Konvergence řad – Gaussovo kritérium

Řešení příkladu 1:

Řada je zadána jako \( \sum_{n=1}^\infty a_n \), kde \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).

Gaussovo kritérium zní: pokud existuje limita \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = L, \] tak platí:

• pokud \(L > 1\), řada konverguje absolutně,
• pokud \(L < 1\), řada diverguje,
• pokud \(L = 1\), kritérium je nepostačující.

Vypočteme tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^{n}}{n^n}. \]

To lze přepsat jako \[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \] Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = e. \]

Protože \(L = e > 1\), podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 2:

Máme řadu \( \sum a_n \), kde \[ a_n = \frac{2^n n^n}{(2n)!}. \] Podle Gaussova kritéria spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n^n}{(2n)!}}{\frac{2^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{2^n n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{2 (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!}. \]

Vyjádříme faktoriál \[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1). \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{2 (n+1)^{n+1}} \cdot (2n+2)(2n+1) = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{2}. \]

Upravme \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Dosadíme zpět \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)}. \]

Pro limitu posuzujeme po jednotlivých částech: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}. \]

Dále \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{2n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{2n + 2}. \] Vydělíme čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou \(n\): \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{4n + 6 + \frac{2}{n}}{2 + \frac{2}{n}} = \frac{4 \cdot \infty}{2} \to \infty. \]

Tím pádem celková limita \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = e^{-1} \cdot \infty = \infty > 1. \] Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 3:

Řada má členy \[ a_n = \frac{n^n}{(3n)!}. \] Podle Gaussova kritéria spočítáme limitu \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(3n+3)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)^{n+1}}. \]

Vyjádříme \[ \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1). \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (3n+3)(3n+2)(3n+1). \]

Upravíme výraz podobně jako dříve: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limity jednotlivých částí: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1}, \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0, \] \[ \lim_{n \to \infty} (3n+3)(3n+2)(3n+1) = \infty. \]

Pro zkoumání produktu \[ \frac{1}{n+1} \cdot (3n+3)(3n+2)(3n+1) = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1}. \] Tento výraz pro velká \(n\) chová přibližně jako \[ \frac{27 n^3}{n} = 27 n^2 \to \infty. \]

Celkově tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = e^{-1} \cdot \infty = \infty > 1, \] takže řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 4:

Máme řadu \( \sum a_n \) s členem \[ a_n = \frac{3^n}{n! n^n}. \] Podle Gaussova kritéria spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n! n^n} \cdot \frac{(n+1)! (n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{3}. \]

Zjednodušení faktoriálu: \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Dále \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (n+1) \cdot (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{3} = \frac{(n+1)^2}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limity: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e, \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{3} = \infty. \]

Celkem \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \infty \cdot e = \infty > 1, \] tedy řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 5:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 2^n}{(3n)^n}. \] Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 2^n}{(3n)^n}}{\frac{(n+1)! 2^{n+1}}{[3(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 2^n}{(3n)^n} \cdot \frac{[3(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 2^{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{2^n}{2^{n+1}} \cdot \frac{[3(n+1)]^{n+1}}{(3n)^n}. \]

Zjednodušíme: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{[3(n+1)]^{n+1}}{(3n)^n} = \frac{1}{2(n+1)} \cdot 3^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{3^n n^n} = \frac{3}{2(n+1)} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Upravíme exponenty: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3}{2(n+1)} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{3}{2} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3}{2} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{3}{2} e. \]

Jelikož \( \frac{3}{2} e > 1 \), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 11:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n n^n}{(2n)!}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n^n}{(2n)!}}{\frac{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{3^n n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2(n+1))!}{3^{n+1} (n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{3 (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!}. \]

Víme, že \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{3 (n+1)^{n+1}} \cdot (2n+2)(2n+1). \]

Upravíme \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{3 (n+1)^n (n+1)} \cdot (2n+2)(2n+1) = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3 (n+1)} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Pro limitu platí, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n = e^{-1}. \]

Limita tedy je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{3 (n+1)} \cdot e^{-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{3(n+1)} e^{-1}. \]

Rozdělíme členy v čitateli a jmenovateli: \[ \frac{4n^2 + 6n + 2}{3(n+1)} = \frac{4n^2}{3n} + \frac{6n}{3n} + \frac{2}{3n} = \frac{4}{3}n + 2 + o(1). \]

Proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{3} n + 2 + o(1)\right) e^{-1} = +\infty. \]

Jelikož limita podílu roste do nekonečna a tedy je větší než 1, řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 12:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{5^n (n!)^2}. \] Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{5^n (n!)^2}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1} ((n+1)!)^2}} = \frac{n^n}{5^n (n!)^2} \cdot \frac{5^{n+1} ((n+1)!)^2}{(n+1)^{n+1}} = 5 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2}. \]

Vyjádříme faktor \[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = \left(\frac{(n+1)!}{n!}\right)^2 = (n+1)^2. \]

Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 (n+1)^2 \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 5 (n+1)^2 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = 5 (n+1) \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limita výrazu \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\) je \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = e^{-1}. \]

Tedy limita podílu je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 \lim_{n \to \infty} (n+1) e^{-1} = +\infty. \]

Protože limita roste do nekonečna (je větší než 1), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 13:

Člen řady je \[ a_n = \frac{2^n n!}{n^n}. \] Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{n^n}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{2^n n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{2^{n+1} (n+1)!} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}. \]

Vyjádříme jednotlivé části \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. \] Upravíme exponenty \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \]

Dosadíme do výrazu \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{2} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{1}{2} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{2} e. \]

Protože \(\frac{1}{2} e \approx 1.359 > 1\), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 14:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^3 4^n}{(2n)!}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3 4^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^3 4^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{n^3 4^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2(n+1))!}{(n+1)^3 4^{n+1}} = \frac{n^3}{4 (n+1)^3} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!}. \]

Využijeme \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^3}{4 (n+1)^3} (2n+2)(2n+1). \]

Vyjádříme výraz \[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{4} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{4} = \frac{(n+1)(2n+1)}{2}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^3}{(n+1)^3} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{2} = \frac{n^3}{(n+1)^2} \cdot \frac{2n+1}{2}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{(n+1)^2} \cdot \frac{2n+1}{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3 (2n+1)}{2 (n+1)^2}. \]

Pro dominantní členy v čitateli a jmenovateli platí \[ \frac{n^3 (2n+1)}{(n+1)^2} \sim \frac{n^3 \cdot 2n}{n^2} = 2 n^2. \] Proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 n^2}{2} = +\infty. \]

Jelikož limita je nekonečno, tedy větší než 1, řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 15:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 3^n}{(4n)^n}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 3^n}{(4n)^n}}{\frac{(n+1)! 3^{n+1}}{[4(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 3^n}{(4n)^n} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 3^{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n}. \]

Zjednodušíme \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \]

Upravíme exponenty \[ [4(n+1)]^{n+1} = [4(n+1)]^n \cdot 4(n+1). \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{[4(n+1)]^n \cdot 4(n+1)}{(4n)^n} = \frac{4}{3} \cdot \frac{n+1}{n+1} \cdot \left(\frac{4(n+1)}{4n}\right)^n = \frac{4}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{3} e. \]

Protože \(\frac{4}{3} e > 1\), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 16:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{n^n 5^n}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n^n 5^n}}{\frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{n^n 5^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Upravíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}. \] Víme, že \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] proto \[ \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Dosadíme zpět: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}. \] Upravíme exponenty \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita výrazu \(\left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e.\)

Limita zlomku: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{5 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{5n}{4n^2} = 0. \] Proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 0 \cdot e = 0 < 1. \]

Jelikož limita je menší než 1, řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 17:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 6^n}{(2n)^n}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 6^n}{(2n)^n}}{\frac{(n+1)! 6^{n+1}}{[2(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 6^n}{(2n)^n} \cdot \frac{[2(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 6^{n+1}}. \]

Zjednodušíme faktory \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{6^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6}. \] Dále \[ [2(n+1)]^{n+1} = [2(n+1)]^n \cdot 2(n+1). \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{[2(n+1)]^n \cdot 2(n+1)}{(2n)^n} = \frac{2}{6} \cdot \frac{n+1}{n+1} \cdot \left(\frac{2(n+1)}{2n}\right)^n = \frac{1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} e. \] Jelikož \(\frac{1}{3} e \approx 0.906 < 1\), řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 18:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n (n!)^2}{(2n)!}}{\frac{3^{n+1} ((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}} = \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{3^{n+1} ((n+1)!)^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!}. \]

Upravíme jednotlivé faktory: \[ \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} \cdot (2n+2)(2n+1) = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3 (n+1)^2}. \]

Upravíme čitatel: \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{3 (n+1)^2}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{3 (n+1)^2} = \frac{4}{3} > 1. \]

Jelikož limita je větší než 1, řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 19:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(3(n+1))!}} = \frac{n^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3(n+1))!}{(n+1)^{n+1}}. \]

Upravíme faktor s faktoriálem: \[ (3(n+1))! = (3n + 3)! = (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)!, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1). \]

Upravíme mocniny: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Celý výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limity jednotlivých částí: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3 + \text{(nižší řády)}}{n} = \infty, \] a zároveň \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e}. \]

Tedy limita podílu je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \infty \cdot \frac{1}{e} = \infty > 1. \]

Jelikož limita je větší než 1, řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 20:

Člen řady je \[ a_n = \frac{2^n n!}{(n+2)^n}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{(n+2)^n}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+3)^{n+1}}} = \frac{2^n n!}{(n+2)^n} \cdot \frac{(n+3)^{n+1}}{2^{n+1} (n+1)!} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+3)^{n+1}}{(n+2)^n}. \]

Zjednodušení faktoriálů: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Upravíme mocniny: \[ (n+3)^{n+1} = (n+3)^n (n+3). \]

Podíl tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2 (n+1)} \cdot (n+3) \cdot \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^n = \frac{n+3}{2 (n+1)} \cdot \left(1 + \frac{1}{n+2}\right)^n. \]

Limity jednotlivých částí: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{2 (n+1)} = \frac{1}{2}, \quad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+2}\right)^n = e. \]

Celková limita podílu je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} e. \]

Protože \(\frac{1}{2} e \approx 1.359 > 1\), řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 21:

Člen řady je \[ a_n = \frac{5^n}{n^n}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{5^n}{n^n}}{\frac{5^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{5^n}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Upravíme mocniny: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} (n+1) \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = e, \quad \lim_{n \to \infty} (n+1) = \infty. \] Proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \infty. \]

Jelikož limita podílu je větší než 1, řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 22:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n!}{3^n n^n}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{3^n n^n}}{\frac{(n+1)!}{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{3^n n^n} \cdot \frac{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}. \]

Zjednodušíme faktoriály \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \] a mocniny \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = 3 \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 e > 1. \]

Řada tedy podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 23:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}. \]

Upravíme faktoriály v čitateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} \cdot (2n+2)(2n+1). \]

Faktoriály v čitateli a jmenovateli: \[ \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \left(\frac{n!}{(n+1)!}\right)^2 = \left(\frac{1}{n+1}\right)^2. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}. \]

Upravíme výraz: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2} = 2 \cdot \frac{2n+1}{n+1} = 2 \left(2 – \frac{1}{n+1}\right). \]

Limita podílu je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 2 \cdot 2 = 4. \]

Jelikož limita podílu je větší než 1, řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 24:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n n!}{(n+1)^{n+1}}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+2)^{n+2}}} = \frac{3^n n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(n+2)^{n+2}}{3^{n+1} (n+1)!} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}}. \]

Zjednodušení faktoriálů: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Upravíme mocniny: \[ (n+2)^{n+2} = (n+2)^{n+1} (n+2). \]

Celý výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3 (n+1)} \cdot (n+2) \cdot \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1} = \frac{n+2}{3(n+1)} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1}. \]

Limity jednotlivých částí: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{3(n+1)} = \frac{1}{3}, \quad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} = e. \]

Limita celého výrazu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{e}{3} \approx 0{,}906 < 1. \]

Protože limita je menší než 1, řada podle Gaussova kritéria diverguje.

Řešení příkladu 25:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{4^n n!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{4^n n!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1} (n+1)!}} = \frac{n^n}{4^n n!} \cdot \frac{4^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} = 4 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)!}{n!}. \]

Zjednodušíme faktoriály: \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Upravíme mocniny: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 4 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} \cdot (n+1) = 4 \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limita \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e}. \]

Tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 4 \cdot \frac{1}{e} = \frac{4}{e} \approx 1{,}471 > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 26:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 5^n}{(2n)^{2n}}. \] Spočítáme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(2n)^{2n}}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{[2(n+1)]^{2(n+1)}}} = \frac{n! 5^n}{(2n)^{2n}} \cdot \frac{[2(n+1)]^{2(n+1)}}{(n+1)! 5^{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{5^n}{5^{n+1}} \cdot \frac{[2(n+1)]^{2(n+1)}}{(2n)^{2n}}. \]

Zjednodušení: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \]

Upravíme mocniny: \[ [2(n+1)]^{2(n+1)} = [2(n+1)]^{2n + 2} = [2(n+1)]^{2n} \cdot [2(n+1)]^{2}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5(n+1)} \cdot \frac{[2(n+1)]^{2n} \cdot [2(n+1)]^{2}}{(2n)^{2n}}. \]

Rozepíšeme mocniny: \[ \frac{[2(n+1)]^{2n}}{(2n)^{2n}} = \left(\frac{2(n+1)}{2n}\right)^{2n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}, \quad [2(n+1)]^{2} = 4(n+1)^2. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5(n+1)} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} \cdot 4(n+1)^2 = \frac{4(n+1)^2}{5(n+1)} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = \frac{4}{5} (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{5} (n+1) e^{2} = +\infty. \]

Protože limita je nekonečno (větší než 1), řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 27:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^3 3^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{(n!)^3 3^n}}{\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^3 3^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{(n!)^3 3^n} \cdot \frac{((n+1)!)^3 3^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Upravíme mocniny tří: \[ \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3. \] Faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad ((n+1)!)^3 = ((n+1)^3)(n!)^3. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^3} \cdot \frac{(n+1)^3 (n!)^3}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)^3}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Vyjádříme jmenovatele: \[ (2n+2)(2n+1) = 2(n+1)(2n+1). \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{(n+1)^3}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{3}{2} \cdot \frac{(n+1)^2}{2n+1}. \]

Limita \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3}{2} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2n+1} = \frac{3}{2} \cdot \infty = +\infty. \]

Limita je větší než 1, řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 28:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 4^n}{(5n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(5n)^n}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{[5(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 4^n}{(5n)^n} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme faktoriály a mocniny: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(5n)^n} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot 5^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{5^n n^n}. \]

Upravíme mocniny: \[ 5^{n+1} = 5^n \cdot 5, \quad (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot 5 \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{5}{4(n+1)} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Zkrátíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e. \]

Tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4} e \approx 3.4 > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 29:

Člen řady je \[ a_n = \frac{2^n n!}{(3n+1)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{(3n+1)^n}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1)+1)^{n+1}}} = \frac{2^n n!}{(3n+1)^n} \cdot \frac{(3n+4)^{n+1}}{2^{n+1} (n+1)!}. \]

Zjednodušíme faktoriály a mocniny: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2(n+1)} \cdot \frac{(3n+4)^{n+1}}{(3n+1)^n}. \]

Upravíme mocniny: \[ (3n+4)^{n+1} = (3n+4)^n (3n+4). \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3n+4}{2(n+1)} \left(\frac{3n+4}{3n+1}\right)^n. \]

Limita podílu složeného výrazu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n+4}{2(n+1)} = \frac{3}{2}, \quad \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3n+1}\right)^n = e^{\frac{3}{3}} = e. \] (Protože \[ \frac{3n+4}{3n+1} = 1 + \frac{3}{3n+1} \approx 1 + \frac{1}{n} \text{ a } n \to \infty, \] exponent je pak přibližně \(n \cdot \frac{1}{n} = 1\), zde to upřesníme na \(e\).)

Tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3}{2} \cdot e \approx 4.08 > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 30:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n n!}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n!}{(2n)!}}{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{(2(n+1))!}} = \frac{3^n n!}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{3^{n+1} (n+1)!}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad (n+1)! = (n+1) n!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n!}{(n+1) n!} \cdot (2n+2)(2n+1) = \frac{1}{3 (n+1)} (2n+2)(2n+1). \]

Upravíme výraz: \[ (2n+2)(2n+1) = 2(n+1)(2n+1). \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3(n+1)} \cdot 2(n+1)(2n+1) = \frac{2(2n+1)}{3}. \]

Limita \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(2n+1)}{3} = +\infty. \]

Protože limita je větší než 1, řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 31:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 3^n}{(4n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 3^n}{(4n)^n}}{\frac{(n+1)! 3^{n+1}}{[4(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 3^n}{(4n)^n} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{(n+1)} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n} = \frac{1}{3(n+1)} \cdot 4^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{4^n n^n}. \]

Upravíme mocniny: \[ 4^{n+1} = 4^n \cdot 4, \quad (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3(n+1)} \cdot 4 \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{4}{3(n+1)} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Zkrátíme a dostaneme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{3} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{3} \cdot e > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 32:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}. \]

Upravíme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}. \]

Upravíme: \[ (2n+2) = 2(n+1), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2} = 2 \cdot \frac{2n+1}{n+1}. \]

Limita \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{n+1} = 2 \cdot 2 = 4 > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 33:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! 5^n n^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n! 5^n n^n}}{\frac{(2(n+1))!}{(n+1)! 5^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{n! 5^n n^n} \cdot \frac{(n+1)! 5^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Rozepíšeme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad 5^{n+1} = 5^n \cdot 5. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n)!}{n! 5^n n^n} \cdot \frac{(n+1)! 5^n \cdot 5 (n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{5 (n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1) n^n}. \]

Zjednodušíme \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5 (n+1) (n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1) n^n} = \frac{5 (n+1)^{n+2}}{(2n+2)(2n+1) n^n}. \]

Rozdělíme exponent: \[ (n+1)^{n+2} = (n+1)^n (n+1)^2, \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5 (n+1)^n (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1) n^n} = \frac{5 (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{5 (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 (n+1)^2}{4n^2 + 6n + 2} = \frac{5}{4}, \] a také \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = e. \]

Celkově \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4} \cdot e > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 34:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 4^n}{(5n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(5n)^n}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{[5(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 4^n}{(5n)^n} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(5n)^n} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot 5^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{5^n n^n}. \]

Upravíme mocniny: \[ 5^{n+1} = 5^n \cdot 5, \quad (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot 5 \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{5}{4} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4} \cdot e > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 35:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)!}{n! 6^{n} (2n)^{2n}}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{n! 6^{n} (2n)^{2n}}}{\frac{(3(n+1))!}{(n+1)! 6^{n+1} [2(n+1)]^{2(n+1)}}} = \frac{(3n)!}{n! 6^{n} (2n)^{2n}} \cdot \frac{(n+1)! 6^{n+1} [2(n+1)]^{2(n+1)}}{(3n+3)!}. \]

Upravíme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad 6^{n+1} = 6^n \cdot 6. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n)!}{n! 6^{n} (2n)^{2n}} \cdot \frac{(n+1)! 6^n \cdot 6 [2(n+1)]^{2(n+1)}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{6 [2(n+1)]^{2(n+1)}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1) (2n)^{2n}}. \]

Zjednodušíme \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{6 [2(n+1)]^{2(n+1)}}{(3n+3)(3n+2)(3n+1) (2n)^{2n}}. \]

Rozdělíme mocniny \[ [2(n+1)]^{2(n+1)} = [2(n+1)]^{2n} \cdot [2(n+1)]^2, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{6 \cdot [2(n+1)]^{2n} \cdot [2(n+1)]^2}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(2n)^{2n}}. \]

Vyjádříme podíl mocnin jako \[ \left(\frac{2(n+1)}{2n}\right)^{2n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}. \] Také \[ [2(n+1)]^2 = 4 (n+1)^2, \] a jmenovatel \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) = 27 n^3 + \text{nižší řády}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (n+1) \sim n, \quad (n+1)^2 \sim n^2, \quad (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim n \cdot \frac{6 \cdot 4 n^2 \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}}{27 n^3} = \frac{24 n^3}{27 n^3} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = \frac{8}{9} e^{2}. \]

Protože \[ \frac{8}{9} e^{2} > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria absolutně.

Řešení příkladu 36:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^3}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^3}{(3n)!}}{\frac{((n+1)!)^3}{(3(n+1))!}} = \frac{(n!)^3}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3}. \]

Upravíme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3} \sim \frac{27 n^3}{n^3} = 27 > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 37:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}}{\frac{(2(n+1))!}{((n+1)!)^2 4^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \cdot \frac{((n+1)!)^2 4^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Rozepíšeme faktoriály a mocniny: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad 4^{n+1} = 4^n \cdot 4. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \cdot \frac{((n+1)!)^2 4^n \cdot 4}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \frac{((n+1)!)^2 \cdot 4}{(n!)^2 (2n+2)(2n+1)}. \]

Zjednodušíme \[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4 (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{4 (n+1)^2}{2( n+1)(2n+1)} = \frac{2 (n+1)}{2n+1}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)}{2n+1} = 1. \]

Gaussovo kritérium není rozhodující, protože limita je rovna 1. Nutné použít jiné metody (např. Stirlingova formule) pro detailnější posouzení.

Řešení příkladu 38:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 3^n}{(2n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 3^n}{(2n)^n}}{\frac{(n+1)! 3^{n+1}}{[2(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 3^n}{(2n)^n} \cdot \frac{[2(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme zlomky \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{[2(n+1)]^{n+1}}{(2n)^n} = \frac{1}{3(n+1)} \cdot \frac{2^{n+1} (n+1)^{n+1}}{2^n n^n} = \frac{2}{3(n+1)} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Upravíme exponenty \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2}{3(n+1)} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{2}{3} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2}{3} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{2}{3} e \approx 1.81 > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 39:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 2^n}{(n!)^3 9^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 2^n}{(n!)^3 9^n}}{\frac{(3(n+1))! 2^{n+1}}{((n+1)!)^3 9^{n+1}}} = \frac{(3n)! 2^n}{(n!)^3 9^n} \cdot \frac{((n+1)!)^3 9^{n+1}}{(3n+3)! 2^{n+1}}. \]

Upravíme mocniny a faktoriály: \[ 9^{n+1} = 9^n \cdot 9, \quad 2^{n+1} = 2^n \cdot 2, \quad (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n)!}{(n!)^3} \cdot \frac{2^n}{9^n} \cdot \frac{(n+1)^3 (n!)^3 9^n \cdot 9}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! 2^n \cdot 2} = \frac{(n+1)^3 9}{2 (3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad (n+1)^3 \sim n^3, \] proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 9}{2 \cdot 27 n^3} = \frac{9}{54} = \frac{1}{6} < 1. \]

Protože limita je menší než 1, řada podle Gaussova kritéria diverguje.

Řešení příkladu 40:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 5^n}{(4n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(4n)^n}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{[4(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 5^n}{(4n)^n} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n} = \frac{1}{5(n+1)} \cdot \frac{4^{n+1} (n+1)^{n+1}}{4^n n^n} = \frac{4}{5(n+1)} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Upravíme exponenty \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{5(n+1)} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{4}{5} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{5} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{4}{5} e \approx 2.17 > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 41:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(4n)!}{(2n)! (n!)^2 16^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(4n)!}{(2n)! (n!)^2 16^n}}{\frac{(4(n+1))!}{(2(n+1))! ((n+1)!)^2 16^{n+1}}} = \frac{(4n)!}{(2n)! (n!)^2 16^n} \cdot \frac{(2n+2)! ((n+1)!)^2 16^{n+1}}{(4n+4)!}. \]

Upravíme mocniny \[ 16^{n+1} = 16^n \cdot 16, \] a faktoriály: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(4n)!}{(2n)! (n!)^2 16^n} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)! (n+1)^2 (n!)^2 16^n \cdot 16}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!}. \]

Zkrátíme shodné faktory \[ \frac{(4n)!}{(4n)!} = 1, \quad \frac{(2n)!}{(2n)!} = 1, \quad \frac{(n!)^2}{(n!)^2} = 1, \quad 16^n / 16^n = 1, \] takže zůstává \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)(n+1)^2 \cdot 16}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]

Limita pro \( n \to \infty \): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \quad (n+1)^2 \sim n^2, \quad (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim 256 n^4, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{16 \cdot 4 n^2 \cdot n^2}{256 n^4} = \frac{16 \cdot 4}{256} = \frac{64}{256} = \frac{1}{4} < 1. \]

Jelikož limita je menší než 1, řada podle Gaussova kritéria diverguje.

Řešení příkladu 42:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 4^n}{(5n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(5n)^n}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{[5(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 4^n}{(5n)^n} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme faktory \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(5n)^n}. \]

Upravíme mocniny: \[ [5(n+1)]^{n+1} = 5^{n+1} (n+1)^{n+1}, \quad (5n)^n = 5^n n^n, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot \frac{5^{n+1} (n+1)^{n+1}}{5^n n^n} = \frac{5}{4(n+1)} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Rozepíšeme exponenty \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4(n+1)} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{5}{4} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \) je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{5}{4} e \approx 3.4 > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 43:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 3^n}{(n!)^2 10^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 3^n}{(n!)^2 10^n}}{\frac{(2(n+1))! 3^{n+1}}{((n+1)!)^2 10^{n+1}}} = \frac{(2n)! 3^n}{(n!)^2 10^n} \cdot \frac{((n+1)!)^2 10^{n+1}}{(2n+2)! 3^{n+1}}. \]

Upravíme mocniny \[ 10^{n+1} = 10^n \cdot 10, \quad 3^{n+1} = 3^n \cdot 3, \] a faktoriály \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{3^n}{10^n} \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2 10^n \cdot 10}{(2n+2)(2n+1)(2n)! 3^n \cdot 3} = \frac{(n+1)^2 \cdot 10}{3 (2n+2)(2n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \quad (n+1)^2 \sim n^2, \] takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{10 n^2}{3 \cdot 4 n^2} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} < 1. \]

Proto podle Gaussova kritéria řada diverguje.

Řešení příkladu 44:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 4^n}{(n!)^3 81^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 4^n}{(n!)^3 81^n}}{\frac{(3(n+1))! 4^{n+1}}{((n+1)!)^3 81^{n+1}}} = \frac{(3n)! 4^n}{(n!)^3 81^n} \cdot \frac{((n+1)!)^3 81^{n+1}}{(3n+3)! 4^{n+1}}. \]

Upravíme mocniny \[ 81^{n+1} = 81^n \cdot 81, \quad 4^{n+1} = 4^n \cdot 4, \] a faktoriály \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n)!}{(n!)^3} \cdot \frac{4^n}{81^n} \cdot \frac{(n+1)^3 (n!)^3 81^n \cdot 81}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! 4^n \cdot 4} = \frac{(n+1)^3 \cdot 81}{4 (3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad (n+1)^3 \sim n^3, \] takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{81 n^3}{4 \cdot 27 n^3} = \frac{81}{108} = \frac{3}{4} < 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria diverguje.

Řešení příkladu 45:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}}. \]

Faktoriály upravíme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+1}}. \]

Rozepíšeme exponenty: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \sim \frac{4 n^2}{n} = 4n, \quad \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}. \] Celkem \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} 4n \cdot e^{-1} = +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 46:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}. \]

Faktoriály upravíme \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad (n+1)^2 \sim n^2, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4 n^2}{n^2} = 4 > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 47:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 5^n}{(4n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(4n)^n}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{[4(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 5^n}{(4n)^n} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme jednotlivé části: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n}. \]

Rozepíšeme mocniny: \[ [4(n+1)]^{n+1} = 4^{n+1} (n+1)^{n+1}, \quad (4n)^n = 4^n n^n, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5(n+1)} \cdot \frac{4^{n+1} (n+1)^{n+1}}{4^n n^n} = \frac{4}{5(n+1)} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Exponenty upravíme takto: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] a tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{5(n+1)} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{4}{5} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \) je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{5} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{4}{5} e \approx 2.17 > 1. \]

Proto řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 48:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 6^n}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 6^n}{(3n)!}}{\frac{(2(n+1))! 6^{n+1}}{(3(n+1))!}} = \frac{(2n)! 6^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(2n+2)! 6^{n+1}}. \]

Rozepíšeme mocniny \[ 6^{n+1} = 6^n \cdot 6, \] a faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz upravíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n)!}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)! \cdot 6} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{6 (2n+2)(2n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{6 \cdot 4 n^2} = \frac{27 n^3}{24 n^2} = \frac{27}{24} n = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 49:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(3(n+1))!}} = \frac{n^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)^{n+1}}. \]

Faktoriály rozepíšeme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n (3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^{n+1}}. \]

Upravíme mocniny: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1} \sim \frac{27 n^3}{n} = 27 n^2, \quad \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}. \] Celkem \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} 27 n^2 e^{-1} = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 50:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^3}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^3}{(3n)!}}{\frac{((n+1)!)^3}{(3(n+1))!}} = \frac{(n!)^3}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3}. \]

Faktoriály rozepíšeme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n!)^3}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}{(n+1)^3 (n!)^3} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad (n+1)^3 \sim n^3, \] proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{27 n^3}{n^3} = 27 > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 51:

Člen řady je \[ a_n = \frac{2^n n!}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{(5n)!}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(5(n+1))!}} = \frac{2^n n!}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{2^{n+1} (n+1)!}. \]

Zjednodušíme mocniny a faktoriály: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad (n+1)! = (n+1) n!, \] \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n!}{(n+1) n!} \cdot \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!}{(5n)!} = \frac{1}{2(n+1)} (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) \sim 5^5 n^5 = 3125 n^5, \] proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125 n^5}{2 (n+1)} = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 52:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 4^n}{(5n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(5n)^n}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{[5(n+1)]^{n+1}}} = \frac{n! 4^n}{(5n)^n} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme jednotlivé části: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(5n)^n}. \]

Rozepíšeme mocniny: \[ [5(n+1)]^{n+1} = 5^{n+1} (n+1)^{n+1}, \quad (5n)^n = 5^n n^n, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot \frac{5^{n+1} (n+1)^{n+1}}{5^n n^n} = \frac{5}{4(n+1)} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Upravíme exponenty: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4(n+1)} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{5}{4} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{5}{4} e \approx 3.4 > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 53:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 2^n}{(4n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 2^n}{(4n)!}}{\frac{(3(n+1))! 2^{n+1}}{(4(n+1))!}} = \frac{(3n)! 2^n}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)!}{(3n+3)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \] Výraz tedy upravíme na \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3n)!}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita pro \( n \to \infty \): \[ \text{čitatel} \sim 4^4 n^4 = 256 n^4, \quad \text{jmenovatel} \sim 3^3 n^3 = 27 n^3, \] takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{256 n^4}{27 n^3} = \frac{128}{27} n = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 54:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n 3^n}{(4n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n 3^n}{(4n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1} 3^{n+1}}{(4(n+1))!}} = \frac{n^n 3^n}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)!}{(n+1)^{n+1} 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \] Výraz upravíme na \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1). \]

Upravíme mocniny: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} \cdot (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) = \frac{1}{3(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}, \] \[ (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim 4^4 n^4 = 256 n^4, \quad \frac{1}{3(n+1)} \sim \frac{1}{3 n}. \] Celkem \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{256 n^4}{3 n} e^{-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{256}{3} n^3 e^{-1} = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 55:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2 7^n}{(6n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2 7^n}{(6n)!}}{\frac{((n+1)!)^2 7^{n+1}}{(6(n+1))!}} = \frac{(n!)^2 7^n}{(6n)!} \cdot \frac{(6n+6)!}{((n+1)!)^2 7^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!. \] Výraz upravíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(n!)^2}{(n+1)^2 (n!)^2} \cdot \frac{(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!}{(6n)!} = \frac{1}{7 (n+1)^2} \prod_{k=1}^6 (6n + k). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \prod_{k=1}^6 (6n + k) \sim (6n)^6 = 6^6 n^6 = 46656 n^6, \] proto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{46656 n^6}{7 (n+1)^2} = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 56:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 5^n}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{n! 5^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny a faktoriály: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad (n+1)! = (n+1) n!. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{n!}{(n+1) n!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} = \frac{1}{5(n+1)} (2n+2)(2n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad \frac{1}{5(n+1)} \sim \frac{1}{5 n}. \] Celkem \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2}{5 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{5} n = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 57:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 3^n}{(5n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 3^n}{(5n)^n}}{\frac{(2(n+1))! 3^{n+1}}{[5(n+1)]^{n+1}}} = \frac{(2n)! 3^n}{(5n)^n} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(2n+2)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(5n)^n} = \frac{1}{3(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(5n)^n}. \]

Upravíme výraz s mocninami: \[ \frac{[5(n+1)]^{n+1}}{(5n)^n} = 5 \cdot 5^n \frac{(n+1)^{n+1}}{5^n n^n} = 5 (n+1)^{n+1} \frac{1}{n^n}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{3(2n+2)(2n+1)} (n+1)^{n+1} \frac{1}{n^n}. \]

Rozepíšeme \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1). \] Dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{3(2n+2)(2n+1)} (n+1)^n (n+1) \frac{1}{n^n} = \frac{5(n+1)}{3(2n+2)(2n+1)} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] a také \[ \frac{5(n+1)}{3(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{5n}{3 \cdot 4 n^2} = \frac{5}{12 n} \to 0. \] Výsledná limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 0 < 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada diverguje.

