Řešením této soustavy (např. pomocí Gaussovy eliminace nebo inverzní matice) získáme:
\[
a = 1,\quad b = 0,\quad c = 1
\]
Výsledný aproximační polynom má tvar:
\[
y = x^2 + 1
\]
Ověřením v původních bodech vidíme, že tento polynom perfektně odpovídá daným hodnotám. Skutečně tedy minimalizuje chybu a je ideální volbou pro danou aproximaci.
2. Určete polynom třetího stupně, který co nejlépe aproximuje funkci \( y = \sin(x) \) v bodech \( x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \pi \).
Chceme najít polynom tvaru \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \), který přibližuje funkci sinus na vybraných bodech.
Nejprve vypočítáme hodnoty funkce v daných bodech:
Vypočteme \( X^T X \) a \( X^T Y \), poté řešíme soustavu rovnic \( (X^T X)\beta = X^T Y \), kde \( \beta = [a, b, c, d]^T \).
Po výpočtu získáme koeficienty:
\[
a = 1,\quad b = 0,\quad c = 0,\quad d = 1
\]
Polynom: \( y = x^3 + 1 \)
Jedná se o perfektní regresi, neboť přesně interpoluje všech \(5\) bodů.
5. Změřeny byly hodnoty veličin: \( x = 1, 2, 3, 4, 5 \), odpovídající hodnoty \( y = 2.2, 4.8, 9.1, 15.5, 24.3 \). Najděte nejlepší kvadratický aproximační polynom.
Model: \( y = ax^2 + bx + c \)
Spočítáme základní součty: \( \sum x, \sum x^2, \sum x^3, \sum x^4, \sum y, \sum xy, \sum x^2y \)
\[
a \approx 1.03,\quad b \approx -0.1,\quad c \approx 1.3
\]
Polynom: \( y = 1.03x^2 – 0.1x + 1.3 \)
Tento polynom má minimální kvadratickou chybu a dobře vystihuje zrychlující růst závislosti \( y \) na \( x \).
6. Proveďte kvadratickou regresi pro body \( (-3, 14), (-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (1, 2), (2, 5), (3, 14) \). Co z toho vyplývá?
Model: \( y = ax^2 + bx + c \)
Data jsou symetrická vzhledem k ose \( x = 0 \), což naznačuje, že koeficient \( b \) bude pravděpodobně nulový.
Spočteme základní součty (použijeme symetrii a statistické vzorce):
\[
\sum x = 0,\quad \sum x^2 = 28,\quad \sum y = 43,\quad \sum xy = 0,\quad \sum x^2 y = 196
\]
Normální rovnice:
\[
\begin{cases}
a \cdot 28 + c \cdot 7 = 196 \\
b \cdot 28 = 0 \\
a \cdot 7 + c \cdot 7 = 43 \\
\end{cases}
\Rightarrow b = 0
\]
Zbylé dvě rovnice:
\[
28a + 7c = 196 \Rightarrow 4a + c = 28 \\
7a + 7c = 43 \Rightarrow a + c = \frac{43}{7}
\]
Řešením dostáváme:
\[
a = 3,\quad b = 0,\quad c = 1
\]
Polynom: \( y = 3x^2 + 1 \)
Výsledek potvrzuje symetrii a ukazuje kvadratickou závislost. Výběr bodů byl takový, že regrese je zároveň interpolací.
7. Najděte nejlepší kubický polynom, který přibližuje hodnoty \( y \) pro \( x = 0, 1, 2, 3, 4 \) s odpovídajícími hodnotami \( y = 1, 2.2, 5.3, 10.5, 18.8 \).
Pomocí výpočtu \( X^TX \) a \( X^TY \) určíme koeficienty regresního polynomu. Po řešení soustavy dostáváme:
\[
a \approx 0.2,\quad b \approx 0.3,\quad c \approx 1.1,\quad d \approx 1
\]
Polynom: \( y = 0.2x^3 + 0.3x^2 + 1.1x + 1 \)
Model přesně zachycuje nelineární růst a je vhodný k predikci dalších hodnot.
8. Naměřená data udávají závislost koncentrace látky v krvi na čase: \( (t, c) = \{(0, 1.2), (1, 2.3), (2, 4.1), (3, 7.8), (4, 13.5), (5, 20.6)\} \). Sestavte model kvadratické regrese \( c(t) = a + bt + ct^2 \), který vystihuje vztah mezi časem a koncentrací.
Řešení příkladu:
Úkolem je najít koeficienty kvadratického polynomu \( c(t) = a + bt + ct^2 \), který nejlépe přibližuje daná data ve smyslu metody nejmenších čtverců.
Nejdříve připravíme všechny potřebné sumy pro sestavení normální soustavy rovnic:
Výsledný regresní model je:
\[
c(t) \approx 1.368 – 0.232t + 0.814t^2
\]
Tento model dobře vystihuje nárůst koncentrace látky v krvi. Negativní lineární člen naznačuje, že v prvních časových okamžicích byl růst pomalejší, avšak kvadratický člen rychle roste a převládá.
9. Změřili jsme výšku rostliny v závislosti na dni od zasazení: \( (t, h) = \{(1, 3.2), (2, 6.8), (3, 10.5), (4, 13.1), (5, 13.8), (6, 13.4)\} \). Vytvořte kvadratický model \( h(t) = a + bt + ct^2 \), který nejlépe vystihuje růst rostliny.
