Čebyševova nerovnost

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká, že pro libovolnou náhodnou veličinu \(X\) se střední hodnotou \(\mu = \mathbb{E}[X]\) a rozptylem \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)\) platí pro každé \(k > 0\):

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

V našem případě je \(\mu = 10\), \(\sigma^2 = 4\) a \(k = 3\). Dosadíme:

\( P(|X – 10| \geq 3) \leq \frac{4}{3^2} = \frac{4}{9} \approx 0{,}4444 \)

Tedy pravděpodobnost, že \(X\) se odchýlí o více než 3 od střední hodnoty, je nejvýše přibližně \(44,44\) %.

Řešení příkladu:

Udalost, že \(Y < 2\) nebo \(Y > 8\), odpovídá nerovnosti \(|Y – 5| \geq 3\). Čebyševova nerovnost tedy platí s \(k = 3\), \(\mu = 5\), \(\sigma^2 = 1\):

\( P(|Y – 5| \geq 3) \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}1111 \)

Maximální pravděpodobnost, že \(Y\) je mimo interval \([2,8]\), je tedy \(11,11\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|Z – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\mu = 0\), \(\sigma^2 = 16\), \(k = 10\):

\( P(|Z| \geq 10) \leq \frac{16}{100} = 0{,}16 \)

Maximální pravděpodobnost, že \(Z\) bude mít absolutní hodnotu alespoň \(10\), je tedy \(16\) %.

Řešení příkladu:

Interval \([90, 110]\) znamená odchylku od střední hodnoty o \(k = 10\). Podle Čebyševovy nerovnosti:

\( P(|W – 100| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = \frac{25}{100} = 0{,}25 \)

Tedy pravděpodobnost, že \(W\) leží mimo interval \([90, 110]\), je maximálně \(25\) %.

Řešení příkladu:

Udalost, že \(X > 4\) nebo \(X < -4\), odpovídá \(|X| \geq 4\). Podle Čebyševovy nerovnosti s \(\mu=0\), \(\sigma^2=1\), \(k=4\):

\( P(|X| \geq 4) \leq \frac{1}{16} = 0{,}0625 \)

Pravděpodobnost je tedy maximálně \(6,25\) %.

Řešení příkladu:

Dosadíme \(\mu=50\), \(\sigma^2=100\), \(k=20\):

\( P(|Y – 50| \geq 20) \leq \frac{100}{400} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že \(Y\) je více než \(20\) jednotek od střední hodnoty, je maximálně \(25\) %.

Řešení příkladu:

Interval mimo \([-1,5]\) odpovídá odchylce \(\geq 3\) od střední hodnoty (protože \(2-(-1)=3\) a \(5-2=3\)). Čebyševova nerovnost s \(\mu=2\), \(\sigma^2=9\), \(k=3\):

\( P(|Z – 2| \geq 3) \leq \frac{9}{9} = 1 \)

Horní odhad je \(1\), tedy \(100\) %. Tento odhad je triviální a nerovnost zde není informativní.

Řešení příkladu:

Udalost \(W > 1\) nebo \(W < -1\) odpovídá \(|W| \geq 1\). Čebyševova nerovnost s \(\mu=0\), \(\sigma^2=0{,}25\), \(k=1\):

\( P(|W| \geq 1) \leq \frac{0{,}25}{1} = 0{,}25 \)

Maximální pravděpodobnost je \(25\) %.

Řešení příkladu:

Interval \([4, 10]\) odpovídá odchylce \(k = 3\) od střední hodnoty \(7\). Podle Čebyševovy nerovnosti:

\( P(|X – 7| \geq 3) \leq \frac{9}{9} = 1 \)

Odhad je \(1\), tedy maximálně \(100\) %, což není informačně přínosné.

Řešení příkladu:

Udalost \(Y > 0{,}5\) nebo \(Y < -0{,}5\) odpovídá \(|Y| \geq 0{,}5\). Čebyševova nerovnost:

\( P(|Y| \geq 0{,}5) \leq \frac{0{,}09}{0{,}5^2} = \frac{0{,}09}{0{,}25} = 0{,}36 \)

Maximální pravděpodobnost je tedy \(36\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká, že pro každé \(k > 0\) platí:

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme hodnoty: \(\mu = 20\), \(\sigma^2 = 25\), \(k = 10\).

