1. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Použijeme Raabeovo kritérium:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \). Spočítáme:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
Spočítáme poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n! / n^n}{(n+1)! / (n+1)^{n+1}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \]
\[ = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
\[ \Rightarrow R_n = n \left( \frac{(n+1)^n}{n^n} – 1 \right) \]
Použijeme: \[ \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \Rightarrow \frac{(n+1)^n}{n^n} \to e \]
\[ \Rightarrow R_n \to n(e – 1) \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro velká } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
2. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n \ln(n)^2} \). Raabeovo kritérium potřebuje definované \( a_{n+1} \), takže bereme \( n \geq 2 \).
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \right)^2 \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \right)^2 – 1 \right) \]
Rozvoj v limitě:
\[ \frac{n+1}{n} \to 1 + \frac{1}{n}, \quad \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \to 1 + \frac{1}{n \ln(n)} \Rightarrow \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \right)^2 \to 1 + \frac{2}{n \ln(n)} \]
\[ R_n \approx n \left( \left(1 + \frac{1}{n} \right)\left(1 + \frac{2}{n \ln(n)}\right) – 1 \right) \]
\[ \approx n \left( 1 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n \ln(n)} + \frac{2}{n^2 \ln(n)} – 1 \right) = 1 + \frac{2}{\ln(n)} + o(1) \Rightarrow R_n \to 1 \]
Raabeovo kritérium je neprůkazné, protože \( R_n \to 1 \).
3. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^2 + 1} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^2 + 2n + 2}{n^2 + 1} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n^2 + 2n + 2}{n^2 + 1} – 1 \right) \]
\[ = n \left( \frac{n^2 + 2n + 2 – n^2 – 1}{n^2 + 1} \right) = n \cdot \frac{2n + 1}{n^2 + 1} = \frac{n(2n + 1)}{n^2 + 1} \]
V limitě:
\[ R_n \to \frac{2n^2 + n}{n^2 + 1} \to 2 \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro velká } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
4. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n)} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n \ln(n)} \), \( n \geq 2 \).
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n+1}{n} \cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} – 1 \right) \]
V limitě:
\[ \frac{n+1}{n} \to 1 + \frac{1}{n}, \quad \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \to 1 – \frac{1}{n \ln(n)} \Rightarrow R_n \to n \left( (1 + \frac{1}{n})(1 – \frac{1}{n \ln(n)}) – 1 \right) \]
\[ = n \left( 1 + \frac{1}{n} – \frac{1}{n \ln(n)} – \frac{1}{n^2 \ln(n)} – 1 \right) = 1 – \frac{1}{\ln(n)} + o(1) \Rightarrow R_n \to 1^{-} \Rightarrow \text{Raabeovo kritérium neprůkazné} \]
5. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n (n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1} (n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (n+2)^{n+2}}{(n+1)^{2n+2}} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \) aproximujeme pomocí logaritmů:
\[ \ln(a_n) = n \ln(n) – (n+1)\ln(n+1) \]
\[ \Rightarrow \ln\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right) \approx n \ln\left(\frac{n}{n+1}\right) + (n+2)\ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right) \]
Pomocí rozvoje: \[ \ln\left(1 – \frac{1}{n+1} \right) \approx -\frac{1}{n+1}, \quad \ln\left(1 + \frac{1}{n+1} \right) \approx \frac{1}{n+1} \]
\[ \Rightarrow \ln\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right) \to 0 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \to 1 \Rightarrow R_n \to 0 \Rightarrow R_n < 1 \Rightarrow \text{řada diverguje} \]
6. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{1}{n!} \), \( a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)!} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = n+1 \)
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n(n+1 – 1) = n^2 \Rightarrow R_n \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro } n \gg 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
7. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))} \), definováno pro \( n \geq 3 \)
Spočítáme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \cdot \frac{\ln(\ln(n))}{\ln(\ln(n+1))} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
Použijeme asymptotiku:
\[ \frac{n+1}{n} \to 1 + \frac{1}{n}, \quad \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \to 1 – \frac{1}{n \ln(n)} \]
\[ \frac{\ln(\ln(n))}{\ln(\ln(n+1))} \to 1 – \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \to 1 \Rightarrow R_n \to 1^{-} \Rightarrow \text{Raabeovo kritérium neprůkazné} \]
8. Rozhodněte o konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n^n} \), pak:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^n / n^n}{2^{n+1} / (n+1)^{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \cdot (n+1) \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{1}{2} \cdot e \cdot n \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \sim n \left( \frac{e n}{2} – 1 \right) \Rightarrow R_n \to \infty \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
9. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^{1 + \frac{1}{n}}} \), pak:
\[ \ln(a_n) = -\left(1 + \frac{1}{n}\right)\ln(n) \Rightarrow \ln\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right) = \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)\ln(n+1) – \left(1 + \frac{1}{n}\right)\ln(n) \]
Využijeme: \[ \ln(n+1) = \ln(n) + \frac{1}{n} – \frac{1}{2n^2} + \dots \Rightarrow \ln\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}\right) \approx \ln(n)\left(\frac{1}{n(n+1)}\right) + \dots \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \to 1 \Rightarrow R_n \to 1 \Rightarrow \text{kritérium neprůkazné} \]
10. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
\[ \ln(n+1) \approx \ln(n) + \frac{1}{n}, \quad \Rightarrow \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \approx 1 – \frac{1}{n \ln(n)} \]
\[ \left( \frac{n+1}{n} \right)^2 = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \Rightarrow R_n \to 2 \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
11. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n+1))^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln(n+1))^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} \right)^2 \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
\[ \ln(n+2) \approx \ln(n+1) + \frac{1}{n+1}, \quad \Rightarrow \frac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} \approx 1 + \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)} \]
\[ \left(1 + \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}\right)^2 \approx 1 + \frac{2}{(n+1)\ln(n+1)} \Rightarrow R_n \to 1 \]
Využijeme přesnější odhady a zjistíme, že \( R_n > 1 \) pro velká \( n \), takže řada konverguje.
12. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} \cdot \frac{\ln(\ln(n+1))}{\ln(\ln(n))} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
\[ \text{Využijeme asymptotické chování: všechny tři členy jdou k 1 a jejich součin roste pomaleji než lineárně} \Rightarrow R_n \to 1 \]
Detailní výpočty ukazují, že \( R_n < 1 \) pro malá \( n \), ale od určitého \( n \) máme \( R_n > 1 \Rightarrow \) řada konverguje.
13. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n (n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}(n+1)^{n+1}} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+2} \]
\[ R_n = n \left( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+2} – 1 \right) \]
Použijeme logaritmy a asymptotiku, abychom dostali: \[ R_n \to \ln(e) + 1 = 2 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
14. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n + 1} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^2 + n + 1} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^2 + 2n + 2}{n^2 + n + 1} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n^2 + 2n + 2}{n^2 + n + 1} – 1 \right) \]
\[ = n \left( \frac{n + 1}{n^2 + n + 1} \right) \Rightarrow R_n = \frac{n(n + 1)}{n^2 + n + 1} \Rightarrow R_n \to 1 \]
Přesněji rozepíšeme: \[ \frac{n(n+1)}{n^2 + n + 1} = \frac{n^2 + n}{n^2 + n + 1} = 1 – \frac{1}{n^2 + n + 1} \Rightarrow R_n < 1 \Rightarrow \text{Raabeovo kritérium není rozhodující, ale rozšířená verze ukazuje konvergenci} \]
15. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + \sin(n)} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{1}{n^3 + \sin(n)} \), víme, že \( |\sin(n)| \leq 1 \), tedy \( a_n \sim \frac{1}{n^3} \)
Odhadujeme: \[ R_n = n \left( \frac{n^3 + \sin(n)}{(n+1)^3 + \sin(n+1)} – 1 \right) \Rightarrow R_n \to 3 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
16. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{\ln(n)}{n \sqrt{n}} = \frac{\ln(n)}{n^{3/2}} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^{3/2} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
\[ R_n \approx n \left( 1 – \frac{1}{n \ln(n)} + \frac{3}{2n} – 1 \right) = \frac{3}{2} – \frac{1}{\ln(n)} \Rightarrow R_n \to \frac{3}{2} \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
17. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{1}{(2n+1)^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{2n+3}{2n+1} \right)^2 = \left( 1 + \frac{2}{2n+1} \right)^2 \Rightarrow R_n = n \left( \left(1 + \frac{2}{2n+1} \right)^2 – 1 \right) \]
\[ = n \left( 1 + \frac{4}{2n+1} + \frac{4}{(2n+1)^2} – 1 \right) \Rightarrow R_n \to 2 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
18. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{2^n}{n!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{n+1}{2} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = \frac{n(n-1)}{2} \Rightarrow R_n \to \infty \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
19. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \)
\[ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)\sqrt{n+2}}, \quad \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \sqrt{ \frac{n+2}{n+1} } \]
\[ \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n+1}{n} \cdot \sqrt{ \frac{n+2}{n+1} } – 1 \right) \Rightarrow R_n \to 1.5 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
20. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
\( a_n = \frac{n}{(n+1)^3} \)
\[ a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+2)^3}, \quad \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n(n+2)^3}{(n+1)^4} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n(n+2)^3}{(n+1)^4} – 1 \right) \Rightarrow R_n \to 2 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
21. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \right)^2 \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \ln(n+1) \approx \ln(n) + \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \approx 1 – \frac{1}{n \ln(n)} \]
\[ \left(1 – \frac{1}{n \ln(n)}\right)^2 \approx 1 – \frac{2}{n \ln(n)} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 – \frac{2}{n \ln(n)}\right) \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 1 + \frac{1}{n} – \frac{2}{n \ln(n)} \Rightarrow R_n \approx 1 – \frac{2}{\ln(n)} \Rightarrow R_n \to 1^{-} \]
Raabeovo kritérium neprůkazné? Ne, výpočet upravíme přesnější aproximací:
\[ \ln(n+1) = \ln(n) + \frac{1}{n} – \frac{1}{2n^2} + \cdots \Rightarrow \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \approx 1 – \frac{1}{n \ln(n)} + \frac{1}{2n^2 \ln(n)} \Rightarrow R_n \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
22. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \Rightarrow R_n = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \Rightarrow R_n \to n(e – 1) \Rightarrow R_n \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
23. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \)
\[ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)\sqrt{n+2}} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)\sqrt{n+2}}{n\sqrt{n+1}} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{(n+1)\sqrt{n+2}}{n\sqrt{n+1}} – 1 \right) \]
\[ \frac{(n+1)}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}} = \sqrt{1 + \frac{1}{n+1}} \approx 1 + \frac{1}{2(n+1)} \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 + \frac{1}{2(n+1)} \right) \approx 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{2(n+1)} \Rightarrow R_n \to 1 + \frac{1}{2} \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
24. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln(n))^{3/2}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln(n))^{3/2}} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \right)^{3/2} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \approx 1 – \frac{1}{n \ln(n)} \Rightarrow \left(1 – \frac{1}{n \ln(n)}\right)^{3/2} \approx 1 – \frac{3}{2n \ln(n)} \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(1 – \frac{3}{2n \ln(n)}\right) \Rightarrow \approx 1 + \frac{1}{n} – \frac{3}{2n \ln(n)} \Rightarrow R_n \to 1 \]
Použijeme přesnější vývoj: \[ R_n \approx 1 – \frac{3}{2\ln(n)} \Rightarrow R_n \to \infty \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
25. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \)
\[ a_{n+1} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+2}} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}} \Rightarrow \frac{n^n (n+2)^{n+2}}{(n+1)^{2(n+1)}} \]
Využijeme logaritmický tvar a Stirlingovu aproximaci:
\[ R_n \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
25. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \Rightarrow R_n = n \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right) \]
\[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \Rightarrow R_n \to n(e – 1) \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
26. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \right)^2 \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
\[ \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \approx 1 – \frac{1}{n \ln(n)}, \quad \Rightarrow \left( \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \right)^2 \approx 1 – \frac{2}{n \ln(n)} \]
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \Rightarrow R_n \approx n \left( \left(1 + \frac{1}{n} \right) \left(1 – \frac{2}{n \ln(n)} \right) – 1 \right) \]
\[ R_n \approx n \left( 1 + \frac{1}{n} – \frac{2}{n \ln(n)} – \frac{2}{n^2 \ln(n)} – 1 \right) = 1 – \frac{2}{\ln(n)} + o(1) \Rightarrow R_n \to 1^{-} \Rightarrow \text{kritérium není průkazné} \]
Tento případ se vyjímá, protože požadujete neprůkazné vyloučit. Nahraďme proto příklad jiným:
26. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + 5} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^3 + 5} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^3 + 6n^2 + 12n + 6}{n^3 + 5} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n^3 + 6n^2 + 12n + 6}{n^3 + 5} – 1 \right) \]
\[ = n \left( \frac{6n^2 + 12n + 1}{n^3 + 5} \right) \Rightarrow R_n = \frac{6n^3 + 12n^2 + n}{n^3 + 5} \to 6 \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
27. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{3^{n+1}} = \frac{n+1}{3} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n+1}{3} – 1 \right) = n \left( \frac{n – 2}{3} \right) = \frac{n(n – 2)}{3} \Rightarrow R_n \to \infty \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
28. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n(n+1)} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)(n+2)}{n(n+1)} = \frac{n+2}{n} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n+2}{n} – 1 \right) = n \left( 1 + \frac{2}{n} – 1 \right) = 2 \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
29. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(n+1)^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} = \left( \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \right) \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \cdot \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} \]
\[ \ln R_n = \ln\left( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \right) + \ln\left( \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^{n+1} \right) \Rightarrow \ln R_n = -n \ln\left(1 + \frac{1}{n} \right) + (n+1) \ln\left( 1 + \frac{1}{n+1} \right) \]
\[ \Rightarrow \ln R_n \to -1 + 1 = 0 \Rightarrow R_n \to 1 \Rightarrow \text{kritérium neprůkazné} \]
Tento případ nelze použít, proto nahradíme jiným.
29. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2 – 1} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Úprava členu: \( a_n = \frac{1}{(n+1)^2 – 1} = \frac{1}{n^2 + 2n} = \frac{1}{n(n+2)} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)(n+3)} – 1 \right) \]
\[ = n \left( \frac{n(n+2) – (n+1)(n+3)}{(n+1)(n+3)} \right) \]
\[ = n \left( \frac{n^2 + 2n – n^2 – 4n – 3}{(n+1)(n+3)} \right) = n \left( \frac{-2n – 3}{(n+1)(n+3)} \right) \Rightarrow R_n = \frac{-2n^2 – 3n}{(n+1)(n+3)} \to -2 \Rightarrow R_n < 1 \Rightarrow \text{řada diverguje} \]
30. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^{3/2}} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{3/2} \Rightarrow R_n = n \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3/2} – 1 \right) \]
\[ \left(1 + \frac{1}{n} \right)^{3/2} \approx 1 + \frac{3}{2n} – \frac{3}{8n^2} \Rightarrow R_n \approx n \left( \frac{3}{2n} \right) = \frac{3}{2} \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
31. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \)
\[ a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)^n} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} \]
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \Rightarrow R_n = n \left( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n – 1 \right) \]
\[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \approx e^{-1} \Rightarrow R_n \approx n(e^{-1} – 1) \to -\infty \Rightarrow R_n < 1 \Rightarrow \text{řada diverguje} \]
32. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln^2(n+1)} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n \ln^2(n+1)} \)
\[ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1) \ln^2(n+2)} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)\ln^2(n+2)}{n \ln^2(n+1)} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(n+1)\ln^2(n+2)}{n \ln^2(n+1)} – 1 \right) \]
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \frac{\ln^2(n+2)}{\ln^2(n+1)} \approx \left(1 + \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}\right)^2 \Rightarrow R_n \to 1 + 0 + 0 = 1 \]
\[ R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
33. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)(\ln(\ln n))} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n(\ln n)(\ln(\ln n))} \)
\[ a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)(\ln(n+1))(\ln(\ln(n+1)))} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)\ln(n+1)\ln(\ln(n+1))}{n\ln(n)\ln(\ln n)} \]
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \ln(n+1) \approx \ln(n) + \frac{1}{n}, \quad \ln(\ln(n+1)) \approx \ln(\ln n) + \frac{1}{n\ln n} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( (1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{1}{n\ln n})(1 + \frac{1}{n\ln n \ln(\ln n)}) – 1 \right) \Rightarrow R_n \to 1 \Rightarrow \text{řada konverguje velmi pomalu} \]
34. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n^2+1)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n}{(n^2+1)^2} \)
\[ a_{n+1} = \frac{n+1}{((n+1)^2+1)^2} = \frac{n+1}{(n^2+2n+2)^2} \]
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n(n^2+2n+2)^2}{(n+1)(n^2+1)^2} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
\[ R_n \approx n \left( \frac{n(n^4 + 4n^3 + \ldots)}{(n+1)(n^4 + 2n^2 + 1)} – 1 \right) \Rightarrow R_n \to 3 \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
35. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n!} \)
\[ a_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{2 \cdot 2^n}{(n+1)n!} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)n!}{2 \cdot 2^n} = \frac{n+1}{2} \]
\[ R_n = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \left( \frac{n-1}{2} \right) = \frac{n(n-1)}{2} \Rightarrow R_n \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
36. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \right)^2 \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
Použijeme aproximace: \( \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \), \( \ln(n+1) \approx \ln(n) + \frac{1}{n} \)
\[ \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \approx \frac{\ln(n)}{\ln(n) + \frac{1}{n}} = 1 – \frac{1}{n \ln(n)} + o\left(\frac{1}{n \ln(n)}\right) \]
\[ \left(1 – \frac{1}{n \ln(n)}\right)^2 \approx 1 – \frac{2}{n \ln(n)} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 – \frac{2}{n \ln(n)}\right) \]
\[ \approx 1 + \frac{1}{n} – \frac{2}{n \ln(n)} \Rightarrow R_n \approx n \left( \frac{1}{n} – \frac{2}{n \ln(n)} \right) = 1 – \frac{2}{\ln(n)} \Rightarrow R_n \to 1^- \]
Protože \( R_n < 1 \) pro dostatečně velká \( n \), řada diverguje.
37. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(n+1)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Úpravou: \( a_n = \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+2}{n+1} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n+2}{n+1} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n+1} \right) = \frac{n}{n+1} \Rightarrow R_n \to 1^- \]
Protože \( R_n < 1 \), řada diverguje.
38. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{(n+1)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^2}{(n+1)^3} \)
\[ a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{(n+2)^3} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^2}{(n+1)^3} \cdot \frac{(n+2)^3}{(n+1)^2} = \frac{n^2 (n+2)^3}{(n+1)^5} \]
\[ R_n = n \left( \frac{n^2 (n+2)^3}{(n+1)^5} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \): \( (n+2)^3 \approx n^3 + 6n^2 \), \( (n+1)^5 \approx n^5 + 5n^4 \)
\[ \frac{n^2 (n+2)^3}{(n+1)^5} \approx \frac{n^2 (n^3 + 6n^2)}{n^5 + 5n^4} = \frac{n^5 + 6n^4}{n^5 + 5n^4} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1 + \frac{6}{n}}{1 + \frac{5}{n}} \approx 1 + \frac{1}{n} \]
\[ R_n \approx n \left( 1 + \frac{1}{n} – 1 \right) = 1 \Rightarrow R_n \to 1 \]
Raabeovo kritérium zde není průkazné, ale provedeme přesnější odhad:
Přesným výpočtem: \[ R_n = n \left( \frac{n^2(n+2)^3}{(n+1)^5} – 1 \right) = n \left( \frac{n^2(n^3 + 6n^2 + 12n + 8)}{n^5 + 5n^4 + \cdots} – 1 \right) \Rightarrow R_n \to 1^- \]
Kritérium tedy opět indikuje divergenci.
39. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3 + 2}{n^4 + n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3 + 2}{n^4 + n} \)
Pro velká \( n \) máme \( a_n \approx \frac{n^3}{n^4} = \frac{1}{n} \Rightarrow \text{podezření na divergenci}\)
Spočteme Raabeovo kritérium:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^3 + 2}{(n+1)^3 + 2} \cdot \frac{(n+1)^4 + (n+1)}{n^4 + n} \]
Pro velká \( n \): \( a_n \approx \frac{1}{n} \), takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{n}{n+1} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{n}{n+1} – 1 \right) = -1 \Rightarrow R_n < 1 \Rightarrow \text{řada diverguje} \]
40. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \cdot \frac{\ln(\ln n)}{\ln(\ln(n+1))} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \): \[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n},\quad \frac{\ln(n)}{\ln(n+1)} \approx 1 – \frac{1}{n \ln n},\quad \frac{\ln(\ln n)}{\ln(\ln(n+1))} \approx 1 – \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)} \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(1 + \frac{1}{n} \right) \left(1 – \frac{1}{n \ln n} \right) \left(1 – \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)} \right) \]
\[ \approx 1 + \frac{1}{n} – \frac{1}{n \ln n} – \frac{1}{n \ln n \ln(\ln n)} \Rightarrow R_n \approx 1 – \frac{1}{\ln n} – \frac{1}{\ln n \ln(\ln n)} \Rightarrow R_n < 1 \Rightarrow \text{řada diverguje} \]
41. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Potřebujeme spočítat \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) \cdot n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n}. \]
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n. \]
Pro velké \( n \) platí \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e. \]
Raabeovo kritérium je \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right). \]
Pro lepší aproximaci použijeme exponenciální rozvoj: \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{n \ln(1 + \frac{1}{n})}. \] \[ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + \frac{1}{3 n^3} – \cdots \] \[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 – \frac{1}{2n} + \frac{1}{3 n^2} – \cdots \Rightarrow \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{1 – \frac{1}{2n} + \cdots} = e \cdot e^{-\frac{1}{2n} + \cdots}. \]
Rozepíšeme exponent: \[ e^{-\frac{1}{2n} + \cdots} = 1 – \frac{1}{2n} + \cdots \] tedy \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \left(1 – \frac{1}{2n} + \cdots \right) = e – \frac{e}{2n} + \cdots \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 = (e – 1) – \frac{e}{2n} + \cdots \] \[ R_n = n \left( (e – 1) – \frac{e}{2n} + \cdots \right) = n (e – 1) – \frac{e}{2} + \cdots \to +\infty. \]
Protože \( R_n \to +\infty > 1 \), řada \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \] konverguje podle Raabeova kritéria.
42. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p} \), kde \( p > 1 \), pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{1}{n (\ln n)^p}. \] Potřebujeme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^p}}{\frac{1}{(n+1) (\ln(n+1))^p}} = \frac{(n+1) (\ln(n+1))^p}{n (\ln n)^p} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^p. \]
Pro velké \( n \) platí \[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \] a aproximace logaritmu \[ \ln(n+1) = \ln n + \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \ln n + \frac{1}{n}. \] Tedy \[ \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right). \]
Potom \[ \left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^p = \left( 1 + \frac{1}{n \ln n} \right)^p \approx 1 + \frac{p}{n \ln n}. \]
Dosadíme do poměru: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{p}{n \ln n}\right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{p}{n \ln n} + \frac{p}{n^2 \ln n}. \]
Raabeovo kritérium je \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n} + \frac{p}{n \ln n} + \cdots \right) = 1 + \frac{p}{\ln n} + \cdots \to 1, \] kde vedlejší členy jdou k nule.
Protože \( R_n \to 1 \), ale Raabeovo kritérium přímo nerozhoduje, použijeme silnější odhad. Vzhledem k tomu, že pro \( p > 1 \) je řada \[ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p} \] známá jako konvergentní (je to modifikovaná Dirichletova řada), doplníme rozbor na základě mírné úpravy:
Vylepšený odhad rozdílu \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n} + \frac{p}{n \ln n} + \cdots \right) = 1 + \frac{p}{\ln n} + \cdots > 1 \] pro dostatečně velké \( n \) a \( p > 1 \).
Tedy \[ \exists N: \forall n > N, \quad R_n > 1, \] a podle Raabeova kritéria řada konverguje.
43. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \] Potřebujeme spočítat \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}}. \]
Rozepíšeme faktoriál \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}. \]
Zbývá vyjádřit \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n. \]
Pro velké \( n \) platí \[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{n \ln \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)} \approx e^{-n \frac{1}{n+1}} \approx e^{-1 + \frac{1}{n+1}}. \]
Tedy \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \approx \frac{1}{n+1} e^{-1} e^{\frac{1}{n+1}} \approx \frac{e^{-1}}{n+1} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right). \]
Dosadíme zpět: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right). \] \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2, \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} \cdot \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right). \]
Pro velké \( n \) platí \[ \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = 4n + 2 + \frac{0}{n+1} \approx 4n + 2, \] a \[ 1 + \frac{1}{n+1} \approx 1. \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} (4n + 2). \]
Raabeovo kritérium je \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n (e^{-1} (4n + 2) – 1) = 4 e^{-1} n^2 + 2 e^{-1} n – n. \]
Pro \( n \to \infty \) dominující člen je \( 4 e^{-1} n^2 \to +\infty \), tedy \[ R_n \to +\infty > 1, \] což znamená, že řada konverguje podle Raabeova kritéria.
44. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \, 5^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{3^n}{n! \, 5^n}. \] Potřebujeme spočítat \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! 5^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! 5^{n+1}}} = \frac{3^n}{n! 5^n} \cdot \frac{(n+1)! 5^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}}. \]
Upravíme: \[ = (n+1) \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} (n+1). \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{5}{3} (n+1) – 1 \right) = n \left( \frac{5}{3} n + \frac{5}{3} – 1 \right) = \frac{5}{3} n^2 + n \left( \frac{5}{3} – 1 \right). \]
Pro \( n \to \infty \) vede hlavní člen \( \frac{5}{3} n^2 \to +\infty \), tedy \[ R_n \to +\infty > 1, \] což znamená, že řada konverguje podle Raabeova kritéria.
45. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vypočteme poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Raabeovo kritérium definuje hodnotu
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Víme, že \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), tedy
\[ R_n \to \infty \cdot (e – 1) = +\infty \]
Jelikož \( R_n \to +\infty > 1 \), podle Raabeova kritéria řada konverguje absolutně.
46. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! 5^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! 5^n} \).
Vypočteme poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! 5^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! 5^{n+1}}} = \frac{3^n}{n! 5^n} \cdot \frac{(n+1)! 5^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} = (n+1) \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{5}{3} (n+1) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{5}{3} (n+1) – 1 \right) = n \left( \frac{5}{3} n + \frac{5}{3} – 1 \right) = \frac{5}{3} n^2 + n \left(\frac{5}{3} – 1\right) \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( R_n \to +\infty > 1 \), takže řada konverguje.
47. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Vypočteme poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} \]
\[ = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \]
Upravíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \]
Pro velká \( n \) platí \(\left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \approx e^{-1}\).
Výraz lze aproximovat jako
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = (2n+1) \cdot 2 \cdot e^{-1} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( 2(2n+1) e^{-1} – 1 \right) = n \left( \frac{4n + 2}{e} – 1 \right) \]
Pro velké \( n \) dominuje \(\frac{4n}{e}\), takže \( R_n \to +\infty > 1 \).
Řada tedy konverguje.
48. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 2^n}{(3n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n! \cdot 2^n}{(3n)!} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 2^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)! 2^{n+1}}{(3n+3)!}} = \frac{n! 2^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)! 2^{n+1}} = \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{2^n}{2^{n+1}} \]
\[ = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{1} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2 (n+1)} \]
Pro velká \( n \):
\[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad 2 (n+1) \sim 2n \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{27 n^3}{2 n} = \frac{27}{2} n^2 \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \sim n \left( \frac{27}{2} n^2 – 1 \right) = \frac{27}{2} n^3 – n \to +\infty > 1 \]
Řada tedy konverguje.
49. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{3^n} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3}{3^n}}{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}} = \frac{n^3}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^3} = 3 \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3} = 3 \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 \]
Upravíme:
\[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^3 \approx 1 – \frac{3}{n+1} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 3 \left(1 – \frac{3}{n+1}\right) – 1 \right) = n \left( 3 – \frac{9}{n+1} – 1 \right) = n \left( 2 – \frac{9}{n+1} \right) \]
Pro velké \( n \) platí \( R_n \to +\infty > 1 \), řada konverguje.
50. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \).
Vypočteme poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}}{\frac{(2n+2)!}{4^{n+1} ((n+1)!)^2}} = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \cdot \frac{4^{n+1} ((n+1)!)^2}{(2n+2)!} = 4 \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \]
\[ = 4 (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{4 (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \]
Po úpravě:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4 (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{4 (n+1)^2}{2 (n+1)(2n+1)} = \frac{2 (n+1)}{2n+1} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{2 (n+1)}{2n+1} – 1 \right) = n \left( \frac{2n + 2 – (2n + 1)}{2n+1} \right) = n \cdot \frac{1}{2n+1} \]
Pro \( n \to \infty \):
\[ R_n \to \frac{n}{2n+1} \to \frac{1}{2} < 1 \]
Raabeovo kritérium říká, že pokud \( R_n < 1 \), řada divergí.
Řada tedy diverguje.
51. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Pro Raabeovo kritérium potřebujeme spočítat
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
Nejdříve vyjádříme podíl \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1) n! / n!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
Podíl lze upravit jako
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]
Známý limit \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = e \) nám říká, že pro velká \( n \) je
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e – \text{posloupnost je rostoucí k } e \]
Pak
\[ R_n = n \left( \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right) \approx n(e – 1) \Rightarrow \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro velká } n \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně} \]
52. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! n^n} \).
Vypočteme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n! n^n} \cdot \frac{(n+1)! (n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{3} \]
Upravíme faktoriály:
\[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \]
Celkově tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n+1}{3} \cdot (n+1)^n \cdot n^{-n} \]
Rozepíšeme mocniny:
\[ (n+1)^n = n^n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \Rightarrow \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Pro velká \( n \) platí \( (1 + \frac{1}{n})^n \to e \), a \( \frac{n+1}{3} \sim \frac{n}{3} \). Takže
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{n}{3} e \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{n}{3} e – 1 \right) = \frac{e}{3} n^2 – n \]
Tedy \( R_n \to +\infty \) a platí \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \( n \), což znamená
\[ \text{řada konverguje absolutně} \]
53. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Potřebujeme spočítat
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)! (n+1)^{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \]
Upravíme poslední zlomek:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \]
Pro velká \( n \) platí aproximace:
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = \exp\left( n \ln\left(1 – \frac{1}{n+1}\right) \right) \approx \exp\left(-\frac{n}{n+1} – \frac{n}{2(n+1)^2}\right) \approx e^{-1} \]
Tedy
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \approx \frac{e^{-1}}{n+1} \]
Dosadíme zpět:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = e^{-1} (2n+1) 2 = 2 e^{-1} (2n+1) \approx \frac{4n}{e} \]
Pak
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left(\frac{4n}{e} – 1 \right) = \frac{4}{e} n^2 – n \Rightarrow R_n \to +\infty \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně} \]
54. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 2^n}{(3n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n! 2^n}{(3n)!} \).
Vypočteme podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 2^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)! 2^{n+1}}{(3(n+1))!}} = \frac{n! 2^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)! 2^{n+1}} = \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{2} \]
Rozepíšeme faktoriály:
\[ \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1), \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \]
Celkem tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2 (n+1)} = \frac{27 n^3 + \text{nižší řády}}{2 (n+1)} \]
Pro velká \( n \) je
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{27 n^3}{2 n} = \frac{27}{2} n^2 \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{27}{2} n^2 – 1 \right) = \frac{27}{2} n^3 – n \Rightarrow R_n \to +\infty \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně} \]
55. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{e^{n} n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{e^{n} n!} \).
Vypočteme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{e^{n} n!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{e^{n+1} (n+1)!}} = \frac{n^n}{e^n n!} \cdot \frac{e^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} = e \cdot \frac{n^n (n+1)!}{n! (n+1)^{n+1}} \]
Upravíme faktoriály:
\[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \]
Takže
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = e (n+1) \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = e (n+1) \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = e \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \]
Pro velká \( n \) platí
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{n \ln\left(1 – \frac{1}{n+1}\right)} \approx e^{-\frac{n}{n+1}} \to e^{-1} \]
Tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \to e \cdot e^{-1} = 1 \]
Pro Raabeovo kritérium spočítáme přesnější odhad:
\[ \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = n \ln \left(1 – \frac{1}{n+1}\right) \approx n \left( -\frac{1}{n+1} – \frac{1}{2 (n+1)^2} \right) = -\frac{n}{n+1} – \frac{n}{2 (n+1)^2} \]
\[ \approx -1 + \frac{1}{n+1} – \frac{1}{2 n} \quad \Rightarrow \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \approx e^{-1} \left(1 + \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n} \right) = e^{-1} \left(1 + \frac{1}{2 n} \right) \]
Tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e \cdot e^{-1} \left(1 + \frac{1}{2 n}\right) = 1 + \frac{1}{2 n} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx \frac{1}{2} \]
Protože \( R_n \to \frac{1}{2} < 1 \), Raabeovo kritérium říká, že řada diverguje.
56. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vypočteme podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1) n! / n!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1) n} = \frac{(n+1)^n}{n^n n} \]
Protože \((n+1)^n = n^n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\), máme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{n^n n} = \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{n} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{n} – 1 \right) = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – n \]
Limita \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \), tedy
\[ R_n \sim e – n \to -\infty \Rightarrow R_n < 1 \quad \text{pro dostatečně velké } n \Rightarrow \text{řada diverguje} \]
57. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Vypočteme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)! (n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+1}} \]
Vyjádříme \((n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1)\), takže
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \]
Využijeme aproximace \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1}\).
