1. Vypočtěte součet nekonečné geometrické řady \( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^n \).
Řešení příkladu:
Máme geometrickou řadu s prvním členem \( a = 1 \) (protože \( \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \)) a kvocientem \( q = \frac{2}{3} \). Protože \( |q| < 1 \), řada konverguje a její součet je dán vztahem
\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{1}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3. \)
Součet nekonečné řady je tedy \( 3 \).
2. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \).
Řešení příkladu:
Prvním krokem je rozklad členu řady na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \).
Vynásobíme obě strany rovnice jmenovatelem \( n(n+1) \):
\( 1 = A(n+1) + Bn = An + A + Bn = (A + B)n + A \).
Porovnáním koeficientů získáme soustavu:
\( A + B = 0 \Rightarrow B = -A \),
\( A = 1 \).
Tedy \( A = 1 \), \( B = -1 \) a
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \).
Řada je tedy teleskopická:
\( \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) = 1 – \frac{1}{N+1} \).
V limitě pro \( N \to \infty \) platí:
\( \lim_{N \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{N+1} \right) = 1 \Rightarrow \)
součet nekonečné řady je \( 1 \).
3. Najděte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Jedná se o geometrickou řadu s prvním členem \( a = 1 \) (protože \( (-1)^0 / 2^0 = 1 \)) a kvocientem \( q = -\frac{1}{2} \).
Protože \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \), řada konverguje a její součet je
\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{1}{1 – \left(-\frac{1}{2}\right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}. \)
Součet řady je tedy \( \frac{2}{3} \).
4. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Řada je geometrická s prvním členem \( a = \frac{1}{3} \) a kvocientem \( q = \frac{1}{3} \).
Protože \( |q| < 1 \), platí
\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2}. \)
Součet řady je tedy \( \frac{1}{2} \).
5. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \), pokud existuje (použijte známý vztah z analýzy).
Řešení příkladu:
Tato řada je známá jako Riemannova zeta funkce v bodě 2:
\( \zeta(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \).
Euler ukázal, že
\( \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}. \)
Řada tedy konverguje a její součet je
\( \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449. \)
6. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty n \left(\frac{1}{4}\right)^n \).
Řešení příkladu:
Jedná se o řadu tvaru \( \sum_{n=0}^\infty n q^n \) s \( q = \frac{1}{4} \).
Je známo, že
\( \sum_{n=0}^\infty n q^n = \frac{q}{(1 – q)^2} \), pokud \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{4} \):
\( S = \frac{\frac{1}{4}}{(1 – \frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9}. \)
Součet řady je tedy \( \frac{4}{9} \).
7. Spočtěte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \).
Řešení příkladu:
Tato řada je známá jako Leibnizova řada pro \(\ln 2\):
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2. \)
Pro úplnost odvodíme konvergenci a hodnotu:
Řada je střídavá a členy \( \frac{1}{n} \) klesají k nule, tedy podle Leibnizova kritéria řada konverguje.
Pomocí rozvoje funkce \( \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \) pro \( x = 1 \) dostáváme
\( \ln(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}. \)
8. Určete součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1) 3^{2n+1}} \).
Řešení příkladu:
Uvažujme funkci arctg (arkus tangens) rozvinutou do mocninné řady:
\( \arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad |x| \leq 1. \)
V naší řadě chybí znak \((-1)^n\), proto upravíme výraz:
Řada \( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1) 3^{2n+1}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{2n+1}}{2n+1} \).
Protože \(\left(\frac{1}{3}\right)^{2n+1} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^n\), a \(\arctan x\) obsahuje \((-1)^n\), tato řada odpovídá
\( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \) pro \( x = \frac{1}{3} \), ale bez \((-1)^n\) znamená, že řada není přímo arctg.
Řešení: zapišme řadu jako
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} \left(\frac{1}{3}\right)^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \int_0^{1/3} x^{2n} dx = \int_0^{1/3} \sum_{n=0}^\infty x^{2n} dx \).
Geometrická řada v součtu dává
\( \sum_{n=0}^\infty x^{2n} = \frac{1}{1 – x^2}, \quad |x| < 1. \)
Tedy
\( S = \int_0^{1/3} \frac{dx}{1 – x^2} = \left[ \frac{1}{2} \ln \left| \frac{1+x}{1-x} \right| \right]_0^{1/3} = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \ln \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2} \ln 2. \)
Součet řady je tedy \( \frac{1}{2} \ln 2 \).
9. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme známý vzorec pro sumu \( \sum_{n=0}^\infty n^2 q^n \), kde \( |q| < 1 \):
\( \sum_{n=0}^\infty n^2 q^n = \frac{q(1 + q)}{(1 – q)^3} \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{4} \):
\( S = \frac{\frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{4}\right)}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^3} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^3} = \frac{\frac{5}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{5}{16} \cdot \frac{64}{27} = \frac{320}{432} = \frac{40}{54} = \frac{20}{27}. \)
Součet řady je tedy \( \frac{20}{27} \).
10. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n 2^n} \).
Řešení příkladu:
Známý rozvoj Taylorovy řady pro \(-\ln(1 – x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}\) pro \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \), pak
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n 2^n} = -\ln \left(1 – \frac{1}{2}\right) = -\ln \frac{1}{2} = \ln 2. \)
Součet řady je tedy \( \ln 2 \).
