1. V náhodném pokusu házíme mincí \( 6 \)krát. Jaká je pravděpodobnost, že padne právě \( 4 \)krát líc?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Jedná se o Bernoulliho schéma s počtem pokusů \( n = 6 \), pravděpodobností úspěchu (líc) \( p = 0{,}5 \) a neúspěchu \( q = 1 – p = 0{,}5 \).
Počet požadovaných úspěchů: \( k = 4 \).
Vzorec pro Bernoulliho pravděpodobnost:
\[
P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]
Dosadíme:
\[
P(X = 4) = \frac{6!}{4! \cdot 2!} \cdot (0{,}5)^4 \cdot (0{,}5)^2 = \frac{720}{24 \cdot 2} \cdot (0{,}5)^6 = 15 \cdot \frac{1}{64} = \frac{15}{64}
\]
Výsledek: \( P(X = 4) = \frac{15}{64} \approx 0{,}234375 \)
2. V experimentu se \( 10 \)krát hází kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že číslo \( 6 \) padne přesně \( 3 \)krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Úspěchem je výskyt čísla \( 6 \), jeho pravděpodobnost je \( p = \frac{1}{6} \), neúspěch \( q = \frac{5}{6} \).
Počet pokusů \( n = 10 \), počet úspěchů \( k = 3 \).
\[
P(X = 3) = \frac{10!}{3! \cdot 7!} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^7
\]
\[
= 120 \cdot \frac{1}{216} \cdot \left(\frac{78125}{279936}\right) = \frac{120 \cdot 78125}{216 \cdot 279936}
\]
Výsledek: přibližně \( P(X = 3) \approx 0{,}155 \)
3. Student odpovídá na \( 5 \) otázek typu \(ABCD\) náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví právě na \( 2 \) otázky?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost správné odpovědi je \( p = \frac{1}{4} \), nesprávné \( q = \frac{3}{4} \), \( n = 5 \), \( k = 2 \).
\[
P(X = 2) = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^3
= 10 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{27}{64} = \frac{270}{1024} = \frac{135}{512}
\]
Výsledek: \( P(X = 2) = \frac{135}{512} \approx 0{,}2637 \)
4. V testu je \( 12 \) otázek. Student má \( 70 \)% šanci odpovědět správně. Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví na alespoň \( 10 \) otázek?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 12 \), \( p = 0{,}7 \), chceme \( P(X \geq 10) = P(10) + P(11) + P(12) \)
Počítáme tři pravděpodobnosti:
\[
P(X = 10) = \frac{12!}{10! \cdot 2!} \cdot 0{,}7^{10} \cdot 0{,}3^2
\]
\[
= 66 \cdot 0{,}0282475 \cdot 0{,}09 \approx 0{,}1676
\]
\[
P(X = 11) = \frac{12!}{11! \cdot 1!} \cdot 0{,}7^{11} \cdot 0{,}3
= 12 \cdot 0{,}01977 \cdot 0{,}3 \approx 0{,}0712
\]
\[
P(X = 12) = 0{,}7^{12} \approx 0{,}01384
\]
\[
P(X \geq 10) \approx 0{,}1676 + 0{,}0712 + 0{,}01384 = 0{,}25264
\]
5. Z urny s pravděpodobností výběru červené kuličky \( 0{,}4 \) táhneme \( 8 \)krát. Jaká je pravděpodobnost, že vytáhneme \( 6 \)krát červenou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 8 \), \( p = 0{,}4 \), \( q = 0{,}6 \), \( k = 6 \)
\[
P(X = 6) = \frac{8!}{6! \cdot 2!} \cdot 0{,}4^6 \cdot 0{,}6^2 = 28 \cdot 0{,}004096 \cdot 0{,}36 \approx 0{,}0412
\]
6. Výrobní linka má \(90\) % úspěšnost bezchybného produktu. Jaká je pravděpodobnost, že mezi \(7\) produkty budou právě \(3\) vadné?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( p = 0{,}1 \), \( q = 0{,}9 \), \( n = 7 \), \( k = 3 \)
\[
P(X = 3) = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot 0{,}1^3 \cdot 0{,}9^4 = 35 \cdot 0{,}001 \cdot 0{,}6561 = 0{,}02296
\]
