1. Pokud je dnes pondělí, pak mám přednášku logiky. Dnes je pondělí.
Řešení:
Máme dvě premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Dnes je pondělí“ a \( Q \) = „Mám přednášku logiky“.
2) \( P \) je pravda, tedy „Dnes je pondělí“.
Podle pravidla modus ponens můžeme z těchto dvou premis vyvodit závěr \( Q \):
Pokud \( P \Rightarrow Q \) a \( P \), pak \( Q \).
Tedy můžeme bezpečně říci, že mám přednášku logiky.
2. Pokud je číslo sudé, pak je dělitelné dvěma. Číslo \(8\) je sudé.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je sudé“ a \( Q \) = „Číslo je dělitelné dvěma“.
2) \( P \) je pravda, protože číslo \(8\) je sudé.
Použitím modus ponens z těchto premis vyplývá, že číslo \(8\) je dělitelné dvěma.
Formálně: Pokud \( P \Rightarrow Q \) a \( P \), pak \( Q \), tedy číslo \(8\) je dělitelné dvěma.
3. Pokud prší, pak je země mokrá. Prší.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Prší“ a \( Q \) = „Země je mokrá“.
2) \( P \) je pravda, tedy „Prší“.
Modus ponens říká, že pokud platí \( P \Rightarrow Q \) a \( P \), pak platí \( Q \).
Tedy ze známých faktů plyne, že země je mokrá.
4. Pokud student splní všechny úkoly, pak může jít na zkoušku. Student splnil všechny úkoly.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Student splní všechny úkoly“, \( Q \) = „Student může jít na zkoušku“.
2) \( P \) je pravda.
Podle modus ponens, z platnosti implikace a pravdivosti \( P \), vyplývá \( Q \).
Student tedy může jít na zkoušku.
5. Pokud je číslo prvočíslo, pak je větší než \(1\). Číslo \(13\) je prvočíslo.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je prvočíslo“, \( Q \) = „Číslo je větší než \(1\)“.
2) \( P \) platí pro číslo \(13\).
Použitím modus ponens z těchto premis vyplývá, že \(13\) je větší než \(1\).
6. Pokud je osoba starší \(18\) let, může řídit auto. Osoba je starší \(18\) let.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Osoba je starší \(18\) let“, \( Q \) = „Osoba může řídit auto“.
2) \( P \) je pravdivé.
Podle modus ponens tedy platí \( Q \), tedy osoba může řídit auto.
7. Pokud je číslo dělitelné \(4\), pak je sudé. Číslo \(20\) je dělitelné \(4\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je dělitelné \(4\)“, \( Q \) = „Číslo je sudé“.
2) \( P \) platí pro číslo \(20\).
Modus ponens říká, že \( Q \) platí, tedy \(20\) je sudé číslo.
8. Pokud průměrná teplota klesne pod \(0° C\), voda zamrzne. Průměrná teplota klesla pod \(0° C\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Průměrná teplota klesne pod \(0° C\)“, \( Q \) = „Voda zamrzne“.
2) \( P \) je pravdivé.
Z modus ponens vyplývá, že voda skutečně zamrzne.
9. Pokud je funkce spojitá, pak má limita hodnotu v bodě. Funkce je spojitá.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce je spojitá“, \( Q \) = „Funkce má limitu v daném bodě“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens nám umožňuje vyvodit \( Q \), tedy funkce má limitu v daném bodě.
10. Pokud mám platný vstupní lístek, pak mohu vstoupit na koncert. Mám platný vstupní lístek.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Mám platný vstupní lístek“, \( Q \) = „Mohu vstoupit na koncert“.
2) \( P \) platí.
Podle modus ponens platí \( Q \), tedy mohu vstoupit na koncert.
11. Pokud budeš pilně studovat, pak úspěšně složíš zkoušku. Pilně studuješ.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Pilně studuješ“, \( Q \) = „Úspěšně složíš zkoušku“.
2) \( P \) je pravdivé.
Použitím modus ponens plyne, že \( Q \) platí, tedy úspěšně složíš zkoušku.
12. Pokud je zvíře pták, pak může létat. Tento tvor je pták.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Tvor je pták“, \( Q \) = „Tvor může létat“.
2) \( P \) je pravda.
Z modus ponens vyplývá, že tvor může létat.
13. Pokud je úhel pravý, pak jeho velikost je \(90°\). Úhel je pravý.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Úhel je pravý“, \( Q \) = „Úhel má velikost \(90°\)“.
2) \( P \) platí.
Podle modus ponens platí \( Q \), úhel má tedy \(90°\).
14. Pokud auto má plnou nádrž, pak může ujet dlouhou vzdálenost. Auto má plnou nádrž.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Auto má plnou nádrž“, \( Q \) = „Auto může ujet dlouhou vzdálenost“.
2) \( P \) je pravdivé.
Modus ponens zaručuje, že auto může ujet dlouhou vzdálenost.
15. Pokud je číslo záporné, pak není větší než nula. Číslo je záporné.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je záporné“, \( Q \) = „Číslo není větší než nula“.
2) \( P \) platí.
Použitím modus ponens plyne, že číslo není větší než nula.
16. Pokud je funkce derivovatelná, pak je spojitá. Funkce je derivovatelná.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce je derivovatelná“, \( Q \) = „Funkce je spojitá“.
2) \( P \) je pravdivé.
Podle modus ponens tedy platí \( Q \), tedy funkce je spojitá.
17. Pokud je rohlík čerstvý, pak je měkký. Rohlík je čerstvý.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Rohlík je čerstvý“, \( Q \) = „Rohlík je měkký“.
2) \( P \) je pravdivé.
Modus ponens vede k závěru, že rohlík je měkký.
18. Pokud má číslo desetinnou část, pak není celé. Číslo má desetinnou část.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo má desetinnou část“, \( Q \) = „Číslo není celé“.
2) \( P \) je pravdivé.
Podle modus ponens je číslo tedy necelé.
19. Pokud je látka kov, pak vede elektrický proud. Látka je kov.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Látka je kov“, \( Q \) = „Látka vede elektrický proud“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens říká, že látka vede elektrický proud.
20. Pokud je rostlina na slunci, pak roste. Rostlina je na slunci.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Rostlina je na slunci“, \( Q \) = „Rostlina roste“.
2) \( P \) je pravdivé.
Z modus ponens vyplývá, že rostlina roste.
21. Pokud funkce \( f(x) \) je spojitá na intervalu \([a, b]\), pak má na tomto intervalu supremum. Funkce \( f(x) \) je spojitá na \([a, b]\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je spojitá na \([a, b]\)“, \( Q \) = „Funkce \( f \) má na \([a, b]\) supremum“.
2) \( P \) platí, tedy funkce je spojitá na \([a, b]\).
Podle modus ponens tedy plyne, že \( Q \) platí, tedy funkce má supremum na daném intervalu.
Detailně: Podle věty o extrému spojité funkce na uzavřeném intervalu musí \( f \) dosáhnout svého maxima i minima, což znamená, že supremum existuje a je rovno maximu.
22. Pokud je číslo prvočíslem, pak má právě dva dělitele. Číslo \(17\) je prvočíslo.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je prvočíslo“, \( Q \) = „Číslo má právě dva dělitele“.
2) \( P \) platí, protože 17 je prvočíslo.
Použitím modus ponens vyplývá, že číslo \(17\) má právě dva dělitele, konkrétně \(1\) a \(17\).
Podrobně: Definice prvočísla říká, že má pouze dělitele \(1\) a sebe sama, což jsou právě dva dělitele.
23. Pokud je tvrzení pravdivé v základním kroku matematické indukce a platí indukční krok, pak tvrzení platí pro všechna přirozená čísla. Tvrzení je pravdivé pro \( n=1 \) a indukční krok platí.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Tvrzení je pravdivé pro \( n=1 \) a platí indukční krok“, \( Q \) = „Tvrzení platí pro všechna přirozená čísla“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens tedy říká, že tvrzení je pravdivé pro všechna přirozená čísla.