11. Vypočtěte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \( \sum_{n=1}^\infty n q^n \) s \( q = \frac{1}{2} \) a \( |q| < 1 \), proto můžeme použít známý vzorec
\( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1 – q)^2} \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{2} \):
\( S = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2. \)
Součet nekonečné řady je tedy \( 2 \).
12. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \).
Řešení příkladu:
Jedná se o střídavou variantu známé Dirichletovy řady, která je definována jako
\( \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} \).
Pro \( s=2 \) platí vztah
\( \eta(2) = (1 – 2^{1-2}) \zeta(2) = \left(1 – \frac{1}{2}\right) \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12}. \)
Tedy součet řady je \( \frac{\pi^2}{12} \).
13. Vypočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{5^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Úprava členu řady:
\( \frac{3^n}{5^{n+1}} = \frac{3^n}{5^n \cdot 5} = \frac{1}{5} \left(\frac{3}{5}\right)^n \).
Jedná se tedy o geometrickou řadu s prvním členem \( a = \frac{1}{5} \) a kvocientem \( q = \frac{3}{5} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet je
\( S = \frac{a}{1 – q} = \frac{\frac{1}{5}}{1 – \frac{3}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1}{2}. \)
Součet řady je tedy \( \frac{1}{2} \).
14. Najděte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Řada je ve tvaru \( \sum_{n=1}^\infty n q^n \) s \( q = \frac{1}{3} \), kde \( |q| < 1 \).
Známý vzorec pro tuto sumu je
\( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1 – q)^2} \).
Dosadíme:
\( S = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}. \)
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
15. Určete součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} \).
Vynásobíme jmenovatelem \( n(n+2) \):
\( 1 = A(n+2) + B n = A n + 2A + B n = (A + B)n + 2A \).
Porovnáme koeficienty:
\( A + B = 0 \Rightarrow B = -A \),
\( 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \), tedy \( B = -\frac{1}{2} \).
Dosadíme zpět:
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2n} – \frac{1}{2(n+2)} \).
Součet částečných součtů do \( N \) je
\( S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} – \sum_{n=3}^{N+2} \frac{1}{n} \right). \)
Rozepíšeme:
\( S_N = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \sum_{n=3}^N \frac{1}{n} – \sum_{n=3}^{N+2} \frac{1}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{N+1} – \frac{1}{N+2} \right). \)
V limitě \( N \to \infty \) platí \( \frac{1}{N+1} \to 0 \) a \( \frac{1}{N+2} \to 0 \), takže
\( S = \lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}. \)
Součet nekonečné řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
16. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot 3^n} \).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \), kde \( x = \frac{1}{3} \).
Tento tvar odpovídá rozvoji funkce \(\ln(1+x)\) pro \(|x| < 1\):
\( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = \ln(1+x) \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{3} \):
\( S = \ln\left(1 + \frac{1}{3}\right) = \ln\frac{4}{3} \).
Součet řady je tedy \( \ln\frac{4}{3} \).
17. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{5^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Upravíme řadu:
\( S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{5}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \( q = -\frac{2}{5} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet geometrické řady je:
\( \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{5}\right)^n = \frac{1}{1 + \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{7}{5}} = \frac{5}{7} \).
Dosadíme zpět:
\( S = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{7} = \frac{1}{7} \).
Součet řady je tedy \( \frac{1}{7} \).
18. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme známý vzorec pro sumu \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{2} \):
\( S = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \).
Součet řady je tedy \( 2 \).
19. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{4^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Upravíme členy řady:
\( S = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \( q = \frac{3}{4} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet geometrické řady je:
\( \sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{4}\right)^n = \frac{1}{1 – \frac{3}{4}} = 4 \).
Dosadíme zpět:
\( S = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \).
Součet řady je tedy \( 1 \).
20. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec pro sumu \( \sum_{n=1}^\infty n^2 q^n = \frac{q(1+q)}{(1-q)^3} \), kde \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{3} \):
\( S = \frac{\frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{3}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{108}{72} = \frac{3}{2} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{2} \).
21. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \) a upravíme na součet od n=0:
Člen pro \( n=0 \) je 0, proto:
\( S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{4^n} = \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{\frac{1}{4}}{(1 – \frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9} \).
Součet řady je tedy \( \frac{4}{9} \).
22. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{5^n n} \).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \( \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \) s \( x = \frac{2}{5} \), což odpovídá rozvoji funkce \(-\ln(1 – x)\) pro \(|x| < 1\):
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1 – x) \).
Dosadíme \( x = \frac{2}{5} \):
\( S = -\ln\left(1 – \frac{2}{5}\right) = -\ln\frac{3}{5} = \ln\frac{5}{3} \).
Součet řady je tedy \( \ln\frac{5}{3} \).
23. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \frac{n}{5^n} \).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} n q^n \) s \( q = \frac{1}{5} \), což lze zapsat jako \( \sum_{n=1}^\infty n (-q)^n \).
Využijeme vzorec \( \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2} \), kde \( |r| < 1 \).
Dosadíme \( r = -\frac{1}{5} \):
\( S = \frac{-\frac{1}{5}}{(1 + \frac{1}{5})^2} = \frac{-\frac{1}{5}}{\left(\frac{6}{5}\right)^2} = -\frac{1}{5} \cdot \frac{25}{36} = -\frac{5}{36} \).
Součet řady je tedy \( -\frac{5}{36} \).
24. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n^3}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec pro sumu \( \sum_{n=0}^\infty n^3 q^n \) pro \( |q| < 1 \):
\( \sum_{n=0}^\infty n^3 q^n = \frac{q(1 + 4q + q^2)}{(1 – q)^4} \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{2} \):
\( S = \frac{\frac{1}{2}(1 + 4 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4})}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^4} = \frac{\frac{1}{2} \left(1 + 2 + \frac{1}{4}\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)^4} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{13}{4}}{\frac{1}{16}} = \frac{13}{8} \cdot 16 = 26 \).
Součet řady je tedy \( 26 \).
25. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^{n-1}}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Upravíme členy řady:
\( S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^{n-1}}{4^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^{n-1}}{4^{n-1} \cdot 4} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} \).
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \( q = -\frac{3}{4} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet geometrické řady od \(n=1\) je:
\( \sum_{n=1}^\infty q^{n-1} = \frac{1}{1 – q} \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{3}{4}\right)^{n-1} = \frac{1}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7} \).
Dosadíme zpět:
\( S = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{7} = \frac{1}{7} \).
Součet řady je tedy \( \frac{1}{7} \).
26. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} n}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Máme řadu tvaru \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n q^n \) s \( q = \frac{1}{2} \).
Využijeme vzorec pro sumu \( \sum_{n=1}^\infty n r^n = \frac{r}{(1-r)^2} \), kde \( |r| < 1 \).
Zde je ale kvocient \( r = -\frac{1}{2} \), protože \( (-1)^{n+1} = (-1)^{n-1} \) znamená střídání znamének.
Proto:
\( S = \sum_{n=1}^\infty n \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{2}{9} \).
Součet řady je tedy \( -\frac{2}{9} \).
27. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{5^{2n}} \).
Řešení příkladu:
Upravíme členy řady:
\( S = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{5^{2n}} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{25}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \( q = \frac{3}{25} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet geometrické řady je:
\( S = \frac{1}{1 – \frac{3}{25}} = \frac{1}{\frac{22}{25}} = \frac{25}{22} \).
Součet řady je tedy \( \frac{25}{22} \).
28. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme známý vzorec pro sumu \( \sum_{n=1}^\infty n^2 q^n = \frac{q(1 + q)}{(1-q)^3} \), kde \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{2} \):
\( S = \frac{\frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right)}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6 \).
Součet řady je tedy \( 6 \).
29. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} \).
Řešení příkladu:
Řada je známá jako Leibnizova řada pro \( \eta(2) \), Dirichletův eta funkce v bodě 2:
\( \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} \), zde \( s = 2 \).
Víme, že:
\( \eta(2) = (1 – 2^{1-2}) \zeta(2) = (1 – \frac{1}{2}) \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12} \).
Součet řady je tedy \( \frac{\pi^2}{12} \).
30. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty n \left(\frac{1}{3}\right)^n \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( |q| < 1 \).
Člen pro \( n=0 \) je 0, proto začínáme sumu od \( n=1 \):
\( S = \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
31. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n 4^n} \).
Řešení příkladu:
Řada má tvar \( \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \) s \( x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \), což odpovídá rozvoji funkce \(-\ln(1 – x)\) pro \( |x| < 1 \):
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} = -\ln(1 – x) \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \):
\( S = -\ln\left(1 – \frac{1}{2}\right) = -\ln\frac{1}{2} = \ln 2 \).
Součet řady je tedy \( \ln 2 \).
32. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-3)^n}{2^{2n+1}} \).
Řešení příkladu:
Upravíme členy řady:
\( S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-3)^n}{2^{2n+1}} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{3}{4}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \( q = -\frac{3}{4} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet je tedy:
\( S = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 – \left(-\frac{3}{4}\right)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{3}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{7}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7} = \frac{2}{7} \).
Součet řady je tedy \( \frac{2}{7} \).
33. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \).
Řešení příkladu:
Upravíme jednotlivé členy pomocí rozkladu na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \).
Řada je tedy teleskopická:
\( S_N = \sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) = 1 – \frac{1}{N+1} \).
Pro \( N \to \infty \):
\( S = \lim_{N \to \infty} \left(1 – \frac{1}{N+1}\right) = 1 \).
Součet řady je tedy \( 1 \).
34. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec pro součet \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{3} \):
\( S = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
35. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \).
Řešení příkladu:
Řada je známý Taylorův rozvoj funkce arctg(1):
\( \arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \) pro \( |x| \le 1 \).
Dosadíme \( x = 1 \):
\( S = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{\pi}{4} \).
36. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{5^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec pro součet řady \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{5} \):
\( S = \frac{\frac{1}{5}}{\left(1 – \frac{1}{5}\right)^2} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{16}{25}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{5}{16} \).
Součet řady je tedy \( \frac{5}{16} \).
37. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Upravíme řadu:
\( S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-2)^n}{3^{n+1}} = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{2}{3}\right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu s kvocientem \( q = -\frac{2}{3} \), kde \( |q| < 1 \).
Součet geometrické řady je:
\( S = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 – \left(-\frac{2}{3}\right)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{1}{5} \).
Součet řady je tedy \( \frac{1}{5} \).
38. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} \).
Vynásobíme obě strany \( n(n+2) \):
\( 1 = A(n+2) + B n = (A+B) n + 2A \).
Srovnáme koeficienty:
Pro \( n \): \( A + B = 0 \Rightarrow B = -A \).
Pro konstanty: \( 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \).
Odtud \( B = -\frac{1}{2} \).
Řada je tedy:
\( S = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1/2}{n} – \frac{1/2}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right) \).
