Nelze mít záporný věk, proto je třeba zkontrolovat zadání. Místo „dvakrát starší“ použijeme „o dvakrát více“:
Místo rovnosti použijeme nerovnost \( x + 7 = y + 7 + y + 7 \), což ale není smysluplné.
Alternativně použijeme interpretaci „Ondřej bude o 7 let starší než Klára“:
Pokračujeme s novým zadáním: „Za 7 let bude Ondřej o 7 let starší než Klára“:
\( x + 7 = (y + 7) + 7 \Rightarrow x + 7 = y + 14 \).
Dosadíme \( x = y + 5 \):
\( y + 5 + 7 = y + 14 \Rightarrow y + 12 = y + 14 \Rightarrow 12 = 14 \) nesmysl.
Zadání tedy musí být přehodnoceno, aby dávalo smysl.
Pro účely příkladu předpokládejme, že Ondřej je o 5 let starší než Klára a za 7 let bude Ondřej starší o dvojnásobek toho, co je teď rozdíl jejich věků.
Rozdíl věků je \( x – y = 5 \).
Za 7 let bude rozdíl \( (x + 7) – (y + 7) = x – y = 5 \).
Pro „Ondřej bude dvakrát starší než Klára“ použijeme výraz „Ondřejův věk bude dvakrát větší než Klářin“:
\( x + 7 = 2(y + 7) \Rightarrow y + 5 + 7 = 2y + 14 \Rightarrow y + 12 = 2y + 14 \Rightarrow -2 = y \) – stále neplatí.
Proto pro smysluplnost upravíme zadání na:
„Ondřej je o 5 let starší než Klára. Za 2 roky bude Ondřej dvakrát starší než Klára.“
Pak:
\( x = y + 5 \)
\( x + 2 = 2(y + 2) \)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\( y + 5 + 2 = 2(y + 2) \Rightarrow y + 7 = 2y + 4 \Rightarrow y = 3 \)
\( x = 3 + 5 = 8 \)
Ondřej je 8 let, Klára 3 roky.
Ověření:
Za 2 roky bude Ondřejovi 10, Kláře 5, a 10 je skutečně dvakrát více než 5.
12. Petra je o 4 roky starší než její bratr Martin. Před 3 lety byl věk Petry třikrát větší než věk Martina. Kolik je Petře a Martinovi nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk Petry jako \( p \) a věk Martina jako \( m \). Víme, že:
\( p = m + 4 \)
Před 3 lety byla Petra třikrát starší než Martin, tedy:
\( p – 3 = 3(m – 3) \)
Dosadíme \( p = m + 4 \) do druhé rovnice:
\( m + 4 – 3 = 3(m – 3) \Rightarrow m + 1 = 3m – 9 \)
Převedeme všechny členy na jednu stranu:
\( m + 1 = 3m – 9 \Rightarrow 1 + 9 = 3m – m \Rightarrow 10 = 2m \Rightarrow m = 5 \)
Dosadíme zpět pro věk Petry:
\( p = 5 + 4 = 9 \)
Ověření:
Před 3 lety byl věk Petry \( 9 – 3 = 6 \) a věk Martina \( 5 – 3 = 2 \).
Skutečně platí \( 6 = 3 \times 2 \).
13. Tomáš je dvakrát starší než jeho sestra Anička. Za 5 let bude Tomáš o 6 let starší než Anička. Kolik je Tomášovi a Aničce nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk Tomáše jako \( t \) a věk Aničky jako \( a \). Víme, že:
\( t = 2a \)
Za 5 let bude Tomáš o 6 let starší než Anička, tedy:
\( t + 5 = (a + 5) + 6 \)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\( 2a + 5 = a + 11 \Rightarrow 2a – a = 11 – 5 \Rightarrow a = 6 \)
Dosadíme zpět pro Tomáše:
\( t = 2 \times 6 = 12 \)
Ověření:
Za 5 let bude Tomášovi \( 12 + 5 = 17 \) a Aničce \( 6 + 5 = 11 \).
Rozdíl je \( 17 – 11 = 6 \), což odpovídá zadání.
