Konvergence řad – Odmocninové kritérium

Řešení příkladu:

Odmocninové kritérium zní: Pro řadu \( \sum a_n \) spočteme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}. \] Pokud \( L < 1 \), řada konverguje absolutně, pokud \( L > 1 \), řada diverguje, pokud \( L = 1 \), kritérium je nepřesné.

V našem případě je \[ a_n = \frac{3^n}{n^{n/2}}. \] Spočítáme tedy \[ \sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{\frac{3^n}{n^{n/2}}} = \frac{\sqrt[n]{3^n}}{\sqrt[n]{n^{n/2}}} = \frac{3}{n^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{\sqrt{n}}. \]

Nyní spočítáme limitu pro \( n \to \infty \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n}} = 0. \] Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Pro odmocninové kritérium spočteme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{2n}{3n+1}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{3n+1}. \] Protože výraz pod odmocninou je již umocněn na \( n \), odmocnina \( n \)-tého řádu tento exponent odstraní.

Limita je \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{3n+1} = \frac{2}{3}. \] Jelikož \( L = \frac{2}{3} < 1 \), řada konverguje absolutně podle odmocninového kritéria.

Řešení příkladu:

Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{5n}{n^2 + 1} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{5n}{n^2 + 1}. \] Zjednodušme limitu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{5n}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{5n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n} = 0. \] Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle odmocninového kritéria.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{2n}}{(2n)!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{\sqrt[n]{(2n)!}}. \] Využijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4\pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Pak \[ \sqrt[n]{(2n)!} \sim \sqrt[n]{\sqrt{4\pi n}} \cdot \sqrt[n]{\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}} = (\text{limitní hodnota } \to 1) \cdot \left(\frac{2n}{e}\right)^2 = \frac{4 n^2}{e^2}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{\frac{4 n^2}{e^2}} = \frac{e^2}{4}. \] Protože \( e^2 \approx 7.389 \), máme \[ L = \frac{7.389}{4} \approx 1.847 > 1. \] Řada tedy diverguje podle odmocninového kritéria.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{3^n}{n!}\right)^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!}. \] Použijeme Stirlingovu formuli: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Pak \[ \frac{3^n}{n!} \sim \frac{3^n}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n} = \frac{3^n e^n}{\sqrt{2\pi n} n^n} = \frac{(3e)^n}{\sqrt{2\pi n} n^n}. \] Porovnáme báze: \[ \frac{(3e)^n}{n^n} = \left(\frac{3e}{n}\right)^n. \] Protože \( \frac{3e}{n} \to 0 \) pro \( n \to \infty \), limitní hodnota je \(0\): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n!} = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n!}{n^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ \frac{n!}{n^n} \sim \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{n^n} = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{1}{e}\right)^n. \] Limita je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{1}{e}\right)^n = 0, \] protože \( (1/e)^n \to 0 \) rychleji než roste \(\sqrt{n}\).

Jelikož \( L=0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n^n}{(2n)!}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (2n)! \): \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{-2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (2n)^{2n} = (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} \cdot 4^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} 4^n n^{n}}. \] Porovnáme růst: \[ e^{2n} = (e^2)^n, \quad 4^n = (4)^n, \quad n^n = e^{n \ln n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^2)^n}{\sqrt{4 \pi n} \cdot 4^n e^{n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^2 / 4)^n}{\sqrt{4 \pi n} e^{n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e^2}{4}\right)^n}{\sqrt{4 \pi n} e^{n \ln n}}. \] Jelikož \( e^{n \ln n} = e^{n \ln n} \) roste rychleji než jakékoliv exponenciální funkce v \( n \), limita jde k nule: \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^3}{5^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{5^n}. \] Exponenciální funkce \( 5^n \) roste rychleji než polynom \( n^3 \), takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{5^n} = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{4^n}{n^{n/3}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^{1/3}}. \] Protože \[ \lim_{n \to \infty} \frac{4}{n^{1/3}} = 0, \] máme \( L = 0 < 1 \), tedy řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Máme řadu \[ \sum_{n=1}^\infty a_n, \quad \text{kde } a_n = \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}. \]

Pro použití odmocninového kritéria spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{\frac{1}{n^2}}. \]

Převedeme limitu na tvar vhodný pro analýzu pomocí logaritmu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp\left( \frac{1}{n^2} \ln \frac{n!}{n^n} \right) = \exp \left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{n!}{n^n} \right). \]

Vypočítáme limitu v exponentu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{n!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \ln(n!) – n \ln n \right). \]

Použijeme Stirlingovu formuli pro aproximaci faktoriálu: \[ \ln(n!) \sim n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n). \]

Dosadíme: \[ \ln(n!) – n \ln n \sim (n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n)) – n \ln n = – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n). \]

Dosadíme do limitního výrazu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{1}{n} + \frac{1}{2 n^2} \ln(2 \pi n) \right). \]

Limity jednotlivých členů jsou \[ \lim_{n \to \infty} -\frac{1}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(2 \pi n)}{2 n^2} = 0, \] tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{n!}{n^n} = 0. \]

Tudíž \[ L = e^0 = 1. \]

Podle odmocninového kritéria, pokud \( L < 1 \), řada konverguje absolutně, pokud \( L > 1 \), řada diverguje. Pro \( L = 1 \) je kritérium nevypovídající.

Závěr: Odmocninové kritérium v tomto případě nestačí rozhodnout o konvergenci řady, je třeba použít jiné kritérium.

Řešení příkladu:

Vyjděme z obecného tvaru členů řady: \[ a_n = \sqrt[n]{\frac{3^n + 2^n}{5^n}}. \] Nejprve upravme výraz pod odmocninou: \[ \frac{3^n + 2^n}{5^n} = \frac{3^n}{5^n} + \frac{2^n}{5^n} = \left(\frac{3}{5}\right)^n + \left(\frac{2}{5}\right)^n. \] Použijeme odmocninové kritérium: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt[n]{\frac{3^n + 2^n}{5^n}}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3^n + 2^n}{5^n}\right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Vzhledem k tomu, že \( \left(\frac{3}{5}\right)^n \) a \( \left(\frac{2}{5}\right)^n \) jdou k nule a bereme \( n \)-tou odmocninu druhé mocniny, postupně lze odhadnout: \[ \left(\frac{3^n + 2^n}{5^n}\right)^{\frac{1}{n^2}} = \exp\left(\frac{1}{n^2} \ln\left(\left(\frac{3}{5}\right)^n + \left(\frac{2}{5}\right)^n\right)\right). \] Protože \( \left(\frac{3}{5}\right)^n \) je dominantní, můžeme přiblížit: \[ \ln\left(\left(\frac{3}{5}\right)^n (1 + (\frac{2}{3})^n)\right) = n \ln \frac{3}{5} + \ln(1 + (\frac{2}{3})^n). \] Limita pak je \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{n \ln \frac{3}{5} + \ln(1 + (\frac{2}{3})^n)}{n^2}\right) = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{\ln \frac{3}{5}}{n} + \frac{\ln(1 + (\frac{2}{3})^n)}{n^2}\right). \] Jelikož \( \frac{\ln \frac{3}{5}}{n} \to 0 \) a \( \frac{\ln(1 + (\frac{2}{3})^n)}{n^2} \to 0 \), dostáváme \[ L = e^0 = 1. \] Proto odmocninové kritérium zde není rozhodující. Je potřeba další analýza, ale řada konverguje podle srovnání s geometrickou řadou s kvocientem \( \frac{3}{5} < 1 \).

Řešení příkladu:

Člen řady je \[ a_n = \left(\frac{n^2}{4^n}\right)^n = \frac{n^{2n}}{4^{n^2}}. \] Podle odmocninového kritéria spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{2n}}{4^{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{4^n}. \] Vyjádříme růst členů: \[ 4^n = e^{n \ln 4}, \quad n^2 = e^{2 \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2 \ln n}}{e^{n \ln 4}} = \lim_{n \to \infty} e^{2 \ln n – n \ln 4}. \] Protože \( n \ln 4 \) roste rychleji než \( 2 \ln n \), limita je \[ L = 0 < 1. \] Tedy řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Člen řady je \[ a_n = \left(\frac{n!}{(3n)!}\right)^{1/n}. \] Podle odmocninového kritéria spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n!}{(3n)!}\right)^{1/n}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{(3n)!}\right)^{1/n^2}. \] Použijeme Stirlingovu formuli: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Vypočteme poměr: \[ \frac{n!}{(3n)!} \sim \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{(n/e)^n}{(3n/e)^{3n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \frac{(n/e)^n}{3^{3n} n^{3n} e^{-3n}}. \] Úprava: \[ = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot e^{3n – n} \cdot \frac{n^n}{3^{3n} n^{3n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} e^{2n} \cdot \frac{1}{3^{3n} n^{2n}}. \] Tedy \[ \frac{n!}{(3n)!} \sim \frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{e^2}{27}\right)^n \frac{1}{n^{2n}}. \] Limitu hledáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{(3n)!}\right)^{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} \left[\frac{1}{\sqrt{3}} \left(\frac{e^2}{27}\right)^n \frac{1}{n^{2n}}\right]^{1/n^2}. \] Převod na exponenciálu: \[ = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{1}{n^2}\left(-\frac{1}{2}\ln 3 + n \ln \frac{e^2}{27} – 2 n \ln n\right)\right). \] Vydělíme každý člen: \[ = \lim_{n \to \infty} \exp\left(-\frac{\ln 3}{2 n^2} + \frac{\ln \frac{e^2}{27}}{n} – \frac{2 \ln n}{n}\right). \] Každý člen jde k nule, tedy \[ L = e^0 = 1. \] Odmocninové kritérium tedy přímo nerozhoduje. Další analýza ukazuje, že řada konverguje díky rychle klesajícím členům.

Řešení příkladu:

Člen řady je \[ a_n = \left(\frac{2^n + 3^n}{6^n}\right)^n. \] Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 3^n}{6^n}. \] Všimněme si, že mezi \( 2^n \) a \( 3^n \) je dominantní \( 3^n \), tedy \[ \frac{2^n + 3^n}{6^n} \sim \frac{3^n}{6^n} = \left(\frac{3}{6}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n. \] Limita je \[ L = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Člen řady je \[ a_n = \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{2n}. \] Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n!}{n^n}\right)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n!}{n^n}\right)^2. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ \frac{n!}{n^n} \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{1}{e}\right)^n. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{1}{e}\right)^n\right)^2 = \lim_{n \to \infty} 2 \pi n \left(\frac{1}{e}\right)^{2n} = 0 < 1. \] Řada tedy absolutně konverguje.

Řešení příkladu:

Člen řady je \[ a_n = \left(\frac{n^3}{n!}\right)^n = \frac{n^{3n}}{(n!)^n}. \] Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Tudíž \[ \frac{n^3}{n!} \sim \frac{n^3}{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n} = \frac{n^3 e^n}{\sqrt{2 \pi n} n^n} = \frac{n^3 e^n}{\sqrt{2 \pi n} e^{n \ln n}} = \frac{n^3 e^n}{\sqrt{2 \pi n} e^{n \ln n}}. \] Jelikož exponent \( n \ln n \) roste rychleji než \( n \), limit je \[ L = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}\right)^{\frac{1}{n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (2n)! \) a \( n! \): \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Pak \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \sim \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{(2 \pi n) (n/e)^{2n} 4^n} = \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n} \cdot e^{0} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \cdot \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n}. \] Přepíšeme členy: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Tudíž \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \cdot \frac{4^n n^{2n}}{n^{2n} 4^n} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}. \] Limita je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{\sqrt{\pi n}}\right)^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} (\pi n)^{-\frac{1}{2n}}. \] Vzhledem k tomu, že \( (\pi n)^{-\frac{1}{2n}} = e^{-\frac{1}{2n} \ln(\pi n)} \) a \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(\pi n)}{2n} = 0, \] platí \[ L = e^0 = 1. \] Jelikož odmocninové kritérium je nevypovídající při \( L = 1 \), řada může konvergovat i divergovat, je potřeba jiné kritérium. Nicméně vzhledem k tomu, že členy postupně klesají a jsou asymptoticky jako \( \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \), což je nekonvergentní pohlaví harmonické řady s exponentem \( \frac{1}{2} \), řada diverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n^n}{(3n)!}\right)^{\frac{1}{n}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^n}{(3n)!}\right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Jelikož exponenciální mocnina jde k jedné pro limitu, posílíme aproximaci: \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{1}{n^2} \ln \frac{n^n}{(3n)!}\right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Tedy \[ \ln \frac{n^n}{(3n)!} \sim n \ln n – \left(3n \ln(3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln(6 \pi n) \right). \] Po úpravě \[ \ln \frac{n^n}{(3n)!} \sim n \ln n – 3n \ln 3n + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n). \] Rozepíšeme logaritmy \[ = n \ln n – 3n (\ln 3 + \ln n) + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n) = n \ln n – 3n \ln 3 – 3n \ln n + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n). \] Spojíme podobné členy \[ = -2n \ln n – 3n \ln 3 + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n). \] Vydělíme \( n^2 \) \[ \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^n}{(3n)!} \sim \frac{-2n \ln n}{n^2} + \frac{-3n \ln 3}{n^2} + \frac{3n}{n^2} – \frac{1}{2 n^2} \ln(6 \pi n). \] Limita jednotlivých členů je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(6 \pi n)}{n^2} = 0, \] tudíž \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^n}{(3n)!} = 0. \] Z toho plyne \[ L = e^0 = 1. \] Odmocninové kritérium tedy nedává jednoznačnou odpověď. Je nutné použít jiné kritérium, například d’Alembertovo.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n!}{3^n n^n}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{3^n n^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Tedy \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{3^n n^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{1}{3e}\right)^n. \] Protože \( \left(\frac{1}{3e}\right)^n \) klesá exponenciálně rychleji než roste \(\sqrt{n}\), platí \[ L = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\sqrt[n]{\frac{n^n}{(n!)^3}}\right|} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^n}{(n!)^3}\right)^{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{1}{n^2} \ln \frac{n^n}{(n!)^3}\right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln (n!) \sim n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n). \] Tudíž \[ \ln \frac{n^n}{(n!)^3} = n \ln n – 3 \ln (n!) \sim n \ln n – 3 \left( n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) \right). \] Po úpravě \[ = n \ln n – 3 n \ln n + 3 n – \frac{3}{2} \ln(2 \pi n) = -2 n \ln n + 3 n – \frac{3}{2} \ln(2 \pi n). \] Vydělíme \( n^2 \) \[ \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^n}{(n!)^3} = \frac{-2 n \ln n}{n^2} + \frac{3 n}{n^2} – \frac{3}{2 n^2} \ln(2 \pi n). \] Limity jednotlivých členů jsou nula, takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^n}{(n!)^3} = 0, \] tedy \[ L = e^0 = 1. \] Odmocninové kritérium je nevypovídající, nutné jiné metody.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{(2n)!}{n^{2n}}\right)^{1/n}\right|} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(2n)!}{n^{2n}}\right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Pak \[ \ln \frac{(2n)!}{n^{2n}} \sim \frac{1}{2} \ln(4 \pi n) + 2n \ln(2n) – 2n – 2n \ln n. \] Úprava: \[ 2n \ln(2n) – 2n \ln n = 2n (\ln 2 + \ln n) – 2n \ln n = 2n \ln 2. \] Tudíž \[ \ln \frac{(2n)!}{n^{2n}} \sim \frac{1}{2} \ln(4 \pi n) + 2n \ln 2 – 2n. \] Vydělíme \( n^2 \) \[ \frac{1}{n^2} \ln \frac{(2n)!}{n^{2n}} \sim \frac{1}{2 n^2} \ln(4 \pi n) + \frac{2n \ln 2}{n^2} – \frac{2n}{n^2} = \frac{\ln(4 \pi n)}{2 n^2} + \frac{2 \ln 2}{n} – \frac{2}{n}. \] Limita je \(0\), protože všechny členy jdou k nule. Tedy \[ L = e^0 = 1, \] což je opět hranice pro odmocninové kritérium, tudíž kritérium není rozhodující. Pro konvergenci je třeba použít jiná kritéria.

Řešení příkladu:

Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}\right)^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}. \]

Použijeme Stirlingovu aproximaci pro faktoriály: \[ m! \sim \sqrt{2 \pi m} \left(\frac{m}{e}\right)^m. \]

Dosadíme: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \]

Pak \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \sim \frac{\sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{\left(\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\right)^2 4^n} = \frac{\sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n} 4^n}. \]

Zjednodušíme odmocniny a mocniny: \[ = \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n} e^{-2n}}{n^{2n} e^{-2n} 4^n} = \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n}. \]

Rozepíšeme mocniny: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \]

Tedy výraz je \[ \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{4^n n^{2n}}{n^{2n} 4^n} = \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} = \frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}. \]

Limita je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0. \]

Protože \( L < 1 \), řada konverguje absolutně podle odmocninového kritéria.

Řešení příkladu:

Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt[n]{\frac{n^{2n}}{(2n)!}}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{2n}}{(2n)!}\right)^{\frac{1}{n^2}}. \]

Upravíme výraz v závorce: \[ \frac{n^{2n}}{(2n)!} = \frac{(n^2)^n}{(2n)!}. \]

Vypočítáme limitu logaritmu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^{2n}}{(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left(2n \ln n – \ln (2n)! \right). \]

Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln (2n)! \sim 2n \ln (2n) – 2n + \frac{1}{2} \ln(4 \pi n). \]

Dosadíme do limity: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – \left(2n \ln (2n) – 2n + \frac{1}{2} \ln(4 \pi n)\right) \right). \]

Úpravou získáme: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – 2n \ln (2n) + 2n – \frac{1}{2} \ln (4 \pi n) \right). \]

Rozepíšeme logaritmus: \[ \ln (2n) = \ln 2 + \ln n, \] tedy \[ 2n \ln (2n) = 2n (\ln 2 + \ln n) = 2n \ln 2 + 2n \ln n. \]

Dosadíme zpět: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – 2n \ln 2 – 2n \ln n + 2n – \frac{1}{2} \ln (4 \pi n) \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( -2n \ln 2 + 2n – \frac{1}{2} \ln (4 \pi n) \right). \]

Rozdělíme limitu na členy: \[ \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{2n \ln 2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} – \frac{1}{2 n^2} \ln (4 \pi n) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( -\frac{2 \ln 2}{n} + \frac{2}{n} – \frac{1}{2 n^2} \ln (4 \pi n) \right). \]

Každý člen limitně směřuje k nule: \[ \lim_{n \to \infty} -\frac{2 \ln 2}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n^2} \ln (4 \pi n) = 0. \]

Proto \[ L = e^0 = 1. \]

Odmocninové kritérium v tomto případě nedává rozhodující odpověď, řada může konvergovat nebo divergovat, je potřeba jiné kritérium.

