1. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Máme řadu \( \sum_{n=1}^\infty a_n \), kde \( a_n = \frac{3^n}{5^n} \). Použijeme D’Alembertovo kritérium, které zní:
Vypočítáme limitu podílu absolutních hodnot členů:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \).
Dosadíme:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{5^{n+1}}}{\frac{3^n}{5^n}} = \frac{3^{n+1}}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{3^n} = \frac{3^{n} \cdot 3}{5^{n} \cdot 5} \cdot \frac{5^n}{3^n} = \frac{3}{5} \).
Limita tedy je
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{5} = \frac{3}{5} = 0{,}6 \).
Podle D’Alembertova kritéria platí:
Pokud \( L < 1 \Rightarrow \) řada absolutně konverguje.
Protože \( 0{,}6 < 1 \), řada konverguje absolutně a tedy konverguje.
2. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Definujeme členy řady \( a_n = \frac{n!}{2^n n^n} \). Spočítáme limitu
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{2^n n^n}{n!} \).
Úprava:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n^n}{2 \cdot (n+1)^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{2 (n+1)^n} \).
Vyjádříme:
\( L = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \).
Tedy
\( L = \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2e} \approx 0{,}1839 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
3. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{4^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3}{4^n} \). Spočítáme
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{4 n^3} \).
Vyjádříme:
\( L = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 = \frac{1}{4} \cdot 1^3 = \frac{1}{4} = 0{,}25 \).
Protože \( L < 1 \), řada konverguje absolutně.
4. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n} \). Spočítáme
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n!}{5 \cdot 5^n} \cdot \frac{5^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \).
Limita diverguje, protože
\( \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} = \infty > 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada diverguje.
5. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{2^n n!}{n^n} \). Spočítáme
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme:
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = 2 \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \), tedy
\( L = 2 e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}7357 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
6. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{5^n}{n!} \). Spočítáme
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.
7. Zjistěte, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n! 7^n} \) konverguje pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{n^n}{n! 7^n} \). Spočítáme
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! 7^{n+1}} \cdot \frac{n! 7^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{7 (n+1) n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{7 n^n} \).
Vyjádříme
\( L = \frac{1}{7} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{7} e = \frac{e}{7} \approx 0{,}388 < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
8. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^5}{3^n + 4^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^5}{3^n + 4^n} \). Pro velká \( n \) platí \( 3^n + 4^n \approx 4^n \), takže řada se chová podobně jako \( \sum \frac{n^5}{4^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^5}{3^{n+1} + 4^{n+1}} \cdot \frac{3^n + 4^n}{n^5} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^5}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n^5} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^5}{4 n^5} \).
Vyjádříme:
\( L = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^5 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
9. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{4^n}{n \cdot 3^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{4^n}{n \cdot 3^n} \). Spočítáme
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{4^{n+1}}{(n+1) 3^{n+1}} \cdot \frac{n 3^n}{4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{4}{3} > 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada diverguje.
10. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n!}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n \cdot n!}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} \cdot (n+1)!}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{3^n \cdot n!} = 3 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \).
Rozepíšeme faktoriál v jmenovateli:
\( (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \Rightarrow \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Dosadíme:
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4n^2 + 6n + 2} \).
Vydělíme čitatele i jmenovatele \( n^2 \):
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{n^2}}{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}} = 3 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
11. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)^n} = \left(\frac{n}{2n}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
Vypočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1 \).
Řada konverguje absolutně.
12. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \).
Limita podílu je
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!} \).
Rozepíšeme jmenovatele:
\( (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! \Rightarrow \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} \).
Dosadíme:
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{27 n^3 + \ldots} \).
Vydělíme čitatel i jmenovatel \( n^3 \):
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{n^3}}{27 + \ldots} = 2 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
13. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{5^n}{n^n} \).
Limita podílu je
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{5^n} = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} \).
Přepíšeme:
\( L = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \), tedy
\( L = 5 \cdot 0 \cdot e^{-1} = 0 < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
14. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{10^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{10^n} \).
Limita podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{10} = \infty > 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada diverguje.
15. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \).
Limita podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2 4^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 4^n}{(2n)!} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{(2n)!} \).
Po zjednodušení:
\( L = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 2n + 1} \).
Vydělíme čitatele i jmenovatele \( n^2 \):
\( L = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \).
D’Alembertovo kritérium zde je hranční, proto použijeme poznámku: řada je známá jako binomická řada, která diverguje (protože členy nerostou dostatečně rychle k nule). Proto řada diverguje.
16. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 2^n}{5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = n^3 \left(\frac{2}{5}\right)^n \).