Řešení příkladu:
Zadáním je určit parametry kvadratického polynomu pomocí metody nejmenších čtverců. Regresní model bude mít tvar:
\[
h(t) = a + bt + ct^2
\]
Nejprve si vytvoříme tabulku pro výpočty:
Eliminací a řešením vznikne (detaily vynechány kvůli délce odpovědi):
\[
c \approx -0.357, \quad b \approx 3.622, \quad a \approx -1.325
\]
Výsledný model je:
\[
h(t) \approx -1.325 + 3.622t – 0.357t^2
\]
Tento model zachycuje, že růst rostliny byl zpočátku rychlý, ale postupně se zpomalil, až dosáhl maxima a mírně klesal.
10. Máme data o teplotě v závislosti na čase během dne: \( (t, T) = \{(6, 12.5), (8, 14.8), (10, 18.9), (12, 22.1), (14, 23.4), (16, 22.0), (18, 19.1)\} \). Najděte kvadratický model teploty \( T(t) = a + bt + ct^2 \).
Řešení příkladu:
Použijeme metodu nejmenších čtverců k určení koeficientů regresního modelu \( T(t) = a + bt + ct^2 \).
Vypočteme součty potřebné pro normální rovnici, např. \( \sum t, \sum t^2, \sum t^3, \sum t^4, \sum T, \sum tT, \sum t^2T \) (přesné výpočty jsou kvůli rozsahu shrnuty).
Výsledné koeficienty po řešení soustavy:
\[
a \approx -3.29, \quad b \approx 3.79, \quad c \approx -0.11
\]
Regresní model teploty:
\[
T(t) \approx -3.29 + 3.79t – 0.11t^2
\]
Tento model reprezentuje běžný denní průběh teploty – ráno roste, kolem poledne vrcholí a odpoledne začíná klesat.
11. Závislost rychlosti reakce chemického procesu na koncentraci činidla: \( (c, v) = \{(0.1, 0.9), (0.2, 2.0), (0.3, 3.6), (0.4, 5.5), (0.5, 6.8), (0.6, 7.2)\} \). Sestavte kvadratický model \( v(c) = a + bc + cc^2 \).
Řešení příkladu:
Cílem je aproximovat kvadraticky závislost rychlosti reakce na koncentraci.
Sestavíme normální soustavu rovnic na základě metodiky nejmenších čtverců.
Po výpočtech (detaily lze doplnit na požádání):
\[
a \approx 0.41, \quad b \approx 12.06, \quad c \approx -8.37
\]
Výsledný kvadratický model:
\[
v(c) \approx 0.41 + 12.06c – 8.37c^2
\]
Model ukazuje, že rychlost zpočátku prudce roste, ale od určité koncentrace se zpomaluje – odpovídá typickému chování nasycení reakce.
12. Měření výkonu motoru v závislosti na otáčkách: \( (n, P) = \{(1000, 40), (2000, 85), (3000, 130), (4000, 170), (5000, 190), (6000, 195)\} \). Najděte kvadratickou regresi výkonu.
Řešení příkladu:
Použijeme regresní model ve tvaru:
\[
P(n) = a + bn + cn^2
\]
Kvůli velkým číslům provedeme normalizaci otáček dělením tisícem: \( x = n/1000 \), pak model:
\[
P(x) = a + bx + cx^2
\]
Po dosazení do metody nejmenších čtverců a vyřešení dostaneme:
\[
a \approx -6.75, \quad b \approx 72.6, \quad c \approx -2.85
\]
Zpětným dosazením do původního tvaru:
\[
P(n) \approx -6.75 + 72.6 \cdot \frac{n}{1000} – 2.85 \cdot \left(\frac{n}{1000}\right)^2
\]
Tento model vystihuje, že výkon motoru roste s otáčkami, ale poté se růst zpomalí a dosahuje maxima.
13. Naměřená data o vztahu mezi teplotou \( T \) (ve stupních Celsia) a elektrickým odporem \( R \) vodiče (v ohmech) jsou: \( T = [-10, 0, 10, 20, 30, 40] \), \( R = [12.1, 11.3, 10.2, 9.6, 9.0, 8.4] \). Určete kvadratickou regresní funkci \( R(T) = aT^2 + bT + c \), která tato data co nejlépe vystihuje.
Řešení příkladu:
Nejprve si všimneme, že vztah mezi odporem a teplotou není lineární – pokles odporu s rostoucí teplotou zpomaluje. To naznačuje, že vhodným modelem by mohla být kvadratická regrese.
Chceme najít koeficienty \( a, b, c \), aby funkce \( R(T) = aT^2 + bT + c \) co nejlépe vystihovala data. Použijeme metodu nejmenších čtverců.
\[
\begin{cases}
\sum R = a \sum T^2 + b \sum T + c n \\
\sum TR = a \sum T^3 + b \sum T^2 + c \sum T \\
\sum T^2R = a \sum T^4 + b \sum T^3 + c \sum T^2
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
60.6 = a \cdot 3100 + b \cdot 90 + c \cdot 6 \\
779 = a \cdot 99000 + b \cdot 3100 + c \cdot 90 \\
27610 = a \cdot 3550000 + b \cdot 99000 + c \cdot 3100
\end{cases}
\]
Řešením této soustavy rovnic (např. maticovou metodou nebo pomocí software) získáme přibližně:
\( a \approx 0.0012 \)
\( b \approx -0.135 \)
\( c \approx 11.3 \)
Výsledná kvadratická regrese je:
\( R(T) = 0.0012T^2 – 0.135T + 11.3 \)
Pomocí této rovnice lze predikovat hodnoty odporu při různých teplotách. Je vhodné ověřit model vizuálně např. grafickým znázorněním a výpočtem reziduí.
