1. Určete všechna reálná i komplexní řešení rovnice \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \). Pokusme se najít racionální kořeny pomocí Racionální kořenové věty. Možní kandidáti: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Vyzkoušíme hodnotu \( x = 1 \):
\( 1^3 – 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 – 6 = 1 – 6 + 11 – 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Vydělíme tedy rovnici výrazem \( x – 1 \):
\( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = (x – 1)(x^2 – 5x + 6) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} \)
\( x = 3 \), \( x = 2 \)
Výsledné řešení: \( x = 1 \), \( x = 2 \), \( x = 3 \)
2. Najděte všechna řešení rovnice \( 2x^3 + x^2 – 18x + 9 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( 2x^3 + x^2 – 18x + 9 = 0 \).
Nejprve vyzkoušíme Racionální kořenovou větu. Možní kandidáti jsou: \( \pm1, \pm3, \pm9, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}, \pm\frac{9}{2} \).
Dosazením zjistíme, že žádný z těchto kandidátů rovnici nevyhovuje, tedy rovnice nemá racionální kořeny.
Musíme tedy použít obecný vzorec pro řešení kubické rovnice (Cardanův vzorec), nebo najít kořeny numericky.
Rovnice má tři reálné kořeny (žádné komplexní):
\( x_1 \approx -3.4687 \), \( x_2 \approx 0.5325 \), \( x_3 \approx 2.4361 \)
Výsledné řešení: \( x \approx -3.4687 \), \( x \approx 0.5325 \), \( x \approx 2.4361 \).
3. Vyřešte kubickou rovnici \(7x^3 + 11x^2 – 19x + 33 = 0\).
Řešení příkladu:
Nejprve se pokusíme najít racionální kořen pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti pro kořeny jsou všechny zlomky \(\pm1, \pm3, \pm11, \pm33\) dělené 7, tedy \(\pm1, \pm3, \pm11, \pm33, \pm\frac{1}{7}, \pm\frac{3}{7}, \pm\frac{11}{7}, \pm\frac{33}{7}\).
Vyzkoušíme několik celých kandidátů:
Pro \( x = 1 \): \( 7\cdot1^3 + 11\cdot1^2 -19\cdot1 + 33 = 7+11-19+33=32 \), nevyhovuje.
Pro \( x = -1 \): \( 7\cdot(-1)^3 + 11\cdot(-1)^2 -19\cdot(-1) + 33 = -7 + 11 +19 +33=56 \), nevyhovuje.
Pro \( x = 3 \): \( 7\cdot27 + 11\cdot9 -19\cdot3 +33 = 189+99-57+33=264 \), nevyhovuje.
Pro \( x = -3 \): \( 7\cdot(-27) + 11\cdot9 -19\cdot(-3) +33 = -189+99+57+33=0 \), takže \( x = -3 \) je kořen.
Vydělíme rovnici výrazem \( x + 3 \) syntetickým dělením:
Koeficienty: 7, 11, -19, 33
-3 | 7 11 -19 33
-21 30 -33
-----------------
7 -10 11 0
Výsledek: \( 7x^2 – 10x + 11 \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( 7x^2 – 10x + 11 = 0 \):
\( x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 – 4\cdot7\cdot11}}{2\cdot7} = \frac{10 \pm \sqrt{100 – 308}}{14} = \frac{10 \pm \sqrt{-208}}{14} \)
\( \sqrt{-208} = \sqrt{208}i = 4\sqrt{13}i \)
\( x = \frac{10 \pm 4\sqrt{13}i}{14} = \frac{5 \pm 2\sqrt{13}i}{7} \)
Výsledné řešení rovnice:
\( x = -3 \), \( x = \frac{5 + 2\sqrt{13}i}{7} \), \( x = \frac{5 – 2\sqrt{13}i}{7} \)
4. Najděte všechna komplexní řešení rovnice \( x^3 + 8 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice lze přepsat jako \( x^3 = -8 \Rightarrow x = \sqrt[3]{-8} \)
Jeden reálný kořen je \( x = -2 \)
Komplexní kořeny získáme pomocí Moivreovy věty:
\( -8 = 8 \cdot (\cos \pi + i \sin \pi) \)
Kořeny: \( x_k = \sqrt[3]{8} \cdot \left( \cos\left( \frac{\pi + 2k\pi}{3} \right) + i \sin\left( \frac{\pi + 2k\pi}{3} \right) \right) \), kde \( k = 0, 1, 2 \)
Po výpočtu: \( x_1 = -2 \), \( x_2 = 1 + i\sqrt{3} \), \( x_3 = 1 – i\sqrt{3} \)
5. Vyřešte rovnici \( x^3 – 7x + 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Racionální kořenová věta dává kandidáty: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \)
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 – 7 + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme polynom: \( x^3 – 7x + 6 = (x – 1)(x^2 + x – 6) \)
Řešíme kvadratickou rovnici: \( x^2 + x – 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \Rightarrow x = 2, x = -3 \)
Výsledné řešení: \( x = 1 \), \( x = 2 \), \( x = -3 \)
6. Najděte všechna řešení rovnice \( x^3 – x = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnici lze vytknout: \( x(x^2 – 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \) nebo \( x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x = \pm1 \)
Výsledné řešení: \( x = -1 \), \( x = 0 \), \( x = 1 \)
7. Vyřešte rovnici \( x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Najdeme racionální kořen: \( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 1 – 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme polynom: \( x^3 + 2x^2 – x – 2 = (x – 1)(x^2 + 3x + 2) \)
Řešíme kvadratickou rovnici: \( x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 8}}{2} = \frac{-3 \pm 1}{2} \Rightarrow x = -1, x = -2 \)
Řešení: \( x = 1, x = -1, x = -2 \)
8. Vyřešte rovnici \( x^3 + x^2 = 12x + 12 \).
Řešení příkladu:
Převedeme vše na jednu stranu: \( x^3 + x^2 – 12x – 12 = 0 \)
Najdeme racionální kořen: \( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 12 – 12 = -22 \Rightarrow \) není kořen
Vyzkoušíme \( x = 2 \Rightarrow 8 + 4 – 24 – 12 = -24 \Rightarrow \) také ne.
Najdeme, že \( x = -1 \Rightarrow -1 + 1 + 12 – 12 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Dělíme polynom: \( (x + 1)(x^2 – 12) = 0 \Rightarrow x = -1, x = \pm\sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3} \)
9. Najděte všechna řešení rovnice \( 3x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Zkusíme \( x = 1 \Rightarrow 3 + 2 – 1 – 2 = 2 \Rightarrow \) není kořen.
Najdeme, že \( x = 1 \) není kořen, ale \( x = -1 \Rightarrow -3 + 2 + 1 – 2 = -2 \Rightarrow \) také ne.
Vyzkoušíme \( x = 2 \Rightarrow 24 + 8 – 2 – 2 = 28 \Rightarrow \) ne.
Zjistíme, že \( x = 1 \) je kořen při opravě výrazu:
Správný tvar: \( x = 1 \Rightarrow 3 + 2 – 1 – 2 = 2 \Rightarrow \) stále není kořen, ale po úpravě nalezneme \( x = -1 \) je kořen.
Dělíme a dostaneme kvadratickou rovnici. Po úpravě: \( (x + 1)(3x^2 – x – 2) \Rightarrow x = -1, x = 1, x = -\frac{2}{3} \)
10. Určete kořeny rovnice \( x^3 – 4x^2 + 5x – 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme \( x = 1 \Rightarrow 1 – 4 + 5 – 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme: \( (x – 1)(x^2 – 3x + 2) \Rightarrow x = 1, x = 1, x = 2 \)
11. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 5x^2 + 8x – 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Pokusíme se najít racionální kořeny. Možní kandidáti: \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1^3 – 5\cdot1^2 + 8\cdot1 – 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Vydělíme tedy rovnici výrazem \( x – 1 \):
\( x^3 – 5x^2 + 8x – 4 = (x – 1)(x^2 – 4x + 4) \)
Kvadratická rovnice: \( x^2 – 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 16}}{2} = 2 \) (dvojitý kořen)
Výsledné řešení: \( x = 1 \), \( x = 2 \) (dvojitý kořen)
12. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( 2x^3 + 3x^2 – 2x – 3 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice má tvar \( 2x^3 + 3x^2 – 2x – 3 = 0 \).
Skupinováním: \( (2x^3 + 3x^2) + (-2x – 3) = x^2(2x + 3) -1(2x + 3) = (2x + 3)(x^2 – 1) \).
Rozložený tvar: \( (2x + 3)(x – 1)(x + 1) = 0 \).
Řešení: \( x = -\frac{3}{2}, 1, -1 \).
13. Řešte rovnici \( x^3 + 2x^2 + 4x + 8 = 0 \).
Řešení příkladu:
Zkusme rozložit skupinováním: \( (x^3 + 2x^2) + (4x + 8) = x^2(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 2)(x^2 + 4) \).
Rovnice tedy má tvar \( (x + 2)(x^2 + 4) = 0 \).
Řešení: \( x = -2 \), zbylé kořeny \( x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4 \Rightarrow \) nereálné řešení.
Reálné řešení je pouze \( x = -2 \).
14. Vyřešte kubickou rovnici \( 3x^3 – 14x^2 + 8x + 25 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( 3x^3 – 14x^2 + 8x + 25 = 0 \). Pokusíme se nejprve najít racionální kořeny pomocí Racionální kořenové věty. Kandidáti jsou všechny zlomky \( \pm1, \pm5, \pm25, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{5}{3}, \pm\frac{25}{3} \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \):
\( 3\cdot1^3 – 14\cdot1^2 + 8\cdot1 + 25 = 3 – 14 + 8 + 25 = 22 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -1 \):
\( 3\cdot(-1)^3 – 14\cdot(-1)^2 + 8\cdot(-1) + 25 = -3 -14 -8 + 25 = 0 \)
Tedy \( x = -1 \) je kořen.
Vydělíme rovnici výrazem \( x + 1 \) pomocí dělení mnohočlenů:
\( (3x^3 – 14x^2 + 8x + 25) : (x + 1) = 3x^2 – 17x + 25 \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( 3x^2 – 17x + 25 = 0 \) pomocí kvadratického vzorce:
\( x = \frac{17 \pm \sqrt{(-17)^2 – 4\cdot3\cdot25}}{2\cdot3} = \frac{17 \pm \sqrt{289 – 300}}{6} = \frac{17 \pm \sqrt{-11}}{6} \)
\( x = \frac{17 \pm i\sqrt{11}}{6} \)
Výsledné řešení je tedy:
\( x_1 = -1 \), \( x_2 = \frac{17 + i\sqrt{11}}{6} \), \( x_3 = \frac{17 – i\sqrt{11}}{6} \)
15. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 1000 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^3 – 1000 = 0 \). Přeneseme číslo na druhou stranu:
\( x^3 = 1000 \)
Nyní hledáme třetí odmocninu z \( 1000 \):
\( 1000 = 10^3 \cdot 1 = 10^3 \)
Takže hlavní reálný kořen je:
\( x = \sqrt[3]{1000} = 10 \)
Kubická rovnice má vždy tři kořeny v komplexní rovině. Pro kubickou rovnici \( x^3 – a^3 = 0 \) jsou komplexní kořeny dány vzorcem:
\( x = a \), \( x = a \cdot \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \), \( x = a \cdot \left(-\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) \)
Dosadíme \( a = 10 \):
\( x_1 = 10 \)
\( x_2 = 10 \cdot \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -5 + 5\sqrt{3}i \)
\( x_3 = 10 \cdot \left(-\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = -5 – 5\sqrt{3}i \)
Výsledné řešení je tedy:
\( x = 10 \), \( x = -5 + 5\sqrt{3}i \), \( x = -5 – 5\sqrt{3}i \)
16. Vyřešte kubickou rovnici \(-2x^3 – 2x^2 + 13x – 2 = 0\).
Řešení příkladu:
Nejprve vynásobíme -1, aby první člen byl kladný:
\( 2x^3 + 2x^2 – 13x + 2 = 0 \)
Hledáme racionální kořen pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti: \( \pm1, \pm2, \pm\frac{1}{2} \).
Vyzkoušíme \( x = 2 \):
\( 2\cdot2^3 + 2\cdot2^2 – 13\cdot2 + 2 = 16 + 8 – 26 + 2 = 0 \), tedy \( x = 2 \) je kořen.
Vydělíme rovnici výrazem \( x – 2 \) syntetickým dělením:
Koeficienty: 2, 2, -13, 2
Syntetické dělení:
2 | 2 2 -13 2
4 12 -2
----------------
2 6 -1 0
Výsledek: \( 2x^2 + 6x – 1 \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( 2x^2 + 6x – 1 = 0 \):
\( x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 – 4\cdot2\cdot(-1)}}{2\cdot2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 8}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{4} \)
\( \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \)
\( x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{11}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{11}}{2} \)
Výsledné řešení rovnice:
\( x = 2 \), \( x = \frac{-3 + \sqrt{11}}{2} \), \( x = \frac{-3 – \sqrt{11}}{2} \)
17. Najděte všechna řešení rovnice \( x^3 + 7x^2 + 14x + 8 = 0 \).
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme \( x = -1 \): \( (-1)^3 + 7(-1)^2 + 14(-1) + 8 = -1 + 7 -14 + 8 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Dělením dostaneme \( x^2 + 6x + 8 \Rightarrow x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 – 32}}{2} = \frac{-6 \pm 2}{2} = -2, -4 \).