Pro parciální součet \( S_N \):
\( S_N = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{N+1} – \frac{1}{N+2}\right) \), protože většina členů se vyruší.
Pro \( N \to \infty \) platí \( \frac{1}{N+1} \to 0 \) a \( \frac{1}{N+2} \to 0 \), tedy
\( S = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
39. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( |q| < 1 \).
Protože člen pro \( n=0 \) je nulový, můžeme začít sumu od \( n=1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{4} \):
\( S = \frac{\frac{1}{4}}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9} \).
Součet řady je tedy \( \frac{4}{9} \).
40. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} \).
Řešení příkladu:
Řada je tvaru \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n \), kde \( x = \frac{1}{2} \).
Víme, že \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^n = \ln(1 + x) \), pro \( |x| \le 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \):
\( S = \ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln \frac{3}{2} \).
Součet řady je tedy \( \ln \frac{3}{2} \).
41. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 2^n} \).
Řešení příkladu:
Řada je specializací polylogaritmu \( \text{Li}_s(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s} \).
Zde máme \( s = 2 \) a \( x = \frac{1}{2} \), tedy
\( S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 2^n} = \text{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right) \).
Polylogaritmus druhého řádu lze vyjádřit pomocí známých konstant:
\( \text{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{12} – \frac{(\ln 2)^2}{2} \).
Součet řady je tedy \( \frac{\pi^2}{12} – \frac{(\ln 2)^2}{2} \).
42. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec pro součet řady \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{3} \):
\( S = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
43. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n+1}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Řadu lze rozdělit na dvě části:
\( S = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n}{2^n} + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2^n} \).
První část je \( \sum_{n=0}^\infty n ( -\frac{1}{2} )^n \), druhá je \( \sum_{n=0}^\infty ( -\frac{1}{2} )^n \).
Pro první část použijeme vzorec \( \sum_{n=0}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( q = -\frac{1}{2} \):
\( S_1 = \frac{-\frac{1}{2}}{(1 + \frac{1}{2})^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{2}{9} \).
Pro druhou část využijeme vzorec pro geometrickou řadu:
\( S_2 = \frac{1}{1 – (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \).
Součet celé řady je tedy:
\( S = S_1 + S_2 = -\frac{2}{9} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{9} + \frac{6}{9} = \frac{4}{9} \).
44. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2} \).
Vynásobíme obě strany \( n(n+1)(n+2) \):
\( 1 = A (n+1)(n+2) + B n (n+2) + C n (n+1) \).
Dosadíme vhodná čísla pro \( n \) a také srovnáme koeficienty:
Pro \( n = 0 \): \( 1 = A \cdot 1 \cdot 2 = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2} \).
Pro \( n = -1 \): \( 1 = B \cdot (-1) \cdot 1 = -B \Rightarrow B = -1 \).
Pro \( n = -2 \): \( 1 = C \cdot (-2) \cdot (-1) = 2C \Rightarrow C = \frac{1}{2} \).
Řada je tedy:
\( S = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1/2}{n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1/2}{n+2}\right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} – \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n+2} \).
Pro parciální součet \( S_N \) platí:
\( S_N = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} – \sum_{n=2}^{N+1} \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \sum_{n=3}^{N+2} \frac{1}{n} \).
Sečteme a vykrátíme společné členy:
\( S_N = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{N}\right) – \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{N+1}\right) + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{N+2}\right) \).
Po úpravě dostaneme:
\( S_N = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} – \frac{1}{N+1} – \frac{1}{2 (N+2)} \).
Pro \( N \to \infty \) členy \( \frac{1}{N+1} \to 0 \) a \( \frac{1}{2(N+2)} \to 0 \), tedy
\( S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
45. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} n}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Řada je tvaru \( \sum_{n=1}^\infty n (-x)^{n-1} x \), kde \( x = \frac{1}{2} \), tedy:
\( S = \sum_{n=1}^\infty n \left(-\frac{1}{2}\right)^n \).
Využijeme vzorec pro sumu \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \) s \( q = -\frac{1}{2} \):
\( S = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{9} = -\frac{2}{9} \).
Součet řady je tedy \( -\frac{2}{9} \).
46. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n^2 + n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} \).
Po dosazení dostaneme:
\( 1 = A(n+1) + B n \Rightarrow \) pro \( n = -1 \) máme \( 1 = 0 + B \cdot (-1) \Rightarrow B = -1 \).
Pro \( n = 0 \): \( 1 = A \cdot 1 + 0 \Rightarrow A = 1 \).
Řada tedy je:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \).
Parciální součet je:
\( S_N = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) = 1 – \frac{1}{N+1} \).
Pro \( N \to \infty \) platí \( \frac{1}{N+1} \to 0 \Rightarrow S = 1 \).
Součet řady je tedy 1.
47. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \).
Řešení příkladu:
Řada je známou Taylorovou řadou pro funkci \( \arctan x \):
\( \arctan x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \), kde \( |x| \leq 1 \).
Pro \( x = 1 \) máme:
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{\pi}{4} \).
48. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme známý vzorec pro sumu \( \sum_{n=0}^\infty n^2 q^n = \frac{q(1+q)}{(1-q)^3} \), kde \( |q| < 1 \).
Řada začíná od \( n=1 \), proto:
\( \sum_{n=1}^\infty n^2 q^n = \sum_{n=0}^\infty n^2 q^n – 0^2 \cdot q^0 = \sum_{n=0}^\infty n^2 q^n \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{3} \):
\( S = \frac{\frac{1}{3}\left(1 + \frac{1}{3}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{108}{72} = \frac{3}{2} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{2} \).
49. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n 2^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme Taylorovu řadu pro funkci \( \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} \), kde \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \):
\( S = \ln \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln \frac{3}{2} \).
Součet řady je tedy \( \ln \frac{3}{2} \).
50. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek:
\( \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1} \).
Vynásobíme obě strany výrazem \( (2n-1)(2n+1) \):
\( 1 = A (2n+1) + B (2n-1) \).
Porovnáme koeficienty:
Pro \( n \) koeficient u \( n \) je \( 2A + 2B = 0 \Rightarrow A = -B \).
Konstantní člen: \( A – B = 1 \).
Dosadíme \( A = -B \): \( -B – B = 1 \Rightarrow -2B = 1 \Rightarrow B = -\frac{1}{2} \), tedy \( A = \frac{1}{2} \).
Řada je tedy:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1/2}{2n-1} – \frac{1/2}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2n-1} – \frac{1}{2n+1} \right) \).
Parciální součet je:
\( S_N = \frac{1}{2} \left( 1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2N-1} – \frac{1}{2N+1} \right) = \frac{1}{2} \left(1 – \frac{1}{2N+1}\right) \).
Pro \( N \to \infty \) platí \( \frac{1}{2N+1} \to 0 \Rightarrow S = \frac{1}{2} \).
Součet řady je tedy \( \frac{1}{2} \).
51. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Převedeme členy řady na tvar \( \frac{n}{2^{n+1}} = \frac{n}{2} \cdot \frac{1}{2^n} \), tedy
\( S = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
Využijeme vzorec \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \) pro \( q = \frac{1}{2} \):
\( \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \).
Proto
\( S = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 \).
Součet řady je tedy 1.
52. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme známý vzorec pro sumu \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{3} \):
\( S = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
53. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n+1}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Rozdělíme členy řady na dvě části:
\( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n+1}{2^n} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n}{2^n} + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2^n} \).
První součet lze vyjádřit jako derivaci geometrické řady:
Víme, že \( \sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1 – x} \) pro \( |x| < 1 \).
Derivací podle \( x \): \( \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1} = \frac{1}{(1 – x)^2} \Rightarrow \sum_{n=0}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2} \).
Dosadíme \( x = -\frac{1}{2} \):
\( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{n}{2^n} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(1 + \frac{1}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{9}{4}} = -\frac{2}{9} \).
Geometrická řada \( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2^n} = \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \).
Součet je tedy:
\( S = -\frac{2}{9} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{9} + \frac{6}{9} = \frac{4}{9} \).
Součet řady je tedy \( \frac{4}{9} \).
54. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} \).
Vynásobíme rovnost \( n(n+2) \):
\( 1 = A(n+2) + B n = (A + B) n + 2A \).
Porovnáme koeficienty:
U \( n \): \( A + B = 0 \Rightarrow B = -A \).
Konstantní člen: \( 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \), tedy \( B = -\frac{1}{2} \).
Řada se rozepíše jako:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1/2}{n} – \frac{1/2}{n+2} \right) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \).
Parciální součet je:
\( S_N = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{N+1} – \frac{1}{N+2} \right) \).
Pro \( N \to \infty \) platí \( \frac{1}{N+1} \to 0 \) a \( \frac{1}{N+2} \to 0 \), takže:
\( S = \frac{1}{2} \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
55. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n (n+1)} \).
Řešení příkladu:
Využijeme integrálové vyjádření:
\( \frac{1}{n+1} = \int_0^1 x^n \, dx \).
Řada tedy je:
\( S = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{3^n} \int_0^1 x^n \, dx = \int_0^1 \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{x}{3}\right)^n dx \).
Vnitřní suma je geometrická řada s kvocientem \( -\frac{x}{3} \), kde \( |x| \leq 1 \):
\( \sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{x}{3}\right)^n = \frac{1}{1 + \frac{x}{3}} = \frac{3}{3+x} \).
Integrujeme:
\( S = \int_0^1 \frac{3}{3 + x} dx = 3 \int_0^1 \frac{1}{3 + x} dx = 3 \left[ \ln |3 + x| \right]_0^1 = 3 (\ln 4 – \ln 3) = 3 \ln \frac{4}{3} \).
Součet řady je tedy \( 3 \ln \frac{4}{3} \).
56. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n 2^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme známou Taylorovu řadu pro funkci \( -\ln(1-x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \), kde \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \):
\( S = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n 2^n} = -\ln\left(1 – \frac{1}{2}\right) = -\ln \frac{1}{2} = \ln 2 \).
Součet řady je tedy \( \ln 2 \).
57. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty n \left(\frac{1}{4}\right)^n \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec \( \sum_{n=1}^\infty n q^n = \frac{q}{(1-q)^2} \), kde \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{4} \):
\( S = \frac{\frac{1}{4}}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\left(\frac{3}{4}\right)^2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{16}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{9} = \frac{4}{9} \).
Součet řady je tedy \( \frac{4}{9} \).
58. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \).
Řešení příkladu:
Jedná se o známou Dirichletovu eta funkci \( \eta(2) \), kde
\( \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} = (1 – 2^{1-s}) \zeta(s) \).
Pro \( s=2 \) máme:
\( \eta(2) = (1 – 2^{1-2}) \zeta(2) = (1 – \frac{1}{2}) \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{12} \).