\( P(|X – 20| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = \frac{25}{100} = 0{,}25 \)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(X\) se odchýlí od střední hodnoty o více než \(10\), je nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Pro \(k=1{,}5\):

\( P(|Y – 5| \geq 1{,}5) \leq \frac{1}{(1{,}5)^2} = \frac{1}{2{,}25} \approx 0{,}4444 \)

Pro \(k=2\):

\( P(|Y – 5| \geq 2) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \)

Čím větší \(k\), tím menší horní odhad pravděpodobnosti podle Čebyševovy nerovnosti.

Řešení příkladu:

Podmínka je \( |Z – 0| \geq 5 \), tedy \(k=5\).

Čebyševova nerovnost dává:

\( P(|Z| \geq 5) \leq \frac{9}{5^2} = \frac{9}{25} = 0{,}36 \)

Tedy pravděpodobnost, že \(Z\) je vzdálen od střední hodnoty alespoň \(5\), je nejvýše \(36\) %.

Řešení příkladu:

Rozptyl je \(\sigma^2 = 400\).

Pro \(k=50\):

\( P(|W – 100| \geq 50) \leq \frac{400}{50^2} = \frac{400}{2500} = 0{,}16 \)

Pravděpodobnost odchylky větší než \(50\) je nejvýše \(16\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|V – 0| \geq 8) \leq \frac{16}{8^2} = \frac{16}{64} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že \(V\) bude vzdálen od střední hodnoty o více než \(8\), je tedy nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Odchylka od střední hodnoty je \(k = 20\) (protože \(30\) a \(70\) jsou vzdáleny o \(20\) od \(50\)).

Čebyševova nerovnost dává:

\( P(|X – 50| \geq 20) \leq \frac{100}{20^2} = \frac{100}{400} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude mimo interval \([30, 70]\), je nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\( P(|Y – 0| \geq 14) \leq \frac{49}{14^2} = \frac{49}{196} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost odchylky o více než \(14\) je tedy nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Polovina délky intervalu je \(k = 6\).

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|Z – 30| \geq 6) \leq \frac{36}{6^2} = \frac{36}{36} = 1 \)

Horní odhad je tedy \(1\), což je trivialní (pravděpodobnost nemůže být větší než \(1\)).

Tento příklad ukazuje, že Čebyševova nerovnost nemusí být vždy užitečná, pokud je \(k\) příliš malé vzhledem k rozptylu.

Řešení příkladu:

Odchylka od střední hodnoty je \(k = 10\).

Čebyševova nerovnost dává:

\( P(|W – 15| \geq 10) \leq \frac{9}{10^2} = \frac{9}{100} = 0{,}09 \)

Maximální pravděpodobnost, že \(W\) leží mimo interval \([5, 25]\), je \(9\) %.

Řešení příkladu:

Dosadíme do Čebyševovy nerovnosti:

\( P(|V – 0| \geq 3) \leq \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}1111 \)

Pravděpodobnost odchylky větší než \(3\) je tedy nejvýše přibližně \(11,11\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost uvádí, že pro libovolné \(k > 0\) platí:

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\mu = 50\), \(\sigma^2 = 25\) a \(k = 10\):

\( P(|X – 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = \frac{25}{100} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že \(X\) se odchýlí od střední hodnoty o více než \(10\), je tedy nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost pro \(k = 5\) říká:

\( P(|X – 0| \geq 5) \leq \frac{9}{5^2} = \frac{9}{25} = 0{,}36 \)

Proto pravděpodobnost, že \(X\) leží mimo interval \([-5, 5]\), je maximálně \(36\) %.

Řešení příkladu:

Rozdíl od střední hodnoty je \(k = 10\), rozptyl je \(\sigma^2 = 16\).

