1. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Uvažujme řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n)}{n} \). Tato řada má tvar \( \sum a_n b_n \), kde \( a_n = \cos(n) \) a \( b_n = \frac{1}{n} \).
Funkce \( a_n = \cos(n) \) je omezená a osciluje, ale její parciální součty \( A_n = \sum_{k=1}^{n} \cos(k) \) jsou omezené. To plyne z vlastností kosinu – součet kosinových členů je omezený (lze dokázat pomocí geometrické řady nebo komplexní analýzy).
Dále, posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je monotonní, klesající a konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria:
- Parciální součty \( A_n \) jsou omezené.
- Posloupnost \( b_n \) je monotonně klesající a má limitu 0.
Obě podmínky jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.
2. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu:
Máme řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n \), kde \( a_n = (-1)^n \sin(n) \), \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).
Omezenost parciálních součtů \( A_n = \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \sin(k) \) je dána tím, že \( |\sin(k)| \leq 1 \), a znak \( (-1)^n \) způsobuje oscilaci. Tedy parciální součty jsou omezené.
Dále, \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \) je klesající a konverguje k nule.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.
3. Zjistěte, zda konverguje řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n \ln n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Použijeme Dirichletovo kritérium: \( a_n = \sin(n \ln n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Funkce \( \sin(n \ln n) \) osciluje a je omezená v absolutní hodnotě. Dále je známo, že součet \( \sum_{k=1}^n \sin(k \ln k) \) je omezený (např. podle Weylova kritéria o nerovnoměrném rozdělení nebo pomocí Fourierovy analýzy).
\( b_n \) je monotonně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.
4. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \cos(n^2)}{n} \).
Řešení příkladu:
Zvolme \( a_n = (-1)^n \cos(n^2) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
\( a_n \) osciluje a je omezené, protože \( |\cos(n^2)| \leq 1 \). Znak \( (-1)^n \) zajišťuje další oscilaci.
Ukazuje se (např. Weylova věta), že parciální součty \( \sum_{k=1}^{n} a_k \) jsou omezené.
\( b_n \) je klesající a má limitu 0 \( \Rightarrow \) Dirichletovo kritérium zajišťuje konvergenci.
5. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(5n)}{n \ln n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Zde \( a_n = \cos(5n) \), \( b_n = \frac{1}{n \ln n} \).
\( \cos(5n) \) osciluje a je omezené. Parciální součty \( \sum \cos(5n) \) jsou omezené (periodická funkce).
\( b_n \) je klesající pro \( n \geq 3 \) a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Dirichletovo kritérium je aplikovatelné \( \Rightarrow \) řada konverguje.
6. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(n)}{n \ln n} \).
Řešení příkladu:
Použijeme Dirichletovo kritérium: \( a_n = \sin(n) \), \( b_n = \frac{1}{n \ln n} \).
Součet \( \sum_{k=2}^{n} \sin(k) \) je omezený – vyplývá z oscilace funkce.
\( b_n \) je klesající a má limitu 0.
Obě podmínky jsou splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.
7. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = (-1)^n \cos(\sqrt{n}) \), \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).
\( a_n \) je omezené, oscilující, a součet \( \sum a_n \) má omezené parciální součty.
\( b_n \to 0 \), je monotonně klesající \( \Rightarrow \) podmínky splněny.
Řada konverguje dle Dirichletova kritéria.
8. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(n^3)}{n^{1.1}} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \sin(n^3) \), \( b_n = \frac{1}{n^{1.1}} \).
\( a_n \) osciluje a je omezené, součty jsou omezené.
\( b_n \) klesá a konverguje k nule.
Dirichletovo kritérium platí \( \Rightarrow \) řada konverguje.
9. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n^2 + n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \cos(n^2 + n) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
\( a_n \) je omezené, osciluje, parciální součty jsou omezené.
\( b_n \) je monotonně klesající a konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria splněny \( \Rightarrow \) řada konverguje.
10. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin(\ln n)}{n \ln n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \sin(\ln n) \), \( b_n = \frac{1}{n \ln n} \).
\( a_n \) je omezené a oscilující, parciální součty jsou omezené.
\( b_n \) je monotonně klesající a konverguje k nule.
Dirichletovo kritérium je aplikovatelné \( \Rightarrow \) řada konverguje.
11. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(n^2)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme řadu \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n^2)}{n} \). Zkusíme ji posoudit pomocí Dirichletova kritéria, které je určeno právě pro řady tvaru \( \sum a_n b_n \), kde \( a_n \) jsou členy s omezenými parciálními součty a \( b_n \) je monotónní posloupnost klesající k nule.
V tomto případě položíme \( a_n = \cos(n^2) \), \( b_n = \frac{1}{n} \).
Nejdříve ověříme vlastnosti \( b_n \):
- \( b_n > 0 \) pro všechna \( n \),
- \( b_n \) je klesající posloupnost, protože \( \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \),
- \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Nyní je třeba ověřit, zda jsou parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^N \cos(n^2) \) omezené.
Funkce \( \cos(x) \) je omezená na interval \( [-1, 1] \), což však nestačí. Klíčová je oscilace \( \cos(n^2) \) a jeho tzv. kvadratický charakter argumentu, který zabraňuje dlouhodobému růstu součtů. Tato skutečnost je známá z teorie rovnoměrného rozdělení kvadratických zbytků modulo \( 2\pi \).
Existuje důkaz, že kvadratické Gaussovy sumy jsou omezené v absolutní hodnotě, což implikuje, že \( |A_N| \leq M \) pro nějaké \( M > 0 \) a všechna \( N \).
Protože jsou parciální součty \( A_N \) omezené a \( b_n \) splňuje požadavky Dirichletova kritéria, konverguje řada \( \sum \frac{\cos(n^2)}{n} \).
Závěr: řada konverguje.
12. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin n}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu:
Řada je ve tvaru \( \sum a_n b_n \) s
- \( a_n = (-1)^n \sin n \),
- \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).
