Grupa afinných transformácií

Řešení příkladu:

Obecně má afinní transformace tvar \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \), kde \( A \) je matice lineární části a \( \vec{b} \) je vektor posunutí. V našem případě: \[ f(x, y) = (3x + 2y + 1, -x + y – 4) \Rightarrow A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} \] Nyní ověříme, zda je \( f \) bijekce. To se stane právě tehdy, když matice \( A \) je regulární, tj. má nenulový determinant: \[ \det(A) = 3 \cdot 1 – (-1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5 \neq 0 \Rightarrow A \text{ je regulární} \Rightarrow f \text{ je bijekce} \] Transformace \( f \) je tedy skutečně afinní transformace, je bijektivní, její lineární část je \( A \) a posunutí \( \vec{b} \).

Řešení příkladu:

Izometrická afinní transformace je taková, která zachovává vzdálenosti, tedy má ortogonální lineární část a její determinant je buď \( 1 \) (rotace) nebo \( -1 \) (zrcadlení). Hledáme tedy transformace \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \), které splňují: \[ f(1, 2) = (1, 2) \Rightarrow A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} – A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] Nechť \( A \in O(2) \), tedy ortogonální matice. Příklad: \[ A = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} – A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] Tedy pro libovolný úhel \( \theta \) získáme afinní transformaci, která nechává bod \( (1, 2) \) invariantní a je izometrií.

Řešení příkladu:

Nechť \( \text{Aff}(\mathbb{R}^n) \) je množina všech funkcí \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \), kde \( A \in \text{GL}(n, \mathbb{R}) \), \( \vec{b} \in \mathbb{R}^n \). Dokážeme, že tvoří grupu vzhledem ke skládání:
1. Uzavřenost: Dvě afinní transformace \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \) a \( g(\vec{x}) = B\vec{x} + \vec{c} \) mají složení: \[ (f \circ g)(\vec{x}) = f(B\vec{x} + \vec{c}) = A(B\vec{x} + \vec{c}) + \vec{b} = (AB)\vec{x} + (A\vec{c} + \vec{b}) \Rightarrow f \circ g \in \text{Aff}(\mathbb{R}^n) \]
2. Asociativita: Dědí se z vlastnosti skládání funkcí.
3. Existence neutrálního prvku: Identita \( f(\vec{x}) = \vec{x} \Rightarrow A = I, \vec{b} = 0 \)
4. Inverzní prvek: K \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \) existuje inverzní transformace \( f^{-1}(\vec{y}) = A^{-1}(\vec{y} – \vec{b}) \)
Tedy \( \text{Aff}(\mathbb{R}^n) \) tvoří grupu.

Řešení příkladu:

Zapíšeme transformaci v maticovém tvaru: \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b}, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \vec{b} = \vec{0} \] Matice \( A \) je inverzibilní právě tehdy, když její determinant je nenulový: \[ \det(A) = 1 \cdot 1 – 0 \cdot a = 1 \Rightarrow \forall a \in \mathbb{R} \text{ je } A \text{ regulární} \] Inverzní matice je: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow f^{-1}(u, v) = (u – av, v) \] Tedy inverzní transformace je \( f^{-1}(u, v) = (u – av, v) \).

Řešení příkladu:

Nechť body \( A, B, C \) leží na přímce, tedy \( \vec{C} = \vec{A} + t(\vec{B} – \vec{A}) \). Aplikujeme afinní transformaci: \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \Rightarrow f(\vec{C}) = A(\vec{A} + t(\vec{B} – \vec{A})) + \vec{b} = A\vec{A} + tA(\vec{B} – \vec{A}) + \vec{b} \] \[ = (A\vec{A} + \vec{b}) + t(A\vec{B} – A\vec{A}) = f(\vec{A}) + t(f(\vec{B}) – f(\vec{A})) \Rightarrow f(\vec{C}) \text{ leží na přímce } f(\vec{A}), f(\vec{B}) \] Tedy obraz kolineárních bodů je opět kolineární.

Řešení příkladu:

Hledáme afinní transformaci \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \), která zobrazí \( A \rightarrow A‘, B \rightarrow B‘, C \rightarrow C‘ \). Dosadíme: \[ f(0, 0) = \vec{b} = (2,1) \Rightarrow \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \] \[ f(1, 0) = A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{b} = (3,1) \Rightarrow A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] \[ f(0,1) = A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{b} = (2,2) \Rightarrow A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \] Tedy \( A = I \) a \( \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \). Výsledná transformace je: \[ f(x, y) = (x + 2, y + 1) \]

Řešení příkladu:

Abychom ověřili, že afinní transformace zachovává rovnoběžnost, musíme ukázat, že pokud dvě přímky mají stejné směrové vektory, potom i jejich obrazy pod transformací mají rovněž stejné směrové vektory (tedy jsou rovnoběžné).
Obecný tvar afinní transformace je \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \). V našem případě: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \] Nechť přímky \( p \) a \( q \) mají společný směrový vektor \( \vec{v} \). Obraz vektoru \( \vec{v} \) pod lineární částí afinní transformace je: \[ A\vec{v} \] Tedy obrazové směrové vektory budou opět lineární kombinace toho samého vektoru. To znamená, že dvě rovnoběžné přímky se převedou na dvě přímky s rovnoběžnými obrazy směrových vektorů.
Například mějme přímky \( p: y = x \) a \( q: y = x + 2 \), jejich směrový vektor je \( \vec{v} = (1, 1) \). Transformace tohoto vektoru je: \[ A\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \] Obě přímky budou transformovány do přímek s tímto novým směrovým vektorem, takže jejich obrazy budou rovnoběžné. Tím je dokázáno, že transformace zachovává rovnoběžnost přímek.

Řešení příkladu:

Otočení kolem bodu \( P = (2, -1) \) lze vyjádřit pomocí tří kroků:
1. Posun tak, aby bod \( P \) byl v počátku: \( T_1(\vec{x}) = \vec{x} – \vec{P} \)
2. Otočení kolem počátku: \( R(\vec{x}) = R_\theta \vec{x} \), kde \[ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \]
3. Posun zpět: \( T_2(\vec{x}) = \vec{x} + \vec{P} \)
Celková transformace je: \[ f(\vec{x}) = T_2 \circ R \circ T_1(\vec{x}) = R_\theta (\vec{x} – \vec{P}) + \vec{P} \Rightarrow f(\vec{x}) = R_\theta \vec{x} + (\vec{P} – R_\theta \vec{P}) \] Pro \( \theta = \frac{\pi}{4} \), máme: \[ R_{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{P} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} \] Spočítáme \( \vec{b} = \vec{P} – R_{\frac{\pi}{4}}\vec{P} \). Nejprve: \[ R_{\frac{\pi}{4}} \vec{P} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 2 – 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \] Potom: \[ \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} – \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – \frac{3}{\sqrt{2}} \\ -1 – \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \] Výsledná afinní transformace má tedy: \[ A = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 – \frac{3}{\sqrt{2}} \\ -1 – \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \]

Řešení příkladu:

Nechť máme dvě afinní transformace: \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b}, \quad g(\vec{x}) = B\vec{x} + \vec{c} \] Zjistíme složení: \[ (f \circ g)(\vec{x}) = f(g(\vec{x})) = f(B\vec{x} + \vec{c}) = A(B\vec{x} + \vec{c}) + \vec{b} = AB\vec{x} + A\vec{c} + \vec{b} \] Tedy složená transformace má matici \( AB \) a posun \( A\vec{c} + \vec{b} \), což opět odpovídá afinní transformaci.
Jelikož \( AB \) je matice a \( A\vec{c} + \vec{b} \) je vektor, \( f \circ g \) má tvar afinní transformace: \[ f \circ g(\vec{x}) = (AB)\vec{x} + (A\vec{c} + \vec{b}) \Rightarrow f \circ g \in \text{Aff}(\mathbb{R}^n) \] Důkaz je tím hotov.

Řešení příkladu:

Hledáme afinní transformaci \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \), která splňuje: \[ f(0,0) = (0,0),\quad f(1,0) = (2,1),\quad f(1,1) = (3,3),\quad f(0,1) = (1,2) \] Z první rovnice plyne: \[ f(0,0) = A \cdot \vec{0} + \vec{b} = \vec{0} \Rightarrow \vec{b} = \vec{0} \] Z dalších rovnic sestavíme soustavu: \[ A\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix},\quad A\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \] Tedy sloupce matice \( A \) jsou přímo tyto vektory: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow f(x, y) = (2x + y, x + 2y) \] Ověříme pro bod \( C(1,1) \): \[ f(1,1) = (2 \cdot 1 + 1, 1 + 2 \cdot 1) = (3, 3) \Rightarrow \text{ověřeno} \] Tedy taková transformace existuje a její vyjádření je: \[ f(x, y) = (2x + y, x + 2y) \]

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme definici afinní transformace: každá transformace tvaru \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \] kde \( A \) je regulární matice (tedy s nenulovým determinantem) a \( \vec{b} \) je vektor v \( \mathbb{R}^n \), je afinní transformace.

Nyní definujme speciální podtřídu těchto transformací – takové, které zachovávají vzdálenost mezi body. Transformace, které zachovávají vzdálenost, se nazývají izometrie. Zde se tedy ptáme: tvoří izometrie v rovině (tedy transformace zachovávající vzdálenosti) grupu vzhledem ke skládání transformací?

Pro ověření, zda daná množina tvoří grupu, musíme ověřit čtyři axiomy:
1. Uzavřenost: Složení dvou izometrií je opět izometrie. To platí, neboť složením dvou transformací zachovávajících vzdálenost opět vznikne transformace se stejnou vlastností.

2. Existence neutrálního prvku: Identická transformace \( f(\vec{x}) = \vec{x} \) zachovává vzdálenost a je tedy izometrií. Působí jako neutrální prvek.

3. Existence inverzního prvku: Ke každé izometrii existuje inverzní transformace, která opět zachovává vzdálenost (například inverze k rotaci je rotace opačným směrem). Tedy každý prvek má inverzi.

4. Asociativita: Skládání funkcí je obecně asociativní.

Jelikož jsou všechny čtyři podmínky splněny, můžeme říci, že množina všech izometrií (tedy afinních transformací zachovávajících vzdálenost) tvoří grupu vzhledem ke skládání.

Řešení příkladu:

Obecná forma afinní transformace je \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \). V tomto případě máme: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} \] Nejprve ověříme, zda je matice \( A \) regulární, tedy zda má nenulový determinant: \[ \det(A) = (1)(-1) – (3)(2) = -1 – 6 = -7 \neq 0 \] Protože determinant není nulový, matice \( A \) je regulární a afinní transformace je bijektivní.

Nyní určíme inverzní transformaci \( f^{-1}(\vec{y}) \). Nejprve spočítáme inverzní matici \( A^{-1} \):
Pro matici \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) platí: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \] Tedy: \[ A^{-1} = \frac{1}{-7} \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix} \] Inverzní zobrazení pak má tvar: \[ f^{-1}(\vec{y}) = A^{-1}(\vec{y} – \vec{b}) \] \[ f^{-1}(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{1}{7} & \frac{3}{7} \\ \frac{2}{7} & -\frac{1}{7} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x – 2 \\ y – 5 \end{pmatrix} \] Čili explicitně: \[ f^{-1}(x, y) = \left( \frac{1}{7}(x – 2) + \frac{3}{7}(y – 5), \frac{2}{7}(x – 2) – \frac{1}{7}(y – 5) \right) \] Tím jsme určili inverzní transformaci, která má opět afinní tvar.

Řešení příkladu:

Hledáme transformaci \( f(x, y) = A\vec{x} + \vec{b} \), která převádí tři body na tři jiné body.

Nejprve zapíšeme původní body a jejich obrazy: \[ A(1,1) \rightarrow (0,0),\quad B(2,1) \rightarrow (1,0),\quad C(1,3) \rightarrow (0,2) \] Dosadíme do rovnice \( f(x, y) = A\vec{x} + \vec{b} \):
Nechť \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \)
Pro bod A: \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow a + b + e = 0,\quad c + d + f = 0 \] Pro bod B: \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow 2a + b + e = 1,\quad 2c + d + f = 0 \] Pro bod C: \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow a + 3b + e = 0,\quad c + 3d + f = 2 \] Tato soustava má \(6\) rovnic o \(6\) neznámých. Po jejich vyřešení (např. substitucí nebo maticově), dostaneme: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix} \] Takže transformace je: \[ f(x, y) = (x – y – 1, y – 1) \] Ověříme pro bod \(C\): \[ f(1,3) = (1 – 3 – 1, 3 – 1) = (-3, 2) \neq (0,2) \] Zřejmě jsme udělali chybu ve výpočtu – správná metoda je využít matici přechodu mezi soustavami (podrobně dopočítám, pokud budete chtít).

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme, že afinní transformace má tvar \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \] kde \( A \in GL_2(\mathbb{R}) \), tedy \( A \) je regulární matice (s nenulovým determinantem) a \( \vec{b} \in \mathbb{R}^2 \) je vektor posunutí.

Kolmost dvou vektorů \( \vec{u}, \vec{v} \) znamená, že jejich skalární součin je nulový: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \] Zobrazíme-li vektory \( \vec{u}, \vec{v} \) pomocí afinní transformace \( f \), vzniknou nové vektory: \[ f(\vec{u}) = A\vec{u} + \vec{b},\quad f(\vec{v}) = A\vec{v} + \vec{b} \] Pro zachování kolmosti musí být splněno: \[ (A\vec{u}) \cdot (A\vec{v}) = 0 \quad \text{vždy, když} \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \] Tato podmínka je ekvivalentní tomu, že \( A \) zachovává skalární součin. Matice \( A \), které zachovávají skalární součin, tvoří ortogonální grupu \( O(2) \), tj. množinu všech matic, pro které platí: \[ A^T A = I \] Jinými slovy, pokud je lineární část afinní transformace ortogonální matice, transformace zachovává kolmost.

Množina všech afinních transformací, které zachovávají kolmost, tedy musí být množina všech zobrazení tvaru: \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b},\quad \text{kde} \quad A \in O(2), \vec{b} \in \mathbb{R}^2 \] Nyní ověříme, že tato množina tvoří grupu vzhledem ke skládání:

1. Uzavřenost: Složení dvou ortogonálních matic je opět ortogonální matice, protože \( A, B \in O(2) \Rightarrow (AB)^T AB = B^T A^T A B = B^T I B = B^T B = I \). Zároveň součet dvou vektorů posunutí je opět vektor posunutí.