\( P(|X – 100| \geq 10) \leq \frac{16}{10^2} = \frac{16}{100} = 0{,}16 \)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude mimo interval \([90, 110]\), je tedy nejvýše \(16\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost:

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\mu = 5\), \(\sigma^2 = 1\), \(k = 2\):

\( P(|X – 5| \geq 2) \leq \frac{1}{4} = 0{,}25 \)

Maximální pravděpodobnost odchylky větší než \(2\) je \(25\) %.

Řešení příkladu:

Pro \(k = 0{,}3\), \(\sigma^2 = 0{,}25\) platí:

\( P(|X – 0| \geq 0{,}3) \leq \frac{0{,}25}{0{,}3^2} = \frac{0{,}25}{0{,}09} \approx 2{,}777…\)

Protože pravděpodobnost nemůže přesáhnout \(1\), opravíme odhad:

\( P(|X| \geq 0{,}3) \leq 1 \)

Tento odhad je tedy nevhodný pro tak malou hodnotu \(k\), Čebyševova nerovnost neříká nic užitečného v tomto případě.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost:

\( P(|X – 20| \geq 14) \leq \frac{49}{14^2} = \frac{49}{196} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost odchylky větší než \(14\) je nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Interval kolem střední hodnoty je \([3, 27]\), což znamená odchylku \(k = 12\).

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|X – 15| \geq 12) \leq \frac{9}{12^2} = \frac{9}{144} = 0{,}0625 \)

Maximální pravděpodobnost, že \(X\) bude mimo interval \([3, 27]\), je tedy \(6,25\) %.

Řešení příkladu:

Interval \([4, 12]\) odpovídá odchylce \(k = 4\) od střední hodnoty \(8\).

Čebyševova nerovnost:

\( P(|X – 8| \geq 4) \leq \frac{16}{4^2} = \frac{16}{16} = 1 \)

Odhad pravděpodobnosti je tedy \(1\), což znamená, že nerovnost není v tomto případě informativní (maximální pravděpodobnost je \(100\) %).

Řešení příkladu:

Odchylka od střední hodnoty je \(k = 20\).

Čebyševova nerovnost:

\( P(|X – 30| \geq 20) \leq \frac{100}{20^2} = \frac{100}{400} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že \(X\) bude mimo interval \([10, 50]\), je nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost pro \(k = 4\) říká:

\( P(|X – 0| \geq 4) \leq \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} = 0{,}0625 \)

Maximální pravděpodobnost, že \(X\) se odchýlí o více než \(4\) jednotky, je \(6,25\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost říká, že pro každé \(k > 0\) platí:

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

V našem případě \(\mu = 50\), \(\sigma^2 = 25\), \(k = 10\). Dosadíme:

\( P(|X – 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = \frac{25}{100} = 0{,}25 \)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(X\) se odchýlí o více než \(10\) od střední hodnoty, je nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost uvádí:

\( P(|Y – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\mu = 100\), \(\sigma^2 = 81\), \(k = 15\):

\( P(|Y – 100| \geq 15) \leq \frac{81}{15^2} = \frac{81}{225} = 0{,}36 \)

Pravděpodobnost, že hodnota \(Y\) se odchýlí o více než \(15\) od střední hodnoty, je nejvýše \(36\) %.

Řešení příkladu:

Pro \(k = 5\), \(\mu = 0\), \(\sigma^2 = 16\) platí Čebyševova nerovnost:

\( P(|Z – 0| \geq 5) \leq \frac{16}{5^2} = \frac{16}{25} = 0{,}64 \)

Tedy pravděpodobnost, že hodnota \(Z\) bude vzdálená od střední hodnoty o více než \(5\), je nejvýše \(64\) %.

Řešení příkladu:

Interval mezi \(15\) a \(25\) znamená odchylku od střední hodnoty maximálně \(5\), tedy \(k = 5\).

Čebyševova nerovnost nám dává horní odhad pravděpodobnosti odchylky větší než \(k\):

\( P(|W – 20| \geq 5) \leq \frac{9}{5^2} = \frac{9}{25} = 0{,}36 \)

Pravděpodobnost, že \(W\) bude mimo interval \([15, 25]\), je tedy nejvýše \(36\) %.

