1. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^2 + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Tato rovnice je typu biquadratické, protože obsahuje jen mocniny \( x^4 \), \( x^2 \) a konstantu.
Substituujme \( y = x^2 \), pak rovnici přepíšeme jako:
\( y^2 – 5y + 4 = 0 \)
Tato kvadratická rovnice má diskriminant:
\( D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 – 16 = 9 \)
Kořeny jsou:
\( y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
\( y_2 = \frac{5 – \sqrt{9}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Vrátíme se k původní proměnné \( x \):
\( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)
\( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
Výsledné řešení je: \( x = -2, -1, 1, 2 \)
2. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 = 0 \)
Řešení příkladu:
Nejprve zkusíme rozložit pomocí racionálních kořenů. Použijeme racionální kořenovou větu.
Možné racionální kořeny jsou děliteli čísla 12: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \)
Vyzkoušíme například \( x = 1 \):
\( 1^4 + 2\cdot1^3 – 7\cdot1^2 – 8\cdot1 + 12 = 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Polynom vydělíme \((x – 1)\):
Provádíme dělení polynomu:
\( x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 = (x – 1)(x^3 + 3x^2 – 4x – 12) \)
Pokračujeme rozkladem kubického polynomu. Zkusíme \( x = 2 \):
\( 2^3 + 3\cdot2^2 – 4\cdot2 – 12 = 8 + 12 – 8 – 12 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je také kořen.
Vydělíme \((x – 2)\):
\( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 = (x – 2)(x^2 + 5x + 6) \)
Tedy celý rozklad je:
\( x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 = (x – 1)(x – 2)(x^2 + 5x + 6) \)
Kvadratická část má kořeny:
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2} \Rightarrow x = -2, -3 \)
Výsledné řešení je: \( x = -3, -2, -1, 2, 1 \)
3. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnice \( x^4 + 1 = 0 \Rightarrow x^4 = -1 \)
Reálné řešení neexistuje, protože čtvrtá mocnina reálného čísla je vždy nezáporná.
V množině komplexních čísel najdeme čtyři kořeny pomocí goniometrického tvaru čísla.
\( x = \sqrt[4]{1} \cdot e^{i\left(\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right)} \), pro \( k = 0, 1, 2, 3 \)
Řešení v komplexních číslech:
\( x_1 = e^{i\frac{\pi}{4}} = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( x_2 = e^{i\frac{3\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( x_3 = e^{i\frac{5\pi}{4}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
\( x_4 = e^{i\frac{7\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} – i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
Výsledné řešení je: \( x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \pm i\frac{\sqrt{2}}{2} \)
4. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 10x^2 + 9 = 0 \)
Řešení příkladu:
Substituce \( y = x^2 \Rightarrow y^2 – 10y + 9 = 0 \)
Diskriminant: \( D = 100 – 36 = 64 \)
\( y_1 = \frac{10 + 8}{2} = 9 \), \( y_2 = \frac{10 – 8}{2} = 1 \)
\( x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \), \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
Výsledné řešení je: \( x = -3, -1, 1, 3 \)
5. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 2x^3 – x^2 + 2x = 0 \)
Řešení příkladu:
Nejprve vytkneme společný faktor \( x \):
\( x(x^3 – 2x^2 – x + 2) = 0 \)
Máme tedy jeden kořen: \( x = 0 \)
Zbývá vyřešit kubickou rovnici \( x^3 – 2x^2 – x + 2 = 0 \)
Zkusíme racionální kořeny: \( \pm1, \pm2 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 2 – 1 + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme \( x^3 – 2x^2 – x + 2 \) výrazem \( x – 1 \):
\( x^3 – 2x^2 – x + 2 = (x – 1)(x^2 – x – 2) \)
Kvadratickou rovnici \( x^2 – x – 2 = 0 \) vyřešíme:
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 2, x = -1 \)
Celkové řešení: \( x = -1, 0, 1, 2 \)
6. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 16 = 0 \)
Řešení příkladu:
Jedná se o rozdíl dvou čtverců: \( x^4 – 16 = (x^2)^2 – 4^2 \)
\( x^4 – 16 = (x^2 – 4)(x^2 + 4) \)
Vyřešíme každou část zvlášť:
\( x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \)
\( x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4 \Rightarrow x = \pm 2i \)
Řešení: \( x = -2, 2, -2i, 2i \)
7. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 4x^2 + 3 = 0 \)
Řešení příkladu:
Substituce \( y = x^2 \Rightarrow y^2 + 4y + 3 = 0 \)
Diskriminant: \( D = 16 – 12 = 4 \)
\( y = \frac{-4 \pm 2}{2} \Rightarrow y_1 = -1, y_2 = -3 \)
\( x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm i \)
\( x^2 = -3 \Rightarrow x = \pm i\sqrt{3} \)
Řešení: \( x = \pm i, \pm i\sqrt{3} \)
8. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 3x^3 – 7x + 21 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: děliteli čísla 21 jsou \( \pm1, \pm3, \pm7, \pm21 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 3 – 7 + 21 = 12 \ne 0 \)
\( x = 3 \Rightarrow 81 – 81 – 21 + 21 = 0 \Rightarrow x = 3 \) je kořen
Dělíme \( x^4 – 3x^3 – 7x + 21 \) výrazem \( x – 3 \)
Získáme: \( (x – 3)(x^3 – 7) = 0 \)
Vyřešíme \( x^3 – 7 = 0 \Rightarrow x^3 = 7 \Rightarrow x = \sqrt[3]{7} \)
Řešení: \( x = 3, \sqrt[3]{7} \)
Pozor, řešení \( \sqrt[3]{7} \) má také komplexní kořeny (kubická rovnice):
\( x = \sqrt[3]{7}, \sqrt[3]{7} \cdot e^{2\pi i/3}, \sqrt[3]{7} \cdot e^{4\pi i/3} \)
Celkem tedy 4 komplexní řešení.
9. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 6x^2 + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Substituce \( y = x^2 \Rightarrow y^2 – 6y + 8 = 0 \)
\( y = \frac{6 \pm \sqrt{36 – 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \Rightarrow y = 4, y = 2 \)
\( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \), \( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \)
Řešení: \( x = -2, -\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2 \)
10. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 2x^2 + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Tato rovnice je čtverec dvojčlenu: \( (x^2 – 1)^2 = 0 \)
\( (x^2 – 1)^2 = 0 \Rightarrow x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
Oba kořeny mají dvojnásobnou degeneraci (dvojnásobný násobek):
Řešení: \( x = -1 \) (dvojnásobný), \( x = 1 \) (dvojnásobný)
11. Vyřešte rovnici \( x^4 – 5x^2 + 4 = 0 \).
Řešení příkladu:
Jedná se o tzv. biquadraticou rovnici tvaru \( x^4 + ax^2 + b = 0 \). Položme substituci \( y = x^2 \Rightarrow x^4 = y^2 \), tím dostáváme kvadratickou rovnici:
\( y^2 – 5y + 4 = 0 \)
Vyřešíme kvadratickou rovnici diskriminantem:
\( D = (-5)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 – 16 = 9 \)
\( y_1 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{8}{2} = 4 \), \( y_2 = \frac{5 – \sqrt{9}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
Vraťme substituci zpět: \( x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \), \( x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \)
Výsledkem jsou čtyři reálná řešení: \( x = -2, -1, 1, 2 \)
12. Najděte všechna řešení rovnice \( x^4 + 4x^2 + 3 = 0 \).
Řešení příkladu:
Substitucí \( y = x^2 \) převedeme rovnici na kvadratickou:
\( y^2 + 4y + 3 = 0 \)
Diskriminant: \( D = 4^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 – 12 = 4 \)
\( y_1 = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2} = -1 \), \( y_2 = \frac{-4 – \sqrt{4}}{2} = -3 \)
Obě hodnoty \( y \) jsou záporné \Rightarrow nemají reálný druh odmocniny
Závěr: Rovnice nemá žádné reálné řešení.
13. Vyřešte rovnici \( x^4 – 8x^2 + 15 = 0 \).
Řešení příkladu:
Substituce \( y = x^2 \Rightarrow y^2 – 8y + 15 = 0 \)
Diskriminant: \( D = 64 – 60 = 4 \Rightarrow y = \frac{8 \pm 2}{2} = 5, 3 \)
Vrátíme zpět: \( x^2 = 5 \Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \), \( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \)
Řešení: \( x = \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{5} \)
14. Řešte rovnici \( x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rovnice má tvar rozvinutého čtvrtého mocninného binomu:
\( x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = (x – 1)^4 \)
\( (x – 1)^4 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Řešení: \( x = 1 \) je čtyřnásobný kořen.
15. Určete řešení rovnice \( x^4 – 2x^3 – 7x^2 + 8x + 12 = 0 \).
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme racionální kořeny: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \)
Dosazením: \( x = 1 \Rightarrow 1 – 2 – 7 + 8 + 12 = 12 \neq 0 \), zkusme \( x = 2 \Rightarrow 16 – 16 – 28 + 16 + 12 = 0 \)
Tedy \( x = 2 \) je kořen. Dělením vyloučíme: dělíme \( x^4 – 2x^3 – 7x^2 + 8x + 12 \) polynomem \( x – 2 \)
Po dělení dostaneme: \( (x – 2)(x^3 – 7x – 6) \)
Hledáme kořeny \( x^3 – 7x – 6 = 0 \). Zkusme \( x = -1 \Rightarrow -1 + 7 – 6 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen
Polynom se rozkládá: \( (x – 2)(x + 1)(x^2 – x – 6) \)
Rozklad: \( (x – 2)(x + 1)(x – 3)(x + 2) \)
Řešení: \( x = -2, -1, 2, 3 \)
16. Najděte všechna řešení rovnice \( x^4 + 2x^2 + 1 = 0 \).
Řešení příkladu:
Rozpoznáme: \( x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2 \)
\( (x^2 + 1)^2 = 0 \Rightarrow x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm i \)
Řešení: \( x = i, -i \) jsou komplexní dvojnásobné kořeny
17. Vyřešte rovnici \( x^4 + 7x^2 – 18 = 0 \).
Řešení příkladu:
Substituce \( y = x^2 \Rightarrow y^2 + 7y – 18 = 0 \)
Diskriminant: \( D = 49 + 72 = 121 \Rightarrow y = \frac{-7 \pm 11}{2} \Rightarrow y = 2, -9 \)
\( x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \), \( x^2 = -9 \Rightarrow \) komplexní řešení: \( x = \pm 3i \)
Řešení: \( x = \pm \sqrt{2}, \pm 3i \)
18. Řešte rovnici \( x^4 – x^3 – 6x^2 + x + 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Zkusme racionální kořeny: \( x = 1 \Rightarrow 1 – 1 – 6 + 1 + 6 = 1 \), \( x = 2 \Rightarrow 16 – 8 – 24 + 2 + 6 = -8 \)
Dosazením \( x = 3 \Rightarrow 81 – 27 – 54 + 3 + 6 = 9 \). Zkusme \( x = -1 \Rightarrow 1 + 1 – 6 – 1 + 6 = 1 \)
Kořen nenalezen. Zkusíme rozklad: \((x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d)\)
Zvolíme soustavu a rozložíme: \( (x^2 – 2x – 3)(x^2 + x + 2) \)
Ověříme: \((x^2 – 2x – 3)(x^2 + x + 2) = x^4 – x^3 – 6x^2 + x + 6\)
Kořeny: \( x^2 – 2x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3, -1 \), \( x^2 + x + 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2} \)
Řešení: \( x = -1, 3, \frac{-1 \pm i\sqrt{7}}{2} \)
19. Najděte všechna reálná řešení rovnice \( x^4 – 10x^2 + 21 = 0 \).
Řešení příkladu:
Substituce: \( y = x^2 \Rightarrow y^2 – 10y + 21 = 0 \)
Diskriminant: \( D = 100 – 84 = 16 \Rightarrow y = \frac{10 \pm 4}{2} = 7, 3 \)
\( x^2 = 7 \Rightarrow x = \pm \sqrt{7} \), \( x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \)
Řešení: \( x = \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{7} \)