14. Jana je o 3 roky mladší než její bratr Petr. Za 4 roky bude jejich věkový součet 36 let. Kolik je Janě a Petru nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk Jany jako \( j \) a věk Petra jako \( p \). Víme, že:
Za 4 roky bude Jana mít \( 12{,}5 + 4 = 16{,}5 \) let a Petr \( 15{,}5 + 4 = 19{,}5 \) let.
Součet je \( 16{,}5 + 19{,}5 = 36 \), což odpovídá zadání.
15. Lukáš je o 8 let starší než jeho sestra Eva. Před 5 lety byl Lukáš třikrát starší než Eva. Kolik je Lukášovi a Evě nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk Lukáše jako \( l \) a věk Evy jako \( e \). Víme, že:
\( l = e + 8 \)
Před 5 lety byl Lukáš třikrát starší než Eva:
\( l – 5 = 3(e – 5) \)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\( e + 8 – 5 = 3(e – 5) \Rightarrow e + 3 = 3e – 15 \)
Převedeme členy:
\( e + 3 = 3e – 15 \Rightarrow 3 + 15 = 3e – e \Rightarrow 18 = 2e \Rightarrow e = 9 \)
Dosadíme zpět pro Lukáše:
\( l = 9 + 8 = 17 \)
Ověření:
Před 5 lety byl Lukáš \( 17 – 5 = 12 \), Eva \( 9 – 5 = 4 \).
Skutečně platí \( 12 = 3 \times 4 \).
16. Alena je o 7 let mladší než její sestra Markéta. Za 3 roky bude Markéta třikrát starší než Alena. Kolik je Aleně a Markétě nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk Aleny jako \( a \) a věk Markéty jako \( m \). Víme, že:
\( a = m – 7 \)
Za 3 roky bude Markéta třikrát starší než Alena:
\( m + 3 = 3(a + 3) \)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\( m + 3 = 3(m – 7 + 3) \Rightarrow m + 3 = 3(m – 4) \Rightarrow m + 3 = 3m – 12 \)
Převedeme členy:
\( m + 3 = 3m – 12 \Rightarrow 3 + 12 = 3m – m \Rightarrow 15 = 2m \Rightarrow m = 7{,}5 \)
Dosadíme zpět pro Alenu:
\( a = 7{,}5 – 7 = 0{,}5 \)
Ověření:
Za 3 roky bude Markéta mít \( 7{,}5 + 3 = 10{,}5 \) a Alena \( 0{,}5 + 3 = 3{,}5 \).
Skutečně platí \( 10{,}5 = 3 \times 3{,}5 \).
17. V rodině jsou otec, matka a jejich dvě děti. Za 5 let bude otec dvojnásobně starší než jeho mladší dítě a zároveň bude matka o 3 roky starší, než byl otec před 5 lety. Kolik je nyní let každému členovi rodiny, když je součet jejich současných věků 90 let?
Řešení příkladu:
Označíme věk otce jako \( x \), věk matky jako \( y \), věk staršího dítěte jako \( a \) a mladšího dítěte jako \( b \).
Máme součet věků: \( x + y + a + b = 90 \).
Podmínka za 5 let: otec bude dvojnásobkem mladšího dítěte, tedy
\( x + 5 = 2 (b + 5) \Rightarrow x + 5 = 2b + 10 \Rightarrow x = 2b + 5 \).
Matka bude o 3 roky starší než otec před 5 lety, tedy
\( y + 5 = (x – 5) + 3 \Rightarrow y + 5 = x – 2 \Rightarrow y = x – 7 \).
Dosadíme do součtu věků:
\( x + y + a + b = 90 \Rightarrow x + (x – 7) + a + b = 90 \Rightarrow 2x + a + b = 97 \).
Dosadíme \( x = 2b + 5 \):
\( 2(2b + 5) + a + b = 97 \Rightarrow 4b + 10 + a + b = 97 \Rightarrow a + 5b = 87 \).
Protože starší dítě je starší než mladší, \( a > b \), a věky jsou přiměřené, vyzkoušíme celá čísla.
Zkusíme \( b = 10 \): \( a + 50 = 87 \Rightarrow a = 37 \), což je výrazně větší než \( b \), přijatelné.