Řešení příkladu:

Vypočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{n!}{(2n)!}\right)^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(2n)!}. \]

Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \]

Dosadíme: \[ \frac{n!}{(2n)!} \sim \frac{\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{\sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}} = \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{(2n)^{2n} e^{-2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{(2n)^{2n} e^{-2n}}. \]

Upravíme exponenty: \[ = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{2^{2n} n^{2n} e^{-2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{e^n}{2^{2n} n^n}. \]

Přepíšeme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^n}{\sqrt{2} 4^n n^n}. \]

Porovnáme růst složek: \[ e^n = (e)^n, \quad 4^n = (4)^n, \quad n^n = e^{n \ln n}. \]

Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(e/4)^n}{\sqrt{2} e^{n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(e/4)^n}{\sqrt{2} e^{n \ln n}}. \]

Fakt \( e^{n \ln n} \) roste rychleji než jakákoliv exponenciála v \( n \), proto \[ L = 0. \]

Jelikož \( L < 1 \), řada konverguje absolutně podle odmocninového kritéria.

Řešení příkladu:

Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt[n]{\frac{(3n)!}{n^{3n}}}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(3n)!}{n^{3n}}\right)^{\frac{1}{n^2}}. \]

Vypočítáme limitu logaritmu: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{(3n)!}{n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left(\ln (3n)! – 3n \ln n\right). \]

Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln (3n)! \sim 3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n). \]

Dosadíme: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left(3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) – 3n \ln n\right). \]

Úpravou: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left(3n \ln 3 + 3n \ln n – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) – 3n \ln n\right). \]

Vykrátíme členy \( 3n \ln n \): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left(3n \ln 3 – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) \right) = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3 \ln 3 – 3}{n} + \frac{1}{2 n^2} \ln (6 \pi n)\right). \]

Limity obou členů jdou k nule: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3 \ln 3 – 3}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 n^2} \ln (6 \pi n) = 0. \]

Tedy \[ L = e^0 = 1. \]

Odmocninové kritérium je nerozhodné, je potřeba jiné kritérium pro určení konvergence.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu podle odmocninového kritéria: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt[n]{\frac{n^{3n}}{(3n)!}}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{\frac{n^{3n}}{(3n)!}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3n}}{(3n)!}\right)^{\frac{1}{n^2}}. \]

Přepíšeme exponent: \[ \left(\frac{n^{3n}}{(3n)!}\right)^{\frac{1}{n^2}} = \exp\left( \frac{1}{n^2} \left(3n \ln n – \ln (3n)! \right) \right). \]

Pro \(\ln (3n)!\) použijeme Stirlingovu formuli: \[ \ln (3n)! \sim 3n \ln(3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln(6 \pi n). \]

Dosadíme: \[ \frac{1}{n^2} \left(3n \ln n – \left(3n \ln(3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln(6 \pi n) \right) \right). \]

Upravíme výraz v závorce: \[ 3n \ln n – 3n \ln(3n) + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n) = 3n \ln n – 3n (\ln 3 + \ln n) + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n), \] \[ = 3n \ln n – 3n \ln 3 – 3n \ln n + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n) = -3n \ln 3 + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n). \]

Limita tedy je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{-3n \ln 3 + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{-3 \ln 3 + 3}{n} – \frac{\ln(6 \pi n)}{2 n^2}\right) = 0. \]

Protože limita je \(0\), tedy \[ L = e^0 = 1. \] Odmocninové kritérium je nerozhodné, je nutné použít jiné kritérium pro rozhodnutí o konvergenci.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{2^n n!}{(n^2)!}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n!}{(n^2)!}. \]

Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \) a \( (n^2)! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (n^2)! \sim \sqrt{2 \pi n^2} \left(\frac{n^2}{e}\right)^{n^2} = \sqrt{2 \pi} n \left(\frac{n^2}{e}\right)^{n^2}. \]

Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{\sqrt{2 \pi} n \left(\frac{n^2}{e}\right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{n \left(\frac{n^2}{e}\right)^{n^2}}. \]

Upravíme výraz v jmenovateli: \[ \left(\frac{n^2}{e}\right)^{n^2} = \frac{n^{2 n^2}}{e^{n^2}}. \] Výraz tedy je \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{n \frac{n^{2 n^2}}{e^{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{n} n^n e^{-n}}{n n^{2 n^2} e^{-n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{n} n^n e^{-n}}{n^{1 + 2 n^2} e^{-n^2}}. \]

Převedeme exponenty: \[ L = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{n} e^{n^2 – n} \cdot n^{n – 1 – 2 n^2}. \]

Podívejme se na mocninu \( n^{n – 1 – 2 n^2} = e^{(n – 1 – 2 n^2) \ln n} \): \[ n – 1 – 2 n^2 \approx -2 n^2 \quad \text{pro velké } n, \] tedy \[ n^{n – 1 – 2 n^2} \approx e^{-2 n^2 \ln n}. \]

Celý výraz: \[ L \approx \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{n} e^{n^2 – n} e^{-2 n^2 \ln n} = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{n} e^{n^2 – n – 2 n^2 \ln n}. \]

Exponent v závorce: \[ n^2 – n – 2 n^2 \ln n = n^2 (1 – 2 \ln n) – n. \] Jelikož \(\ln n\) roste k nekonečnu, pro velké \( n \) je \( 1 – 2 \ln n < 0 \) velmi záporné, takže exponent jde k \(-\infty\) a tedy celá limita k nule.

Proto \[ L = 0 < 1, \] a řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n^{n^2}}{(n!)^n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n^2/n}}{(n!)^{n/n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n}}{n!}. \]

Použijeme Stirlingovu formuli: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] tedy \[ \frac{n^n}{n!} \sim \frac{n^n}{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n} = \frac{n^n}{\sqrt{2 \pi n}} \cdot \frac{e^n}{n^n} = \frac{e^n}{\sqrt{2 \pi n}}. \]

Limita je \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^n}{\sqrt{2 \pi n}} = +\infty > 1, \] tedy řada diverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{(n!)^2}{(2n)!}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \]

Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \]

Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{( \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n )^2}{ \sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \pi n (n/e)^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}. \]

Upravíme jmenovatel: \[ (2n/e)^{2n} = \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} = \frac{(2n)^{2n}}{e^{2n}}. \] Výraz je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \pi n (n/e)^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} \frac{(2n)^{2n}}{e^{2n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \pi n n^{2n} e^{-2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{-2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \pi n n^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n}}. \]

Zkrátíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \pi n}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{n^{2n}}{(2n)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{2n}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n}. \]

Protože \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2n}\) klesá rychleji než \(\sqrt{n}\) roste, limita je \[ L = 0 < 1, \] řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{3^n \cdot n!}{(2n)!}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \cdot n!}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \(n!\) a \((2n)!\): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme do výrazu: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{-2n}}. \] Zjednodušíme kořeny a exponenty: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{(2n)^{2n} e^{-2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{2^{2n} n^{2n} e^{-2n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ 2^{2n} = 4^n, \quad n^{2n} = (n^n)^2, \] takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{n}}{\sqrt{2} 4^n n^n}. \] Vyjádříme vše jako exponenty: \[ 3^n = e^{n \ln 3}, \quad 4^n = e^{n \ln 4}, \quad n^n = e^{n \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n \ln 3 + n}}{\sqrt{2} e^{n \ln 4 + n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n (\ln 3 + 1)}}{\sqrt{2} e^{n \ln 4 + n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n (\ln 3 + 1 – \ln 4 – \ln n)}}{\sqrt{2}}. \] Vnitřek exponentu je \[ \ln 3 + 1 – \ln 4 – \ln n = (1 + \ln 3 – \ln 4) – \ln n. \] Jelikož \(\ln n \to \infty\), platí \[ 1 + \ln 3 – \ln 4 – \ln n \to -\infty, \] tedy exponent \(n\)-krát záporná hodnota diverguje k \(-\infty\) a \[ L = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n^{2n}}{(3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (3n)! \): \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n)^{3n} e^{-3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 3^{3n} n^{3n}}. \] Zjednodušme mocniny \(n\): \[ n^{2n} / n^{3n} = n^{-n} = \frac{1}{n^n}. \] Výraz tedy je \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 3^{3n} n^{n}}. \] Vyjádříme exponenciály: \[ e^{3n} = (e^3)^n, \quad 3^{3n} = (3^3)^n = 27^n, \quad n^{n} = e^{n \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^3)^n}{\sqrt{6 \pi n} \cdot 27^n e^{n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e^3}{27}\right)^n}{\sqrt{6 \pi n} e^{n \ln n}}. \] Jelikož \( e^{n \ln n} \) roste rychleji než jakákoliv mocnina, \[ L = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{(2n)!}{n^{3n}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{n^{3n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} \frac{(2n)^{2n} e^{-2n}}{n^{3n}}. \] Rozepíšeme mocniny: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} \cdot \frac{4^n n^{2n} e^{-2n}}{n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} 4^n e^{-2n} n^{-n}. \] Vyjádříme exponenty: \[ 4^n = e^{n \ln 4}, \quad e^{-2n} = e^{-2n}, \quad n^{-n} = e^{-n \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} e^{n \ln 4 – 2n – n \ln n}. \] Ve výrazu v exponentu máme \[ n (\ln 4 – 2 – \ln n). \] Protože \(\ln n \to \infty\), výraz \(\ln 4 – 2 – \ln n \to -\infty\), tedy celý exponent jde k \(-\infty\). Proto \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Uvažujeme \[ a_n = \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}. \] Podle odmocninového kritéria potřebujeme spočítat \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(n!)^3}}} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{(3n)!}{(n!)^3}\right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Jelikož exponent je \(\frac{1}{n^2} \to 0\), výpočet přímo tímto způsobem nedává smysl. Proto raději přepíšeme řadu jako \[ b_n = \frac{(3n)!^{1/n}}{(n!)^{3/n}}. \] Pak platí \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(3n)!^{1/n^2}}{(n!)^{3/n^2}} = 1, \] což také není užitečné. Zkusíme tedy použít Stirlingovu aproximaci přímo na původní výraz uvnitř odmocniny: \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Pak \[ \frac{(3n)!}{(n!)^3} \sim \frac{\sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}}{\left(\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\right)^3} = \frac{\sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}}{(2 \pi n)^{3/2} \left(\frac{n}{e}\right)^{3n}}. \] Zjednodušme to: \[ = \frac{\sqrt{6 \pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} \cdot \frac{(3n)^{3n} e^{-3n}}{n^{3n} e^{-3n}} = \frac{\sqrt{6 \pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} \cdot \left(\frac{3n}{n}\right)^{3n} = \frac{\sqrt{6 \pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} \cdot 3^{3n}. \] Vyčíslíme koeficient u odmocniny: \[ \frac{\sqrt{6 \pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} = \frac{\sqrt{6 \pi n}}{(2 \pi n)^{1.5}} = \frac{\sqrt{6 \pi n}}{(2 \pi n)^{1} \sqrt{2 \pi n}} = \frac{\sqrt{6 \pi n}}{2 \pi n \sqrt{2 \pi n}} = \frac{\sqrt{6 \pi n}}{2 \pi n \sqrt{2 \pi n}}. \] Tento výraz se chová jako \(\frac{1}{n}\) pro velká \(n\), což je nepatrné v porovnání s exponenciálním růstem \(3^{3n}\). Celkově tedy máme \[ \frac{(3n)!}{(n!)^3} \sim C \cdot 3^{3n} \cdot \frac{1}{n}, \] kde \(C\) je nějaká konstanta nezávislá na \(n\). Proto \[ a_n = \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(n!)^3}} \sim \sqrt[n]{C \cdot 3^{3n} \cdot \frac{1}{n}} = 3^3 \cdot \sqrt[n]{\frac{C}{n}} = 27 \cdot \sqrt[n]{\frac{C}{n}}. \] Protože \(\sqrt[n]{\frac{C}{n}} \to 1\), dostáváme \[ L = \lim_{n \to \infty} a_n = 27 > 1. \] Podle odmocninového kritéria řada diverguje.

Řešení příkladu:

Vypočteme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{2^n n!}{n^n}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n!}{n^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{2 \pi n} \frac{n^n e^{-n}}{n^n} = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{2 \pi n} e^{-n}. \] Přepíšeme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} (2 e^{-1})^n. \] Protože \[ 2 e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0.7357 < 1, \] máme \[ L = 0, \] jelikož \( (2/e)^n \to 0 \) rychleji než \(\sqrt{n}\) roste. Tedy \( L < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n^{n/2}}{(3n)!}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (3n)! \): \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{\sqrt{6 \pi n} (3n)^{3n} e^{-3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n)^{3n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n} = 27^n n^{3n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{(3n – \frac{n}{2})}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{\frac{5n}{2}}}. \] Přepíšeme exponenciálně: \[ e^{3n} = (e^3)^n, \quad 27^n = (3^3)^n = (27)^n, \quad n^{\frac{5n}{2}} = e^{\frac{5n}{2} \ln n}. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^3)^n}{\sqrt{6 \pi n} (27)^n e^{\frac{5n}{2} \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{e^3}{27}\right)^n}{\sqrt{6 \pi n} e^{\frac{5n}{2} \ln n}}. \] Jelikož \(\ln n \to \infty\), výraz v exponentu \(\frac{5n}{2} \ln n\) roste rychleji než jakýkoliv člen \(\left(\frac{e^3}{27}\right)^n\), tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Nejprve upravíme obecný člen řady: \[ a_n = \left( \frac{3^n}{n^{2n}} \right)^{1/n} = \frac{3^{n \cdot \frac{1}{n}}}{(n^{2n})^{1/n}} = \frac{3}{n^2}. \] Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3}{n^2}}. \] Protože \[ \sqrt[n]{\frac{3}{n^2}} = \frac{\sqrt[n]{3}}{\sqrt[n]{n^2}} = \frac{3^{1/n}}{n^{2/n}}, \] a \[ \lim_{n \to \infty} 3^{1/n} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} n^{2/n} = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{2}{n} \ln n} = e^0 = 1, \] tedy \[ L = \frac{1}{1} = 1. \] Proto odmocninové kritérium je v tomto případě na hraně a neposkytuje jednoznačnou odpověď.

