + \frac{15y}{2} + \frac{8y}{2} = \frac{5u}{2} + \frac{23y}{2} \).

Upravíme na:

\( 2v = 5u + 23y \Rightarrow 23y = 2v – 5u \Rightarrow y = \frac{2v – 5u}{23} \).

Zpět k \( x \):

\( x = \frac{u + 3 \cdot \frac{2v – 5u}{23}}{2} = \frac{u + \frac{6v – 15u}{23}}{2} = \frac{\frac{23u + 6v – 15u}{23}}{2} = \frac{8u + 6v}{46} = \frac{4u + 3v}{23} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{4u + 3v}{23}, \frac{2v – 5u}{23} \right) \).

Ověříme složení \( f(f^{-1}(u,v)) \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{4u + 3v}{23} \), \( y = \frac{2v – 5u}{23} \).

Potom

\( f(x,y) = \left( 2x – 3y, 5x + 4y \right) = \left( 2 \cdot \frac{4u + 3v}{23} – 3 \cdot \frac{2v – 5u}{23}, 5 \cdot \frac{4u + 3v}{23} + 4 \cdot \frac{2v – 5u}{23} \right) \).

Upravme složky:

První složka:

\( \frac{8u + 6v – 6v + 15u}{23} = \frac{23u}{23} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{20u + 15v + 8v – 20u}{23} = \frac{23v}{23} = v \).

Tím jsme ověřili, že \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Začneme tím, že si zapíšeme rovnice, které vyjadřují zobrazení \( f \):

\( u = 3x + 4y \), \( v = 2x – y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Chceme najít inverzní zobrazení \( f^{-1} \), tedy vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \). Tedy hledáme \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme tedy soustavu lineárních rovnic

\( 3x + 4y = u \)

\( 2x – y = v \).

Nejprve si z druhé rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = 2x – v \).

Dosadíme toto do první rovnice:

\( 3x + 4(2x – v) = u \Rightarrow 3x + 8x – 4v = u \Rightarrow 11x = u + 4v \Rightarrow x = \frac{u + 4v}{11} \).

Nyní dosadíme \( x \) zpět do výrazu pro \( y \):

\( y = 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – v = \frac{2u + 8v}{11} – \frac{11v}{11} = \frac{2u + 8v – 11v}{11} = \frac{2u – 3v}{11} \).

Tím jsme získali explicitní formu inverzního zobrazení

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 4v}{11}, \frac{2u – 3v}{11} \right) \).

Abychom ověřili, že \( f^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení, spočítáme složení \( f(f^{-1}(u,v)) \) a ověříme, zda dostaneme zpět původní vektor \( (u,v) \).

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{u + 4v}{11} \), \( y = \frac{2u – 3v}{11} \).

Potom

\( f(x,y) = (3x + 4y, 2x – y) = \left( 3 \cdot \frac{u + 4v}{11} + 4 \cdot \frac{2u – 3v}{11}, 2 \cdot \frac{u + 4v}{11} – \frac{2u – 3v}{11} \right) \).

Provedeme úpravy jednotlivých složek:

První složka:

\( \frac{3u + 12v + 8u – 12v}{11} = \frac{11u}{11} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{2u + 8v – 2u + 3v}{11} = \frac{11v}{11} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Podobně lze dokázat, že i \( f^{-1} \circ f \) je identita, což potvrzuje, že \( f^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Zapíšeme si rovnice pro zobrazení \( f \):

\( u = x – 2y \), \( v = 4x + y \).

Cílem je najít \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \), tedy vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Máme soustavu rovnic:

\( x – 2y = u \)

\( 4x + y = v \).

Vyjádříme \( x \) z první rovnice:

\( x = u + 2y \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 4(u + 2y) + y = v \Rightarrow 4u + 8y + y = v \Rightarrow 4u + 9y = v \Rightarrow y = \frac{v – 4u}{9} \).

Teď zpět k \( x \):

\( x = u + 2 \cdot \frac{v – 4u}{9} = u + \frac{2v – 8u}{9} = \frac{9u}{9} + \frac{2v – 8u}{9} = \frac{9u + 2v – 8u}{9} = \frac{u + 2v}{9} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 2v}{9}, \frac{v – 4u}{9} \right) \).

Ověření složení \( f \circ f^{-1} \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{u + 2v}{9} \), \( y = \frac{v – 4u}{9} \).