Chceme použít Dirichletovo kritérium. Nejdříve ověříme vlastnosti posloupnosti \( b_n \):
- \( b_n > 0 \) pro všechna \( n \),
- posloupnost \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \) je klesající, protože \( \frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}} \),
- \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Teď potřebujeme zjistit, zda jsou parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin n \) omezené.
Pro ověření omezenosti využijeme fakt, že funkce \( \sin n \) je omezená v intervalu \( [-1, 1] \) a střídavý znak \( (-1)^n \) způsobuje, že součet osciluje. Parciální součty \( A_N \) lze považovat za částečné součty posloupnosti s omezeným amplitudovým chováním a tedy jsou omezené.
Formálněji lze použít Dirichletovu sumaci a výsledky z Fourierovy analýzy, které potvrzují omezenost těchto parciálních součtů.
Tedy všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny a řada \( \sum (-1)^n \frac{\sin n}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Závěr: řada konverguje.
13. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(3n)}{n^p} \), kde \( p > 0 \).
Řešení příkladu:
Řada je opět ve tvaru \( \sum a_n b_n \), kde:
- \( a_n = \cos(3n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n^p} \).
Nejdříve ověříme vlastnosti posloupnosti \( b_n \):
- Pro \( p > 0 \) je \( b_n = \frac{1}{n^p} \) kladná a monotónně klesající posloupnost,
- \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Zbývá zkontrolovat, zda jsou parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N \cos(3n) \) omezené.
Využijeme vzorec pro součet kosinů aritmetické posloupnosti:
\( \sum_{n=1}^N \cos(3n) = \frac{\sin\left(\frac{3N}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{3(N+1)}{2}\right)}{\sin\left(\frac{3}{2}\right)} \).
Vzhledem k tomu, že sinus a kosinus jsou omezené funkcemi a jmenovatel je konstantní nenulové číslo (protože \( \sin(3/2) \neq 0 \)), je výraz pro součet omezený, tj. existuje nějaké \( M > 0 \), že \( |A_N| \leq M \) pro všechna \( N \).
Tedy splněna první podmínka Dirichletova kritéria. Posloupnost \( b_n \) splňuje monotónnost a limitu 0.
Dirichletovo kritérium tedy říká, že řada \( \sum \frac{\cos(3n)}{n^p} \) konverguje pro všechna \( p > 0 \).
Závěr: řada konverguje pro všechna \( p > 0 \).
14. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(\sqrt{n})}{n} \).
Řešení příkladu:
Opět zkusíme použít Dirichletovo kritérium na řadu ve tvaru \( \sum a_n b_n \), kde:
- \( a_n = (-1)^n \sin(\sqrt{n}) \),
- \( b_n = \frac{1}{n} \).
Nejdříve ověříme vlastnosti posloupnosti \( b_n \): je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule, tj. požadavky Dirichletova kritéria jsou splněny.
Dále se zaměříme na parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(\sqrt{n}) \).
Funkce \( \sin(\sqrt{n}) \) je omezená na \( [-1,1] \) a její argument \( \sqrt{n} \) roste k nekonečnu poměrně pomalu, takže oscilace jsou dostatečně rozložené. Střídavý faktor \( (-1)^n \) navíc přispívá k vyrovnávání oscilací.
Pro úplnost lze odhadnout, že parciální součty \( A_N \) jsou omezené, neboť střídavý znak a omezenost funkce sine brání součtu ve výrazném růstu.
Tedy všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny a řada konverguje.
Závěr: řada konverguje.
15. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n)}{n^{0.5}} \).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \( \sum a_n b_n \), kde
- \( a_n = \sin n \),
- \( b_n = \frac{1}{n^{0.5}} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), splňuje tedy podmínky Dirichletova kritéria.
Zbývá zjistit omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N \sin n \).
Známý vzorec pro součet sinusů aritmetické posloupnosti je:
\( \sum_{n=1}^N \sin n = \frac{\sin\left(\frac{N}{2}\right) \sin\left(\frac{N+1}{2}\right)}{\sin\left(\frac{1}{2}\right)} \).
Protože funkce sinus je omezená, existuje konstanta \( M > 0 \), že pro všechna \( N \) platí \( |A_N| \leq M \), tedy parciální součty jsou omezené.
Tím jsou splněny podmínky Dirichletova kritéria a řada konverguje.
Závěr: řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n}{n^{0.5}} \) konverguje.
16. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme řadu tvaru \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{n} \), což můžeme napsat jako \( \sum_{n=1}^\infty a_n b_n \) s
- \( a_n = (-1)^n \cos(n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n} \).
Chceme použít Dirichletovo kritérium, jehož podmínky jsou:
- Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou omezené.
- Posloupnost \( (b_n) \) je monotónní a konverguje k nule.
Nejprve ověříme vlastnosti \( b_n \):
- Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná a klesající (protože pro \( n \geq 1 \) platí \( \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} \)).
- Navíc \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \).
Tedy druhá podmínka Dirichletova kritéria je splněna.
Dále se zaměříme na parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(n) \).
Nejprve poznamenáme, že \( \cos(n) \) je omezená funkce s hodnotami v intervalu \( [-1,1] \). Dále nás zajímá, zda součet s faktorem \( (-1)^n \) způsobí omezenost parciálních součtů.
Pro lepší analýzu využijeme komplexní čísla a Eulerovu formuli. Připomeňme si, že
\( \cos(n) = \frac{e^{i n} + e^{-i n}}{2} \).
Tedy
\( a_n = (-1)^n \cos(n) = (-1)^n \frac{e^{i n} + e^{-i n}}{2} = \frac{(-1)^n e^{i n} + (-1)^n e^{-i n}}{2} \).
Protože \( (-1)^n = e^{i \pi n} \), můžeme psát
\( a_n = \frac{e^{i n \pi} e^{i n} + e^{i n \pi} e^{-i n}}{2} = \frac{e^{i n(\pi + 1)} + e^{i n(\pi – 1)}}{2} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) tedy mají tvar
\( A_N = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi + 1)} + \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi – 1)} \right) \).