Musíme se podívat na samotný člen \( a_n = \frac{3}{n^2} \), který je kladný a klesá k nule dostatečně rychle, řada tedy konverguje absolutně, protože \( \sum \frac{1}{n^2} \) je konvergentní.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{4^{n^2}}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(2n)!}{4^{n^2}} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} \cdot 4^{-n^2} \right)^{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{4 \pi n} \right)^{\frac{1}{n^2}} \cdot \left(\frac{2n}{e}\right)^{\frac{2n}{n^2}} \cdot 4^{-\frac{n^2}{n^2}}. \] Jednotlivé limity jsou: \[ \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{4 \pi n} \right)^{\frac{1}{n^2}} = 1, \] \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n}{e}\right)^{\frac{2}{n}} = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{2}{n} \ln \frac{2n}{e}} = e^0 = 1, \] \[ \lim_{n \to \infty} 4^{-1} = \frac{1}{4}. \] Tedy \[ L = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} < 1. \] Proto řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \sqrt[n]{\frac{n^n}{(3n)!}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{(3n)!} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} \right)^{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{n}{n^2}}}{(\sqrt{6 \pi n})^{\frac{1}{n^2}}} \cdot \frac{1}{\left(\frac{3n}{e}\right)^{\frac{3n}{n^2}}}. \] Upravíme exponenty: \[ n^{\frac{1}{n}} \to 1, \quad (\sqrt{6 \pi n})^{\frac{1}{n^2}} \to 1, \] \[ \left(\frac{3n}{e}\right)^{\frac{3}{n}} = e^{\frac{3}{n} \ln \frac{3n}{e}} \to e^0 = 1. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 \cdot 1} = 1. \] Odmocninové kritérium tedy nedává jednoznačnou odpověď. Zkusme proto členy analyzovat jinak. Protože \( (3n)! \) roste rychleji než \( n^n \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n}{(n!)^{1/2}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{(n!)^{1/2}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ (n!)^{1/2} \sim ( \sqrt{2 \pi n} )^{1/2} \left(\frac{n}{e}\right)^{n/2} = (2 \pi n)^{1/4} \left(\frac{n}{e}\right)^{n/2}. \] Dosadíme do limitního výrazu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{(2 \pi n)^{1/4} \left(\frac{n}{e}\right)^{n/2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n e^{n/2}}{(2 \pi n)^{1/4} n^{n/2}}. \] Přepíšeme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2 e^{1/2})^n}{(2 \pi n)^{1/4} n^{n/2}}. \] Protože \[ n^{n/2} = e^{\frac{n}{2} \ln n} \] roste rychleji než jakákoliv mocnina, limita jde k nule: \[ L = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \sqrt[n]{\frac{(n!)^2}{(2n)!}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\left( \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \right)^{\frac{2}{n^2}}}{\left( \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} \right)^{\frac{1}{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2 \pi n)^{\frac{1}{n^2}} \left(\frac{n}{e}\right)^{\frac{2n}{n^2}}}{(4 \pi n)^{\frac{1}{2 n^2}} \left(\frac{2n}{e}\right)^{\frac{2n}{n^2}}}. \] Limity základních členů jsou: \[ (2 \pi n)^{\frac{1}{n^2}} \to 1, \quad (4 \pi n)^{\frac{1}{2 n^2}} \to 1, \] \[ \left(\frac{n}{e}\right)^{\frac{2}{n}} = e^{\frac{2}{n} \ln \frac{n}{e}} \to 1, \] \[ \left(\frac{2n}{e}\right)^{\frac{2}{n}} = e^{\frac{2}{n} \ln \frac{2n}{e}} \to 1. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1. \] Odmocninové kritérium tedy nedává jednoznačnou odpověď. Pro bližší analýzu můžeme využít, že \( (2n)! \) roste rychleji než \( (n!)^2 \), proto členy řady jdou k nule dostatečně rychle a řada konverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \sqrt[n]{\frac{n^n}{(n!)^2}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{(n!)^2} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Přepíšeme výraz: \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{1}{n^2} \ln \frac{n^n}{(n!)^2}\right) = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{1}{n^2} (n \ln n – 2 \ln (n!))\right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln (n!) = n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n) + o(1). \] Dosadíme: \[ n \ln n – 2(n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n)) = n \ln n – 2n \ln n + 2n – \ln (2 \pi n) = – n \ln n + 2n – \ln (2 \pi n). \] Takže \[ \frac{1}{n^2}(- n \ln n + 2n – \ln (2 \pi n)) = – \frac{\ln n}{n} + \frac{2}{n} – \frac{\ln (2 \pi n)}{n^2}. \] Limita exponentu je tedy \[ \lim_{n \to \infty} \left(- \frac{\ln n}{n} + \frac{2}{n} – \frac{\ln (2 \pi n)}{n^2} \right) = 0. \] Odtud plyne \[ L = e^0 = 1. \] Jelikož \( L = 1 \), odmocninové kritérium je nejednoznačné, ale členy řady jdou k jedné, což nevyhovuje podmínce nutné pro konvergenci absolutní řady. Další metody by ukázaly, že řada diverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n n!}{(2n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n!}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Pak \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n}}. \] Vyjádříme podíl kořenů: \[ \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{4 \pi n}} = \frac{\sqrt{2 \pi n}}{2 \sqrt{\pi n}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \] Zjednodušíme tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{2n} n^n}{\sqrt{2} (2n)^{2n} e^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{n} n^n}{\sqrt{2} 2^{2n} n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{n}}{\sqrt{2} 4^n n^n}. \] Vyjádříme exponenty \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(3 e)^n}{\sqrt{2} 4^n n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{3 e}{4}\right)^n}{\sqrt{2} n^n}. \] Jelikož \( n^n = e^{n \ln n} \) roste rychleji než exponenciála, máme \[ L = 0 < 1, \] tedy řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{n^n}{(n+1)^{n^2}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{n}{n}}}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(n+1)^n}. \] Zapišme výraz jako \[ \frac{n}{(n+1)^n} = \frac{n}{(n+1)^n} = n (n+1)^{-n} = n \exp(-n \ln (n+1)). \] Vezmeme limitu: \[ \lim_{n \to \infty} n e^{-n \ln (n+1)}. \] Víme, že \( \ln(n+1) \sim \ln n \) pro velké \( n \), tedy \[ \lim_{n \to \infty} n e^{-n \ln n} = \lim_{n \to \infty} n e^{-n \ln n} = \lim_{n \to \infty} n e^{-\ln n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^n} = 0. \] Protože \( L=0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{4^n \left( \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n \right)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{4^n (2 \pi n) (n/e)^{2n}}. \] Zjednodušíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{4^n 2 \pi n} \frac{(2n/e)^{2n}}{(n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{4^n 2 \pi n} \left(\frac{2n}{n}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{4^n 2 \pi n} 2^{2n}. \] To je \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} 4^n}{4^n 2 \pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0. \] Protože \( L=0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n n!}{(2n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n!}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{-2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n}}. \] Zjednodušme odmocniny: \[ \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{4 \pi n}} = \frac{\sqrt{2 \pi n}}{2 \sqrt{\pi n}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \] Dále rozepíšeme \( (2n)^{2n} \): \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n (n/e)^n e^{2n}}{\sqrt{2} 4^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n^n e^{2n} e^{-n}}{\sqrt{2} 4^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{n} n^n}{\sqrt{2} 4^n n^{2n}}. \] Převeďme do exponenciální podoby: \[ n^{2n} = e^{2n \ln n}, \quad n^n = e^{n \ln n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{n} e^{n \ln n}}{\sqrt{2} 4^n e^{2n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n e^{n} e^{n \ln n}}{\sqrt{2} e^{2n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n e^{n}}{\sqrt{2}} e^{-n \ln n}. \] Protože \( e^{-n \ln n} \) klesá rychleji než jakákoliv exponenciála, dostáváme \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Řada má členy \[ a_n = \sqrt[n]{\frac{n^n}{(n!)^2}} = \left(\frac{n^n}{(n!)^2}\right)^{\frac{1}{n}} = \frac{n}{(n!)^{2/n}}. \] Spočítejme limitu pro odmocninové kritérium: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n}{(n!)^{2/n}}}. \] Protože \( a_n \) je již \( n \)-tá odmocnina, odmocninové kritérium zde znamená: \[ L = \lim_{n \to \infty} |a_n|^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{(n!)^{2/n}}\right)^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1/n}}{(n!)^{2/n^2}}. \] Všimněme si, že \( n^{1/n} \to 1 \) a \( (n!)^{2/n^2} = \exp\left(\frac{2}{n^2} \ln n!\right) \). Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln n! \sim n \ln n – n. \] Tedy \[ \frac{2}{n^2} \ln n! \sim \frac{2}{n^2} (n \ln n – n) = \frac{2}{n} \ln n – \frac{2}{n}. \] Limita exprese \[ \exp\left(\frac{2}{n} \ln n – \frac{2}{n}\right) = e^{-2/n} n^{2/n} \to 1, \] protože \( n^{2/n} = e^{(2/n) \ln n} \to 1 \) a \( e^{-2/n} \to 1 \). Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1/n}}{(n!)^{2/n^2}} = 1. \] Odmocninové kritérium je při \( L=1 \) nepostačující k určení konvergence, proto řada nelze pomocí odmocninového kritéria rozhodnout.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n!}{n^n \sqrt{n}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n \sqrt{n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{n^n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi} \frac{(n/e)^n}{n^n} = \sqrt{2 \pi} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{e}\right)^n = 0. \] Protože \( L=0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{n! (3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n! (3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n \cdot \sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\sqrt{12 \pi^2 n^2} (n/e)^n (3n/e)^{3n}}. \] Zjednodušme \[ \sqrt{12 \pi^2 n^2} = \pi n \sqrt{12} = \pi n 2 \sqrt{3}. \] Přepíšeme závorky s mocninami: \[ (n/e)^n (3n/e)^{3n} = \left(\frac{n}{e}\right)^n \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n} = \left(\frac{n}{e}\right)^n 3^{3n} \left(\frac{n}{e}\right)^{3n} = 3^{3n} \left(\frac{n}{e}\right)^{4n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\pi n 2 \sqrt{3} \cdot 3^{3n} (n/e)^{4n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n e^{4n}}{\pi n 2 \sqrt{3} 3^{3n} n^{4n}}. \] Převeďme mocniny \( n \): \[ n^{4n} = (n^n)^4, \quad \text{takže} \quad \frac{n^n}{n^{4n}} = \frac{1}{n^{3n}}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{4n}}{\pi n 2 \sqrt{3} 3^{3n} n^{3n}}. \] Převeďme exponenty: \[ 3^{3n} = (3^3)^n = 27^n, \quad n^{3n} = e^{3n \ln n}. \] Takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{4n}}{\pi n 2 \sqrt{3} 27^n e^{3n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n 2 \sqrt{3}} e^{4n – 3n \ln n – n \ln 27}. \] V argumentu exponentu dominují členy: \[ 4n – 3n \ln n – n \ln 27 = n(4 – 3 \ln n – \ln 27). \] Protože \(\ln n \to \infty\), výraz \(4 – 3 \ln n – \ln 27 \to -\infty\) pro velké \(n\), tedy exponent jde k \(-\infty\). Tedy \[ e^{n(4 – 3 \ln n – \ln 27)} \to 0, \] takže \(L = 0 < 1\) a řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(2n)! \, n!}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{(2n)! \, n!}}. \] Protože máme další odmocninu \( \sqrt[n]{\cdot} \), použijeme její vlastnost: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n)!}{(2n)! \, n!} \right)^{1/n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro každé faktoriálové vyjádření: \[ k! \sim \sqrt{2 \pi k} \left(\frac{k}{e}\right)^k, \] tedy \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ \frac{(3n)!}{(2n)! \, n!} \sim \frac{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n} \cdot \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n} = \frac{\sqrt{6 \pi n}}{\sqrt{8 \pi^2 n^2}} \cdot \frac{(3n)^{3n} e^{-3n}}{(2n)^{2n} e^{-2n} \cdot n^n e^{-n}}. \] Vypočteme koeficient před mocninami: \[ \frac{\sqrt{6 \pi n}}{\sqrt{8 \pi^2 n^2}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{8 \pi n}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2 \pi n}}. \] Zjednodušíme mocniny: \[ \frac{(3n)^{3n}}{(2n)^{2n} n^n} = \frac{3^{3n} n^{3n}}{2^{2n} n^{2n} \cdot n^n} = \frac{3^{3n} n^{3n}}{2^{2n} n^{3n}} = \left(\frac{3^3}{2^2}\right)^n = \left(\frac{27}{4}\right)^n. \] Exponenty e: \[ e^{-3n} / (e^{-2n} e^{-n}) = e^{-3n + 2n + n} = e^{0} = 1. \] Celkově: \[ \frac{(3n)!}{(2n)! \, n!} \sim \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2 \pi n}} \left(\frac{27}{4}\right)^n. \] Nyní tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{6}}{2 \sqrt{2 \pi n}} \left(\frac{27}{4}\right)^n \right)^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{27}{4}\right)}{(2 \sqrt{2 \pi n}/\sqrt{6})^{1/n}}. \] Protože \(\lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1\) pro každé pevné \(a > 0\), dostáváme \[ L = \frac{27}{4} > 1. \] Jelikož \(L > 1\), řada diverguje.

Řešení příkladu:

Uvažujeme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{(3n)!} \right)^{1/n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{(3n)!} \right)^{1/n^2}. \] Vzhledem k složitosti použijeme logaritmus: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n \ln n – \ln (3n)! \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} – \frac{\ln (3n)!}{n^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \(\ln (3n)!\): \[ \ln (3n)! \sim 3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n). \] Dosadíme: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} – \frac{3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} – \frac{3n \ln (3n)}{n^2} + \frac{3n}{n^2} – \frac{\frac{1}{2} \ln (6 \pi n)}{n^2}. \] To je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} – \frac{3 \ln (3n)}{n} + \frac{3}{n} – \frac{const}{n^2}. \] Všechny členy jdou k nule, protože \(\frac{\ln n}{n} \to 0\), \(\frac{\ln(3n)}{n} \to 0\), \(\frac{1}{n} \to 0\). Tedy \[ \ln L = 0 \Rightarrow L = 1. \] Proto odmocninové kritérium je nerozhodné. Pro rozhodnutí použijeme další metodu (například srovnání nebo jiná kritéria). Zde však platí, že řada klesá velmi rychle a lze předpokládat konvergenci.

Řešení příkladu:

Počítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n n!}{(n^2)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n!}{(n^2)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (n^2)! \sim \sqrt{2 \pi n^2} \left( \frac{n^2}{e} \right)^{n^2} = \sqrt{2 \pi} n \left( \frac{n^2}{e} \right)^{n^2}. \] Dosadíme: \[ L \sim \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{\sqrt{2 \pi} n \left( \frac{n^2}{e} \right)^{n^2}} = \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n}}{\sqrt{2 \pi} n n^{2 n^2} e^{-n^2}} = \frac{2^n \sqrt{n} n^n e^{-n}}{n n^{2 n^2} e^{-n^2}}. \] Zjednodušme mocniny \(n\): \[ n^n / n^{2 n^2} = n^{n – 2 n^2} = n^{-2 n^2 + n}. \] Celkově: \[ L = \frac{2^n \sqrt{n} e^{-n}}{n} n^{-2 n^2 + n} e^{n^2} = \frac{2^n \sqrt{n}}{n} n^{-2 n^2 + n} e^{n^2 – n}. \] Pro velká \(n\) dominuje výraz \(n^{-2 n^2}\), což klesá k nule extrémně rychle, i přes exponenciální růst \(e^{n^2}\). Porovnáme exponenciály pomocí logaritmu: \[ \ln L = n \ln 2 + \frac{1}{2} \ln n – \ln n + (-2 n^2 + n) \ln n + n^2 – n. \] Dominující člen je \(-2 n^2 \ln n + n^2\), kde \(-2 n^2 \ln n\) jde k \(-\infty\) rychleji než \(n^2\) roste. Tudíž \(\ln L \to -\infty\) a tedy \(L \to 0 < 1\). Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Počítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ (n!)^2 \sim 2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{-2n}. \] Tedy \[ L \sim \frac{2 \pi n (n/e)^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{-2n}} = \frac{2 \pi n (n/e)^{2n} e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n}} = \frac{2 \pi n n^{2n} e^{0}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{2n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Tudíž \[ L = \frac{2 \pi n}{\sqrt{4 \pi n}} \frac{n^{2n}}{4^n n^{2n}} = \frac{2 \pi n}{\sqrt{4 \pi n}} \frac{1}{4^n} = \frac{2 \pi n}{2 \sqrt{\pi n}} \frac{1}{4^n} = \frac{\pi \sqrt{n}}{\sqrt{\pi n}} \frac{1}{4^n} = \frac{\sqrt{\pi} \sqrt{n}}{\sqrt{\pi n}} \frac{1}{4^n} = \frac{1}{4^n}. \] Protože \(\frac{1}{4^n} \to 0\), platí \[ L = 0 < 1, \] řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{3^n}{n^{n/2}}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^{n/2}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ n^{n/2} = (n^{1/2})^n = (\sqrt{n})^n, \] takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{\sqrt{n}}\right)^n. \] Pro \( n \to \infty \) platí \(\frac{3}{\sqrt{n}} \to 0\), tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^{n}}{(3n)!} \right)^{1/n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \frac{n^{n}}{(3n)!} }^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^{n}}{(3n)!} \right)^{1/n^2}. \] Jelikož \(1/n^2 \to 0\), analyzujme výraz bez odmocniny: \[ a_n = \frac{n^{n}}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (3n)! \sim \sqrt{6\pi n} \left( \frac{3n}{e} \right)^{3n}. \] Pak \[ a_n \sim \frac{n^n}{\sqrt{6\pi n} (3n/e)^{3n}} = \frac{n^n e^{3n}}{\sqrt{6\pi n} (3n)^{3n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n} = 27^n n^{3n}. \] Takže \[ a_n \sim \frac{n^n e^{3n}}{\sqrt{6\pi n} 27^n n^{3n}} = \frac{e^{3n}}{\sqrt{6\pi n} 27^n n^{2n}}. \] Vyjádříme pomocí exponenciál a logaritmů: \[ a_n \sim \frac{(e^3)^n}{\sqrt{6\pi n} 27^n e^{2n \ln n}} = \frac{(e^3/27)^n}{\sqrt{6\pi n} e^{2n \ln n}}. \] Protože \(e^{2n \ln n}\) roste rychleji než jakákoliv mocnina, výraz \(a_n^{1/n^2}\) pro velké \(n\) konverguje k 1. Limita \[ L = \lim_{n \to \infty} a_n^{1/n^2} = 1. \] Odmocninové kritérium je v tomto případě nerozhodné. Nutné použít jiné metody.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{n^{2n}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{n^{2n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4\pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4\pi n} (2n/e)^{2n}}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4\pi n} \left( \frac{2n}{e n} \right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4\pi n} \left( \frac{2}{e} \right)^{2n}. \] Jelikož \(\left(\frac{2}{e}\right)^{2n}\) jde k nule exponenciálně rychle, a \(\sqrt{n}\) roste pomalu, máme \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{(n!)^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n. \] Pak \[ (n!)^2 \sim 2\pi n \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{2\pi n \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n e^{2n}}{2\pi n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{2\pi n n^{n}}. \] Protože \(n^{n} = e^{n \ln n}\) roste rychleji než exponenciála, máme \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n!}{(2n)^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(2n)^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n}{(2n)^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n/e}{2n} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2\pi n} \left( \frac{1}{2e} \right)^n. \] Protože \(\frac{1}{2e} < 1\), výraz exponenciálně klesá k nule a \(\sqrt{n}\) roste pomalu, takže \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n!}{n^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2\pi n} \left( \frac{1}{e} \right)^n = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n n!}{(3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n!}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (3n)! \sim \sqrt{6\pi n} \left( \frac{3n}{e} \right)^{3n}. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2\pi n} (n/e)^n}{\sqrt{6\pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}}{\sqrt{6\pi n} 3^{3n} n^{3n} e^{-3n}}. \] Úprava exponentů: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2\pi n} n^n e^{-n}}{\sqrt{6\pi n} 27^n n^{3n} e^{-3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n e^{2n} \sqrt{2\pi n}}{\sqrt{6\pi n} 27^n n^{2n}}. \] Jelikož \(n^{2n} = e^{2n \ln n}\) roste rychleji než exponenciální faktory, platí \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}. \] Využijeme známý vzorec pro binomický koeficient: \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2}. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)! / (n!)^2}{4^n}. \] Je známo, že \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{4^n / \sqrt{\pi n}}{4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n^{2n}}{(3n)!}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro faktoriál: \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n)^{3n}}. \] Rozepišme jmenovatele: \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n} = 27^n n^{3n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{n}}. \] Porovnejme rychlosti růstu v čitateli a jmenovateli: \[ e^{3n} = (e^3)^n, \quad 27^n = (27)^n, \quad n^{n} = e^{n \ln n}. \] Jelikož \( n^{n} \) roste rychleji než jakákoliv exponenciála \( a^n \), platí \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^3)^n}{\sqrt{6 \pi n} (27)^n e^{n \ln n}} = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{(n!)^3} \frac{1}{5^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^3} \frac{1}{5^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n. \] Pak \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n} }{ \left[ \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n \right]^3 } \frac{1}{5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n} }{ (2 \pi n)^{3/2} (n/e)^{3n} } \frac{1}{5^n}. \] Úprava: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{4 \pi n} }{ (2 \pi n)^{3/2} } \cdot \frac{ (2n)^{2n} e^{-2n} }{ n^{3n} e^{-3n} } \cdot \frac{1}{5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{4 \pi n} }{ (2 \pi n)^{3/2} } \cdot \frac{ (2n)^{2n} e^{n} }{ n^{3n} } \cdot \frac{1}{5^n}. \] Zjednodušení koeficientu před mocninami: \[ \frac{\sqrt{4 \pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} = \frac{2 \sqrt{\pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} = \frac{2}{(2 \pi n)^{1}} = \frac{2}{2 \pi n} = \frac{1}{\pi n}. \] Dále: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Dosadíme do limitního výrazu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \cdot \frac{4^n n^{2n} e^{n}}{n^{3n} 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \cdot \frac{4^n e^{n}}{5^n} \cdot \frac{1}{n^{n}}. \] Vyjádříme exponenty: \[ n^{n} = e^{n \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \cdot \left(\frac{4 e}{5}\right)^n \cdot e^{-n \ln n}. \] Jelikož \( e^{-n \ln n} \) klesá rychleji než exponenciála roste, platí \[ L = 0 < 1, \] což znamená, že řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \frac{3^n}{n^n} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!} \frac{3^n}{n^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{ \left[ \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n \right]^2 }{ \sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n} } \cdot \frac{3^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{ 2 \pi n (n/e)^{2n} }{ \sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n} } \cdot \frac{3^n}{n^n}. \] Zjednodušení: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{ 2 \pi n }{ \sqrt{4 \pi n} } \cdot \frac{ (n/e)^{2n} }{ (2n/e)^{2n} } \cdot \frac{3^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \cdot \left( \frac{n}{2n} \right)^{2n} \cdot \frac{3^n}{n^n}. \] Zjednodušíme zlomky v mocninách: \[ \left( \frac{n}{2n} \right)^{2n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} = \left( \frac{1}{4} \right)^n. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^n \cdot \frac{3^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^n \cdot \frac{1}{n^n}. \] Jelikož \( n^n \) roste nejrychleji, limitní hodnota je \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{3^n n!}{(n^2)!} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n!}{(n^2)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (n^2)! \sim \sqrt{2 \pi n^2} \left( \frac{n^2}{e} \right)^{n^2}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{ \sqrt{2 \pi n^2} (n^2/e)^{n^2} } = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{ \sqrt{2 \pi} n (n^2/e)^{n^2} }. \] Zjednodušení: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n}}{ \sqrt{2 \pi} n } \cdot \frac{(n/e)^n}{(n^2/e)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{n} \cdot \frac{(n/e)^n}{(n^2/e)^{n^2}}. \] Přepíšeme mocniny: \[ (n^2/e)^{n^2} = (n^2)^{n^2} e^{-n^2} = n^{2 n^2} e^{-n^2}. \] Dosadíme do výrazu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{n} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{ n^{2 n^2} e^{-n^2} } = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{n} \cdot n^{n – 2 n^2} \cdot e^{-n + n^2}. \] Vyjádříme exponenty: \[ n – 2 n^2 = -2 n^2 + n, \] takže \[ n^{n – 2 n^2} = e^{(-2 n^2 + n) \ln n}. \] Celý výraz je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{n} \cdot e^{(-2 n^2 + n) \ln n} \cdot e^{-n + n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{\sqrt{n}} \cdot e^{-n + n^2 + (-2 n^2 + n) \ln n}. \] Nejvíce dominantní je část s \( n^2 \) v exponentu: \[ n^2 – 2 n^2 \ln n = n^2 (1 – 2 \ln n). \] Pro velké \( n \) platí \( \ln n \to \infty \), takže \[ 1 – 2 \ln n \to -\infty, \] tedy \[ e^{n^2 (1 – 2 \ln n)} \to 0. \] Protože exponent klesá k \(-\infty\) velmi rychle, celá limita \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{n^n}{(3n)!} \right)^{\frac{1}{n}} \right| } = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{(3n)!} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Jelikož je exponent \(\frac{1}{n^2}\) velmi malý, použijeme aproximaci Stirlingovy formule pro \( (3n)! \): \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} \right)^{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/n^2}}{(3n/e)^{3n/n^2} \cdot (6 \pi n)^{\frac{1}{2 n^2}}}. \] To lze upravit na: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1/n}}{ (3n/e)^{3/n} \cdot (6 \pi n)^{1/(2 n^2)} }. \] Všimneme si, že pro \( n \to \infty \): \[ n^{1/n} = e^{(\ln n)/n} \to 1, \] \[ (3n/e)^{3/n} = e^{\frac{3}{n} \ln(3n/e)} \to 1, \] \[ (6 \pi n)^{1/(2 n^2)} = e^{\frac{1}{2 n^2} \ln(6 \pi n)} \to 1. \] Tudíž \[ L = 1. \] Proto odmocninové kritérium není rozhodující. Musíme tedy zvážit jiné metody, ale vzhledem k tématu příkladu hodnotíme limitu odmocniny řady a protože je rovna \(1\), z tohoto kritéria nelze rozhodnout.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{n! \cdot 2^n}{n^{n+1}} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot 2^n}{n^{n+1}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n 2^n }{ n^{n+1} } = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{ n^n 2^n e^{-n} }{ n^{n+1} } = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{2^n e^{-n}}{n}. \] Upravíme výraz: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{(2/e)^n}{n}. \] Jelikož \( 2/e \approx 0.7357 < 1 \), tak \((2/e)^n \to 0\) velmi rychle, a tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně podle odmocninového kritéria.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{ \left( \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \right)^2 }{ \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} } = \lim_{n \to \infty} \frac{ 2 \pi n \cdot (n/e)^{2n} }{ \sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n} }. \] Zjednodušme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{ 2 \pi n }{ \sqrt{4 \pi n} } \cdot \frac{ (n/e)^{2n} }{ (2n/e)^{2n} } = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \cdot \left(\frac{n/e}{2n/e}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{2n}. \] Jelikož \(\left(\frac{1}{2}\right)^{2n} = \left(\frac{1}{4}\right)^n \to 0\) rychleji než roste \(\sqrt{n}\), dostáváme \[ L = 0 < 1, \] tedy řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{(2n)!}{n^{2n}} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{n^{2n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{ \sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n} }{ n^{2n} } = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} \cdot \left(\frac{2n}{e n}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} \cdot \left(\frac{2}{e}\right)^{2n}. \] Jelikož \(\frac{2}{e} \approx 0.7357 < 1\), tedy \(\left(\frac{2}{e}\right)^{2n} \to 0\) rychle, platí \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{3^n n!}{(2n)^n} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n!}{(2n)^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{(2n)^n} = \lim_{n \to \infty} 3^n \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{(n/e)^n}{(2n)^n} = \lim_{n \to \infty} 3^n \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{2^n n^n}. \] Zjednodušení: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot 3^n \cdot \frac{e^{-n}}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{3}{2e}\right)^n. \] Protože \(\frac{3}{2e} \approx 0.55 < 1\), máme \[ L = 0 < 1, \] tedy řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{n^{n/2}}{(n!)^{1/3}} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{(n!)^{1/3}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ (n!)^{1/3} \sim \left( \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \right)^{1/3} = (2 \pi n)^{1/6} \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^{n/3}. \] Dosadíme zpět do limitního výrazu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{ (2 \pi n)^{1/6} \cdot \left(\frac{n}{e}\right)^{n/3} } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{ (2 \pi n)^{1/6} } \cdot \left(\frac{e}{n}\right)^{n/3}. \] Upravíme exponenty: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2 \pi n)^{1/6}} \cdot n^{n/2} \cdot e^{n/3} \cdot n^{-n/3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2 \pi n)^{1/6}} \cdot n^{n/6} \cdot e^{n/3}. \] Převedeme na exponenciální zápis: \[ n^{n/6} = e^{\frac{n}{6} \ln n}. \] Celkově tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2 \pi n)^{1/6}} \cdot e^{ \frac{n}{6} \ln n + \frac{n}{3} }. \] Jelikož exponent \(\frac{n}{6} \ln n + \frac{n}{3}\) roste k nekonečnu velmi rychle, máme \[ L = +\infty > 1. \] Řada tedy diverguje.

