1. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Použijeme podílové kritérium:
\( a_n = \frac{n^2}{3^n},\quad a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{3 n^2} \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{3 n^2} = \frac{1}{3} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3} \)
Protože \( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
2. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n!} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{5^n}{n!},\quad a_{n+1} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)!} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{5^n} = \frac{5}{n+1} \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} = 0 \)
Protože limita je nulová, řada konverguje absolutně.
3. Zjistěte, zda konverguje řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n!}{n^n},\quad a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n (n+1)}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \)
\( \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} \)
Limita je \( \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
4. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 3^n}{4^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{2^n + 3^n}{4^n} \)
Podílové kritérium:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{2^n + 3^n} = \frac{4^n (2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n)}{4^{n+1} (2^n + 3^n)} = \frac{2 \cdot 2^n + 3 \cdot 3^n}{4 (2^n + 3^n)} \)
V limitě dominuje \( 3^n \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{3 \cdot 3^n}{4 \cdot 3^n} = \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
5. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \).
Řešení příkladu:
Označíme \( a_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \)
\( a_{n+1} = \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n+1} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \)
Upravíme pomocí logaritmů a použijeme limitu:
\( \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} \)
Protože členy nekonvergují k nule geometricky, použijeme podílové kritérium jako kontrolu. V každém případě \( a_n \to 0 \), ale řada diverguje – není to geometrická řada a členy neklesají dostatečně rychle.
Řada tedy diverguje.
6. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln n}{n} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{\ln n}{n} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n,\quad a_{n+1} = \frac{\ln(n+1)}{n+1} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n+1} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\ln(n+1)}{n+1} \cdot \frac{n}{\ln n} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{2} \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)
Limita je menší než 1 \( \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
7. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n^3}{n!} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{3^n n^3}{n!},\quad a_{n+1} = \frac{3^{n+1} (n+1)^3}{(n+1)!} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3 \cdot (n+1)^3}{n^3 \cdot (n+1)} = \frac{3(n+1)^2}{n^3} \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{3(n+1)^2}{n^3} = 0 \)
Protože limita je nulová, řada konverguje absolutně.
8. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n^n}{(2n)!},\quad a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \)
Použijeme Stirlingovu aproximaci: \( n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \Rightarrow \) podíl bude klesat velmi rychle.
Intuitivně víme, že jmenovatel roste rychleji než čitatel \( \Rightarrow \) řada konverguje.
9. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{7^n}{n^7} \) konverguje.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{7^n}{n^7},\quad a_{n+1} = \frac{7^{n+1}}{(n+1)^7} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{7 \cdot 7^n}{(n+1)^7} \cdot \frac{n^7}{7^n} = \frac{7 n^7}{(n+1)^7} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{7 n^7}{(n+1)^7} = 7 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^7 = 7 \cdot 1 = 7 \)
Limita je větší než \(1 \Rightarrow \) řada diverguje.
10. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{2n} \right)^n \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \left( \frac{n+1}{2n} \right)^n = \left( \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} \right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n = 0 \)
Podílové kritérium: \( a_{n+1}/a_n \to \text{limita} < 1 \)
Lze přesněji spočítat:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n+2}{2(n+1)} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{2n}{n+1} \right)^n \Rightarrow \) výpočtem dojdeme k limitě < 1
Řada tedy konverguje.
11. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Označíme \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Využijeme podílové kritérium:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \)
\( \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} \)
Tedy limita \( < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
12. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n n!}{n^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{2^n n!}{n^n} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2 \cdot 2^n (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n n!} = \frac{2 (n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}} \)
\( = 2 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = 2 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} = \frac{2}{e} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
13. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{3n+1}{5n-2} \right)^n \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \left( \frac{3n+1}{5n-2} \right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3n+1}{5n-2} \right)^n = \left( \frac{3}{5} \right)^n \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \)
Podílové kritérium:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{3(n+1)+1}{5(n+1)-2} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{5n-2}{3n+1} \right)^n \)
Odhadem:
\( \left( \frac{3}{5} \right)^n \Rightarrow \) limita podílu < \(1 \Rightarrow \) řada konverguje.
14. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{3^n n!} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n^n}{3^n n!},\quad a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1} (n+1)!} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} \cdot 3^n n!}{3^{n+1} (n+1)! n^n} = \frac{(n+1)^{n+1} n!}{3 (n+1)! n^n} \)
\( = \frac{(n+1)^n}{3 n^n} \Rightarrow \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \Rightarrow \frac{e}{3} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
15. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{2^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n^3}{2^n} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{2 n^3} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{2 n^3} = \frac{1}{2} \Rightarrow \) řada konverguje.
16. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n + n}{6^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{5^n + n}{6^n} \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} + (n+1)}{6^{n+1}} \cdot \frac{6^n}{5^n + n} = \frac{(5 \cdot 5^n + n + 1)}{6 \cdot (5^n + n)} \)
Pro velká \( n \): \( a_n \sim \frac{5^n}{6^n} = \left( \frac{5}{6} \right)^n \Rightarrow \) geometrická řada s kvocientem < \(1 \Rightarrow \) řada konverguje.
17. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n! e^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n^n}{n! e^n},\quad a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! e^{n+1}} \)
Podíl: \( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} \cdot n! \cdot e^n}{(n+1)! \cdot n^n \cdot e^{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot e} \Rightarrow \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{e} \Rightarrow \frac{e}{e} = 1 \)
Limita = \(1 \Rightarrow \) podílové kritérium nerozhoduje, ale porovnáním s divergující řadou \( \frac{n^n}{n^n e^n} = \frac{1}{e^n} \Rightarrow \) konverguje.
18. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n}{(n+1)^n} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+2)^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{(n+2)^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^n}{n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+1} n} \Rightarrow \left( \frac{n+1}{n+2} \right)^{n+1} \cdot \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow \) řada konverguje.
19. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{3^n n^2} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n!}{3^n n^2} \Rightarrow a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{3^{n+1} (n+1)^2} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{3 \cdot 3^n (n+1)^2} \cdot \frac{3^n n^2}{n!} = \frac{(n+1) n^2}{3 (n+1)^2} = \frac{n^2}{3(n+1)} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3(n+1)} = \infty \Rightarrow \) řada diverguje.
20. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n! + n^3} \).
Řešení příkladu:
Pro velká \( n \) platí \( n! \gg n^3 \Rightarrow a_n \sim \frac{3^n}{n!} \).
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3^{n+1}/(n+1)!}{3^n/n!} = \frac{3}{n+1} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
21. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n! \cdot n^2} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot n^2},\quad a_{n+1} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)! \cdot (n+1)^2} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3 \cdot 3^n}{(n+1) \cdot n! \cdot (n+1)^2} \cdot \frac{n! \cdot n^2}{3^n} = \frac{3 n^2}{(n+1)^3} \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{3 n^2}{(n+1)^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^3 = 0 \)
Limita je menší než \(1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
22. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \Rightarrow \text{použijeme Stirlingovu aproximaci: } n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \)
\( a_n \approx \frac{\sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n}{5^n \cdot n^n} = \frac{\sqrt{2\pi n}}{5^n} \cdot \left( \frac{1}{e} \right)^n \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} \approx \frac{\sqrt{2\pi(n+1)}}{5^{n+1}} \cdot \left( \frac{1}{e} \right)^{n+1} \cdot \frac{5^n}{\sqrt{2\pi n}} \cdot e^n \)
\( = \frac{\sqrt{(n+1)/n}}{5} \cdot \frac{1}{e} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5e} \)
Tato limita je menší než \(1 \Rightarrow \) řada konverguje.
23. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \left( \frac{\ln n}{n} \right)^n \).
Řešení příkladu:
Označme \( a_n = \left( \frac{\ln n}{n} \right)^n \)
\( \ln a_n = n \cdot \ln \left( \frac{\ln n}{n} \right) = n (\ln \ln n – \ln n) \)
\( \lim_{n \to \infty} \ln a_n = -\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \)
Spočteme podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{\ln(n+1)}{n+1} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{n}{\ln n} \right)^n \)
Přesným výpočtem nebo pomocí logaritmu zjistíme, že limita \( < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
24. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n n^3}{(n!)^2} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{2^n n^3}{(n!)^2},\quad a_{n+1} = \frac{2^{n+1} (n+1)^3}{((n+1)!)^2} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2 \cdot 2^n (n+1)^3}{(n+1)^2 (n!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{2^n n^3} = \frac{2 (n+1)}{n^3} \cdot \left( \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2} \right) = \frac{2(n+1)}{n^3} \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{2(n+1)}{n^3} = 0 \Rightarrow \) limita je menší než \(1 \Rightarrow \) řada konverguje.
25. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Označme \( a_n = \frac{n!}{(2n)!},\quad a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(2n+2)!} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1) \cdot n!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{n!} = \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n} = 0 \Rightarrow \) řada konverguje.
26. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n! \cdot 3^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n^n}{n! \cdot 3^n},\quad a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \cdot 3^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \cdot 3 \cdot 3^n} \cdot \frac{n! \cdot 3^n}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n! 3} \cdot \frac{n!}{n^n} \)
\( = \frac{(n+1)^n}{3n^n} \Rightarrow \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow e \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow \) limita větší než \(1 \Rightarrow \) řada diverguje.
27. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{1}{n \cdot 2^n},\quad a_{n+1} = \frac{1}{(n+1) \cdot 2^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n \cdot 2^n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}} = \frac{n}{2(n+1)} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \)
Limita je menší než \(1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
28. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \).
Řešení příkladu:
Označme \( a_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow \ln a_n = n \ln \left( \frac{n}{n+1} \right) = n \ln \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right) \)
\( \approx -\frac{n}{n+1} \Rightarrow \ln a_n \to -1 \Rightarrow a_n \to e^{-1} \)
Limita členů není nula \( \Rightarrow \) řada diverguje.
29. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{e}{n} \right)^n \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \left( \frac{e}{n} \right)^n \Rightarrow \ln a_n = n \ln \left( \frac{e}{n} \right) = n (1 – \ln n) \Rightarrow \ln a_n \to -\infty \)
\( a_n \to 0 \)
Spočteme podíl: \( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{e}{n+1} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{n}{e} \right)^n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \frac{e}{n+1} \Rightarrow \) limita = 0
Řada konverguje.
30. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow \ln a_n = n \ln \left( \frac{n}{n+1} \right) = n \ln \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right) \approx -\frac{n}{n+1} \Rightarrow \ln a_n \to -1 \)
\( \Rightarrow a_n \to \frac{1}{e} \neq 0 \Rightarrow \) řada diverguje.
31. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Nejprve definujeme obecný člen:
\( a_n = \frac{n^3}{4^n} \). Použijeme podílové kritérium:
\( a_{n+1} = \frac{(n+1)^3}{4^{n+1}} \), takže
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{4 n^3} \).
Rozepíšeme a vydělíme \( n^3 \):
\( = \frac{n^3 + 3n^2 + 3n + 1}{4n^3} = \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{1}{n^3}}{4} \).
Pro \( n \to \infty \) každá zlomková část jde k nule, takže limita je \( \frac{1}{4} \).
Poněvadž \( \frac{1}{4} < 1 \), podle podílového kritéria řada absolutně konverguje. Členy totiž klesají dostatečně rychle.
32. Zkoumejte řadu \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n! \cdot 2^n}{n^n} \).
Řešení příkladu:
Označíme \( a_n = \frac{n! \cdot 2^n}{n^n} \).
Potřebujeme spočítat
\( a_{n+1} = \frac{(n+1)! \cdot 2^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \), tedy
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 2^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n! \cdot 2^n} = 2 \cdot \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Upravíme:
\( = 2 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n} = 2 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \).
Známý limit
\( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} \) vede k tomu, že
\( \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2}{e} \approx 0.74 < 1 \).
Proto podle podílového kritéria řada absolutně konverguje. Navíc faktor \( n! \) v jmenovateli by konvergenci ještě posílil.
33. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot 5^n} \).
Řešení příkladu:
Mějme
\( a_n = \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot 5^n} = \left( \frac{n+1}{5n} \right)^n = \left( \frac{1 + \frac{1}{n}}{5} \right)^n \).
Podíl dělený členem vynásobíme:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n+2}{5(n+1)} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{5n}{n+1} \right)^n \).
Přepíšeme jako exponenciál:
\( = \left( \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \right) \cdot \frac{1}{5} \).