7. Při kontrole zásilky je pravděpodobnost nalezení vadného kusu \(0{,}2\). Pokud prohlédneme \(9\) kusů, jaká je pravděpodobnost, že \(5\) bude vadných?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( p = 0{,}2 \), \( q = 0{,}8 \), \( n = 9 \), \( k = 5 \)
\[
P(X = 5) = \frac{9!}{5! \cdot 4!} \cdot 0{,}2^5 \cdot 0{,}8^4 = 126 \cdot 0{,}00032 \cdot 0{,}4096 \approx 0{,}0165
\]
8. V soutěži hází hráč \(4\)krát míčkem na cíl s úspěšností \(0{,}3\). Jaká je pravděpodobnost, že zasáhne přesně jednou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 4 \), \( p = 0{,}3 \), \( q = 0{,}7 \), \( k = 1 \)
\[
P(X = 1) = \frac{4!}{1! \cdot 3!} \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}7^3 = 4 \cdot 0{,}3 \cdot 0{,}343 = 0{,}4116
\]
9. V počítačové simulaci je pravděpodobnost úspěchu \(0{,}55\). Simulace běží \(6\)krát. Jaká je pravděpodobnost, že uspěje přesně \(2\)krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( p = 0{,}55 \), \( q = 0{,}45 \), \( n = 6 \), \( k = 2 \)
\[
P(X = 2) = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \cdot 0{,}55^2 \cdot 0{,}45^4 = 15 \cdot 0{,}3025 \cdot 0{,}0410 \approx 0{,}186
\]
10. Lékař má \(80\) % úspěšnost diagnostiky. Vyšetří \(5\) pacientů. Jaká je pravděpodobnost, že všem určí správně diagnózu?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( p = 0{,}8 \), \( n = 5 \), \( k = 5 \Rightarrow \) všechny úspěchy
\[
P(X = 5) = \frac{5!}{5! \cdot 0!} \cdot 0{,}8^5 \cdot 0{,}2^0 = 1 \cdot 0{,}32768 \cdot 1 = 0{,}32768
\]
11. V sérii \(10\) pokusů má pravděpodobnost úspěchu v jednom pokusu hodnotu \( p = 0{,}25 \). Určete pravděpodobnost, že nastanou právě \(2\) úspěchy.
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme \( n = 10 \), \( p = 0{,}25 \), \( k = 2 \).
Pravděpodobnost je dána vzorcem:
\( P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \)
\( \Rightarrow P(X = 2) = \frac{10!}{2! \cdot 8!} \cdot (0{,}25)^2 \cdot (0{,}75)^8 = 45 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}100112915 \approx 0{,}2815 \)
12. Při kontrole zboží je pravděpodobnost vadného kusu \(5\) %. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru \(20\) kusů budou nejvýše \(2\) vadné?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme \( n = 20 \), \( p = 0{,}05 \). Hledáme \( P(X \leq 2) \).
\( P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) \)
\( P(0) = \frac{20!}{0! \cdot 20!} \cdot (0{,}05)^0 \cdot (0{,}95)^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0{,}3585 = 0{,}3585 \)
\( P(1) = \frac{20!}{1! \cdot 19!} \cdot (0{,}05)^1 \cdot (0{,}95)^{19} = 20 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}3774 = 0{,}3774 \)
\( P(2) = \frac{20!}{2! \cdot 18!} \cdot (0{,}05)^2 \cdot (0{,}95)^{18} = 190 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}3964 \approx 0{,}1883 \)
\( \Rightarrow P(X \leq 2) \approx 0{,}3585 + 0{,}3774 + 0{,}1883 = 0{,}9242 \)
13. V hře s pravděpodobností výhry \( p = 0{,}1 \) hraje hráč \(15\) her. Jaká je pravděpodobnost, že nevyhraje ani jednou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 15 \), \( p = 0{,}1 \), hledáme \( P(0) \):
\( P(0) = \frac{15!}{0! \cdot 15!} \cdot (0{,}1)^0 \cdot (0{,}9)^{15} = 1 \cdot 1 \cdot (0{,}9)^{15} \approx 0{,}2059 \)