Řešení příkladu:

Podíváme se na limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \sqrt[n]{ \frac{(3n)!}{n^{3n}} } \right| } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{ \frac{(3n)!}{n^{3n}} } = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(3n)!}{n^{3n}} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Přepíšeme výraz na jednodušší formu vhodnou k analýze: \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp\left( \frac{1}{n^2} \ln \left( \frac{(3n)!}{n^{3n}} \right) \right) = \exp \left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \ln (3n)! – 3n \ln n \right) \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (3n)! \): \[ \ln (3n)! \sim 3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n). \] Dosadíme: \[ \frac{1}{n^2} \left( 3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) – 3n \ln n \right) = \frac{1}{n^2} \left( 3n (\ln 3 + \ln n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) – 3n \ln n \right). \] Zjednodušení uvnitř závorky: \[ 3n \ln 3 + 3n \ln n – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) – 3n \ln n = 3n \ln 3 – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n). \] Takže limita v exponentu je \[ \lim_{n \to \infty} \frac{3n \ln 3 – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n (\ln 3 – 1)}{n^2} + \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \ln (6 \pi n)}{n^2}. \] Obě tyto limity jsou nulové, protože jmenovatel roste rychleji než čitatel: \[ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \frac{3n(\ln 3 – 1)}{n^2} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n^2} = 0. \] Tedy \[ L = e^0 = 1. \] Jelikož limita je rovna \(1\), odmocninové kritérium je na hraně. Další analýza by byla nutná, ale pro účely odmocninového kritéria je rozhodnutí nejednoznačné.

Řešení příkladu:

Určíme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{2^n \cdot n!}{(3n)!} \right)^{\frac{1}{n}} \right| } = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2^n \cdot n!}{(3n)!} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Převod na exponenciální zápis: \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp \left( \frac{1}{n^2} \left( n \ln 2 + \ln n! – \ln (3n)! \right) \right) = \exp \left( \lim_{n \to \infty} \frac{n \ln 2 + \ln n! – \ln (3n)!}{n^2} \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \) a \( (3n)! \): \[ \ln n! \sim n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n), \] \[ \ln (3n)! \sim 3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n). \] Dosadíme: \[ \frac{n \ln 2 + n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n) – 3n \ln (3n) + 3n – \frac{1}{2} \ln (6 \pi n)}{n^2}. \] Rozepíšeme \( 3n \ln (3n) = 3n \ln 3 + 3n \ln n \): \[ = \frac{n \ln 2 + n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n) – 3n \ln 3 – 3n \ln n + 3n – \frac{1}{2} \ln (6 \pi n)}{n^2}. \] Seskupíme podle podobných členů: \[ = \frac{n (\ln 2 + \ln n – 1 – 3 \ln 3 – 3 \ln n + 3) + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n) – \frac{1}{2} \ln (6 \pi n)}{n^2}. \] Upravíme výrazy v závorce: \[ \ln n – 3 \ln n = -2 \ln n, \quad -1 + 3 = 2, \] takže \[ = \frac{n (\ln 2 – 3 \ln 3 – 2 \ln n + 2) + \frac{1}{2} \ln \frac{2 \pi n}{6 \pi n}}{n^2} = \frac{n (\ln 2 – 3 \ln 3 – 2 \ln n + 2) + \frac{1}{2} \ln \frac{1}{3}}{n^2}. \] Protože \( \frac{1}{2} \ln \frac{1}{3} \) je konstanta, její příspěvek k limitě je nulový. Soustředíme se na hlavní člen: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n (\ln 2 – 3 \ln 3 – 2 \ln n + 2)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln 2 – 3 \ln 3 + 2 – 2 \ln n}{n}. \] Vzhledem k tomu, že \( \frac{\ln n}{n} \to 0 \), máme \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln 2 – 3 \ln 3 + 2}{n} – \frac{2 \ln n}{n} = 0. \] Tudíž \[ L = e^0 = 1. \] Limita je rovna \(1\), odmocninové kritérium tedy neumožňuje rozhodnout o konvergenci.

Řešení příkladu:

Vyjádříme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{n^n}{(n!)^2} \right)^{\frac{1}{n}} \right| } = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{(n!)^2} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Převedeme na exponent: \[ L = \exp\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n \ln n – 2 \ln n! \right) \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln n! \sim n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n). \] Dosadíme: \[ \frac{1}{n^2} \left( n \ln n – 2 (n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n)) \right) = \frac{1}{n^2} \left( n \ln n – 2 n \ln n + 2 n – \ln (2 \pi n) \right). \] Zjednodušení: \[ = \frac{1}{n^2} \left( – n \ln n + 2 n – \frac{1}{2} \ln (2 \pi n) \right). \] Posuzujeme limitu jednotlivých členů: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{- n \ln n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{- \ln n}{n} = 0, \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0, \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{- \frac{1}{2} \ln (2 \pi n)}{n^2} = 0. \] Celkově \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n \ln n – 2 \ln n! \right) = 0, \] tedy \[ L = e^0 = 1. \] Limitní hodnota odmocniny je \(1\), odmocninové kritérium nerozhoduje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{n!}{(2n)!} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}. \] Dosadíme do výrazu pro limitu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{\sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{(2n)^{2n} e^{-2n}}. \] Zjednodušení kořenů: \[ \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{4 \pi n}} = \frac{\sqrt{2 \pi n}}{2 \sqrt{\pi n}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \] Výraz uvnitř limity tedy je \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{(2n)^{2n} e^{-2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^{n}}{(2n)^{2n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (2n)^{2n} = (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^n}{4^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^n \cdot \frac{n^n}{4^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^n \cdot \frac{1}{4^n n^n}. \] Převedeme na exponenty: \[ \frac{1}{4^n n^n} = e^{-n \ln 4 – n \ln n}. \] Celkově \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}} \exp \left( n – n \ln 4 – n \ln n \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \lim_{n \to \infty} \exp \left( n (1 – \ln 4 – \ln n) \right). \] Pro velká \( n \) výraz \( 1 – \ln 4 – \ln n \) je záporný a absolutní hodnota roste, protože \(\ln n\) jde do nekonečna. Tedy \[ \lim_{n \to \infty} n (1 – \ln 4 – \ln n) = -\infty, \] což znamená \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Podíváme se na limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \sqrt[n]{\frac{(3n)!}{n^{3n}}} \right| } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{\frac{(3n)!}{n^{3n}}}. \] Zjednodušme výraz pod odmocninou: \[ \sqrt[n^2]{\frac{(3n)!}{n^{3n}}} = \left( \frac{(3n)!}{n^{3n}} \right)^{\frac{1}{n^2}} = \exp \left( \frac{1}{n^2} \ln \frac{(3n)!}{n^{3n}} \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Dosadíme do logaritmu: \[ \ln (3n)! \sim \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) + 3n \ln (3n) – 3n, \] a také \[ \ln (n^{3n}) = 3n \ln n. \] Tudíž \[ \ln \frac{(3n)!}{n^{3n}} \sim \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) + 3n \ln (3n) – 3n – 3n \ln n. \] Rozepíšeme rozdíl logaritmů: \[ 3n \ln (3n) – 3n \ln n = 3n (\ln 3 + \ln n – \ln n) = 3n \ln 3. \] Celkem tedy \[ \ln \frac{(3n)!}{n^{3n}} \sim \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) + 3n \ln 3 – 3n. \] Vložíme do exponentu: \[ \frac{1}{n^2} \ln \frac{(3n)!}{n^{3n}} \sim \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) + \frac{3n \ln 3}{n^2} – \frac{3n}{n^2} = \frac{\ln (6 \pi n)}{2 n^2} + \frac{3 \ln 3}{n} – \frac{3}{n}. \] Pro \( n \to \infty \) všechny tyto členy jdou k nule, nejpomaleji členy \(\frac{3 \ln 3}{n}\) a \(\frac{3}{n}\). Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} e^{\frac{\ln (6 \pi n)}{2 n^2} + \frac{3 \ln 3}{n} – \frac{3}{n}} = e^0 = 1. \] Jelikož limita odmocniny je rovna \(1\), odmocninové kritérium zde není rozhodující a řada nemůžeme pomocí něj určit.

Závěr: odmocninové kritérium zde konvergenci nerozhoduje, je třeba použít jiné kritérium.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right)^{\frac{1}{n}} \right| } = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right)^{\frac{1}{n^2}} = \exp\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}. \] Proto \[ \ln (n!)^2 = 2 \ln n! \sim 2 \left( \frac{1}{2} \ln (2 \pi n) + n \ln n – n \right) = \ln (2 \pi n) + 2n \ln n – 2n, \] a \[ \ln (2n)! \sim \frac{1}{2} \ln (4 \pi n) + 2n \ln (2n) – 2n. \] Logaritmus podílu je tedy \[ \ln \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sim \ln (2 \pi n) + 2n \ln n – 2n – \left( \frac{1}{2} \ln (4 \pi n) + 2n \ln (2n) – 2n \right). \] Zjednodušme: \[ = \ln (2 \pi n) – \frac{1}{2} \ln (4 \pi n) + 2n \ln n – 2n \ln (2n). \] Vyjádřme logaritmy: \[ \ln (2 \pi n) – \frac{1}{2} \ln (4 \pi n) = \ln (2 \pi n) – \frac{1}{2} (\ln 4 + \ln \pi + \ln n) = \ln (2 \pi n) – \frac{1}{2} \ln 4 – \frac{1}{2} \ln \pi – \frac{1}{2} \ln n, \] což je \[ = \ln (2 \pi n) – \ln 2 – \frac{1}{2} \ln \pi – \frac{1}{2} \ln n = \ln (2 \pi n / 2) – \frac{1}{2} \ln \pi – \frac{1}{2} \ln n = \ln (\pi n) – \frac{1}{2} \ln \pi – \frac{1}{2} \ln n = \frac{1}{2} \ln \pi + \frac{1}{2} \ln n. \] Dále \[ 2n \ln n – 2n \ln (2n) = 2n \ln n – 2n (\ln 2 + \ln n) = 2n \ln n – 2n \ln 2 – 2n \ln n = -2n \ln 2. \] Celkově tedy \[ \ln \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sim \frac{1}{2} \ln \pi + \frac{1}{2} \ln n – 2n \ln 2. \] Vložíme do limitního exponentu: \[ \frac{1}{n^2} \ln \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sim \frac{1}{2 n^2} \ln \pi + \frac{1}{2 n^2} \ln n – \frac{2n \ln 2}{n^2} = \frac{1}{2 n^2} \ln \pi + \frac{1}{2 n^2} \ln n – \frac{2 \ln 2}{n}. \] Pro \( n \to \infty \) všechny členy jdou k nule, nejpomaleji \(\frac{2 \ln 2}{n}\), tedy \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{(n!)^2}{(2n)!} = 0. \] Proto \[ L = e^0 = 1. \] Opět odmocninové kritérium je na hranici a neposkytuje rozhodnutí.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \frac{3^n n!}{(n^2+1)^n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 n!^{1/n}}{n^2 + 1}. \] Nejprve určíme limitu \( \lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n} \): Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \] takže \[ (n!)^{1/n} \sim \left( \sqrt{2 \pi n} \right)^{1/n} \frac{n}{e} = \exp \left( \frac{1}{n} \ln \sqrt{2 \pi n} \right) \frac{n}{e}. \] Protože \[ \frac{1}{n} \ln \sqrt{2 \pi n} \to 0, \] máme \[ (n!)^{1/n} \sim \frac{n}{e}. \] Dosadíme do výrazu pro \( L \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot \frac{n}{e}}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n/e}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{e n^2 + e} = 0. \] Jelikož \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{n^n}{(n!)^2} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n. \] Proto \[ (n!)^2 \sim 2 \pi n \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \frac{n^n}{2 \pi n \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}} = \frac{n^n}{2 \pi n} \cdot \left( \frac{e}{n} \right)^{2n} = \frac{1}{2 \pi n} n^n e^{2n} n^{-2n}. \] Výraz \( n^n n^{-2n} = n^{-n} = e^{-n \ln n} \), takže \[ L \sim \frac{e^{2n}}{2 \pi n} e^{-n \ln n} = \frac{1}{2 \pi n} e^{2n – n \ln n}. \] Funkce \( 2n – n \ln n = n(2 – \ln n) \to -\infty \), protože \( \ln n \to \infty \) rychleji než konstanta 2. Tudíž \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{n!}{3^n n^n} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{3^n n^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{3^n n^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \frac{n^n}{e^n 3^n n^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{1}{3e} \right)^n. \] Protože \( \left( \frac{1}{3e} \right)^n \to 0 \) rychleji než \( \sqrt{n} \) roste, \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Máme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2^n}{n^{n/2}} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^{n/2}}. \] Píšeme: \[ \frac{2^n}{n^{n/2}} = \left( \frac{2}{n^{1/2}} \right)^n. \] Jelikož \( \frac{2}{n^{1/2}} \to 0 \), tak \( \left( \frac{2}{n^{1/2}} \right)^n \to 0 \) exponenciálně. \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

Hledáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^3}{3^n + n^2} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{3^n + n^2}. \] Pro velká \( n \) dominuje v jmenovateli \( 3^n \), takže \[ \frac{n^3}{3^n + n^2} \sim \frac{n^3}{3^n} \Rightarrow L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{3^n} = 0. \] \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

Spočteme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^n}{e^{n^2}} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{e^{n^2}}. \] Použijeme logaritmus: \[ \ln\left( \frac{n^n}{e^{n^2}} \right) = n \ln n – n^2 \Rightarrow \lim_{n \to \infty} (n \ln n – n^2) = -\infty. \] \[ \Rightarrow \frac{n^n}{e^{n^2}} \to 0 \Rightarrow L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Zkoumáme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{e^n}{n! + n^n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^n}{n! + n^n}. \] Dominantní člen ve jmenovateli je \( n^n \Rightarrow L \sim \frac{e^n}{n^n} \). \[ \frac{e^n}{n^n} = \left( \frac{e}{n} \right)^n \to 0. \] \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

Počítáme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{1}{n \ln n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln n}. \] \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln n} = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Hledáme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{\ln n}{n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}. \] Jelikož \( \ln n / n \to 0 \), pak \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

Počítáme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^{\ln n}}{2^n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\ln n}}{2^n}. \] Použijeme: \[ \ln \left( \frac{n^{\ln n}}{2^n} \right) = \ln n \cdot \ln n – n \ln 2 = (\ln n)^2 – n \ln 2 \to -\infty. \] \[ \Rightarrow \frac{n^{\ln n}}{2^n} \to 0 \Rightarrow L = 0 < 1. \] Řada konverguje.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n! \cdot n^n}{(2n)!} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot n^n}{(2n)!}. \] Stirlingova aproximace: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4\pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \frac{ \sqrt{2\pi n} (n/e)^n \cdot n^n }{ \sqrt{4\pi n} (2n/e)^{2n} } = \frac{ \sqrt{\pi/2} \cdot n^{2n} e^{2n} }{ (2n)^{2n} }. \] \[ \frac{n^{2n}}{(2n)^{2n}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} \Rightarrow L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi/2} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} = 0. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left( \frac{n^n}{n! \cdot 3^n} \right)^n } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n! \cdot 3^n}. \] Použijeme Stirlingovu větu: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \Rightarrow \frac{n^n}{n!} \sim \frac{n^n}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n} = \frac{e^n}{\sqrt{2\pi n}}. \] \[ \Rightarrow L \sim \frac{e^n}{\sqrt{2\pi n} \cdot 3^n} = \frac{(e/3)^n}{\sqrt{2\pi n}} \to 0. \] Řada konverguje.

Řešení příkladu:

Zkoumáme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left( \frac{n^{2n}}{(n!)^2} \right)^n } = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu větu: \[ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \Rightarrow (n!)^2 \sim 2\pi n \cdot \left( \frac{n}{e} \right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ \frac{n^{2n}}{(n!)^2} \sim \frac{n^{2n}}{2\pi n (n/e)^{2n}} = \frac{e^{2n}}{2\pi n}. \] \[ \Rightarrow L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{2\pi n} = \infty > 1. \] Řada diverguje.

Řešení příkladu:

Odmocninové kritérium spočívá ve výpočtu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^2}{3^n + n^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3^n + n^2}. \] Vzhledem k tomu, že \( 3^n \) roste exponenciálně a \( n^2 \) pouze polynomiálně, máme \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3^n + n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3^n} = 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

Vypočteme limitu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{\ln n}{n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}. \] Je známo, že \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n} = 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^n}{n! \cdot e^n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{n! \cdot e^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci \( n! \sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \), dostáváme \[ \frac{n^n}{n! \cdot e^n} \sim \frac{n^n}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n e^n} = \frac{n^n}{\sqrt{2\pi n} \cdot n^n \cdot e^{-n} \cdot e^n} = \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}. \] A tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

Spočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2^n}{n^n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^n}. \] Zavedeme logaritmus: \[ \ln \left( \frac{2^n}{n^n} \right) = n \ln 2 – n \ln n = n(\ln 2 – \ln n). \] Jelikož \( \ln n \to \infty \), dostáváme \[ n(\ln 2 – \ln n) \to -\infty \Rightarrow \frac{2^n}{n^n} \to 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

Vypočítáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^{1/n}}{2} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{1/n}}{2}. \] Víme, že \( \lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1 \), takže \[ L = \frac{1}{2} < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{1}{\ln n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^3}{(n+1)^n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{(n+1)^n}. \] Protože jmenovatel roste exponenciálně a čitatel jen polynomiálně, dostáváme \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

Spočítáme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n!}{n^n \sqrt{n}} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n \sqrt{n}}. \] Použijeme Stirlinga: \[ \frac{n!}{n^n \sqrt{n}} \sim \frac{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n}{n^n \sqrt{n}} = \sqrt{2\pi} \cdot \frac{(1/e)^n}{1} = \sqrt{2\pi} \cdot \left(\frac{1}{e}\right)^n. \] Tedy \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{1}{n^2 + \ln n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2 + \ln n} = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

Nejprve zjistíme dominantní člen ve jmenovateli: \( n^n \gg n! \Rightarrow n! + n^n \sim n^n \), takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{e^n}{n^n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{e^n}{n^n} \right) = 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně.} \]

Řešení příkladu:

Máme \( a_n = \frac{n^{3n}}{3^{n^2}} \). Použijeme odmocninové kritérium:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{3n}}{3^{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{3^n}. \]

Čitatel je polynomiální, jmenovatel exponenciální. Proto:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{3^n} = 0 < 1. \]

Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Definujeme členy řady jako:

\[ a_n = \left( \frac{2^n}{n^{\ln n}} \right)^n. \]

Odmocninové kritérium dává:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^{\ln n}}. \]

Zapíšeme mocninu jako exponenciálu:

\[ \frac{2^n}{n^{\ln n}} = \frac{e^{n \ln 2}}{e^{\ln n \cdot \ln n}} = \frac{e^{n \ln 2}}{e^{(\ln n)^2}} = e^{n \ln 2 – (\ln n)^2}. \]

Protože \( (\ln n)^2 \ll n \ln 2 \), platí:

\[ L = \infty > 1. \]

Řada diverguje.

Řešení příkladu:

Uvažujme členy řady:

\[ a_n = \left( \frac{(\ln n)^n}{n^n} \right). \]

Pak:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n}. \]

\[ L = 0 < 1. \]

Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Máme:

\[ a_n = \left( \frac{n^n}{(n+1)^n} \right)^n = \left( \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \right)^n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2}. \]

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \]

\[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \to \frac{1}{e}. \]

L = \frac{1}{e} < 1. \]

Řada konverguje.

Řešení příkladu:

\[ a_n = \frac{(n!)^n}{n^{n^2}}, \quad \sqrt[n]{a_n} = \frac{n!}{n^n}. \]

Použijeme Stirlingovu aproximaci:

\[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \Rightarrow \frac{n!}{n^n} \sim \sqrt{2 \pi n} \cdot \left( \frac{1}{e} \right)^n. \]

L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \left( \frac{1}{e} \right)^n = 0 < 1. \]

Řada konverguje.

Řešení příkladu:

\[ a_n = \left( \frac{n^{2n}}{(n!)^n} \right), \quad \sqrt[n]{a_n} = \frac{n^2}{n!}. \]

Protože \( n! \to \infty \) rychleji než \( n^2 \), platí:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n!} = 0 < 1. \]

Řada konverguje.

Řešení příkladu:

\[ a_n = \left( \frac{1}{\sqrt{n} \cdot \ln(n+1)} \right)^n, \quad \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{\sqrt{n} \cdot \ln(n+1)}. \]

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} \cdot \ln(n+1)} = 0 < 1. \]

Řada konverguje.

Řešení příkladu:

\[ a_n = \left( \frac{n}{\ln(n+1)} \right)^n, \quad \sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{\ln(n+1)}. \]

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\ln(n+1)} = \infty > 1. \]

Řada diverguje.

Řešení příkladu:

\[ a_n = \left( \frac{\ln(n)}{n} \right)^n, \quad \sqrt[n]{a_n} = \frac{\ln(n)}{n}. \]

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0 < 1. \]

Řada konverguje.

Řešení příkladu:

\[ a_n = \left( \frac{n}{e^n + 1} \right)^n, \quad \sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{e^n + 1}. \]

\[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n + 1} = 0 < 1. \]

Řada konverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n. \] Použijeme substituci: \[ \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n. \] Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = \frac{1}{e}. \] Tedy \[ L = \frac{1}{e} < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Hledáme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{\ln(n)}{n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}. \] Víme, že \( \ln(n) \ll n \), takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{1}{\ln(n)} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n)}. \] Víme, že \( \ln(n) \to \infty \), takže \[ \frac{1}{\ln(n)} \to 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n+1}{n} \right)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n. \] Přepíšeme: \[ \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e. \] Tedy \[ L = e > 1. \] Řada diverguje.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n}{n+e^n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+e^n}. \] Protože \( e^n \gg n \), dostáváme \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e^n} = 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

\[ \sqrt[n]{\left( \frac{1}{n^{1/n}} \right)^n} = \frac{1}{n^{1/n}}. \] Víme, že \( \lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1 \), takže \[ \frac{1}{n^{1/n}} \to 1. \] Tedy \[ L = 1. \] Odmocninové kritérium je neprůkazné.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^2}{n^2+1} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2+1}. \] Jelikož \[ \frac{n^2}{n^2+1} \to 1, \] dostáváme \[ L = 1. \] Odmocninové kritérium je neprůkazné.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{1}{\sqrt{n}+1} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}+1}. \] Tato limita je nula, protože jmenovatel roste do nekonečna: \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{1}{\ln(n)^2} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n)^2} = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^2}{2^n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n}. \] Exponenciála \( 2^n \) roste rychleji než jakýkoliv polynom, takže \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^n} = 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^3}{3^n + 1} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{3^n + 1}. \] Jelikož \( 3^n \gg n^3 \), platí: \[ \frac{n^3}{3^n + 1} \sim \frac{n^3}{3^n}. \] A protože \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{3^n} = 0, \] dostáváme: \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}.

Řešení příkladu:

Máme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{\ln(n)}{n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n}. \] Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0, \] takže \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

Počítejme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{1}{n \ln(n)} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln(n)}. \] Jelikož \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln(n)} = 0, \] dostáváme: \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

Vzhledem k faktoriálu ve jmenovateli očekáváme konvergenci. Spočítejme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2^n + n^2}{n!} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + n^2}{n!}. \] Pro velká \( n \) dominuje \( 2^n \) v čitateli, takže \[ \frac{2^n + n^2}{n!} \sim \frac{2^n}{n!}. \] Víme, že \[ \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n!} = 0, \] takže \[ L = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \frac{n^{\sqrt{n}}}{(n+1)^n} \). Potom: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{\sqrt{n}/n}}{n+1}. \] Protože \( \sqrt{n}/n \to 0 \), platí \( n^{\sqrt{n}/n} \to 1 \), a tedy: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{1}{\sqrt[n]{n}} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}. \] Víme, že \( \sqrt[n]{n} \to 1 \), takže: \[ L = 1 \Rightarrow \text{kritérium selhává}. \] Zkusíme jinou metodu (například logaritmickou), ale v rámci odmocninového kritéria nelze rozhodnout.

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{\ln(n)^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n)} = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} \). Potom: \[ \ln(a_n) = n^2 \ln\left( \frac{n}{n+1} \right) = n^2 \ln\left(1 – \frac{1}{n+1} \right) \sim -n^2 \cdot \frac{1}{n+1} \sim -n. \] Takže \( a_n \sim e^{-n} \Rightarrow \sqrt[n]{a_n} \sim \sqrt[n]{e^{-n}} = e^{-1} \), tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = e^{-1} < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje absolutně}. \]

Řešení příkladu:

\[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2n}{2n+1} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n+1} = 1 \Rightarrow \text{kritérium selhává}. \]

Řešení příkladu:

Pozorujme, že pro lichá \( n \) je člen \( 0 \), pro sudá \( n \) je člen \( \left( \frac{2}{n} \right)^n \). Označme tuto podřadu jako: \[ a_n = \left( \frac{2}{n} \right)^n. \] Spočítejme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{2}{n} \right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0 < 1 \Rightarrow \text{řada konverguje}. \]

Řešení příkladu:

Odmocninové kritérium spočívá ve výpočtu limity:

Je známo, že \( \frac{\ln(n)}{n} \to 0 \), takže

Řešení příkladu:

Využijeme odmocninové kritérium:

Protože \( \ln(n) \to \infty \), máme

Řešení příkladu:

Je známo, že \( \frac{2^n}{n!} \to 0 \), protože faktoriál roste rychleji než exponenciála.

Řešení příkladu:

Protože jmenovatel exponenciálně roste a čitatel jen polynomiálně, máme

Řešení příkladu:

Použijeme Stirlingovu aproximaci:

Řešení příkladu:

Řada je tedy \( \sum \frac{1}{n} \), což je harmonická řada ⇒ diverguje.

Řešení příkladu:

Jelikož \( n^n \) roste rychleji než \( e^n \), máme

Řešení příkladu:

Řešení příkladu:

Nechť \( a_n = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n^2} \). Potom

Použijeme Taylorův rozvoj:

Řešení příkladu:

Odmocninové kritérium:

Použijeme Stirlingovu aproximaci:

Řešení příkladu:

Vypočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n}{n^{n/2}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^{n/2}}. \] Přepíšeme jmenovatel pomocí exponenciály: \[ n^{n/2} = e^{\frac{n}{2} \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{e^{\frac{n}{2} \ln n}} = \lim_{n \to \infty} e^{n \ln 3 – \frac{n}{2} \ln n} = \lim_{n \to \infty} e^{n \left(\ln 3 – \frac{1}{2} \ln n \right)}. \] Protože \( \ln n \to \infty \) a převyšuje konstantu \( \ln 3 \), výraz v závorce je pro dostatečně velké \( n \) záporný a klesá k \(-\infty\): \[ \ln 3 – \frac{1}{2} \ln n \to -\infty, \] což znamená \[ L = e^{-\infty} = 0. \] Jelikož \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Vypočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^{n/3}}{(3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/3}}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (3n)! \): \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/3}}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/3}}{\sqrt{6 \pi n}} \cdot \frac{e^{3n}}{(3n)^{3n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n} = 27^n n^{3n}. \] Takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/3} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n} \cdot \frac{n^{n/3}}{n^{3n}}. \] Podívejme se na druhý zlomek: \[ \frac{n^{n/3}}{n^{3n}} = n^{n/3 – 3n} = n^{- \frac{8n}{3}} = e^{-\frac{8n}{3} \ln n}. \] Výraz tedy je \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n} \cdot e^{-\frac{8n}{3} \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^{3} / 27)^n}{\sqrt{6 \pi n}} \cdot e^{-\frac{8n}{3} \ln n}. \] Jelikož \( e^3 \approx 20.0855 < 27 \), máme \( \frac{e^3}{27} < 1 \), a exponent s \(-\frac{8n}{3} \ln n\) jde k \(-\infty\) ještě rychleji, takže \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Určíme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n! \cdot 2^n}{n^{2n}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot 2^n}{n^{2n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 2^n}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{n^n 2^n}{e^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{2^n}{e^n n^n}. \] Přepíšeme exponenty: \[ n^n = e^{n \ln n}, \quad 2^n = e^{n \ln 2}, \quad e^n = e^n. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{n(\ln 2 – 1 – \ln n)} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{n(\ln 2 – 1 – \ln n)}. \] Jelikož \( \ln n \to \infty \), člen v závorce klesá k \(-\infty\), takže exponent klesá velmi rychle a převáží i růst odmocniny: \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^{2n}}{(n!)^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Pak \[ (n!)^2 \sim 2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{2 \pi n (n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{2 \pi n} \cdot \frac{e^{2n}}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{2 \pi n}. \] Exponenciální růst převyšuje polynomiální růst v jmenovateli, proto \[ L = +\infty > 1, \] což znamená, že řada diverguje.

Řešení příkladu:

Vypočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{5^n \cdot n!}{(2n)^{2n}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{5^n \cdot n!}{(2n)^{2n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Pak \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{5^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{(2n)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot 5^n \cdot \frac{n^n}{e^n (2n)^{2n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot 5^n \cdot \frac{n^n}{e^n \cdot 4^n \cdot n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{5^n}{e^n 4^n} \cdot \frac{1}{n^n}. \] Exponenciály převedeme na základ e: \[ 5^n = e^{n \ln 5}, \quad 4^n = e^{n \ln 4}, \quad e^n = e^n, \quad n^n = e^{n \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{n(\ln 5 – 1 – \ln 4)} \cdot e^{- n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot e^{n(\ln(5/4) – 1)} \cdot e^{- n \ln n}. \] Protože \( \ln(5/4) \approx 0.223 \), takže \( \ln(5/4) – 1 < 0 \), a exponent s \(- n \ln n\) rychle klesá k \(-\infty\), limita je \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Vypočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Pak \[ (n!)^2 \sim 2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{2 \pi n (n/e)^{2n} 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n}. \] Přepíšeme výraz: \[ \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n} = \frac{2^{2n} n^{2n}}{n^{2n} 4^n} = \frac{2^{2n}}{4^n} = \frac{4^n}{4^n} = 1. \] Takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{\pi n}}{\pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0. \] Protože \( L=0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n n!}{n^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n!}{n^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] tedy \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} 3^n \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{1}{e}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{3}{e}\right)^n. \] Protože \( \frac{3}{e} > 1 \), tedy \(\left(\frac{3}{e}\right)^n \to \infty\) a rychle převáží růst \(\sqrt{n}\), dostáváme \[ L = \infty > 1. \] Řada diverguje.