Limita podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 (2/5)^{n+1}}{n^3 (2/5)^n} = \frac{2}{5} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^3 = \frac{2}{5} \cdot 1 = \frac{2}{5} < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
17. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 3^n}{(4n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n! \cdot 3^n}{(4n)!} \).
Limita podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! 3^{n+1}}{(4(n+1))!} \cdot \frac{(4n)!}{n! 3^n} = 3 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{(4n)!}{(4n+4)!} \).
Rozepíšeme jmenovatele:
\( (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)! \Rightarrow \frac{(4n)!}{(4n+4)!} = \frac{1}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)} \).
Dosadíme:
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)} \).
Vydělíme čitatel i jmenovatel \( n^4 \):
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{n^4}}{256 + \ldots} = 3 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
18. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{5^n \cdot (2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{5^n \cdot (2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{5^{n+1} (2(n+1))!} \cdot \frac{5^n (2n)!}{2^n n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5} \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \).
Víme, že \( (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5} \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5} \cdot \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Pro velká \( n \) aproximujeme
\( (2n+2)(2n+1) \approx 4n^2 \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5} \cdot \frac{n+1}{4 n^2} = \frac{2}{5} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4 n^2} = \frac{2}{5} \cdot 0 = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
19. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 \cdot 3^n}{7^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 \cdot 3^n}{7^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 3^{n+1}}{7^{n+1}} \cdot \frac{7^n}{n^3 3^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{7}\right) \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \).
Vyjádříme:
\( L = \frac{3}{7} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 = \frac{3}{7} \cdot 1 = \frac{3}{7} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
20. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \).
Pro velká \( n \) platí \( (2n+2)(2n+1) \approx 4n^2 \), tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{4 n^2} = \frac{1}{4} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{4} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
21. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n! \cdot 5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n}{n! \cdot 5^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)! 5^{n+1}} \cdot \frac{n! 5^n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
22. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} \).
Vyjádříme
\( \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1} \) pro velké \( n \).
Takže
\( L = 3 \cdot \frac{e^{-1}}{\lim_{n \to \infty} (n+1)} = 3 \cdot e^{-1} \cdot 0 = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
23. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{4^n n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{4^n n!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{4^n n!}{n^n} = \frac{1}{4} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \).
Vyjádříme
\( \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \), takže
\( L = \frac{1}{4} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{1}{4} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n} = \frac{1}{4} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{4} \cdot e < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
24. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! \cdot 5^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n! \cdot 5^n} = \lim_{n \to \infty} 5 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{5(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \).
Pro velká \( n \) platí \( (2n+2)(2n+1) \approx 4 n^2 \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{5(n+1)}{4 n^2} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
25. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n!}{7^n \cdot (n+1)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n \cdot n!}{7^n \cdot (n+1)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} (n+1)!}{7^{n+1} (n+2)!} \cdot \frac{7^n (n+1)!}{3^n n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{7} \cdot \frac{(n+1)!}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \).
Vyjádříme faktoriály:
\( \frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \frac{1}{n+2} \), \( \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \).
Takže
\( L = \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{n+2} \cdot (n+1) = \frac{3}{7} \cdot \frac{n+1}{n+2} \).
Limitou pro \( n \to \infty \) je
\( L = \frac{3}{7} \cdot 1 = \frac{3}{7} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
26. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{5^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme zlomky v exponenciálním tvaru:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Pro velké \( n \) platí \( \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1} \), tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = \frac{1}{5 e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
27. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 2^n} = \frac{(3/2)^n}{n!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(3/2)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(3/2)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3/2}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
28. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{4^n \cdot n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{4^n \cdot n!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{4^n n!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{4 (n+1) n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{4 n^n} \).
Vyjádříme výraz:
\( \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \) při \( n \to \infty \).
Tedy
\( L = \frac{e}{4} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
29. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = 2 \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Platí \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} \), tedy
\( L = 2 e^{-1} = \frac{2}{e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
30. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 5^n}{(n+1)^{n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 5^n}{(n+1)^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 5^{n+1}}{(n+2)^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^n}{n^3 5^n} = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(n+1)^n}{(n+2)^{n+1}} \).
Rozepíšeme druhý zlomek:
\( \frac{(n+1)^n}{(n+2)^{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{(n+2)^n (n+2)} = \frac{1}{n+2} \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^n \).
Pro \( n \to \infty \) platí:
\( \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+2} \right)^n \to e^{-1} \), takže
\( L = 5 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{e^{-1}}{n+2} = 5 e^{-1} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3 (n+2)} \).
Protože \(\frac{(n+1)^3}{n^3 (n+2)} \sim \frac{n^3}{n^3 n} = \frac{1}{n} \to 0\), platí
\( L = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
31. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!} \).