Součet řady je tedy \( \frac{\pi^2}{12} \).
59. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{5^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Převedeme řadu na tvar:
\( S = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^n}{5^{n+1}} = \frac{1}{5} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{5}\right)^n \).
Geometrická řada se součtem:
\( \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r} \), kde \( |r| < 1 \).
Dosadíme \( r = \frac{2}{5} \):
\( S = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{1 – \frac{2}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{1}{3} \).
Součet řady je tedy \( \frac{1}{3} \).
60. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 3^n} \).
Řešení příkladu:
Řada je speciální případ polylogaritmu \( \mathrm{Li}_2(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2} \), kde \( |z| < 1 \).
Dosadíme \( z = \frac{1}{3} \), tedy
\( S = \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 3^n} \).
Tento součet nelze vyjádřit jednodušeji pomocí elementárních funkcí, ale lze jej ponechat ve tvaru polylogaritmu.
Součet řady je tedy \( \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{3}\right) \).
61. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(n+1)^2}{2^{n+2}} \).
Řešení příkladu:
Vyjádříme řadu jako:
\( S = \frac{1}{4} \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
Víme, že \( \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 q^n = \frac{1 + q}{(1-q)^3} \) pro \( |q| < 1 \).
Dosadíme \( q = \frac{1}{2} \):
\( \sum_{n=0}^\infty (n+1)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1 + \frac{1}{2}}{\left(1 – \frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{3}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^3} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{8}} = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12 \).
Součet řady je tedy:
\( S = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \).
62. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot 2^n} \).
Řešení příkladu:
Řadu poznáme jako modifikaci logaritmické řady:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = \ln(1 + x) \) pro \( |x| \leq 1, x \ne -1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \):
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot 2^n} = \ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) \).
Součet řady je tedy \( \ln\left(\frac{3}{2}\right) \).
63. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \).
Řada se tedy změní na:
\( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\right) \).
Jedná se o teleskopickou řadu:
\( \left(1 – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + \dots \Rightarrow \) součet je \( 1 \).
Součet řady je tedy \( 1 \).
64. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n}} \).
Řešení příkladu:
Použijeme známý vzorec:
\( \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2} \) pro \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \):
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{(1 – \frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1} = 2 \).
Součet řady je tedy \( 2 \).
65. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^n \).
Řešení příkladu:
Jedná se o hodnotu dilogaritmické funkce:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2} = \mathrm{Li}_2(z) \), kde \( z = \frac{1}{4} \).
Součet tedy:
\( S = \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right) \).
Hodnota nelze jednoduše vyjádřit pomocí elementárních funkcí, ale ponecháme ji takto.
Součet řady je tedy \( \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{4}\right) \).
66. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n – 2^n}{6^n} \).
Řešení příkladu:
Rozdělíme řadu:
\( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{3}{6}\right)^n – \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{2}{6}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n – \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n \).
Využijeme geometrické řady:
\( \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1 – r} \) pro \( |r| < 1 \).
\( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = 2 \),
\( \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^n = \frac{1}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \).
Součet je \( 2 – \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \).
Součet řady je tedy \( \frac{1}{2} \).
67. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^2} \).
Řešení příkladu:
Tato řada je známá, nelze ji jednoduše vyjádřit elementárně, ale konverguje.
Označuje se jako speciální hodnota Dirichletova integrálu nebo přesněji:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^2} = -\zeta'(2) \), kde \( \zeta \) je Riemannova funkce.
Ponecháme výsledek ve tvaru \( -\zeta'(2) \).
Součet řady je tedy \( -\zeta'(2) \).
68. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek:
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \).
Řada je pak teleskopická:
\( \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \Rightarrow \) všechny další členy se odečtou.
Součet je tedy \( \frac{1}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
69. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} \).
Řešení příkladu:
Jedná se o známou hodnotu Dirichletovy eta funkce:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} = -\eta(3) \),
kde \( \eta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^s} \), tedy
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^3} = -\left(1 – \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} – \cdots\right) \).
Součet tedy není racionální, ale označíme ho jako \( -\eta(3) \).
Součet řady je tedy \( -\eta(3) \).
70. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec:
\( \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x(x+1)}{(1 – x)^3} \) pro \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{3} \):
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{3^n} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right)}{\left(1 – \frac{1}{3}\right)^3} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^3} = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{8}{27}} = \frac{4}{9} \cdot \frac{27}{8} = \frac{108}{72} = \frac{3}{2} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{2} \).
71. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)2^{2n+1}} \).
Řešení příkladu:
Tato řada je známá a souvisí s arcus tangens funkcí:
\( \arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \), dosadíme \( x = \frac{1}{\sqrt{2}} \).
Získáme:
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)2^{2n+1}} = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \) po úpravě dostáváme:
\( \frac{\pi}{8} \).
Součet řady je tedy \( \frac{\pi}{8} \).
72. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Použijeme známý vzorec: \( \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2} \), kde \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \):
\( S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{\frac{1}{2}}{(1 – \frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2 \).
Součet řady je tedy \( 2 \).
73. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \).
Řešení příkladu:
Tato řada je známá jako Taylorova řada funkce \( \ln(1 + x) \) při \( x = 1 \):
\( \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \Rightarrow \ln(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \).
Změníme indexování: nechť \( m = n + 1 \Rightarrow n = m – 1 \), takže
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} = \ln(2) \).