Podrobně: Matematická indukce využívá tohoto pravidla pro dokazování nekonečně mnoha případů. Pravdivost základního kroku a platnost indukčního kroku zaručují obecnou platnost tvrzení.
24. Pokud je matice čtvercová a regulární, pak má inverzní matici. Matice \( A \) je čtvercová a regulární.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice je čtvercová a regulární“, \( Q \) = „Matice má inverzní matici“.
2) \( P \) platí, matice \( A \) je čtvercová a regulární.
Z modus ponens plyne, že \( A \) má inverzní matici.
Detailně: Regulární matice je taková, jejíž determinant není nula, což znamená, že matice je invertovatelná a existuje matice \( A^{-1} \), která splňuje \( A \cdot A^{-1} = I \).
25. Pokud je číslo sudé, pak je dělitelné dvěma. Číslo \(246\) je sudé.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je sudé“, \( Q \) = „Číslo je dělitelné dvěma“.
2) \( P \) platí, číslo \(246\) je sudé.
Použitím modus ponens vyplývá, že \(246\) je dělitelné dvěma.
Podrobně: Sudé číslo je definováno jako číslo, které je násobkem \(2\), tudíž musí být dělitelné dvěma beze zbytku.
26. Pokud je posloupnost konvergentní, pak je omezená. Posloupnost \( (a_n) \) je konvergentní.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost \( (a_n) \) je konvergentní“, \( Q \) = „Posloupnost \( (a_n) \) je omezená“.
2) \( P \) platí.
Z modus ponens vyplývá, že \( (a_n) \) je omezená.
Podrobně: Konvergence posloupnosti znamená, že prvky \( a_n \) se blíží k nějakému limitnímu bodu, což nutně znamená, že jejich hodnota nemůže růst do nekonečna a posloupnost je tedy omezená.
27. Pokud je číslo prvočíslem větším než \(2\), pak je liché. Číslo \(29\) je prvočíslo větší než \(2\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je prvočíslem větším než \(2\)“, \( Q \) = „Číslo je liché“.
2) \( P \) platí, protože \(29\) je prvočíslo větší než \(2\).
Podle modus ponens tedy platí, že \(29\) je liché.
Detailně: Číslo \(2\) je jediné sudé prvočíslo, ostatní prvočísla jsou lichá, protože sudá čísla větší než \(2\) mají minimálně dělitele \(2\), a tedy nejsou prvočísla.
28. Pokud logická formule je tautologií, pak je pravdivá pro všechna ohodnocení. Formule \( (P \lor \neg P) \) je tautologií.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Formule je tautologií“, \( Q \) = „Formule je pravdivá pro všechna ohodnocení“.
2) \( P \) platí, protože \( (P \lor \neg P) \) je tautologií.
Z modus ponens vyplývá, že formule \( (P \lor \neg P) \) je pravdivá za všech okolností.
Podrobně: Tautologie znamená, že formule nemůže být nikdy nepravdivá, což potvrzuje pravdivost pro všechna možná ohodnocení pravdivostních proměnných.
29. Pokud množina je uzavřená a omezená, pak je kompaktibilní. Množina \( M \) je uzavřená a omezená.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina je uzavřená a omezená“, \( Q \) = „Množina je kompaktibilní“.
2) \( P \) platí, množina \( M \) je uzavřená a omezená.
Modus ponens vede k závěru, že \( M \) je kompaktibilní.
Detailně: Podle Heine-Borelovy věty v eukleidovském prostoru platí, že každá uzavřená a omezená množina je kompaktibilní, což znamená, že lze z ní vybrat konečné podpokrytí.
30. Pokud je číslo celočíselné a dělitelné \(4\), pak je sudé. Číslo \(28\) je celočíselné a dělitelné \(4\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je celočíselné a dělitelné \(4\)“, \( Q \) = „Číslo je sudé“.
2) \( P \) platí, protože \(28\) je celočíselné a dělitelné \(4\).
Použitím modus ponens vyplývá, že \(28\) je sudé.
Podrobně: Dělitelnost \(4\) znamená, že číslo lze vyjádřit jako \( 4k \), což je násobek \(2\), tedy číslo je sudé.
31. Pokud je funkce \( f \) monotónní rostoucí a spojitá na intervalu \( [a,b] \), pak má na tomto intervalu limitu v každém bodě. Funkce \( f \) je monotónní rostoucí a spojitá na \( [a,b] \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je monotónní rostoucí a spojitá na intervalu \( [a,b] \)“, \( Q \) = „Funkce \( f \) má limitu v každém bodě intervalu \( [a,b] \)“.
2) \( P \) platí, tedy \( f \) je monotónní rostoucí a spojitá na \( [a,b] \).
Použitím modus ponens plyne, že \( f \) má limitu v každém bodě intervalu.
Podrobně: Monotónní a spojitá funkce na uzavřeném intervalu je známá vlastnost, která zaručuje existenci limit v každém bodě intervalu, protože spojitost zajišťuje kontinuitu hodnot a monotónnost omezuje chování funkce na neklesající. To znamená, že pro každé \( x_0 \in [a,b] \) existuje limita \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \), tedy funkce je limitní v každém bodě.
32. Pokud je číslo sudé a dělitelné \(3\), pak je dělitelné \(6\). Číslo \(18\) je sudé a dělitelné \(3\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je sudé a dělitelné 3“, \( Q \) = „Číslo je dělitelné 6“.
2) \( P \) platí pro číslo \(18\).
Použitím modus ponens plyne, že \(18\) je dělitelné \(6\).
Podrobně: Číslo \(18\) lze vyjádřit jako \( 2 \cdot 9 \) (sudé) a zároveň jako \( 3 \cdot 6 \) \((\)dělitelné \(3)\). Jelikož \(6 = 2 \cdot 3\), číslo \(18\) je násobkem \(6\), tedy dělitelné \(6\). Tato logika vyplývá přímo z definice dělitelnosti a použití pravidla modus ponens zaručuje správnost závěru.
33. Pokud posloupnost \( (a_n) \) je konvergentní a její limita je \( L \), pak každý podposloupnost \( (a_{n_k}) \) také konverguje k \( L \). Posloupnost \( (a_n) \) je konvergentní s limitou \( L \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost \( (a_n) \) je konvergentní s limitou \( L \)“, \( Q \) = „Každá podposloupnost \( (a_{n_k}) \) konverguje k \( L \)“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens tedy zaručuje, že každá podposloupnost konverguje k \( L \).
Podrobně: Konvergence posloupnosti znamená, že pro každé \(\varepsilon > 0\) existuje \( N \) takové, že pro všechna \( n > N \) platí \( |a_n – L| < \varepsilon \). Podposloupnost je výběr prvků podle rostoucího indexu \( n_k \), tedy od jistého \( k \) jsou všechny prvky podposloupnosti také blízko k \( L \). Tedy podposloupnost sdílí stejnou limitu.
34. Pokud je matice \( A \) regulární (invertovatelná), pak determinant \( \det(A) \neq 0 \). Matice \( A \) je regulární.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice \( A \) je regulární“, \( Q \) = „Determinant \( \det(A) \neq 0 \)“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens vede k závěru, že \( \det(A) \neq 0 \).
Podrobně: Regulární matice má inverzní matici, což je možné právě tehdy, když její determinant je nenulový. Tato vlastnost plyne z definice invertibility a výpočtu determinantů, kde nulový determinant znamená lineární závislost řádků či sloupců, což znemožňuje existenci inverzní matice.
35. Pokud je číslo prvočíslo a větší než \(2\), pak je liché. Číslo \(13\) je prvočíslo a větší než \(2\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je prvočíslo a větší než \(2\)“, \( Q \) = „Číslo je liché“.
2) \( P \) platí pro číslo \(13\).
Z modus ponens plyne, že \(13\) je liché.
Podrobně: Číslo \(2\) je jediné sudé prvočíslo, takže všechna větší prvočísla jsou lichá. Číslo \(13\) splňuje podmínku, proto je liché. Toto logické pravidlo modus ponens využívá danou implikaci a předpoklad pro dosažení závěru.