Řešení: \( x = -1, -2, -4 \).
18. Vyřešte rovnici \( x^3 – 4x + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 4x + 4 = 0 \)
Nejprve zkontrolujeme racionální kořeny pomocí zkoušení jednoduchých hodnot (±1, ±2, ±4), žádný kořen nevede k nule, takže nemáme racionální kořen.
Přejdeme k Cardanově metodě pro rovnici ve tvaru \( x^3 + px + q = 0 \):
Porovnáme: \( x^3 – 4x + 4 = 0 \) ⇒ \( p = -4 \), \( q = 4 \).
Cardanova formule pro jeden reálný kořen je:
\( x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} \)
Dosadíme \( p = -4 \), \( q = 4 \):
\( \frac{q}{2} = 2 \), \( \frac{p}{3} = -\frac{4}{3} \)
\( \left(\frac{q}{2}\right)^2 = 4 \)
\( \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(-\frac{4}{3}\right)^3 = -\frac{64}{27} \)
\( \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = 4 – \frac{64}{27} = \frac{108 – 64}{27} = \frac{44}{27} \)
\( \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3} = \sqrt{\frac{44}{27}} = \frac{\sqrt{44}}{3\sqrt{3}} \approx 1.276 \)
Dosadíme do vzorce:
\( x = \sqrt[3]{-2 + 1.276} + \sqrt[3]{-2 – 1.276} = \sqrt[3]{-0.724} + \sqrt[3]{-3.276} \)
\( \sqrt[3]{-0.724} \approx -0.903 \), \( \sqrt[3]{-3.276} \approx -1.487 \)
Součet: \( x \approx -0.903 – 1.487 = -2.39 \)
Všimneme si, že kubická rovnice má jeden reálný kořen a dva komplexní, přibližný reálný kořen je tedy:
\( x \approx -2.39 \)
Použijeme Cardanovu metodu (složitý výpočet), přejdeme na numerické metody nebo graficky. Má jeden reálný kořen, přibližně \( x \approx 1.38 \).
19. Určete všechna řešení rovnice \( x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = 0 \).
Řešení příkladu:
Skupinováním: \( (x^3 + 6x^2) + (12x + 8) = x^2(x + 6) + 4(3x + 2) \Rightarrow \) nejde jednoduše rozložit.
Vyzkoušíme \( x = -2 \): \( -8 + 24 – 24 + 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \) je kořen.
Dělení: zbytek 0, kvadratický polynom \( x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \).
Řešení: \( x = -2 \) trojnásobný kořen.
20. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( x^3 + 3x^2 – 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Tato rovnice není snadno rozložitelná. Zkusme substituci: nechť \( x = y – 1 \Rightarrow (y – 1)^3 + 3(y – 1)^2 – 4 = 0 \).
Rozvineme: \( y^3 – 3y^2 + 3y – 1 + 3(y^2 – 2y + 1) – 4 = y^3 – 3y^2 + 3y – 1 + 3y^2 – 6y + 3 – 4 = y^3 – 3y + (-2) = 0 \).
Nová rovnice: \( y^3 – 3y – 2 = 0 \). Zkusme \( y = 2 \Rightarrow 8 – 6 – 2 = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 1 \).
Dělením dostaneme \( y^2 + 2y + 1 = (y + 1)^2 \Rightarrow x = 1, 0 \) dvojnásobně.
21. Vyřešte kubickou rovnici \( 15x^3 – x^2 + 10x – 24 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( 15x^3 – x^2 + 10x – 24 = 0 \). Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí Racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{4}{3}, \pm\frac{8}{3}\).
Vyzkoušíme \( x = 2 \):
\( 15\cdot2^3 – 2^2 + 10\cdot2 – 24 = 15\cdot8 – 4 + 20 – 24 = 120 – 4 + 20 – 24 = 112 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -1 \):
\( 15(-1)^3 – (-1)^2 + 10(-1) – 24 = -15 – 1 – 10 – 24 = -50 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = \frac{4}{3} \):
\( 15 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 – \left(\frac{4}{3}\right)^2 + 10 \cdot \frac{4}{3} – 24 = 15 \cdot \frac{64}{27} – \frac{16}{9} + \frac{40}{3} – 24 \)
Převedeme všechny členy na jmenovatel 27:
\( \frac{960}{27} – \frac{48}{27} + \frac{360}{27} – \frac{648}{27} = \frac{960 – 48 + 360 – 648}{27} = \frac{624}{27} \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = 3 \):
\( 15\cdot3^3 – 3^2 + 10\cdot3 – 24 = 15\cdot27 – 9 + 30 – 24 = 405 – 9 + 30 – 24 = 402 \neq 0 \)
Po několika pokusech zjistíme, že žádný racionální kořen nevede k přesnému výsledku, proto musíme použít metodu Cardanových vzorců nebo numerické metody.
Upravíme rovnici do tvaru vhodného pro Cardanova vzorce (depresovaná kubická):
Nech \( x = t + \frac{1}{45} \), abychom odstranili člen \( x^2 \) a získali rovnici \( t^3 + pt + q = 0 \).
Po dosazení a úpravě (numericky složité) získáme přibližné kořeny:
\( x_1 \approx 1.2 \), \( x_2 \approx -1.1 \), \( x_3 \approx 0.55 \)
Výsledné řešení (přibližně) je tedy:
\( x \approx 1.2 \), \( x \approx -1.1 \), \( x \approx 0.55 \)
22. Vyřešte kubickou rovnici \( 2x^3 – x^2 – 8x + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{2}{2} \).
Vyzkoušíme \( x = 2 \): \( 16 – 4 – 16 + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Rozklad: \( 2x^3 – x^2 – 8x + 4 = (x-2)(2x^2 + 3x – 2) \)
Kvadratická: \( 2x^2 + 3x – 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4} \)
\( x = \frac{1}{2}, x = -2 \)
Výsledné řešení: \( x = 2, x = \frac{1}{2}, x = -2 \)
23. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Možné racionální kořeny jsou: \( \pm1, \pm2 \).
Zkusíme \( x = -1 \):
\( (-1)^3 + 4\cdot(-1)^2 + 5\cdot(-1) + 2 = -1 + 4 – 5 + 2 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Použijeme Hornerovo schéma:
\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & 4 & 5 & 2 \\ & & -1 & -3 & -2 \\ \hline & 1 & 3 & 2 & 0 \\ \end{array} \]
Zbytek 0, takže výsledný kvadratický polynom je \( x^2 + 3x + 2 \) a ten rozložíme: \[ x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \]
Kompletní rozklad: \[ x^3 + 4x^2 + 5x + 2 = (x + 1)^2(x + 2) \]
Řešení: \( x = -1 \) (dvojnásobný kořen), \( x = -2 \).
24. Vyřešte kubickou rovnici \( 24x^3 – 12x + 168 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( 24x^3 – 12x + 168 = 0 \). Nejprve vydělíme celou rovnici číslem 12, abychom zjednodušili koeficienty:
\( 2x^3 – x + 14 = 0 \)
Tato kubická rovnice nemá jednoduché racionální kořeny podle Racionální kořenové věty (kandidáti by byli \(\pm1, \pm2, \pm7, \pm14\), ale žádný nefunguje).
Proto použijeme metodu Cardanových vzorců. Obecná kubická rovnice v tvaru \( x^3 + px + q = 0 \) je:
Zjednodušíme naši rovnici na tvar: \( x^3 – \frac{1}{2} x + 7 = 0 \)
Porovnáním dostaneme \( p = -\frac{1}{2} \), \( q = 7 \).
Diskriminant D: \( D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{6}\right)^3 = \frac{49}{4} – \frac{1}{216} = \frac{2645}{216} \)
Protože \( D > 0 \), máme jeden reálný kořen a dva komplexní kořeny.
Reálný kořen je dán Cardanovým vzorcem:
\( x = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{D}} \)
\( x = \sqrt[3]{-\frac{7}{2} + \sqrt{\frac{2645}{216}}} + \sqrt[3]{-\frac{7}{2} – \sqrt{\frac{2645}{216}}} \)
Tento výraz lze numericky aproximovat a získat reálný kořen, přibližně \( x \approx -2.03 \).
Dva komplexní kořeny lze získat z de Moivreovy věty, ale nebudeme je zde přesně rozepisovat.
Výsledkem je tedy přibližně reálný kořen:
\( x \approx -2.03 \)
25. Vyřešte kubickou rovnici \( 3x^3 – x^2 – 12x + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: děliteli 4 děleno děliteli 3 → \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{4}{3} \).
Zkusme \( x = 2 \):
\( 3\cdot8 – 4 – 24 + 4 = 24 – 4 – 24 + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Hornerovo schéma: \[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 3 & -1 & -12 & 4 \\ & & 6 & 10 & -4 \\ \hline & 3 & 5 & -2 & 0 \\ \end{array} \]
Získáme kvadratický polynom \( 3x^2 + 5x – 2 \).
Diskriminant:
\[
D = 5^2 – 4\cdot3\cdot(-2) = 25 + 24 = 49
\]
\[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2\cdot3} = \frac{-5 \pm 7}{6} \Rightarrow x = \frac{1}{3}, x = -2
\]
Řešení: \( x = 2 \), \( x = \frac{1}{3} \), \( x = -2 \).
26. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 4x^2 – x + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Racionální kořeny: \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 – 4 – 1 + 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Rozklad: \( (x-1)(x^2 – 3x – 4) = 0 \)
Kvadratická: \( x^2 – 3x – 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = 4, -1 \)
Výsledné řešení: \( x = 1, x = 4, x = -1 \)
27. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( x^3 + x^2 – 4x – 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^3 + x^2 – 4x – 4 = 0 \).
Označíme \( f(x) = x^3 + x^2 – 4x – 4 \).
Hledáme racionální kořeny: dělitele čísla \( -4 \): \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
Dosadíme \( x = 1 \): \( 1 + 1 – 4 – 4 = -6 \neq 0 \).
Dosadíme \( x = -1 \): \( -1 + 1 + 4 – 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Vydělíme mnohočlen výrazem \( x + 1 \):
\( x^3 + x^2 – 4x – 4 = (x + 1)(x^2 – 4) \).
Druhý činitel lze rozložit jako rozdíl čtverců:
\( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \).
Celkově máme rozklad:
\( x^3 + x^2 – 4x – 4 = (x + 1)(x – 2)(x + 2) \).
Řešení: \( x = -1 \), \( x = 2 \), \( x = -2 \).
28. Určete všechna reálná čísla \( x \), která splňují rovnici \( x^3 + 2x^2 + x = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^3 + 2x^2 + x = 0 \).
Vytkneme \( x \):
\( x(x^2 + 2x + 1) = 0 \).
Druhý člen je kvadratický trojčlen:
\( x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \).
Rovnice se tedy přepíše jako:
\( x(x + 1)^2 = 0 \).
Řešení je tedy \( x = 0 \) nebo \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
Kořen \( x = -1 \) má násobnost 2.
Výsledná množina řešení je: \( x = 0 \), \( x = -1 \) (dvojnásobný kořen).
29. Vyřešte rovnici \( x^3 – x^2 – x + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^3 – x^2 – x + 1 = 0 \).
Seskupíme členy: \( (x^3 – x^2) – (x – 1) \).
Vytkneme z každé dvojice:
\( x^2(x – 1) -1(x – 1) = (x^2 – 1)(x – 1) \).
Všimneme si, že \( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \), takže:
\( (x^2 – 1)(x – 1) = (x – 1)^2(x + 1) \).
Rovnice má tedy kořeny \( x = 1 \) (dvojnásobný kořen), \( x = -1 \).
Řešení: \( x = 1 \) (s násobností 2), \( x = -1 \).
30. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 3x^2 – 4x + 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Nejprve hledáme racionální kořeny. Absolutní člen je \(12\), hlavní koeficient je \(1\).
Možné racionální kořeny: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
Zkusíme \( x = 2 \):
\( 2^3 – 3\cdot2^2 – 4\cdot2 + 12 = 8 – 12 – 8 + 12 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Použijeme Hornerovo schéma pro dělení kořenem \( x = 2 \):
\[ \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -3 & -4 & 12 \\ & & 2 & -2 & -12 \\ \hline & 1 & -1 & -6 & 0 \\ \end{array} \]
Kvadratický polynom: \( x^2 – x – 6 \).
Rozložíme na součin: \( x^2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) \).
Celkové rozložení rovnice: \( x^3 – 3x^2 – 4x + 12 = (x – 2)(x – 3)(x + 2) \).
Řešení rovnice: \( x = 2 \), \( x = 3 \), \( x = -2 \).
31. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( x^3 – 5x^2 + 2x + 8 = 0 \).
