Multinomická věta

Řešení příkladu:

Multinomická věta říká:

\( (x_1 + x_2 + \dots + x_k)^n = \sum_{i_1 + \dots + i_k = n} \frac{n!}{i_1! i_2! \dots i_k!} x_1^{i_1} x_2^{i_2} \dots x_k^{i_k} \)

Zde máme \( x_1 = x \), \( x_2 = y \), \( x_3 = z \), \( k = 3 \), \( n = 4 \).

Projdeme všechny trojice \( (i,j,k) \), kde \( i + j + k = 4 \), a pro každou dopočítáme koeficient a odpovídající člen:

Například pro \( (i,j,k) = (2,1,1) \):
\( \frac{4!}{2!1!1!} x^2 y z = \frac{24}{2 \cdot 1 \cdot 1} x^2 y z = 12x^2 y z \)

Sečtením všech takových členů dostaneme výsledný rozvoj:

\( x^4 + y^4 + z^4 + 4x^3 y + 4x^3 z + 4y^3 x + 4y^3 z + 4z^3 x + 4z^3 y + 6x^2 y^2 + 6x^2 z^2 + 6y^2 z^2 + 12x^2 y z + 12x y^2 z + 12x y z^2 \)

Řešení příkladu:

Počet různých členů v rozvoji odpovídá počtu nesetříděných k-tic \( (i,j,k,l) \), kde \( i + j + k + l = 6 \) a každé \( i,j,k,l \geq 0 \).

Počet takových k-tic určuje vzorec:

\( \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{n!(k – 1)!} \Rightarrow \frac{(6 + 4 – 1)!}{6!(4 – 1)!} = \frac{9!}{6!3!} = \frac{362880}{720 \cdot 6} = 84 \)

Rozvoj tedy obsahuje \(84\) různých členů.

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů se získá dosazením \( x = 1, y = 1, z = 1 \):

\( (2 \cdot 1 – 1 + 3 \cdot 1)^5 = (2 – 1 + 3)^5 = 4^5 = 1024 \)

Součet všech koeficientů je \( 1024 \).

Řešení příkladu:

Použijeme multinomickou větu:

\( \text{Koeficient} = \frac{6!}{2! 3! 1!} = \frac{720}{2 \cdot 6 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60 \)

Hledaný koeficient je \( 60 \).

Řešení příkladu:

Hledáme počet nesetříděných pětic \( (i_1, i_2, i_3, i_4, i_5) \), kde \( i_1 + \dots + i_5 = 7 \).

\( \text{Počet} = \frac{(7 + 5 – 1)!}{7!(5 – 1)!} = \frac{11!}{7!4!} = \frac{39916800}{5040 \cdot 24} = 330 \)

Rozvoj má \(330\) různých členů.

Řešení příkladu:

Opět použijeme multinomickou větu:

\( \frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{720}{8} = 90 \)

Koeficient je \( 90 \).

Řešení příkladu:

Možnosti pro exponenty \( i + j + k = 3 \) a \( k \geq 1 \):

Příklady s \( k = 1 \):

\( \frac{3!}{1!1!1!} x y (3z) = 6x y \cdot 3z = 18x y z \)

Spočítáme všechny kombinace s \( k = 1,2,3 \):

Členy obsahující \( z \) jsou:

\( 9 x^2 z,\ 27 x y z,\ 27 y^2 z,\ 27 x z^2,\ 54 y z^2,\ 27 z^3 \)

Řešení příkladu:

Hledáme všechny trojice \( (i,j,k) \), kde \( i + j + k = 4 \) a \( i = 2 \).

Možnosti: \( (2,2,0), (2,1,1), (2,0,2) \)

Výrazy:

\( \frac{4!}{2!2!0!} x^2 y^2 = 6 x^2 y^2 \)
\( \frac{4!}{2!1!1!} x^2 y z = 12 x^2 y z \)
\( \frac{4!}{2!0!2!} x^2 z^2 = 6 x^2 z^2 \)

Řešení příkladu:

\( \frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60 \)

Koeficient je \( 60 \).

Řešení příkladu:

Součet koeficientů určíme dosazením \( x = 1, y = 1 \):

\( (1 – 1 + 1)^8 = 1^8 = 1 \)

Součet všech koeficientů je \( 1 \).

Řešení příkladu:

Počet různých členů odpovídá počtu nesetříděných pětic \( (i,j,k,l,m) \), kde \( i + j + k + l + m = 7 \) a každé \( \geq 0 \).

Počet takových pětic je:

\( \frac{(7 + 5 – 1)!}{7!(5 – 1)!} = \frac{11!}{7!4!} = \frac{39916800}{5040 \cdot 24} = 330 \)

Rozvoj má tedy \(330\) různých členů.

Řešení příkladu:

Exponenty dávají součet \( 3 + 2 + 1 = 6 \), což odpovídá celkovému exponentu.

Koeficient je určen podle vzorce:

\( \frac{6!}{3!2!1!} = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} = 60 \)

Koeficient u výrazu \( a^3 b^2 c \) je tedy \(60\).

Řešení příkladu:

Hledáme členy tvaru \( x^a y^b \), \( x^a z^b \), \( y^a z^b \), kde \( a + b = 8 \) a třetí proměnná má exponent \(0\).

Pro každou dvojici je počet možností \( 8 + 1 = 9 \).

Máme \(3\) dvojice proměnných, celkem tedy \( 3 \cdot 9 = 27 \) členů.

Řešení příkladu:

Exponenty jsou \( 2 + 2 + 1 = 5 \), což odpovídá rozvoji.

Koeficient je:

\( \frac{5!}{2!2!1!} \cdot (2)^2 \cdot (-1)^2 \cdot 3 = \frac{120}{4 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 4 \cdot 1 \cdot 3 = 15 \cdot 4 \cdot 3 = 180 \)

Koeficient je \(180\).

Řešení příkladu:

Hledáme čtveřice \( (i,j,k,l) \), kde \( i+j+k+l = 5 \), každý \( \geq 1 \).

Substituce: \( i’=i-1 \Rightarrow i’+j’+k’+l‘ = 1 \)

Počet řešení: \( \frac{(1+4-1)!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4 \)

Takových členů jsou \(4\).

Řešení příkladu:

Hledáme člen s exponenty \( 1,1,1 \). Počet permutací je \( \frac{3!}{1!1!1!} = 6 \)

Součin konstant: \( 1 \cdot (2)^1 \cdot (3)^1 = 6 \)

Koeficient je \( 6 \cdot 6 = 36 \)

Řešení příkladu:

Součet exponentů je 4. Multinominální koeficient: \( \frac{4!}{1!2!1!} = 12 \)

Koeficient: \( 12 \cdot 1 \cdot (-2)^2 \cdot 1 = 12 \cdot 4 = 48 \)

Řešení příkladu:

Volíme 2 proměnné ze 4: \( \frac{4!}{2!2!} = 6 \)

Počet členů v každé dvojici: \( \frac{(8+2-1)!}{8!1!} = \frac{9!}{8!1!} = 9 \)

Celkem: \( 6 \cdot 9 = 54 \)

Řešení příkladu:

Exponenty: \( 2+1+1=4 \), koeficient: \( \frac{4!}{2!1!1!} = 12 \)

Součin: \( 1 \cdot (-1)^1 \cdot 1 = -1 \), celkový koeficient: \( 12 \cdot (-1) = -12 \)

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů odpovídá hodnotě výrazu při \( a = b = c = 1 \).

\( (1 + 1 + 1)^4 = 3^4 = 81 \)

Součet všech koeficientů je \(81\).

Řešení příkladu:

Rozvoj výrazu \( (x + y + z + w)^7 \) je součtem všech možných členů tvaru \( x^a y^b z^c w^d \), kde exponenty splňují podmínku \( a + b + c + d = 7 \) a všechna \( a,b,c,d \geq 0 \).

Počet různých členů odpovídá počtu nezáporných celočíselných řešení rovnice \( a + b + c + d = 7 \).

Pro výpočet počtu takových řešení použijeme vzorec pro kombinace s opakováním:

\( \text{počet} = \frac{(n + k – 1)!}{n!(k – 1)!} \), kde \( n=7 \) je stupeň a \( k=4 \) je počet proměnných.

Dosadíme: \( \Rightarrow \frac{(7 + 4 – 1)!}{7! \cdot 3!} = \frac{10!}{7! \cdot 3!} = \frac{3628800}{5040 \cdot 6} = 120 \).

Tedy rozvoj obsahuje \(120\) různých členů.

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty má koeficient u členu \( a^i b^j c^k d^l \) tvar:

\( \frac{n!}{i! j! k! l!} \), kde \( n = i + j + k + l \).

Pro daný člen platí \( i=2, j=3, k=1, l=2 \), tedy \( n=8 \).

Dosadíme tedy:

\( \frac{8!}{2! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 2!} = \frac{40320}{2 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{40320}{24} = 1680 \).

Hledaný koeficient je \(1680\).

Řešení příkladu:

Počet členů obsahujících právě dvě proměnné znamená, že pouze dvě z proměnných mají exponenty větší než nula, ostatní dvě mají exponent \(0\).

Nejprve vybereme \(2\) proměnné z \(4\), což lze udělat:

\( \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6 \) způsoby.

Dále spočteme počet kladných řešení rovnice \( i + j = 9 \), kde \( i, j \geq 1 \).

Těchto řešení je přesně \(8\), protože \( (1,8), (2,7), \dots, (8,1) \).

Celkový počet členů je tedy:

\( 6 \cdot 8 = 48 \).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů rozvoje polynomu \( P(x) = (1 + 2x – x^2 + 3x^3)^5 \) je roven hodnotě \( P(1) \), protože dosadíme-li \( x=1 \), každému členu sečteme koeficienty bez ohledu na exponent.

Vypočteme tedy:

\( P(1) = (1 + 2 \cdot 1 – 1^2 + 3 \cdot 1^3)^5 = (1 + 2 – 1 + 3)^5 = (5)^5 = 3125 \).

Tedy součet všech koeficientů je \(3125\).

Řešení příkladu:

Koeficient u \( x^5 y^2 z^3 \) najdeme podle multinomické věty, kde součet exponentů je \( 5 + 2 + 3 = 10 \), což odpovídá stupni výrazu.

Koeficient je:

\( \frac{10!}{5! 2! 3!} \cdot (2)^5 \cdot (-1)^2 \cdot (3)^3 \).

Vypočítáme jednotlivé části:

\( 10! = 3628800, \quad 5! = 120, \quad 2! = 2, \quad 3! = 6 \).

Zlomková část: \( \frac{3628800}{120 \cdot 2 \cdot 6} = \frac{3628800}{1440} = 2520 \).

Mocniny: \( 2^5 = 32, \quad (-1)^2 = 1, \quad 3^3 = 27 \).

Celkový koeficient je:

\( 2520 \cdot 32 \cdot 1 \cdot 27 = 2520 \cdot 864 = 2177280 \).

Tedy hledaný koeficient je \(2177280\).

Řešení příkladu:

Chceme spočítat počet členů, kde jsou v součinu právě tři z pěti proměnných, ostatní dvě mají exponent \(0\).

Nejprve zvolíme \(3\) proměnné z \(5\):

\( \frac{5!}{3! 2!} = 10 \).

Dále spočteme počet nezáporných řešení rovnice \( i + j + k = 6 \), kde všechny \( i,j,k > 0 \), protože chceme právě tři různé proměnné (nulové exponenty u těch zbývajících jsou zakázané).

Pro kladné celé řešení použijeme substituci \( i‘ = i-1 \), \( j‘ = j-1 \), \( k‘ = k-1 \) s \( i‘,j‘,k‘ \geq 0 \) a rovnicí:

\( i‘ + j‘ + k‘ = 6 – 3 = 3 \).

Počet nezáporných řešení je tedy:

\( \frac{(3 + 3 – 1)!}{3! (3 – 1)!} = \frac{5!}{3! 2!} = 10 \).

Celkem je tedy:

\( 10 \cdot 10 = 100 \) členů, které obsahují právě tři různé proměnné.