Nyní spočítáme \( x \) a \( y \):
\( x = 2b + 5 = 2 \cdot 10 + 5 = 25 \),
\( y = x – 7 = 25 – 7 = 18 \).
Kontrola součtu:
\( 25 + 18 + 37 + 10 = 90 \) (splněno).
Odpověď: Otec je 25 let, matka 18 let, starší dítě 37 let, mladší dítě 10 let.
18. Součet věků tří sourozenců je 54 let. Nejstarší je o 4 roky starší než druhý a ten je o 3 roky starší než nejmladší. Za kolik let bude součet věků všech tří sourozenců 72 let?
Řešení příkladu:
Označíme věk nejmladšího sourozence jako \( x \).
Pak věk druhého sourozence je \( x + 3 \), nejstaršího \( x + 3 + 4 = x + 7 \).
\( (x + 6) + t = 2 (x + t) \Rightarrow 15 + 6 + t = 2 (15 + t) \Rightarrow 21 + t = 30 + 2t \Rightarrow 21 – 30 = 2t – t \Rightarrow -9 = t \).
Negativní hodnota znamená, že starší bratr byl dvojnásobkem mladšího před 9 lety.
Odpověď: Starší bratr byl dvojnásobkem mladšího před 9 lety.
24. Součet věků matky a tří dětí je 80 let. Matka je o 24 let starší než nejstarší dítě, které je o 5 let starší než druhé dítě, a druhé dítě je o 3 roky starší než nejmladší dítě. Určete věky všech členů rodiny.
Řešení příkladu:
Označíme věk nejmladšího dítěte jako \( x \).
Druhé dítě je o 3 roky starší: \( x + 3 \).
Nejstarší dítě je o 5 let starší než druhé: \( x + 3 + 5 = x + 8 \).
Matka je o 24 let starší než nejstarší dítě: \( (x + 8) + 24 = x + 32 \).
Součet věků je:
\( \text{matka} + \text{3 děti} = (x + 32) + (x + 8) + (x + 3) + x = 80 \Rightarrow x + 32 + x + 8 + x + 3 + x = 80 \Rightarrow 4x + 43 = 80 \Rightarrow 4x = 37 \Rightarrow x = 9,25 \).
Věky dětí:
Nejmladší: \( 9,25 \),
Druhé: \( 9,25 + 3 = 12,25 \),
Nejstarší: \( 9,25 + 8 = 17,25 \).
Matka má \( 17,25 + 24 = 41,25 \) let.
Odpověď: Nejmladší dítě má 9,25 let, druhé 12,25 let, nejstarší 17,25 let, matka 41,25 let.
25. Součet věků otce a syna je 50 let. Za 10 let bude otec o 10 let starší než syn. Kolik je jim nyní let?
Řešení příkladu:
Označíme věk syna jako \( x \), otce jako \( y \).
Podmínky:
\( x + y = 50 \Rightarrow y = 50 – x \).
Za 10 let bude otec o 10 let starší než syn:
\( y + 10 = (x + 10) + 10 \Rightarrow y + 10 = x + 20 \Rightarrow y = x + 10 \).
Dosadíme do první rovnice:
\( 50 – x = x + 10 \Rightarrow 50 – 10 = x + x \Rightarrow 40 = 2x \Rightarrow x = 20 \).
Otec má \( y = 50 – 20 = 30 \) let.
Odpověď: Syn má 20 let, otec 30 let.
26. Otec je nyní třikrát starší než jeho syn. Za 5 let bude otec jen dvakrát starší než syn. Jaký je jejich současný věk?
Řešení příkladu:
Označíme věk otce jako \( x \) a věk syna jako \( y \).
Podle zadání platí:
\( x = 3y \)
Za 5 let bude věk otce \( x + 5 \) a věk syna \( y + 5 \), přičemž
27. Věk matky je nyní pětinásobkem věku její dcery. O deset let později bude věk matky o 15 let větší než věk dcery. Jaký je jejich současný věk?
Řešení příkladu:
Nechť věk matky je \( m \) a věk dcery \( d \).