Takže
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} e^{-1} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} e^{-1} \Rightarrow \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = 4n + 2 + \frac{0}{n+1} \]
Proto
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1}(4n + 2) – 1 \right) \]
Pro velké \(n\) dominující člen je \(4n e^{-1}\), který roste k nekonečnu, tedy
\[ R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
58. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \).
Vypočteme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{(3n)!}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3n+3)!}} = \frac{2^n n!}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{2^{n+1} (n+1)!} = \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{2} \]
Víme, že \((3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!\) a \((n+1)! = (n+1)n!\), proto
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{n+1} \cdot \frac{1}{2} \]
Raabeovo kritérium dává
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2(n+1)} – 1 \right) \]
Počítejme limitu pro \(n \to \infty\):
\[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) = 27 n^3 + \text{nižší řády} \Rightarrow \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2(n+1)} \sim \frac{27 n^3}{2 n} = \frac{27}{2} n^2 \]
Tedy
\[ R_n \sim n \left( \frac{27}{2} n^2 – 1 \right) = \frac{27}{2} n^3 – n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
59. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{3^n} \).
Vypočteme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3}{3^n}}{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}} = \frac{n^3}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^3} = 3 \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3} \]
Využijeme, že \(\frac{n^3}{(n+1)^3} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^3 = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^3 \approx 1 – \frac{3}{n+1}\).
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 3 \left(1 – \frac{3}{n+1} \right) – 1 \right) = n \left( 3 – \frac{9}{n+1} – 1 \right) = n \left( 2 – \frac{9}{n+1} \right) \]
Pro velké \(n\) platí
\[ R_n \approx n \left( 2 – \frac{9}{n} \right) = 2n – 9 \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
60. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \).
Vypočteme podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}{\frac{((n+1)!)^2}{(2n+2)!}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2} \]
Víme, že \((2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!\) a \((n+1)! = (n+1)n!\), tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^2 (n!)^2} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} – 1 \right) \]
Po rozvoji:
\[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2, \quad (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \Rightarrow \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 2n + 1} \]
Dělením člen po členě:
\[ \frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 2n + 1} = 4 + \frac{-2n – 2}{n^2 + 2n + 1} = 4 – \frac{2(n+1)}{(n+1)^2} = 4 – \frac{2}{n+1} \]
Tedy
\[ R_n = n \left( 4 – \frac{2}{n+1} – 1 \right) = n \left( 3 – \frac{2}{n+1} \right) = 3n – \frac{2n}{n+1} \to 3n – 2 = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
61. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Potřebujeme vypočítat
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Raabeovo kritérium vyžaduje
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Víme, že \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), takže pro velká \(n\) platí
\[ R_n \approx n (e – 1) \]
Protože \(e – 1 \approx 1.718 > 0\), tak
\[ R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
62. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Potřebujeme poměr
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1) \]
Upravíme zlomek s mocninami:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \]
Pro velká \(n\) platí
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = \exp\left(n \ln\left(1 – \frac{1}{n+1}\right)\right) \approx \exp\left(n \left(-\frac{1}{n+1} – \frac{1}{2(n+1)^2}\right)\right) \approx e^{-1} \]
Dosadíme zpět do výrazu pro poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{n+1} e^{-1} (2n+2)(2n+1) = e^{-1} \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \]
Zjednodušení zlomku:
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = (2n+1) \cdot 2 = 4n + 2 \]
Proto
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} (4n + 2) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1}(4n + 2) – 1 \right) \]
Pro velká \(n\) dominují členy s \(n^2\), takže
\[ R_n \sim n \cdot 4n e^{-1} = \frac{4}{e} n^2 \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
63. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! n^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! n^2} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! n^2}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^2}} = \frac{3^n}{n! n^2} \cdot \frac{(n+1)! (n+1)^2}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{1}{3} (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \]
Rozepíšeme mocninu:
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{3}(n+1)\left(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right) – 1 \right) \]
Vyjádříme výraz uvnitř závorky:
\[ \frac{1}{3}(n+1)\left(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{3}(n+1) \left(\frac{n^2 + 2n + 1}{n^2}\right) = \frac{1}{3}(n+1) \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{(n+1)^3}{3 n^2} \]
Proto
\[ R_n = n \left(\frac{(n+1)^3}{3 n^2} – 1\right) = n \left( \frac{(n+1)^3 – 3 n^2}{3 n^2} \right) = \frac{n}{3 n^2} \left( (n+1)^3 – 3 n^2 \right) = \frac{1}{3 n} \left(n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1 – 3 n^2\right) \]
\[ = \frac{1}{3 n} (n^3 + 3 n + 1) = \frac{n^3}{3 n} + \frac{3 n}{3 n} + \frac{1}{3 n} = \frac{n^2}{3} + 1 + \frac{1}{3 n} \]
Pro \(n \to \infty\) platí
\[ R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
64. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^{n} n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{2^n n^n} \).
Vypočítáme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{2^n n^n}}{\frac{(n+1)!}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{2^n n^n} \cdot \frac{2^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = 2 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = 2 \cdot \frac{1}{n+1} (n+1)^{n+1} n^{-n} \]
Upravíme:
\[ (n+1)^{n+1} n^{-n} = (n+1)^n (n+1) n^{-n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Poměr tedy je
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 2 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 2 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Víme, že \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), tedy pro velká \(n\):
\[ R_n \approx n (2 e – 1) \]
Protože \(2e – 1 > 0\), platí
\[ R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
65. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(3n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(3n)!} \).
Potřebujeme poměr
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(3n+3)!}} = \frac{n^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \]
Výraz \(\frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+1)(3n+2)(3n+3)\).
Upravíme zlomky s mocninami:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \]
Pro velká \(n\) platí
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} + o(1) \]
Dosadíme do poměru
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{n+1} e^{-1} (3n+1)(3n+2)(3n+3) \]
Zjednodušení:
\[ \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{n+1} = \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{n+1} \]
Pro velká \(n\) přibližně:
\[ (3n+1)(3n+2)(3n+3) \approx 27 n^3, \quad n+1 \approx n \Rightarrow \frac{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}{n+1} \approx 27 n^2 \]
Proto
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} \cdot 27 n^2 \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n (e^{-1} 27 n^2 – 1) \sim 27 e^{-1} n^3 \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
66. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vypočteme poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
Protože \( (n+1)^n = \left(n \left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)^n = n^n \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \), máme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Raabeovo kritérium vyžaduje spočítat
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1\right). \]
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \), proto
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} n ( (1 + \frac{1}{n})^n – 1) = \lim_{n \to \infty} n (e^{\ln(1 + \frac{1}{n})^n} – 1). \]
Připomeňme si rozvoj \( (1 + \frac{1}{n})^n = e^{n \ln(1 + \frac{1}{n})} \). Pro \( \ln(1 + x) \approx x – \frac{x^2}{2} \) při malém \( x \) dostaneme:
\[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx n \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2}\right) = 1 – \frac{1}{2n}. \]
Tedy
\[ (1 + \frac{1}{n})^n \approx e^{1 – \frac{1}{2n}} = e \cdot e^{-\frac{1}{2n}} \approx e \left(1 – \frac{1}{2n}\right). \]
Dosadíme do \( R_n \):
\[ R_n \approx n \left(e \left(1 – \frac{1}{2n}\right) – 1\right) = n \left(e – 1 – \frac{e}{2n}\right) = n(e – 1) – \frac{e}{2}. \]
Protože \( e – 1 > 0 \), máme \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) pro dostatečně velké \( n \).
Závěr:
\[ \text{Řada } \sum \frac{n!}{n^n} \text{ konverguje podle Raabeova kritéria.} \]
67. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Vypočteme \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}}. \]
Protože \( (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \), máme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+1}}. \]
Převedeme na tvar
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)}. \]
Proto
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n – 1 \right). \]
Zaměříme se na asymptotiku:
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = 4n + 2 + \frac{2}{n+1}. \]
Pro limitu bude dominovat \( 4n + 2 \).
Podívejme se na \( \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-\frac{n}{n+1}} \to e^{-1} \) pro \( n \to \infty \).
Tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (4n + 2) \cdot e^{-1}. \]
Proto
\[ R_n \approx n \left( (4n + 2) e^{-1} – 1 \right) = n \left(4n e^{-1} + 2 e^{-1} – 1 \right). \]
Pro velké \( n \) dominující člen je \( 4n^2 e^{-1} \), tedy \( R_n \to +\infty \).
Závěr:
\[ \text{Řada } \sum \frac{n^n}{(2n)!} \text{ konverguje podle Raabeova kritéria.} \]
68. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n!}{n^{2n}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n n!}{n^{2n}} \).
Vypočteme poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n n!}{n^{2n}}}{\frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{2(n+1)}}} = \frac{3^n n!}{n^{2n}} \cdot \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{3^{n+1} (n+1)!} = \frac{1}{3} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{n^{2n}}. \]
Protože \( \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \), máme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{3 (n+1)} (n+1)^{2(n+1)} n^{-2n} = \frac{1}{3 (n+1)} (n+1)^{2n + 2} n^{-2n}. \]
Upravíme na
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^2}{3 (n+1)} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} = \frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}. \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} – 1 \right). \]
Využijeme limitu \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \), proto
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} = \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\right)^2 \to e^2. \]
Proto
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{n}{3} e^2, \quad \Rightarrow R_n \sim n \left( \frac{n}{3} e^2 – 1 \right) \sim \frac{e^2}{3} n^2 \to +\infty. \]
Závěr:
\[ \text{Řada } \sum \frac{3^n n!}{n^{2n}} \text{ konverguje podle Raabeova kritéria.} \]
69. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \] \[ = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \] \[ R_n = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \] \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \Rightarrow \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} n(e – 1) – n = \infty \] protože \(e-1 > 1\), tak \(R_n \to \infty > 1\). \[ \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
70. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} \] \[ R_n = n \left(\frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \left(\frac{n-1}{2}\right) = \frac{n(n-1)}{2} \] \[ \lim_{n \to \infty} R_n = \infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
71. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot (2n+2)(2n+1) \] \[ = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} \cdot (2n+2)(2n+1) = \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \] \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1} \] \[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = 4n + 2 + \frac{2}{n+1} \] \[ R_n = n \left( e^{-1} (4n + 2 + o(1)) – 1 \right) \approx n (4n e^{-1} – 1) \] \[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
72. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3 n^n 3} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{2} n^n} \] \[ = \frac{(n+1)^{n}}{n^n} \cdot \frac{n+1}{9} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{n+1}{9} \] \[ R_n = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \frac{n+1}{9} – 1 \right) \] \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e, \quad \frac{n+1}{9} \sim \frac{n}{9} \] \[ R_n \sim n \left( e \frac{n}{9} – 1 \right) = \frac{e}{9} n^2 – n \] \[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
73. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{5^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{5^n}}{\frac{(n+1)!}{5^{n+1}}} = \frac{n!}{5^n} \cdot \frac{5^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{5}{n+1} \] \[ R_n = n \left( \frac{5}{n+1} – 1 \right) = n \left( \frac{5 – (n+1)}{n+1} \right) = \frac{n(4 – n)}{n+1} \] Pro velká \( n \) platí \( R_n \approx 4 – n \to -\infty \). \[ \Rightarrow R_n < 1 \Rightarrow \text{řada diverguje.} \]
74. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{n/2}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^{n/2}} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^{-(n/2)}}{(n+1)^{-(n+1)/2}} = \frac{(n+1)^{(n+1)/2}}{n^{n/2}} = (n+1)^{1/2} \cdot \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n/2} \] \[ = \sqrt{n+1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n/2} \] \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \Rightarrow \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n/2} \to e^{1/2} = \sqrt{e} \] \[ R_n = n \left(\sqrt{n+1} \sqrt{e} – 1 \right) \sim n \sqrt{e} \sqrt{n} = \sqrt{e} \, n^{3/2} \to +\infty > 1 \] \[ \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
75. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{3^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3}{3^n}}{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}} = \frac{n^3}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^3} = 3 \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 \] \[ R_n = n \left(3 \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^3 – 1 \right) \] \[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^3 = 1 – \frac{3}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2} – \frac{1}{(n+1)^3} \] \[ R_n = n \left(3 \left(1 – \frac{3}{n+1} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right) – 1 \right) = n \left(3 – \frac{9}{n+1} – 1 + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \] \[ = n \left(2 – \frac{9}{n+1} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = 2n – 9 + o(1) \to +\infty > 1 \] \[ \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
76. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}}{\frac{(2n+2)!}{4^{n+1} ((n+1)!)^2}} = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \cdot \frac{4^{n+1} ((n+1)!)^2}{(2n+2)!} = 4 \cdot \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \] \[ = 4 (n+1)^2 \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = \frac{4 (n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \] \[ = \frac{4 (n+1)^2}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{2(n+1)}{2n+1} \] \[ R_n = n \left( \frac{2(n+1)}{2n+1} – 1 \right) = n \left( \frac{2(n+1) – (2n+1)}{2n+1} \right) = n \cdot \frac{2n + 2 – 2n – 1}{2n+1} = \frac{n}{2n+1} \] \[ \lim_{n \to \infty} R_n = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \text{řada diverguje.} \]
77. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vypočítáme podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]
Potom Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right). \]
Víme, že \(\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e\), proto:
\[ R_n \approx n (e – 1) \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro dostatečně velké } n \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně} \]
78. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)(\ln (n+1))^3}{n (\ln n)^3} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \right)^3 \]
Použijeme aproximace pro \(n \to \infty\):
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \ln (n+1) = \ln n + \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \Rightarrow \frac{\ln (n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
\[ \left( \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \right)^3 = \left(1 + \frac{1}{n \ln n}\right)^3 \approx 1 + \frac{3}{n \ln n} \]
Proto:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{3}{\ln n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} R_n = 1 \]
Protože limit \(R_n \to 1\), Raabeovo kritérium by samo o sobě nestačilo, ale z výrazu vidíme, že \(R_n > 1\) pro dostatečně velké \(n\), a vzhledem k rychlosti poklesu řady víme, že řada konverguje (z integralního testu nebo jiných zdrojů). Zde však Raabeovo kritérium indikuje konvergenci.
79. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Vypočítáme podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1) \]
Zapišme:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{n+1} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \]
Použijeme limitu:
\[ \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = e^{-1} \cdot \left(1 – \frac{1}{2(n+1)} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \]
Proto podíl je:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{n+1} e^{-1} (2n+2)(2n+1) = e^{-1} \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \]
Upravíme:
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{n+1} = 2(2n+1) = 4n + 2 \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1} (4n + 2) – 1 \right) = 4 e^{-1} n^2 + 2 e^{-1} n – n \]
Pro velké \(n\) dominuje člen \(4 e^{-1} n^2\), který jde do nekonečna.
\[ \Rightarrow R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně} \]
80. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! \sqrt{n}}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! \sqrt{n+1}}} = \frac{3^n}{n! \sqrt{n}} \cdot \frac{(n+1)! \sqrt{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1) \sqrt{n+1}}{3 \sqrt{n}} = \frac{n+1}{3} \sqrt{\frac{n+1}{n}} \]
Pro \( n \to \infty \):
\[ \sqrt{\frac{n+1}{n}} = \sqrt{1 + \frac{1}{n}} \approx 1 + \frac{1}{2n} \]
Proto:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{n+1}{3} \left( 1 + \frac{1}{2n} \right) = \frac{n}{3} + \frac{1}{3} + \frac{n+1}{6n} \approx \frac{n}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{n}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} – 1 \right) = n \left( \frac{n}{3} – \frac{1}{2} \right) = \frac{n^2}{3} – \frac{n}{2} \]
Pro velké \(n\) tedy \(R_n \to +\infty > 1\), takže řada konverguje absolutně.
81. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{4^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{4^n} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3}{4^n}}{\frac{(n+1)^3}{4^{n+1}}} = \frac{n^3}{4^n} \cdot \frac{4^{n+1}}{(n+1)^3} = 4 \left( \frac{n}{n+1} \right)^3 = 4 \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^3 \]
Pro velké \( n \):
\[ \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^3 = 1 – \frac{3}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2} – \frac{1}{(n+1)^3} \approx 1 – \frac{3}{n} \]
Podíl je tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 4 \left( 1 – \frac{3}{n} \right) = 4 – \frac{12}{n} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n(4 – \frac{12}{n} – 1) = n(3 – \frac{12}{n}) = 3n – 12 \]
Pro velké \(n\) tedy \(R_n \to +\infty > 1\), řada konverguje absolutně.
82. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n (n+1)^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{5^n (n+1)^n} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{5^n (n+1)^n}}{\frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+2)^{n+1}}} = \frac{n!}{5^n (n+1)^n} \cdot \frac{5^{n+1} (n+2)^{n+1}}{(n+1)!} = 5 \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n (n+1)} \]
Zapišme:
\[ \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{(n+2)^n (n+2)}{(n+1)^n (n+1)} = \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^n \frac{n+2}{n+1} \]
Využijeme limitu:
\[ \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^n = e^{\frac{n}{n+1}} \to e \Rightarrow \left( \frac{n+2}{n+1} \right)^n \approx e \]
Takže podíl přibližně:
\[ 5 \cdot e \cdot \frac{n+2}{n+1} \to 5 e \cdot 1 = 5 e \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n(5 e – 1) \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně} \]
83. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Podíl \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \) je
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Vyjádříme \( R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \):
\[ \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx e \Rightarrow R_n \approx n (e – 1) \]
Jelikož \( e – 1 > 1 \), tedy
\[ R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
84. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)! (n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+1}} \]
Upravíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \]
Protože
\[ (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{1}{n+1} = (2n+2) \frac{2n+1}{n+1} = 2(n+1) \cdot \frac{2n+1}{n+1} = 2(2n+1) = 4n + 2, \]
a
\[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1}, \]
dostaneme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (4n + 2) e^{-1}. \]
Výpočet Raabeova kritéria:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( (4n + 2) e^{-1} – 1 \right) \sim n \cdot 4n e^{-1} = \frac{4n^2}{e} \to +\infty > 1. \]
Řada konverguje absolutně.
85. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! (n+1)} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! (n+1)} \).
Podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! (n+1)}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! (n+2)}} = \frac{3^n}{n! (n+1)} \cdot \frac{(n+1)! (n+2)}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{3} = (n+1) \cdot \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n+2}{3} \]
Výpočet Raabeova kritéria:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+2}{3} – 1 \right) = n \cdot \frac{n-1}{3} = \frac{n(n-1)}{3} \to +\infty > 1. \]
Řada konverguje absolutně.
86. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^2}{2^n n!} \).
Podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^2}{2^n n!}}{\frac{(n+1)^2}{2^{n+1} (n+1)!}} = \frac{n^2}{2^n n!} \cdot \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^2} = 2 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} = 2 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot (n+1) = 2 \cdot \frac{n^2}{n+1} \]
Upravíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 2 \cdot \frac{n^2}{n+1} = 2 n \cdot \frac{n}{n+1} = 2 n \left(1 – \frac{1}{n+1}\right) = 2 n – \frac{2 n}{n+1} \]
Výpočet Raabeova kritéria:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 2 n – \frac{2 n}{n+1} – 1 \right) = n \left( 2 n – 1 – \frac{2 n}{n+1} \right) \]
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} n \left( 2 n – 1 – 2 + \frac{2}{n+1} \right) = \lim_{n \to \infty} n (2 n – 3 + \text{malé}) = +\infty > 1. \]
Řada konverguje absolutně.
87. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n n^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{5^n n^3} \).
Podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{5^n n^3}}{\frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+1)^3}} = \frac{n!}{5^n n^3} \cdot \frac{5^{n+1} (n+1)^3}{(n+1)!} = 5 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = 5 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{n+1} = 5 \cdot \frac{(n+1)^2}{n^3} \]
Upravíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 \cdot \frac{(n+1)^2}{n^3} = 5 \cdot \frac{n^2 + 2 n + 1}{n^3} = 5 \left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 5 \left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right) – 1 \right) = n \left( \frac{5}{n} + \frac{10}{n^2} + \frac{5}{n^3} – 1 \right) = 5 + \frac{10}{n} + \frac{5}{n^2} – n \]
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = -\infty < 1, \]
ale protože Raabeovo kritérium vyžaduje \( R_n > 1 \) pro konvergenci, podívejme se detailněji:
Přepočítáme podíl pozorněji:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 \cdot \frac{(n+1)^2}{n^3} = 5 \cdot \frac{n^2 + 2 n + 1}{n^3} = 5 \left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n^2} + \frac{1}{n^3} \right). \]
Protože \( \frac{1}{n} \to 0 \), pro velké \( n \) je tento výraz velmi malý, tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \approx -1 + \text{malé pozitivní číslo} < 0, \]
tedy \( R_n < 0 < 1 \), což znamená, že řada diverguje.
88. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \frac{(\ln(n+1))^3}{(\ln n)^3} \Rightarrow R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \]
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \quad \text{a} \quad \ln(n+1) = \ln n + \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \Rightarrow \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
\[ \left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^3 = \left(1 + \frac{1}{n \ln n} + \dots \right)^3 = 1 + \frac{3}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{3}{n \ln n} + \dots \right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + \dots \]
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = 1 + \frac{3}{\ln n} + \dots \to 1 \quad \text{ale} \quad \frac{3}{\ln n} \to 0^+ \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro dostatečně velké } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
89. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{(2n)!} \cdot 2^n \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{(2n)!} 2^n \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{(2n)!} 2^n}{\frac{(n+1)!}{(2n+2)!} 2^{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \cdot \frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot (2n+1)(2n+2) \cdot \frac{1}{2} \]
\[ = \frac{(2n+1)(2n+2)}{2(n+1)} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{2(n+1)} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{2n + 2} \]
\[ \Rightarrow R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = n \left( \frac{4n^2 + 6n + 2}{2n + 2} – 1 \right) = n \cdot \frac{4n^2 + 6n + 2 – 2n – 2}{2n + 2} = n \cdot \frac{4n^2 + 4n}{2n + 2} \]
\[ = n \cdot \frac{4n(n+1)}{2(n+1)} = n \cdot 2n = 2n^2 \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro všechna } n \ge 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
90. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n!}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{3^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n+1}{3} \Rightarrow R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = n \left(\frac{n+1}{3} – 1\right) \]
\[ = n \cdot \frac{n-2}{3} = \frac{n(n-2)}{3} \]
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje (absolutně)} \]
91. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 n^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 n^3} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 n^3}}{\frac{(2n+2)!}{4^{n+1} ((n+1)!)^2 (n+1)^3}} = \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{4^{n+1}}{4^n} \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \]
\[ = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \cdot 4 \cdot (n+1)^2 \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \]
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 = 1 + \frac{3}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4 (n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} \left(1 + \frac{3}{n} + \dots \right) \]
\[ \frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{4n^2 + 6n + 2} = \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}} = \frac{1}{4} \left(1 – \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = 4 \cdot \frac{1}{4} \left(1 – \frac{1}{n} \right) \left(1 + \frac{3}{n} \right) = \left(1 – \frac{1}{n}\right)\left(1 + \frac{3}{n}\right) = 1 + \frac{2}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = 2 + O\left(\frac{1}{n}\right) \to 2 > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
92. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n^n}}{\frac{1}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \]
\[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (n+1) e \]
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \approx n (e(n+1) – 1) = n (e n + e – 1) \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro dostatečně velké } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
93. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot (2n+2)(2n+1) \]
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \]
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{n \ln(1 – \frac{1}{n+1})} \approx e^{n(-\frac{1}{n+1} – \frac{1}{2(n+1)^2})} = e^{-1 + O(\frac{1}{n})} = \frac{1}{e} + O\left(\frac{1}{n}\right) \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{1}{e} \cdot (2n+2)(2n+1) + O(1) = \frac{(2n+2)(2n+1)}{e(n+1)} + O(1) \]
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = (2n+1) \cdot 2 = 4n + 2 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{4n + 2}{e} + O(1) \]
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \approx n \left(\frac{4n + 2}{e} – 1\right) \to +\infty \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
94. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vypočítáme podíl \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Raabeovo kritérium vyžaduje výpočet
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = n \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Víme, že \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), tedy
\[ R_n \to \infty \cdot (e – 1) \]
To není přímo limit v klasickém smyslu, proto použijeme rozvoj
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{n \ln(1 + \frac{1}{n})} \approx e^{n(\frac{1}{n} – \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} – \cdots)} = e^{1 – \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} – \cdots} = e \cdot e^{-\frac{1}{2n} + \cdots} \approx e \left(1 – \frac{1}{2n} \right) \]
Tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e \left(1 – \frac{1}{2n} \right) = e – \frac{e}{2n} \Rightarrow R_n = n \left( e – \frac{e}{2n} – 1 \right) = n (e – 1) – \frac{e}{2} \]
Protože \(n(e-1) \to \infty\), platí \(R_n \to +\infty > 1\),
Raabeovo kritérium tedy říká, že řada konverguje absolutně.
95. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n! n^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n! n^2} \).
Vypočítáme podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n! n^2}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^2}} = \frac{2^n}{n! n^2} \cdot \frac{(n+1)! (n+1)^2}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{2} = (n+1) \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{(n+1)^3}{2 n^2} \]
Raabeovo kritérium vyžaduje
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(n+1)^3}{2 n^2} – 1 \right) = n \left( \frac{(n+1)^3 – 2 n^2}{2 n^2} \right) = \frac{n}{2 n^2} \left( (n+1)^3 – 2 n^2 \right) = \frac{1}{2 n} \left( (n+1)^3 – 2 n^2 \right) \]
Rozepíšeme
\[ (n+1)^3 = n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1 \Rightarrow (n+1)^3 – 2 n^2 = n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1 – 2 n^2 = n^3 + n^2 + 3 n + 1 \]
Tedy
\[ R_n = \frac{1}{2 n} \left( n^3 + n^2 + 3 n + 1 \right) = \frac{n^3}{2 n} + \frac{n^2}{2 n} + \frac{3 n}{2 n} + \frac{1}{2 n} = \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2 n} \Rightarrow R_n \to +\infty > 1 \]
Raabeovo kritérium tedy ukazuje, že řada konverguje.
96. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{3^n n^n} \).
Podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{3^n n^n}}{\frac{(n+1)!}{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{3^n n^n} \cdot \frac{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = 3 \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
Protože \(\frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\), platí
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 3 \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Už víme, že \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx e – \frac{e}{2n}\), tedy
\[ R_n \approx n \left( 3 \left( e – \frac{e}{2 n} \right) – 1 \right) = n (3 e – 1) – \frac{3 e}{2} \]
Jelikož \(3 e – 1 > 1\), platí \(R_n \to +\infty > 1\),
řada tedy konverguje podle Raabeova kritéria.
97. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+2}}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}} = n^n \cdot \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{2 n + 2}} \]
Rozepíšeme exponenty:
\[ (n+2)^{n+2} = (n+2)^n (n+2)^2, \quad (n+1)^{2 n + 2} = (n+1)^{2 n} (n+1)^2 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = n^n \cdot \frac{(n+2)^n (n+2)^2}{(n+1)^{2 n} (n+1)^2} = \left(\frac{n (n+2)}{(n+1)^2}\right)^n \cdot \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^2 \]
Vypočítáme limitu prvku v závorce:
\[ \frac{n (n+2)}{(n+1)^2} = \frac{n^2 + 2 n}{n^2 + 2 n + 1} = 1 – \frac{1}{(n+1)^2} \]
Proto
\[ \left(\frac{n (n+2)}{(n+1)^2}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{(n+1)^2}\right)^n \approx e^{- \frac{n}{(n+1)^2}} \approx e^{-\frac{1}{n+1}} \]
a dále
\[ \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^2 = 1 + \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} \]
Tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-\frac{1}{n+1}} \left(1 + \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right) \approx \left(1 – \frac{1}{n+1}\right) \left(1 + \frac{2}{n+1}\right) = 1 + \frac{1}{n+1} – \frac{2}{(n+1)^2} \]
Raabeovo kritérium tedy
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \cdot \frac{1}{n+1} \to 1 \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro dostatečně velké } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
98. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{3^n} \).
Podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3}{3^n}}{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}} = \frac{n^3}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^3} = 3 \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 3 \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 – 1 \right) \]
Rozvineme \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^3\):
\[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^3 = 1 – \frac{3}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2} – \frac{1}{(n+1)^3} \]
Tedy
\[ 3 \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 – 1 = 3 \left( 1 – \frac{3}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2} – \frac{1}{(n+1)^3} \right) – 1 = 3 – \frac{9}{n+1} + \frac{9}{(n+1)^2} – \frac{3}{(n+1)^3} – 1 = 2 – \frac{9}{n+1} + \text{menší členy} \]
Proto
\[ R_n = n \left( 2 – \frac{9}{n+1} + \cdots \right) = 2 n – \frac{9 n}{n+1} + \cdots \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
99. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Podívejme se na poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Vyjádříme \(R_n\):
\[ R_n = n \left( \left( \frac{n+1}{n} \right)^n – 1 \right) = n \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right) \]
Známý limit: \(\lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), tedy pro velká \(n\):
\[ R_n \approx n (e – 1) \]
Protože \(e-1 > 1\), tak \(R_n \to +\infty > 1\), tedy podle Raabeova kritéria řada konverguje absolutně.
100. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Vypočteme \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1) \]
Zjednodušíme zlomek s mocninami:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{n+1} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \]
Pro velká \(n\) platí:
\[ \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \approx e^{-1} \]
Proto přibližně:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{n+1} e^{-1} (2n+2)(2n+1) = e^{-1} \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \]
Vyjádříme \(R_n\):
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1} \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} – 1 \right) \]
Vyvíjíme výraz:
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = 4n + 2 + \frac{2}{n+1} \]
Dosadíme a upravíme:
\[ R_n \approx n \left( e^{-1} (4n + 2 + \frac{2}{n+1}) – 1 \right) = n \left( 4n e^{-1} + 2 e^{-1} + \frac{2 e^{-1}}{n+1} – 1 \right) \]
Dominantní člen je \(4 n^2 e^{-1}\), tedy \(R_n \to +\infty > 1\).
Tedy řada konverguje podle Raabeova kritéria.
101. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{n! \, 4^{3n}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{(3n)!}{n! \, 4^{3n}} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{n! 4^{3n}}}{\frac{(3(n+1))!}{(n+1)! 4^{3(n+1)}}} = \frac{(3n)!}{n! 4^{3n}} \cdot \frac{(n+1)! 4^{3(n+1)}}{(3n+3)!} = \frac{(3n)!}{(3n+3)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot 4^3 = \frac{(n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} \cdot 64 \]
Upravíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{64 (n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} = \frac{64 (n+1)}{27 n^3 + 54 n^2 + 33 n + 6} \]
Pro velká \(n\) platí:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{64 n}{27 n^3} = \frac{64}{27 n^2} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{64}{27 n^2} – 1 \right) = n \left( -1 + \frac{64}{27 n^2} \right) = -n + \frac{64}{27 n} \to -\infty \]
Protože \(R_n \to -\infty < 1\), řada diverguje.
Tento výsledek potvrzuje, že \(R_n < 1\), tedy řada diverguje podle Raabeova kritéria.
102. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n!} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} \]
Vyjádříme \(R_n\):
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \cdot \frac{n-1}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \]
Pro \(n \to \infty\), \(R_n \to +\infty > 1\), tedy řada konverguje podle Raabeova kritéria.
103. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^2}{3^n} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^2}{3^n}}{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}} = \frac{n^2}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} = 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} = 3 \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 \]
Vyjádříme \(R_n\):
\[ R_n = n \left( 3 \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 – 1 \right) = n \left( 3 \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^2 – 1 \right) \]
Vyjádříme \(\left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^2 = 1 – \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\), tedy:
\[ R_n = n \left( 3 \left( 1 – \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} \right) – 1 \right) = n \left( 3 – \frac{6}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2} – 1 \right) = n \left( 2 – \frac{6}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2} \right) \]
Upravíme výraz:
\[ R_n = 2n – \frac{6n}{n+1} + \frac{3n}{(n+1)^2} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} R_n = 2n – 6 + 0 = +\infty \]
Tedy \(R_n \to +\infty > 1\), podle Raabeova kritéria řada konverguje.
104. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{3^n n^n} \).
Vypočítáme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{3^n n^n}}{\frac{(n+1)!}{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{3^n n^n} \cdot \frac{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \]
Zjednodušení faktoriálu:
\[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \]
Dosadíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^n} = 3 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = 3 \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Vyjádříme \(R_n\):
\[ R_n = n \left( 3 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right) \]
Limita známá: \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\), takže:
\[ R_n \approx n (3 e – 1) \]
Protože \(3e – 1 > 1\), tak \(R_n \to +\infty > 1\) a řada podle Raabeova kritéria konverguje.
105. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Potřebujeme vypočítat \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right). \]
Vypočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n. \]
Protože \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \quad \text{pro } n \to \infty, \] máme \[ R_n = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right). \]
Rozvineme \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) pomocí exponenciály: \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{n \ln(1 + \frac{1}{n})}. \] Jelikož \[ \ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \cdots, \] tak \[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = n \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + \frac{1}{3 n^3} – \cdots \right) = 1 – \frac{1}{2 n} + \frac{1}{3 n^2} – \cdots \] a tedy \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{1 – \frac{1}{2 n} + \frac{1}{3 n^2} – \cdots} = e \cdot e^{-\frac{1}{2 n} + \frac{1}{3 n^2} – \cdots} \approx e \left( 1 – \frac{1}{2 n} + \frac{1}{3 n^2} \right). \]
Tedy \[ R_n = n \left( e \left(1 – \frac{1}{2 n} + \frac{1}{3 n^2}\right) – 1 \right) = n (e – 1) – \frac{e}{2} + \frac{e}{3 n} + \cdots \to +\infty, \] protože \(e – 1 > 0\).
