101. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 2^n}{(n!)^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 2^n}{(n!)^2} \).
Podíl je
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^3 2^{n+1}}{((n+1)!)^2} \cdot \frac{(n!)^2}{n^3 2^n} = 2 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} \).
Protože \( (n+1)! = (n+1) n! \), platí
\( \frac{(n!)^2}{((n+1)!)^2} = \frac{1}{(n+1)^2} \).
Dosadíme:
\( \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 \cdot \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(n+1)^2} = 2 \cdot \frac{n+1}{n^3} = 2 \cdot \frac{n+1}{n^3} \).
Pro \( n \to \infty \) platí
\( L = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{n+1}{n^3} = 0 < 1 \Rightarrow \) řada konverguje absolutně.
102. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{5^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}.
\]
Vyjádříme podíl mocnin:
\[
\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n.
\]
Limita výrazu \(\left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \) je \( e^{-1} \), protože
\[
\lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1}} = e^{-1}.
\]
Tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = \frac{1}{5} e^{-1} = \frac{1}{5e} < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
103. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n n^2}{n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n n^2}{n!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} (n+1)^2}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n n^2} = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n+1} = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot \frac{n+1}{n^2} = 0.
\]
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
104. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n! \sqrt{n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n}{n! \sqrt{n}} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)! \sqrt{n+1}} \cdot \frac{n! \sqrt{n}}{2^n} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \cdot \frac{1}{n+1}.
\]
Protože \(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \to 1\), máme
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
105. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(4n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(4n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(4(n+1))!} \cdot \frac{(4n)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(4n)!}{(4n+4)!}.
\]
Vyjádříme faktoriál v jmenovateli:
\[
(4n+4)! = (4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)(4n)!,
\]
tudíž
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}.
\]
Rozepíšeme první zlomek:
\[
\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.
\]
Limita \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\).
Takže
\[
L = \lim_{n \to \infty} (n+1) e \cdot \frac{1}{(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1)}.
\]
Pro velká \(n\) je
\[
(4n+4)(4n+3)(4n+2)(4n+1) \approx (4n)^4 = 256 n^4.
\]
Tedy
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) e}{256 n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{256} \cdot \frac{n+1}{n^4} = 0 < 1.
\]
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
106. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3 2^n}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3 2^n}{(3n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\[
L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3 2^{n+1}}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{n^3 2^n} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!}.
\]
Rozepíšeme faktoriál v jmenovateli:
\[
(3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)!,
\]
takže
\[
L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}.
\]
Pro velká \(n\) je
\[
(3n+3)(3n+2)(3n+1) \approx (3n)^3 = 27 n^3.
\]
Tedy
\[
L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{27 n^3} = \frac{2}{27} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^6}.
\]
Protože \(\frac{(n+1)^3}{n^6} \sim \frac{n^3}{n^6} = \frac{1}{n^3} \to 0\), dostáváme
\[
L = 0 < 1.
\]
Řada tedy konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
107. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{5^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Převedeme zlomek \( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = e^{-1} \), tedy
\( L = \frac{1}{5} e^{-1} = \frac{1}{5e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
108. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 7^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 7^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)! \cdot 7^{n+1}} \cdot \frac{n! \cdot 7^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
109. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n^2}{(n+1)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n^2}{(n+1)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)^2}{(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!}{2^n n^2} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{1}{n+2} \).
Pro velká \( n \) platí
\( L = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{n+2} = 2 \cdot 1 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
110. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{5^{n} \cdot n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{n^n}{5^n \cdot n!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{5^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{5^n n!}{n^n} = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \frac{1}{n+1} \).
Po úpravě
\( L = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{5} e < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
111. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{(n!)^2 6^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(2n)!}{(n!)^2 6^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2 6^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2 6^n}{(2n)!} = \frac{1}{6} \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \).
Pro velká \( n \) platí
\( L = \frac{1}{6} \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 2n + 1} = \frac{1}{6} \cdot 4 = \frac{2}{3} < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
112. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{7^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{7^n}{n^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{7^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{7^n} = 7 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = 7 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} \).
Převedeme na
\( L = 7 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = 7 \cdot 0 \cdot e^{-1} = 0 < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
113. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! \cdot 4^{n+1}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n! \cdot 4^n} = 4 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(2n+2)(2n+1)} = 4 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4n^2 + 6n + 2} \).