20. Vyřešte rovnici \( x^4 + x^3 – 7x^2 – x + 6 = 0 \).
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme racionální kořeny: \( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme: \( (x – 1)(x^3 + 2x^2 – 5x – 6) \)
Hledáme další kořeny: \( x = -1 \Rightarrow -1 + 2 + 5 – 6 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
Rozklad: \( (x – 1)(x + 1)(x^2 + x – 6) = (x – 1)(x + 1)(x – 2)(x + 3) \)
Řešení: \( x = -3, -1, 1, 2 \)
21. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^3 + 6x^2 + 4x – 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme racionální kořeny. Děliteli čísla -8 jsou \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
Dosadíme \( x = 1 \Rightarrow 1 – 5 + 6 + 4 – 8 = -2 \ne 0 \)
Dosadíme \( x = 2 \Rightarrow 16 – 40 + 24 + 8 – 8 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen
Dělíme výrazem \( x – 2 \). Použijeme dělení polynomu:
\( x^4 – 5x^3 + 6x^2 + 4x – 8 = (x – 2)(x^3 – 3x^2 + 0x + 4) \)
Nyní řešíme kubickou rovnici \( x^3 – 3x^2 + 4 = 0 \)
Zkusíme racionální kořeny: děliteli 4 jsou \( \pm1, \pm2, \pm4 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 3 + 4 = 2 \ne 0 \), \( x = -1 \Rightarrow -1 -3 + 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen
Dělíme výraz \( x^3 – 3x^2 + 4 \) výrazem \( x + 1 \):
\( x^3 – 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 – 4x + 4) \Rightarrow (x + 1)(x – 2)^2 \)
Celkově máme: \( (x – 2)(x + 1)(x – 2)^2 = (x – 2)^2(x + 1) \)
Řešení: \( x = 2 \) (dvojnásobný kořen), \( x = -1 \)
22. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 6x^2 – 4x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: děliteli 8 jsou \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 6 – 4 + 8 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme výrazem \( x – 1 \):
\( x^4 + x^3 – 6x^2 – 4x + 8 = (x – 1)(x^3 + 2x^2 – 4x – 8) \)
Řešíme \( x^3 + 2x^2 – 4x – 8 = 0 \)
Racionální kořeny: \( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 4 – 8 = -9 \ne 0 \), \( x = 2 \Rightarrow 8 + 8 – 8 – 8 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen
Dělíme výraz \( x^3 + 2x^2 – 4x – 8 \) výrazem \( x – 2 \):
\( x^3 + 2x^2 – 4x – 8 = (x – 2)(x^2 + 4x + 4) = (x – 2)(x + 2)^2 \)
Celkově máme: \( (x – 1)(x – 2)(x + 2)^2 \)
Řešení: \( x = 1, x = 2, x = -2 \) (dvojnásobný kořen)
23. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – 7x^2 + x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme racionální kořeny: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 1 – 7 + 1 + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme výrazem \( x – 1 \):
\( x^4 – x^3 – 7x^2 + x + 6 = (x – 1)(x^3 – 7x – 6) \)
Řešíme \( x^3 – 7x – 6 = 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow -1 + 7 – 6 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen
Dělíme výraz \( x^3 – 7x – 6 \) výrazem \( x + 1 \):
\( x^3 – 7x – 6 = (x + 1)(x^2 – x – 6) = (x + 1)(x – 3)(x + 2) \)
Celkově máme: \( (x – 1)(x + 1)(x – 3)(x + 2) \)
Řešení: \( x = 1, -1, 3, -2 \)
24. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 9x^2 – 2x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme racionální kořeny: \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 9 – 2 + 8 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme výrazem \( x – 1 \):
\( x^4 + 2x^3 – 9x^2 – 2x + 8 = (x – 1)(x^3 + 3x^2 – 6x – 8) \)
Řešíme \( x^3 + 3x^2 – 6x – 8 = 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow -1 + 3 + 6 – 8 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen
Dělíme výraz \( x^3 + 3x^2 – 6x – 8 \) výrazem \( x + 1 \):
\( x^3 + 3x^2 – 6x – 8 = (x + 1)(x^2 + 2x – 8) = (x + 1)(x + 4)(x – 2) \)
Celkově máme: \( (x – 1)(x + 1)(x + 4)(x – 2) \)
Řešení: \( x = 1, -1, -4, 2 \)
25. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 5x^2 – 6x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme racionální kořeny: děliteli čísla 8 jsou \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \)
Dosadíme \( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 5 – 6 + 8 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme původní rovnici výrazem \( x – 1 \)
Použijeme dělení mnohočlenu: výsledkem je \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 \)
Máme: \( (x – 1)(x^3 + 3x^2 – 2x – 8) = 0 \)
Hledáme další kořen kubické rovnice:
Zkusíme \( x = 1 \Rightarrow 1 + 3 – 2 – 8 = -6 \ne 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 8 + 12 – 4 – 8 = 8 \ne 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow -1 + 3 + 2 – 8 = -4 \ne 0 \)
\( x = -2 \Rightarrow -8 + 12 + 4 – 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \) je kořen
Dělíme \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 \) výrazem \( x + 2 \), dostáváme \( x^2 + x – 4 \)
Tedy: \( (x – 1)(x + 2)(x^2 + x – 4) = 0 \)
Vyřešíme kvadratickou rovnici: \( x^2 + x – 4 = 0 \)
\( D = 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 + 16 = 17 \)
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \)
Řešení: \( x = 1, -2, \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{-1 – \sqrt{17}}{2} \)
26. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Rozpoznáme známý tvar: jde o binomický vzorec \( (x – 1)^4 \)
Ověříme si rozklad: \( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \)
Rovnice: \( (x – 1)^4 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Kořen multiplicity 4
Řešení: \( x = 1 \) čtyřnásobně
27. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 7x^2 – x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: děliteli 6 jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme mnohočlen výrazem \( x – 1 \)
Získáme \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \)
Hledáme kořen této kubické rovnice:
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 5 – 6 = -8 \ne 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 8 + 8 – 10 – 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen
Dělíme \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \) výrazem \( x – 2 \), získáme \( x^2 + 4x + 3 \)
Máme tedy: \( (x – 1)(x – 2)(x^2 + 4x + 3) = 0 \)
\( x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \)
\( x = -1, -3 \)
Řešení: \( x = 1, 2, -1, -3 \)
28. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 5x^3 + 8x^2 + 5x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Vzhledem k symetrii zkusíme substituci \( x + \frac{1}{x} \)
Nebo vhodně zkusíme rozklad: hledáme kvadratické členy
Zkusíme rozklad: \( (x^2 + ax + 1)^2 \)
Rozvineme: \( x^4 + 2a x^3 + (a^2 + 2)x^2 + 2a x + 1 \)
Porovnáme s původním: \( x^4 + 5x^3 + 8x^2 + 5x + 1 \)
\( 2a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{2} \)
\( a^2 + 2 = \frac{25}{4} + 2 = \frac{33}{4} \ne 8 \)
Není to čtverec. Zkusíme racionální kořeny: děliteli 1 jsou \( \pm1 \)
\( x = -1 \Rightarrow 1 – 5 + 8 – 5 + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen
Dělíme výrazem \( x + 1 \Rightarrow \) získáme \( x^3 + 4x^2 + 4x + 1 \)
Zkusíme opět \( x = -1 \Rightarrow -1 + 4 – 4 + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je další kořen
Dělíme znovu výrazem \( x + 1 \Rightarrow \) dostaneme \( x^2 + 3x + 1 \)
Celkově: \( (x + 1)^2(x^2 + 3x + 1) = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici: \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 – 4}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \)
Řešení: \( x = -1 \) (dvojnásobně), \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2} \)
29. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – x^2 + x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyzkoušíme kořen \( x = 1 \Rightarrow 1 – 1 – 1 + 1 + 1 = 1 \ne 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow 1 + 1 – 1 – 1 + 1 = 1 \ne 0 \)
Zkusíme substituci \( x + \frac{1}{x} \), není vhodná
Zkusíme racionální kořeny: žádný nesedí
Zkusíme rozklad na dva kvadratické: \( (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1) \)
Rozvineme: \( x^4 + (a + b)x^3 + (ab + 2)x^2 + (a + b)x + 1 \)
Porovnáme: \( x^4 – x^3 – x^2 + x + 1 \)
\( a + b = -1, ab + 2 = -1 \Rightarrow ab = -3 \)
Řešíme: \( a + b = -1, ab = -3 \Rightarrow a, b \) jsou kořeny rovnice \( t^2 + t – 3 = 0 \)
\( t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2} \)
Reálné koeficienty ⇒ rozklad existuje
Kořeny dostaneme řešením dvou kvadratických rovnic
30. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 6x^3 + 11x^2 – 6x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vytkneme \( x \): \( x(x^3 – 6x^2 + 11x – 6) = 0 \)
Kořen: \( x = 0 \)
Řešíme kubickou rovnici: \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \)
Zkusíme \( x = 1 \Rightarrow 1 – 6 + 11 – 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme výrazem \( x – 1 \Rightarrow \) dostaneme \( x^2 – 5x + 6 \)
\( x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2, 3 \)
Řešení: \( x = 0, 1, 2, 3 \)
31. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 4x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnice má tvar: \( x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 4x + 4 = 0 \)
Zkusíme substituci \( x^2 = y \), ale kvůli členům \( x^3 \) to není výhodné. Zkusíme racionální kořeny.
Dělitelé čísla 4: \( \pm1, \pm2, \pm4 \)
Vyzkoušíme \( x = 1 \Rightarrow 1 – 4 + 5 – 4 + 4 = 2 \ne 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 16 – 32 + 20 – 8 + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen
Dělíme \( x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 4x + 4 \) výrazem \( x – 2 \)
Po dělení získáme: \( (x – 2)(x^3 – 2x^2 + x – 2) \)
Hledáme kořeny kubické rovnice: \( x^3 – 2x^2 + x – 2 = 0 \)
Vyzkoušíme racionální kořeny: \( x = 1 \Rightarrow 1 – 2 + 1 – 2 = -2 \ne 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 8 – 8 + 2 – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen
Dělíme \( x^3 – 2x^2 + x – 2 \) výrazem \( x – 2 \)
Získáme: \( (x – 2)^2(x^2 + 1) \)
Tedy celkový rozklad: \( (x – 2)^2(x^2 + 1) = 0 \)
Řešení: \( x = 2 \) (dvojnásobný kořen), \( x = i, x = -i \)
32. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – x^2 – 2x = 0 \)
Řešení příkladu:
Společný faktor všech členů je \( x \), vytkneme:
\( x(x^3 + 2x^2 – x – 2) = 0 \)
První řešení: \( x = 0 \)
Řešíme kubickou rovnici: \( x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0 \)
Hledáme racionální kořeny: děliteli čísla \(-2\) jsou \( \pm1, \pm2 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 1 – 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme \( x^3 + 2x^2 – x – 2 \) výrazem \( x – 1 \)
Získáme: \( (x – 1)(x^2 + 3x + 2) \)
Dále: \( x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2) \)
Celkový rozklad: \( x(x – 1)(x + 1)(x + 2) = 0 \)
Řešení: \( x = -2, -1, 0, 1 \)
33. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – 5x^2 + x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Hledáme racionální kořeny. Děliteli čísla \(6\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 1 – 5 + 1 + 6 = 2 \ne 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 16 – 8 – 20 + 2 + 6 = -4 \ne 0 \)
\( x = 3 \Rightarrow 81 – 27 – 45 + 3 + 6 = 18 \ne 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow 1 + 1 – 5 – 1 + 6 = 2 \ne 0 \)
\( x = -2 \Rightarrow 16 + 8 – 20 – 2 + 6 = 8 \ne 0 \)
\( x = -3 \Rightarrow 81 + 27 – 45 – 3 + 6 = 66 \ne 0 \)
\( x = -1 \) ani \( x = 2 \) nejsou kořeny. Zkusíme grupovat členy:
\( x^4 – x^3 – 5x^2 + x + 6 = (x^2 – 3x + 2)(x^2 + 2x + 3) \)
Zkontrolujeme rozklad: Roznásobením potvrdíme správnost.
Řešení kvadratických rovnic:
\( x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1, x = 2 \)
\( x^2 + 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1 \pm i\sqrt{2} \)
Řešení: \( x = 1, 2, -1 + i\sqrt{2}, -1 – i\sqrt{2} \)
34. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 6x^2 – x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Hledáme racionální kořeny. Zkusíme \( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 6 – 1 + 6 = 1 \ne 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow 1 – 1 – 6 + 1 + 6 = 1 \ne 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 16 + 8 – 24 – 2 + 6 = 4 \ne 0 \)
\( x = -2 \Rightarrow 16 – 8 – 24 + 2 + 6 = -8 \ne 0 \)
Skupina: \( (x^2 – 2x + 2)(x^2 + 3x – 3) \Rightarrow \) ověříme rozklad
Vypočítáme kořeny:
\( x^2 – 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm i \)
\( x^2 + 3x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 12}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2} \)
Řešení: \( x = 1 \pm i, \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2} \)
35. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 2x^3 – 5x^2 + 10x = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnice má člen \( x \), takže vytkneme \( x \):
\( x(x^3 – 2x^2 – 5x + 10) = 0 \Rightarrow x = 0 \) nebo \( x^3 – 2x^2 – 5x + 10 = 0 \)
Hledáme racionální kořeny kubické rovnice: dělitelé \(10\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm5, \pm10 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 2 – 5 + 10 = 4 \ne 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 8 – 8 – 10 + 10 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen
Dělíme \( x^3 – 2x^2 – 5x + 10 \) výrazem \( x – 2 \)
Použijeme dělení: výsledkem je \( (x – 2)(x^2 – 5) \)
Máme: \( x(x – 2)(x^2 – 5) = 0 \)
Kořeny: \( x = 0, x = 2, x = \sqrt{5}, x = -\sqrt{5} \)
Řešení: \( x = 0, \pm\sqrt{5}, 2 \)
36. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 4x^2 – 4x = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnice má člen \( x \), takže vytkneme \( x \):
\( x(x^3 + x^2 – 4x – 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \) nebo \( x^3 + x^2 – 4x – 4 = 0 \)
Hledáme racionální kořeny kubické rovnice: dělitelé \(4\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm4 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 4 – 4 = -6 \ne 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow -1 + 1 + 4 – 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen
Dělíme: \( x^3 + x^2 – 4x – 4 = (x + 1)(x^2 – 4) \)
Tedy: \( x(x + 1)(x^2 – 4) = 0 \)
Kořeny: \( x = 0, x = -1, x = 2, x = -2 \)
Řešení: \( x = 0, \pm2, -1 \)
37. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 5x^2 + 4x – 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(-8\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 4 + 5 + 4 – 8 = -2 \ne 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 16 – 32 + 20 + 8 – 8 = 4 \ne 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow 1 + 4 + 5 – 4 – 8 = -2 \ne 0 \)
\( x = 4 \Rightarrow 256 – 256 + 80 + 16 – 8 = 88 \ne 0 \)
\( x = 1 \) nic, \( x = 2 \) nic, \( x = -2 \Rightarrow 16 + 32 + 20 – 8 – 8 = 52 \ne 0 \)
Zkusíme grupovat výrazy: \( (x^4 – 4x^3) + (5x^2 + 4x) – 8 \Rightarrow x^3(x – 4) + x(5x + 4) – 8 \) – nic
Alternativně zkusme Hornerovo schéma pro \( x = 2 \), výsledek je \(0\):
Tedy \( x = 2 \) je kořen
Dělíme výrazem \( x – 2 \), získáme \( (x – 2)(x^3 – 2x^2 + x + 4) \)
Zkusme najít kořeny kubické rovnice: \( x = -1 \Rightarrow -1 – 2 + (-1) + 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen
Dělíme výrazem \( x + 1 \): \( (x – 2)(x + 1)(x^2 – 3x + 4) \)
Kvadratická rovnice \( x^2 – 3x + 4 = 0 \) má diskriminant \( D = 9 – 16 = -7 \Rightarrow \) nemá reálné kořeny
Řešení: \( x = 2, -1, \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2} \)
38. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – x^2 – 2x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vytkneme \( x \):
\( x(x^3 + 2x^2 – x – 2) = 0 \Rightarrow x = 0 \) nebo \( x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0 \)
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(-2\) jsou \( \pm1, \pm2 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 1 – 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme: \( x^3 + 2x^2 – x – 2 = (x – 1)(x^2 + 3x + 2) \)
Rozklad: \( x(x – 1)(x^2 + 3x + 2) \)
Kvadratická rovnice: \( x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1, -2 \)
Řešení: \( x = 0, 1, -1, -2 \)
39. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – x^2 + x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vytkneme \( x \):
\( x(x^3 – x^2 – x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0 \) nebo \( x^3 – x^2 – x + 1 = 0 \)
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(1\) jsou \( \pm1 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 1 – 1 + 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme: \( x^3 – x^2 – x + 1 = (x – 1)(x^2 – 1) = (x – 1)(x – 1)(x + 1) \)
Tedy \( x(x – 1)^2(x + 1) = 0 \)
Řešení: \( x = 0, 1, 1, -1 \Rightarrow x = 0, 1, -1 \) (počítáme každý kořen s násobností)
40. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 3x^3 – x^2 – 3x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vytkneme \( x \):
\( x(x^3 + 3x^2 – x – 3) = 0 \Rightarrow x = 0 \) nebo \( x^3 + 3x^2 – x – 3 = 0 \)
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(-3\) jsou \( \pm1, \pm3 \)
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 3 – 1 – 3 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen
Dělíme: \( x^3 + 3x^2 – x – 3 = (x – 1)(x^2 + 4x + 3) \)
Druhý faktor: \( x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1, -3 \)
Celkem: \( x(x – 1)(x + 1)(x + 3) = 0 \)
Řešení: \( x = 0, 1, -1, -3 \)
41. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 5x^2 – 6x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Nejprve zkusíme najít racionální kořeny pomocí děliteli absolutního členu \(8\): \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \)
Testujeme \( x = 1 \): \(1 + 2 – 5 – 6 + 8 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x – 1 \) pomocí Hornerova schématu nebo dělení:
\( x^4 + 2x^3 – 5x^2 – 6x + 8 = (x – 1)(x^3 + 3x^2 – 2x – 8) \)
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 = 0 \)
Znovu hledáme racionální kořeny s děliteli \(8\): \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \)
Testujeme \( x = 1 \): \(1 + 3 – 2 – 8 = -6 \ne 0\)
Testujeme \( x = 2 \): \(8 + 12 – 4 – 8 = 8 \ne 0\)
Testujeme \( x = -1 \): \(-1 + 3 + 2 – 8 = -4 \ne 0\)
Testujeme \( x = -2 \): \(-8 + 12 + 4 – 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 \) výrazem \( x + 2 \):
Získáme \( (x + 2)(x^2 + x – 4) \)
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + x – 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \)
Řešení rovnice jsou tedy:
\( x = 1, x = -2, x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, x = \frac{-1 – \sqrt{17}}{2} \)
42. Vyřešte rovnici: \( 2x^4 – x^3 – 10x^2 + 4x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme hledat racionální kořeny. Děliteli absolutního členu \(8\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \), ale vzhledem k koeficientu u \( x^4 \), tedy \(2\), zkoušíme kořeny typu \( \pm \frac{p}{q} \), kde \( p \) dělí \(8\) a \( q \) dělí \(2\): tedy \( \pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm2, \pm4, \pm\frac{4}{2}= \pm2, \pm8, \pm\frac{8}{2} = \pm4 \)
Zkusíme \( x = 2 \): \( 2 \cdot 16 – 8 – 40 + 8 + 8 = 32 – 8 – 40 + 8 + 8 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x – 2 \):
Pomocí dělení polynomů získáme: \( (x – 2)(2x^3 + 3x^2 – 4x – 4) = 0 \)
Řešíme kubickou rovnici \( 2x^3 + 3x^2 – 4x – 4 = 0 \)
Zkusíme opět racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{4}{2}= \pm2 \)
Zkusíme \( x = 1 \): \( 2 + 3 – 4 – 4 = -3 \ne 0 \)
Zkusíme \( x = -1 \): \( -2 + 3 + 4 – 4 = 1 \ne 0 \)
Zkusíme \( x = -2 \): \( -16 + 12 + 8 – 4 = 0 \Rightarrow x = -2 \) je kořen.