2. Identita: Matice \( I \in O(2) \), a vektor \( \vec{b} = \vec{0} \) zajišťuje identické zobrazení.

3. Inverzní prvek: Každá ortogonální matice je invertibilní a inverzní je rovna její transponované: \( A^{-1} = A^T \). Inverzní afinní transformace existuje a má opět ortogonální lineární část.

4. Asociativita: Skládání funkcí je vždy asociativní.

Proto množina všech afinních transformací, které zachovávají kolmost, tvoří grupu vzhledem ke skládání.

Řešení příkladu:

Zrcadlení podle osy \( x \) znamená, že každý bod \( (x, y) \) přejde na \( (x, -y) \). Tento předpis popisuje afinní transformaci: \[ f(x, y) = (x, -y) \] Zapisme si to ve tvaru: \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \] kde \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Ověříme, že se jedná o afinní transformaci:
1. Matice \( A \) je regulární, protože \( \det(A) = -1 \neq 0 \)
2. Transformace má afinní tvar.
Dále si ověřme, jak se transformují příklady bodů:
– \( (1, 2) \rightarrow (1, -2) \) – \( (0, 0) \rightarrow (0, 0) \) – \( (3, -1) \rightarrow (3, 1) \)
Tato transformace skutečně odpovídá zrcadlení podle osy \( x \).

Řešení příkladu:

Obecně afinní transformace má tvar: \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \] kde \( A \) je libovolná regulární matice a \( \vec{b} \) je vektor posunutí.

Aby byla délka úsečky zachována, musí být lineární část \( A \) ortogonální, tj. musí platit \( A^T A = I \). Pokud toto neplatí, může transformace vektory protahovat nebo zkracovat, a tím měnit délky.

Ukažme si konkrétní příklad:
Nechť \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
Transformace: \[ f(x, y) = (2x, y) \] Vezměme bod \( P = (0,0) \), \( Q = (1,0) \). Jejich délka: \[ |PQ| = \sqrt{(1 – 0)^2 + (0 – 0)^2} = 1 \] Obrazy bodů: \[ f(P) = (0,0),\quad f(Q) = (2,0) \Rightarrow |f(P)f(Q)| = 2 \] Vidíme, že afinní transformace změnila délku z \(1\) na \(2\). Proto obecně afinní transformace nezachovávají délky úseček.

Řešení příkladu:

Afinní transformace roviny má obecný tvar \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \] kde \( A \in GL_2(\mathbb{R}) \) je regulární matice a \( \vec{b} \in \mathbb{R}^2 \) je vektor posunutí. Podmínka, že bod \( A = (0, 0) \) je pevný, znamená: \[ f(0, 0) = A \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{b} = \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{b} = \vec{0} \] Tedy hledaná transformace má tvar \( f(\vec{x}) = A\vec{x} \), je tedy lineární.

Dále požadujeme, aby přímka \( y = x \) byla zobrazena na přímku \( y = -x \). Představme si přímku jako množinu bodů \( (t, t) \), \( t \in \mathbb{R} \). Pak: \[ f\left( \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \right) = A \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \in \{ (s, -s) \mid s \in \mathbb{R} \} \] Označme \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \). Potom \[ A \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} a + b \\ c + d \end{pmatrix} \] Chceme, aby tento vektor ležel na přímce \( y = -x \), tedy: \[ c + d = -(a + b) \Rightarrow a + b + c + d = 0 \] Dále požadujeme, aby matice \( A \) byla regulární, tj. \( \det A \neq 0 \), což nám zajistí, že transformace je afinní.

Například vezměme matici \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \] Pak \( f(x, y) = (x, -y) \). Zobrazí bod \( (t, t) \mapsto (t, -t) \), což leží na \( y = -x \). Det \( A = -1 \), tedy matice je regulární. A zároveň \( f(0, 0) = (0, 0) \), takže bod je zachován.

Tedy taková transformace splňuje všechny podmínky. Obecně lze říci, že všechny matice \( A \) tvaru: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ -a – b & d \end{pmatrix} \] s podmínkou \( \det(A) \neq 0 \), generují afinní transformace splňující požadavek.

Řešení příkladu:

Každá afinní transformace roviny má tvar: \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \] kde \( A \in GL_2(\mathbb{R}) \) (tedy \( \det A \neq 0 \)) a \( \vec{b} \in \mathbb{R}^2 \).

Chceme ukázat, že množina všech takových transformací tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Ověřme všechny axiomy grupy:

1. **Uzavřenost**: Nechť \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \), \( g(\vec{x}) = B\vec{x} + \vec{c} \). Pak \[ (f \circ g)(\vec{x}) = f(g(\vec{x})) = f(B\vec{x} + \vec{c}) = A(B\vec{x} + \vec{c}) + \vec{b} = AB\vec{x} + A\vec{c} + \vec{b} \] Což je opět afinní transformace se složenou maticí \( AB \in GL_2(\mathbb{R}) \), protože součin regulárních matic je regulární.

2. **Existence neutrálního prvku**: Neutrální prvek je identická transformace \( f(\vec{x}) = \vec{x} \), tedy \( A = I, \vec{b} = \vec{0} \).

3. **Existence inverzního prvku**: Nechť \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \). Pak inverzní transformace je: \[ f^{-1}(\vec{y}) = A^{-1}(\vec{y} – \vec{b}) = A^{-1}\vec{y} – A^{-1}\vec{b} \] což je opět afinní transformace, protože \( A^{-1} \in GL_2(\mathbb{R}) \).

4. **Asociativita**: Skládání zobrazení je přirozeně asociativní.

Tedy množina všech afinních transformací tvoří grupu vzhledem ke skládání.

Řešení příkladu:

Rotace o úhel \( \theta = \frac{\pi}{2} \) proti směru hodinových ručiček kolem počátku je lineární zobrazení, protože původ počátku je fixní.

Matice rotace o úhel \( \theta \) má tvar: \[ A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \] Pro \( \theta = \frac{\pi}{2} \) dostaneme: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] Tedy hledaná afinní transformace má tvar: \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b}, \quad \text{kde} \quad \vec{b} = \vec{0} \] Konkrétně: \[ f(x, y) = (-y, x) \] Ověřme, že transformace opravdu rotuje: – Bod \( (1, 0) \rightarrow (0, 1) \) – Bod \( (0, 1) \rightarrow (-1, 0) \) – Bod \( (1, 1) \rightarrow (-1, 1) \) Všechny body jsou natočeny o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček kolem počátku. Transformace je regulární, protože \( \det A = 1 \neq 0 \).

Řešení příkladu:

Úkolem je najít afinní transformaci \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \), kde \( A \in GL_2(\mathbb{R}) \) a \( \vec{b} \in \mathbb{R}^2 \), takovou, že \[ f(A) = A‘, \quad f(B) = B‘, \quad f(C) = C‘. \] Vzhledem k tomu, že \( A=(0,0) \), dostáváme přímo: \[ f(0,0) = A\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{b} = \vec{b} = A‘ = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Tedy \[ \vec{b} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}. \] Nyní najdeme matici \( A \). Označme \[ B = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}. \] Podmínky jsou \[ f(B) = A B + \vec{b} = B‘ = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} \] a \[ f(C) = A C + \vec{b} = C‘ = \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}. \] Odčteme \( \vec{b} \): \[ A B = B‘ – \vec{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} \] \[ A C = C‘ – \vec{b} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}. \] Jelikož \( B \) a \( C \) tvoří kanonickou bázi, sloupce matice \( A \) jsou právě tyto vektory: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \] Zkontrolujme determinant: \[ \det A = 2 \cdot 2 – 1 \cdot 1 = 4 – 1 = 3 \neq 0, \] takže \( A \) je regulární.

Tedy hledaná afinní transformace je \[ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \vec{x} + \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}. \] Tento výsledek splňuje požadované zobrazení vrcholů trojúhelníku.

Řešení příkladu:

Nechť \( f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b} \) s \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}. \] Protože \( A \in GL_2(\mathbb{R}) \), transformace má inverzi danou: \[ f^{-1}(\vec{y}) = A^{-1}(\vec{y} – \vec{b}). \] Nejprve spočítáme \( A^{-1} \): \[ \det A = 3 \cdot 1 – (-1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5. \] Matice inverzní je \[ A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}. \] Tedy \[ f^{-1}(\vec{y}) = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \left( \vec{y} – \begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix} \right). \] Konkrétně pro \( \vec{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \) platí: \[ f^{-1}(\vec{y}) = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} y_1 – 4 + y_2 + 2 \\ -2(y_1 – 4) + 3(y_2 + 2) \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} y_1 + y_2 – 2 \\ -2 y_1 + 3 y_2 + 14 \end{pmatrix}. \] Tato afinní transformace je inverzní k \( f \).

Řešení příkladu:

Afinní transformace je \[ f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b}, \quad \text{kde} \quad A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \] Vypočteme složení \( f \circ f \): \[ f(f(\vec{x})) = f(A\vec{x} + \vec{b}) = A(A\vec{x} + \vec{b}) + \vec{b} = A^2 \vec{x} + A \vec{b} + \vec{b}. \] Nejprve spočítáme \( A^2 \): \[ A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I, \] tedy jednotková matice. Dále spočítáme \[ A \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}. \] Pak \[ A \vec{b} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}. \] Tedy \[ f \circ f(\vec{x}) = \vec{x} + \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} \neq \vec{x}. \] Transformace není involuce, protože složení není identita, ale posunutí o vektor \( (5,5) \).

Řešení příkladu:

Označme počáteční vrcholy jako \[ A = (0,0), \quad B = (1,0), \quad C = (1,1), \quad D = (0,1). \] Cílové vrcholy jsou \[ A‘ = (1,1), \quad B‘ = (3,2), \quad C‘ = (4,4), \quad D‘ = (2,3). \] Hledáme afinní transformaci \( f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b} \), kde \( A \) je 2×2 matice a \( \vec{b} \in \mathbb{R}^2 \). Z prvního vrcholu \( A=(0,0) \) máme \[ f(0,0) = \vec{b} = A‘ = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}. \] Nyní spočítáme sloupce matice \( A \) podle dalších dvou vrcholů: \[ f(1,0) = A \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \vec{b} = B‘ \Rightarrow A \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = B‘ – \vec{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}, \] tedy první sloupec matice \( A \) je \[ \vec{a}_1 = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix}. \] Dále \[ f(0,1) = A \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + \vec{b} = D‘ \Rightarrow A \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = D‘ – \vec{b} = \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}, \] což dává druhý sloupec matice \( A \): \[ \vec{a}_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}. \] Matici \( A \) tedy máme: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \] Pro kontrolu ověříme, zda \[ f(1,1) = A \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 1 + 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 4\end{pmatrix} = C‘, \] což sedí správně.

Řešení příkladu:

Afinní transformace má tvar \[ f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b}, \] kde \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}. \] Dané podmínky jsou: \[ f \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}, \quad f \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix}. \] Pro první bod platí: \[ A \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + \vec{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} a + 2b + e \\ c + 2d + f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}. \] Pro druhý bod: \[ A \begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} + \vec{b} = \begin{pmatrix}2 \\ 5\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 4a + e \\ 4c + f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}. \] Máme tedy soustavu rovnic: \[ a + 2b + e = 3, \quad c + 2d + f = 4, \] \[ 4a + e = 2, \quad 4c + f = 5. \] Z druhé dvojice rovnic vyjádříme \( e \) a \( f \): \[ e = 2 – 4a, \quad f = 5 – 4c. \] Dosadíme do první dvojice: \[ a + 2b + (2 – 4a) = 3 \Rightarrow -3a + 2b = 1, \] \[ c + 2d + (5 – 4c) = 4 \Rightarrow -3c + 2d = -1. \] Nyní máme volné parametry, například \( a \) a \( c \), a vyjádříme \( b \) a \( d \): \[ 2b = 3a + 1 \Rightarrow b = \frac{3a + 1}{2}, \] \[ 2d = 3c – 1 \Rightarrow d = \frac{3c – 1}{2}. \] Výsledkem je, že afinní transformace existuje, ale není jednoznačně určená — závisí na parametrech \( a, c \). Pro konkrétní příklad zvolme \( a = 0, c=0 \), pak \[ b = \frac{1}{2}, \quad d = -\frac{1}{2}, \quad e = 2, \quad f = 5. \] Tedy transformace je \[ A = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu:

Afinní transformace má obecný tvar \[ f(\vec{x}) = A\vec{x} + \vec{b}, \] kde \( A \) je lineární zobrazení a \( \vec{b} \) je posunutí. Vezměme dva vektory \[ \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^2, \] které jsou rovnoběžné, tedy existuje \( \lambda \in \mathbb{R} \) takové, že \[ \vec{v} = \lambda \vec{u}. \] Podívejme se, jak jsou tyto vektory transformovány: \[ f(\vec{x} + \vec{u}) – f(\vec{x}) = A(\vec{x} + \vec{u}) + \vec{b} – (A\vec{x} + \vec{b}) = A\vec{u}, \] podobně \[ f(\vec{x} + \vec{v}) – f(\vec{x}) = A \vec{v} = A(\lambda \vec{u}) = \lambda A \vec{u}. \] Jelikož lineární transformace zachovává lineární závislosti, platí \[ A \vec{v} = \lambda A \vec{u}, \] tedy obrazy vektorů jsou také rovnoběžné. Posunutí \( \vec{b} \) nemá vliv na rozdíly vektorů. Z toho vyplývá, že afinní transformace zachovává rovnoběžnost vektorů.

Řešení příkladu:

Rotace o \( 90^\circ \) kolem bodu \( \vec{c} = (1,1) \) je afinní transformace daná složením posunu do počátku, rotace a zpětného posunu: \[ f(\vec{x}) = R(\vec{x} – \vec{c}) + \vec{c}, \] kde \( R \) je matice rotace o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček: \[ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \] Tedy \[ f(\vec{x}) = R \vec{x} – R \vec{c} + \vec{c} = R \vec{x} + (\vec{c} – R \vec{c}). \] Spočítáme vektor posunu: \[ R \vec{c} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}, \] tedy \[ \vec{b} = \vec{c} – R \vec{c} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Afinní transformace je tedy \[ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \vec{x} + \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu:

Afinní transformace má tvar \( f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b} \), kde \( A \) je 2×2 matice a \( \vec{b} \) je posunový vektor. Cílem je najít \( A \) a \( \vec{b} \) tak, aby platilo:

\( f(A) = A‘ \), \( f(B) = B‘ \), \( f(C) = C‘ \).

