51. Student odpovídá na \(12\) testových otázek, každá má jednu správnou odpověď ze čtyř možností. Jaká je pravděpodobnost, že odpoví správně právě na \(5\) otázek, pokud hádá náhodně?
Řešení příkladu:
Jedná se o Bernoulliho schéma s parametry: \( n = 12 \), \( p = \frac{1}{4} \), \( q = \frac{3}{4} \), \( k = 5 \).
Protože \( (0{,}5)^{20} \) je konstantní, dopočítáme součet všech příslušných koeficientů a vynásobíme touto hodnotou.
\[
P(X \geq 12) \approx 0{,}2517
\]
61. V teste s \(15\) otázkami má študent náhodne tipovať odpovede, pričom každá otázka má jednu správnu odpoveď zo štyroch možností. Aká je pravdepodobnosť, že správne zodpovie presne \(5\) otázok?
Řešení příkladu:
Ide o Bernoulliho schému s parametrami \( n = 15 \), \( p = \frac{1}{4} \), \( q = \frac{3}{4} \), \( k = 5 \).
64. V hre na automat hráč stláča tlačidlo \(7\)-krát, pričom má \(30\) % šancu na výhru pri každom pokuse. Aká je pravdepodobnosť, že vyhrá aspoň \(5\)-krát?
Řešení příkladu:
Parametre: \( n = 7 \), \( p = 0{,}3 \), \( q = 0{,}7 \)
65. V opakovaných pokusoch pri kontrole kvality má výrobok \(95\) % pravdepodobnosť, že je bezchybný. Ak testujeme \(8\) výrobkov, aká je pravdepodobnosť, že práve jeden bude chybný?
Řešení příkladu:
Tu považujeme chybný výrobok za „úspech“ ⇒ \( p = 0{,}05 \), \( q = 0{,}95 \), \( n = 8 \), \( k = 1 \)
67. Zákazník pravdepodobne zareaguje na reklamu s pravdepodobnosťou \(0{,}15\). Ak oslovíme \(20\) zákazníkov, aká je pravdepodobnosť, že presne \(3\) zareagujú?
Řešení příkladu:
\( n = 20 \), \( p = 0{,}15 \), \( q = 0{,}85 \), \( k = 3 \)
Výsledok: \( P = \frac{127}{128} \approx 0{,}9922 \)
71. V hre hádžeme kockou \(8\)-krát. Aká je pravdepodobnosť, že padne číslo \(6\) práve \(2\)-krát?
Riešenie príkladu:
Ide o Bernoulliho schému s počtom pokusov \( n = 8 \), pravdepodobnosťou úspechu (padne \(6\)) \( p = \frac{1}{6} \), a pravdepodobnosťou neúspechu \( q = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \).
78. Z \(15\) opakovaní testu má program prejsť najmenej \(13\)-krát. Pravdepodobnosť úspechu je \(0{,}85\). Aká je pravdepodobnosť, že uspeje práve \(13\)-krát?
Riešenie príkladu:
\( n = 15 \), \( p = 0{,}85 \), \( q = 0{,}15 \), \( k = 13 \).
Počet pokusov \( n = 20 \), \( p = 0{,}3 \), \( q = 0{,}7 \).
Výpočet každého člena pomocou Bernoulliho vzorca je zdĺhavý, takže použijeme vhodný softvér alebo tabuľku. Výsledok je:
\[
P(X > 15) \approx 0{,}000047
\]
Výsledok: \( P(X > 15) \approx 0{,}000047 \)
81. V továrně je pravděpodobnost, že výrobek bude vadný, rovna \( p = 0{,}02 \). Z výroby je náhodně vybráno \( 10 \) výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že právě \( 2 \) výrobky budou vadné?
Řešení příkladu:
Jedná se o Bernoulliho schéma s počtem pokusů \( n = 10 \), pravděpodobností úspěchu (vadný výrobek) \( p = 0{,}02 \) a pravděpodobností neúspěchu \( q = 1 – p = 0{,}98 \).
Počet požadovaných úspěchů: \( k = 2 \).
Vzorec pro pravděpodobnost přesně \( k \) úspěchů v Bernoulliho schématu:
Výsledek: Pravděpodobnost, že vyhrajeme alespoň \( 3 \) hry, je přibližně \( 0{,}448 \).
83. Uvažujme náhodný pokus, kde pravděpodobnost úspěchu je \( p = 0{,}75 \). Jaká je pravděpodobnost, že z \( 5 \) pokusů bude úspěch nejvýše \( 3 \)krát?
Řešení příkladu:
Počet pokusů \( n = 5 \), pravděpodobnost úspěchu \( p = 0{,}75 \), pravděpodobnost neúspěchu \( q = 0{,}25 \).