Řešení příkladu:

Počítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^{n/2}}{(3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (3n)! \): \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n)^{3n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n} = 27^n n^{3n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{(3n – n/2)}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{\frac{5n}{2}}}. \] Přepíšeme exponenciály: \[ 27^n = e^{n \ln 27}, \quad n^{\frac{5n}{2}} = e^{\frac{5n}{2} \ln n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} e^{n \ln 27} e^{\frac{5n}{2} \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{6 \pi n}} e^{n (3 – \ln 27 – \frac{5}{2} \ln n)}. \] Protože \(\ln n \to \infty\), člen \( -\frac{5}{2} \ln n \to -\infty\) a tedy celý exponent jde k \(-\infty\), takže \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n n^n}{(n!)^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n^n}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ (n!)^2 \sim 2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n^n}{2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n^n}{2 \pi n} \cdot \frac{e^{2n}}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n} 2^n n^n}{2 \pi n n^{2n}}. \] Přepíšeme mocniny \( n \): \[ n^n / n^{2n} = n^{-n} = e^{-n \ln n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n} 2^n}{2 \pi n} e^{-n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 \pi n} e^{n (2 + \ln 2 – \ln n)}. \] Protože \( \ln n \to \infty \), exponent \( 2 + \ln 2 – \ln n \to -\infty \) a tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{4^{2n} (n!)^3} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{4^{2n} (n!)^3}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme \[ (n!)^3 \sim (2 \pi n)^{3/2} \left(\frac{n}{e}\right)^{3n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{4^{2n} (2 \pi n)^{3/2} (n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} \cdot \frac{(2n)^{2n} e^{-2n}}{4^{2n} n^{3n} e^{-3n}}. \] Zjednodušení kořenových členů: \[ \frac{\sqrt{4 \pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} = \frac{2 \sqrt{\pi n}}{(2 \pi n)^{3/2}} = \frac{2}{(2 \pi n)^{1}} = \frac{2}{2 \pi n} = \frac{1}{\pi n}. \] Přepíšeme mocniny: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}, \quad 4^{2n} = (4^2)^n = 16^n. \] Dosadíme do výrazu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \cdot \frac{4^n n^{2n} e^{-2n}}{16^n n^{3n} e^{-3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \cdot \frac{4^n e^{-2n} n^{2n}}{16^n e^{-3n} n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} \cdot \frac{4^n e^{n} }{16^n n^n}. \] Přepíšeme mocniny na exponenciály: \[ 4^n = e^{n \ln 4}, \quad 16^n = e^{n \ln 16} = e^{n \cdot 2 \ln 4}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} e^{n (\ln 4 + 1 – 2 \ln 4 – \ln n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\pi n} e^{n (1 – \ln 4 – \ln n)}. \] Protože \(\ln n \to \infty\), exponent \(1 – \ln 4 – \ln n \to -\infty\), tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[\sqrt{n}]{\left| \left(\frac{3^n}{n^{n/2}}\right)^{\sqrt{n}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{n^{n/2}}. \] Přepíšeme: \[ \frac{3^n}{n^{n/2}} = e^{n \ln 3 – \frac{n}{2} \ln n} = e^{n (\ln 3 – \frac{1}{2} \ln n)}. \] Pro velké \(n\) platí \(\ln n \to \infty\), tedy výraz v exponentu jde k \(-\infty\), protože \(\ln 3\) je konstanta. Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} e^{n(\ln 3 – \frac{1}{2} \ln n)} = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n!}{(2n)!} \right)^{1/n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{(2n)!} \right)^{1/n^2}. \] Exponent \(1/n^2 \to 0\), proto použijeme logaritmus a Stirlingovu aproximaci: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( \ln n! – \ln (2n)! \right). \] Použijeme Stirlingovu formuli: \[ \ln n! \sim n \ln n – n, \quad \ln (2n)! \sim 2n \ln (2n) – 2n. \] Tudíž \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n \ln n – n – 2n \ln (2n) + 2n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n \ln n – n – 2n \ln (2n) + 2n}{n^2}. \] Vyjádříme v čitateli: \[ n \ln n – n – 2n (\ln 2 + \ln n) + 2n = n \ln n – n – 2n \ln 2 – 2n \ln n + 2n = n \ln n – 2n \ln n – n – 2n \ln 2 + 2n. \] To je \[ -n \ln n + n – 2n \ln 2. \] Celé tedy: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{-n \ln n + n – 2n \ln 2}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{-\ln n + 1 – 2 \ln 2}{n} = 0. \] Protože \(\ln L = 0 \Rightarrow L = 1\), odmocninové kritérium je nejednoznačné. Pro jistotu ale spočítáme limitu základního výrazu: \[ a_n = \left(\frac{n!}{(2n)!}\right)^{1/n} \Rightarrow \sqrt[n]{|a_n|} = \left(\frac{n!}{(2n)!}\right)^{1/n^2} \to 1, \] což potvrzuje, že test neřeší konvergenci řady. Další metody by byly potřeba, ale zde konvergence odmocninovým kritériem není určená.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}. \] Poznáme výraz, který je známý jako binomický koeficient: \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}. \] Je známo, že \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} \cdot \frac{1}{4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{(n!)^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] tedy \[ (n!)^2 \sim 2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{2 \pi n} \cdot \left(\frac{e}{n}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n e^{2n}}{2 \pi n n^{2n}}. \] Přepíšeme: \[ n^n n^{2n} = n^{3n}, \] takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{2 \pi n} \cdot \frac{1}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{2 \pi n} e^{-2n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 \pi n} e^{2n (1 – \ln n)}. \] Protože \(\ln n \to \infty\), exponent jde k \(-\infty\), tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n n!}{(3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n!}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n}}{\sqrt{6 \pi n} 3^{3n} n^{3n} e^{-3n}}. \] Zjednodušíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{3^{3n}} \cdot \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{6 \pi n}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{n^{3n} e^{-3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{27^n} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \frac{e^{2n}}{n^{2n}}. \] Přepíšeme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \left(\frac{2}{27}\right)^n \cdot e^{2n} \cdot e^{-2n \ln n}. \] Protože \(e^{-2n \ln n}\) dominuje a jde k \(0\) rychleji než exponenciály rostou, \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^{2n}}{(2n)!} \right)^{1/n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^{2n}}{(2n)!} \right)^{1/n^2}. \] Exponent \(1/n^2 \to 0\), použijeme logaritmus a Stirlingovu aproximaci: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – \ln (2n)! \right). \] Stirling: \[ \ln (2n)! \sim 2n \ln (2n) – 2n. \] Dosadíme: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{2n \ln n – 2n \ln (2n) + 2n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n \ln n – 2n (\ln 2 + \ln n) + 2n}{n^2}. \] Čitatel: \[ 2n \ln n – 2n \ln 2 – 2n \ln n + 2n = -2n \ln 2 + 2n = 2n(1 – \ln 2). \] Tudíž \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{2n(1 – \ln 2)}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{2(1 – \ln 2)}{n} = 0. \] Z toho plyne \(L = 1\), takže odmocninové kritérium je nejednoznačné. Pro jistotu analyzujme základní limitu: \[ a_n = \left(\frac{n^{2n}}{(2n)!}\right)^{1/n}, \] kterou můžeme zkoumat pomocí jiné metody (například poměrového kritéria).

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n \sqrt{n}}{(n!)^{1/3}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{(n!)^{1/3}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] tedy \[ (n!)^{1/3} \sim ( \sqrt{2 \pi n} )^{1/3} \left(\frac{n}{e}\right)^{n/3} = (2 \pi n)^{1/6} \left(\frac{n}{e}\right)^{n/3}. \] Dosadíme do limity: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{(2 \pi n)^{1/6} \left(\frac{n}{e}\right)^{n/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{(2 \pi n)^{1/6}} \cdot \frac{e^{n/3}}{n^{n/3}}. \] Přepíšeme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{n/3} \sqrt{n}}{(2 \pi n)^{1/6} n^{n/3}}. \] Vezmeme logaritmus limity: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \left( n \ln 3 + \frac{n}{3} – \frac{n}{3} \ln n + \frac{1}{2} \ln n – \frac{1}{6} \ln(2 \pi n) \right). \] Nejdominantnější člen je \( -\frac{n}{3} \ln n \), který jde k \(-\infty\) rychleji než ostatní rostou. Tedy \[ \ln L = -\infty \Rightarrow L = 0. \] Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n^{2n}}{(3n)!}\right)^{1/n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^{2n}}{(3n)!} \right)^{1/n^2}. \] Protože odmocnina je \(\sqrt[n]{a^{1/n}} = a^{1/n^2}\), tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{1}{n^2} \ln \frac{n^{2n}}{(3n)!}\right). \] Pro výpočet limitní hodnoty uvnitř exponenciály uvažujeme \[ \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^{2n}}{(3n)!} = \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – \ln (3n)! \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (3n)! \): \[ \ln (3n)! \sim 3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n). \] Dosadíme: \[ \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – \left( 3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) \right) \right) = \] \[ = \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – 3n \ln (3n) + 3n – \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) \right). \] Zjednodušíme: \[ = \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – 3n (\ln 3 + \ln n) + 3n – \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) \right) = \] \[ = \frac{1}{n^2} \left( 2n \ln n – 3n \ln 3 – 3n \ln n + 3n – \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) \right) = \] \[ = \frac{1}{n^2} \left( – n \ln n – 3n \ln 3 + 3n – \frac{1}{2} \ln (6 \pi n) \right). \] Při limitě \( n \to \infty \) je dominantní člen \(- \frac{n \ln n}{n^2} = -\frac{\ln n}{n} \to 0 \). Ostatní členy také jdou k nule rychleji: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^{2n}}{(3n)!} = 0. \] Tedy \[ L = \exp(0) = 1. \] Proto odmocninové kritérium je nerozhodné, nutné použít jinou metodu (například d’Alembertovo nebo Gaussovo kritérium).

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}. \] Známá je identita: \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \cdot \frac{1}{4^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ L \sim \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{\left( \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n \right)^2 4^n} = \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{2 \pi n (n/e)^{2n} 4^n}. \] Zjednodušíme: \[ L = \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n} e^{-2n}}{n^{2n} e^{-2n} 4^n} = \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n}. \] Přepíšeme mocniny: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{4^n n^{2n}}{n^{2n} 4^n} = \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} = \frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} = \frac{\sqrt{\pi n}}{\pi n} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}}. \] Limita je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 5^n}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{(n/e)^n 5^n}{(2n/e)^{2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{(n/e)^n 5^n}{(2n/e)^{2n}}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (2n/e)^{2n} = (2n)^{2n} e^{-2n} = 2^{2n} n^{2n} e^{-2n} = 4^n n^{2n} e^{-2n}. \] Tedy \[ L = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^{-n} 5^n}{4^n n^{2n} e^{-2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n 5^n e^{-n}}{4^n n^{2n} e^{-2n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{5^n e^{n}}{4^n n^{n}}. \] Přepíšeme: \[ L = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{(5 e)^n}{4^n n^n} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{(5e/4)^n}{n^n}. \] Protože \( n^n = e^{n \ln n} \) roste rychleji než libovolná mocnina, máme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(5e/4)^n}{e^{n \ln n}} = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}. \] Vyjádříme poměr pomocí Stirlingovy aproximace: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ (n!)^2 \sim 2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}. \] Podobně \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme do limity: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}{2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n} 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n} e^{-2n}}{n^{2n} e^{-2n} 4^n}. \] Zjednodušíme exponenty: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{2^{2n} n^{2n}}{n^{2n} 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{4^n}{4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n}. \] Protože \[ \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} = \frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} = \frac{\sqrt{\pi n}}{\pi n} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \to 0, \] platí \[ L=0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3^n n!}{n^n}}^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^n n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Vezmeme logaritmus limity: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \ln \left( 3^n \frac{n!}{n^n} \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n \ln 3 + \ln (n!) – n \ln n \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln (n!) \sim n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n). \] Dosadíme: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n \ln 3 + n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n) – n \ln n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n \ln 3 – n + \frac{1}{2} \ln (2 \pi n) \right). \] Zjednodušeno: \[ \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{n (\ln 3 – 1)}{n^2} + \frac{1}{2 n^2} \ln (2 \pi n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln 3 – 1}{n} + 0 = 0. \] Protože exponenciála nulové limity je 1, máme \[ L = 1. \] Odmocninové kritérium je tedy nerozhodné.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{(n!)^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ (n!)^2 \sim 2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{2 \pi n \left(\frac{n}{e}\right)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{2 \pi n} \cdot \left(\frac{e}{n}\right)^{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n e^{2n}}{2 \pi n n^{2n}}. \] Zjednodušíme mocniny: \[ n^n n^{2n} = n^{3n}, \] takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{2 \pi n} \cdot \frac{1}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{2 \pi n n^{2n}}. \] Exponenciální část a mocnina: \[ e^{2n} = (e^2)^n, \quad n^{2n} = (n^2)^n, \] tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^2)^n}{2 \pi n (n^2)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 \pi n} \left(\frac{e^2}{n^2}\right)^n. \] Protože \( n^2 \) roste rychleji než \( e^2 \), máme \[ \left(\frac{e^2}{n^2}\right)^n \to 0, \] a tedy \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n!}{3^n n^{n/2}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{3^n n^{n/2}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{3^n n^{n/2}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{n^n}{e^n 3^n n^{n/2}}. \] Zjednodušíme mocniny \( n \): \[ \frac{n^n}{n^{n/2}} = n^{n/2}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \cdot \frac{n^{n/2}}{(3 e)^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{\sqrt{n}}{3 e}\right)^n. \] Porovnáme růst: \[ \sqrt{n} \to \infty, \] takže \[ \frac{\sqrt{n}}{3 e} \to \infty, \] a tedy \[ \left(\frac{\sqrt{n}}{3 e}\right)^n \to \infty. \] Protože předpokládáme \[ L = \infty > 1, \] řada diverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n n!}{n^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n!}{n^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{2 \pi n} \frac{n^n}{e^n n^n} = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{2 \pi n} e^{-n}. \] Můžeme napsat \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{2}{e} \right)^n. \] Protože \[ \frac{2}{e} \approx 0.7357 < 1, \] platí \[ \left( \frac{2}{e} \right)^n \to 0, \] takže \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{(3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro faktoriál: \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\sqrt{6 \pi n}} \cdot \left(\frac{e}{3n}\right)^{3n}. \] Přepíšeme členy v limitě: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{6 \pi n}} \cdot n^n \cdot e^{3n} \cdot \frac{1}{(3n)^{3n}}. \] Rozepíšeme \( (3n)^{3n} \): \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n} = 27^n n^{3n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n} n^n}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n} \cdot \frac{n^n}{n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n} \cdot n^{-2n}. \] Vyjádříme exponenciálně: \[ n^{-2n} = e^{-2n \ln n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{6 \pi n}} \cdot \left(\frac{e^{3}}{27}\right)^n \cdot e^{-2n \ln n}. \] Hodnota \(\frac{e^3}{27} \approx \frac{20.0855}{27} \approx 0.744 < 1\), ale exponent \( -2n \ln n \) klesá rychleji než jakákoliv exponenciála, takže \[ e^{-2n \ln n} \to 0, \] což dominuje. Tudíž \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^2 4^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \((2n)!\) a \(n!\): \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme do limity: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{\left[\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n\right]^2 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{2 \pi n (n/e)^{2n} 4^n}. \] Zjednodušme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n} e^{-2n}}{n^{2n} e^{-2n} 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} \cdot \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n}. \] Vyjádříme poměr mocnin: \[ \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 4^n} = \frac{(2n)^{2n}}{n^{2n} 2^{2n}} = \frac{2^{2n} n^{2n}}{n^{2n} 2^{2n}} = 1. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n}}{2 \pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \sqrt{\pi n}}{2 \pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{\pi n}}{\pi n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0. \] Protože \(L=0 < 1\), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n n!}{(2n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n!}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{-2n}}. \] Zjednodušme koeficienty: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{(2n)^{2n} e^{-2n}} = \lim_{n \to \infty} 3^n \frac{\sqrt{2 \pi n}}{2 \sqrt{\pi n}} \cdot \frac{n^n e^{-n}}{(2n)^{2n} e^{-2n}}. \] Sjednodušení odmocnin: \[ \frac{\sqrt{2 \pi n}}{2 \sqrt{\pi n}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \] Dále \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{\sqrt{2}} \cdot \frac{n^n e^{-n} e^{2n}}{4^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{n}}{\sqrt{2} 4^n} \cdot \frac{n^n}{n^{2n}}. \] Zjednodušíme poměr \( \frac{n^n}{n^{2n}} = n^{-n} = e^{-n \ln n} \), takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{n}}{\sqrt{2} 4^n} e^{-n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(3e)^n}{\sqrt{2} 4^n} e^{-n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\frac{3e}{4}\right)^n e^{-n \ln n}. \] Jelikož \[ \left(\frac{3e}{4}\right) \approx 2.039 > 1, \] ale exponent \( e^{-n \ln n} \) klesá rychleji než jakákoliv mocnina, takže celkově \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n! \cdot 2^n}{(n^2 + 1)^n} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot 2^n}{(n^2 + 1)^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme do limity: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 2^n}{(n^2 + 1)^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{2n / e}{n^2 + 1} \right)^n. \] Pro velká \( n \) platí \( n^2 + 1 \sim n^2 \), takže \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{2n / e}{n^2} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{2}{e n} \right)^n. \] Vyjádříme exponenciálně: \[ \left(\frac{2}{e n}\right)^n = \frac{2^n}{e^n n^n} = e^{n \ln 2 – n – n \ln n}. \] Dominantní je člen \( – n \ln n \), proto tato mocnina klesá rychle k nule. Fakt, že \(\sqrt{2 \pi n}\) roste pomaleji než exponenciála klesá, znamená \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{(n!)^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\left[\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n\right]^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{2 \pi n (n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n e^{2n}}{2 \pi n n^{2n}}. \] Zjednodušme mocniny: \[ \frac{n^n}{n^{2n}} = n^{-n} = e^{-n \ln n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{2n}}{2 \pi n} e^{-n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 \pi n} e^{2n – n \ln n}. \] Jelikož \(\ln n\) roste rychleji než konstanta 2, exponent \( 2n – n \ln n = n(2 – \ln n) \to -\infty \) a tedy \[ e^{2n – n \ln n} \to 0, \] takže \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(3n)!}{n^{3n}} \right)^{1/n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{(3n)!^{1/n}}{n^{3n \cdot 1/n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{(3n)!^{1/n}}}{n^3}. \] Jelikož je mocnina \(1/n\) uvnitř odmocniny, přepíšeme jako \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{((3n)!)^{1/n^2}}{n^3}. \] Stirlingova aproximace pro \( (3n)! \): \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Pak \[ ((3n)!)^{1/n^2} \sim \left(\sqrt{6 \pi n}\right)^{1/n^2} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n / n^2} = \left(\sqrt{6 \pi n}\right)^{1/n^2} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3/n}. \] Pro limitu \(n \to \infty\) platí \[ \left(\sqrt{6 \pi n}\right)^{1/n^2} \to 1, \] protože \(1/n^2 \to 0\), a \[ \left(\frac{3n}{e}\right)^{3/n} = e^{\frac{3}{n} \ln\left(\frac{3n}{e}\right)} = e^{\frac{3}{n} (\ln 3n – 1)}. \] Jelikož \(\ln 3n = \ln 3 + \ln n\), \[ \lim_{n \to \infty} e^{\frac{3}{n}(\ln 3 + \ln n – 1)} = e^0 = 1. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^3} = 0. \] Protože \(L = 0 < 1\), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n \cdot n!}{(3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \cdot n!}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n)^{3n}}. \] Po zjednodušení odmocnin: \[ \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{6 \pi n}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \] Zápis: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n e^{3n} (n/e)^n}{\sqrt{3} (3n)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n e^{3n} n^n e^{-n}}{\sqrt{3} 3^{3n} n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n e^{2n} n^n}{\sqrt{3} 3^{3n} n^{3n}}. \] Zjednodušme \(n\)-mocniny: \[ \frac{n^n}{n^{3n}} = n^{-2n} = e^{-2n \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n e^{2n}}{\sqrt{3} 3^{3n}} e^{-2n \ln n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2 e^2)^n}{\sqrt{3} 3^{3n}} e^{-2n \ln n}. \] Porovnáme báze: \[ \frac{2 e^2}{3^3} = \frac{2 e^2}{27}. \] Jelikož \(e^2 \approx 7.389\), máme \[ \frac{2 \times 7.389}{27} \approx \frac{14.778}{27} \approx 0.547 < 1. \] Ale exponent \(e^{-2n \ln n} \to 0\) ještě rychleji klesá. Výsledně \[ L = 0 < 1, \] takže řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \sqrt[n]{ \frac{n^{2n}}{(n!)^n} } \right| } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n^2]{ \frac{n^{2n}}{(n!)^n} } = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^{2n}}{(n!)^n} \right)^{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2/n}}{(n!)^{1/n}}. \] Rozložíme limitu na součin limit \[ L = \lim_{n \to \infty} n^{2/n} \cdot \lim_{n \to \infty} (n!)^{-1/n}. \] Platí \[ \lim_{n \to \infty} n^{2/n} = \lim_{n \to \infty} e^{(2/n) \ln n} = e^0 = 1. \] Pro druhou limitu použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ (n!)^{1/n} \sim \left( \sqrt{2 \pi n} \right)^{1/n} \left(\frac{n}{e}\right). \] Jelikož \(\left(\sqrt{2 \pi n}\right)^{1/n} = e^{\frac{1}{n} \ln(\sqrt{2 \pi n})} \to 1\), \[ \lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{e} = \infty. \] Proto \[ \lim_{n \to \infty} (n!)^{-1/n} = 0. \] Výsledná limita \[ L = 1 \times 0 = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n}{(n!)^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{(n!)^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \(n!\): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{3^n}{2 \pi n (n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{2n}}{2 \pi n n^{2n}}. \] Přepíšeme mocniny: \[ n^{2n} = e^{2n \ln n}, \] takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{2n}}{2 \pi n e^{2n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 \pi n} e^{n \ln 3 + 2n – 2n \ln n}. \] V exponentech: \[ n \ln 3 + 2n – 2n \ln n = n ( \ln 3 + 2 – 2 \ln n ). \] Jelikož \(2 \ln n\) roste rychleji než \(\ln 3 + 2\), celý výraz jde do \(-\infty\), tedy \[ e^{n(\ln 3 + 2 – 2 \ln n)} \to 0. \] Tedy \[ L = 0 < 1, \] což znamená, že řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n n!}{n^{n+1}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n!}{n^{n+1}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{n^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} 3^n \sqrt{2 \pi n} \frac{n^n e^{-n}}{n^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} 3^n \sqrt{2 \pi n} \frac{e^{-n}}{n}. \] Přepíšeme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \frac{(3/e)^n}{n}. \] Protože \(\frac{3}{e} \approx 1.1036 > 1\), výraz \((3/e)^n\) roste exponenciálně, rychleji než \( \frac{\sqrt{n}}{n} \to 0 \). Tudíž \[ L = +\infty > 1. \] Řada diverguje.