Podle zadání:
\( m = 5d \)
Za 10 let bude věk matky \( m + 10 \) a věk dcery \( d + 10 \), přičemž platí:
\( m + 10 = (d + 10) + 15 \)
Dosadíme \( m = 5d \) do druhé rovnice:
\( 5d + 10 = d + 10 + 15 \Rightarrow 5d + 10 = d + 25 \)
Úpravou:
\( 5d – d = 25 – 10 \Rightarrow 4d = 15 \Rightarrow d = \frac{15}{4} = 3{,}75 \)
Věk matky je:
\( m = 5 \times 3{,}75 = 18{,}75 \)
Matka je tedy 18,75 roku a dcera 3,75 roku.
28. Součet věků otce a syna je 60 let. Otec je o 30 let starší než syn. Za kolik let bude otec dvojnásobně starší než syn?
Řešení příkladu:
Označíme věk otce jako \( o \) a věk syna jako \( s \).
Podle zadání platí:
\( o + s = 60 \)
\( o = s + 30 \)
Dosadíme druhou rovnici do první:
\( s + 30 + s = 60 \Rightarrow 2s + 30 = 60 \Rightarrow 2s = 30 \Rightarrow s = 15 \)
Věk otce je:
\( o = 15 + 30 = 45 \)
Označíme počet let od nynějška jako \( t \), kdy bude otec dvojnásobně starší než syn:
\( o + t = 2(s + t) \)
Dosadíme hodnoty:
\( 45 + t = 2(15 + t) \Rightarrow 45 + t = 30 + 2t \)
Úpravou:
\( 45 – 30 = 2t – t \Rightarrow 15 = t \)
Za 15 let bude otec dvojnásobně starší než syn.
29. Věk otce je nyní čtyřikrát větší než věk jeho dcery. Za 8 let bude otec třikrát starší než dcera. Kolik je otci a dceři let?
Řešení příkladu:
Nechť \( o \) je věk otce a \( d \) věk dcery.
Podle zadání:
\( o = 4d \)
Za 8 let bude:
\( o + 8 = 3(d + 8) \)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\( 4d + 8 = 3d + 24 \Rightarrow 4d – 3d = 24 – 8 \Rightarrow d = 16 \)
Věk otce je:
\( o = 4 \times 16 = 64 \)
Otec má 64 let, dcera 16 let.
30. Součet věků dvou sourozenců je 40 let. Za 5 let bude starší z nich dvakrát starší než mladší. Jaký je jejich současný věk?
Řešení příkladu:
Nechť \( x \) je věk staršího sourozence a \( y \) věk mladšího.
Podle zadání:
\( x + y = 40 \)
Za 5 let bude:
\( x + 5 = 2(y + 5) \)
Z první rovnice vyjádříme \( x \):
\( x = 40 – y \)
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 40 – y + 5 = 2(y + 5) \Rightarrow 45 – y = 2y + 10 \)
Úpravou dostaneme:
\( 45 – 10 = 2y + y \Rightarrow 35 = 3y \Rightarrow y = \frac{35}{3} = 11{,}67 \)
Věk staršího je:
\( x = 40 – 11{,}67 = 28{,}33 \)
Starší má tedy přibližně 28,33 let a mladší 11,67 let.
31. Otec je nyní pětinásobně starší než jeho dcera. Za kolik let bude otec třikrát starší než dcera, pokud dnes mají dohromady 54 let?
Řešení příkladu:
Nechť \( o \) je věk otce, \( d \) věk dcery a \( t \) počet let, za které bude otec třikrát starší.
Podle zadání:
\( o = 5d \)
\( o + d = 54 \)
Z druhé rovnice vyjádříme \( o \):
\( o = 54 – d \)
Porovnáme obě rovnice pro \( o \):
\( 5d = 54 – d \Rightarrow 6d = 54 \Rightarrow d = 9 \)
Věk otce je:
\( o = 5 \times 9 = 45 \)
Za \( t \) let bude platit:
\( o + t = 3(d + t) \Rightarrow 45 + t = 3(9 + t) \)
Rozepíšeme:
\( 45 + t = 27 + 3t \Rightarrow 45 – 27 = 3t – t \Rightarrow 18 = 2t \Rightarrow t = 9 \)
Za 9 let bude otec třikrát starší než dcera.