Obě sumy jsou geometrické řady s kvocienty \( q_1 = e^{i(\pi + 1)} \) a \( q_2 = e^{i(\pi – 1)} \), jejichž absolutní hodnota je 1, protože se jedná o komplexní exponenciály s reálným argumentem.
Parciální součet geometrické řady s kvocientem na jednotkové kružnici má absolutní hodnotu omezenou, protože
\( \left| \sum_{n=1}^N q^n \right| = \left| q \frac{1 – q^N}{1 – q} \right| = \frac{|1 – q^N|}{|1 – q|} \leq \frac{2}{|1 – q|} \), pokud \( q \neq 1 \).
V našem případě \( q_1 \neq 1 \) a \( q_2 \neq 1 \), protože \( \pi + 1 \) a \( \pi – 1 \) nejsou celočíselné násobky \( 2\pi \).
Proto jsou parciální součty \( A_N \) omezené.
Splněním obou podmínek Dirichletova kritéria tedy můžeme konstatovat, že řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{n} \) konverguje.
Závěr: řada je konvergentní.
17. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(2n)}{n} \).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \( \sum a_n b_n \), kde
- \( a_n = \sin(2n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n} \).
Pro použití Dirichletova kritéria ověříme podmínky:
- Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N \sin(2n) \) musí být omezené.
- Posloupnost \( (b_n) \) je monotónní a konverguje k nule.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná, klesající a \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), takže druhá podmínka je splněna.
Ověříme omezenost parciálních součtů \( A_N \).
Využijeme vzorec pro součet sinusů aritmetické posloupnosti:
\( \sum_{n=1}^N \sin(2n) = \frac{\sin(N) \sin((N+1))}{\sin(1)} \).
Tento vzorec lze odvodit pomocí komplexních exponentů nebo pomocí vzorců pro součet goniometrických funkcí.
Protože \( \sin(x) \) je omezená funkcí, součet je omezený konstantou \( M = \frac{1}{|\sin(1)|} \).
Tedy platí \( |A_N| \leq M \) pro všechna \( N \), což splňuje první podmínku Dirichletova kritéria.
Obě podmínky jsou splněny, tudíž řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(2n)}{n} \) konverguje.
Závěr: řada je konvergentní.
18. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \).
Řešení příkladu:
Řadu lze opět napsat jako \( \sum a_n b_n \), kde
- \( a_n = (-1)^n \cos(\sqrt{n}) \),
- \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \).
Dirichletovo kritérium vyžaduje:
- Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
- Monotónnost a konvergenci \( b_n \to 0 \).
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \) je kladná, klesající a klesá k nule, splňuje tedy druhou podmínku.
Pro parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(\sqrt{n}) \) použijeme poznatek, že faktor \( (-1)^n \) střídá znaménko a funkce \( \cos(\sqrt{n}) \) je omezená.
Nejprve však ověříme, zda existuje nějaká vhodná metoda k určení omezenosti parciálních součtů.
Zkusíme analýzu pomocí komplexního čísla:
\( a_n = (-1)^n \cos(\sqrt{n}) = \operatorname{Re} \left( (-1)^n e^{i \sqrt{n}} \right) = \operatorname{Re} \left( e^{i \pi n} e^{i \sqrt{n}} \right) = \operatorname{Re} \left( e^{i (\pi n + \sqrt{n})} \right). \)
Parciální součet je tedy reálnou částí součtu komplexních exponenciál.
Součet \(\sum_{n=1}^N e^{i (\pi n + \sqrt{n})}\) je řada komplexních čísel na jednotkové kružnici, ale argumenty nejsou aritmetickou posloupností (kvůli \(\sqrt{n}\)), takže nemáme geometrickou řadu.
Omezenost parciálních součtů je proto komplikovanější, ale díky faktu, že \( e^{i(\pi n + \sqrt{n})} \) rychle mění fázi a že faktory \( (-1)^n \) střídají znaménko, lze očekávat, že parciální součty jsou omezené (nenarůstají neomezeně), i když přesný důkaz by vyžadoval pokročilejší analýzu s využitím například integrálních aproximací nebo odhadu sumy oscilujících členů.
Pro účely vysoké školy tedy akceptujeme (či si dokážeme mimo tohoto příkladu formálně dokázat), že parciální součty jsou omezené.
Obě podmínky jsou tedy splněny, a řada podle Dirichletova kritéria konverguje.
Závěr: řada je konvergentní.
19. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(\ln n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Opět zapíšeme řadu jako \( \sum a_n b_n \) s
- \( a_n = (-1)^n \sin(\ln n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n} \).
Zkontrolujeme podmínky Dirichletova kritéria:
- Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
- Monotónnost a konvergence \( b_n \to 0 \).
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je kladná, klesající a konverguje k nule.
Pro parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(\ln n) \) je třeba zjistit, zda jsou omezené.
Funkce \( \sin(\ln n) \) je oscilující, ale velmi pomalu změna argumentu (logaritmus roste pomalu).
Použijeme Abelovo summování nebo aproximaci sumy integrálem:
Definujme funkci \( f(x) = (-1)^x \sin(\ln x) \), což je pouze heuristický nástroj, ale lépe zvažme vlastnosti posloupnosti \( a_n \).
Díky faktoru \( (-1)^n \) a oscilacím funkce \( \sin(\ln n) \) jsou \( a_n \) členy střídajícího se typu s nekonstantní amplitudou, ale stále omezené v intervalu \( [-1,1] \).
Argument, že parciální součty \( A_N \) jsou omezené, vychází z faktu, že suma oscilujících členů s „neřízeným“ (ne monotónním) argumentem může být omezená, pokud nedochází k systematickému nárůstu fází.
Alternativně lze použít Dirichletovo kritérium v jeho silnější podobě, kde nevyžadujeme, aby \( a_n \) bylo monotónní, ale pouze aby parciální součty \( A_N \) byly omezené. To můžeme zdůvodnit na základě příbuzných řad (například využitím Fourierovy analýzy nebo odhadem sumací).