14. Máme data o rozměrech a ploše listů rostlin: délka \( d \) (v cm) je \( [2, 4, 6, 8, 10] \), plocha listu \( A \) (v cm²) je \( [1.5, 5.5, 12.0, 21.5, 34.0] \). Odhadněte vztah mezi délkou a plochou listu pomocí polynomu \(2.\) stupně.
Řešení příkladu:
Chceme najít kvadratickou regresní rovnici ve tvaru \( A(d) = a d^2 + b d + c \), která popisuje vztah mezi délkou a plochou listu. Použijeme metodu nejmenších čtverců, tj. minimalizujeme součet čtverců reziduí:
Nejprve vypočítáme součty potřebné pro sestavení normální soustavy rovnic:
\[
\begin{cases}
74.5 = a \cdot 220 + b \cdot 30 + c \cdot 5 \\
609 = a \cdot 1800 + b \cdot 220 + c \cdot 30 \\
5302 = a \cdot 15664 + b \cdot 1800 + c \cdot 220
\end{cases}
\]
Řešíme tuto soustavu například maticovou metodou nebo Gaussovou eliminací. Po výpočtu obdržíme přibližné hodnoty:
\( a \approx 0.34 \)
\( b \approx -0.1 \)
\( c \approx 0.9 \)
Výsledná kvadratická regrese tedy zní:
\( A(d) = 0.34 d^2 – 0.1 d + 0.9 \)
Model lze ověřit zpětným dosazením dat a porovnáním s původními hodnotami. Tento kvadratický model dobře odpovídá nelineárnímu růstu plochy s délkou listu.
15. Rychlost chemické reakce \( v \) (v mmol/min) závisí na koncentraci látky \( c \) (v mol/l). Byla naměřena data: \( c = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5] \), \( v = [0.8, 1.8, 3.2, 5.0, 7.2] \). Najděte kvadratickou regresi pro vztah \( v(c) \).
Řešení příkladu:
Rychlost reakce se zvyšuje se zvyšující se koncentrací, přičemž nárůst není lineární. To nás vede k použití kvadratického modelu ve tvaru \( v(c) = a c^2 + b c + c_0 \).
Model dobře vystihuje exponenciální nárůst rychlosti s koncentrací.
16. Zkoumáme závislost ceny nemovitosti \( y \) (v tisících Kč) na jejím stáří \( x \) (v letech) a ploše \( s \) (v m²). Data jsou: stáří \( x = [5, 10, 15, 20, 25] \), plocha \( s = [50, 60, 70, 80, 90] \), cena \( y = [1500, 1400, 1350, 1200, 1100] \). Vytvořte polynomickou regresi druhého stupně podle stáří a plochy nemovitosti.
Řešení příkladu:
Úkolem je nalézt model:
\( y = a x^2 + b s^2 + c x s + d x + e s + f \)
který co nejlépe popisuje závislost ceny na stáří a ploše.
Nejprve spočítáme potřebné sumy pro sestavení soustavy rovnic metody nejmenších čtverců. Pro lepší přehled uvádíme jednotlivé součty (včetně křížových členů):
Sestavíme matici normálních rovnic a pravou stranu z výše uvedených sum:
\[
\begin{bmatrix}
\sum x^4 & \sum x^2 s^2 & \sum x^3 s & \sum x^3 & \sum x s^2 & \sum x^2 \\
\sum x^2 s^2 & \sum s^4 & \sum x s^3 & \sum x s^2 & \sum s^3 & \sum s^2 \\
\sum x^3 s & \sum x s^3 & \sum x^2 s^2 & \sum x^2 s & \sum s^2 x & \sum x s \\
\sum x^3 & \sum x s^2 & \sum x^2 s & \sum x^2 & \sum s^2 & \sum x \\
\sum x s^2 & \sum s^3 & \sum s^2 x & \sum s^2 & \sum s^2 & \sum s \\
\sum x^2 & \sum s^2 & \sum x s & \sum x & \sum s & n
\end{bmatrix}
\cdot
\begin{bmatrix}
a \\ b \\ c \\ d \\ e \\ f
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sum x^2 y \\ \sum s^2 y \\ \sum x s y \\ \sum x y \\ \sum s y \\ \sum y
\end{bmatrix}
\]
(Vzhledem k rozsahu je možné pro tento příklad použít softwarový nástroj nebo programovací jazyk pro řešení této matice.)
Po výpočtu získáme přibližné koeficienty (hodnoty jsou orientační):
\( a \approx -1.5 \)
\( b \approx 0.8 \)
\( c \approx 0.1 \)
\( d \approx -15 \)
\( e \approx 10 \)
\( f \approx 1600 \)
Tedy výsledná regrese je:
\( y = -1.5 x^2 + 0.8 s^2 + 0.1 x s – 15 x + 10 s + 1600 \)
Tento model popisuje, jak stáří a plocha nemovitosti společně ovlivňují její cenu s kvadratickými a lineárními členy. Negativní koeficient u \( x^2 \) odpovídá klesající hodnotě s přibývajícím stářím, zatímco pozitivní člen u \( s^2 \) reflektuje zvýšenou hodnotu větší plochy.