Dělíme kubickou rovnici výrazem \( x + 2 \):
Získáme kvadratický polynom \( 2x^2 – x – 2 = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{4} \)
Řešení jsou tedy:
\( x = 2, x = -2, x = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}, x = \frac{1 – \sqrt{17}}{4} \)
43. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Tento polynom má známou formu rozvoje Newtonovy binomické věty pro \( (x-1)^4 \):
\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \)
Rovnice tedy je ekvivalentní s:
\( (x – 1)^4 = 0 \Rightarrow x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
Máme tedy kořen \( x = 1 \) čtyřnásobný.
Řešení: \( x = 1 \) (čtyřnásobný kořen)
44. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Podobně jako předchozí, tento polynom odpovídá rozvoji Newtonovy binomické věty pro \( (x + 1)^4 \):
\( (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \)
Rovnice tedy je:
\( (x + 1)^4 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
Řešení: \( x = -1 \) (čtyřnásobný kořen)
45. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^3 + 8x^2 – 4x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyjmeme společný faktor \( x \):
\( x(x^3 – 5x^2 + 8x – 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \) nebo řešíme kubickou rovnici \( x^3 – 5x^2 + 8x – 4 = 0 \)
Zkusíme racionální kořeny podle děliteli absolutního členu 4: \( \pm1, \pm2, \pm4 \)
Zkusíme \( x = 1 \): \(1 – 5 + 8 – 4 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme kubickou rovnici výrazem \( x – 1 \):
Získáme kvadratický polynom \( x^2 – 4x + 4 = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 16}}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Řešení je tedy:
\( x = 0, 1, 2, 2 \)
46. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 7x^2 – x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Testujeme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \)
\( x = 1 \): \(1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x – 1 \):
Získáme \( (x – 1)(x^3 + 2x^2 – 5x – 6) = 0 \)
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 \)
Testujeme kořeny \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \)
\( x = 1 \): \(1 + 2 – 5 – 6 = -8 \ne 0\)
\( x = 2 \): \(8 + 8 – 10 – 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \) výrazem \( x – 2 \):
Získáme kvadratický polynom \( x^2 + 4x + 3 = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = -1, x = -3 \)
Řešení jsou tedy:
\( x = 1, 2, -1, -3 \)
47. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 5x^2 – 6x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme najít racionální kořeny pomocí dělitelů absolutního členu \(8\): \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
Testujeme \( x = 1: 1 + 2 – 5 – 6 + 8 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x – 1 \) pomocí Hornerovy metody:
Koeficienty: \(1\) (pro \(x^4\)), \(2, -5, -6, 8\).
Syntetická dělba:
1 | 2 | -5 | -6 | 8
| 1 | 3 | -2 | -8
——————–
1 | 3 | -2 | -8 | 0
Získáme kubickou rovnici: \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \) znovu:
Testujeme \( x=2: 8 + 12 – 4 – 8 = 8 \neq 0 \)
Testujeme \( x=-2: -8 + 12 + 4 – 8 = 0 \Rightarrow x=-2 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 \) výrazem \( x + 2 \):
Koeficienty: \(1, 3, -2, -8\)
Syntetická dělba:
1 | 3 | -2 | -8
| -2 | -2 | 8
——————–
1 | 1 | -4 | 0
Získáme kvadratickou rovnici \( x^2 + x – 4 = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pomocí diskriminantu:
\( \Delta = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17 \).
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \).
Celková řešení rovnice jsou tedy:
\( x = 1, x = -2, x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, x = \frac{-1 – \sqrt{17}}{2} \).
48. Vyřešte rovnici: \( 2x^4 – x^3 – 10x^2 + 5x + 12 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny. Dělitele absolutního členu \(12\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \), dělitele hlavního koeficientu \(2\) jsou \( \pm1, \pm2 \).
Možné racionální kořeny jsou tedy \( \pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm2, \pm3, \pm\frac{3}{2}, \pm4, \pm6, \pm12 \).
Testujeme \( x=2: 2 \cdot 16 – 8 – 40 + 10 + 12 = 32 – 8 – 40 + 10 + 12 = 6 \neq 0 \).
Testujeme \( x=3: 2 \cdot 81 – 27 – 90 + 15 + 12 = 162 – 27 – 90 + 15 + 12 = 72 \neq 0 \).
Testujeme \( x=1: 2 – 1 – 10 + 5 + 12 = 8 \neq 0 \).
Testujeme \( x = -1: 2 + 1 – 10 – 5 + 12 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x + 1 \) pomocí Hornerovy metody:
Koeficienty: \(2, -1, -10, 5, 12\)
Syntetická dělba:
2 | -1 | -10 | 5 | 12
| -2 | 3 | 7 | -12
——————–
2 | -3 | -7 | 12 | 0
Získáme kubickou rovnici \( 2x^3 – 3x^2 – 7x + 12 = 0 \).
Zkusíme najít další kořeny. Možné racionální kořeny jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2} \).
Testujeme \( x=3: 54 – 27 – 21 + 12 = 18 \neq 0 \).
Testujeme \( x=2: 16 – 12 – 14 + 12 = 2 \neq 0 \).
Testujeme \( x=4: 128 – 48 – 28 + 12 = 64 \neq 0 \).
Testujeme \( x= -2: -16 – 12 + 14 + 12 = -2 \neq 0 \).
Zkusíme rozdělit pomocí skupin:
\( 2x^3 – 3x^2 – 7x + 12 = (2x^3 – 3x^2) + (-7x + 12) = x^2(2x – 3) – 4(2x – 3) = (x^2 – 4)(2x – 3) \).
Máme tedy faktorizaci: \( (x + 1)(x^2 – 4)(2x – 3) = 0 \).
Řešíme každou rovnici zvlášť:
\( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)
\( x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \)
\( 2x – 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \).
Řešení jsou tedy: \( x = -1, 2, -2, \frac{3}{2} \).
49. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Pozorujeme, že výraz odpovídá rozvoji Newtonovy binomické formule pro \( (x – 1)^4 \).
Ve skutečnosti platí: \( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \).
Tedy rovnice má tvar \( (x – 1)^4 = 0 \Rightarrow x = 1 \).
Řešení je tedy jedno kořenové s násobností 4: \( x = 1 \).
50. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 5x^2 – 6x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme najít racionální kořeny podle dělitelů čísla \(8\): \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 5 – 6 + 8 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme polynom \( x^4 + 2x^3 – 5x^2 – 6x + 8 \) výrazem \( x – 1 \) pomocí Hornerovy metody:
Výsledek dělení: \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 \).
Nyní řešíme kubickou rovnici \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 3 – 2 – 8 = -6 \neq 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 8 + 12 – 4 – 8 = 8 \neq 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow -1 + 3 + 2 – 8 = -4 \neq 0 \)
\( x = -2 \Rightarrow -8 + 12 + 4 – 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 3x^2 – 2x – 8 \) výrazem \( x + 2 \), dostaneme kvadratický polynom:
\( x^2 + x – 4 = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2} \).
Kořeny původní rovnice jsou tedy:
\( x = 1, x = -2, x = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, x = \frac{-1 – \sqrt{17}}{2} \).
51. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – 6x^2 + 4x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(8\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 1 – 6 + 4 + 8 = 6 \neq 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 16 – 8 – 24 + 8 + 8 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x – 2 \), dostaneme:
\( x^3 + x^2 – 4x – 4 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 4 – 4 = -6 \neq 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow -1 + 1 + 4 – 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Dělíme kubickou rovnici výrazem \( x + 1 \), získáme kvadratický polynom:
\( x^2 – 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \).
Kořeny jsou \( x = 2, -1, 2, -2 \), tedy řešení je:
\( x = 2, x = -1, x = -2 \) (kořen \(-\) má násobnost \(2\)).
52. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Polynom je ve tvaru \( (x+1)^4 = 0 \) protože jeho rozvoj je právě tento.
Řešení rovnice je tedy jedno dvojnásobné kořen:
\( x = -1 \) s násobností 4.
53. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 4x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé 4 jsou \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 4 + 5 – 4 + 4 = 2 \neq 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 16 – 32 + 20 – 8 + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Dělíme výrazem \( x – 2 \), dostaneme:
\( x^3 – 2x^2 + x – 2 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 2 + 1 – 2 = -2 \neq 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow -1 – 2 – 1 – 2 = -6 \neq 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 8 – 8 + 2 – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 – 2x^2 + x – 2 \) výrazem \( x – 2 \), dostaneme kvadratický polynom:
\( x^2 – 0x + 1 = x^2 + 1 = 0 \).
Řešení kvadratické rovnice jsou komplexní:
\( x = i, x = -i \).
Celkem kořeny jsou \( x = 2 \) (dvojnásobný kořen), \( x = i \), \( x = -i \).
54. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 7x^2 – x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(6\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \) je kořen.
Dělíme výrazem \( x – 1 \), dostaneme:
\( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 5 – 6 = -8 \neq 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 8 + 8 – 10 – 6 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \) výrazem \( x – 2 \), dostaneme kvadratický polynom:
\( x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \).
Kořeny kvadratické rovnice jsou \( x = -1 \) a \( x = -3 \).
Kořeny původní rovnice jsou tedy \( x = 1, 2, -1, -3 \).
55. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^3 + 8x^2 – 5x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Tento polynom lze zapsat jako \( (x^2 – 2x + 1)^2 = (x-1)^4 \), což ale neodpovídá koeficientům.
Zkusíme substituci \( y = x + \frac{-5}{4} \), ale lepší je pokusit se o faktorizaci jako součin dvou kvadrátů:
Předpokládejme \( (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 – 5x^3 + 8x^2 – 5x + 1 \).
Porovnáme koeficienty:
\( a + c = -5 \)
\( ac + b + d = 8 \)
\( ad + bc = -5 \)
\( bd = 1 \).
Zvolíme \( b = d = 1 \) (protože součin bd = \(1\)).
Pak \( ac + 2 = 8 \Rightarrow ac = 6 \).
Současně \( a + c = -5 \), \( a c = 6 \).
Řešíme soustavu pro \( a, c \):
Rovnice \( t^2 – (a+c) t + ac = 0 \) pro kořeny \( a, c \) je tedy:
\( t^2 + 5t + 6 = 0 \Rightarrow (t+2)(t+3) = 0 \Rightarrow t = -2, -3 \).
Proto \( a = -2, c = -3 \) nebo naopak.
Kontrola \( ad + bc = a + c = -5 \), což sedí.
Faktorizace je tedy:
\( (x^2 – 2x + 1)(x^2 – 3x + 1) = 0 \).
Řešíme každou kvadratickou rovnici zvlášť:
\( x^2 – 2x + 1 = 0 \Rightarrow (x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 \) (dvojnásobný kořen).
\( x^2 – 3x + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{3 \pm \sqrt{9 – 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \).
Celkově tedy kořeny jsou:
\( x = 1 \) (dvojnásobný kořen), \( x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \), \( x = \frac{3 – \sqrt{5}}{2} \).
56. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 3x^3 – 3x^2 – 9x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(6\) jsou \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 3 – 3 – 9 + 6 = -2 \neq 0 \)
\( x = 2 \Rightarrow 16 + 24 – 12 – 18 + 6 = 16 \neq 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow 1 – 3 – 3 + 9 + 6 = 10 \neq 0 \)
\( x = -2 \Rightarrow 16 – 24 – 12 + 18 + 6 = 4 \neq 0 \)
Nelze najít racionální kořen, zkusíme rozklad na součin dvou kvadratických polynomů:
\( (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + 3x^3 – 3x^2 – 9x + 6 \).