Řešení příkladu:

Chceme najít součet koeficientů všech členů, které obsahují právě mocniny \( y^2 z^2 \). To znamená, že jejich obecný tvar je \( x^i y^2 z^2 \) s \( i \geq 0 \) a \( i + 2 + 2 = 5 \Rightarrow i = 1 \).

Existuje tedy pouze jeden takový člen: \( x^1 y^2 z^2 \).

Koeficient podle multinomické věty je:

\( \frac{5!}{1! 2! 2!} \cdot (1)^1 \cdot (2)^2 \cdot (3)^2 = \frac{120}{1 \cdot 2 \cdot 2} \cdot 1 \cdot 4 \cdot 9 \).

Vypočítáme postupně:

\( \frac{120}{4} = 30 \), dále \( 30 \cdot 4 = 120 \), a nakonec \( 120 \cdot 9 = 1080 \).

Součet koeficientů těchto členů je tedy \(1080\).

Řešení příkladu:

Koeficient u členu \( a^3 b^2 c^4 \) je podle multinomické věty:

\( \frac{9!}{3! 2! 4!} \cdot (1)^3 \cdot (-2)^2 \cdot (1)^4 \).

Vypočítáme jednotlivé faktoriály:

\( 9! = 362880, \quad 3! = 6, \quad 2! = 2, \quad 4! = 24 \).

Vyčíslíme jmenovatel:

\( 6 \cdot 2 \cdot 24 = 288 \).

Vyčíslíme mocniny:

\( (1)^3 = 1, \quad (-2)^2 = 4, \quad (1)^4 = 1 \).

Koeficient je tedy:

\( \frac{362880}{288} \cdot 1 \cdot 4 \cdot 1 = 1260 \cdot 4 = 5040 \).

Řešení příkladu:

Chceme počet členů, kde každá z pěti proměnných má exponent alespoň \(1\), tedy hledáme počet řešení rovnice:

\( a + b + c + d + e = 4 \), kde \( a,b,c,d,e \geq 1 \).

Protože součet je \(4\), což je menší než počet proměnných \(5\), není možné, aby všechny proměnné měly exponent minimálně \(1\).

Tedy počet takových členů je \(0\).

Řešení příkladu:

Koeficient u členu \( a^3 b^2 c^2 \) v rozvoji \( (2a – b + 4c)^7 \) podle multinomické věty je:

\( \frac{7!}{3! 2! 2!} \cdot (2)^3 \cdot (-1)^2 \cdot (4)^2 \).

Vypočítáme faktoriály:

\( 7! = 5040, \quad 3! = 6, \quad 2! = 2 \).

Jmenovatel je:

\( 6 \cdot 2 \cdot 2 = 24 \).

Podíl faktoriálů:

\( \frac{5040}{24} = 210 \).

Mocniny čísel:

\( 2^3 = 8, \quad (-1)^2 = 1, \quad 4^2 = 16 \).

Celkový koeficient je tedy:

\( 210 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 16 = 210 \cdot 128 = 26880 \).

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty lze člen \( x^2 y^3 z^4 \) získat, pokud exponenty proměnných splňují:

\( i + j + k = 9 \), kde \( i=2 \) (pro \(x^2\)), \( j=3 \) (pro \(y^3\)) a \( k=4 \) (pro \(z^4\)).

Tato rovnice je splněna, protože \( 2 + 3 + 4 = 9 \), tedy hledaný člen existuje.

Koeficient k tomuto členu je podle multinomické věty:

\( \frac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 4!} \cdot (3)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (4)^4 \).

Nejprve spočítáme faktoriály:

\( 9! = 362880, \quad 2! = 2, \quad 3! = 6, \quad 4! = 24 \).

Vypočítáme jmenovatel:

\( 2 \cdot 6 \cdot 24 = 288 \).

Podíl faktoriálů:

\( \frac{362880}{288} = 1260 \).

Nyní spočítáme mocniny čísel:

\( 3^2 = 9, \quad (-2)^3 = -8, \quad 4^4 = 256 \).

Vynásobíme všechny části:

\( 1260 \cdot 9 = 11340, \quad 11340 \cdot (-8) = -90720, \quad -90720 \cdot 256 = -23224320 \).

Koeficient u členu \( x^2 y^3 z^4 \) je tedy \( -23224320 \).

Řešení příkladu:

Chceme všechny členy, kde \( w \) má exponent přesně 2. Označíme exponenty u proměnných jako \( i, j, k, l \) pro \( x, y, z, w \) respektive.

Podmínky jsou:

\( i + j + k + l = 6 \), přičemž \( l = 2 \).

Z toho plyne:

\( i + j + k = 6 – 2 = 4 \), kde \( i, j, k \geq 0 \).

Součet koeficientů všech takových členů odpovídá rozvoji výrazu \( (x + 2y – 3z)^4 \), protože proměnná \( w \) je vybrána fixně s exponentem 2 a koeficient \( (1)^2 = 1 \) se započítá zvlášť.

Součet koeficientů všech členů výrazu \( (x + 2y – 3z)^4 \) získáme dosazením \( x = y = z = 1 \), protože když dosadíme všechny proměnné rovny 1, získáme právě součet všech koeficientů.

Dosadíme:

\( (1 + 2 \cdot 1 + (-3) \cdot 1)^4 = (1 + 2 – 3)^4 = 0^4 = 0 \).

Tedy součet koeficientů všech členů s \( w^2 \) je 0.

Alternativně, tento výsledek dává smysl, protože částka \( (x + 2y – 3z) \) po dosazení 1, 1, 1 je 0, takže všechny koeficienty se navzájem vyruší.

Řešení příkladu:

Hledáme počet členů, kde v rozvoji výrazu \( (a + b + c + d + e)^7 \) jsou právě tři proměnné s nenulovým exponentem, tedy tři exponenty jsou kladná čísla a zbývající dva jsou nulové.

Postup řešení:

1. Vybereme, které tři proměnné budou mít nenulový exponent. Počet možností je:

\( \binom{5}{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \).

2. Pro každou vybranou trojici hledáme počet rozdělení exponentu 7 do tří kladných čísel (protože musí být nenulové). To znamená, že hledáme počet řešení rovnice:

\( i + j + k = 7 \), kde \( i, j, k \geq 1 \).

3. Počet řešení této rovnice je známý vzorec pro kladná celá čísla:

\( \frac{(7 – 1)!}{(3 – 1)! (7 – 3)!} = \frac{6!}{2! 4!} \).

Alternativně lze spočítat jako:

Počet řešení \( = \binom{7-1}{3-1} = \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \).

4. Celkový počet členů je tedy:

\( 10 \cdot 15 = 150 \).

Tedy v rozvoji výrazu je \(150\) různých členů, které obsahují právě tři nenulové exponenty.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomíme, že výraz má tři členy: \( 2x \), \( -y \) a \( 3 \), a budeme hledat člen s mocninou \( x^5 y^3 \).

Označíme exponenty u jednotlivých členů jako \( i \) pro \( 2x \), \( j \) pro \( -y \) a \( k \) pro konstantu \( 3 \).

Podmínky jsou:

\( i + j + k = 8 \), protože součet exponentů musí být \(8\) (celkový stupeň rozvoje).

Současně chceme člen obsahující \( x^5 y^3 \), tedy:

exponent \( x \) je \( i = 5 \),

exponent \( y \) je \( j = 3 \),

exponent konstanty je \( k = 8 – 5 – 3 = 0 \).

Koeficient členu podle multinomické věty je:

\( \frac{8!}{5! 3! 0!} \cdot (2)^5 \cdot (-1)^3 \cdot (3)^0 \).

Vypočítáme faktoriály:

\( 8! = 40320, \quad 5! = 120, \quad 3! = 6, \quad 0! = 1 \).

Vypočítáme jmenovatel:

\( 120 \cdot 6 \cdot 1 = 720 \).

Podíl faktoriálů:

\( \frac{40320}{720} = 56 \).

Vypočítáme mocniny:

\( 2^5 = 32, \quad (-1)^3 = -1, \quad 3^0 = 1 \).

Koeficient je tedy:

\( 56 \cdot 32 \cdot (-1) \cdot 1 = -1792 \).

Výsledný koeficient u členu \( x^5 y^3 \) je \( -1792 \).

Řešení příkladu:

Součet koeficientů všech členů, kde je exponent \( b \) lichý, můžeme získat následujícím způsobem.

Nejprve spočítáme součet všech koeficientů rozvoje výrazu \( (a – b + c + d)^5 \) při dosazení všech proměnných rovno 1:

\( (1 – 1 + 1 + 1)^5 = (2)^5 = 32 \).

Poté spočítáme součet koeficientů všech členů, kde je exponent \( b \) sudý, tedy při dosazení \( b = 1 \) a \( b = -1 \) zjistíme rozdíl.

Dosadíme \( b = 1 \) do výrazu:

\( (a + 1 + c + d)^5 \), což při všech proměnných \(1\) dává:

\( (1 + 1 + 1 + 1)^5 = 4^5 = 1024 \).

Dosadíme \( b = -1 \) do výrazu:

\( (1 – (-1) + 1 + 1)^5 = (1 + 1 + 1 + 1)^5 = 4^5 = 1024 \).

Všimneme si, že jsme nepostupovali správně, protože původní výraz je \( (a – b + c + d)^5 \).

Pro správný přístup použijeme dvě hodnoty pro \( b \): \(1\) a \(-1\), ostatní proměnné nastavíme na \(1\):

\( S_1 = (1 – 1 + 1 + 1)^5 = 2^5 = 32 \) (pro \( b = 1 \)),

\( S_{-1} = (1 – (-1) + 1 + 1)^5 = (1 + 1 + 1 + 1)^5 = 4^5 = 1024 \).

Součet koeficientů členů s lichým exponentem u \( b \) je tedy:

\( \frac{S_{-1} – S_1}{2} = \frac{1024 – 32}{2} = \frac{992}{2} = 496 \).

Tedy součet koeficientů všech členů, kde je exponent \( b \) lichý, je \(496\).

Řešení příkladu:

Označíme exponenty \( i, j, k \) u členů \( x, 2y, -z \), tedy \( i = 4 \), \( j = 3 \), \( k = 1 \).

Kontrola součtu exponentů:

\( i + j + k = 4 + 3 + 1 = 8 \), což odpovídá stupni rozvoje, takže člen existuje.

Koeficient je podle multinomické věty:

\( \frac{8!}{4! 3! 1!} \cdot (1)^4 \cdot (2)^3 \cdot (-1)^1 \).

Vypočítáme faktoriály:

\( 8! = 40320, \quad 4! = 24, \quad 3! = 6, \quad 1! = 1 \).

Jmenovatel:

\( 24 \cdot 6 \cdot 1 = 144 \).

Podíl faktoriálů:

\( \frac{40320}{144} = 280 \).

Vypočítáme mocniny:

\( 1^4 = 1, \quad 2^3 = 8, \quad (-1)^1 = -1 \).

Koeficient je tedy:

\( 280 \cdot 1 \cdot 8 \cdot (-1) = -2240 \).

Výsledný koeficient u členu \( x^4 y^3 z^1 \) je \( -2240 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si zapíšeme obecný tvar rozvoje podle multinomické věty pro čtyři proměnné:

\( (a + b + c + d)^n = \sum \frac{n!}{i! j! k! l!} a^i b^j c^k d^l \), kde \( i + j + k + l = n \).

V našem případě je \( n = 10 \) a chceme koeficient u členu \( x^3 y^2 z^4 w^1 \). To znamená, že \( i=3 \), \( j=2 \), \( k=4 \), \( l=1 \), což splňuje podmínku \( 3+2+4+1=10 \).

Koeficient u tohoto členu bude tedy:

\[ \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 4! \cdot 1!} \cdot (2)^3 \cdot (-3)^2 \cdot (1)^4 \cdot (4)^1 \]

Postup výpočtu:

Nejprve vypočítáme faktor multinomického koeficientu:

\( 10! = 3628800 \)

\( 3! = 6, \quad 2! = 2, \quad 4! = 24, \quad 1! = 1 \)

\( 3! \cdot 2! \cdot 4! \cdot 1! = 6 \cdot 2 \cdot 24 \cdot 1 = 288 \)

Multinomický koeficient tedy je:

\( \frac{3628800}{288} = 12600 \)

Teď si vypočítáme mocniny jednotlivých koeficientů:

\( 2^3 = 8 \)

\( (-3)^2 = 9 \)

\( 1^4 = 1 \)

\( 4^1 = 4 \)

Nyní vynásobíme všechny části dohromady:

\( 12600 \times 8 \times 9 \times 1 \times 4 = 12600 \times 288 = 3628800 \)

Výsledný koeficient u členu \( x^3 y^2 z^4 w^1 \) je tedy \( 3628800 \).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů rozvoje multinomu získáme, pokud do výrazu dosadíme za všechny proměnné hodnotu \(1\).