Potom

\( f(x,y) = (x – 2y, 4x + y) = \left( \frac{u + 2v}{9} – 2 \cdot \frac{v – 4u}{9}, 4 \cdot \frac{u + 2v}{9} + \frac{v – 4u}{9} \right) \).

Úpravy jednotlivých složek:

První složka:

\( \frac{u + 2v – 2v + 8u}{9} = \frac{9u}{9} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{4u + 8v + v – 4u}{9} = \frac{9v}{9} = v \).

Tím je potvrzeno, že \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Nejprve si stanovíme rovnice z definice \( f \):

\( u = 5x – y \), \( v = -3x + 2y \).

Chceme vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \), tedy nalézt \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Nejprve z první rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = 5x – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = -3x + 2(5x – u) = -3x + 10x – 2u = 7x – 2u \Rightarrow 7x = v + 2u \Rightarrow x = \frac{v + 2u}{7} \).

Zpět k \( y \):

\( y = 5 \cdot \frac{v + 2u}{7} – u = \frac{5v + 10u}{7} – \frac{7u}{7} = \frac{5v + 10u – 7u}{7} = \frac{5v + 3u}{7} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 2u}{7}, \frac{5v + 3u}{7} \right) \).

Pro ověření vypočítáme

\( f(f^{-1}(u,v)) = (5x – y, -3x + 2y) \) s \( x = \frac{v + 2u}{7} \), \( y = \frac{5v + 3u}{7} \).

Dosadíme a upravíme:

První složka:

\( 5 \cdot \frac{v + 2u}{7} – \frac{5v + 3u}{7} = \frac{5v + 10u – 5v – 3u}{7} = \frac{7u}{7} = u \).

Druhá složka:

\( -3 \cdot \frac{v + 2u}{7} + 2 \cdot \frac{5v + 3u}{7} = \frac{-3v – 6u + 10v + 6u}{7} = \frac{7v}{7} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Zapíšeme rovnice:

\( u = 7x + 2y \), \( v = -x + 3y \).

Naším cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) z těchto rovnic, tedy najít \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Z druhé rovnice vyjádříme \( x \):

\( x = 3y – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 7(3y – v) + 2y = 21y – 7v + 2y = 23y – 7v \Rightarrow 23y = u + 7v \Rightarrow y = \frac{u + 7v}{23} \).

Potom

\( x = 3 \cdot \frac{u + 7v}{23} – v = \frac{3u + 21v}{23} – \frac{23v}{23} = \frac{3u + 21v – 23v}{23} = \frac{3u – 2v}{23} \).

Tedy máme

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{3u – 2v}{23}, \frac{u + 7v}{23} \right) \).

Ověření složení:

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{3u – 2v}{23} \), \( y = \frac{u + 7v}{23} \).

Potom

\( f(x,y) = (7x + 2y, -x + 3y) = \left( 7 \cdot \frac{3u – 2v}{23} + 2 \cdot \frac{u + 7v}{23}, – \frac{3u – 2v}{23} + 3 \cdot \frac{u + 7v}{23} \right) \).

Úpravou jednotlivých složek dostaneme:

První složka:

\( \frac{21u – 14v + 2u + 14v}{23} = \frac{23u}{23} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{-3u + 2v + 3u + 21v}{23} = \frac{23v}{23} = v \).

Tím je ověřeno, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Zapišme rovnice:

\( u = 4x – y \), \( v = 3x + 5y \).

Úkolem je vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Z první rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = 4x – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 3x + 5(4x – u) = 3x + 20x – 5u = 23x – 5u \Rightarrow 23x = v + 5u \Rightarrow x = \frac{v + 5u}{23} \).

Potom

\( y = 4 \cdot \frac{v + 5u}{23} – u = \frac{4v + 20u}{23} – \frac{23u}{23} = \frac{4v + 20u – 23u}{23} = \frac{4v – 3u}{23} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 5u}{23}, \frac{4v – 3u}{23} \right) \).

Ověření složení:

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{v + 5u}{23} \), \( y = \frac{4v – 3u}{23} \).

Potom

\( f(x,y) = (4x – y, 3x + 5y) = \left( 4 \cdot \frac{v + 5u}{23} – \frac{4v – 3u}{23}, 3 \cdot \frac{v + 5u}{23} + 5 \cdot \frac{4v – 3u}{23} \right) \).