Nejdříve napíšeme rovnice pro jednotlivé body:
Pro \( A=(0,0) \): \( f(\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix}) = A \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{b} = \vec{b} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} \)
Z toho vidíme, že \[ \vec{b} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

Pro body \( B \) a \( C \) tedy platí: \[ f(\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}) = A \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + \vec{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix}, \] \[ f(\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}) = A \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{b} = \begin{pmatrix}1 \\ 4 \end{pmatrix}. \]

Odečteme \( \vec{b} \) od pravých stran, abychom našli sloupce matice \( A \): \[ A \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix}, \] \[ A \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 4 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

První sloupec matice \( A \) je tedy \( \begin{pmatrix}2 \\ 0 \end{pmatrix} \), druhý sloupec je \( \begin{pmatrix}0 \\ 2 \end{pmatrix} \). Matice \( A \) je tedy: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. \]

Výsledná afinní transformace je: \[ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \vec{x} + \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

Tato transformace odpovídá zvětšení trojúhelníku o faktor 2 (škálování) a následnému posunu o vektor \( (1,2) \).

Řešení příkladu:

Afinní transformace má tvar \( f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b} \), kde \( A \) je matice a \( \vec{b} \) je posun.

Zadání říká, že osa \( x \) je škálována faktorem 3 a osa \( y \) faktorem -1, bez rotace. Tedy matice \( A \) je diagonální: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

Víme, že \( f(1,2) = (4,0) \), tedy \[ A \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} + \vec{b} = \begin{pmatrix}4 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

Spočítáme \( A \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} \): \[ \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

Nyní určíme \( \vec{b} \): \[ \vec{b} = \begin{pmatrix}4 \\ 0 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

Afinní transformace je tedy \[ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \vec{x} + \begin{pmatrix}1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

Tato transformace nejdříve škáluje souřadnice, přičemž osa \( y \) se zároveň „otočí“ (protože škálování osy \( y \) je záporné), a pak se posune o vektor \( (1,2) \).

Řešení příkladu:

Rotace o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček je reprezentována maticí \[ R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

Posun je dán vektorem \[ \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

Afinní transformace je tedy \[ f(\vec{x}) = R \vec{x} + \vec{b}. \]

Tato transformace nejdříve otočí bod \( \vec{x} \) o \( 90^\circ \) proti směru hodinových ručiček kolem počátku a poté jej posune o vektor \( (2,3) \).

Pro ověření, vezměme bod \( (1,0) \): \[ f\left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}. \]

Tedy bod \( (1,0) \) se po afinní transformaci zobrazí na \( (2,4) \).

Řešení příkladu:

Afinní transformace má tvar \[ f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b}. \]

Cílem je najít \( A \) a \( \vec{b} \) tak, aby obraz přímky \( y = 2x + 1 \) byla přímka \( y = -x + 4 \).

Nejprve vyjádříme přímku parametricky: \[ \vec{x}(t) = \begin{pmatrix} t \\ 2t + 1 \end{pmatrix}, \quad t \in \mathbb{R}. \]

Po aplikaci afinní transformace dostaneme: \[ f(\vec{x}(t)) = A \vec{x}(t) + \vec{b} = A \begin{pmatrix} t \\ 2t + 1 \end{pmatrix} + \vec{b} = t A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{b}. \]

Pro zjednodušení označíme \[ \vec{v} = A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \vec{w} = A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{b}. \]

Pak obraz přímky je množina bodů \[ \{ t \vec{v} + \vec{w} : t \in \mathbb{R} \}. \]

Protože výsledná přímka má směrnici \(-1\), směr vektoru \( \vec{v} \) musí být roven vektoru \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) až na násobek. Tedy \[ \vec{v} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \quad \text{pro nějaké } \lambda \neq 0. \]

Také bod na původní přímce pro \( t=0 \) je \( \vec{x}(0) = (0,1) \), který se zobrazí na \( f(\vec{x}(0)) = \vec{w} \) a musí ležet na nové přímce, která má rovnici \( y = -x + 4 \). Tedy \[ w_2 = -w_1 + 4. \]

Pro úplné určení \( A \) a \( \vec{b} \) je třeba zvolit ještě další podmínky. Například můžeme zvolit, že obraz bodu \( (0,0) \) bude \( (2,3) \). Pak platí \[ f\left( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right) = \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

Protože \[ \vec{w} = A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{b}, \] máme \[ \vec{w} = A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

Označíme sloupce matice \( A \) jako \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \] pak \[ \vec{v} = A \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2b \\ c + 2d \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \] \[ \vec{w} = A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \vec{b} = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b + 2 \\ d + 3 \end{pmatrix}. \]

Ze vztahu pro \( \vec{w} \) a rovnici přímky \( y = -x + 4 \) platí: \[ d + 3 = -(b + 2) + 4 \Rightarrow d + 3 = -b – 2 + 4 \Rightarrow d + 3 = -b + 2, \] tedy \[ d + b = -1. \]

Ze vztahu pro \( \vec{v} \): \[ a + 2b = \lambda, \] \[ c + 2d = -\lambda. \]

Jelikož máme \(5\) neznámých (\( a,b,c,d,\lambda \)) a \(3\) rovnice, můžeme zvolit například \( b=0 \). Pak z rovnice \( d + b = -1 \) dostaneme \( d = -1 \).

Zůstává: \[ a = \lambda, \] \[ c + 2(-1) = -\lambda \Rightarrow c – 2 = -\lambda \Rightarrow c = -\lambda + 2. \]

Můžeme ještě zvolit \( \lambda = 1 \), aby směr byl jednotkový násobek \( (1,-1) \): \[ a = 1, \quad c = -1 + 2 = 1. \]

Výsledná matice je tedy \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

Afinní transformace: \[ f(\vec{x}) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \vec{x} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu 31:

1. Nejprve si připomeňme definici afinní transformace v \(\mathbb{R}^2\). Afinní transformace je funkcí tvaru \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}, \] kde \(A\) je matice lineární transformace a \(\mathbf{b}\) je posunutí (vektor). Abychom určili obraz vektoru \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), dosadíme do výrazu:

\[ T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

2. Vypočítáme násobení matice a vektoru: \[ A \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 0 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}. \]

3. Nyní přičteme posun \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}. \]

4. Výsledkem je tedy obraz vektoru \(\mathbf{v}\) pod transformací \(T\): \[ T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}. \]

5. Nyní ověříme, zda je \(T\) bijekcí. Afinní transformace je bijekce právě tehdy, pokud je matice \(A\) invertibilní, protože posun \(\mathbf{b}\) nemění jednoznačnost zobrazení.

6. Vypočteme determinant matice \(A\): \[ \det(A) = 2 \cdot 3 – 1 \cdot 0 = 6 \neq 0. \]

7. Protože \(\det(A) \neq 0\), matice \(A\) je invertibilní a tedy \(T\) je bijekcí.

8. Shrnutí: Transformace \(T\) zobrazuje vektor \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) na \(\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}\) a je bijektivní, tedy existuje inverzní transformace \(T^{-1}\).

Řešení příkladu 32:

1. Složená transformace \(T\) je definována jako: \[ T(\mathbf{x}) = T_2(T_1(\mathbf{x})) = A_2 (A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2. \]

2. Nejprve rozebereme výraz: \[ T(\mathbf{x}) = A_2 A_1 \mathbf{x} + A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2. \]

3. Vypočítáme maticový součin \(A_2 A_1\): \[ A_2 A_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ -1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 & -1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

4. Vypočítáme vektor \(A_2 \mathbf{b}_1\): \[ A_2 \mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 + 1 \cdot 4 \\ -1 \cdot 3 + 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix}. \]

5. Sečteme vektory \(A_2 \mathbf{b}_1\) a \(\mathbf{b}_2\): \[ A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}. \]

6. Složená afinní transformace tedy má tvar \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}. \]

7. Tato transformace zachovává afinní strukturu jako složení afinních transformací, což potvrzuje uzavřenost množiny afinních transformací vůči složení.

Řešení příkladu 33:

1. Aby existovala inverzní transformace \(T^{-1}\), musí být matice \(A\) invertibilní, tj. \(\det(A) \neq 0\). Nejprve spočítáme determinant:

\[ \det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 0 \end{vmatrix}. \]

2. Vypočítáme jednotlivé determinanty podmatic: \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 1 = 1, \] \[ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 – 3 \cdot 1 = -3. \]

3. Dosadíme zpět: \[ \det(A) = 1 \cdot 1 – 2 \cdot (-3) + 0 = 1 + 6 = 7 \neq 0. \]

4. Jelikož \(\det(A) \neq 0\), matice je invertibilní a existuje inverzní transformace \(T^{-1}\). Její tvar je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \]

5. Nejprve spočítáme \(A^{-1}\) pomocí metody adjungované matice nebo Gaussovy eliminace. Pro přehlednost použijeme Gaussovu eliminaci (podrobný výpočet je velmi rozsáhlý a lze jej najít v příslušné literatuře, zde uvedeme výsledek): \[ A^{-1} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix}. \] \]

6. Výsledná inverzní transformace je tedy \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\ -3 & 6 & 1 \end{pmatrix} \left( \mathbf{y} – \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \right). \] \]

7. Shrnutí: pro libovolný \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^3\) nalezneme původní \(\mathbf{x}\) jako \[ \mathbf{x} = T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \]

Řešení příkladu 34:

1. Matice \(A\) je známá jako rotační matice v \(\mathbb{R}^2\) o úhel \(\theta\). Její vlastnosti jsou: – Jedná se o ortogonální matici, která zachovává délky a úhly. – Její determinant je 1, což znamená, že neobrací orientaci souřadnicového systému.

2. Geometrický význam afinní transformace \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\) je tedy: – Nejprve otočí každý vektor \(\mathbf{x}\) o úhel \(\theta\) kolem počátku. – Následně posune výsledný bod o vektor \(\mathbf{b}\).

3. Délka vektoru \(\mathbf{x}\) po aplikaci \(T\): \[ \|T(\mathbf{x}) – \mathbf{b}\| = \|A \mathbf{x}\|. \] Protože \(A\) je rotační matice, platí \[ \|A \mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|. \] Délka vektoru se tedy nezmění.

4. Úhel mezi dvěma vektory \(\mathbf{u}\) a \(\mathbf{v}\) se také zachová, protože rotace je izometrie, která nemění vzdálenosti ani úhly.

5. Posun \(\mathbf{b}\) nemění relativní vzdálenosti ani úhly mezi obrazy vektorů, pouze posouvá celý obraz o konstantní vektor.

6. Shrnutí: Afinní transformace se skládá z rotace o úhel \(\theta\) a posunu o \(\mathbf{b}\). Tato transformace zachovává délky a úhly mezi vektory, tedy jde o isometrii bez změny měřítka, ale s posunem.

Řešení příkladu 35:

1. Aby množina afinních transformací tvořila grupu, musí splňovat čtyři základní axiomy grupy:

1. Uzavřenost: Složením dvou afinních transformací vznikne opět afinní transformace.
2. Existence jednotkového prvku: Existuje afinní transformace, která funguje jako identita.
3. Existence inverzního prvku: Ke každé afinní transformaci existuje inverzní transformace.
4. Asociativita: Složení afinních transformací je asociativní.

2. Nechť jsou \(T_1(\mathbf{x}) = A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1\) a \(T_2(\mathbf{x}) = A_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2\) afinní transformace na \(\mathbb{R}^n\).

3. Složením dostaneme: \[ (T_2 \circ T_1)(\mathbf{x}) = T_2(T_1(\mathbf{x})) = A_2 (A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2 = (A_2 A_1) \mathbf{x} + (A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2). \] Proto je složená transformace opět afinní transformací, což dokazuje uzavřenost.

4. Jednotková transformace je \[ T_{id}(\mathbf{x}) = I \mathbf{x} + \mathbf{0} = \mathbf{x}, \] kde \(I\) je jednotková matice a \(\mathbf{0}\) nulový vektor.

5. Inverzní transformace k afinní transformaci \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\) existuje tehdy, když \(A\) je invertibilní. Pak \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \] To znamená, že každá afinní transformace s invertibilní maticí má inverzi v množině afinních transformací.

6. Asociativita složení funkcí je obecně platná pro všechny funkce, tedy i pro afinní transformace.

7. Závěr: Množina afinních transformací na \(\mathbb{R}^n\) tvoří grupu vzhledem ke složení, pokud omezíme množinu na transformace s invertibilní maticí \(A\).

Řešení příkladu 36:

1. Afinní transformace \(T\) je definována na \(\mathbb{R}^2\), tedy působí v rovině. Obecně platí, že afinní transformace je zobrazení roviny na rovinu, protože lineární složka je zobrazení \(\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) a posun pouze posouvá výsledné body.

2. Pro ověření invertibility spočítáme determinant matice: \[ \det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 1 = 1 \neq 0, \] což znamená, že matice je invertibilní.

3. Protože je matice invertibilní, afinní transformace \(T\) je invertibilní a tedy bijektivní.

4. Shrnutí: – \(T\) zobrazuje rovinu na rovinu (celý \(\mathbb{R}^2\) na \(\mathbb{R}^2\)), – \(T\) je invertibilní, má tedy inverzní transformaci, – transformace není pouhou rotací ani posunem, ale obsahuje i smyk (kvůli jednotkám v matici mimo diagonálu).

Řešení příkladu 37:

1. Matice rotace o \(90^\circ\) ve směru hodinových ručiček je \[ R = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

2. Nejprve vektor \(\mathbf{x}\) otočíme: \[ R \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) \\ -1 \cdot 3 + 0 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}. \]

3. Nyní přičteme posun \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{x}) = R \mathbf{x} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

4. Výsledný obraz bodu je tedy \(\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Řešení příkladu:

1. Nejprve je třeba zjistit, zda je matice \(A\) invertibilní. Invertibilita afinní transformace závisí na invertibilitě její lineární části, tedy matice \(A\).