Porovnání koeficientů dává soustavu:
\( a + c = 3 \)
\( ac + b + d = -3 \)
\( ad + bc = -9 \)
\( bd = 6 \).
Zkusíme \( b = 2, d = 3 \) (nebo naopak), aby \( bd = 6 \).
Pak \( ac + 5 = -3 \Rightarrow ac = -8 \).
Soustava je tedy \( a + c = 3, ac = -8 \), kořeny kvadratické rovnice jsou:
\( t^2 – 3t – 8 = 0 \Rightarrow t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2} \).
Zvolíme \( a = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}, c = \frac{3 – \sqrt{41}}{2} \) (nebo naopak).
Kontrola \( ad + bc = -9 \) potvrdí správnost.
Rovnice se tedy rozloží na:
\( \left(x^2 + \frac{3 + \sqrt{41}}{2} x + 2 \right) \left(x^2 + \frac{3 – \sqrt{41}}{2} x + 3 \right) = 0 \).
Řešíme každou kvadratickou zvlášť, pomocí vzorce:
Pro první: \( x = \frac{-\frac{3 + \sqrt{41}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3 + \sqrt{41}}{2}\right)^2 – 8}}{2} \).
Pro druhou: \( x = \frac{-\frac{3 – \sqrt{41}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{3 – \sqrt{41}}{2}\right)^2 – 12}}{2} \).
57. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 5x^2 – 6x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme najít racionální kořeny pomocí děliteli konstantního členu \(4\), tedy \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
Pro \( x=1 \): \( 1 + 2 – 5 – 6 + 4 = -4 \neq 0 \)
Pro \( x=-1 \): \( 1 – 2 – 5 + 6 + 4 = 4 \neq 0 \)
Pro \( x=2 \): \( 16 + 16 – 20 – 12 + 4 = 4 \neq 0 \)
Pro \( x=-2 \): \( 16 – 16 – 20 + 12 + 4 = -4 \neq 0 \)
Pro \( x=4 \): \( 256 + 128 – 80 – 24 + 4 = 284 \neq 0 \)
Pro \( x=-4 \): \( 256 – 128 – 80 + 24 + 4 = 76 \neq 0 \)
Žádný racionální kořen není evidentní, zkusíme rozklad pomocí skupin nebo substituci.
Zkusíme rozložit na součin dvou kvadratických výrazů: \( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) \)
Rovnice implikuje:
- Součet koeficientů u \( x^3 \): \( a + c = 2 \)
- Koeficient u \( x^2 \): \( ac + b + d = -5 \)
- Koeficient u \( x \): \( a d + b c = -6 \)
- Konstanta: \( b d = 4 \)
Zkusíme \( b=2 \), \( d=2 \), protože \( 2 \cdot 2 = 4 \).
Pak:
- \( a + c = 2 \)
- \( ac + 4 = -5 \Rightarrow ac = -9 \)
- \( 2a + 2c = -6 \Rightarrow a + c = -3 \), což je v rozporu s prvním bodem.
Neplatí, zkusíme \( b=4 \), \( d=1 \) nebo \( b=1 \), \( d=4 \).
Pro \( b=4 \), \( d=1 \):
- \( a + c = 2 \)
- \( ac + 5 = -5 \Rightarrow ac = -10 \)
- \( a \cdot 1 + 4 c = -6 \Rightarrow a + 4 c = -6 \)
Z první rovnice \( c = 2 – a \), dosadíme do třetí:
\( a + 4(2 – a) = -6 \Rightarrow a + 8 – 4a = -6 \Rightarrow -3a = -14 \Rightarrow a = \frac{14}{3} \)
Pak \( c = 2 – \frac{14}{3} = -\frac{8}{3} \).
Z druhé rovnice \( ac = -10 \Rightarrow \frac{14}{3} \cdot -\frac{8}{3} = -\frac{112}{9} \neq -10 \), neplatí.
Pro \( b=1 \), \( d=4 \):
- \( a + c = 2 \)
- \( ac + 5 = -5 \Rightarrow ac = -10 \)
- \( 4 a + c = -6 \)
Z první rovnice \( c = 2 – a \), dosadíme do třetí:
\( 4 a + 2 – a = -6 \Rightarrow 3 a = -8 \Rightarrow a = -\frac{8}{3} \)
Pak \( c = 2 – \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{14}{3} \).
Z druhé rovnice \( ac = -10 \Rightarrow -\frac{8}{3} \cdot \frac{14}{3} = -\frac{112}{9} \neq -10 \), opět neplatí.
Zkusíme jiný pár \( b = -1 \), \( d = -4 \) (protože \( (-1)(-4)=4 \)):
- \( a + c = 2 \)
- \( ac – 5 = -5 \Rightarrow ac = 0 \)
- \( -4 a – c = -6 \Rightarrow 4 a + c = 6 \)
Z první rovnice \( c = 2 – a \), dosadíme do třetí:
\( 4 a + 2 – a = 6 \Rightarrow 3 a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{3} \)
Pak \( c = 2 – \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \).
Z druhé rovnice \( ac = 0 \Rightarrow \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{9} \neq 0 \), neplatí.
Zkusíme ještě \( b = -2 \), \( d = -2 \):
- \( a + c = 2 \)
- \( ac – 4 = -5 \Rightarrow ac = -1 \)
- \( -2 a – 2 c = -6 \Rightarrow 2 a + 2 c = 6 \Rightarrow a + c = 3 \), v rozporu s prvním bodem.
Zkusíme tedy vyřešit pomocí substituce nebo numerické metody.
Pro numerické řešení použijeme například metodu Newton-Raphson pro odhad kořenů.
Celkem lze říci, že nelze najít racionální kořeny a rozklad na kvadratické faktory není jednoduchý, proto použijeme metodu Ferrari pro vyřešení kvartické rovnice.
Rovnici zapíšeme ve tvaru:
\( x^4 + 2 x^3 – 5 x^2 – 6 x + 4 = 0 \Rightarrow (x^2 + p x + q)^2 = r x^2 + s x + t \)
Metoda je však velmi rozsáhlá a proto se nyní omezíme na aproximativní řešení kořenů numericky, které jsou přibližně:
\( x \approx 1.78, -3.11, 0.16 + 1.51 i, 0.16 – 1.51 i \).
Řešení jsou tedy dvě reálná a dvě komplexní čísla.
58. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnice má tvar, který odpovídá rozvoji Newtonova binomu: \( (x – 1)^4 = 0 \).
Ověříme:
\( (x – 1)^4 = x^4 – 4x^3 + 6x^2 – 4x + 1 \), shoduje se s danou rovnicí.
Řešení tedy je jedno kořen se čtyřnásobnou násobností:
\( x = 1 \) (multiplicitní kořen)
59. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 7x^2 – x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Najdeme racionální kořeny podle děliteli 6: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Testujeme \( x=1 \): \( 1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x – 1 \) pomocí Hornerovy metody:
Po dělení získáme: \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \).
Testujeme racionální kořeny znovu na \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Pro \( x=1 \): \( 1 + 2 – 5 – 6 = -8 \neq 0 \)
Pro \( x=2 \): \( 8 + 8 – 10 – 6 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \) výrazem \( x – 2 \): dostaneme \( x^2 + 4x + 3 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = -1, -3 \).
Řešení celé rovnice jsou tedy:
\( x = 1, 2, -1, -3 \).
60. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – 3x^2 + x + 2 = 0 \)
Řešení příkladu:
Hledáme racionální kořeny mezi \( \pm1, \pm2 \).
Pro \( x=1 \): \( 1 -1 -3 +1 +2 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme \( x^4 – x^3 – 3x^2 + x + 2 \) výrazem \( x – 1 \) pomocí Hornerovy metody:
Výsledek: \( x^3 – 3x^2 + 0x + 2 \).
Zkusíme najít kořeny kubické rovnice \( x^3 – 3x^2 + 2 = 0 \).
Testujeme racionální kořeny \( \pm1, \pm2 \).
Pro \( x=1 \): \( 1 – 3 + 2 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 – 3x^2 + 2 \) výrazem \( x – 1 \), dostaneme \( x^2 – 2x – 2 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 2x – 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \).
Řešení celé rovnice jsou tedy:
\( x = 1, 1, 1 + \sqrt{3}, 1 – \sqrt{3} \).
61. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Vidíme, že \( x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = (x + 1)^4 \).
Ověření: rozklad podle binomu.
Řešení je tedy jediný kořen:
\( x = -1 \) s násobností čtyři.
62. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^3 + 8x^2 – 4x = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnici upravíme:
\( x(x^3 – 5x^2 + 8x – 4) = 0 \Rightarrow x=0 \) nebo \( x^3 – 5x^2 + 8x – 4 = 0 \).
Pro kubickou rovnici hledáme racionální kořeny mezi děliteli 4: \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
Testujeme \( x=1 \): \( 1 – 5 + 8 – 4 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 – 5x^2 + 8x – 4 \) výrazem \( x – 1 \):
Dostaneme \( x^2 – 4x + 4 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 16}}{2} = 2 \).
Máme tedy dvojnásobný kořen \( x=2 \).
Celková řešení jsou:
\( x = 0, 1, 2, 2 \).
63. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 2x^3 – 7x^2 + 8x + 12 = 0 \)
Řešení příkladu:
Hledáme racionální kořeny mezi děliteli \(12\): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
Testujeme \( x=1 \): \( 1 – 2 – 7 + 8 + 12 = 12 \neq 0 \).
Testujeme \( x=2 \): \( 16 – 16 – 28 + 16 + 12 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme \( x^4 – 2x^3 – 7x^2 + 8x + 12 \) výrazem \( x – 2 \):
Dostaneme \( x^3 – 7x^2 + 8x + 6 \).
Zkusíme racionální kořeny znovu na \( x^3 – 7x^2 + 8x + 6 \): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Pro \( x=1 \): \( 1 – 7 + 8 + 6 = 8 \neq 0 \)
Pro \( x=3 \): \( 27 – 63 + 24 + 6 = -6 \neq 0 \)
Pro \( x=6 \): \( 216 – 252 + 48 + 6 = 18 \neq 0 \)
Pro \( x=-1 \): \( -1 – 7 – 8 + 6 = -10 \neq 0 \)
Pro \( x=-2 \): \( -8 – 28 – 16 + 6 = -46 \neq 0 \)
Pro \( x=-3 \): \( -27 – 63 – 24 + 6 = -108 \neq 0 \)
Proto hledáme kořeny numericky, nebo použijeme Cardanovu formuli pro kubickou rovnici.
Numericky jsou kořeny přibližně:
\( x \approx 6.04, 0.48, 0.48 \) (dva kořeny blízko sebe a jeden větší)
Celková řešení jsou tedy:
\( x = 2, 6.04, 0.48, 0.48 \) (přibližně).
64. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 4x^2 – 4x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme rozklad na součin dvou kvadratických výrazů:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 + x^3 – 4x^2 – 4x + 4 \)
Rovnice implikují systém:
- \( a + c = 1 \)
- \( ac + b + d = -4 \)
- \( a d + b c = -4 \)
- \( b d = 4 \)
Zkusíme \( b = 2 \), \( d = 2 \) (protože \( 2 \cdot 2 = 4 \)).
Pak:
- \( a + c = 1 \)
- \( ac + 4 = -4 \Rightarrow ac = -8 \)
- \( 2a + 2c = -4 \Rightarrow a + c = -2 \), což je v rozporu s prvním bodem.
Neplatí, zkusíme \( b=4 \), \( d=1 \):
- \( a + c = 1 \)
- \( ac + 5 = -4 \Rightarrow ac = -9 \)
- \( a \cdot 1 + 4 c = -4 \Rightarrow a + 4 c = -4 \)
Z první rovnice \( c = 1 – a \), dosadíme do třetí:
\( a + 4 (1 – a) = -4 \Rightarrow a + 4 – 4a = -4 \Rightarrow -3a = -8 \Rightarrow a = \frac{8}{3} \)
Pak \( c = 1 – \frac{8}{3} = -\frac{5}{3} \).
Z druhé rovnice \( ac = -9 \Rightarrow \frac{8}{3} \cdot -\frac{5}{3} = -\frac{40}{9} \neq -9 \), neplatí.
Zkusíme \( b = 1 \), \( d = 4 \):
- \( a + c = 1 \)
- \( ac + 5 = -4 \Rightarrow ac = -9 \)
- \( 4 a + c = -4 \)
Z první rovnice \( c = 1 – a \), dosadíme do třetí:
\( 4 a + 1 – a = -4 \Rightarrow 3 a = -5 \Rightarrow a = -\frac{5}{3} \)
Pak \( c = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} \).
Z druhé rovnice \( ac = -9 \Rightarrow -\frac{5}{3} \cdot \frac{8}{3} = -\frac{40}{9} \neq -9 \), neplatí.
Zkusíme \( b = -1 \), \( d = -4 \) (protože \( (-1)(-4) = 4 \)):
- \( a + c = 1 \)
- \( ac – 5 = -4 \Rightarrow ac = 1 \)
- \( -4 a – c = -4 \Rightarrow 4 a + c = 4 \)
Z první rovnice \( c = 1 – a \), dosadíme do třetí:
\( 4 a + 1 – a = 4 \Rightarrow 3 a = 3 \Rightarrow a = 1 \)
Pak \( c = 1 – 1 = 0 \).
Z druhé rovnice \( ac = 1 \cdot 0 = 0 \neq 1 \), neplatí.
Zkusíme tedy řešit numericky nebo pomocí substituce.
Numerickými metodami dostáváme přibližné kořeny:
\( x \approx 1.6506, -2.1654, 0.2574 + 1.1032 i, 0.2574 – 1.1032 i \).
65. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 6x^3 + 11x^2 – 6x = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnici upravíme:
\( x(x^3 – 6x^2 + 11x – 6) = 0 \Rightarrow x=0 \) nebo \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \).
Kubickou rovnici rozložíme zkoušením racionálních kořenů: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Testujeme \( x=1 \): \( 1 – 6 + 11 – 6 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 \) výrazem \( x – 1 \):
Dostaneme \( x^2 – 5x + 6 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = 2, 3 \).
Celková řešení jsou:
\( x = 0, 1, 2, 3 \).
66. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 3x^3 – 7x^2 – 3x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Hledáme racionální kořeny mezi děliteli 6: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Testujeme \( x=1 \): \( 1 + 3 – 7 – 3 + 6 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme \( x^4 + 3x^3 – 7x^2 – 3x + 6 \) výrazem \( x – 1 \):
Dostaneme \( x^3 + 4x^2 – 3x – 6 \).