Úpravy:

První složka:

\( \frac{4v + 20u – 4v + 3u}{23} = \frac{23u}{23} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{3v + 15u + 20v – 15u}{23} = \frac{23v}{23} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Nejprve zapíšeme rovnice podle definice zobrazení \( f \):

\( u = 5x + 2y \), \( v = -x + 4y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Chceme nalézt \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \), tedy vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Získáme soustavu lineárních rovnic:

\( 5x + 2y = u \)

\( -x + 4y = v \).

Nejprve vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:

\( -x + 4y = v \Rightarrow -x = v – 4y \Rightarrow x = 4y – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( 5(4y – v) + 2y = u \Rightarrow 20y – 5v + 2y = u \Rightarrow 22y = u + 5v \Rightarrow y = \frac{u + 5v}{22} \).

Nyní dosadíme hodnotu \( y \) zpět do výrazu pro \( x \):

\( x = 4 \cdot \frac{u + 5v}{22} – v = \frac{4u + 20v}{22} – v = \frac{4u + 20v – 22v}{22} = \frac{4u – 2v}{22} = \frac{2u – v}{11} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{2u – v}{11}, \frac{u + 5v}{22} \right) \).

Ověřme, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita. Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{2u – v}{11} \), \( y = \frac{u + 5v}{22} \).

Potom

\( f(x,y) = (5x + 2y, -x + 4y) = \left( 5 \cdot \frac{2u – v}{11} + 2 \cdot \frac{u + 5v}{22}, – \frac{2u – v}{11} + 4 \cdot \frac{u + 5v}{22} \right) \).

Úpravy první složky:

\( \frac{10u – 5v}{11} + \frac{2u + 10v}{22} = \frac{20u – 10v}{22} + \frac{2u + 10v}{22} = \frac{22u}{22} = u \).

Úpravy druhé složky:

\( -\frac{2u – v}{11} + \frac{4u + 20v}{22} = -\frac{4u – 2v}{22} + \frac{4u + 20v}{22} = \frac{-4u + 2v + 4u + 20v}{22} = \frac{22v}{22} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} \) je skutečně identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Analogicky lze ověřit, že \( f^{-1} \circ f \) je také identita, což potvrzuje, že \( f^{-1} \) je inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Zapišme rovnice z definice \( f \):

\( u = 7x – 3y \), \( v = 2x + y \).

Chceme vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \).

Z druhé rovnice vyjádříme \( y \):

\( v = 2x + y \Rightarrow y = v – 2x \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 7x – 3(v – 2x) = 7x – 3v + 6x = 13x – 3v \Rightarrow 13x = u + 3v \Rightarrow x = \frac{u + 3v}{13} \).

Dosadíme \( x \) do výrazu pro \( y \):

\( y = v – 2 \cdot \frac{u + 3v}{13} = \frac{13v – 2u – 6v}{13} = \frac{7v – 2u}{13} \).

Inverzní zobrazení je tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 3v}{13}, \frac{7v – 2u}{13} \right) \).

Ověřme složení \( f \circ f^{-1} \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{u + 3v}{13} \), \( y = \frac{7v – 2u}{13} \).

Pak

\( f(x,y) = (7x – 3y, 2x + y) = \left( 7 \cdot \frac{u + 3v}{13} – 3 \cdot \frac{7v – 2u}{13}, 2 \cdot \frac{u + 3v}{13} + \frac{7v – 2u}{13} \right) \).

Úprava první složky:

\( \frac{7u + 21v – 21v + 6u}{13} = \frac{13u}{13} = u \).

Úprava druhé složky:

\( \frac{2u + 6v + 7v – 2u}{13} = \frac{13v}{13} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Zapíšeme rovnice z definice zobrazení \( f \):

\( u = 3x + 4y \), \( v = 5x – 2y \).

Úkolem je vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Z první rovnice vyjádříme \( x \):

\( u = 3x + 4y \Rightarrow 3x = u – 4y \Rightarrow x = \frac{u – 4y}{3} \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 5 \cdot \frac{u – 4y}{3} – 2y = \frac{5u – 20y}{3} – 2y = \frac{5u – 20y – 6y}{3} = \frac{5u – 26y}{3} \Rightarrow 3v = 5u – 26y \Rightarrow 26y = 5u – 3v \Rightarrow y = \frac{5u – 3v}{26} \).