Výsledek: pravděpodobnost, že padnou alespoň \(3\) šestky, je přibližně \( 0{,}323 \).
85. Pracovník v továrně má pravděpodobnost \(0,1\), že při výrobě udělá chybu. Kolik chyb očekáváme, že udělá za 50 výrobků? Jaká je pravděpodobnost, že udělá přesně \(7\) chyb?
Řešení příkladu:
Počet pokusů \( n = 50 \), pravděpodobnost úspěchu (chyby) \( p = 0{,}1 \), pravděpodobnost neúspěchu \( q = 0{,}9 \).
Střední hodnota (očekávaný počet chyb) je \( E(X) = n \cdot p = 50 \cdot 0{,}1 = 5 \).
Výsledek: Očekáváme \(5\) chyb, pravděpodobnost přesně \(7\) chyb je přibližně \( 0{,}24 \).
86. V testu s \(12\) otázkami, kde každá otázka má \(4\) možné odpovědi a jen jedna je správná, student náhodně tipuje odpovědi. Jaká je pravděpodobnost, že odpoví správně na právě \(5\) otázek?
Řešení příkladu:
Jde o Bernoulliho schéma s počtem pokusů \( n = 12 \), pravděpodobností úspěchu (správná odpověď) \( p = \frac{1}{4} = 0{,}25 \) a pravděpodobností neúspěchu \( q = 1 – p = 0{,}75 \).
Počet požadovaných úspěchů: \( k = 5 \).
Vzorec pro pravděpodobnost úspěchu ve Bernoulliho schématu je
Výsledek: Pravděpodobnost, že student odpoví správně na právě \(5\) otázek, je přibližně \(0{,}1033\) neboli \(10{,}33 \%\).
87. V házení kostkou s \(6\) stranami házíme \(15\)krát. Jaká je pravděpodobnost, že padne právě \(7\)krát číslo \(3\)?
Řešení příkladu:
Jedná se o Bernoulliho schéma s počtem pokusů \( n = 15 \), pravděpodobností úspěchu (padnutí čísla \(3\)) \( p = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667 \), a pravděpodobností neúspěchu \( q = 1 – p = \frac{5}{6} \approx 0{,}8333 \).
Výsledek: Pravděpodobnost, že číslo \(3\) padne právě \(7\)krát, je přibližně \(0{,}00535\) neboli \(0{,}535 \%\).
88. Při výrobě součástek je pravděpodobnost, že součástka je vadná, \( p = 0{,}02 \). V sérii \(100\) součástek zjistěte pravděpodobnost, že bude právě \(3\) vadné.
Řešení příkladu:
Bernoulliho schéma s \( n = 100 \), \( p = 0{,}02 \), \( q = 0{,}98 \), a \( k = 3 \).
Výsledek: Pravděpodobnost, že v sérii bude právě \(3\) vadné součástky, je přibližně \(0{,}182\) neboli \(18{,}2 \%\).
89. V soutěži, kde je pravděpodobnost výhry v jednom kole \( p = 0{,}3 \), se soutěžící účastní \(8\) kol. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje nejméně \(5\) kol?
Řešení příkladu:
Bernoulliho schéma: \( n = 8 \), \( p = 0{,}3 \), \( q = 0{,}7 \).
Výsledek: Pravděpodobnost, že padne sudý počet líců, je přesně \(0,5\) neboli \(50\) %.
91. V házení nerovnou kostkou se šesti stěnami je pravděpodobnost úspěchu (padne číslo větší než \(4\)) \( p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \). Kostku házíme \(9\)-krát. Jaká je pravděpodobnost, že padne právě \(5\)-krát číslo větší než \(4\)?
Řešení příkladu:
Jedná se o Bernoulliho schéma s počtem pokusů \( n = 9 \), pravděpodobností úspěchu \( p = \frac{1}{3} \) a neúspěchu \( q = 1 – p = \frac{2}{3} \).
Počet požadovaných úspěchů: \( k = 5 \).
Vzorec pro pravděpodobnost v Bernoulliho schématu je:
Výsledek: Pravděpodobnost, že padne právě 5krát číslo větší než \(4\), je přibližně \(0,1024\).
92. V testu, kde je pravděpodobnost správné odpovědi náhodou \( p = 0{,}7 \), odpovídá student na \(12\) otázek. Jaká je pravděpodobnost, že správně odpoví na alespoň \(10\) otázek?
Řešení příkladu:
Bernoulliho schéma s \( n = 12 \), pravděpodobnost úspěchu \( p = 0{,}7 \), neúspěchu \( q = 0{,}3 \).