Pravděpodobnost, že \(W\) bude uvnitř tohoto intervalu, je proto:

\( P(15 \leq W \leq 25) = 1 – P(|W – 20| \geq 5) \geq 1 – 0{,}36 = 0{,}64 \)

Tedy alespoň \(64\) %.

Řešení příkladu:

Interval \([3, 7]\) odpovídá maximální odchylce od střední hodnoty \(k = 2\).

Čebyševova nerovnost říká:

\( P(|V – 5| \geq 2) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že \(V\) bude mimo daný interval, je tedy nejvýše \(25\) %.

Řešení příkladu:

Dosadíme do vzorce \(k = 20\), \(\mu = 0\), \(\sigma^2 = 100\):

\( P(|U – 0| \geq 20) \leq \frac{100}{20^2} = \frac{100}{400} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že \(U\) bude více než \(20\) vzdálen od střední hodnoty, je tedy maximálně \(0{,}25\).

Řešení příkladu:

Interval \(\langle 2, 14 \rangle\) odpovídá maximální odchylce \(k = 6\).

Čebyševova nerovnost dává horní odhad:

\( P(|T – 8| \geq 6) \leq \frac{36}{6^2} = \frac{36}{36} = 1 \)

Tento odhad je \(1\), což znamená, že nerovnost nám nedává konkrétní užitečnou informaci v tomto případě, protože pravděpodobnost nemůže být větší než \(1\).

Tedy nerovnost říká pouze, že pravděpodobnost je nejvýše \(1\).

Řešení příkladu:

Dosadíme \(\mu = 3\), \(\sigma^2 = 0{,}09\), \(k = 0{,}2\):

\( P(|S – 3| \geq 0{,}2) \leq \frac{0{,}09}{0{,}2^2} = \frac{0{,}09}{0{,}04} = 2{,}25 \)

Výsledek je větší než \(1\), což není možná pravděpodobnost, proto platí:

\( P(|S – 3| \geq 0{,}2) \leq 1 \)

Čebyševova nerovnost tedy v tomto případě neposkytuje užitečný odhad.

Řešení příkladu:

Interval \(\langle 5, 25 \rangle\) odpovídá maximální odchylce \(k = 10\).

Čebyševova nerovnost dává odhad:

\( P(|R – 15| \geq 10) \leq \frac{49}{10^2} = \frac{49}{100} = 0{,}49 \)

Pravděpodobnost, že hodnota \(R\) bude mimo interval \(\langle 5, 25 \rangle\), je tedy nejvýše \(0{,}49\).

Řešení příkladu:

Dosadíme hodnoty \(k = 4\), \(\mu = 7\), \(\sigma^2 = 16\) do Čebyševovy nerovnosti:

\( P(|Q – 7| \geq 4) \leq \frac{16}{4^2} = \frac{16}{16} = 1 \)

Pravděpodobnost, že hodnota \(Q\) bude vzdálena od střední hodnoty více než \(4\) jednotky, je tedy maximálně \(1\), což znamená, že nerovnost nám v tomto případě neposkytuje užitečný odhad.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost je obecná nerovnost, která poskytuje horní odhad pravděpodobnosti, že náhodná veličina se odchýlí od své střední hodnoty o danou vzdálenost. Pro náhodnou veličinu \(X\) se střední hodnotou \(\mu = \mathbb{E}[X]\) a rozptylem \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)\) platí pro každé \(k > 0\):

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

V našem příkladu máme \(\mu = 50\), \(\sigma^2 = 25\), a chceme spočítat odhad pro \(k = 10\). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( P(|X – 50| \geq 10) \leq \frac{25}{10^2} = \frac{25}{100} = 0{,}25 \)

Interpretace výsledku je taková, že pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny \(X\) se odchýlí o více než \(10\) od její střední hodnoty 50, je nejvýše \(25\) %.

Čebyševova nerovnost je velmi obecná a nevyžaduje znalost konkrétního rozdělení, proto často dává pouze konzervativní (velký) odhad, ale je platná vždy. Pokud by například \(X\) měla normální rozdělení, reálná pravděpodobnost by byla menší, ale my nemáme tyto informace k dispozici.