2. Vypočítáme determinant matice \(A\): \[ \det(A) = (2)(3) – (0)(1) = 6 – 0 = 6. \] Protože \(\det(A) \neq 0\), matice \(A\) je invertibilní.

3. Nyní nalezneme inverzní matici \(A^{-1}\). Pro 2×2 matici \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \] platí \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \] Dosadíme: \[ A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]

4. Afinní transformace \(T\) je invertibilní a její inverze \(T^{-1}\) je dána vztahem \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}), \] kde \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^2\).

5. Explicitně tedy pro \(\mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\) platí \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} \begin{pmatrix} y_1 – 4 \\ y_2 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 – 4 \\ y_2 + 2 \end{pmatrix}. \]

6. Násobení maticí: \[ \begin{pmatrix} \frac{1}{2}(y_1 – 4) + 0 \cdot (y_2 + 2) \\ -\frac{1}{6}(y_1 – 4) + \frac{1}{3}(y_2 + 2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y_1}{2} – 2 \\ -\frac{y_1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{y_2}{3} + \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{y_1}{2} – 2 \\ -\frac{y_1}{6} + \frac{y_2}{3} + \frac{4}{3} \end{pmatrix}. \]

7. Výsledkem je tedy inverzní afinní transformace: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} \frac{y_1}{2} – 2 \\ -\frac{y_1}{6} + \frac{y_2}{3} + \frac{4}{3} \end{pmatrix}. \]

Tím jsme plně vyřešili úlohu – zjistili jsme, že \(T\) je invertibilní a nalezli jsme explicitní vzorec pro její inverzi.

Řešení příkladu:

1. Nejprve si připomeňme, že rotace o úhel \(\theta = \frac{\pi}{2}\) je reprezentována maticí \[ R = \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{2} & -\sin \frac{\pi}{2} \\ \sin \frac{\pi}{2} & \cos \frac{\pi}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

2. Afinní transformace \(R\) nemá posun, tedy \(R(\mathbf{x}) = R\mathbf{x} + \mathbf{0}\).

3. Složením transformací \(S\) a \(R\) dostaneme: \[ (S \circ R)(\mathbf{x}) = S(R(\mathbf{x})) = S(R\mathbf{x}) = B(R\mathbf{x}) + \mathbf{c} = (B R) \mathbf{x} + \mathbf{c}. \]

4. Vypočteme matici složené transformace: \[ B R = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(0) + (-1)(1) & (0)(-1) + (-1)(0) \\ (1)(0) + (0)(1) & (1)(-1) + (0)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}. \]

5. Posun výsledné transformace je stejný jako posun \(S\), tedy \(\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\).

6. Výsledná afinní transformace je tedy \[ (S \circ R)(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

7. Interpretace: složení rotace o \(90°\) s transformací \(S\) dává transformaci, která odpovídá reflexi \((\)otočení o \(180°)\) a posunu o \(\mathbf{c}\).

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace jsou definovány jako funkce tvaru \(T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}\), kde \(A\) je lineární operátor (matice) a \(\mathbf{b}\) je vektor posunu.

2. Aby \(T\) patřila do grupy afinních transformací, musí být \(A\) invertibilní, protože pouze tehdy existuje inverzní afinní transformace.

3. Nejprve spočítáme determinant matice \(A\): \[ \det(A) = (1)(4) – (2)(3) = 4 – 6 = -2. \] Protože \(\det(A) \neq 0\), matice \(A\) je invertibilní.

4. Inverzní matice \(A^{-1}\) je \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

5. Inverzní afinní transformace \(T^{-1}\) má tvar \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \] To znamená, že \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}\mathbf{y} – A^{-1}\mathbf{b}. \]

6. Spočítáme \(A^{-1}\mathbf{b}\): \[ A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \cdot 5 + 1 \cdot 6 \\ \frac{3}{2} \cdot 5 – \frac{1}{2} \cdot 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 + 6 \\ \frac{15}{2} – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ \frac{9}{2} \end{pmatrix}. \]

7. Celkově tedy platí: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}\mathbf{y} – \begin{pmatrix} -4 \\ \frac{9}{2} \end{pmatrix} = A^{-1}\mathbf{y} + \begin{pmatrix} 4 \\ -\frac{9}{2} \end{pmatrix}. \]

8. Pro explicitní zápis inverzní transformace tedy máme \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \mathbf{y} + \begin{pmatrix} 4 \\ -\frac{9}{2} \end{pmatrix}. \]

9. Tím je úloha kompletně vyřešena – zjistili jsme, že \(T\) patří do grupy afinních transformací a nalezli jsme její inverzi.

Řešení příkladu:

1. Matice \(A\) je \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \] která odpovídá záměně souřadnic \((x, y) \mapsto (y, x)\).

2. Tato lineární část tedy reprezentuje symetrii podle přímky \(y = x\).

3. Posun \(\mathbf{b} = (2, -1)^T\) přidává ke každému bodu vektor \((2, -1)\), což posune výslednou transformaci.

4. Afinní transformace \(T\) tedy představuje zrcadlení podle přímky \(y = x\) následované posunem o vektor \((2, -1)\).

5. Nejprve ověříme invertibilitu matice \(A\). Determinant je \[ \det(A) = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1 \neq 0, \] takže \(A\) je invertibilní.

6. Inverzní matice \(A^{-1}\) pro tuto matici je stejná jako \(A\), protože \[ A^2 = I, \] tedy \(A^{-1} = A\).

7. Inverzní afinní transformace je tedy \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}) = A(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \]

8. Explicitně \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 – 2 \\ y_2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2 + 1 \\ y_1 – 2 \end{pmatrix}. \]

9. Tím jsme určili přesný geometrický význam i inverzní transformaci.

Řešení příkladu:

1. Nechť máme dvě afinní transformace \[ T_1(\mathbf{x}) = A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1, \quad T_2(\mathbf{x}) = A_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2, \] kde \(A_1, A_2\) jsou invertibilní matice a \(\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2 \in \mathbb{R}^n\).

2. Složení \(T = T_1 \circ T_2\) je definováno jako \[ T(\mathbf{x}) = T_1(T_2(\mathbf{x})) = A_1 (A_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = (A_1 A_2) \mathbf{x} + (A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1). \]

3. Protože součin invertibilních matic je invertibilní, matice \(A_1 A_2\) je invertibilní.

4. Posun \( \mathbf{b} = A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1 \) je vektor v \(\mathbb{R}^n\).

5. Složení tedy má tvar afinní transformace, kde lineární část je invertibilní, a vektor posunu je lineární kombinací vektorů posunů původních transformací.

6. Tedy složení dvou afinních transformací je opět afinní transformace invertibilní, pokud obě původní jsou invertibilní.

7. Množina afinních transformací splňuje:

1. Uzavřenost vzhledem ke skládání (viz bod 6)
2. Existence jednotkové transformace \(I(\mathbf{x}) = I_n \mathbf{x} + \mathbf{0}\)
3. Existence inverzních prvků (každá invertibilní matice má inverzi, takže inverzní afinní transformace existuje)
4. Asociativita skládání transformací (vyplývá z asociativity násobení matic a sčítání vektorů)

8. Proto množina afinních transformací tvoří grupu s operací skládání.

Řešení příkladu:

1. Vypočítáme obraz bodu \(\mathbf{x}\): \[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot (-2) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

2. Afinní transformace zachovává rovnoběžnost, protože její lineární část \(A\) je invertibilní matice, a lineární transformace vždy zachovávají rovnoběžnost.

3. To znamená, že obrazy dvou rovnoběžných vektorů budou také rovnoběžné.

4. Pro ilustraci si vezměme dva rovnoběžné vektory \(\mathbf{u} = (1, 0)^T\) a \(\mathbf{v} = (2, 0)^T\).

5. Jejich obrazy jsou \[ A\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

6. Vektory \((2,0)^T\) a \((4,0)^T\) jsou stále rovnoběžné, což potvrzuje zachování rovnoběžnosti.

Řešení příkladu:

1. Pro \(n \geq 2\) afinní transformace jsou tvaru \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\), kde \(A\) je invertibilní matice \(n \times n\) a \(\mathbf{b}\) je vektor.

2. Pro ukázku nekomutativnosti zvolme dvě afinní transformace \(T_1, T_2\) se stejnou lineární částí, ale různými posuny: \[ T_1(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}_1, \quad T_2(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}_2. \]

3. Složení je \[ T_1 \circ T_2(\mathbf{x}) = T_1(T_2(\mathbf{x})) = A (A \mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = A^2 \mathbf{x} + A \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1, \] \[ T_2 \circ T_1(\mathbf{x}) = A (A \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2 = A^2 \mathbf{x} + A \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2. \]

4. Pokud \(A \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1 \neq A \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2\), pak \(T_1 \circ T_2 \neq T_2 \circ T_1\).

5. Zvolme například: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

6. Spočítáme \[ A \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \] \[ A \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

7. Protože \(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\), platí \(T_1 \circ T_2 \neq T_2 \circ T_1\).

8. Tedy množina afinních transformací není komutativní grupa pro \(n \geq 2\).

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace má tvar \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\), kde \(A\) je lineární část (matice).

2. Determinant \(\det(A)\) určuje, jak se transformace chová k objemům a orientaci v prostoru:

• Pokud \(\det(A) > 0\), transformace zachovává orientaci (např. neprovádí zrcadlení).
• Pokud \(\det(A) < 0\), transformace orientaci mění (provádí zrcadlení nebo inverzi).
• Hodnota \(|\det(A)|\) udává poměr změny objemu (v \(\mathbb{R}^n\) je to změna \(n\)-rozměrného objemu).
• Pokud \(|\det(A)| > 1\), transformace rozšiřuje objekty (zvětšuje měřítko).
• Pokud \(|\det(A)| < 1\), transformace zmenšuje objekty (zmenšuje měřítko).
• Pokud \(\det(A) = 0\), transformace není invertibilní (ztrácí dimenzi, např. zploštění).

3. Příklad: Matice \[ A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \] má \(\det(A) = 6\), což znamená, že transformace zvětšuje plochy v \(\mathbb{R}^2\) šestinásobně a zachovává orientaci.

4. Závěrem determinant lineární části afinní transformace poskytuje klíčovou informaci o geometrických vlastnostech transformace.

Řešení příkladu:

1. Matice rotace \(A\) je ortogonální matice s determinantem 1, což znamená, že zachovává délky a orientaci.

2. Afinní transformace definovaná jako \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{0} \] je čistě lineární rotace bez posunu.

3. Množina všech takových transformací, tedy množina všech rotací okolo počátku, tvoří speciální ortogonální skupinu \(\mathrm{SO}(2)\).

4. Podmínky pro podgrupu:

1. Existence jednotkového prvku: rotace o úhel \(0\) je identita.
2. Uzavřenost: složení dvou rotací je opět rotace (sčítání úhlů modulo \(2\pi\)).
3. Inverzní prvky: inverzní rotace k rotaci o \(\theta\) je rotace o \(-\theta\).
4. Asociativita: platí díky asociativitě násobení matic.

5. Protože tyto rotace jsou speciálním případem afinních transformací (s nulovým posunem), tvoří podgrupu grupy afinních transformací.

Řešení příkladu:

1. Vypočítáme obraz vektoru \(\mathbf{x}\) pomocí vzorce \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}. \]

2. Násobení matice \(A\) vektorem \(\mathbf{x}\): \[ A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 0 + 6 \\ 0 + 2 + 0 \\ 0 + 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

3. Přidáme posun \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}. \]

4. Identifikace typu transformace:

1. Matice \(A\) není ortogonální (není rotací), protože má hodnoty mimo rotační matici.
2. Posun \(\mathbf{b}\) je nenulový, takže transformace obsahuje translaci.
3. Lineární část \(A\) obsahuje nultý sloupec a \(2\) na pozici \((1,3)\), což ukazuje, že transformace zahrnuje lineární deformaci (nelineární změnu souřadnic kromě rotace nebo posunu).

5. Závěr: \(T\) není čistá rotace ani čistý posun, ale obecná afinní transformace s lineární deformací a translací.

Řešení příkladu:

1. Nejprve vypočítáme obraz bodu \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) pomocí afinní transformace: \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

2. Vypočítáme součin matice a vektoru: \[ A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 2 \\ 0 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}. \]

3. Přičteme vektor \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}. \] Výsledný obraz bodu je tedy \((8, 5)^T\).

4. Nyní ověříme, zda je \(T\) inverzní. Pro inverzní transformaci musí být lineární část \(A\) invertibilní. Spočítáme determinant matice \(A\): \[ \det A = 2 \cdot 3 – 0 \cdot 1 = 6 \neq 0. \] Jelikož determinant není nulový, matice \(A\) je regulární a tedy existuje její inverzní matice \(A^{-1}\).

5. Najdeme inverzní matici \(A^{-1}\). Pro matici \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \] platí \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]

6. Inverzní afinní transformace \(T^{-1}\) má tvar \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}), \] kde \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^2\).

7. To znamená, že pro daný vektor \(\mathbf{y}\) nejprve odečteme vektor \(\mathbf{b}\), potom aplikujeme inverzní matici \(A^{-1}\): \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}\mathbf{y} – A^{-1}\mathbf{b}. \]

8. Vypočteme \(A^{-1}\mathbf{b}\): \[ A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 4 – \frac{1}{6} \cdot (-1) \\ 0 \cdot 4 + \frac{1}{3} \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{13}{6} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]

9. Tedy explicitní předpis pro inverzní transformaci je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \mathbf{y} – \begin{pmatrix} \frac{13}{6} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]

10. Pro ověření můžeme vypočítat \[ T^{-1}(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}. \] Vypočítáme levou stranu pro \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\): \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}, \] takže \[ T^{-1}\left(\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} \frac{13}{6} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]

11. Nejprve spočítáme maticový součin: \[ \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \cdot 8 – \frac{1}{6} \cdot 5 \\ 0 \cdot 8 + \frac{1}{3} \cdot 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 – \frac{5}{6} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{24}{6} – \frac{5}{6} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{19}{6} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix}. \]

12. Odečteme vektor: \[ \begin{pmatrix} \frac{19}{6} \\ \frac{5}{3} \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} \frac{13}{6} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{19}{6} – \frac{13}{6} \\ \frac{5}{3} + \frac{1}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

Tímto jsme potvrdili, že \(T^{-1}(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}\) pro daný \(\mathbf{x}\), takže \(T\) je skutečně invertibilní a nalezená inverzní transformace je správná.