Upravíme faktoriály:
\( \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \),
\( \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} \).
Tedy
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} \approx 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n}{27 n^3} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{27 n^2} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
32. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^2}{3^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
33. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 5^n}{7^{n} + 3^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 5^n}{7^{n} + 3^n} \). Pro velká \( n \) platí \( 7^{n} + 3^n \approx 7^{n} \), takže členy se přibližují \( \frac{n^3 5^n}{7^{n}} = n^3 \left(\frac{5}{7}\right)^n \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 5^{n+1}}{7^{n+1} + 3^{n+1}} \cdot \frac{7^n + 3^n}{n^3 5^n} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 5^{n+1}}{7^{n+1}} \cdot \frac{7^n}{n^3 5^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{7}\right) \frac{(n+1)^3}{n^3} \).
Vyjádříme limitu:
\( L = \frac{5}{7} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 = \frac{5}{7} \cdot 1 = \frac{5}{7} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
34. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{2^n n!} = 2 \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n + 3)!} \).
Rozepíšeme faktoriály v jmenovateli:
\( (3n + 3)! = (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)! \), takže
\( \frac{(3n)!}{(3n + 3)!} = \frac{1}{(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)} \).
Tedy
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)} \approx 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n}{27 n^3} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{27 n^2} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
35. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} \left(\frac{3}{4}\right)^n \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \left(\frac{3}{4}\right)^n \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \left(\frac{3}{4}\right)^{n+1} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \left(\frac{4}{3}\right)^n \)
= \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{4}\right) \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{3}{4} \lim_{n \to \infty} (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}.
Rozepíšeme jmenovatele:
\( (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \approx 4 n^2 \) pro velká \( n \).
Tedy
\( L = \frac{3}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{4 n^2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = \frac{3}{16} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
36. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)}.\)
Vyjádříme dále:
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n.\)
Využijeme limitu \( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \), takže
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{e^{-1}}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
37. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n^n}{(3n)^{2n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n^n}{(3n)^{2n}} = 2^n n^n \cdot (3n)^{-2n} = 2^n n^n \cdot \frac{1}{3^{2n} n^{2n}} = \frac{2^n}{3^{2n}} \cdot \frac{n^n}{n^{2n}} = \left(\frac{2}{9}\right)^n \cdot n^{-n}.\)
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{2}{9}\right)^{n+1} (n+1)^{-(n+1)}}{\left(\frac{2}{9}\right)^n n^{-n}} = \frac{2}{9} \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}.\)
Vyjádříme limitu v druhém členu:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n.\)
Využijeme limitu \( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \), tedy
\( L = \frac{2}{9} \lim_{n \to \infty} \frac{e^{-1}}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
38. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme zlomek s mocninami:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Dosadíme zpět:
\( L = 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = 2 \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Limita výrazu \( \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \) pro \( n \to \infty \) je \( e^{-1} \), tedy
\( L = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0.7357 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
39. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{5^n n!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{5 (n+1) n^n} \).
Upravíme výraz:
\( L = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n} = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \).
Limita \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \), tedy
\( L = \frac{e}{5} \approx 0.543 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
40. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)! \sqrt{n+1}} \cdot \frac{n! \sqrt{n}}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \).
Pro \( n \to \infty \) platí \( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \to 1 \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
41. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^2}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^2}{n^n} = n^2 \cdot n^{-n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} \).
Upravíme:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} \).
Převedeme na exponenty:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} \).
To lze napsat jako
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n^2} \).
Využijeme fakt, že \( (n+1)^{n+1} = (n+1)^n \cdot (n+1) \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(n+1)^n (n+1)} \cdot \frac{n^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)}{(n+1)^n} \cdot \frac{n^n}{n^2} \).
Přepíšeme \( \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \), tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2} \cdot \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Pro \( n \to \infty \) platí \( \frac{n+1}{n^2} \sim \frac{1}{n} \to 0 \) a \( \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} \), proto
\( L = 0 \cdot e^{-1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
42. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 \cdot 4^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 \cdot 4^n}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 4^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^3 4^n} = 4 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \).
Vyjádříme faktoriál:
\( (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \), takže
\( L = 4 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Pro \( n \to \infty \) platí
\( \frac{(n+1)^3}{n^3} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \to 1 \), a
\( (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \sim 4n^2 \).
Takže
\( L = 4 \cdot 1 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n^2} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
43. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + 7}{2^n + n^3} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Nejprve označíme \( a_n = \frac{n^2 + 7}{2^n + n^3} \).