Limita je
\( L = 4 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{4n^2 + 6n + 2} = 4 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
114. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 2^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n! \cdot 2^n}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! \cdot 2^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n! \cdot 2^n} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Převedeme výraz:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Dosadíme zpět:
\( L = 2 (n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = 2 \left(1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \).
Limitou \( n \to \infty \) platí:
\( \left(1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \to e^{-1} \).
Takže
\( L = 2 e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}7357 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
115. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 5^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)! \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{n! \cdot 5^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
116. Zkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Upravíme první zlomek:
\( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n n^n / n^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \).
Limita \( n \to \infty \):
\( \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \to e \).
Celá limita tedy je:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) e}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) e}{4n^2 + 6n + 2} \).
Dominantní členy:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{e n}{4 n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{4 n} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
117. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{2^n n!} = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{\frac{(3n+3)!}{(3n)!}} \).
Rozepíšeme faktoriál:
\( \frac{(3n+3)!}{(3n)!} = (3n+3)(3n+2)(3n+1) \).
Dosadíme:
\( L = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} \).
Dominantní členy v jmenovateli jsou \( 27 n^3 \), tedy:
\( L = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n}{27 n^3} = 2 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{27 n^2} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
118. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 5^n}{7^n + 6^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{n^2 5^n}{7^n + 6^n} \).
Pro velká \( n \) platí \( 7^n + 6^n \approx 7^n \), tedy \( a_n \approx n^2 \left(\frac{5}{7}\right)^n \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 5^{n+1}}{7^{n+1} + 6^{n+1}} \cdot \frac{7^n + 6^n}{n^2 5^n} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{7^n}{7^{n+1}} \cdot \frac{7^n}{7^n} = \frac{5}{7} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = \frac{5}{7} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
119. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{4^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3}{4^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{n^3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 = \frac{1}{4} < 1 \).
Řada tedy konverguje absolutně.
120. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n \cdot 2^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n \cdot 2^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}} \cdot \frac{n 2^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{3}{2} > 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada diverguje.
120. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 2^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n! \cdot 2^n}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! \cdot 2^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n! \cdot 2^n} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \)
Vyjádříme podíl mocnin:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n \cdot (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Dosadíme do limity:
\( L = 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = 2 \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = e^{-1} \), takže
\( L = 2 \cdot e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0.7357 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
121. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 5^n} = \frac{(3/5)^n}{n!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(3/5)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{(3/5)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
122. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} \).
Vyjádříme faktoriel:
\( (2(n+1))! = (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Upravíme mocniny:
\( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n \).
Limita této části je \( (n+1) e \), protože \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \).
Současně máme ve jmenovateli \( (2n+2)(2n+1) \sim 4n^2 \).
Celkově tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) e}{4 n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{e (n+1)}{4 n^2} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
123. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{(2n)^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{(2n)^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(2(n+1))^{n+1}} \cdot \frac{(2n)^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) n!}{(2n+2)^{n+1}} \cdot \frac{(2n)^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} (n+1) \frac{(2n)^n}{(2n+2)^{n+1}} \).
Vyjádříme mocniny:
\( \frac{(2n)^n}{(2n+2)^{n+1}} = \frac{(2n)^n}{(2n+2)^n \cdot (2n+2)} = \frac{1}{2n+2} \left( \frac{2n}{2n+2} \right)^n = \frac{1}{2n+2} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \).
Dosadíme zpět:
\( L = \lim_{n \to \infty} (n+1) \cdot \frac{1}{2n+2} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2(n+1)} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = \frac{1}{2} \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{n+1} \right)^n = e^{-1} \), takže
\( L = \frac{1}{2} e^{-1} = \frac{1}{2e} \approx 0.1839 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
124. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(n!)^2}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 (n!)^2}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \).