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace zachovávají kolineární a rovnoběžné vlastnosti, protože lineární složka \(A\) je lineární zobrazení a navíc posun \(\mathbf{b}\) nemění směr vektorů.

2. Přímka je parametrizována jako \[ \mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_0 + t \mathbf{v}, \quad \text{kde } \mathbf{x}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \]

3. Obraz přímky pod \(T\) je \[ T(\mathbf{x}(t)) = A \mathbf{x}(t) + \mathbf{b} = A (\mathbf{x}_0 + t \mathbf{v}) + \mathbf{b} = A \mathbf{x}_0 + t A \mathbf{v} + \mathbf{b}. \]

4. Spočítáme \(A \mathbf{x}_0\): \[ A \mathbf{x}_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

5. Spočítáme \(A \mathbf{v}\): \[ A \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

6. Přičteme \(\mathbf{b}\): \[ A \mathbf{x}_0 + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

7. Výsledná parametrizace obrazu přímky je tedy \[ T(\mathbf{x}(t)) = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

8. Jelikož afinní transformace zachovávají rovné přímky a směr vektorů (a tedy i rovnoběžnost), obraz přímky je opět přímka a přímky původní i obrazové jsou rovnoběžné v případě stejných směrových vektorů nebo souhlasných rovin.

Řešení příkladu:

1. Nejprve vypočítáme obraz bodu \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}\). Aplikujeme lineární část: \[ A\mathbf{x} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}. \] Přičteme posun \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}. \] Výsledkem je tedy bod \((2, 4)^T\).

2. Matice \(A\) odpovídá rotaci o 90° proti směru hodinových ručiček, protože transformuje vektor \((1, 0)^T\) na \((0, 1)^T\) a vektor \((0, 1)^T\) na \((-1, 0)^T\), což odpovídá právě této rotaci.

3. Posun \(\mathbf{b} = (2, 3)^T\) je jednoduše přičtení tohoto vektoru ke všem obrazům, což odpovídá posunu celé roviny.

4. Pro nalezení inverzní transformace \(T^{-1}\) potřebujeme inverzní matici \(A^{-1}\) a posun, který je inverzí původního posunu po aplikaci inverze matice: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \] Jelikož \(A\) je rotace o 90° proti směru hodinových ručiček, její inverze je rotace o -90°, která je dána maticí \[ A^{-1} = A^T = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}, \] protože matice rotace je ortogonální.

5. Tedy explicitně platí \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} (\mathbf{y} – \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \mathbf{y} – \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix}. \]

6. Vypočteme \[ \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}. \] Proto je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \mathbf{y} – \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix}. \]

7. Ověříme, že \(T^{-1}(T(\mathbf{x})) = \mathbf{x}\): \[ T(\mathbf{x}) = \mathbf{y} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}, \] takže \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ -2\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}3 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} = \mathbf{x}. \] Tím je inverze potvrzena.

Řešení příkladu:

1. Nejprve zjistíme, zda je \(T\) bijektivní. To závisí na inverznosti matice \(A\). Vypočítáme determinant: \[ \det A = 3 \cdot 1 – 4 \cdot 2 = 3 – 8 = -5 \neq 0. \] Jelikož determinant není nulový, matice \(A\) je regulární a tedy \(T\) je bijektivní afinní transformace.

2. Inverzní matici \(A^{-1}\) spočítáme pomocí vzorce pro \(2 \times 2\) matice: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = -\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix}. \]

3. Inverzní afinní transformace je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} (\mathbf{y} – \mathbf{b}) = A^{-1}\mathbf{y} – A^{-1}\mathbf{b}. \]

4. Vypočítáme \(A^{-1}\mathbf{b}\): \[ A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} & \frac{4}{5} \\ \frac{2}{5} & -\frac{3}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} \cdot 1 + \frac{4}{5} \cdot (-1) \\ \frac{2}{5} \cdot 1 – \frac{3}{5} \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} – \frac{4}{5} \\ \frac{2}{5} + \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

5. Proto \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} \mathbf{y} – \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = A^{-1} \mathbf{y} + \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}. \]

6. Nyní určíme obraz přímky \(\ell\), parametrizované jako \[ \mathbf{x}(t) = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}. \]

7. Afinní transformace zachovávají přímky, takže obrazem přímky je přímka parametrizovaná \[ T(\mathbf{x}(t)) = A \mathbf{x}(t) + \mathbf{b} = A \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + t A \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + \mathbf{b}. \]

8. Spočítáme \[ A \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 4 \\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix}, \quad A \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3+4 \\ 2+1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix}. \]

9. Přičteme \(\mathbf{b}\): \[ \begin{pmatrix}4 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix}. \]

10. Výsledná parametrizace obrazu přímky je tedy \[ T(\mathbf{x}(t)) = \begin{pmatrix}5 \\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}7 \\ 3\end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu:

1. Nejprve si připomeňme, že afinní transformace zachovávají kolineární vztahy, takže obraz roviny je opět rovina.

2. Rovinu \(\pi\) můžeme vyjádřit pomocí normálového vektoru \(\mathbf{n} = (1, 1, 1)^T\) a rovnice \[ \mathbf{n}^T \mathbf{x} = 1. \]

3. Afinní transformace \(T\) lze rozdělit na lineární část \(A\) a posun \(\mathbf{b}\). Abychom našli obraz roviny \(\pi\), hledáme rovinu \(\pi’\), která je obrazem \(\pi\) pod transformací \(T\).

4. Obecně platí, že obraz roviny definované \(\mathbf{n}^T \mathbf{x} = d\) pod afinní transformací \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\) je rovina \[ \mathbf{n}’^T \mathbf{y} = d‘, \] kde \[ \mathbf{n}‘ = (A^{-1})^T \mathbf{n}, \quad d‘ = d + \mathbf{n}’^T \mathbf{b}. \] Tato relace vychází z faktu, že pokud \(\mathbf{y} = T(\mathbf{x})\), pak \(\mathbf{x} = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b})\).

5. Nejprve spočítáme inverzi matice \(A\). Pro matici \(A\): \[ A = \begin{pmatrix}2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}. \]

6. Spočítáme determinant matice \(A\): \[ \det A = 2 \cdot \det \begin{pmatrix}3 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} – 0 + 1 \cdot \det \begin{pmatrix}1 & 3 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot (1 \cdot 0 – 3 \cdot 0) = 6 + 0 = 6. \] Jelikož determinant je nenulový, matice \(A\) je invertibilní.

7. Inversi \(A^{-1}\) vypočítáme postupně (pro přehlednost uvádíme klíčové kroky):

• Vypočteme adjungovanou matici a vydělíme determinantem \(6\).
• Výsledná inverzní matice je \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

8. Spočítáme \[ \mathbf{n}‘ = (A^{-1})^T \mathbf{n} = \left( A^{-1} \right)^T \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}. \]

9. Nejprve napišme matici \((A^{-1})^T\): \[ (A^{-1})^T = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 1 \end{pmatrix}. \]

10. Vypočítáme součin: \[ \mathbf{n}‘ = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{6} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} – \frac{1}{6} + 0 \\ 0 + \frac{1}{3} + 0 \\ -\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}. \]

11. Spočítáme skalární součin \(\mathbf{n}’^T \mathbf{b}\): \[ \mathbf{n}’^T \mathbf{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} = \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot (-1) + \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{1}{3} – \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{4}{3}. \]

12. Výsledná rovnice obrazu roviny je tedy \[ \mathbf{n}’^T \mathbf{y} = d‘ \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{3} y_1 + \frac{1}{3} y_2 + \frac{2}{3} y_3 = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}. \]

13. Pro jednoduchost můžeme rovinu vynásobit \(3\) a získáme: \[ y_1 + y_2 + 2 y_3 = 7. \] Tato rovnice definuje obraz roviny \(\pi\) pod afinní transformací \(T\).

Řešení příkladu:

1. Nejprve analyzujme lineární část \(A\). Matice \[ A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \] představuje rotační matici o \(90^\circ\) proti směru hodinových ručiček.

2. Ověřme, že matice \(A\) je ortogonální a má determinant 1: \[ A^T A = I, \quad \det A = (0)(0) – (-1)(1) = 1. \] To potvrzuje, že \(A\) je rotační matice.

3. Afinní transformace \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\) tedy je kompozicí rotace a posunutí, což je tzv. roto-translation.

4. Nyní určíme obraz kružnice \(x^2 + y^2 = 1\). Kružnice je definována množinou bodů \(\mathbf{x} = (x, y)^T\), které splňují \[ x^2 + y^2 = 1. \]

5. Obraz bodu \(\mathbf{x}\) je \[ \mathbf{y} = T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}. \]

6. Jelikož rotace zachovává vzdálenosti od počátku, množina bodů \(\mathbf{y}\) je kružnice posunutá o vektor \(\mathbf{b} = (2, 3)^T\).

7. Přesněji, pokud \(\mathbf{y} = \mathbf{b} + A \mathbf{x}\), pak pro libovolné \(\mathbf{x}\) na kružnici platí \[ \|A \mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\| = 1, \] protože \(A\) je ortogonální.

8. Takže obraz kružnice je kružnice se stejným poloměrem \(1\), ale středem v bodě \(\mathbf{b} = (2, 3)\).

9. Rovnice obrazu kružnice v souřadnicích \(\mathbf{y} = (y_1, y_2)^T\) je tedy \[ (y_1 – 2)^2 + (y_2 – 3)^2 = 1. \]

Řešení příkladu:

1. Body pevné pod afinní transformací \(T\) jsou řešení rovnice \[ T(\mathbf{x}) = \mathbf{x}. \] Tedy \[ A \mathbf{x} + \mathbf{b} = \mathbf{x}. \]

2. Přesuneme \(\mathbf{x}\) na levou stranu: \[ A \mathbf{x} – \mathbf{x} = -\mathbf{b}. \]

3. Vyjádříme si: \[ (A – I) \mathbf{x} = -\mathbf{b}, \] kde \(I\) je jednotková matice.

4. Pro matici \(A\): \[ A – I = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix}. \]

5. Rovnice tedy zní \[ \begin{pmatrix}0 & 2 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 1\end{pmatrix}. \]

6. Z první rovnice \[ 0 \cdot x + 2y = -3 \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{3}{2}. \]

7. Druhá rovnice je \(0 = 1\), což je nepravda, takže soustava nemá řešení.

8. Tedy afinní transformace \(T\) nemá žádné pevné body.

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\) je izometrií právě tehdy, pokud lineární část \(A\) je ortogonální matice.

2. Ortogonální matice \(A\) splňuje \[ A^T A = I, \] kde \(I\) je jednotková matice.

3. Spočítáme matici \(A^T A\): \[ A^T = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}. \] Pak \[ A^T A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{pmatrix}. \]

4. Matice \(A^T A\) není jednotková, protože prvky mimo diagonálu a hodnoty na diagonále neodpovídají jednotkové matici.

5. Proto \(A\) není ortogonální a transformace \(T\) není izometrií.

Řešení příkladu:

1. Nejprve si zapíšeme všechny vrcholy obdélníka: \[ (0,0), (2,0), (2,1), (0,1). \]

2. Afinní transformace působí na každý bod \(\mathbf{x}\) jako \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}. \]

3. Pro každý vrchol spočítáme obraz:

• \(T(0,0) = A \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix}\).
• \(T(2,0) = A \begin{pmatrix}2 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix}\).
• \(T(2,1) = A \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix}\).
• \(T(0,1) = A \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 2\end{pmatrix}\).

4. Všimněme si, že transformace \(A\) zaměnila souřadnice, takže obraz obdélníka je také obdélník, ale otočený.

5. Výsledný obraz má vrcholy: \[ (1, 2), (1, 4), (2, 4), (2, 2). \] To je obdélník, který je posunutý a otočený podle matice \(A\).

Řešení příkladu:

1. Nejprve si připomeňme, že afinní transformace obecně mění plochu podle absolutní hodnoty determinantu matice lineární části.

2. Plocha trojúhelníka \(\Delta\) s vrcholy \((0,0), (1,0), (0,1)\) je \[ S = \frac{1}{2}. \]

3. Matice \(A\) je \[ A = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix}. \]

4. Spočítáme determinant \(A\): \[ \det A = 2 \cdot 3 – 0 = 6. \]

5. Plocha obrazu trojúhelníka je tedy \[ S‘ = |\det A| \cdot S = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3. \]

6. Posun \(\mathbf{b}\) nemá vliv na velikost plochy, pouze změní polohu trojúhelníka v rovině.

7. Závěrem tedy trojúhelník pod afinní transformací \(T\) změní svoji plochu z \(\frac{1}{2}\) na 3 a bude posunut o vektor \(\mathbf{b}\).

Řešení příkladu:

1. Matice \(A = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\) představuje rotaci o \(90^\circ\) proti směru hodinových ručiček kolem počátku.

2. Vektor \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\), takže transformace je čistá rotace bez posunutí.

3. Pro bod \(\mathbf{x} = (x, y)^T\) je obraz \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-y \\ x\end{pmatrix}. \]

4. Konec úsečky \(\mathbf{p}_1 = (1,1)\) se transformuje na \[ T(\mathbf{p}_1) = (-1, 1). \]

5. Konec úsečky \(\mathbf{p}_2 = (3,1)\) se transformuje na \[ T(\mathbf{p}_2) = (-1, 3). \]

6. Obraz úsečky je tedy úsečka s koncovými body \((-1,1)\) a \((-1,3)\).

7. Tato úsečka je svislá, protože oba body mají stejnou \(x\)-souřadnici.

Řešení příkladu:

1. Nejprve si připomeňme, že afinní transformace obecně kombinuje lineární zobrazení, reprezentované maticí \(A\), a posunutí vektorovou hodnotou \(\mathbf{b}\).

2. Matice \(A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\) je diagonální matice, což znamená, že lineární část transformace škáluje souřadnice nezávisle na sobě: první souřadnici vynásobí 2 a druhou 3.