Součet řady je tedy \( \ln(2) \).
74. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek na parciální zlomky:
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \).
Řada se tedy změní na:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \).
Jedná se o teleskopickou řadu:
\( \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \cdots \Rightarrow \text{vše se vyruší až na} \frac{1}{1} \).
Součet řady je tedy \( 1 \).
75. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Upravíme řadu:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{4^{n+1}} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{3}{4} \right)^n \).
Posuneme index od \( n = 0 \):
\( \frac{1}{4} \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{3}{4} \right)^n = \frac{1}{4} \left( \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{3}{4} \right)^n – 1 \right) \).
Součet geometrické řady je \( \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1 – r} \Rightarrow \frac{1}{1 – \frac{3}{4}} = 4 \).
Celkem \( S = \frac{1}{4} (4 – 1) = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
76. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} \).
Řešení příkladu:
Tato řada je speciální případ Dirichletovy řady, konkrétně známého součtu:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} \).
Součet řady je tedy \( \frac{\pi^2}{12} \).
77. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek:
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} \Rightarrow A(n+2) + Bn = 1 \).
Položíme \( n = -2 \Rightarrow -2B = 1 \Rightarrow B = -\frac{1}{2} \).
Položíme \( n = 0 \Rightarrow 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2} \).
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2n} – \frac{1}{2(n+2)} \).
Řada je teleskopická:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2n} – \frac{1}{2(n+2)} \right) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \right) \).
Vykrátí se většina členů, zůstane:
\( \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
78. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{2^n} \).
Řešení příkladu:
Použijeme vzorec: \( \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x(x+1)}{(1 – x)^3} \), kde \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{2} \):
\( \frac{\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3}{2} \right)}{\left( \frac{1}{2} \right)^3} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{8}} = \frac{3}{4} \cdot 8 = 6 \).
Součet řady je tedy \( 6 \).
79. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \).
Řešení příkladu:
Použijeme parciální zlomky:
\( \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{A}{2n+1} + \frac{B}{2n+3} \Rightarrow A(2n+3) + B(2n+1) = 1 \).
Položíme \( n = -\frac{1}{2} \Rightarrow B = \frac{1}{2} \), \( n = -\frac{3}{2} \Rightarrow A = -\frac{1}{2} \).
\( \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} = -\frac{1}{2(2n+1)} + \frac{1}{2(2n+3)} \).
Řada je teleskopická:
\( S = \sum_{n=0}^\infty \left( -\frac{1}{2(2n+1)} + \frac{1}{2(2n+3)} \right) \Rightarrow S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots – \frac{1}{1} – \frac{1}{3} – \cdots \right) \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2} \).
Součet řady je tedy \( \frac{1}{2} \).
80. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek:
\( \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \).
Teleskopická řada:
\( \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \right) = 1 \).
Součet řady je tedy \( 1 \).
81. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3n+1} \).
Řešení příkladu:
Tato řada nemá uzavřený elementární tvar, ale lze ji vyjádřit pomocí speciálních funkcí.
Numericky aproximuje hodnotu, kterou lze zapsat pomocí Dirichletových L-funkcí nebo integrálů.
Pro účely přesnosti ponecháme součet ve tvaru:
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3n+1} \).
Součet této řady nelze jednodušeji vyjádřit elementárně.
82. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme známý vzorec pro součet řady \( \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2} \), kde \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{3} \):
\( S = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} = \sum_{n=1}^\infty n \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{\left(1 – \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left( \frac{2}{3} \right)^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
83. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek pomocí parciálních zlomků:
\( \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n} \).
Řada se tedy změní na:
\( \sum_{n=2}^\infty \left( \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n} \right) \).
Jedná se o teleskopickou řadu, kde se členy postupně odečítají:
\( \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \dots \Rightarrow \text{zůstane pouze} \frac{1}{1} = 1 \).
Součet řady je tedy \( 1 \).
84. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}} \).
Řešení příkladu:
Tato řada je známou řadou pro funkci \( \arctan(x) \), konkrétně:
\( \arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \).
Porovnáme s danou řadou:
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)2^{2n+1}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1} \Rightarrow x = \frac{1}{2} \).
Tedy \( S = \arctan\left( \frac{1}{2} \right) \).
Součet řady je tedy \( \arctan\left( \frac{1}{2} \right) \).
85. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme pomocí parciálních zlomků:
\( \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1} + \frac{C}{n+2} \).
Po dosazení a vyřešení rovnic zjistíme:
\( A = \frac{1}{2}, B = -1, C = \frac{1}{2} \).
Řada tedy bude:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2n} – \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+2)} \right) \).
Tato řada je teleskopická a její součet je konečný. Po částečném rozepsání a úpravách dostáváme:
Součet řady je \( \frac{1}{4} \).
86. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + n} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek:
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \).
Řada je teleskopická:
\( \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \dots \Rightarrow \text{zůstává pouze} 1 \).
Součet řady je tedy \( 1 \).
87. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{n^2}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Využijeme vzorec \( \sum_{n=0}^\infty n^2 x^n = \frac{x(x+1)}{(1-x)^3} \), kde \( |x| < 1 \).
Dosadíme \( x = \frac{1}{4} \):
\( S = \frac{\frac{1}{4} \left( \frac{1}{4} + 1 \right)}{\left(1 – \frac{1}{4}\right)^3} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}}{\left( \frac{3}{4} \right)^3} = \frac{\frac{5}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{5}{16} \cdot \frac{64}{27} = \frac{320}{432} = \frac{40}{54} = \frac{20}{27} \).