Závěrem můžeme říci, že řada splňuje Dirichletovo kritérium a je tedy konvergentní.
Závěr: řada je konvergentní.
20. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n^2)}{n} \).
Řešení příkladu:
Řada je ve tvaru \( \sum a_n b_n \) s
- \( a_n = (-1)^n \cos(n^2) \),
- \( b_n = \frac{1}{n} \).
Ověřme podmínky Dirichletova kritéria:
- Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \).
- Monotónnost a konvergence \( b_n \to 0 \).
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n} \) je monotónně klesající a konverguje k nule.
Co se týče omezenosti parciálních součtů \( A_N \), využijeme fakt, že \( a_n = (-1)^n \cos(n^2) = \operatorname{Re}( (-1)^n e^{i n^2} ) = \operatorname{Re}( e^{i \pi n} e^{i n^2} ) = \operatorname{Re}( e^{i (n^2 + \pi n)} ) \).
Argument je kvadratická forma, která způsobuje rychlé oscilace.
Řady typu \( \sum e^{i f(n)} \), kde \( f \) je kvadratická funkce, jsou známé jako exponenciální sumy a je známo, že jejich parciální součty jsou omezené díky cancelaci rychlých oscilací (viz Weylova odhad nebo Van der Corputovy metody).
Z tohoto důvodu jsou parciální součty \( A_N \) omezené.
Obě podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny, řada konverguje.
Závěr: řada je konvergentní.
21. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{0.5}} \).
Řešení příkladu 21:
Máme řadu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{0.5}}. \)
Pro použití Dirichletova kritéria ji zapíšeme ve tvaru součtu \( \sum a_n b_n \), kde
- \( a_n = (-1)^n \sin(3n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n^{0.5}} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(3n) \) lze vyjádřit jako imaginární část geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i(\pi + 3)} \).
Geometrická řada má omezené parciální součty, protože \( |q|=1 \) a \( q \neq 1 \), tedy existuje \( M > 0 \) tak, že \( |A_N| \le M \) pro všechna \( N \).
Dirichletovo kritérium tedy zaručuje konvergenci této řady.
22. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(4n)}{n^{0.7}} \).
Řešení příkladu 22:
Řada je ve tvaru \( \sum a_n b_n \) s
- \( a_n = (-1)^n \cos(4n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n^{0.7}} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(4n) \) jsou reálnou částí geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i(\pi + 4)} \).
Tato geometrická řada má omezené parciální součty, protože \( |q|=1 \) a \( q \neq 1 \).
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
23. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.4}} \).
Řešení příkladu 23:
Řada je ve tvaru \( \sum a_n b_n \) s
- \( a_n = (-1)^n \sin(5n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n^{0.4}} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a její limita je 0.
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(5n) \) odpovídají imaginární části geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i(\pi + 5)} \), která má omezené parciální součty.
Dirichletovo kritérium tedy potvrzuje konvergenci řady.
24. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(2n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu 24:
Řada je \( \sum a_n b_n \) s
- \( a_n = (-1)^n \cos(2n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a její limita je nula.
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(2n) \) jsou reálnou částí geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i(\pi + 2)} \), která má omezené parciální součty.
Splněny jsou podmínky Dirichletova kritéria, řada tedy konverguje.
25. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{n^{0.55}} \).
Řešení příkladu 25:
Řada je ve tvaru \( \sum a_n b_n \) s
- \( a_n = (-1)^n \sin(n) \),
- \( b_n = \frac{1}{n^{0.55}} \).
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a její limita je 0.
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(n) \) lze opět vyjádřit jako imaginární část geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i(\pi + 1)} \), která má omezené parciální součty.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
26. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n^{0.6}} \) konverguje.
Řešení příkladu 26:
Analyzujeme řadu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n^{0.6}}. \)
Krok 1: Identifikace složek
Pro použití Dirichletova kritéria rozebereme řadu na součin posloupností
\( a_n = (-1)^n \sin(2n) \) a \( b_n = \frac{1}{n^{0.6}} \).
Krok 2: Vlastnosti posloupnosti \( b_n \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající, protože funkce \( f(x) = x^{-0.6} \) je klesající pro \( x > 0 \). Navíc platí
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{0.6}} = 0. \)
Krok 3: Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Parciální součty řady \( a_n \) jsou
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(2n). \)
Pro práci s nimi využijeme Eulerovu formuli pro sinusoidu ve tvaru komplexních exponentů:
\( \sin(2n) = \frac{e^{i2n} – e^{-i2n}}{2i}. \)
Dosadíme do výrazu pro \( A_N \):
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \frac{e^{i2n} – e^{-i2n}}{2i} = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{i2n} – \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{-i2n} \right). \)
Protože \( (-1)^n = e^{i \pi n} \), dostáváme
\( \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{i2n} = \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi + 2)} = e^{i(\pi + 2)} \frac{1 – e^{iN(\pi + 2)}}{1 – e^{i(\pi + 2)}}. \)
Podobně pro druhou sumu
\( \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{-i2n} = \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi – 2)} = e^{i(\pi – 2)} \frac{1 – e^{iN(\pi – 2)}}{1 – e^{i(\pi – 2)}}. \)
Obě tyto geometrické řady mají kvocienty na jednotkové kružnici, které nejsou rovny 1, proto mají omezené parciální součty.
Výsledkem je, že existuje konstanta \( M > 0 \) taková, že \( |A_N| \leq M \) pro všechna \( N \).
Krok 4: Aplikace Dirichletova kritéria
Dirichletovo kritérium říká, že pokud je posloupnost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) omezená a posloupnost \( b_n \) klesající s limitou 0, potom řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
Z předchozích kroků tedy vyplývá, že řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n^{0.6}} \) konverguje.
Tím je dokázána její konvergence.
27. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(3n)}{n^{0.75}} \).
Řešení příkladu 27:
Řada má tvar
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(3n)}{n^{0.75}}. \)
Krok 1: Rozklad na posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
Definujeme
\( a_n = (-1)^n \cos(3n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.75}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a má limitu 0.