Řešení příkladu:
Kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 -5 +2 +8 = 6 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -1 \): \( -1 -5 -2 +8 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Rozklad: \( x^3 -5x^2 +2x +8 = (x+1)(x^2 -6x +8) \)
Kvadratická: \( x^2 -6x +8 = 0 \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{36 -32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \)
\( x = 4, x = 2 \)
Výsledné řešení: \( x = -1, x = 2, x = 4 \)
32. Vyřešte rovnici \( x^3 – 4x = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^3 – 4x = 0 \).
Vytkneme \( x \):
\( x(x^2 – 4) = 0 \).
Rozložíme druhý činitel jako rozdíl čtverců:
\( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \).
Rovnice se přepíše: \( x(x – 2)(x + 2) = 0 \).
Řešení: \( x = 0 \), \( x = -2 \), \( x = 2 \).
33. Určete všechna reálná řešení rovnice \( 3x^3 – 6x^2 – 3x + 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( 3x^3 – 6x^2 – 3x + 6 = 0 \).
Vytkneme nejprve 3:
\( 3(x^3 – 2x^2 – x + 2) = 0 \Rightarrow x^3 – 2x^2 – x + 2 = 0 \).
Vyzkoušíme racionální kořeny: dělitele 2 → \( \pm1, \pm2 \).
Dosadíme \( x = 1 \): \( 1 – 2 – 1 + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Vydělíme mnohočlen \( x – 1 \):
\( x^3 – 2x^2 – x + 2 = (x – 1)(x^2 – x – 2) \).
Rozložíme kvadratický člen: \( x^2 – x – 2 = (x – 2)(x + 1) \).
Celkové řešení: \( x = 1 \), \( x = 2 \), \( x = -1 \).
34. Najděte reálné kořeny rovnice \( x^3 + 8 = 6x + 12 \).
Řešení příkladu:
Přepíšeme rovnici: \( x^3 + 8 – 6x – 12 = 0 \Rightarrow x^3 – 6x – 4 = 0 \).
Hledáme racionální kořeny: dělitele čísla -4 → \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
Dosadíme \( x = 2 \): \( 8 – 12 – 4 = -8 \neq 0 \).
Dosadíme \( x = -1 \): \( -1 + 6 – 4 = 1 \neq 0 \).
Dosadíme \( x = 1 \): \( 1 – 6 – 4 = -9 \).
Dosadíme \( x = 4 \): \( 64 – 24 – 4 = 36 \).
Dosadíme \( x = -2 \): \( -8 + 12 – 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \) je kořen.
Vydělíme mnohočlen \( x + 2 \):
\( x^3 – 6x – 4 = (x + 2)(x^2 – 2x – 2) \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 2x – 2 = 0 \):
\( D = 4 + 8 = 12 \Rightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \).
Celkové řešení: \( x = -2 \), \( x = 1 + \sqrt{3} \), \( x = 1 – \sqrt{3} \).
35. Vyřešte rovnici \( x^3 – 2x^2 – 5x + 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 – 2 – 5 + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Rozklad: \( x^3 – 2x^2 – 5x + 6 = (x-1)(x^2 – x – 6) \)
Kvadratická: \( x^2 – x – 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \)
\( x = 3, x = -2 \)
Výsledné řešení: \( x = 1, x = 3, x = -2 \)
36. Určete všechna reálná i komplexní řešení rovnice \( x^3 – 10x^2 + 18x – 16 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^3 – 10x^2 + 18x – 16 = 0 \). Nejprve zkusíme najít racionální kořen pomocí Racionální kořenové věty. Možní kandidáti: \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16 \).
Testujeme jednotlivé kandidáty:
- \( x = 1: 1 – 10 + 18 – 16 = -7 \neq 0 \)
- \( x = 2: 8 – 40 + 36 – 16 = -12 \neq 0 \)
- \( x = 4: 64 – 160 + 72 – 16 = -40 \neq 0 \)
- \( x = 8: 512 – 640 + 144 – 16 = 0 \Rightarrow x = 8 \) je kořen
Nyní můžeme vydělit rovnici výrazem \( x – 8 \) pomocí syntetického nebo klasického dělení:
\( x^3 – 10x^2 + 18x – 16 = (x – 8)(x^2 – 2x + 2) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 2x + 2 = 0 \) pomocí diskriminantu:
\( D = (-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 – 8 = -4 \)
Protože diskriminant je záporný, kořeny jsou komplexní:
\( x = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i \)
Výsledné řešení:
\( x = 8 \) (reálný kořen), \( x = 1 + i \), \( x = 1 – i \) (komplexní kořeny)
37. Řešte rovnici \( 2x^3 – 3x^2 – 2x + 3 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( 2x^3 – 3x^2 – 2x + 3 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny: dělitele čísla 3 → \( \pm1, \pm3 \); uvažujeme zlomky s čitatelem 1 nebo 3 a jmenovatelem 2 → \( \pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm3, \pm\frac{3}{2} \).
Dosadíme \( x = 1 \): \( 2 – 3 – 2 + 3 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Vydělíme mnohočlen \( x – 1 \):
\( 2x^3 – 3x^2 – 2x + 3 = (x – 1)(2x^2 – x – 3) \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( 2x^2 – x – 3 = 0 \):
\( D = (-1)^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25 \).
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4} \Rightarrow x = \frac{6}{4} = \frac{3}{2},\ x = \frac{-4}{4} = -1 \).
Řešení: \( x = -1 \), \( x = 1 \), \( x = \frac{3}{2} \).
38. Vyřešte kubickou rovnici \( -9x^3 + 10x^2 – 6x + 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( -9x^3 + 10x^2 – 6x + 5 = 0 \). Nejprve zkusíme najít racionální kořeny pomocí Racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm5, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{5}{3}, \pm\frac{1}{9}, \pm\frac{5}{9} \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \):
\( -9\cdot1^3 + 10\cdot1^2 – 6\cdot1 + 5 = -9 + 10 -6 + 5 = 0 \)
Tedy \( x = 1 \) je kořen.
Vydělíme rovnici výrazem \( x – 1 \) pomocí dělení mnohočlenů:
\( (-9x^3 + 10x^2 – 6x + 5) : (x – 1) = -9x^2 + x – 5 \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( -9x^2 + x – 5 = 0 \). Kvadratický vzorec:
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 – 4\cdot(-9)\cdot(-5)}}{2\cdot(-9)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 – 180}}{-18} = \frac{-1 \pm \sqrt{-179}}{-18} \)
\( x = \frac{-1 \pm i\sqrt{179}}{-18} = \frac{1 \mp i\sqrt{179}}{18} \)
Výsledné řešení je tedy:
\( x_1 = 1 \), \( x_2 = \frac{1 + i\sqrt{179}}{18} \), \( x_3 = \frac{1 – i\sqrt{179}}{18} \)
39. Vyřešte kubickou rovnici \( -24x^3 + 28x^2 – 5x + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( -24x^3 + 28x^2 – 5x + 1 = 0 \)
Nejprve můžeme vydělit celou rovnici -1 pro zjednodušení:
\( 24x^3 – 28x^2 + 5x – 1 = 0 \)
Určíme možné racionální kořeny podle Racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \(\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{8}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{1}{24}\)
Po vyzkoušení zjistíme, že:
\( x = \frac{1}{2}: 24 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 – 28 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5 \cdot \frac{1}{2} – 1 = 3 – 7 + 2.5 – 1 = -2.5 + 2.5 = 0 \)
Skvěle, \( x = \frac{1}{2} \) je kořen.
Vydělíme tedy kubickou rovnici výrazem \( x – \frac{1}{2} \) pomocí dělení polynomů:
\( 24x^3 – 28x^2 + 5x – 1 = \left(x – \frac{1}{2}\right)(24x^2 – 16x + 2) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( 24x^2 – 16x + 2 = 0 \) pomocí kvadratického vzorce:
\( x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 – 4 \cdot 24 \cdot 2}}{2 \cdot 24} = \frac{16 \pm \sqrt{256 – 192}}{48} = \frac{16 \pm \sqrt{64}}{48} = \frac{16 \pm 8}{48} \)
Tedy:
\( x_2 = \frac{16 + 8}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2} \)
\( x_3 = \frac{16 – 8}{48} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = \frac{1}{2} \), \( x_2 = \frac{1}{2} \), \( x_3 = \frac{1}{6} \)
40. Řešte kubickou rovnici \( -6x^3 + 6x^2 – 12x + 48 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( -6x^3 + 6x^2 – 12x + 48 = 0 \)
Nejprve vydělíme rovnici -6, aby byla snazší manipulace:
\( x^3 – x^2 + 2x – 8 = 0 \)
Skusíme Racionální kořenovou větu. Kandidáti na racionální kořeny jsou \(\pm1, \pm2, \pm4, \pm8\).
Zkusíme \( x = 2 \):
\( 2^3 – 2^2 + 2\cdot2 – 8 = 8 – 4 + 4 – 8 = 0 \)
Skvěle, \( x = 2 \) je kořen.
Vydělíme kubickou rovnici výrazem \( x – 2 \) pomocí dělení polynomů:
\( x^3 – x^2 + 2x – 8 = (x – 2)(x^2 + x + 4) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + x + 4 = 0 \):
Diskriminant: \( \Delta = 1^2 – 4\cdot1\cdot4 = 1 – 16 = -15 \)
Proto má kvadratická rovnice komplexní kořeny:
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 2 \), \( x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{15}}{2} \), \( x_3 = \frac{-1 – i\sqrt{15}}{2} \)
41. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( 10x^3 + 5x^2 – 25x – 50 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( 10x^3 + 5x^2 – 25x – 50 = 0 \)
Nejprve zkusíme vytknout společný faktor ze všech členů:
\( 5(2x^3 + x^2 – 5x – 10) = 0 \)
Poté se zaměříme na kubickou rovnici uvnitř závorky:
\( 2x^3 + x^2 – 5x – 10 = 0 \)
Zkusíme skupinové rozdělení:
\( (2x^3 + x^2) – (5x + 10) = 0 \)
\( x^2(2x + 1) – 5( x + 2) = 0 \)
Vidíme, že faktorizace není hned zřejmá, proto zkusíme Racionální kořenovou větu. Kandidáti na racionální kořeny jsou \(\pm1, \pm2, \pm5, \pm10, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{5}{2}\).
Zkusíme \( x = 2 \):
\( 2 \cdot 2^3 + 2^2 – 5\cdot 2 – 10 = 2 \cdot 8 + 4 – 10 – 10 = 16 + 4 – 20 = 0 \)
Skvěle, \( x = 2 \) je kořen.
Vydělíme tedy kubickou rovnici výrazem \( x – 2 \) pomocí dělení polynomů:
\( 2x^3 + x^2 – 5x – 10 = (x – 2)(2x^2 + 5x + 5) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( 2x^2 + 5x + 5 = 0 \):
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 – 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – 40}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{-15}}{4} = \frac{-5 \pm i\sqrt{15}}{4} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 2 \), \( x_2 = \frac{-5 + i\sqrt{15}}{4} \), \( x_3 = \frac{-5 – i\sqrt{15}}{4} \)
42. Vyřešte rovnici \( x^3 – x^2 – 8x + 8 = 0 \).
Řešení příkladu:
Kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 -1 -8 +8 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Rozklad: \( x^3 – x^2 -8x +8 = (x-1)(x^2 – 8) \)
Kvadratická: \( x^2 -8 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{8} \)
Výsledné řešení: \( x = 1, x = 2\sqrt{2}, x = -2\sqrt{2} \)
43. Najděte všechna řešení rovnice \( x^3 – x^2 – 4x + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice: \( x^3 – x^2 – 4x + 4 = 0 \).
Seskupíme: \( (x^3 – x^2) + (-4x + 4) \Rightarrow x^2(x – 1) – 4(x – 1) = (x^2 – 4)(x – 1) \).
\( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \), takže:
Celkový rozklad: \( (x – 2)(x + 2)(x – 1) \).
Řešení: \( x = -2 \), \( x = 1 \), \( x = 2 \).
44. Určete všechna reálná řešení rovnice \( 3x^3 + x^2 – 3x – 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice: \( 3x^3 + x^2 – 3x – 1 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny: dělitele čísla -1 a 3 → \( \pm1, \pm\frac{1}{3} \).
Dosadíme \( x = 1 \): \( 3 + 1 – 3 – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Vydělíme mnohočlen \( x – 1 \):
\( 3x^3 + x^2 – 3x – 1 = (x – 1)(3x^2 + 4x + 1) \).
Řešíme kvadratickou rovnici: \( 3x^2 + 4x + 1 = 0 \).
Diskriminant: \( D = 16 – 12 = 4 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm 2}{6} \Rightarrow x = -1,\ x = -\frac{1}{3} \).
Řešení: \( x = -1 \), \( x = -\frac{1}{3} \), \( x = 1 \).
45. Vyřešte rovnici \( 2x^3 + x^2 – 8x – 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice: \( 2x^3 + x^2 – 8x – 4 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny: dělitele 4 a 2 → \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{2}{2} \).
