151. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve rozepíšeme členy řady na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \). Cílem je zjistit, zda lze použít Dirichletovo kritérium pro zajištění konvergence řady.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou následující: parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) musí být omezené a posloupnost \( b_n \) musí klesat k nule.
Podívejme se nejprve na posloupnost \( a_n = (-1)^n \). Ta střídá hodnoty +1 a -1. Parciální součty této posloupnosti jsou \( A_1 = -1, A_2 = 0, A_3 = -1, A_4 = 0, \ldots \), tedy střídají se mezi 0 a -1. Tato posloupnost je omezená, protože nikdy nepřesahuje hodnoty 0 a -1.
Nyní se zaměříme na posloupnost \( b_n = \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \). Zde je klíčové uvědomit si dvě věci: první, že \( \cos(\sqrt{n}) \) není monotónní a osciluje mezi -1 a 1, druhá, že jmenovatel \( \sqrt{n} \) roste k nekonečnu, což způsobuje, že absolutní hodnota \( |b_n| \) klesá k nule.
Ačkoli \( b_n \) není monotónní, Dirichletovo kritérium monotónnost přímo nevyžaduje, stačí, aby \( b_n \to 0 \). To je splněno, protože \( \lim_{n \to \infty} \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} = 0 \) díky růstu jmenovatele.
Dirichletovo kritérium tedy říká, že pokud máme omezené parciální součty \( a_n \) a posloupnost \( b_n \) konvergující k nule, pak řada \( \sum a_n b_n \) konverguje.
Tím pádem můžeme konstatovat, že řada \( \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(\sqrt{n})}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Je však nutné upozornit, že absolutní konvergence zde není splněna, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(\sqrt{n})|}{\sqrt{n}} \) diverguje podobně jako řada \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \), která je divergentní.
Závěr: řada je podmíněně konvergentní na základě Dirichletova kritéria.
152. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln(n)^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
V této úloze analyzujeme členy řady rozdělením na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln(n)^2} \). Naším cílem je ověřit, zda lze aplikovat Dirichletovo kritérium k prokázání konvergence.
Začneme analýzou posloupnosti \( a_n = (-1)^n \), která střídá hodnoty mezi +1 a -1. Parciální součty \( A_N = \sum_{k=2}^N a_k \) tedy tvoří posloupnost 1, 0, 1, 0, …, což je omezená posloupnost mezi 0 a 1.
Následuje zkoumání posloupnosti \( b_n = \frac{1}{n \ln(n)^2} \). Všimněme si, že \( b_n \) je kladná a monotónně klesající pro \( n \geq 3 \), protože obě části jmenovatele rostou s \( n \). Její limita je rovna nule, protože jak \( n \to \infty \), tak \( n \ln(n)^2 \to \infty \).
Tedy posloupnost \( b_n \) splňuje podmínky monotónnosti a limitní hodnoty, které jsou nutné pro použití Dirichletova kritéria.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: parciální součty \( a_n \) jsou omezené a \( b_n \to 0 \) monotónně klesající.
Proto řada \( \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln(n)^2} \) konverguje.
Co se týče absolutní konvergence, řada absolutních hodnot \( \sum \frac{1}{n \ln(n)^2} \) konverguje, protože je to známý příklad z teorie řad, kde exponent u logaritmu je větší než 1, což zaručuje konvergenci.
Závěrem řada konverguje a je absolutně konvergentní.
153. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{n \ln(n+1)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Prozkoumejme členy rozdělením na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(n)}{n \ln(n+1)} \). Chceme ověřit, zda splňují podmínky Dirichletova kritéria.
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá znaménka a jejich součty střídavě nabývají hodnot 0 a 1.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(n)}{n \ln(n+1)} \) není monotónní kvůli oscilacím funkce \( \sin(n) \), ale limitně \( b_n \to 0 \) díky růstu jmenovatele \( n \ln(n+1) \).
Pro použití Dirichletova kritéria není nutná monotónnost \( b_n \), stačí, aby parciální součty \( a_n \) byly omezené a \( b_n \to 0 \).
Tedy všechny podmínky jsou splněny a řada konverguje.
Co se týče absolutní konvergence, řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n)|}{n \ln(n+1)} \) diverguje, protože \( \sum \frac{1}{n \ln(n)} \) diverguje.
Závěr: řada je podmíněně konvergentní na základě Dirichletova kritéria.
154. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{n^{3/2}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos(n)}{n^{3/2}} \). Pro aplikaci Dirichletova kritéria zkontrolujeme omezenost parciálních součtů \( a_n \) a limitu \( b_n \to 0 \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má omezené parciální součty, konkrétně mezi 0 a 1, protože střídá znaménka.
Posloupnost \( b_n \) není monotónní, protože \( \cos(n) \) osciluje mezi -1 a 1. Ovšem díky faktoru \( n^{3/2} \) v jmenovateli klesá absolutní hodnota \( |b_n| \) rychle k nule.
Limitně tedy \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \). Ačkoli monotónnost není splněna, Dirichletovo kritérium ji nevyžaduje.
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, a tedy řada konverguje.
Navíc vzhledem k tomu, že řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(n)|}{n^{3/2}} \) konverguje, protože \( \sum \frac{1}{n^{3/2}} \) je absolutně konvergentní řada, konverguje i absolutně.
155. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělíme členy řady na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \). Chceme ověřit splnění podmínek Dirichletova kritéria.
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá znaménka a jejich součty nabývají hodnot 0 a 1.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \) je kladná pro \( n > 1 \) a monotónně klesající, protože jmenovatel roste rychleji než čitatel. Limitně \( b_n \to 0 \), jelikož \( \frac{\ln(n)}{n^2} \to 0 \) rychleji než jakákoli mocnina menší než 2.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny a řada konverguje.
Navíc řada absolutních hodnot \( \sum \frac{\ln(n)}{n^2} \) je konvergentní díky rychlému poklesu, tedy řada konverguje absolutně.
156. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve rozdělme členy řady na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln(n)}{n} \). Naším cílem je zjistit, zda lze pro tuto řadu použít Dirichletovo kritérium konvergence.
Dirichletovo kritérium vyžaduje dvě hlavní podmínky: omezenost parciálních součtů posloupnosti \( a_n \) a konvergenci posloupnosti \( b_n \) k nule. Dále je vhodné, aby \( b_n \) bylo monotónní nebo alespoň „skoro“ monotónní pro velká n, i když Dirichletovo kritérium explicitní monotónnost nevyžaduje.
Podívejme se nejprve na posloupnost \( a_n = (-1)^n \). Ta střídá hodnoty +1 a -1. Parciální součty této posloupnosti jsou \( A_1 = -1 \), \( A_2 = 0 \), \( A_3 = -1 \), \( A_4 = 0 \), a tak dále. Z těchto hodnot vidíme, že parciální součty jsou omezené, konkrétně vždy leží mezi -1 a 0.
Nyní zkoumáme posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n} \). Tato posloupnost je kladná pro \( n \geq 2 \), jelikož \( \ln(n) > 0 \) pro \( n > 1 \). Dále si všimněme, že \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n)}{n} = 0 \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel. To je tedy splněno.
Je však otázkou, zda je posloupnost \( b_n \) monotónní. Funkce \( f(n) = \frac{\ln(n)}{n} \) má derivaci (pokud uvažujeme spojitý ekvivalent) \( f'(x) = \frac{1 – \ln(x)}{x^2} \). Pro \( x > e \) je tedy \( f'(x) < 0 \), což znamená, že \( b_n \) klesá pro \( n > e \approx 2.718 \). Tedy od nějakého \( n_0 \) je posloupnost monotónně klesající.