Pro velká n platí:
\( \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} \to e \) a také \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} \), takže jejich součin míří k 1.
Tedy limita podílu je \( \frac{1}{5} < 1 \) a řada konverguje absolutně.
34. Rozhodněte, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^n \cdot n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Vezmeme
\( a_n = \frac{n!}{2^n \cdot n^n} \).
Podíl
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{2^n n^n}{n!} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Upravením:
\( = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \).
Limitou je \( \frac{1}{2e} < 1 \), takže řada konverguje. Díky kombinačnímu účinku faktoriálu a mocniny je pokles výrazný.
35. Posuďte řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n + n^4}{7^n} \).
Řešení příkladu:
Uvažujeme
\( a_n = \frac{3^n + n^4}{7^n} \).
Podíl dvou členů:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} + (n+1)^4}{7^{n+1}} \cdot \frac{7^n}{3^n + n^4} = \frac{3 \cdot 3^n + (n+1)^4}{7(3^n + n^4)} \).
Pro velká n dominuje v čitateli i jmenovateli \( 3^n \).
Tedy podíl se chová jako \( \frac{3}{7} \).
Protože \( \frac{3}{7} < 1 \), řada konverguje. Přestože existuje přidaná polynomická část n^4, vliv exponenciály je výrazněji potlačen.
36. Určete, zda \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n!) \cdot 4^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Definujeme
\( a_n = \frac{n^n}{n! \cdot 4^n} \). Podíl je:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \cdot 4^{n+1}} / \left( \frac{n^n}{n! \cdot 4^n} \right) = \frac{(n+1)^{n+1} n! 4^n}{(n+1)! 4^{n+1} n^n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} \).
A protože \( \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \to e \), limita je \( \frac{e}{4} < 1 \).
Řada tedy konverguje absolutně díky dominující kombinaci faktoriálu a mocninného výrazu.
37. Zkoumejte \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+2}{2n+3} \right)^n \).
Řešení příkladu:
Uvažujme
\( a_n = \left( \frac{n+2}{2n+3} \right)^n \).
Podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n+3}{2n+5} \right)^{n+1} / \left( \frac{n+2}{2n+3} \right)^n \).
Upravíme jako exponenciál:
\( = \left( \frac{n+3}{n+2} \right)^n \cdot \frac{n+3}{2n+5} \cdot \left( \frac{2n+3}{2n+5} \right)^n \).
Pro velké n platí:
\( \left( \frac{n+3}{n+2} \cdot \frac{2n+3}{2n+5} \right)^n \) směřuje k \( (1 \cdot 1)^n = 1 \), zbývá jen \( \frac{n+3}{2n+5} \to \frac{1}{2} < 1 \).
Proto řada absolutně konverguje.
38. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n! \cdot n^3} \).
Řešení příkladu:
Nechť
\( a_n = \frac{5^n}{n! \cdot n^3} \).
Podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)! \cdot (n+1)^3} \cdot \frac{n! \cdot n^3}{5^n} = \frac{5 n^3}{(n+1)^3 (n+1)}. \)
Tedy
\( = 5 \cdot \frac{n^3}{(n+1)^4} = \frac{5}{n} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^4. \)
Pro \( n \to \infty \) každá části klesne a limita je 0.
Výsledek: podílové kritérium říká konvergenci. Navíc posílené polynomické členy n^3 a faktoriál v jmenovateli zajišťují absolutní konvergenci.
39. Posuďte řadu \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n)^n} \).
Řešení příkladu:
Definujeme
\( a_n = \left( \frac{n}{2n} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n \).
Ihned vidíme, že se jedná o geometrickou řadu s kvocientem \( \frac{1}{2} \).
Podílové kritérium dává
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} < 1 \), tedy řada konverguje absolutně. Růst mocniny je modulován konstantou 2 v základu, což jasně zajišťuje konvergenci.
40. Určete, zda konverguje řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n+1}{3n} \right)^n \).
Řešení příkladu:
Budeme zkoumat
\( a_n = \left( \frac{n+1}{3n} \right)^n = \left( \frac{1 + \frac{1}{n}}{3} \right)^n. \)
Podíl:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n+2}{3(n+1)} \right)^{n+1} / \left( \frac{n+1}{3n} \right)^n = \left( \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \frac{n+2}{3(n+1)}. \)
Pro velká n platí:
\( \left( \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{n}{n+1} \right)^n \to 1 \) a zároveň \( \frac{n+2}{3(n+1)} \to \frac{1}{3} < 1 \).
Tudíž limita podílu je \( \frac{1}{3} \)
a podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
41. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n n!}{n^n} \). Použijeme podílové kritérium:
Vypočteme podíl \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \):
\( a_{n+1} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n n!} = 3 \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \)
\( = 3(n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 3(n+1) \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \)
\( = 3 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \)
Vezmeme limitu:
\( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{e} \approx 1.1036 \)
Protože \( \frac{3}{e} > 1 \Rightarrow \) řada diverguje podle podílového kritéria.
42. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{5^n}{(2n)!} \). Porovnáme růst čitatele a jmenovatele.
Použijeme Stirlingovu aproximaci: \( n! \approx \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \)
Pak \( (2n)! \approx \sqrt{4\pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n} \)
\( a_n \approx \frac{5^n}{\left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}} = \frac{5^n e^{2n}}{(2n)^{2n}} \)
Tato exponenciální a faktoriální forma v jmenovateli převyšuje čitatel \Rightarrow \( a_n \to 0 \) velmi rychle.
Zavedeme podílové kritérium:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{5^n} = 5 \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \frac{5}{(2n+2)(2n+1)} \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{5}{(2n+2)(2n+1)} = 0 \Rightarrow \) řada konverguje.
43. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n! \cdot 3^n} \).
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{n! \cdot 3^n} \). Využijeme podílové kritérium.
Spočteme:
\( a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \cdot 3^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \cdot 3^{n+1}} \cdot \frac{n! \cdot 3^n}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1} \cdot n!}{(n+1)! \cdot 3 \cdot n^n} \)
\( = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) \cdot n^n \cdot 3} = \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot 3} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{3} \)
\( \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{e}{3} \approx 0.906 \)
Tato limita je menší než \(1 \Rightarrow \) řada konverguje.
44. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n+1}{2n} \right)^n \) konverguje.
Řešení příkladu:
Označme \( a_n = \left( \frac{2n+1}{2n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^n \)
Víme, že \( \left( 1 + \frac{1}{2n} \right)^n \to \sqrt{e} \Rightarrow a_n \to \sqrt{e} > 1 \)
Protože členy řady nekonvergují k nule, ale k \( \sqrt{e} \), což je větší než 1, pak řada nemůže konvergovat.
Konvergenční podmínka \( a_n \to 0 \) není splněna \( \Rightarrow \) řada diverguje.
45. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \).
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n!}{n^n} \). Použijeme podílové kritérium.
\( a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n+1}} \)
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \)
\( = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
46. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Máme řadu s členy \( a_n = \frac{n^3}{2^n} \). Cílem je zjistit, zda tato řada konverguje.
Nejprve si všimneme, že jmenovatel \(2^n\) roste exponenciálně, zatímco čitatel \(n^3\) roste pouze polynomiálně. Exponenciální růst tedy zpravidla převažuje nad polynomiálním růstem, což je pozitivní známka pro konvergenci.
Pro přesné určení použijeme podílové kritérium, které říká, že řada \(\sum a_n\) konverguje absolutně, pokud limitní hodnota podílu následujících členů splňuje \(\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1\).
Vypočítáme tedy:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^3}{2^{n+1}}}{\frac{n^3}{2^n}} = \frac{(n+1)^3}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{2 \cdot n^3} = \frac{1}{2} \left( \frac{n+1}{n} \right)^3. \]
Vezmeme limitu při \(n \to \infty\):
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^3 = \frac{1}{2} \cdot 1^3 = \frac{1}{2} < 1. \]
Protože limita podílu je menší než \(1\), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
Pro doplnění: řada je známý případ tzv. mocninné řady s exponenciálním potlačením, která obecně konverguje pro jakýkoliv pevný polynom v čitateli a exponenciálu s základem větším než \(1\) v jmenovateli.
47. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n} \).
Řešení příkladu:
Řada má členy \( a_n = \frac{n!}{5^n} \). Cílem je zjistit, zda \(\sum a_n\) konverguje.
Faktoriál \(n!\) roste extrémně rychle, rychleji než jakákoli exponenciála s pevnou základem. Proto intuitivně předpokládáme divergenci.
Pro formální ověření použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{5^{n+1}}}{\frac{n!}{5^n}} = \frac{(n+1)!}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n!}{5 \cdot 5^n} \cdot \frac{5^n}{n!} = \frac{n+1}{5}. \]
Vezmeme limitu pro \(n \to \infty\):
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} = +\infty > 1, \] což znamená, že členy řady rostou příliš rychle.
Podle podílového kritéria tedy řada diverguje.
Navíc i členy \(a_n\) nejsou k nule limitně, protože \(a_n\) roste extrémně rychle – neplní se základní podmínka konvergence, že členy musí jít k nule.
48. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{2^n}{n!} \). Tato řada připomíná Taylorův rozvoj exponenciální funkce \(e^x\), protože víme, že \[ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}. \]
V tomto případě \(x = 2\). Známý fakt je, že řada pro \(e^x\) konverguje absolutně pro každé reálné \(x\).
Přesto ověříme podílovým kritériem:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}. \]
Limitou pro \(n \to \infty\) je
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0 < 1, \] tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
Závěr: řada \(\sum \frac{2^n}{n!}\) konverguje a navíc představuje Taylorův rozvoj \(e^2\).
49. Zjistěte, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n!}{n^n} \). Intuitivně lze říci, že faktoriál roste rychle, ale zároveň máme v jmenovateli \(n^n\), což roste ještě rychleji, protože \(n^n = e^{n \ln n}\).
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1) \cdot n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Přepíšeme:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]
Limitou je
\[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} < 1. \]
Protože limita podílu je menší než \(1\), řada konverguje podle podílového kritéria.
50. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{n! \cdot 4^{3n}} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{(3n)!}{n! \cdot 4^{3n}} \). Konvergence řady závisí na rychlosti růstu čitatel a jmenovatele.
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(3(n+1))!}{(n+1)! \cdot 4^{3(n+1)}}}{\frac{(3n)!}{n! \cdot 4^{3n}}} = \frac{(3n+3)!}{(n+1)! \cdot 4^{3n+3}} \cdot \frac{n! \cdot 4^{3n}}{(3n)!} = \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{4^3}. \]
Zjednodušíme:
\[ \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+1)(3n+2)(3n+3), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad 4^3 = 64. \]
Tedy
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{(n+1) \cdot 64}. \]
Pro limitu při \(n \to \infty\) použijeme dominantní členy:
\[ (3n+1)(3n+2)(3n+3) \sim 27 n^3, \quad (n+1) \sim n, \]
takže
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{27 n^3}{64 n} = \lim_{n \to \infty} \frac{27}{64} n^2 = +\infty > 1. \]
Protože limita podílu je nekonečno, řada diverguje.
51. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} \).
Řešení příkladu:
Máme danou řadu s členy \[ a_n = \frac{3^n}{n!}. \]
Naším cílem je zjistit, zda tato řada konverguje, a případně zda konverguje absolutně.
Řada \( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \) je známým Taylorovým rozvojem exponenciální funkce \(e^x\). Pro reálné \(x\) tato řada konverguje absolutně na celé množině reálných čísel.
V našem případě je \(x = 3\), tedy řada je přesně Taylorův rozvoj \(e^3\) bez prvního členu (což neovlivňuje konvergenci). Přesto pro ověření použijeme podílové kritérium.
Podílové kritérium říká, že pokud existuje limita \[ L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|, \] pak:
- pokud \(L < 1\), řada konverguje absolutně,
- pokud \(L > 1\), řada diverguje,
- pokud \(L = 1\), kritérium je nevýpovědní.
Vypočítáme tedy: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{3^n}{n!}} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}. \]
Nyní vezmeme limitu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0, \] což je menší než 1.
Tedy podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
Pro hlubší pochopení: Exponenciální funkce \(e^x\) má nekonečně mnoho derivací a její Taylorův polynom má právě tuto podobu. Konvergence Taylorovy řady je absolutní a globální, což potvrzuje i naše výpočty.
Závěr: řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} \) konverguje absolutně.
52. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Cílem je zjistit, zda řada \(\sum a_n\) konverguje nebo diverguje.
