1. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení příkladu:
Máme řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \), kde \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n(1+\frac{1}{n})} = \frac{1}{n+1} \). Chceme využít Abelovo kritérium.
Podmínky Abelova kritéria jsou:
Řada \( \sum a_n \) musí být konvergentní a částečné součty \( A_n = \sum_{k=1}^n a_k \) musí být omezené.
Posloupnost \( b_n \) musí být monotónní a konvergovat k nule.
1) Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) nemá limitu, ale částečné součty jsou:
\( A_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k \). Pokud \( n \) je sudé, \( A_n = 0 \), pokud liché, \( A_n = -1 \), tedy \( A_n \) je omezená posloupnost (mezi -1 a 0).
2) Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n+1} \) je klesající (monotónně klesá) a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Proto Abelovo kritérium platí a řada \( \sum_{n=1}^\infty a_n b_n \) konverguje.
2. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2} \) pomocí Abelova kritéria.
Řešení příkladu:
Rozdělme řadu na součin dvou posloupností: \( a_n = \sin n \) a \( b_n = \frac{1}{n^2} \).
1) Posloupnost \( a_n = \sin n \) nemá limitu, ale její částečné součty \( A_n = \sum_{k=1}^n \sin k \) jsou omezené. To vyplývá z faktu, že suma sinusových funkcí s rovnoměrným krokem je omezená (lze vyjádřit pomocí vzorce pro součet aritmetické posloupnosti v goniometrii).
2) Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^2} \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Tedy podle Abelova kritéria řada \( \sum_{n=1}^\infty \sin n \cdot \frac{1}{n^2} \) konverguje.
3. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) pomocí Abelova kritéria.
Řešení příkladu:
Máme řadu se členy \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1} \).
1) Částečné součty \( A_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k \) jsou omezené, protože střídají hodnoty mezi 0 a -1.
2) Posloupnost \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1} = \frac{n^{1/2}}{n+1} \) není monotónní klesající, protože pro malá \( n \) roste, ale asymptoticky \( b_n \sim \frac{n^{1/2}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \), což klesá, ale není monotónní klesající od začátku.
Navíc \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Proto Abelovo kritérium nelze přímo použít, protože \( b_n \) není monotónní. Závěr: Nelze použít Abelovo kritérium k potvrzení konvergence této řady.
4. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \cdot \frac{n}{n+1} \) pomocí Abelova kritéria.
Řešení příkladu:
Rozložíme řadu na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1} \), protože \( \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{\sqrt{n}}{n+1} \).
Stejně jako v předchozím příkladu platí, že částečné součty \( A_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k \) jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) není monotónní klesající, ale \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Abelovo kritérium nelze tedy aplikovat, protože \( b_n \) není monotónní.
Řada může konvergovat pod jinými kritérii, ale Abelovo kritérium není použitelný.
5. Prozkoumejte pomocí Abelova kritéria konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \cos(n) \cdot \frac{1}{n} \).
1) Částečné součty \( A_n = \sum_{k=1}^n \cos(k) \) jsou omezené. To lze odvodit pomocí vzorců pro sumy kosinusů, které mají omezené hodnoty, protože se jedná o součet harmonických funkcí.
2) Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, tedy řada \( \sum \cos(n) \frac{1}{n} \) konverguje.
6. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{n}} \) pomocí Abelova kritéria.
2) Posloupnost \( b_n \) je kladná (pro \( n \) dostatečně velká), klesající (protože \( \sin(\frac{1}{n}) \approx \frac{1}{n} \) pro velké \( n \) a tedy \( b_n \sim \frac{1/n}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}} \)) a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Částečné součty \( A_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k \) jsou omezené.
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, tedy řada konverguje.
11. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty a_n \) s členy \( a_n = \frac{(-1)^n}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení příkladu:
Nejprve si rozebereme daný člen řady:
Člen je dán jako \( a_n = (-1)^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{n}} \). Můžeme přepsat \(\frac{1}{1+\frac{1}{n}} = \frac{n}{n+1} \), takže
Tedy řada je vlastně \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n+1} \).
Chceme použít Abelovo kritérium, které říká: pokud existuje posloupnost \( (a_n) \), jejíž částečné součty jsou omezené, a \( (b_n) \) je monotónní a konverguje k nule, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
Pro Abelovo kritérium rozdělíme členy na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n+1} \).
Částečné součty posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) jsou \( S_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \), což je omezená posloupnost (střídá se mezi 1 a 0).
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n+1} \) je kladná, klesající (monotónní) a \( \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \).
Tedy splňujeme podmínky Abelova kritéria a z toho plyne, že řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n+1} \) konverguje.
Jelikož náš původní člen je přesně tento tvar, řada konverguje.
12. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty a_n \), kde \( a_n = \frac{\sin n}{n} \cdot x^n \) pro pevné \( x \in (-1,1) \), pomocí Abelova kritéria.
Řešení příkladu:
Člen řady je \( a_n = \frac{\sin n}{n} x^n \). Chceme určit, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n} x^n \) konverguje pro \( x \in (-1,1) \).