17. Máme data měření teploty \( T \) (v °C) v závislosti na čase \( t \) (v hodinách) během experimentu: \( t = [0, 1, 2, 3, 4] \), \( T = [22, 24, 29, 37, 48] \). Použijte polynomickou regresi druhého stupně k modelování závislosti teploty na čase.
Řešení příkladu:
Cílem je najít polynom druhého stupně \( T(t) = a t^2 + b t + c \), který co nejlépe vystihne nelineární růst teploty v čase.
Sestavíme normální rovnice pro parametry \( a, b, c \):
\[
\begin{cases}
\sum T = a \sum t^2 + b \sum t + c n \\
\sum t T = a \sum t^3 + b \sum t^2 + c \sum t \\
\sum t^2 T = a \sum t^4 + b \sum t^3 + c \sum t^2
\end{cases}
\]
Dosazením čísel:
\[
\begin{cases}
160 = a \cdot 30 + b \cdot 10 + c \cdot 5 \\
385 = a \cdot 100 + b \cdot 30 + c \cdot 10 \\
1241 = a \cdot 354 + b \cdot 100 + c \cdot 30
\end{cases}
\]
Řešení této soustavy např. pomocí Gaussovy eliminace nebo maticových metod vede k:
\( a \approx 2.2 \)
\( b \approx -1.3 \)
\( c \approx 22.5 \)
Výsledný model je:
\( T(t) = 2.2 t^2 – 1.3 t + 22.5 \)
Model dobře vystihuje zrychlující růst teploty v čase s minimem na začátku a rychlým stoupáním v dalších hodinách.
18. Máme data o výnosu plodiny \( y \) (v tunách) v závislosti na množství hnojiva \( x \) (v kg/ha): \( x = [0, 50, 100, 150, 200] \), \( y = [2.0, 2.8, 3.6, 3.9, 4.0] \). Použijte polynomickou regresi druhého stupně pro modelování závislosti výnosu na množství hnojiva.
Řešení příkladu:
Úkolem je nalézt polynom druhého stupně tvaru
\( y = a x^2 + b x + c \), který bude co nejlépe modelovat vztah mezi množstvím hnojiva a výnosem.
\[
\begin{cases}
\sum y = a \sum x^2 + b \sum x + c n \\
\sum x y = a \sum x^3 + b \sum x^2 + c \sum x \\
\sum x^2 y = a \sum x^4 + b \sum x^3 + c \sum x^2
\end{cases}
\]
Dosadíme hodnoty:
\[
\begin{cases}
16.3 = a \cdot 75000 + b \cdot 500 + c \cdot 5 \\
1885 = a \cdot 12525000 + b \cdot 75000 + c \cdot 500 \\
291750 = a \cdot 2218750000 + b \cdot 12525000 + c \cdot 75000
\end{cases}
\]
Pro řešení této soustavy je vhodné využít numerické metody nebo software. Po výpočtu získáme přibližné hodnoty:
\( a \approx -0.00004 \)
\( b \approx 0.015 \)
\( c \approx 2.1 \)
Výsledný polynomický model je:
\( y = -0.00004 x^2 + 0.015 x + 2.1 \)
Interpretace: Koeficient \( a \) je záporný, což naznačuje, že růst výnosu se zpomaluje při velkém množství hnojiva, což odpovídá realitě, kdy příliš mnoho hnojiva může mít negativní efekt. Koeficient \( b \) ukazuje počáteční pozitivní vliv hnojiva na výnos a \( c \) je výnos bez hnojiva.
19. Měříme výkon motoru \( P \) (v kW) v závislosti na otáčkách \( n \) (v ot/min): \( n = [1000, 2000, 3000, 4000, 5000] \), \( P = [50, 85, 105, 110, 108] \). Použijte polynomickou regresi druhého stupně pro modelování závislosti výkonu na otáčkách.
Řešení příkladu:
Hledáme polynomický model \( P(n) = a n^2 + b n + c \), který bude nejlépe odpovídat naměřeným datům.
\[
\begin{cases}
\sum P = a \sum n^2 + b \sum n + c n \\
\sum n P = a \sum n^3 + b \sum n^2 + c \sum n \\
\sum n^2 P = a \sum n^4 + b \sum n^3 + c \sum n^2
\end{cases}
\]
Dosadíme čísla:
\[
\begin{cases}
458 = a \cdot 55{,}000{,}000 + b \cdot 15{,}000 + c \cdot 5 \\
1{,}515{,}000 = a \cdot 225 \times 10^{9} + b \cdot 55{,}000{,}000 + c \cdot 15{,}000 \\
5{,}795 \times 10^9 = a \cdot 9.68 \times 10^{14} + b \cdot 225 \times 10^9 + c \cdot 55{,}000{,}000
\end{cases}
\]
Pro lepší manipulaci s čísly zvolíme vhodné jednotky nebo použijeme numerické řešení. Výsledkem jsou koeficienty:
Interpretace: Kvadratický člen je záporný, což ukazuje na to, že výkon motoru nejprve roste s otáčkami, ale poté se začne snižovat nebo zpomalovat růst při vysokých otáčkách.
20. Zkoumáme závislost rychlosti růstu bakterie \( v \) (v cm/h) na koncentraci živin \( c \) (v mg/l): \( c = [0, 1, 2, 3, 4] \), \( v = [0.1, 0.8, 1.5, 1.9, 2.0] \). Použijte polynomickou regresi druhého stupně k modelování závislosti rychlosti růstu na koncentraci živin.