Tím jsou splněny všechny podmínky Dirichletova kritéria: omezenost parciálních součtů \( a_n \), klesající a konvergující k nule \( b_n \). Z toho plyne, že řada konverguje.
Co se týče absolutní konvergence, řada absolutních hodnot je \( \sum \frac{\ln(n)}{n} \), která diverguje, protože je větší než harmonická řada v limitě (logaritmus roste pomalu, ale nekonečně). Proto je řada podmíněně konvergentní.
157. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(\sqrt{n})}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Opět rozdělíme členy na dvě posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(\sqrt{n})}{n} \). Naším cílem je posoudit možnost aplikace Dirichletova kritéria.
Nejprve se podíváme na parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \). Jelikož \( a_n = (-1)^n \), tyto součty oscilují mezi 0 a 1, a proto jsou omezené.
Teď je třeba zvážit, zda \( b_n \to 0 \) a zda je nějakým způsobem „dobře chovaná“. V našem případě \( |b_n| = \frac{|\sin(\sqrt{n})|}{n} \leq \frac{1}{n} \). Posloupnost tedy klesá k nule, protože \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \).
Posloupnost \( b_n \) není monotónní kvůli oscilacím funkce \( \sin(\sqrt{n}) \), ale Dirichletovo kritérium monotónnost nevyžaduje, stačí omezenost parciálních součtů \( a_n \) a limitu \( b_n \to 0 \).
Závěr je tedy, že řada \( \sum (-1)^n \frac{\sin(\sqrt{n})}{n} \) konverguje.
Co se týče absolutní konvergence, řada absolutních hodnot má podobu \( \sum \frac{|\sin(\sqrt{n})|}{n} \), která diverguje, protože \( \sum \frac{1}{n} \) diverguje, takže řada není absolutně konvergentní.
158. Určete konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \).
Řešení příkladu:
Opět členy rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá znaménka, takže \( A_N \) oscilují mezi 0 a 1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, protože jmenovatel je kladný pro všechna \( n \geq 1 \). Nyní ověříme, zda posloupnost klesá a zda konverguje k nule.
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x+1)}} \) je spojitá pro \( x > 0 \). Derivace ukazuje, že \( f(x) \) klesá pro \( x \) dostatečně velká. Intuitivně totiž jmenovatel roste rychleji než čitatel, což způsobuje pokles hodnot \( b_n \).
Dále \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), protože jmenovatel roste k nekonečnu (logaritmus roste pomaleji, ale i tak k nekonečnu).
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, protože omezené parciální součty \( a_n \) a posloupnost \( b_n \to 0 \) klesající pro velká \( n \).
Z toho plyne, že řada konverguje.
Absolutní konvergence se neprokáže, protože \( \sum \frac{1}{n \sqrt{\ln(n)}} \) diverguje, což je známý fakt z teorie řad.
Závěr: řada je podmíněně konvergentní.
159. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n^2)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme jako \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos(n^2)}{n} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n = (-1)^n \) střídá znaménka a součty se pohybují mezi 0 a 1.
Posloupnost \( b_n \) není monotónní kvůli oscilacím \( \cos(n^2) \), ale absolutní hodnota \( |b_n| = \frac{|\cos(n^2)|}{n} \leq \frac{1}{n} \) klesá k nule.
Limitně platí \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \). Dirichletovo kritérium tedy lze aplikovat, protože není požadována monotónnost u \( b_n \).
Závěrem řada konverguje.
Pro absolutní konvergenci platí, že řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\cos(n^2)|}{n} \) diverguje, neboť chování je podobné harmonické řadě, takže řada není absolutně konvergentní.
160. Posuďte konvergenci řady \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{n^{0.9}} \).
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(n)}{n^{0.9}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá znaménka, součty oscilují mezi 0 a 1.
Posloupnost \( b_n \) není monotónní, protože \( \sin(n) \) osciluje mezi -1 a 1, avšak absolutní hodnota \( |b_n| \leq \frac{1}{n^{0.9}} \) klesá k nule, jelikož \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{0.9}} = 0 \).
Dirichletovo kritérium tedy lze uplatnit, protože vyžaduje omezenost parciálních součtů \( a_n \) a konvergenci \( b_n \) k nule.
Řada tedy konverguje.
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n)|}{n^{0.9}} \) diverguje, protože řada \( \sum \frac{1}{n^{0.9}} \) diverguje, takže řada není absolutně konvergentní.
161. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve rozdělíme členy řady na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1} \). Cílem je zjistit, zda lze použít Dirichletovo kritérium.
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou střídavé: \( A_1 = -1 \), \( A_2 = 0 \), \( A_3 = -1 \), \( A_4 = 0 \), atd. Tyto součty oscilují mezi 0 a -1, tedy jsou omezené.
Zaměřme se na posloupnost \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n+1} \). Pro velká \( n \) platí, že \( b_n \approx \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \). Posloupnost tedy klesá k nule, protože \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \).
Je však otázkou, zda \( b_n \) skutečně klesá monotónně. Podíváme se na rozdíl \( b_n – b_{n+1} \) nebo na derivaci spojité analogie funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1} \).
Derivace funkce je záporná pro dostatečně velká \( x \), což znamená, že \( b_n \) je pro velká \( n \) klesající.
Dirichletovo kritérium tedy platí: omezené parciální součty \( a_n \), klesající a konvergující k nule \( b_n \). Řada konverguje.
Absence absolutní konvergence plyne z toho, že \( \sum \frac{\sqrt{n}}{n+1} \) roste podobně jako \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \), což diverguje.
162. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Opět rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(n)}{n} \). Chceme ověřit podmínky Dirichletova kritéria.
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené: řada \( (-1)^n \) osciluje mezi +1 a -1, parciální součty tedy střídavě dosahují hodnot 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je spojena s funkcí \( \sin(n) \), která není monotónní a osciluje. Absolutní hodnota je však menší než \( \frac{1}{n} \), tedy \( |b_n| \leq \frac{1}{n} \).
Limita \( b_n \to 0 \) platí, protože \( \lim_{n\to\infty} \frac{\sin(n)}{n} = 0 \).
Dirichletovo kritérium nevyžaduje monotónnost \( b_n \), pouze omezenost parciálních součtů \( a_n \) a limitu \( b_n \to 0 \), což máme splněno.
Závěr: řada konverguje.
Absolutní konvergence však není splněna, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n)|}{n} \) diverguje, jelikož \( |\sin(n)| \) není asymptoticky menší než konstanta a \( \sum \frac{1}{n} \) diverguje.
163. Rozhodněte, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(\sqrt{n})}{n^{0.7}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos(\sqrt{n})}{n^{0.7}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n = (-1)^n \) střídá znaménka, takže \( A_N \) oscilují mezi 0 a 1.
Posloupnost \( b_n \) není monotónní, protože \( \cos(\sqrt{n}) \) osciluje mezi -1 a 1. Absolutní hodnota je však omezena \( |b_n| \leq \frac{1}{n^{0.7}} \).
Limitně platí \( \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \), protože \( n^{0.7} \to \infty \).
Dirichletovo kritérium tedy lze aplikovat, protože požaduje omezené parciální součty \( a_n \) a limitu \( b_n \to 0 \), monotónnost není nutná.
Závěr: řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože \( \sum \frac{1}{n^{0.7}} \) diverguje.
164. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme jako \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^2} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n = (-1)^n \) střídá znaménka.
Posloupnost \( b_n \) je kladná a monotónní klesající, protože jmenovatel \( n^2 \) roste rychleji než čitatel \( \ln(n) \).