Uvažujeme posloupnosti:
\( a_n = \frac{\sin n}{n} \) a \( b_n = x^n \).
Posloupnost \( a_n \) má částečné součty \( S_N = \sum_{n=1}^N \frac{\sin n}{n} \). Vzhledem k tomu, že \( \frac{\sin n}{n} \to 0 \) a členy jsou omezené, je známé, že tato posloupnost částečných součtů je omezená (podobně jako Dirichletovo kritérium pro řady s \(\sin n\) členy).
Posloupnost \( b_n = x^n \) je pro \( |x| < 1 \) klesající (monotónní) a konverguje k nule.
Podmínky Abelova kritéria jsou tedy splněny: omezené částečné součty \( a_n \) a klesající \( b_n \to 0 \).
Tudíž řada konverguje pro každé \( x \in (-1,1) \).
13. Zvažte řadu \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} \). Určete konvergenci pomocí Abelova kritéria.
Pro zjednodušení napíšeme člen jako \( a_n = (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n+1} \).
Všimněme si, že \( \frac{\sqrt{n}}{n+1} = \frac{\sqrt{n}}{n(1 + \frac{1}{n})} = \frac{1}{\sqrt{n} (1 + \frac{1}{n})} \), což se chová jako \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) pro velká \( n \).
Částečné součty \( a_n \) jsou omezené (střídavé hodnoty 1 a 0).
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln n}{n+1} \) je kladná, pro \( n \to \infty \) klesá k nule (protože \( \ln n \) roste pomaleji než \( n \)), ale je nutné ověřit monotónnost.
Pro velká \( n \) je \( b_n \) klesající (derivace funkce \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) pro \( x > 1 \) je záporná).
Splňujeme podmínky Abelova kritéria, takže řada konverguje.
15. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(1/n)}{n^{1/3}} \) pomocí Abelova kritéria.
Řešení příkladu:
Upravíme členy:
Pro malá \( x \) platí aproximace \( \sin x \approx x \), takže
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule rychleji než \( \frac{1}{n^{1+\epsilon}} \), takže monotónnost platí.
Splňuje podmínky Abelova kritéria, řada konverguje.
20. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^n}{\sqrt{n}} \) na intervalu \( x \in [0,1] \) pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Máme řadu \( \sum_{n=1}^\infty a_n b_n \) s \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{x^n}{\sqrt{n}} \).
Abelovo kritérium říká, že pokud jsou částečné součty \( S_m = \sum_{n=1}^m a_n \) omezené a \( b_n \) je monotónní a konverguje k nule, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
1. Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má částečné součty střídající se mezi 0 a -1, tedy omezené.
2. Posloupnost \( b_n = \frac{x^n}{\sqrt{n}} \) je kladná pro \( x \in [0,1] \), klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), protože \( x^n \to 0 \) pro \( x \in [0,1) \) a \( \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0 \).
Pro \( x=1 \) máme \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \), což je klesající a nulová limita.
Tedy podle Abelova kritéria řada konverguje pro \( x \in [0,1] \).
21. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n)}{n} x^n \) pro \( x \in [0,1] \) pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Máme řadu \( \sum a_n b_n \) s \( a_n = \cos(n) \) a \( b_n = \frac{x^n}{n} \).
1. Částečné součty \( A_m = \sum_{n=1}^m \cos(n) \) jsou omezené, protože \( \cos(n) \) je harmonická funkce a součty lze odhadnout pomocí vzorců pro geometrickou řadu s komplexními čísly.
2. Posloupnost \( b_n = \frac{x^n}{n} \) je pro \( x \in [0,1] \) kladná, klesající a \( \lim b_n = 0 \).
Proto Abelovo kritérium zaručuje konvergenci řady na \( [0,1] \).
22. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n+1} x^n \) na \( [0,1] \) pomocí Abelova kritéria.
Částečné součty \( A_m = \sum (-1)^n \) jsou omezené.
Funkce \( b_n \) má absolutní hodnotu omezenou \( |b_n| \le \frac{1}{n^2} \), posloupnost \( (b_n) \) není monotónní, ale \( \frac{1}{n^2} \to 0 \) velmi rychle.
Abelovo kritérium vyžaduje monotónnost, kterou zde nemáme, takže Abelovo kritérium nelze přímo použít.
Nicméně řada je absolutně konvergentní, protože \( \sum \frac{|\sin(nx)|}{n^2} \le \sum \frac{1}{n^2} \), která konverguje.
Závěr: řada je absolutně konvergentní.
24. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} x^n \) konverguje podle Abelova kritéria na intervalu \( [0,1] \).
Částečné součty \( A_m = \sum (-1)^n \) jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = n \left(\frac{x}{2}\right)^n \) je kladná, pro \( |x| \le 2 \) klesající a k nule konverguje, protože \( \lim_{n\to\infty} n r^n = 0 \) pro \( |r| < 1 \).
Pro \( x \in [0,2) \) tedy Abelovo kritérium platí.