Máme tedy výraz:

\( (1 – 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 – 4 \cdot 1)^7 = (1 – 2 + 3 – 4)^7 \)

Vypočítáme hodnotu v závorce:

\( 1 – 2 = -1 \)

\( -1 + 3 = 2 \)

\( 2 – 4 = -2 \)

Celkem tedy dostáváme:

\( (-2)^7 = -128 \)

Součet všech koeficientů rozvoje výrazu je \( -128 \).

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty je koeficient u členu \( x^i y^j z^k \) v rozvoji \( (x + y + z)^n \ dán výrazem:

\[ \frac{n!}{i! j! k!} \]

Za \( n = 9 \), \( i = 5 \), \( j = 3 \), \( k = 1 \) dosadíme:

\[ \frac{9!}{5! \cdot 3! \cdot 1!} \]

Vypočteme faktoriály:

\( 9! = 362880 \)

\( 5! = 120, \quad 3! = 6, \quad 1! = 1 \)

Jmenovatel je tedy:

\( 120 \times 6 \times 1 = 720 \)

Koeficient je:

\( \frac{362880}{720} = 504 \)

Výsledný koeficient u členu \( x^5 y^3 z^1 \) je \( 504 \).

Řešení příkladu:

Počet různých členů odpovídá počtu nezáporných celočíselných řešení rovnice

\( i + j + k + l + m = 8 \), kde \( i,j,k,l,m \geq 0 \).

Podle kombinatorického vzorce pro kombinace s opakováním je počet takových řešení:

\[ \frac{(n + k – 1)!}{n! (k – 1)!} \]

Kde \( n = 8 \) a \( k = 5 \).

Dosadíme:

\[ \frac{(8 + 5 – 1)!}{8! \cdot (5 – 1)!} = \frac{12!}{8! \cdot 4!} \]

Vypočteme faktoriály:

\( 12! = 479001600 \)

\( 8! = 40320, \quad 4! = 24 \)

Výpočet jmenovatele:

\( 40320 \times 24 = 967680 \)

Výsledný počet členů je:

\( \frac{479001600}{967680} = 495 \)

Rozvoj obsahuje \(495\) různých členů.

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty platí:

\[ \text{koeficient} = \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} \cdot (2)^3 \cdot (-1)^2 \cdot (3)^1 \]

Vypočítáme jednotlivé faktoriály:

\( 6! = 720 \)

\( 3! = 6, \quad 2! = 2, \quad 1! = 1 \)

Jmenovatel:

\( 6 \times 2 \times 1 = 12 \)

Multinomický koeficient:

\( \frac{720}{12} = 60 \)

Mocniny koeficientů:

\( 2^3 = 8 \)

\( (-1)^2 = 1 \)

\( 3^1 = 3 \)

Výsledný koeficient:

\( 60 \times 8 \times 1 \times 3 = 1440 \)

Koeficient u členu \( a^3 b^2 c^1 \) je \( 1440 \).

Řešení příkladu:

Multinomický koeficient u členu \( x^i y^j z^k w^l \) je:

\[ \frac{n!}{i! j! k! l!} \]

Kde \( n=5 \), \( i=2 \), \( j=1 \), \( k=1 \), \( l=1 \), protože \( 2 + 1 + 1 + 1 = 5 \).

Dosadíme:

\[ \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{120}{2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{120}{2} = 60 \]

Koeficient u členu \( x^2 y^1 z^1 w^1 \) je tedy \( 60 \).

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty:

\[ \text{koeficient} = \frac{8!}{4! \cdot 2! \cdot 2!} \cdot (3)^4 \cdot (-1)^2 \cdot (2)^2 \]

Výpočet faktoriálů:

\( 8! = 40320 \)

\( 4! = 24, \quad 2! = 2 \)

Jmenovatel:

\( 24 \times 2 \times 2 = 96 \)

Multinomický koeficient:

\( \frac{40320}{96} = 420 \)

Mocniny koeficientů:

\( 3^4 = 81 \)

\( (-1)^2 = 1 \)

\( 2^2 = 4 \)

Výsledný koeficient:

\( 420 \times 81 \times 1 \times 4 = 420 \times 324 = 136080 \)

Koeficient u členu \( x^4 y^2 z^2 \) je \( 136080 \).

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty:

\[ \text{koeficient} = \frac{7!}{1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 1!} \cdot (1)^1 \cdot (2)^2 \cdot (-3)^3 \cdot (4)^1 \]

Výpočet faktoriálů:

\( 7! = 5040 \)

\( 1! = 1, \quad 2! = 2, \quad 3! = 6, \quad 1! = 1 \)

Jmenovatel:

\( 1 \times 2 \times 6 \times 1 = 12 \)

Multinomický koeficient:

\( \frac{5040}{12} = 420 \)

Mocniny koeficientů:

\( 1^1 = 1 \)

\( 2^2 = 4 \)

\( (-3)^3 = -27 \)

\( 4^1 = 4 \)

Výsledný koeficient:

\( 420 \times 1 \times 4 \times (-27) \times 4 = 420 \times (-432) = -181440 \)

Koeficient u členu \( x^1 y^2 z^3 w^1 \) je \( -181440 \).

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme proměnné exponentů u jednotlivých složek jako \( i, j, k \) pro mocniny u \( 2x, -y \) a \( 3z \) v tomto pořadí. Podmínka pro výpočet koeficientu je:

\( i + j + k = 9 \), kde \( i, j, k \geq 0 \)

Dále chceme, aby výsledný člen měl tvar \( x^3 y^4 z^2 \). To znamená, že exponenty jednotlivých proměnných musí odpovídat:

exponent \(x\) je 3 \Rightarrow i = 3,
exponent \(y\) je 4 \Rightarrow j = 4,
exponent \(z\) je 2 \Rightarrow k = 2

Ověříme, že součet exponentů sedí:

\( i + j + k = 3 + 4 + 2 = 9 \), což je splněno.

Koeficient u tohoto členu lze vyjádřit pomocí multinomických koeficientů a koeficientů u jednotlivých členů:

\( \frac{9!}{3!4!2!} \cdot (2)^3 \cdot (-1)^4 \cdot (3)^2 \)

Vypočítáme jednotlivé části:

\( 9! = 362\,880 \),
\( 3! = 6 \), \( 4! = 24 \), \( 2! = 2 \),
tedy jmenovatel: \( 6 \times 24 \times 2 = 288 \),

multinomický koeficient: \( \frac{362\,880}{288} = 1260 \),

dále mocniny: \( 2^3 = 8 \), \( (-1)^4 = 1 \), \( 3^2 = 9 \),

součin: \( 1260 \times 8 \times 1 \times 9 = 1260 \times 72 = 90\,720 \).

Výsledný koeficient u členu \( x^3 y^4 z^2 \) je tedy \( 90\,720 \).

Řešení příkladu:

Obecně počet různých členů v rozvoji \( (a + b + c + d + e)^7 \) je počet nesetříděných pětic \( (i_1, i_2, i_3, i_4, i_5) \) takových, že

\( i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 = 7 \), kde \( i_j \geq 0 \).

Počet těchto řešení je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:

\( \frac{(7+5-1)!}{7!(5-1)!} = \frac{11!}{7!4!} = \frac{39916800}{5040 \times 24} = 3300 \)

Nicméně v tomto příkladu je omezení, že žádný exponent nesmí být větší než 3.

Proto musíme spočítat počet pětic, kde každý \( i_j \leq 3 \) a zároveň \( \sum i_j = 7 \).

Toto je kombinatorický problém s omezením horní hranice pro každou proměnnou.

Metodu řešíme pomocí principu inkluze a exkluze:

Nechť \( A_j \) je množina pětic, kde \( i_j \geq 4 \).

Počet pětic bez omezení je \( N = 3300 \).

Počet pětic, kde \( i_j \geq 4 \), znamená, že pro \( i_j \) odečteme \(4\) a řešíme:

\( i_1′ + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 = 7 – 4 = 3 \), kde \( i_1′ = i_1 – 4 \geq 0 \).

Počet takových pětic je:

\( \frac{(3+5-1)!}{3!(5-1)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{5040}{6 \times 24} = 35 \)

Protože je 5 proměnných, počet pětic s nějakým \( i_j \geq 4 \) je \( 5 \times 35 = 175 \).

Pro dvojice \( (i_j, i_k) \geq 4 \) musíme odečíst pětice, kde dva exponenty jsou alespoň \(4\).

V tomto případě odečteme \( 8 \) od \( 7 \) (tedy \( 7 – 8 = -1 \)), což není možné, takže žádná taková pětice neexistuje. Podobně vyšší počty také neexistují.

Proto aplikujeme princip inkluze-exkluze:

Počet pětic s omezením \( i_j \leq 3 \) je \( 3300 – 175 = 3125 \).

Výsledkem je, že rozvoj obsahuje \(3125\) různých členů, kde žádný exponent nepřekročí \(3\).

Řešení příkladu:

Součet koeficientů ve výrazu získáme, když do každého členu dosadíme proměnné rovné 1.

To znamená, že vyhodnotíme výraz \( (1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1)^5 = (1 + 2 + 3 + 4)^5 = 10^5 = 100\,000 \).

Pro úplnost je dobré pochopit, proč to tak je.

Rozvoj podle multinomické věty je:

\( (a_1 + a_2 + a_3 + a_4)^n = \sum_{i_1+i_2+i_3+i_4=n} \frac{n!}{i_1! i_2! i_3! i_4!} a_1^{i_1} a_2^{i_2} a_3^{i_3} a_4^{i_4} \)

Pokud dosadíme za všechny proměnné hodnotu \(1\), pak každý člen má hodnotu rovnou svému koeficientu, protože \( 1^{i} = 1 \).

Tedy součet všech koeficientů je hodnotou výrazu \( (1+2+3+4)^5 = 10^5 = 100\,000 \).

Řešení příkladu:

Označíme exponenty jednotlivých složek \( i,j,k,l \) pro \( x, -2y, 3z, -w \) v tomto pořadí. Platí:

\( i + j + k + l = 10 \), \( i,j,k,l \geq 0 \)

Dále chceme koeficient u členu \( x^2 y^3 z^4 w^1 \), tedy exponenty:

\( i = 2 \), \( j = 3 \), \( k = 4 \), \( l = 1 \)

Ověříme součet:

\( 2 + 3 + 4 + 1 = 10 \), což sedí.

Koeficient u tohoto členu je dán:

\( \frac{10!}{2! 3! 4! 1!} \times (1)^2 \times (-2)^3 \times (3)^4 \times (-1)^1 \)

Vypočítáme jednotlivé části:

\( 10! = 3\,628\,800 \),
\( 2! = 2 \), \( 3! = 6 \), \( 4! = 24 \), \( 1! = 1 \),
jmenovatel: \( 2 \times 6 \times 24 \times 1 = 288 \),

multinomický koeficient: \( \frac{3\,628\,800}{288} = 12\,600 \),

mocniny: \( 1^2 = 1 \), \( (-2)^3 = -8 \), \( 3^4 = 81 \), \( (-1)^1 = -1 \),

součin mocnin: \( 1 \times (-8) \times 81 \times (-1) = (-8) \times 81 \times (-1) = 648 \)

Výsledný koeficient je tedy:

\( 12\,600 \times 648 = 8\,164\,800 \)

Řešení příkladu:

Nejprve určíme celkový počet členů v rozvoji \( (a + b + c)^8 \), což je počet trojic \( (i,j,k) \) s \( i+j+k=8 \), kde \( i,j,k \geq 0 \).