36. Pokud množina \( S \) je otevřená v metrickém prostoru a \( x_0 \in S \), pak existuje okolí bodu \( x_0 \) úplně obsažené v \( S \). Množina \( S \) je otevřená a \( x_0 \in S \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina \( S \) je otevřená a \( x_0 \in S \)“, \( Q \) = „Existuje okolí bodu \( x_0 \) obsažené v \( S \)“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens zaručuje platnost \( Q \).
Podrobně: Otevřená množina podle definice znamená, že pro každý bod \( x_0 \in S \) existuje kladné \( \varepsilon > 0 \), pro které otevřená koule \( B(x_0, \varepsilon) \subseteq S \). To odpovídá existenci okolí, které je zcela v \( S \). Tím je implikace splněna.
37. Pokud je číslo přirozené a větší než \(1\), pak je buď prvočíslo, nebo má prvočíselný dělitel. Číslo \(15\) je přirozené a větší než \(1\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je přirozené a větší než \(1\)“, \( Q \) = „Číslo je prvočíslo nebo má prvočíselný dělitel“.
2) \( P \) platí pro \(15\).
Z modus ponens vyplývá, že \(15\) je prvočíslo nebo má prvočíselný dělitel.
Podrobně: Číslo \(15\) není prvočíslo, protože je dělitelné \(3\) a \(5\), což jsou prvočísla. Tedy splňuje druhou část implikace. Použitím modus ponens z premise \( P \Rightarrow Q \) a skutečnosti \( P \) je závěr \( Q \) pravdivý.
38. Pokud je posloupnost \( (x_n) \) omezená a konverguje, pak je její limita konečné číslo. Posloupnost \( (x_n) \) je omezená a konverguje.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost je omezená a konverguje“, \( Q \) = „Limita posloupnosti je konečné číslo“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens zaručuje, že limita je konečné číslo.
Podrobně: Konvergence znamená, že limita existuje, a omezenost znamená, že posloupnost nezachází do nekonečna. Kombinací těchto vlastností dostaneme, že limita musí být reálné a konečné číslo. Tato implikace vychází z definic posloupností a jejich limit.
39. Pokud je funkce \( f \) derivovatelná na intervalu \( (a,b) \), pak je spojitá na tomto intervalu. Funkce \( f \) je derivovatelná na \( (a,b) \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je derivovatelná na \( (a,b) \)“, \( Q \) = „Funkce \( f \) je spojitá na \( (a,b) \)“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens tedy platí, že \( f \) je spojitá na \( (a,b) \).
Podrobně: Derivabilita zahrnuje existenci limita podílu přírůstku funkce k přírůstku argumentu. Tato existence limita nutně implikuje, že limita funkce v každém bodě je rovna hodnotě funkce, tedy spojitost. To je základní věta analýzy.
40. Pokud je graf funkce \( f \) klesající na intervalu \( (a,b) \), pak pro každá \( x_1 < x_2 \in (a,b) \) platí \( f(x_1) \ge f(x_2) \). Graf funkce \( f \) je klesající na \( (a,b) \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je klesající na \( (a,b) \)“, \( Q \) = „Pro každá \( x_1 < x_2 \in (a,b) \) platí \( f(x_1) \ge f(x_2) \)".
2) \( P \) platí.
Použitím modus ponens plyne platnost \( Q \).
Podrobně: Definice klesající funkce říká, že pro každé dva body s \( x_1 < x_2 \) je hodnota funkce v prvním bodě větší nebo rovna hodnotě v druhém. Tato vlastnost vyplývá přímo z definice a použití modus ponens potvrzuje platnost této implikace pro danou funkci.
41. Pokud je funkce \( f \) spojitá na uzavřeném intervalu \([a, b]\), pak je omezena na tomto intervalu. Funkce \( f(x) = \sin x \) je spojitá na intervalu \([0, \pi]\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu \([a, b]\)“, \( Q \) = „Funkce je omezena na tomto intervalu“.
2) \( P \) platí, protože \( f(x) = \sin x \) je spojitá na \([0, \pi]\).
Použitím modus ponens vyplývá, že funkce \( f \) je omezena na \([0, \pi]\).
Podrobně: Podle věty o spojitých funkcích na kompaktu je každá spojitá funkce na uzavřeném a omezeném intervalu omezená a nabývá svých minimálních a maximálních hodnot. Protože sinus je spojitá funkce, je omezená i na \([0, \pi]\), kde nabývá hodnot v intervalu \([0, 1]\).
42. Pokud \( n \) je sudé číslo, pak \( (-1)^n = 1 \). Číslo \( n = 8 \) je sudé.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „\( n \) je sudé číslo“, \( Q \) = „\( (-1)^n = 1 \)“.
2) \( P \) platí, protože \( n=8 \) je sudé.
Z modus ponens vyplývá, že \( (-1)^8 = 1 \).
Podrobně: Sudé číslo znamená, že existuje celé číslo \( k \), pro které \( n = 2k \). Pak \( (-1)^n = (-1)^{2k} = ((-1)^2)^k = 1^k = 1 \).
43. Pokud je matice \( A \) čtvercová a invertibilní, pak rovnice \( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \) má jediné řešení. Matice \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) je invertibilní.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice \( A \) je invertibilní čtvercová matice“, \( Q \) = „Rovnice \( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \) má jediné řešení“.
2) \( P \) platí, protože determinanta matice \( A \) je \( 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2 \neq 0 \), tedy \( A \) je invertibilní.
Z modus ponens plyne, že rovnice \( A \mathbf{x} = \mathbf{b} \) má jediné řešení.
Podrobně: Invertibilita matice znamená, že existuje matice \( A^{-1} \), pro kterou platí \( A^{-1} A = I \). Pak řešení rovnice je \( \mathbf{x} = A^{-1} \mathbf{b} \), a je jediné, protože \( A^{-1} \) je jednoznačně určená.
44. Pokud posloupnost \( (a_n) \) konverguje k limitě \( L \), pak každá její podposloupnost také konverguje k \( L \). Posloupnost \( a_n = \frac{1}{n} \) konverguje k \(0\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost \( (a_n) \) konverguje k \( L \)“, \( Q \) = „Každá podposloupnost \( (a_{n_k}) \) konverguje k \( L \)“.
2) \( P \) platí, protože \( a_n = \frac{1}{n} \) konverguje k \(0\).
Modus ponens vede k závěru, že každá podposloupnost \( (a_{n_k}) \) konverguje k \(0\).
Detailně: Konvergence k limitě znamená, že pro každé \( \varepsilon > 0 \) existuje index \( N \), že pro všechna \( n > N \) platí \( |a_n – L| < \varepsilon \). Protože podposloupnost je vybraná posloupnost, podmínky konvergence jsou splněny i pro ni.
45. Pokud je graf \( G \) souvislý, pak pro každé dva vrcholy existuje cesta mezi nimi. Graf \( G \) je souvislý.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Graf \( G \) je souvislý“, \( Q \) = „Pro každé dva vrcholy existuje cesta“.
2) \( P \) platí, tedy \( G \) je souvislý.
Z modus ponens vyplývá, že mezi libovolnými dvěma vrcholy grafu existuje cesta.
Podrobně: Souvislost grafu znamená, že neexistují dvě od sebe oddělené komponenty. Tedy pro jakékoliv dva vrcholy existuje posloupnost hran spojující jeden s druhým, tedy cesta.
46. Pokud je číslo prvočíslo, pak nemá dělitele kromě \(1\) a sebe sama. Číslo \(13\) je prvočíslo.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je prvočíslo“, \( Q \) = „Číslo má jen dělitele \(1\) a samo sebe“.
2) \( P \) platí, protože \(13\) je prvočíslo.
Modus ponens vede k závěru, že \(13\) má jen dělitele \(1\) a \(13\).