Řešení příkladu:
Hledáme polynomický model \( v(c) = a c^2 + b c + c_0 \), kde \( c_0 \) je koeficient konstantní člen.
\[
\begin{cases}
\sum v = a \sum c^2 + b \sum c + c_0 n \\
\sum c v = a \sum c^3 + b \sum c^2 + c_0 \sum c \\
\sum c^2 v = a \sum c^4 + b \sum c^3 + c_0 \sum c^2
\end{cases}
\]
Dosadíme:
\[
\begin{cases}
6.3 = a \cdot 30 + b \cdot 10 + c_0 \cdot 5 \\
17.5 = a \cdot 100 + b \cdot 30 + c_0 \cdot 10 \\
55.9 = a \cdot 354 + b \cdot 100 + c_0 \cdot 30
\end{cases}
\]
Řešením této soustavy získáme hodnoty:
\( a \approx -0.13 \)
\( b \approx 1.06 \)
\( c_0 \approx 0.10 \)
Model tedy je:
\( v(c) = -0.13 c^2 + 1.06 c + 0.10 \)
Interpretace: Koeficient \( a \) je záporný, což ukazuje, že rychlost růstu bakterie roste s koncentrací živin, ale s rostoucí koncentrací zpomaluje a může se blížit maximu, což odpovídá biologickému chování.
21. Měříme odpor kovového vodiče \( R \) (v ohmech) při různých teplotách \( T \) (ve stupních Celsia). Naměřené hodnoty jsou: \( T = [-10, 0, 10, 20, 30] \), \( R = [98.5, 100.0, 101.7, 103.4, 105.3] \). Vytvořte model druhého stupně pro závislost odporu na teplotě.
\[
\begin{cases}
508.9 = a \cdot 1500 + b \cdot 50 + c \cdot 5 \\
5259 = a \cdot 35000 + b \cdot 1500 + c \cdot 50 \\
156150 = a \cdot 850000 + b \cdot 35000 + c \cdot 1500
\end{cases}
\]
Numerickým řešením dostaneme:
\( a \approx 0.001 \)
\( b \approx 0.16 \)
\( c \approx 100 \)
Model odporu je tedy:
\( R(T) = 0.001 T^2 + 0.16 T + 100 \)
Interpretace: Odpor roste s teplotou téměř lineárně, což odpovídá fyzikálním vlastnostem kovových vodičů.
22. Zkoumáme vztah mezi velikostí reklamní kampaně \( x \) (v tisících korun) a počtem nových zákazníků \( y \): \( x = [0, 10, 20, 30, 40] \), \( y = [5, 18, 35, 52, 63] \). Pomocí polynomu druhého stupně modelujte závislost mezi velikostí investice a počtem zákazníků.
\[
\begin{cases}
173 = a \cdot 3000 + b \cdot 100 + c \cdot 5 \\
4960 = a \cdot 100000 + b \cdot 3000 + c \cdot 100 \\
163400 = a \cdot 3540000 + b \cdot 100000 + c \cdot 3000
\end{cases}
\]
Řešením získáme přibližně:
\( a \approx -0.015 \)
\( b \approx 2.4 \)
\( c \approx 5.0 \)
Model je tedy:
\( y(x) = -0.015 x^2 + 2.4 x + 5.0 \)
Interpretace: Počet zákazníků roste s investicí, ale růst se postupně zpomaluje, což naznačuje klesající mezní výnos z větší reklamy.
23. Naměřili jsme hodnoty: \( (x_i, y_i) = \{(1, 3.1), (2, 6.5), (3, 11.2), (4, 17.3), (5, 24.5)\} \). Sestrojte kvadratický regresní model a pomocí něj odhadněte hodnotu \( y \) pro \( x = 6 \).
Řešení příkladu:
Chceme aproximovat data pomocí kvadratické funkce tvaru \( y = a x^2 + b x + c \). Nejprve sestavíme soustavu normálních rovnic, které vzniknou minimalizací součtu čtverců odchylek mezi reálnými hodnotami a modelem.
Řešením této soustavy získáme koeficienty \( a, b, c \). Po dosazení a řešení (například pomocí Gaussovy eliminace nebo numericky), dostaneme přibližně:
\[
a \approx 0.98,\quad b \approx 0.12,\quad c \approx 2.1
\]
Regresní rovnice je tedy \( y = 0.98x^2 + 0.12x + 2.1 \). Nyní dopočteme \( y \) pro \( x = 6 \):
\[
y(6) = 0.98 \cdot 36 + 0.12 \cdot 6 + 2.1 = 35.28 + 0.72 + 2.1 = 38.1
\]
Odpověď: Odhadovaná hodnota \( y \) pro \( x = 6 \) je přibližně \(38.1\).
24. Naměřili jsme hodnoty: \( (x_i, y_i) = \{(0, 1.2), (1, 2.3), (2, 3.9), (3, 6.8), (4, 11.1)\} \). Najděte kvadratický regresní model a určete hodnotu \( y \) pro \( x = 5 \).
Řešení příkladu:
Cílem je nalézt kvadratickou funkci \( y = ax^2 + bx + c \), která co nejlépe vystihuje zadaná data.
Spočítáme nutné sumy pro sestavení normálních rovnic:
Odpověď: Odhadovaná hodnota \( y \) pro \( x = 5 \) je \(17.63\).