Celkový počet členů je:

\( \frac{(8+3-1)!}{8!(3-1)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{3\,628\,800}{40\,320 \times 2} = 45 \)

Chceme spočítat pouze ty členy, které obsahují právě dvě proměnné, což znamená, že jedna proměnná má exponent \(0\) a dvě ostatní mají exponenty takové, že jejich součet je \(8\).

Pro každou proměnnou, která má exponent \(0\), počítáme počet řešení:

Například pro \( a = 0 \), \( j + k = 8 \), kde \( j,k \geq 0 \).

Počet řešení je:

\( 8 + 2 -1 \choose 8 \) = \( \frac{(9)!}{8!1!} = 9 \)

Stejně pro \( b=0 \) a \( c=0 \) dostaneme vždy \(9\) řešení.

Protože máme \(3\) proměnné, počet členů s přesně dvěma proměnnými je:

\( 3 \times 9 = 27 \)

Výsledkem je, že rozvoj obsahuje \(27\) různých členů s právě dvěma proměnnými.

Řešení příkladu:

Označíme exponenty jednotlivých složek jako \( i, j, k, l \) pro \( 3a, -b, 2c, -d \), tedy

\( i + j + k + l = 10 \), kde \( i, j, k, l \geq 0 \).

Chceme koeficient u členu \( a^2 b^3 c^1 d^4 \), takže:

\( i = 2, j = 3, k = 1, l = 4 \)

Ověření součtu:

\( 2 + 3 + 1 + 4 = 10 \), což sedí.

Koeficient je dán:

\( \frac{10!}{2!3!1!4!} \times (3)^2 \times (-1)^3 \times (2)^1 \times (-1)^4 \)

Vypočítáme jednotlivé faktoriály:

\( 10! = 3\,628\,800 \),
\( 2! = 2 \), \( 3! = 6 \), \( 1! = 1 \), \( 4! = 24 \),
jmenovatel: \( 2 \times 6 \times 1 \times 24 = 288 \),

multinomický koeficient: \( \frac{3\,628\,800}{288} = 12\,600 \),

Vypočítáme mocniny:

\( 3^2 = 9 \), \( (-1)^3 = -1 \), \( 2^1 = 2 \), \( (-1)^4 = 1 \),

Součin mocnin:

\( 9 \times (-1) \times 2 \times 1 = -18 \)

Konečný koeficient:

\( 12\,600 \times (-18) = -226\,800 \)

Řešení příkladu:

Nejprve si zapíšeme obecný tvar členů v rozvoji výrazu \( (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^n \) podle multinomické věty:

\( (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^n = \sum_{i+j+k+l=n} \frac{n!}{i! j! k! l!} x_1^i x_2^j x_3^k x_4^l \),

kde \( i,j,k,l \geq 0 \) a \( i+j+k+l = n \).

V našem případě je \( n=10 \), proměnné jsou \( 2a, -3b, c, 4d \) a hledáme člen s mocninami \( a^3 b^2 c^1 d^4 \), tedy \( i=3 \), \( j=2 \), \( k=1 \), \( l=4 \) (součet: \(3+2+1+4=10\)).

Podle multinomické věty platí, že koeficient je:

\( \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 4!} \cdot (2a)^3 \cdot (-3b)^2 \cdot (c)^1 \cdot (4d)^4 \)

Nejdříve spočítáme číselnou část bez proměnných:

\( \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 4!} = \frac{3628800}{(6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 24)} = \frac{3628800}{288} = 12600 \).

Dále spočítáme mocniny číselných koeficientů:

\( 2^3 = 8 \), \( (-3)^2 = 9 \), \( 1^1 = 1 \), \( 4^4 = 256 \).

Nyní spočteme součin těchto čísel:

\( 12600 \times 8 \times 9 \times 1 \times 256 \).

Postupně:

• \(12600 \times 8 = 100800 \)
• \(100800 \times 9 = 907200 \)
• \(907200 \times 1 = 907200 \)
• \(907200 \times 256 = 232243200 \)

Tedy koeficient u členu \( a^3 b^2 c^1 d^4 \) je \( 232243200 \).

Výsledný člen je tedy

\( 232243200 \cdot a^3 b^2 c d^4 \).

Řešení příkladu:

Počet různých členů v rozvoji daného výrazu odpovídá počtu různých k-tic \( (i_1, i_2, i_3, i_4, i_5) \), kde \( i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 = 8 \) a každé \( i_j \geq 0 \).

Počet takových k-tic je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:

\( \text{Počet} = \frac{(n + k – 1)!}{n! (k – 1)!} \Rightarrow \frac{(8 + 5 – 1)!}{8! \cdot 4!} = \frac{12!}{8! \cdot 4!} \).

Vypočteme jednotlivé faktoriály:

• \(12! = 479001600 \)
• \(8! = 40320 \)
• \(4! = 24 \)

Dosadíme:

\( \frac{479001600}{40320 \cdot 24} = \frac{479001600}{967680} = 495 \).

Počet různých členů v rozvoji výrazu je tedy \(495\).

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty rozvíjíme:

\( (x – 2y + 3z)^{10} = \sum_{i+j+k=10} \frac{10!}{i! j! k!} x^i (-2y)^j (3z)^k \).

Hledáme člen, kde \( x^5 y^3 z^2 \) odpovídá \( i=5, j=3, k=2 \) (součet: \(5+3+2=10\)).

Koeficient je tedy

\( \frac{10!}{5! 3! 2!} \cdot 1^5 \cdot (-2)^3 \cdot 3^2 \).

Spočítáme jednotlivé hodnoty:

• \(10! = 3628800 \)
• \(5! = 120\)
• \(3! = 6\)
• \(2! = 2\)

Dosadíme a vypočteme zlomkový koeficient:

\( \frac{3628800}{120 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{3628800}{1440} = 2520 \).

Dále spočítáme mocniny číselných koeficientů:

\( (-2)^3 = -8 \), \( 3^2 = 9 \).

Celkový koeficient je tedy

\( 2520 \times (-8) \times 9 = 2520 \times (-72) = -181440 \).

Výsledný člen je

\( -181440 x^5 y^3 z^2 \).

Řešení příkladu:

Počet různých členů odpovídá počtu k-tic \( (i_1, i_2, i_3, i_4, i_5, i_6) \) s podmínkou \( i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 + i_6 = 7 \), kde \( i_j \geq 0 \).

Podle kombinací s opakováním platí vzorec:

\( \text{Počet} = \frac{(n+k-1)!}{n! (k-1)!} \Rightarrow \frac{(7+6-1)!}{7! \cdot 5!} = \frac{12!}{7! \cdot 5!} \).

Vypočítáme faktoriály:

• \(12! = 479001600 \)
• \(7! = 5040 \)
• \(5! = 120 \)

Dosadíme a spočítáme:

\( \frac{479001600}{5040 \times 120} = \frac{479001600}{604800} = 792 \).

Počet různých členů v rozvoji výrazu je tedy \(792\).

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty rozvíjíme:

\( (x + 2y – z + 3w)^{10} = \sum_{i+j+k+l=10} \frac{10!}{i! j! k! l!} x^i (2y)^j (-z)^k (3w)^l \).

Hledáme člen, kde \( x^2 y^4 z^3 w^1 \) odpovídá \( i=2, j=4, k=3, l=1 \) (součet \(2+4+3+1=10\)).

Koeficient je tedy

\( \frac{10!}{2! 4! 3! 1!} \cdot 1^2 \cdot 2^4 \cdot (-1)^3 \cdot 3^1 \).

Nejprve spočteme hodnotu zlomku:

• \(10! = 3628800\)
• \(2! = 2\)
• \(4! = 24\)
• \(3! = 6\)
• \(1! = 1\)

Výpočet:

\( \frac{3628800}{2 \times 24 \times 6 \times 1} = \frac{3628800}{288} = 12600 \).

Spočítáme mocniny koeficientů:

\( 2^4 = 16 \), \( (-1)^3 = -1 \), \( 3^1 = 3 \).

Výsledek součinu:

\( 12600 \times 16 \times (-1) \times 3 = 12600 \times (-48) = -604800 \).

Výsledný člen je tedy

\( -604800 x^2 y^4 z^3 w \).

Řešení příkladu:

Počet různých členů v rozvoji je obvykle počet nesetříděných k-tic \( (i,j,k,l) \) s podmínkou \( i+j+k+l=12 \) a \( i,j,k,l \geq 0 \). V tomto případě však navíc platí, že exponent \( i \) u \( p \) musí být sudý.

Nejprve zjistíme počet k-tic s touto podmínkou.

Proměnná \( i \) může nabývat hodnot \(0,2,4,6,8,10,12\) (sudé číslo do \(12\)).

Pro každé fixované \( i=2m \) spočítáme počet k-tic \( (j,k,l) \) takových, že

\( j + k + l = 12 – i = 12 – 2m \), kde \( m=0,1,\ldots,6 \).

Počet takových \(k\)-tic je podle vzorce pro kombinace s opakováním:

\( \frac{(n+k-1)!}{n!(k-1)!} \Rightarrow \frac{(12-2m + 3 -1)!}{(12-2m)! \cdot 2!} = \frac{(14-2m)!}{(12-2m)! \cdot 2!} \).

Počet všech členů je tedy součet přes všechny možné \( m \):

\( \sum_{m=0}^6 \frac{(14-2m)!}{(12-2m)! \cdot 2!} \).

Vyjmenujeme jednotlivé členy součtu:

• Pro \( m=0 \): \( \frac{14!}{12! \cdot 2!} = \frac{14 \cdot 13}{2} = 91 \)
• Pro \( m=1 \): \( \frac{12!}{10! \cdot 2!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66 \)
• Pro \( m=2 \): \( \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \)
• Pro \( m=3 \): \( \frac{8!}{6! \cdot 2!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28 \)
• Pro \( m=4 \): \( \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 \)
• Pro \( m=5 \): \( \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \)
• Pro \( m=6 \): \( \frac{2!}{0! \cdot 2!} = \frac{2}{2} = 1 \)

Součet všech hodnot je:

\( 91 + 66 + 45 + 28 + 15 + 6 + 1 = 252 \).

Počet různých členů s podmínkou, že exponent u \( p \) je sudý, je tedy \(252\).

Řešení příkladu:

Chceme najít koeficient u členu \( a^3 b^2 c^1 d^4 \) v rozvoji multinomu \( (a + 2b + 3c + 4d)^{10} \).

Nejprve ověříme, zda mocniny souhlasí s celkovým exponentem:

\( 3 + 2 + 1 + 4 = 10 \),

což odpovídá mocnině výrazu.

Multinomický koeficient je dán vzorcem pro rozdělení exponentu \(10\) na podíl exponentů jednotlivých proměnných:

\( \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 4!} \).

Koeficient se také násobí příslušnými koeficienty v jednotlivých složkách výrazu umocněných na odpovídající mocniny:

\( 1^3 \cdot (2)^2 \cdot (3)^1 \cdot (4)^4 \).

Vyjádříme tedy konkrétně:

\( \text{koeficient} = \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 4!} \times 1 \times 2^2 \times 3^1 \times 4^4 \).

Nejprve vypočítáme faktoriály:

\( 10! = 3628800 \), \( 3! = 6 \), \( 2! = 2 \), \( 1! = 1 \), \( 4! = 24 \).

Dosadíme do zlomku:

\( \frac{3628800}{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 24} = \frac{3628800}{288} = 12600 \).

Vypočítáme mocniny koeficientů:

\( 2^2 = 4 \), \( 3^1 = 3 \), \( 4^4 = 256 \).

Nyní vše vynásobíme:

\( 12600 \times 1 \times 4 \times 3 \times 256 = 12600 \times 3072 = 38707200 \).

Tedy koeficient u členu \( a^3 b^2 c d^4 \) je \( 38\,707\,200 \).

Řešení příkladu:

Počet různých členů odpovídá počtu řešení rovnice

\( i + j + k + l + m = 8 \),

kde \( i,j,k,l,m \geq 0 \) jsou exponenty jednotlivých proměnných \( x,y,z,w,t \).

Počet těchto řešení je dán vzorcem pro počet nesetříděných k-tic:

\( \frac{(n + k – 1)!}{n!(k – 1)!} \),

kde \( n = 8 \) (celkový exponent) a \( k = 5 \) (počet proměnných).