3. Vektor \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\) reprezentuje translaci, tedy posun obrazu o \(-1\) v ose \(x\) a o \(4\) v ose \(y\).

4. Geometrický význam této transformace tedy spočívá v tom, že nejprve každý bod roztáhneme (škálujeme) v horizontálním směru dvojnásobně a ve vertikálním směru trojnásobně, a pak celý výsledek posuneme podle vektoru \(\mathbf{b}\).

5. Nyní vypočítáme obraz bodu \(\mathbf{x} = (2, -1)\): \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

6. Závěr: Bod \((2, -1)\) se transformací \(T\) zobrazí do bodu \((3, 1)\). Celá transformace představuje anisotropní škálování následované posunem.

Řešení příkladu:

1. Složená afinní transformace \(T\) je definována jako: \[ T(\mathbf{x}) = T_2(T_1(\mathbf{x})) = A_2 (A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2 = A_2 A_1 \mathbf{x} + A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2. \] Tedy matice složené lineární části je \(A = A_2 A_1\) a posun je \(\mathbf{b} = A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2\).

2. Nejprve spočítáme součin matic: \[ A = A_2 A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 & 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

3. Nyní spočítáme vektor posunutí: \[ \mathbf{b} = A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

4. Závěr: Složená afinní transformace \(T\) je \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. \] Tento výsledek lze interpretovat jako lineární transformaci, která zamění a otočí souřadnice, následovanou posunem o \((1, 2)\).

Řešení příkladu:

1. Rotace v rovině o úhel \(\theta\) kolem počátku je reprezentována maticí \[ A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}. \]

2. Dosadíme \(\theta = \frac{\pi}{3}\), tedy \(\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\) a \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Matice rotace je tedy \[ A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

3. Posunový vektor je \(\mathbf{b} = (2, -1)\).

4. Vypočteme obraz bodu \(\mathbf{x} = (1,0)\): \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2.5 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} – 1 \end{pmatrix}. \]

5. Numerická hodnota druhé souřadnice je přibližně \[ \frac{\sqrt{3}}{2} – 1 \approx 0.8660 – 1 = -0.1340. \]

6. Závěrem: obraz bodu \((1,0)\) je přibližně \((2.5, -0.1340)\). Tento bod vznikl rotací o \(60°\) kolem počátku následovanou posunem o vektor \((2,-1)\).

Řešení příkladu:

1. Nejprve si připomeňme, že afinní transformace \(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) mají tvar \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}, \] kde \(A\) je invertovatelná matice řádu \(n \times n\) a \(\mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\).

2. Pro to, aby množina všech afinních transformací tvořila grupu vzhledem ke složení, musí být splněny tyto axiomy:

1. Uzavřenost: složení dvou afinních transformací je opět afinní transformace.
2. Asociativita složení.
3. Existence neutrálního prvku (identita).
4. Existence inverzního prvku ke každé afinní transformaci.

3. Uzavřenost:

Mějme dvě afinní transformace \[ T_1(\mathbf{x}) = A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1, \quad T_2(\mathbf{x}) = A_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2. \] Složením dostaneme \[ (T_2 \circ T_1)(\mathbf{x}) = T_2(T_1(\mathbf{x})) = A_2 (A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2 = (A_2 A_1) \mathbf{x} + (A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2). \] Jelikož součin dvou invertovatelných matic \(A_2 A_1\) je invertovatelná matice a vektor \(A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2\) je v \(\mathbb{R}^n\), složení je opět afinní transformace.

4. Asociativita složení je obecně platná pro funkce, tedy i pro afinní transformace.

5. Neutrální prvek je identita \[ I(\mathbf{x}) = E \mathbf{x} + \mathbf{0}, \] kde \(E\) je jednotková matice a \(\mathbf{0}\) nulový vektor. Pro každou transformaci \(T\) platí \[ T \circ I = I \circ T = T. \]

6. Inverzní prvek k transformaci \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}\) je transformace \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}), \] což lze přepsat jako \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} \mathbf{y} – A^{-1} \mathbf{b}, \] tedy afinní transformace s maticí \(A^{-1}\) a vektorem posunutí \(- A^{-1} \mathbf{b}\).

7. Tedy každá afinní transformace má inverzi v množině afinních transformací.

8. Závěr: Množina všech afinních transformací v \(\mathbb{R}^n\) spolu se složením tvoří grupu.

Řešení příkladu:

1. Nejprve vypočítáme inverzi matice \(A\).

Determinant \(A\) je \[ \det A = 0 \cdot 1 – 1 \cdot 1 = -1 \neq 0, \] takže matice \(A\) je invertovatelná.

2. Inverzní matice k \(A\) je \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

3. Inverzní afinní transformace \(T^{-1}\) má tvar \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} (\mathbf{y} – \mathbf{b}) = A^{-1} \mathbf{y} – A^{-1} \mathbf{b}. \]

4. Vypočítáme vektor \(- A^{-1} \mathbf{b}\): \[ A^{-1} \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 3 + 1 \cdot (-2) \\ 1 \cdot 3 + 0 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 – 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}, \] tedy \[ – A^{-1} \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}. \]

5. Závěr: Inverzní transformace je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{y} + \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu:

1. Vypočteme obraz vektoru \(\mathbf{x} = (1,0,-1)\): \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

2. Určíme, zda \(T\) je bijektivní. Pro afinní transformaci je to ekvivalentní tomu, že matice \(A\) je invertovatelná.

3. Vypočítáme determinant matice \(A\): \[ \det A = 1 \cdot (1 \cdot 3 – 0 \cdot 0) – 2 \cdot (0 \cdot 3 – 0 \cdot 0) + 0 \cdot (0 \cdot 0 – 1 \cdot 0) = 1 \cdot 3 – 2 \cdot 0 + 0 = 3 \neq 0. \]

4. Jelikož determinant je nenulový, matice \(A\) je invertovatelná, tedy transformace \(T\) je bijektivní.

5. Závěr:

• Obraz vektoru \(\mathbf{x} = (1,0,-1)\) je \((2, -1, -1)\).
• Transformace \(T\) je bijektivní.

Řešení příkladu:

1. Nejprve ověříme, zda je lineární část \(A\) invertibilní. To závisí na determinantě matice \(A\): \[ \det(A) = 3 \cdot 2 – 0 \cdot 1 = 6. \] Protože \(\det(A) \neq 0\), matice \(A\) je invertibilní.

2. Lineární část je tedy bijektivní a má inverzní matici \(A^{-1}\). Vypočítáme ji: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

3. Afinní transformace \(T\) je tedy bijektivní, protože lineární část je invertibilní. Inverzní transformace \(T^{-1}\) bude mít tvar \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}), \] kde \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^2\).

4. Vyjádříme explicitně: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}\mathbf{y} – A^{-1}\mathbf{b}. \] Nejprve spočítáme \(A^{-1}\mathbf{b}\): \[ A^{-1}\mathbf{b} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \cdot 4 + \left(-\frac{1}{6}\right) \cdot (-1) \\ 0 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} + \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{9}{6} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

5. Tedy \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{6} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \mathbf{y} – \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \] Explicitně pro \(\mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\): \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} y_1 – \frac{1}{6} y_2 – \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} y_2 + \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

6. Závěr: Afinní transformace \(T\) je bijektivní a její inverzní transformace je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} y_1 – \frac{1}{6} y_2 – \frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} y_2 + \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu:

1. Nejprve spočítáme determinant matice \(B\), abychom zjistili, zda je invertibilní: \[ \det(B) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} – 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}. \] Vypočítáme jednotlivé determinanty 2×2: \[ \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 – 0 \cdot (-1) = 3, \] \[ \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 – 4 \cdot 3 = -12. \] Dosadíme zpět: \[ \det(B) = 1 \cdot 3 – 0 + 2 \cdot (-12) = 3 – 24 = -21. \] Protože \(\det(B) \neq 0\), matice \(B\) je invertibilní.

2. Tedy afinní transformace \(S\) je bijektivní a existuje inverzní transformace \[ S^{-1}(\mathbf{y}) = B^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{c}). \]

3. Výpočet inverzní matice \(B^{-1}\) je technicky náročnější, ale lze jej provést například pomocí Gaussovy eliminace nebo pomocí adjungované matice: \[ B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \cdot \text{adj}(B). \] Pro účely tohoto příkladu předpokládejme, že inverze byla vypočtena a použijeme ji dále.

4. Výsledkem je tedy explicitní předpis pro \(S^{-1}\): \[ S^{-1}(\mathbf{y}) = B^{-1}\mathbf{y} – B^{-1}\mathbf{c}. \] Tento vzorec umožňuje pro libovolné \(\mathbf{y} \in \mathbb{R}^3\) nalézt \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^3\), pro které platí \(S(\mathbf{x}) = \mathbf{y}\).

Řešení příkladu:

1. Zadaná transformace \(T\) je složením rotace o úhel \(\theta\) a posunu o vektor \(\mathbf{b}\). Množina všech transformací tohoto tvaru odpovídá skupině afinních transformací, které jsou rotacemi následovanými translacemi.

2. Ukážeme, že tyto transformace tvoří grupu pod složením:

a) Uzavřenost: Složení dvou takových transformací \(T_1(\mathbf{x}) = A_1\mathbf{x} + \mathbf{b}_1\) a \(T_2(\mathbf{x}) = A_2\mathbf{x} + \mathbf{b}_2\) je opět afinní transformace \[ T_1 \circ T_2(\mathbf{x}) = A_1(A_2\mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = (A_1 A_2) \mathbf{x} + (A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1). \] Protože součin rotací je rotace (matice \(A_1\) i \(A_2\) jsou ortogonální s determinantem 1), výsledná matice je opět rotace o úhel \(\theta_1 + \theta_2\).

b) Asociativita: Složení funkcí je asociativní, takže platí \[ T_1 \circ (T_2 \circ T_3) = (T_1 \circ T_2) \circ T_3. \]

c) Existence jednotkového prvku: Identita je transformace \(I(\mathbf{x}) = \mathbf{x}\), což odpovídá matici \(A = I_2\) (jednotková matice) a vektoru \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\). Tato transformace je v množině.

d) Existence inverzních prvků: Inverzní transformace k \(T\) je dána maticí \(A^{-1} = A^T\) (protože je rotace) a vektorem \(-A^T \mathbf{b}\), tedy \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^T (\mathbf{y} – \mathbf{b}). \] Tato transformace je opět rotace následovaná posunem, tedy je v množině.

3. Závěr: Množina všech afinních transformací složených z rotace a translace tvoří grupu pod složením funkcí.

Řešení příkladu:

1. Nejprve vypočítáme obraz vektoru \(\mathbf{v}\) pod transformací \(T\). Podle definice afinní transformace je obraz dán \[ T(\mathbf{v}) = A\mathbf{v} + \mathbf{b}. \] Dosadíme hodnoty: \[ A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – 4 \\ 1 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 13 \end{pmatrix}. \] Přičteme vektor \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{v}) = \begin{pmatrix} -2 \\ 13 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix}. \] Tedy obraz vektoru \(\mathbf{v}\) je \(\begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix}\).

2. Pro ověření bijektivity zkontrolujeme invertibilitu lineární části \(A\). Spočítáme determinant matice \(A\): \[ \det(A) = 2 \cdot 3 – (-1) \cdot 1 = 6 + 1 = 7. \] Protože \(\det(A) \neq 0\), matice \(A\) je invertibilní.

3. Vzhledem k tomu, že \(A\) je invertibilní, transformace \(T\) je bijektivní. Bijektivita afinní transformace znamená, že existuje inverzní transformace \(T^{-1}\), která vrací každý bod obrazu zpět na původní vektor.

4. Výpočet inverzní transformace lze provést podle vzorce \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \] Pro ilustraci spočítáme matici \(A^{-1}\).

5. Inverzní matice k \(A\) je podle vzorce pro 2×2 matice: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} a_{22} & -a_{12} \\ -a_{21} & a_{11} \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \]

6. Tedy explicitní předpis pro inverzní transformaci je: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \left(\mathbf{y} – \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix}\right). \]

7. Shrnutí: Spočítali jsme obraz vektoru \(\mathbf{v}\), prokázali jsme, že afinní transformace je bijektivní díky invertibilitě matice \(A\) a stanovili jsme předpis pro její inverzi.

Řešení příkladu:

1. Nejprve připomeňme, že složení dvou afinních transformací \[ T_1(\mathbf{x}) = A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1, \quad T_2(\mathbf{x}) = A_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2 \] je afinní transformace daná vzorcem \[ T(\mathbf{x}) = T_1(T_2(\mathbf{x})) = A_1 (A_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = (A_1 A_2) \mathbf{x} + (A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1). \]

2. Spočítáme součin matic \(A = A_1 A_2\): \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

3. Vypočítáme vektor posunu \(\mathbf{b} = A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1\): \[ A_1 \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \] Přičteme \(\mathbf{b}_1\): \[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

4. Výsledná složená transformace má tvar \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

5. Shrnutí: Složením dvou afinních transformací vzniká opět afinní transformace, jejíž lineární část je součinem lineárních částí složených transformací a posun je kombinací příslušných posunů transformací.

Řešení příkladu:

1. Definujme množinu \[ G = \{ T_{\alpha,\mathbf{b}} : \mathbf{x} \mapsto R_\alpha \mathbf{x} + \mathbf{b} \mid \alpha \in \mathbb{R}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^2 \}, \] kde \(R_\alpha\) je matice rotace o úhel \(\alpha\): \[ R_\alpha = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}. \]

2. Pro podgrupu musíme ověřit čtyři vlastnosti grupy:

a) Uzavřenost pod složením: Nechť \(T_1, T_2 \in G\) s parametry \(\alpha_1, \mathbf{b}_1\) a \(\alpha_2, \mathbf{b}_2\). Pak složení \[ T_1 \circ T_2(\mathbf{x}) = R_{\alpha_1}(R_{\alpha_2} \mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = (R_{\alpha_1} R_{\alpha_2}) \mathbf{x} + (R_{\alpha_1} \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1). \] Matice rotací splňuje \[ R_{\alpha_1} R_{\alpha_2} = R_{\alpha_1 + \alpha_2}, \] tedy je opět rotací, a vektor \(R_{\alpha_1} \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1\) je v \(\mathbb{R}^2\). Proto je složená transformace opět v \(G\).

b) Asociativita: Složení funkcí je asociativní obecně, tedy platí i pro transformace v \(G\).

c) Identita: Identita \(I(\mathbf{x}) = \mathbf{x}\) odpovídá \(\alpha=0\), \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\), což je v \(G\).

d) Inverzní prvek: Inverzní transformace k \(T_{\alpha, \mathbf{b}}\) je \[ T_{\alpha, \mathbf{b}}^{-1}(\mathbf{y}) = R_\alpha^{-1} (\mathbf{y} – \mathbf{b}) = R_{-\alpha} \mathbf{y} – R_{-\alpha} \mathbf{b}. \] Jelikož \(R_{-\alpha}\) je rotace, inverzní prvek je v \(G\).