Podrobně: Prvočíslo je definováno tak, že jeho jediné kladné dělitele jsou \(1\) a ono samo. Pro \(13\) jsou to právě tato čísla, protože není dělitelné žádným číslem mezi \(2\) a \(12\).
47. Pokud logická formule \( (P \Rightarrow Q) \) je pravdivá a \( P \) je pravdivé, pak \( Q \) je pravdivé. Formule \( (R \Rightarrow S) \) je pravdivá a \( R \) je pravdivé.
Řešení:
Premisy:
1) \( (P \Rightarrow Q) \) je pravdivá.
2) \( P \) je pravdivé.
Podle modus ponens plyne, že \( Q \) je pravdivé.
Aplikujeme to na \( (R \Rightarrow S) \) a \( R \).
Proto \( S \) je pravdivé.
Podrobně: Modus ponens říká, že pokud implikace platí a její antecedent je pravdivý, pak musí být pravdivý i konsekvent. Protože \( (R \Rightarrow S) \) je pravdivá a \( R \) platí, musí platit \( S \).
48. Pokud číslo \( x \) je řešením rovnice \( x^2 = 4 \), pak \( x = 2 \) nebo \( x = -2 \). Číslo \( x = -2 \) je řešením rovnice.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „\( x \) je řešením rovnice \( x^2 = 4 \)“, \( Q \) = „\( x = 2 \) nebo \( x = -2 \)“.
2) \( P \) platí, protože \( x = -2 \) řeší rovnice \( (-2)^2 = 4 \).
Z modus ponens vyplývá, že \( x = -2 \) patří do množiny řešení \( \{2, -2\} \).
Podrobně: Kvadratická rovnice \( x^2 = 4 \) má dvě řešení, protože \( x^2 – 4 = (x-2)(x+2) = 0 \). Proto \( x = 2 \) nebo \( x = -2 \).
49. Pokud je posloupnost monotónně rostoucí a shora omezená, pak je konvergentní. Posloupnost \( a_n = 1 – \frac{1}{n} \) je monotónně rostoucí a shora omezená.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost je monotónně rostoucí a shora omezená“, \( Q \) = „Posloupnost je konvergentní“.
2) \( P \) platí, protože \( a_n = 1 – \frac{1}{n} \) je rostoucí a omezená \((\)maximálně \(1)\).
Modus ponens vede k závěru, že \( a_n \) je konvergentní.
Detailně: Pro \( n \) rostoucí platí \( a_n < a_{n+1} \), což znamená monotónní růst. Navíc \( a_n < 1 \) pro všechna \( n \), což zajišťuje omezení. Podle věty o monotónní posloupnosti je tedy \( (a_n) \) konvergentní s limitou \(1\).
50. Pokud je funkce \( f \) derivovatelná v bodě \( a \), pak je spojitá v bodě \( a \). Funkce \( f(x) = x^2 \) je derivovatelná v \( a=3 \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce je derivovatelná v bodě \( a \)“, \( Q \) = „Funkce je spojitá v bodě \( a \)“.
2) \( P \) platí, protože \( f(x) = x^2 \) je derivovatelná v \( a=3 \).
Použitím modus ponens plyne, že \( f \) je spojitá v \( a=3 \).
Podrobně: Derivovatelnost v bodě implikuje spojitost, protože derivace je limitou podílu přírůstků a existence této limity vyžaduje spojitost funkce v daném bodě. Protože funkce \( x^2 \) má derivaci \( 2x \) a v bodě \(3\) je derivace definovaná, je zde i spojitost.
51. Pokud funkce \( f \) je derivovatelná v bodě \( a \), pak je spojitá v tomto bodě. Funkce \( f(x) = x^2 \) je derivovatelná v bodě \( a = 3 \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je derivovatelná v bodě \( a \)“, \( Q \) = „Funkce \( f \) je spojitá v bodě \( a \)“.
2) \( P \) platí, protože \( f(x) = x^2 \) je derivovatelná v bodě \( a = 3 \) (derivace je \( f'(x) = 2x \), tedy \( f'(3) = 6 \)).
Z modus ponens vyplývá, že funkce \( f \) je spojitá v bodě \( a = 3 \).
Podrobně: Derivovatelnost v bodě zahrnuje limitní přechod, který implikuje spojitost. Protože limita diference podílu existuje, limita samotné funkce v bodě je rovna hodnotě funkce, což je definice spojitosti.
52. Pokud množina \( A \) je podmnožinou množiny \( B \), pak je průnik \( A \cap B = A \). Množina \( A = \{1,2\} \) je podmnožinou \( B = \{1,2,3,4\} \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina \( A \) je podmnožinou \( B \)“, \( Q \) = „Průnik \( A \cap B = A \)“.
2) \( P \) platí, protože \( A = \{1,2\} \subseteq B = \{1,2,3,4\} \).
Z modus ponens vyplývá, že \( A \cap B = A \).
Podrobně: Definice průniku říká, že průnik obsahuje všechny prvky, které jsou v obou množinách. Jelikož \( A \subseteq B \), všechny prvky \( A \) jsou i v \( B \), tudíž průnik je právě \( A \).
53. Pokud matice \( A \) je regulární (invertovatelná), pak determinant \( \det(A) \neq 0 \). Matice \( A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} \) je regulární.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice \( A \) je regulární“, \( Q \) = „Determinant \( \det(A) \neq 0 \)“.
2) \( P \) platí, protože \( A \) je regulární.
Z modus ponens vyplývá, že \( \det(A) \neq 0 \).
Podrobně: Vypočteme determinant \( \det(A) = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 3 = 4 – 6 = -2 \neq 0 \), což potvrzuje regulárnost matice. Regulární matice má jednoznačnou inverzi a nenulový determinant je nutnou i postačující podmínkou regulárnosti.
54. Pokud posloupnost \( (a_n) \) konverguje k limitě \( L \), pak je \( L \) jediná. Posloupnost \( a_n = \frac{1}{n} \) konverguje k \(0\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost \( (a_n) \) konverguje k limitě \( L \)“, \( Q \) = „Limita \( L \) je jediná“.
2) \( P \) platí, protože \( a_n = \frac{1}{n} \) konverguje k \(0\).
Z modus ponens vyplývá, že limita 0 je jediná limita posloupnosti \( (a_n) \).
Podrobně: Podle vlastností limit posloupností je limita jedinečná. Pokud by existovaly dvě různé limity, posloupnost by nemohla konvergovat. Protože \( a_n \to 0 \), nemůže existovat žádná jiná limita.
55. Pokud implikace \( P \Rightarrow Q \) je pravdivá a zároveň platí \( \neg Q \), pak \( \neg P \). Implikace \( P \Rightarrow Q \) je pravdivá a \( \neg Q \) platí.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \) je pravdivá.
2) \( \neg Q \) platí.
Modus ponens zde aplikovat přímo nelze, ale z platnosti implikace a \( \neg Q \) vyplývá kontrapozice \( \neg Q \Rightarrow \neg P \).
Proto platí \( \neg P \).
Podrobně: Logická ekvivalence mezi implikací a její kontrapozicí říká, že jestliže \( P \Rightarrow Q \) platí a zároveň neplatí \( Q \), musí neplatit ani \( P \). To vyplývá z principu logiky a vyvrací možnost, že by platilo \( P \) a zároveň \( \neg Q \).
56. Pokud je funkce \( f \) rostoucí na intervalu \( (a,b) \), pak pro každé \( x_1 < x_2 \) z intervalu platí \( f(x_1) \leq f(x_2) \). Funkce \( f(x) = 3x + 1 \) je rostoucí na reálných číslech.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je rostoucí na intervalu \( (a,b) \)“, \( Q \) = „Pro každé \( x_1 < x_2 \) platí \( f(x_1) \leq f(x_2) \)".
2) \( P \) platí, protože \( f(x) = 3x + 1 \) je lineární funkce s kladným koeficientem u \( x \), tedy rostoucí.
Z modus ponens vyplývá, že \( f(x_1) \leq f(x_2) \) pro \( x_1 < x_2 \).