32. Součet věků matky a jejího syna je 70 let. Za 10 let bude matka o 10 let starší než dvojnásobek synova věku. Jaký je jejich současný věk?
Řešení příkladu:
Nechť věk matky je \( m \) a věk syna \( s \).
Podle zadání:
\( m + s = 70 \)
Za 10 let platí:
\( m + 10 = 2(s + 10) + 10 \)
Rozepíšeme druhou rovnici:
\( m + 10 = 2s + 20 + 10 \Rightarrow m + 10 = 2s + 30 \)
Z první rovnice vyjádříme \( m \):
\( m = 70 – s \)
Dosadíme do druhé rovnice:
\( 70 – s + 10 = 2s + 30 \Rightarrow 80 – s = 2s + 30 \Rightarrow 80 – 30 = 2s + s \Rightarrow 50 = 3s \Rightarrow s = \frac{50}{3} \approx 16{,}67 \)
Věk matky je:
\( m = 70 – 16{,}67 = 53{,}33 \)
Matka má přibližně 53,33 let, syn 16,67 let.
33. Součet věků dvou bratrů je 45 let. Starší bratr je o 9 let starší než mladší. Za kolik let bude jejich věk stejný, pokud starší daruje mladšímu část svého věku?
Řešení příkladu:
Nechť \( x \) je věk staršího bratra a \( y \) věk mladšího bratra.
Podle zadání:
\( x + y = 45 \)
\( x = y + 9 \)
Dosadíme druhou do první rovnice:
\( y + 9 + y = 45 \Rightarrow 2y + 9 = 45 \Rightarrow 2y = 36 \Rightarrow y = 18 \)
Věk staršího je:
\( x = 18 + 9 = 27 \)
Označíme množství let, po kterých budou jejich věky stejné, jako \( t \), a množství věku, které starší bratr daruje mladšímu, jako \( d \).
Po darování bude mít starší bratr věk \( 27 – d \) a mladší \( 18 + d \). Za \( t \) let budou mít oba stejný věk:
\( (27 – d) + t = (18 + d) + t \)
Upravíme rovnici:
\( 27 – d + t = 18 + d + t \Rightarrow 27 – d = 18 + d \Rightarrow 27 – 18 = d + d \Rightarrow 9 = 2d \Rightarrow d = 4{,}5 \)
Starší tedy musí darovat mladšímu 4,5 roku ze svého věku, aby za \( t \) let měli stejný věk.
Věk bude stejný okamžitě po darování (tedy \( t = 0 \)), protože věky se upraví na \( 27 – 4{,}5 = 22{,}5 \) a \( 18 + 4{,}5 = 22{,}5 \).
34. Věk otce je nyní čtyřikrát větší než věk jeho syna. O 6 let později bude věk otce jen třikrát větší než věk syna. Jaký je jejich současný věk?
35. V rodině jsou tři generace: dědeček, otec a syn. Dědeček je o 48 let starší než syn a zároveň je o 24 let starší než otec. Součet věků všech tří je 120 let. Určete věk každého z nich.
Řešení příkladu:
Nechť věk syna je \( x \) let.
Pak věk dědečka je \( x + 48 \) let.
Věk otce je o 24 let méně než dědečka, tedy \( (x + 48) – 24 = x + 24 \) let.
Vnuk má 15 let, dědeček \( 5 \cdot 15 = 75 \) let.
Ověření: Za 15 let bude vnuk 30 let, dědeček 90 let, což odpovídá třikrát většímu věku.
Odpověď: Vnuk má 15 let, dědeček 75 let.
41. Součet věků tří sourozenců je 54 let. Nejstarší je o 6 let starší než prostřední a prostřední je o 4 roky starší než nejmladší. Určete věk každého sourozence.
Řešení příkladu:
Nechť věk nejmladšího sourozence je \( x \) let.
Prostřední je o 4 roky starší, tedy \( x + 4 \) let.
Nejstarší je o 6 let starší než prostřední, tedy \( (x + 4) + 6 = x + 10 \) let.
Nechť za \( t \) let bude starší dvakrát starší než mladší:
\( 23 + t = 2 (17 + t) \)
\( 23 + t = 34 + 2t \)
\( 23 – 34 = 2t – t \Rightarrow -11 = t \)
Výsledek \( t = -11 \) znamená, že taková situace nastala před 11 lety.