Na první pohled vidíme, že v čitateli je \(n^n\), což je rychlý růst, avšak ve jmenovateli je faktoriál \( (2n)! \), který roste ještě rychleji než jakýkoliv polynom či mocnina.
Abychom to formálně zjistili, použijeme podílové kritérium. Spočítáme podíl následných členů: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{n^n}{(2n)!}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1) n^n}. \]
Vyjádříme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Podívejme se na první zlomek podrobněji: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n. \]
Je známo, že \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e. \]
Tedy pro velká \(n\) platí přibližně \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \sim (n+1) e. \]
Pro jmenovatel: \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2. \]
Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1) e}{4 n^2} \sim \frac{e}{4} \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{e}{4 n}. \]
Vezmeme limitu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{4 n} = 0 < 1. \]
Podle podílového kritéria tedy řada konverguje absolutně.
Závěr: řada \(\sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!}\) konverguje.
53. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2 3^{2n}} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 3^{2n}}. \]
Tato struktura členů připomíná výraz, který se objevuje u binomických koeficientů: \[ \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}. \]
Proto můžeme přepsat členy jako \[ a_n = \binom{2n}{n} \frac{1}{3^{2n}}. \]
Je známý vztah, že \[ \binom{2n}{n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi} n^{1/2}}, \] což vyplývá z aproximace Stirlingovým vzorcem.
Odtud tedy \[ a_n \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi} n^{1/2}} \cdot \frac{1}{3^{2n}} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi} n^{1/2}} \cdot \frac{1}{9^n} = \frac{(4/9)^n}{\sqrt{\pi} n^{1/2}}. \]
Protože \(4/9 < 1\), členy klesají geometrickou rychlostí, modifikovanou výrazem \(n^{-1/2}\), což je pomalejší pokles, ale hlavní roli hraje fakt, že \((4/9)^n \to 0\) geometricky.
Pro potvrzení konvergence použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\binom{2(n+1)}{n+1} \frac{1}{3^{2(n+1)}}}{\binom{2n}{n} \frac{1}{3^{2n}}} = \frac{\binom{2(n+1)}{n+1}}{\binom{2n}{n}} \cdot \frac{1}{3^2}. \]
Vyjádříme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\binom{2n+2}{n+1}}{\binom{2n}{n}} \cdot \frac{1}{9}. \]
Binomické koeficienty splňují vztah: \[ \binom{2n+2}{n+1} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)} \binom{2n}{n}. \]
Proto: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{9} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{9}. \]
Limita podílu je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{9 (n+1)^2} = \frac{4}{9} < 1. \]
Tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
54. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!}{n^n}. \]
Růst \(n!\) lze aproximovat Stirlingovým vzorcem: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \]
Proto můžeme přibližně napsat: \[ a_n \sim \frac{\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n} = \sqrt{2 \pi n} \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^n \cdot \frac{1}{n^n} = \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{-n}. \]
Tedy členy řady jsou přibližně rovny \[ a_n \approx \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{-n}, \] což znamená, že klesají exponenciálně rychle.
Proto řada \(\sum a_n\) musí konvergovat (dokonce absolutně) z důvodu rychlého poklesu členů.
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n (n+1)}{(n+1)^{n+1}}. \]
Upravíme podíl mocnin: \[ \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n. \]
Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}. \]
Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1) \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \to e^{-1} < 1. \]
Řada tedy konverguje absolutně.
55. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!}. \]
Ve jmenovateli máme faktoriál \((3n)!\), což roste extrémně rychle. Čitatel roste rychle díky \(n!\) a \(2^n\), ale zřejmě méně než jmenovatel.
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} (n+1)! / (3(n+1))!}{2^n n! / (3n)!} = 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n + 3)!}. \]
Upravíme faktoriály ve jmenovateli: \[ (3n + 3)! = (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 (n+1) \cdot \frac{1}{(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) \sim 27 n^3. \]
Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{2 (n+1)}{27 n^3} \sim \frac{2}{27 n^2} \to 0. \]
Tedy limita podílu je 0, což je méně než 1, takže podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
56. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Faktoriál ve jmenovateli roste velmi rychle, zatímco \(n^n\) roste rychle, ale nižší rychlostí než faktoriál s dvojnásobným argumentem.
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{n^n}{(2n)!}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Rozepíšeme faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
První zlomek upravíme: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Limita výrazu \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\) pro \(n \to \infty\). Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) je \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{4n^2} \sim \frac{e}{4} \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{e}{4n}. \]
Limita podílu je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 < 1, \] což znamená, že řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
57. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{n! \, 5^{3n}} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(3n)!}{n! \, 5^{3n}}. \]
Faktoriál v čitateli roste velmi rychle, stejně jako v jmenovateli \(n!\), ale mocnina \(5^{3n}\) může brzdit růst.
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(3(n+1))!}{(n+1)! \, 5^{3(n+1)}}}{\frac{(3n)!}{n! \, 5^{3n}}} = \frac{(3n + 3)!}{(3n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{5^{3n}}{5^{3n+3}}. \]
Upravíme exponenty: \[ \frac{5^{3n}}{5^{3n+3}} = \frac{1}{5^3} = \frac{1}{125}. \]
Rozepíšeme faktoriály: \[ \frac{(3n + 3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \] \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \]
Podíl je tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{125 (n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{27 n^3}{125 n} = \frac{27}{125} n^2, \] což roste k nekonečnu.
Limita podílu je tedy nekonečno, tedy větší než 1, a řada diverguje podle podílového kritéria.
58. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^3}{2^n (n-1)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^3}{2^n (n-1)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^3}{2^{n+1} n!}}{\frac{n^3}{2^n (n-1)!}} = \frac{(n+1)^3}{2^{n+1} n!} \cdot \frac{2^n (n-1)!}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{2 n^3} \cdot \frac{(n-1)!}{n!}. \]
Faktoriály upravíme: \[ \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}. \]
Podíl tedy je \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3}{2 n^3} \cdot \frac{1}{n} = \frac{(n+1)^3}{2 n^4}. \]
Rozepíšeme čitatel: \[ (n+1)^3 = n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1}{2 n^4} = \frac{1}{2} \left( \frac{n^3}{n^4} + \frac{3 n^2}{n^4} + \frac{3 n}{n^4} + \frac{1}{n^4} \right). \]
To je \[ \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n^2} + \frac{3}{n^3} + \frac{1}{n^4} \right). \]
Limita pro \(n \to \infty\) je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0 < 1, \] takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
59. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \, 4^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{n! \, 4^n}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)! \, 4^{n+1}}{(2(n+1))!}}{\frac{n! \, 4^n}{(2n)!}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{4^{n+1}}{4^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = (n+1) \cdot 4 \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1) \cdot 4 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot 4 \cdot \frac{1}{4 n^2} = \frac{n+1}{n^2} \sim \frac{1}{n} \to 0 < 1. \]
Podílové kritérium říká, že řada konverguje absolutně.
60. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n (2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{n!}{3^n (2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{3^{n+1} (2(n+1))!}}{\frac{n!}{3^n (2n)!}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = (n+1) \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{n+1}{3} \cdot \frac{1}{4 n^2} \sim \frac{1}{12 n} \to 0 < 1. \]
Podílové kritérium potvrzuje absolutní konvergenci řady.
61. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n!}{(n^2 + 1)^n} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n \cdot n!}{(n^2 + 1)^n}. \]
Pro posouzení konvergence použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)! / ( (n+1)^2 + 1 )^{n+1}}{3^n n! / (n^2 + 1)^n} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{(n^2 + 1)^n}{((n+1)^2 + 1)^{n+1}}. \]
Vyjádříme výraz pro mocniny: \[ \frac{(n^2 + 1)^n}{((n+1)^2 + 1)^{n+1}} = \frac{(n^2 + 1)^n}{((n+1)^2 + 1)^n \cdot ((n+1)^2 + 1)} = \left(\frac{n^2 + 1}{(n+1)^2 + 1}\right)^n \cdot \frac{1}{(n+1)^2 + 1}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 2, \] tedy \[ \frac{n^2 + 1}{(n+1)^2 + 1} = \frac{n^2 + 1}{n^2 + 2n + 2} = \frac{n^2 + 1}{n^2(1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2})} = \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}}. \]
Rozepíšeme limitu uvnitř mocniny: \[ \frac{n^2 + 1}{(n+1)^2 + 1} = \frac{1 + o(\frac{1}{n})}{1 + \frac{2}{n} + o(\frac{1}{n})} \sim 1 – \frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right). \]
Proto \[ \left(\frac{n^2 + 1}{(n+1)^2 + 1}\right)^n \sim \left(1 – \frac{2}{n}\right)^n \Rightarrow e^{-2} \quad \text{pro } n \to \infty. \]
Také \[ \frac{1}{(n+1)^2 + 1} \sim \frac{1}{n^2}. \]
Dosadíme do podílu: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 3 (n+1) \cdot e^{-2} \cdot \frac{1}{n^2} \sim 3 e^{-2} \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{3 e^{-2}}{n} \to 0. \]
Limita je menší než 1, takže podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
62. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Pro posouzení konvergence použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} / (2(n+1))!}{n^n / (2n)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Upravíme faktoriál ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Rozepíšeme první zlomek: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Ve jmenovateli máme přibližně \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{4 n^2} \sim \frac{e}{4} \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limita je menší než 1, řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
63. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{1}{4^{n+1}}}{\frac{n^n}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{1}{4}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (n+1)! = (n+1) \cdot n!, \] takže \[ \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{(n!)^2}{((n+1)^2 (n!)^2)} = \frac{1}{(n+1)^2}. \]
Dosadíme do podílu: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)^2 4}. \]
Rozepíšeme první zlomek: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{(n+1)^2 \cdot 4} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{4 (n+1)}. \]
Pro \(n \to \infty\): \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{e}{4 (n+1)} \to 0. \]
Limita je menší než 1, řada konverguje absolutně.
64. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^3} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^3}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(2(n+1))!}{4^{n+1} ((n+1)!)^3}}{\frac{(2n)!}{4^n (n!)^3}} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{4 \cdot (n+1)^3 (n!)^3} \cdot \frac{(n!)^3}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)^3}. \]
Zkrátíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)^3}. \]
Pro velké \(n\) platí: \[ (2n+2)(2n+1) = 4 n^2 + 6 n + 2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 n^2 + 6 n + 2}{4 (n+1)^3}. \]
Ve jmenovateli: \[ (n+1)^3 = n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 n^2}{4 n^3} = \frac{1}{n} \to 0. \]
Limita je menší než 1, řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
65. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(3n)!} \cdot 5^n \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{n^n \cdot 5^n}{(3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{n+1} 5^{n+1}}{(3(n+1))!}}{\frac{n^n 5^n}{(3n)!}} = 5 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Faktoriál ve jmenovateli rozepíšeme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Rozepíšeme první zlomek: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \] kde platí pro velké \(n\) limit \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e. \]
Ve jmenovateli máme přibližně \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 5 \cdot (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{27 n^3} \sim \frac{5 e}{27} \cdot \frac{n}{n^3} = \frac{5 e}{27 n^2} \to 0. \]
Limita je menší než 1, takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
66. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{n! \cdot 9^n (2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(3n)!}{n! \cdot 9^n (2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3(n+1))!}{(n+1)! \cdot 9^{n+1} (2(n+1))!} \cdot \frac{n! \cdot 9^n (2n)!}{(3n)!} = \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{1}{9}. \]
Rozepíšeme faktoriály: \[ \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Dosadíme zpět: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{9 (n+1)(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad (n+1)(2n+2)(2n+1) \sim 4 n^3, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{27 n^3}{9 \cdot 4 n^3} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4} < 1. \]
Tedy limita podílu je \(\frac{3}{4}\), což je méně než 1, takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
67. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n^n}{(3n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{2^n n^n}{(3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} (n+1)^{n+1} / (3(n+1))!}{2^n n^n / (3n)!} = 2 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály ve jmenovateli: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Upravíme podíl mocnin: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \Rightarrow \text{protože } \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] tedy pro velké \(n\) \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \sim (n+1) e. \]
Pro velké \(n\): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 2 \cdot (n+1) e \cdot \frac{1}{27 n^3} \sim \frac{2 e}{27} \cdot \frac{n}{n^3} = \frac{2 e}{27 n^2} \to 0. \]
Tedy limita podílu je 0, což je méně než 1, řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
68. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 5^n}{(4n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(4n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 5^{n+1} / (4(n+1))!}{n! \cdot 5^n / (4n)!} = 5 \cdot (n+1) \cdot \frac{(4n)!}{(4n+4)!}. \]
Rozepíšeme faktoriály ve jmenovateli: \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 (n+1) \cdot \frac{1}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]
Pro velké \(n\): \[ (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim 256 n^4, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 5 \frac{n}{256 n^4} = \frac{5}{256 n^3} \to 0. \]
Tedy limita podílu je 0, což je méně než 1, řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
69. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)! \cdot 3^n}{(n!)^3} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)! \cdot 3^n}{(n!)^3}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2(n+1))! \cdot 3^{n+1} / ((n+1)!)^3}{(2n)! \cdot 3^n / (n!)^3} = 3 \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \cdot \frac{(n!)^3}{((n+1)!)^3}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(n!)^3}{((n+1)!)^3} = \frac{1}{(n+1)^3}. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{(n+1)^3} = 3 \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^3}. \]
Pro velké \(n\): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad (n+1)^3 \sim n^3, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 3 \cdot \frac{4 n^2}{n^3} = \frac{12}{n} \to 0. \]
Tedy limita podílu je 0, což je méně než 1, řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
70. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n}}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^{2n}}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^{2n}}. \]
Upravíme faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{n^{2n}} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Upravíme mocniny: \[ \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{n^{2n}} = (n+1)^2 \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} = (n+1)^2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}. \]
Víme, že \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\), tedy \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^2 \to e^2. \]
Pro velké \(n\) tedy platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1)^2 e^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Odhadneme jmenovatel: \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim e^2 \cdot \frac{(n+1)^2}{4 n^2} \to \frac{e^2}{4}. \]
Hodnota \(\frac{e^2}{4}\) je přibližně \(1.847 > 1\), proto podle podílového kritéria řada diverguje.
71. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{n^n}. \]
Použijeme podílové kritérium, spočítáme podíl \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{5^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{5^n}{n^n}} = 5 \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Nejprve upravíme jednotlivé části: \[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2, \quad \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}, \quad \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1}. \]
Dosadíme zpět: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 \cdot (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1}. \]
Upravíme: \[ = 5 \cdot \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Pro velké \(n\) platí: \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \sim 4n^2, \quad \frac{n+1}{4n^2} \sim \frac{n}{4n^2} = \frac{1}{4n}. \]
Dále použijeme limitu \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} \quad \text{pro} \quad n \to \infty. \]
Celkově tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 5 \cdot \frac{1}{4n} \cdot e^{-1} = \frac{5}{4e n} \to 0. \]
Limita podílu je 0, což je menší než 1, takže podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
72. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} \cdot \frac{(2n)!}{(4n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n}{n!} \cdot \frac{(2n)!}{(4n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(4n+4)!}}{\frac{3^n}{n!} \cdot \frac{(2n)!}{(4n)!}} = 3 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \cdot \frac{(4n)!}{(4n+4)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(4n)!}{(4n+4)!} = \frac{1}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]
Pro velké \(n\): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \quad (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \sim 256 n^4. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 3 \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{4 n^2}{256 n^4} = 3 \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{4}{256 n^2} = \frac{12}{256 n^3} = \frac{3}{64 n^3} \to 0. \]
Limita podílu je 0 < 1, řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
73. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n}. \]
Faktoriály upravíme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \quad \Rightarrow \quad \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Rozdělíme první zlomek: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = (n+1) \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \quad (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2. \]
Dosadíme do podílu: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1) e}{4 n^2} \sim \frac{e n}{4 n^2} = \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limita je 0 < 1, řada tedy konverguje absolutně podle podílového kritéria.
74. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 \cdot 4^n}{(3n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{n^3 4^n}{(3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 4^{n+1}}{(3n+3)!} \cdot \frac{(3n)!}{n^3 4^n} = 4 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Faktoriály upravíme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \quad \Rightarrow \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro velké \(n\): \[ \frac{(n+1)^3}{n^3} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \to 1, \quad (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3. \]
Limita podílu je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 \cdot \frac{1}{27 n^3} = 0. \]
Limita je menší než 1, řada konverguje absolutně.
75. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)! \cdot 3^n}{(n!)^2 \cdot 5^n} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{(2n)! \cdot 3^n}{(n!)^2 \cdot 5^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)! \cdot 3^{n+1}}{((n+1)!)^2 \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 \cdot 5^n}{(2n)! \cdot 3^n} = \frac{3}{5} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1), \quad \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{5} \cdot (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{(n+1)^2}. \]
Pro velké \(n\): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3}{5} \cdot \frac{4 n^2}{n^2} = \frac{12}{5} > 1. \]
Limita podílu je větší než 1, tedy řada diverguje.
76. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Výraz \(\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\) můžeme přepsat jako \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1) = \left(n \left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)^n (n+1) = n^n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n (n+1). \]
Tedy \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Pro velké \(n\) platí \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\) a \(n+1 \sim n\), proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{n e}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Ve jmenovateli pro velké \(n\) máme přibližně \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{n e}{4 n^2} = \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je 0, což je méně než 1, takže řada konverguje absolutně.
77. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{(n+2)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n!}{(n+2)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{3^n n!} = 3 \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+2)!}{(n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \quad \frac{(n+2)!}{(n+3)!} = \frac{1}{n+3}. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{n+3} = 3 \cdot \frac{n+1}{n+3}. \]
Pro \(n \to \infty\) máme \[ \frac{n+1}{n+3} \to 1, \] takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 > 1. \]
Podle podílového kritéria řada diverguje.
78. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 4^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n! \cdot 4^n} = 4 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 4 (n+1) \cdot \frac{1}{4 n^2} = \frac{n+1}{n^2} \sim \frac{1}{n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což znamená absolutní konvergenci řady.
79. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! \cdot (n+1)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{5^n}{n! (n+1)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)! (n+2)!} \cdot \frac{n! (n+1)!}{5^n} = 5 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)!}{(n+2)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \frac{1}{n+2}. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+2} = \frac{5}{(n+1)(n+2)}. \]
Pro \(n \to \infty\) platí \[ \frac{5}{(n+1)(n+2)} \to 0, \] což je méně než 1, takže řada konverguje absolutně.
80. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 \cdot 2^n}{(n!)^2} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^3 \cdot 2^n}{(n!)^2}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 \cdot 2^{n+1}}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{n^3 \cdot 2^n} = 2 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = 2 \cdot \frac{n+1}{n^3/n^3} = 2 \cdot \frac{n+1}{n} = 2 \left(1 + \frac{1}{n}\right). \]
Limita pro \(n \to \infty\) je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 > 1, \] což znamená, že řada diverguje.
81. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} ((n+1)!)^2 / (2(n+1))!}{3^n (n!)^2 / (2n)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}. \]
Upravíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 3 \cdot \frac{(n+1)^2}{4n^2} \sim \frac{3}{4}\left(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right) \to \frac{3}{4}. \]
Limita podílu je \(\frac{3}{4} < 1\), tedy řada konverguje absolutně.
82. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}/(2n+2)!}{n^n/(2n)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Upravíme mocninu: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Pro velké \(n\): \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{4 n^2} = \frac{e(n+1)}{4 n^2} \sim \frac{e}{4n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), tedy řada konverguje absolutně.
83. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 n^n} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 n^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2(n+1))!}{4^{n+1} ((n+1)!)^2 (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{4^n (n!)^2 n^n}{(2n)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (2(n+1))! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{4 \cdot 4^n ((n+1)!)^2 (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{4^n (n!)^2 n^n}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Upravíme faktoriály a mocniny: \[ \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}, \quad \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Pro velké \(n\): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}. \]
Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 n^2}{4} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} \cdot \frac{1}{n+1} e^{-1} = n^2 \cdot \frac{1}{(n+1)^3} e^{-1} \sim e^{-1} \frac{n^2}{n^3} = \frac{e^{-1}}{n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0 < 1\), tedy řada konverguje absolutně.
84. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n n!}{(2n+1)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{5^n n!}{(2n+1)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} (n+1)! / (2n+3)!}{5^n n! / (2n+1)!} = 5 (n+1) \cdot \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+2)}. \]
Pro velké \(n\): \[ (2n+3)(2n+2) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 5 (n+1) \cdot \frac{1}{4 n^2} \sim \frac{5}{4} \cdot \frac{n+1}{n^2} \sim \frac{5}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je 0 < 1, tedy řada konverguje absolutně.
85. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n+1)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{2^n n!}{(3n+1)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} (n+1)! / (3(n+1)+1)!}{2^n n! / (3n+1)!} = 2 (n+1) \cdot \frac{(3n+1)!}{(3n+4)!}. \]
Upravíme faktoriály ve jmenovateli: \[ (3n+4)! = (3n+4)(3n+3)(3n+2)(3n+1)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 (n+1) \cdot \frac{1}{(3n+4)(3n+3)(3n+2)}. \]
Pro velké \(n\) platí: \[ (3n+4)(3n+3)(3n+2) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{2 (n+1)}{27 n^3} \sim \frac{2}{27 n^2} \to 0. \]
Limita podílu je \(0 < 1\), řada konverguje absolutně.
86. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Vyjádříme faktor ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Rozepíšeme člen \( (n+1)^{n+1} \): \[ (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1) = (n+1)^n (n+1). \]
Podíl \( \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \). Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e. \]
Proto pro velké \(n\) platí přibližně \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim e \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Rozepišme jmenovatel: \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2. \]
Podíl tedy asymptoticky vypadá jako \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim e \cdot \frac{n+1}{4n^2 + 6n + 2} \sim \frac{e}{4n} \quad \text{pro } n \to \infty. \]
Limita je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0, \] protože \(\frac{e}{4n} \to 0\).
Protože limita podílu je \(0 < 1\), podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
87. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n!}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)! / (2(n+1))!}{3^n n! / (2n)!} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Rozepíšeme faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí přibližně \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 3 (n+1) \cdot \frac{1}{4n^2} = \frac{3(n+1)}{4n^2} \sim \frac{3}{4n}. \]
Limita podílu tedy je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0. \]
Tedy podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
88. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 4^n}{(n^2 + 1)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(n^2 + 1)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 4^{n+1} / ((n+1)^2 + 1)!}{n! \cdot 4^n / (n^2 + 1)!} = 4 (n+1) \cdot \frac{(n^2 + 1)!}{((n+1)^2 + 1)!}. \]
Vyjádříme faktor ve jmenovateli: \[ ((n+1)^2 + 1)! = (n^2 + 2n + 2)! = (n^2 + 2n + 2)(n^2 + 2n + 1) \cdots (n^2 + 2) (n^2 + 1)!. \]
Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 (n+1) \cdot \frac{1}{(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 2n + 1) \cdots (n^2 + 2)}. \]
Všimneme si, že v jmenovateli je přibližně \(2n+1\) po sobě jdoucích čísel řádově kolem \(n^2\), takže produkt je asi na řádu \[ (n^2)^{2n+1} = n^{4n+2}. \]
Čitatel roste lineárně v \(n\) a konstanta \(4\), zatímco jmenovatel roste extrémně rychle, což znamená, že \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \to 0 \quad \text{pro } n \to \infty. \]
Podle podílového kritéria tedy řada konverguje absolutně.
89. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! \cdot n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{5^n}{n! \cdot n^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} / ((n+1)! (n+1)^{n+1})}{5^n / (n! n^n)} = 5 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Zjednodušení faktoriálů: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \]
Rozepíšeme výraz s mocninami: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{5}{(n+1)^2} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n. \]
Limita výrazu \( \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \) pro \(n \to \infty\) je \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}. \]
Tedy pro velké \(n\) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5}{(n+1)^2} \cdot e^{-1} \to 0. \]
Limita podílu je nulová, což znamená podle podílového kritéria absolutní konvergenci řady.
90. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2 / (2(n+1))!}{(n!)^2 / (2n)!} = \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Zjednodušení faktoriálů: \[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2. \]
Rozepišeme faktor ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \sim 4n^2, \] a proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1)^2}{4n^2} \to \frac{1}{4} < 1. \]
Limita podílu je menší než \(1\), tedy podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
91. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n!}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)! / (2(n+1))!}{3^n n! / (2n)!} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Rozložíme faktor v jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \sim 4n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3 (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{3}{4n} \to 0. \]
Limita podílu je 0, což je méně než 1, proto řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
92. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} / (2n+2)!}{n^n / (2n)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Rozepíšeme faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Upravíme mocniny: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n. \]
Pro \(n \to \infty\) platí \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] takže přibližně \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1) e}{4 n^2} \sim \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), proto řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
93. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n (n!)^2}{(3n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{2^n (n!)^2}{(3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} ((n+1)!)^2 / (3(n+1))!}{2^n (n!)^2 / (3n)!} = 2 \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro velká \(n\): \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{2 (n+1)^2}{27 n^3} \sim \frac{2}{27 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
94. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! 5^n}{(n+2)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! 5^n}{(n+2)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! 5^{n+1} / (n+3)!}{n! 5^n / (n+2)!} = 5 \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+2)!}{(n+3)!}. \]
Zjednodušení faktoriálů: \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \] \[ \frac{(n+2)!}{(n+3)!} = \frac{1}{n+3}. \]
Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 (n+1) \frac{1}{n+3} = 5 \cdot \frac{n+1}{n+3}. \]
Pro \(n \to \infty\) platí \[ \frac{n+1}{n+3} \to 1, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 > 1. \]
Limita podílu je větší než \(1\), řada diverguje podle podílového kritéria.
95. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! (2n)^n}{(3n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! (2n)^n}{(3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! (2(n+1))^{n+1} / (3(n+1))!}{n! (2n)^n / (3n)!} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(2(n+1))^{n+1}}{(2n)^n} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Zjednodušení faktoriálů: \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \] \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1) \cdot \frac{(2(n+1))^{n+1}}{(2n)^n} \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Upravíme mocniny: \[ \frac{(2(n+1))^{n+1}}{(2n)^n} = 2^{n+1} (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2^n n^n} = 2 \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n}. \]
Vyjádříme část s mocninami: \[ (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n n^n \cdot \frac{1}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Pro \(n \to \infty\): \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] a \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3. \]
Dosadíme vše dohromady: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot 2 \cdot (n+1) e \cdot \frac{1}{27 n^3} = \frac{2 e (n+1)^2}{27 n^3} \sim \frac{2 e}{27 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
96. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n}. \]
Upravíme jmenovatel faktoriálu: \[ (2(n+1))! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
První zlomek upravíme jako \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Víme, že \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] takže pro velké \(n\) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1) e}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) můžeme aproximovat jmenovatel jako \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{e (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je tedy \(0\), což je méně než \(1\), a proto podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
97. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{(2n+1)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n!}{(2n+1)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(2(n+1)+1)!} \cdot \frac{(2n+1)!}{3^n n!} = 3 (n+1) \cdot \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+2)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+3)(2n+2) \sim 4 n^2, \] a tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3 (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{3}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
98. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{n^{2n}} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{n^{2n}}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2(n+1))!}{(n+1)^{2(n+1)}} \cdot \frac{n^{2n}}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^{2n+2}} \cdot \frac{n^{2n}}{(2n)!}. \]
Krátíme \((2n)!\): \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}}. \]
Vyjádříme poměr mocnin: \[ \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n+2}} = \frac{n^{2n}}{(n+1)^{2n}} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2}. \]
Pro limitu použijeme exponenciálu: \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^{2n} = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{2n} \to e^{-2}. \]
Pro velké \(n\): \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] a \[ \frac{1}{(n+1)^2} \sim \frac{1}{n^2}. \]
Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 4 n^2 \cdot e^{-2} \cdot \frac{1}{n^2} = 4 e^{-2} < 1. \]
Jelikož limita podílu je menší než \(1\), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
99. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 2^n}{(n+2)!} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 2^n}{(n+2)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 2^{n+1}}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{n! \cdot 2^n} = 2 \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+2)!}{(n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \] \[ \frac{(n+2)!}{(n+3)!} = \frac{1}{n+3}. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 (n+1) \cdot \frac{1}{n+3} = 2 \frac{n+1}{n+3}. \]
Pro limitu \(n \to \infty\) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \to 2 \cdot 1 = 2 > 1, \] tedy podle podílového kritéria řada diverguje.
100. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 5^n}{(3n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 5^{n+1}}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{n! \cdot 5^n} = 5 (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Faktoriály ve jmenovateli upravíme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 (n+1) \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5 (n+1)}{27 n^3} \sim \frac{5}{27 n^2} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
101. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} ((n+1)!)^2 / (2(n+1))!}{3^n (n!)^2 / (2n)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Upravíme faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 3 \frac{(n+1)^2}{4 n^2} \to \frac{3}{4}. \]
Limita podílu je \( \frac{3}{4} < 1 \), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
102. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Použijeme Stirlingovu aproximaci pro faktoriál: \[ k! \sim \sqrt{2 \pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k. \]
Pro velké \(n\) platí: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} / (2(n+1))!}{n^n / (2n)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Upravíme faktor ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Vyjádříme poměr mocnin: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Pro velké \(n\) platí \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \), tedy \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \sim (n+1) e. \]
Dále máme \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{e (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
103. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!}{5^n n^n}. \]
Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \(n!\): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \]
Dosadíme do členu: \[ a_n \sim \frac{\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{5^n n^n} = \sqrt{2 \pi n} \frac{n^n e^{-n}}{5^n n^n} = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{e^{-1}}{5}\right)^n. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{\sqrt{2 \pi (n+1)} \left(\frac{e^{-1}}{5}\right)^{n+1}}{\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{e^{-1}}{5}\right)^n} = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{e^{-1}}{5} \to \frac{e^{-1}}{5}. \]
Jelikož \[ \frac{e^{-1}}{5} = \frac{1}{5e} < 1, \] řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.
104. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n! 4^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{n! 4^n}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}} \cdot \frac{n! 4^n}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{4}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \]
Poměr mocnin: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \sim (n+1) e. \]
Dosadíme vše zpět: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) e \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{4} = \frac{e}{4}. \]
Protože \( \frac{e}{4} \approx 0.68 < 1 \), řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.
105. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! 2^n}{(3n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! 2^n}{(3n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! 2^{n+1} / (3(n+1))!}{n! 2^n / (3n)!} = 2 (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Faktoriály ve jmenovateli rozepíšeme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2 (n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro velká \(n\) platí: \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{2 (n+1)}{27 n^3} \sim \frac{2}{27 n^2} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), řada tedy konverguje absolutně podle podílového kritéria.
106. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium zkoumáme pomocí podílu členů \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Faktoriály upravíme jako \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] což dává \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
První zlomek přepíšeme na tvar \[ (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Limitně platí \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] a proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velká \(n\) je \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{e(n+1)}{4n^2} \sim \frac{e}{4n} \to 0. \]
Limitní hodnota podílu je \(0\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
107. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 2^n} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 2^n} = \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{n!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1} / (n+1)!}{\left(\frac{3}{2}\right)^n / n!} = \frac{\frac{3}{2}}{n+1}. \]
Pro \(n \to \infty\) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \to 0 < 1, \] tedy řada konverguje absolutně.
108. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)!}. \]
Podíl členů: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 4^{n+1} / (2n+2)!}{n! \cdot 4^n / (2n)!} = 4 (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Faktoriály upravíme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{4 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 (n+1)}{4 n^2} = \frac{n+1}{n^2} \sim \frac{1}{n} \to 0. \]
Limitní hodnota je \(0\), řada konverguje absolutně.
109. Zjistěte, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n n!}{(3n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{5^n n!}{(3n)!}. \]
Podíl členů: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} (n+1)! / (3(n+1))!}{5^n n! / (3n)!} = 5 (n+1) \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 (n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro \(n \to \infty\) \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5 (n+1)}{27 n^3} \sim \frac{5}{27 n^2} \to 0. \]
Limitní hodnota je \(0\), řada konverguje absolutně.
110. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{n! \, 6^n} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! \cdot 6^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)! / \big((n+1)! \cdot 6^{n+1}\big)}{(2n)! / (n! \cdot 6^n)} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1) n! 6 \cdot 6^n} \cdot \frac{n! \cdot 6^n}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{6(n+1)}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 n^2}{6 n} = \frac{2}{3} n \to \infty. \]
Limitní hodnota je nekonečno, tedy větší než \(1\), řada diverguje podle podílového kritéria.
111. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n}}{(3n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^{2n}}{(3n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{n^{2n}}. \]
Nejprve upravme faktoriály ve jmenovateli: \[ (3(n+1))! = (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!. \]
Tudíž podíl faktoriálů je \[ \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Dále rozepíšeme mocniny: \[ (n+1)^{2(n+1)} = (n+1)^{2n + 2} = (n+1)^2 \cdot (n+1)^{2n}. \]
Podíl mocnin bude \[ \frac{(n+1)^{2n}}{n^{2n}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right]^2 \to e^2. \]
Celý podíl je tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1)^2 \cdot e^2 \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro velká \(n\) aproximujeme jmenovatele jako \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3. \]
Podíl se tedy chová přibližně jako \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1)^2 e^2}{27 n^3} \sim \frac{e^2}{27} \cdot \frac{n^2}{n^3} = \frac{e^2}{27 n}. \]
Protože \[ \lim_{n \to \infty} \frac{e^2}{27 n} = 0 < 1, \] podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
112. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n (n!)^2}{(2n)!} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{5^n (n!)^2}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} ((n+1)!)^2 / (2(n+1))!}{5^n (n!)^2 / (2n)!} = 5 \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Rozepišme faktoriály: \[ ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2, \quad (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!. \]
Podíl se zjednoduší na \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 \cdot (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velká \(n\) \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 5 \cdot (n+1)^2 \cdot \frac{1}{4 n^2} \sim \frac{5}{4}. \]
Limitní hodnota podílu je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5}{4} > 1, \] což znamená, že řada diverguje podle podílového kritéria.
113. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^3} \).
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^3}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)! / \left(4^{n+1} ((n+1)!)^3\right)}{(2n)! / \left(4^n (n!)^3\right)} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{4 \cdot (n+1)^3 (n!)^3} \cdot \frac{4^n (n!)^3}{(2n)!}. \]
Zjednodušíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)^3}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \quad (n+1)^3 \sim n^3, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 n^2}{4 n^3} = \frac{1}{n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), řada konverguje absolutně.
114. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 7^n}{(2n+1)!} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 7^n}{(2n+1)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 7^{n+1} / (2n+3)!}{n! \cdot 7^n / (2n+1)!} = 7 (n+1) \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}. \]
Faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{7 (n+1)}{(2n+3)(2n+2)}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (2n+3)(2n+2) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{7 (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{7}{4 n} \to \(0\). \]
Limitní hodnota je \(0\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
115. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{(n!)^3 9^n} \).
Řešení příkladu:
Členy jsou \[ a_n = \frac{(3n)!}{(n!)^3 9^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)! / ((n+1)!^3 9^{n+1})}{(3n)! / (n!^3 9^n)} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}{(n+1)^3 (n!)^3 9 \cdot (3n)!} \cdot \frac{n!^3 9^n}{1}. \]
Zjednodušení dává \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{9 (n+1)^3}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad (n+1)^3 \sim n^3, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{27 n^3}{9 n^3} = 3 > 1. \]
Proto podle podílového kritéria řada diverguje.
116. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{(2n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n!}{(2n)!}. \]
Pro ověření konvergence použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)! / (2(n+1))!}{3^n n! / (2n)!} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n + 2)!}. \]
Ve jmenovateli je \[ (2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)!, \] takže podíl lze napsat jako \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n + 2)(2n + 1)}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (2n + 2)(2n + 1) \sim 4 n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3 (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{3}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
117. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{n! 5^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! 5^n}. \]
Pro podílové kritérium počítáme \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n + 2)! / ((n+1)! 5^{n+1})}{(2n)! / (n! 5^n)} = \frac{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!}{(n+1) n! 5 \cdot 5^n} \cdot \frac{n! 5^n}{(2n)!} = \frac{(2n + 2)(2n + 1)}{5 (n+1)}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (2n + 2)(2n + 1) \sim 4 n^2, \quad n + 1 \sim n, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 n^2}{5 n} = \frac{4}{5} n \to \infty. \]
Podíl tedy roste k nekonečnu, což je větší než \(1\), takže řada diverguje.
118. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n! e^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{n! e^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} / ((n+1)! e^{n+1})}{n^n / (n! e^n)} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! e^{n+1}} \cdot \frac{n! e^n}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n! e^{n+1}} \cdot \frac{n! e^n}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{e}. \]
Upravíme poměr: \[ \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n \to \infty]{} e. \]
Tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{e} = 1. \]
Limita je rovna 1, takže podílové kritérium je nejednoznačné. Potřebujeme jinou metodu.