Řešení příkladu 58:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 2^{2n}}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 2^{2n}}{(3n)!}}{\frac{(n+1)! 2^{2(n+1)}}{(3(n+1))!}} = \frac{n! 2^{2n}}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)! 2^{2n+2}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{2^{2n}}{2^{2n+2}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad (n+1)! = (n+1) n!. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{n!}{(n+1) n!} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}{(3n)!} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{4(n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 3^3 n^3 = 27 n^3, \quad \frac{1}{4(n+1)} \sim \frac{1}{4 n}. \] Tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{4 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{27}{4} n^2 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 59:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n 4^n}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n 4^n}{(5n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1} 4^{n+1}}{(5(n+1))!}} = \frac{n^n 4^n}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{(n+1)^{n+1} 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1). \]

Rozepíšeme mocniny: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} \cdot \prod_{k=1}^5 (5n + k) = \frac{1}{4 (n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \prod_{k=1}^5 (5n + k). \]

Limita \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}. \] Dále \[ \prod_{k=1}^5 (5n + k) \sim (5n)^5 = 3125 n^5, \quad \frac{1}{4 (n+1)} \sim \frac{1}{4 n}. \] Celkově \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125 n^5}{4 n} e^{-1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125}{4} n^4 e^{-1} = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 60:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 2^n}{(7n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 2^n}{(7n)!}}{\frac{(3(n+1))! 2^{n+1}}{(7(n+1))!}} = \frac{(3n)! 2^n}{(7n)!} \cdot \frac{(7n+7)!}{(3n+3)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (7n+7)! = (7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)(7n)!, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} \cdot \frac{(7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)(7n)!}{(7n)!}. \]

Po zkrácení: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2(3n+3)(3n+2)(3n+1)} \cdot \prod_{k=1}^7 (7n + k). \] Limita při \( n \to \infty \): \[ \prod_{k=1}^7 (7n+k) \sim (7n)^7 = 823543 n^7, \quad (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{823543 n^7}{2 \cdot 27 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{823543}{54} n^4 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 61:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2 6^n}{(4n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2 6^n}{(4n)!}}{\frac{((n+1)!)^2 6^{n+1}}{(4(n+1))!}} = \frac{(n!)^2 6^n}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)!}{((n+1)!)^2 6^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{6^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6}, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{6 (n+1)^2} \cdot (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim (4n)^4 = 256 n^4, \quad \frac{1}{6 (n+1)^2} \sim \frac{1}{6 n^2}. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{256 n^4}{6 n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{256}{6} n^2 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 62:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 5^n}{(4n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 5^n}{(4n)^n}}{\frac{(2(n+1))! 5^{n+1}}{[4(n+1)]^{n+1}}} = \frac{(2n)! 5^n}{(4n)^n} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(2n+2)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz tedy upravíme na \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n} = \frac{1}{5(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n}. \]

Upravíme zlomek s mocninami: \[ \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n} = 4 \cdot 4^n \frac{(n+1)^{n+1}}{4^n n^n} = 4 (n+1)^{n+1} \frac{1}{n^n}. \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{5(2n+2)(2n+1)} (n+1)^{n+1} \frac{1}{n^n}. \]

Rozepíšeme \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] a dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4(n+1)}{5(2n+2)(2n+1)} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limity jednotlivých částí při \( n \to \infty \): \[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \quad \frac{4(n+1)}{5(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{4n}{5 \cdot 4 n^2} = \frac{4}{20 n} = \frac{1}{5 n} \to 0. \] Výsledná limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 0 < 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada diverguje.

Řešení příkladu 63:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 3^{2n}}{(4n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 3^{2n}}{(4n)!}}{\frac{(n+1)! 3^{2(n+1)}}{(4(n+1))!}} = \frac{n! 3^{2n}}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)!}{(n+1)! 3^{2n+2}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{3^{2n}}{3^{2n+2}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \quad (n+1)! = (n+1) n!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{9} \cdot \frac{n!}{(n+1) n!} \cdot (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) = \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{9 (n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim (4n)^4 = 256 n^4, \quad \frac{1}{9 (n+1)} \sim \frac{1}{9 n}. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{256 n^4}{9 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{256}{9} n^3 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 64:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 2^{3n}}{(7n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 2^{3n}}{(7n)!}}{\frac{(3(n+1))! 2^{3(n+1)}}{(7(n+1))!}} = \frac{(3n)! 2^{3n}}{(7n)!} \cdot \frac{(7n+7)!}{(3n+3)! 2^{3n+3}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{2^{3n}}{2^{3n+3}} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (7n+7)! = (7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)(7n)!, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} \cdot \prod_{k=1}^7 (7n + k). \]

Po zkrácení: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{8 (3n+3)(3n+2)(3n+1)} \cdot \prod_{k=1}^7 (7n + k). \] Limita při \( n \to \infty \): \[ \prod_{k=1}^7 (7n+k) \sim (7n)^7 = 823543 n^7, \quad (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{823543 n^7}{8 \cdot 27 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{823543}{216} n^4 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 65:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^3 4^n}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^3 4^n}{(5n)!}}{\frac{((n+1)!)^3 4^{n+1}}{(5(n+1))!}} = \frac{(n!)^3 4^n}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{((n+1)!)^3 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}, \quad ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4 (n+1)^3} (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) \sim (5n)^5 = 3125 n^5, \quad \frac{1}{4 (n+1)^3} \sim \frac{1}{4 n^3}. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125 n^5}{4 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125}{4} n^2 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 66:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 7^n}{(6n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 7^n}{(6n)!}}{\frac{(2(n+1))! 7^{n+1}}{(6(n+1))!}} = \frac{(2n)! 7^n}{(6n)!} \cdot \frac{(6n+6)!}{(2n+2)! 7^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!, \] \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \prod_{k=1}^6 (6n + k). \]

Po zkrácení: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7 (2n+2)(2n+1)} \cdot \prod_{k=1}^6 (6n + k). \] Limita při \( n \to \infty \): \[ \prod_{k=1}^6 (6n+k) \sim (6n)^6 = 46656 n^6, \quad (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{46656 n^6}{7 \cdot 4 n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{46656}{28} n^4 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 67:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2 3^n}{(4n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2 3^n}{(4n)^n}}{\frac{((n+1)!)^2 3^{n+1}}{[4(n+1)]^{n+1}}} = \frac{(n!)^2 3^n}{(4n)^n} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{((n+1)!)^2 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály upravíme: \[ ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3 (n+1)^2} \cdot \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n}. \]

Rozepíšeme mocniny: \[ \frac{[4(n+1)]^{n+1}}{(4n)^n} = 4 \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n (n+1)^n. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{3 (n+1)^2} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{4}{3 (n+1)^2} (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Zkrátíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4 (n+1)}{3 (n+1)^2} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \frac{4}{3 (n+1)} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3 (n+1)} \cdot e = 0 < 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada diverguje.

Řešení příkladu 68:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 5^n}{(6n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 5^n}{(6n)^n}}{\frac{(2(n+1))! 5^{n+1}}{[6(n+1)]^{n+1}}} = \frac{(2n)! 5^n}{(6n)^n} \cdot \frac{[6(n+1)]^{n+1}}{(2n+2)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5 (2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{[6(n+1)]^{n+1}}{(6n)^n}. \]

Upravíme zlomek s mocninami: \[ \frac{[6(n+1)]^{n+1}}{(6n)^n} = 6 \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n (n+1)^n. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{6}{5 (2n+2)(2n+1)} (n+1)^n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Pro \( n \to \infty \): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad (n+1)^n = n^n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{6}{5 \cdot 4 n^2} n^n e^n e^n = \frac{6}{20 n^2} n^n e^{2n}. \]

Vzhledem k rychlosti růstu \( n^n \) a exponentu je jasné, že limita diverguje k nekonečnu, tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 69:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 4^{2n}}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^{2n}}{(5n)!}}{\frac{(n+1)! 4^{2(n+1)}}{(5(n+1))!}} = \frac{n! 4^{2n}}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{(n+1)! 4^{2n+2}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{4^{2n}}{4^{2n+2}} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}. \] Faktoriály: \[ (n+1)! = (n+1) n!, \quad (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{16 (n+1)} (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) \sim (5n)^5 = 3125 n^5, \quad \frac{1}{16 (n+1)} \sim \frac{1}{16 n}. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125 n^5}{16 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125}{16} n^4 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 70:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 2^n}{(7n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 2^n}{(7n)!}}{\frac{(3(n+1))! 2^{n+1}}{(7(n+1))!}} = \frac{(3n)! 2^n}{(7n)!} \cdot \frac{(7n+7)!}{(3n+3)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (7n+7)! = (7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)(7n)!, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} \cdot \prod_{k=1}^7 (7n + k). \]

Po zkrácení: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2 (3n+3)(3n+2)(3n+1)} \cdot \prod_{k=1}^7 (7n + k). \] Limita při \( n \to \infty \): \[ \prod_{k=1}^7 (7n+k) \sim (7n)^7 = 823543 n^7, \quad (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{823543 n^7}{2 \cdot 27 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{823543}{54} n^4 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 71:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^4}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^4}{(5n)!}}{\frac{((n+1)!)^4}{(5(n+1))!}} = \frac{(n!)^4}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{((n+1)!)^4}. \]

Faktoriály upravíme: \[ ((n+1)!)^4 = (n+1)^4 (n!)^4, \quad (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{(n+1)^4} (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) \sim (5n)^5 = 3125 n^5, \quad \frac{1}{(n+1)^4} \sim \frac{1}{n^4}. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125 n^5}{n^4} = \lim_{n \to \infty} 3125 n = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 72:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^3 2^n}{(4n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^3 2^n}{(4n)!}}{\frac{((n+1)!)^3 2^{n+1}}{(4(n+1))!}} = \frac{(n!)^3 2^n}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)!}{((n+1)!)^3 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Faktoriály upravíme: \[ ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3, \quad (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \] Dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2 (n+1)^3} (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim (4n)^4 = 256 n^4, \quad \frac{1}{2 (n+1)^3} \sim \frac{1}{2 n^3}. \] Výsledná limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{256 n^4}{2 n^3} = \lim_{n \to \infty} 128 n = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 73:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 3^n}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 3^n}{(5n)!}}{\frac{(2(n+1))! 3^{n+1}}{(5(n+1))!}} = \frac{(2n)! 3^n}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{(2n+2)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály upravíme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3 (2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{(5n+5)!}{(5n)!}. \]

Rozepíšeme faktoriál v čitateli: \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Výraz se zjednoduší na \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}{3 (2n+2)(2n+1)}. \]

Limita pro \( n \to \infty \): \[ (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) \sim (5n)^5 = 3125 n^5, \] \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125 n^5}{3 \cdot 4 n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125}{12} n^3 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 74:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 5^n}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{(3(n+1))!}} = \frac{n! 5^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Faktoriály upravíme: \[ (n+1)! = (n+1) n!, \quad (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5 (n+1)} (3n+3)(3n+2)(3n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim (3n)^3 = 27 n^3, \quad \frac{1}{5 (n+1)} \sim \frac{1}{5 n}. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{5 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{27}{5} n^2 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 75:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2 4^n}{(6n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2 4^n}{(6n)!}}{\frac{((n+1)!)^2 4^{n+1}}{(6(n+1))!}} = \frac{(n!)^2 4^n}{(6n)!} \cdot \frac{(6n+6)!}{((n+1)!)^2 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Faktoriály upravíme: \[ ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2, \] \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!. \] Dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4 (n+1)^2} (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1). \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1) \sim (6n)^6 = 46656 n^6, \] \[ \frac{1}{4 (n+1)^2} \sim \frac{1}{4 n^2}. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{46656 n^6}{4 n^2} = \lim_{n \to \infty} 11664 n^4 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 76:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! n!}{(7n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! n!}{(7n)!}}{\frac{(3(n+1))! (n+1)!}{(7(n+1))!}} = \frac{(3n)! n!}{(7n)!} \cdot \frac{(7n+7)!}{(3n+3)! (n+1)!}. \]

Faktoriály rozepíšeme: \[ (7n+7)! = (7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)(7n)!, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad (n+1)! = (n+1) n!. \] Dosadíme a zkrátíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{\prod_{k=1}^7 (7n+k)}{\prod_{j=1}^3 (3n+j)}. \]

Pro velká \( n \) aproximujeme: \[ \prod_{k=1}^7 (7n+k) \sim (7n)^7 = 823543 n^7, \quad \prod_{j=1}^3 (3n+j) \sim (3n)^3 = 27 n^3. \] Výraz je tedy přibližně \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{823543 n^7}{27 n^3 (n+1)} \sim \frac{823543}{27} \frac{n^7}{n^4} = \frac{823543}{27} n^3. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 77:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 5^n}{(4n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 5^n}{(4n)^n}}{\frac{(2(n+1))! 5^{n+1}}{(4(n+1))^{n+1}}} = \frac{(2n)! 5^n}{(4n)^n} \cdot \frac{(4(n+1))^{n+1}}{(2n+2)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Faktoriály upravíme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5 (2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{(4(n+1))^{n+1}}{(4n)^n}. \]

Vyjádříme mocniny: \[ (4(n+1))^{n+1} = (4n + 4)^{n+1} = (4n + 4)^n (4n + 4), \] takže \[ \frac{(4(n+1))^{n+1}}{(4n)^n} = (4n + 4) \left(\frac{4n + 4}{4n}\right)^n = (4n + 4) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Celkově tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4n + 4}{5 (2n+2)(2n+1)} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ 4n+4 \sim 4n, \quad (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \] \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e. \] Výraz tedy přibližně \[ \frac{4n}{5 \cdot 4n^2} e = \frac{1}{5 n} e. \] Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{5 n} = 0 < 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada diverguje.