14. V sérii \(8\) pokusů je pravděpodobnost úspěchu \(0{,}4\). Jaká je pravděpodobnost, že úspěch nastane alespoň \(6\)krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 8 \), \( p = 0{,}4 \), hledáme \( P(X \geq 6) = P(6) + P(7) + P(8) \)
\( P(6) = \frac{8!}{6! \cdot 2!} \cdot (0{,}4)^6 \cdot (0{,}6)^2 = 28 \cdot 0{,}004096 \cdot 0{,}36 \approx 0{,}0412 \)
\( P(7) = \frac{8!}{7! \cdot 1!} \cdot (0{,}4)^7 \cdot (0{,}6)^1 = 8 \cdot 0{,}0016384 \cdot 0{,}6 \approx 0{,}0079 \)
\( P(8) = \frac{8!}{8! \cdot 0!} \cdot (0{,}4)^8 \cdot (0{,}6)^0 = 1 \cdot 0{,}00065536 \cdot 1 = 0{,}0007 \)
\( \Rightarrow P(X \geq 6) \approx 0{,}0412 + 0{,}0079 + 0{,}0007 = 0{,}0498 \)
15. Student má pravděpodobnost správné odpovědi na otázku \(70 \) %. Pokud odpovídá na \(12\) otázek, jaká je pravděpodobnost, že odpoví správně přesně na \(9\) z nich?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 12 \), \( p = 0{,}7 \), \( k = 9 \)
\( P(9) = \frac{12!}{9! \cdot 3!} \cdot (0{,}7)^9 \cdot (0{,}3)^3 = 220 \cdot 0{,}040353607 \cdot 0{,}027 = 0{,}2395 \)
16. Ve výrobním procesu je \(1\) % vadných kusů. Jaká je pravděpodobnost, že v dávce \(50\) kusů budou nejvýše \(2\) vadné?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 50 \), \( p = 0{,}01 \)
Hledáme \( P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) \)
\( P(0) = (0{,}99)^{50} \approx 0{,}605 \)
\( P(1) = 50 \cdot 0{,}01 \cdot (0{,}99)^{49} \approx 50 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}611 \approx 0{,}305 \)
\( P(2) = \frac{50 \cdot 49}{2} \cdot (0{,}01)^2 \cdot (0{,}99)^{48} \approx 1225 \cdot 0{,}0001 \cdot 0{,}617 \approx 0{,}0756 \)
\( \Rightarrow P(X \leq 2) \approx 0{,}605 + 0{,}305 + 0{,}0756 = 0{,}9856 \)
17. V soutěži s úspěšností \(20\) % odpovídá soutěžící na \(6\) otázek. Jaká je pravděpodobnost, že odpoví správně alespoň \(4\)krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 6 \), \( p = 0{,}2 \)
Hledáme \( P(X \geq 4) = P(4) + P(5) + P(6) \)
\( P(4) = 15 \cdot (0{,}2)^4 \cdot (0{,}8)^2 = 15 \cdot 0{,}0016 \cdot 0{,}64 = 0{,}0154 \)
\( P(5) = 6 \cdot (0{,}2)^5 \cdot (0{,}8)^1 = 6 \cdot 0{,}00032 \cdot 0{,}8 = 0{,}0015 \)
\( P(6) = 1 \cdot (0{,}2)^6 = 0{,}000064 \)
\( \Rightarrow P(X \geq 4) \approx 0{,}0154 + 0{,}0015 + 0{,}000064 = 0{,}0170 \)
18. Pokud je pravděpodobnost narození chlapce \(0{,}51\), jaká je pravděpodobnost, že mezi \(10\) dětmi bude právě \(5\) chlapců?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 10 \), \( p = 0{,}51 \), \( k = 5 \)
\( P(5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot (0{,}51)^5 \cdot (0{,}49)^5 = 252 \cdot 0{,}0345 \cdot 0{,}0285 \approx 0{,}2481 \)
19. Střelec má úspěšnost \(75\) %. Pokud vystřelí \(7\)krát, jaká je pravděpodobnost, že zasáhne cíl právě \(6\)krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 7 \), \( p = 0{,}75 \), \( k = 6 \)
\( P(6) = \frac{7!}{6! \cdot 1!} \cdot (0{,}75)^6 \cdot (0{,}25)^1 = 7 \cdot 0{,}178 \cdot 0{,}25 = 0{,}3115 \)
20. V populaci je pravděpodobnost výskytu určitého genu \(3\) %. Jaká je pravděpodobnost, že ve skupině \(30\) lidí se najdou alespoň \(2\) s tímto genem?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 30 \), \( p = 0{,}03 \)
Hledáme \( P(X \geq 2) = 1 – P(0) – P(1) \)
\( P(0) = (0{,}97)^{30} \approx 0{,}401 \)
\( P(1) = 30 \cdot 0{,}03 \cdot (0{,}97)^{29} \approx 0{,}372 \)
\( \Rightarrow P(X \geq 2) = 1 – 0{,}401 – 0{,}372 = 0{,}227 \)