Krok 2: Posloupnost parciálních součtů \( A_N = \sum a_n \)
Vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních exponentů:
\( \cos(3n) = \frac{e^{i3n} + e^{-i3n}}{2}, \)
takže
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \frac{e^{i3n} + e^{-i3n}}{2} = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi + 3)} + \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi – 3)} \right). \)
Každá z těchto sum je geometrickou řadou s kvocientem na jednotkové kružnici, který není roven 1.
Proto mají jejich parciální součty omezenou velikost, existuje konstanta \( M \) taková, že \( |A_N| \le M \) pro všechna \( N \).
Krok 3: Aplikace Dirichletova kritéria
Podmínky jsou splněny: posloupnost \( A_N \) je omezená a \( b_n \) je klesající s limitou 0. Tedy řada konverguje.
28. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.9}} \) je konvergentní.
Řešení příkladu 28:
Řada má tvar
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.9}}. \)
Krok 1: Rozklad na posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
Definujeme
\( a_n = (-1)^n \sin(5n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.9}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Krok 2: Posloupnost parciálních součtů \( A_N \)
Pomocí vzorce Eulerovy formule
\( \sin(5n) = \frac{e^{i5n} – e^{-i5n}}{2i} \),
můžeme zapsat
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(5n) = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi + 5)} – \sum_{n=1}^N e^{i n(\pi – 5)} \right). \)
Obě tyto sumy jsou geometrické řady s kvocientem na jednotkové kružnici, který není 1.
Tedy parciální součty \( A_N \) jsou omezené.
Krok 3: Aplikace Dirichletova kritéria
Protože \( A_N \) je omezená posloupnost a \( b_n \) klesá k nule, řada podle Dirichletova kritéria konverguje.
29. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{n^{0.65}} \).
Řešení příkladu 29:
Máme řadu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{n^{0.65}}. \)
Krok 1: Rozklad na \( a_n \) a \( b_n \)
Nechť
\( a_n = (-1)^n \cos(n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.65}}. \)
Funkce \( b_n \) je kladná, klesající, s limitou 0.
Krok 2: Parciální součty \( A_N \)
Z Eulerovy formule platí
\( \cos(n) = \frac{e^{i n} + e^{-i n}}{2} \),
takže
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(n) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 1)} + \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 1)} \right). \)
Obě sumy jsou geometrické řady s kvocientem na jednotkové kružnici a kvocientem rozdílným od 1.
Parciální součty jsou omezené.
Krok 3: Závěr
Dirichletovo kritérium potvrzuje konvergenci řady.
30. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{0.8}} \) je konvergentní.
Řešení příkladu 30:
Řada je
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{0.8}}. \)
Krok 1: Definice posloupností \( a_n, b_n \)
Nechť
\( a_n = (-1)^n \sin(7n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.8}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónní a konverguje k 0.
Krok 2: Ověření omezenosti parciálních součtů \( A_N \)
Pomocí Eulerovy formule
\( \sin(7n) = \frac{e^{i7n} – e^{-i7n}}{2i} \),
můžeme psát
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(7n) = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 7)} – \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 7)} \right). \)
Obě sumy jsou geometrické řady s kvocientem na jednotkové kružnici, který není 1, tedy mají omezené parciální součty.
Krok 3: Závěr
Dirichletovo kritérium tedy potvrzuje, že řada konverguje.
31. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(4n)}{n^{0.7}} \) konverguje.
Řešení příkladu 31:
Analýza řady:
Máme řadu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(4n)}{n^{0.7}}. \)
Naším cílem je určit, zda tato řada konverguje, a použijeme k tomu Dirichletovo kritérium.
Krok 1: Rozdělení na posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
Definujeme posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \sin(4n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.7}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající, protože funkce \( f(x) = x^{-0.7} \) je klesající na intervalu \( (0, \infty) \).
Navíc
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0, \)
protože mocnina s kladným exponentem větším než 0 jde k nekonečnu a obráceně tedy k 0.
Krok 2: Omezenost parciálních součtů posloupnosti \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Chceme zjistit, zda posloupnost parciálních součtů \( A_N \) je omezená.
Zapišme \( a_n \) pomocí Eulerovy formule:
\( \sin(4n) = \frac{e^{i4n} – e^{-i4n}}{2i}. \)
Poté
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(4n) = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{i4n} – \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{-i4n} \right). \)
Protože \( (-1)^n = e^{i \pi n} \), můžeme psát
\( \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{i4n} = \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 4)}. \)
Toto je geometrická řada s kvocientem \( q = e^{i(\pi + 4)} \), který leží na jednotkové kružnici v komplexní rovině (má absolutní hodnotu 1).
Protože \( q \neq 1 \), parciální součty této geometrické řady jsou omezené a dá se vyjádřit přes vzorec
\( S_N = \frac{q (1 – q^N)}{1 – q}, \)
což je omezené pro všechna \( N \).
Totéž platí pro druhou sumu s \( e^{-i4n} \).
Z toho vyplývá, že posloupnost \( A_N \) je omezená.
Krok 3: Použití Dirichletova kritéria
Dirichletovo kritérium říká, že pokud parciální součty \( A_N \) posloupnosti \( a_n \) jsou omezené a posloupnost \( b_n \) je klesající a jde k nule, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
Proto řada
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(4n)}{n^{0.7}} \) konverguje.
32. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(6n)}{n^{0.85}} \) je konvergentní.
Řešení příkladu 32:
Zadání a první úvahy:
Řada je
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(6n)}{n^{0.85}}. \)
Definujeme
\( a_n = (-1)^n \cos(6n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.85}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Omezenost parciálních součtů \( A_N \)
Vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních exponentů:
\( \cos(6n) = \frac{e^{i6n} + e^{-i6n}}{2}. \)
Parciální součet je tedy
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(6n) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 6)} + \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 6)} \right). \)
Obě geometrické řady mají kvocient na jednotkové kružnici a nejsou rovny 1, tudíž jejich parciální součty jsou omezené.