Limitně platí \( \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \).
Dirichletovo kritérium je tedy splněno a řada konverguje.
Navíc \( \sum \frac{\ln(n)}{n^2} \) absolutně konverguje, protože řada \( \sum \frac{\ln(n)}{n^2} \) je větší než \( \sum \frac{1}{n^{1.9}} \), která je absolutně konvergentní.
165. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln(n+1)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+1)} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá znaménka, součty oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, klesající a konverguje k nule, protože \( \ln(n+1) \to \infty \) a \( n \to \infty \), takže \( b_n \to 0 \).
Monotónnost \( b_n \) lze ověřit z derivace funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x+1)} \), která je záporná pro \( x \ge 2 \), tedy \( b_n \) je klesající pro dostatečně velká \( n \).
Dirichletovo kritérium je tedy splněno a řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot je podobná \( \sum \frac{1}{n \ln n} \), která diverguje.
166. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve rozdělme řadu na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \). Cílem je zjistit, zda lze použít Dirichletovo kritérium ke zkoumání konvergence řady \( \sum a_n b_n \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) je střídavá a její parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) oscilují mezi 0 a -1, tedy jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\sin(n)}{\sqrt{n}} \) není monotónní, protože funkce \( \sin(n) \) osciluje mezi -1 a 1. Přesto je třeba zjistit, zda posloupnost \( b_n \) konverguje k nule.
Protože \( |\sin(n)| \leq 1 \) pro všechna \( n \), platí \( |b_n| \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \), což konverguje k nule, jelikož \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0 \).
Dirichletovo kritérium vyžaduje omezenost parciálních součtů \( A_N \) a limitu \( b_n \to 0 \), což je splněno.
Naopak není vyžadována monotónnost \( b_n \), takže i přes oscilace \( \sin(n) \) může být kritérium použito.
Řada tedy konverguje, ale ne absolutně, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{|\sin(n)|}{\sqrt{n}} \) diverguje podobně jako \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \), která je divergující.
Závěr: řada konverguje, ale není absolutně konvergentní.
167. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln(n+1)}{n} \). Hledáme konvergenci řady \( \sum a_n b_n \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou střídavé, konkrétně oscilují mezi 0 a -1, což znamená, že jsou omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro \( n \ge 1 \), protože \( \ln(n+1) > 0 \).
Je třeba ověřit, zda \( b_n \to 0 \). Protože \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n} = 0 \) (logaritmus roste pomaleji než lineární funkce), tato podmínka platí.
Dále je vhodné ověřit monotónnost posloupnosti \( b_n \) pro dostatečně velká \( n \). Zkoumáme funkci \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x} \) pro \( x > 0 \).
Její derivace je \( f'(x) = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x – \ln(x+1)}{x^2} = \frac{\frac{x}{x+1} – \ln(x+1)}{x^2} \).
Pro velká \( x \) platí, že \( \ln(x+1) > \frac{x}{x+1} \), takže čitatel derivace je záporný a tedy \( f'(x) < 0 \) pro dostatečně velké \( x \), tedy \( b_n \) je klesající.
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: omezenost parciálních součtů \( a_n \), limitní nulovost \( b_n \) a monotónnost pro velká \( n \).
Řada tedy konverguje, ale není absolutně konvergentní, protože řada \( \sum \frac{\ln(n+1)}{n} \) diverguje (logaritmický růst je příliš pomalý, aby zajistil absolutní konvergenci).
168. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n(\ln n)^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n(\ln n)^2} \), s indexem od \( n=2 \), protože \( \ln(1) = 0 \) není definováno.
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, jelikož \( a_n = (-1)^n \) střídá znaménka a \( A_N \) oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná a pro \( n \ge 3 \) monotónně klesající, protože \( n \) roste a \( (\ln n)^2 \) také roste.
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \) platí, protože jmenovatel roste neomezeně rychle.
Dirichletovo kritérium tedy platí: omezené parciální součty \( a_n \), monotónní klesající \( b_n \) a limitní hodnota \( b_n \to 0 \).
Řada konverguje, ale není absolutně konvergentní, protože řada \( \sum \frac{1}{n(\ln n)^2} \) je známá jako řada typu Bertrandova, která konverguje absolutně, avšak jelikož řada je násobená střídavým členem, zkonstruujeme z Dirichletova kritéria úplnou konvergenci.
Řada je tedy absolutně i obyčejně konvergentní, což znamená, že konvergence je silnější než pouhá podmínka Dirichletova kritéria.
169. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos(n)}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos(n)}{n} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože střídavě oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) není monotónní kvůli oscilacím kosinu, ale protože \( |b_n| \leq \frac{1}{n} \), platí \( \lim_{n\to\infty} b_n = 0 \).
Podle Dirichletova kritéria není monotónnost \( b_n \) nutná, stačí omezenost parciálních součtů \( a_n \) a \( b_n \to 0 \).
Proto řada konverguje.
Absolutní konvergence však není splněna, protože \( \sum \frac{|\cos(n)|}{n} \) je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n} \), což je harmonická řada divergující.
170. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n} \ln(n+1)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme jako \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n} \ln(n+1)} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože posloupnost \( a_n = (-1)^n \) střídá znaménka a součty oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro \( n \ge 1 \) a je třeba ověřit, zda je monotónní klesající a zda \( b_n \to 0 \).
Protože \( \sqrt{n} \to \infty \) a \( \ln(n+1) \to \infty \), je zřejmé, že \( b_n \to 0 \).
Pro monotónnost zvažme funkci \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \ln(x+1)} \) pro \( x \ge 1 \).
Derivace této funkce je záporná pro velká \( x \), protože obě složky v jmenovateli rostou a zrychlují pokles funkce.
Proto je \( b_n \) monotónně klesající pro dostatečně velké \( n \).
Dirichletovo kritérium je splněno, řada tedy konverguje.
Absolutní konvergence není splněna, protože \( \sum \frac{1}{\sqrt{n} \ln(n+1)} \) diverguje (porovnání s integrálem).
171. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n \ln n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve si všimněme, že řada je definována od \( n=2 \), protože pro \( n=1 \) by výraz \( \ln 1 = 0 \) nebyl definovaný.
Rozdělme členy řady na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln n} \). Řešíme konvergenci řady \( \sum a_n b_n \).
Začneme zkoumáním posloupnosti \( a_n \). Je to střídavá posloupnost, která nabývá hodnot -1 a 1. Parciální součty této posloupnosti \( A_N = \sum_{k=2}^N (-1)^k \) oscilují mezi hodnotami 0 a -1, tedy jsou omezené.
Nyní se zaměříme na posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \ln n} \). Je třeba ověřit, zda \( b_n \to 0 \) a zda je monotónní klesající pro dostatečně velká \( n \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln n} = 0 \) platí, protože jak \( n \), tak \( \ln n \) rostou k nekonečnu, takže jmenovatel roste neomezeně.
Pro monotónnost \( b_n \) vyšetříme funkci \( f(x) = \frac{1}{x \ln x} \) pro \( x > 1 \). Derivace této funkce je:
\( f'(x) = -\frac{\ln x + 1}{x^2 (\ln x)^2} \).
Protože \( \ln x + 1 > 0 \) pro všechna \( x > 1 \), derivace je záporná, což znamená, že \( f \) je na intervalu \( (1, \infty) \) klesající.
Všechny tři podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: parciální součty \( a_n \) jsou omezené, \( b_n \to 0 \), a \( b_n \) je monotónně klesající.