21. V náhodném pokusu házíme čtyřmi různými mincemi. Jaká je pravděpodobnost, že padnou přesně \(3\)x líce?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet pokusů: \( n = 4 \)
Pravděpodobnost úspěchu (padne líc): \( p = 0{,}5 \)
Pravděpodobnost neúspěchu: \( q = 1 – p = 0{,}5 \)
Počet úspěchů: \( k = 3 \)
Využijeme vzorec:
\[
P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]
Dosadíme:
\[
P(X = 3) = \frac{4!}{3! \cdot 1!} \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^1 = \frac{24}{6 \cdot 1} \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4}
\]
Výsledek: \( P(X = 3) = \frac{1}{4} = 0{,}25 \)
22. Automatický systém má \(6\) komponent, z nichž každá funguje s pravděpodobností \(0{,}9\). Jaká je pravděpodobnost, že právě \(5\) z nich bude fungovat správně?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 6 \), \( p = 0{,}9 \), \( q = 0{,}1 \), \( k = 5 \)
\[
P(X = 5) = \frac{6!}{5! \cdot 1!} \cdot (0{,}9)^5 \cdot (0{,}1)^1
\]
\[
= 6 \cdot (0{,}59049) \cdot (0{,}1) = 6 \cdot 0{,}059049 = 0{,}354294
\]
Výsledek: \( P(X = 5) \approx 0{,}354294 \)
23. Studující odpovídá na \(10\) otázek typu ano/ne náhodně. Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví právě na \(7\) z nich?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 10 \), \( p = 0{,}5 \), \( q = 0{,}5 \), \( k = 7 \)
\[
P(X = 7) = \frac{10!}{7! \cdot 3!} \cdot (0{,}5)^7 \cdot (0{,}5)^3 = \frac{3628800}{5040 \cdot 6} \cdot (0{,}5)^{10}
\]
\[
= 120 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024} = \frac{15}{128}
\]
Výsledek: \( P(X = 7) = \frac{15}{128} \approx 0{,}1171875 \)
24. V loterii vybíráme náhodně \(4\) čísla z \(10\). Jaká je pravděpodobnost, že správně uhodneme právě \(2\) čísla, pokud každé číslo je tipováno náhodně a nezávisle?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 4 \), \( p = \frac{1}{10} = 0{,}1 \), \( q = 0{,}9 \), \( k = 2 \)
\[
P(X = 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot (0{,}1)^2 \cdot (0{,}9)^2 = 6 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}81 = 6 \cdot 0{,}0081 = 0{,}0486
\]
Výsledek: \( P(X = 2) = 0{,}0486 \)
25. Stroj má \(8\) součástek. Každá selže s pravděpodobností \(0{,}2\). Jaká je pravděpodobnost, že právě \(2\) součástky selžou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 8 \), \( p = 0{,}2 \), \( q = 0{,}8 \), \( k = 2 \)
\[
P(X = 2) = \frac{8!}{2! \cdot 6!} \cdot (0{,}2)^2 \cdot (0{,}8)^6 = 28 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}262144 = 28 \cdot 0{,}01048576 = 0{,}2936
\]
Výsledek: \( P(X = 2) \approx 0{,}2936 \)
26. Z \(15\) vyrobených výrobků je každý vadný s pravděpodobností \(0{,}05\). Jaká je pravděpodobnost, že právě \(1\) výrobek bude vadný?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 15 \), \( p = 0{,}05 \), \( q = 0{,}95 \), \( k = 1 \)
\[
P(X = 1) = \frac{15!}{1! \cdot 14!} \cdot (0{,}05)^1 \cdot (0{,}95)^{14} = 15 \cdot 0{,}05 \cdot (0{,}487) \approx 15 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}487 = 0{,}36525
\]
Výsledek: \( P(X = 1) \approx 0{,}36525 \)
27. V \(7\) pokusech trefí střelec cíl s pravděpodobností \(0{,}7\). Jaká je pravděpodobnost, že trefí cíl právě \(4\)krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 7 \), \( p = 0{,}7 \), \( q = 0{,}3 \), \( k = 4 \)
\[