Součet řady je tedy \( \frac{20}{27} \).
88. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \).
Řešení příkladu:
Jedná se o známou Taylorovu řadu funkce \( \ln(1+x) \):
\( \ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \) pro \( |x| \leq 1, x \ne -1 \).
Dosadíme \( x = 1 \):
\( \ln(2) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \).
Součet řady je tedy \( \ln(2) \).
89. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{6^{n+1}} \).
Řešení příkladu:
Upravíme řadu:
\( \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{6^{n+1}} = \frac{1}{6} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{3}{6} \right)^n = \frac{1}{6} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^n \).
Jedná se o geometrickou řadu:
\( \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1 – r}, |r| < 1 \Rightarrow r = \frac{1}{2} \).
\( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} \).
Součet řady je tedy \( \frac{1}{3} \).
90. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme pomocí parciálních zlomků:
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n+2} \).
Řešením dostaneme \( A = \frac{1}{2}, B = -\frac{1}{2} \).
Řada se tedy změní na:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2n} – \frac{1}{2(n+2)} \right) \).
Tato řada je teleskopická a její součet po sečtení několika prvních členů je:
\( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
91. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 2^n} \).
Řešení příkladu:
Tato řada odpovídá hodnotě tzv. polylogaritmu druhého řádu:
\( \mathrm{Li}_2\left( \frac{1}{2} \right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 2^n} \).
Výsledkem je:
\( \mathrm{Li}_2\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi^2}{12} – \frac{(\ln 2)^2}{2} \).
Součet řady je tedy \( \frac{\pi^2}{12} – \frac{(\ln 2)^2}{2} \).
92. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n \cdot 2^n} \).
Řešení příkladu:
Rozpoznáme tvar řady podobný Taylorovu rozvoji logaritmu:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = \ln(1+x) \), pro \( |x| \leq 1 \).
Zde máme \( x = \frac{1}{2} \), tedy:
\( S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \left( \frac{1}{2} \right)^n = \ln\left(1 + \frac{1}{2}\right) = \ln\left(\frac{3}{2}\right) \).
Součet řady je tedy \( \ln\left(\frac{3}{2}\right) \).
93. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{3^n} \).
Řešení příkladu:
Použijeme známý vzorec pro řadu tvaru \( \sum_{n=1}^\infty n x^n \):
\( \sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1 – x)^2} \), kde \( |x| < 1 \).
Zde \( x = \frac{1}{3} \Rightarrow S = \frac{\frac{1}{3}}{(1 – \frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)^2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
94. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme každý člen pomocí parciálních zlomků:
\( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \).
Řada se tedy převede na:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \).
Jedná se o tzv. teleskopickou řadu:
\( \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \cdots \Rightarrow \) všechny členy se vyruší kromě \( \frac{1}{1} \).
Součet řady je tedy \( 1 \).
95. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n + 3^n}{6^n} \).
Řešení příkladu:
Řadu rozdělíme na dvě části:
\( S = \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{2^n}{6^n} + \frac{3^n}{6^n} \right) = \sum_{n=1}^\infty \left( \left( \frac{1}{3} \right)^n + \left( \frac{1}{2} \right)^n \right) \).
Sečteme každou řadu zvlášť jako geometrické řady:
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{3} \right)^n = \frac{\frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{1}{2} \),
\( \sum_{n=1}^\infty \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = 1 \).
Celkový součet je \( \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \).
96. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2}{4^n} \).
Řešení příkladu:
Použijeme známý vzorec:
\( \sum_{n=1}^\infty n^2 x^n = \frac{x(x+1)}{(1 – x)^3} \), kde \( |x| < 1 \).
Zde \( x = \frac{1}{4} \):
\( S = \frac{\frac{1}{4} \left( \frac{1}{4} + 1 \right)}{\left( 1 – \frac{1}{4} \right)^3} = \frac{\frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4}}{\left( \frac{3}{4} \right)^3} = \frac{\frac{5}{16}}{\frac{27}{64}} = \frac{5}{16} \cdot \frac{64}{27} = \frac{320}{432} = \frac{40}{54} = \frac{20}{27} \).
Součet řady je tedy \( \frac{20}{27} \).
97. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1) \cdot 3^{2n+1}} \).
Řešení příkladu:
Použijeme známý rozvoj arcustangensu:
\( \arctan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \), kde \( |x| \leq 1 \).
Zde \( x = \frac{1}{3} \Rightarrow \arctan\left(\frac{1}{3}\right) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1) \cdot 3^{2n+1}} \).
Součet řady je tedy \( \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \).
98. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Rozložíme zlomek:
\( \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} \right) \).
Řada se stane teleskopickou:
\( \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{5} \right) + \cdots \right] \).
Součet je \( \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \).
Součet řady je tedy \( \frac{3}{4} \).
99. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} \).
Řešení příkladu:
Tato řada nemá elementární součet, ale je známá v teorii Dirichletových řad.
Součet nelze zjednodušit, ale přibližně:
\( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} \approx 1.076674 \).
Součet lze ponechat ve tvaru \( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 1} \).
100. Spočítejte součet řady \( \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)(n+2)} \).
Řešení příkladu:
Píšeme \( \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} \).
Řada je teleskopická:
\( \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \cdots \Rightarrow \) vše se ruší kromě \( \frac{1}{1} \).
Součet řady je tedy \( 1 \).