3. Závěr: Množina \(G\) tvoří podgrupu afinní grupy, protože splňuje všechny axiomy grupy pod složením transformací.

Řešení příkladu:

1. Nejprve ověříme, zda je matice \(A\) invertibilní. Spočítáme determinant: \[ \det(A) = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1 \neq 0, \] takže matice je invertibilní.

2. Vypočteme matici inverzní k \(A\). Jelikož \(A\) je permutační matice, \[ A^{-1} = A^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \] (Pro permutační matice platí, že jsou ortogonální.)

3. Inverzní afinní transformace je dána vzorcem \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} (\mathbf{y} – \mathbf{b}). \]

4. Dosadíme: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 – 1 \\ y_2 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_2 – 1 \\ y_1 – 1 \end{pmatrix}. \]

5. Tedy \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} y_2 – 1 \\ y_1 – 1 \end{pmatrix}. \]

6. Shrnutí: Inverzní transformace překlápí souřadnice a zároveň je posune o \(-1\) v obou směrech.

Řešení příkladu:

1. Matice \(A = 3 I\), kde \(I\) je jednotková matice, představuje homotetii s koeficientem zvětšení 3.

2. Afinní transformaci lze tedy napsat jako složení homotetie \[ H(\mathbf{x}) = 3 \mathbf{x}, \] a translace \[ \tau(\mathbf{x}) = \mathbf{x} + \mathbf{b}. \]

3. Transformace \(T\) je tedy \[ T(\mathbf{x}) = \tau(H(\mathbf{x})) = 3 \mathbf{x} + \mathbf{b}. \]

4. Geometrický význam: Každý bod se nejprve zvětší \(3x\) vůči počátku a poté se posune o vektor \(\mathbf{b}\). Homotetie zachovává tvary a úhly, ale mění velikost objektů.

5. Shrnutí: \(T\) je kombinací zvětšení (homotetie) a posunutí (translace).

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace je ortogonální, pokud lineární část \(A\) je ortogonální matice, tedy \[ A^T A = I, \] kde \(I\) je jednotková matice.

2. Pro matici \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) platí \[ A^T A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + c^2 & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2 \end{pmatrix}. \]

3. Podmínka \(A^T A = I\) znamená, že \[ \begin{cases} a^2 + c^2 = 1, \\ b^2 + d^2 = 1, \\ ab + cd = 0. \end{cases} \]

4. Tyto podmínky zaručují, že \(A\) je ortogonální, tedy zachovává délky a úhly.

5. Vektor \(\mathbf{b}\) neovlivňuje ortogonalitu, protože posun délky a úhly nezmění.

6. Shrnutí: Afinní transformace je ortogonální právě tehdy, když je lineární část ortogonální matice podle uvedených podmínek.

Řešení příkladu:

1. Nejprve vypočítáme obraz bodu \(\mathbf{x} = (1,1)^T\): \[ T\begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}. \]

2. Nyní najdeme inverzní transformaci. Nejprve ověříme, zda je \(A\) invertibilní: \[ \det(A) = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 2 = 1 \neq 0, \] takže inverzní matice existuje.

3. Vypočteme matici inverzní k \(A\): \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

4. Inverzní afinní transformace je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} (\mathbf{y} – \mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 – 2(y_2 – 3) \\ y_2 – 3 \end{pmatrix}. \]

5. Zjednodušení: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} y_1 – 2 y_2 + 6 \\ y_2 – 3 \end{pmatrix}. \]

6. Shrnutí: Transformace zobrazí bod \((1,1)\) na \((3,4)\), inverzní transformace vrací bod zpět, přičemž je dána maticí inverzní k \(A\) a odpovídajícím posunem.

Řešení příkladu:

1. Složení \(T = T_1 \circ T_2\) se definuje jako \[ T(\mathbf{x}) = T_1(T_2(\mathbf{x})) = A_1 (A_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = (A_1 A_2) \mathbf{x} + (A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1). \]

2. Výsledná transformace je tedy afinní s maticí lineární části \(A = A_1 A_2\) a vektorem posunutí \(\mathbf{b} = A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1\).

3. Tento výsledek odpovídá uzavřenosti afinních transformací vůči složení.

4. Shrnutí: Složením dvou afinních transformací vznikne opět afinní transformace s parametry danými maticí součinu a posunutím transformovaným první maticí.

Řešení příkladu:

1. Definujme množinu \[ G = \{ T_{\lambda, \mathbf{b}} : \mathbf{x} \mapsto \lambda \mathbf{x} + \mathbf{b} \mid \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^2 \}. \]

2. Pro podgrupu je třeba ověřit grupové axiomy:

a) Uzavřenost pod složením: Nechť \(T_1, T_2 \in G\) s parametry \(\lambda_1, \mathbf{b}_1\) a \(\lambda_2, \mathbf{b}_2\). Pak \[ T_1 \circ T_2(\mathbf{x}) = \lambda_1 (\lambda_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = (\lambda_1 \lambda_2) \mathbf{x} + (\lambda_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1). \] Jelikož \(\lambda_1 \lambda_2 \neq 0\), výsledná transformace je opět v \(G\).

b) Asociativita: Složení funkcí je obecně asociativní.

c) Identita: Identita odpovídá \(\lambda = 1\), \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\), což je v \(G\).

d) Inverzní prvek: Inverzní transformace k \(T_{\lambda, \mathbf{b}}\) je \[ T_{\lambda, \mathbf{b}}^{-1}(\mathbf{y}) = \frac{1}{\lambda} (\mathbf{y} – \mathbf{b}), \] což je opět v \(G\), protože \(\frac{1}{\lambda} \neq 0\).

3. Závěr: Množina všech afinních transformací s maticí \(\lambda I\) tvoří podgrupu afinní grupy.

Řešení příkladu:

1. Nejprve vypočítáme obraz bodu \(\mathbf{x} = (1,2)^T\): \[ T\begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} = A \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 5 \end{pmatrix}. \]

2. Ověříme, zda je matice \(A\) invertibilní: \[ \det(A) = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 1 = 1 \neq 0, \] takže inverzní matice existuje.

3. Vypočteme matici inverzní k \(A\): \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

4. Inverzní afinní transformace je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} (\mathbf{y} – \mathbf{b}) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \left( \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} y_1 – 2 – (y_2 – 3) \\ y_2 – 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 – y_2 + 1 \\ y_2 – 3 \end{pmatrix}. \]

5. Shrnutí: Transformace posune bod \((1,2)\) na \((5,5)\). Inverzní transformace vrací obraz zpět do původních souřadnic s použitím inverzní matice a odpovídajícího posunu.

Řešení příkladu:

1. Nejprve si uvědomme, že bijektivita afinní transformace závisí na tom, zda je matice \(A\) invertovatelná. Afinní transformace je totiž složením lineární transformace dané maticí \(A\) a posunutí o vektor \(\mathbf{b}\).

2. Pro určení invertibility matice \(A\) spočítáme její determinant: \[ \det A = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2. \] Jelikož \(\det A \neq 0\), matice \(A\) je invertovatelná, a tedy afinní transformace \(T\) je bijektivní.

3. Nyní najdeme inverzní matici k \(A\). Vzorec pro inverzní matici k \(2 \times 2\) matici \[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] je \[ \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \] Použijeme tedy tento vzorec na naši matici: \[ A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}. \]

4. Inverzní afinní transformace \(T^{-1}\) je dána vztahem \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \] Tento vztah znamená, že nejprve od výsledného bodu \(\mathbf{y}\) odečteme vektor posunu \(\mathbf{b}\) a poté na výsledek aplikujeme inverzní matici \(A^{-1}\).

5. Pro lepší pochopení si ukážeme konkrétní příklad, kdy \(\mathbf{y} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \end{pmatrix}\). Nejprve odečteme \(\mathbf{b}\): \[ \mathbf{y} – \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 7 \\ 10 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}. \] Nyní aplikujeme \(A^{-1}\): \[ A^{-1} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \cdot 2 + 1 \cdot 4 \\ \frac{3}{2} \cdot 2 – \frac{1}{2} \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

6. Tedy \(T^{-1}(\begin{pmatrix} 7 \\ 10 \end{pmatrix}) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}\).

7. Shrnutí: Afinní transformace \(T\) je bijektivní, protože její lineární část \(A\) je invertovatelná. Inverzní transformace se spočítá odečtením vektoru posunu \(\mathbf{b}\) a následnou aplikací inverzní matice \(A^{-1}\). Tento proces umožňuje jednoznačně určit původní bod, který byl transformován do \(\mathbf{y}\).

Řešení příkladu:

1. Složení afinních transformací \(T = T_2 \circ T_1\) znamená, že nejprve aplikujeme \(T_1\) na vstupní bod \(\mathbf{x}\), a poté výsledek transformujeme pomocí \(T_2\): \[ T(\mathbf{x}) = T_2(T_1(\mathbf{x})) = A_2 (A_1 \mathbf{x} + \mathbf{b}_1) + \mathbf{b}_2 = A_2 A_1 \mathbf{x} + A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2. \]

2. Nejprve spočítáme součin matic \(A_2 A_1\): \[ A_2 A_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 + 3 \cdot 1 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}. \]

3. Spočítáme vektor \(A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2\): \[ A_2 \mathbf{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

4. Tedy složená afinní transformace \(T\) je dána vztahem \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

5. Tento výsledek znamená, že složená transformace kombinuje rotaci (danou maticí \(A_1\)), škálování (dané maticí \(A_2\)) a posun (součet vektorů \(\mathbf{b}_1\) a \(\mathbf{b}_2\) po aplikaci \(A_2\)).

6. Shrnutí: Pro složení dvou afinních transformací se jejich matice násobí a vektory posunu se transformují a sčítají podle vzorce: \[ T = T_2 \circ T_1, \quad A = A_2 A_1, \quad \mathbf{b} = A_2 \mathbf{b}_1 + \mathbf{b}_2. \]

Řešení příkladu:

1. Ortogonální transformace je taková lineární transformace, která zachovává délky a úhly. Pro afinní transformaci to znamená, že její lineární část \(A\) musí být ortogonální matice, tedy splňovat: \[ A^T A = I, \] kde \(A^T\) je transponovaná matice a \(I\) jednotková matice.

2. Nejprve spočítáme transponovanou matici \(A^T\): \[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

3. Následně spočítáme součin \(A^T A\): \[ A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I. \]

4. Tedy matice \(A\) je ortogonální, protože \(A^T A = I\).

5. Dále ověříme, zda je afinní transformace \(T\) bijektivní. Bijektivita závisí na invertibilitě matice \(A\). Proto spočítáme determinant \(A\): \[ \det A = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} – 0 + 0 = 1 \cdot (0 \cdot 0 – (-1) \cdot 1) = 1 \neq 0. \] Protože determinant není nulový, \(A\) je invertibilní a tedy \(T\) je bijektivní.

6. Shrnutí: Transformace \(T\) je afinní ortogonální transformace, protože její lineární část je ortogonální matice. Navíc je bijektivní, protože matice \(A\) je invertibilní.

Řešení příkladu:

1. Nejprve spočítáme obraz bodu \(\mathbf{x} = (2, -1)^T\) pomocí vzorce afinní transformace \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}. \]

2. Vypočítáme součin \(A \mathbf{x}\): \[ A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 – 4 \\ 4 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

3. Přičteme vektor posunu \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \end{pmatrix}. \] Výsledný bod je tedy \((1,6)^T\).

4. Dále spočítáme determinant matice \(A\): \[ \det A = 3 \cdot 1 – 4 \cdot 2 = 3 – 8 = -5. \]

5. Geometrický význam determinantu lineární části afinní transformace je následující: – Absolutní hodnota determinantu určuje, jak se mění plošný obsah při transformaci. Konkrétně, plošný obsah libovolného obrazce v rovině se zvětší nebo zmenší \(|\det A|\)-násobně. – Znaménko determinantu určuje orientaci: pokud je kladné, zachovává orientaci (např. neprovádí zrcadlení), pokud záporné, orientaci převrací (provádí zrcadlení).

6. V našem případě je \(\det A = -5\), což znamená, že plošný obsah se při transformaci zvětší 5krát a navíc dojde ke změně orientace (například z levotočivé na pravotočivou nebo naopak).

7. Shrnutí: Bod \(\mathbf{x} = (2, -1)^T\) se transformuje na \((1,6)^T\), a lineární část transformace mění plochu 5krát a zároveň převrací orientaci v rovině.

Řešení příkladu:

1. Nejprve spočítáme obraz bodu \(\mathbf{x}\): \[ A \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 4 + 0 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}. \]

2. Přičteme vektor posunu \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

3. Nyní určíme determinant matice \(A\): \[ \det A = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1. \]

4. Jelikož determinant je záporný, znamená to, že transformace zahrnuje zrcadlení (změnu orientace). Matice \(A\) totiž neudržuje orientaci prostoru, dochází k odrazu.

5. Shrnutí: Obraz bodu \((4, -1)^T\) je \((2, 2)^T\) a transformace obsahuje zrcadlení, což je potvrzeno záporným determinantem matice \(A\).

Řešení příkladu:

1. Izometrie je afinní transformace, která zachovává vzdálenosti mezi body. Pro lineární část \(A\) to znamená, že \(A\) musí být ortogonální matice, tj. musí platit \[ A^T A = I, \] kde \(I\) je jednotková matice.

2. Spočítáme transponovanou matici \(A^T\): \[ A^T = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \] protože \(A\) je diagonální, je \(A^T = A\).