Řešení příkladu 78:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 3^n}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 3^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)! 3^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n! 3^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály upravíme: \[ (n+1)! = (n+1) n!, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3 (n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad 3(n+1) \sim 3 n. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2}{3 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} n = +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 79:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 2^n}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 2^n}{(5n)!}}{\frac{(3(n+1))! 2^{n+1}}{(5(n+1))!}} = \frac{(3n)! 2^n}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{(3n+3)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Faktoriály upravíme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(5n+5)!}{(5n)!} \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Rozepíšeme faktoriály v čitateli: \[ \frac{(5n+5)!}{(5n)!} = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1). \] Celkově tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}{2 (3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \text{čitatel} \sim (5n)^5 = 3125 n^5, \quad \text{jmenovatel} \sim 2 (3n)^3 = 54 n^3. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125 n^5}{54 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{3125}{54} n^2 = +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 80:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 4^n}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{(3n+3)!}} = \frac{n! 4^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Faktoriály upravíme: \[ (n+1)! = (n+1) n!, \quad (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{4 (n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad 4(n+1) \sim 4 n. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{4 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{27}{4} n^2 = +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 81:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(4n)! 3^n}{(6n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(4n)! 3^n}{(6n)!}}{\frac{(4(n+1))! 3^{n+1}}{(6(n+1))!}} = \frac{(4n)! 3^n}{(6n)!} \cdot \frac{(6n+6)!}{(4n+4)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály upravíme: \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!, \] \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \text{čitatel} \sim (6n)^6 = 46656 n^6, \quad \text{jmenovatel} \sim (4n)^4 = 256 n^4. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{46656 n^6}{256 n^4} = \frac{46656}{768} n^2 = 60.75 n^2 \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 82:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 3^n}{(5n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 3^n}{(5n)^n}}{\frac{(2(n+1))! 3^{n+1}}{(5(n+1))^{n+1}}} = \frac{(2n)! 3^n}{(5n)^n} \cdot \frac{(5(n+1))^{n+1}}{(2n+2)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály upravíme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3 (2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{(5(n+1))^{n+1}}{(5n)^n}. \]

Vyjádříme mocniny: \[ (5(n+1))^{n+1} = (5n + 5)^{n+1} = (5n + 5)^n (5n + 5). \] Proto \[ \frac{(5(n+1))^{n+1}}{(5n)^n} = (5n + 5) \left(\frac{5n + 5}{5n}\right)^n = (5n + 5) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Celkově: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5n + 5}{3 (2n+2)(2n+1)} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ 5n + 5 \sim 5n, \quad (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \quad \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e. \] Výraz přibližně: \[ \frac{5n}{3 \cdot 4 n^2} e = \frac{5}{12 n} e. \] Limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 0 < 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada diverguje.

Řešení příkladu 83:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 6^n}{(4n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 6^n}{(4n)!}}{\frac{(n+1)! 6^{n+1}}{(4n+4)!}} = \frac{n! 6^n}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)!}{(n+1)! 6^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{6^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6}. \] Faktoriály: \[ (n+1)! = (n+1) n!, \quad (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{6 (n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim (4n)^4 = 256 n^4, \quad 6 (n+1) \sim 6 n. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{256 n^4}{6 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{256}{6} n^3 = +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 84:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 5^n}{(6n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 5^n}{(6n)!}}{\frac{(3n+3)! 5^{n+1}}{(6n+6)!}} = \frac{(3n)! 5^n}{(6n)!} \cdot \frac{(6n+6)!}{(3n+3)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \text{čitatel} \sim (6n)^6 = 46656 n^6, \quad \text{jmenovatel} \sim (3n)^3 = 27 n^3. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{46656 n^6}{27 n^3} = \frac{46656}{135} n^3 = 345.6 n^3 \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 85:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 7^n}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 7^n}{(5n)!}}{\frac{(n+1)! 7^{n+1}}{(5n+5)!}} = \frac{n! 7^n}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{(n+1)! 7^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}. \] Faktoriály upravíme: \[ (n+1)! = (n+1) n!, \quad (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Výraz tedy bude \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7 (n+1)} \cdot (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1). \]

Pro velká \( n \) aproximujeme: \[ 5n+k \sim 5n \quad \text{pro } k=1,\dots,5, \] tedy součin pěti členů je přibližně \[ (5n)^5 = 3125 n^5. \]

Celkový výraz je tedy přibližně \[ \frac{3125 n^5}{7 (n+1)} \sim \frac{3125}{7} n^4, \] a tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 86:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(4n)! 2^n}{(7n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(4n)! 2^n}{(7n)!}}{\frac{(4n+4)! 2^{n+1}}{(7n+7)!}} = \frac{(4n)! 2^n}{(7n)!} \cdot \frac{(7n+7)!}{(4n+4)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Faktoriály rozepíšeme: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \] \[ (7n+7)! = (7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)(7n)!. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]

Pro velká \( n \) aproximujeme: \[ \text{čitatel} \sim (7n)^7 = 823543 n^7, \quad \text{jmenovatel} \sim (4n)^4 = 256 n^4. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{1}{2} \cdot \frac{823543 n^7}{256 n^4} = \frac{823543}{512} n^3 \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 87:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 4^n}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 4^n}{(5n)!}}{\frac{(2n+2)! 4^{n+1}}{(5n+5)!}} = \frac{(2n)! 4^n}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{(2n+2)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \text{čitatel} \sim (5n)^5 = 3125 n^5, \quad \text{jmenovatel} \sim (2n)^2 = 4 n^2. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{3125 n^5}{4 n^2} = \frac{3125}{16} n^3 \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 88:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 3^n}{(4n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 3^n}{(4n)!}}{\frac{(3n+3)! 3^{n+1}}{(4n+4)!}} = \frac{(3n)! 3^n}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)!}{(3n+3)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \text{čitatel} \sim (4n)^4 = 256 n^4, \quad \text{jmenovatel} \sim (3n)^3 = 27 n^3. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{256 n^4}{27 n^3} = \frac{256}{81} n \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 89:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(5n)! 2^n}{(9n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(5n)! 2^n}{(9n)!}}{\frac{(5n+5)! 2^{n+1}}{(9n+9)!}} = \frac{(5n)! 2^n}{(9n)!} \cdot \frac{(9n+9)!}{(5n+5)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Faktoriály: \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!, \] \[ (9n+9)! = (9n+9)(9n+8)(9n+7)(9n+6)(9n+5)(9n+4)(9n+3)(9n+2)(9n+1)(9n)!. \] Výraz: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(9n+9)(9n+8)(9n+7)(9n+6)(9n+5)(9n+4)(9n+3)(9n+2)(9n+1)}{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}. \]

Limita pro velká \( n \): \[ \text{čitatel} \sim (9n)^9 = 387420489 n^9, \quad \text{jmenovatel} \sim (5n)^5 = 3125 n^5. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{387420489 n^9}{3125 n^5} = \frac{387420489}{6250} n^4 \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 90:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(6n)! 5^n}{(10n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(6n)! 5^n}{(10n)!}}{\frac{(6n+6)! 5^{n+1}}{(10n+10)!}} = \frac{(6n)! 5^n}{(10n)!} \cdot \frac{(10n+10)!}{(6n+6)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Faktoriály: \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!, \] \[ (10n+10)! = (10n+10)(10n+9)(10n+8)(10n+7)(10n+6)(10n+5)(10n+4)(10n+3)(10n+2)(10n+1)(10n)!. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(10n+10)(10n+9)(10n+8)(10n+7)(10n+6)(10n+5)(10n+4)(10n+3)(10n+2)(10n+1)}{(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): \[ \text{čitatel} \sim (10n)^{10} = 10^{10} n^{10}, \quad \text{jmenovatel} \sim (6n)^6 = 6^6 n^6 = 46656 n^6. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{10^{10} n^{10}}{46656 n^6} = \frac{10^{10}}{5 \cdot 46656} n^4 \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 91:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 4^n}{(7n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 4^n}{(7n)!}}{\frac{(3n+3)! 4^{n+1}}{(7n+7)!}} = \frac{(3n)! 4^n}{(7n)!} \cdot \frac{(7n+7)!}{(3n+3)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ (7n+7)! = (7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)(7n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (7n)^7 = 7^7 n^7 = 823543 n^7, \] jmenovatel přibližně \[ (3n)^3 = 27 n^3. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{823543 n^7}{27 n^3} = \frac{823543}{108} n^4 \to +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 92:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(4n)! 3^n}{(8n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(4n)! 3^n}{(8n)!}}{\frac{(4n+4)! 3^{n+1}}{(8n+8)!}} = \frac{(4n)! 3^n}{(8n)!} \cdot \frac{(8n+8)!}{(4n+4)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \] \[ (8n+8)! = (8n+8)(8n+7)(8n+6)(8n+5)(8n+4)(8n+3)(8n+2)(8n+1)(8n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(8n+8)(8n+7)(8n+6)(8n+5)(8n+4)(8n+3)(8n+2)(8n+1)}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (8n)^8 = 8^8 n^8 = 16777216 n^8, \] jmenovatel přibližně \[ (4n)^4 = 4^4 n^4 = 256 n^4. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{16777216 n^8}{256 n^4} = \frac{16777216}{768} n^4 \to +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 93:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 6^n}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 6^n}{(5n)!}}{\frac{(2n+2)! 6^{n+1}}{(5n+5)!}} = \frac{(2n)! 6^n}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{(2n+2)! 6^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{6^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (5n)^5 = 3125 n^5, \] jmenovatel přibližně \[ (2n)^2 = 4 n^2. \] Výsledná limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{3125 n^5}{4 n^2} = \frac{3125}{24} n^3 \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 94:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(7n)! 2^n}{(15n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(7n)! 2^n}{(15n)!}}{\frac{(7n+7)! 2^{n+1}}{(15n+15)!}} = \frac{(7n)! 2^n}{(15n)!} \cdot \frac{(15n+15)!}{(7n+7)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (7n+7)! = (7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)(7n)!, \] \[ (15n+15)! = (15n+15)(15n+14) \cdots (15n+1)(15n)!. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(15n+15)(15n+14) \cdots (15n+1)}{(7n+7)(7n+6)(7n+5)(7n+4)(7n+3)(7n+2)(7n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (15n)^15, \] jmenovatel přibližně \[ (7n)^7. \] Výsledná limita jde k nekonečnu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 95:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 5^n}{(9n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 5^n}{(9n)!}}{\frac{(3n+3)! 5^{n+1}}{(9n+9)!}} = \frac{(3n)! 5^n}{(9n)!} \cdot \frac{(9n+9)!}{(3n+3)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ (9n+9)! = (9n+9)(9n+8) \cdots (9n+1)(9n)!. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(9n+9)(9n+8) \cdots (9n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (9n)^9, \] jmenovatel přibližně \[ (3n)^3, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{9^9 n^9}{3^3 n^3} = \frac{1}{5} \cdot \frac{387420489 n^9}{27 n^3} = \frac{387420489}{135} n^6 \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 96:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)! 7^n}{(6n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 7^n}{(6n)!}}{\frac{(2n+2)! 7^{n+1}}{(6n+6)!}} = \frac{(2n)! 7^n}{(6n)!} \cdot \frac{(6n+6)!}{(2n+2)! 7^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Nyní posoudíme limitu při \( n \to \infty \). Čitatel lze přiblížit jako \[ (6n)^6 = 46656 n^6, \] jmenovatel přibližně \[ (2n)^2 = 4 n^2. \] Výsledná limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{46656 n^6}{4 n^2} = \frac{46656}{28} n^4 \to +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 97:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(5n)! 3^n}{(12n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(5n)! 3^n}{(12n)!}}{\frac{(5n+5)! 3^{n+1}}{(12n+12)!}} = \frac{(5n)! 3^n}{(12n)!} \cdot \frac{(12n+12)!}{(5n+5)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!, \] \[ (12n+12)! = (12n+12)(12n+11) \cdots (12n+1)(12n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(12n+12)(12n+11) \cdots (12n+1)}{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}. \]

Posoudíme limitu pro \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (12n)^{12}, \] jmenovatel přibližně \[ (5n)^5. \] Výsledná limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{12^{12} n^{12}}{5^5 n^5} = \frac{1}{3} \cdot \frac{8916100448256}{3125} n^{7} \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 98:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 4^n}{(10n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 4^n}{(10n)!}}{\frac{(3n+3)! 4^{n+1}}{(10n+10)!}} = \frac{(3n)! 4^n}{(10n)!} \cdot \frac{(10n+10)!}{(3n+3)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ (10n+10)! = (10n+10)(10n+9) \cdots (10n+1)(10n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(10n+10)(10n+9) \cdots (10n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (10n)^{10}, \] jmenovatel přibližně \[ (3n)^3. \] Výsledek je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{10^{10} n^{10}}{3^3 n^3} = \frac{1}{4} \cdot \frac{10000000000}{27} n^{7} \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 99:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(4n)! 5^n}{(11n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(4n)! 5^n}{(11n)!}}{\frac{(4n+4)! 5^{n+1}}{(11n+11)!}} = \frac{(4n)! 5^n}{(11n)!} \cdot \frac{(11n+11)!}{(4n+4)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \] \[ (11n+11)! = (11n+11)(11n+10) \cdots (11n+1)(11n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(11n+11)(11n+10) \cdots (11n+1)}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (11n)^{11}, \] jmenovatel přibližně \[ (4n)^4. \] Výsledek je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{11^{11} n^{11}}{4^{4} n^{4}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{285311670611}{256} n^{7} \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 100:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(6n)! 2^n}{(14n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(6n)! 2^n}{(14n)!}}{\frac{(6n+6)! 2^{n+1}}{(14n+14)!}} = \frac{(6n)! 2^n}{(14n)!} \cdot \frac{(14n+14)!}{(6n+6)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!, \] \[ (14n+14)! = (14n+14)(14n+13) \cdots (14n+1)(14n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(14n+14)(14n+13) \cdots (14n+1)}{(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (14n)^{14}, \] jmenovatel přibližně \[ (6n)^6. \] Výsledná limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{14^{14} n^{14}}{6^{6} n^{6}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{11112006825558016}{46656} n^{8} \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 101:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 5^n}{(8n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 5^n}{(8n)!}}{\frac{(3n+3)! 5^{n+1}}{(8n+8)!}} = \frac{(3n)! 5^n}{(8n)!} \cdot \frac{(8n+8)!}{(3n+3)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ (8n+8)! = (8n+8)(8n+7) \cdots (8n+1)(8n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(8n+8)(8n+7) \cdots (8n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Nyní odhadneme limitu pro \( n \to \infty \): Čitatel má přibližnou hodnotu \[ (8n)^8 = 16\,777\,216 \, n^8, \] jmenovatel přibližně \[ (3n)^3 = 27 n^3. \] Tudíž \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{16\,777\,216 \, n^8}{27 n^3} = \frac{16\,777\,216}{135} n^5 \to +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 102:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(4n)! 3^n}{(11n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(4n)! 3^n}{(11n)!}}{\frac{(4n+4)! 3^{n+1}}{(11n+11)!}} = \frac{(4n)! 3^n}{(11n)!} \cdot \frac{(11n+11)!}{(4n+4)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \] \[ (11n+11)! = (11n+11)(11n+10) \cdots (11n+1)(11n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(11n+11)(11n+10) \cdots (11n+1)}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (11n)^{11}, \] jmenovatel přibližně \[ (4n)^4. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{11^{11} n^{11}}{4^{4} n^{4}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{285\,311\,670\,611}{256} n^7 \to +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 103:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(5n)! 4^n}{(12n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(5n)! 4^n}{(12n)!}}{\frac{(5n+5)! 4^{n+1}}{(12n+12)!}} = \frac{(5n)! 4^n}{(12n)!} \cdot \frac{(12n+12)!}{(5n+5)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!, \] \[ (12n+12)! = (12n+12)(12n+11) \cdots (12n+1)(12n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(12n+12)(12n+11) \cdots (12n+1)}{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (12n)^{12}, \] jmenovatel přibližně \[ (5n)^5. \] Výsledná limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{12^{12} n^{12}}{5^{5} n^{5}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8\,916\,100\,448\,256}{3\,125} n^{7} \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria absolutně.

Řešení příkladu 104:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!}. \] Pro Gaussovo kritérium spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}. \] Nejprve vyjádříme tento poměr: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)! \cdot 5^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \cdot 5^{n+1}}. \]

Zjednodušme mocniny pětek: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Dále využijeme vztah pro faktoriály: \[ (n+1)! = (n+1) \cdot n!, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)n!} = \frac{1}{5} \cdot (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{n+1}. \]

Upravme výraz: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2(n+1)(2n+1)}{n+1} = \frac{2}{5} (2n+1). \]

Limita pro \( n \to \infty \) je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{5} (2n+1) = +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria, protože limita \( L > 1 \), řada \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \] konverguje absolutně.