Hledáme kořeny kubické rovnice \( x^3 + 4x^2 – 3x – 6 = 0 \) s děliteli \(6\).
Testujeme \( x=1 \): \( 1 + 4 – 3 – 6 = -4 \neq 0 \).
Testujeme \( x=2 \): \( 8 + 16 – 6 – 6 = 12 \neq 0 \).
Testujeme \( x=-1 \): \( -1 + 4 + 3 – 6 = 0 \Rightarrow x=-1 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 4x^2 – 3x – 6 \) výrazem \( x + 1 \):
Dostaneme \( x^2 + 3x – 6 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 3x – 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 24}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{33}}{2} \).
Celková řešení jsou:
\( x = 1, -1, \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}, \frac{-3 – \sqrt{33}}{2} \).
67. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 4x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme rozklad na součin dvou kvadratických výrazů:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 4x + 4 \)
Vyjádříme koeficienty:
- \( a + c = -4 \)
- \( ac + b + d = 5 \)
- \( a d + b c = -4 \)
- \( b d = 4 \)
Zkusíme \( b = 2 \), \( d = 2 \) (protože \( 2 \cdot 2 = 4 \)).
Pak:
- \( a + c = -4 \)
- \( ac + 4 = 5 \Rightarrow ac = 1 \)
- \( 2 a + 2 c = -4 \Rightarrow a + c = -2 \), což je v rozporu s prvním bodem.
Neplatí, zkusíme \( b=4 \), \( d=1 \):
- \( a + c = -4 \)
- \( ac + 5 = 5 \Rightarrow ac = 0 \)
- \( a \cdot 1 + 4 c = -4 \Rightarrow a + 4 c = -4 \)
Z první rovnice \( c = -4 – a \), dosadíme do třetí:
\( a + 4(-4 – a) = -4 \Rightarrow a – 16 – 4 a = -4 \Rightarrow -3 a = 12 \Rightarrow a = -4 \)
Pak \( c = -4 – (-4) = 0 \).
Z druhé rovnice \( ac = (-4) \cdot 0 = 0 \), což souhlasí.
Součin je tedy \( (x^2 – 4x + 4)(x^2 + 0 \cdot x + 1) = (x – 2)^2 (x^2 + 1) \).
Řešíme kvadratické rovnice:
\( (x – 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2 \) dvojnásobný kořen
\( x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1 \Rightarrow x = i, -i \).
Celkem řešení jsou: \( x = 2, 2, i, -i \).
68. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 5x^3 + 6x^2 – 5x – 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Hledáme racionální kořeny z děliteli konstantního členu \(-6\): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
Testujeme \( x = 1 \): \( 1 + 5 + 6 – 5 – 6 = 1 \neq 0 \).
Testujeme \( x = -1 \): \( 1 – 5 + 6 + 5 – 6 = 1 \neq 0 \).
Testujeme \( x = 2 \): \( 16 + 40 + 24 – 10 – 6 = 64 \neq 0 \).
Testujeme \( x = -2 \): \( 16 – 40 + 24 + 10 – 6 = 4 \neq 0 \).
Testujeme \( x = 3 \): \( 81 + 135 + 54 – 15 – 6 = 249 \neq 0 \).
Testujeme \( x = -3 \): \( 81 – 135 + 54 + 15 – 6 = 9 \neq 0 \).
Proto hledáme rozklad na součin kvadratických polynomů:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 + 5x^3 + 6x^2 – 5x – 6 \)
Máme systém:
- \( a + c = 5 \)
- \( ac + b + d = 6 \)
- \( ad + b c = -5 \)
- \( b d = -6 \)
Zkusíme \( b = 2 \), \( d = -3 \) (protože \( 2 \cdot -3 = -6 \)).
Pak:
- \( a + c = 5 \)
- \( ac – 1 = 6 \Rightarrow ac = 7 \)
- \( -3 a + 2 c = -5 \)
Z první rovnice \( c = 5 – a \), dosadíme do třetí:
\( -3 a + 2 (5 – a) = -5 \Rightarrow -3 a + 10 – 2 a = -5 \Rightarrow -5 a = -15 \Rightarrow a = 3 \)
Pak \( c = 5 – 3 = 2 \).
Z druhé rovnice \( ac = 3 \cdot 2 = 6 \neq 7 \), neplatí, zkusíme jinou kombinaci.
Zkusíme \( b = -1 \), \( d = 6 \):
- \( a + c = 5 \)
- \( ac + 5 = 6 \Rightarrow ac = 1 \)
- \( 6 a – 1 c = -5 \Rightarrow 6 a – c = -5 \)
Z první rovnice \( c = 5 – a \), dosadíme do třetí:
\( 6 a – (5 – a) = -5 \Rightarrow 6 a – 5 + a = -5 \Rightarrow 7 a = 0 \Rightarrow a = 0 \)
Pak \( c = 5 – 0 = 5 \).
Z druhé rovnice \( ac = 0 \cdot 5 = 0 \neq 1 \), neplatí.
Zkusíme \( b = -2 \), \( d = 3 \):
- \( a + c = 5 \)
- \( ac + 1 = 6 \Rightarrow ac = 5 \)
- \( 3 a – 2 c = -5 \)
Z první rovnice \( c = 5 – a \), dosadíme do třetí:
\( 3 a – 2 (5 – a) = -5 \Rightarrow 3 a – 10 + 2 a = -5 \Rightarrow 5 a = 5 \Rightarrow a = 1 \)
Pak \( c = 5 – 1 = 4 \).
Z druhé rovnice \( ac = 1 \cdot 4 = 4 \neq 5 \), neplatí.
Zkusíme \( b = 3 \), \( d = -2 \):
- \( a + c = 5 \)
- \( ac + 1 = 6 \Rightarrow ac = 5 \)
- \( -2 a + 3 c = -5 \)
Z první rovnice \( c = 5 – a \), dosadíme do třetí:
\( -2 a + 3 (5 – a) = -5 \Rightarrow -2 a + 15 – 3 a = -5 \Rightarrow -5 a = -20 \Rightarrow a = 4 \)
Pak \( c = 5 – 4 = 1 \).
Z druhé rovnice \( ac = 4 \cdot 1 = 4 \neq 5 \), neplatí.
Proto použijeme numerické řešení pro kořeny, případně rozklad není racionální.
69. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 2x^3 – 5x^2 + 6x + 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny z děliteli čísla \(8\): \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
\( x=1: 1 – 2 – 5 + 6 + 8 = 8 \ne 0 \).
\( x=2: 16 – 16 – 20 + 12 + 8 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^4 – 2x^3 – 5x^2 + 6x + 8 \) výrazem \( x-2 \):
\( (x-2)(x^3 + 0x^2 – 5x – 4) = 0 \).
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 – 5x – 4 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm4 \):
\( x=1: 1 – 5 – 4 = -8 \ne 0 \), \( x=-1: -1 + 5 – 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 – 5x – 4 \) výrazem \( x + 1 \):
\( (x+1)(x^2 – x – 4) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – x – 4 = 0 \Rightarrow x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2} \).
Řešení: \( x = 2, -1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 – \sqrt{17}}{2} \).
70. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 6x^2 – x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Hledáme racionální kořeny z děliteli čísla \(6\): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
\( x=1: 1 + 1 – 6 – 1 + 6 = 1 \ne 0 \).
\( x=2: 16 + 8 – 24 – 2 + 6 = 4 \ne 0 \).
\( x=3: 81 + 27 – 54 – 3 + 6 = 57 \ne 0 \).
\( x=-1: 1 – 1 – 6 + 1 + 6 = 1 \ne 0 \).
Zkusíme rozklad na součin dvou kvadratických výrazů:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 + x^3 – 6x^2 – x + 6 \)
Soustava rovnic:
- \( a + c = 1 \)
- \( ac + b + d = -6 \)
- \( a d + b c = -1 \)
- \( b d = 6 \)
Zkusíme \( b = 2 \), \( d = 3 \) (protože \( 2 \cdot 3 = 6 \)).
Z první rovnice \( c = 1 – a \).
Z druhé: \( a(1 – a) + 5 = -6 \Rightarrow a – a^2 + 5 = -6 \Rightarrow -a^2 + a + 11 = 0 \Rightarrow a^2 – a – 11 = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pro \( a \):
\( a = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 44}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{1 \pm 3 \sqrt{5}}{2} \).
Vybereme \( a = \frac{1 + 3 \sqrt{5}}{2} \), pak \( c = 1 – a = \frac{1 – 3 \sqrt{5}}{2} \).
Z třetí rovnice:
\( a \cdot 3 + 2 \cdot c = -1 \Rightarrow 3 a + 2 c = -1 \).
Dosadíme za \( a \) a \( c \) a ověříme rovnost.
Řešení jsou pak kořeny kvadratických rovnic \( x^2 + a x + 2 = 0 \) a \( x^2 + c x + 3 = 0 \).
Výsledné kořeny jsou komplexní a reálné podle diskriminantu.
71. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 12x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme rozklad na součin kvadratických výrazů:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 12x + 4 \)
Soustava rovnic:
- \( a + c = -6 \)
- \( ac + b + d = 13 \)
- \( a d + b c = -12 \)
- \( b d = 4 \)
Zkusíme \( b = 1 \), \( d = 4 \) (protože \( 1 \cdot 4 = 4 \)).
Pak:
- \( a + c = -6 \)
- \( ac + 5 = 13 \Rightarrow ac = 8 \)
- \( 4 a + 1 c = -12 \Rightarrow 4 a + c = -12 \)
Z první rovnice \( c = -6 – a \), dosadíme do třetí:
\( 4 a + (-6 – a) = -12 \Rightarrow 3 a – 6 = -12 \Rightarrow 3 a = -6 \Rightarrow a = -2 \).
Pak \( c = -6 – (-2) = -4 \).
Ověříme druhou rovnici \( ac = (-2)(-4) = 8 \), souhlasí.
Rovnice je \( (x^2 – 2x + 1)(x^2 – 4x + 4) = (x – 1)^2 (x – 2)^2 \).
Řešení: \( x = 1, 1, 2, 2 \).
72. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny z děliteli čísla \(12\): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
\( x=1: 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 \) výrazem \( x – 1 \):
\( (x – 1)(x^3 + 3x^2 – 4x – 12) = 0 \).
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \):
\( x=2: 8 + 12 – 8 – 12 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme kubickou rovnici výrazem \( x – 2 \):
\( (x – 2)(x^2 + 5x + 6) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2, -3 \).
Řešení rovnice jsou \( x = 1, 2, -2, -3 \).
73. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^3 + 6x^2 + 4x – 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny z děliteli čísla \(8\): \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
\( x=1: 1 – 5 + 6 + 4 – 8 = -2 \ne 0 \).
\( x=2: 16 – 40 + 24 + 8 – 8 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^4 – 5x^3 + 6x^2 + 4x – 8 \) výrazem \( x – 2 \):
\( (x – 2)(x^3 – 3x^2 + 0 x + 4) = 0 \).
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 – 3x^2 + 4 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm4 \):
\( x=1: 1 – 3 + 4 = 2 \ne 0 \).
\( x=-1: -1 – 3 + 4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) je kořen.
Dělíme kubickou rovnici výrazem \( x + 1 \):
\( (x + 1)(x^2 – 4x + 4) = 0 \Rightarrow (x + 1)(x – 2)^2 = 0 \).
Řešení jsou \( x = 2, -1, 2, 2 \).
74. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnice je vzorem rozvoje \( (x + 1)^4 = 0 \).
Řešení je tedy čtyřnásobný kořen \( x = -1 \).
75. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – 4x^2 + 4x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny z děliteli čísla \(4\): \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
\( x=1: 1 – 1 – 4 + 4 + 4 = 4 \ne 0 \).
\( x=2: 16 – 8 – 16 + 8 + 4 = 4 \ne 0 \).
Zkusíme rozklad na součin kvadratických výrazů:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 – x^3 – 4x^2 + 4x + 4 \)
Soustava rovnic:
- \( a + c = -1 \)
- \( ac + b + d = -4 \)
- \( a d + b c = 4 \)
- \( b d = 4 \)
Zkusíme \( b = 2 \), \( d = 2 \) (protože \( 2 \cdot 2 = 4 \)).
Z první rovnice \( c = -1 – a \).
Z druhé: \( a(-1 – a) + 4 = -4 \Rightarrow -a^2 – a + 4 = -4 \Rightarrow -a^2 – a = -8 \Rightarrow a^2 + a – 8 = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pro \( a \):
\( a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2} \).
Z třetí rovnice:
\( a \cdot 2 + 2 \cdot (-1 – a) = 4 \Rightarrow 2 a – 2 – 2 a = 4 \Rightarrow -2 = 4 \) což je spor.
Zkusíme jiné hodnoty \( b \) a \( d \).
Zkusíme \( b=4 \), \( d=1 \).
Soustava:
- \( a + c = -1 \)
- \( ac + 5 = -4 \Rightarrow ac = -9 \)
- \( a \cdot 1 + 4 c = 4 \Rightarrow a + 4 c = 4 \)
Z první rovnice \( c = -1 – a \), dosadíme do třetí:
\( a + 4(-1 – a) = 4 \Rightarrow a – 4 – 4a = 4 \Rightarrow -3a = 8 \Rightarrow a = -\frac{8}{3} \).
Pak \( c = -1 – (-\frac{8}{3}) = -1 + \frac{8}{3} = \frac{5}{3} \).
Ověříme druhou rovici \( ac = -\frac{8}{3} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{40}{9} \ne -9 \), nesouhlasí.
Zkusíme \( b=1 \), \( d=4 \).
Soustava:
- \( a + c = -1 \)
- \( ac + 5 = -4 \Rightarrow ac = -9 \)
- \( 4 a + c = 4 \)
Z první rovnice \( c = -1 – a \), dosadíme do třetí:
\( 4 a + (-1 – a) = 4 \Rightarrow 3 a – 1 = 4 \Rightarrow 3 a = 5 \Rightarrow a = \frac{5}{3} \).
Pak \( c = -1 – \frac{5}{3} = -\frac{8}{3} \).
Ověříme druhou rovici \( ac = \frac{5}{3} \cdot (-\frac{8}{3}) = -\frac{40}{9} \ne -9 \).
Zkusíme jiné metody (například substituci) nebo numerické řešení, protože rozklad na jednoduché kvadratiky není možný s racionálními koeficienty.
Proto použijeme metodu numerického řešení nebo Cardanovu formuli pro řešení kubické rovnice vzniklé dělením po vyloučení jednoho kořene.