P(X = 4) = \frac{7!}{4! \cdot 3!} \cdot (0{,}7)^4 \cdot (0{,}3)^3 = 35 \cdot 0{,}2401 \cdot 0{,}027 = 35 \cdot 0{,}0064827 = 0{,}2269
\]
Výsledek: \( P(X = 4) \approx 0{,}2269 \)
28. V \(12\) pokusech je pravděpodobnost úspěchu \(0{,}4\). Jaká je pravděpodobnost, že uspějeme právě \(6\)krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 12 \), \( p = 0{,}4 \), \( q = 0{,}6 \), \( k = 6 \)
\[
P(X = 6) = \frac{12!}{6! \cdot 6!} \cdot (0{,}4)^6 \cdot (0{,}6)^6 = 924 \cdot 0{,}004096 \cdot 0{,}046656 = 924 \cdot 0{,}000191102 \approx 0{,}1766
\]
Výsledek: \( P(X = 6) \approx 0{,}1766 \)
29. Z \(10\) emailů je pravděpodobnost, že bude spam, rovna \(0{,}3\). Jaká je pravděpodobnost, že právě \(4\) z nich budou spam?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 10 \), \( p = 0{,}3 \), \( q = 0{,}7 \), \( k = 4 \)
\[
P(X = 4) = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \cdot (0{,}3)^4 \cdot (0{,}7)^6 = 210 \cdot 0{,}0081 \cdot 0{,}117649 = 210 \cdot 0{,}000953 = 0{,}2001
\]
Výsledek: \( P(X = 4) \approx 0{,}2001 \)
30. Pacient podstupuje \(5\) různých testů, kde každý selže s pravděpodobností \(0{,}1\). Jaká je pravděpodobnost, že žádný test neselže?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 5 \), \( p = 0{,}9 \), \( q = 0{,}1 \), \( k = 5 \)
\[
P(X = 5) = \frac{5!}{5! \cdot 0!} \cdot (0{,}9)^5 \cdot (0{,}1)^0 = 1 \cdot 0{,}59049 \cdot 1 = 0{,}59049
\]
Výsledek: \( P(X = 5) = 0{,}59049 \)
31. V náhodném pokusu házíme spravedlivou mincí \(7\)krát. Jaká je pravděpodobnost, že padne nejvýše \(2\)krát líc?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Počet pokusů: \( n = 7 \), pravděpodobnost líce: \( p = 0{,}5 \), \( q = 0{,}5 \).
Hledáme: \( P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \)
\[
P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]
\[
P(X = 0) = \frac{7!}{0!7!} \cdot (0{,}5)^0 \cdot (0{,}5)^7 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{128} = \frac{1}{128}
\]
\[
P(X = 1) = \frac{7!}{1!6!} \cdot (0{,}5)^1 \cdot (0{,}5)^6 = 7 \cdot \frac{1}{128} = \frac{7}{128}
\]
\[
P(X = 2) = \frac{7!}{2!5!} \cdot (0{,}5)^2 \cdot (0{,}5)^5 = \frac{42}{1} \cdot \frac{1}{128} = \frac{42}{128}
\]
\[
P(X \leq 2) = \frac{1 + 7 + 42}{128} = \frac{50}{128} = \frac{25}{64}
\]
Výsledek: \( \frac{25}{64} \approx 0{,}390625 \)
32. V krabici je \(70\%\) správných výrobků. Náhodně vybereme \(8\) kusů. Jaká je pravděpodobnost, že právě \(6\) z nich bude správných?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 8 \), \( p = 0{,}7 \), \( q = 0{,}3 \), \( k = 6 \)
\[
P(X = 6) = \frac{8!}{6!2!} \cdot (0{,}7)^6 \cdot (0{,}3)^2
\]
\[
\frac{40320}{720 \cdot 2} = \frac{40320}{1440} = 28
\]
\[
(0{,}7)^6 \approx 0{,}117649, \quad (0{,}3)^2 = 0{,}09
\]
\[
P(X = 6) \approx 28 \cdot 0{,}117649 \cdot 0{,}09 \approx 28 \cdot 0{,}01058841 \approx 0{,}2965
\]
Výsledek: přibližně \( 0{,}2965 \)
33. Výskyt určité chyby ve výrobním procesu je \(5\%\). Náhodně vybereme \(10\) výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že žádný nebude vadný?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 10 \), \( p = 0{,}05 \), \( q = 0{,}95 \), \( k = 0 \)
\[
P(X = 0) = \frac{10!}{0!10!} \cdot (0{,}05)^0 \cdot (0{,}95)^{10} = 1 \cdot 1 \cdot (0{,}95)^{10}
\]
\[
(0{,}95)^{10} \approx 0{,}59874
\]
Výsledek: přibližně \( 0{,}59874 \)