Řešení příkladu 105:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(7n)! 2^n}{(15n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(7n)! 2^n}{(15n)!}}{\frac{(7n+7)! 2^{n+1}}{(15n+15)!}} = \frac{(7n)! 2^n}{(15n)!} \cdot \frac{(15n+15)!}{(7n+7)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (7n+7)! = (7n+7)(7n+6) \cdots (7n+1)(7n)!, \] \[ (15n+15)! = (15n+15)(15n+14) \cdots (15n+1)(15n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(15n+15)(15n+14) \cdots (15n+1)}{(7n+7)(7n+6) \cdots (7n+1)}. \]

Pro velká \( n \) použijeme odhad mocnin: Čitatel je přibližně \[ (15n)^{15}, \] jmenovatel přibližně \[ (7n)^7. \] Tudíž \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{15^{15} n^{15}}{7^{7} n^{7}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{437893890380859375}{823543} n^{8} \to +\infty > 1. \]

Podle Gaussova kritéria řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 106:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! 4^n}{(10n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 4^n}{(10n)!}}{\frac{(3n+3)! 4^{n+1}}{(10n+10)!}} = \frac{(3n)! 4^n}{(10n)!} \cdot \frac{(10n+10)!}{(3n+3)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ (10n+10)! = (10n+10)(10n+9) \cdots (10n+1)(10n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(10n+10)(10n+9) \cdots (10n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Pro \( n \to \infty \) platí: Čitatel přibližně \[ (10n)^{10}, \] jmenovatel přibližně \[ (3n)^3. \] Tudíž limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{10^{10} n^{10}}{3^{3} n^{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{10\,000\,000\,000}{27} n^{7} \to +\infty > 1. \]

Řada tedy podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 107:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(5n)! 3^n}{(13n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(5n)! 3^n}{(13n)!}}{\frac{(5n+5)! 3^{n+1}}{(13n+13)!}} = \frac{(5n)! 3^n}{(13n)!} \cdot \frac{(13n+13)!}{(5n+5)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (5n+5)! = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)(5n)!, \] \[ (13n+13)! = (13n+13)(13n+12) \cdots (13n+1)(13n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(13n+13)(13n+12) \cdots (13n+1)}{(5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (13n)^{13}, \] jmenovatel přibližně \[ (5n)^5. \] Tudíž \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{13^{13} n^{13}}{5^{5} n^{5}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{302875106592253}{3125} n^{8} \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 108:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(4n)! 6^n}{(9n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(4n)! 6^n}{(9n)!}}{\frac{(4n+4)! 6^{n+1}}{(9n+9)!}} = \frac{(4n)! 6^n}{(9n)!} \cdot \frac{(9n+9)!}{(4n+4)! 6^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{6^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \] \[ (9n+9)! = (9n+9)(9n+8) \cdots (9n+1)(9n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{(9n+9)(9n+8) \cdots (9n+1)}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (9n)^9, \] jmenovatel přibližně \[ (4n)^4. \] Tudíž \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{9^{9} n^{9}}{4^{4} n^{4}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{387420489}{256} n^{5} \to +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 109:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(6n)! 5^n}{(12n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(6n)! 5^n}{(12n)!}}{\frac{(6n+6)! 5^{n+1}}{(12n+12)!}} = \frac{(6n)! 5^n}{(12n)!} \cdot \frac{(12n+12)!}{(6n+6)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Rozepíšeme faktoriály: \[ (6n+6)! = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)(6n)!, \] \[ (12n+12)! = (12n+12)(12n+11) \cdots (12n+1)(12n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(12n+12)(12n+11) \cdots (12n+1)}{(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)}. \]

Limita při \( n \to \infty \): Čitatel přibližně \[ (12n)^{12}, \] jmenovatel přibližně \[ (6n)^6. \] Tudíž \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{12^{12} n^{12}}{6^{6} n^{6}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{8916100448256}{46656} n^{6} \to +\infty > 1. \]

Řada tedy konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 110:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n \cdot n!}{(2n+1)^n}. \] Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}. \] Vyjádříme tento poměr: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n \cdot n!}{(2n+1)^n}}{\frac{3^{n+1} \cdot (n+1)!}{(2(n+1)+1)^{n+1}}} = \frac{3^n \cdot n!}{(2n+1)^n} \cdot \frac{(2n+3)^{n+1}}{3^{n+1} \cdot (n+1)!}. \]

Zjednodušíme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(2n+3)^{n+1}}{(2n+1)^n}. \]

Upravme exponent: \[ (2n+3)^{n+1} = (2n+3)^n \cdot (2n+3). \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3(n+1)} \cdot (2n+3) \cdot \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n. \]

Podíváme se na limitu složeného členu: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2n+1}\right)^n = e^{\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1}} = e^1 = e. \]

Celkově tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n+3}{3(n+1)} \cdot e = \frac{2}{3} e. \]

Protože \[ \frac{2}{3} e \approx 1.812 > 1, \] řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 111:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(n^2+1)^n}. \] Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}. \] Vyjádříme poměr: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! \cdot 4^n}{(n^2+1)^n}}{\frac{(n+1)! \cdot 4^{n+1}}{((n+1)^2 + 1)^{n+1}}} = \frac{n! \cdot 4^n}{(n^2+1)^n} \cdot \frac{((n+1)^2 +1)^{n+1}}{(n+1)! \cdot 4^{n+1}}. \]

Zjednodušíme mocniny čtyř: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot \frac{((n+1)^2+1)^{n+1}}{(n^2 +1)^n}. \]

Upravíme exponent: \[ ((n+1)^2 +1)^{n+1} = ((n+1)^2 +1)^n \cdot ((n+1)^2 +1). \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot ((n+1)^2 +1) \cdot \left(\frac{(n+1)^2 +1}{n^2 +1}\right)^n. \]

Pro velké \( n \) platí \[ \frac{(n+1)^2 +1}{n^2 +1} = \frac{n^2 + 2n + 2}{n^2 +1} = 1 + \frac{2n +1}{n^2 +1} \approx 1 + \frac{2}{n}. \] Pak \[ \left(1 + \frac{2}{n}\right)^n \to e^2. \]

Limita je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{((n+1)^2 +1)}{4(n+1)} \cdot e^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 2}{4(n+1)} \cdot e^2 = +\infty. \]

Protože limita je nekonečno \( > 1 \), řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 112:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! \cdot 7^n}. \] Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}. \] Poměr je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n! \cdot 7^n}}{\frac{(2n+2)!}{(n+1)! \cdot 7^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{n! \cdot 7^n} \cdot \frac{(n+1)! \cdot 7^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Zjednodušíme mocniny sedmi: \[ \frac{7^{n+1}}{7^n} = 7, \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Dále využijeme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \]

Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 7 (n+1) \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = 7 (n+1) \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Upravme jmenovatele: \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2. \] Limita je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{7(n+1)}{4n^2 + 6n + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{7n + 7}{4n^2 + 6n + 2} = 0 < 1. \]

Protože limita je menší než 1, řada podle Gaussova kritéria diverguje.

Řešení příkladu 113:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{5^n \cdot n!}. \] Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}. \] Poměr je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{5^n \cdot n!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1} \cdot (n+1)!}} = \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \cdot \frac{5^{n+1} \cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}}. \]

Zjednodušíme: \[ \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5, \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 5 (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = 5 \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}. \] Tedy \[ L = 5 \cdot e^{-1} = \frac{5}{e} \approx 1.839 > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 114:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)!}{n! \cdot 10^{3n}}. \] Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(3n)!}{n! \cdot 10^{3n}}}{\frac{(3n+3)!}{(n+1)! \cdot 10^{3n+3}}}. \]

Poměr je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n)!}{n! \cdot 10^{3n}} \cdot \frac{(n+1)! \cdot 10^{3n+3}}{(3n+3)!} = 10^3 \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n!}. \]

Upravíme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad (n+1)! = (n+1) n!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 10^3 \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} \cdot (n+1). \]

Pro velké \( n \) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{10^3 (n+1)}{27 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1000 n}{27 n^3} = 0 < 1. \]

Řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 115:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^{2n}}{(4n)!}. \] Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2n}}{(4n)!}}{\frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(4(n+1))!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(4n)!} \cdot \frac{(4(n+1))!}{(n+1)^{2(n+1)}}. \]

Upravme faktoriály: \[ (4(n+1))! = (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \] takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!}{(n+1)^{2n+2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n} (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{(n+1)^{2n+2}}. \]

Upravíme výraz: \[ \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}} = \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n} (n+1)^2} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2}. \]

Limita je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2}. \]

Pro velké \( n \) platí \[ (4n+k) \sim 4n, \] tedy součin 4 členů přibližně \[ (4n)^4 = 256 n^4. \] Dále \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{2n} \to e^{-2}. \] A \[ \frac{1}{(n+1)^2} \to 0. \]

Celkově tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} 256 n^4 \cdot e^{-2} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = \lim_{n \to \infty} 256 e^{-2} n^2 = +\infty > 1. \]

Řada podle Gaussova kritéria konverguje absolutně.

Řešení příkladu 116:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{n^n}. \] Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}. \] Poměr je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{n^n}}{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{5^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{n^n} \cdot \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1}}. \]

Upravíme mocniny pěti: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}. \] Faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Proto: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}. \]

Zkrátíme \((n!)^2\) a \((2n)!\): \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^2 n^n} = \frac{1}{5} (2n+2)(2n+1) \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}. \]

Upravíme poměr mocnin: \[ \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1}. \]

Limity: \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \quad \frac{1}{n+1} \to 0, \quad (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5} \cdot 4n^2 \cdot e \cdot \frac{1}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{4e}{5} \cdot \frac{n^2}{n+1} = +\infty > 1. \]

Řada tedy konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 117:

Člen řady je \[ a_n = \frac{2^n \cdot n!}{(3n)!}. \] Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n n!}{(3n)!}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1))!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n!}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{2^{n+1} (n+1)!}. \]

Zjednodušme mocniny dvou: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}. \] Faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad (n+1)! = (n+1) n!. \]

Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{n!}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}{(n+1) n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1}. \]

Pro velké \( n \) přibližně \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad n+1 \sim n. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{27 n^3}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{27}{2} n^2 = +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 118:

Člen řady: \[ a_n = \frac{n! \cdot 3^n}{(2n)! \cdot n^{n/2}}. \] Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n! 3^n}{(2n)! n^{n/2}}}{\frac{(n+1)! 3^{n+1}}{(2n+2)! (n+1)^{(n+1)/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! 3^n}{(2n)! n^{n/2}} \cdot \frac{(2n+2)! (n+1)^{(n+1)/2}}{(n+1)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \]

Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} \cdot \frac{(n+1)^{(n+1)/2}}{n^{n/2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \cdot \frac{(n+1)^{(n+1)/2}}{n^{n/2}}. \]

Upravíme poměr mocnin: \[ \frac{(n+1)^{(n+1)/2}}{n^{n/2}} = \frac{(n+1)^{n/2} \cdot (n+1)^{1/2}}{n^{n/2}} = (n+1)^{1/2} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n/2}. \] Limita: \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n/2} \to e^{1/2}, \quad (n+1)^{1/2} \sim n^{1/2}. \]

Výraz je tedy přibližně \[ L \sim \frac{1}{3} \cdot \frac{4n^2}{n} \cdot n^{1/2} \cdot e^{1/2} = \frac{1}{3} \cdot 4 n \cdot n^{1/2} \cdot e^{1/2} = \frac{4 e^{1/2}}{3} n^{3/2} \to +\infty > 1. \]

Řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 119:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{(3n)!} \cdot \frac{4^n}{n!}. \] Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^n 4^n}{(3n)! n!}}{\frac{(n+1)^{n+1} 4^{n+1}}{(3n+3)! (n+1)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n 4^n}{(3n)! n!} \cdot \frac{(3n+3)! (n+1)!}{(n+1)^{n+1} 4^{n+1}}. \]

Zjednodušme mocniny: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}. \] Faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad (n+1)! = (n+1) n!. \]

Dosadíme a zkrátíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} \cdot \frac{n^n}{(3n)! n!} \cdot (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! (n+1) n! \cdot \frac{1}{(n+1)^{n+1}}. \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} (3n+3)(3n+2)(3n+1) (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]

Upravíme mocniny: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1}. \]

Limita: \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to e^{-1}, \quad (3n+k) \sim 3n. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4} \cdot 27 n^3 \cdot (n+1) \cdot e^{-1} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{27}{4e} \lim_{n \to \infty} n^3 = +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 120:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^{n/2}}{(4n)!} \cdot 7^n. \] Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{n/2} 7^n}{(4n)!}}{\frac{(n+1)^{(n+1)/2} 7^{n+1}}{(4n+4)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2} 7^n}{(4n)!} \cdot \frac{(4n+4)!}{(n+1)^{(n+1)/2} 7^{n+1}}. \]

Zjednodušme mocniny sedmi: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}. \] Faktoriály: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \]

Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7} \cdot \frac{n^{n/2}}{(4n)!} \cdot (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)! \cdot \frac{1}{(n+1)^{(n+1)/2}}. \] \[ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7} (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \cdot \frac{n^{n/2}}{(n+1)^{(n+1)/2}}. \]

Upravíme poměr mocnin: \[ \frac{n^{n/2}}{(n+1)^{(n+1)/2}} = \frac{n^{n/2}}{(n+1)^{n/2} \cdot (n+1)^{1/2}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}}. \] Limita: \[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{n/2} \to e^{-1/2}, \quad \frac{1}{\sqrt{n+1}} \to 0, \] a součin čtyř členů: \[ (4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4) \sim 256 n^4. \]

Celkově \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{7} \cdot 256 n^4 \cdot e^{-1/2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{256}{7} e^{-1/2} n^{4 – 1/2} = +\infty > 1. \]

Řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 121:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n n!}{n^n 5^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n!}{n^n 5^n}}{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}} = \frac{3^n n!}{n^n 5^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}{3^{n+1} (n+1)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot 5 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{5}{3} \cdot \frac{(n+1)^{n}}{n^n} = \frac{5}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limita poměru je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{3} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{5}{3} e. \]

Protože \( \frac{5}{3} e > 1 \), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 122:

Člen řady je \[ a_n = \frac{2^{2n} n!}{(4n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^{2n} n!}{(4n)^n}}{\frac{2^{2(n+1)} (n+1)!}{(4(n+1))^{n+1}}} = \frac{2^{2n} n!}{(4n)^n} \cdot \frac{(4(n+1))^{n+1}}{2^{2(n+1)} (n+1)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{2^{2n}}{2^{2(n+1)}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(4(n+1))^{n+1}}{(4n)^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot 4^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{4^n n^n} = \frac{4}{4(n+1)} (n+1)^{n+1} \frac{1}{n^n}. \] Upravíme: \[ = \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)^n (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e. \]

Jelikož \( e > 1 \), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 123:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 4^n}{(5n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(5n)^n}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{(5(n+1))^{n+1}}} = \frac{n! 4^n}{(5n)^n} \cdot \frac{(5(n+1))^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(5(n+1))^{n+1}}{(5n)^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot 5^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{5^n n^n} = \frac{5}{4(n+1)} (n+1)^{n+1} \frac{1}{n^n}. \] Upravíme exponenty: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4(n+1)} (n+1)^n (n+1) \frac{1}{n^n} = \frac{5}{4} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{5}{4} e. \]

Protože \( \frac{5}{4} e > 1 \), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 124:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! 5^n}{(6n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(6n)^n}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{(6(n+1))^{n+1}}} = \frac{n! 5^n}{(6n)^n} \cdot \frac{(6(n+1))^{n+1}}{(n+1)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(6(n+1))^{n+1}}{(6n)^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{5(n+1)} \cdot 6^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{6^n n^n} = \frac{6}{5(n+1)} (n+1)^{n+1} \frac{1}{n^n}. \] Upravíme exponenty: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{6}{5(n+1)} (n+1)^n (n+1) \frac{1}{n^n} = \frac{6}{5} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{6}{5} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{6}{5} e. \]

Protože \( \frac{6}{5} e > 1 \), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 125:

Člen řady je \[ a_n = \frac{7^n n!}{(8n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{7^n n!}{(8n)^n}}{\frac{7^{n+1} (n+1)!}{(8(n+1))^{n+1}}} = \frac{7^n n!}{(8n)^n} \cdot \frac{(8(n+1))^{n+1}}{7^{n+1} (n+1)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(8(n+1))^{n+1}}{(8n)^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{7(n+1)} \cdot 8^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{8^n n^n} = \frac{8}{7(n+1)} (n+1)^{n+1} \frac{1}{n^n}. \] Upravíme exponenty: \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1), \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{8}{7(n+1)} (n+1)^n (n+1) \frac{1}{n^n} = \frac{8}{7} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{8}{7} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{8}{7} e. \]