Dosadíme:

\( \frac{(8 + 5 – 1)!}{8!(5 – 1)!} = \frac{12!}{8!4!} \).

Vypočítáme faktoriály:

\( 12! = 479001600 \), \( 8! = 40320 \), \( 4! = 24 \).

Vypočteme zlomek:

\( \frac{479001600}{40320 \times 24} = \frac{479001600}{967680} = 495 \).

Počet různých členů je tedy 495.

Řešení příkladu:

Součet koeficientů všech členů, kde mocnina \( q \) je alespoň \(3\), znamená součet všech členů rozvoje, kde exponent u \( q \) je \( j \geq 3 \).

Obecný člen v rozvoji je:

\( \frac{7!}{i!j!k!} p^{i} (3q)^{j} (5r)^{k} \),

kde \( i + j + k = 7 \) a \( i,j,k \geq 0 \).

Chceme tedy:

\( S = \sum_{j=3}^{7} \sum_{i=0}^{7-j} \frac{7!}{i! j! (7 – i – j)!} p^{i} 3^{j} q^{j} 5^{7 – i – j} r^{7 – i – j} \).

Pro zjištění součtu koeficientů zanedbáme proměnné, tj. nastavíme \( p = q = r = 1 \), protože koeficienty jsou před mocninami proměnných.

Tedy koeficienty součtu jsou:

\( S = \sum_{j=3}^{7} \sum_{i=0}^{7-j} \frac{7!}{i! j! (7 – i – j)!} 3^{j} 5^{7 – i – j} \).

Označíme \( k = 7 – i – j \) a můžeme přepsat jako:

\( S = \sum_{j=3}^{7} 3^{j} \sum_{i=0}^{7-j} \frac{7!}{i! j! k!} 5^{k} \).

Sumu přes \( i \) můžeme vnímat jako sumu přes všechny možné rozdělení \( i \) a \( k \) s fixním \( j \).

Celkový součet všech koeficientů bez omezení je roven hodnotě výrazu při všech proměnných rovno \(1\):

\( (1 + 3 + 5)^7 = 9^7 \).

Podobně součet koeficientů s \( j \leq 2 \) je:

\( S‘ = \sum_{j=0}^{2} \sum_{i=0}^{7-j} \frac{7!}{i! j! (7 – i – j)!} 3^{j} 5^{7 – i – j} \).

Chceme tedy \( S = 9^7 – S‘ \).

Pro zjednodušení uvažujeme dvourozměrný rozvoj výrazu \( (p + 3q + 5r)^7 \) se zaměřením na \( j \) a součet koeficientů s \( j \leq 2 \).

Definujeme funkci:

\( f(t) = (1 + 3t + 5)^{7} = (6 + 3t)^{7} \).

Koeficienty u \( t^{j} \) odpovídají součtu koeficientů, kde mocnina \( q \) je právě \( j \).

Součet koeficientů s \( j \leq 2 \) je součet koeficientů u \( t^0, t^1, t^2 \) v \( f(t) \).

Vyjádříme Taylorův rozvoj \( f(t) \) kolem \( t=0 \) až do řádu \(2\):

\( f(t) = f(0) + f'(0)t + \frac{f“(0)}{2} t^2 + \cdots \).

Vypočítáme jednotlivé derivace:

\( f(t) = (6 + 3t)^7 \Rightarrow f'(t) = 7 \cdot (6 + 3t)^6 \cdot 3 = 21 (6 + 3t)^6 \).

\( f“(t) = 21 \cdot 6 \cdot (6 + 3t)^5 \cdot 3 = 378 (6 + 3t)^5 \).

Dosadíme \( t=0 \):

\( f(0) = 6^7 \), \( f'(0) = 21 \cdot 6^6 \), \( f“(0) = 378 \cdot 6^5 \).

Vypočteme hodnoty:

\( 6^5 = 7776 \), \( 6^6 = 46656 \), \( 6^7 = 279936 \).

Dosadíme do rozvoje:

\( S‘ = 279936 + 21 \cdot 46656 \cdot t + \frac{378 \cdot 7776}{2} \cdot t^2 \) při \( t=1 \).

Po dosazení \( t=1 \) dostaneme:

\( S‘ = 279936 + 979,776 + 1,469,664 = 2,729,376 \).

Celkový součet koeficientů je \( 9^7 = 4,782,969 \).

Výsledný součet koeficientů s \( j \geq 3 \) je:

\( S = 4,782,969 – 2,729,376 = 2,053,593 \).

Součet koeficientů u členů, kde mocnina \( q \) je alespoň \(3\), je tedy \( 2,053,593 \).

Řešení příkladu:

Chceme koeficient u členu \( x^4 y^3 z^2 \) v rozvoji výrazu \( (x + y + z)^9 \).

Nejprve ověříme, zda součet mocnin odpovídá exponentu:

\( 4 + 3 + 2 = 9 \).

Koeficient podle multinomické věty je:

\( \frac{9!}{4! 3! 2!} \).

Vypočítáme faktoriály:

\( 9! = 362880 \), \( 4! = 24 \), \( 3! = 6 \), \( 2! = 2 \).

Dosadíme do zlomku:

\( \frac{362880}{24 \times 6 \times 2} = \frac{362880}{288} = 1260 \).

Tedy koeficient u požadovaného členu je \(1260\).

Řešení příkladu:

Celkový počet členů v rozvoji je počet řešení rovnice

\( i + j + k + l + m + n = 5 \),

kde \( i \) je exponent u \( a \), ostatní jsou exponenty u ostatních proměnných.

Počet všech členů je:

\( \frac{(5 + 6 – 1)!}{5!(6 – 1)!} = \frac{10!}{5!5!} = 252 \).

Potřebujeme spočítat počet členů, kde exponent \( i \) je lichý, tj. \( i = 1,3,5 \).

Fixujeme \( i \) a počítáme počet řešení pro ostatní proměnné:

Pro \( i = 1 \), součet ostatních je \( 5 – 1 = 4 \), počet řešení:

\( \frac{(4 + 5 – 1)!}{4!(5 – 1)!} = \frac{8!}{4!4!} = 70 \).

Pro \( i = 3 \), součet ostatních je \( 2 \), počet řešení:

\( \frac{(2 + 5 – 1)!}{2!(5 – 1)!} = \frac{6!}{2!4!} = 15 \).

Pro \( i = 5 \), součet ostatních je \( 0 \), počet řešení:

\( \frac{(0 + 5 – 1)!}{0!(5 – 1)!} = \frac{4!}{1 \cdot 4!} = 1 \).

Celkový počet členů s lichým exponentem u \( a \) je tedy:

\( 70 + 15 + 1 = 86 \).

Řešení příkladu:

Výraz máme \( (2a – 3b + c)^6 \). Podle multinomické věty lze rozvinout jako:

\( (x + y + z)^n = \sum \frac{n!}{i!j!k!} x^i y^j z^k \), kde \( i+j+k=n \).

Zde je \( x = 2a \), \( y = -3b \), \( z = c \), \( n=6 \).

Chceme člen s \( a^3 b^2 c^1 \), tedy exponenty jsou \( i=3 \), \( j=2 \), \( k=1 \) a \( i+j+k=6 \).

Koeficient tohoto členu bude:

\( \frac{6!}{3!2!1!} \cdot (2)^3 \cdot (-3)^2 \cdot (1)^1 = \frac{720}{6 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 8 \cdot 9 \cdot 1 = 60 \cdot 8 \cdot 9 = 4320 \)

Protože \( (-3)^2 = 9 \) je kladné, znaménko je plus.

Výsledný člen je tedy \( 4320 a^3 b^2 c \).

Řešení příkladu:

Počet různých členů odpovídá počtu nezáporných celočíselných řešení rovnice \( i + j + k + l = 8 \), kde \( i,j,k,l \geq 0 \).

Počet těchto řešení je dán kombinatorickým vzorcem na počet kombinací s opakováním:

\( \frac{(n + k – 1)!}{n!(k – 1)!} \), kde \( n=8 \) a \( k=4 \).

Po dosazení dostáváme: \( \frac{(8+4-1)!}{8! \cdot 3!} = \frac{11!}{8! \cdot 3!} = \frac{39916800}{40320 \cdot 6} = \frac{39916800}{241920} = 165 \).

Rozvoj tedy obsahuje \(165\) různých členů.

Řešení příkladu:

Chceme koeficient u členu s exponenty \( i=2 \), \( j=3 \), \( k=4 \), protože \( 2+3+4=9 \).

Multinomický koeficient je:

\( \frac{9!}{2!3!4!} \).

Hodnoty základních mocnin jsou:

\( x^2 \rightarrow 1^2 = 1, \quad (-2y)^3 = (-2)^3 = -8, \quad (3z)^4 = 3^4 = 81 \).

Vypočítáme koeficient:

\( \frac{362880}{2 \cdot 6 \cdot 24} \cdot 1 \cdot (-8) \cdot 81 = \frac{362880}{288} \cdot (-648) = 1260 \cdot (-648) = -816480 \).

Koeficient je tedy \( -816480 \).

Řešení příkladu:

Počet různých členů odpovídá počtu nezáporných celočíselných řešení rovnice \( i + j + k + l + m = 5 \).

Celkem je \(5\) proměnných a stupeň \(5\), vzorec je:

\( \frac{(n+k-1)!}{n! (k-1)!} = \frac{(5+5-1)!}{5! (5-1)!} = \frac{9!}{5!4!} \).

Vypočítáme hodnoty faktoriálů:

\( 9! = 362880, \quad 5! = 120, \quad 4! = 24 \).

Počet různých členů je \( \frac{362880}{120 \cdot 24} = \frac{362880}{2880} = 126 \).

Výraz obsahuje tedy \(126\) různých členů.

Řešení příkladu:

Chceme člen s exponenty \( i=4 \), \( j=2 \), \( k=1 \), kde \( i+j+k=7 \).

Multinomický koeficient je:

\( \frac{7!}{4!2!1!} = \frac{5040}{24 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5040}{48} = 105 \).

Hodnoty mocnin koeficientů:

\( (x)^4 = 1^4 = 1, \quad (2y)^2 = 2^2 = 4, \quad (-z)^1 = -1 \).

Celkový koeficient je tedy:

\( 105 \cdot 1 \cdot 4 \cdot (-1) = -420 \).

Výsledný člen je \( -420 x^4 y^2 z \).

Řešení příkladu:

Máme 6 proměnných a stupeň 4.

Počet různých členů odpovídá počtu nezáporných celočíselných řešení rovnice

\( i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 + i_6 = 4 \).

Podle vzorce kombinací s opakováním:

\( \frac{(n + k – 1)!}{n! (k – 1)!} = \frac{(4 + 6 – 1)!}{4! (6 – 1)!} = \frac{9!}{4! 5!} \).

Výpočet faktoriálů:

\( 9! = 362880, \quad 4! = 24, \quad 5! = 120 \).

Počet členů je:

\( \frac{362880}{24 \cdot 120} = \frac{362880}{2880} = 126 \).

Výraz obsahuje tedy \(126\) různých členů.

Řešení příkladu:

Máme exponentská čísla \( i=2 \), \( j=1 \), \( k=1 \), \( l=1 \) a jejich součet \( 2 + 1 + 1 + 1 = 5 \).

Multinomický koeficient je:

\( \frac{5!}{2!1!1!1!} = \frac{120}{2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 60 \).

Výpočet mocnin koeficientů:

\( (3x)^2 = 3^2 = 9, \quad (-y)^1 = -1, \quad (4z)^1 = 4, \quad (-2w)^1 = -2 \).

Celkový koeficient je:

\( 60 \cdot 9 \cdot (-1) \cdot 4 \cdot (-2) = 60 \cdot 9 \cdot (-1) \cdot (-8) = 60 \cdot 72 = 4320 \).

Výsledný člen je tedy \( 4320 x^2 y z w \).

Řešení příkladu:

Máme 7 proměnných a stupeň \(3\).

Počet různých členů odpovídá počtu nezáporných celočíselných řešení rovnice

\( i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 + i_6 + i_7 = 3 \).

Vzorec pro počet kombinací s opakováním je:

\( \frac{(n + k – 1)!}{n! (k – 1)!} = \frac{(3 + 7 – 1)!}{3! (7 – 1)!} = \frac{9!}{3! 6!} \).