Podrobně: Pro \( x_1 < x_2 \) platí \( f(x_2) - f(x_1) = 3(x_2 - x_1) > 0 \), což znamená, že funkce je přísně rostoucí a tedy nerovnost platí.
57. Pokud je číslo prvočíslo, pak má právě dva různé dělitele. Číslo \(13\) je prvočíslo.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je prvočíslo“, \( Q \) = „Číslo má právě dva různé dělitele“.
2) \( P \) platí, protože \(13\) je prvočíslo.
Z modus ponens vyplývá, že \(13\) má právě dva různé dělitele.
Podrobně: Prvočíslo je definováno jako číslo větší než \(1\), které nelze dělit žádným jiným číslem kromě \(1\) a sebe sama. Proto má právě dva dělitele: \(1\) a \(13\).
58. Pokud množina \( S \) je konečná, pak každá její podmnožina je také konečná. Množina \( S = \{a,b,c\} \) je konečná.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina \( S \) je konečná“, \( Q \) = „Každá podmnožina \( S \) je konečná“.
2) \( P \) platí, protože \( S = \{a,b,c\} \) je konečná.
Z modus ponens vyplývá, že každá podmnožina \( S \) je konečná.
Podrobně: Konečnost znamená, že množina obsahuje konečný počet prvků. Podmnožina konečné množiny nemůže mít více prvků než množina samotná, tedy je rovněž konečná.
59. Pokud množina \( M \) je prázdná, pak je její sjednocení s jakoukoliv množinou \( N \) rovno \( N \). Množina \( M \) je prázdná.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina \( M \) je prázdná“, \( Q \) = „Sjednocení \( M \cup N = N \)“.
2) \( P \) platí, množina \( M \) je prázdná.
Z modus ponens vyplývá, že \( M \cup N = N \).
Podrobně: Prázdná množina neobsahuje žádné prvky, takže sjednocení s libovolnou množinou \( N \) nepřidá žádné nové prvky, tudíž sjednocení je rovno \( N \).
60. Pokud je číslo dělitelné \(6\), pak je dělitelné \(3\). Číslo \(54\) je dělitelné \(6\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je dělitelné \(6\)“, \( Q \) = „Číslo je dělitelné \(3\)“.
2) \( P \) platí, protože \(54\) je dělitelné \(6\) (\(54 = 6 \cdot 9\)).
Z modus ponens vyplývá, že \(54\) je dělitelné \(3\).
Podrobně: Jelikož \(6 = 2 \cdot 3\), dělitelnost \(6\) znamená, že číslo má faktory \(2\) i \(3\). Proto je automaticky dělitelné \(3\).
61. Pokud funkce \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je spojitá a diferencovatelná, pak její derivace existuje všude. Funkce \( f(x) = x^3 + 2x – 5 \) je spojitá a diferencovatelná na \(\mathbb{R}\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je spojitá a diferencovatelná“, \( Q \) = „Derivace \( f‘ \) existuje na celém definičním oboru“.
2) \( P \) platí, protože \( f(x) = x^3 + 2x – 5 \) je polynom, a polynomy jsou spojité a diferencovatelné na \(\mathbb{R}\).
Z modus ponens vyplývá, že derivace funkce \( f \) existuje všude na \(\mathbb{R}\).
Podrobně: Polynom \( x^3 + 2x – 5 \) je součet mocnin \( x \) s koeficienty reálných čísel, což je základní třída funkcí, které jsou spojité i diferencovatelné na celé reálné ose. Derivace je tedy \( f'(x) = 3x^2 + 2 \), která existuje pro všechna reálná \( x \).
62. Pokud matice \( A \) je regulární (invertovatelná), pak rovnice \( Ax = b \) má jednoznačné řešení. Matice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \) je regulární.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice \( A \) je regulární“, \( Q \) = „Rovnice \( Ax = b \) má jednoznačné řešení“.
2) \( P \) platí, protože determinanta matice \( A \) je \( 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5 \neq 0 \), tedy \( A \) je regulární.
Z modus ponens vyplývá, že rovnice \( Ax = b \) má jednoznačné řešení.
Podrobně: Regulárnost matice znamená, že existuje inverzní matice \( A^{-1} \), takže řešení rovnice lze vyjádřit jako \( x = A^{-1} b \), což zaručuje jednoznačnost a existenci řešení.
63. Pokud posloupnost \( (a_n) \) konverguje k limitě \( L \) a \( f \) je spojitá funkce, pak \( \lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(L) \). Posloupnost \( a_n = \frac{1}{n} \) konverguje k 0 a funkce \( f(x) = \sin x \) je spojitá.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost \( a_n \to L \) a \( f \) je spojitá“, \( Q \) = „Posloupnost \( f(a_n) \to f(L) \)“.
2) \( P \) platí, protože \( a_n = \frac{1}{n} \to 0 \) a \( f(x) = \sin x \) je spojitá.
Z modus ponens vyplývá, že \( \lim_{n \to \infty} \sin\frac{1}{n} = \sin 0 = 0 \).
Podrobně: Spojitost funkce \( \sin \) znamená, že limitu lze „vytáhnout“ dovnitř, tedy limitní hodnota posloupnosti po aplikaci \( f \) je hodnota funkce v limitě původní posloupnosti.
64. Pokud množina \( A \) je konvexní a množina \( B \) je konvexní, pak jejich průnik \( A \cap B \) je také konvexní. Množiny \( A \) a \( B \) jsou konvexní.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množiny \( A \) a \( B \) jsou konvexní“, \( Q \) = „Průnik \( A \cap B \) je konvexní“.
2) \( P \) platí podle zadání.
Modus ponens vede k závěru, že \( A \cap B \) je konvexní.
Podrobně: Konvexnost znamená, že pro libovolné dva body v množině leží celý úseček mezi nimi také v množině. Pro průnik \( A \cap B \) to platí, protože úseček mezi body v průniku leží zároveň v \( A \) i v \( B \), tedy i v jejich průniku.
65. Pokud funkce \( f \) je monotónní rostoucí a diferencovatelná, pak její derivace je nezáporná na intervalu. Funkce \( f(x) = x^2 \) je monotónně rostoucí na \([0, \infty)\) a diferencovatelná.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je monotónně rostoucí a diferencovatelná na intervalu“, \( Q \) = „Derivace \( f‘ \) je nezáporná na tomto intervalu“.
2) \( P \) platí, protože \( f(x) = x^2 \) je monotónně rostoucí na \([0, \infty)\) a diferencovatelná.
Modus ponens vede k závěru, že \( f'(x) \geq 0 \) pro \( x \geq 0 \).
Podrobně: Derivace funkce \( f(x) = x^2 \) je \( f'(x) = 2x \), která je nezáporná právě na \([0, \infty)\), což potvrzuje monotónnost růstu funkce na tomto intervalu.
66. Pokud relace \( R \) na množině je reflexivní a tranzitivní, pak je předpořádek. Relace \( R = \{(x,x), (x,y), (y,y)\} \) je reflexivní a tranzitivní.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Relace \( R \) je reflexivní a tranzitivní“, \( Q \) = „Relace \( R \) je předpořádek“.
2) \( P \) platí dle zadání.
Z modus ponens vyplývá, že \( R \) je předpořádek.
Podrobně: Reflexivita znamená, že každý prvek je v relaci sám se sebou, tranzitivita pak, že pokud \( (x,y) \in R \) a \( (y,z) \in R \), pak \( (x,z) \in R \). Kombinací těchto vlastností vzniká předpořádek, což platí i pro danou relaci.
67. Pokud posloupnost \( (a_n) \) je omezená a monotónní, pak konverguje. Posloupnost \( a_n = 1 – \frac{1}{n} \) je monotónně rostoucí a omezená.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost je monotónní a omezená“, \( Q \) = „Posloupnost konverguje“.
2) \( P \) platí, protože \( a_n = 1 – \frac{1}{n} \) je monotónně rostoucí (protože \( \frac{1}{n} \) klesá) a omezená \((\)např. horní mez je \(1)\).