Z toho plyne \[ R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje (Raabeovo kritérium)}. \]
106. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Vypočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1). \]
Upravíme \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n. \]
Protože \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = e^{n \ln\left(1 – \frac{1}{n+1}\right)} \approx e^{- \frac{n}{n+1} – \frac{n}{2 (n+1)^2}} \approx e^{-1 + \frac{1}{n+1}}, \] platí pro velké \(n\) \[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \approx e^{-1}. \]
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} (2n+2)(2n+1) = e^{-1} \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1}. \]
Po rozdělení jmenovatele \[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = (2 + \frac{2}{n+1})(2n+1) = 2(2n+1) + \frac{2}{n+1}(2n+1) = 4n + 2 + \frac{4n + 2}{n+1}. \]
Pro velké \(n\) je to přibližně \[ 4n + 2 + 4 + \frac{2}{n+1} = 4n + 6 + \text{malé členy}. \]
Takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} (4n + 6) = 4 e^{-1} n + 6 e^{-1}. \]
Proto \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n (4 e^{-1} n + 6 e^{-1} – 1) = 4 e^{-1} n^2 + n(6 e^{-1} – 1). \]
Tato hodnota diverguje k +∞, takže \[ R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje}. \]
107. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3}. \]
Pak \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1) (\ln (n+1))^3}{n (\ln n)^3} = \frac{n+1}{n} \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3. \]
Pro velké \(n\) platí aproximace \[ \ln(n+1) = \ln n + \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + \cdots, \] tedy \[ \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} + \text{menší členy}. \]
Z toho plyne \[ \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3 = \left( 1 + \frac{1}{n \ln n} \right)^3 \approx 1 + \frac{3}{n \ln n}. \]
Dále \[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}. \]
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + \frac{3}{n^2 \ln n}. \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{3}{\ln n}. \]
Protože \[ \lim_{n \to \infty} R_n = 1, \] klasické Raabeovo kritérium by bylo nejednoznačné, ale vzhledem k tomu, že člen navíc \( \frac{3}{\ln n} \) je kladný a pomalu klesá k nule, lze využít rozšířené verze Raabeova kritéria (tzv. rozšířený Raabe), které říká, že pokud \[ R_n > 1 \quad \text{pro dostatečně velké } n, \] řada konverguje.
Tudíž \[ R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje}. \]
108. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(3n)!}{n! (2n)! 5^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{(3n)!}{n! (2n)! 5^n}. \]
Vypočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3n)!}{n! (2n)! 5^n}}{\frac{(3n+3)!}{(n+1)! (2n+2)! 5^{n+1}}} = \frac{(3n)!}{n! (2n)! 5^n} \cdot \frac{(n+1)! (2n+2)! 5^{n+1}}{(3n+3)!}. \]
Zjednodušení: \[ = 5 \cdot \frac{(3n)! (n+1)! (2n+2)!}{(3n+3)! n! (2n)!} = 5 \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!}. \]
Pomocí faktoriálových vztahů: \[ \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)}, \quad \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \] \[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+1)(2n+2). \]
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 5 \cdot \frac{n+1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} (2n+1)(2n+2). \]
Pro velké \(n\) \[ (3n+1)(3n+2)(3n+3) \approx 27 n^3, \] \[ (2n+1)(2n+2) \approx 4 n^2. \]
Dosadíme: \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 5 \cdot \frac{n}{27 n^3} \cdot 4 n^2 = 5 \cdot \frac{4 n^3}{27 n^3} = \frac{20}{27} \approx 0{,}7407. \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( 0{,}7407 – 1 \right) = n \cdot (-0{,}2593) \to -\infty < 1. \]
Protože \(R_n < 1\), řada diverguje.
109. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{2^n}{n!}. \]
Pak \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}. \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \left( \frac{n-1}{2} \right) = \frac{n(n-1)}{2}. \]
Protože \[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1, \] řada konverguje.
110. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n (n+2)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{3^n (n+2)!} \).
Vyjádříme poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{3^n (n+2)!}}{\frac{(n+1)!}{3^{n+1} (n+3)!}} = \frac{n!}{3^n (n+2)!} \cdot \frac{3^{n+1} (n+3)!}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{(n+3)!}{(n+2)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \]
\[ \frac{(n+3)!}{(n+2)!} = n+3, \quad \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \cdot (n+3) \cdot \frac{1}{n+1} = 3 \cdot \frac{n+3}{n+1} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 3 \frac{n+3}{n+1} – 1 \right) = n \left( \frac{3(n+3) – (n+1)}{n+1} \right) = n \frac{3n + 9 – n – 1}{n+1} = n \frac{2n + 8}{n+1} \]
\[ R_n = \frac{n(2n + 8)}{n+1} = \frac{2n^2 + 8n}{n+1} = \frac{2n^2 + 8n}{n+1} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 8n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2 + 8n}{n+1} \]
Vydělíme čitatele i jmenovatele \( n \):
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 8}{1 + \frac{1}{n}} = \infty \Rightarrow R_n \to \infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
111. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{1}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n! n^n} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n! n^n}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{2^n}{n! n^n} \cdot \frac{(n+1)! (n+1)^{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{2} \]
\[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \quad \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \]
Přepíšeme:
\[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{2} \cdot (n+1) \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{(n+1)^2}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(n+1)^2}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Víme, že \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\).
Proto:
\[ \frac{(n+1)^2}{2} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \sim \frac{n^2}{2} e \quad \text{pro velká } n \Rightarrow R_n \sim n \left( \frac{n^2}{2} e – 1 \right) = \frac{e}{2} n^3 – n \Rightarrow R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
112. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{3} \]
\[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Limita \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\).
Proto:
\[ \frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \sim \frac{n}{3} e \Rightarrow R_n \sim n \left(\frac{n}{3} e – 1\right) = \frac{e}{3} n^2 – n \Rightarrow R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
113. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \), \( n \geq 2 \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^3}}{\frac{1}{(n+1) (\ln(n+1))^3}} = \frac{(n+1) (\ln(n+1))^3}{n (\ln n)^3} = \frac{n+1}{n} \cdot \left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^3 \]
Rozvineme pro velká \( n \):
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \quad \text{a} \quad \ln(n+1) = \ln n + \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \ln n + \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \approx 1 + \frac{1}{n \ln n} \]
\[ \left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^3 \approx \left(1 + \frac{1}{n \ln n}\right)^3 \approx 1 + \frac{3}{n \ln n} \]
Poměr se tedy blíží:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{3}{n \ln n}\right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + \frac{3}{n^2 \ln n} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \approx n \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{3}{\ln n} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} R_n = 1 \]
Protože \( R_n \to 1 \) z hodnot větších než 1, ale nedostáváme přímo \( R_n > 1 \) s pevnou odchylkou, můžeme podrobněji zkoumat chování:
\[ R_n = 1 + \frac{3}{\ln n} > 1 \quad \text{pro všechna } n > e \Rightarrow \text{řada konverguje podle Raabeova kritéria} \]
114. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \]
Rozložíme faktor:
\[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+1)(2n+2) \]
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \]
Pro velká \( n \) platí:
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = \exp\left(n \ln\left(1 – \frac{1}{n+1}\right)\right) \approx \exp\left(-\frac{n}{n+1} – \frac{n}{2 (n+1)^2}\right) \approx e^{-1} \]
Proto:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (2n+1)(2n+2) \]
Rozepíšeme výraz:
\[ (2n+1)(2n+2) = 4n^2 + 6n + 2 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} \cdot \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1} \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \):
\[ \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = 4n + 2 + \frac{0}{n+1} \approx 4n + 2 \Rightarrow R_n \approx n \left( e^{-1} (4n + 2) – 1 \right) = 4 e^{-1} n^2 + 2 e^{-1} n – n \Rightarrow R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
115. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Potřebujeme vypočítat \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right). \]
Nejdříve vyjádříme podíl \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \): \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n. \]
Využijeme aproximaci \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \approx e – \frac{e}{2n} + \frac{11e}{24 n^2} + \cdots \] tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = e – \frac{e}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right). \]
Dosadíme do výrazu pro \( R_n \): \[ R_n = n \left( e – \frac{e}{2n} – 1 + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right) = n (e – 1) – \frac{e}{2} + O\left( \frac{1}{n} \right). \]
Protože \( e – 1 \approx 1.718 > 1 \), platí \[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1, \] což znamená, že řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) konverguje podle Raabeova kritéria.
116. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \).
Podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^3}}{\frac{1}{(n+1) (\ln (n+1))^3}} = \frac{(n+1) (\ln (n+1))^3}{n (\ln n)^3} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \right)^3. \]
Použijeme aproximace \[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \] a \[ \ln(n+1) = \ln n + \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + O\left( \frac{1}{n^3} \right) \Rightarrow \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right). \]
Tedy \[ \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3 = \left( 1 + \frac{1}{n \ln n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right)^3 = 1 + \frac{3}{n \ln n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right). \]
Celkový podíl je \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 + \frac{3}{n \ln n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right). \]
Výraz pro \( R_n \): \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right) = 1 + \frac{3}{\ln n} + O\left( \frac{1}{n} \right). \]
Protože \( \lim_{n \to \infty} R_n = 1 \), ale přístupy k limitě jsou z hodnot větších než 1 (protože \( \frac{3}{\ln n} > 0 \) pro velká \( n \)), kritérium implikuje, že řada diverguje.
V tomto případě Raabeovo kritérium neposkytuje přímý závěr, ale vzhledem k tomu, že \[ R_n > 1 \quad \text{pro dostatečně velké } n, \] řada diverguje.
117. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n!} \).
Podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{n+1}{2}. \]
Výraz pro \( R_n \): \[ R_n = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1 – 2}{2} \right) = n \frac{n-1}{2} = \frac{n (n-1)}{2}. \]
Pro \( n \to \infty \) platí \[ R_n \to +\infty > 1, \] takže řada konverguje podle Raabeova kritéria.
118. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{3^n} \).
Podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3}{3^n}}{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}} = \frac{n^3}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^3} = 3 \left(\frac{n}{n+1}\right)^3. \]
Vyjádříme \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^3\): \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^3 = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^3 = 1 – \frac{3}{n} + \frac{6}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right). \]
Dosadíme do \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \): \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \left( 1 – \frac{3}{n} + \frac{6}{n^2} + \cdots \right) = 3 – \frac{9}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Výraz pro \( R_n \): \[ R_n = n \left( 3 – \frac{9}{n} – 1 + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right) = n (2 – \frac{9}{n} + \cdots) = 2n – 9 + O\left(\frac{1}{n}\right). \]
Protože \( R_n \to +\infty > 1 \), řada konverguje podle Raabeova kritéria.
119. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot (2n+2)(2n+1). \]
Rozepíšeme první zlomek: \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n. \]
Pro velká \( n \) platí \[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \left(1 – \frac{1}{2(n+1)} + \cdots \right). \] Tedy \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{e^{-1}}{n+1} \left(1 – \frac{1}{2(n+1)} + \cdots \right). \]
Člen \( (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \).
Podíl tedy je přibližně \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{e^{-1}}{n+1} \left(1 – \frac{1}{2(n+1)} + \cdots \right)(4n^2 + 6n + 2). \]
Pro velká \( n \) to znamená \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = e^{-1} \cdot \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} \left(1 – \frac{1}{2(n+1)} + \cdots \right). \]
Vyjádříme podíl v závorkách: \[ \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = 4n + 2 + \frac{0}{n+1} = 4n + 2. \] Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = e^{-1} (4n + 2) \left(1 – \frac{1}{2n} + \cdots \right) = e^{-1} (4n + 2) – e^{-1} \cdot 2 + \cdots. \]
Výraz pro \( R_n \): \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1} (4n + 2) – 1 \right) = 4 e^{-1} n^2 + 2 e^{-1} n – n. \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( R_n \to +\infty > 1 \), takže řada konverguje podle Raabeova kritéria.
120. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n! / n^n}{(n+1)! / (n+1)^{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \]
\[ = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right) \]
\[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \quad \Rightarrow \quad R_n \to n (e – 1) \Rightarrow R_n \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro dostatečně velké } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
121. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot n^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot n^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3^n / (n! \cdot n^2)}{3^{n+1} / ((n+1)! \cdot (n+1)^2)} = \frac{(n+1)! \cdot (n+1)^2}{n! \cdot n^2} \cdot \frac{1}{3} \]
\[ = \frac{(n+1) \cdot (n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{(n+1)^3}{3 n^2} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(n+1)^3}{3 n^2} – 1 \right) = n \left( \frac{n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1}{3 n^2} – 1 \right) \]
\[ = n \left( \frac{n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1 – 3 n^2}{3 n^2} \right) = n \frac{n^3 + 3 n + 1}{3 n^2} = \frac{n^4 + 3 n^2 + n}{3 n^2} \]
\[ = \frac{n^4}{3 n^2} + \frac{3 n^2}{3 n^2} + \frac{n}{3 n^2} = \frac{n^2}{3} + 1 + \frac{1}{3 n} \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro velká } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
122. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n / (2n)!}{(n+1)^{n+1} / (2n+2)!} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \]
\[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot (2n+2)(2n+1) \]
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \]
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = \exp\left(n \ln\left(1 – \frac{1}{n+1}\right)\right) \approx \exp\left(n \left(-\frac{1}{n+1} – \frac{1}{2 (n+1)^2}\right)\right) \approx e^{-1} \]
\[ \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (2n+2)(2n+1) = e^{-1} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \]
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = (2n+1) \cdot 2 = 4n + 2 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} (4n + 2) \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n (e^{-1} (4n + 2) – 1) = 4 e^{-1} n^2 + 2 e^{-1} n – n \Rightarrow R_n \to +\infty \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
123. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^n n! / (3n)!}{2^{n+1} (n+1)! / (3n+3)!} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \cdot \frac{1}{2} \]
\[ = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!}{(3n)!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2 (n+1)} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2 (n+1)} – 1 \right) \]
\[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) = 27 n^3 + 54 n^2 + 36 n + 6 \Rightarrow \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2 (n+1)} = \frac{27 n^3 + 54 n^2 + 36 n + 6}{2 n + 2} \]
\[ \approx \frac{27 n^3}{2 n} = \frac{27}{2} n^2 \quad \text{pro velká } n \Rightarrow R_n \approx n \left( \frac{27}{2} n^2 – 1 \right) = \frac{27}{2} n^3 – n \to +\infty \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
124. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^2}{3^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^2 / 3^n}{(n+1)^2 / 3^{n+1}} = \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot 3 = 3 \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 \]
\[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^2 = 1 – \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} \]
\[ R_n = n \left( 3 \left(1 – \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right) – 1 \right) = n \left( 3 – \frac{6}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2} – 1 \right) \]
\[ = n \left( 2 – \frac{6}{n+1} + \frac{3}{(n+1)^2} \right) = 2n – \frac{6 n}{n+1} + \frac{3 n}{(n+1)^2} \]
\[ \frac{6 n}{n+1} = 6 \cdot \frac{n}{n+1} \to 6, \quad \frac{3 n}{(n+1)^2} \to 0 \Rightarrow R_n \to 2 n – 6 + 0 \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro velká } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
125. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3/2}} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)^n \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^{3/2}} \left( \frac{2n}{2n+1} \right)^n \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n^{3/2}} \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n}{\frac{1}{(n+1)^{3/2}} \left(\frac{2(n+1)}{2(n+1)+1}\right)^{n+1}} = \frac{(n+1)^{3/2}}{n^{3/2}} \cdot \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n \cdot \left(\frac{2(n+1)+1}{2(n+1)}\right)^{n+1} \]
\[ = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3/2} \cdot \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n \cdot \left(\frac{2n+3}{2n+2}\right)^{n+1} \]
\[ \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{2n+1}\right)^n \approx e^{- \frac{n}{2n+1}} \approx e^{-\frac{1}{2}} \]
\[ \left(\frac{2n+3}{2n+2}\right)^{n+1} = \left(1 + \frac{1}{2n+2}\right)^{n+1} \approx e^{\frac{n+1}{2n+2}} \approx e^{\frac{1}{2}} \]
\[ \Rightarrow \left(\frac{2n}{2n+1}\right)^n \cdot \left(\frac{2n+3}{2n+2}\right)^{n+1} \approx e^{-\frac{1}{2}} \cdot e^{\frac{1}{2}} = 1 \]
\[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3/2} \approx 1 + \frac{3}{2n} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 1 + \frac{3}{2 n} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx \frac{3}{2} > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
126. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Potřebujeme vypočítat \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right). \]
Nejprve vyjádříme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n}. \]
Protože \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n, \] můžeme použít limitu \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \quad \text{pro} \quad n \to \infty. \]
Pak \[ R_n = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right). \]
Použijeme rozvoj \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{n \ln(1 + \frac{1}{n})}. \] Protože \[ \ln(1 + x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \cdots, \] platí \[ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right). \]
Tedy \[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 – \frac{1}{2 n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \Rightarrow \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{1 – \frac{1}{2 n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)} = e \cdot e^{-\frac{1}{2 n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)}. \]
Rozepíšeme exponenciálu \[ e^{-\frac{1}{2 n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)} = 1 – \frac{1}{2 n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Dosadíme zpět do \(R_n\) \[ R_n = n \left( e \left(1 – \frac{1}{2 n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) – 1 \right) = n \left( e – 1 – \frac{e}{2 n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right). \]
Rozdělíme na členy \[ R_n = n (e – 1) – \frac{e}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right). \]
Protože \( e – 1 > 0 \), platí \[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1, \] což znamená, že podle Raabeova kritéria řada \(\sum a_n\) konverguje absolutně.
127. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n!} \).
Počítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}. \]
Pak \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \left( \frac{n-1}{2} \right) = \frac{n(n-1)}{2}. \]
Limita \[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1, \] tedy řada konverguje podle Raabeova kritéria.
128. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2}. \]
Vypočteme podíl \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^2}}{\frac{1}{(n+1) (\ln(n+1))^2}} = \frac{(n+1)(\ln(n+1))^2}{n (\ln n)^2} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^2. \]
Pro velká \(n\) platí \[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \ln(n+1) = \ln n + \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right). \]
Tedy \[ \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} – \frac{1}{2 n^2 \ln n} + O\left(\frac{1}{n^3}\right), \] a pak \[ \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^2 = 1 + \frac{2}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Celkově tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{2}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = 1 + \frac{2}{\ln n} + O\left(\frac{1}{n}\right). \]
Limitou pro \( n \to \infty \) je \[ \lim_{n \to \infty} R_n = 1, \] ale díky přídavku \(\frac{2}{\ln n} > 0\) pro velká \(n\) je \(R_n > 1\) pro dostatečně velké \(n\), což znamená podle Raabeova kritéria konvergenci řady.
129. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \[ a_n = \frac{n^n}{(2n)!}. \]
Potřebujeme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}}. \]
Protože \[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!, \] platí \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1). \]
Vyjádříme \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n. \]
Využijeme limitu \[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \cdot \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^{-1} \approx e^{-1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n+1}\right). \]
Proto \[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \approx \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} \cdot \left(1 + \frac{1}{n+1}\right) = \frac{e^{-1}}{n+1} + \frac{e^{-1}}{(n+1)^2}. \]
Dosadíme do výrazu pro \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\): \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(\frac{e^{-1}}{n+1} + \frac{e^{-1}}{(n+1)^2}\right) (2n+2)(2n+1). \]
Vyjádříme \[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2. \]
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} + e^{-1} \frac{4n^2 + 6n + 2}{(n+1)^2}. \]
Rozdělíme první zlomek \[ \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = 4n + 2 + \frac{0}{n+1} \approx 4n + 2, \] a druhý zlomek je řádu \(O(n)\).
Pro velká \(n\) tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} (4n + 2) + O(1). \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left(e^{-1}(4n+2) – 1 \right) = 4 e^{-1} n^2 + 2 e^{-1} n – n. \]
Limitou \[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1, \] tedy řada konverguje podle Raabeova kritéria.
130. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vypočítáme poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1) n!} = \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot n!} \]
Upravíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} \]
Nyní vyjádříme poměr v jiné formě:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} = \frac{(n+1)^{n-1}}{n^{n-1} \cdot n} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{n} \]
Využijeme aproximaci:
\[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n-1} = e^{(n-1)\ln(1+\frac{1}{n})} \approx e^{(n-1)(\frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2})} = e^{1 – \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n} + o(\frac{1}{n})} = e \cdot e^{-\frac{3}{2 n} + o(\frac{1}{n})} \]
Tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{e \cdot e^{-\frac{3}{2 n}}}{n} = \frac{e}{n} \left( 1 – \frac{3}{2 n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{e}{n} \left(1 – \frac{3}{2 n}\right) – 1 \right) = n \left( \frac{e}{n} – 1 – \frac{3e}{2 n^2} \right) = e – n – \frac{3e}{2 n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Oprava výpočtu – skutečně musíme být opatrní, protože předchozí úprava je nepřesná. Správnější bude udělat přímo limitu:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} = \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}} \cdot \frac{1}{n+1} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \]
Protože \( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \) a \( \frac{1}{n+1} \to 0 \), máme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{e}{n} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \sim n \left( \frac{e}{n} – 1 \right) = e – n \to -\infty \]
Protože \( R_n \to -\infty < 1 \), podle Raabeova kritéria řada diverguje.
Výsledek: řada diverguje.
131. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n! \cdot 5^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 5^n} = \frac{(3/5)^n}{n!} \).
Vypočítáme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{(3/5)^n}{n!}}{\frac{(3/5)^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{(3/5)^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{(3/5)^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{3/5} = (n+1) \cdot \frac{5}{3} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( (n+1) \cdot \frac{5}{3} – 1 \right) = n \left( \frac{5}{3} n + \frac{5}{3} – 1 \right) = n \left( \frac{5}{3} n + \frac{2}{3} \right) = \frac{5}{3} n^2 + \frac{2}{3} n \]
Protože \( R_n \to +\infty > 1 \), řada podle Raabeova kritéria konverguje.
Výsledek: řada konverguje.
132. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Vypočítáme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)! (n+1)^{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \]
Upravíme zlomky s mocninami:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \]
Pro velká \( n \) platí:
\[ \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = e^{n \ln(1 – \frac{1}{n+1})} \approx e^{n(-\frac{1}{n+1} – \frac{1}{2 (n+1)^2})} = e^{-1 + o(1)} \]
Výsledkem je přibližně \( e^{-1} \), tedy:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \approx \frac{e^{-1}}{n+1} \]
Dosadíme do původního výrazu:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = e^{-1} (2n+1) \cdot 2 = 2 e^{-1} (2n+1) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( 2 e^{-1} (2n+1) – 1 \right) = n \left( \frac{4n+2}{e} – 1 \right) = \frac{4}{e} n^2 + \frac{2 – e}{e} n \]
Protože \( \frac{4}{e} n^2 \to +\infty \), tedy \( R_n \to +\infty > 1 \), řada konverguje.
Výsledek: řada konverguje.
133. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^{n} n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{2^{n} n^n} \).
Vypočítáme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{2^n n^n}}{\frac{(n+1)!}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{2^n n^n} \cdot \frac{2^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = 2 \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = 2 \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)^{n+1} n^{-n} \]
Upravíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 2 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = 2 \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} = 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]
Pro velká \( n \) platí \( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \), tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \to 2 e \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \to n (2 e – 1) \to +\infty > 1 \]
Řada tedy podle Raabeova kritéria konverguje.
Výsledek: řada konverguje.
134. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!} \cdot 3^n \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{(2n)!} \cdot 3^n \).
Vypočítáme poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{(2n)!} \cdot 3^n}{\frac{(n+1)!}{(2(n+1))!} \cdot 3^{n+1}} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(2(n+1))!}{(2n)!} \cdot \frac{3^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} \cdot \frac{1}{3} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3(n+1)} \]
Upravíme výraz:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3(n+1)} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{3(n+1)} = \frac{2(2n+1)}{3} = \frac{4n + 2}{3} \]
Vypočítáme Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{4n + 2}{3} – 1 \right) = n \left( \frac{4n + 2 – 3}{3} \right) = n \cdot \frac{4n – 1}{3} = \frac{4n^2 – n}{3} \]
Limita pro \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 – n}{3} = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
135. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \).
Poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3 \, n^n \, 3^n / 3^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3 n^n 3^n} \]
Zjednodušíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3 n^n 3^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1} n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1} n^n} \]
Vyjádříme \( (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1) \) a dosadíme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{3^{n+1} n^n} = \frac{n+1}{3} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Víme, že \( \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \) pro \( n \to \infty \).
Proto:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{n+1}{3} e = \frac{n}{3} e + \frac{1}{3} e \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{n}{3} e + \frac{1}{3} e – 1 \right) = n \cdot \frac{n}{3} e + n \left(\frac{1}{3} e – 1 \right) = \frac{e}{3} n^2 + n \left( \frac{e}{3} – 1 \right) \]
Limita pro \( n \to \infty \):
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
136. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1) \]
Vyjádříme \( (n+1)^{n+1} = (n+1)^n (n+1) \), tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} (2n+2)(2n+1) = \frac{n^n}{(n+1)^n} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \]
Vypočítáme limitu \( \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1} \) pro \( n \to \infty \).
Výraz pro \( n \to \infty \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = e^{-1} \cdot \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} = e^{-1} (4n + 2 + \frac{2}{n+1}) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1} (4n + 2 + \frac{2}{n+1}) – 1 \right) = n \left(4 e^{-1} n + 2 e^{-1} + \frac{2 e^{-1}}{n+1} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \):
\[ R_n \approx 4 e^{-1} n^2 + n \left( 2 e^{-1} – 1 \right) + \frac{2 e^{-1} n}{n+1} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
137. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \).
Poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^3}}{\frac{1}{(n+1)(\ln(n+1))^3}} = \frac{(n+1)(\ln(n+1))^3}{n (\ln n)^3} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3 \]
Rozepíšeme pro velká \( n \):
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \ln(n+1) = \ln n + \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \Rightarrow \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right) \]
\[ \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3 = \left( 1 + \frac{1}{n \ln n} \right)^3 = 1 + \frac{3}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n \ln n}\right) \]
Celý poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{3}{n \ln n}\right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + \frac{3}{n^2 \ln n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = 1 + \frac{3}{\ln n} + o(1) \]
Limita:
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = 1 > 1 \quad \text{ne, přesně 1, ale protože máme navíc kladné členy, víme, že} R_n > 1 \text{ pro velká } n. \Rightarrow \text{řada konverguje.} \]
138. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^2}{3^n} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^2}{3^n}}{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}} = \frac{n^2}{(n+1)^2} \cdot 3 = 3 \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 = 3 \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^2 \]
Pro velká \( n \) platí:
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^2 = 1 – \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} = 1 – \frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Poměr tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \left( 1 – \frac{2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = 3 – \frac{6}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n (3 – \frac{6}{n} + o(\frac{1}{n}) – 1) = n (2 – \frac{6}{n} + o(\frac{1}{n})) = 2n – 6 + o(1) \]
Limitou je:
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]
139. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Podíváme se na poměr \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
Vyjádříme jako:
\[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Je známé, že \(\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\).
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Pro velká \( n \) použijeme rozvoj exponenciály:
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = e^{n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)} \]
\[ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} – \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right) \Rightarrow n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 – \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{1 – \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)} = e \cdot e^{-\frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)} = e \left(1 – \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \]
Dosadíme do \( R_n \):
\[ R_n = n \left( e \left(1 – \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) – 1 \right) = n \left( e – 1 – \frac{e}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) \]
\[ = n(e-1) – \frac{e}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right) \]
Protože \(e-1 > 0\), \(R_n \to +\infty\) a je pro dostatečně velká \(n\) vždy větší než 1.
Raabeovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.
140. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^2}}{\frac{1}{(n+1) (\ln(n+1))^2}} = \frac{(n+1) (\ln(n+1))^2}{n (\ln n)^2} \]
Vyjádříme jako:
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \]
\[ \frac{(\ln(n+1))^2}{(\ln n)^2} = \left( \frac{\ln(n) + \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{\ln n} \right)^2 = \left(1 + \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{\ln n}\right)^2 \]
Pro velká \(n\):
\[ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} \Rightarrow \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)}{\ln n} \approx \frac{1}{n \ln n} \]
Takže:
\[ \frac{(\ln(n+1))^2}{(\ln n)^2} \approx \left(1 + \frac{1}{n \ln n}\right)^2 = 1 + \frac{2}{n \ln n} + \frac{1}{n^2 (\ln n)^2} \]
Celý poměr je tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{2}{n \ln n} + \frac{1}{n^2 (\ln n)^2}\right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n \ln n} + \text{vyšší řády} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{1}{n} + \frac{2}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{2}{\ln n} \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( R_n \to 1 \) zleva, ale vždy \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \(n\).
Raabeovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.
141. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n!} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \left( \frac{n-1}{2} \right) = \frac{n(n-1)}{2} \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) pro velká \( n \).
Raabeovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.
142. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{3^n} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3}{3^n}}{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}} = \frac{n^3}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^3} = 3 \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3} \]
Rozepíšeme:
\[ \frac{n^3}{(n+1)^3} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^3 = 1 – \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} – \frac{1}{n^3} + O\left(\frac{1}{n^4}\right) \]
Poměr tedy je:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \left(1 – \frac{3}{n} + \frac{3}{n^2} + \ldots \right) = 3 – \frac{9}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n (3 – \frac{9}{n} – 1 + O(\frac{1}{n^2})) = n (2 – \frac{9}{n} + \ldots) = 2n – 9 + \ldots \]
Pro \( n \to \infty \) je \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) pro velká \( n \).
Raabeovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.
143. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n! n^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n! n^2} \).
Poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n! n^2}}{\frac{1}{(n+1)! (n+1)^2}} = \frac{(n+1)! (n+1)^2}{n! n^2} = (n+1) \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \]
Rozepíšeme:
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \]
Celkově tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (n+1) \left(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right) = n + 1 + 2 + \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) = n + 3 + \frac{1}{n} + \ldots \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( n + 3 + \frac{1}{n} – 1 + \ldots \right) = n (n + 2 + \frac{1}{n} + \ldots) = n^2 + 2n + 1 + \ldots \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) pro velká \( n \).
Raabeovo kritérium \(\Rightarrow\) řada konverguje.
144. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Pro Raabeovo kritérium spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n}. \]
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n. \]
Pro velká \( n \) platí \( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \), takže \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n(e – 1 + o(1)) \to +\infty. \]
Protože \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \( n \), řada \[ \sum_{n=2}^\infty \frac{n!}{n^n} \] konverguje podle Raabeova kritéria.
145. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n^{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n^{n+1}} \).
Potřebujeme spočítat \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^n / n^{n+1}}{2^{n+1} / (n+1)^{n+2}} = \frac{2^n}{n^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)^{n+2}}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+2}}{2 n^{n+1}}. \]
Upravíme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}} \cdot \frac{n+1}{2} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^{n+1} \cdot \frac{n+1}{2}. \]
Použijeme limitu \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \to e, \quad \Rightarrow \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n+1} = e \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \to e. \]
Takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e \cdot \frac{n+1}{2}. \]
Pak \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e \frac{n+1}{2} – 1 \right) \sim \frac{e}{2} n^2 \to +\infty. \]
Protože \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \( n \), řada konverguje podle Raabeova kritéria.
146. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot (2n+2)(2n+1). \]
Upravíme poměr \( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \).
Pro limitu platí \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \to e^{-1}. \]
Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{1}{n+1} e^{-1} (2n+2)(2n+1) = e^{-1} (2n+1) \frac{2n+2}{n+1}. \]
Vyjádříme limitu \[ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = e^{-1} \cdot 2 \cdot 2 = \frac{4}{e}. \]
Nyní spočítáme \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \sim n \left( \frac{4}{e} – 1 \right). \]
Jelikož \( \frac{4}{e} \approx 1.4715 > 1 \), tedy \( R_n \to +\infty \).
Podle Raabeova kritéria řada konverguje.
147. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^2}{3^n} \).
Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^2}{3^n}}{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}} = \frac{n^2}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} = 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}. \]
Pak \[ R_n = n \left( 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} – 1 \right) = n \left( 3 \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 – 1 \right). \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 \to 1 \), tedy \[ R_n \sim n (3 – 1) = 2n \to +\infty. \]
Protože \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \( n \), řada konverguje podle Raabeova kritéria.
148. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot n^n} \).
Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! \cdot n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! \cdot (n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n! \cdot n^n} \cdot \frac{(n+1)! \cdot (n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{3}. \]
Upravíme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n+1}{3} \cdot (n+1)^n \cdot \frac{1}{n^n} = \frac{n+1}{3} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n. \]
Pro limitu platí \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{n+1}{3} \cdot e. \]
Nyní \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \sim n \left( \frac{e (n+1)}{3} – 1 \right) \sim \frac{e}{3} n^2. \]
Protože \( R_n \to +\infty \), řada konverguje podle Raabeova kritéria.
149. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{(5n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{(5n)!} \).
Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{(5n)!}}{\frac{(n+1)!}{(5(n+1))!}} = \frac{n!}{(5n)!} \cdot \frac{(5n+5)!}{(n+1)!} = \frac{(5n+5)!}{(5n)!} \cdot \frac{n!}{(n+1)!}. \]
Rozepíšeme faktoriály: \[ \frac{(5n+5)!}{(5n)!} = (5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5), \] \[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}. \]
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}{n+1}. \]
Nyní spočítáme \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5)}{n+1} – 1 \right). \]
Pro velká \( n \) aproximujeme \[ (5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4)(5n+5) \sim (5n)^5 = 3125 n^5, \] takže \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{3125 n^5}{n+1} \sim 3125 n^4. \]
Pak \[ R_n \sim n (3125 n^4 – 1) \sim 3125 n^5 \to +\infty. \]
Protože \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \( n \), řada konverguje podle Raabeova kritéria.
150. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
\[ \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n(e – 1) \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro dostatečně velká } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
151. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)! (n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+1}} \]
\[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx (n+1) e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1) e} \approx \frac{4n^2}{n e} = \frac{4n}{e} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{4n}{e} – 1 \right) \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
152. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n! n^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! n^2} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! n^2}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^2}} = \frac{3^n}{n! n^2} \cdot \frac{(n+1)! (n+1)^2}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{3} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \frac{1}{3} \]
\[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{3} + \frac{2(n+1)}{3n} + \frac{n+1}{3 n^2} \]
\[ \text{Pro velká } n: \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{n}{3} + \frac{2}{3} + o(1) \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{n}{3} + \frac{2}{3} – 1 \right) = n \left( \frac{n}{3} – \frac{1}{3} \right) = \frac{n^2}{3} – \frac{n}{3} \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
153. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{2^{n^2}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{2^{n^2}} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{2^{n^2}}}{\frac{(n+1)!}{2^{(n+1)^2}}} = \frac{n!}{2^{n^2}} \cdot \frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)!} = \frac{2^{(n+1)^2 – n^2}}{n+1} = \frac{2^{2n+1}}{n+1} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{2^{2n+1}}{n+1} – 1 \right) \approx n \cdot \frac{2^{2n+1}}{n+1} \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
154. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{(3n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(3n)!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(3n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(3n+3)!}} = \frac{n^n}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (3n+3)(3n+2)(3n+1) \]
\[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx (n+1) e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{(n+1) e} \]
\[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) = 27 n^3 + \text{nižší řády}, \quad (n+1) \approx n \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{27 n^3}{n e} = \frac{27 n^2}{e} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{27 n^2}{e} – 1 \right) \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
155. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{n^{3n}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n n!}{n^{3n}} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{n^{3n}}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{3(n+1)}}} = \frac{2^n n!}{n^{3n}} \cdot \frac{(n+1)^{3(n+1)}}{2^{n+1} (n+1)!} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(n+1)^{3(n+1)}}{n^{3n} 2} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)^{3(n+1)}}{n^{3n} 2} \]
\[ \frac{(n+1)^{3(n+1)}}{n^{3n}} = (n+1)^{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{3n} \approx (n+1)^3 e^{3} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{(n+1)^3 e^{3}}{(n+1) 2} = \frac{(n+1)^2 e^{3}}{2} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{(n+1)^2 e^{3}}{2} – 1 \right) \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
156. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{4^{n} (n+1)^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{4^{n} (n+1)^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{4^{n} (n+1)^n}}{\frac{(n+1)!}{4^{n+1} (n+2)^{n+1}}} = \frac{n!}{4^{n} (n+1)^n} \cdot \frac{4^{n+1} (n+2)^{n+1}}{(n+1)!} = 4 \cdot \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{1}{n+1} \]
\[ \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} = \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^{n+1} \approx e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 4 \cdot \frac{e}{n+1} \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{4e}{n+1} – 1 \right) \approx 4 e – n \]
\[ \text{Pro dostatečně velká } n, R_n < 0 \text{, tedy řada divergente.} \text{ Pro Raabeovo kritérium však musí být } R_n > 1 \text{ pro konvergenci.} \Rightarrow \text{řada diverguje} \]
157. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \frac{1}{2^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n 2^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n 2^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1} 2^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n 2^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1} 2^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1} 2}{(n+1) n^n 2^n} = 2 \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
\[ \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 2 e \]
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n (2 e – 1) \to \infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
158. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vyjádříme poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1) n! / n!} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Poté spočítáme hodnotu Raabeova kritéria:
\[ R_n = n \left( \left( \frac{n+1}{n} \right)^n – 1 \right) \]
Využijeme limitu definice exponenciály:
\[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \quad \text{pro} \quad n \to \infty \Rightarrow R_n \to n (e – 1) \]
Jelikož \(e – 1 > 1\), pro dostatečně velké \(n\) platí \(R_n > 1\).
Tedy podle Raabeova kritéria řada konverguje.
159. Určete, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) konverguje pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n (2n+2)!}{(n+1)^{n+1} (2n)!} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1) \]
Vyjádříme první člen:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{n+1} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \]
Limitně platí:
\[ \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \approx e^{-1} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{n+1} e^{-1} (2n+2)(2n+1) = e^{-1} \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} \]
Zjednodušení:
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{n+1} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{n+1} = 2(2n+1) = 4n + 2 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1}(4n+2) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1}(4n+2) – 1 \right) \]
Pro \(n \to \infty\) platí \(R_n \to +\infty\), což znamená \(R_n > 1\) pro dostatečně velké \(n\).
Řada tedy konverguje.
160. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \).
Poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \]
Rozepíšeme výraz:
\[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1)^n \cdot \frac{n+1}{n^n} = (n+1)^n \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{n^n} = (n+1) \left(\frac{n+1}{n}\right)^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Limitně platí \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\), tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{3} (n+1) e \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{e}{3} (n+1) – 1 \right) \]
Pro \(n \to \infty\) roste výraz \(R_n \to +\infty > 1\), což znamená podle Raabeova kritéria konvergenci řady.
161. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{3^n n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{3^n n^n} \).
Poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{3^n n^n}}{\frac{(n+1)!}{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{3^n n^n} \cdot \frac{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(n+1) n!} = 3 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = 3 \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
Vyjádříme:
\[ \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \to 3 e \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \to n (3e – 1) \]
Jelikož \(3e – 1 > 1\), platí \(R_n > 1\) pro dostatečně velké \(n\), řada konverguje.
162. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n! n^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n! n^2} \).
Poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n! n^2}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^2}} = \frac{2^n}{n! n^2} \cdot \frac{(n+1)! (n+1)^2}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{2} = (n+1) \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{2} \]
Vyjádření:
\[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{2} \left( 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{2} \left( 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right) – 1 \right) \]
Rozvinutí:
\[ \frac{n+1}{2} = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{n+1}{2} \left( 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right) = \left(\frac{n}{2} + \frac{1}{2}\right) \left( 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right) \]
Pro velké \(n\) dominují členy:
\[ \approx \frac{n}{2} \cdot 1 + \frac{n}{2} \cdot \frac{2}{n} + \frac{n}{2} \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{n}{2} + 1 + \frac{1}{2n} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{n}{2} + 1 \]
Proto:
\[ R_n \approx n \left( \frac{n}{2} + 1 – 1 \right) = n \cdot \frac{n}{2} = \frac{n^2}{2} \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
163. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{4^{n} (n!)^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{4^{n} (n!)^2} \).
Poměr \(\frac{a_n}{a_{n+1}}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{4^{n} (n!)^2}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{4^{n+1} ((n+1)!)^2}} = \frac{n^n}{4^n (n!)^2} \cdot \frac{4^{n+1} ((n+1)!)^2}{(n+1)^{n+1}} = 4 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} \]
Rozepíšeme druhý zlomek:
\[ \frac{((n+1)!)^2}{(n!)^2} = \left( \frac{(n+1)!}{n!} \right)^2 = (n+1)^2 \]
Vyjádříme také:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{n+1} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \approx \frac{1}{n+1} e^{-1} \]
Celkově:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 4 \cdot \frac{1}{n+1} e^{-1} (n+1)^2 = 4 e^{-1} (n+1) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( 4 e^{-1} (n+1) – 1 \right) \Rightarrow R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
164. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Pak
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \Rightarrow R_n = n \left(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1\right) \]
Víme, že \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \) pro \( n \to \infty \).
Proto
\[ R_n \to n (e – 1) \Rightarrow R_n \to \infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
165. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \).
Potřebujeme vypočítat
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^3}}{\frac{1}{(n+1)(\ln(n+1))^3}} = \frac{(n+1)(\ln(n+1))^3}{n (\ln n)^3} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3 \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \) platí aproximace
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \ln(n+1) \approx \ln n + \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \approx 1 + \frac{1}{n \ln n} \]
Tedy
\[ \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3 \approx \left(1 + \frac{1}{n \ln n}\right)^3 \approx 1 + \frac{3}{n \ln n} \]
Dosadíme do výrazu pro \( R_n \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left( 1 + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + \frac{3}{n^2 \ln n} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = 1 + \frac{3}{\ln n} + \frac{3}{n \ln n} \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( R_n \to 1 \) zhora, ale vzhledem k přírůstku je vždy \( R_n > 1 \) pro dostatečně velké \( n \).
Tedy řada konverguje podle Raabeova kritéria.
166. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \).
Vypočteme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{(3n)!}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1))!}} = \frac{2^n n! (3(n+1))!}{2^{n+1} (n+1)! (3n)!} = \frac{(3n+3)!}{2 (n+1) (3n)!} \]
Rozepíšeme faktoriál:
\[ (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2 (n+1)} \]
Pro velká \( n \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{27 n^3}{2 n} = \frac{27}{2} n^2 \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{27}{2} n^2 – 1 \right) = \frac{27}{2} n^3 – n \to \infty \]
Jelikož \( R_n \to \infty > 1 \), řada konverguje podle Raabeova kritéria.
167. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Vypočteme poměr:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n (2n+2)!}{(n+1)^{n+1} (2n)!} \]
Rozepíšeme faktoriál:
\[ (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n (2n+2)(2n+1)}{(n+1)^{n+1}} \]
Vypočítáme \( R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \).
Nejprve rozepíšeme
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{n+1} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \]
Pro velká \( n \):
\[ \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \approx e^{-1} \Rightarrow \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \approx \frac{e^{-1}}{n+1} \]
Dále
\[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \]
Takže
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{e^{-1}}{n+1} (4n^2 + 6n + 2) \]
Vyjádříme \( R_n \):
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{e^{-1}(4n^2 + 6n + 2)}{n+1} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \) platí \( \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} \approx 4n + 2 \), tedy
\[ R_n \approx n \left( e^{-1} (4n + 2) – 1 \right) = n \left( \frac{4n + 2}{e} – 1 \right) = \frac{4}{e} n^2 + \frac{2}{e} n – n \]
Hlavní člen je \( \frac{4}{e} n^2 \to \infty \), tedy \( R_n \to \infty > 1 \), což znamená, že řada konverguje.
168. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{2^n n^n} \).
Poměr je
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{2^n n^n}}{\frac{(n+1)!}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{n! 2^{n+1} (n+1)^{n+1}}{2^n n^n (n+1)!} = 2 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = 2 \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Proto
\[ R_n = n \left( 2 \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right) \]
Víme, že \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \), tedy
\[ R_n \to n (2e – 1) \Rightarrow R_n \to \infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
169. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! n^2} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! n^2} \).
Vypočteme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! n^2}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^2}} = \frac{3^n (n+1)! (n+1)^2}{3^{n+1} n! n^2} = \frac{(n+1) (n+1)^2}{3 n^2} = \frac{(n+1)^3}{3 n^2} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \) platí
\[ \frac{(n+1)^3}{3 n^2} = \frac{n^3 + 3 n^2 + 3 n + 1}{3 n^2} = \frac{n^3}{3 n^2} + \frac{3 n^2}{3 n^2} + \frac{3 n}{3 n^2} + \frac{1}{3 n^2} = \frac{n}{3} + 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{3 n^2} \]
Tedy
\[ R_n = n \left( \frac{n}{3} + 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{3 n^2} – 1 \right) = n \left( \frac{n}{3} + \frac{1}{n} + \frac{1}{3 n^2} \right) = \frac{n^2}{3} + 1 + \frac{1}{3 n} \]
Hlavní člen \( \frac{n^2}{3} \to \infty \), tedy \( R_n \to \infty > 1 \) a řada konverguje podle Raabeova kritéria.
170. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Pro Raabeovo kritérium vypočítáme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1)} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Vyjádříme
\[ R_n = n \left( \left( \frac{n+1}{n} \right)^n – 1 \right) = n \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n – 1 \right) \]
Pro velké \( n \) platí \( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \), tedy
\[ R_n \approx n (e – 1) \]
To znamená, že \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \( n \),
což podle Raabeova kritéria znamená, že řada \( \sum a_n \) konverguje.
171. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n!} \).
Vypočteme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \cdot \frac{n-1}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \( n \),
což znamená, že řada konverguje podle Raabeova kritéria.
172. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \).
Vypočteme podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^3}}{\frac{1}{(n+1) (\ln (n+1))^3}} = \frac{(n+1) (\ln (n+1))^3}{n (\ln n)^3} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \right)^3 \]
Pro velká \( n \) platí
\[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}, \quad \ln (n+1) \approx \ln n + \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \approx 1 + \frac{1}{n \ln n} \]
Odtud
\[ \left( \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \right)^3 \approx \left( 1 + \frac{1}{n \ln n} \right)^3 = 1 + \frac{3}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2 (\ln n)^2}\right) \]
Podíl tedy má tvar
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 1 + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{3}{\ln n} \]
Protože \( \frac{3}{\ln n} \to 0 \), ale je vždy kladné, platí
\[ R_n > 1 \quad \text{pro dostatečně velká } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
173. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vypočteme
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+2}}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n (n+2)^{n+2}}{(n+1)^{2n+2}} \]
Upravíme exponenty
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n (n+2)^n (n+2)^2}{(n+1)^{2n} (n+1)^2} = \left( \frac{n (n+2)}{(n+1)^2} \right)^n \cdot \frac{(n+2)^2}{(n+1)^2} \]
Zaměříme se na výraz v závorce:
\[ \frac{n (n+2)}{(n+1)^2} = \frac{n (n+2)}{n^2 + 2n + 1} = \frac{n^2 + 2n}{n^2 + 2n + 1} = 1 – \frac{1}{n^2 + 2n + 1} \]
Pro velké \( n \) přibližně \( \frac{1}{n^2 + 2n + 1} \approx \frac{1}{n^2} \), tedy
\[ \left( \frac{n (n+2)}{(n+1)^2} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n^2} \right)^n \approx e^{-\frac{n}{n^2}} = e^{-\frac{1}{n}} \approx 1 – \frac{1}{n} \]
Dále
\[ \frac{(n+2)^2}{(n+1)^2} = \left( 1 + \frac{1}{n+1} \right)^2 \approx \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^2 = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \]
Celkově tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left( 1 – \frac{1}{n} \right) \left( 1 + \frac{2}{n} \right) = 1 + \frac{1}{n} – \frac{2}{n^2} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \cdot \frac{1}{n} = 1 \]
Musíme upřesnit příští členy. Při přesnějším rozvoji je patrné, že výraz je o něco větší než 1, protože příspěvek z \( \frac{2}{n^2} \) je záporný a tedy zmenšuje hodnotu o něco méně než přesně 1.
Detailnější odhad ukazuje, že pro dostatečně velká \( n \) platí \( R_n > 1 \),
tedy podle Raabeova kritéria řada konverguje.
174. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^2}{3^n} \).
Vypočteme poměr
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^2}{3^n}}{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}} = \frac{n^2}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} = 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} – 1 \right) \]
Vyjádříme zlomky
\[ \frac{n^2}{(n+1)^2} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^2 \approx 1 – \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \]
Dosadíme
\[ R_n \approx n \left( 3 \left( 1 – \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \right) – 1 \right) = n \left( 3 – \frac{6}{n} + \frac{3}{n^2} – 1 \right) = n (2 – \frac{6}{n} + \frac{3}{n^2}) = 2n – 6 + \frac{3}{n} \]
Pro velká \( n \) tedy platí \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) a řada konverguje.
175. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n!} \).
Vypočteme podíl
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n!}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{3^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n+1}{3} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{3} – 1 \right) = n \cdot \frac{n-2}{3} = \frac{n(n-2)}{3} \]
Pro \( n \to \infty \) platí \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) pro dostatečně velká \( n \),
řada konverguje podle Raabeova kritéria.
176. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Potřebujeme spočítat \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1) n! / n!} = \frac{(n+1)^n}{n^n}. \] Protože \( (n+1)! = (n+1) n! \), jednoduše vykrátíme.
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n. \]
Víme, že \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \quad \text{pro } n \to \infty. \]
Raabeovo kritérium je definováno jako \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right). \]
Rozepíšeme \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) pomocí exponenciály: \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \exp\left( n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \right). \] Použijeme rozvoj logaritmu: \[ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} – \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} – \cdots \] Tedy \[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = 1 – \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} – \cdots. \]
Exponent z toho dává: \[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e^{1 – \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)} = e \cdot e^{-\frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)} = e \left( 1 – \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right). \]
Proto \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 = e \left( 1 – \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) – 1 = e – 1 – \frac{e}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Vynásobíme \(n\): \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n(e – 1) – \frac{e}{2} + O\left(\frac{1}{n}\right). \]
Protože \(e-1 > 0\), výraz \(R_n \to +\infty\) pro \(n \to \infty\). To znamená, že \[ R_n > 1 \quad \text{pro dostatečně velké } n. \Rightarrow \text{řada konverguje.} \]
177. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \).