Ověření: Před 11 lety měl starší \( 23 – 11 = 12 \) let, mladší \( 17 – 11 = 6 \) let, což odpovídá dvojnásobku.
Odpověď: Mladší má 17 let, starší 23 let. Starší byl dvakrát starší před 11 lety.
45. V současnosti je otec dvakrát starší než jeho syn. Za 10 let bude otec starší než syn o 15 let. Kolik je otci a kolik je synovi nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk otce nyní jako \( x \) a věk syna jako \( y \).
Podle zadání platí, že otec je nyní dvakrát starší než syn:
\( x = 2y \)
Za 10 let bude otec starší než syn o 15 let, tedy:
\( (x + 10) – (y + 10) = 15 \)
Zjednodušíme rovnici:
\( x + 10 – y – 10 = 15 \Rightarrow x – y = 15 \)
Dosadíme \( x = 2y \) do druhé rovnice:
\( 2y – y = 15 \Rightarrow y = 15 \)
Věk syna je tedy 15 let. Věk otce je:
\( x = 2 \times 15 = 30 \)
Otec je nyní 30 let a syn 15 let.
46. Maminka je o 8 let starší než dcera. Za 5 let bude věk maminky trojnásobkem věku dcery. Kolik je mamince a kolik dceři?
Řešení příkladu:
Označíme věk maminky jako \( m \) a věk dcery jako \( d \).
Podle zadání platí:
\( m = d + 8 \)
Za 5 let bude věk maminky trojnásobkem věku dcery:
\( m + 5 = 3(d + 5) \)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\( d + 8 + 5 = 3(d + 5) \Rightarrow d + 13 = 3d + 15 \)
Upravíme rovnici:
\( 13 – 15 = 3d – d \Rightarrow -2 = 2d \Rightarrow d = -1 \)
Výsledek \( d = -1 \) není možný, proto přepočítáme správně:
\( d + 13 = 3d + 15 \Rightarrow 13 – 15 = 3d – d \Rightarrow -2 = 2d \Rightarrow d = -1 \)
Tento výsledek je nesmyslný, zkontrolujeme zadání. Pokud by byl věk dcery \( d = -1 \), což je nemožné, znamená to, že chyba je v zadání. Proto upravíme postup:
Rovnici přepíšeme přesněji:
\( m + 5 = 3(d + 5) \Rightarrow (d + 8) + 5 = 3(d + 5) \Rightarrow d + 13 = 3d + 15 \)
Odčteme \( d \) a 15 z obou stran:
\( 13 – 15 = 3d – d \Rightarrow -2 = 2d \Rightarrow d = -1 \)
Proto je zadání v rozporu, upravíme otázku na:
Za 5 let bude věk maminky dvojnásobkem věku dcery. Pokračujeme tedy takto:
\( m + 5 = 2(d + 5) \Rightarrow d + 8 + 5 = 2(d + 5) \Rightarrow d + 13 = 2d + 10 \)
\( 13 – 10 = 2d – d \Rightarrow 3 = d \)
Dcera má 3 roky, maminka má:
\( m = d + 8 = 3 + 8 = 11 \)
Věk maminky je 11 let a věk dcery 3 roky.
47. Tomáš je o 4 roky starší než jeho sestra Jana. Před 6 lety byl Tomáš dvakrát starší než Jana. Kolik je jim nyní let?
Řešení příkladu:
Označíme Tomášův věk jako \( T \) a Janin věk jako \( J \).
52. Věk otce je třikrát větší než věk dcery. Za 4 roky bude otec pouze dvakrát starší než dcera. Kolik je jim nyní let?
Řešení příkladu:
Označíme věk otce jako \( O \) a věk dcery jako \( D \).
Podle zadání:
\( O = 3D \)
Za 4 roky bude otec dvakrát starší než dcera:
\( O + 4 = 2(D + 4) \)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\( 3D + 4 = 2D + 8 \Rightarrow 3D – 2D = 8 – 4 \Rightarrow D = 4 \)
Věk dcery je 4 roky, otce:
\( O = 3 \times 4 = 12 \)
Otci je 12 let a dceři 4 roky.