Z modus ponens vyplývá, že \( a_n \) konverguje.
Podrobně: Posloupnost konverguje k limitě \( \lim_{n \to \infty} a_n = 1 – 0 = 1 \), protože monotónní a omezená posloupnost má limitu dle Monotónní konvergence.
68. Pokud je množina \( S \subseteq \mathbb{R} \) uzavřená a omezená, pak je kompaktibilní. Množina \( S = [0,1] \cup \{2\} \) je uzavřená a omezená.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina je uzavřená a omezená“, \( Q \) = „Množina je kompaktibilní“.
2) \( P \) platí, protože interval \( [0,1] \) je uzavřený a omezený, přidáním izolovaného bodu \(2\) se uzavřenost a omezenost neztratí.
Z modus ponens vyplývá, že množina \( S \) je kompaktibilní.
Podrobně: Kompaktibilita v \(\mathbb{R}\) znamená Heine-Borelovu vlastnost, že každé otevřené pokrytí má konečné podpokrytí. Jelikož \( [0,1] \) je kompakt a přidání izolovaného bodu nemění vlastnosti, \( S \) je také kompaktibilní.
69. Pokud systém lineárních rovnic je homogenní a matice koeficientů má pouze triviální řešení, pak je matice regulární. Homogenní systém má řešení pouze \( x=0 \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Homogenní systém má pouze triviální řešení“, \( Q \) = „Matice koeficientů je regulární“.
2) \( P \) platí podle zadání.
Z modus ponens vyplývá, že matice je regulární.
Podrobně: Jediné řešení homogenního systému je nulový vektor právě tehdy, když determinant matice koeficientů není nula, což znamená, že matice je invertovatelná neboli regulární.
70. Pokud je číslo prvočíslo větší než \(2\), pak je liché. Číslo \(17\) je prvočíslo větší než \(2\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo je prvočíslo větší než \(2\)“, \( Q \) = „Číslo je liché“.
2) \( P \) platí, protože \(17\) je prvočíslo a zároveň větší než \(2\).
Použitím modus ponens tedy vyplývá, že \(17\) je liché číslo.
Podrobně: Prvočísla větší než \(2\) jsou vždy lichá, protože všechny sudé čísla větší než \(2\) jsou dělitelné \(2\) a tudíž nemohou být prvočísly. Číslo \(17\) není sudé, tedy je liché.
71. Pokud je lineární zobrazení \(T : V \to W\) invertibilní, pak má jednoznačnou inverzi. Zobrazení \(T\) je invertibilní.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Zobrazení \( T \) je invertibilní“, \( Q \) = „Existuje jednoznačná inverze \( T^{-1} \)“.
2) \( P \) platí, protože \( T \) je invertibilní.
Z modus ponens vyplývá, že \( T \) má jednoznačnou inverzi \( T^{-1} \).
Podrobně: Invertibilita znamená, že \( T \) je bijekce, tedy pro každé \( w \in W \) existuje právě jedno \( v \in V \), které mapuje na \( w \). Tedy lze definovat zpětné zobrazení \( T^{-1} : W \to V \), které je také lineární a jednoznačné.
72. Pokud spojitá funkce \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) má derivaci na otevřeném intervalu \( (a,b) \) a platí \( f'(x) > 0 \) pro všechna \( x \in (a,b) \), pak je \( f \) rostoucí na \( [a,b] \). Funkce \( f \) má derivaci a \( f'(x) > 0 \) pro všechna \( x \in (a,b) \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) má derivaci a \( f'(x) > 0 \) na \( (a,b) \)“, \( Q \) = „Funkce \( f \) je rostoucí na \( [a,b] \)“.
2) \( P \) platí.
Z modus ponens vyplývá, že \( f \) je rostoucí na \( [a,b] \).
Podrobně: Z věty o střední hodnotě vyplývá, že pro \( x_1 < x_2 \in [a,b] \) existuje \( c \in (x_1, x_2) \), pro které platí \( f(x_2) - f(x_1) = f'(c)(x_2 - x_1) \). Jelikož \( f'(c) > 0 \) a \( x_2 – x_1 > 0 \), pak \( f(x_2) > f(x_1) \), což znamená, že \( f \) je rostoucí.
73. Pokud je matice \( A \in \mathbb{R}^{n \times n} \) regulární, pak existuje jedinečná matice \( A^{-1} \), která splňuje \( A A^{-1} = I_n \). Matice \( A \) je regulární.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice \( A \) je regulární“, \( Q \) = „Existuje jedinečná matice \( A^{-1} \) taková, že \( A A^{-1} = I_n \)“.
2) \( P \) platí.
Z modus ponens plyne, že taková inverzní matice \( A^{-1} \) existuje a je jedinečná.
Podrobně: Regulární matice má nenulový determinant, což implikuje, že soustava rovnic \( A x = b \) má vždy jednoznačné řešení pro každé \( b \). Tím se definuje inverzní matice \( A^{-1} \), která je jednoznačná a splňuje \( A A^{-1} = I_n \).
74. Pokud je predikát \( P(x) \) pravdivý pro všechny \( x \in \mathbb{N} \) a platí \( \forall x (P(x) \Rightarrow P(x+1)) \), pak platí \( \forall x P(x) \). Predikát \( P(0) \) je pravdivý.
Řešení:
Premisy:
1) \( P(0) \) je pravdivý.
2) \( \forall x (P(x) \Rightarrow P(x+1)) \) platí.
Z modus ponens plyne, že \( P(1) \) je pravdivý.
Postupně aplikujeme modus ponens pro všechna \( x \in \mathbb{N} \), čímž induktivně dokazujeme pravdivost \( P(x) \) pro všechna \( x \).
Podrobně: Tento princip matematické indukce vychází z toho, že z pravdivosti základu \( P(0) \) a implikace pravdivosti na další prvek plyne pravdivost všech \( P(x) \).
75. Pokud množina \( A \) je uzavřená a množina \( B \) je její podmnožinou, pak je \( B \) také uzavřená. Množina \( A \) je uzavřená a \( B \subseteq A \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina \( A \) je uzavřená a \( B \subseteq A \)“, \( Q \) = „Množina \( B \) je uzavřená“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens vede k závěru, že \( B \) je uzavřená.
Podrobně: Uzavřenost znamená, že \( A \) obsahuje své hraniční body. Pokud je \( B \) podmnožinou \( A \), pak všechny hraniční body \( B \) jsou také v \( A \). Proto i \( B \) obsahuje své hraniční body a je uzavřená.
76. Pokud je graf \( G \) souvislý, pak existuje cesta mezi libovolnými dvěma vrcholy. Graf \( G \) je souvislý.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Graf \( G \) je souvislý“, \( Q \) = „Mezi libovolnými dvěma vrcholy existuje cesta“.
2) \( P \) platí.
Z modus ponens plyne, že existuje cesta mezi libovolnými dvěma vrcholy.
Podrobně: Definice souvislého grafu znamená, že každý pár vrcholů je spojen alespoň jednou cestou, což splňuje podmínku existence takové cesty.
77. Pokud posloupnost \( (a_n) \) konverguje k limitě \( L \), pak je \( L \) jediná. Posloupnost \( (a_n) \) konverguje k \( L \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost \( (a_n) \) konverguje k \( L \)“, \( Q \) = „Limitní hodnota \( L \) je jediná“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens vede k závěru, že limita je jediná.
Podrobně: Konvergence znamená, že pro každé \(\varepsilon > 0\) existuje \( N \), kdy pro všechna \( n > N \) platí \( |a_n – L| < \varepsilon \). Pokud by existovala jiná limita \( L' \neq L \), dostali bychom rozpor s definicí limitní hodnoty.
78. Pokud operace \( * \) na množině \( S \) je asociativní a existuje neutrální prvek, pak je \( (S, *) \) polo-grupa. Operace \( * \) je asociativní a neutrální prvek existuje.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Operace \( * \) je asociativní a existuje neutrální prvek“, \( Q \) = „Množina \( S \) s operací \( * \) je polo-grupa“.