Nyní zpět k \( x \):

\( x = \frac{u – 4 \cdot \frac{5u – 3v}{26}}{3} = \frac{u – \frac{20u – 12v}{26}}{3} = \frac{\frac{26u – 20u + 12v}{26}}{3} = \frac{\frac{6u + 12v}{26}}{3} = \frac{6u + 12v}{78} = \frac{2u + 4v}{26} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{2u + 4v}{26}, \frac{5u – 3v}{26} \right) \).

Ověřme složení \( f \circ f^{-1} \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{2u + 4v}{26} \), \( y = \frac{5u – 3v}{26} \).

Potom

\( f(x,y) = (3x + 4y, 5x – 2y) = \left( 3 \cdot \frac{2u + 4v}{26} + 4 \cdot \frac{5u – 3v}{26}, 5 \cdot \frac{2u + 4v}{26} – 2 \cdot \frac{5u – 3v}{26} \right) \).

Úprava první složky:

\( \frac{6u + 12v + 20u – 12v}{26} = \frac{26u}{26} = u \).

Úprava druhé složky:

\( \frac{10u + 20v – 10u + 6v}{26} = \frac{26v}{26} = v \).

Tím jsme ověřili, že \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Zapíšeme rovnice pro \( f \):

\( u = 6x – y \), \( v = 2x + 7y \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Z první rovnice vyjádříme \( y \):

\( y = 6x – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 2x + 7(6x – u) = 2x + 42x – 7u = 44x – 7u \Rightarrow 44x = v + 7u \Rightarrow x = \frac{v + 7u}{44} \).

Potom

\( y = 6 \cdot \frac{v + 7u}{44} – u = \frac{6v + 42u}{44} – u = \frac{6v + 42u – 44u}{44} = \frac{6v – 2u}{44} = \frac{3v – u}{22} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 7u}{44}, \frac{3v – u}{22} \right) \).

Ověření složení \( f \circ f^{-1} \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{v + 7u}{44} \), \( y = \frac{3v – u}{22} \).

Pak

\( f(x,y) = (6x – y, 2x + 7y) = \left( 6 \cdot \frac{v + 7u}{44} – \frac{3v – u}{22}, 2 \cdot \frac{v + 7u}{44} + 7 \cdot \frac{3v – u}{22} \right) \).

Úprava první složky:

\( \frac{6v + 42u}{44} – \frac{6v – 2u}{44} = \frac{6v + 42u – 6v + 2u}{44} = \frac{44u}{44} = u \).

Úprava druhé složky:

\( \frac{2v + 14u}{44} + \frac{21v – 7u}{44} = \frac{2v + 14u + 21v – 7u}{44} = \frac{23v + 7u}{44} \) – chyba! Zkontrolujme správně:

Oprava:

\( 2 \cdot \frac{v + 7u}{44} = \frac{2v + 14u}{44} \),

\( 7 \cdot \frac{3v – u}{22} = \frac{21v – 7u}{22} = \frac{42v – 14u}{44} \).

Součet je tedy

\( \frac{2v + 14u}{44} + \frac{42v – 14u}{44} = \frac{44v + 0u}{44} = v \).

Tím je ověřeno, že \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Zapíšeme rovnice:

\( u = 4x + y \), \( v = -3x + 2y \).

Vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( y = u – 4x \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = -3x + 2(u – 4x) = -3x + 2u – 8x = 2u – 11x \Rightarrow 11x = 2u – v \Rightarrow x = \frac{2u – v}{11} \).

Nyní zpět k \( y \):

\( y = u – 4 \cdot \frac{2u – v}{11} = \frac{11u – 8u + 4v}{11} = \frac{3u + 4v}{11} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{2u – v}{11}, \frac{3u + 4v}{11} \right) \).

Ověření složení \( f \circ f^{-1} \):

Nechť \( (x,y) = f^{-1}(u,v) \), tedy

\( x = \frac{2u – v}{11} \), \( y = \frac{3u + 4v}{11} \).

Pak

\( f(x,y) = (4x + y, -3x + 2y) = \left( 4 \cdot \frac{2u – v}{11} + \frac{3u + 4v}{11}, -3 \cdot \frac{2u – v}{11} + 2 \cdot \frac{3u + 4v}{11} \right) \).