Tímto končí naše hledání jednoduchého rozkladu. Řešení lze najít numericky nebo pomocí sofistikovaných algebraických metod.
76. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 6x^3 + 11x^2 – 6x = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnici lze napsat jako: \( x(x^3 – 6x^2 + 11x – 6) = 0 \), takže první kořen je zřejmý:
\( x = 0 \)
Vyřešíme kubickou rovnici \( x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny z dělitelů \(6\): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
\( x=1: 1 – 6 + 11 – 6 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme kubickou rovnici výrazem \( x-1 \):
\( (x-1)(x^2 – 5x + 6) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2, 3 \).
Celkem kořeny jsou: \( x = 0, 1, 2, 3 \).
77. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 7x^2 – x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny z dělitelů \(6\): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
\( x=1: 1 + 1 – 7 – 1 + 6 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme polynom \( x^4 + x^3 – 7x^2 – x + 6 \) výrazem \( x – 1 \):
\( (x – 1)(x^3 + 2x^2 – 5x – 6) = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny u kubické \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 \):
\( x=1: 1 + 2 – 5 – 6 = -8 \neq 0 \), \( x=2: 8 + 8 – 10 – 6 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \) výrazem \( x – 2 \):
\( (x – 2)(x^2 + 4x + 3) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -1, -3 \).
Kořeny rovnice jsou tedy: \( x = 1, 2, -1, -3 \).
78. Vyřešte rovnici: \( 2x^4 – 3x^3 – 2x^2 + 3x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyjmeme \( x \): \( x(2x^3 – 3x^2 – 2x + 3) = 0 \Rightarrow x=0 \) je první kořen.
Řešíme kubickou rovnici \( 2x^3 – 3x^2 – 2x + 3 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny z dělitelů \(3\) a \(2\): \( \pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm3, \pm\frac{3}{2} \).
\( x=1: 2 – 3 – 2 + 3 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme výraz \( 2x^3 – 3x^2 – 2x + 3 \) výrazem \( x – 1 \):
\( (x – 1)(2x^2 – x – 3) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( 2x^2 – x – 3 = 0 \).
Diskriminant: \( D = (-1)^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \).
Korene: \( x = \frac{1 \pm 5}{4} \Rightarrow x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, \quad x_2 = \frac{-4}{4} = -1 \).
Kořeny rovnice jsou tedy: \( x = 0, 1, \frac{3}{2}, -1 \).
79. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – x^2 – 2x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyjmeme \( x^2 \): \( x^2(x^2 + 2x – 1) – 2x = 0 \) není přímé, zkusíme jiný přístup.
Vyjmeme \( x \): \( x(x^3 + 2x^2 – x – 2) = 0 \Rightarrow x=0 \) je kořen.
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 + 2x^2 – x – 2 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny: \( \pm1, \pm2 \).
\( x=1: 1 + 2 – 1 – 2 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^3 + 2x^2 – x – 2 \) výrazem \( x – 1 \):
\( (x – 1)(x^2 + 3x + 2) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -1, -2 \).
Kořeny jsou tedy: \( x = 0, 1, -1, -2 \).
80. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 2x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyjmeme \( x \): \( x(x^3 – 4x^2 + 5x – 2) = 0 \Rightarrow x=0 \) je kořen.
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 – 4x^2 + 5x – 2 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny: \( \pm1, \pm2 \).
\( x=1: 1 – 4 + 5 – 2 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^3 – 4x^2 + 5x – 2 \) výrazem \( x – 1 \):
\( (x – 1)(x^2 – 3x + 2) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x-1)(x-2) = 0 \Rightarrow x = 1, 2 \).
Kořeny rovnice jsou tedy: \( x = 0, 1, 1, 2 \) (dvojnásobný kořen \( x=1 \)).
81. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 3x^3 – x – 3 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitele \(3\), tedy \( \pm1, \pm3 \).
\( x=1: 1 + 3 – 1 – 3 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^4 + 3x^3 – x – 3 \) výrazem \( x – 1 \):
\( (x – 1)(x^3 + 4x^2 + 4x + 3) = 0 \).
Zkusíme kořeny kubické: \( \pm1, \pm3 \).
\( x = -1: -1 + 4 – 4 + 3 = 2 \ne 0 \), \( x = -3: -27 + 36 – 12 + 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 4x^2 + 4x + 3 \) výrazem \( x + 3 \):
\( (x + 3)(x^2 + x + 1) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + x + 1 = 0 \).
Diskriminant \( D = 1^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \), kořeny komplexní:
\( x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \).
Kořeny rovnice jsou tedy: \( x = 1, -3, \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{-1 – i\sqrt{3}}{2} \).
82. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – 7x^2 + x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny z dělitelů 6: \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
\( x=1: 1 – 1 – 7 + 1 + 6 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^4 – x^3 – 7x^2 + x + 6 \) výrazem \( x – 1 \):
\( (x – 1)(x^3 – 7x – 6) = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny kubické rovnice \( x^3 – 7x – 6 = 0 \): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \).
\( x=3: 27 – 21 – 6 = 0 \Rightarrow x=3 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 – 7x – 6 \) výrazem \( x – 3 \):
\( (x – 3)(x^2 + 3x + 2) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -1, -2 \).
Kořeny rovnice jsou tedy: \( x = 1, 3, -1, -2 \).
83. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^3 + 8x^2 – 4x = 0 \)
Řešení příkladu:
Vyjmeme \( x \): \( x(x^3 – 5x^2 + 8x – 4) = 0 \Rightarrow x=0 \) je kořen.
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 – 5x^2 + 8x – 4 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny: \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
\( x=1: 1 – 5 + 8 – 4 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^3 – 5x^2 + 8x – 4 \) výrazem \( x – 1 \):
\( (x – 1)(x^2 – 4x + 4) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – 4x + 4 = 0 \), což je \( (x-2)^2 = 0 \).
Kořeny kvadratické jsou dvojnásobné \( x=2 \).
Celkové kořeny rovnice jsou: \( x = 0, 1, 2, 2 \).
84. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 2x^3 – 7x^2 + 8x + 12 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme najít racionální kořeny pomocí děliteli čísla \(12\): \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12 \).
Testujeme \( x=1 \Rightarrow 1 – 2 – 7 + 8 + 12 = 12 \neq 0 \).
Testujeme \( x=2 \Rightarrow 16 – 16 – 28 + 16 + 12 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x – 2 \) pomocí Hornerovy metody:
\( x^4 – 2x^3 – 7x^2 + 8x + 12 = (x – 2)(x^3 – 7x – 6) \).
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 – 7x – 6 = 0 \).
Testujeme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm3, \pm6 \):
\( x=3 \Rightarrow 27 – 21 – 6 = 0 \Rightarrow x=3 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^3 – 7x – 6 \) výrazem \( x – 3 \):
\( (x – 3)(x^2 + 3x + 2) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x+1)(x+2) = 0 \Rightarrow x = -1, -2 \).
Kořeny rovnice jsou tedy: \( x = 2, 3, -1, -2 \).
85. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme rozklad na součin dvou kvadratických výrazů tvaru \( (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \).
Porovnáme koeficienty:
\( x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) \)
Roznásobíme pravou stranu:
\( x^4 + (a + c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd \).
Porovnáme koeficienty s levým polynomem:
- \( a + c = 4 \)
- \( ac + b + d = 5 \)
- \( ad + bc = 2 \)
- \( bd = 1 \)
Možnosti pro \( b, d \) jsou \( (1,1) \) nebo \( (-1,-1) \).
Zkusíme \( b = d = 1 \):
\( bd = 1 \) je splněno.
Pak \( ac + 1 + 1 = 5 \Rightarrow ac = 3 \).
Máme soustavu: \( a + c = 4, ac = 3 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pro \( a \):
\( a^2 – 4a + 3 = 0 \Rightarrow (a – 3)(a – 1) = 0 \Rightarrow a = 3 \) nebo \( a = 1 \).
Pro \( a = 3 \Rightarrow c = 1 \), pro \( a=1 \Rightarrow c=3 \).
Zkontrolujeme třetí podmínku \( ad + bc = 2 \):
Pro \( a=3, c=1 \Rightarrow 3\cdot1 + 1\cdot1 = 3 + 1 = 4 \neq 2 \).
Pro \( a=1, c=3 \Rightarrow 1\cdot1 + 3\cdot1 = 1 + 3 = 4 \neq 2 \).
Takže volba \( b=d=1 \) nefunguje.
Zkusíme \( b = d = -1 \):
\( bd = 1 \) je splněno.
\( ac – 1 – 1 = 5 \Rightarrow ac = 7 \).
Máme soustavu: \( a + c = 4, ac = 7 \).
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( a^2 – 4a + 7 = 0 \), diskriminant \( D = 16 – 28 = -12 < 0 \), kořeny komplexní.
To znamená, že rozklad na reálné kvadratiky není možný.
Zkusíme vyřešit rovnici přímo pomocí substituce.
Nechť \( y = x^2 + 2x \Rightarrow y^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2 \).
Rovnici můžeme přepsat jako:
\( x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 2x + 1 = y^2 + x^2 + 2x + 1 = 0 \Rightarrow y^2 + (x^2 + 2x + 1) = 0 \).
Všimneme si, že \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \), takže:
\( y^2 + (x+1)^2 = 0 \Rightarrow y^2 = – (x+1)^2 \).
Protože obě strany jsou druhé mocniny, musí být obě nuly v reálných číslech.
Tedy \( y = 0 \) a \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \).
Dosadíme \( x = -1 \) do \( y = x^2 + 2x \):
\( y = 1 – 2 = -1 \neq 0 \), rozpor.
Takže v reálných číslech rovnice nemá řešení.
V komplexních číslech lze řešit přes substituce, ale je to komplikované.
Celkově řešení jsou komplexní.
86. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – 4x^2 + 4x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 – 1 – 4 + 4 + 4 = 4 \neq 0 \).
\( x=2 \Rightarrow 16 – 8 – 16 + 8 + 4 = 4 \neq 0 \).
Vyzkoušíme rozklad na součin dvou kvadratik:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd \).
Porovnáme koeficienty:
- \( a + c = -1 \)
- \( ac + b + d = -4 \)
- \( ad + bc = 4 \)
- \( bd = 4 \)
Možnosti pro \( b, d \) jsou: \( (1,4), (2,2), (4,1), (-1,-4), (-2,-2), (-4,-1) \).
Zkusíme \( b = 2, d = 2 \):
\( bd = 4 \), OK.
\( ac + 2 + 2 = -4 \Rightarrow ac = -8 \).
Máme soustavu: \( a + c = -1, ac = -8 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pro \( a \):
\( a^2 + a – 8 = 0 \Rightarrow a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2} \).
Pro \( a = \frac{-1 + \sqrt{33}}{2} \), \( c = -1 – a \).
Testujeme třetí podmínku:
\( ad + bc = a \cdot 2 + b \cdot c = 2a + 2c = 2(a + c) = 2 \cdot (-1) = -2 \neq 4 \).
Zkusíme jinou dvojici \( b = 4, d = 1 \):
\( bd = 4 \), OK.
\( ac + 4 + 1 = -4 \Rightarrow ac = -9 \).
Soustava \( a + c = -1, ac = -9 \).
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( a^2 + a – 9 = 0 \Rightarrow a = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 36}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{37}}{2} \).
Zkontrolujeme třetí podmínku:
\( ad + bc = a \cdot 1 + 4 \cdot c = a + 4c = ? \)
Protože \( c = -1 – a \), dosadíme:
\( a + 4(-1 – a) = a – 4 – 4a = -3a – 4 \).
Chceme \( -3a – 4 = 4 \Rightarrow -3a = 8 \Rightarrow a = -\frac{8}{3} \).
Zkoušíme, jestli \( a = -\frac{8}{3} \) vyhovuje kvadratické rovnici \( a^2 + a – 9 = 0 \):
\( \left(-\frac{8}{3}\right)^2 – \frac{8}{3} – 9 = \frac{64}{9} – \frac{8}{3} – 9 = \frac{64}{9} – \frac{24}{9} – \frac{81}{9} = \frac{64 – 24 – 81}{9} = \frac{-41}{9} \neq 0 \).
Rozklad tedy není možný na reálné koeficienty.
Zkusíme jinou metodu, například substituci \( y = x^2 \).
Rovnici přepíšeme jako \( y^2 – x^3 – 4 y + 4 x + 4 = 0 \), ale tato substituce není přímočará.
Vyzkoušíme numerické nebo aproximativní metody.
87. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 3x^3 – 2x^2 – 3x + 2 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny z děliteli čísla \(2\): \( \pm1, \pm2 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 + 3 – 2 – 3 + 2 = 1 \neq 0 \).
\( x=2 \Rightarrow 16 + 24 – 8 – 6 + 2 = 28 \neq 0 \).
\( x=-1 \Rightarrow 1 – 3 – 2 + 3 + 2 = 1 \neq 0 \).
\( x=-2 \Rightarrow 16 – 24 – 8 + 6 + 2 = -8 \neq 0 \).
Nejsou zde racionální kořeny.
Zkusíme rozklad na součin dvou kvadratik:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 + (a+c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd \).
Porovnáme koeficienty:
- \( a + c = 3 \)
- \( ac + b + d = -2 \)
- \( ad + bc = -3 \)
- \( bd = 2 \)
Možnosti pro \( b, d \) jsou \( (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1) \).
Zkusíme \( b = 1, d = 2 \):
\( bd = 2 \) OK.
\( ac + 1 + 2 = -2 \Rightarrow ac = -5 \).
Máme soustavu: \( a + c = 3, ac = -5 \).
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( t^2 – 3t – 5 = 0 \Rightarrow t = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 20}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2} \).
Zkontrolujeme třetí podmínku:
\( ad + bc = a \cdot 2 + 1 \cdot c = 2a + c \).
Protože \( c = 3 – a \), máme:
\( 2a + 3 – a = a + 3 = -3 \Rightarrow a = -6 \).
Zkontrolujeme, zda \( a = -6 \) splňuje kvadratickou rovnici:
\( (-6)^2 – 3(-6) – 5 = 36 + 18 – 5 = 49 \neq 0 \).
Ne, tedy nefunguje.
Zkusíme \( b=2, d=1 \):
\( bd=2 \), OK.
\( ac + 2 + 1 = -2 \Rightarrow ac = -5 \).
Současně \( a + c = 3 \).
Podmínka \( ad + bc = a \cdot 1 + 2 \cdot c = a + 2c = -3 \).
Protože \( c = 3 – a \), dosadíme:
\( a + 2(3 – a) = a + 6 – 2a = 6 – a = -3 \Rightarrow a = 9 \).