Protože \( \frac{8}{7} e > 1 \), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 126:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! \, 4^n \, n^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n! \, 4^n \, n^n}}{\frac{(2(n+1))!}{(n+1)! \, 4^{n+1} \, (n+1)^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{n! \, 4^n \, n^n} \cdot \frac{(n+1)! \, 4^{n+1} \, (n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Zjednodušme mocniny: \[ \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4. \] Dále využijeme \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 4 (n+1) (n+1)^{n+1} \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)! n^n} = \frac{4 (n+1)^{n+2}}{(2n+2)(2n+1) n^n}. \]

Upravíme jmenovatele: \[ (2n+2)(2n+1) = 2(n+1)(2n+1), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4 (n+1)^{n+2}}{2(n+1)(2n+1) n^n} = \frac{2 (n+1)^{n+1}}{(2n+1) n^n}. \]

Vyjádříme poměr mocnin: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1)^n \frac{n+1}{n^n} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n (n+1). \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2}{2n+1} (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limita pro \( n \to \infty \) je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{2n+1} (n+1) e = \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)}{2n+1} e = e. \]

Jelikož \( e > 1 \), řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 127:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \, 3^n}{(2n)^{n+1}}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 3^n}{(2n)^{n+1}}}{\frac{(n+1)! 3^{n+1}}{(2(n+1))^{n+2}}} = \frac{n! 3^n}{(2n)^{n+1}} \cdot \frac{(2(n+1))^{n+2}}{(n+1)! 3^{n+1}}. \]

Zjednodušme mocniny a faktoriály: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3(n+1)} \cdot \frac{(2(n+1))^{n+2}}{(2n)^{n+1}} = \frac{1}{3(n+1)} \cdot \frac{2^{n+2} (n+1)^{n+2}}{2^{n+1} n^{n+1}} = \frac{2}{3(n+1)} \cdot \frac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}}. \]

Upravíme mocniny: \[ \frac{(n+1)^{n+2}}{n^{n+1}} = (n+1)^{n+1} \frac{n+1}{n^{n+1}} = (n+1) \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2}{3(n+1)} (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \frac{2}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2}{3} e. \]

Jelikož \( \frac{2}{3} e < 1 \) (přibližně 1.813...), řada konverguje podle Gaussova kritéria? Opačně! Protože \( \frac{2}{3} e \approx 1.813 > 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu 128:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{n^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!} \frac{5^n}{n^n}}{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \frac{5^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \frac{5^n}{n^n} \cdot \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1}}. \]

Zjednodušme mocniny a faktoriály: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \] a využijeme vztah pro faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \]

Dosadíme a upravíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \frac{5^n}{n^n} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)^2} (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Upravíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \] Limita pro \( n \to \infty \) je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)(2n+1)}{5 (n+1)} e = \lim_{n \to \infty} \frac{2(2n+1)}{5} e = \infty. \]

Protože limita je nekonečno, což je větší než 1, řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 129:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(3n+1)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(3n+1)^n}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{(3(n+1)+1)^{n+1}}} = \frac{n! 4^n}{(3n+1)^n} \cdot \frac{(3n+4)^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4(n+1)} \cdot \frac{(3n+4)^{n+1}}{(3n+1)^n}. \]

Rozepíšeme mocniny: \[ (3n+4)^{n+1} = (3n+4)^n (3n+4). \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3n+4}{4(n+1)} \left(\frac{3n+4}{3n+1}\right)^n. \]

Limita poměru: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+4}{4(n+1)} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3n+1}\right)^n. \]

První limitu spočítáme přímo: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n+4}{4(n+1)} = \frac{3}{4}. \] Druhá limita: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{3n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n + \frac{1}{3}}\right)^n = e. \]

Celková limita je tedy \[ \frac{3}{4} e \approx 2.04 > 1, \] což znamená, že řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 130:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 6^n}{(5n+2)^{n+2}}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 6^n}{(5n+2)^{n+2}}}{\frac{(n+1)! 6^{n+1}}{(5(n+1)+2)^{n+3}}} = \frac{n! 6^n}{(5n+2)^{n+2}} \cdot \frac{(5n+7)^{n+3}}{(n+1)! 6^{n+1}}. \]

Zjednodušme mocniny a faktoriály: \[ \frac{6^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{6(n+1)} \cdot \frac{(5n+7)^{n+3}}{(5n+2)^{n+2}} = \frac{1}{6(n+1)} (5n+7)^{n+3} (5n+2)^{-(n+2)}. \]

Rozepíšeme exponenty: \[ (5n+7)^{n+3} = (5n+7)^{n+2} (5n+7), \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5n+7}{6(n+1)} \left(\frac{5n+7}{5n+2}\right)^{n+2}. \]

Pro limitu použijeme \[ \lim_{n \to \infty} \frac{5n+7}{6(n+1)} = \frac{5}{6}, \] a \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{5}{5n+2}\right)^{n+2} = e. \]

Celková limita je tedy \[ \frac{5}{6} e \approx 2.26 > 1, \] což znamená, že řada konverguje absolutně podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 131:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n \cdot 3^n}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n 3^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1} 3^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n 3^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1} 3^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+1}}. \]

Upravme výraz: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limita pro \( n \to \infty \) je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)(2n+1)}{3(n+1)} \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = \frac{4}{3} e^{-1} = \frac{4}{3e} \approx 0.49 < 1, \] což znamená, že řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 132:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)!}{(n!)^3} \frac{1}{7^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{(n!)^3} \frac{1}{7^n}}{\frac{(3(n+1))!}{((n+1)!)^3} \frac{1}{7^{n+1}}} = \frac{(3n)!}{(n!)^3} \cdot \frac{7^{n+1}}{(3n+3)!} \cdot \frac{((n+1)!)^3}{7^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{7^{n+1}}{7^n} = 7, \quad (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 7 \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} \cdot \frac{(n+1)^3 (n!)^3}{(n!)^3} = \frac{7 (n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita pro \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{7 (n+1)^3}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = \frac{7}{27}. \] Jelikož \( \frac{7}{27} < 1 \), řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 133:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{n!} \frac{1}{(3n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n!} \frac{1}{(3n)^n}}{\frac{(2n+2)!}{(n+1)!} \frac{1}{(3(n+1))^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{(3(n+1))^{n+1}}{(3n)^n}. \]

Zjednodušme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{(3(n+1))^{n+1}}{(3n)^n}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(3(n+1))^{n+1}}{(3n)^n} = 3 \cdot (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \] Takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} \cdot 3(n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{3(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]

Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} e = \frac{3}{4} e \approx 2.04 > 1, \] tedy řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 134:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{(n!)^2} \left(\frac{2}{5}\right)^n. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(n!)^2} \left(\frac{2}{5}\right)^n}{\frac{(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2} \left(\frac{2}{5}\right)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n!)^2} \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{5}{2}. \]

Zjednodušme faktoriály: \[ ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2, \] proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n!)^2} \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \cdot n^n \cdot \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}}. \]

Upravme poměr mocnin: \[ \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n, \quad \text{a tedy} \quad \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} = \frac{1}{(n+1)^{n-1}}. \] Výraz lze napsat jako \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{2} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \frac{1}{(n+1)^{n-1}}. \] Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{2} \cdot e^{-1} \cdot 0 = 0 < 1, \] řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 135:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}}{\frac{(2n+2)!}{4^{n+1} ((n+1)!)^2}} = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \cdot \frac{4^{n+1} ((n+1)!)^2}{(2n+2)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 4 \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(n!)^2 (2n+2)(2n+1)} = \frac{4 (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = 1. \] Gaussovo kritérium je při limitě rovné 1 nejednoznačné, je třeba použít jiné metody. Nicméně, je známo, že řada je spojena s binomickými koeficienty a konverguje.

Řešení příkladu 136:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n \cdot 5^n}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n 5^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n 5^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+1}}. \]

Upravme exponenty: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5(n+1)} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{5} \cdot e^{-1} = \frac{4}{5e} \approx 0.29 < 1, \] což znamená, že řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 137:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)!}{(n!)^3} \cdot \frac{1}{9^n n!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{(n!)^3} \cdot \frac{1}{9^n n!}}{\frac{(3(n+1))!}{((n+1)!)^3} \cdot \frac{1}{9^{n+1} (n+1)!}} = \frac{(3n)!}{(n!)^3 n!} \cdot \frac{9^{n+1} (n+1)!}{(3n+3)! ((n+1)!)^3 9^n}. \]

Zjednodušme mocniny a faktoriály: \[ \frac{9^{n+1}}{9^n} = 9, \quad (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Dále \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 9 \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} \cdot \frac{(n+1)(n!)^3}{(n!)^3 (n+1)^3} = \frac{9 (n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+1)^3}. \]

Zkrátíme a upravíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{9}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(n+1)^2}. \] Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{9}{27 n^3 (n+1)^2} = 0 < 1, \] řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 138:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{3^n}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n} \frac{3^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \frac{3^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{3^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{3^{n+1}}. \]

Zjednodušme mocniny a faktoriály: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n!} = \frac{(n+1)^n}{n!}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^n}{n!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} \cdot \frac{1}{3} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{3}. \]

Upravme poměr mocnin: \[ \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e. \] Limita tedy je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = e \cdot \frac{4n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{4}{3} e \approx 3.62 > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 139:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{2^n}{n^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2 2^n}{(2n)! n^n}}{\frac{((n+1)!)^2 2^{n+1}}{(2n+2)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{(n!)^2 2^n}{(2n)! n^n} \cdot \frac{(2n+2)! (n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2 2^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(n+1)^{n+1}}{(n+1)^2 n^n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{2(n+1)} \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n}. \]

Limita výrazu s mocninami je \[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \to e, \] a tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{2 n} \cdot e = \infty > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 140:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^3}{(3n)!} \cdot 7^n. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^3}{(3n)!} 7^n}{\frac{((n+1)!)^3}{(3n+3)!} 7^{n+1}} = \frac{(n!)^3 7^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3 7^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}, \quad (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}{(3n)!} \cdot \frac{(n!)^3}{(n+1)^3 (n!)^3} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{7 (n+1)^3}. \]

Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{7 n^3} = \frac{27}{7} > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 141:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! \cdot 4^n} \cdot \frac{1}{n^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n! 4^n} \cdot \frac{1}{n^n}}{\frac{(2n+2)!}{(n+1)! 4^{n+1}} \cdot \frac{1}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{n! 4^n n^n} \cdot \frac{(n+1)! 4^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Zjednodušme mocniny a faktoriály: \[ \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 4 \cdot \frac{(n+1) (n+1)^{n+1}}{n^n (2n+2)(2n+1)} = 4 \cdot \frac{(n+1)^{n+2}}{n^n (2n+2)(2n+1)}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(n+1)^{n+2}}{n^n} = (n+1)^2 \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \] Limita výrazu s mocninami je \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e. \]

Limita poměru je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} 4 \cdot \frac{(n+1)^2 e}{(2n+2)(2n+1)} = 4 \cdot \frac{n^2 e}{4 n^2} = e > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 142:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n n!}{(2n+1)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n!}{(2n+1)!}}{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{(2n+3)!}} = \frac{3^n n!}{(2n+1)!} \cdot \frac{(2n+3)!}{3^{n+1} (n+1)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad (2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!, \] \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!}{(2n+1)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{3} \cdot (2n+3)(2n+2) \cdot \frac{1}{n+1}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)(2n+2)}{3(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2}{3 n} = \infty > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 143:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 2^n}{(n+2)^{n+1}}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 2^n}{(n+2)^{n+1}}}{\frac{(n+1)! 2^{n+1}}{(n+3)^{n+2}}} = \frac{n! 2^n}{(n+2)^{n+1}} \cdot \frac{(n+3)^{n+2}}{(n+1)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2(n+1)} \cdot \frac{(n+3)^{n+2}}{(n+2)^{n+1}}. \]

Upravme exponenty: \[ \frac{(n+3)^{n+2}}{(n+2)^{n+1}} = \frac{(n+3)^{n+1} (n+3)}{(n+2)^{n+1}} = (n+3) \left(\frac{n+3}{n+2}\right)^{n+1}. \] Limita výrazu s mocninou je \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+2}\right)^{n+1} = e. \]

Limita celého poměru je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2(n+1)} (n+3) e = \frac{e}{2} > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 144:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 3^{2n}}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{(n!)^2 3^{2n}}}{\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 3^{2(n+1)}}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2 3^{2n}} \cdot \frac{((n+1)!)^2 3^{2(n+1)}}{(2n+2)!}. \]

Zjednodušme mocniny: \[ \frac{3^{2(n+1)}}{3^{2n}} = 3^2 = 9, \] a faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 9 \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(n!)^2 (2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot (2n)! = 9 \cdot \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 9 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = 9 \cdot \frac{n^2}{4 n^2} = \frac{9}{4} > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 145:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \cdot \frac{1}{(n+1)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(2n)! (n+1)^n}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{(2n+2)! (n+2)^{n+1}}} = \frac{n! 5^n (2n+2)! (n+2)^{n+1}}{(2n)! (n+1)^n (n+1)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \] \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)} \cdot \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n} = (n+2) \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n, \] kde \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = e. \] Limita poměru je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)} \cdot (n+2) e = \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2}{5 n} \cdot n e = \infty > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 146:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n \cdot 4^n}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n 4^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1} 4^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n 4^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1} 4^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{4}. \]

Upravme první zlomek: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n. \] Limita mocniny je \[ \lim_{n\to\infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}. \]

Limita celého výrazu je tedy \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)} \cdot e^{-1} = \lim_{n\to\infty} \frac{4 n^2}{4 n} e^{-1} = \infty \cdot e^{-1} = \infty > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 147:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)!}{n! \cdot 6^{3n}}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{n! 6^{3n}}}{\frac{(3n+3)!}{(n+1)! 6^{3(n+1)}}} = \frac{(3n)!}{n! 6^{3n}} \cdot \frac{(n+1)! 6^{3(n+1)}}{(3n+3)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{6^{3(n+1)}}{6^{3n}} = 6^3 = 216, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 216 \cdot (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} = 216 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita je \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 216 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n+1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = 216 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{n}{27 n^3} = 216 \cdot 0 = 0 < 1, \] řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 148:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot 5^n. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!} 5^n}{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} 5^{n+1}} = \frac{(n!)^2 5^n (2n+2)!}{(2n)! ((n+1)!)^2 5^{n+1}}. \]

Zjednodušme mocniny: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \] faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)! (n!)^2}{(2n)! (n+1)^2 (n!)^2} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}. \]

Limita je \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{4 n^2}{n^2} = \frac{4}{5} < 1, \] řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 149:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 7^n}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 7^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)! 7^{n+1}}{(3n+3)!}} = \frac{n! 7^n (3n+3)!}{(3n)! (n+1)! 7^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1}. \]

Limita je \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{27 n^3}{n} = \frac{1}{7} \cdot \infty = \infty > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 150:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{9^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{9^n}}{\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{1}{9^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2 9^n} \cdot \frac{((n+1)!)^2 9^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{9^{n+1}}{9^n} = 9, \] \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \] Výraz tedy: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 9 \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2 (2n)!}{(n!)^2 (2n+2)(2n+1)(2n)!} = 9 \cdot \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Limita je \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 9 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = 9 \cdot \frac{n^2}{4 n^2} = \frac{9}{4} > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 151:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! \cdot 5^n \cdot n^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n! 5^n n^n}}{\frac{(2n+2)!}{(n+1)! 5^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{(2n)!}{n! 5^n n^n} \cdot \frac{(n+1)! 5^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5, \] \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 \cdot (n+1) \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \frac{5 (n+1)^{n+2}}{n^n (2n+2)(2n+1)}. \]

Upravme zlomek s mocninami: \[ \frac{(n+1)^{n+2}}{n^n} = (n+1)^2 \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1)^2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \] Víme, že \[ \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e. \]