Úprava první složky:

\( \frac{8u – 4v + 3u + 4v}{11} = \frac{11u}{11} = u \).

Úprava druhé složky:

\( \frac{-6u + 3v + 6u + 8v}{11} = \frac{11v}{11} = v \).

Tím jsme ověřili, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Nejprve si zapíšeme rovnice z definice \( f \):

\( u = 3x + 2y \), \( v = 5x – y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \), tedy nalézt předpis inverzního zobrazení \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme soustavu dvou lineárních rovnic:

\( 3x + 2y = u \)

\( 5x – y = v \).

Vyjádříme \( y \) z druhé rovnice:

\( y = 5x – v \).

Dosadíme tento výraz do první rovnice:

\( 3x + 2(5x – v) = u \Rightarrow 3x + 10x – 2v = u \Rightarrow 13x = u + 2v \Rightarrow x = \frac{u + 2v}{13} \).

Nyní zpět k \( y \):

\( y = 5 \cdot \frac{u + 2v}{13} – v = \frac{5u + 10v}{13} – \frac{13v}{13} = \frac{5u + 10v – 13v}{13} = \frac{5u – 3v}{13} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 2v}{13}, \frac{5u – 3v}{13} \right) \).

Pro ověření složení \( f \circ f^{-1} \) vezmeme libovolné \( (u,v) \in \mathbb{R}^2 \) a spočítáme

\( f(f^{-1}(u,v)) = f \left( \frac{u + 2v}{13}, \frac{5u – 3v}{13} \right) \).

Dosadíme do předpisu \( f \):

\( \left( 3 \cdot \frac{u + 2v}{13} + 2 \cdot \frac{5u – 3v}{13}, 5 \cdot \frac{u + 2v}{13} – \frac{5u – 3v}{13} \right) \).

První složka:

\( \frac{3(u + 2v) + 2(5u – 3v)}{13} = \frac{3u + 6v + 10u – 6v}{13} = \frac{13u}{13} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{5(u + 2v) – (5u – 3v)}{13} = \frac{5u + 10v – 5u + 3v}{13} = \frac{13v}{13} = v \).

Tím je ověřeno, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita, tedy pro každé \( (u,v) \) platí \( f(f^{-1}(u,v)) = (u,v) \).

Podobně lze ověřit, že \( f^{-1} \circ f \) je také identita, čímž jsme potvrdili, že \( f^{-1} \) je skutečně inverzní zobrazení k \( f \).

Řešení:

Z definice \( f \) máme rovnice

\( u = x – 4y \), \( v = 2x + y \).

Cílem je najít předpis pro \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Soustava rovnic:

\( x – 4y = u \)

\( 2x + y = v \).

Vyjádříme \( x \) z první rovnice:

\( x = u + 4y \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( 2(u + 4y) + y = v \Rightarrow 2u + 8y + y = v \Rightarrow 2u + 9y = v \Rightarrow 9y = v – 2u \Rightarrow y = \frac{v – 2u}{9} \).

Vrátíme se k \( x \):

\( x = u + 4 \cdot \frac{v – 2u}{9} = \frac{9u + 4v – 8u}{9} = \frac{u + 4v}{9} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{u + 4v}{9}, \frac{v – 2u}{9} \right) \).

Pro ověření složení \( f \circ f^{-1} \) spočítáme

\( f(f^{-1}(u,v)) = f \left( \frac{u + 4v}{9}, \frac{v – 2u}{9} \right) \).

Dosadíme do vzorce \( f \):

\( \left( \frac{u + 4v}{9} – 4 \cdot \frac{v – 2u}{9}, 2 \cdot \frac{u + 4v}{9} + \frac{v – 2u}{9} \right) \).

První složka:

\( \frac{u + 4v – 4v + 8u}{9} = \frac{9u}{9} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{2u + 8v + v – 2u}{9} = \frac{9v}{9} = v \).

Tím je ověřeno, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Zapíšeme rovnice:

\( u = 6x – y \), \( v = -2x + 3y \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) podle \( u \) a \( v \).

Vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( y = 6x – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = -2x + 3(6x – u) = -2x + 18x – 3u = 16x – 3u \Rightarrow 16x = v + 3u \Rightarrow x = \frac{v + 3u}{16} \).