Závěr: řada \( \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln n} \) konverguje.
Navíc řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{1}{n \ln n} \) diverguje (známo z integrálního testu, kde příslušný integrál diverguje).
172. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\sin \frac{1}{n}}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Opět rozdělíme členy na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin \frac{1}{n}}{n} \) a zkoumáme konvergenci řady \( \sum a_n b_n \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené, oscilují mezi hodnotami 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je pro \( n \ge 1 \) kladná, protože \( \sin \frac{1}{n} > 0 \) pro všechna \( n \), protože \( \frac{1}{n} > 0 \) a sinus je pro malé kladné argumenty také kladný.
Limita \( b_n \) je rovna nule, protože pro \( n \to \infty \) platí aproximace \( \sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} \), takže \( b_n \sim \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \to 0 \).
Je třeba ověřit monotónnost \( b_n \). Posloupnost \( b_n \) je součinem dvou kladných posloupností, kde \( \frac{1}{n} \) klesá a \( \sin \frac{1}{n} \) také klesá, protože \( \sin x \) je rostoucí pro malé kladné \( x \), ale my zde bereme \( \sin \frac{1}{n} \) s rostoucím \( n \) (tedy argument klesá), tedy \( \sin \frac{1}{n} \) klesá.
Tím pádem je \( b_n \) součin dvou klesajících kladných posloupností, takže je monotónně klesající.
Tedy jsou splněny všechny podmínky Dirichletova kritéria: omezenost parciálních součtů \( a_n \), klesající posloupnost \( b_n \), jejíž limitní hodnota je nula.
Závěr: řada konverguje.
Navíc řada je absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot \( \sum \left| \frac{\sin \frac{1}{n}}{n} \right| \) je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^2} \), která je konvergentní.
173. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos \sqrt{n}}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Opět rozdělíme řadu na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos \sqrt{n}}{n} \) a zkoumáme řadu \( \sum a_n b_n \).
Posloupnost \( a_n = (-1)^n \) má parciální součty, které oscilují mezi 0 a -1, tedy jsou omezené.
Posloupnost \( b_n \) není monotónní, protože funkce \( \cos \sqrt{n} \) osciluje mezi -1 a 1 nepravidelně. Nicméně její absolutní hodnota je omezená horní mezí \( \frac{1}{n} \), která klesá k nule.
Proto \( b_n \to 0 \).
Dirichletovo kritérium nevyžaduje monotónnost \( b_n \), stačí omezenost parciálních součtů \( a_n \) a limitní nulovost \( b_n \).
Závěr: řada konverguje.
Absolutní konvergence však není splněna, protože \( \sum \frac{|\cos \sqrt{n}|}{n} \) je srovnatelná s harmonickou řadou, která diverguje.
174. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^{0.9}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n = (-1)^n \) střídá znaménka.
Posloupnost \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \) je kladná a monotónně klesající, protože \( n^{0.9} \) roste a tedy \( b_n \to 0 \).
Proto jsou splněny všechny podmínky Dirichletova kritéria: omezenost parciálních součtů \( a_n \), monotónnost a limitu nuly posloupnosti \( b_n \).
Závěr: řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada \( \sum \frac{1}{n^{0.9}} \) diverguje (p-hodnota je menší než 1).
175. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n (\ln n)^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Řada je definovaná pro \( n \geq 2 \), protože v \( n=1 \) není výraz definovaný kvůli \(\ln 1=0\).
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=2}^N (-1)^k \) oscilují mezi 0 a -1, jsou tedy omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná a pro \( n \geq 2 \) definovaná, je třeba zjistit, zda je monotónní a konverguje k nule.
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), protože jmenovatel roste k nekonečnu (jak \( n \), tak \( (\ln n)^2 \) rostou).
Monotónnost ověříme funkcí \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2} \), kde pro \( x > 1 \) platí, že derivace \( f'(x) \) je záporná, tedy \( f \) je klesající.
Tedy \( b_n \) je monotónně klesající.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny.
Závěr: řada \( \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n (\ln n)^2} \) konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n (\ln n)^2} \), která konverguje (silnější než klasická logaritmická divergenci), tedy absolutní konvergence je v tomto případě také splněna.
176. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n (\ln n)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Řada začíná od \( n=2 \), protože pro \( n=1 \) není výraz definován (logaritmus nuly není definován).
Členy můžeme rozdělit na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln n} \).
Nejprve se zaměříme na posloupnost \( a_n \). Tato posloupnost střídá znaménka mezi +1 a -1. Parciální součty \( A_N = \sum_{k=2}^N (-1)^k \) oscilují mezi hodnotami 0 a -1, což znamená, že jsou omezené. To je důležitá podmínka Dirichletova kritéria, protože omezenost parciálních součtů \( a_n \) je jedním z klíčových faktorů pro určení konvergence řady.
Dále zkoumáme posloupnost \( b_n = \frac{1}{n \ln n} \). Pro tuto posloupnost je třeba ověřit, zda splňuje dvě podmínky: zda limitně konverguje k nule a zda je monotónně klesající.
Limita \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln n} = 0 \) platí, protože jak \( n \to \infty \), tak \( \ln n \to \infty \), což znamená, že jmenovatel roste neomezeně a tedy zlomek klesá k nule.
Monotónnost ověříme pomocí derivace funkce \( f(x) = \frac{1}{x \ln x} \) pro \( x > 1 \). Její derivace je
\( f'(x) = – \frac{\ln x + 1}{x^2 (\ln x)^2} \).
Protože \( \ln x + 1 > 0 \) pro všechna \( x > 1 \), je derivace záporná, což znamená, že funkce \( f(x) \) je na intervalu \( (1, \infty) \) klesající. Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající pro dostatečně velká \( n \).
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny: omezenost parciálních součtů \( a_n \), monotónnost a limitní nula posloupnosti \( b_n \).
Z toho plyne, že řada \( \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln n} \) konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \ln n} \) diverguje, což lze dokázat integrálním testem (integrál \( \int_2^\infty \frac{1}{x \ln x} dx \) diverguje). To znamená, že řada konverguje podmíněně.
177. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos n}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Řada má členy tvaru \( a_n b_n \), kde \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos n}{n} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) oscilují mezi hodnotami 0 a -1, tedy jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\cos n}{n} \) není monotónní, protože \( \cos n \) osciluje mezi -1 a 1 nekonečněkrát, avšak absolutní hodnota \( |b_n| = \frac{|\cos n|}{n} \le \frac{1}{n} \) a tedy \( b_n \to 0 \) při \( n \to \infty \).
Dirichletovo kritérium nevyžaduje monotónnost posloupnosti \( b_n \), ale stačí, že \( b_n \to 0 \) a že posloupnost parciálních součtů \( a_n \) je omezená.
Tedy podmínky kritéria jsou splněny a řada konverguje.
Na druhou stranu řada není absolutně konvergentní, protože \( \sum |b_n| = \sum \frac{|\cos n|}{n} \) chová se podobně jako harmonická řada, která diverguje.
Závěrem: řada \( \sum (-1)^n \frac{\cos n}{n} \) konverguje podmíněně.
178. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \frac{1}{n}}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělíme členy řady na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin \frac{1}{n}}{\sqrt{n}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené, oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, protože \( \sin \frac{1}{n} > 0 \) pro všechna \( n \ge 1 \), jelikož \( \frac{1}{n} > 0 \) a sinus v okolí nuly je kladný.