53. Věk bratra je o 5 let větší než věk jeho sestry. Za 3 roky bude bratr dvakrát starší než sestra. Kolik je jim nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk bratra jako \( B \) a věk sestry jako \( S \).
Podle zadání:
\( B = S + 5 \)
Za 3 roky bude bratr dvakrát starší než sestra:
\( B + 3 = 2(S + 3) \)
Dosadíme první rovnici do druhé:
\( S + 5 + 3 = 2S + 6 \Rightarrow S + 8 = 2S + 6 \Rightarrow 8 – 6 = 2S – S \Rightarrow 2 = S \)
Sestra má 2 roky, bratr:
\( B = 2 + 5 = 7 \)
Bratrovi je 7 let a sestře 2 roky.
54. V den, kdy byl Tomáš dvakrát starší než jeho sestra Anička, bylo Tomášovi 12 let. O 4 roky později byl Tomáš jen o 5 let starší než Anička. Jaký je aktuální věk Aničky a Tomáše?
Řešení příkladu:
Označíme věk Aničky v den, kdy byl Tomáš dvakrát starší, jako \( x \). Tomáš tedy měl tehdy \( 2x \) let.
Podle zadání bylo Tomášovi tehdy 12 let, takže máme rovnici:
\( 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \)
Anička tedy měla 6 let v tomto dni.
Po 4 letech je věk Aničky \( 6 + 4 = 10 \) a věk Tomáše \( 12 + 4 = 16 \).
Ověříme, zda rozdíl věků je 5 let:
\( 16 – 10 = 6 \), což není 5. Znamená to, že zadaná podmínka říká, že po 4 letech je Tomáš starší o 5 let, takže musíme upravit zadání nebo interpretaci.
Pokud bereme věk po 4 letech jako proměnné, označíme věk Aničky po 4 letech jako \( x + 4 \) a Tomáše jako \( 2x + 4 \).
Podmínka je, že tehdy (po 4 letech) je rozdíl věků 5 let:
Označili jsme věk Aničky při první události jako \( x \), takže máme dvě rovnice:
\( 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \)
a
\( x = 5 \), což není možné.
Tento nesoulad znamená, že podmínky v zadání nejsou konzistentní. Pro správné řešení předpokládáme, že první podmínka platí přesně (Tomáš 12 a dvakrát starší než Anička), a druhá podmínka udává, že o 4 roky později je Tomáš o 5 let starší než Anička. Vypočítáme tedy věk Aničky při první události jako \( x \), a Tomáše jako \( 12 \), tedy ne nutně \( 2x \).
Označíme věk Aničky při první události jako \( x \), a víme, že Tomáš byl dvakrát starší než Anička, tedy:
\( 12 = 2x \Rightarrow x = 6 \)
Po 4 letech je věk Aničky \( 6 + 4 = 10 \) a Tomáše \( 12 + 4 = 16 \).
Rozdíl věků je \( 16 – 10 = 6 \), nikoliv 5, proto úloha obsahuje nesrovnalost. Pokud budeme počítat s věkem Aničky při první události jako \( x \) a věkem Tomáše jako \( y \), kde \( y = 2x \), tak současná situace není možná, protože rozdíl věků se nemění.
Vzhledem k tomu, že rozdíl věků je konstantní, musí být rozdíl 6 a nemůže být 5. Tudíž správná odpověď je, že Anička je nyní 10 let a Tomáš 16 let.
55. Otec je třikrát starší než jeho syn. Za 6 let bude otec dvakrát starší než syn. Jaký je věk otce a syna nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk syna nyní jako \( x \). Věk otce je tedy \( 3x \).
Za 6 let bude věk syna \( x + 6 \) a otce \( 3x + 6 \).
58. Věk ženy je nyní čtyřikrát větší než věk jejího syna. Za 10 let bude věk ženy o 10 let větší než trojnásobek věku syna. Jaký je jejich současný věk?
Řešení příkladu:
Označíme věk syna jako \( x \), věk ženy jako \( 4x \).
Za 10 let bude věk syna \( x + 10 \) a ženy \( 4x + 10 \).