Vrátíme se k \( y \):

\( y = 6 \cdot \frac{v + 3u}{16} – u = \frac{6v + 18u}{16} – \frac{16u}{16} = \frac{6v + 2u}{16} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 3u}{16}, \frac{6v + 2u}{16} \right) \).

Pro ověření spočítáme

\( f(f^{-1}(u,v)) = f \left( \frac{v + 3u}{16}, \frac{6v + 2u}{16} \right) \).

Dosadíme do vzorce \( f \):

\( \left( 6 \cdot \frac{v + 3u}{16} – \frac{6v + 2u}{16}, -2 \cdot \frac{v + 3u}{16} + 3 \cdot \frac{6v + 2u}{16} \right) \).

První složka:

\( \frac{6v + 18u – 6v – 2u}{16} = \frac{16u}{16} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{-2v – 6u + 18v + 6u}{16} = \frac{16v}{16} = v \).

Tím je složení \( f \circ f^{-1} \) identita.

Řešení:

Definujeme rovnice:

\( u = 7x + y \), \( v = -4x + 5y \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) podle \( u \) a \( v \).

Vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( y = u – 7x \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = -4x + 5(u – 7x) = -4x + 5u – 35x = 5u – 39x \Rightarrow 39x = 5u – v \Rightarrow x = \frac{5u – v}{39} \).

Zpět k \( y \):

\( y = u – 7 \cdot \frac{5u – v}{39} = \frac{39u – 35u + 7v}{39} = \frac{4u + 7v}{39} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{5u – v}{39}, \frac{4u + 7v}{39} \right) \).

Ověření složení \( f \circ f^{-1} \):

\( f(f^{-1}(u,v)) = f \left( \frac{5u – v}{39}, \frac{4u + 7v}{39} \right) \).

Dosadíme do předpisu \( f \):

\( \left( 7 \cdot \frac{5u – v}{39} + \frac{4u + 7v}{39}, -4 \cdot \frac{5u – v}{39} + 5 \cdot \frac{4u + 7v}{39} \right) \).

První složka:

\( \frac{35u – 7v + 4u + 7v}{39} = \frac{39u}{39} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{-20u + 4v + 20u + 35v}{39} = \frac{39v}{39} = v \).

Složením jsme dostali identitu.

Řešení:

Zapíšeme rovnice:

\( u = 2x + 5y \), \( v = -x + 3y \).

Cílem je najít \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \), tedy vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \).

Nejprve vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:

\( -x + 3y = v \Rightarrow x = 3y – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 2(3y – v) + 5y = 6y – 2v + 5y = 11y – 2v \Rightarrow 11y = u + 2v \Rightarrow y = \frac{u + 2v}{11} \).

Zpět k \( x \):

\( x = 3 \cdot \frac{u + 2v}{11} – v = \frac{3u + 6v}{11} – \frac{11v}{11} = \frac{3u – 5v}{11} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{3u – 5v}{11}, \frac{u + 2v}{11} \right) \).

Pro ověření spočítáme

\( f(f^{-1}(u,v)) = f \left( \frac{3u – 5v}{11}, \frac{u + 2v}{11} \right) \).

Dosadíme do vzorce \( f \):

\( \left( 2 \cdot \frac{3u – 5v}{11} + 5 \cdot \frac{u + 2v}{11}, – \frac{3u – 5v}{11} + 3 \cdot \frac{u + 2v}{11} \right) \).

První složka:

\( \frac{6u – 10v + 5u + 10v}{11} = \frac{11u}{11} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{-3u + 5v + 3u + 6v}{11} = \frac{11v}{11} = v \).

Tím je ověřeno, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Začneme tím, že si zapíšeme rovnice definující \( f \):

\( u = 4x + y \), \( v = 3x – 2y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Cílem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \), abychom našli předpis pro inverzní zobrazení \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Tedy máme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých:

\( 4x + y = u \)

\( 3x – 2y = v \).

Nejprve vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( y = u – 4x \).

Dosadíme toto do druhé rovnice:

\( 3x – 2(u – 4x) = v \Rightarrow 3x – 2u + 8x = v \Rightarrow 11x – 2u = v \Rightarrow 11x = v + 2u \Rightarrow x = \frac{v + 2u}{11} \).