Pro velká \( n \) je \( 2^n \gg n^3 \), takže ve jmenovateli převažuje \( 2^n \).
Proto řada se chová jako \( \sum \frac{n^2}{2^n} \), která konverguje.
Spočítáme:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 + 7}{2^{n+1} + (n+1)^3} \cdot \frac{2^n + n^3}{n^2 + 7} \).
Pro velká \( n \) aproximujeme:
\( \approx \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2 \cdot 2^n} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n+1)^2}{n^2} \right) = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} < 1 \).
Řada konverguje absolutně.
44. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n + n}{5^n} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Označíme \( a_n = \frac{3^n + n}{5^n} \).
Pro velká \( n \) je \( 3^n \gg n \), takže čitatel se chová jako \( 3^n \), jmenovatel jako \( 5^n \).
Řada se tedy chová jako \( \sum \left( \frac{3}{5} \right)^n \), která konverguje.
Spočítáme podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} + n+1}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{3^n + n} = \frac{3 \cdot 3^n + n+1}{5 \cdot 5^n} \cdot \frac{5^n}{3^n + n} \).
Pro velká \( n \):
\( \approx \frac{3 \cdot 3^n}{5 \cdot 5^n} \cdot \frac{5^n}{3^n} = \frac{3}{5} \).
Takže \( L = \frac{3}{5} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
45. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{(n+2)!} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n!}{(n+2)!} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{(n+2)(n+3)} \cdot (n+1)(n+2) = \frac{n+1}{n+3} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+3} = 1 \).
Proto zkusíme přesnější výpočet:
Alternativně, \( a_n = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \), ale použijeme raději podíl:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+3} = 1 \), neprůkazné.
Proto neuvažujeme dál, ale můžeme místo toho použít odhad:
\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} \leq \frac{1}{n^2} \Rightarrow \) srovnání s konvergentní řadou \( \sum \frac{1}{n^2} \) ukazuje, že řada konverguje.
Nicméně, D’Alembertovo kritérium není průkazné.
Tento příklad vyřadíme a nahradíme jiným.
45. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n n^3}{7^n + n^4} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Označíme \( a_n = \frac{5^n n^3}{7^n + n^4} \).
Pro velká \( n \) dominuje ve jmenovateli \( 7^n \), čitatel \( 5^n n^3 \).
Řada se tedy chová jako \( \sum \left( \frac{5}{7} \right)^n \cdot n^3 \), což je konvergentní.
Vypočítáme limitu podílu:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}(n+1)^3}{7^{n+1} + (n+1)^4} \cdot \frac{7^n + n^4}{5^n n^3} = \frac{5}{7} \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{7^n + n^4}{7^{n+1} + (n+1)^4} \).
Pro velká \( n \): \( \approx \frac{5}{7} \cdot 1 \cdot \frac{1}{1} = \frac{5}{7} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
46. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n}{\ln(n) \cdot 4^n} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Označíme \( a_n = \frac{n}{\ln(n) \cdot 4^n} \).
Spočítáme:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{\ln(n+1) \cdot 4^{n+1}} \cdot \frac{\ln(n) \cdot 4^n}{n} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \cdot \frac{1}{4} \).
\( \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} < 1 \).
Řada konverguje absolutně.
47. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{2^n}{n!} \).
Spočítáme:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
48. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^5}{n!} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
Označíme \( a_n = \frac{n^5}{n!} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^5}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^5} = \frac{(n+1)^5}{n^5(n+1)} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^4 \cdot \frac{1}{n+1} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^4 \cdot \frac{1}{n+1} = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
49. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n + 2^n}{4^n} \).
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{3^n + 2^n}{4^n} \Rightarrow \) dominantní je \( 3^n \), řada se chová jako \( \left( \frac{3}{4} \right)^n \Rightarrow \) geometrická, konverguje.
Spočítáme podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} + 2^{n+1}}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{3^n + 2^n} = \frac{3 \cdot 3^n + 2 \cdot 2^n}{4 \cdot 4^n} \cdot \frac{4^n}{3^n + 2^n} \).
Pro velká \( n \): \( \approx \frac{3}{4} \Rightarrow \) řada konverguje.
50. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 + 1}{n^3 + n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n \).
Zobrazit řešení
Řešení:
\( a_n = \frac{n^2 + 1}{n^3 + n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n \Rightarrow \) první zlomek se chová jako \( \frac{1}{n} \), celkově jako \( \frac{1}{n} \left( \frac{3}{4} \right)^n \), což konverguje.
Podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2 + 1}{(n+1)^3 + (n+1)} \cdot \frac{n^3 + n}{n^2 + 1} \cdot \frac{3}{4} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
Str.:
1 2 3 4