Potřebujeme vyjádřit \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n (\ln n)^3}}{\frac{1}{(n+1) (\ln(n+1))^3}} = \frac{(n+1) (\ln(n+1))^3}{n (\ln n)^3} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3. \]
Pro velká \(n\) platí \[ \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}. \] A dále \[ \ln(n+1) = \ln n + \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \ln n + \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} + \cdots, \] tedy \[ \frac{\ln(n+1)}{\ln n} = 1 + \frac{1}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Proto \[ \left( \frac{\ln(n+1)}{\ln n} \right)^3 = \left( 1 + \frac{1}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right)^3 = 1 + \frac{3}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Spočítáme tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{3}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = 1 + \frac{3}{\ln n} + O\left(\frac{1}{n}\right). \]
Pro \(n \to \infty\) máme \[ R_n \to 1^+, \] ale s přihlédnutím k limitě se vidí, že \(R_n > 1\) pro dostatečně velká \(n\). Proto řada konverguje.
178. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^2}{3^n} \).
Potřebujeme spočítat \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^2}{3^n}}{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}} = \frac{n^2}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2} = 3 \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}. \]
Pro velká \(n\) platí \[ \frac{n^2}{(n+1)^2} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^2 = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^2 = 1 – \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right). \]
Tedy \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \left( 1 – \frac{2}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = 3 – \frac{6}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n (3 – \frac{6}{n} + O(\frac{1}{n^2}) – 1) = n(2 – \frac{6}{n} + O(\frac{1}{n^2})) = 2n – 6 + O\left(\frac{1}{n}\right). \]
Protože \(2n – 6 \to +\infty\), pro dostatečně velké \(n\) platí \[ R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje}. \]
179. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n!} \).
Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n}{n!}}{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{2^n}{n!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n+1}{2}. \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{2} – 1 \right) = n \left( \frac{n-1}{2} \right) = \frac{n(n-1)}{2}. \]
Pro \(n \to \infty\) je \(R_n \to +\infty\), tedy \[ R_n > 1 \quad \text{pro dostatečně velké } n \Rightarrow \text{řada konverguje.} \]
180. Zjistěte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \left(\frac{3}{2}\right)^n \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n!} \left(\frac{3}{2}\right)^n \).
Spočítáme \[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n!} \left(\frac{3}{2}\right)^n}{\frac{1}{(n+1)!} \left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}(n+1). \]
Raabeovo kritérium: \[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{2}{3}(n+1) – 1 \right) = n \left( \frac{2}{3}n + \frac{2}{3} – 1 \right) = n \left( \frac{2}{3}n – \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} n^2 – \frac{1}{3} n. \]
Pro \(n \to \infty\) je \(R_n \to +\infty\), tedy řada konverguje.
181. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vypočítáme podíl \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Definujeme Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \), tedy:
\[ R_n \to n (e – 1) \to +\infty \]
Jelikož \( R_n \to +\infty > 1 \), Raabeovo kritérium říká, že řada \( \sum a_n \) konverguje.
182. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \).
Vypočítáme podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3 n^n 3^n} \cdot \frac{1}{3} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3 (n)^n 3^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1} n^n} \]
Přepsáno korektně:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3^n}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3 n^n} \]
Dále rozepíšeme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{3 n^n} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{3 n^n} = \frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \]
Definujeme Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) = n \left(\frac{n+1}{3} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1\right) \]
Víme, že \( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \), a \( \frac{n+1}{3} \sim \frac{n}{3} \) pro velké \( n \), tedy:
\[ R_n \sim n \left(\frac{n}{3} e – 1\right) \to +\infty \]
Proto \( R_n > 1 \) pro dostatečně velké \( n \), takže řada konverguje podle Raabeova kritéria.
183. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)(2n+1)(2n)!}{(2n)!} = (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \]
Vypočítáme část s \( n \):
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \]
Pro velké \( n \):
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{n \ln \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)} \approx e^{n \left(-\frac{1}{n+1} – \frac{1}{2(n+1)^2}\right)} \approx e^{-1} \]
Takže:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \approx \frac{e^{-1}}{n+1} \]
Vraťme se k \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = e^{-1} (2n+2)(2n+1) \frac{1}{n+1} \]
Pro velké \( n \):
\[ (2n+2)(2n+1) \frac{1}{n+1} = (2n+2) \frac{2n+1}{n+1} \approx 2n \cdot 2 = 4n \]
Tedy
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim 4 n e^{-1} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \sim n (4 n e^{-1} – 1) \to +\infty \]
Protože \( R_n \to +\infty > 1 \), řada konverguje.
184. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{(3n)!}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3n+3)!}} = \frac{2^n n!}{(3n)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{2^{n+1} (n+1)!} = \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(3n+3)!}{(3n)!} \cdot \frac{1}{2} \]
Rozepíšeme jednotlivé části:
\[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \]
\[ \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1) \]
Tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{2 (n+1)} \]
Pro velké \( n \):
\[ (3n+3)(3n+2)(3n+1) \sim 27 n^3, \quad \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \sim \frac{27 n^3}{2 n} = \frac{27}{2} n^2 \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \sim n \left(\frac{27}{2} n^2 – 1\right) \to +\infty \]
Jelikož \( R_n \to +\infty > 1 \), řada konverguje.
185. Posuďte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n! 5^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)! 5^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n! 5^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)! 5^{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \]
Upravíme:
\[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \]
Tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)^2} \]
Pro velké \( n \):
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{5 (n+1)^2} \sim \frac{4 n^2}{5 n^2} = \frac{4}{5} = 0.8 \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \sim n (0.8 – 1) = n(-0.2) \to -\infty \]
Tímto hodnotám Raabeovo kritérium nevyhovuje pro konvergenci. Ale protože \( R_n \to -\infty < 1 \), řada diverg.
186. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{3^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^3}{3^n} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^3}{3^n}}{\frac{(n+1)^3}{3^{n+1}}} = \frac{n^3}{3^n} \cdot \frac{3^{n+1}}{(n+1)^3} = 3 \cdot \frac{n^3}{(n+1)^3} = 3 \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 \]
Upravíme:
\[ \left(\frac{n}{n+1}\right)^3 = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^3 \approx 1 – \frac{3}{n+1} \]
Tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 3 \left(1 – \frac{3}{n+1}\right) = 3 – \frac{9}{n+1} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \approx n \left(3 – \frac{9}{n+1} – 1\right) = n \left(2 – \frac{9}{n+1}\right) = 2n – \frac{9 n}{n+1} \]
Pro \( n \to \infty \):
\[ R_n \to 2n – 9 = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
187. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!} \cdot 3^n \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{(2n)!} \cdot 3^n \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{(2n)!} 3^n}{\frac{(n+1)!}{(2n+2)!} 3^{n+1}} = \frac{n!}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3(n+1)} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{(2n+2)(2n+1)}{3(n+1)} – 1 \right) \]
\[ \frac{(2n+2)(2n+1)}{3(n+1)} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{3(n+1)} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{3(n+1)} = \frac{2(2n+1)}{3} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{2(2n+1)}{3} – 1 \right) = n \left( \frac{4n+2}{3} – 1 \right) = n \cdot \frac{4n – 1}{3} \]
\[ R_n = \frac{n(4n – 1)}{3} \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \quad \text{pro dostatečně velké } n \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
188. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n}{n^n} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{2^n / n^n}{2^{n+1} / (n+1)^{n+1}} = \frac{(n+1)^{n+1}}{2 \cdot n^n} \]
Vyjádřeme \((n+1)^{n+1}\) jako \((n+1)^n (n+1)\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{2 n^n} = \frac{n+1}{2} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n \]
Víme, že \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e\) pro \(n \to \infty\), tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{n+1}{2} e = \frac{n}{2} e + \frac{e}{2} \Rightarrow R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{n}{2} e + \frac{e}{2} – 1 \right) \]
Hlavní člen je \( \frac{n^2 e}{2} \), tedy
\[ R_n \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
189. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^3} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n (\ln n)^3} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{n} \cdot \left( \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \right)^3 \]
Rozvineme \(\ln (n+1) \approx \ln n + \frac{1}{n}\):
\[ \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \approx 1 + \frac{1}{n \ln n} \Rightarrow \left( \frac{\ln (n+1)}{\ln n} \right)^3 \approx 1 + \frac{3}{n \ln n} \]
Součin je tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(1 + \frac{3}{n \ln n}\right) = 1 + \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} + \text{menší členy} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{1}{n} + \frac{3}{n \ln n} \right) = 1 + \frac{3}{\ln n} \]
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = 1 \]
Protože \( R_n > 1 \) pro všechna dostatečně velká \( n \), protože \( \frac{3}{\ln n} > 0 \), dostáváme:
\[ R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
190. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{3^n / n!}{3^{n+1} / (n+1)!} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{3} = \frac{n+1}{3} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{n+1}{3} – 1 \right) = n \left( \frac{n – 2}{3} \right) = \frac{n(n-2)}{3} \]
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
191. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \)
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n / (2n)!}{(n+1)^{n+1} / (2n+2)!} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \]
Rozepíšeme \((2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} (2n+2)(2n+1) \]
Vyjádříme \(\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1}\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = (2n+2)(2n+1) \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \]
Rozvinutí \(\left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1}\) pro velká \(n\):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (2n+2)(2n+1) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} \]
\[ (2n+2)(2n+1) = 4n^2 + 6n + 2 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx e^{-1} \frac{4n^2 + 6n + 2}{n+1} \approx e^{-1} (4n + 2) \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( e^{-1} (4n + 2) – 1 \right) = n \left( \frac{4n + 2}{e} – 1 \right) \]
\[ R_n \sim \frac{4}{e} n^2 \to +\infty > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
192. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} = \frac{(n+1)^n}{n^n \cdot n} = \frac{1}{n} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \)
\[ a_n = \frac{1}{n} e^{\ln \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n} = \frac{1}{n} e^{n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)} \]
Vyjádříme \(\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2}\):
\[ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \approx n \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2} \right) = 1 – \frac{1}{2 n} \Rightarrow a_n \approx \frac{1}{n} e^{1 – \frac{1}{2 n}} = \frac{e}{n} e^{-\frac{1}{2 n}} \approx \frac{e}{n} \left(1 – \frac{1}{2 n}\right) \]
\[ a_n \approx \frac{e}{n} – \frac{e}{2 n^2} \]
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{\frac{e}{n} – \frac{e}{2 n^2}}{\frac{e}{n+1} – \frac{e}{2 (n+1)^2}} = \frac{\frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2}}{\frac{1}{n+1} – \frac{1}{2 (n+1)^2}} \]
Pro velká \(n\) zjednodušujeme na:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{\frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2}}{\frac{1}{n+1}} = \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{2 n^2}\right) (n+1) = \frac{n+1}{n} – \frac{n+1}{2 n^2} = 1 + \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n} – \frac{1}{2 n^2} \]
Raabeovo kritérium:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{2 n} – \frac{1}{2 n^2} \right) = \frac{1}{2} – \frac{1}{2 n} \to \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \text{řada diverguje} \]
193. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{3^n \cdot n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{3^n \cdot n^n} \).
Vyjádříme podíl \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{3^n n^n}}{\frac{(n+1)!}{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{3^n n^n} \cdot \frac{3^{n+1} (n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \]
\[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = 3 \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} = 3 \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
\[ \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 3e \]
Vypočítáme Raabeův parametr:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n (3e – 1) \]
Protože \( 3e – 1 > 1 \), tak \( R_n \to +\infty \), tedy \( R_n > 1 \) pro velká \( n \).
\[ \Rightarrow \text{řada konverguje (absolutně).} \]
194. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Podíl \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{(2n)!}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)!}} = \frac{n^n}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \]
Rozepíšeme faktoriel:
\[ \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+1)(2n+2) \]
Podíl mocnin:
\[ \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \]
Použijeme aproximaci:
\[ \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = \exp\left(n \ln\left(1 – \frac{1}{n+1}\right)\right) \approx \exp\left(-\frac{n}{n+1} – \frac{1}{2(n+1)}\right) \approx e^{-1} \]
Celkem tedy:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx (2n+1)(2n+2) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} \]
Pro velká \( n \) platí:
\[ (2n+1)(2n+2) \approx 4n^2 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 4n^2 \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} \approx 4 n e^{-1} \]
Raabeův parametr:
\[ R_n = n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}} – 1\right) \approx n (4 n e^{-1} – 1) \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
195. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^{n^2}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{2^{n^2}} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{2^{n^2}}}{\frac{(n+1)!}{2^{(n+1)^2}}} = \frac{n!}{2^{n^2}} \cdot \frac{2^{(n+1)^2}}{(n+1)!} = \frac{2^{(n+1)^2 – n^2}}{n+1} = \frac{2^{2n + 1}}{n+1} \]
Raabeův parametr:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \frac{2^{2n + 1}}{n+1} – 1 \right) \]
Pro velká \( n \) je \( 2^{2n + 1} \) exponenciálně velké, tedy:
\[ R_n \approx n \cdot \frac{2^{2n+1}}{n+1} = 2^{2n+1} \cdot \frac{n}{n+1} \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje (velmi rychle).} \]
196. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot n^n} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{3^n}{n! n^n}}{\frac{3^{n+1}}{(n+1)! (n+1)^{n+1}}} = \frac{3^n}{n! n^n} \cdot \frac{(n+1)! (n+1)^{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{3} \]
\[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{n+1}{3} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \]
\[ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx (n+1) e \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{n+1}{3} \cdot (n+1) e = \frac{e}{3} (n+1)^2 \]
Raabeův parametr:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \left( \frac{e}{3} (n+1)^2 – 1 \right) \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
197. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(2n)!} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{2^n n!}{(2n)!} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{2^n n!}{(2n)!}}{\frac{2^{n+1} (n+1)!}{(2n+2)!}} = \frac{2^n n!}{(2n)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{2^{n+1} (n+1)!} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{(2n+2)!}{(2n)!} \]
\[ \frac{n!}{(n+1)!} = \frac{1}{n+1}, \quad \frac{(2n+2)!}{(2n)!} = (2n+1)(2n+2) \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (2n+1)(2n+2) \]
Pro velká \( n \):
\[ (2n+1)(2n+2) \approx 4 n^2 \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \frac{1}{2} \cdot \frac{4 n^2}{n+1} \approx 2 n \]
Raabeův parametr:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n (2n – 1) \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje} \]
198. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n! 5^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n^n}{n! 5^n} \).
Podíl:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n^n}{n! 5^n}}{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! 5^{n+1}}} = \frac{n^n}{n! 5^n} \cdot \frac{(n+1)! 5^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} = 5 \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \]
\[ \frac{(n+1)!}{n!} = n+1, \quad \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \approx \frac{1}{n+1} e^{-1} \]
Celkem:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx 5 (n+1) \cdot \frac{e^{-1}}{n+1} = 5 e^{-1} \]
Raabeův parametr:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n (5 e^{-1} – 1) \]
Protože \( 5 e^{-1} \approx 1.839 > 1 \), tak:
\[ R_n \to +\infty \Rightarrow R_n > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje.} \]
199. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{n!}{n^n} \).
Vypočítáme podíl \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} = \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (n+1) n! / n!} = \frac{(n+1)^n}{n^n} \]
Zjednodušme:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \]
Definujme Raabeův výraz:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) = n \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n – 1 \right) \]
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \), tedy:
\[ \lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} n (e – 1) = +\infty \Rightarrow R_n > 1 \text{ pro dostatečně velká } n \Rightarrow \text{řada konverguje.} \]
200. Ověřte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2} \sqrt{n+1}} \) pomocí Raabeova kritéria.
Řešení příkladu:
Nechť \( a_n = \frac{1}{n^{2} \sqrt{n+1}} \).
Vypočítáme podíl \( \frac{a_n}{a_{n+1}} \):
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{\frac{1}{n^{2} \sqrt{n+1}}}{\frac{1}{(n+1)^{2} \sqrt{n+2}}} = \frac{(n+1)^{2} \sqrt{n+2}}{n^{2} \sqrt{n+1}} \]
Rozepíšeme jednotlivé faktory:
\[ \frac{(n+1)^2}{n^2} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} \]
\[ \frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}} = \sqrt{\frac{n+2}{n+1}} = \sqrt{1 + \frac{1}{n+1}} \approx 1 + \frac{1}{2(n+1)} – \frac{1}{8(n+1)^2} \]
Celkově:
\[ \frac{a_n}{a_{n+1}} \approx \left(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}\right) \left(1 + \frac{1}{2n} – \frac{1}{8 n^2}\right) = 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{2n} + \ldots \]
Sčítáme hlavní členy řádu \( \frac{1}{n} \):
\[ 1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{2n} = 1 + \frac{5}{2 n} \]
Raabeův výraz je:
\[ R_n = n \left( \frac{a_n}{a_{n+1}} – 1 \right) \approx n \cdot \frac{5}{2 n} = \frac{5}{2} > 1 \Rightarrow \text{řada konverguje.} \]