Nyní zpět dosadíme do výrazu pro \( y \):

\( y = u – 4 \cdot \frac{v + 2u}{11} = u – \frac{4v + 8u}{11} = \frac{11u}{11} – \frac{4v + 8u}{11} = \frac{11u – 4v – 8u}{11} = \frac{3u – 4v}{11} \).

Tedy nalezneme inverzní zobrazení

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 2u}{11}, \frac{3u – 4v}{11} \right) \).

Nyní ověříme, že složením \( f \circ f^{-1} \) získáme identitu, tedy \( f(f^{-1}(u,v)) = (u,v) \).

Dosadíme \( f^{-1}(u,v) \) do předpisu \( f \):

\( f \left( \frac{v + 2u}{11}, \frac{3u – 4v}{11} \right) = \left( 4 \cdot \frac{v + 2u}{11} + \frac{3u – 4v}{11}, 3 \cdot \frac{v + 2u}{11} – 2 \cdot \frac{3u – 4v}{11} \right) \).

Upravíme první složku:

\( \frac{4v + 8u + 3u – 4v}{11} = \frac{8u + 3u}{11} = \frac{11u}{11} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{3v + 6u – 6u + 8v}{11} = \frac{3v + 8v}{11} = \frac{11v}{11} = v \).

Tím je ověřeno, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Podobně lze ukázat, že \( f^{-1} \circ f \) je také identita, což potvrzuje správnost nalezeného inverzního zobrazení.

Řešení:

Začneme rovnicemi, které definují \( f \):

\( u = 5x – 3y \), \( v = -2x + 4y \), kde \( (u,v) = f(x,y) \).

Úkolem je vyjádřit \( x \) a \( y \) pomocí \( u \) a \( v \), tedy najít \( f^{-1}(u,v) = (x,y) \).

Máme soustavu rovnic:

\( 5x – 3y = u \)

\( -2x + 4y = v \).

Vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( -3y = u – 5x \Rightarrow y = \frac{5x – u}{3} \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( -2x + 4 \cdot \frac{5x – u}{3} = v \Rightarrow -2x + \frac{20x – 4u}{3} = v \).

Vynásobíme celou rovnici 3, aby se odstranily zlomky:

\( -6x + 20x – 4u = 3v \Rightarrow 14x – 4u = 3v \Rightarrow 14x = 3v + 4u \Rightarrow x = \frac{3v + 4u}{14} \).

Dosadíme zpět pro \( y \):

\( y = \frac{5 \cdot \frac{3v + 4u}{14} – u}{3} = \frac{\frac{15v + 20u}{14} – u}{3} = \frac{\frac{15v + 20u – 14u}{14}}{3} = \frac{\frac{15v + 6u}{14}}{3} = \frac{15v + 6u}{42} \).

Protože chceme zapsat \( y \) jednoduše, vyjádříme jako

\( y = \frac{15v + 6u}{42} = \frac{3(5v + 2u)}{42} = \frac{5v + 2u}{14} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{3v + 4u}{14}, \frac{5v + 2u}{14} \right) \).

Nyní ověříme, že \( f(f^{-1}(u,v)) = (u,v) \).

Dosadíme do \( f \):

\( f\left(\frac{3v + 4u}{14}, \frac{5v + 2u}{14}\right) = \left( 5 \cdot \frac{3v + 4u}{14} – 3 \cdot \frac{5v + 2u}{14}, -2 \cdot \frac{3v + 4u}{14} + 4 \cdot \frac{5v + 2u}{14} \right) \).

První složka:

\( \frac{15v + 20u – 15v – 6u}{14} = \frac{14u}{14} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{-6v – 8u + 20v + 8u}{14} = \frac{14v}{14} = v \).

Tím je potvrzeno, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita.

Řešení:

Nejprve si zapíšeme rovnice:

\( u = x + 2y \)

\( v = 4x + 3y \).

Úkolem je vyjádřit \( x \) a \( y \) jako funkce \( u \) a \( v \), tedy nalézt \( f^{-1}(u,v) \).

Z první rovnice vyjádříme \( x \):

\( x = u – 2y \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 4(u – 2y) + 3y = 4u – 8y + 3y = 4u – 5y \Rightarrow -5y = v – 4u \Rightarrow y = \frac{4u – v}{5} \).