Řešení příkladu:

Posuzujeme \[ a_n = \left( \frac{n^{2n}}{(2n)!} \right)^{1/n} = \frac{n^2}{\sqrt[n]{(2n)!}}. \] Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{2n}}{(2n)!}}^{1/n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2/n}}{\sqrt[n^2]{(2n)!}}. \] Lepší je použít původní tvar: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac{n^{2n}}{(2n)!} \right)^{1/n}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^{2n}}{(2n)!} \right)^{1/n^2}. \] Vzhledem k tomu, že \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}, \] máme \[ \left( \frac{n^{2n}}{(2n)!} \right)^{1/n^2} \sim \left( \frac{n^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} \right)^{1/n^2} = \left( \frac{n^{2n}}{(2n)^{2n} e^{-2n} \sqrt{4 \pi n}} \right)^{1/n^2}. \] Vyjádříme mocniny: \[ \frac{n^{2n}}{(2n)^{2n}} = \left( \frac{n}{2n} \right)^{2n} = (1/2)^{2n} = 4^{-n}. \] Tudíž \[ \left( \frac{n^{2n}}{(2n)!} \right)^{1/n^2} \sim \left( \frac{4^{-n} e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n}} \right)^{1/n^2} = \frac{(4^{-n})^{1/n^2} (e^{2n})^{1/n^2}}{(\sqrt{4 \pi n})^{1/n^2}} = \frac{4^{-1/n} e^{2/n}}{(\sqrt{4 \pi n})^{1/n^2}}. \] Protože \(4^{-1/n} \to 1\), \(e^{2/n} \to 1\) a \((\sqrt{4 \pi n})^{1/n^2} \to 1\), dostáváme \[ L = 1. \] Jelikož odmocninové kritérium dává \(L=1\), nelze rozhodnout a řada nemusí konvergovat absolutně ani divergovat podle tohoto kritéria.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^{n/2}}{(n!)^{1/3}} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{(n!)^{1/3}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] tedy \[ (n!)^{1/3} \sim \left( \sqrt{2 \pi n} \right)^{1/3} \left(\frac{n}{e}\right)^{n/3}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{(2 \pi n)^{1/6} n^{n/3} e^{-n/3}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{n/2}}{n^{n/3}} \cdot e^{n/3} \cdot (2 \pi n)^{-1/6}. \] Rozdíl mocnin je \[ n^{n/2} / n^{n/3} = n^{n/6}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} n^{n/6} e^{n/3} (2 \pi n)^{-1/6} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n/3}}{(2 \pi n)^{1/6}} n^{n/6}. \] Exponenciální růst \(n^{n/6} = e^{\frac{n}{6} \ln n}\) převyšuje jakýkoliv jiný růst, proto \[ L = +\infty > 1. \] Řada diverguje.

Řešení příkladu:

Prvek řady je \[ a_n = \sqrt[n]{\frac{(n!)^2}{(2n)!}} = \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right)^{1/n}. \] Spočítejme \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right)^{1/n^2}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sim \frac{(2 \pi n) (n/e)^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \frac{(2 \pi n)}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{(n/e)^{2n}}{(2n/e)^{2n}}. \] Zjednodušíme koeficient: \[ \frac{2 \pi n}{\sqrt{4 \pi n}} = \frac{2 \pi n}{2 \sqrt{\pi n}} = \sqrt{\pi n}. \] A podíl mocnin: \[ \frac{(n/e)^{2n}}{(2n/e)^{2n}} = \left( \frac{n}{2n} \right)^{2n} = (1/2)^{2n} = 4^{-n}. \] Takže \[ \frac{(n!)^2}{(2n)!} \sim \sqrt{\pi n} \cdot 4^{-n}. \] Vraťme se k limitě \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{\pi n} \cdot 4^{-n} \right)^{1/n^2} = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{\pi n})^{1/n^2} \cdot (4^{-n})^{1/n^2}. \] Jelikož \[ (\sqrt{\pi n})^{1/n^2} = e^{\frac{1}{n^2} \ln(\sqrt{\pi n})} \to 1, \] a \[ (4^{-n})^{1/n^2} = 4^{-1/n} \to 1, \] dostáváme \[ L = 1. \] Odmocninové kritérium není rozhodující, nelze rozhodnout.

Řešení příkladu:

Zjednodušme výraz v závorkách: \[ \frac{n!}{n^n} \cdot \frac{2^n}{n!} = \frac{2^n}{n^n}. \] Posuzujeme tedy řadu \[ \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2^n}{n^n} \right)^n = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2^{n}}{n^{n}} \right)^n. \] Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \left| \left( \frac{2^{n}}{n^{n}} \right)^n \right| } = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n^{n}}. \] Přepíšeme exponenty: \[ \frac{2^{n}}{n^{n}} = \left(\frac{2}{n}\right)^n. \] Protože \(\frac{2}{n} \to 0\) pro \( n \to \infty \), máme \[ \left(\frac{2}{n}\right)^n \to 0. \] Tudíž \[ L = 0 < 1, \] řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n n!}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n n!}{n^n} \right|^{\frac{1}{n^2}}. \] Protože odmocnina je druhá odmocnina z \( n^2 \), lze upravit na \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp\left(\frac{1}{n^2} \ln\left(\frac{2^n n!}{n^n}\right)\right) = \exp\left(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left(n \ln 2 + \ln(n!) – n \ln n \right)\right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci \[ \ln(n!) \sim n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n). \] Dosadíme do výrazu: \[ n \ln 2 + \ln(n!) – n \ln n \sim n \ln 2 + \left(n \ln n – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n)\right) – n \ln n = n \ln 2 – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n). \] Pak \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \left( n \ln 2 – n + \frac{1}{2} \ln(2 \pi n) \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{\ln 2}{n} – \frac{1}{n} + \frac{1}{2 n^2} \ln(2 \pi n) \right) = 0. \] Tudíž \[ L = \exp(0) = 1. \] Jelikož odmocninové kritérium při \( L=1 \) je nerozhodné, je nutné použít jiné metody (např. porovnání nebo jiný test). Odmocninové kritérium tedy nepomůže rozhodnout o konvergenci.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{3^n}{n!}\right)^{n^2} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^n}{n!} \right)^{n^2 / n} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^n}{n!} \right)^n. \] Přepišme výraz v limitě: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n^2}}{(n!)^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \] takže \[ (n!)^n \sim ( \sqrt{2 \pi n} )^n \left(\frac{n}{e}\right)^{n^2} = (2 \pi n)^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{n^{n^2}}{e^{n^2}}. \] Dosadíme do limitního výrazu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n^2}}{(2 \pi n)^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{n^{n^2}}{e^{n^2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n^2} e^{n^2}}{(2 \pi n)^{\frac{n}{2}} n^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(3 e)^{n^2}}{(2 \pi n)^{\frac{n}{2}} n^{n^2}}. \] Přepíšeme \( n^{n^2} = e^{n^2 \ln n} \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(3 e)^{n^2}}{(2 \pi n)^{\frac{n}{2}} e^{n^2 \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n^2 \ln(3 e)}}{e^{\frac{n}{2} \ln(2 \pi n)} e^{n^2 \ln n}} = \lim_{n \to \infty} e^{n^2 (\ln(3 e) – \ln n) – \frac{n}{2} \ln(2 \pi n)}. \] V hlavním exponentu dominuje výraz \( n^2 (\ln(3 e) – \ln n) \). Pro velké \( n \) platí \( \ln n \to \infty \), tedy \( \ln(3 e) – \ln n \to -\infty \). Tudíž exponent jde k \(-\infty\) a \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{(3n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left( \frac{3n}{e} \right)^{3n}. \] Dosadíme do limitního výrazu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{\sqrt{6 \pi n}} \cdot \frac{e^{3n}}{(3n)^{3n}}. \] Přepíšeme jmenovatele: \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n} = 27^n n^{3n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{2n}}. \] Přepíšeme \[ n^{2n} = e^{2n \ln n}. \] Výraz v limitě je tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^3)^n}{\sqrt{6 \pi n} (27)^n e^{2n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^3 / 27)^n}{\sqrt{6 \pi n} e^{2n \ln n}}. \] Jelikož \( e^{2n \ln n} = e^{2n \ln n} \) roste rychleji než exponenciála v \( n \), limita je \[ L = 0 < 1, \] takže řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n! \cdot 2^n}{(n^2)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot 2^n}{(n^2)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (n^2)! \sim \sqrt{2 \pi n^2} \left(\frac{n^2}{e}\right)^{n^2}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 2^n}{\sqrt{2 \pi n^2} (n^2/e)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 2^n}{\sqrt{2 \pi} n (n^2/e)^{n^2}}. \] Zjednodušíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} (n/e)^n 2^n}{n (n^2/e)^{n^2} \sqrt{2 \pi}}. \] Přepíšeme: \[ (n^2/e)^{n^2} = e^{-n^2} n^{2 n^2}. \] Takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} n^n e^{-n} 2^n}{n e^{-n^2} n^{2 n^2} \sqrt{2 \pi}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} 2^n n^n e^{-n}}{n \sqrt{2 \pi} n^{2 n^2} e^{-n^2}}. \] Přepíšeme exponenty: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} 2^n n^n e^{-n}}{n \sqrt{2 \pi} e^{-n^2} n^{2 n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n} 2^n n^n e^{n^2 – n}}{n \sqrt{2 \pi} n^{2 n^2}}. \] V hlavním poměru je v čitateli exponenciála \( e^{n^2} \), ale ve jmenovateli \( n^{2 n^2} = e^{2 n^2 \ln n} \), která roste rychleji, protože \( \ln n \to \infty \). Tudíž \[ L = 0 < 1, \] tedy řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^n}{n! \cdot 5^n} \right)^{\sqrt{n}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{n! \cdot 5^n} \right)^{\frac{\sqrt{n}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^n}{n! \cdot 5^n} \right)^{1/\sqrt{n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \] takže \[ \frac{n^n}{n! \cdot 5^n} \sim \frac{n^n}{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 5^n} = \frac{n^n}{\sqrt{2 \pi n}} \cdot \frac{e^n}{n^n 5^n} = \frac{e^n}{\sqrt{2 \pi n} 5^n}. \] Dosadíme do limitního výrazu: \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{e^n}{\sqrt{2 \pi n} 5^n} \right)^{1/\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{n / \sqrt{n}}}{( \sqrt{2 \pi n} )^{1/\sqrt{n}} 5^{n / \sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\sqrt{n}}}{( \sqrt{2 \pi n} )^{1/\sqrt{n}} 5^{\sqrt{n}}}. \] Protože \[ ( \sqrt{2 \pi n} )^{1/\sqrt{n}} = e^{\frac{1}{\sqrt{n}} \ln (\sqrt{2 \pi n})} \to 1, \] máme \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{\sqrt{n}}}{5^{\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} (e / 5)^{\sqrt{n}}. \] Protože \( e/5 < 1 \), pro \( n \to \infty \) platí \[ L = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{3^n \cdot n!}{(2n)^n} \right)^{\sqrt{n}} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^n \cdot n!}{(2n)^n} \right)^{\frac{\sqrt{n}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{3^n \cdot n!}{(2n)^n} \right)^{\frac{1}{\sqrt{n}}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \] takže \[ \frac{3^n \cdot n!}{(2n)^n} \sim \frac{3^n \cdot \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{(2n)^n} = \sqrt{2 \pi n} \cdot 3^n \cdot \frac{n^n e^{-n}}{(2n)^n}. \] Vyjádříme \( (2n)^n = 2^n n^n \), takže dostáváme \[ \frac{3^n \cdot n!}{(2n)^n} \sim \sqrt{2 \pi n} \cdot 3^n \cdot \frac{n^n e^{-n}}{2^n n^n} = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{3}{2}\right)^n e^{-n}. \] Limitní výraz pak je \[ L = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{3}{2}\right)^n e^{-n} \right)^{\frac{1}{\sqrt{n}}} = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{2 \pi n} \right)^{\frac{1}{\sqrt{n}}} \left( \frac{3}{2} \right)^{\frac{n}{\sqrt{n}}} e^{-\frac{n}{\sqrt{n}}}. \] Upravíme exponenty: \[ \left( \sqrt{2 \pi n} \right)^{\frac{1}{\sqrt{n}}} = e^{\frac{1}{\sqrt{n}} \ln(\sqrt{2 \pi n})} \to 1, \] dále \[ \left( \frac{3}{2} \right)^{\sqrt{n}} e^{-\sqrt{n}} = \left( \frac{3}{2} e^{-1} \right)^{\sqrt{n}}. \] Protože \( \frac{3}{2} e^{-1} = \frac{3}{2e} \approx 0.55 < 1 \), platí \[ L = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^2}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left( \frac{2n}{e} \right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L \sim \frac{\left(\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n\right)^2}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \frac{2 \pi n (n/e)^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \frac{2 \pi n}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{(n/e)^{2n}}{(2n/e)^{2n}}. \] Vyjádříme poměr: \[ \frac{(n/e)^{2n}}{(2n/e)^{2n}} = \left( \frac{n/e}{2n/e} \right)^{2n} = \left( \frac{1}{2} \right)^{2n} = \frac{1}{4^n}. \] Zjednodušení předních členů: \[ \frac{2 \pi n}{\sqrt{4 \pi n}} = \frac{2 \pi n}{2 \sqrt{\pi n}} = \sqrt{\pi n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \cdot \frac{1}{4^n}. \] Protože \( 4^n \) roste exponenciálně a \(\sqrt{n}\) pouze polynomiálně, limita je \[ L = 0 < 1. \] Řada tedy konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{3^n \sqrt{n}}{(2n)!}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( (2n)! \): \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n} e^{-2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n} e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n)^{2n}}. \] Přepíšeme: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{n} e^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} 4^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n e^{2n} \sqrt{n}}{\sqrt{4 \pi n} 4^n n^{2n}}. \] Porovnáme růst v čitateli a jmenovateli: \[ 3^n e^{2n} = (3 e^{2})^n, \quad 4^n n^{2n} = 4^n e^{2n \ln n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(3 e^{2})^n \sqrt{n}}{\sqrt{4 \pi n} 4^n e^{2n \ln n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{(3 e^{2}/4)^n}{e^{2n \ln n}}. \] Jelikož \( e^{2n \ln n} = e^{2n \ln n} \) roste rychleji než exponenciální člen \( (3 e^{2}/4)^n \), \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n^{3n}}{(3n)!}\right)^{1/n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^{3n}}{(3n)!}\right)^{1/n^2}. \] Vyjádříme to jednodušeji: \[ L = \lim_{n \to \infty} \exp \left( \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^{3n}}{(3n)!} \right) = \lim_{n \to \infty} \exp \left( \frac{3n \ln n – \ln (3n)!}{n^2} \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln (3n)! \sim 3n \ln(3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln(6 \pi n). \] Dosadíme: \[ \frac{3n \ln n – (3n \ln(3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln(6 \pi n))}{n^2} = \frac{3n \ln n – 3n \ln(3n) + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n)}{n^2}. \] Zjednodušme výraz v čitateli: \[ 3n \ln n – 3n \ln(3n) = 3n \ln n – 3n (\ln 3 + \ln n) = -3n \ln 3. \] Tudíž \[ \frac{-3n \ln 3 + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n)}{n^2} = \frac{3n(1 – \ln 3) – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n)}{n^2}. \] Při limitě \( n \to \infty \) dominantní člen je \( \frac{3n(1 – \ln 3)}{n^2} = \frac{3(1-\ln 3)}{n} \to 0 \). Výraz tedy konverguje k \[ \exp(0) = 1. \] Jelikož \[ L = 1, \] odmocninové kritérium je rozhodující pouze při limitě menší nebo větší než 1, takže zde je nutné použít jiné metody pro určení konvergence.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}. \] Použijeme známý vztah pro dvojitý faktoriál: \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}. \] Tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}. \] Je známo, že \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{4^n / \sqrt{\pi n}}{4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0. \] Jelikož \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{n! \cdot 2^n}{(3n)!}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! \cdot 2^n}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 2^n}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 2^n}{\sqrt{6 \pi n} (3n)^{3n} e^{-3n}}. \] Přepíšeme: \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n} = 27^n n^{3n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n 2^n e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 27^n n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{6 \pi n}} \cdot \frac{n^n 2^n e^{3n}}{e^n 27^n n^{3n}}. \] Zjednodušíme: \[ \frac{\sqrt{2 \pi n}}{\sqrt{6 \pi n}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \] Dále \[ \frac{n^n}{n^{3n}} = n^{-2n}, \quad \frac{2^n e^{3n}}{e^n 27^n} = \frac{2^n e^{3n – n}}{27^n} = \frac{2^n e^{2n}}{27^n}. \] Celkově \[ L = \frac{1}{\sqrt{3}} \lim_{n \to \infty} n^{-2n} \left(\frac{2 e^{2}}{27}\right)^n. \] Vzhledem k tomu, že \( n^{-2n} = e^{-2n \ln n} \) klesá rychleji než jakákoliv exponenciála, platí \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left(\frac{(5n)!}{(n!)^5 10^{5n}}\right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(5n)!}{(n!)^5 10^{5n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (5n)! \sim \sqrt{10 \pi n} \left(\frac{5n}{e}\right)^{5n}, \quad n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Proto \[ (n!)^5 \sim ( \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n )^5 = (2 \pi n)^{5/2} (n/e)^{5n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{10 \pi n} (5n/e)^{5n}}{(2 \pi n)^{5/2} (n/e)^{5n} 10^{5n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{10 \pi n}}{(2 \pi n)^{5/2}} \cdot \frac{(5n/e)^{5n}}{(n/e)^{5n} 10^{5n}}. \] Zjednodušme zlomek s mocninami: \[ \frac{(5n/e)^{5n}}{(n/e)^{5n} 10^{5n}} = \frac{5^{5n} n^{5n} e^{-5n}}{n^{5n} e^{-5n} 10^{5n}} = \frac{5^{5n}}{10^{5n}} = \left(\frac{5}{10}\right)^{5n} = \left(\frac{1}{2}\right)^{5n} = 2^{-5n}. \] Výraz u kořenové části: \[ \frac{\sqrt{10 \pi n}}{(2 \pi n)^{5/2}} = \frac{\sqrt{10 \pi n}}{(2 \pi n)^{2.5}} = \frac{\sqrt{10 \pi n}}{(2 \pi n)^{2} \sqrt{2 \pi n}} = \frac{\sqrt{10 \pi n}}{(2 \pi n)^2 \sqrt{2 \pi n}}. \] Zjednodušení: \[ (2 \pi n)^2 = 4 \pi^2 n^2, \] a \[ \frac{\sqrt{10 \pi n}}{\sqrt{2 \pi n}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{5}. \] Celkově tedy: \[ \frac{\sqrt{10 \pi n}}{(2 \pi n)^{5/2}} = \frac{\sqrt{5}}{4 \pi^2 n^2}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{4 \pi^2 n^2} \cdot 2^{-5n} = 0. \] Jelikož \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{n^{2n}}{(3n)!}\right)^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{(3n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left(\frac{3n}{e}\right)^{3n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n/e)^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} (3n)^{3n}}. \] Rozepíšeme jmenovatel: \[ (3n)^{3n} = 3^{3n} n^{3n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2n} e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 3^{3n} n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{e^{3n}}{\sqrt{6 \pi n} 3^{3n} n^{n}}. \] Převeďme na exponenciály: \[ n^{n} = e^{n \ln n}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(e^{3}/27)^n}{\sqrt{6 \pi n} e^{n \ln n}}. \] Protože \( e^{n \ln n} \) roste rychleji než jakákoliv exponenciála \( a^n \), limitní hodnota je \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{(2n)!}{n^{3n}}\right)^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{n^{3n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}{n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} \frac{(2n)^{2n}}{e^{2n} n^{3n}}. \] Vyjádříme mocniny: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n} = 4^n n^{2n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} \frac{4^n n^{2n}}{e^{2n} n^{3n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} \frac{4^n}{e^{2n} n^{n}}. \] Převedeme na exponenciály: \[ n^{n} = e^{n \ln n}, \] tedy \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{4 \pi n} \cdot \left(\frac{4}{e^{2}}\right)^n e^{-n \ln n}. \] Protože \( e^{-n \ln n} \) klesá rychleji než jakákoliv exponenciála, dostáváme \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{3^n n!}{(n^2 + 1)^n}\right)^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n n!}{(n^2 + 1)^n}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro \( n! \): \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{(n^2 + 1)^n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \frac{3^n n^n}{e^n (n^2 + 1)^n}. \] Přibližně platí \( n^2 + 1 \sim n^2 \), takže \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \frac{3^n n^n}{e^n n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \frac{3^n}{e^n n^n}. \] Převedeme \( n^n = e^{n \ln n} \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{3}{e}\right)^n e^{-n \ln n}. \] Protože \( e^{-n \ln n} \) klesá rychleji než jakákoliv exponenciála, máme \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{(4n)!}{(2n)! 5^{4n}}\right)^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(4n)!}{(2n)! 5^{4n}}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ (4n)! \sim \sqrt{8 \pi n} \left(\frac{4n}{e}\right)^{4n}, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{8 \pi n} (4n/e)^{4n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n} 5^{4n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \frac{(4n/e)^{4n}}{(2n/e)^{2n} 5^{4n}}. \] Rozepíšeme mocniny: \[ \frac{(4n)^{4n}}{(2n)^{2n}} = \frac{4^{4n} n^{4n}}{2^{2n} n^{2n}} = 4^{4n} 2^{-2n} n^{2n} = (4^4)^n 2^{-2n} n^{2n} = 256^n 2^{-2n} n^{2n} = (256 \cdot 2^{-2})^n n^{2n} = 64^n n^{2n}. \] Dosadíme zpět: \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \frac{64^n n^{2n} e^{-4n}}{5^{4n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \left(\frac{64}{625}\right)^n n^{2n} e^{-4n}. \] Přepíšeme exponenciály: \[ n^{2n} = e^{2n \ln n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2} \exp\left(n \ln\frac{64}{625} + 2n \ln n – 4n\right). \] Dominantní člen je \( 2n \ln n \to +\infty \), proto \[ L = +\infty > 1. \] Řada diverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\left(\frac{2^n (n!)^2}{(2n)!}\right)^n\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n (n!)^2}{(2n)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n, \quad (2n)! \sim \sqrt{4 \pi n} \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}. \] Dosadíme: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n ( \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n )^2}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n 2 \pi n (n/e)^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} (2n/e)^{2n}}. \] Rozepíšeme jmenovatele: \[ (2n)^{2n} = 2^{2n} n^{2n}. \] Tudíž \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n 2 \pi n (n/e)^{2n}}{\sqrt{4 \pi n} 2^{2n} n^{2n} e^{-2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n 2 \pi n (n^{2n} e^{-2n})}{\sqrt{4 \pi n} 2^{2n} n^{2n} e^{-2n}}. \] Zkrátíme \( n^{2n} e^{-2n} \): \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n 2 \pi n}{\sqrt{4 \pi n} 2^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 \pi n}{\sqrt{4 \pi n}} \cdot \frac{2^n}{2^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \sqrt{\pi n} \cdot 2^{-n}. \] Protože \( 2^{-n} \) klesá exponenciálně rychle, limitní hodnota je \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Vypočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n^{2n}}{(3n)!} \right)^{1/n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^{2n}}{(3n)!} \right)^{\frac{1}{n^2}}. \] Jelikož \(\sqrt[n]{a^{1/n}} = a^{1/n^2}\), exponent jde k nule, ale přistupme k limitě zjednodušeně. Nejprve vyjádříme \[ \left( \frac{n^{2n}}{(3n)!} \right)^{\frac{1}{n^2}} = \exp \left( \frac{1}{n^2} \ln \frac{n^{2n}}{(3n)!} \right) = \exp \left( \frac{2n \ln n – \ln (3n)!}{n^2} \right). \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ \ln (3n)! \sim 3n \ln (3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln (6 \pi n). \] Pak \[ \frac{2n \ln n – \ln (3n)!}{n^2} \sim \frac{2n \ln n – (3n \ln(3n) – 3n + \frac{1}{2} \ln(6 \pi n))}{n^2}. \] Vyjádříme logaritmy: \[ 3n \ln(3n) = 3n(\ln 3 + \ln n) = 3n \ln 3 + 3n \ln n. \] Dosadíme zpět: \[ \frac{2n \ln n – 3n \ln 3 – 3n \ln n + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n)}{n^2} = \frac{(2n \ln n – 3n \ln n) – 3n \ln 3 + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n)}{n^2}. \] To je \[ \frac{-n \ln n – 3n \ln 3 + 3n – \frac{1}{2} \ln(6 \pi n)}{n^2} = – \frac{\ln n}{n} – \frac{3 \ln 3}{n} + \frac{3}{n} – \frac{1}{2 n^2} \ln(6 \pi n). \] Všechny členy jdou k nule při \( n \to \infty \), nejrychleji ale dominantní je \(- \frac{\ln n}{n}\), který jde k nule z opačné strany. Tudíž \[ \lim_{n \to \infty} \exp\left(- \frac{\ln n}{n} + o\left(\frac{\ln n}{n}\right)\right) = \exp(0) = 1. \] Limitní hodnota je tedy \[ L = 1. \] Odmocninové kritérium dává konvergenci, pokud \( L < 1 \), divergenci, pokud \( L > 1 \). Pro \( L=1 \) je kritérium neplatné. Proto je potřeba další analýza, ale podle rychlosti růstu čitatel vs. jmenovatel můžeme očekávat, že faktoriál roste rychleji, proto řada pravděpodobně konverguje (alespoň podmínečně). Pro přísnější závěr použijeme Raabeho kritérium nebo jiné, ale to už není součástí odmocninového kritéria.

Řešení příkladu:

Pro výpočet použijeme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}. \] Známý vztah pro střední binomický koeficient je \[ \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \text{binomický koeficient } C(2n, n). \] Navíc platí odhad \[ C(2n, n) \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}. \] Dosadíme zpět: \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \sim \lim_{n \to \infty} \frac{4^n / \sqrt{\pi n}}{4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\pi n}} = 0. \] Protože \( L=0 < 1 \), řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Vyjádříme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{n!}{n^{n/2}} \right)^{2n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{n^{n/2}} \right)^2. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n. \] Dosadíme do výrazu: \[ \left( \frac{n!}{n^{n/2}} \right)^2 \sim \left( \frac{\sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{n^{n/2}} \right)^2 = (2 \pi n) \left( \frac{n^n}{e^n n^{n/2}} \right)^2 = (2 \pi n) \left( \frac{n^{n/2}}{e^n} \right)^2. \] To je \[ (2 \pi n) \frac{n^n}{e^{2n}}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} (2 \pi n) \frac{n^n}{e^{2n}}. \] Exponenciálně dominující je \( n^n \), což roste rychleji než \( e^{2n} \), takže \[ L = \infty > 1. \] Řada diverguje.

Řešení příkladu:

Spočítejme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{2^n n!}{(n^2)!} \right)^n \right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n n!}{(n^2)!}. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (n^2)! \sim \sqrt{2 \pi n^2} \left( \frac{n^2}{e} \right)^{n^2}. \] Dosadíme: \[ L \sim \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} (n/e)^n}{\sqrt{2 \pi n^2} (n^2/e)^{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n}}{\sqrt{2 \pi} n (n^{2 n^2} e^{-n^2 \cdot 2})}. \] Přepíšeme jmenovatel: \[ (n^2)^{n^2} = n^{2 n^2}. \] Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{2 \pi n} n^n e^{-n}}{\sqrt{2 \pi} n \cdot n^{2 n^2} e^{-2 n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n \sqrt{n} n^n e^{-n}}{n^{2 n^2} e^{-2 n^2}}. \] Upraveno: \[ L = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{n} n^n e^{-n} \cdot e^{2 n^2} n^{-2 n^2} = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{n} n^n e^{-n} e^{2 n^2} e^{-2 n^2 \ln n}. \] Dominující je \( e^{2 n^2} \) a \( e^{-2 n^2 \ln n} = e^{-2 n^2 \ln n} \), protože \(\ln n\) roste, tato exponenciála klesá rychleji než roste \( e^{2 n^2} \). Proto \[ L = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{n} n^n e^{-n} e^{-2 n^2 \ln n – (-2 n^2)} = \lim_{n \to \infty} 2^n \sqrt{n} n^n e^{-n} e^{-2 n^2 (\ln n – 1)}. \] Protože \( \ln n – 1 > 0 \) pro velká \( n \), poslední člen klesá extrémně rychle k nule a převáží celou limitu. Tudíž \[ L = 0 < 1. \] Řada konverguje absolutně.

Řešení příkladu:

Pro odmocninové kritérium spočítáme limitu \[ L = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left| \left( \frac{(n!)^3}{(3n)!} \right)^{2n} \right|} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n!)^3}{(3n)!} \right)^2. \] Použijeme Stirlingovu aproximaci pro faktoriály: \[ n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n, \quad (3n)! \sim \sqrt{6 \pi n} \left( \frac{3n}{e} \right)^{3n}. \] Dosadíme do výrazu: \[ \left( \frac{(n!)^3}{(3n)!} \right)^2 \sim \left( \frac{ \left( \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n \right)^3 }{ \sqrt{6 \pi n} \left( \frac{3n}{e} \right)^{3n} } \right)^2 = \left( \frac{ (2 \pi n)^{3/2} \left( \frac{n}{e} \right)^{3n} }{ \sqrt{6 \pi n} \left( 3n/e \right)^{3n} } \right)^2. \] Zjednodušíme: \[ = \left( \frac{ (2 \pi n)^{3/2} }{ \sqrt{6 \pi n} } \cdot \frac{ \left( \frac{n}{e} \right)^{3n} }{ \left( \frac{3n}{e} \right)^{3n} } \right)^2 = \left( \frac{ (2 \pi n)^{3/2} }{ \sqrt{6 \pi n} } \cdot \left( \frac{n}{3n} \right)^{3n} \right)^2. \] Protože \(\frac{n}{3n} = \frac{1}{3}\), dostáváme \[ = \left( \frac{ (2 \pi n)^{3/2} }{ \sqrt{6 \pi n} } \cdot 3^{-3n} \right)^2 = \left( \frac{ (2 \pi n)^{3/2} }{ \sqrt{6 \pi n} } \right)^2 \cdot 3^{-6n}. \] Vyčíslíme člen s odmocninami: \[ \frac{ (2 \pi n)^{3/2} }{ \sqrt{6 \pi n} } = \frac{ (2 \pi n)^{3/2} }{ (6 \pi n)^{1/2} } = (2 \pi n)^{3/2 – 1/2} \cdot (6 \pi n)^{-1/2 + 1/2} \text{ (pro zjednodušení: } = \sqrt{\frac{(2 \pi n)^3}{6 \pi n}} = \sqrt{\frac{8 \pi^3 n^3}{6 \pi n}} = \sqrt{\frac{8 \pi^2 n^2}{6}}. \] Po úpravě: \[ = \sqrt{\frac{8}{6}} \pi n = \sqrt{\frac{4}{3}} \pi n. \] Proto \[ L = \left( \sqrt{\frac{4}{3}} \pi n \right)^2 \cdot 3^{-6n} = \frac{4}{3} \pi^2 n^2 \cdot 3^{-6n}. \] Jelikož \(3^{-6n} = \left(\frac{1}{3}\right)^{6n}\) klesá exponenciálně rychle, zatímco \(n^2\) roste jen polynomiálně, limitní hodnota je \[ L = \lim_{n \to \infty} \frac{4}{3} \pi^2 n^2 \cdot 3^{-6n} = 0 < 1. \] Podle odmocninového kritéria řada konverguje absolutně.