Je nutné ověřit limitu a monotónnost \( b_n \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin \frac{1}{n}}{\sqrt{n}} \) se určí pomocí známé aproximace \( \sin x \approx x \) pro malé \( x \), takže
\( b_n \approx \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{3/2}} \to 0 \) pro \( n \to \infty \).
Monotónnost lze odvodit tak, že \( \sin \frac{1}{n} \) je klesající funkce vzhledem k \( n \) (protože argument \( \frac{1}{n} \) klesá) a \( \frac{1}{\sqrt{n}} \) také klesá. Součin dvou klesajících kladných posloupností je opět klesající.
Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající a konverguje k nule.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, tudíž řada konverguje.
Řada je také absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot je srovnatelná s řadou \( \sum \frac{1}{n^{3/2}} \), která konverguje.
179. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln n}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln n}{n} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) oscilují mezi 0 a -1, jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\ln n}{n} \) je kladná pro \( n > 1 \), limitně jde k nule, protože \( \ln n \) roste pomaleji než \( n \).
Je třeba ověřit monotónnost. Derivací funkce \( f(x) = \frac{\ln x}{x} \) je
\( f'(x) = \frac{1 – \ln x}{x^2} \).
Tato derivace je záporná pro \( x > e \), takže \( b_n \) je monotónně klesající od \( n \ge 3 \).
Protože podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny (omezené parciální součty \( a_n \), monotónní klesání a limitní nula \( b_n \)), řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot diverguje podobně jako \( \sum \frac{\ln n}{n} \), která diverguje (použitím integračního testu).
180. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n} (1 + \ln n)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n} (1 + \ln n)} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) oscilují mezi 0 a -1, jsou omezené.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro \( n \ge 1 \), protože \( \sqrt{n} > 0 \) a \( 1 + \ln n > 0 \) pro \( n \ge 1 \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = 0 \), protože jmenovatel roste k nekonečnu (odmocnina roste jako \( n^{1/2} \) a logaritmus roste pomaleji, ale přičtení 1 nezpůsobí problém).
Monotónnost ověříme pomocí funkce \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} (1 + \ln x)} \) pro \( x > 1 \).
Derivace \( f'(x) \) je složitější, ale díky tomu, že obě části jmenovatele rostou a jejich součin roste, funkce je klesající pro dostatečně velká \( x \).
Posloupnost \( b_n \) je tedy monotónně klesající.
Protože jsou splněny všechny podmínky Dirichletova kritéria, řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot je podobná řadě \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \), která diverguje.
181. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Řada začíná od \( n=2 \), protože členy obsahují výraz \( \sqrt{\ln n} \), který není definován pro \( n=1 \).
Členy rozepíšeme jako součin dvou posloupností: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} \).
Nejprve se zaměříme na posloupnost \( a_n \). Ta střídá znaménka mezi +1 a -1, a její parciální součty jsou \( A_N = \sum_{k=2}^N (-1)^k \), které oscilují mezi hodnotami 0 a -1. Protože tyto hodnoty jsou omezené, první podmínka Dirichletova kritéria je splněna.
Dále zkoumáme posloupnost \( b_n \), která je kladná pro \( n \geq 2 \), jelikož \( n > 0 \) a \( \ln n > 0 \) pro \( n > 1 \).
Je třeba ověřit limitu a monotónnost posloupnosti \( b_n \).
Limita:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} = 0 \), protože \( n \to \infty \) a zároveň \( \ln n \to \infty \), což znamená, že jmenovatel roste neomezeně a zlomek se blíží k nule.
Monotónnost:
Zvažme funkci \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \) pro \( x > 1 \).
Derivace této funkce je (využijeme pravidla derivace zlomku a řetězového pravidla):
\( f'(x) = – \frac{\sqrt{\ln x} + \frac{1}{2\sqrt{\ln x}}}{x^2 \ln x} \), kde jsme využili derivaci \( \frac{d}{dx} \sqrt{\ln x} = \frac{1}{2\sqrt{\ln x}} \cdot \frac{1}{x} \).
Tato derivace je záporná pro všechna dostatečně velká \( x \), protože všechny složky v čitateli jsou kladné a v celém definičním oboru \( x > 1 \), což znamená, že funkce \( f \) je klesající.
Tím jsme potvrdili, že posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající pro \( n \geq 2 \).
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny:
– parciální součty \( a_n \) jsou omezené,
– posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající a
– \( b_n \to 0 \).
Z toho vyplývá, že řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \sqrt{\ln n}} \) diverguje, což lze ověřit integrálním testem (integrál \( \int_2^\infty \frac{dx}{x \sqrt{\ln x}} \) diverguje). Tedy řada je podmíněně konvergentní.
182. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \frac{1}{\sqrt{n}}}{n^{1/3}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady rozdělíme na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin \frac{1}{\sqrt{n}}}{n^{1/3}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené, oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, protože \( \sin \frac{1}{\sqrt{n}} > 0 \) pro všechna dostatečně velká \( n \), jelikož \( \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0 \) a sinus je v okolí nuly kladný.
Pro limitu využijeme aproximaci \( \sin x \approx x \) pro \( x \to 0 \):
\( b_n \approx \frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{n^{1/3}} = \frac{1}{n^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}} = \frac{1}{n^{5/6}} \to 0 \) pro \( n \to \infty \).
Monotónnost zkoumáme pomocí funkce \( f(x) = \frac{\sin \frac{1}{\sqrt{x}}}{x^{1/3}} \), kde \( x > 0 \).
Derivace je komplikovaná, ale lze ji chápat z faktu, že čitatel \( \sin \frac{1}{\sqrt{x}} \) klesá s rostoucím \( x \) a jmenovatel \( x^{1/3} \) roste, takže součin klesá.
Posloupnost \( b_n \) je tedy monotónně klesající pro dostatečně velká \( n \).
Protože jsou splněny podmínky Dirichletova kritéria (omezené parciální součty \( a_n \), monotónnost a limitní nula \( b_n \)), řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{\sin \frac{1}{\sqrt{n}}}{n^{1/3}} \) chová se podobně jako \( \sum \frac{1}{n^{5/6}} \), která konverguje, ale protože sinus je v okolí nuly téměř lineární, a nelze ji zcela odstranit z absolutní hodnoty, je to sporné. Nicméně důležité je, že \( b_n \to 0 \) a monotónnost je zachována, takže původní řada konverguje.
183. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos \frac{1}{n}}{\sqrt{n}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos \frac{1}{n}}{\sqrt{n}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené, oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro všechna \( n \), protože \( \cos \frac{1}{n} \to 1 \) a je blízká 1 pro velká \( n \).
Limita \( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\cos \frac{1}{n}}{\sqrt{n}} = 0 \), protože \( \sqrt{n} \to \infty \).
Monotónnost:
Funkce \( f(x) = \frac{\cos \frac{1}{x}}{\sqrt{x}} \), kde \( x > 0 \).
Derivace je komplikovaná, ale pro velká \( x \) je \( \cos \frac{1}{x} \approx 1 – \frac{1}{2x^2} \), takže funkce se chová zhruba jako \( \frac{1}{\sqrt{x}} \), která je monotónně klesající.
Proto je posloupnost \( b_n \) monotónně klesající pro velká \( n \).
Splněny jsou tedy podmínky Dirichletova kritéria:
– omezenost parciálních součtů \( a_n \),
– monotónnost a limitní nula \( b_n \).
Řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože \( \sum \frac{|\cos \frac{1}{n}|}{\sqrt{n}} \) chová se jako \( \sum \frac{1}{\sqrt{n}} \), která diverguje.
184. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln n}{n^{3/2}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln n}{n^{3/2}} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené a oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro \( n > 1 \), protože \( \ln n > 0 \) a \( n^{3/2} > 0 \).
Limita:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n^{3/2}} = 0 \), protože jmenovatel roste mnohem rychleji než čitatel.
Monotónnost:
Funkce \( f(x) = \frac{\ln x}{x^{3/2}} \) pro \( x > 1 \).
Derivace:
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{x} x^{3/2} – \ln x \cdot \frac{3}{2} x^{1/2}}{x^3} = \frac{x^{1/2} – \frac{3}{2} \ln x \cdot x^{1/2}}{x^3} = \frac{x^{1/2} (1 – \frac{3}{2} \ln x)}{x^3} \).
Derivace je záporná pro \( x > e^{2/3} \), což znamená, že funkce \( f \) je monotónně klesající pro dostatečně velké \( x \).
Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od nějakého \( n \) dále.
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{\ln n}{n^{3/2}} \) konverguje absolutně, což znamená, že původní řada je absolutně konvergentní (protože \( 3/2 > 1 \), a \( \ln n \) roste pomaleji než mocnina).
185. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\arctan n}{n^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělíme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\arctan n}{n^2} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené, oscilují mezi 0 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, protože \( \arctan n > 0 \) pro \( n > 0 \) a \( n^2 > 0 \).
Limita:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\arctan n}{n^2} = 0 \), protože \( \arctan n \to \frac{\pi}{2} \) a \( n^2 \to \infty \).
Monotónnost:
Funkce \( f(x) = \frac{\arctan x}{x^2} \), kde \( x > 0 \).
Derivace pomocí podílového pravidla je:
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x^2} \cdot x^2 – \arctan x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2/(1+x^2) – 2x \arctan x}{x^4} \).
Pro velká \( x \) dominují záporné členy, proto derivace je záporná pro dostatečně velká \( x \).
Funkce \( f \) je tedy monotónně klesající pro dostatečně velké \( x \), a tedy i posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající.
Splněny jsou podmínky Dirichletova kritéria, proto řada konverguje.
Řada není absolutně konvergentní, protože řada absolutních hodnot \( \sum \frac{\arctan n}{n^2} \) konverguje absolutně (protože \( n^{-2} \) řada absolutně konverguje a \( \arctan n \) je omezená).
186. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\ln n}{n^{1.1}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Nejprve rozdělme členy řady na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln n}{n^{1.1}} \).
Posloupnost \( a_n \) střídá znaménka +1 a -1. Parciální součty této posloupnosti, označme je \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \), oscilují mezi hodnotami 1 a 0. To znamená, že jsou omezené, což je první nutná podmínka Dirichletova kritéria.
Dále se podíváme na posloupnost \( b_n \). Její členy jsou pro \( n \geq 2 \) kladné, protože \( \ln n > 0 \) a zároveň \( n^{1.1} > 0 \).
Pro ověření Dirichletova kritéria je třeba také zkontrolovat limitu a monotónnost posloupnosti \( b_n \).
Limita posloupnosti:
Protože exponent v jmenovateli je větší než 1, mocnina \( n^{1.1} \) roste rychleji než \( \ln n \), tedy
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{n^{1.1}} = 0 \).
Tato limita je klíčová, protože Dirichletovo kritérium vyžaduje, aby posloupnost \( b_n \) konvergovala k nule.
Monotónnost posloupnosti \( b_n \):
Zvažme funkci \( f(x) = \frac{\ln x}{x^{1.1}} \) pro \( x > 1 \). Pokud dokážeme, že tato funkce je monotónně klesající od nějakého \( x_0 \) dále, pak i posloupnost \( b_n = f(n) \) je monotónní klesající od nějakého indexu.
Derivace funkce \( f \) je dána pravidlem pro derivaci podílu:
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{1.1} – \ln x \cdot 1.1 x^{0.1}}{(x^{1.1})^2} = \frac{x^{0.1} – 1.1 \ln x \cdot x^{0.1}}{x^{2.2}} = \frac{x^{0.1}(1 – 1.1 \ln x)}{x^{2.2}} \).
Hodnota \( x^{0.1} \) je vždy kladná, stejně jako \( x^{2.2} \), takže znaménko derivace závisí na výrazu \( 1 – 1.1 \ln x \).
Řešme nerovnici \( 1 – 1.1 \ln x < 0 \Rightarrow \ln x > \frac{1}{1.1} \approx 0.909 \Rightarrow x > e^{0.909} \approx 2.48 \).
Tedy pro \( x > 2.48 \) je derivace záporná, což znamená, že funkce \( f(x) \) je klesající pro \( x > 2.48 \).
Z toho vyplývá, že posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od nějakého indexu \( n \geq 3 \).
Splněny jsou tedy všechny podmínky Dirichletova kritéria:
– parciální součty posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) jsou omezené,
– posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od nějakého indexu,
– limita \( b_n \) je nulová.
Proto řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Pro absolutní konvergenci by musela konvergovat řada \( \sum \left| \frac{\ln n}{n^{1.1}} \right| = \sum \frac{\ln n}{n^{1.1}} \).
Ověřme, zda tato řada konverguje:
Protože \( \frac{\ln n}{n^{1.1}} \) pro \( n \to \infty \) klesá pomaleji než \( \frac{1}{n^{1.1}} \), a víme, že řada \( \sum \frac{1}{n^{1.1}} \) konverguje, víme také, že \( \sum \frac{\ln n}{n^{1.1}} \) bude konvergovat, protože logaritmus roste velmi pomalu a mocnina v jmenovateli dominuje.
Tedy řada je absolutně konvergentní.
187. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \frac{1}{n}}{n^{0.5}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy řady rozdělíme na dvě posloupnosti: \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin \frac{1}{n}}{n^{0.5}} \).
Nejprve zkoumáme posloupnost \( a_n \). Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \) jsou omezené, protože střídají hodnoty 1 a 0, tedy oscilují v omezeném intervalu.
Dále je nutné prozkoumat posloupnost \( b_n \), zda splňuje další podmínky Dirichletova kritéria.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro dostatečně velká \( n \), protože \( \sin \frac{1}{n} \approx \frac{1}{n} > 0 \) pro \( n \) velká, a \( n^{0.5} > 0 \) vždy.
Limitní chování posloupnosti \( b_n \):
Využijeme aproximaci pro malá \( x \): \( \sin x \approx x – \frac{x^3}{6} + \dots \). Pro \( x = \frac{1}{n} \) tedy platí
\( \sin \frac{1}{n} \approx \frac{1}{n} \) pro velké \( n \).
Posloupnost \( b_n \) se tedy chová jako \( \frac{1/n}{n^{0.5}} = \frac{1}{n^{1.5}} \) pro velká \( n \).
Tato posloupnost jde k nule, protože \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1.5}} = 0 \).
Monotónnost posloupnosti \( b_n \):
Zvažme funkci \( f(x) = \frac{\sin \frac{1}{x}}{x^{0.5}} \), kde \( x > 0 \).
Pro zjištění monotónnosti vypočteme derivaci této funkce:
\( f'(x) = \frac{\cos \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot x^{0.5} – \sin \frac{1}{x} \cdot 0.5 x^{-0.5}}{x} \), po úpravě
Derivace pro velká \( x \) je záporná, protože první člen \( \cos \frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \cdot x^{0.5} \) je záporný a druhý člen je také negativní.
To znamená, že funkce \( f(x) \) je monotónně klesající pro dostatečně velká \( x \), což implikuje monotónnost posloupnosti \( b_n \).