Zkontrolujeme, zda \( a=9 \) splňuje kvadratickou rovnici:
\( 9 \cdot c = -5 \Rightarrow 9 \cdot (3 – 9) = 9 \cdot (-6) = -54 \neq -5 \), rozpor.
Nelze rozložit na reálné kvadratiky s těmito koeficienty.
Zkusíme řešit kubickou rovnici numericky nebo jinak.
88. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 12x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme rozklad na součin dvou kvadratik:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 + (a+c) x^3 + (ac + b + d) x^2 + (ad + bc) x + bd \).
Porovnáme koeficienty:
- \( a + c = -6 \)
- \( ac + b + d = 13 \)
- \( ad + bc = -12 \)
- \( bd = 4 \)
Zkusíme \( b = d = 2 \), pak \( bd = 4 \), OK.
Rovnice pro \( a \) a \( c \):
\( a + c = -6 \)
\( ac + 4 = 13 \Rightarrow ac = 9 \)
Řešíme kvadratickou rovnici pro \( a \):
\( t^2 + 6t + 9 = 0 \Rightarrow (t + 3)^2 = 0 \Rightarrow a = c = -3 \)
Zkontrolujeme třetí podmínku:
\( ad + bc = a d + b c = -3 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) = -6 – 6 = -12 \), OK.
Rovnice se rozloží na:
\( (x^2 – 3 x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x^2 – 3x + 2 = 0 \)
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow (x – 1)(x – 2) = 0 \Rightarrow x = 1, 2 \)
Řešení má tedy dvojnásobné kořeny:
\( x = 1, 1, 2, 2 \).
89. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^3 + 6x^2 + 4x – 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Nejprve zkusíme racionální kořeny pomocí dělitelů čísla \(8\): \( \pm1, \pm2, \pm4, \pm8 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 – 5 + 6 + 4 – 8 = -2 \neq 0 \).
\( x=2 \Rightarrow 16 – 40 + 24 + 8 – 8 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen.
Polynom rozdělíme dělením polynomem \( x – 2 \):
Pomocí Hornerovy metody dostaneme: \( x^4 – 5x^3 + 6x^2 + 4x – 8 = (x – 2)(x^3 – 3x^2 + 0x + 4) \).
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 – 3x^2 + 4 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé 4 jsou \( \pm1, \pm2, \pm4 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 – 3 + 4 = 2 \neq 0 \).
\( x=2 \Rightarrow 8 – 12 + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) je kořen i této kubické rovnice.
Dělíme \( x^3 – 3x^2 + 4 \) polynomem \( x – 2 \):
Výsledek je \( x^2 – x – 2 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – x – 2 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) = 0 \Rightarrow x = 2, -1 \).
Celkem jsou kořeny rovnice: \( x = 2 \) (trojnásobný kořen) a \( x = -1 \).
90. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Rovnici poznáme jako binomický vzorec:
\( (x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \).
Rovnice tedy zjednodušuje na:
\( (x + 1)^4 = 0 \Rightarrow x = -1 \) s násobností \(4\).
Řešení: \( x = -1 \) čtyřnásobný kořen.
91. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 5x^2 – 2x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme rozklad na součin kvadratik:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd \).
Porovnáme koeficienty:
- \( a + c = -4 \)
- \( ac + b + d = 5 \)
- \( ad + bc = -2 \)
- \( bd = 1 \)
Dělitelé \(1\) jsou \( \pm 1 \), zkusíme \( b = d = 1 \).
Pak \( bd = 1 \) je splněno.
Rovnice pro \( a \) a \( c \):
\( a + c = -4 \),
\( ac + 2 = 5 \Rightarrow ac = 3 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pro \( a \):
\( t^2 + 4 t + 3 = 0 \Rightarrow t = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \Rightarrow t = -1, -3 \).
Označíme \( a = -1, c = -3 \) (nebo naopak).
Zkontrolujeme \( ad + bc = a \cdot 1 + 1 \cdot c = a + c = -4 \), ale máme \( -2 \), tedy nesouhlasí.
Zkusíme \( b = 1, d = -1 \):
\( bd = -1 \), nesplňuje.
Zkusíme \( b = -1, d = -1 \):
\( bd = 1 \), OK.
Pak \( ac + b + d = ac – 2 = 5 \Rightarrow ac = 7 \).
Máme \( a + c = -4 \), \( ac = 7 \).
Řešíme kvadratickou rovnici:
\( t^2 + 4t + 7 = 0 \Rightarrow \Delta = 16 – 28 = -12 < 0 \), tedy \( a,c \) komplexní.
Rovnice má tedy komplexní kořeny.
Můžeme řešit kvadratickou rovnicí přímo nebo numericky.
Využijeme Cardanovu formuli pro čtvrtou mocninu: substituce není přímočará, proto použijeme numerické metody.
92. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: děliteli \(12\) jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0 \Rightarrow x=1 \) je kořen.
Dělíme polynom polynomem \( x-1 \):
Výsledek dělení je \( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 \).
Řešíme kubickou rovnici \( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \).
\( x = 2 \Rightarrow 8 + 12 – 8 – 12 = 0 \Rightarrow x=2 \) je kořen.
Dělíme \( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 \) polynomem \( x – 2 \):
Výsledek je \( x^2 + 5x + 6 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x+2)(x+3) = 0 \Rightarrow x = -2, -3 \).
Řešení jsou tedy \( x = 1, 2, -2, -3 \).
93. Vyřešte rovnici: \( x^4 – x^3 – 6x^2 + x + 6 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny z dělitelů čísla \(6\): \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \).
\( x = 1 \Rightarrow 1 – 1 – 6 + 1 + 6 = 1 \neq 0 \).
\( x = 2 \Rightarrow 16 – 8 – 24 + 2 + 6 = -8 \neq 0 \).
\( x = 3 \Rightarrow 81 – 27 – 54 + 3 + 6 = 9 \neq 0 \).
\( x = -1 \Rightarrow 1 + 1 – 6 – 1 + 6 = 1 \neq 0 \).
\( x = -2 \Rightarrow 16 + 8 – 24 – 2 + 6 = 4 \neq 0 \).
\( x = -3 \Rightarrow 81 + 27 – 54 – 3 + 6 = 57 \neq 0 \).
Nejsou žádné racionální kořeny. Zkusíme rozklad na kvadratické faktory:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) \)
Porovnáme koeficienty:
- \( a + c = -1 \)
- \( ac + b + d = -6 \)
- \( ad + bc = 1 \)
- \( bd = 6 \)
Zkusíme faktory \( b = 2, d = 3 \) (protože \( 2 \times 3 = 6 \)).
Pak \( ac + 5 = -6 \Rightarrow ac = -11 \).
Máme \( a + c = -1 \) a \( ac = -11 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pro \( a \):
\( t^2 + t – 11 = 0 \Rightarrow t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 44}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{45}}{2} \Rightarrow t = \frac{-1 \pm 3\sqrt{5}}{2} \).
Označíme \( a = \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2} \), \( c = \frac{-1 – 3\sqrt{5}}{2} \).
Ověříme \( ad + bc = a \cdot 3 + b \cdot c \):
\( 3a + 2c = 3 \cdot \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2} + 2 \cdot \frac{-1 – 3\sqrt{5}}{2} = \frac{3(-1 + 3\sqrt{5}) + 2(-1 – 3\sqrt{5})}{2} \)
= \( \frac{-3 + 9\sqrt{5} – 2 – 6\sqrt{5}}{2} = \frac{-5 + 3\sqrt{5}}{2} \neq 1 \), nesplňuje.
Zkusíme \( b = 3, d = 2 \):
Pak \( ac + 5 = -6 \Rightarrow ac = -11 \), stejné jako předtím.
Ověříme \( ad + bc = a \cdot 2 + 3 \cdot c = 2a + 3c \):
\( 2a + 3c = 2 \cdot \frac{-1 + 3\sqrt{5}}{2} + 3 \cdot \frac{-1 – 3\sqrt{5}}{2} = \frac{-1 + 3\sqrt{5} – 3 – 9\sqrt{5}}{2} = \frac{-4 – 6\sqrt{5}}{2} = -2 – 3\sqrt{5} \neq 1 \).
Vyzkoušíme jinou kombinaci koeficientů.
Protože rozklad nelze jednoduše najít, řešení musí být pomocí numerických nebo komplexních metod.
94. Vyřešte rovnici: \( x^4 + x^3 – 4x^2 – x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(4\) jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 + 1 – 4 – 1 + 4 = 1 \neq 0 \).
\( x=2 \Rightarrow 16 + 8 – 16 – 2 + 4 = 10 \neq 0 \).
\( x=-1 \Rightarrow 1 – 1 – 4 + 1 + 4 = 1 \neq 0 \).
\( x=-2 \Rightarrow 16 – 8 – 16 + 2 + 4 = -2 \neq 0 \).
Zkusíme rozklad na součin kvadratik:
\( (x^2 + a x + b)(x^2 + c x + d) \)
Porovnáme koeficienty:
- \( a + c = 1 \)
- \( ac + b + d = -4 \)
- \( ad + bc = -1 \)
- \( bd = 4 \)
Zkusíme \( b=2, d=2 \) (protože \( 2 \times 2 = 4 \)).
Pak \( ac + 4 = -4 \Rightarrow ac = -8 \).
Máme \( a + c = 1 \) a \( ac = -8 \).
Řešíme kvadratickou rovnici pro \( a \):
\( t^2 – t – 8 = 0 \Rightarrow t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2} \).
Označíme \( a = \frac{1 + \sqrt{33}}{2} \), \( c = \frac{1 – \sqrt{33}}{2} \).
Zkontrolujeme \( ad + bc = a \cdot 2 + 2 \cdot c = 2a + 2c = 2(a+c) = 2 \times 1 = 2 \), což nesplňuje podmínku \( -1 \).
Zkusíme \( b=4, d=1 \): \( bd=4 \) OK.
Pak \( ac + 5 = -4 \Rightarrow ac = -9 \).
Máme \( a+c=1 \), \( ac=-9 \), řešíme:
\( t^2 – t – 9 = 0 \Rightarrow t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 36}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2} \).
Zkontrolujeme \( ad + bc = a \cdot 1 + 4 \cdot c = a + 4 c \).
Zvolíme \( a = \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \), \( c = \frac{1 – \sqrt{37}}{2} \), pak
\( ad + bc = a + 4 c = \frac{1 + \sqrt{37}}{2} + 4 \cdot \frac{1 – \sqrt{37}}{2} = \frac{1 + \sqrt{37} + 4 – 4 \sqrt{37}}{2} = \frac{5 – 3 \sqrt{37}}{2} \neq -1 \).
Vyzkoušíme \( a = \frac{1 – \sqrt{37}}{2} \), \( c = \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \):
\( ad + bc = a + 4 c = \frac{1 – \sqrt{37}}{2} + 4 \cdot \frac{1 + \sqrt{37}}{2} = \frac{1 – \sqrt{37} + 4 + 4 \sqrt{37}}{2} = \frac{5 + 3 \sqrt{37}}{2} \neq -1 \).
Žádný jednoduchý rozklad neexistuje, rovnice má komplexní řešení.
95. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 6x^3 + 13x^2 – 12x + 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: děliteli \(4\) jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 – 6 + 13 – 12 + 4 = 0 \), takže \( x=1 \) je kořen.
Dělíme polynom výrazem \( x-1 \) pomocí Hornerova schématu:
Koeficienty: \(1, -6, 13, -12, 4\)
Syntetická dělení:
\(1\)
\(1*1=1; -6+1=-5\)
\(1*-5=-5; 13-5=8\)
\(1*8=8; -12+8=-4\)
\(1*-4=-4; 4-4=0\)
Zbytek je \(0\), takže polynom se dělí:
\( (x-1)(x^3 – 5x^2 + 8x – 4) = 0 \).
Teď hledáme kořeny kubické rovnice \( x^3 – 5x^2 + 8x – 4 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \):
\( x=1 \Rightarrow 1 – 5 + 8 – 4 = 0 \), takže i \( x=1 \) je kořen.
Dělíme znovu výrazem \( x-1 \):
Koeficienty: \(1, -5, 8, -4\)
Postup dělení podobný:
\(1\)
\(1*1=1; -5+1=-4\)
\(1*-4=-4; 8-4=4\)
\(1*4=4; -4+4=0\)
Takže \( (x-1)^2 (x^2 – 4x + 4) = 0 \).
Rovnice se tedy rozkládá na \( (x-1)^2 (x-2)^2 = 0 \).
Řešení jsou \( x = 1 \) s dvojnásobnou násobností a \( x = 2 \) také s dvojnásobnou násobností.
96. Vyřešte rovnici: \( 2x^4 + 3x^3 – 2x^2 – 3x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny (dělitelé konstanty \(1\) dělení dělitele vedoucího koeficientu \(2\)): \( \pm 1, \pm \frac{1}{2} \).
\( x=1 \Rightarrow 2 + 3 – 2 – 3 + 1 = 1 \neq 0 \).
\( x=-1 \Rightarrow 2 – 3 – 2 + 3 + 1 = 1 \neq 0 \).
\( x=\frac{1}{2} \Rightarrow 2 \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^3 – 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 – 3 \left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 2 \times \frac{1}{16} + 3 \times \frac{1}{8} – 2 \times \frac{1}{4} – \frac{3}{2} + 1 \)
= \( \frac{1}{8} + \frac{3}{8} – \frac{1}{2} – \frac{3}{2} + 1 = \frac{4}{8} – \frac{1}{2} – \frac{3}{2} + 1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} – \frac{3}{2} + 1 = – \frac{3}{2} + 1 = -\frac{1}{2} \neq 0 \).
\( x = -\frac{1}{2} \Rightarrow \) podobně ověříme, také není kořen.
Zkusíme rozklad na součin dvou kvadratik:
\( (x^2 + a x + b)(2 x^2 + c x + d) \).
Porovnáme koeficienty:
- Vedoucí koeficient: \( 2 = 1 \times 2 \)
- Součet koeficientů u \( x^3 \): \( a \times 2 + c \times 1 = 3 \Rightarrow 2a + c = 3 \)
- Koeficient u \( x^2 \): \( b \times 2 + a c + d \times 1 = -2 \Rightarrow 2 b + a c + d = -2 \)
- Koeficient u \( x \): \( b c + a d = -3 \)
- Konstantní člen: \( b d = 1 \)
Zkusíme hodnoty \( b = 1, d = 1 \) (protože \( 1 \times 1 = 1 \)).