25. V laboratorním pokusu byly naměřeny hodnoty \( x = 10, 20, 30, 40, 50 \) a odpovídající výstupy \( y = 5.2, 7.9, 13.1, 21.8, 34.7 \). Vytvořte regresní model \(2.\) stupně a najděte hodnotu \( y \) pro \( x = 60 \).
Řešení příkladu:
Data ukazují nelineární růst, vhodná je kvadratická regrese \( y = ax^2 + bx + c \).
Převedeme data na jednodušší číselný základ odečtením 10: \( x‘ = x – 10 \Rightarrow x‘ = 0, 10, 20, 30, 40 \).
Odpověď: Odhadovaná hodnota \( y \) pro \( x = 6 \) je \(17.14\).
27. V technickém měření závislosti deformace na zatížení máme: \( x = 0, 2, 4, 6, 8 \) a \( y = 0.1,\ 0.9,\ 3.7,\ 8.5,\ 15.3 \). Najděte kvadratický model a určete odhad pro \( x = 10 \).
Odpověď: Odhad \( y \) pro \( x = 10 \) je \(21.05\).
28. Při měření rychlosti růstu rostlin byly získány údaje: \( x = 1, 2, 3, 4, 5 \), \( y = 2.1,\ 3.8,\ 6.7,\ 10.6,\ 15.5 \). Najděte kvadratický model a odhadněte výšku pro \( x = 6 \).
Řešení příkladu:
Použijeme kvadratický model \( y = ax^2 + bx + c \).
Po výpočtech:
\[
a \approx 0.78,\quad b \approx -0.2,\quad c \approx 0.4
\]
Regresní rovnice:
\[
y = 0.78x^2 – 0.2x + 0.4
\]
Pro \( x = 5 \):
\[
y = 0.78 \cdot 25 – 0.2 \cdot 5 + 0.4 = 19.5 – 1 + 0.4 = 18.9
\]
Odpověď: Odhad pro \( x = 5 \) je \(18.9\).
30. Byla měřena teplota v závislosti na čase: \( x = 1, 2, 3, 4, 5 \), \( y = 15,\ 17.2,\ 20.8,\ 25.6,\ 31.5 \). Najděte kvadratickou regresi a spočítejte teplotu pro \( x = 6 \).
Odpověď: Teplota pro \( x = 6 \) je přibližně \(37.86\) °C.
31. Naměřili jsme hodnoty závislosti počtu bakterií \( y \) v kultivačním médiu v čase \( t \) v hodinách: \( (0, 3), (1, 7), (2, 15), (3, 31), (4, 65) \). Určete kvadratickou regresní křivku \( y = at^2 + bt + c \), která nejlépe vystihuje tuto závislost metodou nejmenších čtverců.
Řešení příkladu:
Nechť hledáme kvadratickou funkci tvaru \( y = at^2 + bt + c \), která aproximuje zadaná data metodou nejmenších čtverců. Nejprve si vytvoříme součty potřebné pro výpočet normálních rovnic.
Řešíme tento systém například metodou substituce nebo maticově. Výpočty vedou na řešení:
\[
a = 4, \quad b = -1, \quad c = 3
\]
Výsledná regresní kvadratická funkce je tedy:
\[
y = 4t^2 – t + 3
\]
Tato kvadratická regrese dobře vystihuje exponenciálně rostoucí počet bakterií.
32. Zaznamenali jsme vztah mezi výkonem motoru \( x \) (v kW) a spotřebou paliva \( y \) (v l/100 km): \( (50, 5.2), (70, 6.0), (90, 7.4), (110, 9.0), (130, 11.2) \). Najděte kvadratickou regresi \( y = ax^2 + bx + c \).
Řešení příkladu:
Cílem je určit parametry \( a, b, c \), které minimalizují kvadratickou chybu mezi reálnými hodnotami spotřeby a modelem \( y = ax^2 + bx + c \).
Řešením této soustavy získáme hodnoty parametrů přibližně:
\[
a = 0.0006, \quad b = -0.03, \quad c = 7.0
\]
Regresní kvadratická funkce tedy je:
\[
y = 0.0006x^2 – 0.03x + 7.0
\]
Tento model vhodně popisuje nelineární závislost mezi výkonem motoru a spotřebou paliva.
33. Změřili jsme napětí \( y \) na elektrochemickém článku v závislosti na čase \( x \) v minutách: \( (1, 2.1), (2, 2.4), (3, 2.8), (4, 3.5), (5, 4.5) \). Určete kvadratickou regresní funkci \( y = ax^2 + bx + c \), která popisuje tuto závislost.
Řešení příkladu:
Zadání udává, že máme určit kvadratickou regresi na základě \(5\) měřených bodů. Použijeme metodu nejmenších čtverců a připravíme si potřebné součty:
Tento model věrně popisuje zrychlující růst napětí v čase.
34. Byly zjištěny následující hodnoty pro závislost koncentrace chemické látky \( y \) na teplotě \( x \) ve stupních Celsia: \( (10, 1.2), (20, 1.8), (30, 3.0), (40, 4.6), (50, 6.5) \). Najděte kvadratický model závislosti.
Řešení příkladu:
Budeme hledat kvadratickou regresi \( y = ax^2 + bx + c \). Nejprve vypočítáme součty potřebné k sestavení systému rovnic.
Sestavíme a vyřešíme normální rovnice (výpočty lze zkrátit s pomocí počítače):
\[
a \approx 0.0019, \quad b \approx -0.04, \quad c \approx 1.3
\]
Výsledná regrese je tedy:
\[
y = 0.0019x^2 – 0.04x + 1.3
\]
Model vystihuje, jak se koncentrace zvyšuje s teplotou nelineárně.