Protože jsou splněny všechny podmínky Dirichletova kritéria (omezenost parciálních součtů \( a_n \), monotónnost a limitní nula \( b_n \)), řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Zkontrolujme absolutní hodnoty členů:
\( |b_n| = \frac{|\sin \frac{1}{n}|}{n^{0.5}} \approx \frac{1/n}{n^{0.5}} = \frac{1}{n^{1.5}} \), což je člen absolutně konvergentní řady.
Tedy řada absolutně konverguje.
188. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\arctan n}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy řady na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\arctan n}{n} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \), tedy \( A_N = \sum_{k=1}^N (-1)^k \), oscilují mezi hodnotami 0 a 1, tedy jsou omezené.
Posloupnost \( b_n = \frac{\arctan n}{n} \) je kladná, protože \( \arctan n > 0 \) pro \( n > 0 \) a \( n > 0 \).
Zkoumáme limitu:
Pro velká \( n \) platí \( \arctan n \to \frac{\pi}{2} \), tedy
\( \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \frac{\arctan n}{n} = 0 \), protože jmenovatel roste neomezeně.
Monotónnost:
Funkce \( f(x) = \frac{\arctan x}{x} \), kde \( x > 0 \).
Derivace funkce je pomocí pravidla pro derivaci podílu:
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{1+x^2} \cdot x – \arctan x \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x}{1+x^2} – \arctan x}{x^2} \).
Pro velká \( x \) aproximujeme:
\( \arctan x \to \frac{\pi}{2} \), zatímco \( \frac{x}{1+x^2} = \frac{1}{x + \frac{1}{x}} \to 0 \).
Výraz v čitateli tedy bude záporný pro dostatečně velká \( x \), protože \( 0 – \frac{\pi}{2} < 0 \).
Z toho plyne, že \( f'(x) < 0 \) pro \( x \) velká, tedy funkce \( f \) je monotónně klesající od nějakého bodu.
Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od nějakého \( n \) dále.
Splněny jsou všechny podmínky Dirichletova kritéria, řada tedy konverguje.
Absolutní konvergence:
Zvažme řadu absolutních hodnot členů \( \sum \frac{\arctan n}{n} \).
Pro velká \( n \) je \( \arctan n \approx \frac{\pi}{2} \), tedy členy se chovají jako \( \frac{const}{n} \).
Řada \( \sum \frac{1}{n} \) diverguje, tudíž řada absolutních hodnot diverguje a řada není absolutně konvergentní.
189. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Opět rozdělme členy řady na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože se střídají mezi 1 a 0.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, jelikož čitatel i jmenovatel jsou kladné pro všechna \( n \).
Zjistíme limitu \( b_n \):
Pro velká \( n \) se \( b_n \) chová jako \( \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{1.5}} \to 0 \).
Monotónnost:
Zvažme funkci \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \), \( x > 0 \).
Derivace pomocí pravidla pro derivaci podílu:
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} (x^2 + 1) – \sqrt{x} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \).
Upravme čitatel:
\( \frac{1}{2\sqrt{x}} (x^2 + 1) – 2x^{3/2} = \frac{x^2 + 1}{2\sqrt{x}} – 2 x^{3/2} \).
Pro velká \( x \) dominují členy \( \frac{x^2}{2\sqrt{x}} = \frac{x^{2}}{2 x^{0.5}} = \frac{x^{1.5}}{2} \) a \( 2 x^{1.5} \).
Výraz tedy bude \( \frac{x^{1.5}}{2} – 2 x^{1.5} = -\frac{3}{2} x^{1.5} < 0 \) pro velká \( x \).
Derivace je tedy záporná pro dostatečně velká \( x \), funkce \( f \) je monotónně klesající pro \( x \) velká.
Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od nějakého indexu.
Splněny jsou tedy všechny podmínky Dirichletova kritéria, řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \) pro velká \( n \) chová jako \( \sum \frac{1}{n^{1.5}} \), která konverguje.
Tedy řada je absolutně konvergentní.
190. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{\sqrt{n} \cdot \ln (n+1)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělme na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{\sqrt{n} \ln (n+1)} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, jelikož jsou střídavé a oscilují mezi 1 a 0.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro \( n \geq 1 \), protože čitatel je kladný a logaritmus pro \( n+1 > 1 \) je kladný.
Určíme limitu:
Limita \( b_n \) pro \( n \to \infty \) je
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n} \ln (n+1)} = 0 \), protože jmenovatel roste k nekonečnu.
Monotónnost:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \ln (x+1)} \), kde \( x > 0 \).
Derivace pomocí pravidla pro derivaci součinu a řetězce je:
\( f'(x) = -\frac{1}{2 x^{3/2} \ln (x+1)} – \frac{1}{\sqrt{x} (x+1) (\ln (x+1))^2} \).
Oba členy derivace jsou záporné pro všechna \( x > 0 \), což znamená, že \( f(x) \) je klesající funkce.
Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od určitého indexu.
Všechny podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny a řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Zkoumáme absolutní hodnoty členů:
\( \sum \frac{1}{\sqrt{n} \ln (n+1)} \).
Pro velká \( n \) tato řada je podobná řadě \( \sum \frac{1}{n^{1/2} \ln n} \), která diverguje.
Tedy řada není absolutně konvergentní.
191. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n)}{n^{1.5}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy řady na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^{1.5}} \).
Nejdříve zkoumáme parciální součty posloupnosti \( a_n \):
Protože \( a_n = (-1)^n \) střídá hodnoty +1 a -1, parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) oscilují mezi 1 a 0, tedy jsou omezené.
Nyní zkoumáme posloupnost \( b_n = \frac{\ln(n)}{n^{1.5}} \).
Pro \( n \to \infty \) platí, že \( \ln(n) \to \infty \), ale výraz \( n^{1.5} \) roste rychleji než \( \ln(n) \), proto \( b_n \to 0 \).
Ověříme monotónnost posloupnosti \( b_n \):
Zvažme funkci \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x^{1.5}} \) pro \( x > 1 \).
Derivace je
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{1.5} – \ln(x) \cdot 1.5 x^{0.5}}{x^{3}} = \frac{x^{0.5} – 1.5 \ln(x) x^{0.5}}{x^{3}} = \frac{x^{0.5}(1 – 1.5 \ln(x))}{x^{3}} \).
Znaménko derivace závisí na výrazu \( 1 – 1.5 \ln(x) \), který je záporný pro \( x > e^{2/3} \approx 1.95 \).
Tedy pro \( n \geq 2 \) je \( f(x) \) klesající, což znamená, že posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od nějakého indexu.
Splněny jsou tedy podmínky Dirichletova kritéria: parciální součty \( a_n \) jsou omezené, \( b_n \) klesající k nule.
Řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Zkoumáme řadu absolutních hodnot \( \sum \frac{\ln(n)}{n^{1.5}} \).
Porovnáním s řadou \( \sum \frac{1}{n^{1.4}} \), která konverguje, vidíme, že tato řada je absolutně konvergentní.
192. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože se střídají mezi hodnotami 1 a 0.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, protože jmenovatel je kladný pro všechna \( n \geq 1 \).
Určíme limitu \( b_n \):
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \cdot n^{0.5} \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1.5} \sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 0 \).
Monotónnost:
Zvažme funkci \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{x+1}} \) pro \( x > 0 \).
Derivace pomocí pravidla pro derivaci součinu:
\( f'(x) = -\frac{1}{x^{2} \sqrt{x+1}} – \frac{1}{2 x (x+1)^{1.5}} \).
Oba členy derivace jsou záporné pro všechna \( x > 0 \), takže \( f(x) \) je klesající funkce.
Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od určitého indexu.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Pro absolutní hodnoty máme řadu \( \sum \frac{1}{n \sqrt{n+1}} \), která se chová podobně jako \( \sum \frac{1}{n^{1.5}} \), tedy absolutně konverguje.
193. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sin \frac{1}{n}}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sin \frac{1}{n}}{n} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá hodnoty +1 a -1.
Pro \( n \to \infty \) platí, že \( \sin \frac{1}{n} \approx \frac{1}{n} \), tedy \( b_n \approx \frac{1/n}{n} = \frac{1}{n^2} \), což konverguje k nule.
Pro monotónnost uvažujme funkci \( f(x) = \frac{\sin \frac{1}{x}}{x} \) pro \( x > 0 \).
Derivace je složitá, ale pro velká \( x \) je funkce klesající, protože převládá klesající faktor \( \frac{1}{x} \).
Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónní klesající od nějakého indexu.
Splněny jsou tedy podmínky Dirichletova kritéria, řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot se chová jako \( \sum \frac{1}{n^2} \), tedy je absolutně konvergentní.
194. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\ln(n+1)}{n^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\ln(n+1)}{n^2} \).
Parciální součty \( A_N = \sum_{k=1}^N a_k \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá hodnoty +1 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná, jelikož logaritmus i \( n^2 \) jsou kladné pro \( n \geq 1 \).
Limita \( b_n \) pro \( n \to \infty \) je
\( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(n+1)}{n^2} = 0 \), protože jmenovatel roste rychleji než čitatel.
Monotónnost:
Zvažme funkci \( f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x^2} \), \( x > 0 \).
Derivace je
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot x^2 – \ln(x+1) \cdot 2x}{x^4} = \frac{x^2}{x+1} – 2x \ln(x+1) \cdot \frac{1}{x^4} \).
Zjednodušení ukazuje, že pro velká \( x \) je derivace záporná, tedy \( f(x) \) je klesající.
Tedy posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od určitého indexu.
Splněny jsou podmínky Dirichletova kritéria, řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{\ln(n+1)}{n^2} \) je konvergentní, protože \( \ln(n) \) roste pomaleji než každá mocnina \( n \) menší než 2.
Tedy řada je absolutně konvergentní.
195. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \ln(n+2)} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \ln(n+2)} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá hodnoty +1 a -1.
Posloupnost \( b_n \) je kladná pro \( n \geq 1 \), protože \( n \) i \( \ln(n+2) \) jsou kladné.
Limita \( b_n \) pro \( n \to \infty \) je
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \ln(n+2)} = 0 \), protože jmenovatel roste k nekonečnu.
Monotónnost:
Zvažme funkci \( f(x) = \frac{1}{x \ln(x+2)} \), \( x > 0 \).
Derivace je
\( f'(x) = -\frac{1}{x^{2} \ln(x+2)} – \frac{1}{x (x+2) (\ln(x+2))^{2}} \), což je záporné pro všechna \( x > 0 \).
Tedy \( f(x) \) je klesající funkce a posloupnost \( b_n \) je monotónně klesající od určitého indexu.
Splněny jsou podmínky Dirichletova kritéria, řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{1}{n \ln(n+2)} \) diverguje podobně jako tzv. Cauchyho řada, proto není absolutně konvergentní.
196. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{n (\ln n)^2} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy řady na posloupnosti \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n (\ln n)^2} \), kde \( n \geq 2 \) (aby byl logaritmus definovaný).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá hodnoty +1 a -1, a tedy parciální součty oscilují mezi 0 a 1.
Zkoumáme posloupnost \( b_n \):
Pro \( n \to \infty \) platí \( b_n \to 0 \), protože jmenovatel roste k nekonečnu.
Monotónnost:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x (\ln x)^2} \) pro \( x > 1 \) je kladná a klesající, protože oba faktory v jmenovateli rostou a zvyšují hodnotu jmenovatele.
Derivace funkce je záporná (lze ji odvodit pomocí pravidla pro derivaci složené funkce), což potvrzuje monotónnost klesání.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou tedy splněny:
Parciální součty \( a_n \) jsou omezené a \( b_n \) klesá k nule.
Řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Zkoumáme řadu absolutních hodnot \( \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^2} \).
Je známo, že řada \( \sum \frac{1}{n (\ln n)^p} \) pro \( p > 1 \) konverguje (pomocí integrálního testu).
Tedy řada absolutně konverguje.
197. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené, protože \( a_n \) střídá hodnoty +1 a -1.
Zkoumáme posloupnost \( b_n \):
Pro \( n \to \infty \) platí
\( b_n = \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 1} \sim \frac{n^{0.5}}{n^2} = \frac{1}{n^{1.5}} \to 0 \).
Monotónnost:
Funkce \( f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x^2 + 1} \) je kladná pro \( x > 0 \).
Derivace
\( f'(x) = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} (x^2 + 1) – \sqrt{x} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \).
Zjednodušení ukáže, že pro velká \( x \) je derivace záporná, takže \( f(x) \) je klesající od nějakého indexu.
Splněny jsou tedy podmínky Dirichletova kritéria, řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot je srovnatelná s \( \sum \frac{1}{n^{1.5}} \), která konverguje.
Tedy řada je absolutně konvergentní.
198. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{\cos \frac{1}{n}}{n} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{\cos \frac{1}{n}}{n} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené.
Limita \( b_n \) pro \( n \to \infty \):
Protože \( \cos \frac{1}{n} \to \cos 0 = 1 \), máme \( b_n \sim \frac{1}{n} \to 0 \).
Monotónnost:
Pro velká \( n \) je \( \cos \frac{1}{n} \) blízko 1 a \( b_n \approx \frac{1}{n} \), která je klesající.
Funkce \( f(x) = \frac{\cos \frac{1}{x}}{x} \) je pro \( x > 0 \) zhruba klesající od určitého indexu.
Splněny jsou tedy podmínky Dirichletova kritéria, řada konverguje.
Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot je podobná řadě harmonické \( \sum \frac{1}{n} \), která diverguje.
Řada tedy není absolutně konvergentní.
199. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n^{0.9}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Členy rozdělme na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n^{0.9}} \).
Parciální součty \( a_n \) jsou omezené.
Limita \( b_n \) je nula, protože \( n^{0.9} \to \infty \).
Monotónnost:
Posloupnost \( b_n \) je klesající, protože \( n^{0.9} \) roste a \( \frac{1}{n^{0.9}} \) klesá.
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada tedy konverguje.
Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot je \( \sum \frac{1}{n^{0.9}} \), což diverguje (p-řada s p < 1).
Řada tedy není absolutně konvergentní.
200. Určete, zda řada \( \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \) konverguje.
Řešení příkladu:
Rozdělme členy na \( a_n = (-1)^n \) a \( b_n = \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \).
Parciální součty posloupnosti \( a_n \) jsou omezené.
Limita \( b_n \to 0 \) protože \( n \to \infty \) a \( \ln(n+1) \to \infty \).
Monotónnost:
Funkce \( f(x) = \frac{1}{x \sqrt{\ln(x+1)}} \) je kladná a klesající pro dostatečně velké \( x \), což lze ukázat derivací (derivace je záporná).
Podmínky Dirichletova kritéria jsou splněny, řada tedy konverguje.
Absolutní konvergence:
Řada absolutních hodnot \( \sum \frac{1}{n \sqrt{\ln(n+1)}} \) diverguje, protože podobná řada s logaritmem v jmenovateli roste příliš pomalu.
Řada tedy není absolutně konvergentní.