34. Pravděpodobnost, že zákazník koupí produkt, je \(0{,}2\). Kolik zákazníků z \(12\) pravděpodobně nakoupí právě \(3\) produkty?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 12 \), \( p = 0{,}2 \), \( q = 0{,}8 \), \( k = 3 \)
\[
P(X = 3) = \frac{12!}{3!9!} \cdot (0{,}2)^3 \cdot (0{,}8)^9
\]
\[
\frac{479001600}{6 \cdot 362880} = 220
\]
\[
(0{,}2)^3 = 0{,}008, \quad (0{,}8)^9 \approx 0{,}1342
\]
\[
P(X = 3) \approx 220 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}1342 \approx 220 \cdot 0{,}0010736 \approx 0{,}2362
\]
Výsledek: přibližně \( 0{,}2362 \)
35. S pravděpodobností \(0{,}6\) připojí zákazník recenzi. Zeptáme se \(5\) zákazníků. Jaká je pravděpodobnost, že přesně \(4\) ji zanechají?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 5 \), \( p = 0{,}6 \), \( q = 0{,}4 \), \( k = 4 \)
\[
P(X = 4) = \frac{5!}{4!1!} \cdot (0{,}6)^4 \cdot (0{,}4)^1 = 5 \cdot (0{,}1296) \cdot (0{,}4) = 5 \cdot 0{,}05184 = 0{,}2592
\]
Výsledek: \( 0{,}2592 \)
36. Pravděpodobnost výhry v loterii je \(0,01\). Pokud si člověk koupí \(20\) losů, jaká je pravděpodobnost, že vyhraje alespoň jednou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 20 \), \( p = 0{,}01 \), \( q = 0{,}99 \)
\[
P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0)
\]
\[
P(X = 0) = (0{,}99)^{20} \approx 0{,}8179
\Rightarrow P(X \geq 1) = 1 – 0{,}8179 = 0{,}1821
\]
Výsledek: přibližně \( 0{,}1821 \)
37. Student odpovídá náhodně na \(5\) otázek s pravděpodobností správné odpovědi \(0{,}25\). Jaká je pravděpodobnost, že odpoví správně právě dvakrát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 5 \), \( p = 0{,}25 \), \( q = 0{,}75 \), \( k = 2 \)
\[
P(X = 2) = \frac{5!}{2!3!} \cdot (0{,}25)^2 \cdot (0{,}75)^3 = 10 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}421875 = 10 \cdot 0{,}0263671875 = 0{,}2637
\]
Výsledek: přibližně \( 0{,}2637 \)
38. Pravděpodobnost selhání zařízení při jednom zapnutí je \(0{,}02\). Jaká je pravděpodobnost, že při \(15\) zapnutích selže právě jednou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 15 \), \( p = 0{,}02 \), \( q = 0{,}98 \), \( k = 1 \)
\[
P(X = 1) = \frac{15!}{1!14!} \cdot (0{,}02)^1 \cdot (0{,}98)^{14} = 15 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}758 = 0{,}2274
\]
Výsledek: přibližně \( 0{,}2274 \)
39. Ve hře s pravděpodobností výhry \(0{,}1\) hrajeme \(10\)krát. Jaká je pravděpodobnost, že nevyhrajeme ani jednou?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( p = 0{,}1 \), \( q = 0{,}9 \), \( n = 10 \), \( k = 0 \)
\[
P(X = 0) = (0{,}9)^{10} \approx 0{,}3487
\]
Výsledek: přibližně \( 0{,}3487 \)
40. Pravděpodobnost, že zákazník klikne na reklamu, je \(0{,}03\). Jaká je pravděpodobnost, že ze \(30\) zákazníků kliknou právě \(2\)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 30 \), \( p = 0{,}03 \), \( q = 0{,}97 \), \( k = 2 \)
\[
P(X = 2) = \frac{30!}{2!28!} \cdot (0{,}03)^2 \cdot (0{,}97)^{28}
\]
\[
= 435 \cdot 0{,}0009 \cdot (0{,}97)^{28} \approx 435 \cdot 0{,}0009 \cdot 0{,}4218 \approx 0{,}1652
\]
Výsledek: přibližně \( 0{,}1652 \)
41. Hráč strelí gól s pravdepodobnosťou \(0{,}3\). Ak strieľa na bránu \(10\)-krát, aká je pravdepodobnosť, že strelí presne \(5\) gólov?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Máme Bernoulliho schému s \( n = 10 \), \( p = 0{,}3 \), \( q = 0{,}7 \), \( k = 5 \).