Pomocí Stirlingovy formule pro \(n!\) \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] můžeme přepsat členy jako \[ a_n = \frac{n^n}{n! e^n} \sim \frac{n^n}{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n e^n} = \frac{n^n}{\sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n} e^n} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi n}}. \]
Řada tedy přibližně odpovídá řadě \[ \sum \frac{1}{\sqrt{n}}, \] která diverguje (p-harmonická řada s \(p = \frac{1}{2} < 1\)).
Závěr: řada diverguje.
119. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n (3n)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!}{2^n (3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! / (2^{n+1} (3(n+1))!)}{n! / (2^n (3n)!)} = \frac{(n+1) n!}{2 \cdot 2^n (3n + 3)!} \cdot \frac{2^n (3n)!}{n!} = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{(3n)!}{(3n + 3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (3n + 3)! = (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)(3n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{1}{(3n + 3)(3n + 2)(3n + 1)}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (3n + 3)(3n + 2)(3n + 1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{n+1}{2 \cdot 27 n^3} = \frac{n+1}{54 n^3} \sim \frac{1}{54 n^2} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), řada tedy konverguje absolutně podle podílového kritéria.
120. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!^2}{(2n)! n^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!^2}{(2n)! n^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!^2 / ((2(n+1))! (n+1)^{n+1})}{n!^2 / ((2n)! n^n)} = \frac{(n+1)!^2 (2n)! n^n}{n!^2 (2n + 2)! (n+1)^{n+1}}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (n+1)! = (n+1) n!, \quad (2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2 (n!)^2 (2n)! n^n}{(n!)^2 (2n + 2)(2n + 1)(2n)! (n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1)^2 n^n}{(2n + 2)(2n + 1) (n+1)^{n+1}}. \]
Podělíme výraz \[ \frac{(n+1)^2}{(n+1)^{n+1}} = (n+1)^{2 – (n+1)} = (n+1)^{1 – n}, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^n}{(2n + 2)(2n + 1)} \cdot (n+1)^{1 – n}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ (2n + 2)(2n + 1) \sim 4 n^2, \] a využijeme \[ (n+1)^{1-n} = \frac{n+1}{(n+1)^n} = \frac{n+1}{(n+1)^n}. \]
Rozepíšeme poměr \(\frac{n^n}{(n+1)^n}\): \[ \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \xrightarrow[n \to \infty]{} e^{-1}. \]
Celý výraz lze tedy aproximovat jako \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{n+1}{4 n^2} \cdot e^{-1} \sim \frac{1}{4 n} e^{-1} \to 0. \]
Limita podílu je 0, což je méně než 1, takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
121. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!}. \]
Pro analýzu použijeme podílové kritérium, tedy vypočteme \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} ((n+1)!)^2 / (2(n+1))!}{3^n (n!)^2 / (2n)!} = 3 \cdot (n+1)^2 \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Upravíme faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2, \] proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3 (n+1)^2}{4 n^2} \sim \frac{3}{4} < 1. \]
Limita podílu je tedy menší než 1, což podle podílového kritéria znamená, že řada konverguje absolutně.
122. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n (2n)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!}{5^n (2n)!}. \]
Podílové kritérium vyžaduje spočítat \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! / (5^{n+1} (2n+2)!)}{n! / (5^n (2n)!)} = \frac{n+1}{5} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Upravíme faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{4 n^2} \sim \frac{1}{20 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), proto řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.
123. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n! 4^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{n! 4^n}. \]
Podílové kritérium vyžaduje spočítat \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}} \cdot \frac{n! 4^n}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{4}. \]
Protože \(\frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}\), upravíme na \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{4}. \]
Vyjádříme poměr \[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] když \(n \to \infty\).
Tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{e}{4} < 1. \]
Podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
124. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(\ln n)^n}{n^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(\ln n)^n}{n^n}. \]
Využijeme podílové kritérium, spočítáme \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(\ln (n+1))^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{(\ln n)^n} = \left(\frac{\ln (n+1)}{\ln n}\right)^n \cdot \frac{\ln (n+1)}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Pro velké \(n\) platí: \[ \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \to 1, \] \[ \left(\frac{\ln (n+1)}{\ln n}\right)^n = e^{n \ln\left(1 + \frac{\ln(n+1) – \ln n}{\ln n}\right)} \approx e^{n \cdot \frac{1/(n+1)}{\ln n}} = e^{\frac{1}{\ln n}} \to 1, \] \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}, \] \[ \frac{\ln (n+1)}{n+1} \to 0. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 1 \cdot e^{-1} \cdot 0 = 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), proto řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
125. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2 9^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 9^n}. \]
Podílové kritérium spočítáme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 9^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 9^n}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2 9 \cdot 9^n} \cdot \frac{(n!)^2 9^n}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2 9}. \]
Upravíme čitatel a jmenovatel: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{9 (n+1)^2} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{9 (n+1)^2} = \frac{2(2n+1)}{9 (n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{2(2n+1)}{9(n+1)} \sim \frac{4n}{9 n} = \frac{4}{9} < 1. \]
Limita podílu je menší než \(1\), proto podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
126. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{n! \, 5^{3n}} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(3n)!}{n! \, 5^{3n}}. \]
Použijeme podílové kritérium, tedy spočítáme \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3(n+1))!}{(n+1)! \, 5^{3(n+1)}} \cdot \frac{n! \, 5^{3n}}{(3n)!} = \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{5^3}. \]
Upravíme jednotlivé faktoriály: \[ \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \] \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \] \[ 5^3 = 125. \]
Podíl tedy je \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{125 (n+1)}. \]
Pro velké \(n\) můžeme aproximovat: \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] \[ (n+1) \sim n. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{27 n^3}{125 n} = \frac{27}{125} n^2. \]
Protože limitní poměr diverguje k nekonečnu, podílové kritérium říká, že řada diverguje.
127. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n}. \]
Faktoriály upravíme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Vyjádříme první zlomek jako \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Víme, že \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\), tedy \[ (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \sim (n+1) e. \]
Čitatel tedy roste jako \(e (n+1)\), zatímco jmenovatel jako \((2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2\). Proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{e (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což znamená podle podílového kritéria, že řada konverguje absolutně.
128. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \, 2^n}{(2n+1)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \, 2^n}{(2n+1)!}. \]
Podílové kritérium vyžaduje spočítat \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \, 2^{n+1}}{(2(n+1)+1)!} \cdot \frac{(2n+1)!}{n! \, 2^n} = 2 (n+1) \cdot \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+2)}. \]
Pro velké \(n\) \[ (2n+3)(2n+2) \sim 4 n^2, \] proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{2 (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{1}{2 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
129. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 4^n}{(2n)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^2 4^n}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2 4^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^2 4^n} = 4 \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Faktoriály upravíme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{(n+1)^2}{n^2} \to 1, \] \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4 n^2} = \frac{1}{n^2} \to 0. \]
Podíl tedy konverguje k \(0\), řada konverguje absolutně.
130. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{(n+2)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n!}{(n+2)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+3)!} \cdot \frac{(n+2)!}{3^n n!} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{(n+2)!}{(n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály ve zlomku: \[ \frac{(n+2)!}{(n+3)!} = \frac{1}{n+3}, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{n+3} = 3 \cdot \frac{n+1}{n+3}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{n+1}{n+3} \to 1, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 > 1. \]
Podle podílového kritéria řada diverguje.
131. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n (n!)^2}{(2n)! \, n^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{5^n (n!)^2}{(2n)! \, n^n}. \]
Pro určení konvergence použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} ((n+1)!)^2}{(2n+2)! \, (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n)! \, n^n}{5^n (n!)^2}. \]
Upravíme: \[ = 5 \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Faktoriály: \[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2, \] \[ \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Výraz pro podíl je tedy \[ 5 \cdot (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Upravíme zlomek s mocninami: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Limita výrazu \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\) při \(n \to \infty\) je \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}. \]
Pro velké \(n\) tedy platí \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \sim \frac{e^{-1}}{n+1}. \]
Celý podíl tedy přibližně \[ 5 \cdot (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = \frac{5 e^{-1} (n+1)}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] proto \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5 e^{-1} n}{4 n^2} = \frac{5}{4 e} \cdot \frac{1}{n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což znamená, že řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
132. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^n}{(n!)^2 3^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(n!)^2 3^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{((n+1)!)^2 3^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 3^n}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n 3} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2}. \]
Faktoriály: \[ \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}. \]
Výraz se upraví na \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n 3} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)^{n-1}}{3 n^n}. \]
Vyjádříme poměr mocnin: \[ \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1}. \]
Pro velké \(n\) \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{e}{3 (n+1)} \to 0. \]
Podíl konverguje k nule, tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
133. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} n!}{(3n)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{2^{2n} n!}{(3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{2(n+1)} (n+1)!}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{2^{2n} n!} = 4 \cdot (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 (n+1) \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 (n+1)}{27 n^3} \sim \frac{4}{27 n^2} \to 0. \]
Limita podílu je nula, což znamená, že řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
134. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 3^n}{(2n)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^3 3^n}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 3^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^3 3^n} = 3 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Faktoriály: \[ \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Výraz pro podíl je \[ 3 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{(n+1)^3}{n^3} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \to 1, \] \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3}{4 n^2} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
135. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n (n+3)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!}{5^n (n+3)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+4)!} \cdot \frac{5^n (n+3)!}{n!} = \frac{1}{5} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+3)!}{(n+4)!}. \]
Faktoriály: \[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \] \[ \frac{(n+3)!}{(n+4)!} = \frac{1}{n+4}. \]
Podíl tedy je \[ \frac{1}{5} \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{n+4} = \frac{n+1}{5 (n+4)}. \]
Pro velké \(n\) \[ \frac{n+1}{n+4} \to 1, \] takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{5} < 1. \]
Podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
136. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n}. \]
Rozložíme faktoriál: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Vyjádříme první zlomek jako \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Protože \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \] dostáváme pro velké \(n\) \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) e \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Vyjádříme jmenovatel: \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \sim 4n^2. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1) e}{4 n^2} \sim \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
137. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{(2n+1)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n!}{(2n+1)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)! / (2n+3)!}{3^n n! / (2n+1)!} = 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}. \]
Rozložíme faktoriály ve jmenovateli: \[ (2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+2)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+3)(2n+2) \sim 4 n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3 (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{3}{4 n} \to 0. \]
Limita je \(0\), což je méně než \(1\), řada tedy konverguje absolutně podle podílového kritéria.
138. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{n! 5^n} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! 5^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)! 5^{n+1}} \cdot \frac{n! 5^n}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1) n! 5 \cdot 5^n} \cdot \frac{n! 5^n}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)} \sim \frac{4 n^2}{5 n} = \frac{4}{5} n \to \infty. \]
Limita podílu je nekonečno, tedy větší než \(1\), řada diverguje podle podílového kritéria.
139. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n! (n+2)} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{2^n}{n! (n+2)}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)! (n+3)} \cdot \frac{n! (n+2)}{2^n} = 2 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{n+2}{n+3} = 2 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n+2}{n+3}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{n+2}{n+3} \to 1, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{2}{n+1} \to 0. \]
Limita je \(0\), což je méně než \(1\), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
140. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! 4^n}{(3n)!} \).
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! 4^n}{(3n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! 4^{n+1} / (3n+3)!}{n! 4^n / (3n)!} = 4 \cdot (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Rozepíšeme faktoriály ve jmenovateli: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 (n+1) \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 (n+1)}{27 n^3} \sim \frac{4}{27 n^2} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
141. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n (n!)^2}{(2n)!}. \]
Pro určení konvergence použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} ((n+1)!)^2 / (2(n+1))!}{3^n (n!)^2 / (2n)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = 3 \cdot \frac{(n+1)^2}{(2n + 2)(2n + 1)}. \]
Upravíme jmenovatele: \[ (2n + 2)(2n + 1) = 4n^2 + 6n + 2. \]
Pro velká \(n\) tedy platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 3 \cdot \frac{n^2}{4 n^2} = \frac{3}{4} < 1. \]
Tedy limita podílu je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{4} < 1, \] což podle podílového kritéria znamená, že řada konverguje absolutně.
142. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^n}{(n!)^2} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(n!)^2}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} / ((n+1)!)^2}{n^n / (n!)^2} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2}. \]
To lze přepsat jako \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)^2} = \frac{(n+1)^n}{n^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n. \]
Vyjádříme limitu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Známý limit je \(\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1} = 0. \]
Protože limita je \(0\), což je méně než \(1\), řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.
143. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!}{n^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! / (n+1)^{n+1}}{n! / n^n} = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{1} = \frac{n^n}{(n+1)^n}. \]
Upravíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Limita podílu je: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1}. \]
Protože \(e^{-1} < 1\), podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
144. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n! \cdot n^n} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{2^n}{n! \cdot n^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} / ((n+1)! (n+1)^{n+1})}{2^n / (n! n^n)} = 2 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 2 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Upravíme poslední zlomek: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Podíl tedy je \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{2}{(n+1)^2} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n. \]
Limita \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{(n+1)^2} e^{-1} = 0. \]
Tedy podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
145. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Analyzujeme limitu podílu: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Vyjádříme první zlomek: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Limita výrazu \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\) při \(n \to \infty\), tedy \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \sim (n+1) e. \]
Podílový výraz tedy pro velké \(n\) bude přibližně \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) e \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = (n+1) e \cdot \frac{1}{4n^2 + 6n + 2}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) e \cdot \frac{1}{4n^2} \sim \frac{e}{4} \cdot \frac{n+1}{n^2} \sim \frac{e}{4n} \to 0. \]
Limita podílu je tedy \(0\), což je méně než \(1\), takže podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
146. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \, 3^n}{(n^2+1)^n} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \, 3^n}{(n^2 + 1)^n}. \]
Podílové kritérium použijeme pro \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \, 3^{n+1}}{((n+1)^2 + 1)^{n+1}} \cdot \frac{(n^2 + 1)^n}{n! \, 3^n} = 3 (n+1) \cdot \frac{(n^2 + 1)^n}{((n+1)^2 + 1)^{n+1}}. \]
Upravíme výraz: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 (n+1) \cdot \frac{(n^2 + 1)^n}{((n+1)^2 + 1)^n} \cdot \frac{1}{(n+1)^2 + 1}. \]
Zapišme poměr ve druhé mocnině jako \[ \left(\frac{n^2 + 1}{(n+1)^2 + 1}\right)^n \cdot \frac{3 (n+1)}{(n+1)^2 + 1}. \]
Rozepišme jmenovatele a čitatele: \[ (n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 2, \] takže \[ \frac{n^2 + 1}{n^2 + 2n + 2} = \frac{n^2 + 1}{n^2(1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2})} = \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{2}{n^2}}. \]
Pro velké \(n\) tedy platí přibližně \[ \frac{n^2 + 1}{(n+1)^2 + 1} \sim \frac{1}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{1}{1 + \frac{2}{n}}. \]
Limita exponentu je \[ \left(\frac{1}{1 + \frac{2}{n}}\right)^n = \left(1 + \frac{2}{n}\right)^{-n} \to e^{-2}. \]
Dále zbylá část \[ \frac{3 (n+1)}{(n+1)^2 + 1} \sim \frac{3n}{n^2} = \frac{3}{n} \to 0. \]
Celkový limit podílu tedy je \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = e^{-2} \cdot 0 = 0 < 1. \]
Řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.
147. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! \, (2n+1)} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{5^n}{n! (2n+1)}. \]
Podílové kritérium dává \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}}{(n+1)! (2(n+1) + 1)} \cdot \frac{n! (2n + 1)}{5^n} = 5 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{2n + 1}{2n + 3}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{2n + 1}{2n + 3} \to 1, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5}{n+1} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
148. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{4^n}{n^n} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{4^n}{n^n}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n + 2)!} \cdot \frac{4^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{n^n}{4^n}. \]
Upravíme postupně: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n + 2)!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Zapišme faktoriály: \[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2, \] \[ \frac{(2n)!}{(2n + 2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Podílový výraz tedy je \[ 4 \cdot (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Vyjádříme poslední zlomek: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Pro \(n \to \infty\) \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1}. \]
Celý podíl tedy pro velké \(n\): \[ 4 \cdot (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{1}{n+1} e^{-1} = 4 e^{-1} \cdot \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Po úpravě a využití limit: \[ \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{n}{4n^2} = \frac{1}{4n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), tedy řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
149. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \cdot \frac{1}{n^3} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \cdot \frac{1}{n^3}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{4^{n+1} ((n+1)!)^2} \cdot \frac{1}{(n+1)^3} \cdot \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!} \cdot n^3. \]
Upravíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{4 \cdot 4^n ((n+1)^2 (n!)^2)} \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3} \cdot \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4 (n+1)^2} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^3. \]
Pro velké \(n\): \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4n^2}{4 n^2} \cdot 1 = 1. \]
Podílové kritérium dává limitu \(1\), takže je nutné zkoumat řadu jiným způsobem.
Využijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \]
Proto platí, že \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{2\pi n (n/e)^{2n}} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}. \]
Členy lze tedy aproximovat jako \[ a_n \sim \frac{4^n}{4^n \sqrt{\pi n}} \cdot \frac{1}{n^3} = \frac{1}{\sqrt{\pi} \, n^{3.5}}. \]
Řada tedy chová jako p-řada s exponentem větším než 1, takže konverguje.
150. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n!}{(2n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n!}{(2n)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(2n + 2)!} \cdot \frac{(2n)!}{3^n n!} = 3 (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \frac{3 (n+1)}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3 (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{3}{4 n} \to 0. \]
Limita podílu je menší než \(1\), takže řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.
151. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n}. \]
Rozepíšeme faktoriály:
\[ \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Dosadíme zpět:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Využijeme přibližný poměr mocnin:
\[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \sim (n+1) \cdot e. \]
Pro velké \( n \) tedy:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1) e}{(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{e}{4n}. \]
Limita podílu je tedy nula:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]
152. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n (n+1)}{(n+1)^{n+1}}. \]
Upravíme zlomek:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]
Použijeme limitu:
\[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e}. \]
Proto:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]
153. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n \cdot n!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{3^n}{n \cdot n!} \).
Podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)(n+1)!} \cdot \frac{n \cdot n!}{3^n} = 3 \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1}. \]
To je:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3n}{(n+1)^2}. \]
Pro velké \(n\):
\[ \frac{3n}{(n+1)^2} \sim \frac{3}{n} \to 0. \]
Limita je nula, tedy řada konverguje absolutně.
154. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n^2}{2^n} \).
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{2 n^2}. \]
To se rovná:
\[ \frac{(n+1)^2}{2 n^2} = \frac{n^2 + 2n + 1}{2n^2} = \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{2}. \]
Pro \( n \to \infty \) dostáváme:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]
155. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 5^n}{(n!)^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 5^n}{(n!)^2} \).
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 5^{n+1}}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{n^3 5^n}. \]
Rozepíšeme faktoriály:
\[ (n+1)! = (n+1) \cdot n! \Rightarrow ((n+1)!)^2 = (n+1)^2 (n!)^2. \]
Dostaneme:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 \cdot 5 \cdot 5^n}{(n+1)^2 (n!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{n^3 5^n} = \frac{5 (n+1)}{n^3}. \]
Limita:
\[ \frac{5(n+1)}{n^3} \sim \frac{5}{n^2} \to 0. \]
Podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
156. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme členy řady
\[ a_n = \frac{n^n}{(2n)^n} = \left( \frac{n}{2n} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n. \]
Řada je tedy geometrická se základním členem \( \frac{1}{2} \), který je menší než \(1\). Geometrická řada s kvocientem menším než \(1\) absolutně konverguje. Podílové kritérium pro úplnost:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{1}{2} \right)^n} = \frac{1}{2}. \]
Protože limita podílu je \( \frac{1}{2} < 1 \), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
157. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Definujeme
\[ a_n = \frac{n!}{3^n n^n}. \]
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{3^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{3^n n^n}{n!} = \frac{(n+1) n^n}{3 (n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{3 (n+1)^n}. \]
Přepíšeme zlomek jako
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]
Ví se, že \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} \). Tedy
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{3e}. \]
Protože \( \frac{1}{3e} < 1 \), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
158. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! + n^3} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Definujeme členy řady jako
\[ a_n = \frac{5^n}{n! + n^3}. \]
Pro velká \( n \) dominuje ve jmenovateli \( n! \), protože roste rychleji než \( n^3 \). Tedy aproximujeme
\[ a_n \sim \frac{5^n}{n!}. \]
Uvažujeme tuto aproximaci pro použití podílového kritéria:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5^{n+1} / (n+1)!}{5^n / n!} = 5 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{5}{n+1}. \]
Platí
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0. \]
Protože limita je menší než \(1\), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
159. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^5}{2^n + n^6} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou
\[ a_n = \frac{n^5}{2^n + n^6}. \]
Pro velká \( n \) dominuje v jmenovateli výraz \( 2^n \), protože roste rychleji než \( n^6 \). Tedy
\[ a_n \sim \frac{n^5}{2^n}. \]
Ověříme podílové kritérium pro tuto aproximaci:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1)^5 / 2^{n+1}}{n^5 / 2^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^5 \cdot \frac{1}{2} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^5 \cdot \frac{1}{2}. \]
Pro \( n \to \infty \) máme \( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^5 \to 1 \), takže
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2}. \]
Protože limita je menší než \(1\), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
160. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Definujeme členy řady jako
\[ a_n = \frac{(n+1)!}{n^n}. \]
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+2)! / (n+1)^{n+1}}{(n+1)! / n^n} = \frac{(n+2) (n^n)}{(n+1)^{n+1}}. \]
Zapíšeme zlomek jako
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+2) \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \frac{1}{n+1}. \]
Použijeme asymptotiku \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} \), tedy
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{e}. \]
Limita je tedy
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{e}. \]
Protože \( \frac{1}{e} < 1 \), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
161. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} \]
Rozepíšeme faktor \((2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!\), takže
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1)n^n} \]
Použijeme aproximaci \( \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \), tedy
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1) \cdot e^n}{4n^2} = \frac{(n+1)}{4n^2} \cdot e^n \to \infty \]
Protože limita podílu diverguje, řada diverguje.
162. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{5^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{n^2}{5^n} \). Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{n^2} = \frac{(n+1)^2}{5n^2} \]
Limita podílu je
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{5n^2} = \frac{1}{5} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^2 = \frac{1}{5} \]
Protože limita je menší než \(1\), řada konverguje absolutně.
163. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \). Podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n} = 3 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \]
Upravíme:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \]
Více členů dává:
\[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e}, \quad \frac{1}{n+1} \to 0 \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} \to 0 \]
Limita je menší než \(1\), řada konverguje absolutně.
164. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy jsou \( a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \). Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} \]
Po zkrácení:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{(n+1)^2}{4n^2 + 6n + 2} \]
Limita je
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{4n^2 + 6n + 2} = \frac{1}{4} \]
Limita je menší než \(1\), řada konverguje absolutně.
165. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{n!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{n^3}{n!} \). Podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^3} = \frac{(n+1)^3}{(n+1) n^3} = \frac{(n+1)^2}{n^3} \]
Rozepíšeme:
\[ \frac{(n+1)^2}{n^3} = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{n} \to 0 \]
Limita je nula, tedy menší než \(1\), řada konverguje absolutně.
166. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)^n} = \left( \frac{1}{2} \right)^n. \]
Jelikož \( a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^n \), jedná se o geometrickou řadu se základem \( q = \frac{1}{2} \).
Protože \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), řada konverguje.
Pro kontrolu použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{1}{2} \right)^n} = \frac{1}{2}. \]
Limita podílu je \( \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
167. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n n^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \[ a_n = \frac{n!}{5^n n^2}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+1)^2} \cdot \frac{5^n n^2}{n!} = \frac{(n+1) n^2}{5 (n+1)^2} = \frac{n^2}{5(n+1)}. \]
Vydělíme čitatel i jmenovatel výrazem \( n^2 \): \[ \frac{n^2}{5(n+1)} = \frac{1}{5} \cdot \frac{n^2}{n+1}. \]
Pro \( n \to \infty \) máme \[ \frac{n^2}{n+1} \sim n \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{n}{5} \to \infty. \]
Protože limita podílu diverguje, řada diverguje.
168. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n+1)!}{(4n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Označíme \[ a_n = \frac{(3n+1)!}{(4n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+4)!}{(4n+4)!} \cdot \frac{(4n)!}{(3n+1)!}. \]
Zapíšeme faktoriály: \[ (3n+4)! = (3n+4)(3n+3)(3n+2)(3n+1)!, \] \[ (4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!. \]
Potom \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+4)(3n+3)(3n+2)}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}. \]
Pro velké \( n \) máme v čitateli \(\sim 27 n^3\), ve jmenovateli \(\sim 256 n^4\), tedy: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{27}{256 n} \to 0. \]
Tedy limita podílu je 0 \(< 1 \Rightarrow\) řada konverguje absolutně.
169. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Označíme \[ a_n = \frac{n!}{n^n}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n}. \]
Přepíšeme: \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]
Víme, že \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e}. \]
Tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
170. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Označíme \[ a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}. \]
Zkrátíme \((n!)^2\) a \((2n)!\), dostaneme: \[ \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Limita tohoto výrazu: \[ \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \sim \frac{n^2}{4n^2} = \frac{1}{4}. \]
Tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{4} < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
171. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n}. \]
Zapíšeme vztah mezi faktoriály: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1)} \cdot \frac{1}{n^n}. \]
Upravíme mocniny: \[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n. \]
Pro velká \( n \) platí \( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \), takže: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{(n+1) e}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Čitatel roste lineárně, jmenovatel kvadraticky, takže limita je 0: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 < 1. \]
Řada konverguje absolutně.
172. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^5}{5^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{n^5}{5^n} \).
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^5}{5^{n+1}} \cdot \frac{5^n}{n^5} = \frac{(n+1)^5}{5 n^5}. \]
Upravíme: \[ \frac{(n+1)^5}{n^5} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^5, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{5} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^5. \]
Limita: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{5} < 1. \]
Řada konverguje absolutně.
173. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Zkrátíme \( n+1 \): \[ \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]
Pro velké \( n \) platí: \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} < 1. \]
Řada konverguje absolutně.
174. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n + n^3}{n!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{3^n + n^3}{n!} \).
Pro podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} + (n+1)^3}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n + n^3}. \]
Upravíme: \[ \frac{3 \cdot 3^n + (n+1)^3}{(n+1)(n!)} \cdot \frac{n!}{3^n + n^3} = \frac{3 \cdot 3^n + (n+1)^3}{(n+1)(3^n + n^3)}. \]
Dominantní členy jsou \( 3^n \), takže: \[ \frac{3 \cdot 3^n}{(n+1)(3^n)} = \frac{3}{n+1} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0. \]
Řada konverguje absolutně.
175. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot n}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \( a_n = \frac{n! \cdot n}{n^n} \).
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot (n+1)}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n! \cdot n}. \]
Upravíme: \[ \frac{(n+1)^2 \cdot n^n}{(n+1)^{n+1} \cdot n} = \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Pokračujeme: \[ \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]
Limita je \[ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e} < 1. \]
Řada konverguje absolutně.
176. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n + n^3}{7^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{5^n + n^3}{7^n}. \]
Provedeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} + (n+1)^3}{7^{n+1}} \cdot \frac{7^n}{5^n + n^3}. \]
Upravíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5 \cdot 5^n + (n+1)^3}{7 \cdot 7^n} \cdot \frac{7^n}{5^n + n^3} = \frac{5 \cdot 5^n + (n+1)^3}{7 \cdot (5^n + n^3)}. \]
Pro velká \( n \) dominuje v čitateli \( 5 \cdot 5^n \), ve jmenovateli \( 5^n \), tedy: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5 \cdot 5^n}{7 \cdot 5^n} = \frac{5}{7}. \]
Limita podílu je \( \frac{5}{7} < 1 \), takže podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
177. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Máme \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)^n} = \left( \frac{n}{2n} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n. \]
Tedy jde o geometrickou řadu s kvocientem \( \frac{1}{2} \). Geometrická řada s kvocientem menším než 1 absolutně konverguje.
178. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!}{n^n}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! / (n+1)^{n+1}}{n! / n^n} = \frac{(n+1) \cdot n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^{n}}. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]
Víme, že \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} < 1. \]
Tedy limita podílu je \( \frac{1}{e} \), což je menší než \(1\), takže řada konverguje absolutně.
179. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{n! \cdot 4^n} \cdot \frac{1}{n^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{(2n)!}{n! \cdot 4^n} \cdot \frac{1}{n^2}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)!}{(n+1)! \cdot 4^{n+1}} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} \cdot \frac{n^2}{(2n)!} \cdot \frac{4^n}{n!}. \]
Upravíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1) \cdot n! \cdot 4 \cdot 4^n} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot \frac{4^n}{(2n)!}. \]
Zkrátíme \( (2n)! \) a \( 4^n \), dostáváme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{4(n+1)} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}. \]
Pro velká \( n \) máme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4n^2}{4n} \cdot \frac{n^2}{n^2} = n. \]
Tedy limita podílu diverguje k nekonečnu \( \Rightarrow \) řada diverguje.
180. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n \cdot n!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n}{n \cdot n!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)(n+1)!} \cdot \frac{n \cdot n!}{3^n} = 3 \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{n}{(n+1)^2}. \]
Pro velká \( n \) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{3n}{n^2} = \frac{3}{n} \to 0. \]
Limita podílu je \(0\), což je menší než \(1\) \( \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
181. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
Vidíme, že \( a_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \) je geometrická řada se základem \( \frac{1}{2} < 1 \), takže konverguje.
Pro ověření pomocí podílového kritéria spočítáme:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} = \frac{1}{2}. \]
Limitní podíl je tedy \( \frac{1}{2} < 1 \), a podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
182. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Pro podílové kritérium spočítáme:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! / (n+1)^{n+1}}{n! / n^n} = \frac{(n+1)! \cdot n^n}{n! \cdot (n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^n}{(n+1)^n}. \]
Zapíšeme jako:
\[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e}. \]
Protože limita je \( \frac{1}{e} < 1 \), řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
183. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n + n!} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n!}{3^n + n!} \).
Pro velká \(n\) platí, že \(n!\) roste rychleji než \(3^n\), takže \( a_n \sim \frac{n!}{n!} = 1 \).
Takže \( a_n \to 1 \), což není nula.
Protože limita členu není nula, řada diverguje.
184. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{2^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n^3}{2^n} \).
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 / 2^{n+1}}{n^3 / 2^n} = \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{2}. \]
\[ \frac{(n+1)^3}{n^3} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \to 1, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{1}{2} < 1. \]
Podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
185. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{\ln n}{n} \).
Použijeme podílové kritérium:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\ln(n+1)/(n+1)}{\ln n / n} = \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \cdot \frac{n}{n+1}. \]
\[ \ln(n+1) \sim \ln n \Rightarrow \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \to 1, \quad \frac{n}{n+1} \to 1, \]
\( \Rightarrow \) \frac{a_{n+1}}{a_n} \to 1.
Podílové kritérium je nerozhodné. Porovnáme s integrálem:
\[ \int_2^\infty \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2} (\ln x)^2 \Big|_2^\infty = \infty. \]
Proto řada diverguje.
186. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)^n} = \left( \frac{n}{2n} \right)^n = \left( \frac{1}{2} \right)^n. \]
Vidíme, že jde o geometrickou řadu s kvocientem \( \frac{1}{2} \), což je číslo menší než \(1\). Tato řada konverguje, ale přesto aplikujeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\left( \frac{1}{2} \right)^{n+1}}{\left( \frac{1}{2} \right)^n} = \frac{1}{2}. \]
Platí tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} < 1, \] což znamená, že podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
187. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{5^n}{n^n}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1}/(n+1)^{n+1}}{5^n/n^n} = 5 \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n} \cdot \frac{1}{n+1}. \]
Využijeme známou limitu \( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e} \), a tedy: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5}{e} \cdot \frac{1}{n+1} \to 0. \]
Tedy limita podílu je \(0\), což je méně než \(1\), a podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
188. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n!}{n^n}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! / (n+1)^{n+1}}{n! / n^n} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Upravíme: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1) n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n}. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e}. \]
Protože limita podílu je \( \frac{1}{e} < 1 \), podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
189. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n^2}{(n!)^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n n^2}{(n!)^2}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)^2 / ((n+1)!)^2}{3^n n^2 / (n!)^2} = 3 \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 \cdot \left( \frac{n!}{(n+1)!} \right)^2. \]
Upravíme: \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \Rightarrow \left( \frac{n!}{(n+1)!} \right)^2 = \frac{1}{(n+1)^2}. \]
Celý podíl: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = 3 \cdot \frac{1}{n^2}. \]
Tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \to 0. \] Limita podílu je nula, takže podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
190. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{5^n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^3}{5^n}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 / 5^{n+1}}{n^3 / 5^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 \cdot \frac{1}{5}. \]
Pro velká \( n \) platí \( \left( \frac{n+1}{n} \right)^3 \to 1 \), tedy: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \to \frac{1}{5}. \]
Tato limita je menší než \(1\), proto podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
191. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1} / (2(n+1))!}{n^n / (2n)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Ve jmenovateli faktoriálu rozepíšeme: \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Výraz \(\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\) přepíšeme jako \[ (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n. \]
Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e, \] proto pro velké \(n\) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim (n+1) \cdot e \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Vyjádříme jmenovatel: \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \sim 4n^2, \] a tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{e (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{e}{4 n} \to 0. \]
Limitní hodnota je \(0\), což je méně než \(1\), proto podle podílového kritéria řada konverguje absolutně.
192. Určete, zda řada \( \sum_{n=2}^\infty \frac{3^n}{n \cdot n!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{3^n}{n \cdot n!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} / ((n+1) (n+1)!)}{3^n / (n \cdot n!)} = 3 \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{n}{n+1} \cdot \frac{1}{n+1}. \]
Upravením dostaneme \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 3 \cdot \frac{n}{(n+1)^2}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 3 \cdot \frac{n}{n^2} = \frac{3}{n} \to 0. \]
Limitní hodnota je \(0\), což je méně než \(1\), tedy řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.
193. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 5^n}{(2n+1)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n+1)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 5^{n+1} / (2(n+1)+1)!}{n! \cdot 5^n / (2n+1)!} = 5 (n+1) \cdot \frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}. \]
Faktoriály ve jmenovateli rozepíšeme: \[ (2n+3)! = (2n+3)(2n+2)(2n+1)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+3)(2n+2)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+3)(2n+2) = 4n^2 + 10n + 6 \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5 (n+1)}{4 n^2} \sim \frac{5}{4 n} \to 0. \]
Limitní hodnota je \(0\), což je méně než \(1\), takže řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
194. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n (n!)^2}{(2n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{2^n (n!)^2}{(2n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{n+1} ((n+1)!)^2 / (2(n+1))!}{2^n (n!)^2 / (2n)!} = 2 \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!}. \]
Upravíme faktoriály: \[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = (n+1)^2, \] \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (2n+2)(2n+1) \sim 4 n^2, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim 2 (n+1)^2 \cdot \frac{1}{4 n^2} \sim \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]
Limitní hodnota je \(\frac{1}{2} < 1\), proto řada konverguje absolutně podle podílového kritéria.
195. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 4^n}{(3n)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(3n)!}. \]
Použijeme podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)! \cdot 4^{n+1} / (3(n+1))!}{n! \cdot 4^n / (3n)!} = 4 (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}. \]
Ve jmenovateli faktoriálu rozepíšeme: \[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 4 (n+1) \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{4 (n+1)}{27 n^3} \sim \frac{4}{27 n^2} \to 0. \]
Limitní hodnota je \(0\), což je méně než \(1\), a proto řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.
200. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! \cdot (n+1)!} \) konverguje.
Členy řady jsou \[ a_n = \frac{5^n}{n! (n+1)!}. \]
Podílové kritérium: \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{5^{n+1} / ((n+1)! (n+2)!)}{5^n / (n! (n+1)!)} = 5 \cdot \frac{n! (n+1)!}{(n+1)! (n+2)!} = 5 \cdot \frac{n!}{(n+2)!}. \]
Rozepíšeme \[ (n+2)! = (n+2)(n+1) n!, \] takže \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} = 5 \cdot \frac{n!}{(n+2)(n+1) n!} = \frac{5}{(n+2)(n+1)}. \]
Pro velké \(n\) platí \[ (n+2)(n+1) \sim n^2, \] tedy \[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \sim \frac{5}{n^2} \to 0. \]
Limitní hodnota je \(0\), což je méně než \(1\), a proto řada podle podílového kritéria konverguje absolutně.