Faktoriály:

\( 9! = 362880, \quad 3! = 6, \quad 6! = 720 \).

Počet členů je tedy:

\( \frac{362880}{6 \cdot 720} = \frac{362880}{4320} = 84 \).

Výraz obsahuje \(84\) různých členů.

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomme, že koeficient u členu \( a^{i} b^{j} c^{k} d^{l} \) v rozvoji \( (a + b + c + d)^n \) je dán multinomickým koeficientem, tedy:

\( \frac{n!}{i! j! k! l!} \), kde \( i + j + k + l = n \).

V našem případě je \( n=10 \) a hledáme koeficient u členu \( a^3 b^2 c^1 d^4 \), což znamená:

\( i = 3, j = 2, k = 1, l = 4 \).

Ověřme, zda součet exponentů odpovídá \( n \):

\( 3 + 2 + 1 + 4 = 10 \), což sedí.

Multinomický koeficient tedy spočítáme jako:

\( \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 4!} \).

Rozepišme si hodnoty faktoriálů:

\( 10! = 3628800 \), \( 3! = 6 \), \( 2! = 2 \), \( 1! = 1 \), \( 4! = 24 \).

Dosadíme a vypočteme:

\( \frac{3628800}{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 24} = \frac{3628800}{288} = 12600 \).

Koeficient u požadovaného členu je tedy \(12600\).

Řešení příkladu:

Počet různých členů v rozvoji multinomu \( (x + y + z + w + t)^8 \) odpovídá počtu nenegativních celočíselných řešení rovnice

\( i + j + k + l + m = 8 \),

kde \( i,j,k,l,m \geq 0 \) jsou exponenty u jednotlivých proměnných.

Podle principu kombinatoriky s opakováním je počet těchto řešení dán vzorcem:

\( \frac{(n + k – 1)!}{n! (k – 1)!} \),

kde \( n = 8 \) je mocnina a \( k = 5 \) je počet proměnných.

Dosadíme:

\( \frac{(8 + 5 – 1)!}{8! (5 – 1)!} = \frac{12!}{8! \cdot 4!} \).

Vypočteme faktoriály:

\( 12! = 479001600 \), \( 8! = 40320 \), \( 4! = 24 \).

Výpočet zlomku:

\( \frac{479001600}{40320 \cdot 24} = \frac{479001600}{967680} = 495 \).

Počet různých členů v rozvoji je tedy \(495\).

Řešení příkladu:

Nejprve si označíme exponenty proměnných: \( i = 3 \) pro \( x \), \( j = 2 \) pro \( y \), \( k = 2 \) pro \( z \), celkem tedy \( i + j + k = 7 \).

To odpovídá rozvoji multinomu \( (x + (-y) + 2z)^7 \), kde koeficient je dán multinomickým koeficientem a násobky koeficientů jednotlivých složek:

\( \frac{7!}{3! 2! 2!} \cdot (1)^3 \cdot (-1)^2 \cdot (2)^2 \).

Vypočteme faktoriály:

\( 7! = 5040 \), \( 3! = 6 \), \( 2! = 2 \).

Vypočteme multinomický koeficient:

\( \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210 \).

Výpočet mocnin koeficientů:

\( (1)^3 = 1 \), \( (-1)^2 = 1 \), \( (2)^2 = 4 \).

Celkový koeficient:

\( 210 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 4 = 840 \).

Koeficient u členu \( x^3 y^2 z^2 \) je tedy \(840\).

Řešení příkladu:

Počet členů s exponentem proměnné \( a \) právě 2 odpovídá počtu řešení rovnice

\( 2 + i + j + k = 5 \),

kde \( i,j,k \geq 0 \) jsou exponenty u \( b, c, d \).

Převedeme rovnici na

\( i + j + k = 3 \).

Počet nenegativních celočíselných řešení této rovnice, kdy máme \(3\) proměnné, je podle vzorce s opakováním:

\( \frac{(n + k – 1)!}{n! (k – 1)!} \Rightarrow \frac{(3 + 3 – 1)!}{3! (3 – 1)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} \).

Vypočteme faktoriály:

\( 5! = 120 \), \( 3! = 6 \), \( 2! = 2 \).

Dosadíme a vypočteme:

\( \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10 \).

Existuje tedy \(10\) různých členů, ve kterých se \( a \) vyskytuje přesně s exponentem \(2\).

Řešení příkladu:

Exponenty jsou \( i=2, j=3, k=1 \) a jejich součet \( i + j + k = 6 \) odpovídá mocnině.

Koeficient je dán multinomickým koeficientem a koeficienty proměnných umocněnými podle exponentů:

\( \frac{6!}{2! 3! 1!} \cdot (1)^2 \cdot (2)^3 \cdot (3)^1 \).

Faktoriály jsou:

\( 6! = 720 \), \( 2! = 2 \), \( 3! = 6 \), \( 1! = 1 \).

Multinomický koeficient:

\( \frac{720}{2 \cdot 6 \cdot 1} = \frac{720}{12} = 60 \).

Mocniny koeficientů:

\( (1)^2 = 1 \), \( (2)^3 = 8 \), \( (3)^1 = 3 \).

Celkový koeficient:

\( 60 \cdot 1 \cdot 8 \cdot 3 = 1440 \).

Koeficient u daného členu je tedy \(1440\).

Řešení příkladu:

Exponenty jsou \( i=4, j=0, k=3, l=2 \) a jejich součet je:

\( 4 + 0 + 3 + 2 = 9 \), což odpovídá mocnině výrazu.

Koeficient u takového členu je multinomický koeficient:

\( \frac{9!}{4! \cdot 0! \cdot 3! \cdot 2!} \).

Faktoriály jsou:

\( 9! = 362880 \), \( 4! = 24 \), \( 0! = 1 \), \( 3! = 6 \), \( 2! = 2 \).

Dosadíme a spočítáme:

\( \frac{362880}{24 \cdot 1 \cdot 6 \cdot 2} = \frac{362880}{288} = 1260 \).

Koeficient u uvedeného členu je tedy \(1260\).

Řešení příkladu:

Exponenty jsou \( i=2, j=1, k=1, l=1 \) a jejich součet je

\( 2 + 1 + 1 + 1 = 5 \), což odpovídá mocnině výrazu.

Koeficient je dán multinomickým koeficientem a koeficienty proměnných umocněnými podle exponentů, včetně znamének:

\( \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} \cdot (1)^2 \cdot (-2)^1 \cdot (3)^1 \cdot (-1)^1 \).

Faktoriály:

\( 5! = 120 \), \( 2! = 2 \), ostatní faktoriály jsou \(1\).

Multinomický koeficient:

\( \frac{120}{2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1} = 60 \).

Výpočet mocnin a znamének:

\( (1)^2 = 1 \), \( (-2)^1 = -2 \), \( (3)^1 = 3 \), \( (-1)^1 = -1 \).

Celkový koeficient:

\( 60 \cdot 1 \cdot (-2) \cdot 3 \cdot (-1) = 60 \cdot 6 = 360 \).

Koeficient u členu \( a^2 b^1 c^1 d^1 \) je tedy \(360\).

Řešení příkladu:

Hledáme všechny členy \( x^{i} y^{2} z^{j} \), kde \( i + 2 + j = 4 \), tedy \( i + j = 2 \).

Proměnné \( i,j \geq 0 \).

Počet takových členů odpovídá počtu dvojic \( (i,j) \) s \( i+j=2 \), tedy: (2,0), (1,1), (0,2).

Součet koeficientů těchto členů je:

\( \sum_{i=0}^2 \frac{4!}{i! 2! (2 – i)!} \).

Rozepíšeme jednotlivé členy:

Pro \( i=0 \): \( \frac{24}{0! 2! 2!} = \frac{24}{1 \cdot 2 \cdot 2} = 6 \).

Pro \( i=1 \): \( \frac{24}{1! 2! 1!} = \frac{24}{1 \cdot 2 \cdot 1} = 12 \).

Pro \( i=2 \): \( \frac{24}{2! 2! 0!} = \frac{24}{2 \cdot 2 \cdot 1} = 6 \).

Sečteme:

\( 6 + 12 + 6 = 24 \).

Součet koeficientů u všech členů, kde je exponent \( y = 2 \), je tedy \(24\).

Řešení příkladu:

Chceme určit koeficient u členu, kde exponenty proměnných jsou: \(a^3 b^2 c^4 d^1\). Celkový exponent součtu je 10, což odpovídá součtu exponentů jednotlivých proměnných:

\(3 + 2 + 4 + 1 = 10\), takže tato kombinace je možná.

Obecný člen rozvoje multinomu \( (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)^n \) je dán vzorcem:

\( \frac{n!}{i_1! i_2! i_3! i_4!} x_1^{i_1} x_2^{i_2} x_3^{i_3} x_4^{i_4} \), kde \(i_1 + i_2 + i_3 + i_4 = n\).

V našem případě je \(n = 10\) a \(i_1 = 3, i_2 = 2, i_3 = 4, i_4 = 1\).

Koeficient před členem bude tedy:

\( \frac{10!}{3! 2! 4! 1!} \cdot (2)^3 \cdot (-1)^2 \cdot (3)^4 \cdot (4)^1 \).

Nejprve spočítáme kombinační koeficient:

\(10! = 3628800\),
\(3! = 6\), \(2! = 2\), \(4! = 24\), \(1! = 1\),
\(\Rightarrow \frac{10!}{3! 2! 4! 1!} = \frac{3628800}{6 \cdot 2 \cdot 24 \cdot 1} = \frac{3628800}{288} = 12600.\)

Nyní vypočteme mocniny:

\(2^3 = 8\),
\((-1)^2 = 1\),
\(3^4 = 81\),
\(4^1 = 4\).

Celkový koeficient tedy je:

\(12600 \times 8 \times 1 \times 81 \times 4\).

Postupně:

\(12600 \times 8 = 100800\),
\(100800 \times 81 = 8164800\),
\(8164800 \times 4 = 32659200\).

Tedy koeficient u členu \(a^3 b^2 c^4 d\) je \(32659200\).

Řešení příkladu:

Potřebujeme určit počet různých členů v rozvoji, kde exponenty všech pěti proměnných \(x, y, z, w, v\) jsou sudá čísla a součet exponentů je 8.

Označíme exponenty jako \(2i_1, 2i_2, 2i_3, 2i_4, 2i_5\), kde \(i_j \geq 0\) jsou celá čísla.

Podmínka pro součet exponentů:

\(2i_1 + 2i_2 + 2i_3 + 2i_4 + 2i_5 = 8 \Rightarrow i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 = 4\).

Úloha se tedy redukuje na spočítání počtu nezáporných celých řešení rovnice:

\(i_1 + i_2 + i_3 + i_4 + i_5 = 4\).

Počet takových řešení je dán vzorcem pro kombinace s opakováním:

\( \frac{(4 + 5 – 1)!}{4! (5 – 1)!} = \frac{8!}{4! 4!} \).

Spočítáme faktoriály:

\(8! = 40320\), \(4! = 24\),
\(\Rightarrow \frac{40320}{24 \times 24} = \frac{40320}{576} = 70\).

Tedy v rozvoji výrazu je \(70\) různých členů, kde všechny exponenty jsou sudé.

Řešení příkladu:

Chceme koeficient u členu s exponenty \(a^2 b^3 c^5\). Součet exponentů je \(2 + 3 + 5 = 10\), což odpovídá celkovému exponentu výrazu.

Obecný koeficient z multinomu je:

\( \frac{10!}{2! 3! 5!} \cdot (a)^2 \cdot (-2b)^3 \cdot (c)^5 \).

Nejprve spočítáme kombinační koeficient:

\(10! = 3628800\),
\(2! = 2\), \(3! = 6\), \(5! = 120\),
\(\Rightarrow \frac{10!}{2! 3! 5!} = \frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 120} = \frac{3628800}{1440} = 2520.\)

Nyní spočítáme mocninu \((-2)^3 = -8\).

Celkový koeficient je tedy:

\(2520 \times (-8) = -20160\).

Tedy koeficient u členu \(a^2 b^3 c^5\) je \(-20160\).