\[
P(X = 5) = \frac{10!}{5! \cdot 5!} \cdot (0{,}3)^5 \cdot (0{,}7)^5
\]
\[
= 252 \cdot 0{,}00243 \cdot 0{,}16807 \approx 252 \cdot 0{,}00040881 \approx 0{,}103
\]
Výsledek: \( P(X = 5) \approx 0{,}103 \)
42. Pravdepodobnosť, že žiak správne vyrieši príklad, je \(0{,}75\). Ak rieši \(8\) príkladov, aká je pravdepodobnosť, že správne vyrieši aspoň \(7\) z nich?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 8 \), \( p = 0{,}75 \), \( q = 0{,}25 \)
Požadujeme \( P(X \geq 7) = P(X = 7) + P(X = 8) \)
\[
P(X = 7) = \frac{8!}{7! \cdot 1!} \cdot (0{,}75)^7 \cdot (0{,}25)^1 = 8 \cdot 0{,}1335 \cdot 0{,}25 \approx 0{,}267
\]
\[
P(X = 8) = \frac{8!}{8! \cdot 0!} \cdot (0{,}75)^8 \cdot (0{,}25)^0 = 1 \cdot 0{,}1001 \cdot 1 = 0{,}1001
\]
\[
P(X \geq 7) = 0{,}267 + 0{,}1001 = 0{,}3671
\]
Výsledek: \( P(X \geq 7) \approx 0{,}367 \)
43. Pri hre hádže hráč kockou \(12\)-krát. Aká je pravdepodobnosť, že presne \(4\)-krát hodí číslo väčšie ako \(4\)?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Čísla väčšie ako \(4\) sú \(5\) a \(6\). Pravdepodobnosť úspechu \( p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \), \( q = \frac{2}{3} \), \( n = 12 \), \( k = 4 \).
\[
P(X = 4) = \frac{12!}{4! \cdot 8!} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^8
\]
\[
= 495 \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{256}{6561} = 495 \cdot \frac{256}{531441} \approx 0{,}2383
\]
Výsledek: \( P(X = 4) \approx 0{,}238 \)
44. Pravdepodobnosť, že stroj vyrobí chybný výrobok, je \(0{,}02\). Ak sa vyrobí \(30\) výrobkov, aká je pravdepodobnosť, že budú najviac \(2\) chybné?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 30 \), \( p = 0{,}02 \), \( q = 0{,}98 \)
\[
P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
\]
\[
P(X = 0) = \left(0{,}98\right)^{30} \approx 0{,}545
\]
\[
P(X = 1) = \frac{30!}{1! \cdot 29!} \cdot 0{,}02^1 \cdot 0{,}98^{29} = 30 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}556 \approx 0{,}334
\]
\[
P(X = 2) = \frac{30!}{2! \cdot 28!} \cdot 0{,}02^2 \cdot 0{,}98^{28} = 435 \cdot 0{,}0004 \cdot 0{,}567 \approx 0{,}099
\]
\[
P(X \leq 2) \approx 0{,}545 + 0{,}334 + 0{,}099 = 0{,}978
\]
Výsledek: \( P(X \leq 2) \approx 0{,}978 \)
45. Kvíz obsahuje \(5\) otázok s dvoma možnosťami. Ak tipujeme náhodne, aká je pravdepodobnosť, že budeme mať aspoň \(3\) správne odpovede?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 5 \), \( p = 0{,}5 \), \( q = 0{,}5 \)
\[
P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
\]
\[
P(X = 3) = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \cdot (0{,}5)^3 \cdot (0{,}5)^2 = 10 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{16}
\]
\[