Pro \( x=2 \) je \( b_n = n \), nekonverguje k nule, tedy Abelovo kritérium nelze použít.
27. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^2} x^n \) pro \( x \in [0,1] \).
Posloupnost \( b_n \) je pro \( x \in [0,1] \) kladná, klesající a k nule konverguje, protože \( \frac{\ln(n)}{n^2} \to 0 \) rychleji než \( \frac{1}{n} \).
Tedy Abelovo kritérium zajišťuje konvergenci řady na \( [0,1] \).
28. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n} \frac{x^n}{n!} \) pro \( x \in \mathbb{R} \).
Řešení:
Řada má členy \( a_n = (-1)^n \frac{1}{n} \), \( b_n = \frac{x^n}{n!} \).
Částečné součty \( A_m = \sum a_n \) jsou omezené, protože \( \sum (-1)^n \frac{1}{n} \) konverguje (alternující harmonická řada).
Posloupnost \( b_n = \frac{x^n}{n!} \) je pro každé pevné \( x \) kladná a \( \lim b_n = 0 \), navíc je monotónní klesající od jistého \( n \) (protože faktoriál roste rychleji než mocnina).
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, tedy řada konverguje pro všechna \( x \in \mathbb{R} \).
29. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n\pi/4)}{n} x^n \) pro \( x \in [0,1] \).
Částečné součty \( A_m = \sum a_n \) jsou omezené, protože \( \cos(n\pi/4) \) je omezená periodická funkce a střídání znaků \( (-1)^n \) zajišťuje omezenost.
Posloupnost \( b_n = \frac{x^n}{n} \) je kladná, klesající a \( \lim b_n = 0 \) pro \( x \in [0,1] \).
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, řada tedy konverguje na \( [0,1] \).
30. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}} \frac{x^n}{1+n^2} \) pro \( x \in [0,1] \) pomocí Abelova kritéria.
Posloupnost \( a_n \) je kladná, pro velká \( n \) platí \( a_n \sim \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \), což je klesající posloupnost konvergující k nule.
Posloupnost \( b_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty, protože střídá hodnoty 1 a -1.
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny: \( a_n \) je monotónní, omezená a \( \lim a_n = 0 \), součet částečných sum \( b_n \) je omezený.
Řada tedy konverguje.
32. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n}{n^2} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolíme \( a_n = \frac{1}{n^2} \), což je kladná, klesající posloupnost konvergující k nule.
Posloupnost \( b_n = \cos n \) nemá monotónní charakter, ale součet jejích částečných sum je omezený, protože lze využít vzorce pro sumu kosinusů.
Protože \( a_n \) je monotónní, omezená a konverguje k nule a součet částečných sum \( b_n \) je omezený, Abelovo kritérium říká, že řada konverguje.
33. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \sin\frac{1}{n} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolme \( a_n = \sin \frac{1}{n} \), která je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).
Posloupnost \( b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \) má omezené částečné součty, protože podle Leibnizova kritéria řada \( \sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Podmínky Abelova kritéria jsou tedy splněny a řada konverguje.
34. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln n}{n} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolíme \( a_n = \frac{\ln n}{n} \), která pro velká \( n \) klesá k nule, je kladná a od jistého indexu monotónní.
Posloupnost \( b_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Protože \( a_n \) splňuje požadavky na monotónnost, omezenost a limitu a součet částečných sum \( b_n \) je omezený, řada podle Abelova kritéria konverguje.
35. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \frac{1}{\sqrt{n}}}{n} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolme \( a_n = \sin \frac{1}{\sqrt{n}} \). Posloupnost \( a_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule, protože \( \sin x \sim x \) pro \( x \to 0 \).
Posloupnost \( b_n = \frac{(-1)^n}{n} \) má omezené částečné součty díky alternující harmonické řadě.
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
36. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \frac{1}{1+n^2} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolíme \( a_n = \frac{1}{1+n^2} \), která je kladná, klesající a konverguje k nule velmi rychle.
Posloupnost \( b_n = \frac{(-1)^n}{n} \) má omezené částečné součty.
Abelovo kritérium platí a řada konverguje.
37. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{n^3 + 1} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolme \( a_n = \frac{n}{n^3 + 1} \), což je kladná, klesající posloupnost, která konverguje k nule, protože \( \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2} \to 0 \).
Posloupnost \( b_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
38. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n^2} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolíme \( a_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2} \), která je kladná, klesající a konverguje k nule.
Posloupnost \( b_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
39. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolíme \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \), která je kladná, klesající a konverguje k nule.
Posloupnost \( b_n = (-1)^n \) má omezené částečné součty.
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
40. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \frac{1}{n}}{n} \) konverguje pomocí Abelova kritéria.
Řešení:
Zvolíme \( a_n = \sin \frac{1}{n} \), která je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \).
Posloupnost \( b_n = \frac{(-1)^n}{n} \) má omezené částečné součty díky alternující harmonické řadě.
Podmínky Abelova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