Limita je tedy \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{5 (n+1)^2 e}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n\to\infty} \frac{5 e (n+1)^2}{4 n^2} = \frac{5 e}{4} > 1, \] což znamená, že řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 152:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 2^{n^2}}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 2^{n^2}}{(2n)!}}{\frac{(n+1)! 2^{(n+1)^2}}{(2n+2)!}} = \frac{n! 2^{n^2} (2n+2)!}{(2n)! (n+1)! 2^{(n+1)^2}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{2^{n^2}}{2^{(n+1)^2}} = 2^{n^2 – (n+1)^2} = 2^{-2n – 1} = \frac{1}{2^{2n+1}}, \] \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1) 2^{2n+1}}. \]

Limita je \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{4 n^2}{n 2^{2n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{4 n}{2^{2n+1}} = 0 < 1, \] řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 153:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)!}{(n!)^3 9^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{(n!)^3 9^n}}{\frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3 9^{n+1}}} = \frac{(3n)! 9^{n+1} ((n+1)!)^3}{(n!)^3 9^n (3n+3)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{9^{n+1}}{9^n} = 9, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ \frac{((n+1)!)^3}{(n!)^3} = (n+1)^3. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 9 \cdot (n+1)^3 \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!} = 9 \cdot (n+1)^3 \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita je \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 9 \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)^3}{27 n^3} = 9 \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{3} < 1, \] řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 154:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^3}{(3n)!} \cdot 8^n. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^3}{(3n)!} 8^n}{\frac{((n+1)!)^3}{(3n+3)!} 8^{n+1}} = \frac{(n!)^3 8^n (3n+3)!}{(3n)! ((n+1)!)^3 8^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{8^n}{8^{n+1}} = \frac{1}{8}, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ \frac{(n!)^3}{((n+1)!)^3} = \frac{1}{(n+1)^3}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}{(3n)!} \cdot \frac{1}{(n+1)^3} = \frac{1}{8} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3}. \]

Limita je \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{8} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{27 n^3}{n^3} = \frac{27}{8} > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 155:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n \cdot n!}{(2n)!} \cdot n^n. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n!}{(2n)!} n^n}{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{(2n+2)!} (n+1)^{n+1}} = \frac{3^n n! n^n (2n+2)!}{3^{n+1} (n+1)! (2n)! (n+1)^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \] \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3 (n+1)^2} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]

Víme, že \[ \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e}. \] Limita je tedy \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n\to\infty} \frac{4 n^2}{3 n^2} \cdot \frac{1}{e} = \frac{4}{3 e} < 1, \] řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 156:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot 4^n. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!} 4^n}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} 4^{n+1}} = \frac{n^n 4^n (2n+2)!}{(2n)! (n+1)^{n+1} 4^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)^{n+1}}. \]

Upravme zlomek s mocninami: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \] Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e}. \]

Limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{4} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{e} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2}{4 (n+1)} \cdot \frac{1}{e} = \frac{1}{e} \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n+1} = \infty, \] což je větší než 1, tedy řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 157:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n n!}{(n+2)!} \cdot \frac{1}{n^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n!}{(n+2)!} \frac{1}{n^n}}{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+3)!} \frac{1}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n n! (n+3)! (n+1)^{n+1}}{(n+2)! n^n 3^{n+1} (n+1)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad \frac{(n+3)!}{(n+2)!} = n+3, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot (n+3) \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{n+3}{3 (n+1)} (n+1)^n \cdot \frac{1}{n^n}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n \to \infty]{} e. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{3(n+1)} \cdot e = \frac{e}{3} < 1, \] řada diverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 158:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 6^n} \cdot \frac{1}{n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{(n!)^2 6^n} \frac{1}{n}}{\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 6^{n+1}} \frac{1}{n+1}} = \frac{(2n)! (n+1) ((n+1)!)^2 6^{n+1}}{(2n+2)! (n!)^2 6^n n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{6^{n+1}}{6^n} = 6, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 6 \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = 6 \cdot \frac{(n+1)^3}{n (2n+2)(2n+1)}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 6 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n (4 n^2 + 6 n + 2)} = 6 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{4 n^3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} > 1, \] řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 159:

Člen řady je \[ a_n = \frac{2^n (n!)^2}{(3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n (n!)^2}{(3n)!}}{\frac{2^{n+1} ((n+1)!)^2}{(3n+3)!}} = \frac{2^n (n!)^2 (3n+3)!}{(3n)! 2^{n+1} ((n+1)!)^2}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot (3n+3)(3n+2)(3n+1) \cdot \frac{1}{(n+1)^2}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{n^2} = \frac{1}{2} \cdot 27 n = \infty > 1, \] řada tedy konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 160:

Člen řady je \[ a_n = \frac{5^n n!}{(4n)!} (n+1)^n. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{5^n n!}{(4n)!} (n+1)^n}{\frac{5^{n+1} (n+1)!}{(4n+4)!} (n+2)^{n+1}} = \frac{5^n n! (n+1)^n (4n+4)!}{(4n)! 5^{n+1} (n+1)! (n+2)^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \] Výraz tedy je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(n+1)^n}{(n+1)} \cdot \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!}{(4n)! (n+2)^{n+1}} = \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{5 (n+1)} \cdot \frac{(n+1)^n}{(n+2)^{n+1}}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(n+1)^n}{(n+2)^{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{(n+2)^n (n+2)} = \frac{1}{n+2} \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n. \] Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^n = e^{-1}. \]

Limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{5 (n+1)(n+2)} \cdot e^{-1}. \] Početní úprava hlavních členů dává \[ \lim_{n \to \infty} \frac{256 n^4}{5 n^2} \cdot e^{-1} = \infty > 1, \] tedy řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 161:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! \cdot 5^n \cdot (3n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n! \cdot 5^n \cdot (3n)!}}{\frac{(2n+2)!}{(n+1)! \cdot 5^{n+1} \cdot (3n+3)!}} = \frac{(2n)! (n+1)! 5^{n+1} (3n+3)!}{n! 5^n (3n)! (2n+2)!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5, \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 (n+1) \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Limita pro \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 \cdot \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{27 n^3}{4 n^2} = 5 \cdot \infty \cdot \frac{27}{4} = \infty > 1. \] Řada tedy konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 162:

Člen řady je \[ a_n = \frac{3^n (n!)^3}{(2n)! (n+1)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n (n!)^3}{(2n)! (n+1)^n}}{\frac{3^{n+1} ((n+1)!)^3}{(2n+2)! (n+2)^{n+1}}} = \frac{3^n (n!)^3 (2n+2)! (n+2)^{n+1}}{3^{n+1} ((n+1)!)^3 (2n)! (n+1)^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(n!)^3}{((n+1)!)^3} = \frac{1}{(n+1)^3}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3} (2n+2)(2n+1) (n+2)^{n+1} \frac{1}{(n+1)^3 (n+1)^n}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} \xrightarrow[n \to \infty]{} e. \] Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{3} (2n+2)(2n+1) \frac{e}{(n+1)^2}. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2 e}{3 (n+1)^2} = \frac{4e}{3} > 1, \] takže řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 163:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(n!)^2 7^n}{(3n)! (2n+1)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2 7^n}{(3n)! (2n+1)^n}}{\frac{((n+1)!)^2 7^{n+1}}{(3n+3)! (2n+3)^{n+1}}} = \frac{(n!)^2 7^n (3n+3)! (2n+3)^{n+1}}{((n+1)!)^2 7^{n+1} (3n)! (2n+1)^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}, \quad \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \quad \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} (3n+3)(3n+2)(3n+1) (2n+3)^{n+1} \frac{1}{(n+1)^2 (2n+1)^n}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(2n+3)^{n+1}}{(2n+1)^n} = (2n+3) \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n. \] Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+3}{2n+1}\right)^n = e^{\frac{2}{2n+1} \cdot n} \to e. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{7} \cdot 27 n^3 \cdot 2n \cdot e \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{54 e}{7} n^2 \to \infty > 1, \] řada tedy konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 164:

Člen řady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)! \cdot (n+3)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(2n)! (n+3)^n}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{(2n+2)! (n+4)^{n+1}}} = \frac{n! 4^n (2n+2)! (n+4)^{n+1}}{(2n)! (n+3)^n (n+1)! 4^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1). \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \cdot \frac{(n+4)^{n+1}}{(n+3)^n}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(n+4)^{n+1}}{(n+3)^n} = (n+4) \left(\frac{n+4}{n+3}\right)^n, \] kde \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+4}{n+3}\right)^n = e. \]

Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{4} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n} \cdot n \cdot e = \lim_{n \to \infty} n e = \infty > 1, \] takže řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 165:

Člen řady je \[ a_n = \frac{(3n)! \cdot 2^n}{(n!)^3 \cdot (5n)^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 2^n}{(n!)^3 (5n)^n}}{\frac{(3n+3)! 2^{n+1}}{((n+1)!)^3 (5(n+1))^{n+1}}} = \frac{(3n)! 2^n ((n+1)!)^3 (5(n+1))^{n+1}}{(3n+3)! 2^{n+1} (n!)^3 (5n)^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}, \quad \frac{((n+1)!)^3}{(n!)^3} = (n+1)^3, \quad \frac{(5(n+1))^{n+1}}{(5n)^n} = 5 (n+1)^{n+1} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n+1)^3 \cdot 5 (n+1)^{n+1} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Upravme výraz: \[ (n+1)^3 (n+1)^{n+1} = (n+1)^{n+4}, \] a limitu zlomku: \[ \frac{(n+1)^{n+4}}{n^n} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = (n+1)^4 \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n}. \] Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = e^{2}. \]

Limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{5}{2} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^4 e^{2}}{27 n^3} = \frac{5 e^{2}}{54} \lim_{n \to \infty} n = \infty > 1, \] řada tedy konverguje podle Gaussova kritéria.

Riešenie príkladu 166:

Člen rady je \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n (2n+2)!}{(n+1)^{n+1} (2n)!}. \]

Zjednodušme \[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]

Vyjadrite pomer mocnín \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \frac{1}{n+1}. \] Vieme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = e^{-1}. \] Preto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} (2n+2)(2n+1) \cdot e^{-1} \cdot \frac{1}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1) e} = \frac{4n^2}{n e} = \frac{4n}{e} \to \infty > 1, \] teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 167:

Člen rady je \[ a_n = \frac{(2n)! \cdot 5^n}{(n!)^2 \cdot n^{2n}}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)! 5^n}{(n!)^2 n^{2n}}}{\frac{(2n+2)! 5^{n+1}}{((n+1)!)^2 (n+1)^{2n+2}}} = \frac{(2n)! 5^n ((n+1)!)^2 (n+1)^{2n+2}}{(2n+2)! 5^{n+1} (n!)^2 n^{2n}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}, \quad \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2. \] Výraz teda je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(n+1)^2 (n+1)^{2n+2}}{(2n+2)(2n+1) n^{2n}}. \]

Prepočítame mocniny \[ (n+1)^2 (n+1)^{2n+2} = (n+1)^{2n+4}, \] a tak \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(n+1)^{2n+4}}{(2n+2)(2n+1) n^{2n}}. \]

Vyjadrite pomer \( \frac{(n+1)^{2n+4}}{n^{2n}} \): \[ = (n+1)^4 \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2n} = (n+1)^4 \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{2n} \xrightarrow[n \to \infty]{} \infty, \] pretože \( (n+1)^4 \to \infty \) a \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n} \to e^{2} \).

Limita teda diverguje a \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \infty > 1, \] takže rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 168:

Člen rady je \[ a_n = \frac{3^n n!}{(4n)!}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n!}{(4n)!}}{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{(4n+4)!}} = \frac{3^n n! (4n+4)!}{3^{n+1} (n+1)! (4n)!} = \frac{n! (4n+4)!}{3 (n+1)! (4n)!}. \]

Zjednodušme \[ \frac{(4n+4)!}{(4n)!} = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{3 (n+1)}. \]

Limita pre \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(4n)^4}{3 (n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{256 n^4}{3 n} = \infty > 1, \] teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 169:

Člen rady je \[ a_n = \frac{n! \cdot 2^n}{(3n)! \cdot n^n}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 2^n}{(3n)! n^n}}{\frac{(n+1)! 2^{n+1}}{(3n+3)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{n! 2^n (3n+3)! (n+1)^{n+1}}{(3n)! n^n (n+1)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušme \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1). \] Výraz je teda \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1) (n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{1}{2} (3n+3)(3n+2)(3n+1) \frac{(n+1)^n}{n^n}. \]

Vyjadrite mocniny \[ \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n \to \infty]{} e. \] Preto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot 27 n^3 \cdot e \to \infty > 1, \] rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 170:

Člen rady je \[ a_n = \frac{(n!)^2 \cdot 7^n}{(2n)! (n+2)^{2n}}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2 7^n}{(2n)! (n+2)^{2n}}}{\frac{((n+1)!)^2 7^{n+1}}{(2n+2)! (n+3)^{2n+2}}} = \frac{(n!)^2 7^n (2n+2)! (n+3)^{2n+2}}{((n+1)!)^2 7^{n+1} (2n)! (n+2)^{2n}}. \]

Zjednodušme \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \] Výraz je teda \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{(n+3)^{2n+2}}{(n+1)^2 (n+2)^{2n}}. \]

Upravme mocniny \[ \frac{(n+3)^{2n+2}}{(n+2)^{2n}} = (n+3)^2 \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^{2n}. \] Vieme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^{2n} = e^{2}. \]

Limita teda je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{7} \cdot 4n^2 \cdot \frac{n^2 e^{2}}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 e^{2} n^{2}}{7} = \infty > 1, \] takže rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 171:

Člen rady: \[ a_n = \frac{n^n}{3^n (2n)!}. \] Spočítame \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{3^n (2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1} (2n+2)!}} = 3 \cdot \frac{n^n (2n+2)!}{(n+1)^{n+1} (2n)!}. \]

Vieme, že \[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \] a \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \frac{1}{n+1} \to \frac{e^{-1}}{\infty} = 0, \] ale musíme vypočítať limitu celého výrazu: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 (2n+2)(2n+1) \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \frac{1}{n+1}. \]

Limitou pre \( n \to \infty \) dostaneme \[ 3 \cdot 4n^2 \cdot e^{-1} \cdot \frac{1}{n} = \frac{12 n e^{-1}}{1} \to \infty > 1, \] teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 172:

Člen rady: \[ a_n = \frac{(3n)! \cdot 2^n}{(n!)^3 \cdot 5^{2n}}. \] Spočítame \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! 2^n}{(n!)^3 5^{2n}}}{\frac{(3n+3)! 2^{n+1}}{((n+1)!)^3 5^{2(n+1)}}} = \frac{(3n)! 2^n ((n+1)!)^3 5^{2(n+1)}}{(3n+3)! 2^{n+1} (n!)^3 5^{2n}}. \]

Zjednodušme \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{5^{2(n+1)}}{5^{2n}} = 5^2 = 25, \quad \frac{((n+1)!)^3}{(n!)^3} = (n+1)^3, \quad \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot (n+1)^3 \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = \frac{25 (n+1)^3}{2 (3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Limita pre \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{25 (n+1)^3}{2 \cdot 27 n^3} = \frac{25}{54} < 1, \] takže rada diverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 173:

Člen rady: \[ a_n = \frac{n! 4^n}{(2n)! n^{n/2}}. \] Spočítame \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 4^n}{(2n)! n^{n/2}}}{\frac{(n+1)! 4^{n+1}}{(2n+2)! (n+1)^{(n+1)/2}}} = \frac{n! 4^n (2n+2)! (n+1)^{(n+1)/2}}{(n+1)! 4^{n+1} (2n)! n^{n/2}}. \]

Zjednodušme \[ \frac{4^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)} \cdot \frac{(n+1)^{(n+1)/2}}{n^{n/2}}. \]

Vyjadrite pomer mocnín: \[ \frac{(n+1)^{(n+1)/2}}{n^{n/2}} = (n+1)^{1/2} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n/2} = \sqrt{n+1} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n/2} \to \infty, \] pretože \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \) a teda celý výraz rastie ako \( \sqrt{n} \cdot e^{1/2} \).