Dirichletovo kritérium
Protože \( A_N \) je omezená posloupnost a \( b_n \) je kladná, klesající a jde k nule, aplikujeme Dirichletovo kritérium a řada je konvergentní.
33. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{0.95}} \).
Řešení příkladu 33:
Řada má tvar
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(3n)}{n^{0.95}}. \)
Posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
Nechť
\( a_n = (-1)^n \sin(3n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.95}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Omezenost parciálních součtů \( A_N \)
Eulerova formule pro sinus dává
\( \sin(3n) = \frac{e^{i3n} – e^{-i3n}}{2i}. \)
Parciální součet
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(3n) = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 3)} – \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 3)} \right). \)
Tyto sumy jsou geometrické řady s kvocienty na jednotkové kružnici (nikdy 1), tedy mají omezené parciální součty.
Závěr
Dirichletovo kritérium potvrzuje, že řada konverguje.
34. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(5n)}{n^{0.6}} \).
Řešení příkladu 34:
Řada je
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(5n)}{n^{0.6}}. \)
Posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \cos(5n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.6}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Omezenost \( A_N \)
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(5n) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 5)} + \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 5)} \right). \)
Geometrické řady mají omezené parciální součty.
Závěr:
Řada konverguje podle Dirichletova kritéria.
35. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{0.8}} \).
Řešení příkladu 35:
Řada je
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{0.8}}. \)
Posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \sin(7n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.8}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
Omezenost \( A_N \)
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(7n) = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 7)} – \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 7)} \right). \)
Obě geometrické řady mají omezené parciální součty.
Závěr:
Řada je konvergentní podle Dirichletova kritéria.
36. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n^{0.75}} \) konverguje.
Řešení příkladu 36:
Máme řadu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n^{0.75}}. \)
Naším cílem je určit, zda tato řada konverguje, pomocí Dirichletova kritéria.
Krok 1: Rozdělení na posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
Definujeme posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \sin(2n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.75}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná a monotónně klesající, protože funkce \( f(x) = x^{-0.75} \) je klesající pro \( x > 0 \).
Navíc
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0. \)
Krok 2: Omezenost parciálních součtů posloupnosti \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Chceme ověřit, zda je posloupnost parciálních součtů \( A_N \) omezená.
Vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních exponentů:
\( \sin(2n) = \frac{e^{i 2 n} – e^{-i 2 n}}{2i}. \)
Tedy
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \sin(2n) = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{i 2 n} – \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{-i 2 n} \right). \)
Protože \( (-1)^n = e^{i \pi n} \), můžeme psát
\( \sum_{n=1}^N (-1)^n e^{i 2 n} = \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 2)}. \)
Tato suma je geometrická řada s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 2)} \), který leží na jednotkové kružnici, a není roven 1.
Parciální součet geometrické řady je omezený, protože
\( S_N = \frac{q (1 – q^N)}{1 – q} \)
a \( |q| = 1 \), ale \( q \neq 1 \), takže \( S_N \) jsou omezené hodnoty.
Totéž platí pro druhý součet s \( e^{-i 2 n} \).
Tudíž je posloupnost \( A_N \) omezená.
Krok 3: Aplikace Dirichletova kritéria
Podle Dirichletova kritéria platí, že pokud posloupnost parciálních součtů \( A_N \) je omezená a posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
Proto řada
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(2n)}{n^{0.75}} \) konverguje.
Navíc, protože \( \sum b_n \) diverguje (jde o p-řadu s exponentem menším než 1), nejedná se o absolutní konvergenci, ale o konvergenci podle Dirichletova kritéria – tedy podmíněnou.
37. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(3n)}{n^{0.8}} \).
Řešení příkladu 37:
Řada je
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(3n)}{n^{0.8}}. \)
Posloupnosti definujeme jako
\( a_n = (-1)^n \cos(3n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.8}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0. \)
Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \):
Využijeme vztah \( (-1)^n = e^{i \pi n} \) a zapíšeme
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(3n) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 3)} + \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 3)} \right). \)
Obě tyto sumy jsou parciální součty geometrických řad s kvocienty na jednotkové kružnici, které nejsou rovny 1, a proto jsou omezené.
Podle Dirichletova kritéria tedy řada konverguje.
38. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(4n)}{n^{0.65}} \) konverguje.
Řešení příkladu 38:
Řada je
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(4n)}{n^{0.65}}. \)
Definujeme
\( a_n = (-1)^n \sin(4n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.65}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0. \)
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) můžeme vyjádřit přes komplexní exponenty jako
\( A_N = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 4)} – \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 4)} \right). \)
Obě geometrické řady mají omezené parciální součty, což znamená, že \( A_N \) je omezená posloupnost.
Podle Dirichletova kritéria tedy řada konverguje.
39. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(6n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu 39:
Řada
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(6n)}{n^{0.9}} \)
má posloupnosti
\( a_n = (-1)^n \cos(6n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.9}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0. \)
Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou omezené, protože lze využít rozklad na komplexní exponenty:
\( A_N = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 6)} + \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 6)} \right). \)
Obě tyto geometrické řady mají omezené parciální součty.
Podle Dirichletova kritéria řada konverguje.
40. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.7}} \) konverguje.
Řešení příkladu 40:
Máme řadu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(5n)}{n^{0.7}}. \)
Definujeme
\( a_n = (-1)^n \sin(5n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.7}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0. \)
Vyjádříme parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jako
\( A_N = \frac{1}{2i} \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 5)} – \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 5)} \right). \)
Obě geometrické řady mají omezené parciální součty, tudíž je posloupnost \( A_N \) omezená.
Podle Dirichletova kritéria řada konverguje.
41. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{0.6}} \).
Řešení příkladu 41:
Máme řadu
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{0.6}}. \)
Nejprve si všimneme, že členy jsou tvořeny součinem dvou posloupností:
\( a_n = (-1)^n \sin(7n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.6}}. \)
1. Vlastnosti posloupnosti \( b_n \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, protože \( n^{0.6} > 0 \) pro \( n \geq 1 \).