Vyjádříme limitu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{4 n^2 + 6 n + 2} = \frac{1}{4} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
125. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 \cdot 5^n}{7^n + 3^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^2 \cdot 5^n}{7^n + 3^n} \). Pro velká \( n \) platí \( 7^n + 3^n \approx 7^n \), takže se chová podobně jako \( \frac{n^2 \cdot 5^n}{7^n} = n^2 \left(\frac{5}{7}\right)^n \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 5^{n+1}}{7^{n+1} + 3^{n+1}} \cdot \frac{7^n + 3^n}{n^2 5^n} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 5^{n+1}}{7^{n+1}} \cdot \frac{7^n}{n^2 5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} \cdot \frac{5}{7} \).
Vyjádříme:
\( L = \frac{5}{7} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^2 = \frac{5}{7} \cdot 1 = \frac{5}{7} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
126. Zjistěte, zda řada \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{2^n n!} \) konverguje, použijte D’Alembertovo kritérium.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{2^n n!} \).
Vypočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{2^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{2^n n!}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
127. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{10^n n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{10^n n^n} \).
Vypočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{10^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{10^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{10} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Přepíšeme zlomek:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Limitu výrazu uvnitř vypočteme pomocí exponenciály:
\( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \).
Celý limit tedy je:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{10} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = \frac{1}{10 e} < 1 \).
Řada konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
128. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \).
Vypočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(2(n+1))!}{4^{n+1} ((n+1)!)^2} \cdot \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} \).
Vyjádříme limitu:
\( L = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 + 6n + 2}{n^2 + 2n + 1} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{4 + \frac{6}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}} = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1 \).
Z D’Alembertova kritéria s výsledkem \( L=1 \) není závěr přímý, ale pozorujeme, že členy rostou rychle (jde o známý vztah pro centr. binomické koeficienty). Víme z jiné analýzy, že řada diverguje, ale vzhledem k zadání bez neurčitosti, vyhodnotíme limitu z přesnějšího hlediska:
Protože \( L=1 \) a členy ne klesají dost rychle, řada diverguje.
129. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{(3n)!} \).
Vypočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{n^n} \).
Poměr faktoriálů rozepíšeme:
\( \frac{(3n)!}{(3n+3)!} = \frac{1}{(3n+1)(3n+2)(3n+3)} \approx \frac{1}{27 n^3} \) pro velká \( n \).
Přepíšeme limitu:
\( L \approx \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \cdot \frac{1}{27 n^3} = \frac{1}{27} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n n^3} = \frac{1}{27} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+3}} \).
Vyjádříme pomocí exponenciály:
\( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+3}} = \frac{(n+1)^n (n+1)}{n^{n+3}} = (n+1) \cdot \frac{(n+1)^n}{n^n} \cdot \frac{1}{n^3} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \frac{1}{n^3} \).
Limity jednotlivých částí jsou:
\( \lim_{n \to \infty} (n+1) \frac{1}{n^3} = 0 \),
\( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \).
Tedy celkově
\( L = \frac{1}{27} \cdot 0 \cdot e = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
130. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{2^n \cdot n!}{n^n} \).
Vypočteme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} \cdot (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{2^n \cdot n!} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Upravíme zlomek:
\( \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Proto
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = 2 \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = 2 e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}7358 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
131. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n! \cdot 5^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n! \cdot 5^n} \).
Vypočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)! \cdot 5^{n+1}} \cdot \frac{n! \cdot 5^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{n+1} = 0 \).
Jelikož \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
132. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{\sqrt{n}}{(\ln n)^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{(\ln n)^n} \).
Vypočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{(\ln (n+1))^{n+1}} \cdot \frac{(\ln n)^n}{\sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{(\ln n)^n}{(\ln (n+1))^{n+1}} \).
Vyjádříme zlomky logaritmů:
\( \frac{(\ln n)^n}{(\ln (n+1))^{n+1}} = \frac{1}{\ln (n+1)} \left(\frac{\ln n}{\ln (n+1)}\right)^n \).
Pro velká \( n \) platí \( \ln (n+1) \sim \ln n \), takže
\( \left(\frac{\ln n}{\ln (n+1)}\right)^n = \left(1 – \frac{\ln (n+1) – \ln n}{\ln (n+1)}\right)^n \approx \left(1 – \frac{\ln(1 + \frac{1}{n})}{\ln n}\right)^n \).
Protože \( \ln(1 + \frac{1}{n}) \approx \frac{1}{n} \), dostáváme
\( \left(1 – \frac{1/n}{\ln n}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n \ln n}\right)^n \to e^{-\frac{1}{\ln n}} \to 1 \) pro \( n \to \infty \).
Tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}} \cdot \frac{1}{\ln (n+1)} \cdot 1 = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}}{\ln (n+1)} = 0 \).
Protože \( L = 0 < 1 \), řada konverguje absolutně podle D'Alembertova kritéria.
133. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy \( a_n = \frac{n^n}{(2n)!} \).
Vypočteme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} \).
Využijeme rozpis faktoriálu:
\( (2(n+1))! = (2n + 2)! = (2n + 2)(2n + 1)(2n)! \).
Takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (2n + 2)(2n + 1)} \).
Upravíme
\( \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n n^n / n^n = (n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \).
Limitou je
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n}{(2n + 2)(2n + 1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) e}{(2n + 2)(2n + 1)} \).
Vyjádříme dominující členy v jmenovateli:
\( (2n + 2)(2n + 1) = 4n^2 + 6n + 2 \approx 4n^2 \).
Numerátor je přibližně \( e n \).
Proto
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{e n}{4 n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{4 n} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
134. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n! \cdot 4^n}{(2n)!} \).
Vypočteme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! \cdot 4^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n! \cdot 4^n} = \lim_{n \to \infty} 4 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!} \cdot \frac{1}{n!} \cdot \frac{n!}{1} \).
Správněji:
\( L = \lim_{n \to \infty} 4 (n+1) \frac{(2n)!}{(2n + 2)(2n + 1)(2n)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{4(n+1)}{(2n + 2)(2n + 1)} \).
Jmenovatel je \( (2n + 2)(2n + 1) \approx 4n^2 \), takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{4(n+1)}{4n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2} = 0 < 1 \).
Řada tedy konverguje absolutně podle D’Alembertova kritéria.
135. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{2^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{2^n \cdot n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{2^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{2^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme výraz \(\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}\):
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Limita exponenciální části je
\( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \).
Tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = \frac{1}{2e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
136. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{5^n}{n! \sqrt{n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{5^n}{n! \sqrt{n}} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+1}}{(n+1)! \sqrt{n+1}} \cdot \frac{n! \sqrt{n}}{5^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} \).
Pro velká \( n \) platí
\( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = \sqrt{\frac{n}{n+1}} \to 1 \),
takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{n+1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
137. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n \cdot n!}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n n!} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{1} \).
Upravíme:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{n+1} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \to \frac{e^{-1}}{n+1} \).
Proto
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+1} e^{-1} = 3 e^{-1} \approx 1.1036 > 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada diverguje.
138. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2n}}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^{2n}}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2(n+1)}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^{2n}} \).
Upravíme faktor fakult:
\( \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Výraz je tedy
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n}} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 (n+1)^{2n}}{n^{2n}} \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Vyjádříme exponenciální část:
\( \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2n} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n} \to e^2 \).
Takže
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} e^{2} = e^{2} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} \).
Limitou zlomku je
\( \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n +1}{4n^2 + 6n + 2} = \frac{1}{4} \).
Tedy
\( L = e^{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{e^{2}}{4} > 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada diverguje.
139. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n! 4^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{n! 4^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! 4^{n+1}} \cdot \frac{n! 4^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n 4} \).
Upravíme:
\( L = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) n^n} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n^n} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \).
Limita exponenciální části je
\( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \).
Tedy
\( L = \frac{e}{4} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
140. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot (2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n (2n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (2(n+1))!} \cdot \frac{5^n (2n)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \).
Protože \( (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \), dostáváme
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5 (2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5 (2n+2)(2n+1)} \).
Pro velká \( n \) je aproximace
\( L \approx \lim_{n \to \infty} \frac{n}{5 \cdot 4n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{20 n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{20 n} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
141. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n^2}{n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n^2}{n!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)^2}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n n^2} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{(n+1)^2}{(n+1) n^2} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{n+1}{n^2} \).
Vyjádříme:
\( L = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2} = 2 \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{n} = 2 \cdot 0 = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
142. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{3^n}{n^n} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n} = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme:
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Protože \( \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \approx e^{-1} \), tak
\( L = 3 \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \cdot e^{-1} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
143. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^3}{4^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^3}{4^n \sqrt{n+1}} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{4^{n+1} \sqrt{n+2}} \cdot \frac{4^n \sqrt{n+1}}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^3}{4 n^3} \cdot \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}} \).