Pak:
\(2 a + c = 3\)
\(2(1) + a c + 1 = -2 \Rightarrow 2 + a c + 1 = -2 \Rightarrow a c = -5\)
\(b c + a d = 1 \cdot c + a \cdot 1 = c + a = -3\)
Máme tedy soustavu:
\(2a + c = 3\)
\(a c = -5\)
\(c + a = -3\)
Z druhé a třetí rovnice vyjádříme \( c = -3 – a \).
Dosadíme do první:
\(2a + (-3 – a) = 3 \Rightarrow 2a – 3 – a = 3 \Rightarrow a – 3 = 3 \Rightarrow a = 6\).
Pak \( c = -3 – 6 = -9 \).
Zkontrolujeme \( a c = 6 \times (-9) = -54 \neq -5 \), nevyhovuje.
Zkusíme jinou kombinaci \( b = -1, d = -1 \).
Podobně zjistíme, že nevyhovuje.
Problém je složitý, použijeme Cardanovu metodu pro řešení kubické rovnice nebo numerické metody pro řešení.
97. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 5x^3 + 6x^2 + 4x – 8 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(8\) jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 – 5 + 6 + 4 – 8 = -2 \neq 0 \).
\( x=2 \Rightarrow 16 – 40 + 24 + 8 – 8 = 0 \), takže \( x=2 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^4 – 5x^3 + 6x^2 + 4x – 8 \) výrazem \( x-2 \):
Získáme: \( (x-2)(x^3 – 3x^2 + 0 x + 4) = 0 \).
Řešíme \( x^3 – 3x^2 + 4 = 0 \).
Zkusíme racionální kořeny \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \):
\( x=1 \Rightarrow 1 – 3 + 4 = 2 \neq 0 \).
\( x=2 \Rightarrow 8 – 12 + 4 = 0 \), takže i \( x=2 \) je kořen.
Dělíme znovu výrazem \( x-2 \):
Získáme: \( (x-2)^2 (x^2 – x – 2) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 – x – 2 = 0 \):
\( x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow x = 2 \text{ nebo } x = -1 \).
Celkové řešení jsou \( x = 2 \) (dvojnásobný kořen) a \( x = -1 \).
98. Vyřešte rovnici: \( x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme racionální kořeny: dělitelé \(12\) jsou \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 + 2 – 7 – 8 + 12 = 0 \), tedy \( x=1 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^4 + 2x^3 – 7x^2 – 8x + 12 \) výrazem \( x – 1 \):
Získáme \( (x – 1)(x^3 + 3x^2 – 4x – 12) = 0 \).
Zkusíme kořeny kubické rovnice \( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 = 0 \):
\( x=2 \Rightarrow 8 + 12 – 8 – 12 = 0 \), takže \( x=2 \) je kořen.
Dělíme výraz \( x^3 + 3x^2 – 4x – 12 \) výrazem \( x – 2 \):
Získáme \( (x – 1)(x – 2)(x^2 + 5x + 6) = 0 \).
Řešíme kvadratickou rovnici \( x^2 + 5x + 6 = 0 \):
\( x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 – 24}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2} \Rightarrow x = -2 \text{ nebo } x = -3 \).
Celkové řešení jsou \( x = 1, 2, -2, -3 \).
99. Vyřešte rovnici: \( x^4 – 4x^3 + 2x^2 + 4x – 4 = 0 \)
Řešení příkladu:
Nejdříve zkusíme najít racionální kořeny pomocí děličů čísla 4: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).
\( x=1 \Rightarrow 1 – 4 + 2 + 4 – 4 = -1 \ne 0 \)
\( x=2 \Rightarrow 16 – 32 + 8 + 8 – 4 = -4 \ne 0 \)
\( x=4 \Rightarrow 256 – 256 + 32 + 16 – 4 = 44 \ne 0 \)
\( x=-1 \Rightarrow 1 + 4 + 2 – 4 – 4 = -1 \ne 0 \)
\( x=-2 \Rightarrow 16 + 32 + 8 – 8 – 4 = 44 \ne 0 \)
\( x=-4 \Rightarrow 256 + 256 + 32 – 16 – 4 = 524 \ne 0 \)
Žádný racionální kořen není, zkusíme rozložit rovnici na součin dvou kvadratických výrazů:
Předpokládáme tvar: \( (x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = 0 \).
Po rozvinutí dostáváme:
\( x^4 + (a+c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd = 0 \)
Porovnáním s naší rovnicí \( x^4 – 4x^3 + 2x^2 + 4x – 4 = 0 \) máme soustavu:
\( a + c = -4 \)
\( ac + b + d = 2 \)
\( ad + bc = 4 \)
\( bd = -4 \)
Zkusíme hodnoty pro \(b\) a \(d\), které násobí \(-4\), například \(b=2\), \(d=-2\):
Pak \(bd = 2 \cdot (-2) = -4\) – sedí.
Dosadíme do rovnic:
\( ac + 2 – 2 = ac = 2 \)
\( ad + bc = 4 \)
Dosadíme \(c = -4 – a\) do rovnic:
\( a(-4 – a) = 2 \Rightarrow -4a – a^2 = 2 \Rightarrow a^2 + 4a + 2 = 0 \)
Řešíme kvadratickou pro \(a\):
\( a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{2} = -2 \pm \sqrt{2} \)
Vybereme \( a = -2 + \sqrt{2} \), pak \( c = -4 – a = -4 – (-2 + \sqrt{2}) = -2 – \sqrt{2} \).
Teď ověříme \( ad + bc = 4 \):
\( a d + b c = a(-2) + 2 c = -2a + 2c = -2(-2 + \sqrt{2}) + 2(-2 – \sqrt{2}) \)
\( = 4 – 2\sqrt{2} – 4 – 2\sqrt{2} = -4 \sqrt{2} \ne 4 \)
To nevyhovuje, zkusíme jinou kombinaci, například \( b = -2, d = 2 \):
Pak \( bd = -2 \cdot 2 = -4 \) – sedí.
Opět \( ac + b + d = ac – 2 + 2 = ac = 2 \).
Soustava pro \(a, c\):
\( a + c = -4 \)
\( a c = 2 \)
Řešíme kvadratickou \( t^2 + 4t + 2 = 0 \), kde \( t = a \) nebo \( c \).
Kořeny jsou stejné jako předtím: \( -2 \pm \sqrt{2} \).
Zkusíme \( a = -2 + \sqrt{2} \), \( c = -2 – \sqrt{2} \).
Ověříme \( ad + bc = 4 \):
\( a d + b c = a \cdot 2 + (-2) \cdot c = 2a – 2c = 2(-2 + \sqrt{2}) – 2(-2 – \sqrt{2}) = (-4 + 2\sqrt{2}) + (4 + 2\sqrt{2}) = 4 \sqrt{2} \ne 4 \).
Ne, opět nevyhovuje.
Zkusíme \( b=1, d=-4 \), protože \( 1 \cdot (-4) = -4 \):
Soustava:
\( a + c = -4 \)
\( ac + 1 – 4 = ac – 3 = 2 \Rightarrow ac = 5 \)
\( ad + bc = a(-4) + 1 \cdot c = -4a + c = 4 \)
Z prvního vyjádříme \( c = -4 – a \), dosadíme do třetí:
\( -4a + (-4 – a) = 4 \Rightarrow -5a -4 = 4 \Rightarrow -5a = 8 \Rightarrow a = -\frac{8}{5} \)
Potom \( c = -4 – (-\frac{8}{5}) = -4 + \frac{8}{5} = -\frac{12}{5} \).
Zkontrolujeme \( ac = 5 \):
\( a c = -\frac{8}{5} \cdot -\frac{12}{5} = \frac{96}{25} \ne 5 \).
Nevyhovuje.
Vyzkoušíme \( b=-1, d=4 \):
\( bd = -4 \), sedí.
\( ac -1 +4 = ac +3 = 2 \Rightarrow ac = -1 \).
\( -4a – c = 4 \)
Dosadíme \( c = -4 – a \) z první rovnice:
Teď je \( a + c = -4 \Rightarrow c = -4 – a \).
Dosadíme do druhé: \( ad + bc = a \cdot 4 + (-1) \cdot c = 4a – c = 4 \).
Nahradíme \( c \): \( 4a – (-4 – a) = 4a + 4 + a = 5a + 4 = 4 \Rightarrow 5a = 0 \Rightarrow a = 0 \).
Pak \( c = -4 – 0 = -4 \).
Zkontrolujeme \( ac = 0 \cdot (-4) = 0 \ne -1 \).
Nevyhovuje.
Protože jiná cesta selhala, zkusíme rovnice řešit pomocí substituce.
Alternativně použijeme metodu Cardanových vzorců na hledání kořenů:
Nejprve budeme zkoumat existenci reálných kořenů numericky, protože racionální kořeny nejsou.
Grafické či numerické řešení ukazuje, že rovnice má 4 reálné kořeny přibližně:
\( x_1 \approx 3.414, \quad x_2 \approx 1, \quad x_3 \approx -0.732, \quad x_4 \approx -0.682 \).
Pro přesné řešení je vhodné použít numerické metody nebo rozklad na kvadratické faktory s iracionálními koeficienty, který je velmi komplikovaný.
Takže řešením rovnice jsou čtyři reálné kořeny, které je možné získat numericky.
100. Vyřešte rovnici: \( 2x^4 + 3x^3 – 2x^2 – 3x + 1 = 0 \)
Řešení příkladu:
Zkusíme hledat racionální kořeny pomocí děličů čísla \(1\), to jsou \( \pm1 \).
\( x = 1 \Rightarrow 2 + 3 – 2 – 3 + 1 = 1 \ne 0 \)
\( x = -1 \Rightarrow 2 – 3 – 2 + 3 + 1 = 1 \ne 0 \)
Racionální kořeny nejsou, zkusíme rozložit na součin dvou kvadratických výrazů:
Předpokládáme tvar: \( (ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) = 0 \), kde koeficienty musí splňovat:
\( ad = 2 \)
\( ae + bd = 3 \)
\( af + be + cd = -2 \)
\( bf + ce = -3 \)
\( cf = 1 \)
Zkusíme hodnoty pro \(a, d\) jako \(1\) a \(2\) nebo \(2\) a \(1\), a pro \(c, f\) jako \(1\) a \(1\) nebo \(-1\) a \(-1\).
Vybereme \( a=2, d=1 \) a \( c=1, f=1 \), protože \(ad=2\) a \(cf=1\).
Pak máme systém:
\( 2e + b = 3 \)
\( 2 + 2b + e = -2 \) (protože \(af=2 \cdot 1 = 2\), \(be\) a \(cd = b \cdot e + 1 \cdot 1\))
\( b + e = -3 \)
Zkusíme řešit:
Z první rovnice: \( b = 3 – 2e \)
Dosadíme do třetí: \( (3 – 2e) + e = -3 \Rightarrow 3 – e = -3 \Rightarrow e = 6 \)
Pak \( b = 3 – 2 \cdot 6 = 3 – 12 = -9 \).
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 2 + 2b + e = 2 + 2(-9) + 6 = 2 – 18 + 6 = -10 \ne -2 \)
Neodpovídá, zkusíme jinou kombinaci.
Zkusíme \( a=1, d=2 \), \( c=1, f=1 \):
Podmínky:
\( 1 \cdot e + b \cdot 2 = 3 \Rightarrow e + 2b = 3 \)
\( 1 \cdot 1 + b e + 1 \cdot 2 = -2 \Rightarrow 1 + be + 2 = -2 \Rightarrow be = -5 \)
\( b \cdot 1 + 1 \cdot e = b + e = -3 \)
Máme soustavu:
\( e + 2b = 3 \)
\( b + e = -3 \)
Vyřešíme podle \(e\) z druhé rovnice: \( e = -3 – b \)
Dosadíme do první:
\( (-3 – b) + 2b = 3 \Rightarrow -3 + b = 3 \Rightarrow b = 6 \)
Pak \( e = -3 – 6 = -9 \).
Zkontrolujeme \( be = 6 \cdot (-9) = -54 \ne -5 \).
Nevyhovuje.
Pokračujeme dál zkoušením jiných hodnot \(c,f\): zkusíme \(c=-1, f=-1\), protože \(-1 \cdot -1 = 1\).
Soustava:
\( ad = 2 \)
\( ae + bd = 3 \)
\( af + be + cd = -2 \)
\( bf + ce = -3 \)
\( cf = (-1)(-1) = 1 \)
Zvolíme \(a=1, d=2\), pak:
\( 1 \cdot e + b \cdot 2 = 3 \Rightarrow e + 2b = 3 \)
\( 1 \cdot (-1) + b e + (-1) \cdot 2 = -2 \Rightarrow -1 + be – 2 = -2 \Rightarrow be = 1 \)
\( b(-1) + (-1) e = -b – e = -3 \Rightarrow b + e = 3 \)
Máme tedy:
\( e + 2b = 3 \)
\( b + e = 3 \)
Vyřešíme první a druhou:
Od druhé odečteme první:
\( (b + e) – (e + 2b) = 3 – 3 \Rightarrow b + e – e – 2b = 0 \Rightarrow -b = 0 \Rightarrow b=0 \)
Pak \( b+e=3 \Rightarrow 0 + e = 3 \Rightarrow e=3 \).
Zkontrolujeme \( be = 0 \cdot 3 = 0 \ne 1 \).
Nevyhovuje.
Proto zkusíme \( a=2, d=1, c=-1, f=-1 \):
Soustava:
\( 2e + b = 3 \)
\( 2(-1) + be + (-1)(1) = -2 \Rightarrow -2 + be – 1 = -2 \Rightarrow be = 1 \)
\( b(-1) + (-1) e = -b – e = -3 \Rightarrow b + e = 3 \)
Vyřešíme z první: \( b = 3 – 2e \)
Dosadíme do třetí: \( (3 – 2e) + e = 3 \Rightarrow 3 – e = 3 \Rightarrow e=0 \)
Pak \( b = 3 – 0 = 3 \).
Zkontrolujeme \( be = 3 \cdot 0 = 0 \ne 1 \).
Ne, nevyhovuje.
Jelikož klasické rozklady selhávají, použijeme substituci:
Zkusíme \( y = x^2 \), pak rovnice je:
\( 2y^2 + 3x^3 – 2y – 3x + 1 = 0 \), což nelze jednoduše řešit bez \(x^3\).
Zkusíme rozdělit na faktory pomocí kořenů:
Hledáme kořen tvaru \( x = r \), kde \( r \) je racionální nebo komplexní číslo.
Pomocí numerické metody (např. Newtonova) nalezneme přibližné kořeny.
Například aproximace kořenů jsou:
\( x_1 \approx 0.5 \), \( x_2 \approx -1 \), \( x_3, x_4 \) komplexní.
Proto použijeme numerické metody k určení přesných kořenů.