11. Obsah lichoběžníku je \( 126\,\text{cm}^2 \). Jeho základny mají délku \( a = 18\,\text{cm} \) a \( c = 14\,\text{cm} \). Vypočítej výšku.
Řešení:
\( S = \frac{(a + c) \cdot v}{2} \Rightarrow v = \frac{2S}{a + c} = \frac{2 \cdot 126}{18 + 14} = \frac{252}{32} = 7.875\,\text{cm} \)
12. Lichoběžník má obsah \( 100\,\text{cm}^2 \), základnu \( a = 20\,\text{cm} \) a výšku \( v = 5\,\text{cm} \). Urči délku druhé základny \( c \).
Řešení:
\( S = \frac{(a + c) \cdot v}{2} \Rightarrow a + c = \frac{2S}{v} = \frac{200}{5} = 40 \Rightarrow c = 40 – 20 = 20\,\text{cm} \)
13. V lichoběžníku jsou ramena stejně dlouhá: \( b = d = 10\,\text{cm} \). Základny mají délku \( 16\,\text{cm} \) a \( 6\,\text{cm} \). Vypočítej obvod.
Řešení:
Obvod: \( o = 16 + 6 + 10 + 10 = 42\,\text{cm} \)
14. Lichoběžník má obsah \( 112.5\,\text{cm}^2 \), výšku \( 5\,\text{cm} \), jedna základna má délku \( 13.5\,\text{cm} \). Vypočítej délku druhé základny.
Řešení:
\( S = \frac{(a + c) \cdot v}{2} \Rightarrow a + c = \frac{2S}{v} = \frac{225}{5} = 45 \Rightarrow c = 45 – 13.5 = 31.5\,\text{cm} \)
15. V lichoběžníku měří základny \( 25\,\text{cm} \) a \( 35\,\text{cm} \). Výška je rovna rozdílu jejich délek dělenému 2. Spočítej obsah.
16. V rovnoramenném lichoběžníku jsou základny dlouhé \( 20\,\text{cm} \) a \( 12\,\text{cm} \). Ramena jsou dlouhá \( 10\,\text{cm} \). Spočítej obvod.
21. Lichoběžník má obsah \( 160\,\text{cm}^2 \) a výšku \( 8\,\text{cm} \). Jedna základna je o 4 cm kratší než druhá. Vypočítej obvod lichoběžníku, pokud rameno má délku 12 cm.
Řešení:
Obsah: \( S = \frac{(a + c) \cdot v}{2} \Rightarrow 160 = \frac{(a + c) \cdot 8}{2} \Rightarrow a + c = 40 \)
Nech \( a = c + 4 \). \( c + (c + 4) = 40 \Rightarrow 2c + 4 = 40 \Rightarrow 2c = 36 \Rightarrow c = 18\,\text{cm} \)
Potom \( a = 18 + 4 = 22\,\text{cm} \).
Obvod: \( o = a + c + 2b = 22 + 18 + 2 \cdot 12 = 22 + 18 + 24 = 64\,\text{cm} \)
22. V lichoběžníku je výška 7 cm. Jedna základna je dvakrát delší než druhá a obsah je \( 98\,\text{cm}^2 \). Vypočítej základny a obvod, pokud ramena jsou dlouhá 9 cm.
Řešení:
Nech \( x \) je kratší základna, pak druhá základna je \( 2x \). \( S = \frac{(x + 2x) \cdot 7}{2} = 98 \Rightarrow \frac{3x \cdot 7}{2} = 98 \Rightarrow 21x = 196 \Rightarrow x = 9.33\,\text{cm} \)
Základny: \( 9.33\,\text{cm} \) a \( 18.66\,\text{cm} \).
23. Délka jednoho ramene lichoběžníka je \( 10\,\text{cm} \). Obvod je \( 52\,\text{cm} \) a základny mají délky \( 20\,\text{cm} \) a \( 12\,\text{cm} \). Vypočítej výšku.
Řešení:
Obvod: \( o = a + c + 2b = 20 + 12 + 2 \cdot 10 = 52\,\text{cm} \)
Výška: \( S = \frac{(a + c) \cdot v}{2} \Rightarrow v = \frac{2S}{a + c} = \frac{2 \cdot 120}{20 + 12} = \frac{240}{32} = 7.5\,\text{cm} \)
24. V lichoběžníku je obsah \( 72\,\text{cm}^2 \), základny mají délky \( 16\,\text{cm} \) a \( 10\,\text{cm} \). Výška je \( 6\,\text{cm} \). Vypočítej obvod a délku ramen, pokud jsou stejné.
Řešení:
Obvod: \( o = a + c + 2b = 16 + 10 + 2 \cdot b \), a tedy musíme nejprve zjistit délku ramen.
25. Délka jedné základny lichoběžníka je \( 28\,\text{cm} \) a druhá základna je o \( 8\,\text{cm} \) kratší. Výška je \( 12\,\text{cm} \). Vypočítej obsah a obvod, pokud rameno je dlouhé \( 15\,\text{cm} \).
Řešení:
Nech \( x \) je kratší základna, tedy \( x = 28 – 8 = 20\,\text{cm} \). Obvod: \( o = 28 + 20 + 2 \cdot 15 = 78\,\text{cm} \)
26. Lichoběžník má obsah \( 250\,\text{cm}^2 \). Základny jsou \( 30\,\text{cm} \) a \( 20\,\text{cm} \), výška je stejná jako rozdíl mezi základnami. Vypočítej obvod.
28. Délka jedné základny lichoběžníku je \( 14\,\text{cm} \), druhá základna je o \( 4\,\text{cm} \) kratší. Výška je \( 6\,\text{cm} \). Vypočítej obsah a obvod.
29. Základny lichoběžníka mají délky \( 25\,\text{cm} \) a \( 35\,\text{cm} \). Výška je \( 10\,\text{cm} \). Vypočítej obsah a obvod, pokud ramena jsou dlouhá \( 15\,\text{cm} \).