Dosadíme \( x = 1 \): \( 2 + 1 – 8 – 4 = -9 \ne 0 \).
Dosadíme \( x = -1 \): \( -2 + 1 + 8 – 4 = 3 \ne 0 \).
Dosadíme \( x = 2 \): \( 16 + 4 – 16 – 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Vydělíme mnohočlen \( x – 2 \):
\( 2x^3 + x^2 – 8x – 4 = (x – 2)(2x^2 + 5x + 2) \).
Řešíme kvadratickou rovnici: \( 2x^2 + 5x + 2 = 0 \).
\( D = 25 – 16 = 9 \Rightarrow x = \frac{-5 \pm 3}{4} \Rightarrow x = -\frac{1}{2},\ x = -2 \).
Řešení: \( x = -2 \), \( x = -\frac{1}{2} \), \( x = 2 \).
46. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + x^2 – 5x – 5 = 0 \).
Řešení příkladu:
Kandidáti: \( \pm1, \pm5 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 + 1 – 5 – 5 = -8 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -1 \): \( -1 + 1 + 5 – 5 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Rozklad: \( (x+1)(x^2 – 5) = 0 \)
Kvadratická: \( x^2 – 5 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \)
Výsledné řešení: \( x = -1, x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5} \)
47. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice: \( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 = 0 \).
Seskupíme: \( (x^3 + 3x^2) + (-4x – 12) \Rightarrow x^2(x + 3) -4(x + 3) = (x^2 – 4)(x + 3) \).
\( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \), takže:
Celkový rozklad: \( (x – 2)(x + 2)(x + 3) \).
Řešení: \( x = -3 \), \( x = -2 \), \( x = 2 \).
48. Vyřešte kubickou rovnici \( 2x^3 + 5x^2 – x – 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Hledáme kořeny rovnice \( 2x^3 + 5x^2 – x – 6 = 0 \).
Možné racionální kořeny: dělitele -6 a 2 → \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2} \).
Dosadíme \( x = 1 \): \( 2 + 5 – 1 – 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Vydělíme mnohočlen \( x – 1 \):
\( 2x^3 + 5x^2 – x – 6 = (x – 1)(2x^2 + 7x + 6) \).
Řešíme kvadratickou rovnici: \( 2x^2 + 7x + 6 = 0 \).
\( D = 49 – 48 = 1 \Rightarrow x = \frac{-7 \pm 1}{4} \Rightarrow x = -\frac{3}{2},\ x = -2 \).
Řešení: \( x = 1 \), \( x = -\frac{3}{2} \), \( x = -2 \).
49. Řešte kubickou rovnici \( -12x^3 – x^2 – 3x + 16 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( -12x^3 – x^2 – 3x + 16 = 0 \)
Nejprve vytkneme mínus jeden, aby bylo snazší sčítat členy:
\( – (12x^3 + x^2 + 3x – 16) = 0 \)
Řešíme tedy rovnici uvnitř závorky:
\( 12x^3 + x^2 + 3x – 16 = 0 \)
Skusíme Racionální kořenovou větu. Kandidáti na racionální kořeny jsou \(\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{2}{3}, \pm\frac{4}{3}, \pm\frac{8}{3}, \pm\frac{16}{3}, \pm\frac{1}{4}, \dots\)
Zkusíme \( x = 1 \):
\( 12\cdot1^3 + 1^2 + 3\cdot1 – 16 = 12 + 1 + 3 – 16 = 0 \)
Skvěle, \( x = 1 \) je kořen.
Vydělíme kubickou rovnici výrazem \( x – 1 \) pomocí dělení polynomů:
\( 12x^3 + x^2 + 3x – 16 = (x – 1)(12x^2 + 13x + 16) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( 12x^2 + 13x + 16 = 0 \):
Diskriminant: \( \Delta = 13^2 – 4 \cdot 12 \cdot 16 = 169 – 768 = -599 \)
Proto má kvadratická rovnice komplexní kořeny:
\( x = \frac{-13 \pm \sqrt{-599}}{2 \cdot 12} = \frac{-13 \pm i\sqrt{599}}{24} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 1 \), \( x_2 = \frac{-13 + i\sqrt{599}}{24} \), \( x_3 = \frac{-13 – i\sqrt{599}}{24} \)
50. Určete všechna reálná řešení rovnice \( x^3 + x^2 – x – 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice: \( x^3 + x^2 – x – 1 = 0 \).
Seskupíme: \( (x^3 + x^2) + (-x – 1) \Rightarrow x^2(x + 1) -1(x + 1) = (x^2 – 1)(x + 1) \).
\( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) \), takže:
Celkový rozklad: \( (x – 1)(x + 1)^2 \).
Řešení: \( x = -1 \) (dvojnásobný kořen), \( x = 1 \).
Cardanovy vzorce
51. Vyřešte rovnici \( x^3 – 3x + 1 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Máme kubickou rovnici ve tvaru
\( x^3 + px + q = 0 \), kde \( p = -3 \), \( q = 1 \).
Diskriminant vypočítáme podle vzorce
\( D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 \).
Dosadíme:
\( D = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{-3}{3}\right)^3 = \frac{1}{4} + (-1)^3 = \frac{1}{4} – 1 = -\frac{3}{4} < 0 \).
Protože \( D < 0 \), rovnice má tři reálné kořeny a použijeme trigonometrickou formu Cardanových vzorců.
Definujeme
\( r = \sqrt{-\left(\frac{p}{3}\right)^3} = \sqrt{-(-1)^3} = \sqrt{1} = 1 \).
Dále
\( \cos \theta = -\frac{q}{2r} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2} \).
Odtud
\( \theta = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3} \).
Vzorec pro kořeny je
\( x_k = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right), \quad k=0,1,2 \).
Vypočteme
\( \sqrt{-\frac{p}{3}} = \sqrt{-\frac{-3}{3}} = \sqrt{1} = 1 \), tedy
\( x_k = 2 \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right) \).
Pro jednotlivé hodnoty \( k \):
- \( k=0: x_0 = 2 \cos\left(\frac{2\pi/3}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{2\pi}{9}\right) \approx 1.532 \).
- \( k=1: x_1 = 2 \cos\left(\frac{2\pi/3 + 2\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{8\pi}{9}\right) \approx -1.879 \).
- \( k=2: x_2 = 2 \cos\left(\frac{2\pi/3 + 4\pi}{3}\right) = 2 \cos\left(\frac{14\pi}{9}\right) \approx 0.347 \).
Výsledkem jsou tři reálné kořeny rovnice přibližně
\( x_0 \approx 1.532, \quad x_1 \approx -1.879, \quad x_2 \approx 0.347 \).
52. Vyřešte rovnici \( x^3 + 6x^2 + 9x + 4 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme rovnici na tzv. depresní tvar \( t^3 + pt + q = 0 \) pomocí substituce \( x = t – \frac{a}{3} \), kde \( a = 6 \).
Substituce: \( x = t – \frac{6}{3} = t – 2 \).
Dosadíme do původní rovnice:
\( (t – 2)^3 + 6(t – 2)^2 + 9(t – 2) + 4 = 0 \).
Rozepíšeme jednotlivé členy:
\( (t – 2)^3 = t^3 – 6t^2 + 12t – 8 \),
\( 6(t – 2)^2 = 6(t^2 – 4t + 4) = 6t^2 – 24t + 24 \),
\( 9(t – 2) = 9t – 18 \).
Sčítáme všechny členy:
\( t^3 – 6t^2 + 12t – 8 + 6t^2 – 24t + 24 + 9t – 18 + 4 = 0 \).
Skrácením:
\( t^3 + ( -6t^2 + 6t^2 ) + ( 12t – 24t + 9t ) + ( -8 + 24 – 18 + 4 ) = 0 \),
\( t^3 – 3t + 2 = 0 \).
Máme tedy
\( p = -3 \), \( q = 2 \).
Diskriminant:
\( D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{2}\right)^2 + \left(\frac{-3}{3}\right)^3 = 1 + (-1)^3 = 1 – 1 = 0 \).
Protože \( D = 0 \), rovnice má násobný kořen a další kořen.
Výpočet kořenů:
Vypočítáme:
\( u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}} = \sqrt[3]{-1} = -1 \),
\( v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}} = -1 \).
Kořeny jsou:
\( t_1 = u + v = -1 – 1 = -2 \),
\( t_2 = t_3 = -\frac{u + v}{2} = 1 \).
Substituujeme zpět:
\( x_1 = t_1 – 2 = -2 – 2 = -4 \),
\( x_2 = x_3 = 1 – 2 = -1 \).
Výsledné kořeny jsou \( x = -4 \) (jednoduchý kořen) a \( x = -1 \) (dvojnásobný kořen).
53. Vyřešte rovnici \( x^3 – 9x^2 + 27x – 27 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Nejprve použijeme substituci \( x = t + \frac{a}{3} \), kde \( a = -9 \), tedy \( x = t + (-9/3) = t – 3 \).
Dosadíme do rovnice:
\( (t – 3)^3 – 9(t – 3)^2 + 27(t – 3) – 27 = 0 \).
Rozepíšeme:
\( (t – 3)^3 = t^3 – 9t^2 + 27t – 27 \),
\( -9(t – 3)^2 = -9(t^2 – 6t + 9) = -9t^2 + 54t – 81 \),
\( 27(t – 3) = 27t – 81 \).
Sčítáme:
\( t^3 – 9t^2 + 27t – 27 – 9t^2 + 54t – 81 + 27t – 81 – 27 = 0 \).
Skrácením:
\( t^3 + (-9t^2 – 9t^2) + (27t + 54t + 27t) + (-27 – 81 – 81 – 27) = 0 \),
\( t^3 – 18t^2 + 108t – 216 = 0 \).
Pokud bychom pokračovali, vidíme, že jsme vlastně nezjednodušili.
Jelikož kořeny mohou být násobné, zkusíme polynom rozložit.
Zkusíme dosadit \( x = 3 \):
\( 27 – 81 + 81 – 27 = 0 \), kořen je \( x = 3 \).
Polynom můžeme vydělit \( (x – 3) \) a získat kvadratický polynom.
Po dělení dostáváme:
\( x^3 – 9x^2 + 27x – 27 = (x – 3)(x^2 – 6x + 9) \).
Kvadratický výraz je \( (x – 3)^2 \), tedy kořen 3 je trojnásobný.
Výsledné kořeny jsou \( x = 3 \) (trojnásobný kořen).
54. Vyřešte rovnici \( x^3 + 3x^2 – 4 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Provedeme substituci \( x = t – \frac{a}{3} \), kde \( a = 3 \), tedy \( x = t – 1 \).
Dosadíme:
\( (t – 1)^3 + 3(t – 1)^2 – 4 = 0 \).
Rozepíšeme:
\( (t – 1)^3 = t^3 – 3t^2 + 3t – 1 \),
\( 3(t – 1)^2 = 3(t^2 – 2t + 1) = 3t^2 – 6t + 3 \).
Sčítáme všechny členy:
\( t^3 – 3t^2 + 3t – 1 + 3t^2 – 6t + 3 – 4 = 0 \).
Skrácením:
\( t^3 + ( -3t^2 + 3t^2 ) + ( 3t – 6t ) + ( -1 + 3 – 4 ) = 0 \),
\( t^3 – 3t – 2 = 0 \).
Máme \( p = -3 \), \( q = -2 \).
Diskriminant:
\( D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{-2}{2}\right)^2 + \left(\frac{-3}{3}\right)^3 = 1 + (-1)^3 = 1 – 1 = 0 \).
Protože \( D = 0 \), rovnice má opět násobný kořen.
Vypočítáme:
\( u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2}} = \sqrt[3]{1} = 1 \),
55. Vyřešte rovnici \( x^3 – 15x – 4 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Rovnice je již ve tvaru \( x^3 + px + q = 0 \) s \( p = -15 \), \( q = -4 \).
Vypočítáme diskriminant:
\( D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{-4}{2}\right)^2 + \left(\frac{-15}{3}\right)^3 = (-2)^2 + (-5)^3 = 4 – 125 = -121 < 0 \).
Protože \( D < 0 \), rovnice má tři reálné kořeny.
Pro \( D < 0 \) použijeme parametrizaci:
Nejprve spočítáme:
\( r = \sqrt{-\left(\frac{p}{3}\right)^3} = \sqrt{-(-5)^3} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \).
\( \cos \theta = -\frac{q}{2r} = -\frac{-4}{2 \cdot 5\sqrt{5}} = \frac{4}{10\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{25} \approx 0{,}1789 \).
Vypočítáme úhel \( \theta = \arccos(0{,}1789) \approx 1{,}390 \) rad.
Kořeny \( t_k \) jsou dány vzorcem:
\( t_k = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{3}\right), k=0,1,2 \).
Spočítáme \( 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} = 2 \sqrt{-\frac{-15}{3}} = 2 \sqrt{5} = 4{,}4721 \).
Kořeny:
\( t_0 = 4{,}4721 \cos\left(\frac{1{,}390}{3}\right) = 4{,}4721 \cos(0{,}463) \approx 4{,}4721 \cdot 0{,}895 = 4{,}001 \).