2) \( P \) platí.
Z modus ponens vyplývá, že \( (S, *) \) je polo-grupa.
Podrobně: Asociativita znamená, že pro všechna \( a,b,c \in S \) platí \( (a * b) * c = a * (b * c) \). Neutrální prvek \( e \) splňuje \( e * a = a * e = a \). Tyto vlastnosti definují polo-grupu, tedy strukturu s asociativní operací a neutrálním prvkem.
79. Pokud funkce \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) je spojitá a na intervalu \( [a,b] \) dosahuje hodnot \( f(a) < 0 \) a \( f(b) > 0 \), pak existuje \( c \in (a,b) \) s \( f(c) = 0 \). Funkce \( f \) je spojitá a \( f(a) < 0 < f(b) \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je spojitá na \( [a,b] \) a \( f(a) < 0 < f(b) \)", \( Q \) = "Existuje \( c \in (a,b) \) s \( f(c) = 0 \)".
2) \( P \) platí.
Z modus ponens plyne, že existuje takové \( c \).
Podrobně: Z věty o mezi hodnotě vyplývá, že spojitá funkce na intervalu mezi hodnotami \( f(a) \) a \( f(b) \) musí nabývat každé hodnoty mezi nimi, tedy i 0. Proto existuje \( c \in (a,b) \), kde \( f(c) = 0 \).
80. Pokud množina je otevřená v eukleidovském prostoru a obsahuje svůj limitní bod, pak není otevřená. Množina \( A \) je otevřená a obsahuje limitní bod \( x \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina je otevřená a obsahuje limitní bod“, \( Q \) = „Množina není otevřená“.
2) \( P \) platí, protože množina \( A \) je otevřená a obsahuje limitní bod \( x \).
Z modus ponens vyplývá, že množina \( A \) není otevřená.
Podrobně: V eukleidovském prostoru platí, že otevřená množina nemůže obsahovat svůj limitní bod (bod hromadnosti), protože pro otevřenost musí existovat okolí bodu, které je celé obsažené v množině, což není splněno, pokud limitní bod je v množině samotné a zároveň je hranicí jiných bodů mimo množinu. Tedy je zde rozpor, a proto množina nemůže být současně otevřená a obsahovat svůj limitní bod.
81. Pokud matice \( A \) je regulární (inverzní existuje), pak rovnice \( Ax = b \) má jediné řešení. Matice \( A \) je regulární.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice \( A \) je regulární“, \( Q \) = „Rovnice \( Ax = b \) má jediné řešení“.
2) \( P \) platí, tedy \( A \) je regulární.
Použitím modus ponens dostáváme, že rovnice \( Ax = b \) má jediné řešení.
Detailně: Regulární matice má inverzní matici \( A^{-1} \). Násobením rovnice \( Ax = b \) zleva maticí \( A^{-1} \) dostaneme \( x = A^{-1}b \), což je jednoznačné řešení. Tím potvrzujeme, že existence regulární matice implikuje jednoznačnost řešení.
82. Pokud je funkce \( f \) spojitá na uzavřeném intervalu a má derivaci \( f‘ \), která je záporná na celém intervalu, pak \( f \) je klesající. Funkce \( f \) má derivaci \( f‘ \), která je záporná na intervalu.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Derivace \( f‘ \) je záporná na intervalu“, \( Q \) = „Funkce \( f \) je klesající“.
2) \( P \) platí, derivace \( f‘ \) je záporná.
Podle modus ponens plyne, že \( f \) je klesající na intervalu.
Podrobně: Z negativity derivace plyne, že pro každé \( x_1 < x_2 \) platí \( f(x_2) < f(x_1) \). To je definice klesající funkce. Spojitost zajišťuje, že derivace je definována na celém intervalu, což garantuje klesavost bez výjimek.
83. Pokud je posloupnost \( (a_n) \) monotonní a omezená, pak je konvergentní. Posloupnost \( (a_n) \) je monotonní a omezená.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost je monotonní a omezená“, \( Q \) = „Posloupnost je konvergentní“.
2) \( P \) platí, tedy \( (a_n) \) je monotonní a omezená.
Podle modus ponens plyne, že \( (a_n) \) je konvergentní.
Podrobně: Monotonie znamená, že posloupnost je buď neklesající nebo nerostoucí. Omezenost znamená, že existuje nějaká hranice, kterou posloupnost nepřekročí. Podle věty o monotónní posloupnosti každá taková posloupnost má limitu, tedy je konvergentní.
84. Pokud je operace binární, uzavřená na množině a asociativní, pak vytváří semiskupinu. Operace je binární, uzavřená a asociativní.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Operace je binární, uzavřená a asociativní“, \( Q \) = „Operace vytváří semiskupinu“.
2) \( P \) platí.
Podle modus ponens operace vytváří semiskupinu.
Podrobně: Semiskupina je algebraická struktura, kde je definována binární operace, která je asociativní a uzavřená na množině. Splnění těchto podmínek tedy znamená, že daná operace na množině je semiskupinou.
85. Pokud funkce \( f \) má inverzní funkci \( f^{-1} \) a \( f \) je rostoucí, pak \( f^{-1} \) je také rostoucí. Funkce \( f \) má inverzi a je rostoucí.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce \( f \) je rostoucí a má inverzi“, \( Q \) = „Inverzní funkce \( f^{-1} \) je rostoucí“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens vede k závěru, že \( f^{-1} \) je rostoucí.
Podrobně: Růst funkce \( f \) znamená, že pro \( x_1 < x_2 \) platí \( f(x_1) < f(x_2) \). Inverze tuto relaci převrací, takže \( f^{-1}(y_1) < f^{-1}(y_2) \) pro \( y_1 < y_2 \). Tím je \( f^{-1} \) rovněž rostoucí funkcí.
86. Pokud je posloupnost \( (x_n) \) Cauchyovská a prostor je úplný, pak \( (x_n) \) konverguje. Posloupnost \( (x_n) \) je Cauchyovská, prostor je úplný.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost je Cauchyovská a prostor je úplný“, \( Q \) = „Posloupnost konverguje“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens znamená, že \( (x_n) \) konverguje.
Podrobně: Cauchyovská posloupnost má všechny členy „blízko u sebe“. Úplnost prostoru zaručuje, že taková posloupnost musí mít limitu v tomto prostoru, tedy konverguje.
87. Pokud je operator \( T \) lineární a je injektivní, pak jeho jádro obsahuje pouze nulový vektor. Operator \( T \) je lineární a injektivní.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Operator \( T \) je lineární a injektivní“, \( Q \) = „Jádro \( \ker(T) = \{0\} \)“.
2) \( P \) platí.
Podle modus ponens \( \ker(T) = \{0\} \).
Podrobně: Injektivita znamená, že \( T(x) = 0 \Rightarrow x=0 \). To je definice jádra obsahujícího pouze nulový vektor.
88. Pokud je množina \( S \) lineárně nezávislá a obsahuje \( n \) vektorů ve vektorovém prostoru dimenze \( n \), pak je báze. Množina \( S \) je lineárně nezávislá a obsahuje \( n \) vektorů ve dimenzi \( n \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Množina \( S \) je lineárně nezávislá a má \( n \) vektorů ve prostoru dimenze \( n \)“, \( Q \) = „Množina \( S \) je báze“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens vede k závěru, že \( S \) je báze.
Podrobně: Lineární nezávislost znamená, že žádný vektor není lineární kombinací ostatních. Počet vektorů odpovídá dimenzi prostoru, což znamená, že množina je generátorem prostoru. Tedy je bází.
89. Pokud je funkce \( f \) diferencovatelná a její derivace \( f‘ \) je konstantní, pak \( f \) je lineární funkce. Funkce \( f \) má konstantní derivaci.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Derivace \( f‘ \) je konstantní“, \( Q \) = „Funkce \( f \) je lineární“.
2) \( P \) platí.
Podle modus ponens plyne, že \( f \) je lineární.