Řešení příkladu:

Potřebujeme zjistit součet koeficientů všech členů, které mají ve svém rozvoji \(x^3\). To znamená, že v rozvoji vybereme členy, kde exponent \(x\) je právě \(3\).

Obecný člen rozvoje je:

\( \frac{7!}{i! j! k! l!} x^{i} y^{j} z^{k} t^{l} \), kde \(i + j + k + l = 7\).

Zadání vyžaduje \(i = 3\), tedy \(j + k + l = 4\).

Součet koeficientů členů s \(x^3\) je tedy:

\( \sum_{j+k+l=4} \frac{7!}{3! j! k! l!} \).

Nejprve vytkneme konstanty:

\(\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840\).

Poté suma přes \(j, k, l \geq 0\) s podmínkou \(j + k + l = 4\) pro \( \frac{1}{j! k! l!} \) odpovídá koeficientu v rozvoji \( (y + z + t)^4 \) všech členů, což je součet koeficientů všech členů.

Součet koeficientů všech členů \( (y + z + t)^4 \) je \( (1 + 1 + 1)^4 = 3^4 = 81 \).

Celkový součet tedy je:

\(840 \times 81 = 68040\).

Tedy součet koeficientů všech členů s \(x^3\) je \(68040\).

Řešení příkladu:

Výraz lze považovat za multinom se čtyřmi členy: \(1, x, -x^2, x^3\), tedy:

\((x_0 + x_1 + x_2 + x_3)^5\), kde \(x_0 = 1\), \(x_1 = x\), \(x_2 = -x^2\), \(x_3 = x^3\).

Chceme koeficient u \(x^4\), tedy najít všechny kombinace ne záporných celých čísel \( (i_0, i_1, i_2, i_3) \), kde:

\(i_0 + i_1 + i_2 + i_3 = 5\),

a také platí:

\(i_1 + 2 i_2 + 3 i_3 = 4\), protože exponent \(x\) v členu je součet příspěvků z jednotlivých členů (mocniny \(x\) v jednotlivých složkách).

Nyní hledáme všechna řešení této soustavy.

Postupně vyzkoušíme hodnoty \(i_3\) od \(0\) do \(1\) (protože \(3 \cdot 2 = 6 > 4\), tedy \(i_3\) maximálně \(1\)):

Pro \(i_3 = 0\): \(i_1 + 2 i_2 = 4\), \(i_0 + i_1 + i_2 = 5\).
Možné dvojice \((i_1, i_2)\):
– \(i_2 = 0 \Rightarrow i_1 = 4\), pak \(i_0 = 5 – 4 – 0 = 1\).
– \(i_2 = 1 \Rightarrow i_1 = 2\), pak \(i_0 = 5 – 2 – 1 = 2\).
– \(i_2 = 2 \Rightarrow i_1 = 0\), pak \(i_0 = 5 – 0 – 2 = 3\).

Pro \(i_3 = 1\): \(i_1 + 2 i_2 = 1\), \(i_0 + i_1 + i_2 = 4\).
Možné dvojice:
– \(i_2 = 0 \Rightarrow i_1 = 1\), pak \(i_0 = 4 – 1 – 0 = 3\).

Seznam všech čtyřic \( (i_0, i_1, i_2, i_3) \) splňujících podmínky:

• (1, 4, 0, 0)
• (2, 2, 1, 0)
• (3, 0, 2, 0)
• (3, 1, 0, 1)

Pro každý člen vypočteme koeficient:

\( \frac{5!}{i_0! i_1! i_2! i_3!} \cdot 1^{i_0} \cdot x^{i_1} \cdot (-x^2)^{i_2} \cdot (x^3)^{i_3} \).

Pro koeficient bereme:

\( \frac{5!}{i_0! i_1! i_2! i_3!} \cdot (-1)^{i_2} \).

Vypočítáme jednotlivé koeficienty:

• (1,4,0,0): \(\frac{120}{1!4!0!0!} \cdot (-1)^0 = \frac{120}{24} = 5\)
• (2,2,1,0): \(\frac{120}{2!2!1!0!} \cdot (-1)^1 = \frac{120}{2 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-1) = 30 \cdot (-1) = -30\)
• (3,0,2,0): \(\frac{120}{3!0!2!0!} \cdot (-1)^2 = \frac{120}{6 \cdot 2} \cdot 1 = 10\)
• (3,1,0,1): \(\frac{120}{3!1!0!1!} \cdot (-1)^0 = \frac{120}{6 \cdot 1 \cdot 1} = 20\)

Sečteme všechny koeficienty:

\(5 – 30 + 10 + 20 = 5\).

Koeficient u \(x^4\) je tedy \(5\).

Řešení příkladu:

Máme výraz \((2a – 3b + c + 4d)^{10}\) a chceme najít koeficient u členu \(a^3 b^2 c^1 d^4\). Nejprve zkontrolujeme, zda mocniny odpovídají celkovému stupni \(10\):

\(3 + 2 + 1 + 4 = 10\), což souhlasí.

Podle multinomické věty je koeficient u takového členu dán výrazem:

\[ \frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 4!} \times (2)^3 \times (-3)^2 \times (1)^1 \times (4)^4 \]

Vypočítáme jednotlivé faktoriály:

\(10! = 3628800\), \(3! = 6\), \(2! = 2\), \(1! = 1\), \(4! = 24\).

Podíl faktoriálů:

\(\frac{10!}{3! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 4!} = \frac{3628800}{6 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 24} = \frac{3628800}{288} = 12600\).

Vypočteme mocniny základů:

\(2^3 = 8\), \((-3)^2 = 9\), \(1^1 = 1\), \(4^4 = 256\).

Vynásobíme všechny hodnoty:

\(12600 \times 8 \times 9 \times 1 \times 256\)

Nejprve \(12600 \times 8 = 100800\), dále \(100800 \times 9 = 907200\), a nakonec \(907200 \times 256\).

Vypočteme \(907200 \times 256\):

\(907200 \times 256 = 907200 \times (200 + 50 + 6) = 907200 \times 200 + 907200 \times 50 + 907200 \times 6\)

\(= 181440000 + 45360000 + 5443200 = 232963200\).

Výsledný koeficient je tedy \(232963200\).

Koeficient u členu \(a^3 b^2 c^1 d^4\) v rozvoji \((2a – 3b + c + 4d)^{10}\) je \(232963200\).

Řešení příkladu:

Výraz má pět proměnných a stupeň \(8\). Počet různých členů v rozvoji odpovídá počtu nesetříděných 5-tic \((i,j,k,l,m)\), kde platí

\(i + j + k + l + m = 8\), a každé \(i,j,k,l,m \geq 0\).

Počet těchto k-tic je dán vzorcem pro počet kombinací s opakováním:

\[ \frac{(n + k – 1)!}{n! (k-1)!} \Rightarrow \frac{(8 + 5 – 1)!}{8! (5-1)!} = \frac{12!}{8! 4!} \]

Vypočítáme faktoriály:

\(12! = 479001600\), \(8! = 40320\), \(4! = 24\).

Podíl:

\(\frac{479001600}{40320 \times 24} = \frac{479001600}{967680} = 495\).

Výraz tedy obsahuje 495 různých členů.

Řešení příkladu:

Celkový součet koeficientů polynomu získáme, pokud do výrazu dosadíme \(x = 1\), protože pak všechny členy mají hodnotu rovnou svému koeficientu.

Dosadíme tedy \(x = 1\) do výrazu:

\((1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2)^5 = (1 + 2 + 3)^5 = 6^5\).

Vypočteme \(6^5\):

\(6^5 = 6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 7776\).

Celkový součet všech koeficientů je tedy \(7776\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme počet různých členů v rozvoji výrazu \((a + b + c + d + e)^7\), což odpovídá počtu nesetříděných 5-tic \((i,j,k,l,m)\) takových, že

\(i + j + k + l + m = 7\), s každým \( \geq 0\).

Počet takových k-tic je dán vzorcem:

\[ \frac{(7 + 5 – 1)!}{7! (5 – 1)!} = \frac{11!}{7! 4!} \]

Vypočítáme faktoriály:

\(11! = 39916800\), \(7! = 5040\), \(4! = 24\).

Podíl:

\(\frac{39916800}{5040 \times 24} = \frac{39916800}{120960} = 330\).

V rozvoji tedy vznikne 330 různých členů.

Upozornění: znaménka minus v původním výrazu nemění počet členů, pouze jejich koeficienty, protože členy s totožnými mocninami se sčítají do jednoho členu.

Řešení příkladu:

V rozvoji \((x + y + z)^9\) hledáme součet koeficientů u všech členů, kde mocnina \(x\) je právě \(3\), tedy členy ve tvaru \(x^3 y^j z^k\), kde \(j + k = 6\) a \(j,k \geq 0\).

Podle multinomické věty je koeficient u každého takového členu:

\[ \frac{9!}{3! \cdot j! \cdot k!} \]

Součet všech koeficientů, kde \(x^3\) je fixní, spočítáme jako součet přes všechny možné \(j,k\), tedy přes všechny rozklady čísla \(6\) na dvě nezáporná čísla.

Počet takových dvojic je \(7\) (\(j=0\) až \(6\)), a součet koeficientů je:

\[ \sum_{j=0}^6 \frac{9!}{3! \cdot j! \cdot (6-j)!} \]

Pro snadnější výpočet rozdělíme faktor \(9!\) jako \(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6!\) a také vyjádříme v kombinatorické formě:

Protože fixujeme \(i=3\), koeficient je:

\[ \frac{9!}{3! \cdot 6!} \times \frac{6!}{j! (6-j)!} = \frac{9!}{3! 6!} \times \binom{6}{j} \]

Kde \(\binom{6}{j} = \frac{6!}{j! (6-j)!}\).

Vypočítáme \(\frac{9!}{3!6!}\):

\(9! = 362880\), \(3! = 6\), \(6! = 720\),

\(\frac{9!}{3!6!} = \frac{362880}{6 \times 720} = \frac{362880}{4320} = 84\).

Součet všech koeficientů je tedy:

\[ 84 \times \sum_{j=0}^6 \binom{6}{j} = 84 \times 2^6 = 84 \times 64 = 5376 \]

Výsledný součet koeficientů u členů s \(x^3\) je \(5376\).

Řešení příkladu:

Zkontrolujeme, zda mocniny odpovídají stupni \(6\):

\(2 + 3 + 1 = 6\), což sedí.

Podle multinomické věty je koeficient dán vzorcem:

\[ \frac{6!}{2! 3! 1!} \times (2)^2 \times (-1)^3 \times (3)^1 \]

Faktoriály:

\(6! = 720\), \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(1! = 1\).

Podíl:

\(\frac{720}{2 \times 6 \times 1} = \frac{720}{12} = 60\).

Mocniny koeficientů:

\(2^2 = 4\), \((-1)^3 = -1\), \(3^1 = 3\).

Výpočet celkového koeficientu:

\(60 \times 4 \times (-1) \times 3 = 60 \times 4 \times (-3) = 60 \times (-12) = -720\).

Koeficient u členu \(p^2 q^3 r^1\) je tedy \(-720\).

Řešení příkladu:

Nejprve spočítáme počet všech různých členů v rozvoji \((x + y + z + w)^{12}\). Počet různých členů odpovídá počtu nesetříděných \(4\)-tic \((i,j,k,l)\), kde \(i+j+k+l=12\), a každé \( \geq 0\).

Celkový počet členů je:

\[ \frac{(12 + 4 -1)!}{12! (4-1)!} = \frac{15!}{12! 3!} \]

Faktoriály:

\(15! = 1307674368000\), \(12! = 479001600\), \(3! = 6\).

Podíl:

\(\frac{1307674368000}{479001600 \times 6} = \frac{1307674368000}{2874009600} = 455\).

Celkem tedy je \(455\) různých členů.

Nyní spočítáme počet členů, kde mocnina \(x\) je nulová, tedy členy, které neobsahují proměnnou \(x\). Tyto odpovídají rozvoji \((y + z + w)^{12}\).

Počet různých členů v \((y+z+w)^{12}\) je:

\[ \frac{(12 + 3 – 1)!}{12! (3-1)!} = \frac{14!}{12! 2!} \]

Faktoriály:

\(14! = 87178291200\), \(12! = 479001600\), \(2! = 2\).