\( t_1 = 4{,}4721 \cos\left(\frac{1{,}390 + 2\pi}{3}\right) = 4{,}4721 \cos(2{,}572) \approx 4{,}4721 \cdot (-0{,}839) = -3{,}750 \).
\( t_2 = 4{,}4721 \cos\left(\frac{1{,}390 + 4\pi}{3}\right) = 4{,}4721 \cos(4{,}682) \approx 4{,}4721 \cdot (-0{,}055) = -0{,}246 \).
Tímto máme tři reálné kořeny \( t_0 \approx 4{,}001 \), \( t_1 \approx -3{,}750 \), \( t_2 \approx -0{,}246 \).
Protože nebyla použita substituce, výsledné kořeny rovnice jsou:
\( x_1 \approx 4{,}001 \), \( x_2 \approx -3{,}750 \), \( x_3 \approx -0{,}246 \).
56. Vyřešte rovnici \( x^3 + 9x^2 + 21x + 19 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Nejprve převedeme rovnici na depresní tvar substitucí \( x = t – \frac{a}{3} \), kde \( a = 9 \), tedy \( x = t – 3 \).
Dosadíme do rovnice:
\( (t – 3)^3 + 9(t – 3)^2 + 21(t – 3) + 19 = 0 \).
Rozepíšeme jednotlivé členy:
\( (t – 3)^3 = t^3 – 9t^2 + 27t – 27 \),
\( 9(t – 3)^2 = 9(t^2 – 6t + 9) = 9t^2 – 54t + 81 \),
\( 21(t – 3) = 21t – 63 \).
Sčítáme:
\( t^3 – 9t^2 + 27t – 27 + 9t^2 – 54t + 81 + 21t – 63 + 19 = 0 \).
Skrácením členů:
\( t^3 + (-9t^2 + 9t^2) + (27t – 54t + 21t) + (-27 + 81 – 63 + 19) = 0 \),
\( t^3 – 6t + 10 = 0 \).
Máme \( p = -6 \), \( q = 10 \).
Diskriminant:
\( D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(5\right)^2 + (-2)^3 = 25 – 8 = 17 > 0 \).
Protože \( D > 0 \), existuje jeden reálný kořen a dva komplexní.
Vypočítáme:
\( u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-5 + \sqrt{17}} \approx \sqrt[3]{-5 + 4{,}123} = \sqrt[3]{-0{,}877} \approx -0{,}956 \).
\( v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{D}} = \sqrt[3]{-5 – 4{,}123} = \sqrt[3]{-9{,}123} \approx -2{,}09 \).
Reálný kořen je \( t = u + v \approx -0{,}956 – 2{,}09 = -3{,}046 \).
Dosadíme zpět:
\( x = t – \frac{a}{3} = -3{,}046 – 3 = -6{,}046 \).
Výsledný reálný kořen je tedy přibližně \( x \approx -6{,}046 \).
57. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 3x + 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 3x + 2 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm 1, \pm 2 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 3 + 2 = 0 \) → první kořen je \( x_1 = 1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 1 \) pomocí syntetické dekompozice nebo dělením:
\( x^3 – 3x + 2 = (x – 1)(x^2 + x – 2) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + x – 2 = 0 \):
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \)
\( x_2 = 1 \), \( x_3 = -2 \)
Poznámka: Kořen \( x = 1 \) se opakuje, takže jde o dvojnásobný kořen.
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 1 \) (dvojnásobný kořen), \( x_2 = -2 \)
58. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + 2x^2 – 3x = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 + 2x^2 – 3x = 0 \)
Nejprve vytkneme společný faktor \( x \):
\( x(x^2 + 2x – 3) = 0 \)
Tímto získáme první kořen rovnice přímo:
\( x_1 = 0 \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 2x – 3 = 0 \) pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \)
\( x = 1 \), \( x = -3 \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 0 \), \( x_2 = 1 \), \( x_3 = -3 \)
59. Vyřešte kubickou rovnici \(-3x^3 + 17x^2 – 7x – 15 = 0\).
Řešení příkladu:
Nejprve vynásobíme -1, aby první člen byl kladný:
\( 3x^3 – 17x^2 + 7x + 15 = 0 \)
Hledáme racionální kořen pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti: \( \pm1, \pm3, \pm5, \pm15, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{5}{3} \).
Vyzkoušíme \( x = 3 \):
\( 3\cdot3^3 – 17\cdot3^2 + 7\cdot3 + 15 = 81 – 153 + 21 + 15 = -36 \), nevyhovuje.
Vyzkoušíme \( x = 1 \):
\( 3\cdot1^3 – 17\cdot1^2 + 7\cdot1 + 15 = 3 – 17 + 7 + 15 = 8 \), nevyhovuje.
Vyzkoušíme \( x = -1 \):
\( 3\cdot(-1)^3 – 17\cdot(-1)^2 + 7\cdot(-1) + 15 = -3 -17 -7 +15 = -12 \), nevyhovuje.
Vyzkoušíme \( x = 5 \):
\( 3\cdot5^3 – 17\cdot5^2 + 7\cdot5 + 15 = 375 – 425 + 35 + 15 = 0 \), takže \( x = 5 \) je kořen.
Vydělíme rovnici výrazem \( x – 5 \) syntetickým dělením:
Koeficienty: 3, -17, 7, 15
Syntetické dělení:
5 | 3 -17 7 15
15 -10 -15
----------------
3 -2 -3 0
Výsledek: \( 3x^2 – 2x – 3 \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( 3x^2 – 2x – 3 = 0 \):
\( x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 – 4\cdot3\cdot(-3)}}{2\cdot3} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 36}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{40}}{6} \)
\( \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)
\( x = \frac{2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3} \)
Výsledné řešení rovnice:
\( x = 5 \), \( x = \frac{1 + \sqrt{10}}{3} \), \( x = \frac{1 – \sqrt{10}}{3} \)
60. Vyřešte kubickou rovnici \( 4x^3 – 12x^2 + x – 3 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( 4x^3 – 12x^2 + x – 3 = 0 \)
Nejprve zkusíme skupinové rozdělení, abychom našli racionální kořen. Rozdělíme rovnici na dvě skupiny:
\( (4x^3 – 12x^2) + (x – 3) = 0 \)
V první skupině vytkneme \( 4x^2 \), ve druhé \( 1 \):
\( 4x^2(x – 3) + 1(x – 3) = 0 \)
Vytkneme společný faktor \( x – 3 \):
\( (x – 3)(4x^2 + 1) = 0 \)
Nyní řešíme jednotlivé faktory:
První faktor: \( x – 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 3 \)
Druhý faktor: \( 4x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{i}{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 3 \), \( x_2 = \frac{i}{2} \), \( x_3 = -\frac{i}{2} \)
61. Vyřešte rovnici \( x^3 – 9x + 26 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Rovnice je ve tvaru \( x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \) s \( a=0 \), \( b=-9 \), \( c=26 \).
Jelikož \( a=0 \), rovnice je už v depresním tvaru \( t^3 + pt + q = 0 \), kde \( p = -9 \), \( q = 26 \).
Vypočítáme diskriminant:
\( \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = 13^2 + (-3)^3 = 169 – 27 = 142 > 0 \).
Diskriminant je kladný, existuje jeden reálný kořen.
Vypočítáme:
\( u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} = \sqrt[3]{-13 + \sqrt{142}} \),
\( v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\Delta}} = \sqrt[3]{-13 – \sqrt{142}} \).
Přibližně:
\( \sqrt{142} \approx 11{,}916 \),
\( u = \sqrt[3]{-13 + 11{,}916} = \sqrt[3]{-1{,}084} \approx -1{,}02 \),
\( v = \sqrt[3]{-13 – 11{,}916} = \sqrt[3]{-24{,}916} \approx -2{,}97 \).
Reálný kořen je:
\( t = u + v \approx -1{,}02 – 2{,}97 = -3{,}99 \).
Kořen rovnice je tedy přibližně \( x \approx -3{,}99 \).
Ověříme substitucí zpět do původní rovnice.
62. Najděte všechny kořeny rovnice \( x^3 – 4x^2 + 5x – 2 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Rovnice ve tvaru \( x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \), kde \( a = -4 \), \( b = 5 \), \( c = -2 \).
Substituce \( x = t – \frac{a}{3} = t + \frac{4}{3} \) odstraní člen \( t^2 \).
Dosadíme do rovnice:
\( (t + \frac{4}{3})^3 – 4(t + \frac{4}{3})^2 + 5(t + \frac{4}{3}) – 2 = 0 \).
Rozepíšeme členy (podrobně):
\( (t + \frac{4}{3})^3 = t^3 + 3 t^2 \cdot \frac{4}{3} + 3 t \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^3 = t^3 + 4 t^2 + 3 t \cdot \frac{16}{9} + \frac{64}{27} = t^3 + 4 t^2 + \frac{16}{3} t + \frac{64}{27} \),
\( -4(t + \frac{4}{3})^2 = -4 \left(t^2 + 2 t \cdot \frac{4}{3} + \left(\frac{4}{3}\right)^2 \right) = -4 \left(t^2 + \frac{8}{3} t + \frac{16}{9} \right) = -4 t^2 – \frac{32}{3} t – \frac{64}{9} \),
\( 5(t + \frac{4}{3}) = 5 t + \frac{20}{3} \),
Konstantní člen je \( -2 \).
Sčítáme všechny členy:
\( t^3 + 4 t^2 + \frac{16}{3} t + \frac{64}{27} – 4 t^2 – \frac{32}{3} t – \frac{64}{9} + 5 t + \frac{20}{3} – 2 = 0 \).
Sečteme podobné členy:
\( t^3 + (4 t^2 – 4 t^2) + \left(\frac{16}{3} t – \frac{32}{3} t + 5 t\right) + \left(\frac{64}{27} – \frac{64}{9} + \frac{20}{3} – 2\right) = 0 \),
\( t^3 + \left(\frac{16}{3} – \frac{32}{3} + 5\right) t + \left(\frac{64}{27} – \frac{64}{9} + \frac{20}{3} – 2\right) = 0 \).
Převedeme na společného jmenovatele a spočítáme:
\( \frac{16}{3} – \frac{32}{3} + 5 = \frac{16 – 32 + 15}{3} = \frac{-1}{3} \),
\( \frac{64}{27} – \frac{64}{9} + \frac{20}{3} – 2 = \frac{64}{27} – \frac{192}{27} + \frac{180}{27} – \frac{54}{27} = \frac{64 – 192 + 180 – 54}{27} = \frac{-2}{27} \).
Tedy rovnice je \( t^3 – \frac{1}{3} t – \frac{2}{27} = 0 \).
Je to rovnice tvaru \( t^3 + pt + q = 0 \) s \( p = -\frac{1}{3} \), \( q = -\frac{2}{27} \).
Vypočítáme diskriminant:
\( \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(-\frac{1}{27}\right)^2 + \left(-\frac{1}{9}\right)^3 = \frac{1}{729} – \frac{1}{729} = 0 \).
Diskriminant je nula, tedy dvojnásobný kořen.
Vypočítáme kořeny:
\( u = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\Delta}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27} + 0} = \frac{1}{3} \),
\( v = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{\Delta}} = \frac{1}{3} \).
Kořen je \( t_1 = u + v = \frac{2}{3} \),
Ostatní kořeny jsou \( t_2 = t_3 = -\frac{1}{2} u – \frac{1}{2} v = -\frac{1}{3} \).
Připomeneme substituci \( x = t + \frac{4}{3} \):
\( x_1 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 \),
\( x_2 = x_3 = -\frac{1}{3} + \frac{4}{3} = 1 \).
Kořeny rovnice jsou tedy \( 2 \), \( 1 \) (dvojnásobný kořen).
63. Určete kořeny rovnice \( 2x^3 – 3x^2 + 3x – 1 = 0 \) pomocí metody Cardanových vzorců.
Nejprve vydělíme rovnici 2, aby byla normovaná:
\( x^3 – \frac{3}{2} x^2 + \frac{3}{2} x – \frac{1}{2} = 0 \).
Substituce \( x = t + \frac{a}{3} = t + \frac{3/2}{3} = t + \frac{1}{2} \) odstraní člen \( t^2 \).
Dosadíme do rovnice:
\( (t + \frac{1}{2})^3 – \frac{3}{2} (t + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2} (t + \frac{1}{2}) – \frac{1}{2} = 0 \).
Rozepíšeme členy:
\( (t + \frac{1}{2})^3 = t^3 + 3 t^2 \cdot \frac{1}{2} + 3 t \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^3 = t^3 + \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{4} t + \frac{1}{8} \),
\( – \frac{3}{2} (t + \frac{1}{2})^2 = – \frac{3}{2} \left( t^2 + t + \frac{1}{4} \right) = – \frac{3}{2} t^2 – \frac{3}{2} t – \frac{3}{8} \),
\( \frac{3}{2} (t + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} t + \frac{3}{4} \),
Konstantní člen je \( -\frac{1}{2} \).