Řešení příkladu:

Nejprve si připomeňme Čebyševovu nerovnost, která pro náhodnou veličinu \(Y\) se střední hodnotou \(\mu = \mathbb{E}[Y]\) a rozptylem \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(Y)\) platí pro libovolné \(k > 0\):

\( P(|Y – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

V našem případě je \(\mu = 0\), \(\sigma^2 = 16\) a \(k = 6\). Dosadíme do vzorce:

\( P(|Y – 0| \geq 6) \leq \frac{16}{6^2} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0{,}4444 \)

Tedy pravděpodobnost, že náhodná veličina \(Y\) nabude hodnoty s absolutní hodnotou větší nebo rovnou 6, je nejvýše přibližně \(44,44\) %.

Čebyševova nerovnost tak poskytuje rozumný horní odhad, přestože nemáme detailní informace o rozdělení \(Y\). Pokud bychom znali přesnější charakteristiky, mohli bychom odhad zlepšit, ale tato nerovnost je velmi univerzální a lze ji použít vždy.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost pro náhodnou veličinu \(Z\) se střední hodnotou \(\mu = 100\) a rozptylem \(\sigma^2 = 400\) říká:

\( P(|Z – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(k = 20\):

\( P(|Z – 100| \geq 20) \leq \frac{400}{20^2} = \frac{400}{400} = 1 \)

Získali jsme odhad 1, což znamená, že nerovnost nám nezaručuje nic konkrétního, protože pravděpodobnost nemůže být větší než \(1\). Toto nastává, pokud zvolené \(k\) je příliš malé ve vztahu k rozptylu, nebo rozptyl je velký.

Tento výsledek tedy říká, že nemáme žádný smysluplný horní odhad na pravděpodobnost této odchylky pomocí Čebyševovy nerovnosti v tomto konkrétním případě.

Pro získání lepšího odhadu by bylo vhodné použít jiné metody nebo informace o rozdělení veličiny \(Z\).

Řešení příkladu:

Úlohu můžeme vyjádřit jako odhad pravděpodobnosti, že hodnota náhodné veličiny \(W\) se odchýlí od střední hodnoty o více než 7 jednotek, protože 37 – 30 = 7 a 30 – 23 = 7.

Podle Čebyševovy nerovnosti platí pro každé \(k > 0\):

\( P(|W – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Zde je \(\mu = 30\), \(\sigma^2 = 9\), \(k = 7\). Dosadíme:

\( P(|W – 30| \geq 7) \leq \frac{9}{7^2} = \frac{9}{49} \approx 0{,}1837 \)

Pravděpodobnost, že hodnota \(W\) bude mimo interval \((23, 37)\), je tedy nejvýše přibližně \(18,37\) %.

Tento odhad zahrnuje pravděpodobnost, že \(W\) bude buď menší nebo rovno \(23\), nebo větší nebo rovno \(37.\) Nerovnost je symetrická a netvrdí nic o rozložení pravděpodobnosti uvnitř intervalu, ale poskytuje užitečný konzervativní horní odhad.

Řešení příkladu:

Podle Čebyševovy nerovnosti pro náhodnou veličinu \(V\) platí:

\( P(|V – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Zde máme \(\mu = 0\), \(\sigma^2 = 1\) a \(k = 2\). Dosadíme do nerovnosti:

\( P(|V – 0| \geq 2) \leq \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny \(V\) se vzdálí od střední hodnoty o \(2\) a více, tedy že \(V \leq -2\) nebo \(V \geq 2\), je nejvýše \(25\) %.

Čebyševova nerovnost tak poskytuje konzervativní, ale vždy platný horní odhad. Ve skutečnosti by pravděpodobnost mohla být nižší, zejména pokud je rozdělení symetrické a koncentrované kolem nuly.

Řešení příkladu:

Interval \(( -1, 11 )\) je symetricky vzdálen od střední hodnoty 5 o vzdálenost 6, protože \(5 – (-1) = 6\) a \(11 – 5 = 6\).