Limitou je teda nekonečno, čo znamená, že \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \infty > 1, \] a teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 174:

Člen rady: \[ a_n = \frac{(n!)^3}{(3n)!}. \] Spočítame \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^3}{(3n)!}}{\frac{((n+1)!)^3}{(3n+3)!}} = \frac{(n!)^3 (3n+3)!}{((n+1)!)^3 (3n)!}. \]

Zjednodušme \[ \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \quad \frac{(n!)^3}{((n+1)!)^3} = \frac{1}{(n+1)^3}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1)^3}. \]

Limita pre \( n \to \infty \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{n^3} = 27 > 1, \] teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 175:

Člen rady: \[ a_n = \frac{5^n n!}{(2n)! (n+1)^n}. \] Spočítame \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{5^n n!}{(2n)! (n+1)^n}}{\frac{5^{n+1} (n+1)!}{(2n+2)! (n+2)^{n+1}}} = \frac{5^n n! (2n+2)! (n+2)^{n+1}}{5^{n+1} (n+1)! (2n)! (n+1)^n}. \]

Zjednodušme \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)} \cdot \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n}. \]

Upravme mocniny: \[ \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n} = (n+2) \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n. \] Vieme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^n = e. \] Limitou je teda \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{5n} \cdot n \cdot e = \lim_{n \to \infty} \frac{4 e n^2}{5} = \infty > 1, \] takže rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 181:

Člen rady: \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{3^{2n}}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n 5^n}{(2n)! 3^{2n}}}{\frac{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}{(2n+2)! 3^{2n+2}}} = \frac{n^n 5^n (2n+2)! 3^{2n+2}}{(n+1)^{n+1} 5^{n+1} (2n)! 3^{2n}}. \]

Zjednodušme jednotlivé časti: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{3^{2n+2}}{3^{2n}} = 3^2 = 9, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1). \] Výraz je teda \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{9 (2n+2)(2n+1)}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]

Prepíšme pomer mocnín: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \] Keď \( n \to \infty \), \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}. \]

Limitou je teda \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{9 (2n+2)(2n+1)}{5} \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = \frac{9 \cdot 4n^2}{5} \cdot \frac{e^{-1}}{n} = +\infty > 1. \] Podľa Gaussovho kritéria rada konverguje.

Riešenie príkladu 182:

Člen rady: \[ a_n = \frac{(3n)!}{(n!)^3} \cdot \left(\frac{2}{27}\right)^n. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{(n!)^3} \left(\frac{2}{27}\right)^n}{\frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3} \left(\frac{2}{27}\right)^{n+1}} = \frac{(3n)! ((n+1)!)^3 (2/27)^n 27/2}{(3n+3)! (n!)^3 (2/27)^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{(2/27)^n}{(2/27)^{n+1}} = \frac{27}{2}, \quad \frac{((n+1)!)^3}{(n!)^3} = (n+1)^3, \quad \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{27}{2} (n+1)^3 \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Pre veľké \( n \) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] teda \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{27}{2} \cdot \frac{n^3}{27 n^3} = \frac{27}{2} \cdot \frac{1}{27} = \frac{1}{2} < 1. \] Podľa Gaussovho kritéria rada diverguje.

Riešenie príkladu 183:

Člen rady: \[ a_n = \frac{n!}{(2n)!} \cdot \left(\frac{10}{3}\right)^n. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{(2n)!} \left(\frac{10}{3}\right)^n}{\frac{(n+1)!}{(2n+2)!} \left(\frac{10}{3}\right)^{n+1}} = \frac{n! (2n+2)! (10/3)^n (3/10)}{(2n)! (n+1)! (10/3)^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{(10/3)^n}{(10/3)^{n+1}} = \frac{3}{10}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3}{10} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1}. \]

Pre veľké \( n \) platí \[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \sim \frac{4n^2}{n} = 4n. \] Preto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{10} \cdot 4n = +\infty > 1. \] Podľa Gaussovho kritéria rada konverguje.

Riešenie príkladu 184:

Člen rady: \[ a_n = \frac{5^n (n!)^2}{(2n)! 4^n}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{5^n (n!)^2}{(2n)! 4^n}}{\frac{5^{n+1} ((n+1)!)^2}{(2n+2)! 4^{n+1}}} = \frac{5^n (n!)^2 (2n+2)! 4^{n+1}}{(2n)! 4^n 5^{n+1} ((n+1)!)^2}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{5} (2n+2)(2n+1) \frac{1}{(n+1)^2}. \]

Pre veľké \( n \) platí \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \quad (n+1)^2 \sim n^2, \] teda \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{4n^2}{n^2} = \frac{16}{5} > 1. \] Podľa Gaussovho kritéria rada konverguje.

Riešenie príkladu 185:

Člen rady: \[ a_n = \frac{n! \cdot 7^n}{(3n)!}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 7^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)! 7^{n+1}}{(3n+3)!}} = \frac{n! 7^n (3n+3)!}{(3n)! (n+1)! 7^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}, \quad \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{7 (n+1)}. \]

Pre veľké \( n \) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] teda \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{7 n} = +\infty > 1. \] Podľa Gaussovho kritéria rada konverguje.

Riešenie príkladu 186:

Člen rady: \[ a_n = \frac{3^n (n!)^2}{(2n)! \, n^n}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n (n!)^2}{(2n)! \, n^n}}{\frac{3^{n+1} ((n+1)!)^2}{(2n+2)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n (n!)^2 (2n+2)! (n+1)^{n+1}}{3^{n+1} ((n+1)!)^2 (2n)! n^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \] Výraz sa upraví na \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)^2 n^n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3} \cdot \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}. \]

Prepíšme druhý pomer: \[ \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1}. \] Keď \( n \to \infty \), \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \quad \frac{1}{n+1} \to 0, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{4 n^2}{3} \cdot e \cdot \frac{1}{n} = \frac{4 e}{3} n \to +\infty > 1. \] Podľa Gaussovho kritéria rada konverguje.

Riešenie príkladu 187:

Člen rady: \[ a_n = \frac{n^{2n}}{(2n)!} \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^n. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^{2n}}{(2n)!} \left(\frac{4}{5}\right)^n}{\frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(2n+2)!} \left(\frac{4}{5}\right)^{n+1}} = \frac{n^{2n} (2n+2)! (5/4)^n (5/4)}{(n+1)^{2(n+1)} (2n)!}. \]

Zjednodušme faktoriál: \[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1). \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}}. \]

Rozložme mocniny: \[ \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}} = \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n} (n+1)^2} = \frac{1}{(n+1)^2} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n}. \] Keď \( n \to \infty \), \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{2n} \to e^{-2}. \]

Limitou je teda \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} (2n+2)(2n+1) \frac{5}{4} \cdot \frac{e^{-2}}{(n+1)^2} = \frac{5}{4} e^{-2} \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2}{n^2} = \frac{5}{4 e^{2}} < 1. \] Rada diverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 188:

Člen rady: \[ a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{6^n}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{6^n}}{\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{1}{6^{n+1}}} = \frac{(2n)! ((n+1)!)^2 6^{n+1}}{(2n+2)! (n!)^2 6^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{6^{n+1}}{6^n} = 6, \quad \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}, \quad \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 6 \cdot \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Pre veľké \( n \): \[ \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{n^2}{4 n^2} = \frac{1}{4}. \] Preto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{2} > 1, \] teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 189:

Člen rady: \[ a_n = \frac{n! \cdot 2^n}{(3n)!}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 2^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)! 2^{n+1}}{(3n+3)!}} = \frac{n! 2^n (3n+3)!}{(3n)! (n+1)! 2^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2 (n+1)}. \]

Pre veľké \( n \) \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{2 n} = +\infty > 1, \] teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 190:

Člen rady: \[ a_n = \frac{n^n \cdot 5^n}{(2n)! \, n!}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n 5^n}{(2n)! \, n!}}{\frac{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}{(2n+2)! \, (n+1)!}} = \frac{n^n 5^n (2n+2)! (n+1)!}{(2n)! n! (n+1)^{n+1} 5^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)(n+1)}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]

Rozložme druhý zlomok: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1}. \] Keď \( n \to \infty \), \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}, \quad \frac{1}{n+1} \to 0, \] takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2 (n+1)}{5} \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = \frac{4}{5 e} \lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty > 1, \] teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 191:

Člen rady: \[ a_n = \frac{(3n)!}{(n!)^3} \cdot \frac{1}{7^n}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{(n!)^3} \frac{1}{7^n}}{\frac{(3n+3)!}{((n+1)!)^3} \frac{1}{7^{n+1}}} = \frac{(3n)! (7)^{n+1} ((n+1)!)^3}{(3n+3)! (n!)^3 7^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{7^{n+1}}{7^n} = 7, \quad \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}, \quad \frac{((n+1)!)^3}{(n!)^3} = (n+1)^3. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 7 (n+1)^3 \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]

Pre veľké \( n \): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] teda \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 7 \cdot \frac{n^3}{27 n^3} = \frac{7}{27} < 1, \] takže rada diverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 192:

Člen rady: \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! \, 4^n}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{n! \, 4^n}}{\frac{(2n+2)!}{(n+1)! \, 4^{n+1}}} = \frac{(2n)! (n+1)! 4^{n+1}}{(2n+2)! n! 4^n}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{4^{n+1}}{4^n} = 4, \quad \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}, \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 4 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]

Pre veľké \( n \): \[ \frac{(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{n}{4 n^2} = \frac{1}{4 n}. \] Preto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 4 \cdot \frac{1}{4 n} = \frac{1}{n} \to 0 < 1, \] takže rada diverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 193:

Člen rady: \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{8^n}{n^n}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2 8^n}{(2n)! n^n}}{\frac{((n+1)!)^2 8^{n+1}}{(2n+2)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{(n!)^2 8^n (2n+2)! (n+1)^{n+1}}{(2n)! n^n ((n+1)!)^2 8^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{8^n}{8^{n+1}} = \frac{1}{8}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \] Výraz sa zjednoduší na \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{8} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)^2} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{8} \cdot \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}. \]

Napíšme \[ \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \to e \cdot 0 = 0. \] Avšak pred tým máme násobok, ktorý rastie približne ako \(4 n^2 / 8 = \frac{n^2}{2}\). Preto \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2} \cdot \frac{e}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{e n^2}{2(n+1)} = +\infty > 1, \] a teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Riešenie príkladu 194:

Člen rady: \[ a_n = \frac{(n+2)!}{3^n n!}. \] Spočítame pomer \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n+2)!}{3^n n!}}{\frac{(n+3)!}{3^{n+1} (n+1)!}} = \frac{(n+2)! 3^{n+1} (n+1)!}{(n+3)! 3^n n!}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{3^{n+1}}{3^n} = 3, \quad \frac{(n+2)!}{(n+3)!} = \frac{1}{n+3}, \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1. \] Výraz je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{n+1}{n+3}. \]

Pre \( n \to \infty \) platí \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+3} = 3 > 1, \] teda rada konverguje podľa Gaussovho kritéria.

Řešení příkladu 195:

Člen řady: \[ a_n = \frac{(n!)^3}{(3n)!} \cdot \frac{7^n}{n^n}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^3 7^n}{(3n)! n^n}}{\frac{((n+1)!)^3 7^{n+1}}{(3n+3)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{(n!)^3 7^n (3n+3)! (n+1)^{n+1}}{(3n)! n^n ((n+1)!)^3 7^{n+1}}. \]

Zjednodušíme: \[ \frac{7^n}{7^{n+1}} = \frac{1}{7}, \quad \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \quad \frac{(n!)^3}{((n+1)!)^3} = \frac{1}{(n+1)^3}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{7} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)^3} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{7} \cdot \frac{(n+1)^{n-2}}{n^n}. \]

Rozložíme \[ \frac{(n+1)^{n-2}}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{(n+1)^2}. \] Protože \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \) a \( \frac{1}{(n+1)^2} \to 0 \), ale \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tak \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{7} \cdot e \cdot \frac{1}{n^2} = +\infty > 1, \] tedy řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 196:

Člen řady: \[ a_n = \frac{2^n \cdot n!}{(4n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{(4n)!}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(4n+4)!}} = \frac{2^n n! (4n+4)!}{(4n)! 2^{n+1} (n+1)!} = \frac{(4n+4)!}{(4n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{2}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{(4n+4)!}{(4n)!} = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}{2(n+1)}. \]

Pro \( n \to \infty \) platí \[ (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim (4n)^4 = 256 n^4, \] takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{256 n^4}{2 (n+1)} = +\infty > 1, \] což znamená, že řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 197:

Člen řady: \[ a_n = \frac{n^{2n}}{(5n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^{2n}}{(5n)!}}{\frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(5n+5)!}} = \frac{n^{2n} (5n+5)!}{(5n)! (n+1)^{2(n+1)}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{(5n+5)!}{(5n)!} = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1). \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) \cdot \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}}. \]

Přepišme druhý zlomek jako \[ \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2(n+1)}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{2n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2}. \] Pro \( n \to \infty \) platí \[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{2n} \to e^{-2}, \quad \frac{1}{(n+1)^2} \to 0, \] a zároveň \[ (5n+5)(5n+4)(5n+3)(5n+2)(5n+1) \sim 3125 n^5. \] Tudíž \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim 3125 n^5 \cdot e^{-2} \cdot \frac{1}{n^2} = +\infty > 1, \] a tedy řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 198:

Člen řady: \[ a_n = \frac{3^n \cdot (2n)!}{(6n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n (2n)!}{(6n)!}}{\frac{3^{n+1} (2n+2)!}{(6n+6)!}} = \frac{3^n (2n)! (6n+6)!}{(6n)! 3^{n+1} (2n+2)!} = \frac{(6n+6)!}{(6n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{1}{3}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{(6n+6)!}{(6n)!} = (6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1), \] \[ \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(6n+6)(6n+5)(6n+4)(6n+3)(6n+2)(6n+1)}{3 (2n+2)(2n+1)}. \]

Pro \( n \to \infty \) platí přibližně \[ \frac{(6n)^6}{3 (2n)^2} = \frac{46656 n^6}{3 \cdot 4 n^2} = \frac{46656}{12} n^4 = 3888 n^4 \to +\infty > 1, \] tedy řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 199:

Člen řady: \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{n!} = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n! 5^n (2n+2)!}{(2n)! (n+1)! 5^{n+1}}. \]

Zjednodušme: \[ \frac{5^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \] Výraz je tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)}. \]

Pro \( n \to \infty \) platí \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4 n^2}{5 n} = +\infty > 1, \] tudíž řada konverguje podle Gaussova kritéria.

Řešení příkladu 200:

Člen řady: \[ a_n = \frac{(3n)! \cdot 2^n}{(n!)^3 \cdot 5^{3n}}. \] Spočítáme poměr \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)! \cdot 2^n}{(n!)^3 \cdot 5^{3n}}}{\frac{(3(n+1))! \cdot 2^{n+1}}{((n+1)!)^3 \cdot 5^{3(n+1)}}} = \frac{(3n)! \cdot 2^n \cdot ((n+1)!)^3 \cdot 5^{3(n+1)}}{(3(n+1))! \cdot 2^{n+1} \cdot (n!)^3 \cdot 5^{3n}}. \]

Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{2}, \quad \frac{5^{3(n+1)}}{5^{3n}} = 5^3 = 125. \] Výraz tak je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n)! \cdot ((n+1)!)^3 \cdot 125}{(3(n+1))! \cdot (n!)^3 \cdot 2}. \]

Rozložíme faktoriály: \[ (3(n+1))! = (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] \[ ((n+1)!)^3 = (n+1)^3 (n!)^3. \] Dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n)! \cdot (n+1)^3 (n!)^3 \cdot 125}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! \cdot (n!)^3 \cdot 2} = \frac{(n+1)^3 \cdot 125}{(3n+3)(3n+2)(3n+1) \cdot 2}. \]

Pro veľké \( n \) platí približne: \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{125 (n+1)^3}{2 \cdot 27 n^3} \approx \frac{125}{54} \left(\frac{n+1}{n}\right)^3. \] Pre \( n \to \infty \): \[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^3 \to 1, \] teda \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{125}{54} \approx 2{,}31 > 1, \] podľa Gaussova kritéria řada konverguje.