Požadujeme pravděpodobnost, že student správně odpoví alespoň 10 otázek, tj. \( P(X \geq 10) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12) \).
Vzorec pro pravděpodobnost přesně \( k \) úspěchů:
Výsledek: Pravděpodobnost, že student správně odpoví alespoň \(10\) otázek, je přibližně \(0,252\).
93. V hře je pravděpodobnost trefení cíle při jednom pokusu \( p = 0{,}4 \). Hráč má \(15\) pokusů. Jaká je pravděpodobnost, že netrefí cíl více než \(7\)-krát?
Řešení příkladu:
Bernoulliho schéma s \( n = 15 \), \( p = 0{,}4 \), \( q = 0{,}6 \).
Požadujeme pravděpodobnost, že hráč trefí cíl nejvýše 7krát, tedy \( P(X \leq 7) = \sum_{k=0}^{7} P(X=k) \).
Pro přesný výpočet je vhodné použít statistický software nebo kalkulačku. Celková pravděpodobnost \( P(X \leq 7) \) je součet těchto jednotlivých pravděpodobností.
94. Pravděpodobnost, že zákazník uspěje při nákupu na internetu (objednávka dorazí včas a bez závad) je \( p = 0{,}85 \). Zákazník provede \(20\) nezávislých objednávek. Jaká je pravděpodobnost, že maximálně \(2\) objednávky nebudou v pořádku?
Řešení příkladu:
Pravděpodobnost úspěchu \( p = 0{,}85 \), pravděpodobnost neúspěchu \( q = 0{,}15 \), počet pokusů \( n = 20 \).
Chceme pravděpodobnost, že maximálně \(2\) objednávky budou neúspěšné, což znamená, že úspěchů bude alespoň \(18\), tedy:
Výsledek: Pravděpodobnost, že student neuspěje přesně \(3\)-krát, je přibližně \(0,215\).
96. V továrně je výrobní proces, kde je pravděpodobnost, že vyrobený výrobek je bez vady, rovna \( p = 0{,}9 \). Vzorkujeme \(10\) výrobků. Jaká je pravděpodobnost, že přesně \(8\) výrobků bude bez vady?
Řešení příkladu:
Máme Bernoulliho schéma s počtem pokusů \( n = 10 \), pravděpodobností úspěchu (bez vady) \( p = 0{,}9 \) a neúspěchu \( q = 1 – p = 0{,}1 \).
Počet požadovaných úspěchů je \( k = 8 \).
Vzorec pro pravděpodobnost Bernoulliho schématu je:
Výsledek: pravděpodobnost, že přesně \(8\) výrobků je bez vady, je přibližně \( 0{,}194 \).
97. V testu s pravděpodobností úspěchu na jednotlivý pokus \( p = 0{,}3 \) provádíme \(12\) pokusů. Jaká je pravděpodobnost, že úspěch nastane nejvýše \(3\)-krát?
Řešení příkladu:
Počet pokusů: \( n = 12 \), pravděpodobnost úspěchu \( p = 0{,}3 \), neúspěchu \( q = 0{,}7 \).
Požadujeme pravděpodobnost, že počet úspěchů \( X \) je nejvýše 3, tedy \( P(X \leq 3) \).
To znamená součet pravděpodobností pro \( k = 0, 1, 2, 3 \):
Výsledek: pravděpodobnost, že úspěch nastane nejvýše \(3\)-krát, je přibližně \( 0{,}492 \).
98. Při kontrole kvality z \(15\) výrobků je pravděpodobnost, že výrobek je vadný, \( 0{,}05 \). Jaká je pravděpodobnost, že vadných výrobků bude maximálně \(1\)?
Řešení příkladu:
Počet pokusů: \( n = 15 \), pravděpodobnost úspěchu (vadný výrobek) \( p = 0{,}05 \), neúspěchu \( q = 0{,}95 \).
Požadujeme pravděpodobnost, že počet vadných výrobků \( X \leq 1 \), tedy
Pravděpodobnost, že vyhraje alespoň \(5\) her, je:
\[
P(X \geq 5) = 1 – 0{,}8274 = 0{,}1726
\]
Výsledek: pravděpodobnost alespoň \(5\) výher je přibližně \( 0{,}173 \).
100. V soutěži je pravděpodobnost úspěchu v jednotlivém kole \( p = 0{,}2 \). Soutěžící projde \(20\) kol. Jaká je pravděpodobnost, že uspěje v přesně \(6\) kolech?
Řešení příkladu:
Parametry Bernoulliho schématu: \( n = 20 \), \( p = 0{,}2 \), \( q = 0{,}8 \).