Čebyševova nerovnost nám dává horní odhad pravděpodobnosti, že hodnota \(U\) bude vzdálená od střední hodnoty o více než \(k\):

\( P(|U – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\mu = 5\), \(\sigma^2 = 36\), \(k = 6\):

\( P(|U – 5| \geq 6) \leq \frac{36}{6^2} = \frac{36}{36} = 1 \)

Tento výsledek znamená, že horní odhad je \(1\), tedy že pravděpodobnost může být až \(100\) %, což není informativní. Čebyševova nerovnost v tomto případě nenabízí smysluplný odhad.

Výsledek je způsoben tím, že rozptyl je relativně velký vůči zvolenému intervalu, a proto nerovnost nedává užitečný odhad. K přesnějšímu určení by bylo třeba více informací o rozdělení náhodné veličiny \(U\).

Řešení příkladu:

Interval \((10, 20)\) je symetrický vůči střední hodnotě \(15\), protože vzdálenost od středu k oběma krajům je 5.

Čebyševova nerovnost udává, že:

\( P(|T – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\mu = 15\), \(\sigma^2 = 9\), \(k = 5\):

\( P(|T – 15| \geq 5) \leq \frac{9}{5^2} = \frac{9}{25} = 0{,}36 \)

Pravděpodobnost, že hodnota \(T\) bude mimo interval \((10, 20)\), je tedy nejvýše \(36\) %.

Čebyševova nerovnost je v tomto případě užitečná pro rychlý odhad pravděpodobnosti odchýlení náhodné veličiny od její střední hodnoty o danou hodnotu bez znalosti rozdělení.

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost uvádí:

\( P(|S – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \)

Dosadíme \(\mu = 8\), \(\sigma^2 = 49\), \(k = 14\):

\( P(|S – 8| \geq 14) \leq \frac{49}{14^2} = \frac{49}{196} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \)

Pravděpodobnost, že náhodná veličina \(S\) se odchýlí o \(14\) a více od své střední hodnoty, je nejvýše \(25\) %.

To poskytuje konzervativní odhad, který lze použít i bez znalosti konkrétního rozdělení \(S\).

Řešení příkladu:

Čebyševova nerovnost je obecná nerovnost, která platí pro libovolnou náhodnou veličinu \(X\) se střední hodnotou \(\mu = \mathbb{E}[X]\) a rozptylem \(\sigma^2 = \mathrm{Var}(X)\). Vyjadřuje horní odhad pravděpodobnosti, že se hodnota \(X\) odchýlí od \(\mu\) o alespoň \(k > 0\):

\( P(|X – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \).

V tomto příkladu máme \(\mu = 15\), \(\sigma^2 = 9\), a odchylku \(k = 5\). Dosadíme tyto hodnoty do vzorce:

\( P(|X – 15| \geq 5) \leq \frac{9}{5^2} = \frac{9}{25} = 0{,}36 \).

Tato nerovnost tedy říká, že pravděpodobnost, že hodnota náhodné veličiny \(X\) bude vzdálena od střední hodnoty \(15\) nejméně o \(5\) jednotek, je nejvýše \(36\) %.

Je důležité zdůraznit, že Čebyševova nerovnost poskytuje pouze horní hranici pravděpodobnosti a skutečná pravděpodobnost může být menší.

Řešení příkladu:

Chceme odhadnout pravděpodobnost události \(|Y| > 6\), tedy že se hodnota náhodné veličiny \(Y\) odchýlí od střední hodnoty \(\mu = 0\) o více než \(6\).

Podle Čebyševovy nerovnosti platí:

\( P(|Y – \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2} \), kde zde \(\mu=0\), \(\sigma^2 = 16\) a \(k=6\).

Dosadíme hodnoty:

\( P(|Y| \geq 6) \leq \frac{16}{6^2} = \frac{16}{36} = \frac{4}{9} \approx 0{,}4444 \).

Z toho plyne, že pravděpodobnost, že náhodná veličina \(Y\) nabude hodnoty s absolutní hodnotou větší než \(6\), je nejvýše přibližně \(44,44\) %.

Čebyševova nerovnost v tomto případě pomáhá odhadnout rozložení hodnot \(Y\) bez znalosti přesného rozdělení, pouze na základě rozptylu.