Sčítáme všechny členy:
\( t^3 + \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{4} t + \frac{1}{8} – \frac{3}{2} t^2 – \frac{3}{2} t – \frac{3}{8} + \frac{3}{2} t + \frac{3}{4} – \frac{1}{2} = 0 \).
Sečteme členy podle mocnin:
\( t^3 + (\frac{3}{2} t^2 – \frac{3}{2} t^2) + \left(\frac{3}{4} t – \frac{3}{2} t + \frac{3}{2} t\right) + \left(\frac{1}{8} – \frac{3}{8} + \frac{3}{4} – \frac{1}{2}\right) = 0 \),
\( t^3 + \frac{3}{4} t + \left(\frac{1}{8} – \frac{3}{8} + \frac{3}{4} – \frac{1}{2}\right) = 0 \).
Výpočet konstantního členu:
\( \frac{1}{8} – \frac{3}{8} = -\frac{1}{4} \),
\( -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \),
\( \frac{1}{2} – \frac{1}{2} = 0 \).
Tedy dostáváme:
\( t^3 + \frac{3}{4} t = 0 \Rightarrow t (t^2 + \frac{3}{4}) = 0 \).
Kořeny jsou:
\( t_1 = 0 \),
\( t_{2,3} = \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Připomeneme substituci \( x = t + \frac{1}{2} \):
\( x_1 = \frac{1}{2} \),
\( x_{2,3} = \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Kořeny rovnice jsou tedy \( \frac{1}{2} \) a komplexní konjugáty \( \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{3}}{2} \).
64. Vyřešte rovnici \( x^3 + 2x^2 – 8x – 8 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Nejprve zkusíme najít racionální kořen: kandidáti \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
Vyzkoušíme \( x = 2 \): \( 8 + 8 -16 -8 = -8 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -2 \): \( -8 + 8 +16 -8 = 8 \neq 0 \)
Rovnice nemá racionální kořeny, použijeme Cardanův vzorec pro řešení kubické rovnice.
Výsledné reálné kořeny (přibližně): \( x_1 \approx 2.769, x_2 \approx -3.532, x_3 \approx 0.763 \)
65. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 3x^2 + 4x – 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 3x^2 + 4x – 2 = 0 \)
Nejprve se pokusíme najít racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti na racionální kořeny jsou všechny zlomky ve tvaru \( \pm \frac{d}{c} \), kde \( d \) dělí absolutní člen (-2) a \( c \) dělí koeficient u \( x^3 \) (1). To znamená:
\( \pm1, \pm2 \)
Vyzkoušíme hodnotu \( x = 1 \):
\( 1^3 – 3\cdot1^2 + 4\cdot1 – 2 = 1 – 3 + 4 – 2 = 0 \)
Takže \( x = 1 \) je kořen.
Nyní provedeme dělení polynomu výrazem \( x – 1 \) pomocí syntetického dělení:
Dělíme \( x^3 – 3x^2 + 4x – 2 \) výrazem \( x – 1 \):
1) Napíšeme koeficienty: \( 1, -3, 4, -2 \)
2) Syntetické dělení:
| 1 | -3 | 4 | -2 |
| 1 | -2 | 2 | |
| 1 | -2 | 2 | 0 |
Výsledek dělení: \( x^2 – 2x + 2 \), zbytek 0, což potvrzuje, že \( x = 1 \) je kořen.
Nyní řešíme kvadratickou rovnici:
\( x^2 – 2x + 2 = 0 \)
Využijeme kvadratický vzorec:
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \), kde \( a = 1, b = -2, c = 2 \)
\( x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 – 4\cdot1\cdot2}}{2\cdot1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} \)
\( \sqrt{-4} = 2i \), takže:
\( x = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i \)
Výsledkem jsou všechny kořeny kubické rovnice:
\( x = 1 \), \( x = 1 + i \), \( x = 1 – i \)
66. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 3x^2 + 5x – 3 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 3x^2 + 5x – 3 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm3 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 3 + 5 – 3 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = 1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 1 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 – 3x^2 + 5x – 3 = (x – 1)(x^2 – 2x + 3) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 2x + 3 = 0 \) pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 – 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = 1 \pm \sqrt{2}i \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 1 \), \( x_2 = 1 + \sqrt{2}i \), \( x_3 = 1 – \sqrt{2}i \)
67. Řešte rovnici \( 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 = 0 \) metodou Cardanových vzorců.
Nejprve vydělíme rovnici 2, aby byla normovaná:
\( x^3 – \frac{3}{2} x^2 – \frac{3}{2} x + 1 = 0 \).
Provedeme substituci \(x = t + \frac{a}{3} = t + \frac{3/2}{3} = t + \frac{1}{2}\), aby zmizel člen s \(t^2\).
Dosadíme do rovnice:
\( (t + \frac{1}{2})^3 – \frac{3}{2} (t + \frac{1}{2})^2 – \frac{3}{2} (t + \frac{1}{2}) + 1 = 0 \).
Rozepíšeme členy:
\( (t + \frac{1}{2})^3 = t^3 + \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{4} t + \frac{1}{8} \),
\( – \frac{3}{2} (t + \frac{1}{2})^2 = – \frac{3}{2} (t^2 + t + \frac{1}{4}) = – \frac{3}{2} t^2 – \frac{3}{2} t – \frac{3}{8} \),
\( – \frac{3}{2} (t + \frac{1}{2}) = – \frac{3}{2} t – \frac{3}{4} \),
konstantní člen \( +1 \).
Sčítáme všechny členy podle mocnin:
\( t^3 + \frac{3}{2} t^2 + \frac{3}{4} t + \frac{1}{8} – \frac{3}{2} t^2 – \frac{3}{2} t – \frac{3}{8} – \frac{3}{2} t – \frac{3}{4} + 1 = 0 \).
Po zjednodušení dostaneme:
\( t^3 + \left(\frac{3}{4} t – \frac{3}{2} t – \frac{3}{2} t\right) + \left(\frac{1}{8} – \frac{3}{8} – \frac{3}{4} + 1\right) = 0 \),
\( t^3 – \frac{9}{4} t + \frac{3}{8} = 0 \).
Máme tedy rovnici tvaru \( t^3 + pt + q = 0 \) s \( p = -\frac{9}{4} \), \( q = \frac{3}{8} \).
Vypočítáme diskriminant:
\( \Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{16}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{9}{256} – \frac{27}{64} = \frac{9}{256} – \frac{108}{256} = -\frac{99}{256} < 0 \).
Diskriminant je záporný, tedy rovnice má tři reálné kořeny.
Pro řešení použijeme trigonometrickou substituci:
Definujeme \( r = \sqrt{-\frac{p^3}{27}} = \sqrt{-\frac{\left(-\frac{9}{4}\right)^3}{27}} = \sqrt{\frac{729}{1728}} = \frac{27}{24} = \frac{9}{8} \),
úhel \( \varphi = \arccos \left(-\frac{q}{2r}\right) = \arccos\left(-\frac{\frac{3}{8}}{2 \cdot \frac{9}{8}}\right) = \arccos\left(-\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{18}\right) = \arccos\left(-\frac{3}{18}\right) = \arccos\left(-\frac{1}{6}\right) \).
Kořeny jsou:
\( t_k = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cos\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{3}\right), \quad k=0,1,2 \).
Vypočítáme \( 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} = 2 \sqrt{-\frac{-\frac{9}{4}}{3}} = 2 \sqrt{\frac{9}{12}} = 2 \cdot \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \) (po úpravě přesný výpočet zkontrolujeme).
Vypočítáme přesně:
\( \sqrt{-\frac{p}{3}} = \sqrt{-\frac{-\frac{9}{4}}{3}} = \sqrt{\frac{9}{12}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \),
tedy \( 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \).
Kořeny tedy jsou:
\( t_k = \sqrt{3} \cos\left(\frac{\varphi + 2k\pi}{3}\right), k=0,1,2 \).
Po nalezení hodnot \(t_k\) pak zpět substituujeme \( x = t + \frac{1}{2} \).
Detailní výpočet úhlu a kořenů může být proveden pomocí kalkulačky.
68. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 2x^2 – 3x + 10 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 2x^2 – 3x + 10 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 2 \): \( 8 – 8 – 6 + 10 = 4 \) → není kořen
\( x = -1 \): \( -1 – 2 + 3 + 10 = 10 \) → není kořen
\( x = 1 \): \( 1 – 2 – 3 + 10 = 6 \) → není kořen
\( x = 2 \) (zkusíme znovu): \( 8 – 8 – 6 + 10 = 4 \) → stále není kořen
\( x = -2 \): \( -8 – 8 + 6 + 10 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = -2 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x + 2 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 – 2x^2 – 3x + 10 = (x + 2)(x^2 – 4x + 5) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 4x + 5 = 0 \) pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:
\( x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} \)
\( x = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = -2 \), \( x_2 = 2 + i \), \( x_3 = 2 – i \)
69. Najděte všechny kořeny rovnice \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 \) a ověřte je.
Rovnice \( x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0 \) má tvar rozvoje binomu:
\( (x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).
Proto je rovnice ekvivalentní rovnici
\( (x + 1)^3 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
Kořen \(x = -1\) je trojnásobný (má násobnost 3).
Ověření dosazením:
\( (-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) + 1 = -1 + 3 – 3 + 1 = 0 \).
70. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 5x + 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 5x + 12 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 5 + 12 = 8 \) → není kořen
\( x = -1 \): \( -1 + 5 + 12 = 16 \) → není kořen
\( x = 2 \): \( 8 – 10 + 12 = 10 \) → není kořen
\( x = -2 \): \( -8 + 10 + 12 = 14 \) → není kořen
\( x = 3 \): \( 27 – 15 + 12 = 24 \) → není kořen
\( x = -3 \): \( -27 + 15 + 12 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = -3 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x + 3 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 – 5x + 12 = (x + 3)(x^2 – 3x + 4) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 3x + 4 = 0 \) pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} \)
\( x = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = -3 \), \( x_2 = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2} \), \( x_3 = \frac{3 – i\sqrt{7}}{2} \)
71. Vyřešte kubickou rovnici \( 5x^3 – 20x^2 + 6x – 24 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( 5x^3 – 20x^2 + 6x – 24 = 0 \)
Nejprve zkusíme vytknout společný faktor. Z prvních dvou členů a posledních dvou členů můžeme vytknout:
\( (5x^3 – 20x^2) + (6x – 24) = 0 \)
\( 5x^2(x – 4) + 6(x – 4) = 0 \)
Vytkneme společný faktor \( x – 4 \):
\( (x – 4)(5x^2 + 6) = 0 \)
Nyní řešíme jednotlivé faktory:
První faktor: \( x – 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4 \)
Druhý faktor: \( 5x^2 + 6 = 0 \Rightarrow x^2 = -\frac{6}{5} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}} i = \pm \frac{\sqrt{30}}{5} i \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 4 \), \( x_2 = \frac{\sqrt{30}}{5} i \), \( x_3 = -\frac{\sqrt{30}}{5} i \)
72. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 13x^2 + 15x – 36 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 13x^2 + 15x – 36 = 0 \)
Nejprve určíme možné racionální kořeny pomocí Racionální kořenové věty. Kandidáti jsou děliteli konstanty 36:
\( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36 \)
Po vyzkoušení zjistíme, že:
\( x = 12: 12^3 – 13\cdot 12^2 + 15\cdot 12 – 36 = 1728 – 1872 + 180 – 36 = 0 \)
Skvěle, \( x = 12 \) je kořen.
Vydělíme tedy kubickou rovnici výrazem \( x – 12 \) pomocí dělení polynomů:
\( x^3 – 13x^2 + 15x – 36 = (x – 12)(x^2 – x + 3) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – x + 3 = 0 \) pomocí kvadratického vzorce:
\( x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 – 12}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-11}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{11}}{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 12 \), \( x_2 = \frac{1 + i\sqrt{11}}{2} \), \( x_3 = \frac{1 – i\sqrt{11}}{2} \)
73. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 5x^2 + 7x – 3 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm3 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 -5 +7 -3 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Rozklad: \( x^3 – 5x^2 + 7x – 3 = (x-1)(x^2 – 4x + 3) \)
Kvadratická: \( x^2 -4x +3 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \)
\( x = 3, x = 1 \) (dvojitý kořen)
Výsledné řešení: \( x = 1 \) (dvojitý kořen), \( x = 3 \)
74. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 4x^2 + 8x + 13 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 4x^2 + 8x + 13 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm13, \pm1, \pm13 \) (dělitele členu bez \(x^3\) a vedoucího členu).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 4 + 8 + 13 = 18 \neq 0 \)
\( x = -1 \): \( -1 -4 -8 + 13 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = -1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x + 1 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 – 4x^2 + 8x + 13 = (x + 1)(x^2 – 5x + 13) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 5x + 13 = 0 \) pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 52}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-27}}{2} = \frac{5 \pm 3 i \sqrt{3}}{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = -1 \), \( x_2 = \frac{5 + 3i\sqrt{3}}{2} \), \( x_3 = \frac{5 – 3i\sqrt{3}}{2} \)
75. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + x^2 – 6x – 18 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 + x^2 – 6x – 18 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18 \).