Synovi je tedy 10 let a otci \( 3 \cdot 10 = 30 \) let.
Odpověď: Syn má 10 let, otec má 30 let.
62. Věk otce je o 28 let větší než věk jeho syna. Za 6 let bude otec dvakrát starší než syn. Jaký je jejich současný věk?
Řešení příkladu:
Označíme věk syna jako \( x \), věk otce je \( x + 28 \).
Za 6 let bude věk syna \( x + 6 \) a otce \( x + 28 + 6 = x + 34 \).
Podmínka:
\( x + 34 = 2(x + 6) \Rightarrow x + 34 = 2x + 12 \Rightarrow 34 – 12 = 2x – x \Rightarrow 22 = x \)
Věk syna je 22 let, otce:
\( 22 + 28 = 50 \) let.
63. V den svých narozenin bylo Petrovi třikrát tolik let, kolik je let jeho synovi. O deset let později bude Petr dvakrát starší než jeho syn. Kolik let má nyní Petr a kolik jeho syn?
Řešení příkladu:
Označme věk Petra nyní jako \( x \) a věk jeho syna jako \( y \).
Podle zadání v den Petrovy narozenin platí: \( x = 3y \).
O deset let později budou věky Petra a syna \( x+10 \) a \( y+10 \).
Podle druhé podmínky bude Petr dvakrát starší než jeho syn, tedy:
64. Marie je o 4 roky starší než její sestra Jana. Za 6 let bude jejich věkový rozdíl poloviční oproti současnému. Jaký je jejich současný věk?
Řešení příkladu:
Označme věk Jany nyní jako \( x \). Věk Marie je pak \( x + 4 \).
Současný věkový rozdíl je \( (x + 4) – x = 4 \).
Za 6 let budou mít věk \( x + 6 \) (Jana) a \( x + 4 + 6 = x + 10 \) (Marie).
Podle zadání bude věkový rozdíl za 6 let poloviční oproti současnému, tedy:
\( (x + 10) – (x + 6) = \frac{4}{2} = 2 \)
Zjednodušení:
\( x + 10 – x – 6 = 2 \Rightarrow 4 = 2 \)
Vidíme, že rovnost platí pro všechna \( x \). To znamená, že zadání implikuje konstantní věkový rozdíl 4 roky, ale věkový rozdíl za 6 let se nemění, proto nemůže být poloviční. Musíme tedy zkontrolovat zadání.
Předpokládejme, že úloha byla míněna tak, že věkový rozdíl za 6 let bude poloviční oproti tomu, co bude o 6 let dříve, nebo že jde o jiný vztah. Pro korektní řešení úlohu upravíme: „Za 6 let bude věkový rozdíl poloviční oproti tomu, co je nyní.“
V tomto případě zadání nedává smysl, protože věkový rozdíl se nemění s časem.
Závěr: Věkový rozdíl je konstantní, tudíž za 6 let zůstane 4 roky, a tudíž nemůže být poloviční oproti současnému. Úloha není řešitelná, pokud není změněno zadání.
65. Otec je třikrát starší než jeho syn. Za kolik let bude jeho věk pouze dvakrát větší než věk syna, pokud nyní otec je 36 let?
Řešení příkladu:
Označme věk syna nyní jako \( x \).
Podle zadání je otec nyní třikrát starší než syn:
\( 36 = 3x \Rightarrow x = 12 \)
Za \( t \) let bude otec \( 36 + t \) a syn \( 12 + t \).
Chceme najít \( t \), kdy bude otec dvakrát starší než syn:
\( 36 + t = 2(12 + t) \)
Roznásobíme:
\( 36 + t = 24 + 2t \Rightarrow 36 – 24 = 2t – t \Rightarrow 12 = t \)
Za 12 let bude otec dvakrát starší než syn.
66. Věk babičky je nyní dvojnásobkem věku její vnučky. O 5 let později bude babička o 10 let starší než trojnásobek věku vnučky. Jaký je věk babičky a vnučky nyní?
Řešení příkladu:
Označíme věk babičky nyní jako \( x \) a věk vnučky jako \( y \).
Podle první podmínky:
\( x = 2y \)
O 5 let později budou věky \( x + 5 \) a \( y + 5 \).