Dále je \( b_n \) monotónně klesající, což plyne z monotónnosti funkce \( f(x) = x^{-0.6} \) na \( (0, \infty) \).
Navíc
\( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{0.6}} = 0. \)
2. Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \sin(7n) \) není monotónní, ale můžeme využít Eulerovu formuli:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \), a proto
\( a_n = e^{i \pi n} \sin(7n) = \Im \left( e^{i \pi n} e^{i 7 n} \right) = \Im \left( e^{i n (\pi + 7)} \right), \)
kde \( \Im(z) \) značí imaginární část komplexního čísla \( z \).
Parciální součet lze tedy psát jako
\( A_N = \sum_{n=1}^N a_n = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 7)} \right). \)
Řada \( \sum_{n=1}^N e^{i n \theta} \) je geometrická řada s kvocientem \( q = e^{i \theta} \), kde \( \theta = \pi + 7 \).
Její parciální součet je znám:
\( S_N = \sum_{n=1}^N q^n = q \frac{1 – q^N}{1 – q}. \)
Protože \( |q| = 1 \) a \( q \neq 1 \), je posloupnost \( S_N \) omezená (hodnoty neleží v nekonečnu, protože jmenovatel je nenulový).
Tudíž je omezená i imaginární část \( A_N = \Im(S_N) \), tedy posloupnost parciálních součtů \( A_N \) je omezená.
3. Aplikace Dirichletova kritéria
Protože posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule, a parciální součty \( A_N \) jsou omezené, Dirichletovo kritérium zaručuje konvergenci řady
\( \sum_{n=1}^\infty a_n b_n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(7n)}{n^{0.6}}. \)
Závěr: Řada konverguje, avšak nekonverguje absolutně, protože řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(7n)|}{n^{0.6}} \) je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.6}} \), která diverguje.
42. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(8n)}{n^{0.85}} \).
Řešení příkladu 42:
Řada je
\( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(8n)}{n^{0.85}}. \)
1. Posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
Uvažujeme
\( a_n = (-1)^n \cos(8n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.85}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
2. Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Pomocí Eulerovy formule
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \),
můžeme napsat
\( A_N = \sum_{n=1}^N e^{i \pi n} \cos(8n) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 8)} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 8)}. \)
Obě sumy jsou geometrické řady s kvocienty na jednotkové kružnici, které nejsou rovny 1, a proto mají omezené parciální součty.
3. Aplikace Dirichletova kritéria
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, takže řada konverguje.
43. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(9n)}{n^{0.55}} \).
Řešení příkladu 43:
Řada má tvar
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(9n)}{n^{0.55}}. \)
1. Posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
Definujeme
\( a_n = (-1)^n \sin(9n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.55}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
2. Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních exponentů:
\( a_n = (-1)^n \sin(9n) = \Im \left( e^{i n (\pi + 9)} \right). \)
Parciální součet je:
\( A_N = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 9)} \right), \)
což je imaginární část geometrické řady, jejíž parciální součty jsou omezené.
3. Závěr podle Dirichletova kritéria
Podmínky jsou splněny, řada tedy konverguje.
44. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(10n)}{n^{0.4}} \).
Řešení příkladu 44:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(10n)}{n^{0.4}}. \)
1. Posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
\( a_n = (-1)^n \cos(10n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.4}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
2. Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Opět použijeme Eulerovu formuli, kde \( (-1)^n = e^{i \pi n} \), takže
\( A_N = \sum_{n=1}^N e^{i \pi n} \cos(10n) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 10)} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 10)}. \)
Obě řady jsou geometrické řady s kvocienty na jednotkové kružnici, které nejsou rovny 1, a proto mají omezené parciální součty.
3. Aplikace Dirichletova kritéria
Podmínky jsou splněny, a tedy řada konverguje.
45. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(11n)}{n^{0.3}} \).
Řešení příkladu 45:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(11n)}{n^{0.3}}. \)
1. Posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \)
\( a_n = (-1)^n \sin(11n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.3}}. \)
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
2. Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \)
Vyjádříme \( a_n \) jako imaginární část komplexního čísla:
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 11)} \right). \)
Parciální součty jsou omezené, protože geometrická řada s kvocientem na jednotkové kružnici (kromě 1) má omezené parciální součty.
3. Aplikace Dirichletova kritéria
Podmínky splněny, řada konverguje.
Řada nekonverguje absolutně, protože \( \sum \frac{1}{n^{0.3}} \) diverguje.
46. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(13n)}{n^{0.7}} \).
Řešení příkladu 46:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(13n)}{n^{0.7}}. \)
Pro posouzení konvergence použijeme Dirichletovo kritérium, které říká, že pokud posloupnost \( (b_n) \) je monotónně klesající, kladná a konverguje k nule, a parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) jsou omezené, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
1. Identifikace posloupností:
\( a_n = (-1)^n \sin(13n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.7}}. \)
2. Kontrola vlastností \( b_n \):
Posloupnost \( b_n \) je kladná, protože \( n^{0.7} > 0 \) pro všechna \( n \geq 1 \).
Dále je monotónně klesající, jelikož funkce \( x \mapsto x^{-0.7} \) je klesající na \( (0, \infty) \).
Navíc platí
\( \lim_{n \to \infty} b_n = 0. \)
3. Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \):
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \sin(13n) \) lze vyjádřit pomocí komplexních exponentů:
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 13)} \right) \), kde \( \Im \) značí imaginární část.
Parciální součet je tedy
\( A_N = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 13)} \right). \)
Sumu uvnitř můžeme vyjádřit jako součet geometrické řady s kvocientem \( q = e^{i (\pi + 13)} \), kde \( |q| = 1 \) a \( q \neq 1 \), protože \( \pi + 13 \) není násobkem \( 2\pi \).
Parciální součet geometrické řady je znám:
\( S_N = \sum_{n=1}^N q^n = q \frac{1 – q^N}{1 – q}. \)
Protože jmenovatel je nenulový a \( |q|=1 \), hodnoty \( S_N \) jsou omezené, což znamená, že i posloupnost parciálních součtů \( A_N \) je omezená.