Podrobně: Konstantní derivace znamená, že \( f'(x) = c \), kde \( c \) je konstanta. Integrací dostáváme \( f(x) = cx + d \), což je lineární funkce.
90. Pokud je systém lineárních rovnic homogenní a matice koeficientů je regulární, pak má pouze triviální řešení. Systém je homogenní, matice je regulární.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Systém je homogenní a matice je regulární“, \( Q \) = „Systém má pouze triviální řešení“.
2) \( P \) platí.
Modus ponens znamená, že systém má pouze triviální řešení.
Podrobně: Regulární matice znamená invertibilitu. Homogenní systém má tvar \( Ax = 0 \). Násobením inverzí dostáváme \( x = 0 \). Jiná řešení neexistují.
91. Pokud funkce \( f \) je spojitá na uzavřeném intervalu \([a,b]\), pak dosahuje na tomto intervalu svůj maximum. Funkce \( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \) je spojitá na \([0,3]\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce je spojitá na uzavřeném intervalu \([a,b]\)“, \( Q \) = „Funkce dosahuje maximum na \([a,b]\)“.
2) \( P \) platí, protože \( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \) je polynom, a polynomy jsou spojité na celém \(\mathbb{R}\), tedy i na \([0,3]\).
Z modus ponens vyplývá, že funkce \( f \) dosahuje maximum na intervalu \([0,3]\).
Podrobně: Podle věty o extrému spojité funkce na kompaktu platí, že na každém uzavřeném intervalu spojitá funkce dosahuje své supremum i infimum. Pro kvadratickou funkci můžeme maximum najít derivací a ověřit na hranicích intervalu.
92. Pokud matice \( A \) je regulární (invertovatelná), pak její determinant je nenulový. Matice \( A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 1 & 4\end{pmatrix} \) je regulární.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice je regulární“, \( Q \) = „Determinant matice je nenulový“.
2) \( P \) platí, protože matice \( A \) je regulární.
Z modus ponens vyplývá, že determinant matice \( A \) je nenulový.
Podrobně: Regulární matice má inverzní matici právě tehdy, když její determinant není nula. Pro matici \( A \) vypočítáme determinant: \( \det(A) = 2 \cdot 4 – 3 \cdot 1 = 8 – 3 = 5 \neq 0 \). To potvrzuje tvrzení.
93. Pokud posloupnost \( (a_n) \) je monotonní a omezená, pak je konvergentní. Posloupnost \( a_n = 1 – \frac{1}{n} \) je monotonní a omezená.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost je monotonní a omezená“, \( Q \) = „Posloupnost je konvergentní“.
2) \( P \) platí, protože \( a_n = 1 – \frac{1}{n} \) je rostoucí (monotonní) a omezená (všechny členy jsou menší než \(1\) a větší než \(0\)).
Z modus ponens vyplývá, že \( a_n \) je konvergentní.
Podrobně: Posloupnost je rostoucí, protože pro \( n \geq 1 \) platí \( a_{n+1} = 1 – \frac{1}{n+1} > 1 – \frac{1}{n} = a_n \). Je omezená shora \(1\) a zdola \(0\). Podle věty o monotónních posloupnostech tedy konverguje k limitě \(1\).
94. Pokud je funkce \( f \) diferencovatelná v bodě \( x_0 \) a \( f'(x_0) > 0 \), pak je \( f \) v tomto bodě rostoucí. Pro funkci \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \) platí \( f'(1) = 0 \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce je diferencovatelná v \( x_0 \) a \( f'(x_0) > 0 \)“, \( Q \) = „Funkce je v \( x_0 \) rostoucí“.
2) \( P \) neplatí, protože \( f'(1) = 3(1)^2 – 3 = 3 – 3 = 0 \).
Modus ponens nemůže být aplikován, protože předpoklad \( P \) není splněn.
Podrobně: Derivace v bodě 1 je nulová, tudíž nemůžeme podle této věty usoudit, že funkce je tam rostoucí. Je třeba analyzovat okolí bodu nebo použít vyšší derivace.
95. Pokud má matice \( A \) vlastní hodnotu \( \lambda = 0 \), pak není regulární. Matice \( A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{pmatrix} \) má vlastní hodnotu \(0\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Matice má vlastní hodnotu \(0\)“, \( Q \) = „Matice není regulární“.
2) \( P \) platí, protože matice \( A \) má vlastní hodnotu 0.
Z modus ponens vyplývá, že matice \( A \) není regulární.
Podrobně: Vlastní hodnota \(0\) znamená, že determinant matice je \(0\)0, což znamená, že matice není invertovatelná (není regulární). Pro \( A \) je determinant \( 1 \cdot 4 – 2 \cdot 2 = 4 – 4 = 0 \), což potvrzuje tvrzení.
96. Pokud graf funkce \( f \) má asymptotu \( y = kx + q \), pak limitní hodnota \(\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k\). Funkce \( f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x} \) má asymptotu \( y = 2x \).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce má asymptotu \( y = kx + q \)“, \( Q \) = „Limitní hodnota \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k \)“.
2) \( P \) platí, protože funkce \( f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x} = 2x + \frac{3}{x} \) má asymptotu \( y = 2x \).
Z modus ponens vyplývá, že \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 2 \).
Podrobně: Vydělením funkce \( f(x) \) výrazem \( x \) dostaneme \( \frac{f(x)}{x} = 2 + \frac{3}{x^2} \), což pro \( x \to \infty \) konverguje k \(2\), což odpovídá směrnici asymptoty.
97. Pokud je funkce \( f \) klesající a spojitá na intervalu \([a,b]\), pak její inverzní funkce \( f^{-1} \) je spojitá na intervalu \( [f(b), f(a)] \). Funkce \( f(x) = -x \) je klesající a spojitá na \([0,2]\).
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Funkce je klesající a spojitá na \([a,b]\)“, \( Q \) = „Inverzní funkce je spojitá na \([f(b), f(a)]\)“.
2) \( P \) platí, protože \( f(x) = -x \) je lineární, spojitá a klesající na \([0,2]\).
Z modus ponens vyplývá, že inverzní funkce \( f^{-1} \) je spojitá na \([-2,0]\).
Podrobně: Funkce \( f \) je bijektivní, její inverzní funkce \( f^{-1}(y) = -y \) je také lineární a spojitá, což odpovídá předpokladům.
98. Pokud je reálné číslo \( x \) záporné, pak jeho druhá mocnina \( x^2 \) je kladná. Číslo \( x = -3 \) je záporné.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Číslo \( x \) je záporné“, \( Q \) = „Jeho druhá mocnina \( x^2 \) je kladná“.
2) \( P \) platí, protože \( x = -3 < 0 \).
Z modus ponens vyplývá, že \( (-3)^2 = 9 > 0 \).
Podrobně: Druhá mocnina záporného čísla je vždy kladná, protože násobení dvou záporných čísel dává kladné číslo.
99. Pokud je \( n \) sudé číslo, pak \( (-1)^n = 1 \). Číslo \( n = 8 \) je sudé.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „\( n \) je sudé“, \( Q \) = „\( (-1)^n = 1 \)“.
2) \( P \) platí, protože \( n = 8 \) je sudé.
Z modus ponens vyplývá, že \( (-1)^8 = 1 \).
Podrobně: Pro sudá \( n \) platí \( (-1)^n = 1 \) z vlastností mocnin.
100. Pokud je posloupnost \( (a_n) \) konvergentní, pak její limita je jednoznačná. Posloupnost \( a_n = \frac{1}{n} \) je konvergentní.
Řešení:
Premisy:
1) \( P \Rightarrow Q \), kde \( P \) = „Posloupnost je konvergentní“, \( Q \) = „Limita posloupnosti je jednoznačná“.
2) \( P \) platí, protože \( a_n = \frac{1}{n} \) konverguje k 0.
Z modus ponens vyplývá, že limita \( \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \) je jednoznačná.
Podrobně: Limitní hodnota této posloupnosti je 0, což je jediná limita, protože limita konvergentní posloupnosti je jednoznačná.