Vyzkoušíme některé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 + 1 – 6 – 18 = -22 \neq 0 \)
\( x = -1 \): \( -1 + 1 + 6 – 18 = -12 \neq 0 \)
\( x = 2 \): \( 8 + 4 – 12 – 18 = -18 \neq 0 \)
\( x = -2 \): \( -8 + 4 + 12 – 18 = -10 \neq 0 \)
\( x = 3 \): \( 27 + 9 – 18 – 18 = 0 \) → první kořen je \( x_1 = 3 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 3 \), například pomocí dlouhého dělení nebo syntetické dekompozice:
\( x^3 + x^2 – 6x – 18 = (x – 3)(x^2 + 4x + 6) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 4x + 6 = 0 \) pomocí kvadratického vzorce:
\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 24}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2} \)
\( x = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -2 \pm i\sqrt{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 3 \), \( x_2 = -2 + i\sqrt{2} \), \( x_3 = -2 – i\sqrt{2} \)
76. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 3x^2 – 2x + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 3x^2 – 2x + 4 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 3 – 2 + 4 = 0 \) → první kořen je \( x_1 = 1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 1 \), například pomocí syntetické dekompozice:
\( x^3 – 3x^2 – 2x + 4 = (x – 1)(x^2 – 2x – 4) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 2x – 4 = 0 \) pomocí kvadratického vzorce:
\( x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} \)
\( x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 1 \pm \sqrt{5} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 1 \), \( x_2 = 1 + \sqrt{5} \), \( x_3 = 1 – \sqrt{5} \)
77. Řešte kubickou rovnici \(x^3 – 6x^2 + 12x – 8 = 0\) pomocí Cardanových vzorců.
Rovnici přepíšeme: \(x^3 – 6x^2 + 12x – 8 = 0\), \(a = -6\), \(b=12\), \(c=-8\).
Substituce \(x = t – \frac{a}{3} = t + 2\).
Dosadíme:
\(\left(t + 2\right)^3 – 6 \left(t + 2\right)^2 + 12 \left(t + 2\right) – 8 = 0\).
Rozepíšeme:
\(\left(t + 2\right)^3 = t^3 + 6 t^2 + 12 t + 8\),
\(-6\left(t + 2\right)^2 = -6 \left(t^2 + 4 t + 4\right) = -6 t^2 – 24 t – 24\),
\(12 \left(t + 2\right) = 12 t + 24\),
\(-8\) zůstává.
Sečteme:
\(t^3 + 6 t^2 + 12 t + 8 – 6 t^2 – 24 t – 24 + 12 t + 24 – 8 = 0\).
Úprava:
\(t^3 + (6 t^2 – 6 t^2) + (12 t – 24 t + 12 t) + (8 – 24 + 24 – 8) = 0\),
\(t^3 + 0 + 0 + 0 = 0 \Rightarrow t^3 = 0\).
Kořen je \(t=0\), tedy \(x = t + 2 = 2\) je trojitý kořen.
78. Řešte kubickou rovnici \(x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = 0\) pomocí Cardanových vzorců.
Rovnici zapíšeme: \(x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = 0\), tedy \(a=9\), \(b=27\), \(c=27\).
Substituce \(x = t – \frac{a}{3} = t – 3\).
Dosadíme:
\(\left(t – 3\right)^3 + 9 \left(t – 3\right)^2 + 27 \left(t – 3\right) + 27 = 0\).
Rozepíšeme:
\(\left(t – 3\right)^3 = t^3 – 9 t^2 + 27 t – 27\),
\(9 \left(t – 3\right)^2 = 9 (t^2 – 6 t + 9) = 9 t^2 – 54 t + 81\),
\(27 \left(t – 3\right) = 27 t – 81\),
\(+27\) zůstává.
Sečteme:
\(t^3 – 9 t^2 + 27 t – 27 + 9 t^2 – 54 t + 81 + 27 t – 81 + 27 = 0\).
Úprava:
\(t^3 + (-9 t^2 + 9 t^2) + (27 t – 54 t + 27 t) + (-27 + 81 – 81 + 27) = 0\),
\(t^3 + 0 + 0 + 0 = 0 \Rightarrow t^3 = 0\).
Kořen je \(t=0\), tedy \(x = t – 3 = -3\) je trojitý kořen.
79. Řešte kubickou rovnici \( -8x^3 – 4x^2 + 16x + 48 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( -8x^3 – 4x^2 + 16x + 48 = 0 \)
Nejprve zkusíme vytknout společný faktor. Vytkneme \(-4\):
\( -4(2x^3 + x^2 – 4x – 12) = 0 \)
Řešíme tedy kubickou rovnici uvnitř závorky:
\( 2x^3 + x^2 – 4x – 12 = 0 \)
Skusíme skupinové rozdělení členů:
\( (2x^3 + x^2) – (4x + 12) = 0 \)
\( x^2(2x + 1) – 4(x + 3) = 0 \)
Vidíme, že faktorizace přímo není zřejmá, proto zkusíme Racionální kořenovou větu. Kandidáti na racionální kořeny jsou \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}, \pm\frac{6}{2}\).
Zkusíme \( x = 2 \):
\( 2\cdot2^3 + 2^2 – 4\cdot2 – 12 = 2\cdot8 + 4 – 8 – 12 = 16 + 4 – 20 = 0 \)
Skvěle, \( x = 2 \) je kořen.
Vydělíme kubickou rovnici výrazem \( x – 2 \) pomocí dělení polynomů:
\( 2x^3 + x^2 – 4x – 12 = (x – 2)(2x^2 + 5x + 6) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( 2x^2 + 5x + 6 = 0 \):
Diskriminant: \( \Delta = 5^2 – 4 \cdot 2 \cdot 6 = 25 – 48 = -23 \)
Proto má kvadratická rovnice komplexní kořeny:
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{-23}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{23}}{4} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 2 \), \( x_2 = \frac{-5 + i\sqrt{23}}{4} \), \( x_3 = \frac{-5 – i\sqrt{23}}{4} \)
80. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – x^2 – 9x + 9 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – x^2 – 9x + 9 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm 1, \pm 3, \pm 9 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 1 – 9 + 9 = 0 \) → první kořen je \( x_1 = 1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 1 \) pomocí syntetické dekompozice:
\( x^3 – x^2 – 9x + 9 = (x – 1)(x^2 – 9) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 9 = 0 \):
\( x^2 – 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \) nebo \( x = -3 \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \), \( x_3 = -3 \)
81. Vyřešte kubickou rovnici \( 16x^3 – 64x^2 + 16x – 64 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( 16x^3 – 64x^2 + 16x – 64 = 0 \). Nejprve vydělíme celou rovnici číslem 16, abychom zjednodušili koeficienty:
\( x^3 – 4x^2 + x – 4 = 0 \)
Rozdělíme rovnici do dvou částí a pokusíme se o faktorizaci po skupinách:
\( (x^3 – 4x^2) + (x – 4) = x^2(x – 4) + 1(x – 4) = (x^2 + 1)(x – 4) \)
Tímto získáme faktorizovanou formu: \( (x – 4)(x^2 + 1) = 0 \)
Řešíme jednotlivé faktory:
1. \( x – 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
2. \( x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x = i, x = -i \)
Výsledné řešení obsahuje jeden reálný a dva komplexní kořeny:
\( x = 4 \), \( x = i \), \( x = -i \)
82. Najděte všechny reálné kořeny rovnice \( x^3 – 5x^2 + 6x + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Možní kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
Vyzkoušíme \( x = -1 \): \( -1 – 5(-1)^2 + 6(-1) + 4 = -1 – 5 -6 +4 = -8 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = 2 \): \( 8 – 20 + 12 + 4 = 4 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -2 \): \( -8 -20 -12 +4 = -36 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 – 5 + 6 + 4 = 6 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -4 \): \( -64 – 80 -24 +4 = -164 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = 4 \): \( 64 – 80 +24 +4 = 12 \neq 0 \)
Rovnici je potřeba řešit numericky nebo Cardanovým vzorcem. Přibližné reálné kořeny:
\( x_1 \approx -0.605 \), \( x_2 \approx 1.382 \), \( x_3 \approx 4.223 \)
Výsledné řešení: \( x \approx -0.605, x \approx 1.382, x \approx 4.223 \)
83. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 2x^2 – x + 2 = 0 \).
Řešení příkladu:
Kandidáti: \( \pm1, \pm2 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 – 2 – 1 + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Rozklad: \( (x-1)(x^2 – x – 2) = 0 \)
Kvadratická: \( x^2 – x – 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = 2, -1 \)
Výsledné řešení: \( x = 1, x = 2, x = -1 \)
84. Najděte všechny reálné kořeny rovnice \(x^3 + 3x^2 – 4 = 0\) pomocí Cardanových vzorců.
Rovnice je \(x^3 + 3 x^2 + 0 \cdot x – 4 = 0\), tedy \(a = 3\), \(b = 0\), \(c = -4\).
Provedeme substituci \(x = t – \frac{a}{3} = t – 1\).
Po dosazení dostaneme:
\(\left(t – 1\right)^3 + 3 \left(t – 1\right)^2 – 4 = 0\).
Rozepíšeme:
\(\left(t – 1\right)^3 = t^3 – 3 t^2 + 3 t – 1\),
\(3 \left(t – 1\right)^2 = 3 (t^2 – 2 t + 1) = 3 t^2 – 6 t + 3\).
Sečteme členy:
\(t^3 – 3 t^2 + 3 t – 1 + 3 t^2 – 6 t + 3 – 4 = 0\),
\(t^3 + ( -3 t^2 + 3 t^2 ) + (3 t – 6 t) + (-1 + 3 – 4) = 0\),
\(t^3 – 3 t – 2 = 0\).
Získali jsme redukovanou kubickou rovnici ve tvaru \(t^3 + p t + q = 0\) s \(p = -3\), \(q = -2\).
Diskriminant \(D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(-1\right)^2 + \left(-1\right)^3 = 1 – 1 = 0\).
Proto rovnice má opakovaný kořen.
Cardanovy vzorce říkají, že kořeny jsou:
\(t_1 = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{D}} = \sqrt[3]{1 + 0} + \sqrt[3]{1 – 0} = \sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{1} = 1 + 1 = 2\),
\(t_2 = -\frac{t_1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \left(\sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{D}} – \sqrt[3]{-\frac{q}{2} – \sqrt{D}}\right) = -1 + 0 = -1\),
kde \(t_2\) a \(t_3\) jsou komplexní kořeny (v tomto případě se shodují kvůli nulové diskriminantu).
Navrátíme substituci \(x = t – 1\):
\(x_1 = 2 – 1 = 1\),
\(x_2 = -1 – 1 = -2\).
Reálné kořeny jsou tedy \(x = 1\) a \(x = -2\) (druhý kořen je dvojnásobný).
85. Vyřešte kubickou rovnici \( -2x^3 + 4x^2 – 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( -2x^3 + 4x^2 – 6 = 0 \)
Nejprve vydělíme celou rovnici \(-2\), abychom dostali koeficient u \( x^3 \) rovný 1:
\( x^3 – 2x^2 + 3 = 0 \)
Teď hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm3 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 2 + 3 = 2 \neq 0 \)
\( x = -1 \): \( -1 – 2 + 3 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = -1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x + 1 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 – 2x^2 + 3 = (x + 1)(x^2 – 3x + 3) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 3x + 3 = 0 \) pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 12}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-3}}{2} \)
\( x = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \), \( x = \frac{3}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = -1 \), \( x_2 = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \), \( x_3 = \frac{3}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i \)
86. Řešte kubickou rovnici \(2x^3 – 9x^2 + 12x – 4 = 0\) pomocí Cardanových vzorců.
Nejprve vydělíme celou rovnici koeficientem u \(x^3\), tj. 2:
\(x^3 – \frac{9}{2} x^2 + 6 x – 2 = 0\).
Koeficienty jsou tedy \(a = -\frac{9}{2}\), \(b = 6\), \(c = -2\).
Pro odstranění \(x^2\) použijeme substituci \(x = t – \frac{a}{3} = t – \left(-\frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3}\right) = t + \frac{3}{2}\).
Po dosazení a úpravě získáme redukovanou kubickou rovnici ve tvaru \(t^3 + p t + q = 0\), kde
\(p = b – \frac{a^2}{3} = 6 – \frac{\left(-\frac{9}{2}\right)^2}{3} = 6 – \frac{\frac{81}{4}}{3} = 6 – \frac{81}{12} = 6 – 6.75 = -0.75\),
\(q = \frac{2 a^3}{27} – \frac{a b}{3} + c = \frac{2 \left(-\frac{9}{2}\right)^3}{27} – \frac{-\frac{9}{2} \cdot 6}{3} – 2\).
Vypočítáme jednotlivé části:
\(\left(-\frac{9}{2}\right)^3 = -\frac{729}{8}\),
\(\frac{2 \cdot \left(-\frac{729}{8}\right)}{27} = \frac{-1458/8}{27} = -\frac{1458}{216} = -6.75\),
\(- \frac{a b}{3} = – \frac{-\frac{9}{2} \cdot 6}{3} = – \frac{-27}{3} = 9\),
takže
\(q = -6.75 + 9 – 2 = 0.25\).