P(X = 4) = \frac{5!}{4! \cdot 1!} \cdot (0{,}5)^4 = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32}
\]
\[
P(X = 5) = (0{,}5)^5 = \frac{1}{32}
\]
\[
P(X \geq 3) = \frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{10 + 5 + 1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}
\]
Výsledek: \( P(X \geq 3) = \frac{1}{2} \)
46. V triede je pravdepodobnosť, že žiak správne vyrieši testovú úlohu, \(0{,}85\). Ak ju rieši \(7\) žiakov, aká je pravdepodobnosť, že práve \(6\) ju vyrieši správne?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 7 \), \( p = 0{,}85 \), \( q = 0{,}15 \), \( k = 6 \)
\[
P(X = 6) = \frac{7!}{6! \cdot 1!} \cdot (0{,}85)^6 \cdot (0{,}15)^1 = 7 \cdot 0{,}377 \cdot 0{,}15 \approx 0{,}396
\]
Výsledek: \( P(X = 6) \approx 0{,}396 \)
47. Aká je pravdepodobnosť, že pri \(10\) pokusoch s pravdepodobnosťou úspechu \(0{,}4\) uspejeme aspoň \(8\)-krát?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 10 \), \( p = 0{,}4 \), \( q = 0{,}6 \)
\[
P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10)
\]
\[
P(X = 8) = \frac{10!}{8! \cdot 2!} \cdot 0{,}4^8 \cdot 0{,}6^2 = 45 \cdot 0{,}000655 \cdot 0{,}36 \approx 0{,}0106
\]
\[
P(X = 9) = 10 \cdot 0{,}000262 \cdot 0{,}6 = 0{,}00157
\]
\[
P(X = 10) = 1 \cdot 0{,}0001 = 0{,}0001
\]
\[
P(X \geq 8) \approx 0{,}0106 + 0{,}00157 + 0{,}0001 \approx 0{,}0123
\]
Výsledek: \( P(X \geq 8) \approx 0{,}0123 \)
48. Ak je pravdepodobnosť zlyhania systému \(0{,}1\) a systém sa skúša \(20\)-krát, aká je pravdepodobnosť, že zlyhá aspoň raz?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
Požadujeme \( P(X \geq 1) = 1 – P(X = 0) \)
\[
P(X = 0) = (0{,}9)^{20} \approx 0{,}1216
\Rightarrow P(X \geq 1) = 1 – 0{,}1216 = 0{,}8784
\]
Výsledek: \( P(X \geq 1) \approx 0{,}878 \)
49. Študent háda odpovede na \(6\) otázok, každá má \(4\) možnosti. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň \(2\) odpovede budú správne?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 6 \), \( p = \frac{1}{4} \), \( q = \frac{3}{4} \)
\[
P(X \geq 2) = 1 – P(X = 0) – P(X = 1)
\]
\[
P(X = 0) = (0{,}75)^6 \approx 0{,}178
\]
\[
P(X = 1) = 6 \cdot 0{,}25 \cdot (0{,}75)^5 \approx 6 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}237 \approx 0{,}356
\]
\[
P(X \geq 2) = 1 – 0{,}178 – 0{,}356 = 0{,}466
\]
Výsledek: \( P(X \geq 2) \approx 0{,}466 \)
50. V experimente je pravdepodobnosť chyby \(0{,}4\). Ak sa uskutoční \(9\) pokusov, aká je pravdepodobnosť, že nastane presne \(7\) chýb?
Zobrazit řešení
Řešení příkladu:
\( n = 9 \), \( p = 0{,}4 \), \( q = 0{,}6 \), \( k = 7 \)
\[
P(X = 7) = \frac{9!}{7! \cdot 2!} \cdot 0{,}4^7 \cdot 0{,}6^2 = 36 \cdot 0{,}00164 \cdot 0{,}36 \approx 36 \cdot 0{,}00059 \approx 0{,}0213
\]
Výsledek: \( P(X = 7) \approx 0{,}0213 \)
Str.:
1 2