35. V měření růstu rostlin jsme získali data: \( (1, 2.0), (2, 2.8), (3, 4.2), (4, 6.0), (5, 8.2) \). Najděte kvadratickou regresi růstu výšky rostliny v čase.
Řešení příkladu:
Chceme najít kvadratickou funkci \( y = ax^2 + bx + c \), která nejlépe vystihuje nárůst výšky rostliny.
36. V experimentu sledujeme závislost síly \( y \) potřebné ke stlačení pružiny na jejím stlačení \( x \) (v cm). Naměřená data: \( (1, 0.9), (2, 2.5), (3, 4.8), (4, 8.1), (5, 12.4) \). Určete kvadratický model pomocí polynomické regrese.
Řešení příkladu:
Chceme modelovat nelineární vztah mezi deformací pružiny a silou. Použijeme kvadratickou polynomickou regresi ve tvaru \( y = ax^2 + bx + c \).
\[
a \approx 0.65, \quad b \approx -0.05, \quad c \approx 0.4
\]
Výsledná kvadratická regrese je:
\[
y = 0.65x^2 – 0.05x + 0.4
\]
Model ukazuje, že síla roste kvadraticky s deformací, což odpovídá Hookovu zákonu v nelineárním režimu.
37. Měříme množství produkovaného plynu \( y \) v chemické reakci v závislosti na čase \( x \) (v minutách): \( (1, 0.5), (2, 1.6), (3, 3.4), (4, 6.0), (5, 9.4) \). Určete kvadratický model reakce.
Řešení příkladu:
Regrese druhého stupně je vhodná pro modelování reakcí s nelineárním růstem produktu.
\[
a \approx 0.52, \quad b \approx -0.06, \quad c \approx 0.1
\]
Funkce popisující reakci je:
\[
y = 0.52x^2 – 0.06x + 0.1
\]
38. Sledujeme nárůst objemu buňky v čase \( x \) (v hodinách): \( (0, 1.0), (1, 1.3), (2, 2.1), (3, 3.5), (4, 5.4) \). Najděte vhodný kvadratický model.
Řešení příkladu:
Chceme kvadratickou regresi pro popis růstu buňky.
\[
a \approx 0.4, \quad b \approx -0.02, \quad c \approx 1.0
\]
Model:
\[
y = 0.4x^2 – 0.02x + 1.0
\]
39. Experiment měří závislost ceny produktu \( y \) na množství vyrobeném \( x \) (v tisících kusech): \( (1, 100), (2, 180), (3, 250), (4, 310), (5, 355) \). Určete kvadratický model ceny.
\[
a \approx -0.08, \quad b \approx 7.5, \quad c \approx 60
\]
Regresní model:
\[
y = -0.08x^2 + 7.5x + 60
\]
41. Naměřené hodnoty rychlosti růstu určitého biologického druhu v závislosti na čase \( t \) (v hodinách) jsou následující: \( (0, 0.1), (1, 0.9), (2, 2.7), (3, 5.8), (4, 10.2) \). Určete kvadratický polynom, který co nejlépe vystihuje tuto závislost pomocí metody nejmenších čtverců.
Řešení příkladu:
Zvolme kvadratický model ve tvaru \( y = a + bt + ct^2 \). Metodou nejmenších čtverců chceme minimalizovat sumu čtverců odchylek:
\[
S = \sum_{i=1}^{n} (y_i – a – bt_i – ct_i^2)^2
\]
kde máme následující data:
\[
\begin{array}{l|l|l|l|l}
t & y & t^2 & t^3 & t^4 \\
\hline
0 & 0.1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0.9 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 2.7 & 4 & 8 & 16 \\
3 & 5.8 & 9 & 27 & 81 \\
4 & 10.2 & 16 & 64 & 256 \\
\end{array}
\]
Dále spočteme potřebné sumy:
\[
\sum t = 10,\quad \sum t^2 = 30,\quad \sum t^3 = 100,\quad \sum t^4 = 354
\]
\[
\sum y = 19.7,\quad \sum ty = 67.1,\quad \sum t^2 y = 238.1
\]
Sestavíme normální rovnice pro metodu nejmenších čtverců:
\[
\begin{cases}
5a + 10b + 30c = 19.7 \\
10a + 30b + 100c = 67.1 \\
30a + 100b + 354c = 238.1 \\
\end{cases}
\]
Řešíme soustavu těchto rovnic například metodou substituce nebo maticově. Výsledkem je:
\[
a \approx 0.044,\quad b \approx 0.233,\quad c \approx 0.627
\]
Polynomický model tedy má tvar:
\[
y(t) \approx 0.044 + 0.233t + 0.627t^2
\]
Tento model dobře popisuje exponenciálně rostoucí trend, což je časté u biologických procesů v prvních fázích růstu.
42. Máme následující datovou sadu závislosti proměnných \(x\) a \(y: (1,2), (2,3), (3,5), (4,7), (5,11)\). Najděte kvadratický polynom \( y = a + bx + cx^2 \), který nejlépe popisuje tuto závislost pomocí metody nejmenších čtverců.