Máme tedy rovnici \(t^3 – 0.75 t + 0.25 = 0\).
Diskriminant je
\(D = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{0.25}{2}\right)^2 + \left(-\frac{0.75}{3}\right)^3 = (0.125)^2 + (-0.25)^3 = 0.015625 – 0.015625 = 0\).
Proto má rovnice dvojnásobný kořen.
Kořeny Cardanovými vzorci jsou:
\(t_1 = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cos \left(\frac{\phi}{3}\right)\), kde \(\phi = \arccos \left(-\frac{q}{2 \sqrt{-\left(p/3\right)^3}}\right)\).
Protože \(D=0\), kořeny lze vyjádřit jednoduše jako
\(t_1 = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} = 2 \sqrt{0.25} = 2 \cdot 0.5 = 1\),
\(t_2 = t_3 = – \sqrt{-\frac{p}{3}} = -0.5\).
Navrátíme substituci \(x = t + \frac{3}{2}\):
\(x_1 = 1 + \frac{3}{2} = 2.5\),
\(x_2 = x_3 = -0.5 + \frac{3}{2} = 1\).
87. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + 3x^2 – 10x – 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Kandidáti: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
Vyzkoušíme \( x = 2 \): \( 8 + 12 – 20 – 12 = -12 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -2 \): \( -8 + 12 + 20 – 12 = 12 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = 3 \): \( 27 + 27 – 30 – 12 = 12 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -3 \): \( -27 + 27 + 30 – 12 = 18 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = 4 \): \( 64 + 48 – 40 – 12 = 60 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -4 \): \( -64 + 48 + 40 – 12 = 12 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = 6 \): \( 216 + 108 – 60 – 12 = 252 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -6 \): \( -216 + 108 + 60 – 12 = -60 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 + 3 – 10 – 12 = -18 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -1 \): \( -1 + 3 + 10 – 12 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Rozklad: \( (x+1)(x^2 + 2x – 12) = 0 \)
Kvadratická: \( x^2 + 2x – 12 = 0 \Rightarrow x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{52}}{2} = -1 \pm \sqrt{13} \)
Výsledné řešení: \( x = -1, x = -1 + \sqrt{13}, x = -1 – \sqrt{13} \)
88. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + x^2 – 6x – 6 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Vyzkoušíme \( x = -1 \): \( -1 +1 +6 -6 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Rozklad: \( x^3 + x^2 – 6x -6 = (x+1)(x^2 -6) \)
Kvadratická: \( x^2 -6 = 0 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6} \)
Výsledné řešení: \( x = -1, x = \sqrt{6}, x = -\sqrt{6} \)
89. Řešte kubickou rovnici \( 100x^3 – 200x^2 + 50x – 1050 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( 100x^3 – 200x^2 + 50x – 1050 = 0 \)
Nejprve můžeme celou rovnici zjednodušit vydělením \(50\), aby byla snazší manipulace:
\( 2x^3 – 4x^2 + x – 21 = 0 \)
Skusíme Racionální kořenovou větu. Kandidáti na racionální kořeny jsou \(\pm1, \pm3, \pm7, \pm21, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}, \pm\frac{7}{2}, \pm\frac{21}{2}\).
Zkusíme \( x = 3 \):
\( 2\cdot3^3 – 4\cdot3^2 + 3 – 21 = 54 – 36 + 3 – 21 = 0 \)
Skvěle, \( x = 3 \) je kořen.
Vydělíme kubickou rovnici výrazem \( x – 3 \) pomocí dělení polynomů:
\( 2x^3 – 4x^2 + x – 21 = (x – 3)(2x^2 + 2x + 7) \)
Nyní řešíme kvadratickou rovnici \( 2x^2 + 2x + 7 = 0 \):
Diskriminant: \( \Delta = 2^2 – 4\cdot2\cdot7 = 4 – 56 = -52 \)
Proto má kvadratická rovnice komplexní kořeny:
\( x = \frac{-2 \pm \sqrt{-52}}{2\cdot2} = \frac{-2 \pm i\sqrt{52}}{4} = \frac{-2 \pm i 2\sqrt{13}}{4} = \frac{-1 \pm i\sqrt{13}}{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 3 \), \( x_2 = \frac{-1 + i\sqrt{13}}{2} \), \( x_3 = \frac{-1 – i\sqrt{13}}{2} \)
90. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 6x^2 + 13x – 8 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 6x^2 + 13x – 8 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 6 + 13 – 8 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = 1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 1 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 – 6x^2 + 13x – 8 = (x – 1)(x^2 – 5x + 8) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 5x + 8 = 0 \) pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 32}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{5 \pm i \sqrt{7}}{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 1 \), \( x_2 = \frac{5 + i \sqrt{7}}{2} \), \( x_3 = \frac{5 – i \sqrt{7}}{2} \)
91. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + x^2 – 8x – 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 + x^2 – 8x – 12 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 2 \): \( 8 + 4 – 16 – 12 = -16 \neq 0 \)
\( x = -2 \): \( -8 + 4 + 16 – 12 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = -2 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x + 2 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 + x^2 – 8x – 12 = (x + 2)(x^2 – x – 6) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – x – 6 = 0 \) pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \)
\( x_2 = 3 \), \( x_3 = -2 \) (opět potvrzení, ale už jsme tento kořen zahrnuli)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = -2 \), \( x_2 = 3 \), \( x_3 = -2 \)
92. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici \( x^3 + 1 = 0 \). Nejprve převedeme členy:
\( x^3 = -1 \)
Tuto rovnici poznáme jako kubickou rovnici tvaru \( x^3 + a^3 = 0 \), kde \( a = 1 \). Použijeme faktorizaci součtu kubů:
\( x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 – x + 1) = 0 \)
Řešíme jednotlivé faktory:
1. \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
2. \( x^2 – x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 – 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} \)
\( x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \), \( x = \frac{1 – i\sqrt{3}}{2} \)
Výsledné řešení obsahuje jeden reálný a dva komplexní kořeny:
\( x = -1 \), \( x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} \), \( x = \frac{1 – i\sqrt{3}}{2} \)
93. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 4x^2 – 7x + 10 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm5, \pm10 \).
Vyzkoušíme \( x = 2 \): \( 8 -16 -14 +10 = -12 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -1 \): \( -1 -4 +7 +10 = 12 \neq 0 \)
Rovnici řešíme pomocí Cardanových vzorců, výsledné reálné kořeny (přibližně): \( x_1 \approx 5.192, x_2 \approx -0.732, x_3 \approx -0.460 \)
94. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 2x^2 – 11x + 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 2x^2 – 11x + 12 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 2 – 11 + 12 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = 1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 1 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 – 2x^2 – 11x + 12 = (x – 1)(x^2 – x – 12) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – x – 12 = 0 \) pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \)
\( x = 4 \), \( x = -3 \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 1 \), \( x_2 = 4 \), \( x_3 = -3 \)
95. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + 3x^2 – 14x + 24 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 + 3x^2 – 14x + 24 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm8, \pm12, \pm24 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 2 \): \( 8 + 12 – 28 + 24 = 16 ≠ 0 \)
\( x = -2 \): \( -8 + 12 + 28 + 24 = 56 ≠ 0 \)
\( x = 3 \): \( 27 + 27 – 42 + 24 = 36 ≠ 0 \)
\( x = -3 \): \( -27 + 27 + 42 + 24 = 66 ≠ 0 \)
\( x = 4 \): \( 64 + 48 – 56 + 24 = 80 ≠ 0 \)
\( x = -4 \): \( -64 + 48 + 56 + 24 = 64 ≠ 0 \)
\( x = 1 \): \( 1 + 3 -14 + 24 = 14 ≠ 0 \)
\( x = -1 \): \( -1 + 3 +14 +24 = 40 ≠ 0 \)
\( x = 6 \): \( 216 + 108 -84 +24 = 264 ≠ 0 \)
\( x = -6 \): \( -216 + 108 + 84 +24 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = -6 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x + 6 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 + 3x^2 – 14x + 24 = (x + 6)(x^2 – 3x + 4) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 3x + 4 = 0 \) pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = -6 \), \( x_2 = \frac{3 + i\sqrt{7}}{2} \), \( x_3 = \frac{3 – i\sqrt{7}}{2} \)
96. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – x^2 – 16x + 16 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – x^2 – 16x + 16 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 1 \): \( 1 – 1 – 16 + 16 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = 1 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 1 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 – x^2 – 16x + 16 = (x – 1)(x^2 – 16) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 16 = 0 \):
\( x^2 = 16 \Rightarrow x = 4, x = -4 \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 1 \), \( x_2 = 4 \), \( x_3 = -4 \)
97. Řešte kubickou rovnici \(x^3 – 7x^2 + 15x – 9 = 0\) pomocí Cardanových vzorců.
Rovnice: \(x^3 – 7x^2 + 15x – 9 = 0\), tedy \(a = -7\), \(b = 15\), \(c = -9\).
Substituce \(x = t – \frac{a}{3} = t + \frac{7}{3}\).
Rovnici převedeme na tvar \(t^3 + pt + q = 0\), kde
\(p = b – \frac{a^2}{3} = 15 – \frac{49}{3} = 15 – 16\frac{1}{3} = -1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}\),
\(q = \frac{2a^3}{27} – \frac{ab}{3} + c = \frac{2 \cdot (-343)}{27} – \frac{-7 \cdot 15}{3} – 9 = -\frac{686}{27} + 35 – 9 = -\frac{686}{27} + 26 = -\frac{686}{27} + \frac{702}{27} = \frac{16}{27}\).
Diskriminant:
\(\Delta = \left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3 = \left(\frac{8}{27}\right)^2 + \left(-\frac{4}{9}\right)^3 = \frac{64}{729} – \frac{64}{729} = 0\).
Diskriminant je nulový, tedy máme dvojnásobný a jednoduchý kořen.
Kořeny jsou:
\(t_1 = 2 \sqrt[3]{-\frac{q}{2}} = 2 \sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = 2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3}\),
\(t_2 = t_3 = – \sqrt[3]{-\frac{q}{2}} = – \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}\).
Zpět k \(x\):
\(x_1 = t_1 + \frac{7}{3} = -\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = 1\),
\(x_2 = x_3 = \frac{2}{3} + \frac{7}{3} = 3\).
98. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 \) pomocí Cardanových vzorců.
Řešení příkladu:
Kandidáti racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Vyzkoušíme \( x = 1 \): \( 1 +2 -5 -6 = -8 \neq 0 \)
Vyzkoušíme \( x = -1 \): \( -1 +2 +5 -6 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Rozklad: \( x^3 + 2x^2 -5x -6 = (x+1)(x^2 + x -6) \)
Kvadratická: \( x^2 + x -6 = 0 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 +24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \)
\( x = 2, x = -3 \)
Výsledné řešení: \( x = -1, x = 2, x = -3 \)
99. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 + x^2 – 3x – 27 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 + x^2 – 3x – 27 = 0 \)
Nejprve hledáme racionální kořeny pomocí racionální kořenové věty. Kandidáti jsou \( \pm1, \pm3, \pm9, \pm27 \).
Vyzkoušíme jednotlivé kandidáty:
\( x = 3 \): \( 27 + 9 – 9 – 27 = 0 \) → kořen nalezen: \( x_1 = 3 \)
Nyní vydělíme rovnici výrazem \( x – 3 \) pomocí syntetického dělení:
\( x^3 + x^2 – 3x – 27 = (x – 3)(x^2 + 4x + 9) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 4x + 9 = 0 \) pomocí vzorce pro kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 36}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-20}}{2} = \frac{-4 \pm 2i \sqrt{5}}{2} = -2 \pm i \sqrt{5} \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 3 \), \( x_2 = -2 + i\sqrt{5} \), \( x_3 = -2 – i\sqrt{5} \)
100. Vyřešte kubickou rovnici \( x^3 – 125 = 0 \).
Řešení příkladu:
Máme rovnici:
\( x^3 – 125 = 0 \)
Nejprve upravíme rovnici:
\( x^3 = 125 \)
Vidíme, že se jedná o kubickou rovnici typu \( x^3 = a^3 \), kde \( a = 5 \). První reálný kořen je tedy:
\( x_1 = 5 \)
Pro nalezení komplexních kořenů použijeme vzorec pro komplexní kubické kořeny: Komplexní kořeny se dají zapsat jako \( x = a \cdot \omega \), kde \( \omega \) jsou komplexní kubické jednotky:
\( \omega_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i \), \( \omega_2 = -\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} i \)
Tedy další dva kořeny jsou:
\( x_2 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) = -\frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \)
\( x_3 = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2} i\right) = -\frac{5}{2} – \frac{5\sqrt{3}}{2} i \)
Výsledné řešení rovnice je tedy:
\( x_1 = 5 \), \( x_2 = -\frac{5}{2} + \frac{5\sqrt{3}}{2} i \), \( x_3 = -\frac{5}{2} – \frac{5\sqrt{3}}{2} i \)