Podíl:

\(\frac{87178291200}{479001600 \times 2} = \frac{87178291200}{958003200} = 91\).

Počet členů obsahujících alespoň jednu proměnnou \(x\) je tedy:

\(455 – 91 = 364\).

Výsledek: V rozvoji \((x + y + z + w)^{12}\) je 364 členů, které obsahují proměnnou \(x\).

Řešení příkladu:

Nejprve si uvědomme, že rozvoj výrazu \( (2a – 3b + c)^9 \) podle multinomické věty je dán všemi členy tvaru

\( \frac{9!}{i! j! k!} (2a)^i (-3b)^j (c)^k \), kde \( i + j + k = 9 \) a \( i,j,k \geq 0 \).

Chceme koeficient u členu \( a^3 b^2 c^4 \). To znamená, že musí platit \( i = 3 \), \( j = 2 \), \( k = 4 \).

Dosadíme tyto hodnoty do vzorce pro koeficient:

\( \frac{9!}{3! 2! 4!} \cdot (2)^3 \cdot (-3)^2 \cdot 1^4 \)

Vypočítáme jednotlivé faktoriály:

\( 9! = 362880, \quad 3! = 6, \quad 2! = 2, \quad 4! = 24 \)

Podíl faktoriálů tedy je

\( \frac{362880}{6 \cdot 2 \cdot 24} = \frac{362880}{288} = 1260 \)

Vypočítáme mocniny čísel:

\( 2^3 = 8, \quad (-3)^2 = 9 \)

Koeficient je tedy:

\( 1260 \cdot 8 \cdot 9 = 1260 \cdot 72 = 90720 \)

Výraz je tedy:

\( 90720 \cdot a^3 b^2 c^4 \)

Koeficient u členu \( a^3 b^2 c^4 \) v rozvoji \( (2a – 3b + c)^9 \) je \(90720\).

Řešení příkladu:

Celý rozvoj \( (x + y + z + w)^7 \) obsahuje všechny členy, kde exponenty \( i,j,k,l \) splňují

\( i + j + k + l = 7 \) s \( i,j,k,l \geq 0 \).

Počet všech členů je počet netříděných 4-tic \( (i,j,k,l) \) s touto podmínkou:

\( \frac{(7+4-1)!}{7! (4-1)!} = \frac{10!}{7! 3!} = \frac{3628800}{5040 \cdot 6} = 120 \)

Chceme počet členů, kde proměnná \( w \) nefiguruje, tedy \( l = 0 \).

Potom platí \( i + j + k = 7 \) s \( i,j,k \geq 0 \).

Počet těchto členů je počet netříděných 3-tic:

\( \frac{(7+3-1)!}{7! (3-1)!} = \frac{9!}{7! 2!} = \frac{362880}{5040 \cdot 2} = 36 \)

Tedy v rozvoji je \(36\) členů, které neobsahují proměnnou \( w \).

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty rozvoj obsahuje členy tvaru

\( \frac{12!}{i! j! k!} x^i (-2y)^j (3z)^k \), kde \( i + j + k = 12 \).

Chceme koeficient u \( x^4 y^3 z^5 \), tedy \( i=4, j=3, k=5 \).

Nejprve zkontrolujeme, zda součet platí:

\( 4 + 3 + 5 = 12 \Rightarrow \) platí.

Vypočítáme koeficient:

\( \frac{12!}{4! 3! 5!} \cdot 1^4 \cdot (-2)^3 \cdot 3^5 \)

Vypočítáme faktoriály:

\( 12! = 479001600, \quad 4! = 24, \quad 3! = 6, \quad 5! = 120 \)

Podíl faktoriálů:

\( \frac{479001600}{24 \cdot 6 \cdot 120} = \frac{479001600}{17280} = 27720 \)

Vypočítáme mocniny:

\( (-2)^3 = -8, \quad 3^5 = 243 \)

Koeficient je tedy:

\( 27720 \cdot (-8) \cdot 243 = 27720 \cdot (-1944) = -53849280 \)

Koeficient u \( x^4 y^3 z^5 \) v rozvoji \( (x – 2y + 3z)^{12} \) je \(-53849280\).

Řešení příkladu:

Rozvoj výrazu \( (a + 2b + 3c + 4d)^8 \) podle multinomické věty obsahuje členy s exponenty \( i, j, k, l \) splňujícími \( i + j + k + l = 8 \) a \( i,j,k,l \geq 0 \), kde exponent \( j \) odpovídá proměnné \( b \).

Chceme spočítat počet členů, kde \( j \geq 3 \).

Nejprve spočítáme celkový počet členů (všechny 4-tice \( (i,j,k,l) \)):

\( \frac{(8+4-1)!}{8!(4-1)!} = \frac{11!}{8!3!} = \frac{39916800}{40320 \cdot 6} = 165 \)

Poté spočítáme počet členů, kde \( j < 3 \), tedy \( j = 0,1,2 \).

Pro fixní hodnotu \( j \) je počet členů s \( i + k + l = 8 – j \) a \( i,k,l \geq 0 \):

\( \text{počet} = \frac{(8 – j + 3 – 1)!}{(8 – j)! (3 – 1)!} = \frac{(10 – j)!}{(8 – j)! 2!} \)

Pro \( j=0 \):

\( \frac{10!}{8! 2!} = \frac{3628800}{40320 \cdot 2} = 45 \)

Pro \( j=1 \):

\( \frac{9!}{7! 2!} = \frac{362880}{5040 \cdot 2} = 36 \)

Pro \( j=2 \):

\( \frac{8!}{6! 2!} = \frac{40320}{720 \cdot 2} = 28 \)

Celkový počet členů s \( j < 3 \) je:

\( 45 + 36 + 28 = 109 \)

Počet členů s \( j \geq 3 \) je tedy:

\( 165 – 109 = 56 \)

Tedy v rozvoji je \(56\) členů, kde mocnina proměnné \( b \) je alespoň \(3\).

Řešení příkladu:

Rozvoj \( (x + y + z)^5 \) obsahuje členy tvaru \( \frac{5!}{i! j! k!} x^i y^j z^k \) s \( i+j+k=5 \).

Chceme součet všech koeficientů u členů, kde \( i = 2 \), tedy \( j + k = 3 \).

Součet koeficientů těchto členů je

\( \sum_{j=0}^3 \frac{5!}{2! j! (3-j)!} \cdot 1^2 \cdot 1^j \cdot 1^{3-j} \)

Protože všechny proměnné mají koeficient \(1\), součet koeficientů odpovídá součtu multinomických koeficientů při fixním \( i=2 \).

Vypočítáme:

\( \frac{120}{2! j! (3-j)!} = \frac{120}{2 \cdot j! \cdot (3-j)!} = 60 \cdot \frac{1}{j! (3-j)!} \)

Pro \( j=0 \): \( \frac{1}{0! 3!} = \frac{1}{1 \cdot 6} = \frac{1}{6} \)

Pro \( j=1 \): \( \frac{1}{1! 2!} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} \)

Pro \( j=2 \): \( \frac{1}{2! 1!} = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \)

Pro \( j=3 \): \( \frac{1}{3! 0!} = \frac{1}{6 \cdot 1} = \frac{1}{6} \)

Součet těchto hodnot je:

\( 60 \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6}\right) = 60 \cdot \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) = 60 \cdot 1.5 = 90 \)

Součet všech koeficientů u členů s exponentem \( x \) rovný \(2\) je \(90\).

Řešení příkladu:

Podle multinomické věty je koeficient u členu \( a^2 b^3 c^4 d^1 \) dán výrazem

\( \frac{10!}{2! 3! 4! 1!} \cdot (1)^2 \cdot (-1)^3 \cdot (2)^4 \cdot (-3)^1 \)

Nejprve ověříme, že součet exponentů je 10:

\( 2 + 3 + 4 + 1 = 10 \Rightarrow \) platí.

Faktoriály:

\( 10! = 3628800, \quad 2! = 2, \quad 3! = 6, \quad 4! = 24, \quad 1! = 1 \)

Podíl faktoriálů je:

\( \frac{3628800}{2 \cdot 6 \cdot 24 \cdot 1} = \frac{3628800}{288} = 12600 \)

Mocniny koeficientů:

\( 1^2 = 1, \quad (-1)^3 = -1, \quad 2^4 = 16, \quad (-3)^1 = -3 \)

Výpočet koeficientu:

\( 12600 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot 16 \cdot (-3) = 12600 \cdot 48 = 604800 \)

Koeficient u \( a^2 b^3 c^4 d \) v rozvoji je \(604800\).

Řešení příkladu:

Počet různých členů odpovídá počtu netříděných 5-tic \( (i,j,k,l,m) \) s \( i+j+k+l+m=6 \) a \( i,j,k,l,m \geq 0 \).

Vzorec pro počet je:

\( \frac{(6+5-1)!}{6!(5-1)!} = \frac{10!}{6!4!} \)

Vypočítáme faktoriály:

\( 10! = 3628800, \quad 6! = 720, \quad 4! = 24 \)

Výpočet:

\( \frac{3628800}{720 \cdot 24} = \frac{3628800}{17280} = 210 \)

Rozvoj tedy obsahuje \(210\) různých členů.

Řešení příkladu:

Chceme najít koeficient u členu \( x^3 y^4 z^2 w^1 \) v rozvoji:

\( (2x – y + 3z + 4w)^{10} \).

Nejprve si označíme exponenty jednotlivých proměnných jako \( i, j, k, l \), kde

\( i = 3 \), \( j = 4 \), \( k = 2 \), \( l = 1 \).

Musí platit \( i + j + k + l = 10 \), což zde platí, protože \( 3 + 4 + 2 + 1 = 10 \).

Koeficient tohoto členu je dán multinomickým koeficientem a násobením příslušných mocnin koeficientů u jednotlivých proměnných:

Koeficient = \( \frac{10!}{3!4!2!1!} \cdot (2)^3 \cdot (-1)^4 \cdot (3)^2 \cdot (4)^1 \).

Vypočítáme jednotlivé části:

\( 10! = 3628800 \)

\( 3! = 6, \quad 4! = 24, \quad 2! = 2, \quad 1! = 1 \)

\( \frac{10!}{3!4!2!1!} = \frac{3628800}{6 \cdot 24 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{3628800}{288} = 12600 \)

\( (2)^3 = 8, \quad (-1)^4 = 1, \quad (3)^2 = 9, \quad (4)^1 = 4 \)

Nyní vynásobíme:

\( 12600 \cdot 8 \cdot 1 \cdot 9 \cdot 4 = 12600 \cdot 288 = 3628800 \)

Tedy koeficient u členu \( x^3 y^4 z^2 w^1 \) je \( 3628800 \).

Řešení příkladu:

Součet všech koeficientů v rozvoji výrazu \( (1 + 2x + 3y + 4z)^5 \) odpovídá hodnotě výrazu, když dosadíme za všechny proměnné hodnotu \(1\).

Tedy:

\( S = (1 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1)^5 = (1 + 2 + 3 + 4)^5 = (10)^5 = 100000 \).

Výsledkem je součet všech koeficientů, protože koeficienty se sčítají a proměnné jsou nahrazeny jedničkou.

Součet všech koeficientů v rozvoji je tedy \( 100000 \).

Řešení příkladu:

Máme výraz \( (x – 2y + 3z)^7 \) a chceme spočítat počet členů, ve kterých je exponent u \( y \) právě 2.

Označíme exponenty jako \( i, j, k \) pro \( x, y, z \), tedy:

\( i + j + k = 7 \), kde \( i,j,k \geq 0 \).

Podmínka je, že \( j = 2 \) (proměnná \( y \) je umocněna na 2).

Z toho plyne:

\( i + k = 7 – 2 = 5 \).

Počet členů s danou podmínkou je tedy počet nesetříděných dvojic \( (i,k) \) takových, že \( i,k \geq 0 \) a \( i + k = 5 \).

Počet těchto dvojic je \( 5 + 1 = 6 \), protože \( i \) může být 0,1,2,3,4 nebo 5 a \( k \) se určí jako \( 5 – i \).

Tedy počet členů, kde je proměnná \( y \) právě na druhou, je \(6\).