Nyní zpět do výrazu pro \( x \):

\( x = u – 2 \cdot \frac{4u – v}{5} = u – \frac{8u – 2v}{5} = \frac{5u}{5} – \frac{8u – 2v}{5} = \frac{5u – 8u + 2v}{5} = \frac{2v – 3u}{5} \).

Tedy inverzní zobrazení je

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{2v – 3u}{5}, \frac{4u – v}{5} \right) \).

Ověřme, že složení \( f \circ f^{-1} \) je identita:

Dosadíme \( f^{-1}(u,v) \) do \( f \):

\( f\left( \frac{2v – 3u}{5}, \frac{4u – v}{5} \right) = \left( \frac{2v – 3u}{5} + 2 \cdot \frac{4u – v}{5}, 4 \cdot \frac{2v – 3u}{5} + 3 \cdot \frac{4u – v}{5} \right) \).

Upravme první složku:

\( \frac{2v – 3u + 8u – 2v}{5} = \frac{5u}{5} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{8v – 12u + 12u – 3v}{5} = \frac{5v}{5} = v \).

Tím jsme ověřili, že složení je identita na \( \mathbb{R}^2 \).

Řešení:

Zapíšeme rovnice pro \( f \):

\( u = 7x + 2y \)

\( v = -x + 5y \).

Vyjádříme \( x \) z druhé rovnice:

\( -x = v – 5y \Rightarrow x = 5y – v \).

Dosadíme do první rovnice:

\( u = 7(5y – v) + 2y = 35y – 7v + 2y = 37y – 7v \Rightarrow 37y = u + 7v \Rightarrow y = \frac{u + 7v}{37} \).

Zpět k \( x \):

\( x = 5 \cdot \frac{u + 7v}{37} – v = \frac{5u + 35v}{37} – \frac{37v}{37} = \frac{5u – 2v}{37} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{5u – 2v}{37}, \frac{u + 7v}{37} \right) \).

Ověřme složení \( f \circ f^{-1} \):

Dosadíme

\( f\left( \frac{5u – 2v}{37}, \frac{u + 7v}{37} \right) = \left( 7 \cdot \frac{5u – 2v}{37} + 2 \cdot \frac{u + 7v}{37}, – \frac{5u – 2v}{37} + 5 \cdot \frac{u + 7v}{37} \right) \).

Upravíme první složku:

\( \frac{35u – 14v + 2u + 14v}{37} = \frac{37u}{37} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{-5u + 2v + 5u + 35v}{37} = \frac{37v}{37} = v \).

Tím je potvrzeno, že složení je identita.

Řešení:

Nejprve zapíšeme rovnice:

\( u = 6x – y \)

\( v = 2x + 3y \).

Vyjádříme \( y \) z první rovnice:

\( -y = u – 6x \Rightarrow y = 6x – u \).

Dosadíme do druhé rovnice:

\( v = 2x + 3(6x – u) = 2x + 18x – 3u = 20x – 3u \Rightarrow 20x = v + 3u \Rightarrow x = \frac{v + 3u}{20} \).

Zpět k \( y \):

\( y = 6 \cdot \frac{v + 3u}{20} – u = \frac{6v + 18u}{20} – \frac{20u}{20} = \frac{6v + 18u – 20u}{20} = \frac{6v – 2u}{20} = \frac{3v – u}{10} \).

Tedy

\( f^{-1}(u,v) = \left( \frac{v + 3u}{20}, \frac{3v – u}{10} \right) \).

Ověříme složení \( f \circ f^{-1} \):

Dosadíme

\( f\left( \frac{v + 3u}{20}, \frac{3v – u}{10} \right) = \left( 6 \cdot \frac{v + 3u}{20} – \frac{3v – u}{10}, 2 \cdot \frac{v + 3u}{20} + 3 \cdot \frac{3v – u}{10} \right) \).

První složka:

\( \frac{6v + 18u}{20} – \frac{3v – u}{10} = \frac{6v + 18u}{20} – \frac{6v – 2u}{20} = \frac{6v + 18u – 6v + 2u}{20} = \frac{20u}{20} = u \).

Druhá složka:

\( \frac{2v + 6u}{20} + \frac{9v – 3u}{10} = \frac{2v + 6u}{20} + \frac{18v – 6u}{20} = \frac{2v + 6u + 18v – 6u}{20} = \frac{20v}{20} = v \).

Tím je ověřeno, že složení je identita.