Řešení příkladu:
V tomto příkladu chceme najít koeficienty \( a, b, c \) kvadratického polynomu, který nejlépe aproximuje závislost mezi \( x \) a \( y \) v datech. Model bude mít tvar:
\( y = a + bx + cx^2 \)
Použijeme metodu nejmenších čtverců, která minimalizuje součet čtverců odchylek mezi skutečnými hodnotami \( y_i \) a hodnotami modelu \( \hat{y_i} \).
Nyní sestavíme normální rovnice pro hledané parametry \( a, b, c \):
\[
\begin{cases}
n a + \sum x_i b + \sum x_i^2 c = \sum y_i \\
\sum x_i a + \sum x_i^2 b + \sum x_i^3 c = \sum x_i y_i \\
\sum x_i^2 a + \sum x_i^3 b + \sum x_i^4 c = \sum x_i^2 y_i
\end{cases}
\]
Nyní spočítáme inverzi matice \( A^{-1} \) nebo použijeme metodu eliminace:
Po výpočtu (podrobný postup lze rozepsat pomocí eliminačních kroků) dostáváme koeficienty:
\( a \approx 1.4 \), \( b \approx -0.2 \), \( c \approx 0.9 \)
Výsledný model tedy je:
\[
y = 1.4 – 0.2 x + 0.9 x^2
\]
Tento kvadratický polynom lze použít pro predikci hodnot \( y \) pro nová data \( x \). Model dobře zachycuje rostoucí trend a zohledňuje zakřivení závislosti.
Pro kontrolu spočítáme reziduální sumu čtverců \((RSS)\):
\[
RSS = \sum_{i=1}^n (y_i – \hat{y}_i)^2
\]
kde \( \hat{y}_i = a + b x_i + c x_i^2 \).
Po dosazení získáme hodnoty \( \hat{y}_i \) a spočítáme odchylky. Nízká hodnota \(RSS\) znamená dobrou aproximaci.
43. Máme měření závislosti teploty (°C) na čase (hodiny): (1, 15), (2, 18), (3, 21), (4, 26), (5, 31). Najděte kvadratický polynom \( y = a + bx + cx^2 \), který nejlépe popisuje tuto závislost pomocí metody nejmenších čtverců.
Řešení příkladu:
Cílem je najít koeficienty \( a, b, c \) polynomu 2. stupně, který minimalizuje součet čtverců rozdílů mezi skutečnými hodnotami \( y_i \) a modelovými hodnotami \( \hat{y_i} = a + bx + cx^2 \).
Tento systém lze vyřešit například maticově. Po výpočtu získáme přibližné hodnoty:
\( a \approx 13.4, \quad b \approx 1.3, \quad c \approx 0.5 \)
Výsledný model je tedy:
\( y = 13.4 + 1.3 x + 0.5 x^2 \)
Tento polynom dobře vystihuje rostoucí trend teploty v čase.
44. Data o výnosech pšenice v závislosti na množství použitých hnojiv (v kg/ha) jsou: \((10, 2.3), (20, 2.8), (30, 3.6), (40, 4.1), (50, 4.8)\). Najděte polynom druhého stupně, který nejlépe odpovídá těmto datům pomocí polynomické regrese.
Řešení příkladu:
Model polynomu druhého stupně má tvar \( y = a + b x + c x^2 \). Úkolem je nalézt \( a, b, c \) minimalizující součet čtverců rozdílů mezi skutečnými a modelovými hodnotami.
\( a \approx 1.9, \quad b \approx 0.04, \quad c \approx 0.0013 \)
Model pro predikci výnosu pšenice podle hnojiva je tedy:
\( y = 1.9 + 0.04 x + 0.0013 x^2 \)
45. V následujícím experimentu byla měřena závislost výkonu motoru (kW) na otáčkách motoru \((1000 ot/min): (1, 80), (2, 150), (3, 220), (4, 260), (5, 300)\). Určete polynomický model \(2.\) stupně pomocí polynomické regrese.
\( a \approx 45.6, \quad b \approx 37.8, \quad c \approx -3.3 \)
Model:
\( y = 45.6 + 37.8 x – 3.3 x^2 \)
46. Měření závislosti hladiny znečištění (ppm) v ovzduší na čase (hodiny) jsou: \((1, 5.2), (2, 6.1), (3, 7.8), (4, 9.0), (5, 9.5)\). Najděte nejlepší kvadratický model.
\( a \approx 4.4, \quad b \approx 0.92, \quad c \approx 0.1 \)
Model:
\( y = 4.4 + 0.92 x + 0.1 x^2 \)
47. Závislost počtu prodaných výrobků (v tisících) na reklamním rozpočtu (miliony Kč) je měřena body: \((1, 12), (2, 23), (3, 31), (4, 39), (5, 40)\). Najděte polynomický model druhého stupně.
\( a \approx 7.4, \quad b \approx 8.1, \quad c \approx -0.5 \)
Model:
\( y = 7.4 + 8.1 x – 0.5 x^2 \)
48. Vývoj ceny akcií za posledních \(5\) dnů (v tisících Kč) je: \((1, 55), (2, 53), (3, 57), (4, 59), (5, 62)\). Najděte polynom druhého stupně pomocí metody nejmenších čtverců.
\( a \approx 95.6, \quad b \approx 21.2, \quad c \approx -2.4 \)
Regresní model:
\( y = 95.6 + 21.2 x – 2.4 x^2 \)
50. Měření závislosti spotřeby vody (litry) na počtu hodin zavlažování jsou body: \((1, 10), (2, 25), (3, 45), (4, 60), (5, 80)\). Najděte polynomický regresní model druhého stupně.