Vyjádříme poměry:
\( \frac{(n+1)^3}{n^3} = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \), \( \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}} = \sqrt{\frac{n+1}{n+2}} \).
Pro limitu platí:
\( L = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^3 \cdot \sqrt{\frac{n+1}{n+2}} = \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{4} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
144. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{10^n n!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{10^n n!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{10^{n+1} (n+1)!} \cdot \frac{10^n n!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{10 (n+1) n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n}}{10 n^n} \).
Vyjádříme:
\( L = \frac{1}{10} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n+1}{n} \right)^n = \frac{1}{10} \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{10} e < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
145. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n n!}{(3n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{2^n n!}{(3n)!} \). Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1} (n+1)!}{(3(n+1))!} \cdot \frac{(3n)!}{2^n n!} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot (n+1) \cdot \frac{(3n)!}{(3n+3)!} \).
Protože \( (3n+3)! = (3n+3)(3n+2)(3n+1)(3n)! \), dostáváme
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{2 (n+1)}{(3n+3)(3n+2)(3n+1)} \approx \lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{27 n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{27 n^2} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
146. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{n! \cdot 5^n}{(2n)!} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)! \cdot 5^{n+1}}{(2(n+1))!} \cdot \frac{(2n)!}{n! \cdot 5^n} = \lim_{n \to \infty} 5 \cdot (n+1) \cdot \frac{(2n)!}{(2n+2)!} \).
Upravíme faktoriál v jmenovateli:
\( (2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)! \Rightarrow \frac{(2n)!}{(2n+2)!} = \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} \).
Dosadíme zpět do výrazu:
\( L = \lim_{n \to \infty} 5 (n+1) \cdot \frac{1}{(2n+2)(2n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{5(n+1)}{(2n+2)(2n+1)} \).
Pro velká \( n \) je aproximace:
\( L \approx \lim_{n \to \infty} \frac{5n}{4n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{4n} = 0 < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
147. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n \cdot n!}{n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy řady jsou \( a_n = \frac{3^n \cdot n!}{n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n n!} = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{1}{n+1} \).
Upraveno:
\( L = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = 3 \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Víme, že \( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \), tedy
\( L = 3 \cdot e^{-1} = \frac{3}{e} \approx 1.1036 > 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada diverguje.
148. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=2}^\infty \frac{n^{n}}{(2n)^{n}} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^{n}}{(2n)^{n}} = \left(\frac{n}{2n}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \).
Podíváme se na limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\left(\frac{1}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1 \).
Řada je tedy geometrická s kvocientem \( \frac{1}{2} \) a podle D’Alembertova kritéria konverguje absolutně.
149. Prozkoumejte konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n^n}{n! \cdot 4^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n^n}{n! \cdot 4^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)! \cdot 4^{n+1}} \cdot \frac{n! \cdot 4^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) \cdot n! \cdot 4^{n+1}} \cdot \frac{n! \cdot 4^n}{n^n} \).
Upravíme:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) \cdot 4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{4^n} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{4^n}{n^n} = \frac{1}{4} \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^n \).
Platí:
\( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \).
Tedy:
\( L = \frac{e}{4} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
150. Určete konvergenci řady \( \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{5^n \cdot n^n} \) pomocí D’Alembertova kritéria.
Zobrazit řešení
Řešení:
Členy jsou \( a_n = \frac{n!}{5^n n^n} \).
Spočítáme limitu podílu:
\( L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{5^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot \frac{5^n n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} \).
Vyjádříme výraz:
\( \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n (n+1)} = \frac{1}{n+1} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \).
Dosadíme zpět:
\( L = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{5} \cdot \frac{1}{n+1} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{5} \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n \).
Protože \( \lim_{n \to \infty} \left(1 – \frac{1}{n+1}\right)^n = e^{-1} \), dostáváme
\( L = \frac{1}{5} e^{-1} = \frac{1}{5e} < 1 \).
Podle D’Alembertova kritéria řada konverguje absolutně.
Str.:
1 2 3 4