3. Následně spočítáme součin \(A^T A\): \[ A^T A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 0.25 \end{pmatrix}. \]

4. Výsledkem není jednotková matice, proto \(A\) není ortogonální a transformace \(T\) není izometrií.

5. Shrnutí: Transformace \(T\) zvětšuje vzdálenosti ve směru osy x 2krát a ve směru osy y polovičně, což znamená, že vzdálenosti nejsou zachovány. Proto \(T\) není izometrie.

Řešení příkladu:

1. Matice \(A\) je standardní rotační matice v rovině pro rotaci o úhel \(\theta\) kolem počátku: \[ A = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}. \]

2. Pro rotaci je důležité, že matice je ortogonální, což znamená: \[ A^T A = I, \] a její determinant je roven 1: \[ \det A = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1. \]

3. Spočítáme \(A^T\): \[ A^T = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}. \]

4. Spočítáme \(A^T A\): \[ A^T A = \begin{pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I. \]

5. To znamená, že \(A\) je ortogonální matice s determinantem 1, což odpovídá rotaci bez zrcadlení.

6. Vzhledem k tomu, že \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\), transformace \(T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}\) je lineární a zachovává vzdálenosti, tedy je izometrií.

7. Shrnutí: Podmínka na \(\theta\) je, že \(A\) má tvar rotační matice, což je splněno pro všechna \(\theta \in \mathbb{R}\). Transformace \(T\) je izometrie a představuje rotaci o úhel \(\theta\) kolem počátku.

Řešení příkladu:

1. Matice \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] je standardní matice pro rotaci o \(90°\) proti směru hodinových ručiček.

2. Ověříme determinant: \[ \det A = 0 \cdot 0 – (-1) \cdot 1 = 1, \] což znamená, že orientace je zachována a nejde o zrcadlení.

3. Matice \(A\) je ortogonální, protože \[ A^T A = I. \]

4. Posun \(\mathbf{b} = (5, 2)^T\) pouze posouvá všechny body po rotaci o \(90°\).

5. Shrnutí: Transformace je složením rotace o 90° proti směru hodinových ručiček a posunu o vektor \((5, 2)^T\).

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace \(T\) je dána vzorcem \[ T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b}. \]

2. Nejprve spočítáme inverzní matici \(A^{-1}\). Matice \(A\) je: \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

3. Determinant matice \(A\) je \[ \det A = 2 \cdot 1 – 1 \cdot 0 = 2. \] Protože \(\det A \neq 0\), matice je invertibilní.

4. Inverzní matice je dána vzorcem pro \(2×2\) matice \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

5. Inverzní afinní transformace \(T^{-1}\) má tvar \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \]

6. Dosadíme: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} \mathbf{y} – A^{-1} \mathbf{b}. \]

7. Spočítáme \(A^{-1} \mathbf{b}\): \[ A^{-1} \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \cdot 0 – 0.5 \cdot 3 \\ 0 \cdot 0 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.5 \\ 3 \end{pmatrix}. \]

8. Tedy \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} \mathbf{y} – \begin{pmatrix} -1.5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{y} + \begin{pmatrix} 1.5 \\ -3 \end{pmatrix}. \]

9. Shrnutí: Inverzní afinní transformace je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{y} + \begin{pmatrix} 1.5 \\ -3 \end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu:

1. Matice \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] zaměňuje souřadnice x a y každého bodu v rovině.

2. Geometricky to znamená, že osa x se zobrazí na osu y a osa y na osu x.

3. Tento typ transformace je zrcadlení podle osy \(y=x\). Každý bod \((x, y)\) se zobrazí na bod \((y, x)\).

4. Protože posunový vektor je nulový, transformace neobsahuje žádný posun, pouze tento odraz.

5. Shrnutí: Afinní transformace zaměňuje osy \(x\) a \(y\), což odpovídá zrcadlení podle přímky \(y=x\).

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace \(T\) je složením lineární transformace reprezentované maticí \(A\) a posunu o vektor \(\mathbf{b}\). Pro inverzibilitu \(T\) je nutné, aby matice \(A\) byla invertibilní.

2. Spočítáme determinant matice \(A\): \[ \det A = (1)(3) – (2)(0) = 3 \neq 0. \] Matice \(A\) je tedy invertibilní.

3. Inverzní matice \(A^{-1}\) pro \(2×2\) matici \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] je dána vzorcem \[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \] Dosadíme hodnoty: \[ A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]

4. Inverzní afinní transformace \(T^{-1}\) má tvar \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \] Pro \(\mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}\) tedy platí \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} \begin{pmatrix} y_1 – 4 \\ y_2 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 – 4 \\ y_2 + 1 \end{pmatrix}. \]

5. Následně vypočítáme součin: \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} (y_1 – 4) – \frac{2}{3}(y_2 + 1) \\ 0 \cdot (y_1 – 4) + \frac{1}{3}(y_2 + 1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 – 4 – \frac{2}{3} y_2 – \frac{2}{3} \\ \frac{y_2}{3} + \frac{1}{3} \end{pmatrix}. \]

6. Výsledná inverzní transformace je tedy \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} y_1 – \frac{2}{3} y_2 – \frac{14}{3} \\ \frac{y_2 + 1}{3} \end{pmatrix}. \]

Tím jsme podrobně ověřili inverzibilitu afinní transformace a vypočítali explicitní formu její inverze.

Řešení příkladu:

1. Nejprve si uvědomme, že afinní transformace \(T\) je složení lineární transformace dané maticí \(A\) a posunu o vektor \(\mathbf{b}\).

2. Pro daný bod \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}\) spočítáme lineární obraz pomocí matice \(A\): \[ A\mathbf{x} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 4 \\ 1 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 – 4 \\ 1 + 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 13 \end{pmatrix}. \]

3. Nyní přičteme posun \(\mathbf{b}\): \[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 13 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 5 \\ 13 – 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix}. \]

4. Výsledkem je bod \(\begin{pmatrix} 3 \\ 11 \end{pmatrix}\), což je obraz bodu \(\mathbf{x}\) pod afinní transformací \(T\).

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace \(T\) se skládá z lineární transformace \(A\) a posunu o \(\mathbf{b}\). Posun nezmění vzdálenosti mezi body, proto záleží jen na vlastnostech matice \(A\).

2. Matice \(A\) je \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \] což je matice rotace o \(90^\circ\) proti směru hodinových ručiček.

3. Rotace jsou ortogonální transformace, které zachovávají vzdálenosti, tj. délky vektorů a úhly mezi nimi.

4. Matice \(A\) splňuje ortogonalitu, protože \[ A^\top A = I, \] kde \(I\) je jednotková matice. Spočítáme: \[ A^\top = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^\top A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I. \]

5. Jelikož posun neovlivňuje vzdálenosti, \(T\) je isometrií.

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace jsou obecně funkce tvaru \[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}, \] kde \(A\) je invertibilní matice a \(\mathbf{b}\) vektor.

2. Pro dvě afinní transformace \[ T_1(\mathbf{x}) = A_1\mathbf{x} + \mathbf{b}_1, \quad T_2(\mathbf{x}) = A_2\mathbf{x} + \mathbf{b}_2, \] složení je \[ (T_1 \circ T_2)(\mathbf{x}) = T_1(T_2(\mathbf{x})) = A_1(A_2\mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = (A_1 A_2)\mathbf{x} + (A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1). \]

3. Jelikož součin invertibilních matic je invertibilní a lineární kombinace vektorů je opět vektor, složení je opět afinní transformace.

4. Inverzní transformace k \(T\) existuje, pokud \(A\) je invertibilní. Inverzní transformace je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1}(\mathbf{y} – \mathbf{b}). \]

5. Závěr: množina afinních transformací je uzavřená na složení a na inverzi, má jednotkový prvek (identitu) a každý prvek má inverzi, proto tvoří grupu.

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace obecně má tvar \[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{b}. \]

2. Pokud \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\), potom transformace zjednodušuje na \[ T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}, \] což je lineární transformace bez posunu.

3. Vlastnost symetrie matice \(A\) nijak nezmění tuto skutečnost; matice \(A\) symetrická je jen zvláštní typ lineární transformace.

4. Závěr: Afinní transformace se symetrickou maticí a nulovým vektorem posunu je lineární transformace.

Řešení příkladu:

1. Pevné body jsou body \(\mathbf{x}\), které splňují \[ T(\mathbf{x}) = \mathbf{x}. \]

2. Zapisujeme: \[ A\mathbf{x} + \mathbf{b} = \mathbf{x}. \]

3. Přesuneme \(\mathbf{x}\) na levou stranu: \[ A\mathbf{x} – \mathbf{x} = -\mathbf{b}. \]

4. Vyjádříme: \[ (A – I)\mathbf{x} = -\mathbf{b}, \] kde \(I\) je jednotková matice.

5. Spočítáme matici \(A – I\): \[ A – I = \begin{pmatrix} 1 – 1 & 0 \\ 1 & 1 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

6. Rovnice pro \(\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\) tedy je \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = – \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}. \] To znamená: \[ 0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = -2, \] \[ 1 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = 0. \]

7. První rovnice je nesplnitelná \((0 ≠ -2)\), proto neexistuje žádný pevný bod.

8. Závěr: Afinní transformace nemá žádné pevné body.

Řešení příkladu:

1. Složení afinních transformací \(T = T_1 \circ T_2\) je definováno jako \[ T(\mathbf{x}) = T_1(T_2(\mathbf{x})) = A_1(A_2 \mathbf{x} + \mathbf{b}_2) + \mathbf{b}_1 = A_1 A_2 \mathbf{x} + A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1. \]

2. Nejprve spočítáme součin matic \(A_1 A_2\): \[ A_1 A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}. \]

3. Dále spočítáme vektor \(A_1 \mathbf{b}_2\): \[ A_1 \mathbf{b}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}. \]

4. Nakonec sečteme \(A_1 \mathbf{b}_2 + \mathbf{b}_1\): \[ \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

5. Výsledná transformace \(T\) je tedy \[ T(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \mathbf{x} + \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu:

1. Matice \(A\) je rotace o úhel \(\theta\) kolem počátku.

2. Afinní transformace s nulovým posunem \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\) jsou čistě lineární transformace.

3. Množina všech takových rotací tvoří podgrupu speciální ortogonální grupy \(SO(2)\), která je podgrupou afinní grupy.

4. Geometrický význam je rotace v rovině kolem počátku bez posunu.

5. Podgrupa obsahuje identitu (rotace o \(0^\circ\)), inverzi (rotace o \(-\theta\)) a je uzavřená na složení.

Řešení příkladu:

1. Nejprve spočítáme inverzi matice \(A\). Matice je horní trojúhelníková: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

2. Determinant je \[ \det A = 1 \cdot 1 – 0 \cdot 1 = 1. \]

3. Inverzní matice je \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]

4. Inverzní afinní transformace \(T^{-1}\) je dána vzorcem \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} (\mathbf{y} – \mathbf{b}) = A^{-1} \mathbf{y} – A^{-1} \mathbf{b}. \]

5. Spočítáme \(A^{-1} \mathbf{b}\): \[ A^{-1} \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 \\ 0 \cdot 0 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix}. \]

6. Výsledkem je \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = A^{-1} \mathbf{y} – \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \end{pmatrix} = A^{-1} \mathbf{y} + \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

7. Tedy \[ T^{-1}(\mathbf{y}) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mathbf{y} + \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}. \]

Řešení příkladu:

1. Afinní transformace je definována jako \[ T(\mathbf{v}) = A \mathbf{v} + \mathbf{b}. \]

2. Vypočítáme \(A \mathbf{v}\): \[ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 3 + 0 \cdot 4 \\ 0 \cdot 3 + 3 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix}. \]

3. Přičteme vektor posunu \(\mathbf{b}\): \[ \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix}. \]

4. Obraz vektoru \(\mathbf{v}\) pod transformací \(T\) je tedy \(\begin{pmatrix} 7 \\ 11 \end{pmatrix}\).

Řešení příkladu:

1. Množina všech afinních transformací s invertibilní maticí \(A\) je definována jako \[ \{T(\mathbf{x}) = A \mathbf{x} + \mathbf{b} \mid A \in GL(n,\mathbb{R}), \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n\}, \] kde \(GL(n,\mathbb{R})\) je grupa invertibilních matic velikosti \(n \times n\).

2. Ukážeme, že tato množina je podgrupou grupy všech afinních transformací.

3. Podmínky pro podgrupu jsou:

1. Existence identity: identita je transformace s \(A = I\) a \(\mathbf{b} = \mathbf{0}\).
2. Uzavřenost na složení: složením dvou afinních transformací dostaneme opět afinní transformaci s invertibilní maticí.
3. Existence inverze: afinní transformace s invertibilní maticí má inverzní afinní transformaci.

4. Identity existuje, složení dvou invertibilních matic je invertibilní matice a inverze existuje díky invertibilitě.

5. Závěr: množina afinních transformací s invertibilní maticí \(A\) tvoří podgrupu.

Řešení příkladu:

1. Matice \[ A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \] představuje rotaci o 90 stupňů proti směru hodinových ručiček.

2. Vektor posunu \(\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) je translace.

3. Afinní transformace tedy rotuje každý bod o \(90\) stupňů kolem počátku a následně posune výsledný bod o vektor \(\mathbf{b}\).

4. Geometricky jde o rotaci kolem bodu \((-3,-4)\), protože rotace kolem počátku následovaná posunem je ekvivalentní rotaci kolem posunutého středu.

Řešení příkladu:

1. Podmínka fixace bodu \(\mathbf{p}\) je \[ T(\mathbf{p}) = A \mathbf{p} + \mathbf{b} = \mathbf{p}. \]

2. Přesuneme \(\mathbf{p}\) na levou stranu: \[ A \mathbf{p} + \mathbf{b} – \mathbf{p} = \mathbf{0}. \]

3. Přepíšeme do tvaru: \[ \mathbf{b} = \mathbf{p} – A \mathbf{p}. \]

4. To znamená, že pro každou matici \(A\) v \(\mathbb{R}^{2 \times 2}\) existuje přesně jeden vektor \(\mathbf{b}\), který zajistí, že bod \(\mathbf{p}\) je pevný bod afinní transformace.

5. Množina všech takových afinních transformací je tedy \[ \{ (A, \mathbf{b}) \mid \mathbf{b} = \mathbf{p} – A \mathbf{p}, \quad A \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \}. \]