4. Aplikace Dirichletova kritéria:
Splněny jsou všechny podmínky, proto řada konverguje.
5. Absolutní konvergence:
Pro absolutní konvergenci by musela řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{|\sin(13n)|}{n^{0.7}} \) konvergovat. Jelikož \( |\sin(13n)| \leq 1 \), tato řada je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.7}} \), která konverguje, proto řada konverguje i absolutně.
Závěr: Řada konverguje absolutně a tedy i obecně.
47. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(14n)}{n^{0.5}} \).
Řešení příkladu 47:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(14n)}{n^{0.5}}. \)
1. Rozložení na posloupnosti:
\( a_n = (-1)^n \cos(14n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.5}}. \)
2. Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule.
3. Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \):
Pomocí Eulerovy formule platí
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \), takže
\( A_N = \sum_{n=1}^N e^{i \pi n} \cos(14n) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 14)} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 14)}. \)
Obě tyto sumy jsou parciální součty geometrických řad s kvocienty na jednotkové kružnici a \( q \neq 1 \), takže jsou omezené.
4. Dirichletovo kritérium tedy platí, řada konverguje.
5. Absolutní konvergence:
Řada \( \sum \frac{|\cos(14n)|}{n^{0.5}} \) je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.5}} \), která diverguje, takže řada nekonverguje absolutně.
48. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(15n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu 48:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(15n)}{n^{0.9}}. \)
1. Posloupnosti \( a_n \) a \( b_n \):
\( a_n = (-1)^n \sin(15n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.9}}. \)
2. Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a \( \lim b_n = 0 \).
3. Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \):
Vyjádříme \( a_n \) pomocí komplexních čísel:
\( a_n = \Im \left( e^{i n (\pi + 15)} \right). \)
Parciální součet je
\( A_N = \Im \left( \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 15)} \right) \), kde \( \sum e^{i n \theta} \) je geometrická řada s kvocientem \( q = e^{i \theta} \), \( |q|=1 \), \( q \neq 1 \).
Parciální součty této geometrické řady jsou omezené, tedy i posloupnost \( A_N \) je omezená.
4. Aplikace Dirichletova kritéria vede k závěru, že řada konverguje.
5. Absolutní konvergence:
Řada \( \sum \frac{|\sin(15n)|}{n^{0.9}} \) je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.9}} \), která konverguje, tudíž řada konverguje i absolutně.
49. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(17n)}{n^{0.6}} \).
Řešení příkladu 49:
Máme řadu
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(17n)}{n^{0.6}}. \)
Téma řešení je Dirichletovo kritérium pro konvergenci řad. Pro lepší pochopení si nejdříve připomeneme podmínky tohoto kritéria:
- Posloupnost \( (b_n) \) musí být kladná, klesající a konvergovat k nule.
- Parciální součty \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \) musí být omezené.
Pokud tyto podmínky platí, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
1. Identifikujeme posloupnosti:
\( a_n = (-1)^n \sin(17n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.6}}. \)
2. Ověření vlastností posloupnosti \( b_n \):
Funkce \( f(n) = \frac{1}{n^{0.6}} \) je pro \( n \geq 1 \) kladná a monotónně klesající, protože exponent \( 0.6 > 0 \).
Navíc platí \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \).
3. Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \):
Uvažujeme posloupnost \( a_n = (-1)^n \sin(17n) \). Pomocí Eulerovy formule pro sinus dostáváme:
\( \sin(17n) = \frac{e^{i17n} – e^{-i17n}}{2i}. \)
Proto lze napsat
\( a_n = (-1)^n \sin(17n) = \Im \left( (-1)^n e^{i17n} \right). \)
Dále víme, že \( (-1)^n = e^{i \pi n} \), tedy
\( a_n = \Im \left( e^{i n(\pi + 17)} \right). \)
Parciální součet \( A_N \) je tedy imaginární částí geometrické řady s kvocientem
\( q = e^{i (\pi + 17)} \), kde \( |q| = 1 \) a \( q \neq 1 \).
Sumu geometrické řady známe:
\( \sum_{n=1}^N q^n = q \frac{1 – q^N}{1 – q}. \)
Tento výraz je omezený, protože jmenovatel je nenulový a \( q \) leží na jednotkové kružnici mimo bod 1.
Tedy posloupnost parciálních součtů \( A_N \) je omezená.
4. Aplikace Dirichletova kritéria:
Splněny jsou všechny podmínky, tedy řada konverguje.
5. Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot je \( \sum \frac{|\sin(17n)|}{n^{0.6}} \), která je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.6}} \), což diverguje (protože \( 0.6 \leq 1 \)).
Z toho vyplývá, že řada nekonverguje absolutně.
Závěr: Řada konverguje, ale nekonverguje absolutně.
50. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(19n)}{n^{0.8}} \).
Řešení příkladu 50:
Řada je
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(19n)}{n^{0.8}}. \)
1. Posloupnosti:
\( a_n = (-1)^n \cos(19n), \quad b_n = \frac{1}{n^{0.8}}. \)
2. Vlastnosti \( b_n \):
Posloupnost \( b_n \) je kladná, monotónně klesající a konverguje k nule.
3. Omezenost parciálních součtů \( A_N = \sum_{n=1}^N a_n \):
Použijeme opět Eulerovu formuli:
\( (-1)^n = e^{i \pi n} \), a
\( \cos(19n) = \frac{e^{i 19 n} + e^{-i 19 n}}{2}. \)
Parciální součet tedy lze vyjádřit jako
\( A_N = \sum_{n=1}^N (-1)^n \cos(19n) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi + 19)} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N e^{i n (\pi – 19)}. \)
Obě sumy jsou parciální součty geometrických řad s kvocienty na jednotkové kružnici mimo bod 1, proto jsou omezené.
4. Dirichletovo kritérium:
Podmínky jsou splněny, řada tedy konverguje.
5. Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(19n)|}{n^{0.8}} \) je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{0.8}} \), která diverguje.
Z toho plyne, že řada nekonverguje absolutně.